苏教版数学高一学案必修二练习2.1.6点到直线的距离

1.1.6 点到直线的距离（1）学习目标1． 掌握点到直线的距离公式，能运用它解决一些简单问题．2． 通过对点到直线的距离公式的推导，渗透化归思想，进一步了解用代数方程研究几何问题的方法。

学习过程一 学生活动问题 我们已经证明图中的四边形ABCD 为平行四边形，如何计算它的面积?二 建构知识已知 0C By Ax :=++l (B A,不同时为0)，)y , P(x 00，则P 到l 的距离为2200||B A C By Ax d +++=说明：（1）公式成立的前提需把直线l 方程写成一般式；（2）当点)y , P(x 00在直线l 上时，公式仍然成立．三 知识运用例题例1 求点P(-1,2)到下列直线的距离：（1）0102=-+y x （2）23=x （3）3=y （4）x y 2=例2 点P 在直线053=-+y x 上，且点P 到直线01=--y x 的距离等于2，求点的P 坐标．例3 若)8,7(A ，)4,10(B ，)4,2(-C ，求△ABC 的面积．x巩固练习1．求下列点P 到直线l 的距离：（1）)2,3(-P ，02543:=-+y x l ； （2）)1,2(-P ，053:=+x l ．2．直线l 经过原点，且点)0,5(M 到直线l 的距离等于3，求直线l 的方程．四 回顾小结点到直线的距离公式的推导及应用．五 学习评价双基训练1.点P 在直线350x y +-=上，且P 点到直线10x y --=2，则点P 的坐标为2.点P （2，-1）到直线2y=3的距离为3已知点)0)(2,(>a a P 到直线03:=+-y x l 的距离为1，则a 等于_____________．.4. 直线l 在y 轴上截距为10，且原点到直线l 的距离是8，则直线l 的方程为__________．5.已知三角形的三个顶点分别是A （2，3），B （-2，1），C （3，2），则三角形的面积为6. 直线l 经过原点，且点)0,5(M 到直线l 的距离等于3，则直线l 的方程为__________________．7.已知点A（0，-1），B（2，5），求以A，B为顶点的正方形ABCD的另另两个顶点C，D的坐标.拓展延伸8.若直线l到A（1，0），B（3，4）的距离均等于1，求直线l的方程.9.直线l经过点A（4，2），且被平行直线x-y+1=0与x-y-1=0所截线段的中点在直线x+y-3=0上，求直线l的方程.。

2.1.6第二节 点到直线的距离（２）【学习导航】知识网络学习要求1．巩固点到直线的距离公式及两平行直线间的距离公式； 2．掌握点、直线关于点成中心对称（或关于直线成轴对称）的点、直线的求解方法；3．能运用点到直线的距离公式及两平行直线间的距离公式灵活解决一些问题．【课堂互动】自学评价1.若000(,)Q x y 与(,)Q x y 关于点(,)P a b 对称,则02x x += a ,02y y+= b ． 2. 若000(,)Q x y 与(,)Q x y 关于直线 0=++C By Ax 对称,则000(,)Q x y 与(,)Q x y 的中点落在直线0=++C By Ax 上,且0Q 与Q 的连线与0=++C By Ax 垂直. 【精典范例】 例1：在直线30x y +=上找一点,使它到原点和直线320x y +-=的距离相等．分析：直线 30x y +=与直线320x y +-=平行，即可算出它们之间的距离，然后利用两点之间的距离公式算出该点的坐标．5=【解】直线30x y +=与320x y +-=之间的距设直线30x y +=上的点00(,)P x y 满足题意，则听课随笔002220030(5x y x y +=⎧⎪⎨+=⎪⎩， 解得003515x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩或003515x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，∴所求点的坐标为31(,)55-或31(,)55-．点评:本题主要利用两条平行直线之间的距离公式解决问题，是对上节课所学内容的一个复习与巩固．例2：求直线211160x y ++=关于点(0,1)P 对称的直线方程．分析：解题的关键是中心对称的两直线互相平行，并且两直线与对称中心的距离相等． 【解】设所求直线的方程为 2110x y C ++=，由点到直线的距离公式可得=，∴16C =（舍去）或38C =-，所以，所求直线的方程为211380x y +-=．点评:本题也可以利用点与点的对称，设直线211160x y ++=上任意一点000(,)A x y （000(,)A x y 在直线211160x y ++=上，所以00211160x y ++=）与(0,1)P 对称的点为(,)A x y 则002x x +=，012y y +=解得0x x =-，02y y =-，然后将0x ，0y 的值代入00211160x y ++=求出所求直线，比较而言，此法注重轨迹的推导过程，而前面的方法比较简便，为求直线关于点对称的直线方程的基本方法（直线关于点对称的问题）． 例3：已知直线1l ：01=-+y x ，2l ：032=+-y x ，求直线2l 关于直线1l 对称的直线l 的方程．分析：直线关于直线对称，可以在2l 上任意取两个点，再分别求出这两个点关于直线1l 的对称点，最后利用两点式求出所要求的方程．这里可以通过求出交点这个特殊点以简化计算．【解】由⎩⎨⎧=+-=-+03201y x y x ，解得：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=3532y x ，∴l 过点25(,)33P -，又显然)1,1(-Q 是直线2l 上一点，设Q 关于直线1l 的对称点为00'(,)Q x y ，则00001110221(1)11x y y x -+⎧+-=⎪⎪⎨-⎪⋅-=-+⎪⎩，解得：0002x y =⎧⎨=⎩，即'(0,2)Q ，因为直线l 经过点P 、'Q ，所以由两点式得它的方程为：042=+-y x ．点评: 本题为求直线关于第三条直线对称的直线方程的基本方法（两条直线关于第三条直线对称的问题）．注意：这里有一种特殊情况：直线0=++C By Ax 关于直线y x =对称的直线方程为：0Ay Bx C ++=．例4：建立适当的直角坐标系，证明：等腰三角形底边上任意一点到两腰的距离之和等于一腰上的高．分析：要证明的结论中涉及的都是点到直线的距离，故可考虑用点到直线的距离公式计算距离，因此必须建立直角坐标系.【证明】设ABC ∆是等腰三角形，以底边CA 所在直线为x 轴，过顶点B 且垂直与CA 的直线为y 轴，建立直角坐标系（如图）．设)0,(a A ，),0(b B (0>a ，0>b )，则)0,(a C -．直线AB 的方程：1=+bya x ，即：0=-+ab ay bx ．直线BC 的方程：1=+-bya x ，即：0=+-ab ay bx ．设底边AC 上任意一点为)0,(x P （a x a ≤≤-）， 则P 到AB 的距离2222)(||ba x ab b a ab bx PE +-=+-=，P 到BC 的距离2222PF a b a b==++，A 到BC 的距离22222||ba ab b a ab ba h +=++=．2222PE PF a b a b+=+++22h a b==+故原命题得证．点评:本题主要利用点到直线的距离公式进行简单的几何证明方面的运用，运用代数方法研究几何问题. 追踪训练一１． 点P 在x 轴上,若它到直线听课随笔4330x y --=的距离等于1，则P 的坐标是(2,0)或1(,0)2-．２．直线43-=x y 关于点)1,2(-P 对称的直线的方程为3100x y -+=．3. 光线沿直线l 1：032=-+y x 照射到直线l 2：40x y ++=上后反射，求反射线所在直线3l 的方程．【解】由23040x y x y +-=⎧⎨++=⎩，解得：711x y =⎧⎨=-⎩，∴3l 过点(7,11)P -，又显然(1,1)Q 是直线1l 上一点，设Q 关于直线2l 的对称点为00'(,)Q x y ，则00001140221(1)11x y y x ++⎧++=⎪⎪⎨-⎪⋅-=--⎪⎩，解得：0055x y =-⎧⎨=-⎩，即'(5,5)Q --，因为直线l 经过点P 、'Q ，所以由两点式得它的方程为2150x y ++=．４．求证：等腰三角形底边延长线上任一点到两腰（所在直线）的距离的差的绝对值等于一腰上的高． 分析：要证明的结论中涉及的都是点到直线的距离，故可考虑用点到直线的距离公式计算距离，因此必须建立直角坐标系．【证明】设ABC ∆是等腰三角形，以底边CA 所在直线为x 轴，过顶点B 且垂直于CA 的直线为y 轴，建立直角坐标系，如图， 设(,0)A a ，(0,)B b (0,0)a b >>， 则(,0)C a -，直线AB 方程为：1x ya b+=，即： 0bx ay ab +-=， 直线BC 方程为：1x ya b+=-， 即：0bx ay ab -+=，设(,0)P x (x a >或)x a <-是底边延长线上任意一点， 则P 到AB 距离为PD ==P 到BC 距离为PE ==，A 到BC 距离为h ==，当时，||||PD PE -==h ==，当时，||PD PE -==h ==，∴当x a >或x a <-时，||PD PE h -=，故原命题得证． 【选修延伸】一、数列与函数例５:分别过)3,0(),0,4(--B A 两点作两条平行线，求满足下列条件的两条直线方程：（1）两平行线间的距离为4；（2）这两条直线各自绕A 、B 旋转，使它们之间的距离取最大值． 分析：（１）两条平行直线分别过(4,0)A -，(0,3)B -两点,因此可以设出这两条直线的方程之间(注意斜率是否存在)，再利用两条平行直线之间的距离公式，列出方程，解出所要求的直线的斜率；（２）这两条平行直线与AB 垂直时，两直线之间距离最大． 别为0,4=-=x x ，满足【解】（1）当两直线的斜率不存在时，方程分题意．当两直线的斜率存在时，设方程分别为 )4(+=x k y 与3-=kx y ，意：41342=++k k ，解得即：04=+-k y kx 与03=--y kx ，由题247=k ， 所以，所求的直线方程分别为：028247=+-y x ， 072247=--y x ． 综上：所求的直线方程分别为：028247=+-y x ，072247=--y x 或0,4=-=x x ．（2）结合图形，当两直线与AB 垂直时，两直线之间距离最大，最大值为||5AB =，同上可求得两直线的方程．此时两直线的方程分别为01634=+-y x ，0934=--y x ．点评:（１）设直线方程时一定要先考虑直线的斜率是否存在，利用平行听课随笔直线之间的距离公式列出相应的方程，解出相应的未知数；（２）体现了数形结合的思想，通过图形，发现问题的本质． 思维点拔：对称问题在遇到对称问题时关键是分析出是属于什么对称情况，这里大致可以分为：点关与点对称，点关于直线对称，直线关于点对称，直线关于直线对称这四种情况，一旦确定为哪种情况后对应本节课的四种基本方法进行求解． 追踪训练二1．两平行直线1l ，2l 分别过(1,0)A ，(0,5)B （１）1l ，2l 之间的距离为５，求两直线方 程；（２）若1l ，2l 之间的距离为d ，求d 的取值范围．【解】（1）当两直线的斜率不存在时，方程分别为1x =，0x =，不满足题意． 当两直线的斜率存在时，设方程分别为 (1)y k x =-与5y kx =+，即：0kx y k --= 与50kx y -+=，5=，解得0k =或512k =， 所以，所求的直线方程分别为： 1l ：0y =，2l ：5y =或1l ：51250x y --=， 2l ：512600x y -+=．（２）d ∈．学生质疑教师释疑听课随笔。

