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EOF分析

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EOF分析及其应用

EOF分析及其应用

图a
整理课件
参考文献
魏凤英，《现代气候统计诊断与预测技术》，气象出版社，北京，2007; EOF在大气科学研究中的新进展；丁裕国；《气象科技》199303期 ； 近年来中国统计气象学的新进展；周家斌 黄嘉佑 ；《气象学报》 1997
年03期 ； 我国盛夏500 hPa 风场的EOF 分析及其与大尺度气候异常的关系。顾 泽，
EOF分析及其应用
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一、引 言 经验正交函数（EOF）方法：最早由统计学家
pearson（1902）提出，由Lorenz（1956）引入 气象问题分析中。该方法以场的时间序列为分析对 象，由于对计算条件要求甚高，直到20世纪60年代 后期才在实际工作中得到广泛应用。 近30年来，出现了适合于各种分析目的的EOF分析 方法，如扩展EOF（EEOF）方法，旋转EOF （REOF）方法，风场EOF（EOFW）方法，复变量 EOF（CEOF）方法。
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EOF分解的优点
1，没有固定的函数； 2，能在有限区域对不规则分布的站点进行分解； 3，展开收敛快，很容易将变量场的信息集中在几个模
态上； 4，分离出的空间结构具有一定的物理意义；
EOF方法不但用于观测资料的分析，还用于 GCM资料的分析和数值模式的设计。现在， EOF方法已作为一种基本的分析手段频繁地出 现在大气科学研究的文献中。
分析表明，南亚夏季风的爆发主要体现在降 水的突然增加和季风雨带的快速推进上，雨 带的时空分布有突变的特点。
第1 模态——降水量的突然增加。 第2 模态——从南向北的快速推进过程。 第3模态——东西分布型态，及在季风爆发
后印度半岛降水快速增加的过程。 第4模态—二、EOF分析方法原理
将某气候变量场的观测资料以矩阵形

EOF分析及其应用

EOF分析及其应用
环境监测和保护：利用EOF分 析对环境变化进行监测和预警
EOF分析可以与其他统计方法结合 使用，提高分析的准确性和可靠性。
EOF分析可以与机器学习方法结合， 利用机器学习算法对复杂数据进行 分析和预测。
添加标题
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添加标题
添加标题
EOF分析可以与数值模型进行比较， 验证模型的预测能力和改进方向。
,a click to unlimited possibilities
汇报人：
01
02
03
04
05
06
EOF分析是一种统计方法，用于研究数据的空间结构和变化规律 它通过分析数据场的空间相关性和时间变化趋势，来揭示其内在的物理过程和机制 EOF分析基于最小二乘法原理，通过求解特征向量和特征值来得到主成分 主成分（EOFs）是数据场中的重要模式，能够解释数据场的主要变异性
EOF分析在可持续 发展领域的应用： 随着可持续发展目 标的推进，EOF分 析将更多地应用于 解决环境、社会和 经济问题，为可持 续发展提供决策支 持。
EOF分析的跨学科 应用：与其他学科 领域的交叉融合将 进一步拓展EOF分 析的应用范围，例 如生态学、水文学、 农业等。
汇报人：
强化实际应用：结 合具体案例，深入 挖掘EOF分析的应 用价值
实例名称：北半球夏季气候变化 数据来源：全球气象观测站 EOF分析结果：第一模态解释了60%的气候变化，与ENSO事件相关 应用：预测未来气候变化趋势
数据来源：海洋观测站、卫星遥感等 EOF分析方法：对海洋数据进行降维处理，提取主要特征 结果展示：各EOF对应的空间分布、时间变化和物理意义 应用价值：了解海洋环流、气候变化等
起源：20世纪40年代，气象学家为了研究气候变化开始使用EOF分析 发展：随着计算机技术的进步，EOF分析逐渐被广泛应用于各个领域 应用：EOF分析在气象、海洋、生态等领域发挥了重要作用，帮助科学家更好地理解数据和现象 未来：随着大数据和人工智能的发展，EOF分析将有更广阔的应用前景

