下载文档原格式
数学归纳法及其应用举例【本章学习目标】人们在研究数量的变化时，常常会遇到有确定变化趋势的无限变化过程，这种无限变化过程就是极限的概念与思想，极限是人们研究许多问题的工具。
以刘微的“割圆术”为例，圆内接正n 边形的边数无限增加时，正n 边形的周长P n 无限趋近于圆周长2πR 。
这里的是个有限多项的数列，人们可以从这个有限多项的数列来探索无穷数列的变化趋势。
不论n 取多么大的整数，n P 都是相应的圆周长的近似值，但是我们可以从这些近似值的精确度的无限提高中（限n 无限增大）找出圆周长的精确值2πR 。
随着n 的增加，n P 在变化，这可以认为是量变（即只要n 是有限数，n P 都是圆内接正多边形的周长）；但是我们可以从这些量变中来发现圆周长。
一旦得出2πR ，就是质的变化（即不再是正多边形的周长）。
这种从有限中认识无限，从近似中认识精确，从量变中认识质变的思想就是极限的思想。
本章重点内容是： （1）数学归纳法及其应用。
（2）研究性课题：杨辉三角。
（3）数列的极限。
（4）函数的极限。
（5）极限的四则运算。
（6）函数的连续性。
本章难点内容是：（1）数学归纳法的原理及其应用。
（2）极限的概念。
【基础知识导引】1．了解数学推理中的常用方法——数学归纳法。
2．理解数学归纳法的科学性及用数学归纳法来证明与正整数有关命题的步骤。
3．掌握数学归纳法的一些简单应用。
【教材内容全解】 1．归纳法前面我们在学习等差数列时，通过等差数列的前几项满足的关系式归纳出等差数列的通项公式。
再如根据三角形、四边形、五边形、六边形等的内角和归纳出凸n 边形内角和公式。
像这样由一系列有限的特殊事例得出一般结论的推理方法，叫做归纳法。
对于归纳法我们可以从以下两个方面来理解。
（1）归纳法可以帮助我们从具体事列中发现事物的一般规律。
（2）根据考察的对象是全部还是部分，归纳法又分完全归纳法与不完全归纳法。
显然等差数列通项公式，凸n 边形内角和公式都是通过不完全归纳法得出的，这些结论是正确的。
七年级技术应用的实用案例分析在七年级技术应用课程中，学生们学习并应用各种科技工具和软件来解决实际问题。
本文将通过分析几个实用案例，探讨七年级技术应用的重要性和影响。
案例一：数字制作动画在技术应用课程中，学生们学会使用数字制作软件来创建动画。
通过学习和应用这一技术，学生们能够发展创造力和表达能力。
比如，他们可以创建一段简短的动画来讲述一个故事，或者制作一个宣传广告来推广某种产品。
这种技术应用帮助学生们提高他们的视觉表达和沟通能力，同时也激发了他们对科技创新的兴趣。
案例二：电子表格应用电子表格是一种强大的数据处理工具，也是七年级技术应用课程中的重要内容。
学生们通过使用电子表格软件，如Microsoft Excel或Google Sheets，学会如何处理数据、创建图表和进行数据分析。
这种技术应用不仅提高了学生们的数学和分析能力，还帮助他们更好地组织和展示数据。
比如，学生们可以通过电子表格来记录和分析某个实验的结果，或者创建一个预算表来管理个人开支。
这种实用案例展示了技术应用在现实生活中的广泛应用。
案例三：网络安全教育随着科技的快速发展，网络安全问题日益突出。
在七年级技术应用课程中，学生们也需要学习如何保护自己的个人信息和如何安全地使用互联网。
他们可以学习到如何创建一个强密码、如何警惕网络诈骗和如何安全地使用社交媒体。
这种技术应用对学生们的日常生活具有重要意义，能够帮助他们更好地保护自己的隐私和减少网络安全风险。
通过以上的实用案例分析，我们可以看到七年级技术应用课程对学生的发展具有重要作用。
学习和应用科技工具和软件不仅能够提高学生们的数字素养和创造力，还能够帮助他们更好地解决实际问题。
在教学实践中，教师可以通过鼓励学生们参与实际项目、组织团队合作和培养创新思维等方式来促进七年级技术应用课程的有效学习。
此外，学校和家长也应该共同努力，为学生提供更多的机会和资源，使他们能够充分发挥技术应用的潜力。
综上所述，七年级技术应用的实用案例分析表明，这门课程不仅可以提高学生们的科技素养和创造力，还有助于他们解决现实生活中的问题。
“三部五环”教学模式设计《27.2.2相似三角形的应用举例1》教学设计教材义务教育课程标准实验教科书（人教版）《数学》九年级下册第二十七章《相似》第二小节相似三角形的判定第五课时相似三角形的应用举例。
