2018年高三最新 高考数学中档题强化训练(4)-(6) 精品

高三数学中档题训练1班级 姓名 1．集合A=｛1，3，a ｝，B=｛1，a 2｝，问是否存在这样的实数a ，使得B ⊆A ，且A∩B=｛1，a ｝？若存在，求出实数a 的值；若不存在，说明理由．2、在ABC ∆中，a 、b 、c 分别是三内角A 、B 、C 的对应的三边，已知222b c a bc +=+。

（Ⅰ）求角A 的大小： （Ⅱ）若222sin 2sin 122B C+=，判断ABC ∆的形状。

3. 设椭圆的中心在原点,焦点在x 轴上,离心率23=e .已知点)23,0(P 到这个椭圆上的点的最远距离为7,求这个椭圆方程.4.数列{}n a 为等差数列，n a 为正整数，其前n 项和为n S ，数列{}n b 为等比数列，且113,1a b ==，数列{}n a b 是公比为64的等比数列，2264b S =. （1）求,n n a b ；（2）求证1211134n S S S +++<L .高三数学中档题训练2班级 姓名1.已知函数()116-+=x x f 的定义域为集合A ，函数()()m x x x g ++-=2lg 2的定义域为集合 B. ⑴当m=3时，求()B C A R I ；⑵若{}41<<-=x x B A I ，求实数m 的值.2、设向量(cos ,sin )m θθ=u r ，(22sin ,22cos )n θθ=+-r ，),23(ππθ--∈，若1m n •=u r r ，求：（1）)4sin(πθ+的值； （2）)127cos(πθ+的值．3.在几何体ABCDE 中，∠BAC=2π，DC ⊥平面ABC ，EB ⊥平面ABC ，F 是BC 的中点，AB=AC=BE=2，CD=1 （Ⅰ）求证：DC ∥平面ABE ； （Ⅱ）求证：AF ⊥平面BCDE ；（Ⅲ）求证：平面AFD ⊥平面AFE ．4. 已知ΔOFQ 的面积为2 6 ,且OF FQ m ⋅=u u u r u u u r.(1)设 6 ＜m ＜4 6 ,求向量OF FQ u u u r u u u r与的夹角θ正切值的取值范围；(2)设以O 为中心，F 为焦点的双曲线经过点Q （如图),OF c =u u u r ,m=( 6 4-1)c 2,当OQ u u u r 取得最小值时，求此双曲线的方程.ABCDEF班级 姓名1. 已知向量a ＝（3sin α，cos α），b ＝(2sin α, 5sin α－4cos α)，α∈（3π2π2，）， 且a ⊥b ． （1）求tan α的值； （2）求cos(π23α+)的值．2、某隧道长2150m ，通过隧道的车速不能超过20m/s 。

高三数学中档题训练1班级 姓名1、在ABC ∆中，a 、b 、c 分别是三内角A 、B 、C 的对应的三边，已知222b c a bc +=+。

（Ⅰ）求角A 的大小： （Ⅱ）若222sin 2sin 122B C+=，判断ABC ∆的形状。

2. 设椭圆的中心在原点,焦点在x 轴上,离心率23=e .已知点)23,0(P 到这个椭圆上的点的最远距离为7,求这个椭圆方程.3.数列{}n a 为等差数列，n a 为正整数，其前n 项和为n S ，数列{}n b 为等比数列，且113,1a b ==，数列{}n a b 是公比为64的等比数列，2264b S =.（1）求,n n a b ；（2）求证1211134n S S S +++<.4、已知函数()ln f x x =，)0(21)(2≠+=a bx ax x g （I ）若2-=a 时，函数)()()(x g x f x h -=在其定义域内是增函数，求b 的取值范围；（II ）在（I ）的结论下，设]2ln ,0[,)(2∈+=x be e x x xϕ，求函数)(x ϕ的最小值；高三数学中档题训练2班级 姓名1.已知函数()116-+=x x f 的定义域为集合A ，函数()()m x x x g ++-=2lg 2的定义域为集合B. ⑴当m=3时，求()B C A R ； ⑵若{}41<<-=x x B A ，求实数m 的值.2、设向量(cos ,sin )m θθ=，(22sin cos )n θθ=+，),23(ππθ--∈，若1m n ∙=，求：（1）)4sin(πθ+的值； （2）)127cos(πθ+的值．3.