教学设计说明：一、教材分析我主要从三方面：教材的地位和作用、教学目标分析、教学重点和难点来说明的．教学目标包括：知识、能力、德育等方面的内容．我确定教学目标的依据有教学大纲、考试大纲的要求、新教材的特点、所教学生的实际情况．二、教学方法和教学用具1、教学方法的选择〔1〕指导思想：“以生为本〞的理念，在课堂中充分表达“教师为主导，学生为主体〞．〔2〕教学方法：问题解决法、讨论法．2、教学用具的选用采用了计算机多媒体和实物投影仪教具，不仅将数学问题形象、直观显示，便于学生思考，而且迅速展示学生不同解题方案，局部纯计算的解题过程，提高课堂效率．三、教学过程这节课在：“创设情景提出问题——自主探索推导公式——变式训练学会应用——学生小结教师点评——课外练习稳固提高〞五个环节中，始终以学生为本．教师主导，学生自主探究，将问题解决．首先多媒体显示实例，引发学生的学习的兴趣和求知欲望，从而引出数学问题．通过一系列问题引导学生通过图形观察，进而思考、分析、归纳总结选择较好的方法具体实施．学生分组练习，落实计算能力，培养合作学习能力．关于思路五，在课本中没有出现这样的证法，我在课堂上选取这样的证法．主要是考虑到：向量是新教材内容，是一种很好的数学工具，和解析几何结合应用是现在新教材知识的交汇点．而且上述方法在今后解析几何与向量结合的题目中，用坐标联系转化是常用方法，这样思路五的给出不仅符合新教材的要求，也为今后的学习方法奠定了根底．我选择练习目的：熟悉公式结构，记忆并简单应用公式，主要通过学生口答完成．我强调注意在公式中直线方程的一般式．例题的选取来自课本，但是课本只有一种特殊点的解法．我把本例题进行挖掘，引导学生多角度考虑问题．在整个过程中让学生注意体会解题方法中的灵活性．本节课小结主要由学生总结和补充，教师点拨，尤其数学思想方法教师加以总结概括．在整节课的处理中，采取了知识、方法合现代教学要求．。

2.1．6 点到直线的距离（1）学习目标1. 掌握点到直线的距离公式，能运用它解决一些简单问题。

2. 通过公式的推导，渗透化归思想。

学习重点 点到直线的距离公式及运用学习难点 点到直线的距离公式的推导。

☞自主学习指导问题一：初中有关“点到直线的距离”是如何定义的？问题二:能否利用定义及两点距离公式求出点到直线的距离？若能，请你总结解答的具体步骤。

问题三：一般地，对于直线l ：220(0)Ax By C A B ++=+≠及直线外一点00(,)P x y ，如何求点P 到直线l 的距离？☞课前自主练习1：求点(1,2)P 到下列直线的距离（1）2100x y +-= （2）32x = （3）2y x =- （4）270y -=2：点A （a ，6）到直线3x-4y=2 的距离等于4，求a 的值。

