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高考数学二轮专题复习与策略第1部分专题5解析几何第17讲圆锥曲线的定义、方程与性质专题限时集训理

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专题限时集训(十八) 圆锥曲线的定义、方程与性质(建议用时：4 5分钟)上的点2C 若曲线.E 关于原点的对称点为F ，它的焦点2x 120＝y 的方程为1C ．设抛物线1．________的标准方程为2C ，则曲线6的距离之差的绝对值等于F ，E 到 ，(0的坐标为E ，所以点(0,5)F ，它的焦点为y 20＝2x 可化为2x 120＝y 方程 【解析】＞b ，0＞a 1(＝x2b2－y2a2轴上的双曲线，设方程为y 是焦点在2C ，根据题意，知曲线5)－，16＝2a －2c ＝2b ，5＝c ，又3＝a ，6＝a 2，则0) 1.＝x216－y29的标准方程为2C 所以曲线 1＝x216－y29【答案】 ，(1P 的一条渐近线经过点>0)b ，>0a 1(＝y2b2－x2a2：C 已知双曲线)常州期末(2016·．2－2)，则该双曲线的离心率为________．【导学号：19592052】5 [双曲线x2a2－y2b2＝1的渐近线方程为y ＝±ba x .由点P (1，－2)在其直线上，得ba ＝2.∴离心率e ＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 2＝1＋4＝ 5.] 3．(2016·苏北四市摸底)已知双曲线x 2－y2m2＝1(m >0)的一条渐近线方程为x ＋3y ＝0，则m ＝________.33 [双曲线x 2－y2m2＝1(m >0)的渐近线方程为y ＝±mx (m >0)．由题意可知m ＝33.] 4．(2016·南京盐城一模)在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线C 的顶点在坐标原点，焦点在x 轴上，若曲线C 经过点P (1,3)，则其焦点到准线的距离为________．92[由题意，可设曲线C 的方程为y 2＝2px (p >0)． 由于点P (1,3)满足y 2＝2px ，即9＝2p ，∴p ＝92.故焦点到准线的距离为92.]5．已知椭圆C ：x2a2＋y2b2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，离心率为33，过F 2的直线l 交C 于A ，B 两点．若△AF 1B 的周长为43，则C 的方程为________．x23＋y22＝1 [由e ＝33得c a ＝33①.又△AF 1B 的周长为43，由椭圆定义，得4a ＝43，得a ＝3，代入①得c ＝1，∴b 2＝a 2－c 2＝2，故C 的方程为x23＋y22＝1.]6．设F 为抛物线C ：y 2＝3x 的焦点，过F 且倾斜角为30°的直线交C 于A ，B 两点，则AB ＝________.12 [∵F 为抛物线C ：y 2＝3x 的焦点，∴F ⎝ ⎛⎭⎪⎫34，0，∴AB 的方程为y －0＝t an 30°⎝ ⎛⎭⎪⎫x －34，即y ＝33x －34. 联立⎩⎪⎨⎪⎧y2＝3x ，y ＝33x －34，得13x 2－72x ＋316＝0. ∴x 1＋x 2＝－－7213＝212，即x A ＋x B ＝212.由于AB ＝x A ＋x B ＋p ，∴AB ＝212＋32＝12.] 7．(2016·南通三模)在平面直角坐标系xOy 中，双曲线x2a2－y 2＝1与抛物线y 2＝－12x有相同的焦点，则双曲线的两条渐近线的方程为________．y ＝±24x [抛物线y 2＝－12x 的焦点为(－3,0)， 故双曲线x2a2－y 2＝1满足a 2＋1＝9，∴a 2＝8.∴a ＝±2 2.∴双曲线的渐近线方程y ＝±x a ＝±24x .]8．已知F 1，F 2是椭圆x2a2＋y2b2＝1(a >b >0)的左，右焦点，过F 1的直线与椭圆相交于A ，B 两点，若AB →·AF2→＝0，且|AB →|＝|AF2→|，则椭圆的圆心率为________．6－3 [在Rt △ABF 2中，设AF 2＝m ， 则BF 2＝2m ， 所以4a ＝(2＋2)m ，又在Rt △AF 1F 2中，AF 1＝2a －m ＝22m ， F 1F 2＝2c ，所以(2c )2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫22m 2＋m 2＝32m 2，即2c ＝62m ，所以e ＝c a ＝2c2a＝62m ⎝⎛⎭⎪⎫1＋22m＝6－ 3.]9．