在几何体ABCDE 中，∠BAC=2π，DC ⊥平面ABC ，EB ⊥平面ABC ，F 是BC 的中点，AB=AC=BE=2，CD=1（Ⅰ）求证：DC ∥平面ABE ； （Ⅱ）求证：AF ⊥平面BCDE ；（Ⅲ）求证：平面AFD ⊥平面AFE ．4. 已知ΔOFQ 的面积为2 6 ,且OF FQ m ⋅=.(1)设 6 ＜m ＜4 6 ,求向量OF FQ 与的夹角θ正切值的取值范围； (2)设以O 为中心，F 为焦点的双曲线经过点Q （如图),OF c = ,m=(6 4-1)c 2,当OQ 取得最小值时，求此双曲线的方程.BCDEF高三数学中档题训练3班级 姓名1. 已知向量a ＝（3sin α，cos α），b ＝(2sin α, 5sin α－4cos α)，α∈（3π2π2，）， 且a ⊥b ． （1）求tan α的值； （2）求cos(π23α+)的值．2、某隧道长2150m ，通过隧道的车速不能超过20m/s 。

a解 (1)由 e ＝ ＝c 所以椭圆 C 的方程是 ＋ ＝1.⎩y B －y A 8k 1故 k AB ＝ x B －x A －16k 21＋4k 2 1＋4k 24k 2＋1 1＋4k 2 4k 2＋16．圆锥曲线x 2 y 2 31．(2017·苏州期末 )如图，已知椭圆 C ： 2＋b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为 2，且过点 P (2，－1)．(1)求椭圆 C 的方程；(2)设点 Q 在椭圆 C 上，且 PQ 与 x 轴平行，过点 P 作两条直线分别交椭圆 C 于 A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点，若直线 PQ 平分∠APB ，求证：直线 AB 的斜率是定值，并求出这个定值．a 3 2，得 a ∶b ∶c ＝2∶1∶ 3，x 2 y 2椭圆 C 的方程为4b 2＋b 2＝1.把 P (2，－1)代入，得 b 2＝2，x 2 y 28 2(2)由已知得 PA ，PB 的斜率存在，且互为相反数．设直线 PA 的方程为 y ＋1＝k (x －2)，其中 k ≠0.⎧⎪y ＋1＝k (x －2)， 由⎨⎪x 2＋4y 2＝8消去 y ，得 x 2＋4[kx －(2k ＋1)]2＝8，即(1＋4k 2)x 2－8k (2k ＋1)x ＋4(2k ＋1)2－8＝0，因为该方程的两根为 2，x A ，4(2k ＋1)2－8 8k 2＋8k －2 所以 2x A ＝ ，即 x A ＝ ，4k 2－4k －1从而 y A ＝ .8k 2－8k －2 4k 2＋4k －1把 k 换成－k ，得 x B ＝ ，y B ＝ .＝ ＝－ ，是定值．x 2 y 22．(2017·常州期末)已知圆 C ：(x －t )2＋y 2＝20(t ＜0)与椭圆 E ：a 2＋b 2＝1(a ＞b ＞0)的一个公共点为 B (0，－2)，F (c,0)为椭圆 E 的右焦点，直线 BF 与圆 C 相切于点 B .所以椭圆 E 的方程为 ＋ ＝1.设 l ：y ＝k (x －1)(k ≠0)，代入 ＋ ＝1，⎧⎪10k x ＋ 5k －20x x ＝ .⎪⎩3．(2017·无锡期末)已知椭圆 ＋ ＝1，动直线 l 与椭圆交于 B ，C 两点(点 B 在第一象限)．(1)若点 B 的坐标为 1， ⎪，求△OBC 面积的最大值；解 (1)直线 OB 方程为 y ＝ x ，即 3x －2y ＝0，所以⎨x 1－m x 2－m x 1－m x 2－m ＋k (x 1－1) k (x 2－1)y 1y ＝2· －(1＋m ) ＋2m ＝0，⎛3⎫4＋5k(1)求 t 的值以及椭圆 E 的方程；(2)过点 F 任作与两坐标轴都不垂直的直线 l 与椭圆交于 M ，N 两点，在 x 轴上是否存在一定点 P ，使 PF 恰为∠MPN 的平分线？解 (1)由题意得 b ＝2.因为 C (t,0)，B (0，－2)，所以 BC ＝ t 2＋4＝ 20，所以 t ＝±4.因为 t ＜0，所以 t ＝－4.