3：求经过点A （3，-2），且与原点距离为3的直线l 的方程。

☞课堂检测训练1：点（4，m ）到直线4x －3y －1=0的距离为3，求m 。

2：已知直线l 过点(2,4)Q ,且点(1,2)P -到直线l 的距离等于3，求直线l 的方程。

3：求过点(1,2)P -的所有直线中，求与原点距离最远的直线方程。

4：求过点(1,2)P -，且与点(2,3)Q 和点(4,5)R -距离相等的直线方程。

5：求过点(1,2)P -，且与点(3,4)R 和点(3,1)Q --距离之比为2:1的直线方程。

☞课后作业1：直线l 在y 轴上的截距为10，且原点到直线l 的距离是8，求直线l 的方程。

3：正方形的中心在C （—1，0）。

一条边所在的直线方程是x +3y-5=0,求其他三边所在的直线方程。

2：在直线20x y +=上求一点P ，使它到原点的距离与到直线230x y +-=的距离相等。

点到直线的距离教学设计一、关于教材分析1、教材的地位和作用“点到直线的距离”是在学生学习直线方程的基础上，进一步研究两直线位置关系的一节内容，我们知道两条直线相交后，进一步的量化关系是角度，而两条直线平行后，进一步的量化关系是距离，而平行线间的距离是通过点到直线距离来解决的．此外在研究直线与圆的位置关系、曲线上的点到直线的距离以及解析几何中有关三角形面积的计算等问题时，都要涉及点到直线的距离．所以“点到直线的距离公式”是平面解析几何的一个重要知识点．由于这一节是直线内容的结尾部分，学生已经具备直线的有关知识（如交点、垂直、向量、三角形等），因此，一方面公式的推导成为可能，另一方面公式的推导也是检验学生是否真正掌握所学知识点的一个很好的课题．通过公式推导的获得，可以培养学生分析问题、解决问题的能力，以及自主探究和合作学习的能力．2、教学目标分析确定教学目标的依据有以下三条：（1）教学大纲、考试大纲的要求（2）新教材的特点（3）所教学生的实际情况教学目标包括：知识、能力、德育等方面的内容．“点到直线的距离公式”是平面解析几何重要的基础知识，也是教学大纲和考试大纲要求掌握的一个知识点．按照大纲“在传授知识的同时，渗透数学思想方法，培养学生数学能力”的教学要求，结合新教材向量的引入，又根据所带班级学生基础和素质教好的情况，本节课的教学目标确定为：（1）让学生理解点到直线距离公式的推导思想，掌握点到直线距离公式及其应用，会用点到直线距离求两平行线间的距离；（2）通过推导公式方法的发现，培养学生观察、思考、分析、归纳等数学能力；在推导过程中，渗透数形结合、转化（或化归）等数学思想以及特殊与一般的方法；（3）通过本节学习，引导学生用联系与转化的观点看问题，体验在探索问题的过程中获得的成功感．3、教学重点：点到直线距离公式的推导和应用．教学难点：发现点到直线距离公式的推导方法．二、关于教学方法和教学用具的说明1、教学方法的选择（1）指导思想：在“以生为本”理念的指导下，充分体现“教师为主导，学生为主体”．（2）教学方法：问题解决法、讨论法等．本节课的任务主要是公式推导思路的获得和公式的推导及应用．选择的是问题解决法、讨论法等．通过一系列问题，创造思维情境，通过师生互动，让学生体验、探究、发现知识的形成和应用过程，以及思考问题的方法，促进思维发展；学生自主学习，分工合作，使学生真正成为教学的主体．2、教学用具的选用在选用教学用具时，我考虑到在本节课的公式推导和例题求解中思路较多，所以采用了计算机多媒体和实物投影仪作为辅助教具．它可以将数学问题形象、直观显示，便于学生思考，实物投影仪展示学生不同解题方案，提高课堂效率．三、关于教学过程的设计“数学是思维的体操”，一题多解可以培养和提高学生思维的灵活性，及分析问题和解决问题的能力．课程标准指出，教学中应注意沟通各部分内容之间的联系，通过类比、联想、知识的迁移和应用等方式，使学生体会知识间的有机联系，感受数学的整体性．课标又指出，鼓励学生积极参与教学活动．为此，在具体教学过程中，把本节课分为以下：“创设情境提出问题——自主探索推导公式——变式训练学会应用——学生小结教师点评——课外练习巩固提高”五个环节来完成．下面对每个环节进行具体说明．（一）创设情境提出问题1、这一环节要解决的主要问题是：创设情境，引导学生分析实际问题，由实际问题转化为数学问题，揭示本课任务．同时激发学生学习兴趣，培养学生数学建模能力．2、具体教学安排：多媒体显示实例，电信局线路问题，实际怎样解决？能否转化为解析几何问题？学生很快想到建立坐标系．如何建立坐标系？建系不同，点和直线方程不同，用点的坐标和直线方程如何解决距离问题，由此引出本课课题“点到直线的距离”．（二）自主探索推导公式1、这一环节要解决的主要问题是：充分发挥学生的主体作用，引导学生发现点到直线距离公式的推导方法，并推导出公式．在公式的推导过程中，围绕两条线索：明线为知识的学习，暗线为特殊与一般的逻辑方法以及转化、数形结合等数学思想的渗透．2、具体教学安排：2．1 学生初探解决特例首先提出问题：怎样用解析几何方法求解点到直线距离？由于字母的运算有难度，引导学生从直线的特殊情况入手，这样问题比较容易解决．学生应该能想到，如果直线是坐标轴或平行坐标轴的时候问题比较容易解决，给予学生肯定的评价．学生自己完成推导过程，选两名学生进行板演．2．2 师生互动获取思路特殊情况已经解决，引导学生考虑一般直线的情况．通过学生思考，教师收集得到思路一：过作于点，根据点斜式写出直线方程，由与联立方程组解得点坐标，然后利用两点距离公式求得．我及时评价这种方法思路自然，是一种解决办法．为了拓展学生思维，我们根据已有的知识和经验，还有什么办法能解决？为此启发学生，提出问题：1求线段长度可以构造图形吗？2什么图形？如何构造？（学生经过讨论，得到构造三角形，把线段放在直角三角形中．）但是如何构造又是一个难点．3第三个顶点在什么位置？4特殊情况与一般情况有联系吗？学生通过观察、讨论会提出第三个顶点的不同位置：可能在直线与轴的交点M或与轴交点N；或根据特殊情况的证法提示，过P点作、轴的平行线与直线的交点R、S．或同时做、轴平行线．这样就收集到思路二、三、四．三种思路已经有了，它们的共性是什么？学生能观察出都在三角形中．继续引导：能不能不构造三角形？2．3 分工合作自主完成学生提出了不同的解决方案，究竟哪种好呢？如果让每位学生都去用不同解法探求，在课堂上时间显然是不允许的，但教学中又要培养学生的运算能力，如何解决这种矛盾呢？现代教育要求学生要有自主学习、合作学习能力，因此我叫学生对五种思路进行分组练习．在学生求解过程中，我巡视，观看学生解题，了解情况，根据课堂时间的实际情况，选取做好的学生的解题过程用实物投影仪显示．这样不仅能让全体学生看到不同思路的具体解法，还能得出最佳解题方案，接着我展示最佳解题方案的规范步骤．目的让学生有良好的规范的书面表达习惯，起到教师典范的作用．2．4 公式小结概括提升公式推导出，学生有了成功的喜悦．我也给予了肯定．但是由于公式的结果是一般情况得出的，而对于，点在直线上是否成立，它们与，点在直线外有什么关系？这并没有验证．而我们要求学生考虑问题要全面，为此我提出提问：①上式是由条件下得出，对成立吗？②点P在直线上成立吗？③公式结构特点是什么？用公式时直线方程是什么形式？通过学生的讨论，使学生了解公式适用的范围：任意点、任意直线．同时体现整体认识和分类讨论思想．依据新课程的理念，教师要创造性地使用教材．在公式的推导过程中，我做了和教材不同的处理方法：（1）先特殊后一般的证法，（2）多角度构造三角形，（3）知识联系，向量解决．目的是让学生在考虑问题时有特殊到一般的意识，符合学生认知规律，使问题的解决循序渐进．向量是新教材内容，是一种很好的数学工具，和解析几何结合应用是现在新教材知识的交汇点．而多角度考虑问题，发散学生思维（三）变式训练学会应用]1、这一环节解决的主要问题是：通过练习，熟悉公式结构，记忆并简单应用公式．通过例题的不同解法，进一步让学生体会转化（或化归）的数学思想．2、具体教学安排：由学生完成下列练习：（1）解决课堂提出的实际问题．（学生口答）（2）求点P0－1,2到下列直线的距离：①3=2 ②5=3③2＋=10 ④=－41设计说明：练习1的设计解决了上课开始提出的实际问题．练习2的设计故意选特殊直线和非直线方程一般式，主要强调在公式应用时，直线方程是一般式，应用公式的准确性．例题（3）求平行线2－7＋8=0和2－7－6=0的距离．我选取的是课本例题，课本只有一种具体点的解法．我通过本节课的学习，让学生对知识从深度和广度上进行挖掘．通过几何画板的演示，让学生直观看到思考问题的方法．除了选择直线上的点，还可以选取原点，求它到两条直线的距离，然后作和．或者选取直线外的点P，求它到两条直线的距离，然后作差．由特殊点到任意点，由特殊直线到任意直线，从而延伸出两平行线间的距离．目的是在整个过程中，让学生注意体会解题方法中的灵活性以及转化等数学思想方法．（四）学生小结教师点评1、这一环节解决的主要问题和达到的目的是：通过师生共同小结，巩固所学知识，提炼用到的解决问题的方法，其中蕴涵的数学思想方法，培养学生归纳概括能力．2、具体教学安排：本节课小结主要由学生完成知识总结，通过学习知识所体验到的数学思想方法，由学生总结和相互补充，教师适当点评，加以经验总结．（五）课外练习巩固提高①课本习题的第1题—7题；②总结写出点到直线距离公式的多种方法．设计说明：作业1是课本习题，检查学生所学知识掌握的程度．作业2是根据课堂分析，让学生总结公式推导的方法．除了课堂上想到的方法还可以继续思考，比如在用两点距离公式整体代换等方法，发挥学生学习的自主性和思维的广阔性．四、关于教学评价的设计新课程标准提出要加强过程性评价，因而在具体教学过程中，我对于学生的语言与行为的表现，及时给予肯定性的表扬和鼓励；学生思维暴露出问题时及时评价，矫正思维方向，调整教学思路；为了获得后反馈信息，布置作业，通过观察学生完成作业情况，了解学生在知识技能和数学方法方面的收获和不足，指导我今后教学．整个教学评价是在师生互动中完成的．。