已知F 是椭圆x2a2＋y2b2＝1(a >b >0)的左焦点，P 是椭圆上的一点，PF ⊥x 轴，OP ∥AB (O 为原点)，则该椭圆的离心率是________．【导学号：19592053】图17－222.b2a ＝PF ∴，b2a ±＝y 代入椭圆方程，得c ＝－x 把[ ∵OP ∥AB ，PF ∥OB ，∴△PFO ∽△BOA ，.]22＝e ，c ＝b ，得b a ＝b2a c ，即OB OA ＝PF OF ∴ ，C ，B ，A 线于点依次交抛物线及其准l 的直线F 的焦点>0)p (px 2＝2y ．过抛物线10若BC ＝2BF ，且AF ＝3，则抛物线的方程是________．＝BN ，则)图略(N ，M 垂直准线于点BN ，AM ，作)2y ，2x (B ，)1y ，1x (A 设[ x 3＝2y BF ，又BC ＝2BF ，得BC ＝2BN ，所以∠NCB ＝30°，有AC ＝2AM ＝6，，p24＝2x 1x ，且1＝p 2＋2x ，3＝p2＋1x ，又1＝x ⇒6＝3＋x ＋x 2，则x ＝BF 设 .]x 3＝2y ，从而抛物线方程为32＝p ，解得p24＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－p 2⎝ ⎛⎭⎪⎫3－p 2所以FM为圆心、F 的焦点，以C 为抛物线F 上一点，y 8＝2x ：C 为抛物线)0y ，0x (M ．设11．________的取值范围是0y 的准线相交，则C 为半径的圆和抛物线 由抛物线的定2.＝－y ，准线方程为(0,2)的坐标为F 焦点∴，y 8＝2x ∵[ ∞)，＋(2.22)＋0y (＝22)－y (＋2x 为半径的圆的标准方程为FM 为圆心、F 以2.＋0y ＝MF 义知 ＋0y 4<，故4到准线的距离为F 为半径的圆与准线相交，又圆心FM 为圆心、F 由于以>2.]0y ∴，2 两B ，A 相交于x 4＝2y ：C 与抛物线>0)k 1)(＋x (k ＝y ：l ，已知直线3－17．如图12点，且A ，B 两点在抛物线C 的准线上的射影分别是M ，N ，若AM ＝2BN ，则k ＝________.图17－3223AE为B ，即BA ＝BE ，所以BN 2＝AM ，因为E 的准线的交点为C 与曲线l 设直线[ －2k (2＋2x 2k 得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k x ＋1，y2＝4x ，，由1－1x ＝2x 2，得)2y ，2x (B ，)1y ，1x (A 的中点，设＝k ，2＝2y ，12＝2x ，22＝1y ，2＝1x ，得1＝1x ·x1－12，即1＝1x ·2x ，所以0＝2k ＋x 4).]223上的C 为Q ，P 的左焦点，1＝y216－x29：C 为双曲线F 已知)辽宁高考(2013·．13点．若PQ 的长等于虚轴长的2倍，点A (5,0)在线段PQ 上，则△PQF 的周长为________．5.＝c ，4＝b ，3＝a ，得1＝y216－x29由[ 44 ∴PQ ＝4b ＝16>2a .又∵A (5,0)在线段PQ 上，∴P ，Q 在双曲线的一支上，且PQ 所在直线过双曲线的右焦点， ⎩⎪⎨⎪⎧PF －PA ＝2a ＝6，QF －QA ＝2a ＝6，由双曲线定义知∴PF ＋QF ＝28.∴△PQF 的周长是PF ＋QF ＋PQ ＝28＋16＝44.]＝y 若直线.c 2，焦距为2F ，1F 的左、右焦点分别为0)＞b ＞a 1(＝y2b2＋x2a2：Γ．椭圆14，则该椭圆的离心率等于1F 2MF ∠2＝2F 1MF ∠满足M 的一个交点Γ与椭圆)c ＋x (3________．3，0)c,(2F ，0)c,－(1F 已知[ 1－ ，3，且斜率为1F 过点)c ＋x (3＝y 直线 60°.＝2F 1MF ∠倾斜角∴ ，30°＝2F 1MF ∠12＝1F 2MF ∵∠ .c 3＝2MF ，c ＝1MF ∴，90°＝2MF 1F ∴∠ ，a 2＝c 3＋c ＝2MF ＋1MF 由椭圆定义知 1.]－3＝21＋3＝c a ＝e 离心率∴ 点的坐标为A 上，若1＝y216＋x225在椭圆)y ，x (P 已知动点)宿迁模拟(2016·．15．