因为 BC ⊥BF ，所以 20＋c 2＋4＝(c ＋4)2，所以 c ＝1，所以 a 2＝b 2＋c 2＝5.x 2 y 25 4(2)设 M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，x 2 y 25 4化简得(4＋5k 2)x 2－10k 2x ＋5k 2－20＝0，21 2 4＋5k 22 1 2 2若点 P 存在，设 P (m,0)，由题意 k PM ＋k PN ＝0，所以 ＝ ＋ ＝0，所以(x 1－1)(x 2－m )＋(x 2－1)(x 1－m )＝0， 即 2x 1x 2－(1＋m )(x 1＋x 2)＋2m5k 2－20 10k 24＋5k 2 4＋5k 2所以 8m －40＝0，所以 m ＝5.所以存在定点 P (5,0)，使 PF 恰为∠MPN 的平分线．x 2 y 24 3⎝ 2⎭(2)设 B (x 1，y 1)，C (x 2，y 2)，且 3y 1＋y 2＝△0，求当 OBC 的面积最大时直线 l 的方程．32设过点 C 且平行于 OB 的直线 l ′方程为 y ＝ x ＋b .⎧⎪x ＋y ＝1， ⎪⎩y ＝3x ＋b⎛⎛所以△OBC 面积的最大值为 ×4 13所以⎨⎪⎩y y ＝3n －12.因为 3y ＋y ＝0，所以⎨⎪⎩y ＝ 4－n ， 3m ＋4 (3m 2＋4)2 3m 2＋4＋ ＋ ＋1 ＝＋4 ＋1＋432则当 △l ′与椭圆只有一个公共点时， OBC 的面积最大．2 2由⎨ 4 32消去 y 整理得 3x 2＋3bx ＋b 2－3＝0，此时 Δ ＝9b 2－12(b 2－3)，令 Δ ＝0，解得 b ＝±2 3，当 b ＝2 3时，C － 3， ⎝3⎫ ⎪；2 ⎭当 b ＝－2 3时，C 3，－ ⎝ 3⎫ ⎪，2 ⎭129 |3 3＋ 3| 1＋ × ＝ 3.(2)显然，直线 l 与 y 轴不垂直，设直线 l 的方程为 x ＝my ＋n .⎧⎪x 2＋y 2＝1， 由⎨ 4 3消去 x 并整理得(3m 2＋4)y 2＋6mny ＋3n 2－12＝0，⎪⎩x ＝my ＋n⎧⎪y 1＋y 2＝－3 6mn4，221 23m 2＋4⎧⎪y 1＝3 3mn4，2 1 2 22 129n 2m 2 4－n 2 从而 ＝ ，3m 2＋4即 n 2＝3m 2 ，1 6|m |n2 6|m |所以 △S OBC 2|n |·|y 1－y 2|＝2|n |·|y 1|＝3m 2 ＝3m 2 .因为 B 在第一象限，3m 2n所以 x 1＝my 1＋n ＝3m 2 ＋n ＞0，所以 n ＞0.因为 y 1＞0，所以 m ＞0，所以 △S OBC ＝ 6m3m 2＋1 1 2 3 m 3 2 3m ＋所以直线 l 的方程为 x ＝ 3 y ＋ ，即 y ＝ 3x － .4．(2017·南京、盐城二模)如图，在平面直角坐标系 x Oy 中，焦点在 x 轴上的椭圆 C ： ＋(2)过点 O 且平行于 l 的直线交椭圆 C 于 M ，N 两点，求AT ·BT的值；→ 2→ (3)记直线 l 与 y 轴的交点为 P ，若AP ＝ TB ，求直线 l 的斜率 k . 所以椭圆 C 的标准方程是 ＋＝1. AT ·BT －y 1y 2MN 24y 20＝1－ ，所以 ＋消去 x ，得(1＋2k 2)y 2＋2ky －7k 2＝0，所以 y 1y 2＝ 1＋2k 2⎧⎪6 6 1 3 10 ＝ ≤ ＝ 3，当且仅当 3m ＝ ，即 m ＝ 时取等号，此时 n ＝ ，m10 303 2 2x 28y2b2＝1 经过点(b,2e )，其中 e 为椭圆 C 的离心率．过点 T (1,0)作斜率为 k (k ＞0)的直线 l 交椭圆 C 于 A ，B 两点(A 在 x 轴下方)．(1)求椭圆 C 的标准方程；MN 25b 2 4e 2解 (1)由点(b,2e )在椭圆 C 上，得 8 ＋ b 2 ＝1. c 2 8－b 2 b 2 b 2 4 3因为 e 2＝a 2＝ 8 8 8 b 2＝2.又 b 2＜a 2＝8，解得 b 2＝4，x 2 y 28 4(2)设 A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，M (x 0，y 0)，由对称性知 N (－x 0，－y 0)，其中 y 1＜0.因为 MN ∥AB ，所以＝ .直线 AB 的方程为 y ＝k (x －1)，直线 MN 的方程为 y ＝kx ，其中 k ＞0. ⎧⎪y ＝k (x －1)， 由⎨ ⎪⎩x 2＋2y 2＝8由⎨y ＝kx ，⎪⎩x 2＋2y 2＝8消去 x ，得(1＋2k 2)y 2＝8k 2，－7k 2 .