2.1.6 点到直线的距离教学目标：1•理解点到直线的距离的推导方法；2•掌握点到直线的距离公式；3•运用点到直线的距离公式解决实际问题.教材分析及教材内容的定位：本节内容研究点到直线的距离公式的推导和应用，推导公式的过程渗透了化归的思想，培养学生勇于探索，勇于创新的精神.教学重点：点到直线的距离公式及其应用.教学难点：点到直线的距离公式的推导过程.教学方法：探索学习法.教学过程：一、问题情境前一节课我们判断了以A - 1, 3) , B(3 , - 2) , C(6 , - 1) , D(2 , 4)为顶点的四边形ABCD^平行四边形，它的面积是多少呢？二、学生活动1 •尝试求解：学生1 :求出边AB所在直线，并求出过点D(2 , 4)且垂直于边AB所在直线的直线方程，联立方程组求出垂足坐标，代入两点间距离公式得到结果；学生2:求出边AD所在直线，并求出过点B(3 , - 2)且垂直于AD边的直线方程，联立方程组求出垂足坐标，代入两点间距离公式得到结果;2•小组交流讨论一般性的解法 (想法同以上两学生的描述)，探求求点到直线的一般解 法；3•归纳：点P(x 0,y 0)到直线Ax By C 0的距离公式：d 三、建构数学1点到直线的距离公式： d l AX o By o_CJ A 2 B 2 证明方法：(i )定义法；(2 )面积法；(3 )其他方法，如函数法等2•平行线之间的距离公式四、数学运用1. 例题.例1求点P ( — 1, 2)到下列直线的距离：(1) 2x + y — 10= 0; (2) 3x = 2.变式练习：若点(a , 2)到直线3x — 4y — 2 = 0的距离等于4，求a 的值.例2 求两条平行线 x + 3y — 4= 0和2x + 6y — 9= 0的距离.例3建立适当的坐标系，证明：等腰三角形底边上任意一点到两腰距离之和等于一腰 上的高.2. 练习.(1 )点A(1, 1)到直线x y 1 0的距离为 ______________ .(2) ______________________________________________________________ 3x 2y 3 0和6x my 1 0互相平行，则它们的距离是 _____________________________________ .(3) 点P 在直线3x y 5 0上，且点P 到直线x y 1 0的距离是.2 ,则点P 的坐标是 ___________________ .(4) 直线11过点(3,0)，直线12过点(0,4)，且两条直线平行，用d 表示两条 Ax o By o CA 2B 211 : Ax By G 0, l 2 : Ax By C 2C 1 C 2 A 2 B 2平行线之间的距离，则d的取值范围是________________ .五、要点归纳与方法小结本节课学习了以下内容：1 •点到直线的距离公式；2.点到直线的距离公式的应用;3•数形结合思想的使用.。

课题：点到直线的距离
教学目标：
1．理解掌握点到直线的距离公式的推导；
2．掌握点到直线的距离公式以及各字母的含义，并能熟练运用该公式求点到直线的距离；
3．理解掌握两条平行直线间的距离公式的推导，会求两条平行直线间的距离。

教学重点：点到直线的距离公式的推导与运用。

教学难点：点到直线的距离公式的推导
教学过程：
一．问题情境
1．复习回顾
⑴平面上两点间的距离公式
⑵中点坐标公式
2．问题
如何求点到直线的距离呢？
二．学生活动
⑴阅读课本第92至94页，理解点到直线的距离公式的推导并运用
⑵探究两条平行直线间距离的求法
三．数学建构 ⑴点到直线的距离公式 点P 0x ，0y ，直线：A ＋B ＋C ＝0，设点P 到直线距离为d ，则d ＝ ．
推导过程略详见课本94页
⑵两条平行直线间的距离见例2小结
四．数学运用
1．例题讲解
例1．求点P －1，2到下列直线的距离：12＋－10＝0；23＝2．
例2．求平行线2－7＋8＝0和2－7－6＝0的距离．
小结：两条平行直线1：A ＋B ＋1C ＝0，2：A ＋B ＋2C ＝0，1与2距离d ＝ ． 变式：求与直线：5－12＋6＝0平行且到的距离为2的直线的方程．
五．回顾小结
六．作业。