EOF应用 从数据预处理到详细分析

EOF应用 从数据预处理到详细分析

EOF分析By lqouc 1.什么是EOF，它的作用是什么。

1.1什么是EOF关于EOF 要先从主成分分析说起，主成分分析是多元统计分析中重要的一部分，是一种从多个变量化为少数变量的统计方法，利用多个变量之间相互关系构造一些新的变量，这些新的变量不仅能综合反映原来多个变量的信息，而且彼此之间是相互独立的，同时是按方差贡献大小排列的，这种统计处理方法称为主成分分析。

主成分分析在气象应用中称为经验正交函数（EOF）分解。

1.2E OF的用途对于一个气象要素，我们通常有m个空间点或者台站，有n次观测，这样组成的矩阵中的任意元素就表示了某一空间某一时刻的函数，我们希望能将这样的时空函数分解成空间函数与时间函数两部分的线性组合。

根据主成分的性质，主成分是按其方差贡献大小排列的，而且是相互独立的，那么可以用前几个时间函数与对应的空间函数的线性组合，对原始场做出估计和解释，这就是经验正交函数分解的主要目的。

2.EOF的数据预处理EOF只是个统计学的方法，本身不带有任何物理意义，更不会揣摩作者的意图，所以在数据导入之前需要对数据进行分析和预处理。

以免得到错误的或者不理想的结果。

在此处所说的预处理不是指一般EOF程序中自带的距平或者标准化的处理，虽然这确实有一定的区别。

总之，在做EOF之前，对数据需要有基本的了解，也要对自己的研究目的十分明确。

2.1 数据预处理的必要性例如：想利用EOF 研究极地海平面气压场的年际变化，数据是六十年的月平均的海平面气压格点资料。

首先对手中的资料有基本的判断，月分辨率的资料包含的时间信号的尺度可能有季节内变化、季节变化、年变化、年际变化、年代际变化以及线性趋势。

而我们需要的只是其中的年际变化的信号，所以为了排除干扰必须对数据进行滤波。

这一步是非常有必要的，因为一般来讲，气温、气压、SST这种受太阳辐射影响巨大的要素都具有很强的季节变化，这样的信号远远强于年际变化。

2.2 滤波的方法对于滤波的方法，我们熟悉的有很多，最简单的是做年平均，还有滑动平均、带通滤波、谐波滤波、线性去趋势。

EOF分析及其应用

EOF分析及其应用

EOF分析及其应用
一、EOF分析是什么
EOF分析（Empirical Orthogonal Function Analysis）是一种常用
的时间-空间统计分析方法，它是由把空间上的一维观测或多维观测数据
矩阵投影到一个更特别的模型空间中，然后对该模型空间中的变换数据进
行分析从而推算出有关的特征参数的一种分析方法。

二、EOF分析的原理
EOF分析由英国天文学家Harold E. Jeffreys （1891-1989）于
1931年提出。

它利用最小二乘估计法，把空间上一维或多维观测的数据
矩阵投影在一个特定的模型空间中，然后对该模型空间中变换的数据进行
分析，从而推算出有关的特征参数。

EOF分析的核心理论是“变换空间”，即给定一个多维空间Vn，找出一个低维变换空间Vm具有一定的特殊性质（如基Vm上的每一列向量的模具有最小值，它们张成一个最小的模型空
间上），使得数据在其中具有最好的表示，且在该变换空间中可以表示出
空间统计分布的特性。

