第3章 数据分析初步 3.3 方差和标准差

3.3方差和标准差教学设计一、教学目标1、了解方差，标准差公式的产生过程2、熟练掌握方差和标准差的计算方法及其运用。

3、能通过实例学会用样本方差分析总体方差二、教学重点方差、标准差的概念、计算及其运用三、教学难点方差概念的理解和应用四、教材分析《方差与标准差》这节课是选自浙教版八年级上第三章第三节，是在学生学会用平均数，中位数，众数来表示数据集中程度的统计量后的另一种反映数据离散程度的统计量。

是对数据进行分析的另一重要指标。

这节课是七年纪上册“数据与图表”内容的延续，在数据与图表中是着重用图表的形式来反映数据的特征和变化。

而本章则是用统计量来反映数据的特征和变化。

学好本节课，不仅为进一步学好数据分析打好基础，而且在日常生活和实际生产中有着广泛的应用。

计算方差、标准差时，首先要求平均数，因此，求方差、标准差也是求平均数的练习和巩固的过程。

但平均数与方差的最本质的区别是：平均数是反映一组数据的集中程度的统计量而方差是反映一组数据的离散程度的统计量。

五、学情分析根据我自己对所带两个班级学生的了解，他们在分析，推导能力上不是特别强，所以本节的内容我准备按课本的要求来，不做较大的改变，不要求学生解决复杂或生僻的问题。

对于八年级的学生要根据实际选择统计量，并通过数据分析作出判断或预测。

不仅需要学生有教高的综合分析能力，而且要有较丰富的生活实践经验，对于这个年龄段的学生来说，是比较薄弱的。

因此，我在教学中会把握好教学要求，给学生留有充分的时间思考和小组讨论，用集体的智慧来解决难题。

在这堂新课中，我放较大的比重在公式的产生上，既公式的推导过程。

因为中考不允许学生使用计算器，所以在数据的选择上要便于计算，不允许学生使用计算器。

六、教学过程 （一）情景引入 学生观看射击比赛视频提问：一年一度的比赛又要开始了，所有的学员都这么优秀选谁？ 设计意图：1、通过视频吸引学生的注意力，让学生的注意力集中到课堂上 2、每个学员都很优秀有自己的特点，所以我们要有一个合理的选拔 标准，从而引出了本堂课的学习内容 （二）合作学习甲、乙两人的测试成绩统计如下:（1）分别算出甲、乙两人的平均成绩. （2）根据这两人的成绩，再画出折线统计图.（3）现要从甲、乙两人中挑选一人参加比赛，你认为挑选哪一位比较适宜?为什么?提问：1、哪组数据围绕其平均数波动较大，波动大反映了什么？ 2、谁射击成绩比较稳定？设计意图：1、1,2两个小题学生根据自己现有的知识能够解决，通过给出两个 问题，引导学生仔细观察折线图，因为折线图能够直观反应两人成24 68 成绩（环）10 0 1 2 3 4 5绩水平的高低以及稳定性。

