矩形的性质2优质课件PPT

矩形的两条对角线相等且互相平分，可以证明相互垂直。
矩形的周长和面积计算
周长公式
矩形的周长是两倍长和两倍宽 的和。
面积公式
矩形的面积是长乘以宽。
实例演示
通过几个例子演示如何计算矩 形的周长和面积。
矩形的性质和推导
同位角和内角和
矩形中同位角互相相等，内角和为360度。
对角线关系
矩形的对角线相互垂直。中点连线长为矩形面积开根号两次。
《矩形的性质》PPT课件
欢迎来到《矩形的性质》课件！在这个课程中，我们将深入探讨矩形的定义、 特征、周长和面积计算、性质和推导、应用和联系。让我们一起开始吧！
矩形的定义和特征
1 矩形的定义
矩形是一种四边形，有四个内角为直角，且对边相等。
2 边长关系
矩形的相邻两边长度相等，对边长度也相等。
3 对角线性质
矩形与其他几何图形的联系
正方形和长方形
正方形是一种特殊的矩形，长方形是一种分类 的矩形。
平行四边形和菱形
平行四边形有一组对边平行，菱形在矩形的基 础上增加了对边相等的特性。
总结
1 矩形是一种特殊的四边形
它有许多有趣的性质和应用。
2 学习矩形有助于理解几何图形
并对工程、建筑和计算机图形学有所帮助。
矩形的面积性质
在周长一定的情况下，矩形的面积最大。
矩形的应用和实例
1
建筑设计中的矩形
许多建筑设计基于矩形的特点：平整、稳定、便于构造。
2
计算机图形学中的矩形
由于矩形方便处理，许多2D和3D计算机图形学软件使用矩形来表示图形。
3
矩形与数学方程的关系
许多数学方程中包含矩形，如直角坐标系和平面直角坐标系。

如图,在△ABC中,∠ACB=90°,D是AB的中点,AC=6,
C D A B 4 c， m A D B C 43 cm 有一个角是______的平行四边形是矩形.
矩形 ABC的 D周长（ 2为 A B B） C 88（ 3cm ）
同步导练1 2.一个矩形的两条对角线所成的锐角是60°,短边 的长为3cm,则对角线的长为______cm,长边的长为 ______cm.
2
2
DG EG
9.如图,在矩形纸片ABCD中,AB=12,BC=5,点E在AB 上,将△DAE沿DE折叠,使点A落在BD上的点F处,求 AE的长.
9.如图,在矩形纸片ABCD中,AB=12,BC=5,点E在AB上,将△DAE 沿DE折叠,使点A落在BD上的点F处,求AE的长. 解：A设 Ex,依题意可知
线的一个夹角∠AOB=60°,求这个矩形的各边长和周长.
解 ∵ 四 ：边 AB是 形 CD 矩 A 形 C 8cm ，
如图,在矩形纸片ABCD中,AB=12,BC=5,点E在AB上,将△DAE沿DE折叠,使点A落在BD上的点F处,求AE的长.
A B 9 ， C 0 A C B D 如图,在矩形纸片ABCD中,AB=12,BC=5,点E在AB上,将△DAE沿DE折叠,使点A落在BD上的点F处,求AE的长.
8.如图,BD,CE分别是△ABC的两条高,G是BC的中点.求证:DG=EG.
解 B ： 、 D C是 EA △ B 的 C高 BD B C E 9 C 0 又G是BC的中点
G是 D R△ tBD 斜 CB 边 上 C 的中线
EG 是 R△ tBE斜 CB 边 上 C 的中线
DG 1BC ,EG 1BC ,
【例1】如图,矩形ABCD的一条对角线AC长8cm,两条对角线的一个夹角∠AOB=60°,求这个矩形的各边长和周长.