________的最小值为|PM →|，则0＝AM →·PM →，且1＝|AM →|，)(3,0 3为半径的圆上运动，1为圆心，(3,0)A 在以M ，知点(3,0)A ，1＝|AM →|由[ ，则)如图(PA 的切线，连结A ⊙为PM ，即AM ⊥PM ∴在椭圆上运动，P 且0＝AM →·PM →∵，|PA →|2－1＝|PA →|2－|AM →|2＝|PM →|，2＝3－5＝c －a ＝min |PA →|∵ .]3＝n mi |PM →|∴ 个不6上恰好有C ，若椭圆2F ，1F 的左、右焦点分别为>0)b >a 1(＝y2b2＋x2a2：C ．椭圆16．________的离心率的取值范围是C 为等腰三角形，则椭圆P 2F 1F △，使得P 同的点 ⎝⎛⎭⎪⎫13，12角形，此时有为等腰三P 2F 1F △位于椭圆的两个短轴端点时，P 当点[ ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1∪2个．2F 1F ＝2PF 或c 2＝2F 1F ＝1PF 为等腰三角形，则有P 2F 1F △若点不在短轴的端点时，要使，又13>c a ，即a >c 3，所以c 2－a >2c 2＋c 2，即2PF >2F 1F ＋1PF 所以有.c 2－a 2＝2PF 此时.c 2＝离心率满所以椭圆的 .12≠c a ，所以a ≠c 2，即1BF ≠1PF 不在短轴上，所以P 当点.]⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1∪⎝ ⎛⎭⎪⎫13，12，即12≠e 且<1e <13足。

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专题 圆锥曲线的定义、方程与性质(课件)2023届高考数学二轮专题复习

专题 圆锥曲线的定义、方程与性质(课件)2023届高考数学二轮专题复习

A. B. C. D.
√
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解析：由题意可知，抛物线 的标准方程为 , ,设直线 的方程为 , , ,联立得 消去 ,得 , ,则 , . ,所以当 时， 的面积取得最小值，最小值为2，故选D.
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（2）（2022·新高考卷Ⅱ）已知直线 <m></m> 与椭圆 <m></m> 在第一象限交于 <m></m> ， <m></m> 两点， <m></m> 与 <m></m> 轴、 <m></m> 轴分别交于 <m></m> ， <m></m> 两点，且 <m></m> , <m></m> ，则 <m></m> 的方程为__________________．
，所以 ①,又 ②, 得 ,所以四边形 的面积为18.
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考点二 圆锥曲线的几何性质
例2.（1）（2022·陕西西安五校高三联考）已知双曲线 <m></m> 的离心率为2，则双曲线 <m></m> 的渐近线方程是( )
A. B. C. D.
解析：由题意可知，双曲线的实半轴长的平方 ,虚半轴长的平方 ,所以双曲线的离心率 满足 ,从而 ,所以双曲线的渐近线方程为 ,故选A.
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2. <m></m> ， <m></m> 是椭圆 <m></m> 的两个焦点， <m></m> 是椭圆 <m></m> 上异于顶点的一点， <m></m> 是 <m></m> 的内切圆圆心，若 <m></m> 的面积等于 <m></m> 的面积的3倍，则椭圆 <m></m> 的离心率为_ _.
高考数学二轮专题五解析几何第讲 圆锥曲线的定义方程与性质课件

高考数学二轮专题五解析几何第讲 圆锥曲线的定义方程与性质课件


(1)B
(2)B
(3)ACD
第2讲 圆锥曲线的定义、
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解题方略
1.圆锥曲线的定义 (1)椭圆：|PF1|＋|PF2|＝2a(2a＞|F1F2|)； (2)双曲线：||PF1|－|PF2||＝2a(2a＜|F1F2|)； (3)抛物线：|PF|＝|PM|(点F不在定直线l上，PM⊥l于点 M)．
第2讲 圆锥曲线的定义、 方程与性质
名师解读《普通高中数学课程标准》(2020年修订版)
1.了解圆锥曲线的实际背景，感受圆锥曲线在刻画现实世界和 解决实际问题中的作用. 2.掌握椭圆的定义、标准方程及简单几何性质. 3.了解抛物线、双曲线的定义、几何图形及标准方程，知道它 们的简单几何性质.