2．1.6 点到直线的距离有三个新兴城镇，分别位于A 、B 、C 三点处，且AB ＝AC ＝a ，BC ＝2a ，今计划合建一个中心医院，为同时方便三个城镇，准备建在BC 的垂直平分线上的点P 处，若希望点P 到三个城镇距离平方和为最小，点P 应位于何处？1．点P (x 0，y 0)到直线Ax ＋By ＋C ＝0的距离为特别地：①点P (x 0，y 0)到x 轴的距离为d ＝|y 0|；②点P (x 0，y 0)到y 轴的距离为d ＝|x 0|；③点P (x 0，y 0)到直线y ＝a 的距离为d ＝|y 0－a |；④点P (x 0，y 0)到直线x ＝b 的距离为d ＝|x 0－b |．2．我们定义“夹在两条平行线间的公垂线段的长度称为两条平行线间的距离”．若两条平行线分别为l 1：Ax ＋By ＋C 1＝0，l 2：Ax ＋By ＋C 2＝0，特别地，若两直线中x ，y 的系数成比例时要先把它们化为系数一致才能用公式，如l 1：x ＋y ＋1＝0，l 2：3x ＋3y ＋9＝0，须把l 2：3x ＋3y ＋9＝0化为l 2：x ＋y ＋3＝0，然后再用公式求距离．,一、点到直线的距离公式点P (x 0，y 0)到直线Ax ＋By ＋C ＝0的距离为d ＝|Ax 0＋By 0＋C |A 2＋B 2. 点到直线的距离公式是解析几何中的又一基本公式，它解决了平面直角坐标系内任意一点到一已知直线的距离问题，此方法也可以用来判断点与直线的位置关系——点在直线外或点在直线上，在学习中应当特别注意以下两点：(1)若给出的直线方程不是一般式，则应先把方程化为一般式，然后再利用公式求距离；(2)灵活应用点P (x 0，y 0)到几种特殊直线的距离公式，即：①点P (x 0，y 0)到x 轴的距离d ＝|y 0|；②点P (x 0，y 0)到y 轴的距离 d ＝|x 0|；③点P (x 0，y 0)到直线y ＝a 的距离d ＝|y 0－a |；④点P (x 0，y 0)到直线x ＝b 的距离d ＝|x 0－b |.同学们要谨记“若点P (x 0，y 0)在直线上，点P (x 0，y 0)到直线的距离为零，距离公式仍然适用”．二、平行线间的距离若两条平行线分别为l 1：Ax ＋By ＋C 1＝0，l 2：Ax ＋By ＋C 2＝0，则它们之间的距离为d ＝|C 2－C 1|A 2＋B 2. 两条平行线间的距离公式的结构特征是：两平行线方程皆为一般式时，分子是两式中常数项的差的绝对值；分母为两系数平方和的算术平方根，这一结构特征更有助于同学理解和记忆公式．但是同学们在使用公式时谨记：①若两直线的方程不是一般式，要先把直线方程化为一般式，然后再利用公式求距离；②若两直线中x ，y 的系数成比例时要先把它们化为系数一致才能用公式，如l 1：x ＋y ＋1＝0，l 2：3x ＋3y ＋9＝0，须把l 2：3x ＋3y ＋9＝0化为l 2：x ＋y ＋3＝0，然后再用公式求距离．基础巩固知识点一 点到直线的距离公式的正用1．点(1，－1)到直线x －y ＋1＝0的距离是________．解析：由点到直线的距离公式得：d ＝|1＋1＋1|12＋（－1）2＝322. 答案：3222．求点P (－1，2)到下列直线的距离：(1)2x ＋y －10＝0；(2)3x ＝2.解析：(1)根据点到直线的距离公式得d ＝|2×（－1）＋2－10|22＋12＝105＝2 5. (2)因为直线3x ＝2平行于y 轴，所以d ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪23－（－1）＝53.知识点二 点到直线的距离公式的逆用3．已知点A (a ，2)(a ＞0)到直线l ：x －y ＋3＝0的距离小于1，则a 的取值范围是________．解析：由点到直线的距离公式得|a －2＋3|12＋（－1）2＜1，解方程得－2－1＜a ＜2－1.又a ＞0，故0＜a ＜2－1.答案：(0，2－1)4．经过两条直线x ＋3y －10＝0和3x －y ＝0的交点，且和原点相距为1的直线的条数为________．解析：由两条直线方程得交点坐标为P (1，3)，因PO ＝10＞1，故和原点相距为1的直线有2条．答案：25．已知△ABC 中A (3，2)、B (－1，5)，点C 在直线3x －y ＋3＝0上，若△ABC 的面积为10，则点C 的坐标为________．解析：由AB ＝5，△ABC 的面积为10得点C 到直线AB 的距离为4.设点C 坐标为(t ，3t ＋3)，再由距离公式可求得． 答案：(－1，0)或⎝ ⎛⎭⎪⎫53，8知识点三 两条平行直线间的距离公式6．已知两直线3x ＋2y －3＝0与6x ＋my ＋1＝0互相平行，则它们之间的距离等于________．解析：由两直线平行得m ＝4，方程6x ＋4y ＋1＝0可化为3x ＋2y ＋12＝0.故两直线向m距离d ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪12＋332＋22＝71326. 答案：713267．到直线3x －4y ＋1＝0的距离为3且与此直线平行的直线方程是________． 解析：设所求直线方程为3x －4y ＋c ＝0，则|c －1|32＋（－4）2＝3，化简得|c －1|＝15，解得c ＝16或－14.即所求直线方程为3x －4y ＋16＝0或3x －4y －14＝0.答案：3x －4y ＋16＝0或3x －4y －14＝0能力升级综合点一 用点到直线的距离公式解决有关问题8．直线x ＋y ＋2＝0上的点到原点的距离的最小值为________． 解析：直线x ＋y ＋2＝0上点到原点的距离的最小值即原点到直线的垂线段的长度．故d min ＝22＝ 2. 答案：29．△PQR 的顶点P (2，－4)、Q (－1，2)、R (3，4)，则△PQR 的面积是________． 解析：由已知得PQ ＝（－1－2）2＋（2＋4）2＝35，kPQ ＝2＋4－1－2＝－2， ∴lPQ ：y ＋4＝－2(x －2)，即2x ＋y ＝0. ∴R 到lPQ 的距离为d ＝|2×3＋4|22＋12＝105. 故S △PQR ＝12PQ ·d ＝12×35×105＝15. 答案：1510．正方形中心为M (－1，0)，一条边所在的直线方程为x ＋3y －5＝0，求其他三边所在直线的方程．解析：由已知设所求正方形相邻两边方程为3x －y ＋p ＝0和x ＋3y ＋q ＝0，该正方形的中心为(－1，0)，∵中心(－1，0)到四边距离相等， ∴|－3＋p |10＝|－1＋q |10＝610. 解得p 1＝－3，p 2＝9和q 1＝－5，q 2＝7.∴所求方程为3x －y －3＝0，3x －y ＋9＝0，x ＋3y ＋7＝0.综合点二 用平行直线间的距离公式解决有关问题11．若直线3x ＋4y ＋12＝0和6x ＋8y －11＝0间的距离为一圆的直径，则此圆的面积为________．解析：将直线3x ＋4y ＋12＝0化为6x ＋8y ＋24＝0，用两平行直线间的距离公式得圆的直径为|24＋11|62＋82＝72，半径为74，故圆的面积为4916π. 答案：4916π12．与两平行直线3x －4y －13＝0和3x －4y ＋7＝0距离相等的直线方程为________． 解析：设所求的直线方程为3x －4y ＋m ＝0，由两平行直线间的距离公式得关于m 的等式．答案：3x －4y －3＝0综合点三 点到线、平行线间的距离公式的综合运用13．两条平行线l 1，l 2分别过点(1，0)与(0，5)，设l 1，l 2之间的距离为d ，则d 的取值范围是________．解析：设A (1，0)、B (0，5)，则|AB |＝12＋52＝26.显然当l 1与l 2均和AB 垂直时d 最大，且d max ＝|AB |＝26.∵l 1∥l 2，∴d ＞0.∴0＜d ≤26.答案：(0，26]14．已知△ABC 中，A (1，1)、B (m ，m )、C (4，2)(1＜m ＜4)，求m 为何值时，△ABC 的面积S 最大．解析：∵A (1，1)，C (4，2)，∴AC ＝（4－1）2＋（2－1）2＝10.又直线AC 的方程为x －3y ＋2＝0，根据点到直线的距离公式，可得点B (m ，m )到直线AC 的距离d ＝|m －3m ＋2|10，∴S ＝12|AC |·d ＝12|m －3m ＋2|＝12⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎝ ⎛⎭⎪⎫m －322－14.∵1＜m ＜4，∴1＜m ＜2⇒－12＜m －32＜12.∴0≤⎝ ⎛⎭⎪⎫m －322＜14.∴S ＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤14－⎝ ⎛⎭⎪⎫m －322. ∴当m －32＝0，即m ＝94时，S 最大．故当m ＝94时，△ABC 的面积S 最大．。

点到直线的距离（第1课时）教学设计方案教学过程设计让学生展示、讲解，一起克服困难，得出一般性结论2. 课堂重点展示等积法，但同时鼓励学生不因计算繁琐而放弃，多方位、多视角思考问题，寻找问题的突破口关注课堂突发情况，引导学生形成完整的数学模型3. 鼓励学生锲而不舍坚持不懈的钻研精神，对经过运算推理得出正确结论的同学给予热烈的祝贺【板书】重点方法的关键步骤，得到结论择合适的方案执行，同时明白方法选择的重要性； 3. 在探究过程中锻炼逻辑推理能力，增强战胜困难的信心；4. 经过自主探究和合作交流，得出一般性结论，互相分享思维成果，体会成功的喜悦 【学生活动】学生展示、交流、评价、验证 论，形成完整的数学模型，感受数学的严谨性和数学结论的确定性，形成科学的态度在推证的过程中，通过克服困难的经历，以及获得成功的体验，锻炼意志，增强信心上述过程得到一个漂亮的式子，但略有遗憾： 遗憾1：若点P 在直线上，这个公式成立吗？ 遗憾2：若=0AB 即0,0A B =≠或0,0B A =≠时公式成立吗？ 【教学安排】【教学安排】先由学生自主验证具体情况，再由PPT 展示一般推证过程，揭示公式的适用范围 综上 ：我们得到了一个完美的公式： 点()00,y x P 到直线:0l Ax By C ++=的距离0022Ax By C d A B++=+ 注意：运用公式时直线一定要化成一般式 分析式子的结构特征，帮助学生记忆自主验证温故知新用公式得出的结果与答案是否相同，然后观看推证过程，明确公式的适用范围但同时打破思维定势，知道特殊情况下可不使用公式求解，深化对公式的理解和灵活运用先验证具体情况，再进行一般推证，培养解题的严谨性和规范性，形成完整的知识体系，获得思考问题的方法和解题的思想回归到最初的问题，用公式法解决熟悉公式，感受公式法的优越性ll教学特色：1 坚持“核心素养为本”的教学设计理念，根据课程标准分析教学内容，准确把握教学内容的本质，精心设计教学过程，让学生学习数学知识，培养数学能力，体会数学思想，积累数学经验；2 探究设置二个梯度，难度循环上升，符合学生的身心特点和认识规律，让学生经历数学探究活动的过程，提升建模、运算、推理、优化等数学素养；3 通过层层设疑串起课堂，问题的设计具有一定的开放性，难度具有一定的层次性，设置具有一定的启发性，使教学组织有章可循，内容推进自然、完整，一气呵成。