三、EOF分析的应用
（1）短时间强对流预报
短时间强对流预报是一种有效的大气环境监测技术，它依据大气各层
能量释放特征进行短时间的天气预报。

EOF方法运用了空间观测数据，可
以对大气能量释放做出准确的模拟分析，从而预测出未来几小时内这一区
域内的强对流天气预报。

（2）大气环流异常研究。

EOF应用：从数据预处理到详细分析

EOF应用：从数据预处理到详细分析

响因子， 进行简单相关、 复相关和偏相关分析， 确定可能的影响因子。 确定了影响因子之后可以尝试用多元回归分析， 探讨这些因子与研究 要素之间的可预报性。 除了以上提到的分析，还可以根据自己的目的增加分析的内容。 5. 不同类型的 EOF 5.1EOF 本身的变化 对于 EOF 的介绍很多的参考书籍都将其用于时空分离，也就是用在 了空间和时间构成的三维场。但是实际上，我们回归最前面的 EOF 的出处， 可以看出最原本的主成分分析并没有限定要素是时空的函数。 这种方法只是通过引入新变量来达到数组降维的效果。 所以我们可以 在应用中进行多种尝试，只要能在物理上找到合理的解释就没问题。 因为，这终究只是一种数学工具。 举个例子，我们将一个 30 年长度月分辨率的时间序列，写成一个 30*12 的数组，第一维 30 年，第二维是 12 个月，这样以 30 年为我 们通常认为的时间，12 个月为‘空间’ ，进行 EOF 分析，得到的结果 可以揭示不同模态下 12 个月分别在这 30 年中的变化。 除此之外还有很多种用法，在此不再赘述，仅作抛砖引玉。 5.2 多变量 EOF（MV-EOF） EOF 分析时， 不仅会研究某一要素的时空特征， 有时也会研究某现象 的时空特征，而这些现象往往不能用单一的要素来表征，这时候就需 要用到了多变量的 EOF。 例如，研究海洋大陆的季风系统时空变化特征，很可能要考虑到
小时间序列的自由度。3.带通滤波也是常用的方法（本人没用过） ， 其优点是可以选定一定的频率范围，缺点是边界处处理不是很清晰。 4.谐波滤波，以傅里叶函数为基函数对时间序列进行逼近，其优点是 可以较准确的得到选取的频段信号，缺点是选的基函数有局限性，而 且结果和时间序列的长度有关。5.线性去趋势可以去除时间序列的线 性趋势信号，但是需要这一线性趋势通过显著性检验。 2.3 如何合理选定分析对象 上面谈到的是滤波的方法， 但是如果我们的数据是一些大家不熟悉的 数据，我们并不知道它都主要包含何种尺度的信号，也不知道各个主 要尺度信号的强弱，那就需要先对时间序列进行分析。对于时间序列 的分析，我们可以采用 1.谐波滤波，看各个频率的数值大小。2.功率 谱分析，得到显著周期。3.小波分析，同样可以得到时间序列的多尺 度变化特征。 在此，我推荐的方法是结合空间利用方差分析，因为以上的分析我们 都是忽略了空间的影响， 一种要素的时间变化特征是会随着空间变化 的。例如，对中国地区做某一要素的 EOF 分析，得到的结果不能通 过检验（检验的方法，后面再说） ，这个时候我们就需要考虑是否一 些地区的目标信号不强，而另外一些地区目标信号很强，这样的话就 只需要分析目标信号很强的地区，即只对特定区域进行 EOF 分析。 结合空间的方差分析， 首先需要对要素每一个空间点的时间序列进行 滤波，得到各个不同频率的信号（从季节内到线性趋势） 。对每个平 率的信号求方差，得到了各个频率的方差的空间分布。在分析的过程

eof分析

eof分析

事实上，这种想法是可以实现的，主分量 分析方法就是综合处理这种问题的一种强有力 的工具。 主分量分析是把原来多个变量划为少数几 个综合指标的一种统计分析方法。 从数学角度来看，这是一种降维处理技术。
在实际问题研究中，为了全面、系统地分析问 题，我们必须考虑众多影响因素。这些涉及的 因素一般称为指标，在多元统计分析中也称为 变量。因为每个变量都在不同程度上反映了所 研究问题的某些信息，并且指标之间彼此有一 定的相关性，因而所得的统计数据反映的信息 在一定程度上有重叠。在用统计方法研究多变 量问题时，变量太多会增加计算量和增加分析 问题的复杂性，人们希望在进行定量分析的过 程中，涉及的变量较少，得到的信息量较多。 主成分分析正是适应这一要求产生的，是解决 这类题的理想工具。
n
ki
xi )( x kj x j )
2
( xki xi )
( x kj x j ) 2
k 1
n
（1.3.2）
（二）计算特征值与特征向量
① 解特征方程 I R 0 ，常用雅可比法 （Jacobi）求出特征值，并使其按大小顺序排 列 1 2 p 0 ； ② 分别求出对应于特征值 i 的特征向量
主分量分析与核主分量分析
第一节 主分量分析
第二节 核主分量分析
第一节 主分量分析

概 述 主分量分析的基本原理 主分量分析的计算步骤 主分量分析主要的作用 主分量分析方法应用实例
一、概述
许多系统是多要素的复杂系统，多变量问 题是经常会遇到的。变量太多，无疑会增加分 析问题的难度与复杂性，而且在许多实际问题 中，多个变量之间是具有一定的相关关系的。 因此，人们会很自然地想到，能否在相关 分析的基础上，用较少的新变量代替原来较多 的旧变量，而且使这些较少的新变量尽可能多 地保留原来变量所反映的信息？