设计理念从学生已有的生活经验和认知基础出发，让学生主动地进行学习。
学生在感知实际问题后，将实际问题转化为数学问题，进一步尝试解决、交流展示，从而培养学生分析、归纳、总结的能力和学生应用相似三角形的判定和性质解决实际问题的能力。
使学生感受数学源于生活又服务于生活，更好地理解数学知识的意义，体现“人人学有价值数学”的新课程理念。
整个教学设计流程突出以学定教，体现“设计问题化，过程活动化，活动练习化，练习要点化，要点目标化，目标课标化”的要求，将教学过程设计为有一定梯次的递进式活动序列。
学情分析教学对象是九年级学生，在学习本节前，学生已经掌握了相似三角形的概念、判定方法及性质；在思维已具备了初步的应用数学的意识；经历了在操作活动中探索性质的过程，获得了初步的数学活动经验和体验，也培养了学生良好的情感态度，具备了一定的主动参与、合作意识和初步的观察、分析、抽象概括的能力，在此基础上通过本节课的学习将进一步综合运用相似三角形的判定方法和性质解决问题的能力，提高学生的数学应用意识，加深对相似三角形的理解与认识。
培养学生在实际问题中建立数学模型的能力，从而提高学生理论联系实际的能力。
在推理论证方面须坚持遵循“特殊——一般——特殊”规律，注重对学生建立数学模型的能力和推理论证的严谨性的培养。
知识分析本节教材选自于人教版九年级下册第二十七章《相似》第二节《相似三角形》，隶属《全日制义务教育数学课程标准（实验稿）中的“空间与图形”领域。
图形的相似及相似三角形的判定和性质的应用是初中几何中重要的知识，是证明角相等，线段相等和线段成比例常用的解决问题方法。
它是建立在图形的全等和全等三角形、四边形的判定方法和性质及圆的有关知识的基础上学的，是继圆之后的又一章综合性比较强且应用比较广泛的重要章节。
23种(只有常用的十种)应用场景举例(详细)这里是一个关于23种应用场景的文章，根据你的要求，我将选取并详细介绍其中的十种常用场景。
请注意，本文将按照正文格式书写，不再提及标题或其他内容。
应用场景一：医疗行业医疗行业是应用场景广泛的领域之一。
在医疗应用中，人工智能可以帮助医生进行疾病诊断、辅助手术等工作。
例如，通过图像识别技术，人工智能可以帮助医生在扫描结果中寻找病灶，并提供精确的诊断意见。
应用场景二：金融行业金融行业是人工智能应用的重要领域。
机器学习和大数据分析可以用于风险评估、欺诈检测和交易分析等任务。
人工智能还可以通过自动化算法进行高频交易，提高交易效率。
此外，在客户服务方面，智能助理可以为客户提供个性化的投资建议。
应用场景三：物流行业物流行业的应用场景多样。
人工智能可以通过预测需求和优化路径来提高物流运输的效率。
同时，智能仓储系统可以自动化处理和分类货物，减少人力成本。
在最后一公里配送方面，无人机和机器人也可以发挥重要作用。
应用场景四：智能家居智能家居是人工智能应用的一个热点领域。
通过智能家居系统，人们可以通过语音或手机控制家里的灯光、空调和电器等设备。
智能家居也可以通过学习用户的习惯，自动调节室内温度和照明，提高生活的便利性和舒适度。
应用场景五：智能交通智能交通可以通过监测交通流量和优化路线来减少拥堵和提高交通效率。
人工智能技术还可以用于智能停车场管理和交通事故预测。
智能交通系统还可以通过与车辆通信，提供实时导航和车辆追踪服务。
应用场景六：教育领域教育领域有许多人工智能应用的机会。
例如，在个性化学习方面，人工智能可以根据学生的学习习惯和能力，提供定制化的教育内容和评估。
此外，虚拟现实和增强现实技术也可以在教学中提供沉浸式的体验和实践机会。
应用场景七：零售行业人工智能在零售行业有广泛的应用，比如推荐系统可以根据用户的购买历史和兴趣，提供个性化的产品推荐。
智能购物助手可以通过语音识别和图像识别技术，帮助用户找到并购买特定商品。