A
D
B
C
如图 , 在矩形ABCD中 , AC , BD相交于点O .
根据矩形的性质 ,
1
1
AO= BO = CO = DO = 2 AC= 2 BD .
A
D
O
B
C
直角三角形斜边上的中线等于斜边 的一半 .
用符号语言表述为 :
在Rt△ABC中 , BO是斜边AC上的中线 ,
∴BO= 1 AC .
2
求证 : 矩形的四个角都是直角 .
已知 : 如图 , 四边形ABCD是矩形 , 求证 : ∠A=∠B=∠C=∠D=90°.
证明 : ∵四边形ABCD是矩形 ,
∴ ∠A=90°.
A
D
又∵矩形ABCD是平行四边形,
∴ ∠A=∠C , ∠B = ∠D ,
∠A +∠B = 180° ,
B
C
∴ ∠A=∠B=∠C=∠D=90° .
矩形的性质
有一个角是直角的平行四边形 叫做矩形 .
平行四边形
有一个角 是直角
矩形
矩形是特殊的平行四边形
矩形是一个特殊的平行四边形 , 除了具有平行四边形的 所有性质外 , 还有哪些特殊性质呢 ?
A
D
O
B
C
猜想：猜想1: 矩形的四个角都是直角 ;
猜想2: 矩形的对角线相等 .
追问 : 你能证明这些猜想吗 ?
即矩形的四个角都是直角 .
求证 : 矩形的对角线相等 .
A
D
已知 : 如图 , 四边形ABCD是矩形 ,
求证 : AC = BD .
证明 : ∵ 四边形ABCD是矩形 ,
∴ ∠ABC = ∠DCB = 90° ,

课后作业
7. 如图S1-2-17所示，在四边形ABCD中，AB⊥BC，AB⊥AD， BD=BC，∠C=60°，如果△DBC的周长为m，则AD的长为
（ ）B
经营者提供商品或者服务有欺诈行为 的，应 当按照 消费者 的要求 增加赔 偿其受 到的损 失，增 加赔偿 的金额 为消费 者购买 商品的 价款或 接受服 务的费 用
课前预习
3. 矩形具有而菱形不具有的性质是
（ A）
A. 对角线相等
B. 两组对边分别平行
C. 对角线互相平分 D. 两组对角分别相等
4. 如图S1-2-2，矩形的两条对角线的一个交角为60°，
两条对角线的长度的和为20 cm，则这个矩形的一条较短
边的长度为 A. 10 cm
B. 8 cm
（ D）
C. 6 cm
课堂讲练
解:（1）∵四边形ABCD为矩形， ∴∠ADC=90°，OA=OD=OC=OB. ∵∠ACD=30°，∴∠DAC=90°-30°=60°. 而OA=OD， ∴△AOD为等边三角形. （2）∵△AOD为等边三角形， ∴AO=AD=2. ∴AC=2AO=4.
经营者提供商品或者服务有欺诈行为 的，应 当按照 消费者 的要求 增加赔 偿其受 到的损 失，增 加赔偿 的金额 为消费 者购买 商品的 价款或 接受服 务的费 用
（ A）
A.
B. 4
C.
D. 8
经营者提供商品或者服务有欺诈行为 的，应 当按照 消费者 的要求 增加赔 偿其受 到的损 失，增 加赔偿 的金额 为消费 者购买 商品的 价款或 接受服 务的费 用
课后作业
3. 如图S1-2-13，矩形ABCD的对角线交于点O，若
∠ACB=30°，AB=2，则OC的长为

∴四边形ABCD是矩形（有一个内角是直角的平行四 边形是矩形）
定理：对角线相等的平行四边形是矩形
金星表面温度高达8℃～℃。它没有天然卫星，没有水滴，其磁场强度也很小，大气主要以二氧化碳为主，一句话，它不适宜生命存活。它的表 面7%左右是极为古老的玄武岩平原，%是低洼地，高原大约占了金星表面的%，金星上最高的山是麦克斯韦火山，高达米。在金星赤道附近面 积达.万平方千米的平原上，有个直径为7～8千米的火山口。金星上环绕山极不规则，总共约有9个，而且痕迹都非常年轻。“麦哲伦”拍摄了金 星绝大部分地区的雷达图像，它的许多图像与前苏联“金星号”和“金星号”探测器所摄雷达照片经常可以重合拼接起来，使判读专家得以相互 印证，从而使得人们对金星有进一步的了解。“麦； 股票知识 ；哲伦”号从99年8月日至99年月日一直围绕金星进行探测， 最后在金星大气中焚毁。99年月飞往木星的“伽利略”号探测器途径金星，成功地拍摄金星的紫外。红外波段的图像，照片上显示金星大气顶部 的硫酸云雾透过紫外光非常突出。虽说金星空间探测硕果累累，但仍然有许多待解之谜。譬如说，金星上确曾有过海吗？金星上的温室效应是在
什么时候、怎样发生的？金星表面是经过大规模的火山活动而重新形成的吗？金星大气的精确化学成分是什么？等等。据报道，年日本文部科学 省宇宙科学研究所制定出一个金星探测计划，准备在7年用M火箭发射金星探测器，预计它在9年进入围绕金星的大椭圆轨道，其近地点约千米， 远地点约千米；它通过携带的台可穿透金星大气的特殊红外摄像机、紫外摄像机探测金星大气和地质构造。未来的金星探测需要长寿命的登陆舱、 专门的下降探测装置、遥控探测气球以及监视金星大气的轨道器等。日本日本宇宙航空研究开发机构（JAXA）在年月发射的金星探测器“晓”号， 原定在年月7日进入金星轨道，但“晓”号开始进行引擎反向喷射、准备减缓速度进入金星轨道时，通讯设备却发生故障，与地面指挥中心短暂 失联，以至于引擎停摆，与金星擦身而过。“晓”号必须等到年后才能再度接近金星轨道，运作小组表示，届时“晓”号若仍完好无损，将再次 挑战。金星探测器年份探测器名称国家任务或成就97金星号苏联传回金星大气的信息97金星7号苏联在夜半球降落，测量了温度97金星9号与号 苏联传回第一张岩石土壤的照片978先驱者金星号美国绘制第一张金星全球地图98金星号苏联拍摄一批彩色照片，分析一份土壤样品99麦哲伦号 美国采集了重力数据金星快车欧洲监测金星的云层、大气环流和磁场星体天文现象编辑凌日由于水星、金星是位于地球绕日公转轨道以内的“地 内行星”。因此，当金星运行到太