所以 y 20＝ ，从而得 1＋2k 2MN 2 32 (3)由AP＝ TB ，得－x 1＝ (x 2－1)．5⎩，x 1x 2＝ 1＋2k 2所以 x 1＝ ，x 2＝3(1＋2k 2) 3(1＋2k 2)3(1＋2k 2) 3(1＋2k 2) 1＋2k 2解得 k 2＝2 或 k 2＝－ (舍)．8k 2 AT ·BT 7＝ .→ 2→ 2 5⎧⎪y ＝k (x －1)，由⎨⎪x 2＋2y 2＝8消去 y ，得(1＋2k 2)x 2－4k 2x ＋2k 2－8＝0，所以 x 1＋x 2＝1＋2k 24k 2 2k 2－8 .2又因为－x 1＝5(x 2－1)，－4k 2＋2 16k 2－2，－4k 2＋2 16k 2－2 2k 2－8从而 · ＝ .整理得 50k 4－83k 2－34＝0，1750因为 k ＞0，所以 k ＝ 2.。

D P CB A中档题训练12 姓名1．在人寿保险业中，要重视某一年龄的投保人的死亡率，经过随机抽样统计，得到某城市一个投保人能活到75岁的概率为0.60，试问：（1）3个投保人都能活到75岁的概率；（2）3个投保人中只有1人能活到75岁的概率；（3）3个投保人中至少有1人能活到75岁的概率.（结果精确到0.01）解：（1）22.0)6.0()3(33≈=P（2）29.016.06.03)6.01(6.0)1(2133≈⨯⨯=-⨯⨯=C P （3）94.0064.01)6.01(13≈-=--=P2．如图：已知四棱锥P —ABCD 的底面为直角梯形，AD ∥BC ，∠BCD=90，PA=PB ，PC=PD. （Ⅰ）证明CD 与平面PAD 不垂直；（Ⅱ）证明平面PAB ⊥平面ABCD ；（Ⅲ）如果CD=AD+BC ，二面角P —BC —A 等于60°，求二面角P —CD —A 的大小．解：(Ⅰ)若CD ⊥平面PAD ，则CD ⊥PD ，由已知PC=PD ，得∠PCD=∠PDC ︒<90， 这与CD ⊥PD 矛盾，所以CD 与平面PAD 不垂直.(Ⅱ)取AB 、CD 的中点E 、F ，连接PE 、PF 、EF ，由PA=PB ，PC=PD ，得PE⊥AB，PF⊥CD，∴EF 为直角梯形的中位线，∴EF⊥CD，又PF∩EF=F,∴CD⊥平面PEF ，由PE ⊂平面PEF ，得CD⊥PE，又AB⊥PE 且梯形两腰AB 、CD 必交，∴PE⊥平面ABCD ，又PE ⊂平面PAB ，∴平面PAB⊥平面ABCD（Ⅲ）由（Ⅱ）及二面角的定义知∠PFE 为二面角P-CD-A 的平面角作EG⊥BC 于G ，连PG ，由三垂线定理得BC⊥PG，故∠PGE 为二面角P-BC-A 的平面角．即∠PGE=60°，由已知，得CD BC AD EF 21)(21=+=，又EG=CF =21CD .∴EF=EG,易证得Rt⊿PEF≌Rt⊿PEG.∴∠PEF=∠PGE=60°，即为所求.3．（本小题满分12分）已知椭圆E ：12222=+by a x (a >b >0)中，以F 1(－c ，0)为圆心，a －c 为半径作圆F 1，过点B 2(0，b )作圆F 1的两条切线，设切点分别为M 、N 两点。

2018年高考文科数学中档题训练卷一适用于使用全国卷一地区使用一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.4.中国将于今年9月3日至5日在福建省厦门市主办金砖国家领导人第九次会晤．某志愿者队伍共有5人负责接待，其中3人担任英语翻译，另2人担任俄语翻译，现从中随机选取2人，恰有1个英语翻译，1个俄语翻译的概率是（ ） A ．13B ．12C ．35D ．235.已知角α的顶点在坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边经过点(，则tan()6πα-的值为（ ）A．-．C． D． 6.我国古代数学典籍《九章算术》第七章“盈不足”中有一问题：“今有蒲生一日，长三尺．莞生一日，长一尺．蒲生日自半．莞生日自倍．问几何日而长等？”（蒲常指一种多年生草本植物，莞指水葱一类的植物）现欲知几日后，莞高超过蒲高一倍，为了解决这个新问题，设计如图的程序框图，输入3A =，1a =，那么在①处应填（ ）A ．2T S >？B ．2?S T >C ．