Contents
B．12，0
C．(1，0)
D．(2，0)
(2)(2020·全国卷Ⅰ)设F1，F2是双曲线C：x2－y32＝1的两个
焦点，O为坐标原点，点P在C上且|OP|＝2，则△PF1F2的面积
为
()
7 A.2
B．3
5 C.2
D．2
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(3)(多选)已知椭圆C的中心为坐标原点，焦点F1，F2在y
轴上，短轴长等于2，离心率为
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(2)(2020·武汉市学习质量检测)已知点P在椭圆Γ：
x2 a2
＋
y2 b2
＝1(a＞b＞0)上，点P在第一象限，点P关于原点O的对称点为
A，点P关于x轴的对称点为Q，设
―PD→
＝
3 4
―PQ→
，直线AD与椭
圆Γ的另一个交点为B，若PA⊥PB，则椭圆Γ的离心率e＝
()
1
2
A.2
B. 2
新教材适用2024版高考数学二轮总复习第1篇专题5解析几何第2讲圆锥曲线的方程和性质核心考点1圆锥曲

新教材适用2024版高考数学二轮总复习第1篇专题5解析几何第2讲圆锥曲线的方程和性质核心考点1圆锥曲

第2讲 圆锥曲线的方程和性质高频考点高考预测椭圆、双曲线、抛物线的定义、标准方程 重点考查椭圆的离心率、双曲线的离心率、渐近线问题；抛物线定义和性质的应用，常与三角、平面向量、圆相结合，以选择填空为主.椭圆、双曲线、抛物线的几何性质直线和椭圆、抛物线、双曲线的位置关系1. (2023·全国新高考Ⅰ卷)设椭圆C 1：x2a 2＋y 2＝1(a ＞1)，C 2：x24＋y 2＝1的离心率分别为e 1，e 2.若e 2＝3e 1，则a ＝( A )A.233B ． 2C ． 3D ． 6【解析】 由椭圆C 2：x 24＋y 2＝1可得a 2＝2，b 2＝1，∴c 2＝4－1＝3，∴椭圆C 2的离心率为e 2＝32，∵e 2＝3e 1，∴e 1＝12，∴c 1a 1＝12，∴a 21＝4c 21＝4(a 21－b 21)＝4(a 21－1)，∴a ＝233或a ＝－233(舍去)．故选A.2. (2023·全国新高考Ⅱ卷)已知椭圆C ：x 23＋y 2＝1的左焦点和右焦点分别为F 1和F 2，直线y ＝x ＋m 与C 交于点A ，B 两点，若△F 1AB 面积是△F 2AB 面积的两倍，则m ＝( C )A.23 B ．23C ．－23D ．－23【解析】 记直线y ＝x ＋m 与x 轴交于M (－m,0)，椭圆C ：x 23＋y 2＝1的左，右焦点分别为F 1(－2，0)，F 2(2，0)，由△F 1AB 面积是△F 2AB 的2倍，可得|F 1M |＝2|F 2M |，∴|－2－x M |＝2|2－x M |，解得x M ＝23或x M ＝32，∴－m ＝23或－m ＝32，∴m ＝－23或m ＝－32，联立⎩⎪⎨⎪⎧x 23＋y 2＝1y ＝x ＋m可得，4x 2＋6mx ＋3m 2－3＝0，∵直线y ＝x ＋m 与C 相交，所以Δ＞0，解得m 2＜4，∴m ＝－32不符合题意，故m ＝－23.故选C. 3. (多选)(2023·全国新高考Ⅱ卷)设O 为坐标原点，直线y ＝－3(x －1)过抛物线C ：y 2＝2px (p ＞0)的焦点，且与C 交于M ，N 两点，l 为C 的准线，则( AC )A ．p ＝2B ．|MN |＝83C ．以MN 为直径的圆与l 相切D ．△OMN 为等腰三角形【解析】 直线y ＝－3(x －1)过抛物线C ：y 2＝2px (p ＞0)的焦点，可得p2＝1，所以p＝2，所以A 正确；抛物线方程为：y 2＝4x ，与C 交于M ，N 两点，直线方程代入抛物线方程可得：3x 2－10x ＋3＝0，x M ＋x N ＝103，所以|MN |＝x M ＋x N ＋p ＝163，所以B 不正确；M ，N 的中点的横坐标为53，中点到抛物线的准线的距离为：1＋53＝83，所以以MN 为直径的圆与l 相切，所以C 正确；3x 2－10x ＋3＝0，不妨可得x M ＝3，x N ＝13，y M ＝－23，y N ＝233，|OM |＝9＋12＝21，|ON |＝19＋129＝133，|MN |＝163，所以△OMN 不是等腰三角形，所以D 不正确．