4高斯分布

高斯定理 高斯定理的应用
（Gauss’ Law）
（用高斯定理求解的静电场必须具有一定的对称性） 其步骤为 对称性分析；
根据对称性选择合适的高斯面；
应用高斯定理计算.
1
高斯定理
（Gauss’ Law）
例1
均匀带电球壳的电场强度 一半径为 R , 均匀带电 Q 的薄 球壳 . 求球壳内外任意点的电场强 度. 解（1） 0 r R
高斯定理 8 – 4 电场强度通量 高斯定理
第八章静电场
8 – 4 电场强度通量
高斯定理 续32

第八章静电场
三
高斯定理
在真空中,通过任一闭合曲面的电场强度通量, 等于该曲面所包围的所有电荷的代数和除以 0 . （与面外电荷无关，闭合曲面称为高斯面）
1 Φe E dS
r
s2
+ + +
+
S1 +
O
+ + +
R
r
+
+ + +
（2） r
R
Q 2 4π 0R
E
o
R
r
例2：求均匀带电球体的电场分布。已知球体的半径 为R，所带总电量为Q。
1
高斯定理
（Gauss’ Law）
例3 无限长均匀带电直线的电场强度 无限长均匀带电直线，单位长度上的电荷，即 电荷线密度为 ，求距直线为 处的电场强度.
3）穿进高斯面的电场强度通量为负，穿出为正.
4）仅高斯面内的电荷对高斯面的电场强度通量有贡献.
5）静电场是有源场.
1
高斯定理
（Gauss’ Law）

5-4 电场强度通量
高斯定理
正点电荷与负点电荷的电场线
+
-
5-4 电场强度通量
高斯定理
一对等量正点电荷的电场线
+
+
5-4 电场强度通量
高斯定理
一对等量异号点电荷的电场线
-
+
5-4 电场强度通量
高斯定理
一对不等量异号点电荷的电场线
2q
-q
5-4 电场强度通量
高斯定理
带电平行板电容器的电场线
+ + + + + + + + + + + + +
i 1 n
3 高斯定理的讨论 (1) 高斯面：闭合曲面. (2) 电场强度：所有电荷的总电场强度. (3) 电通量：穿出为正，穿进为负.
(4) 仅面内电荷对电通量有贡献.
5-4 电场强度通量
四 高斯定理应用举例 用高斯定理求电场强度的一般步骤为 对称性分析； 根据对称性选择合适的高斯面； 应用高斯定理计算.
高斯定理
1 Φe E dS ε0 S
q in i
i 1
n
5-4 电场强度通量
高斯定理
例2 设有一半径为R , 均匀带电Q 的球面. 求球面内外任 意点的电场强度. 解 高斯面：闭合球面 对称性分析：球对称 (1) 0 r R E dS 0 E 0
in ei
E
1 n in SE dS ε0 qi i 1
dS
s
qi
5-4 电场强度通量
高斯定理
2 高斯定理 在真空中静电场，穿过任一闭合曲面的电场强度通量，

n
3
证：将拘束改写为 1 n 1 Z = ( Fi − m i a i ) ⋅ ( Fi − m i a i ) 2 i =1 m i
∑
设真实运动的加速度为 && ，约束允许的可能加速度 r 为 && + δ&& ，则拘束Z的变化： r r
1 n 1 ∆ Z = ∑ {[ Fi − m i ( && + δ &&)] ⋅ [ Fi − m i ( && + δ &&)] − r r r r 2 i =1 m i ( Fi − m i &&) ⋅ ( Fi − m i &&)} r r 1 n 1 = ∑ [ m i2δ && ⋅ δ && − 2 m i ( Fi − m i &&)δ &&] r r r r 2 i =1 m i n 1 n = ∑ m i δ && ⋅ δ && − ∑ ( Fi − m i &&)δ && r r r r 2 i =1 i =1
16
根据高斯原理： ∂Z ∂Z ∂Z & && + && + δZ = δx δy δϕ& = 0 && ∂&& x ∂&& y ∂ϕ
∂Z ∂Z ∂Z = 0， = 0， =0 && ∂&& x ∂&& y ∂ϕ
即：
∂&&1 x ∂&&2 x m1 ( &&1 − g sin α ) x + m2 ( &&2 − g sin α ) x = 0 (6) ∂&& x ∂&& x ∂&&1 y ∂&&2 y m1 &&1 y y + m2 &&2 = 0 (7) y y ∂&& ∂&& ∂&&1 x ∂&&1 y ∂&&2 x ∂&&2 y m1 ( &&1 − g sin α ) x + m1 &&1 y + m2 ( &&2 − g sin α ) x + m2 &&2 y =0 && && && && ∂ϕ ∂ϕ ∂ϕ ∂ϕ

第11章 静电场
11-4 高斯定理
2 点电荷在任意形状的高斯面内 通过球面 S 的电场线也必通 过任意曲面S‘ ，即它们的电 通量相等。 为 q / o
S'
S +
q E Φ E d dS e e SS o
第11章 静电场
11-4 高斯定理
3 电荷q在闭合曲面以外
0
dV E d S 若电荷连续分布，则为 e: E d S s V
0
第11章 静电场
11-4 高斯定理
讨论
1 闭合面内、外电荷 对
S
E 都有贡献
对电通量 E dS 的贡献有差别
只有闭合面内的电量对电通量有贡献 2 静电场性质的基本方程
非匀强电场
E
dS
en
Φ dΦ S E dS
第11章 静电场
11-4 高斯定理
讨论
1
dΦ E dS 的正、负取决于面元的法线方向与
电场强度方向的关系
如图所示： 若面元法向相反：
E dS 0
E dS ' 0
E
dS
dS '
第11章 静电场
11-4 高斯定理
11-4 高斯定理
描述电场的两种方法：电力线和电通量。 11.4.1 电场线 1 曲线上各点的切线方向都与该点处的场强方向一致 2 电场线密度
EP
dN E dS
第11章 静电场
EQ
Q
P
dN
dS
11-4 高斯定理
电场线的性质： 电场线起自于正电荷或无穷远，止于负电荷或无穷 远 ，没有电荷处不中断。 对于静电场不可能出现单一绕向的闭合电力线。 两条电场线不会相交，不能相切。