相似三角形应用举例1.经历对实际问题的探索,会利用相似三角形的性质测量物体的高度.2.在具体情景中从数学的角度发现问题和提出问题,并综合运用数学知识解决简单实际问题.1.经历从实际问题中建立数学模型的过程,增强应用意识,提高实践能力.2.通过把实际问题转化为数学问题,发展学生的抽象概括能力,提高应用数学知识解决实际问题的能力.3.学会在具体的情景中从数学的角度发现问题和提出问题,并综合运用数学知识和方法解决简单的实际问题,增强应用意识,提高实践能力.1.通过积极参加数学探究活动,激发学生对数学的好奇心和求知欲,体会数学与实际生活密切联系.2.通过将实际问题转化为数学问题,培养建模思想,提高分析问题、解决问题的能力.3.积极参与课堂活动,勇于质疑,养成认真思考的学习习惯,形成实事求是的科学态度.4.培养学生的合作交流意识,培养学生主动探索,敢于实践,勇于发现的科学精神.【重点】利用相似三角形的性质解决高度测量问题.【难点】将实际问题转化为数学问题,应用数学知识解决问题.第课时1.经历对实际问题的探索,会利用相似三角形的性质测量物体的高度.2.在具体情景中从数学的角度发现问题和提出问题,并综合运用数学知识解决简单实际问题.1.经历动手作图的过程,提高学生将实际问题转化为数学问题,以及用相似三角形解决问题的能力.2.把实际问题转化为数学问题,发展学生的抽象概括能力,提高应用数学知识解决实际问题的能力.3.在与他人合作和交流过程中,能较好地理解他人的思考方法和结论.1.在运用数学表述和解决问题的过程中,认识数学具有抽象、严谨和应用广泛的特点,体会数学的价值.2.通过将实际问题转化为数学问题,培养建模思想,提高分析问题、解决问题的能力.3.积极参与课堂活动,在活动中使学生积累经验,感受成功的喜悦,激发学生学习数学的热情与兴趣.【重点】利用相似三角形的性质解决高度测量问题.【难点】将实际问题转化为数学问题,应用数学知识解决问题.【教师准备】多媒体课件.【学生准备】预习教材P39~40.导入一:【复习提问】(1)什么是相似三角形及相似比?(2)判定三角形相似的方法有哪些?(3)相似三角形的性质是什么?【师生活动】学生回答问题,教师点评.[设计意图]以旧引新,帮助学生建立新旧知识间的联系,借助古代难题,引出新课,激发学生的好奇心和求知欲,感受数学应用的意义.一、测量旗杆的高度【问题】如何测量操场上旗杆的高度?思路一【思考】(1)在同一时刻,物体的高度和影长有什么关系?(2)在操场上竖立一根长1米的标杆,画出同一时刻旗杆和木杆的影长.(太阳光线看作是平行的)(3)通过测量影子的长度,你能得到旗杆的高度吗?【师生活动】学生独立思考后画出图形,小组内交流测量旗杆的方法和思路,教师巡视过程中帮助有困难的学生.解:如图所示,测得同一时刻旗杆的影长AB=a,标杆的影长为EF=b.由题意可得∠B=∠F=90°,AC∥DE,∴∠A=∠E,∴△ABC∽△EFD,∴=,∴BC=.【归纳】在平行光线的照射下,同一时刻,两个物体的高度与影长成比例.【追问】你还有其他方法求旗杆的高度吗?思路二【小组讨论】用什么方法可以测量操场旗杆的高度?【师生活动】学生小组讨论方法,画出图形,小组代表根据图形叙述测量的方法和思路,教师归纳测量的方法.(1)升降旗杆上有绳子,测量升降旗杆上的绳子长度算出旗杆的高度.(2)因为太阳光线平行,光线与地面所成的夹角相等,所以在同一时刻测出旗杆和标杆的影长,根据相似三角形的性质可求出旗杆的高度.(3)在旗杆和人之间放一面镜子,移动镜子的位置,使人能看到旗杆顶端在镜子中的像,根据入射角等于反射角,利用三角形相似求出旗杆的高度.(4)将视点、标杆顶端、旗杆顶端置于同一直线上,测出视点与标杆及旗杆底部的距离及标杆高度,利用三角形相似求出旗杆的高.……用三角形相似可以求旗杆的高度,常用的方法有:【课件展示】(1)如图所示,同一时刻物高与影长构成直角三角形.(2)如图所示,利用平面镜构造直角三角形.(3)如图所示,观察者视线与标杆顶端、旗杆顶端在同一条直线上.[设计意图]解决生活实际问题——求旗杆的高度,培养学生多角度思考问题,思路一是在教师问题的引导下,学生进行分析、探究,建立相似三角形模型,由相似三角形的性质求解,然后归纳结论.思路二是提出结论开放性问题,学生通过小组合作交流,想出测量旗杆高度的多种方法,激发学生的创造性思维,提高学生用数学知识解决实际问题的能力.呢?(教材例4)据传说,古希腊数学家、天文学家泰勒斯曾经利用相似三角形的原理,在金字塔影子的顶部立一根木杆,借助太阳光线构成的两个相似三角形,来测量金字塔的高度.如图所示,木杆EF长2 m,它的影长FD为3 m,测得OA为201 m,求金字塔的高度BO.【教师引导分析】(1)太阳光线与物体及其影子组成的两个三角形相似吗?(由太阳光线平行得∠BAO=∠EDF,又∠AOB=∠DFE=90°,得三角形相似)(2)如何求OA的长?