故选AC.4. (2022·全国甲卷)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为13，A 1，A 2分别为C 的左、右顶点，B 为C 的上顶点．若BA 1→·BA 2→＝－1，则C 的方程为( B )A.x 218＋y 216＝1 B ．x 29＋y 28＝1C.x 23＋y 22＝1 D ．x 22＋y 2＝1【解析】 因为离心率e ＝ca ＝1－b 2a 2＝13，解得b 2a 2＝89，b 2＝89a 2，A 1，A 2分别为C 的左、右顶点，则A 1(－a,0)，A 2(a,0)，B 为上顶点，所以B (0，b )．所以BA 1→＝(－a ，－b )，BA 2→＝(a ，－b )，因为BA 1→·BA 2→＝－1，所以－a 2＋b 2＝－1，将b 2＝89a 2代入，解得a 2＝9，b 2＝8，故椭圆的方程为x 29＋y 28＝1.故选B.5. (2022·全国乙卷)设F 为抛物线C ：y 2＝4x 的焦点，点A 在C 上，点B (3,0)，若|AF |＝|BF |，则|AB |＝( B )A ．2B ．2 2C ．3D ．3 2【解析】 由题意得，F (1,0)，则|AF |＝|BF |＝2，即点A 到准线x ＝－1的距离为2，所以点A 的横坐标为－1＋2＝1，不妨设点A 在x 轴上方，代入得，A (1,2)，所以|AB |＝3－12＋0－22＝2 2.故选B.6. (2022·全国甲卷)椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左顶点为A ，点P ，Q 均在C 上，且关于y 轴对称．若直线AP ，AQ 的斜率之积为14，则C 的离心率为( A )A.32B ．22C ．12D ．13【解析】 A (－a,0)，设P (x 1，y 1)，则Q (－x 1，y 1)，则k AP ＝y 1x 1＋a ，k AQ ＝y 1－x 1＋a，故k AP ·k AQ ＝y 1x 1＋a ·y 1－x 1＋a ＝y 21－x 21＋a 2＝14，又x 21a 2＋y 21b 2＝1，则y 21＝b 2a 2－x 21a2，所以b 2a 2－x 21a2－x 21＋a2＝14，即b 2a 2＝14，所以椭圆C 的离心率e ＝ca＝1－b 2a 2＝32.故选A.7. (2022·全国甲卷)若双曲线y 2－x 2m2＝1(m >0)的渐近线与圆x 2＋y 2－4y ＋3＝0相切，则m ＝33. 【解析】 双曲线y 2－x 2m 2＝1(m >0)的渐近线为y ＝±xm，即x ±my ＝0，不妨取x ＋my ＝0，圆x 2＋y 2－4y ＋3＝0，即x 2＋(y －2)2＝1，所以圆心为(0,2)，半径r ＝1，依题意圆心(0,2)到渐近线x ＋my ＝0的距离d ＝|2m |1＋m2＝1，解得m ＝33或m ＝－33(舍去)． 8. (2021·全国新高考Ⅱ卷)已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的离心率为2，则该双曲线的渐近线方程为 y ＝±3x .【解析】 因为双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的离心率为2，所以e ＝c 2a 2＝a 2＋b 2a 2＝2，所以b 2a 2＝3，所以该双曲线的渐近线方程为y ＝±bax ＝±3x .故答案为y ＝±3x .9. (2022·全国新高考Ⅰ卷)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)，C 的上顶点为A ，两个焦点为F 1，F 2，离心率为12.过F 1且垂直于AF 2的直线与C 交于D ，E 两点，|DE |＝6，则△ADE的周长是_13__.