（3）若已知BC=8，O到BC的距离为3，求矩形的面积，周长，对角线的长度。
解：OA=OB=OC=OD
∵在矩形ABCD中
∴AC=BD,OA=OC,OD=OB
∴ OA=OB=OC=OD
（3）若∠AOD=120度，AB=4厘米，求矩形的对角线长，周长，面积。
问题2：如图，矩形ABCD的两条对角线相交于点O
矩 形
- .
两组对边分别平行的四边形是平行四边形
平行四边形的性质：
平行四边形的对边平行；
平行四边形的对边相等；
平行四边形的对角相等；
平行四边形的邻角互补；
平行四边形的对角线互相平分；
温故知新
一个角是直角
两组对边分别平行
矩形
情景创设
我们已经知道平行四边形是特殊的四边形，因此平行四边形除具有四边形的性质外，还有它的特殊性质，同样对于平行四边形来说有特殊情况即特殊的平行四边形，也，这堂课我们就来研究一种恃殊的平行四边形——
对边平行且相等
对角线互相平分且相等
性质1:矩形的四个角都是直角；
已知：四边形ABCD是矩形,∠C= 90°求证：∠A=∠B=∠C=∠D=90°
证明：∵四边形ABCD是矩形， 令∠C=90° ∴∠A=∠C=90° ∠B+∠C=180 ° ∴∠B=180－∠C=90° ∴∠D=∠B=90° 即∠A=∠B=∠C=∠D=90°
应用格式：∵ ∠A= ∠ B= ∠ C=90°, ∴四边形ABCD是矩形 （有三个角是直角的四边形是矩形）
③对角线相等的平行四边形是矩形
说理证明：已知如图：在平行四边形ABCD中，AC=BD.试说明：四边形ABCD是矩形。证明：∵在平行四边形ABCD中 ∴AD=CB, ∠DAB+ ∠CBA=180° 在△DAB和△CBA中

变为直角时，平行α 四边形成为一个 矩形，这时它的其它内角是什么样 的角？它的对角线有什么样的关系？
α
2020年10月2日
4
二．性质
• 矩形的四个角都是直角．你能证明吗？
矩形的对角线相等．
A
D
B
C
2020年10月2日
5
随堂练习：
• 如图，四边形ABCD是矩形，找 出相等的线段和相等的角．
A
D
O
B
汇报人：XXX 汇报日期：20XX年10月10日
12
2020年10月2日
C
6
如图，在任意的矩形ABCD中，ＡＣ， ＢＤ相交于O，那么BO与AC有怎样 的数量关关系？
A O
B
2020年10月2日
Rt⊿ABC中，BO是一条什 么线？ 由此你能得到什么结论？
D
C
7
直角三角形的性质： 直角三角形斜边上的中线等于
斜边的一半。
A O
在Rt三角形ABC中 ∵∠ABC=90° BO是AC边的中线
矩形的性质
2020年10月2日
1
门窗
2020年10月2日
书桌面 地砖
2
一．定义：
有一个角是直角的平行四边形叫矩形
你能再举一些矩形的 例子吗？
矩形是轴对称图形 吗？它有几条对称 轴？
∟
2020年10月2日
3
探究：
如图,在平行四边形的活动框架上， 用橡皮筋做出两条对角线，改变这
个四边形的形状，随着∠α的变化， 两对角线的长短怎样变化？当∠α
0.01cm).
A
D
O
B
C
2020年10月2日
10
通过这节课的 学习你有哪些 收获?