1．(2012·嘉兴高一检测)点(1，－1)到直线x －y ＋1＝0的距离是__________．解析：由题意可知d ＝|1＋1＋1|2＝322. 答案：3222．直角坐标系中第一象限内的一点P (x ，y )到x 轴、y 轴及直线x ＋y －2＝0的距离都相等，则x 等于________．解析：由题意知，|x |＝|y |且|x ＋y －2|2＝|x |. 又x ＞0，y ＞0，所以2x －2＝±2x ，x ＝2±2.答案：2±23．(2012·南通模拟)已知点P (m ，n )在直线2x ＋y ＋1＝0上运动，则m 2＋n 2的最小值为________．解析：要求m 2＋n 2的最小值，只需求m 2＋n 2的最小值，即直线2x ＋y ＋1＝0上的点P (m ，n )与原点的最小值，也就是原点到直线的距离，由d ＝122＋12＝55.知m 2＋n 2的最小值为15. 答案：154．与直线2x ＋y ＋1＝0的距离为55的直线方程是________． 解析：设所求直线方程为2x ＋y ＋c ＝0， 则|c －1|22＋12＝55， ∴|c －1|＝1.∴c ＝0或c ＝2.则所求直线方程为2x ＋y ＝0或2x ＋y ＋2＝0.答案：2x ＋y ＝0或2x ＋y ＋2＝05．(2011·济宁高一检测)一直线过点P (2,0)，且点Q (－2，433)到该直线的距离等于4，则该直线的倾斜角为________．解析：当过P 点的直线垂直于x 轴时，Q 点到直线的距离等于4，此时直线的倾斜角为90°，当过P 点的直线不垂直于x 轴时，直线斜率存在，设过P 点的直线为y ＝k (x －2)，即kx －y －2k ＝0.由d ＝|－2k －433－2k |k 2＋1＝4，解得k ＝33. ∴直线的倾斜角为30°.答案：90°或30°6．已知两条直线l 1：ax －by ＋4＝0和l 2：(a －1)x ＋y ＋b ＝0，若l 1∥l 2，且坐标原点到这两条直线的距离相等，求a 、b 的值．解：∵l 2的斜率存在，l 1∥l 2，∴直线l 1的斜率存在，∴k 1＝k 2，即a b ＝1－a .①又∵坐标原点到这两条直线的距离相等，且l 1∥l 2，∴l 1、l 2在y 轴上的截距互为相反数，即4b ＝b ，②则联立①②解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝2，b ＝－2，或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝23，b ＝2. 7．已知直线l 1：3x －2y －1＝0和l 2：3x －2y －13＝0，直线l 与l 1，l 2的距离分别是d 1，d 2，若d 1∶d 2＝2∶1，求直线l 的方程．解：由直线l 1，l 2的方程知l 1∥l 2，又由题意知，直线l 与l 1，l 2均平行 (否则d 1＝0或d 2＝0，不符合题意)．设直线l ：3x －2y ＋m ＝0(m ≠－1且m ≠－13)，由两平行线间的距离公式，得d 1＝|m ＋1|13，d 2＝|m ＋13|13，又d 1∶d 2＝2∶1，所以|m ＋1|＝2|m ＋13|， 解得m ＝－25或m ＝－9.故所求直线l 的方程为3x －2y －25＝0或3x －2y －9＝0.8．(2012·滨州高一检测)求过点M (－2,1)，且与A (－1,2)，B (3,0)距离相等的直线方程．解：法一：由题意可得k AB ＝－12，线段AB 的中点为C (1，1)，满足条件的直线经过线段AB 的中点或与直线AB 平行．当直线过线段AB 的中点时，由于M 与C 点的纵坐标相同，所以直线MC 的方程为y ＝1；当直线与AB 平行时，其斜率为－12，由点斜式可得所求直线方程为y －1＝－12(x ＋2)，即x ＋2y ＝0.综上，所求直线的方程为y ＝1或x ＋2y ＝0.法二：显然所求直线的斜率存在，设直线方程为y ＝kx ＋b ，根据条件有： ⎩⎪⎨⎪⎧ 1＝－2k ＋b ，|－k －2＋b |k 2＋1＝|3k ＋b |k 2＋1，化简得：⎩⎪⎨⎪⎧ b －2k ＝1，k ＝1－b ，或⎩⎪⎨⎪⎧b －2k ＝1，k ＝－12， 所以⎩⎪⎨⎪⎧ k ＝0，b ＝1，或⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－12，b ＝0. 故所求直线方程为y ＝1或x ＋2y ＝0.。

2.1.6 点到直线的距离
教学目标：
1．理解点到直线的距离的推导方法；
2．掌握点到直线的距离公式；
3．运用点到直线的距离公式解决实际问题．
教材分析及教材内容的定位：
本节内容研究点到直线的距离公式的推导和应用，推导公式的过程渗透了化归的思想，培养学生勇于探索，勇于创新的精神．
教学重点：
点到直线的距离公式及其应用．
教学难点：
点到直线的距离公式的推导过程．
教学方法：
探索学习法．
教学过程：
一、问题情境
前一节课我们判断了以A(－1，3)，B(3，－2)，C(6，－1)，D(2，4)为顶点的四边形ABCD是平行四边形，它的面积是多少呢？
二、学生活动
1．尝试求解:
学生1：求出边AB所在直线，并求出过点D(2，4)且垂直于边AB所在直线
的直线方程，联立方程组求出垂足坐标，代入两点间距离公式得到结果；
学生2: 求出边AD所在直线，并求出过点B(3，－2)且垂直于AD边的直线
方程，联立方程组求出垂足坐标，代入两点间距离公式得到结果；
（2）3230x y +-=和610x my ++=互相平行，则它们的距离是________．
（3）点P 在直线350x y +-=上，且点P 到直线10x y --= 则点P 的坐标是_________________．
（4）直线1l 过点(3,0)，直线2l 过点(0,4)，且两条直线平行，用d 表示两条 平行线之间的距离，则d 的取值范围是_____________．
五、要点归纳与方法小结
本节课学习了以下内容：
1．点到直线的距离公式；
2．点到直线的距离公式的应用；3．数形结合思想的使用．。

