关系与映射典型例题解析

2.3 映射两个非空集合A与B之间存在着对应关系f，而且对于A中的每一个元素x，B中总有唯一的一个元素y与它对应，就称这种对应为从A到B的映射，记作f：A→B.A中的元素x称为原像，B中的对应元素y称为x的像，记作f：x→y.谈重点映射定义的理解(1)映射中的集合A和B是非空集合，它们可以是数集、点集或由图形组成的集合以及其他元素的集合．(2)映射是一种特殊的对应，其特殊性在于：集合A中的每一个元素，在集合B中都有唯一的元素与之对应，这种集合A中元素的任意性和集合B中对应的元素的唯一性构成了映射的核心．对应关系常用图示或文字描述的方式来表达．(3)对应有“方向性”，即“从A到B的对应”与“从B到A的对应”一般是不同的，因此，从A到B的映射与从B到A的映射是不同的．(4)映射允许集合A中不同的元素在集合B中有相同的像，即映射可以是“多对一”或“一对一”，但不能是“一对多”．(5)映射允许集合B中的某些元素在集合A中没有原像，也就是由像组成的集合C⊆B.【例1－1】给出下列四个对应，其中构成映射的是( )．A．(1)(2) BC．(1)(3)(4) D．(3)(4)解析：判断一个对应是否为映射，必须严格根据定义，观察A中每一个元素是否在B中都有唯一的元素与之对应．说明一种对应关系不是映射，只需找到一个反例即可．在(2)中，集合A中的元素3在集合B中没有元素与它对应；在(3)中，集合A中的元素2在集合B中有两个元素4和5与它对应，因此(2)和(3)不是映射，故选B.答案：B解技巧判断映射的技巧映射应满足存在性(即A中每一个元素在B中都有像)和唯一性(即像唯一)．所以，判断一个对应是否为映射，关键是看是否具备：①“一对一”或“多对一”；②A中元素都有像．【例1－2】下列对应是不是从A到B的映射？(1)A＝B＝N＋，f：x→|x－3|；(2)A＝{x|x≥2，x∈N}，B＝{y|y≥1，y∈Z}，f：x→y＝x2－2x＋2；(3)A＝R，B＝{0,1}，f：x→y＝10 00xx≥⎧⎨<⎩，，，；(4)A＝{x|x＞0}，B＝{y|y∈R}，f：x→y＝(5)设A＝{矩形}，B＝{实数}，对应关系f为矩形到它的面积的对应；(6)设A＝{实数}，B＝{正实数}，对应关系f为x→1||x.解：(1)当x＝3∈A时，|x－3|＝0∉B，即A中的元素3按对应关系f，在B中没有元素和它对应，故(1)不是映射．(2)∵y＝x2－2x＋2＝(x－1)2＋1，对任意的x，总有y≥1.又当x∈N时，x2－2x＋2必为整数，即y∈Z.∴当x ∈A 时，x 2－2x ＋2∈B .∴对A 中每一个元素x ，在B 中都有唯一的y 与之对应，故(2)是映射．(3)按照对应关系f ，在A 中任意一个非负数，在B 中都有唯一的数1与之对应；在A 中任意一个负数，在B 中都有唯一的数0与之对应，故(3)是映射．(4)对任意的x ∈A ＝{x |x ＞0}，按对应法则f ：x →y＝，存在两个y ∈B ＝{y |y ∈R }，即y =y =与之对应，故(4)不是映射．(5)∵对每一个矩形，它的面积是唯一确定的，∴对于集合A 中的每一个矩形，B 中都有唯一的实数与之对应，故(5)是映射．(6)∵实数0的绝对值还是0，其没有倒数，∴对于A 中的实数0，B 中没有元素与之对应，故(6)不是映射．2．一一映射的概念若从A 到B 的映射满足下列条件：①A 中每一个元素在B 中都有唯一的像与之对应；②A 中的不同元素的像也不同；③B 中的每一个元素都有原像．就称此映射为一一映射．有时，我们把集合A ，B 之间的一一映射也叫作一一对应．映射造出多少个映射？其中有多少个一一映射？分析：可根据映射的定义，构造从集合A 到集合B 的映射，即让A 中的每一个元素在B 中都有唯一的元素与之对应．从集合A 到集合B 的映射，若对应关系不同，则所得到的映射不同．最后依据一一映射的概念从中数出一一映射的个数．解：从集合A 到集合B 可构造如下映射(其中的对应关系用箭头表示)：(3)，A 到集合B 能构造出4个映射，其中有2个一一映射．【例2－2】若M ＝{x |0≤x ≤2}，N ＝{y |0≤y ≤1}，下列对应关系f ：x →y 是从M 到N 的一一映射的是( )．A ．12y x =B ．13y x = C ．212y x = D ．y ＝(x －1)2 解析：一一映射首先是映射，其次是A 中的不同元素在B 中的像不同，且B 中的每一个元素在A 中都有原像，只有满足这三个条件的对应关系，才是从A 到B 的一一映射．在选项A 中，当0≤x ≤2时，0≤y ≤1，对于集合M 中的每一个元素在N 中都有唯一的像与之对应，且M 中的不同元素的像也不同，N 中的每个元素都有原像，符合一一映射的三个条件；在选项B 中，当0≤x ≤2时，0≤y ≤23，所以集合N 中的元素y ∈213y y ⎧⎫<≤⎨⎬⎩⎭在M 中没有原像；在选项C 中，当0≤x ≤2时，0≤y ≤2，所以集合M 中的元素x ∈{x x ≤2}在N 中没有像；在选项D 中，当x ＝0和2时，都有y ＝1，所以集合M 中的不同元素的像可能相同，故选A.(1)函数包括三要素：定义域、值域、两者之间的对应关系；映射包括三要素：非空集合A 、非空集合B 以及A ，B 之间的对应关系．(2)函数定义中的两个集合为非空数集；映射中两个非空集合中的元素为任意元素，如人、物、命题等都可以．(3)在函数中，对定义域中的每一个数x ，在值域中都有唯一确定的函数值和它对应，在映射中，对集合A 中的任意元素a 在集合B 中都有唯一确定的像b 和它对应．(4)在函数中，对值域中的每一个确定的函数值，在定义域中都有确定的值和它对应；在映射中，对于集合B 中的任一元素b ，在集合A 中不一定有原像．(5)函数是一种特殊的映射，是从非空数集到非空数集的映射．函数概念可以叙述为：设A ，B 是两个非空数集，f 是A 到B 的一个映射，那么映射f ：A →B 就叫作A 到B 的函数．在函数中，原像的集合称为定义域，像的集合称为值域．