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椭圆的定义、方程及几何性质【提纲挈领】（请阅读下面文字，并在关键词下面记着重号）主干知识归纳 1．椭圆的定义平面内与两个定点F 1，F 2的距离的和等于常数(大于|F 1F 2|)的点的轨迹叫做椭圆．这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距．集合P ＝{M ||MF 1|＋|MF 2|＝2a }，|F 1F 2|＝2c ，其中a >0，c >0，且a ，c 为常数： (1) 若c a >，则集合P 为椭圆； (2) 若c a =，则集合P 为线段； (3) 若c a <，则集合P 为空集．3. 椭圆中常见的结论（1）若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b +=上，则过0P 的椭圆的切线方程是00221x x y y a b +=. （2）若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b+=外 ，则过0P 作椭圆的两条切线切点为1P 、2P ，则切点弦1P 2P 的直线方程是00221x x y ya b+=. （3）椭圆22221x y a b+= (a ＞b ＞0)的左右焦点分别为F 1，F 2，点P 为椭圆上任意一点12F PF γ∠=，则椭圆的焦点角形的面积为122tan2F PFS b γ∆=.（4）A 、B 是椭圆22221(0)x y a b a b +=>>长轴的端点，M ),(00y x 为椭圆上任意一点，则22MA MB b k k a ⋅=-， 方法规律总结1．求椭圆标准方程的方法(1) 定义法：根据椭圆定义，确定2a 、2b 的值，再结合焦点位置，直接写出椭圆方程．(2) 待定系数法：根据椭圆焦点是在x 轴还是y 轴上，设出相应形式的标准方程，然后根据条件确定关于a 、b 、c 的方程组，解出2a 、2b ，从而写出椭圆的标准方程．2．讨论椭圆的几何性质时，离心率问题是重点，求离心率的常用方法有以下两种：(1)求得a ，c 的值，直接代入公式e ＝ca求得；(2)列出关于a ，b ，c 的齐次方程(或不等式)，然后根据b2＝a2－c2，消去b ，转化成关于e 的方程(或不等式)求解．3.椭圆性质的运用一般策略（1）与椭圆双焦点焦点有关的问题，充分考虑椭圆的定义，单焦点的问题可连接另一个焦点。
高考必考点：“杰尼西亚的耳朵”—圆锥曲线之椭圆（一轮或随堂）展开全文一、椭圆趣闻据传说，意大利西西里岛有山洞是用来关押罪犯的。
罪犯曾多次密谋商议逃跑方案，但不管多完美的计划都会被杰尼西亚发现。
罪犯百思不得其解，然后怀疑在他们之间有人通风报信，但是，至始至终也没有发现有人告密。
后来，他们逐渐意识到被软禁的洞穴很奇怪，监狱的墙壁能把自己说的话都反射到狱卒耳中，罪犯因此诅咒这个洞是“杰尼西亚的耳朵”。
其实，这是因为洞内的空间是一个椭球体，最大截面部分是一个椭圆面。
罪犯和狱卒所呆的地方正好是椭圆的两个焦点。
罪犯们说的话经过洞壁的反射，最终都传向了狱卒所住的地方，即椭圆的另一个焦点，所以，罪犯们自以为是“你知我知，天知地知”逃跑方案，其实狱卒早就知道了。
这就是椭圆在物理学中的应用，类似的还有天坛回音壁和英国伦敦的“私语走廊”。
二、基础知识1、椭圆的定义在平面内到两定点F1,F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹(或集合)叫做椭圆.这两定点叫做椭圆的焦点,两焦点间的距离叫做焦距.2、椭圆的标准方程注意:焦点的位置由x2,y2项系数分母的大小决定,焦点在系数分母大的项对应的坐标轴上.3、焦点三角形以椭圆上一点P与椭圆的两焦点为顶点的三角形通常称为“焦点三角形”,利用定义可求其周长,利用定义和余弦定理可求|PF1|·|PF2|,通过整体代入可求其面积.常见的结论如下:4、椭圆的几何性质三、典题剖析角度1、椭圆的定义问题点评：角度2、椭圆标准方程问题点评：角度3、离心率问题点评：角度4、离心率范围问题点评：四、真题提升上述都是椭圆的基本性质，适合一轮或者随堂复习，希望对大家有所帮助！。
第十章 圆锥曲线与方程第四讲 圆锥曲线的综合问题拓展变式1。