七年级上册第1章有理数1.1 从自然数到有理数1.2 数轴1.3 绝对值1.4 有理数的大小比较第2章有理数的运算2.1 有理数的加法2.2 有理数的减法2.3 有理数的乘法2.4 有理数的除法2.5 有理数的乘方2.6 有理数的混合运算2.7 近似数和计算器的使用第3章实数3.1 平方根3.2 实数3.3 立方根3.4 实数的运算第4章代数式4.1 用字母表示数4.2 代数式4.3 代数式的值4.4 整式4.5 合并同类项4.6 整式的加减第5章一元一次方程5.1 一元一次方程5.2 等式的基本性质5.3 一元一次方程的解法第6章图形的初步知识6.1 几何图形6.2 线段、射线和直线6.3 线段的大小比较6.4 线段的和差6.5 角与角的度量6.6 角的大小比较6.7 角的和差6.8 余角和补角6.9 相交直线八年级上册第1章三角形的初步知识1.1 认识三角形1.2 定义与命题1.3 证明1.4 全等三角形1.5 全等三角形的判定1.6 尺规作图第2章特殊三角形2.1 图形的轴对称2.2 等腰三角形2.3 等腰三角形的性质定理2.4 等腰三角形的判定定理2.5 逆命题与逆定理2.6 直角三角形2.7 探索勾股定理2.8 直角三角形全等的判定第3章一元一次不等式3.1 认识不等式3.2 不等式的基本性质3.3 一元一次不等式3.4 一元一次不等式组第4章图形与坐标4.1 探索确定位置的方法4.2 平面直角坐标系4.3 坐标平面内的图形运动第5章一次函数5.1 常量与变量5.2 认识函数5.3 一次函数5.4 一次函数的图象5.5 一次函数的简单应用九年级上册第1章二次函数1.1 二次函数1.2 二次函数的图象1.3 二次函数的性质1.4 二次函数的应用第2章简单事件的概率2.1 事件的可能性2.2 简单事件的概率2.3 用频率估计概率2.4 概率的简单应用第3章圆的基本性质3.1 圆3.2 图形的旋转3.3 垂径定理3.4 圆心角3.5 圆周角3.6 圆内接四边形3.7 正多边形3.8 弧长及扇形的面积第4章相似三角形4.1 比例线段4.2 由平行线截得的比例线段4.3 相似三角形4.4 两个三角形相似的判定4.5 相似三角形的性质及应用4.6 相似多边形七年级下册第1章平行线1.1 平行线1.2 同位角、内错角、同旁内角1.3 平行线的判定1.4 平行线的性质1.5 图形的平移第2章二元一次方程组2.1 二元一次方程2.2 二元一次方程组2.3 解二元一次方程组2.4 二元一次方程组的简单应用2.5 三元一次方程组及其解法选学第3章整式的乘除3.1 同底数幂的乘法3.2 单项式的乘法3.3 多项式的乘法3.4 乘法公式3.5 整式的化简3.6 同底数幂的除法3.7 整式的除法第4章因式分解4.1 因式分解4.2 提取公因式法4.3 用乘法公式分解因式第5章分式5.1 分式5.2 分式的基本性质5.3 分式的乘除5.4 分式的加减5.5 分式方程第6章数据与统计图表6.1 数据的收集与整理6.2 条形统计图和折线统计表6.3 扇形统计图6.4 频数与频率6.5 频数分布直方图八年级下册第1章二次根式1.1 二次根式1.2 二次根式的性质1.3 二次根式的运算第2章一元二次方程2.1 一元二次方程2.2 一元二次方程的解法2.3 一元二次方程的应用2.4 一元二次方程的根与系数的关系第3章数据分析初步3.1 平均数3.2 中位数和众数3.3 方差和标准差第4章平行四边形4.1 多边形4.2 平行四边形及其性质4.3 中心对称4.4 平行四边形的判定定理4.5 三角形的中位线4.6 反证法第5章特殊平行四边形5.1 矩形5.2 菱形5.3 正方形第6章反比例函数6.1 反比例函数6.2 反比例函数的图象和性质6.3 反比例函数的应用九年级下册第1章解直角三角形1.1 锐角三角函数1.2 有关三角函数的计算1.3 解直角三角形第2章直线与圆的位置关系2.1 直线与圆的位置关系2.2 切线长定理2.3 三角形的内切圆第3章投影和三视图3.1 投影3.2 简单几何体的三视图3.3 由三视图描述几何体3.4 简单几何体的表面展开图。

方差和标准差方差和标准差学习目标1、了解方差，标准差的公式的产生过程。

2、熟练掌握方差和标准差的计算方法及其运用。

3、能通过实例学会用样本方差分析数据的离散程度。

导学过程预习课本P62-64思考：选拔射击手参加比赛时，我们应该挑选测试成绩中曾达到最好成绩的选手，还是成绩最稳定的选手？合作学习甲、乙两名射击手的测试成绩统计如下：(1)甲、乙两名射击手的极差分别是多少？(2)请分别计算两名射击手的平均成绩；(3)请分别计算两名射击手的成绩与平均数的差（即偏差）。

(4)甲、乙两人成绩的偏差的平均数是多少？(5)现要挑选一名射击手参加比赛，若你是教练，你能根据偏差的平均数挑选射击手参加比赛吗？为什么？归纳总结方差的概念：例：为了考察甲、乙两种小麦的长势,分别从中抽出10株苗，测得苗高如下(单位:cm):甲: 12 13 14 15 10 16 13 11 15 11乙: 11 16 17 14 13 19 6 8 10 16哪种小麦长得比较整齐?归纳总结标准差的概念：自我检测已知数据a1，a2，a3，…，a n的平均数为X，方差为Y标准差为Z。