2?S T <D ．2?T S <7.实数x ，y 满足1,1,22,x y x y x y +≥⎧⎪-≥-⎨⎪-≤⎩则43z x y =+的最大值为（ ）A ．3B ．4C ．18D ．248.平行四边形ABCD 中，3AB =，2AD =，13AP AB = ，12AQ AD = ，若12CP CQ ⋅=，则BAD ∠=（ ） A ．4πB ．3π C ．2π D ．23π9.当0x >时，函数()()(2)x f x ae b x =+-单调递增，且函数(1)y f x =-的图象关于直线1x =对称，则使得(2)0f m ->成立的实数m 的取值范围是（ ） A ．{}|22m m m <->或 B ．{}|22m m -<<C ．{}|04m m m <>或D ．{}|04m m <<10.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某四棱锥的三视图，已知其俯视图是正三角形，则该四棱锥的外接球的表面积是（ ） A ．193π B ．223πC ．19πD ．22π 二、填空题14.已知{}n a 是等差数列，其前n 项和为n S ，13515a a a ++=，2460a a a ++=，则n S 的最大值为 ．15.直三棱柱111ABC A B C -中，90BAC ∠=︒，2BC =，11CC =，直线1BC 与平面11A ABB 所成角等于60︒，则三棱柱111ABC A B C -的侧面积为 ．三、解答题17.已知函数()sin()f x M x ωϕ=+（0M >，0ω>，||2πϕ<）的图象与x 轴的两个相邻交点是(0,0)A ，(6,0)B ，C 是函数()f x 图象的一个最高点．a ,b ,c 分别为ABC ∆的三个内角A ，B ，C 的对边，满足()(sin sin )()sin a c C A a b B +-=+． （Ⅰ）求函数()f x 的解析式；（Ⅱ）将函数()f x 的图象向左平移1个单位后，纵坐标不变，横坐标伸长为原来的3π倍，得到函数()g x 的图象，求函数()g x 的单调递减区间．18.为了响应***市政府“低碳生活，绿色出行”的号召，A 区委文明办率先全市发起“少开一天车，呵护厦门蓝”绿色出行活动．“从今天开始，从我做起，力争每周至少一天不开车，上下班或公务活动带头选择步行、骑车或乘坐公交车，鼓励拼车……”．铿锵有力的话语，传递了低碳生活、绿色出行的理念． 某机构随机调查了本市部分成年市民某月骑车次数，统计如下：联合国世界卫生组织于2013年确定新的年龄分段：44岁及以下为青年人，45岁至59岁为中年人，60岁及以上为老年人．用样本估计总体，解决如下问题：（Ⅰ）估计本市一个年满18岁的青年人每月骑车的平均次数；（Ⅱ）月骑车次数不少于30次者称为“骑行爱好者”．根据以上数据，能否在犯错误的概率不超过0.005的前提下认为“骑行爱好者”与“青年人”有关？22()()()()()n ad bc K a c a b b d c d -=++++19.如图，正方形ABCD 的边长等于2，平面ABCD ⊥平面ABEF ，//AF BE ，22BE AF ==，EF = （Ⅰ）求证：//AC 平面DEF ；（Ⅱ）求三棱锥C DEF -的体积．答案一、选择题4-5:CA 6-10:BDBCA二、填空题三、解答题17.解：（Ⅰ）由题意得0ϕ=，62T =，即12T =，22126T πππω===， 由正弦定理得()()()c a c a a b b +-=+，整理得：222122b ac ab +-=-， 即1cos 2C =-，又(0,)C π∈，所以23C π=，在ABC ∆中，易知AC BC =，取AB 中点D 易得CD =，即M =∴()6xf x π=．（Ⅱ）函数()f x 图象向左平移1个单位，得(1)sin()66f x x ππ+=+，纵坐标不变，横坐标伸长为原来的3π倍，得()sin()26x g x π=+，由3222262x k k πππππ+≤++（k Z ∈），解得284433k x k ππππ+≤≤+（k Z ∈），所以函数()g x 单调递减区间为28[4,4]33k k ππππ++（k Z ∈）． 18.