③AC = BD= 2AO = 2OC=2OB =2OD
问：在Rt△ABC中，斜边AC上的中线是OB，它与斜边的
1
关系是OB= 2 AC．
问：是不是所有的三角形都有这样的性质? 关键是是不
是任何一个三角形都可以放进一个矩形里?
推论：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．
例题
【例1】已知:如图,AC,BD是矩形ABCD的两条对角线,AC,BD 相交于点O,∠AOD=120°,AB=2.5cm.求矩形对角线的长.
∵AC=DB,BC=CB.
∴ △ABC≌△DCB.
∴∠ABC=∠DCB.
B
C
∵∠ABC+∠DCB=180°. ∴∠ABC=90°. ∴四边形ABCD是矩形.
跟踪训练
下列各句判定矩形的说法是否正确？为什么？ （1）对角线相等的四边形是矩形；（ X ） （2）对角线互相平分且相等的四边形是矩形；（ √ ） （3）有四个角是直角的四边形是矩形；（ √ ） （4）对角线相等，且有一个角是直角的四边形是矩形；
D
邻角互补可使问题得证.
证明:
B
C
∵ 四边形ABCD是矩形.
∴∠A=90,四边形ABCD是平行四边形.
∴∠C=∠A=90, ∠B=180-∠A=90, ∠D=180-∠A=90.
∴四边形ABCD是矩形.
定理:矩形的两条对角线相等.
已知:如图,AC,BD是矩形ABCD的两条对角线.
求证: AC=BD.
的有
（填写序号）.
解析：根据对角线相等的平行四边 A １ 形是矩形；矩形的定义. 答案：① ④
Ｂ
Ｄ
２
Ｃ
2．如图，在△ABC中，AB＝AC＝8，AD是底边上的高，E为

有三个角是直角的四边形是矩形吗?
已知:如图,在四边形ABCD,∠A=∠B=∠C=90°.
求证:四边形ABCD是矩形.
A
D
证明: ∵∠A=∠B=∠C=90°, B
C
∴∠A+∠B=180°,∠B+∠C=180°.
∴AD∥BC,AB∥CD.
∴四边形ABCD是平行四边形.
∴四边形ABCD是矩形.
矩形判定方法二
D
O
M
B
C
课堂小结
矩形的判定方法: 有一个角是直角的平行四边形是矩形.
对角线相等的平行四边形是矩形.
有三个角是直角的四边形是矩形.
布置作业
课本P16 1,2,3.
于点O，△ABO是等边三角形，AB=4.
求□ABCD的面积.
A
D
O
B
C
练一练1
已知：如图，M为平行四边形ABCD边AD的中点，
且MB=MC.
求证：四边形ABCD是矩形.
A
M
D
B
C
练一练2
已知：如图，菱形ABCD中，对角线AC和BD相较
于点O，CM∥BD,DM∥AC.
求证:四边形OCMD是矩形.
A
证明：
B

C
矩形判定方法一
对角线相等的平行四边形是矩形.
A
D
B
ABCD AC = BD
C
四边形ABCD是矩形
情境二
李芳同学用四步画出了一个 四边形，她的画法是“边— —直角、边——直角、边— —直角、边” ，她说这就是 一个矩形，她的判断对吗？ 为什么？
猜想：有三个角是直角的四边形是矩形.
你能证明上述结论吗？

主题和情感。
矩形可以用于设计画布、画框 和展示板，提供稳定的支撑。
在平面设计和排版中，矩形常 被用于布局和组织内容。
在平面设计和排版中，矩形常 被用于布局和组织内容，提高
视觉效果。
其他应用场景
在包装和运输中，矩形纸箱和托 盘被广泛使用，便于堆叠和搬运
。
在科学实验中，矩形玻璃器皿常 被用于盛放液体或气体。
近代的矩形研究
近代数学家对矩形的深入 研究
随着数学的发展，人们对矩形的研究更加深 入。例如，矩形的一些重要性质被发现，如 矩形的对角线相等、矩形的面积等于长乘以 宽等。
近代的应用
在工业生产和建筑设计等领域中，矩形的应 用更加广泛。例如，在制造机器时，人们会 使用矩形的零件来确保机器的稳定性和精度
。
特殊情况下矩形的判定
总结词
在特殊情况下，如矩形的一条对角线被另一条对角线平分，则该四边形为矩形。
详细描述
如果一个四边形的一条对角线被另一条对角线平分，则该四边形的两条对角线长度相等，因此该四边 形为矩形。此外，如果一个四边形的两条对角线互相平分且相等，则该四边形也一定是矩形。
04
矩形在实际生活中的 应用
详细描述
轴对称性意味着矩形沿一条垂直或水平的直线对折后两部分能够完全重合，而中 心对称性则意味着矩形关于其中心点对称。这两种对称性在建筑设计、图案设计 等领域有着广泛的应用，使得矩形成为一种非常受欢迎的几何图形。
03
矩形的判定
根据定义判定矩形
总结词
根据矩形定义，矩形是四个角都是直 角的平行四边形。
总结词
矩形的对角线长度相等，这是由矩形的基本性质推导出的一 个重要结论。
详细描述
由于矩形的两组相对边分别平行且等长，根据勾股定理，矩 形的两条对角线长度相等。这一性质在解决几何问题时非常 有用，特别是在证明和计算与矩形相关的定理和公式时。