则①数据a1+3，a2 + 3，a3 +3 ，…，a n +3的平均数为____，方差为______，标准差为______。

②数据3a1，3a2 ，3a3 ，…，3a n的平均数为______，方差为______，标准差为______。

③数据2a1-3，2a2 -3，2a3 -3 ，…，2a n -3的平均数为______，方差为______，标准差为______。

自我反思你有什么收获？你还有什疑问？。

方差标准差方差和标准差是统计学中常用的两个概念，它们都是用来衡量数据的离散程度的。

在实际的数据分析中，我们经常会用到这两个指标来描述数据的分布情况。

接下来，我们将详细介绍方差和标准差的概念、计算方法以及它们在实际应用中的意义。

首先，让我们来了解一下方差的概念。

方差是衡量数据离散程度的一个重要指标，它是各个数据与平均值之差的平方的平均数。

方差越大，说明数据的离散程度越大，反之则离散程度较小。

在统计学中，方差通常用σ^2来表示，其中σ代表总体标准差。

接下来，让我们来介绍一下标准差。

标准差是方差的平方根，它也是衡量数据离散程度的一个重要指标。

标准差的计算方法是先计算方差，然后对方差进行开方运算。

标准差的大小和数据的离散程度成正比，离散程度越大，标准差越大，反之则标准差越小。

在统计学中，标准差通常用σ来表示，其中σ代表总体标准差。

在实际应用中，方差和标准差都有着重要的意义。

它们可以帮助我们更好地理解数据的分布情况，从而进行更准确的数据分析和决策。

例如，在投资领域，我们可以利用标准差来衡量投资组合的风险程度，从而选择更合适的投资组合。

在质量控制方面，我们可以利用方差来衡量产品质量的稳定程度，从而及时发现和解决质量问题。

此外，方差和标准差还可以帮助我们进行数据的比较和评估。

通过比较不同数据集的方差和标准差，我们可以更好地了解它们的差异和特点。

在科学研究中，方差和标准差也经常被用来评估实验数据的稳定性和可靠性。

总之，方差和标准差是统计学中非常重要的概念，它们可以帮助我们更好地理解和分析数据。

通过对方差和标准差的深入了解，我们可以更加准确地把握数据的特点和规律，从而为实际应用提供有力的支持。

希望本文能够帮助读者更好地理解方差和标准差的概念和意义，为实际应用提供参考和指导。

浙江版八年级数学下册第3章 数据分析初步3.3 方差和标准差【知识清单】在评价数据的稳定性时，我们通常将各数据偏离平均数的波动程度作为指标. 一、方差：一般地，各数据与平均数的差的平方的平均数[]222212)()()(1x x x x x x nS n -+⋅⋅⋅+-+-=叫做这组数据的方差. 方差反映了一组数据的波动大小，方差越大，说明数据的波动越大，越不稳定. 二、标准差:一组数据的方差的算术平方根[]22221)()()(1x x x x x x nS n -+⋅⋅⋅+-+-=称为这组数1、要判断某位同学的数学考试成绩是否稳定，那么需要知道他最近几次数学考试成绩的()A．平均数B．中位数C．众数D．方差2、对一组数据，有如下的判断：，①如果一组数据的标准差等于零，则这组中的每个数据都相等；②分别用一组数据中的每一个数减去平均数，再将所得的差相加．若和为零，则标准差为零；③在一组数据中去掉一个等于平均数的数，这组数据的平均数不变；④在一组数据中去掉一个等于平均数的数，这组数据的标准差不变，其中正确的有()A．1个B．2个C．3个D．4个3、一组数据，如果每个数据都扩大到原来的5倍，那么这组数据的平均数，方差，标准差的变化是( )A．依次为5倍、25倍、5倍B．依次为5倍、10倍、5倍C．依次为5倍、5倍、25倍D．依次为5倍、5倍、5倍4、数据2，2，x，4，4有唯一的众数，则其中位数和方差分别为()A、3或4和4.8B、2或4和4.8或5.6C、2或4和4.8D、3或4和4.8或5.65、样本3，-4，0，-1，2的方差是______，标准差是______．6、一组数据的方差为0，其中一个数据为a，则它们的中位数和众数为____________．7、A，B两所学校各派一个由10名学生组成的代表队参加环保知识比赛，共10道题，答对8题(含8题)以上为优秀，答对题数统计如下：8、甲、乙两人参加射击选拔赛，五次射击得分情况(单位：环)如图所示： (1)分别求出两人得分的平均环数与方差； (2)根据图示(如图)和上面算的结果， 对两人的射击成绩作出评价． (3)要从两人中选一人参加集训队， 你认为选哪位较合适？【提优特训】9、已知一组数据6，4，4，8，6，3，5，6，则这组数据的极差和众数为( ) A. 5和4 B. 3和6 C. 5和6 D. 4和611、甲、乙是个数相同的两组数据，且它们的平均数相同，甲、乙两组数据的方差分别为3.5和5.5， 若将甲乙两组数据合成一组数据，则合成后的数据的标准差为( )A ．3.5B ．5.5C ．4D ．2 12、某篮球队5名场上队员的身高(单位：)是：188，190，192，194，195.现用一名身高为189cm 的队员换下场上身高为194cm 的队员，与换人前相比，场上队员的身高( )A. 平均数变小，方差变小B. 平均数变小，方差变大C. 平均数变大，方差变小D. 平均数变大，方差变大13、若数据a ，b ，c ，d 的平均数为e ，方差为2.5，则数据a ，b ，c ，d ，e 的方差为 .第8题图14、已知样本x 1，x 2，x 3，…，x n 的平均数为25x 1-3，5x 2-3，5x 3-3，…，5x n -3，方差为 .15、如果一组数据从小到大顺序排列为4、6、7、x 、9、11，且其平均数与中位数相同，，标准差约为 .16、从甲、乙两种棉花苗中各抽10株，分别测得它们的株高(单位：cm)如下：甲：15，18，15，17，19，20，19，16，15，18； 乙：16，16，15，17，17，18，19，20，21，17. (1)哪种棉花苗长得高些？(2)哪种棉花苗长得整齐？17、随着我国经济社会的发展，人民对于美好生活的追求越来越高，外出旅游已成为时尚．某社区为了了解家庭旅游消费情况，随机抽取部分家庭，对每户家庭的年旅游消费金额进行问卷调査，根据调查结果绘制成两幅不完整的统计图表．请你根据统计图表提供的信息，解答下列问题：(1)本次被调査的家庭有 户，表中 a = ；(2)本次调查数据的中位数出现在 B 组．扇形统计图中，E 组所在扇形的圆心角是 度；(3)若这个社区有2700户家庭，请你估计家庭年旅游消费8000元以上的家庭有多少户？第17题图②18、某次测验后，数学老师对所带的八年级(1)班和(2)班学生的成绩统计如下表所示：【中考链接】19、 (2018•河北)9．(3.00分)为考察甲、乙、丙、丁四种小麦的长势，在同一时期分别从中随机抽取部分麦苗，获得苗高(单位：cm)的平均数与方差为：x 甲=x 丙=13，x 乙=x 丁=15：2S 甲=2S 丁=3.6，2S 乙=2S 丙=6.3．则麦苗又高又整齐的是( ) A ．甲 B ．乙 C ．丙 D ．丁20、(2018•河南) 5．(3分)河南省旅游资源丰富，2013～2017年旅游收入不断增长，同比增速分别为：15.3%，12.7%，15.3%，14.5%，17.1%．关于这组数据，下列说法正确的是( )A ．中位数是12.7%B ．众数是15.3%C ．平均数是15.98%D ．方差是021、(2018•潍坊) 某篮球队10名队员的年龄结构如下表，已知该队队员年龄的中位数为21.5，则众数与方差分别为( )22、(2018•浙江舟山)20．(8分)某厂为了检验甲、乙两车间生产的同一款新产品的合格情况(尺寸范围为176mm ～185mm 的产品为合格)，随机各抽取了20个样品进行检测，过程如下：收集数据(单位：mm)甲车间：168，175，180，185，172，189，185，182，185，174，192，180，185，178，173，185，169，187，176，180．乙车间：186，180，189，183，176，173，178，167，180，175，178，182，180，179，185，180，184，182，180，183．整理数据：分析数据：应用数据：(1)计算甲车间样品的合格率．(2)估计乙车间生产的1000个该款新产品中合格产品有多少个？(3)结合上述数据信息，请判断哪个车间生产的新产品更好，并说明理由．参考答案1、D2、B3、A4、C5、30，306、a 和a 9、C 10、C 11、D 12、A 13、2 14、7，5 19、D 20、B 21、D7、A ，B 两所学校各派一个由10名学生组成的代表队参加环保知识比赛，共10道题，答对8题(含8题)以上为优秀，答对题数统计如下：解：(1)表格如下：从众数看：甲组8题，乙组7题，甲比乙好； 从方差看：甲成绩差距大，乙相对稳定； 从优秀率看：甲比乙好。