【解析】 ∵椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为12，∴不妨可设椭圆C ：x 24c 2＋y 23c2＝1，a ＝2c ，∵C 的上顶点为A ，两个焦点为F 1，F 2，∴△AF 1F 2为等边三角形，∵过F 1且垂直于AF 2的直线与C 交于D ，E 两点，∴k DE ＝tan 30°＝33，由等腰三角形的性质可得，|AD |＝|DF 2|，|AE |＝|EF 2|，设直线DE 的方程为y ＝33(x ＋c )，D (x 1，y 1)，E (x 2，y 2)，将其与椭圆C 联立化简可得，13x 2＋8cx －32c 2＝0，由韦达定理可得，x 1＋x 2＝－8c 13，x 1x 2＝－32c213，|DE |＝k 2＋1|x 1－x 2|＝x 1＋x 22－4x 1x 2＝13＋1·⎝ ⎛⎭⎪⎫－8c 132＋128c 213＝4813c ＝6，解得c ＝138，由椭圆的定义可得，△ADE 的周长等价于|DE |＋|DF 2|＋|EF 2|＝4a ＝8c ＝8×138＝13.10. (2023·全国新高考Ⅰ卷)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2.点A 在C 上，点B 在y 轴上，F 1A →⊥F 1B →，F 2A →＝－23F 2B →，则C 的离心率为 355.【解析】 方法一：如图，设F 1(－c,0)，F 2(c,0)，B (0，n )，设A (x ，y )，则F 2A →＝(x －c ，y )，F 2B →＝(－c ，n )，又F 2A →＝－23F 2B →，则⎩⎪⎨⎪⎧x －c ＝23c ，y ＝－23n ，可得A ⎝ ⎛⎭⎪⎫53c ，－23n ，又F 1A →⊥F 1B →，且F 1A →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫83c ，－23n ，F 1B →＝(c ，n )，则F 1A →·F 1B →＝83c 2－23n 2＝0，化简得n 2＝4c 2.又点A在C 上，则259c 2a 2－49n 2b 2＝1，整理可得25c 29a 2－4n 29b 2＝1，代入n 2＝4c 2，可得25c 2a 2－16c 2b 2＝9，即25e2－16e 2e 2－1＝9，解得e 2＝95或15(舍去)，故e ＝355.方法二：由F 2A →＝－23F 2B →，得|F 2A →||F 2B →|＝23，设|F 2A →|＝2t ，|F 2B →|＝3t ，由对称性可得|F 1B →|＝3t ，则|AF 1→|＝2t ＋2a ，|AB →|＝5t ，设∠F 1AF 2＝θ，则sin θ＝3t 5t ＝35，所以cos θ＝45＝2t ＋2a 5t ，解得t ＝a ，所以|AF 1→|＝2t ＋2a ＝4a ，|AF 2→|＝2a ，在△AF 1F 2中，由余弦定理可得cos θ＝16a 2＋4a 2－4c 216a 2＝45，即5c 2＝9a 2，则e ＝355.核心考点1 圆锥曲线的定义及标准方程核心知识· 精归纳1.圆锥曲线的定义(1)椭圆：|MF 1|＋|MF 2|＝2a (2a >|F 1F 2|)； (2)双曲线：|MF 1|－|MF 2|＝2a (2a <|F 1F 2|)； (3)抛物线：|MF |＝d (d 为M 点到准线的距离)． 2.圆锥曲线的标准方程(1)椭圆：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)(焦点在x 轴上)或y 2a 2＋x 2b 2＝1(a ＞b ＞0)(焦点在y 轴上)；(2)双曲线：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)(焦点在x 轴上)或y 2a 2－x 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)(焦点在y轴上)；(3)抛物线：y 2＝2px (p ＞0)；y 2＝－2px (p ＞0)；x 2＝2py (p >0)；x 2＝－2py (p >0)．多维题组· 明技法角度1：椭圆的定义及标准方程1. (2023·浙江二模)已知F 是椭圆C ：x 24＋y 23＝1的左焦点，点M 在C 上，N 在⊙P ：x2＋(y －3)2＝2x 上，则|MF |－|MN |的最大值是( A )A ．2B ．10－1 C.13－1D ．