下课！
B
证：
∵∠ABC=90°，O是AC中点 ∴ BO=AO=OC
O C
It's your turn
2.直角三角形斜边上的高与中线分别是5和8，则三角形的面积是
.
It's your turn
题型讲解： 勤学早85页 利用矩形的性质求角度:1.2.3 利用矩形的性质求长度:4.5 利用矩形的性质求面积:7
19.1.1矩形的性质
回顾
矩形的定义
有一个角是直角的平行四边形叫做矩形,也就是长方形.
平行四边形
有一个角 是直角
矩形
注意：矩形是特殊的平行四边形,平行四边形不一定是矩形.
回顾
矩形的性质
A
D
矩形的四个角都是直角.
矩形的对角线相等. 证：
O
B
C
∵四边形ABCD是矩形
∴ ∠BAD=∠ABC=∠BCD=∠CDA=90° , AC=BD.
AD∥BC,AB∥DC, AD=BC , AB=CD, OA=OC , OB=OD.
回顾
矩形的性质有： 1、作为平行四边形的性质： 对边平行且相等 对角相等 对角线互相平分 中心对称
2、独特的性质：
邻边互相垂直 内角均为90° 对角线相等 轴对称
题型讲解：面积分割以及等面积法
It's your turn
1.如图，在矩形ABCD中，AB=3，BC=4，BE⊥AC，垂足为点E. 试求BE的长.
思考
将矩形沿着对角线剪去一半，变成了什么图形？
A
D
A
O O
Hale Waihona Puke BCBC
Rt△ABC中，BO是一条怎样的线段？它的长度与斜边AC有什么关系？

2
= 30°。
又∵∠DAB=90°(矩形的四个角都是直角)
∴BD=2AB=2×2.5=5.
1.本节课你学到了什么？
（1）矩形定义 （2）矩形的性质 （3）直角三角形的性质 （4）矩形的一条对角线把矩形分成两个全等 的直角三角形；两条对角线把矩形分成两对全 等的等腰三角形。因此，矩形的问题可化为直 角三角形或等腰三角形的问题来解决。
（2）根据测量的结果，猜想结论。当矩形的 大小不断变化时，发现的结论是否仍然成立？
（3）通过测量、观察和讨论，你能得到矩形 的特殊性质吗？
矩形的性质定理1： 矩形的四个角都是直角.
矩形的性质定理2： 矩形的对角线相等.
已知：如图,四边形ABCD是矩形，∠ABC=90° 对角线AC与DB相交于点O。
平行四边形是什么图形?
矩形的定义：有一个内角是直角的平行 四边形是矩形
问题1： 既然矩形是平行四边形,那么它具有 平行四边形的哪些性质？
性质 边
角
对角线
对称 性
矩形
对边平行 且相等
对角相等
对角线互 相平分
中心 对称 图形
问题2
（1）请同学们以小组为单位，测量身边的矩 形（如书本，课桌，铅笔盒等）的四条边长 度、四个角度数和对角线的长度及夹角度数， 并记录测量结果；
（1）下列说法错误的是（ ）．
A.矩形的对角线互相平分 B. 矩形的对角线相等。
C. 有一个角是直角的四边形是矩形 D. 有一个角是直角的平行四边形叫做矩形
（2）已知矩形的一条对角线长为10cm，两条 对角线的一个交角为120°，则矩形的长和 宽分别为 _____。
2、教师评价
• 评选本节课最佳师友组
例1：如图，在矩形ABCD中，两条对角线相交 于点O，∠AOD=120°，AB=2.5cm，求矩形 对角线的长。