3．1 平均数1．若7名学生的体重(单位：kg)分别是：40，42，43，45，47，47，58，则这组数据的平均数是( )A．44 B．45 C．46 D．472．已知一组数据1，7，10，8，a，6，0，3，若a＝5，则a应等于( )A．6 B．5 C．4 D．23．某学校规定学生的数学成绩由三部分组成，期末考试成绩占70%，期中考试成绩占20%，平时作业成绩占10%，某人上述三项成绩分别为85分，90分，80分，则他的数学成绩是( )A．85分 B．85.5分 C．90分 D．80分4．某校生物小组11人到校外采集标本，其中2人每人采集到6件，4人每人采集到3件，5人每人采集到4件，则这个小组平均每人采集标本( )A．3件 B．4件 C．5件 D．6件5．已知一组数据a1，a2，a3，a4，a5的平均数为8，则另一组数据a1＋5，a2－5，a3＋5，a4－5，a5＋5的平均数为( )A．3 B．8 C．9 D．136．小明在九年级第一学期的数学成绩分别为：测验一得88分，测验二得92分，测验三得84分，期中考试得90分，期末考试得87分．如果按照平时、期中、期末的权重分别为10%，30%与60%，那么小明该学期的总评成绩为( )A．86 B．87 C．88 D．897．某商贩去批发市场买了10千克奶糖和20千克果糖，已知奶糖的价格为每千克18元，果糖的价格为每千克12元，商贩将两种糖混合在一起后以每千克x元的价格出售，要想不赔钱，则x应至少为( )A．13 B．14 C．15 D．168．将20个数据各减去30后，得到的一组新数据的平均数是6，则原来20个数据的平均数是____．9．在“争创美丽校园，争做文明学生”示范学校评比活动中，10位评委给某校的评分情况如下表所示：10．某校为了了解学生课外阅读情况，随机调查了50名学生各自平均每天的课外阅读时间，并绘制成条形图(如图)，据此可以估计出该校所有学生平均每天的课外阅读时间为____小时．11．某班40名学生的某次体育素质测验成绩统计表如下：成绩(分) 50 60 70 80 90 100人数(人) 2 x 10 y 8 212．某校为了招聘一名优秀教师，对入选的三名候选人进行教学技能与专业知识两种考核，现将甲、乙、丙三人的考核成绩统计如下：百分制候选人教学技能考核成绩专业知识考核成绩甲85 92乙91 85丙80 90(2)如果校方认为教师的教学技能水平比专业知识水平重要，因此分别赋予它们6和4的权，则候选人____将被录取．13．学校准备从甲乙两位选手中选择一位选手代表学校参加所在地区的汉字听写大赛，学校对两位选手从表达能力、阅读理解、综合素质和汉字听写四个方面做了测试，他们各自的成绩(百分制)如下表：选手表达能力阅读理解综合素质汉字听写甲85 78 85 73 乙73 80 82 83应选派谁；(2)如果表达能力、阅读理解、综合素质和汉字听写分别赋予它们2，1，3和4的权，请分别计算两名选手的平均成绩，从他们的这一成绩看，应选派谁．14．某公司需招聘一名员工，对应聘者甲、乙、丙从笔试、面试、体能三个方面进行量化考核．甲、乙、丙各项得分如下表：笔试面试体能甲83 79 90乙85 80 75丙80 90 73(2)该公司规定：笔试、面试、体能得分分别不得低于80分、80分、70分，并按60%，30%，10%的比例计入总分．根据规定，请你说明谁将被录用．15．某单位需招聘一名技术员，对甲、乙、丙三名候选人进行笔试和面试两项测试，其成绩如下表所示．根据录用程序，该单位又组织了100名评议人员对三人进行投票测评，其得票率如扇形图所示，每票1分．(没有弃权票，每人只能投1票)(1)请算出三人的民主评议得分；(2)该单位将笔试、面试、民主评议三项测试得分按2∶2∶1确定综合成绩，最终谁将被录用？请说明理由．参考答案1. C2. B3. B4. B5. C6. C7. B8. 369. 89 10. 1 11. 10 8 12. (1) 甲 (2) 乙13. 解：(1)乙的平均成绩：73＋80＋82＋834＝79.5.∵80.25＞79.5，∴应选派甲.(2)甲的平均成绩：85×2＋78×1＋85×3＋73×410＝79.5，乙的平均成绩：73×2＋80×1＋82×3＋83×410＝80.4.∵79.5＜80.4，∴应选派乙.14. 解：(1)x 甲＝84，x 乙＝80，x 丙＝81，∴x 甲＞x 丙＞x 乙，∴排名顺序为甲、丙、乙. (2)由题意可知，甲不符合规定不能被录用，又∵x 乙′＝85×60%＋80×30%＋75×10%＝82.5，x 丙′＝80×60%＋90×30%＋73×10%＝82.3，∴乙将被录用.15. 解：(1)甲民主评议得分：100×25%＝25(分)；乙民主评议得分：100×40%＝40(分)；丙民主评议得分：100×35%＝35(分).(2)经计算可得，甲的成绩为76.2分，乙的成绩为72分，丙的成绩为74.2分，故甲将被录用.3.2 中位数和众数A 组 基础训练1. （南平中考）一组数据1，1，4，3，6的平均数和众数分别是（ ） A ． 1，3B ． 3，1C ． 3，3D ．3，42. （宁波中考）若一组数据2，3，x ，5，7的众数为7，则这组数据的中位数为（ ） A. 2B. 3C. 5D. 73. 为筹备班级的联欢会，班长对全班学生爱吃哪几种水果作了民意调查，确定最终买什么水果，下面的调查数据中最值得关注的是（）A. 平均数B. 中位数C. 众数D. 