13＋1【解析】 由⊙P ：x 2＋(y －3)2＝2x ，可得(x －1)2＋(y －3)2＝1，可得圆⊙P 的圆心坐标为P (1,3)，半径r ＝1，由椭圆C ：x 24＋y 23＝1，可得a ＝2，设椭圆的右焦点为F 1，根据椭圆的定义可得|MF |＝2a －|MF 1|，所以|MF |－|MN |＝2a －(|MF 1|＋|MN |)，又由|MN |min ＝|MP |－r ，如图所示，当点P ，M ，N ，F 1四点共线时，即为P ，N ′，M ′，F 1时，|MF 1|＋|MN |取得最小值，最小值为(|MF 1|＋|MN |)min ＝(|MF 1|＋|MP |－r )＝|PF 1|－r ＝3－1＝2，所以(|MF |－|MN |)max ＝2×2－2＝2.故选A.2.已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，离心率为33，过F 2的直线l 交C 于A ，B 两点．若△AF 1B 的周长为43，则椭圆C 的方程为( A )A.x 23＋y 22＝1B ．x 23＋y 2＝1C.x 212＋y 28＝1 D ．x 212＋y 24＝1 【解析】 由题意及椭圆的定义知4a ＝43，则a ＝3，又c a＝c3＝33，所以c ＝1，所以b 2＝2，所以椭圆C 的方程为x 23＋y 22＝1.故选A.角度2：双曲线的定义及标准方程3.设双曲线C ：x 28－y 2m ＝1的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 1的直线与双曲线C 交于M ，N 两点，其中M 在左支上，N 在右支上．若∠F 2MN ＝∠F 2NM ，则|MN |＝( C )A ．8B ．4C ．8 2D ．4 2【解析】 由∠F 2MN ＝∠F 2NM 可知，|F 2M |＝|F 2N |，由双曲线定义可知，|MF 2|－|MF 1|＝42，|NF 1|－|NF 2|＝42，两式相加得，|NF 1|－|MF 1|＝|MN |＝8 2.故选C.4. (多选)已知双曲线的渐近线方程为y ＝±22x ，实轴长为4，则该双曲线的标准方程为( AB )A.x 24－y 22＝1 B ．y 24－x 28＝1C.x 24－y 28＝1 D ．y 24－x 22＝1【解析】 由题意，设双曲线方程为x 22m －y 2m＝1(m ≠0)，又2a ＝4，∴a 2＝4，当m >0时，2m ＝4，则m ＝2；当m <0时，－m ＝4，则m ＝－4.故所求双曲线的标准方程为x 24－y 22＝1或y 24－x 28＝1.故选AB.角度3：抛物线的定义及标准方程5. (2023·新乡三模)已知抛物线C ：y 2＝2px (p ＞0)的焦点为F ，C 上一点M (x 0，x 0)(x 0≠0)满足|MF |＝5，则p ＝( D )A ．5B ．4C ．3D ．2【解析】 依题意得x 20＝2px 0，因为x 0≠0，所以x 0＝2p .由|MF |＝x 0＋p2＝5，解得p ＝2.故选D.6.已知抛物线x 2＝2py (p >0)的焦点为F ，点P 为抛物线上的动点，点M 为其准线上的动点，若△FPM 为边长是4的等边三角形，则此抛物线的方程为_x 2＝4y __.【解析】 △FPM 为等边三角形，则|PM |＝|PF |，由抛物线的定义得PM 垂直于抛物线的准线，设P ⎝ ⎛⎭⎪⎫m ，m 22p ，则点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫m ，－p 2.因为焦点F ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，p 2，△FPM 是等边三角形，所以⎩⎪⎨⎪⎧m 22p ＋p2＝4，⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2＋p 22＋m 2＝4，解得⎩⎪⎨⎪⎧m 2＝12，p ＝2，因此抛物线方程为x 2＝4y .方法技巧· 精提炼1.求解圆锥曲线标准方程的方法(1)定型：就是指定类型，也就是确定圆锥曲线的焦点位置，从而设出标准方程． (2)计算：即利用待定系数法求出方程中的a 2，b 2和p .另外，当焦点位置无法确定时，抛物线常设为y 2＝2ax 或x 2＝2ay (a ≠0)，椭圆常设为mx 2＋ny 2＝1(m >0，n >0，且m ≠n )，双曲线常设为mx 2－ny 2＝1(mn >0)．2.焦点三角形的面积公式(1)在椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)中两焦点F 1，F 2；点P 为椭圆上的一点，则△PF 1F 2的面积S △PF 1F 2＝b 2·tan θ2，其中θ＝∠F 1PF 2.