EOF分析方法范文

EOF分析方法范文EOF（End-of-File）分析方法是一种用于处理文件结尾标记的方法。

在计算机科学和信息技术领域，EOF通常用于表示文件的结尾。

当程序读取文件时，它会继续读取直到遇到EOF标记，表示已经读取到文件的结尾。

EOF分析方法就是通过检测EOF标记，来判断文件是否已经读取到结尾。

1.引言随着计算机技术的不断发展，文件处理在计算机科学和信息技术领域起着至关重要的作用。

在处理文件时，EOF分析方法可以帮助我们判断文件是否已经读取到结尾，从而避免读取不必要的数据或产生错误。

2.EOF标记在绝大多数操作系统中，EOF标记通常表示为文件的结尾。

当程序读取文件时，它会不断地读取数据，直到遇到EOF标记。

EOF标记的具体表示方式在不同的操作系统中有所不同，例如在Windows中，EOF标记通常表示为一个特殊字符（Ctrl+Z），而在Unix和Linux中，EOF标记则表示为一个换行符（\n）。

EOF分析方法的关键在于正确检测EOF标记的存在。

3.读取文件的方法在实际应用中，EOF分析方法可以与其他文件读取方法结合使用。

常用的文件读取方法有逐行读取、按字符读取和按块读取等。

-逐行读取：逐行读取文件是一种常见的读取方法。

通过循环读取每一行数据，直到遇到EOF标记。

-按字符读取：按字符读取文件是一种细粒度的读取方法。

通过逐个字符读取数据，并判断是否遇到EOF标记。

-按块读取：按块读取文件是一种高效的读取方法。

通过指定缓冲区的大小，一次读取多个字符，并判断是否遇到EOF标记。

无论使用哪种读取方法，都需要注意正确判断EOF标记的存在，并在读取到EOF标记后及时终止读取操作。

4.EOF分析方法在文件处理中的应用-文件读取：在读取文件时，EOF分析方法帮助我们判断是否遇到文件的结尾。

根据不同的读取方法，可以在读取到EOF标记后进行不同的处理，例如输出读取到的数据、关闭文件等。

-文件复制：在文件复制过程中，EOF分析方法可以帮助我们判断源文件是否读取到结尾，从而及时终止读取操作。

eof的特征根误差

eof的特征根误差特征根误差（EOF）是一种常见的分析方法，用于解释多变量数据集的主要模式。

EOF的特征根误差是指由于测量误差或采样误差等原因导致的EOF分析结果与真实数据之间的误差。

EOF分析是一种基于统计学原理的方法，通过对多个变量之间的关系进行分解，得到一组正交的模态函数。

这些模态函数表示了数据集的主要变化模式，可以用来揭示数据的内在结构和变化趋势。

然而，由于测量误差和采样误差的存在，EOF分析得到的模态函数不一定能完美地反映真实的数据特征。

EOF的特征根误差可以通过比较观测数据和重建数据之间的差异来评估。

一般来说，EOF分析通过将原始数据投影到一组空间EOF模态函数上来构建重建数据。

重建数据与观测数据之间的误差可以用重建误差函数来度量。

而特征根误差是重建误差函数中与特征根有关的部分。

特征根误差反映了EOF分析结果的可靠性和精确性。

较小的特征根误差意味着EOF分析结果能够较好地拟合观测数据，揭示数据的主要模式。

而较大的特征根误差则表示EOF分析结果与真实数据之间存在较大的差异，反映了数据的不确定性和噪声。

特征根误差的大小取决于多个因素，包括数据的质量、数量和采样方式等。

当数据质量较低、采样数量较少或者采样方式不合理时，特征根误差往往较大。

此外，特征根误差还受到测量误差和采样误差的影响。

测量误差是由于测量设备的不确定性或人为操作不准确导致的，而采样误差是由于采样不足或采样偏倚等原因引起的。

为了减小特征根误差，可以采取一些措施。

首先，应该提高数据的质量，尽量减小测量误差和采样误差。

在测量过程中，可以使用更准确的测量设备，加强校准和检验。

在采样过程中，应该遵循科学的采样方法，避免采样偏倚和不足。

其次，可以增加采样数量，提高数据的充分性和代表性。

通过增加采样点的数量，可以减少随机误差的影响，提高EOF分析结果的精确性和可靠性。

此外，特征根误差还可以通过模型评估和误差分析来估计。

使用合适的模型来拟合EOF分析结果，并通过误差分析来评估模型的拟合程度。

EOF分析


1.80 0.60
-1.20 -0.40
46
EOF1 26.1% 4000 3000 Eigenvalue 2000 1000 0 0.04 0.02 0 −0.02 −0.04 −0.06 0 2 4 6 Number 8 10 −0.08
100 50 PC#1 0 −50 −100 1950 1960 1970 1980 1990 2000
0 λ2 . . . 0 ∧= ... ... ... ... 0 0 . . . λm
一 般 将 特 征 根λ按 从 大 到 小 顺 序 排 列 ， 即λ1 > λ2 > . . . > λm 。 因 为 数 据X 是真实的观测值，所以λ应该大于或者等于0。每个非0的特征根对应 42
1 外，EOF和PC都具有正交性的特点，可以证明 n P C × P C T = ∧；即不同的PC之
间相关为0。E × E T = I 。I为对角单位矩阵，即对角线上值为1，其他元素都 为0。这表明各个模态之间相关为0，是独立的。 由上面的计算过程可以看出，EOF分析的核心是计算矩阵C 的特征根和特征向 量。计算矩阵特征根和特征向量的方法很多，下面具体给出Matlab中进行EOF分 析的两种不同的方法。具体步骤可参考下面两个框图中的实例。 方法1：调用[EOF,E]=eig(C)，其中EOF为计算得到的空间特征向量，E为特 征根。然后计算主成分P C = EOF T × X 。需要指出的时，当数据量很大时，例 如分析高分辨率的资料(如1km分辨率的NDVI资料)，空间范围很大维数m很容易 超过数万个点，则矩阵C 的维数是个巨大量，需要占用大量内存，也会导致计算 速度异常缓慢。而且很可能超出计算机的计算极限而死机。 方法2：直接对矩阵X 进行奇异值分解 X=U 其中 系。 43 为奇异值对交阵( VT