最高值4. 若干名工人某天生产同一种零件，生产的零件数整理成条形图（如图所示）. 设他们生产零件的平均数为a，中位数为b，众数为c，则有（）A. b＞a＞cB. c＞a＞bC. a＞b＞cD. b＞c＞a5. （黄冈中考）某校10名篮球运动员的年龄情况，统计如下表：年龄（岁）12 13 14 15人数（名） 2 4 3 1A．12 B．13 C. 13.5 D．146. 给定一组数据，下列说法正确的是（）A. 这组数据的平均数是其中一个数据B. 这组数据的中位数只有一个C. 这组数据的众数只有一个D. 这组数据不可能没有众数7. 某校在一次考试中，甲乙两班学生的数学成绩统计如下：分数50 60 70 80 90 100人数甲 1 6 12 11 15 5 乙 3 5 15 3 13 11（1）甲班众数为分，乙班众数为分，从众数看成绩较好的是班；（2）甲班的中位数是分，乙班的中位数是分；（3）若成绩在85分以上为优秀，则成绩较好的是班.8. 某鞋店销售了9双鞋，各种尺码的销售量如下：鞋的尺码20 21 22 23销售量（双） 1 2 4 2（2）哪一个指标是鞋厂最感兴趣的指标？哪一个指标是鞋厂最不感兴趣的？9. 在学校组织的科学常识竞赛中，每班参加比赛的人数相同，成绩分为A，B，C，D四个等级，其中相应等级的得分依次记为90分，80分，70分，60分，学校将八年级一班和二班的成绩整理并绘制成如下的统计图：请你根据以上提供的信息解答下列问题：（1）此次竞赛中二班成绩在70分以上（包括70分）的人数为 .（2）请你将表格补充完整：平均数（分）中位数（分）众数（分）一班77.6 80二班9010．已知一组数据：x，10，12，6的中位数与平均数相等，求x的值．B组自主提高11．（张家界中考）若一组数据1、a、2、3、4的平均数与中位数相同，则a不可能是下列选项中的（）A． 0 B． 2.5 C． 3 D． 512．（邵阳中考）为提高节水意识，小申随机统计了自己家7天的用水量，并分析了第3天的用水情况，将得到的数据进行整理后，绘制成如图所示的统计图．（单位：升）（1）求这7天内小申家每天用水量的平均数和中位数；（2）求第3天小申家洗衣服的水占这一天总用水量的百分比；（3）请你根据统计图中的信息，给小申家提出一条合理的节约用水建议，并估算采用你的建议后小申家一个月（按30天计算）的节约用水量．13. 下表是某校八年级（1）班20名学生某次数学测验的成绩统计表：成绩（分）60 70 80 90 100人数 1 5 x y 3（2）在（1）的条件下，设这20名学生本次测验成绩的众数为a，中位数为b，求a，b的值.参考答案1—5. BCCAB 6. B7. （1）90 70 甲（2）80 80 （3）乙8. 解：（1）平均数21.8、中位数22、众数22. （2）众数 平均数.9. 解：（1）一班参赛人数为：6+12+2+5=25（人），∵两班参赛人数相同，∴二班成绩在70分以上（包括70分）的人数为25×84%=21(人). （2）从左往右：77.6，70，80.（3）①平均数相同的情况下，二班的成绩更好一些． ②请一班的同学加强基础知识训练，争取更好的成绩． 10.解：x=4或8或16. 11. C12.解：（1）这7天内小申家每天用水量的平均数为7805825790785800780815++++++=800（升），将这7天的用水量从小到大重新排列为：780、785、790、800、805、815、825，∴用水量的中位数为 800升. （2）800100×100%=12.5%，答：第3天小申家洗衣服的水占这一天总用水量的百分比为12.5%. （3）小申家冲厕所的用水量较大，可以将洗衣服的水留到冲厕所，采用以上建议，每天可节约用水100升，一个月估计可以节约用水100×30=3 000(升)．13. 解：（1）根据题意，得1+5+x+y+2=20，60+70×5+80x+90y+100×2=82×20，解得x=5，y=7.（2）将这20个数据按从大到小排列，第10个和第11个数是80，则中位数b 为80分，由表格可知众数a 为90分.3．3 方差和标准差1．一组数据3，2，1，2，2的众数、中位数、方差分别是( ) A ．2，1，0.4 B ．2，2，0.4 C ．3，1，2 D ．2，1，0.22．甲、乙两人各射击6次，甲所中的环数是8，5，5，a ，b ，c ，且甲所中的环数的平均数是6，唯一众数是8；乙所中的环数的平均数是6，方差是4.根据以上数据，对甲、乙射击成绩的正确判断是( ) A ．甲射击成绩比乙稳定 B ．乙射击成绩比甲稳定 C ．甲、乙射击成绩的稳定性相同 D ．甲、乙射击成绩的稳定性无法比较3．下表是两个商场1～6月销售椰子汁的情况(单位：箱)：1月2月3月4月5月6月甲商场450 440 480 420 576 550乙商场480 440 470 490 520 516A．甲商场比乙商场的月平均销售量大B．甲商场比乙商场的月平均销售量小C．甲商场比乙商场的销售稳定D．乙商场比甲商场的销售稳定4．一组数据－1，－2，x，1，2的平均数为0，则这组数据的方差为____．5．跳远运动员小刚对训练效果进行测试，6次跳远的成绩(单位：m)如下：7.6，7.8，7.7，7.8，8.0，7.9.这六次成绩的平均数为7.8，方差为160.若小刚再跳两次，成绩分别为7.7，7.9，则小刚这8次跳远成绩的方差将____(填“变大”“变小”或“不变”)．