(1)A ＝R ，B ＝R ，f ：x →y ＝11x +；(2)A ＝{三角形}，B ＝{圆}，f ：三角形的内切圆； (3)A ＝R ，B ＝{1}，f ：x →y ＝1；(4)A ＝[－1,1]，B ＝[－1,1]，f ：x →x 2＋y 2＝1.分析：映射是一种特殊的对应，函数是一种特殊的映射，判断两个集合间的对应关系是否为函数时，只需把握两点：一、两个集合是否都是非空数集；二、对应关系是否为映射．解：(1)当x ＝－1时，y 的值不存在，所以不是映射，更不是函数．(2)由于A ，B 不是数集，所以(2)不是函数，但每个三角形都有唯一的内切圆，所以(2)是A 到B 的映射．(3)A 中的每一个数都与B 中的数1对应，因此，(3)是A 到B 的函数，也是A 到B 的映射．(4)取x ＝0，则由x 2＋y 2＝1，得y ＝±1，即A 中的一个元素0与B 中的两个元素±1对应，因此(4)不是A 到B 的映射，也不是从A 到B 的函数．警误区 关系式x ＝1是函数吗？有的同学问：关系式y ＝1是y 关于x 的函数，那么关系式x ＝1是y 关于x 的函数吗？函数是一种特殊的映射，是非空数集间的一种映射．对于关系式x＝1，显然有x∈{1}，y∈R，则1与全体实数建立对应关系，不符合函数的定义，因此，“x＝1”不是y关于x的函数．4．像与原像的求解问题(1)对于一个从集合A到集合B的映射f而言，A中的每个元素x，在f的作用下，在B 中都对应着唯一的元素y，则y称为像，而x叫原像．(2)对于给出原像求像的问题，只需将原像代入对应关系式中，即可求出像．对于给出像求原像的问题，可先设出原像，再代入对应关系式中得到像，而它与已知的像是同一个元素，从而求出原像；也可根据对应关系式，由像逆推出原像．解答此类问题，关键是：①分清原像和像；②搞清楚由原像到像的对应关系．例如：已知M＝{自然数}，P＝{正奇数}，映射f：a(a∈M)→b＝2a－1(b∈P)．则在映射f下，M中的元素11对应着P中的元素________；P中的元素11对应着M中的元素________．∵2×11－1＝21，∴M中的元素11对应着P中的元素21.由2a－1＝11，得a＝6，∴P中的元素11对应着M中的元素6.【例4－1】已知集合A＝B＝R，x∈A，y∈B，f：x→y＝ax＋b，若4和10的原像分别对应6和9，则19在f作用下的像为( )．A．18 B．30 C．272D．28解析：由题意，可知64,910,a ba b+=⎧⎨+=⎩解得a＝2，b＝－8，∴对应关系为y＝2x－8.故19在f作用下的像是y＝2×19－8＝30.答案：B【例4－2】已知映射f：A→B中，A＝B＝{(x，y)|x∈R，y∈R}，f：(x，y)→(3x－2y ＋1,4x＋3y－1)．(1)求A中元素(1,2)的像；(2)求B中元素(1,2)的原像．分析：解答(1)可利用x＝1，y＝2代入对应关系求出3x－2y＋1与4x＋3y－1的值便可，解答(2)可利用方程的观点解方程组321=1431=2x yx y-+⎧⎨+-⎩，，求出x，y的值便可．解：(1)当x＝1，y＝2时，3x－2y＋1＝0,4x＋3y－1＝9，故A中元素(1,2)的像为(0,9)．(2)令32114312x yx y-+=⎧⎨+-=⎩，，得6,179.17xy⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩故B中元素(1,2)的原像是69, 1717⎛⎫ ⎪.(1)一般地，若集合A中含有m个元素，集合B中含有n个元素，则从A到B的映射有n m 个，从B到A的映射有m n个．例如：求集合A＝{a，b，c}到集合B＝{－1,1}的映射的个数．按照映射的定义，A中元素可都对应B中同一个元素，即a→－1，b→－1，c→－1或a→1，b→1，c→1，共有2个不同的映射；A中元素也可对应B中两个元素，即a→－1，b→－1，c→1或a→－1，b→1，c→－1或a→1，b→－1，c→－1或a→1，b→1，c→－1或a→1，b→－1，c→1或a→－1，b→1，c→1，共有6个不同的映射，综上可知，从A到B的映射共有2＋6＝8＝23个．以后可以根据两个集合中元素的个数直接计算映射的个数．(2)计算满足某些特定要求的映射的个数时，关键是将映射具体化、形象化(如用列表法、图像法、数形结合等)．例如，设M＝{a，b，c}，N＝{－1,0,1}，若从M到N的映射f满足f(a)＋f(b)＝f(c)，求这样的映射f的个数．要确定映射f，则只需要确定M中的每个元素对应的像即可，即确定f(a)，f(b)，f(c)的值．而f(a)，f(b)，f(c)∈{－1,0,1}，还满足f(a)＋f(b)＝f(c)，因此要确定这样的映射f的个数，则只需要确定由－1,0,1能组成多少个等式( )＋( )＝( )．注意到映射不要求N f(c)的取值情况表示出来．【例5－1】集合A＝{1,2,3}，B＝{3,4}，从A到B的映射f满足f(3)＝3，则这样的映射共有________个．解析：由于f(3)＝3，因此只需考虑剩下的两个元素1和2的像的问题，总共有如图所示的4种可能(也可直接利用公式得到这样的映射共有22＝4个)．答案：4【例5－2】已知集合A＝{a，b，c}，B＝{1,2}，从A到B建立映射f，使f(a)＋f(b)＋f(c)＝4，则满足条件的映射共有________个．解析：要确定映射f，则只需确定A中的每个元素对应的像即可，即确定f(a)， f(b)，f(c)的值，而f(a)，f(b)，f(c)∈{1,2}，还满足f(a)＋f(b)＋f(c)＝4，所以f(a)，f(b)，f(c)中有一个是2，另两个是3个．答案：3【例5－3】设集合A＝{1,2,3}，集合B＝{a，b，c}，那么从集合A到集合B的映射的个数为________，从集合A到集合B的一一映射的个数为________．解析：因为集合A中有3个元素，集合B中有3个元素，所以从集合A到集合B的映射有33＝27个．其中A到B的一一映射有下面6种情形．答案：27 6。