EOF分析及其应用最新

EOF分析及其应用最新
EOF（End of File）指的是在计算机中表示文件结束的标记。

在计算
机科学中，EOF有着广泛的应用。

下面是EOF分析及其应用的最新内容。

1.EOF在文件读取中的应用：
在文件读取过程中，EOF的出现可以用来检测文件是否已经到达结尾。

当读取到文件的末尾时，EOF标记将被置位，进而告知程序文件已经读取
完毕。

这对于读取未知长度的文件非常有用，因为它可以确保程序不会尝
试读取文件超出末尾的字符。

2.EOF在网络通信中的应用：
在网络通信中，EOF用于判断一次数据传输是否已经完成。

在一次通
信中，数据可能会被分成多个数据包进行传输，而EOF被用来标志着数据
的结束。

当接收方收到EOF标记时，它将知道该数据包已经接收完整，并
可以继续处理数据。

3.EOF在压缩算法中的应用：
在压缩算法中，EOF被用来标志着原始文件的结束。

当压缩文件被解
压缩时，EOF标记将告知解压缩器已经解压缩到达原始文件的末尾。

4.EOF在数据库操作中的应用：
在数据库操作中，EOF被用作一个指示器，用来检查查询语句是否已
经遍历完所有的结果。

当查询的结果集遍历完毕时，EOF标记将被置位，
程序可以据此判断查询结果是否为空，或者是否还有更多的结果待处理。

总之，EOF在计算机科学的许多领域都有着重要的应用。

它不仅可以
用来检测文件的结束，还可以用于网络通信、压缩算法以及数据库操作等
方面。

了解EOF的基本概念和应用，有助于开发高效、安全和可靠的软件系统。

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49
量是一样的。而可以证明C = X X 和C∗ = X X有相同的特征根, 但特征向量不 同。因此，通过时空转换可以求X X矩阵的特征根，进而计算XX 矩阵的特征向 量。即有
C∗ × V ∗ = V ∗ × ∧
V ∗是C∗的特征向量，∧是特征根对角矩阵。根据V ∗是可以求出C的特征向量的， 首先计算Va = X × V ∗；对Va进行处理得到C的前n个特征向量Vk
42
一列特征向量值，也称EOF。如λ1对应的特征向量值称第一个EOF模态， 也就是V 的第一列即EOF1 = V (:, 1)；第λk对应的特征向量是V 的第k列， 即EOFk = V (:, k)。
• 计算主成分。将EOF投影到原始资料矩阵X上，就得到所有空间特征向量对 应的时间系数(即主成分)，即
检查PC的正交性得到：
8.42 0.00
0.00 3.58
EOF*PC % =X
可以完全恢复X的距平值：
-1.20 2.80 -2.20
4.60 -0.40 -4.40
1.80 -1.20 0.60 -0.40
45
练习：利用[U,S,V]=svd(X)计算矩阵X 的特征向量和主成分
X=[2 6 1 5 2; 9 4 0 5 4];
(c) EOF1 13.4%
0.15 0.1 0.05 0 −0.05 −0.1
(d) EOF1 11.3%
0.1 0.05 0 −0.05 −0.1
图 A.17: 我国东部地区夏季降水量EOF分析第一特征向量。(a)原始值，(b)距平 值，(c)距平百分率，(d)标准化值. 1951 − 2002资料.
1.80 -1.20 0.60 -0.40
46
Eigenvalue
4000
3000
2000
1000
0
0
2
4
6
8
10
Number
EOF1 26.1%
0.04 0.02 0 −0.02 −0.04 −0.06 −0.08
PC#1
100 50 0
−50 −100
1950 1960 1970 1980 1990 2000 Year
A.7 EOF分析
经验正交函数分析方法(empirical orthogonal function, 缩写为EOF)，也称特征 向量分析(eigenvector analysis)，或者主成分分析(principal component analysis,缩 写PCA)， 是 一 种 分 析 矩 阵 数 据 中 的 结 构 特 征 ， 提 取 主 要 数 据 特 征 量 的 一 种 方 法。Lorenz在1950年代首次将其引入气象和气候研究，现在在地学及其他学科中 得到了非常广泛的应用。地学数据分析中通常特征向量对应的是空间样本，所以 也称空间特征向量或者空间模态；主成分对应的是时间变化，也称时间系数。因 此地学中也将EOF分析称为时空分解。