解：（Ⅰ）205401540252003520045300553420042.75204040200200300800⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯==+++++； （Ⅱ）根据题意，得出22⨯列联表：221800(100800700200)187.87930015008001000K ⨯⨯-⨯==>⨯⨯⨯，根据这些数据，能在犯错误的概率不超过0.005的前提下认为“骑行爱好者”与“青年人”有关．19.（Ⅰ）证明：连接BD ，记AC BD O = ，取DE 的中点G ，连接OG 、FG ． ∵点O 、G 分别是BD 和ED 的中点，∴12OG BE =，//OG BE ，又12AF BE =，//AF BE ， ∴OG AF =，且//OG AF ，∴四边形AOGF 是平行四边形． ∴//AO FG ，即//AC FG ．又AC ⊄平面DEF ，FG ⊂平面DEF ，∴//AC 平面DEF ．（Ⅱ）解：在平面ABEF 内，过点F 作//FH AB ，交BE 于点H ．由已知条件可知，在梯形ABEF 中2AB FH ==，EF =1EH =，∴222FH EF EH =+，即FE EB ⊥，从而FE AF ⊥，∴90AFE ∠=︒∴11122AEF S AF EF ∆=⨯=⨯=∵面ABCD ⊥平面ABEF ，平面ABCD 平面ABEF AB =，DA AB ⊥，∴DA ⊥面ABEF ， ∵//AC 平面DEF ，∴点C 到平面DEF 的距离等于点A 到平面DEF 的距离．∴11233C DEF A DEF D AEF AEF V V V DA S ---∆===⨯=⨯=。

高考数学中档小题押题训练（四）姓名：____________班级：____________一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）．．．．已知13,22m⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，命题2123ym+=-表示焦点在上的椭圆.则下列命题中为真命题的是（A ．8B ．4C ．二､多选题（本题共4小题，每小题5分，共有多项符合题目要求.全部选对的得5分，分.）9．用分层随机抽样法从某校高一年级学生的数学竞赛成绩（满分容量为120的样本，其中男生成绩的数据有80个，女生成绩的数据有个男生的成绩分为6组，绘制得到如图所示的频率分布直方图，A ．男生成绩的样本数据在[)90,110内的频率为B ．男生成绩的样本数据的平均数为97C ．男生成绩的样本数据的第75百分位数为118D ．女生成绩的样本数据的平均数为91，则总样本的平均数为10．已知函数(),()f x g x 的定义域均为R ，(f x 且当[0,2]x ∈时，3()(1)f x x =-，则（）A ．()f x 的图象关于点对称(10)，B ．(2023)1f =A ．()1π2sin 36f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭B ．若把()f x 的横坐标缩短为原来的C ．若把函数()f x 的图像向左平移π2D ．ππ,3x ⎡⎤∀∈-⎢⎥⎣⎦3，若()3π32f x a f ⎛+≥ ⎝12．已知函数()()(22f x x b x a =---A ．a b>C ．()f x 在(),b ∞+上单调递增三､填空题（本题共4小题，每小题分，第二空3分.）13．写出一个同时满足下列条件①②的等比数列①10n n a a +<；②1n n a a +<参考答案：⋂中元素的个数即为直线所以A B由图可知直线y x=与正方形ABCD⋂中元素的个数为2.即A B故选：C.3．A【分析】根据冠军的归属分类列表后结合题设条件可得冠军的国家【详解】根据题意，有冠军甲乙丙由题意知，60ABC ︒∠=，所以23AC =，AC BC ⊥所以AB 的中点即为△ABC 又因为2PA PC ==，所以120APC ︒∠=，PM =所以在APC △中，取AC 的中点+【点睛】方法点睛：零点问题的求解常用的方法有：图象法（作出函数()f x 的图象分析判断）；（3）方程分析两函数(),()g x h x 图象即得解）.要根据已知灵活选择方法求解11．