高一数学映射试题1.下列对应关系f中，不是从集合A到集合B的映射的是（）A．A=，B=（0，1），f：求正弦；B．A=R，B=R，f：取绝对值C．A=，B=R，f：求平方；D．A=R，B=R，f：取倒数【答案】D【解析】映射要求对于集合A中的任意一个元素，按照对应法则，在到集合B中，都能找到唯一一个元素与之对应。

对于A，因为，锐角的正弦属于区间（0，1），集合A中任意一个元素，在B中都有唯一一个元素与之对应，是映射；对于B，任意实数的绝对值，都有唯一一个非负实数与之对应，是映射；对于C，任意正实数的平方，都有唯一一个正实数与之对应，是映射；对于D，实数0没有倒数，表示映射。

故选D。

【考点】映射点评：简单题，利用映射的定义，结合简单运算加以判断。

2.（x，y）在映射f作用下的象是（x+y，x-y），则象（2，-3）的原象是___________。

【答案】【解析】由（x+y，x-y）＝（2，-3）得：，则象（2，-3）的原象是。

【考点】映射点评：在映射中，集合A中的元素是原象，集合B中的元素是象。

3.设A={}, B="{y" | 0y 3 }, 下列各图中不能表示从集合A到B的映射是( )A．B．C．D．【答案】C【解析】根据映射的定义，集合A中的每一个元素在集合B中都有唯一的元素与其对应，显然C 不符合映射的定义.因此C不是映射.4.已知集合,建立集合A到集合B的映射,,.则下列函数关系与映射表达的意义一致的为 ( )A．B．C．D．【答案】D【解析】因为集合,建立集合A到集合B的映射,,.则下列函数关系与映射表达的意义一致，定义域不同排除A,B，C，故选D.5.下列对应法则中，构成从集合到集合的映射是( )A．B．C．D．【答案】D【解析】解：根据映射的概念，在集合A中的每一个元素在集合B中都有唯一的元素和它对应，观察所给的四个选项，对于A选项，在B中有2个元素与它对应，不是映射，对于B选项，在B中没有和A的元素0对应的象，对于C选项，在B中没有与A的元素0对应的象，对于D选项，符合映射的意义，故选D．6.下列对应关系：（）①：的平方根。