(2)双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的两个焦点为F 1，F 2，点P 为双曲线上的一点，则△PF 1F 2的面积S △PF 1F 2＝b 2tanθ2，其中θ＝∠F 1PF 2.(3)设AB 是过抛物线y 2＝2px (p ＞0)焦点F 的弦(即焦点弦)，焦点弦端点与顶点构成的三角形面积：S △AOB ＝p 22sin α＝12|AB ||d |＝12|OF |·|y 1－y 2|.加固训练· 促提高1. (2023·未央区模拟)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，M为C 上一点，若MF 1的中点为(0,1)，且△MF 1F 2的周长为8＋42，则C 的标准方程为( A )A.x 216＋y 28＝1 B ．x 28＋y 24＝1C.x 216＋y 24＝1 D ．x 232＋y 216＝1 【解析】 ∵M 1F 的中点为B (0,1)，∴OB 是△MF 1F 2的中位线，则MF 2＝2OB ＝2，且△MF 1F 2为直角三角形，∵△MF 1F 2的周长为2a ＋2c ＝8＋42，∴a ＋c ＝4＋22①，∵MF 2＝2，∴MF 1＝2a －2，∵(MF 1)2－(MF 2)2＝4c 2，∴(2a －2)2－4＝4c 2，即(a －1)2－1＝c 2②，由①②得，a ＝4，c ＝22，b 2＝16－8＝8，∴C 的标准方程为x 216＋y 28＝1.故选A.2.已知F 是双曲线x 24－y 212＝1的左焦点，A (1,4)，P 是双曲线右支上的一动点，则|PF |＋|PA |的最小值为_9__.【解析】 因为F 是双曲线x 24－y 212＝1的左焦点，所以F (－4,0)，设其右焦点为H (4,0)，则由双曲线的定义可得|PF |＋|PA |＝2a ＋|PH |＋|PA |≥2a ＋|AH |＝4＋4－12＋0－42＝4＋5＝9.。

高考数学二轮复习解析几何5.5圆锥曲线的定义和标准方程学案理

高考数学二轮复习解析几何5.5圆锥曲线的定义和标准方程学案理


③方程 2x 2 5x 2 0 的两根可分别作为椭圆和双曲线的离心率；
2
2
2
xy
x
2
④双曲线
1与椭圆
y 1有相同的焦点 .
25 9
35
其中真命题的序号为 【课中研讨】 ：
（写出所有真命题的序号）
2
2
xy
例 1 、已知双曲线 2 2 1(a 0, b 0) 的两条渐近线均和圆
ab
2
2
C : x y 6 x 5 0 相切，
2. 能否由定义建立适当的平面直角坐标系求出三种圆锥曲线的标准方程？ 并体会求曲线方程或轨迹的过程。
二、高考真题再现
（ 11 安徽 21）（本小题满分 13 分）
uuur uur
设
，点 A 的坐标为（ 1,1 ），点 B 在抛物线 y x 上运动，点 Q 满足 BQ QA ，经过
Q 点与 M x 轴垂直的直线交抛物线于点
uuur M ，点 P 满足 QM
uuur MP , 求点 P 的轨迹方程。
三、基本概念检测 1、已知直线 L 过双曲线 C 的一个焦点，且与 为 C 的实轴长的 2 倍， C 的离心率为
C 的对称轴垂直， L 与 C 交于 A， B 两点， AB
小学 +初中 +高中 +努力 =大学
小学 +初中 +高中 +努力 =大学
小学 +初中 +高中 +努力 =大学
二轮复习专题五：解析几何
§ 5.5 圆锥曲线的定义和标准方程
【学习目标】 1、了解圆锥曲线的实际背景，了解圆锥曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用； 2、掌握椭圆的定义、几何图形、标准方程。 【学法指导】 1. 先认真阅读教材和一轮复习笔记，处理好知识网络构建，构建知识体系，形成系统的认识； 2. 限时 30 分钟独立、规范完成探究部分，并总结规律方法； 3. 找出自己的疑惑和需要讨论的问题准备课上讨论质疑； 4. 重点理解的内容：圆锥曲线的定义、几何图形、标准方程。 【高考方向】 1. 圆锥曲线的定义及点在曲线上的认识 2. 求轨迹与轨迹方程 【课前预习】 ： 一、知识网络构建 1. 三种圆锥曲线的定义是什么？