(金字塔的影子是等腰三角形,则OA等于这个等腰三角形的高与金字塔底面边长一半的和)(3)写出你的求解过程.【师生活动】学生在教师的引导下分析回答,独立完成证明过程,学生板书,教师点评.解:太阳光线是平行光线,因此∠BAO=∠EDF.又∠AOB=∠DFE=90°,∴△ABO∽△DEF.∴=,∴BO===134(m).因此金字塔的高度为134 m.(教材例5)如图所示,为了估算河的宽度,我们可以在河对岸选定一个目标点P,在近岸取点Q和S,使点P,Q,S共线且直线PS与河岸垂直,接着在过点S且与PS垂直的直线a上选择适当的点T,确定PT与过点Q且垂直PS的直线b的交点R.已知测得QS=45 m,ST=90 m,QR=60 m,请根据这些数据求河宽PQ.〔解析〕(1)图中的两个三角形是不是相似三角形?(由∠PQR=∠PST=90°,∠P=∠P可得△PQR∽△PST)(2)根据相似三角形的基本性质能不能得到关于河宽PQ的比例线段?(3)能不能用方程思想解出PQ的值?=,即PQ×90=(PQ+45)×60,可解得PQ的值【师生活动】学生在教师的引导下独立思考,再完成解答过程,然后小组交流答案,学生代表板书过程,教师在巡视过程中帮助有困难的学生,对学生的板书点评,规范解答过程.解:∵∠PQR=∠PST=90°,∠P=∠P,∴△PQR∽△PST.∴=,即=,=,PQ×90=(PQ+45)×60.解得PQ=90(m).因此,河宽大约为90 m.【追问】你还有其他的测量河宽的方法吗?【师生活动】学生小组合作交流,共同探究其他方法.师生共同归纳,只要合理都可以.如下图也可以应用相似三角形性质测量河宽.[设计意图]通过解决不能直接测量的物体的高度和宽度问题,让学生在解决实际问题的过程中学会建立数学模型,通过建模培养学生的归纳能力.在教师的引导下学生通过自主学习和合作交流相结合,进一步加深对相似三角形的应用意识,培养学生分析问题、解决问题的能力和发散思维能力.[知识拓展]利用相似三角形进行测量的一般步骤:①利用平行线、标杆等构成相似三角形;②测量与表示未知量的线段相对应的线段的长,以及另外任意一组对应边的长度;③画出示意图,利用相似三角形的性质,列出以上包括未知量在内的四个量的比例式,解出未知量;④检验并得出答案.1.测量不能直接测量的物体的高度:通常用同一时刻物高与影长成比例解决.2.测量不能直接测量的两点间的距离:通常构造直角三角形相似求解.1.小明在测量楼高时,先测出楼房落在地面上的影长BA为15米,如图所示,然后在A处树立一根高2米的标杆,测得标杆的影长AC为3米,则楼高为()A.10米B.12米C.15米D.22.5米解析:在同一时刻物高和影长成正比,即在同一时刻的两个物体,影子,经过物体顶部的太阳光线三者构成的两个直角三角形相似.因此=,即=,∴楼高=10(米).故选A.2.如图所示的是一束平行的光线从教室窗户射入教室的平面示意图,测得光线与地面所成的角∠AMC=30°,窗户的高在教室地面上的影长MN=2米,窗户底部到教室地面的距离BC=1米(点M,N,C在同一直线上),则窗户的高度AB为()A.米B.3米C.2米D.1.5米解析:∵BN∥AM,∴∠AMC=∠BNC=30°,又∵∠C=90°,BC=1米,∴BN=2米,CN=米,∴CN∶CM=BC∶AC,∴=,解得AC=3(米),∴AB=AC-BC=2米.故选C.3.如图所示,路灯距离地面8米,身高1.6米的小明站在距离灯的底部(点O)20米的A处,则小明的影子AM 的长为米.解析:根据题意,易得△MBA∽△MCO,根据相似三角形的性质可知=,即=,解得AM=5(米).则小明的影长为5米.故填5.4.如图所示,为了估算河的宽度,我们可以在河对岸选定一个目标作为点A,再在河的这一边选点B和C,使AB⊥BC,然后选点E,使EC⊥BC,用视线确定BC和AE的交点D.此时如果测得BD=110米,DC=55米,EC=52米,求两岸间的大致距离AB.解:∵AB⊥BC,EC⊥BC,∴∠ABC=∠BCE=90°,又∵∠ADB=∠CDE,∴△ABD∽△ECD,∴=,=,解得AB=104.答:两岸间的大致距离AB为104米.第1课时1.求旗杆的高度2.例题讲解例1例2一、教材作业【必做题】教材第43页习题27.2第8题.【选做题】教材第43页习题27.2第10题.。