高一数学映射试题答案及解析1.（x，y）在映射f下的象是（xy，x＋y），则点（2，3）在f下的象是．【答案】（6，5）【解析】设点（2，3）在f下的象是（m,n），由题意，∴点（2，3）在f下的象是（6，5）【考点】本题考查了映射的概念点评：掌握映射的概念是解决此类问题的关键，属基础题2.已知是从到的映射，若1和8的原象分别是3和10，则5在下的象是（）A．3B．4C．5D．6【答案】A【解析】由题意可知，解得所以5在下的象是【考点】本小题主要考查映射，象与原象.点评：准确理解映射的概念以及象与原象的概念是解决本小题的关键.3.对于映射,其中,已知中0的原象是1，则1的原象是A．B．C．或中的一个D．不确定【答案】A【解析】根据映射的定义可知，因为中0的原象是1，所以1的原象是2和3.【考点】本小题主要考查映射的定义.点评：映射要求集合A中的任一元素在集合B中有唯一的元素和它对应，所以1的原象必须是2和3.4.设为的映射，若对，在A中无原像，则m取值范围是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】因为，对，在A中无原像，即方程在时，无实数解，所以，故选A。

【考点】本题主要考查映射的概念。

点评：简单题，在映射中，集合A中任意元素，在B中都有唯一元素与之对应。

5.已知在映射，，且，则与A中的元素对应的B中的元素为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】由知：故选A。

【考点】本题考查映射的概念。

6.设是从到的映射，下列判断正确的有 .①集合中不同的元素在中的像可以相同；②集合中的一个元素在中可以有不同的像；③集合中可以有元素没有原像.【答案】①③.【解析】根据从Ａ到Ｂ的映射的定义可知对于集合Ａ中的元素，应满足每个元素在集合Ｂ中都有唯一的与之对应．所以集合中不同的元素在中的像可以相同；集合中可以有元素没有原像;但集合中的一个元素在中不能有不同的像；因而正确的有①③.【考点】映射的定义.点评：映射的定义对集合Ａ中的每个元素必须有唯一的象，对于集合Ｂ中的元素可以有元素没有原象．7.已知P={0,1}，Q={-1,0,1}，f是从P到Q的映射，则满足f(0)>f(1)的映射有（）个A．2B．3C．4D．5【答案】B【解析】从P到Q的映射的映射共有9个，其中当f(0)=1，f(1)=0、f(0)=1，f(1)=-1和 f(0)=0，f(1)=-1时的映射满足条件，故答案为B。

映射例题例1、在下列对应中、哪些是映射、那些映射是函数、那些不是？为什么？1、设A={1,2,3,4}，B={3,5,7,9}，对应关系是f(x)=2x+1,x 属于A2、设A={1,4,9},B+{-1,1,-2,2,-3,3}对应关系是‘A 中的元素开平方’3、设A=R ，B=R,对应关系是f(x)=x 的3次方，x 属于A4、设A=R,B=R,对应关系是f(x)=2x 的2次方+1，x 属于A 解析：1、是一一映射，且是函数；2、不是映射（象是有且唯一）3、是一一映射，且是函数；4、是映射，但不是函数，因为B 中不是所有值在A 中都有对应。

例2、设A={a,b,c},B={0,1},请写出两个从A 到B 的映射从A 到B 的映射共有2^3=8个：（a ，b ，c ）→（0，0，0）； （a ，b ，c ）→（0，0，1）；（a ，b ，c ）→（0，1，0）； （a ，b ，c ）→（1，0，0）；（a ，b ，c ）→（0，1，1）； （a ，b ，c ）→（1，0，1）；（a ，b ，c ）→（1，1，0）； （a ，b ，c ）→（1，1，1）。

例3：已知：集合{,,}M a b c =，{1,0,1}N =-，映射:f M N →满足()()()0f a f b f c ++=，那么映射:f M N →的个数是多少？解：∵(),(),()f a N f b N f c N ∈ ∈ ∈，且()()()0f a f b f c ++=∴有00001(1)0++=++-=．当()()()0f a f b f c ===时，只有一个映射； 当()()()f a f b f c 、、中恰有一个为0，而另两个分别为1，1－时，有326⨯＝个映射．所以所求的映射的个数为167＋＝．例4．给出下列四个对应：① ② ③ ④其构成映射的是（ ）A 只有①②B 只有①④C 只有①③④D 只有③④提示：根据映射的概念，集合A 到集合B 的映射是指对于集合A 中的每一个元素，在集合B 中都有唯一确定的值与之相对应，故选择B ．例5．若函数()f x 满足()()(),f x y f x f y x y R +=+ (∈)，则下列各式不恒成立的（ ）(0)0A f = (3)3(1)B f f = 11()(1)22C f f = ()()0D f x f x -⋅< 提示：令0y =有()()(0)f x f x f =+，(0)0f ∴=，A 准确．令1x y ==，有(3)(2)(1)(1)(1)(1)3(1)f f f f f f f =+=++=，B 准确． 令12x y ==，有111(1)()()2()222f f f f =+=，11()(1)22f f ∴=，C 准确． 令y x =-，则(0)()()f f x f x =+-．因为(0)0f =，()()f x f x ∴-=-，于是当0x y ==时，()()0f x f x -⋅=，故()()0f x f x -⋅<不恒成立，故选D ．例6．已知集合{04}P x x =≤≤，{02}Q y y =≤≤，下列不表示从P 到Q 的映射是（ ）1:2A f x y x →= 1:3B f x y x →= 2:3C f x y x →= :D f x y x →= 提示：C 选项中2:3f x y x →=，则对于P 集合中的元素4，对应的元素83，不在集合Q 中，不符合映射的概念．例7．集合{3,4}A = ，{5,6,7}B = ，那么可建立从A 到B 的映射个数是__________，从B 到A 的映射个数是__________．答案：9,8提示：从A 到B 可分两步实行：第一步A 中的元素3可有3种对应方法（可对应5或6或7），第二步A 中的元素4也有这3种对应方法．则不同的映射种数1339N =⨯=．反之从B 到A ，道理相同，有22228N =⨯⨯=种不同映射．例8．如果函数3()()f x x a =+对任意x R ∈都有(1)(1)f x f x +=--，试求(2)(2)f f +-的值．解：∵对任意x R ∈，总有(1)(1)f x f x +=--，∴当0x =时应有(10)(10)f f +=--， 即(1)(1)f f =-．∴(1)0f =．又∵3()()f x x a =+，∴3(1)(1)f a =+．故有3(1)0a +=（，则1a =-．∴3()(1)f x x =-．∴33(2)(2)(21)(21)26f f +-=-+--=-．。