ACD【分析】对A ，由函数图像即可算出函数的周期T ，由高点即可求出函数的解析式；对B 、C ，由图像的平移变换即可求得变换后的图像，然后根据三角函数的单调性以及函数的奇偶性即可判断；对用三角函数知识即可求得a 的最小值.【详解】对A ，由题意知2,A =6πT =，2π16π3ω∴==，即2πsin()13ϕ+=，2ππ2π32k ϕ∴+=+（Z k ∈），ϕ∴又πϕ< ，π6ϕ∴=-，()1π2sin 36f x x ⎛⎫∴=- ⎪⎝⎭，所以对B ，把()y f x =的横坐标缩短为原来的23倍，纵坐标不变，得到的函数1π2sin 26y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，[]ππx ∈- ，，∴-1π2sin 26y x ⎛⎫∴=- ⎪⎝⎭在[]π,π-上不单调递增，故B 错误；对C ，把()y f x =的图像向左平移π2个单位，。

2018年高考数学江苏专版二轮专题复习中档大题规范练1．解三角形1．(2017·苏锡常镇调研)在△ABC 中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边．已知acosB ＝3，bcosA ＝1，且A －B ＝π6.(1)求c 的长； (2)求B 的大小．解 (1)方法一 在△ABC 中，acosB ＝3，由余弦定理， 得a·a 2＋c 2－b 22ac＝3，得a 2＋c 2－b 2＝6c ，①bcosA ＝1，则b·b 2＋c 2－a 22bc ＝1，得b 2＋c 2－a 2＝2c ，②①＋②得2c 2＝8c ，所以c ＝4.方法二 因为在△ABC 中，A ＋B ＋C ＝π， 则sinAcosB ＋sinBcosA ＝sin(A ＋B) ＝sin(π－C)＝sinC ， 由a sinA ＝b sinB ＝c sinC ，得sinA ＝asinC c ，sinB ＝bsinC c，代入上式得 c ＝acosB ＋bcosA ＝3＋1＝4.(2)由正弦定理得acosB bcosA ＝sinAcosB sinBcosA ＝tanA tanB ＝3.又tan(A －B)＝tanA －tanB 1＋tanAtanB ＝2tanB 1＋3tan 2B ＝33， 解得tanB ＝33.又B ∈(0，π)，所以B ＝π6. 2．(2017·苏州暑假测试)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c.已知bcosC ＋ccosB ＝2acosA. (1)求角A 的大小；(2)若AB →·AC →＝3，求△ABC 的面积．解 (1)方法一 在△ABC 中，由正弦定理及bcosC ＋ccosB ＝2acosA ， 得sinBcosC ＋sinCcosB ＝2sinAcosA ， 即sinA ＝2sinAcosA.因为A ∈(0，π)，则sinA ≠0，所以cosA ＝12，所以A ＝π3.方法二 在△ABC 中，由余弦定理及bcosC ＋ccosB ＝2acosA ，得b·a 2＋b 2－c 22ab ＋c·a 2＋c 2－b22ac ＝2a·b 2＋c 2－a 22bc ，所以a 2＝b 2＋c 2－bc ，所以cosA ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝12.因为A ∈(0，π)，所以A ＝π3. (2)由AB →·AC →＝bccosA ＝3，得bc ＝23， 所以△ABC 的面积S ＝12bcsinA ＝12×23sin π3＝32.3．(2017·南京、盐城一模)在△ABC 中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 的对边，且bsin2C ＝csinB.(1)求角C 的大小；(2)若sin ⎝⎛⎭⎪⎫B －π3＝35，求sinA 的值．解 (1)由bsin2C ＝csinB ，根据正弦定理得 2sinBsinCcosC ＝sinCsinB.因为sinB ＞0，sinC ＞0，所以cosC ＝12.又C ∈(0，π)，所以C ＝π3.