PC=S*V’; 得到PC=
4.28 -2.07
0.15 2.82
-4.74 -1.31
0.94 -0.62 1.65 -1.10
E=S.^2/5; %=lambda
E的数值与上面得到的特征根完全一样即E=：
8.42
0
0
0
0
0 3.58
0
0
0
EOF*PC % =X 可以完全恢复X的距平值：
-1.20 2.80 -2.20 4.60 -0.40 -4.40
外，EOF和PC都具有正交性的特点，可以证明
1 n
P
C
× PCT
=
∧；即不同的PC之
间相关为0。E × ET = I。I为对角单位矩阵，即对角线上值为1，其他元素都
为0。这表明各个模态之间相关为0，是独立的。
由上面的计算过程可以看出，EOF分析的核心是计算矩阵C 的特征根和特征向 量。计算矩阵特征根和特征向量的方法很多，下面具体给出Matlab中进行EOF分 析的两种不同的方法。具体步骤可参考下面两个框图中的实例。
空间模态应该与主成分配合进行分析。二者符号是相对应的。
分析中保留的模态的数目，没有严格规定，还取决于分析目的。一般取满 足North准则；或者有明确物理意义。
数据性质与预处理
(1)误差 (2)资料的处理。原始场，距平场，与标准化场
例子：我国160站夏季降水量的EOF分析(图A.17) (3)空间样本点。大范围的空间数据，特别需要注意资料空间代表性。非均匀 场与均匀分布场；空间抽样；面积加权。 北半球1月SLP例子
两种方法对比练习。
显著性检验
可以证明
m
m
m
Xi2 = λk = P Ck2
i=1
k=1
k=1
这说明矩阵X 的方差大小可以简单的用特征根的大小来表示。λ越高说明其对应的
模态越重要，对总方差的贡献越大。第k个模态对总的方差解释率为
λk
m
i=1
λi
×
100%
即使是随机数或者虚假数据，放在一起进行EOF分析，也可以将其分解成一
P Cm×n = VmT×m × Xm×n
其中P C中每行数据就是对应每个特征向量的时间系数。第一行PC(1,:)就是 第一个EOF的时间系数，其他类推。
上面是对数据矩阵X 进行计算得到的EOF和主成分(PC)，因此利用EOF和PC也 可以完全恢复原来的数据矩阵X ，即
X = EOF × P C
有 时 可 以 用 前 面 最 突 出 的 几 个EOF模 态 就 可 以 拟 合 出 矩 阵X 的 主 要 特 征 。 此
44
练习：利用[E,V]=eig(C)计算矩阵X 的特征向量和主成分%
X=[2 6 1 5 2; 9 4 0 5 4];
X(1,:)=X(1,:)-mean(X(1,:)); X(2,:)=X(2,:)-mean(X(2,:)); 得到X的距平值：X=
-1.20 2.80 -2.20 1.80 -1.20 4.60 -0.40 -4.40 0.60 -0.40
有重叠，那么他们之间没有显著差别。
图A.16是对1949 − 2002年北半球1月平均海平面气压，做距平处理处理及面积 加权后进行EOF分析的结果。从特征根误差范围看，第一和第二模态存在显著差 别，第二和第三模态之间也存在显著差别。但是第三特征根和第四及以后的特征 根之间没有显著的差别。如果要分析主要的模态的话，最好只选择前三个进行分 析。
2 0 −2 −4 −6 hPa
图 A.16: 北半球1月海平面气压EOF分析的第一特征向量. (a)为特征根及95%信度 误差，(b)第一特征向量，(c)第一主成分，(d)第一主成分偏强+σ时海平面气压的 变化量(hPa). 1949 − 2002，NCEP/NCAR再分析资料
47
结果展示
通常情况下，主成分是有单位的，即反映的是矩阵X 的单位，而空间特征向量是
• 计算方阵C的特征根(λ1,...,m)和特征向量Vm×m，二者满足
Cm×m × Vm×m = Vm×m × ∧m×m
其中∧是m × m维对角阵，即