映射及映射法及例题知识、方法、技能1．映射的定义设A ，B 是两个集合，如果按照某种对应法则f ，对于集合A 中的任何一个元素，在集合B 中都有惟一的元素和它对应，这样的对应叫做从集合A 到集合B 的映射，记作.:B A f →（1）映射是特殊的对应，映射中的集合A ，B 可以是数集，也可以是点集或其他集合，这两个集合有先后次序，从A 到B 的映射与从B 到A 的映射是截然不同的.（2）原象和象是不能互换的，互换后就不是原来的映射了.（3）映射包括集合A 和集合B ，以及集合A 到B 的对应法则f ，三者缺一不可.（4）对于一个从集合A 到集合B 的映射来说，A 中的每一个元素必有惟一的，但B 中的每一个元素都不一定都有原象.如有，也不一定只有一个.2．一一映射一般地，设A 、B 是两个集合，.:B A f →是集合A 到集合B 的映射，如果在这个映射下，对于集合A 中的不同元素，在集合B 中有不同的象，而且B 中每一个元素都有原象，那么个这个映射叫做A 到B 上的一一映射.3．逆映射如果f 是A 与B 之间的一一对应，那么可得B 到A 的一个映射g ：任给B b ∈，规定 a b g =)(，其中a 是b 在f 下的原象，称这个映射g 是f 的逆映射，并将g 记为f —1.显然有（f —1）—1= f ，即如果f 是A 与B 之间的一一对应，则f —1是B 与A 之间的一一对应，并且f —1的逆映射是f .事实上，f —1是B 到A 的映射，对于B 中的不同元素b 1和b 2，由于它们在f 下的原象不同，所以b 1和b 2在f —1下的像不同，所以f —1是1－1的.任给b a f A a =∈)(,设，则a b f=-)(1.这说明A 中每个元素a 在f —1都有原象.因此，f —1是映射上的.这样即得f —1是B 到A 上的1－1映射，即f —1是B 与A 之间一一对应.从而f —1有逆映射.:B A h →由于任给b a h A a =∈)(,设，其中b 是a 在f—1下的原象，即f —1(b)=a ，所以， f(a)=b ，从而f h a f b a h ===得),()(，这即是f —1的逆映射是f .赛题精讲Ⅰ映射关映射的高中数学竞赛题是常见题型之一，请看下述试题.例1：设集合},,,,|),,,{(},,110|{M d c b a d c b a F x x x M ∈=∈≤≤=集合Z 映射f ：F →Z.使得v u y x v x y u y x v u cd ab d c b a ff f ,,,,66),,,(,39),,,(.),,,(求已知→→-→的值.【思路分析】应从cd ab d c b a f -→),,,(入手，列方程组来解之.【略解】由f 的定义和已知数据，得⎩⎨⎧∈=-=-).,,,(66,39M y x v u xv uy xy uv 将两式相加，相减并分别分解因式，得.27))((,105))((=+-=-+x u v y x u v y显然，},110|{,,,,0,0Z ∈≤≤∈≥-≥-x x x v u y x v y x u 在的条件下，,110≤-≤v u ,21)(,15)(,105|)(,2210,221]11105[21=+=++≤+≤≤+≤+v y v y v y v y v y 可见但即 对应可知.5)(,7)(21=-=-x u x u同理，由.9)(,3)(223,221]1127[,11021=+=+≤+≤≤+≤+≤-≤x u x u x u x u v y 又有知 对应地，.3)(,9)(21=-=-v y v y 于是有以下两种可能： （Ⅰ）⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=+=-=+;3,9,7,15v y x u x u x y （Ⅱ）⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=+=-=+.3,9,5,21v y x u x u v y 由（Ⅰ）解出x =1，y=9，u =8，v =6；由（Ⅱ）解出y=12，它已超出集合M 中元素的范围.因此，（Ⅱ）无解.【评述】在解此类问题时，估计x u v y x u v y +--+,,,的可能值是关键，其中，对它们的取值范围的讨论十分重要.例2：已知集合}.0|),{(}333|),{(><<=xy y x x y y x A 和集合求一个A 与B 的一一对应f ，并写出其逆映射.【略解】从已知集合A ，B 看出，它们分别是坐标平面上两直线所夹角形区域内的点的集合（如图Ⅰ－1－2－1）.集合A 为直线x y x y 333==和所夹角内点的集合，集合B 则是第一、三象限内点的集合.所要求的对应实际上可使A 区域拓展成B 区域，并要没有“折叠”与“漏洞”.先用极坐标表示集合A 和B ：},36,,0|)sin ,cos {(πθπρρθρθρ<<∈≠=R A 图Ⅰ－1－2－1}.20,,0|)sin ,cos {(πϕρρϕρϕρ<<∈≠=R B令).6(3),sin ,cos ()sin ,cos (πθϕϕρϕρθρθρ-=→f 在这个映射下，极径ρ没有改变，辐角之间是一次函数23πθϕ-=，因而ϕθ和之间是一一对应，其中),3,6(ππθ∈ ).2,0(πϕ∈所以，映射f 是A 与B 的一一对应. 逆映射极易写，从略.【评述】本题中将下角坐标问题化为极坐标问题，颇具特色.应注意理解掌握.Ⅱ映射法应用映射知识往往能巧妙地解决有关集合的一些问题.例3：设X={1，2，…，100}，对X 的任一非空子集M ，M 中的最大数与最小数的和称为M 的特征，记为).(M m 求X 的所有非空子集的特征的平均数.【略解】设.}|101{,:,X A a a A A A f X A ≠≠⊂∈-=''→⊂令 于是A A f '→:是X 的非空子集的全体（子集组成的集），Y 到X 自身的满射，记X 的非空子集为A 1，A 2，…，A n （其中n=2100－1），则特征的平均数为.))()((21)(111∑∑=='+=ni i i n i i A m A m n A m n 由于A 中的最大数与A ′中的最小数的和为101，A 中最小数与A ′中的最大数的和也为101，故,202)()(='i i A m A m 从而特征平均数为 .10120221=⋅⋅n n如果A ，B 都是有限集合，它们的元素个数分别记为).(),(B card A card 对于映射B A f →:来说，如果f 是单射，则有)()(B card A card ≤；如果f 是满射，则有)()(B card A card ≥；如果f 是双射，则有)()(B card A card =.这在计算集合A 的元素的个数时，有着重要的应用.即当)(A card 比较难求时，我们就找另一个集合B ，建立一一对应B A f →:，把B 的个数数清，就有)()(B card A card =.这是我们解某些题时常用的方法.请看下述两例.例4：把△ABC 的各边n 等分，过各分点分别作各边的平行线，得到一些由三角形的边和这些平行线所组成的平行四边形，试计算这些平等四边形的个数.【略解】如图Ⅰ－1－2－2所示，我们由对称性，先考虑边不行于BC 的小平行四边形.把AB 边和AC 边各延长一等分，分别到B ′，C ′，连接 B ′C ′.将A ′B ′的n 条平行线分别延长，与B ′C ′相交，连同B ′，C ′共有n+2个分点，从B ′至C ′依次记为1，2，…，n+2.图中所示的小平行四边形所在四条线分别交B ′C ′于i ，j ，k ，l .记A={边不平行于BC 的小平行四边形}，}.21|),,,{(+≤<<<≤=n l k j i l k j i B把小平行四边形的四条边延长且交C B ''边于四点的过程定义为一个映射：B A f →:. 下面我们证明f 是A 与B 的一一对应，事实上，不同的小平行四边形至少有一条边不相同，那么交于C B ''的四点亦不全同.所以，四点组),,,(l k j i 亦不相同，从而f 是A 到B 的1－1的映射.任给一个四点组21),,,,(+≤<<<≤n l k j i l k j i ，过i ，j 点作AB 的平行线，过k ，l 作AC 的平行线，必交出一个边不平行于BC 的小平行四边形，所以，映射f 是A 到B 的满射. 总之f 是A 与B 的一一对应，于是有.)()(42+==n C B card A card加上边不平行于AB 和AC 的两类小平行四边形，得到所有平行四边形的总数是.342+n C 例5：在一个6×6的棋盘上，已经摆好了一些1×2的骨牌，每一个骨牌都恰好覆盖两上相邻的格子，证明：如果还有14个格子没有被覆盖，则至少能再放进一个骨牌.【思路分析】还有14个空格，说明已经摆好了11块骨牌，如果已经摆好的骨牌是12块，图Ⅰ－1－2－3所示的摆法就说明不能再放入骨牌.所以，有14个空格这一条件是完全必要的.我们要证明当还有14个空格时，能再放入一个骨牌，只要能证明必有两个相邻的空格就够了.如果这种 情况不发生，则每个空格的四周都有骨牌，由于正方形是对称的，当我们选定一个方向时，空格和骨牌就有了某种对应关系，即可建立空格到骨牌的一种映射，通过对空格集合与骨牌集合之间的数量关系，可以得到空格分布的一个很有趣的结论，从而也就证明了我们的命题.【略解】我们考虑下面5×6个方格中的空.如果棋盘第一行（即最上方的一行）中的空格数多于3个时，则必有两空格相邻，这时问题就得到解决.现设第一行中的空格数最多是3个，则有11314)(=-≥X card ，另一方面全部的骨牌数为11，即.11)(=Y card 所以必有),()(Y card X card =事实上这是一个一一映射，这时，将发生一个很有趣的现象：最下面一行全是空格，当然可以放入一个骨牌.【评述】这个题目的证明是颇具有特色的，从内容上讲，这个题目具有一定的综合性，既有覆盖与结构，又有计数与映射，尤其是利用映射来计数，在数学竞赛中还较少见.当然这个题目也可以用其他的方法来解决.例如，用抽屉原则以及用分组的方法来讨论其中两行的结构，也能比较容易地解决这个问题，请读者作为练习.例6：设N={1，2，3，…}，论证是否存一个函数N N f →:使得2)1(=f ，n n f n f f +=)())((对一切N ∈n 成立，)1()(+<n f n f 格，即除去第一行后的方格中的空格.对每一个这样的空格，考察它上方的与之相邻的方格中的情况.（1）如果上方的这个方格是空格，则问题得到解决.（2）如果上方的这个方格被骨牌所占，这又有三种情况.（i ）骨牌是横放的，且与之相邻的下方的另一个方格也是空格，则这时有两空格相邻，即问题得到解决；（ii ）骨牌是横放的，与之相邻的下方的另一个方格不是空格，即被骨牌所覆盖； （iii ）骨牌是竖放的.现在假设仅发生（2）中的（ii ）和（iii ）时，我们记X 为下面5×6个方格中的空格集合，Y 为上面5×6个方格中的骨牌集合，作映射Y X →:ϕ，由于每个空格（X 中的）上方都有骨牌（Y 中的），且不同的空格对应于不同的骨牌.所以，这个映射是单射，于是有 )()(Y card X card ≤，对一切N ∈n 成立.【解法1】存在，首先有一条链.1→2→3→5→8→13→21→… ①链上每一个数n 的后继是)(n f ，f 满足n n f n f f +=)())(( ②即每个数是它产面两个数的和，这种链称为f 链.对于①中的数m>n ，由①递增易知有n m n f m f -≥-)()( ③我们证明自然数集N 可以分析为若干条f 链，并且对任意自然数m>n ，③成立（从而)()1(n f n f >+），并且每两条链无公共元素）.方法是用归纳法构造链（参见单壿著《数学竞赛研究教程》江苏教育出版社）设已有若干条f 链，满足③，而k+1是第一个不在已有链中出现的数，定义1)()1(+=+k f k f ④这链中其余的数由②逐一确定.对于m>n ，如果m 、n 同属于新链，③显然成立，设m 、n 中恰有一个属于新链.若m 属于新链，在m=k+1时，,1)(1)()()(n m n k n f k f n f m f -=+-≥-+=-设对于m ，③成立，则n m f m n m n f m m f n f m f f -≥+-≥-+=-)()()()())(([由②易知)(2m f m ≥]. 即对新链上一切m ，③成立.若n 属于新链，在n=k+1时，.11)()()()(n m k m k f m f n f m f -=--≥--=-设对于n ，③成立，在m>n 时，m 不为原有链的链首。