6．小李和小林练习射箭，射完10箭后两人的成绩如图所示，通常新手的成绩不太稳定，根据图中的信息，估计这两人中的新手是____．7．某公司为了评价甲、乙两位营销员去年的营销业绩，用折线统计图统计了这两人去年12个月的营销业绩(所推销商品的件数)：(1)利用图中信息完成下表：平均数(件) 中位数(件) 众数(件) 方差甲7 7业绩作出评价．8．A 工人的5次操作技能测试成绩(单位：分)分别是7，6，8，6，8；B 工人的5次操作技能测试成绩的平均数x －B ＝7分，方差S B 2＝2.(1)求A 工人操作技能测试成绩的平均分x －A 和方差S A 2.(2)提出一个有关“比较A ，B 两位工人的操作技能测试成绩”的问题，再作出解答．9．已知一组数据x 1，x 2，x 3，x 4，x 5的平均数是2，方差是13，那么另一组数据3x 1－2，3x 2－2，3x 3－2，3x 4－2，3x 5－2的平均数和方差分别是( )A ．2，13B ．2，1C ．4，23D ．4，3 10．统计学规定：对于某次测量得到的n 个结果x 1，x 2，…，x n ，当函数y ＝(x －x 1)2＋(x －x 2)2＋…＋(x －x n )2取最小值时，对应x 的值称为这次测量的“最佳近似值”．若某次测量得到的5个结果为9.8，10.1，10.5，10.3，9.8，则这次测量的“最佳近似值”为 ____．11．一次期中考试中，A ，B ，C ，D ，E 五位同学的数学、英语成绩(单位：分)的有关信息如下表所示：(2)为了比较不同学科考试成绩的好与差，采用标准分是一个合理的选择，标准分的计算公式：标准分＝(个人成绩－平均成绩)÷成绩标准差，从标准分看，标准分大的考试成绩更好．问：A 同学在本次考试中，数学与英语哪个学科考得更好？12．某单位招聘员工，采取笔试与面试相结合的方式进行，两项成绩的原始分均为100分，前6名选手的得分如下表所示：(综合成绩的满分仍为100分)．(1)这6名选手笔试成绩的中位数是84.5分，众数是___分．(2)现得知1号选手的综合成绩为88分，求笔试成绩和面试成绩各占的百分比．(3)求出其余五名选手的综合成绩，并以综合成绩排序确定前两名人选．参考答案1-3BBD4.25.变小6.小李7.【解】 (1)将甲的数据按从小到大的顺序依次排列为5，5，5，6，6，7，7，7，7，9，10，10，∴中位数为(7＋7)÷2＝7(件)，众数为7件．S 甲2＝112[3×(5－7)2＋2×(6－7)2＋4×(7－7)2＋(9－7)2＋2×(10－7)2]＝3． 将乙的数据按从小到大的顺序依次排列为6，6，7，7，8，8，8，9，9，9，9，10，∴平均数为6×2＋7×2＋8×3＋9×4＋1012＝8(件)，中位数为(8＋8)÷2＝8(件)，众数为9件．(2)因为乙的平均数、中位数和众数都比甲大，而且还比甲稳定，所以乙的营销业绩比甲好．8.【解】 (1)x －A ＝7＋6＋8＋6＋85＝7(分)， S A 2＝15[(7－7)2＋(6－7)2＋(8－7)2＋(6－7)2＋(8－7)2]＝0.8． (2)答案不唯一，如：问题：A ，B 两位工人的操作技能测试平均成绩谁好？答：因为平均数一样大，所以A ，B 两位工人的操作技能测试平均成绩一样好．9.【解】 ∵x 1，x 2，…，x 5的平均数是2，∴3x 1－2，3x 2－2，3x 3－2，3x 4－2，3x 5－2的平均数是3×2－2＝4，方差是32×13＝3. 10.【解】 由题意，得x 1＝9.8，x 2＝10.1，x 3＝10.5，x 4＝10.3，x 5＝9.8.y ＝(x －9.8)2＋(x －10.1)2＋(x －10.5)2＋(x －10.3)2＋(x －9，8)2＝5x 2－101x ＋510.43＝5(x －10.1)2＋0.38.∵当x ＝10.1时，y 取得最小值，∴这次测量的“最佳近似值”为10.1.11.【解】 (1)x 数学＝15(71＋72＋69＋68＋70)＝70(分)， S 英语＝15[（88－85）2＋（82－85）2＋（94－85）2＋（85－85）2＋（76－85）2]＝6(分)．(2)设A 同学的数学考试成绩标准分为P 数学，英语考试成绩标准分为P 英语，则P 数学＝(71－70)÷2＝22， P 英语＝(88－85)÷6＝12. ∴从标准分看，A 同学数学比英语考得更好．12. 【解】 (1)把笔试成绩按从小到大的顺序依次排列为80，84，84，85，90，92， ∴中位数是(84＋85)÷2＝84.5(分)，众数是84分．(2)设笔试成绩和面试成绩各占的百分比分别是x ，y ，根据题意，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝1，85x ＋90y ＝88，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝40%，y ＝60%. 答：笔试成绩和面试成绩各占的百分比分别是40%，60%.(3)2号选手的综合成绩是92×40%＋88×60%＝89.6(分)．3号选手的综合成绩是84×40%＋86×60%＝85.2(分)，4号选手的综合成绩是90×40%＋90×60%＝90(分)，5号选手的综合成绩是84×40%＋80×60%＝81.6(分)，6号选手的综合成绩是80×40%＋85×60%＝83(分)，故综合成绩排序前两名人选是4号和2号．。