2.1.6 点到直线的距离A 组 基础巩固1．原点到直线x ＋2y －5＝0的距离为( ) A ．1 B. 3 C ．2 D. 5 解析：由点到直线的距离公式，得d ＝|－5|12＋22＝ 5.答案：D2．已知两点A (3，2)和B (－1，4)到直线mx ＋y ＋3＝0的距离相等，则m 的值为( ) A ．0或－12B.12或－6 C ．－12或12D ．0或12解析：由题意知直线mx ＋y ＋3＝0与AB 平行或过AB 的中点，则有－m ＝4－2－1－3或m ·3－12＋2＋42＋3＝0，所以m ＝12或m ＝－6.答案：B3．点P 在x 轴上，且到直线3x －4y ＋6＝0的距离为6，则点P 的坐标为( ) A ．(8，0)B ．(－12，0)C ．(8，0)或(－12，0)D ．(－8，0)或(12，0)解析：设点P 的坐标为(x ，0)，则根据点到直线的距离公式可得|3x －4×0＋6|32＋（－4）2＝6， 解得x ＝8或x ＝－12.所以点P 的坐标为(8，0)或(－12，0)． 答案：C4．经过两直线x ＋3y －10＝0和3x －y ＝0的交点，且和原点相距为1的直线的条数为( )A ．0B ．1C ．2D ．3解析：设所求直线l 的方程为x ＋3y －10＋λ(3x －y )＝0， 即(1＋3λ)x ＋(3－λ)y －10＝0， 因为原点到直线的距离d ＝|－10|（1＋3λ）2＋（3－λ）2＝1，所以λ＝±3，即直线方程为x ＝1或4x －3y ＋5＝0. 所以和原点相距为1的直线的条数为2. 答案：C5．两直线x ＋y －2＝0和2x ＋2y －3＝0的距离等于( ) A.22 B.24 C.12D. 2 解析：把2x ＋2y －3＝0化为x ＋y －32＝0，由两直线间的距离公式，得d ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪－2－⎝ ⎛⎭⎪⎫－3212＋12＝24. 答案：B6．已知两直线3x ＋2y －3＝0与6x ＋my ＋1＝0互相平行，则它们之间的距离等于( ) A ．4 B.21313 C.51326D.71326解析：因为3x ＋2y －3＝0与6x ＋my ＋1＝0互相平行， 所以－6m ＝－32.所以m ＝4.所以6x ＋my ＋1＝0为6x ＋4y ＋1＝0， 即3x ＋2y ＋12＝0.所以两平行线间的距离d ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪－3－1232＋22＝7213＝71326.答案：D7．与直线2x ＋y ＋1＝0的距离等于55的直线方程为( ) A ．2x ＋y ＝0 B ．2x ＋y －2＝0C ．2x ＋y ＝0或2x ＋y －2＝0D ．2x ＋y ＝0或2x ＋y ＋2＝0解析：设与直线平行的直线方程为2x ＋y ＋C ＝0，由两平行线间的距离公式得|C －1|5＝55， 所以|C －1|＝1.所以C ＝0或C ＝2. 答案：D8．已知点A (a ，2)(a ＞0)到直线l ：x －y ＋3＝0的距离小于1，则a 的取值范围是________．解析：由点到直线的距离公式得|a －2＋3|12＋（－1）2＜1，解方程得－2－1＜a ＜2－1.又a ＞0，故0＜a ＜2－1. 答案：(0，2－1)9．已知在△ABC 中，A (3，2)，B (－1，5)，点C 在直线3x －y ＋3＝0上，若△ABC 的面积为10，则点C 的坐标为________．解析：由AB ＝5，△ABC 的面积为10得点C 到直线AB 的距离为4.设点C 的坐标为(t ，3t ＋3)，再由距离公式可求得．答案：(－1，0)或⎝ ⎛⎭⎪⎫53，8B 级 能力提升10．点P (x ，y )在直线x ＋y －4＝0上，O 是原点，则|OP |的最小值是( ) A.10 B ．2 2 C. 6D ．2解析：|OP |的最小值即为O 到直线x ＋y －4＝0的距离，所以d ＝|－4|2＝2 2.答案：B11．两平行线分别经过点A (3，0)，B (0，4)，它们之间的距离d 满足的条件是( ) A ．0<d ≤3 B ．0<d ≤5 C ．0<d <4D ．3≤d ≤5解析：当两平行线与AB 垂直时，两平行线间的距离最大为|AB |＝5，所以0<d ≤5. 答案：B12．△PQR 的顶点P (2，－4)，Q (－1，2)，R (3，4)，则△PQR 的面积是________． 解析：由已知得PQ ＝（－1－2）2＋（2＋4）2＝35，k PQ ＝2＋4－1－2＝－2， 所以l PQ ：y ＋4＝－2(x －2)，即2x ＋y ＝0. 所以R 到l PQ 的距离为d ＝|2×3＋4|22＋12＝105.故S △PQR ＝12PQ ·d ＝12×35×105＝15.答案：1513．若直线3x ＋4y ＋12＝0和6x ＋8y －11＝0间的距离为一圆的直径，则此圆的面积为________．解析：将直线3x ＋4y ＋12＝0化为6x ＋8y ＋24＝0，用两平行直线间的距离公式得圆的直径为|24＋11|62＋82＝72，半径为74，故圆的面积为4916π. 答案：4916π14．两条平行线l 1，l 2分别过点(1，0)与(0，5)，设l 1，l 2之间的距离为d ，则d 的取值范围是________．解析：设A (1，0)，B (0，5)，则|AB |＝12＋52＝26.显然当l 1与l 2均和AB 垂直时d 最大，且d max ＝|AB |＝26.因为l 1∥l 2，所以d ＞0. 所以0＜d ≤26. 答案：(0，26 ]15．正方形中心为M (－1，0)，一条边所在的直线方程为x ＋3y －5＝0，求其他三边所在直线的方程．解：由已知设所求正方形相邻两边方程为3x －y ＋p ＝0和x ＋3y ＋q ＝0，该正方形的中心为(－1，0)，因为中心(－1，0)到四边距离相等， 所以|－3＋p |10＝|－1＋q |10＝610.解得p 1＝－3，p 2＝9和q 1＝－5，q 2＝7.所以所求方程为3x －y －3＝0，3x －y ＋9＝0，x ＋3y ＋7＝0.16．已知△ABC 中，A (1，1)，B (m ，m )，C (4，2)(1＜m ＜4)，求m 为何值时，△ABC 的面积S 最大．解：因为A (1，1)，C (4，2)，所以AC ＝（4－1）2＋（2－1）2＝10. 又直线AC 的方程为x －3y ＋2＝0，根据点到直线的距离公式，可得点B (m ，m )到直线AC 的距离d ＝|m －3m ＋2|10，所以S ＝12|AC |·d ＝12|m －3m ＋2|＝12⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎝ ⎛⎭⎪⎫m －322－14.因为1＜m ＜4，所以1＜m ＜2⇒－12＜m －32＜12.所以0≤⎝ ⎛⎭⎪⎫m －322＜14. 所以S ＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤14－⎝ ⎛⎭⎪⎫m －322. 所以当m －32＝0，即m ＝94时，S 最大．故当m ＝94时，△ABC 的面积S 最大．。

1.1.6 点到直线的距离（2）学习目标1.熟练应用点到直线距离公式；2.掌握两平行直线距离公式的推导及应用；学习过程一 学生活动探求 求直线0543=-+y x 与直线0643=++y x 之间的距离．二 建构知识一般地，已知两条平行直线0:11=++C By Ax l ，0:21=++C By Ax l (21C C ≠)之间的距离为2221||B A C C +-．说明：公式成立的前提需把直线l 方程写成一般式且x,y 系数对应相等．三 知识运用例题例1 用两种方法求两条平行直线0432=-+y x 与0932=-+y x 之间的距离．例2 求与直线0543=--y x 平行且与其距离为2的直线方程．例3 建立适当的直角坐标系，证明：等腰三角形底边上任意一点到两腰的距离之和等于一腰上的高．例４ 已知两直线0743:1=--y x l ，043:2=+-m y x l 被直线l 截得的线段长为2，l 过点)1,2(-，且这样的直线有两条，求m 的范围．巩固练习1．求下列两条平行直线之间的距离：（1）02125=--y x 与015125=+-y x （2）0546=+-y x 与x y 23=2．直线l 到两条平行直线022=+-y x 与042=+-y x 的距离相等，求直线l 的方程．四 回顾小结两条平行直线的距离公式的推导及应用．五 学习评价基础训练1．直线0743=-+y x 与直线0386=++y x 之间的距离是 ．2．直线2-=y 与023=+y 距离为 ．3.若直线m 与直线l ：3x-4y-20=0平行且距离为3，则直线m 的方程为4.若直线m 经过点（3，0），直线n 经过点（0，4），且m ∥n ，m 和n 间的距离为d ，则d 的取值范围为 ___ ．5. 与两平行直线0543:1=--y x l 和0743:2=+-y x l 的距离之比为2:1的直线方程为 ．6.到两条平行直线2x-y+2=0和4x-2y+8=0的距离相等的直线的方程为7.已知点A （0，-1），B （2，5），求以A ，B 为顶点的正方形ABCD 的另另两个顶点C ，D 的坐标.拓展延伸8．两条平行直线1l ，2l 分别过点)0,1(1P 与)5,0(2P ．（1）若1l 与2l 的距离为5，求两条直线的方程；（2）设直线1l 与2l 的距离为d ，求d 的取值范围．9．正方形的中心在)0,1(-C ，一条边所在直线的方程是053=-+y x ，求其它三边所在的直线方程．。