高中数学映射的概念练习题（有答案）数学必修1(苏教版)2．1 函数的概念和图象2.1.4 映射的概念函数实质上是定义域A(非空数集)到其值域B(非空数集)，按照某个对应法则f的一个对应，能否将函数的概念拓展为不是数集的对应？基础巩固1．设A＝{x|02}，B＝{y|12}，如图，能表示集合A到集合B的映射的是()解析：因为象集为{y|12}，故A，B错，又根据映射的定义知C错．答案：D2．已知f：AB是集合A到B的映射，又A＝B＝R，对应法则f：xy＝x2＋2x－3，kB且k在A中没有原象，则k的取值范围是()A．(－，－4) B．(－1,3)C．[－4，＋) D．(－，－1)(3，＋)解析：∵y＝x2＋2x－3＝(x＋1)2－4－4，即象集为[－4，＋)当k－4时，k就没有原象．答案：A3．已知集合M＝{(x，y)|x＋y＝1}，映射f：MN，在f作用下(x，y)的象是(2x,2y)，则集合N为()A．{(x，y)|x＋y＝2，x0，y0}B．{(x，y)|xy＝1，x0，y0}C．{(x，y)|xy＝2，x0，y0}D．{(x，y)|xy＝2，x0，y0}解析：2x2y＝2x＋y＝21＝2.答案：D4．给出以下对应：(1)集合A＝{P|P是数轴上的点}，集合B＝R，对应关系f：数轴上的点与它所代表的实数对应；(2)集合A＝{P|P是平面直角坐标系中的点}，集合B＝{(x，y)|xR，yR}，对应关系f：平面直角坐标系中的点与它的坐标对应；(3)集合A＝{x|x是三角形}，集合B＝{x|x是圆}，对应关系f：每一个三角形都对应它的内切圆；(4)集合A＝{x|x是新华中学的班级}，集合B＝{x|x是新华中学的学生}，对应关系f：每一个班级都对应班里的学生．其中是从集合A到B的映射的是________(填序号)．答案：(1)(2)(3)5．已知A＝B＝R，xA，yB，f：xy＝ax＋b，若55，且711，则当x20时，x＝________.解析：由5a＋b＝5，7a＋b＝11a＝3，b＝－10，即y＝3x－10.当y＝20时，易得x＝10.答案：106．从集合A＝{1,2,3,4}到B＝{5,6,7}可建立________个不同的映射．解析：1选象有3种选法，同样的，2,3,4都有3种选象的方法且互不影响．共有3333＝81个不同映射．答案：817．已知M＝{正整数}，P＝{正奇数}，映射f：a(aM)b＝2a －1，则在映射f下，M中的元素11对应着P中的元素________，P中的元素11对应着M中的元素________．解析：由题知a＝11，b＝21，即M中的元素11对应着P中的元素21；又b＝11，代入b＝2a－1，a＝6，即P中的元素11对应着M中的元素6.答案：21 68．为确保信息安全，信息需加密传输，发送方由明文密文(加密)，接收方由密文明文(解密)，已知加密规则为：明文a，b，c，d对应密文a＋2b,2b＋c，2c＋3d,4d.例如，明文1,2,3,4对应密文5,7,18,16.当接收方收到密文14,9,23,28时，则解密得到的明文为________．解析：由题目的条件可以得到a＋2b＝14,2b＋c＝9，2c＋3d ＝23,4d＝28，a＝6，b＝4，c＝1，d＝7.答案：6,4,1,79．某次数学考试中，学号为i(14，且iN)的四位同学的考试成绩f(i){91,93,95,97,99}，且满足f(1)f(3)f(4)，则这四位同学考试成绩的所有可能情况有________种．解析：若f(1)f(3)f(4)，则有5种可能，若f(1)f(2)＝f(3)f(4)，则有10种可能，故成绩可能状况为5＋10＝15种．答案：1510．设A＝{1,2,3，m}，B＝{4,7，n4，n2＋3n}，f：xy＝px ＋q是从集合A到集合B的一个映射，已知m，nN*,1的象是4,7的原象是2，试求p，m，q，n的值．解析：由题知p＋q＝4，2p＋q＝7，p＝3，q＝1，y＝3x＋1，33＋1＝n4，3m＋1＝n2＋3n或33＋1＝n2＋3n，3m＋1＝n4，∵m，nN*，n4＝10，3m＋1＝n2＋3n(舍去)或10＝n2＋3n，3m＋1＝n4. m＝5，n＝2.p＝3，q＝1，n＝2，m＝5.能力提升11．函数f(x)的定义域为A，若x1，x2A，且f(x1)＝f(x2)时总有x1＝x2，则称f(x)为单函数，例如函数f(x)＝2x＋1(xR)就是单函数．下列命题：①函数f(x)＝x2(xR)就是单函数；②若f(x)为单函数，x1，x2A且x1x2，则f(x1)f(x2)；③若f：AB为单函数，则对任意bB，它至多有一个原象．其中正确命题是__________(写出所有正确命题序号)．答案：②③12．已知集合A为实数集R，集合B＝{y|y2}，xA，yB，对应法则f：xy＝x2－2x＋2，那么f：AB是A到B的映射吗？如果不是，可以如何变换集合A或B(f不变)使之成为映射．解析：由于x2－2x＋2＝(x－1)2＋11，即在f下，A中的元素变换成集合{y|y1}中的元素，现在已知的集合B＝{y|y2}，所以A中的部分元素x(0,2)在B中无对应元素．所以f：AB不是A到B的映射．xKb 1. Com将B改为{y|y1}，A与f不变，则f：AB成为A到B的一个映射．13．由等式x4＋a1x3＋a2x2＋a3x＋a4＝(x＋1)4＋b1(x＋1)3＋b2(x＋1)2＋b3(x＋1)＋b4，定义映射f：(a1，a2，a3，a4)(b1，b2，b3，b4)，求f(4,3,2,1)．解析：为计算方便，在等式x4＋4x3＋3x2＋2x＋1＝(x＋1)4＋b1(x＋1)3＋b2(x＋1)2＋b3(x＋1)＋b4中，分别令x＝0，－1，－2,1得1＝1＋b1＋b2＋b3＋b4，－1＝b4，－7＝1－b1＋b2－b3＋b4，11＝16＋8b1＋4b2＋2b3＋b4b1＝0，b2＝－3，b3＝4，b4＝－1.f(4,3,2,1)＝(0，－3,4，－1)．。