3.3 方差和标准差教学目标1、知识目标：了解方差、标准差的概念.2、能力目标：会求一组数据的方差、标准差，并会用他们表示数据的离散程度,能用样本的方差来估计总体的方差.3、情感目标：通过实际情景，提出问题，并寻求解决问题的方法，培养学生应用数学的意识和能力．教学重点理解并记忆方差和标准差公式，能灵活地运用方差和标准差公式解题.教学难点灵活地运用方差和标准差公式解决实际问题.教学设计一、创设情景，提出问题甲、乙两名射击手的测试成绩统计如下表：第一次第二次第三次第四次第五次甲命中环数7 8 8 8 9乙命中环数10 6 10 6 82.请根据这两名射击手的成绩在图中画出折线图.3.现要挑选一名射击手参加比赛，若你是教练，你认为挑选哪一位比较合适？为什么？(各小组讨论)二、合作交流，感知问题请根据统计图，思考问题：①甲、乙两名射击手他们每次射击成绩与他们的平均成绩比较，哪一个偏离程度较低？(甲射击成绩与平均成绩的偏差的和：(7－8)＋(8－8)＋(8－8)＋(8－8)＋(9－8)＝0；乙射击成绩与平均成绩的偏差的和：(10－8)＋(6－8)＋(10－8)＋(6－8)＋(8－8)＝0)②射击成绩偏离平均数的程度与数据的离散程度与折线的波动情况有怎样的联系？(甲射击成绩与平均成绩的偏差的平方和：(7－8)2＋(8－8)2＋(8－8)2＋(8－8)2＋(9－8)2＝2；乙射击成绩与平均成绩的偏差的平方和：(10－8)2＋(6－8)2＋(10－8)2＋(6－8)2＋(8－8)2＝16)上述各偏差的平方和的大小还与什么有关？——与射击次数有关.③用怎样的特征数来表示数据的偏离程度？可否用各个数据与平均数的差的累计数来表示数据的偏离程度？④是否可用各个数据与平均数的差的平方和来表示数据的偏离程度？⑤数据的偏离程度还与什么有关？要比较两组样本容量不相同的数据偏离平均数的程度，应如何比较？三、概括总结，得出概念根据以上问题情景，在学生讨论，教师补充的基础上得出方差的概念、计算方法及用方差来判断数据的稳定性.用各数据偏离平均数的差的平方的平均数来衡量数据的稳定性.设一组数据x 1,x 2,…,x n 中，各数据与它们的平均数的差的平方分别是(x 1-x )2, (x 2－x )2,… ,(x n －x )2，那么我们称它们的平均数，即s 2=n1[(x 1-x )2+(x 2-x )2+(x 3-x )2+…+(x n -x )2]为这组数据的方差.方差用来衡量一批数据的波动大小(即这批数据偏离平均数的大小) 方差的单位和数据的单位不统一，引出标准差的概念.(注意：比较两组数据的特征时，应取相同的样本容量，计算过程可借助计数器.) 现可以请学生回答③的问题(这个问题没有标准答案，要根据比赛的具体情况来分析，作出结论).四、应用概念，巩固新知1、例:为了考察甲、乙两种小麦的长势，分别从中抽出10株苗，测得苗高如下(单位: cm):甲: 12 13 14 15 10 16 13 11 15 11 乙: 11 16 17 14 13 19 6 8 10 16 问：哪种小麦长得比较整齐？思考：求数据的方差的一般步骤是什么？ (1)求数据的平均数；(2)利用方差公式求方差.(在样本容量相同的情况下，方差越大，说明数据的波动越大，越不稳定)师生共同完成.2、数据的单位与方差的单位一致吗？ 为了使单位一致，可用方差的算术平方根：S =. 五、小结回顾，反思提高1、这节课我们学习了方差、标准差的概念，方差的实质是各数据与平均数的差的平方的平均数.方差越大，说明数据的波动越大，越不稳定.2、标准差是方差的一个派生概念，它的优点是单位和样本的数据单位保持一致，给计算和研究带来方便.3、利用方差比较数据波动大小的方法和步骤：先求平均数，再求方差，然后判断得出结论.。