1.已知点P (3，m )，则P 到y 轴的距离为________．P 到x 轴的距离为________． 答案：3 |m |2.动点P 在直线x ＋y －4＝0上，O 为原点，则OP 的最小值为________．解析：OP 的最小值即为点O 到直线x ＋y －4＝0的距离d ＝|－4|1＋1＝2 2. 答案：2 23.两平行线3x ＋4y －1＝0与3x ＋4y ＋4＝0的距离为________．解析：在其中一条直线如3x ＋4y －1＝0上任取一点(0，14)，它到3x ＋4y ＋4＝0的距离为|3×0＋4×14＋4|32＋42＝1. 答案：14.如果已知两点O (0，0)，A (4，－1)到直线mx ＋m 2y ＋6＝0的距离相等，那么m 可取不同实数值的个数有________个．解析：解方程6m 2＋m 4＝|4m －m 2＋6|m 2＋m 4(m ≠0)， 得m ＝6或m ＝－2或m ＝4.答案：35.到两条平行直线2x ＋y ＋1＝0和2x ＋y ＋5＝0的距离相等的点的轨迹方程是________．解析：设P (x 0，y 0)是所求轨迹上的任意一点，则由题意得|2x 0＋y 0＋1|22＋12＝|2x 0＋y 0＋5|22＋12，∴|2x 0＋y 0＋1|＝|2x 0＋y 0＋5|，∴2x 0＋y 0＋1＝－2x 0－y 0－5，即2x 0＋y 0＋3＝0，又∵P (x 0，y 0)是任意的，故所求点的轨迹方程为2x ＋y ＋3＝0.答案：2x ＋y ＋3＝0[A 级 基础达标]1.已知点A (a ，2)(a ＞0)到直线l ：x －y ＋3＝0的距离为1，则a ＝________．解析：由|a －2＋3|1＋1＝1，可求得a ＝－1±2. 再由a ＞0得a ＝2－1.答案：2－12.若点(4，a )到直线4x －3y ＝1的距离不大于3，则a 的取值范围是________．解析：|4×4－3a －1|5≤3，解得0≤a ≤10. 答案：0≤a ≤103.直线l 1经过点(3，0)，直线l 2经过点(0，4)，且l 1∥l 2，d 表示l 1和l 2间的距离，则d 的取值范围是________．解析：当l 1，l 2与过(3，0)、(0，4)两点的直线垂直时，d max ＝5.答案：(0，5]4.在直线x ＋3y ＝0上求一点，使它到原点的距离和到直线x ＋3y ＋2＝0的距离相等，则此点坐标是________．解析：由于点在直线x ＋3y ＝0上，设点的坐标为(－3a ，a )，又因为直线x ＋3y ＝0与直线x＋3y ＋2＝0平行，则两平行线间的距离为|2－0|12＋32＝105，根据题意有（－3a ）2＋a 2＝105，解得a ＝±15. 答案：(－35，15)或(35，－15) 5.在坐标平面内，与点A (1，2)距离为1，且与点B (3，1)距离为2的直线共有________条．解析：法一：由图可知：符合条件的直线为y ＝3，连结AB 交y ＝3于M ，则y ＝3关于直线AB 对称的直线MN 也满足题中条件，故共有2条．法二：由题意知所求直线必不与y 轴平行，可设直线y ＝kx ＋b ，即kx －y ＋b ＝0.d 1＝|k －2＋b |k 2＋1＝1，d 2＝|3k －1＋b |k 2＋1＝2. 解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝0，b ＝3，或⎩⎨⎧k ＝－43，b ＝53. ∴符合题意的有两条直线．答案：26.若(x ，y )是直线x ＋y ＋1＝0上的点，求x 2＋y 2－2x －2y ＋2的最小值．解：∵x 2＋y 2－2x －2y ＋2＝(x －1)2＋(y －1)2，设M (1，1)，则所求式的几何意义是点M (1，1)与直线x ＋y ＋1＝0上的点的距离的平方．可见其最小值为点M (1，1)到直线x ＋y ＋1＝0的距离的平方．d ＝|1＋1＋1|2＝32 2. ∴x 2＋y 2－2x ＋2y ＋2的最小值为92. 7.△ABC 的三个顶点是A (－1，4)，B (－2，－1)，C (2，3)．(1)求BC 边的高所在直线方程；(2)求△ABC 的面积S .解：(1)设BC 边的高所在直线为l ，由题知k BC ＝3－（－1）2－（－2）＝1， 则k ＝－1k BC＝－1， 又点A (－1，4)在直线l 上，所以直线l 的方程为y －4＝－(x ＋1)，即x ＋y －3＝0.(2)BC 所在直线方程为：y ＋1＝1×(x ＋2)，即x －y ＋1＝0，点A (－1，4)到BC 的距离d ＝|－1－4＋1|12＋（－1）2＝2 2. 又BC ＝（－2－2）2＋（－1－3）2＝42，则S △ABC ＝12·BC ·d ＝12×42×22＝8. [B 级 能力提升]8.点M 在直线x －2y －1＝0上，且点M 到直线x ＋y －2＝0的距离为2，则点M 坐标为________．解析：设M (2y ＋1，y )，则|（2y ＋1）＋y －2|2＝2， ∴y ＝－13或1， ∴M (3，1)或M (13，－13)． 答案：(3，1)或(13，－13) 9.m 变化时，两平行线3x －4y ＋m －1＝0和3x －4y ＋m 2＝0之间的距离最小值等于________．解析：d ＝|m 2－m ＋1|5＝（m －12）2＋345≥320. 答案：32010.已知正方形的中心为点M (－1，0)，一条边所在直线的方程是x ＋3y －5＝0，求正方形其他三边所在直线的方程．解：设与直线x ＋3y －5＝0平行的直线为x ＋3y ＋m ＝0，则中心M (－1，0)到这两直线等距离，由点到直线的距离公式得|－1－5|12＋32＝|－1＋m |12＋32⇒|m －1|＝6＝⇒m ＝7或m ＝－5. ∴与x ＋3y －5＝0平行的边所在直线方程为x ＋3y ＋7＝0.设与x ＋3y －5＝0垂直的边所在直线方程为3x －y ＋n ＝0， 则由|－3＋n |32＋12＝|－1－5|32＋12， 得|n －3|＝6⇒n ＝9或n ＝－3，∴另两边所在直线方程为3x －y ＋9＝0和3x －y －3＝0.11.(创新题)已知定点P (－2，－1)和直线l ：(1＋3λ)x ＋(1＋2λ)y －(2＋5λ)＝0，λ∈R.求证：不论λ取何值时，点P 到直线l 的距离不大于13.证明：法一：由点到直线的距离，得P (－2，－1)到直线l 的距离d ＝|（1＋3λ）·（－2）＋（1＋2λ）·（－1）－（2＋5λ）|（1＋3λ）2＋（1＋2λ）2 ＝|13λ＋5|13λ2＋10λ＋2. 整理，得(13d 2－169)λ2＋(10d 2－130)λ＋2d 2－25＝0.∵λ∈R ，∴Δ＝(10d 2－130)2－4(13d 2－169)(2d 2－25)≥0，解得0≤d ≤13.故结论成立．法二：由已知l 的方程得x ＋y －2＋λ(3x ＋2y －5)＝0.由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －2＝0，3x ＋2y －5＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝1. ∴直线l 过定点M (1，1)．又PM ＝（－2－1）2＋（－1－1）2＝13.当且仅当l 与PM 垂直时，点P 到l 的距离最大，故0≤d ≤13.高≒考ο试╗题)库。