2.1.4映射的概念1.已知f： A-B是从集合A到B的映射，下列说法正确的序号是 ________ .O合A中的每一个元素在B小必有唯一元素与之对应◎中可能有元素在A中没有对应元素③中两个不同的元素在B中的对应元素一定不相同④中的某个元素在A中与之对应的元素可能不止一个2.下列从A到B的对应能构成映射的序号是_________ .® = R, B = R+, f： x-|x|.②l = R+, B = R, f：X T对x开平方(或x的平方根).(^L= R+,B= R+, f： Xf@L=Q, 8={偶数}, f：X T2X(注：R十表示正实数).3.若B = {—3,1,7}，试找出一个集合A,使得f： x-2x+l是A到B的映射.4.已知A = R, B = R, A到B的映射f： x->3x-5.(1)求与x=2,5,8相对应的B中元素；课堂巩⑵求与B中的元素35,47相对应的A中元素x.1.下列各组中，集合P与M不能建立P到M映射的序号是_______ •®={0}, M = 0 @={1,2,3,4,5}, M= {2,4,6,8,10} ®=Q, M={数轴上的点} @={平面上的点}, M={有序实数对}2.给出下列四个对应，其中能构成映射的个数是___________ .3.已知集合A = N", B = {奇数},映射f： A »B使A中任一元素a与B中元素2a—1相对应,则与B中元素17对应的A中的元素是 ________ .4.已知集合A={a, b}, B = {c, d},则能建立A到B的不同映射个数是______________ .5.在下列对应关系中，是A到B的映射的有_________ 个.(B = N, B=N*, f：X T|X—3|；(gl=N, B = Q, f： x->5x + 2 009；(B={ 1,2,3,4,5,6}, B={-4, —3,0,5,12}, f： x->x(x-4)；@L = N, B={ — 1,1}, f： x-(—l)x；⑤L={平面内的圆}, B={平面内的三角形}, f：圆-圆的内接三角形.6.已知集合A={(x, y)||x|<2, x + y<3, x临，y^"}, B={0,l,2}, A到B的对应关系f :(x, y)-x + y,试作出对应图，并判断f是否为从A到B的映射.00&27.已知集合A={,,…，，，1,2, 3,…，2009},在映射f：的作用下得到集合B,求集合B中所有元素之和.1.已知映射f： A-B,其中，集合A={—3, -2, 一1, 1,2,3,4},集合B中的元素都是在f作用下与A屮元素相对应的元素，且对任意的a环，在B中与它对应的元索是同，则集合B 中元素的个数是___________ •2.设集合A={x|0<x<2}, B={y|l<y<2),在下图所示的图形中，能表示集合A到集合B的映射的序号是_________ .3.设集合A与B都是坐标平血上的点集：{(x, y)|xW, yW},映射f： A-B使集合A中的元素(x, y)映射成集合B中的元素(x+y, x_y),则在映射f下，与B中的元素(2,1)相对应的A中的元素是_______________ •4.已知集合A={1,2,3,…，10}, B={1,,，…，}.设x至，y印，试给出一个对应法则f使f： A-B是集合A到集合B的映射f： x-y= _______ .5.已^A={x|0<x<4}, B={y|0<y<2},按下列对应法则f,不能成为集合A到B的映射的序号是__________ .® x-y=x @ x-y = x —2 ③ x-y= ④ x-y = |x —2|6.已知A = R, B={正实数},映射f：X T|X|+1,则A中的元素一2在B屮的对应元素是_________ ，B中的元素8在A中的对应元素是_________ •7.为确保信息安全，信息需加密传输，发送方由明文-密文(加密)，接收方由密文-明文(解密).已知加密规则为：明文a, b, c, d对应密文a+2b,2b+c,2c+3d,4d.例如,明文1, 2,3,4对应密文5,7,1&16.当接收方收到密文14,9,23,28时，则解密得到的明文为__________________ ・8.设集合A到B的映射为f】：x-2x+l,集合B到C的映射毎y-y'-l,则集合A到C的映射f的对应法则是什么？集合A中的元素1与C中的什么元素对应？集合C中的元素0与集合A 中的什么元素对应？9.( 易错题)己知集合A={1,2,3,4}, B={5,6,7},在下列A到B的四种对应关系中，是否构成A到B的映射？10.若f： x-3x+l是集合A={1,2,3, k}到集合B={4,7, a4, a2+3a}的一个映射.求自然数a, k 及集合A, B.答案2. 1.4映射的概念课前预习2•③① x->|x|, x用，当x=0时，y=(MB, ••不能构成映射；x= 4时，y = ±= ±2, —对多，不满足唯j性，不能构成映射；® x—・2x,当x=0、1引时，y=0、2年B不能构成映射.酚合映射概念.3.解：由题意，得2x+l = —3,则x=—2；由2x+l = l,得x=0；由2x+l=7, 得x = 3, ••集合A={-2,0,3}.4.解：(1)*.T：x->3x—5, ••当x=2 时，3x—5=1；当x=5 时，3x—5=10；当x = 8 时,3x—5=3x8—5 = 19.・•与2,5,8相对应的元素分别是1,10,19.(2)由3x—5 = 35,得x =：由3x—5=47,得x =.••与B中元素35,47相对应的A中元素分别为，.课堂巩固1. ① 由映射概念，f ： A T B 中集合A 、B 必须是非空集合，••①5能建立P 到M 的映 射.2. 2由映射概念(1)(4)可构成映射.3. 9由题意知，f ： a->2a- 1, ••曲2&—1 = 17,得a=9..^ B 中元素17相对应的A 中元素是9.4. 4 A 到B 的不同映射共有4个.它们分别是••当x=3(x 创)时,|x —3|=|3—3|=0$N*,・°A 中的元素3在B 中没有对应元素，能构成A 到B 的映射；・・」个圆有无数个内接三角形相对应，・•⑤E 构成A 到B 的映射.6. 解:由题意，得 A={(—1,1), (-1,2), (-1,3), (0,1), (0,2), (1,1)}, B = {0,1,2}.对应图如下：A 屮每一个元素在集合B 中都有唯一的元素与它对应，所以F 是集合A 到集合B 的映 射. 7. 解：由f ： X T 可知，对应法则实质是f(x)=.集合 B = {f(), f(),…，f(), f(), f(l), f(2), f(3), f(2 008), f(2 009)}.•・T(x)+f()= + = + = l, /f() + f() +... + f() + f() + f( 1) + f(2) + f(3) +... + f(2 008) + f(2 009) = (f(2 009) + f()) + (f(2 008)+f()) +...+(f() + f(3))+(f(2)+f()) + f(l) = l + l+...+ +f(l) = 2 008+=2 00& 课后检测 1. 4由题意知对应法则为f ： 「A 中的一3和3对应B 中的3, —2和2对应B 中的2, —1和1对应B 中的1, A 中的4对应B 中的4,即B = {1,2,3,4},中元素有4 个.2. ⑷⑸ 由题设，将集合A 、B 与图(1)(2)对照知，集合A 中的有些元素在B 中没有 元素与之对应，故不构成映対；图(3),当0<x<2吋，集合A 中的元素与集合B 中的两个 元素相对应，故不构成映射；图(4)、(5)能构成映射.3. (,)依题意，令解得故与B 中元素(2,1)对应的A 中元素为(，).4. 由条件可知，B 中的元索分别是A 中元素平方的倒数，「A 到B 的映射是f ： x-y5. 3 由映射的概念，弦(I) (2):A 到B 的映射.■5.②••当x耳0,2)时,例如x=0,l,则y=—2, —1年B,・£ x-・y=x—2不能成为A 到B的映射.6. 3 ±7 ••乂=一2时，|x|+l=|—2|+l=3,「A中元素一2与B中的对应元素为3. 由|x|+l =8,得x = ±7.・°B中的元素8在A中的对应元素为±7.7.6,4,1,7由题意可知解得8.解：由y = (2x+l)2—l=4x2+4x,得集合A到C的映射f的对应法则是f：x->4x2 +4x=4x(x+l)； x=l至，在f作用下，有4xlx(i + l)= 8g：,・•集合A中的元素1与C 屮的元素8对应；022,即4x(x+l)=0,解得x=()或x= — l,••集合C中的元素0在集合A中有两个元素0或一1与之对应.9.解：(1)是数集A到数集B的映射.(2)因为A中的元素4在B中无对应元素，故该对应不是A到B的映射.(3)该对应是A到B的一个映射.(4)A中的元素3在B中有两个元素与之对应，故不是A到B的映射.点评：判断一个对应是否是A到B的映射，应考虑两个方面：(1)集合A中的每一个元素是否在集合B中都有对应元素；(2)集合A中的元素在集合B中是否只有一个对应元素.它们成立与否是判断映射的标准与依据.10.解：由题意，A中的1与B中的元素4对应，A中2与B中7对应，••可判断A 屮的元素3要与B屮的『或a2+3a相对应.若与J对应，则a4=3x3+l = 10,且・9不存在;若与a2+3a相对应，则a2+3a=10,解得a=—5年N舍去，a=2.此时集合B = {4,7,16,10},又集合A中的元素k只能与B中的a4=16相对应，・・3k+l = 16, k=5.・°A= {1,2,3,5}, B={4,7,10,16}.。

