自控下学期 习题解答 黄家英

状态变量的选择是否唯一？
由R-L-C网络的输入 输出微分方程求
不唯一!
2 x
LC d 2 uC ( t ) dt
2
x2
duC ( t ) RC uC ( t ) u( t ) dt
x1
状态方程
1 x2 x
该方法具有一般性,可用于 输入输出高阶微分方程
y
0 1 0 1 x x 1 1 u R 1 x2 x2 L LC LC x1 输出方程 y 1 0 x2
即
Ax Bu x y Cx

酉矩阵
0 0 0 0 , b , 1 0 a n 1 b0
1 0 0 0 0 1 A 0 0 0 a1 a2 a0 c 1 0 0 0

y( t )
…
…
线性系统 Ax Bu x y Cx Du
u
B
x
D ∫ A
x
C
y
线性系统状态空间模型的结构图 涉及三种类型变量：输入、输出、状态； 对于给定系统，状态空间表达式不唯一，但状态的个数相等; 15 状态的变化与状态的初始值及输入有关。
2.5.3线性定常系统状态空间表达式的建立
第7章 线性系统的结构分析
涉及到2，3，7章
1
经典控制理论的特点
图形方法为主，物理概念强，直观简便，实用性强 控制结构简单，设定和调整参数少，且调整方针明确 以简单的控制结构获取相对满意的性能
主要缺点：
需反复“试凑”，控制结构及性能一般不是最优 仅适用于单变量（SISO）线性定常系统，不能用于 多变量（MIMO）系统、时变系统和非线性系统 只考虑系统输入与输出的关系,不涉及系统的内部状 态

第二章 部分习题及解答
B2.2 求下列函数的拉氏反变换：
(4)F(s)
(s
s 1)2(s
2)
(4)解：
F(s)
(s
s 1)2 (s
2)
1 (s 1)2
s
2 1
s
2 2
f (t) tet 2et 2e2t
t0
B2.4 在图B2.4所示的电路中电压u1(t)为输入量，试以电压 u2(t)或uC2(t)作为输出量，分别列写该系统的微分方程。
B2.17 解：由梅森公式 :
T
1
n
pkk , 这里n
k 1
4
L1 G2H1,
L2 G4H2 ,
L3 G6H3 ,
L4 G3G4G5H4 ,
L5 G1G 2G 3G4G5G6H5 ,
L6 G7G3G4G5G6H5 ,
L7 G1G8G6H5
L8 G8H1H4,
L9 G7H1G8G6H5 ,
C1R1 )s
1
U c1 (s) U1 (s)
R1R 2C1C2s2
C1R1s 1 (R1C2 R2C2
C1R1 )s
1
R1R2C1C2uc1 (R1C2 R2C2 C1R1 )u c1 uc1 C1R1u 1 u1
B2.8 设系统的微分方程为
试用拉氏变换法进行求解。
B2.8解：
式中r(t)为输入量，y(t)为输出量，z1(t)、z2(t)和z3(t) 为中间变量，τ、β、K1和K2均为常数。
试求：(a)各系统的传递函数Y(s)/R(s)；(b)各系统含
有哪些典型环节?
B2.9(2)解：
G(s)
s2
1 2s 1

B3.21 当输入信号为单位阶跃函数时试确定下列系统的各项 暂态性能指标，并概略地绘制其单位阶跃响应曲线： 暂态性能指标，并概略地绘制其单位阶跃响应曲线：
2 10 100 ωn ( 2)因Φ (s ) = 2 = 0 .1 2 = 0.1 2 2 s + 10s + 100 s + 10s + 100 s + 2ω n s + ω n
36 − K K
36 − K > 0 若系统稳定， 若系统稳定，则 ∴ 0 < K < 36 K > 0
B3.15 分析图 分析图B3.15所示的两个系统，引入与不引入反馈时 所示的两个系统， 所示的两个系统 系统的稳定性 。
解 10(s + 1) 不引入反馈 Φ (s ) = s(s − 1)(s + 5) 显然不稳定。 显然不稳定。 引入反馈 D(s ) = s(s − 1)(s + 5) + 10(s + 1) = 0 由劳斯判据可知， 闭环稳定。 由劳斯判据可知，系统 闭环稳定。
解 系统的特征方程为： 系统的特征方程为： ∆(s ) = 1 + G (s) = 0 (1) 由劳思表： 由劳思表： s3 s2 s1 s0 9 18 − 2K 18K 1 18 18K 即： s 3 + 9s 2 + 18s + 18K = 0
18 − 2K > 0 的稳定取值范围为： 可得K的稳定取值范围为： 18K > 0
解
（1） 劳思判据： 劳思判据： s3 s
2
赫尔维茨判据： 赫尔维茨判据： 9 100 D2 = 20 1 100 9 = 80 ≻ 0
1 20 4 100

第二章 自动控制系统的数学模型习题2-1 试建立图示电路的动态微分方程。

解：（a ）解法一：直接列微分方程组法⎪⎩⎪⎨⎧-==+O i C O C C u u u Ru R u dt du C 21i i O O u CR dt du u R CR R R dt du 121211+=++⇒ 解法二： 应用复数阻抗概念求)()(11)(11s U s I Cs R Cs R s U O i ++= （1） 2)()(R s U s I O = （2） 联立式（1）、（2），可解得： Cs R R R R Cs R R s U s U i o 212112)1()()(+++= 微分方程为: i ioo u CR dt du u R CR R R dt du 121211+=++ （b ）解法一：直接列微分方程组法⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧++=+===COC i O L C O L L L u R u dt du C R u u u u R u i dt di L u)(212 (a) (b) + u C -io oo u R u R R dt du C R R L dt u d LC R 22121221)()(=++++⇒解法二： 应用复数阻抗概念求⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧++=+=)(]1)()([)()()()(2122s U sC s U R s U R s U Ls R R s U s U CC O i O C)()()()()()(2212121s U R s U R R s sU C R R L s U LCs R io o o =++++⇒ 拉氏反变换可得系统微分方程：io o o u R u R R dt du C R R L dt u d LC R 22121221)()(=++++2-7 证明图示的机械系统(a)和电网络系统(b)是相似系统（即有相同形式的数学模型）。

解：(a)取A 、B 两点分别进行受力分析。