∧
=

λ1 0 ...
0 λ2 ...
... ... ...
0
0 ...

0 0 . . . λm
一 般 将 特 征 根λ按 从 大 到 小 顺 序 排 列 ， 即λ1 > λ2 > . . . > λm。 因 为 数 据X 是 真 实 的 观 测 值 ， 所 以λ应 该 大 于 或 者 等 于0。 每 个 非0的 特 征 根 对 应
方法1：调用[EOF,E]=eig(C)，其中EOF为计算得到的空间特征向量，E为特 征根。然后计算主成分P C = EOF T × X。需要指出的时，当数据量很大时，例 如分析高分辨率的资料(如1km分辨率的NDVI资料)，空间范围很大维数m很容易 超过数万个点，则矩阵C 的维数是个巨大量，需要占用大量内存，也会导致计算 速度异常缓慢。而且很可能超出计算机的计算极限而死机。
下面是一个简单例子，有一个矩阵X，维数是5×2，先直接计算矩阵XX 的5个 特征向量，然后再利用时空转换方法计算其前2个特征向量。
X=[ -1.20 4.60
2.80 -0.40
-2.20 -4.40
得到EOF= 0.19 0.98
-0.98 0.19
得到特征根E=
8.42
0
0 3.58
得到主成分PC=
4.28 0.15
2.07 -2.82
-4.74 1.31
0.94 -1.65
-0.62 1.10
%%check
EOF*EOF’ % = I
检查EOF的正交性得到：
1.00
0
0 1.00
PC*PC’/5 % = lambda
方法2：直接对矩阵X 进行奇异值分解
X =U VT
其中 为奇异值对交阵( 对角线上的元素为奇异值)，奇异值与特征根成倍数关 系。
43
√
•
如果矩阵C
=
1 n
X
X
T
，C
的特征根为λ，则有
= nλ；
√ • 如果矩阵C = XXT ，C的特征根为λ，则有 = λ；
由于该方法是直接对矩阵X 进行分解，所以对内存的要求远小于方法1。计算速度 很快。
0 4.23 0 0 0 V=
0.66 -0.49 0.56 0.02 0.67 0.63 -0.73 -0.31 0.53 0.14 0.39 0.03 -0.10 -0.26 -0.02
0.09 -0.32
0.25 0.91 0.06
-0.06 0.22
-0.16 0.06 0.96