2.1.4 映射的概念5分钟训练(预习类训练，可用于课前)1.下图中，图（1）、图（2）、图（3）用箭头所标明的A 中元素与B 中元素的对应法则是不是映射？是不是函数关系？解:图（1）中，集合A 中任一个数，通过“开平方”运算，在B 中有两个数与之对应，这种对应法则不符合上述的映射定义，所以这种对应关系不是映射，当然也不是函数关系；图（2）中，元素6在B 中没有象，所以这种对应关系不是映射，当然也不是函数关系；图（3）中，对A 中任一个数，通过“2倍”的运算，在B 中有且只有一个数与之对应，所以这种对应法则是数集到数集的映射，并且是一一映射，这两个数集之间的关系是集合A 上的函数关系.图（4）中的平方运算法则，同样是映射，因为对A 中每一个数，通过平方运算，在B 中都有唯一的一个数与之对应，但不是一一映射，这两个数集之间的关系是集合A 上的函数关系.2.下面说法正确的是( )A.对于任意两个集合A 与B ，都可以建立一个从集合A 到集合B 的映射B.对于两个无限集合A 与B ，一定不能建立一个从集合A 到集合B 的映射C.如果集合A 中只有一个元素，B 为任一非空集合，那么从集合A 到集合B 只能建立一个映射D.如果集合B 中只有一个元素，A 为任一非空集合，则从集合A 到集合B 只能建立一个映射思路解析:理解映射的定义可选出正确答案.答案:D3.设A={x|x 是锐角},B=(0,1),从A 到B 的映射是“求正弦”，与A 中元素60°相对应的B 中的元素是_____________,与B 中元素22相对应的A 中的元素是____________. 思路解析:sin60°=23,22=sin45°. 答案: 23 45° 10分钟训练(强化类训练，可用于课中)1.在下列5个对应中：①f ：N→N *，x→|x -3|；②f ：N→Q ，x→2x ；③f ：{1，2，3，4，5，6}→{-4，-3，0，5，12}，x→x （x-4）；④f ：N→{-1，1}，x→（-1）x ；⑤f ：{平面M 内的圆}→{平面M 内的三角形}，圆→圆内接三角形.其中是映射的有( )A.2个B.3个C.4个D.5个思路解析:根据映射的定义易知:①不是映射（因为3在N *中无象）,⑤也不是映射（因为圆内接三角形不唯一），其余均是映射.答案:B2.确定函数y=x2+1的映射是( )A.R到R的映射B.{x|x>0}到{x|x>0}的映射C. R到{x|x>0}的映射D. R到［1,+∞］的映射思路解析:自变量x是任意实数，而y≥1，故函数是R到［1,+∞］上的一个映射.答案:D3.设集合A和B都是自然数集合N，映射f:A→B把集合A中的元素n映射到集合B中的元素2n+n，则在映射f下，集合A中的元素20对应集合B中的元素是( )A.2B.3C.4D.5思路解析:本题主要考查映射的概念，同时考查了运算能力.因为2n+n=20，用n=2，3或4,5逐个代入，排除A、B、D，∴选C.答案:C4.集合M={a，b，c}，N={-1，0，1}，映射f：M→N满足f（a）+f（b）+f（c）=0，那么映射f：M→N的个数是( )A.3B.4C.5D.7思路解析:∵f（a）∈N，f（b）∈N，f（c）∈N且f（a）+f（b）+f（c）=0，∴有0+0+0=0+1+（-1）=0.当f（a）=f（b）=f（c）=0时，只有一个映射；当f（a）、f（b）、f（c）中恰有一个为0，而另两个分别为1，-1时，有C13·A22=6个映射.因此所求映射的个数为1+6=7.答案:D5.设集合A={a1，a2，a3}，B={b1，b2}.（1）从A到B的映射有多少个？（2）从B到A的映射有多少个？思路解析:根据“什么叫映射”来做一个映射:先算每一元素的象有几种可能，然后就能算出共能做出多少个不同的映射.解:（1）作a1的象有b1或b22种方法，同样作a2、a3的象也各有2种方法，所以从A到B 的映射，共有2×2×2=8个.（2）从B到A的映射共有3×3=9个.快乐时光偶像与起床小明总是睡懒觉，有一天，小明妈妈批评他说：“你看隔壁小华每天天还没亮就起床了，你就不能早起一点？”小明理直气壮地回答：“妈妈！我跟他不一样，人家小华崇拜的偶像是黎明！我的偶像是作家卧龙生”.30分钟训练(巩固类训练，可用于课后)1.已知四个从集合A到集合B的对应(如下图)，那么集合A到集合B的映射是( )A.④B.①④C.②④D.③④思路解析:映射是一种特殊的对应，特殊性表现在哪里?在②中，A 中的元素a 2与B 中的两个元素b 2、b 3对应(“象不唯一”)；在③中，A 中的元素a 2在B 中没有元素与它对应(“没有象”)，故②和③都不是集合A 到集合B 的映射.根据映射的定义，①和④是集合A 到集合B 的映射.选B.答案:B2.设集合A={x|0≤x≤2}，B={y|1≤y≤2}，在下图所示的图形中，能表示从集合A 到集合B 的映射的是()思路解析:依照映射强调的两个方面来判断.由题设给定集合A={x|0≤x≤2}，B={y|1≤y≤2}，对照选择图A 、B ，集合A 到集合B 不一定都有象，故否定A 、B ；图C 中，当0≤x≤2时，集合A 到集合B 的象不唯一，故否定C.答案:D3.设集合A 和B 都是坐标平面上的点集{(x,y)|x ∈R ,y ∈R }，映射f:A→B 使集合A 中的元素(x,y)映射成集合B 中的元素(x+y,x-y)，则在映射f 下，A 中元素（2,1）对应的B 中元素是( )A.(3,1)B.(23, 21)C.( 23,- 21) D.(1,3) 思路解析:依题意，令⎩⎨⎧=-=+,1,2y x y x 解得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==.21,23y x 答案:B4.下面三个对应（Z 为整数集）：①Z 中的元素x 与2x 对应；②Z 中的元素x 与x 对应；③Z 中的元素x 与x 2-1对应.其中Z 到Z 的映射有( )A.0个B.1个C.2个D.3个思路解析:①③是Z 到Z 的映射.答案:C5.下列哪一个对应是一个集合P 到集合S 的映射( )A.P={有理数},S={数轴上的点},对应法则f:有理数→数轴上的点B.P={数轴上的点},S={有理数},对应法则f:数轴上的点→有理数C.x ∈P=R ,y ∈S={x|x>0}，对应法则f:x→y=|x|D.x ∈P={x|x≤0},y ∈S={x|x>0}，对应法则f:x→y=x 2思路解析:B 中集合P 中的元素有的没有原象，如2没有象与之对应；C 、D 中集合P 的元素0在集合S 中没有原象与之对应.故选A.答案:A6.为确保信息安全，信息需加密传输，发送方由明方密文（加密），接收方由密文明文（解密），已知加密规则为：明文a,b,c,d 对应密文a+2b,2b+c,2c+3d,4d.例如，明文1，2，3，4对应密文5，7，18，16，当接收方收到密文14，9，23，28时，则解密得到的明文为（ ）A.4，6，1，7B.7,6,1,4C.6,4,1,7D.1，6，4，7思路解析:由题意,可知⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==+=+=+,284,2332,92,142d d c c b b a 解得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧====.7,1,4,6d c b a 答案:C7.设A 到B 的映射f 1:x→2x+1，B 到C 的映射f 2:y→y 2-1，则A 到C 的映射f 3是__________. 思路解析:依题意可知y=2x+1，∴y 2-1=(2x+1)2-1=4x 2+4x.∴A 到C 的映射是f 3:x→4x 2+4x.答案:f 3:x→4x 2+4x8.已知集合A={1,2,3,…,10},B={1,41,91,…,1001}，设x ∈A,y ∈B ，试给出一个对应法则f 使f:A→B 是从集合A 到集合B 的映射f:x→y=_______________.思路解析:由条件可知B 中的元素分别是A 中元素平方的倒数，所以从A 到B 的映射是f:x→y=21x. 答案: 21x 9.设集合A={a,b,c},B={0,1},试问：从集合A 到集合B 的映射共有几个？并将它们分别表示出来.解:设f 为集合A 到集合B 的映射，则从A 到B 的映射共有8种，分别为:（1）⎪⎩⎪⎨⎧===.0)(,0)(,0)(c f b f a f （2）⎪⎩⎪⎨⎧===.1)(,0)(,0)(c f b f a f（3）⎪⎩⎪⎨⎧===.0)(,1)(,0)(c f b f a f （4）⎪⎩⎪⎨⎧===.0)(,0)(,1)(c f b f a f（5）⎪⎩⎪⎨⎧===.0)(,1)(,1)(c f b f a f （6）⎪⎩⎪⎨⎧===.1)(,0)(,1)(c f b f a f（7）⎪⎩⎪⎨⎧===.1)(,1)(,0)(c f b f a f （8）⎪⎩⎪⎨⎧===.1)(,1)(,1)(c f b f a f。