方差与标准差的关系方差和标准差是统计学中常用的两个概念，它们都是衡量数据分散程度的指标。

在统计学中，我们经常需要了解数据的分散程度，以便更好地理解数据的特征和规律。

方差和标准差的概念和计算方法虽然有所不同，但它们之间存在着密切的关系。

本文将从方差和标准差的定义、计算方法以及它们之间的关系等方面进行介绍。

首先，我们来看一下方差的定义和计算方法。

方差是衡量数据离散程度的一种统计指标，它表示各个数据与其均值之间的偏离程度。

方差的计算公式为，方差=Σ(xi-μ)²/n，其中xi表示第i个数据，μ表示数据的均值，n表示数据的个数。

方差的计算过程包括求出每个数据与均值的差值，然后对差值的平方求和，最后再除以数据的个数。

接下来，我们来看一下标准差的定义和计算方法。

标准差是方差的平方根，它也是衡量数据离散程度的一种统计指标。

标准差的计算公式为，标准差=√方差。

标准差的计算过程是先求出方差，然后对方差进行开方运算。

方差和标准差之间的关系非常密切。

首先，从定义上来看，标准差是方差的平方根，它们之间存在着数学上的直接关系。

其次，从计算方法上来看，计算标准差需要先计算出方差，然后再对方差进行开方运算，这也说明了它们之间的密切联系。

另外，从实际应用的角度来看，方差和标准差都可以用来衡量数据的离散程度，它们在数据分析和统计推断中都具有重要的作用。

在实际应用中，我们可以根据具体的情况选择使用方差或者标准差来衡量数据的离散程度。

一般来说，当我们需要对数据的离散程度进行比较时，可以选择使用标准差，因为标准差的数值与原始数据的单位保持一致，更容易进行比较。

而在一些特定的统计推断和假设检验中，方差更常用于计算总体方差的估计值。

总之，方差和标准差是统计学中常用的两个概念，它们都是衡量数据分散程度的重要指标。

方差和标准差之间存在着密切的关系，它们的计算方法和应用场景也有所不同。

在实际应用中，我们需要根据具体的情况选择合适的指标来衡量数据的离散程度，以便更好地进行数据分析和统计推断。