[2017浙江,21，15分］如图10—4—2，已知抛物线x 2=y ，点A （−12，14),B (32,94)，抛物线上的点P (x ，y ）(−12<x 〈32)。
过点B 作直线AP 的垂线,垂足为Q.图10—4-2（1）求直线AP 斜率的取值范围; (2)求｜PA |·｜PQ |的最大值。
2。
［2020全国卷Ⅰ，21,12分］［文]已知A ，B 分别为椭圆E ：x 2a 2+y 2=1（a 〉1)的左、右顶点，G 为E 的上顶点,AG ⃗⃗⃗⃗⃗ ·GB⃗⃗⃗⃗⃗ =8。
P 为直线x =6上的动点，PA 与E 的另一交点为C ，PB 与E 的另一交点为D.（1）求E 的方程；（2）证明:直线CD 过定点。
3.[2021武汉四地六校高三联考］已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a〉b〉0)的离心率为12,以原点为圆心，椭圆的短半轴为半径的圆与直线√7x−√5y+12=0相切。
（1）求椭圆C的方程.（2）已知A(-4，0）,过点R(3,0）作与x轴不重合的直线l交椭圆C于P,Q两点,连接AP，AQ，分别交直线x=163于M,N两点,若直线MR，NR的斜率分别为k1,k2,问:k1k2是否为定值?若是，求出该定值；若不是,请说明理由.4。
[2021湖北省部分重点中学摸底联考］已知点A（1，−√32）在椭圆C：x2a2+y2b2=1(a〉b>0)上,O为坐标原点，直线l：xa2−√3y2b2=1的斜率与直线OA的斜率之积为−14.(1）求椭圆C的方程。
(2）不经过点A的直线m:y=√32x+t(t≠0)与椭圆C交于P,Q两点，P关于原点的对称点为R（与点A不重合）,直线AQ，AR与y轴分别交于点M,N,求证：|AM｜=|AN|.5。
[2020山西大同一联]已知椭圆C的中心在原点，焦点在坐标轴上，直线y=32x与椭圆C在第一象限内的交点是M,点M在x 轴上的射影恰好是椭圆C的右焦点F2，椭圆C的另一个焦点是F1,且MF1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·MF2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =94。
高三数学第一轮复习：椭圆的定义、性质及标准方程【本讲主要内容】椭圆的定义、性质及标准方程椭圆的定义及相关概念、椭圆的标准方程、椭圆的几何性质【知识掌握】 【知识点精析】1. 椭圆的定义：⑴第一定义：平面内与两个定点12F F 、的距离之和等于常数（大于12F F ）的点的轨迹叫做椭圆。
这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点的距离叫做椭圆的焦距。
⑵第二定义：动点M 到定点F 的距离和它到定直线l 的距离之比等于常数)10(<<e e ，则动点M 的轨迹叫做椭圆。
定点F 是椭圆的焦点，定直线l 叫做椭圆的准线，常数e 叫做椭圆的离心率。
说明：①若常数2a 等于2c ，则动点轨迹是线段12F F 。
②若常数2a 小于2c ，则动点轨迹不存在。
2. 椭圆的标准方程、图形及几何性质：标准方程)0(12222>>=+b a by a x 中心在原点，焦点在x 轴上)0(12222>>=+b a bx a y 中心在原点，焦点在y 轴上图形范围x a y b ≤≤，x b y a ≤≤，顶点()()()()12120000A a A a B b B b --，、，，、，()()()()12120000A a A a B b B b --，、，，、，对称轴x 轴、y 轴；长轴长2a ，短轴长2b ；焦点在长轴上x 轴、y 轴；长轴长2a ，短轴长2b ；焦点在长轴上焦点 ()()1200F c F c -，、， ()()1200F c F c -，、， 焦距)0(221>=c c F F)0(221>=c c F F3. 焦半径公式：椭圆上的任一点和焦点连结的线段长称为焦半径。
焦半径公式：椭圆焦点在x 轴上时，设12F F、分别是椭圆的左、右焦点，()00P x y ，是椭圆上任一点，则10PF a ex =+，20PF a ex =-。
推导过程：由第二定义得11PFe d =（1d 为点P 到左准线的距离）， 则211000a PF ed e x ex a a ex c ⎛⎫==+=+=+ ⎪⎝⎭；同理得20PF a ex =-。