(2)因为C ＝π3，所以B ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，2π3，所以B －π3∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3，π3，又sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫B －π3＝35，所以cos ⎝⎛⎭⎪⎫B －π3＝1－sin 2⎝⎛⎭⎪⎫B －π3＝45.又A ＋B ＝2π3，即A ＝2π3－B ，所以sinA ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3－B ＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3－⎝ ⎛⎭⎪⎫B －π3＝sin π3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫B －π3－cos π3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫B －π3＝32×45－12×35＝43－310. 4.(2017·徐州、连云港、宿迁三检)如图，在△ABC 中，已知点D 在边AB 上，AD ＝3DB ，cosA ＝45，cos ∠ACB ＝513，BC ＝13.(1)求cosB 的值； (2)求CD 的长．解 (1)在△ABC 中，cosA ＝45，A ∈(0，π)，所以sinA ＝1－cos 2A ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫452＝35. 同理可得，sin ∠ACB ＝1213.所以cosB ＝cos[π－(A ＋∠ACB)]＝－cos(A ＋∠ACB) ＝sinAsin ∠ACB －cosAcos ∠ACB ＝35×1213－45×513＝1665.(2)在△ABC 中，由正弦定理，得AB ＝BC sinA sin ∠ACB ＝1335×1213＝20.又AD ＝3DB ，所以BD ＝14AB ＝5.在△BCD 中，由余弦定理，得 CD ＝BD 2＋BC 2－2BD·BCcosB ＝52＋132－2×5×13×1665＝9 2.2．三角函数的图象、性质与三角变换1．已知α为锐角，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝55. (1)求tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4的值；(2)求sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π3的值． 解 (1)因为α∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，所以α＋π4∈⎝⎛⎭⎪⎫π4，3π4，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝1－cos 2⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4＝255，所以tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝2.(2)因为sin ⎝⎛⎭⎪⎫2α＋π2＝sin2⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝45， cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π2＝cos2⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝2cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4－1＝－35， 所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π3＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎪⎫2α＋π2－π6＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π2cos π6－cos ⎝⎛⎭⎪⎫2α＋π2sin π6＝43＋310.2．(2017·南通、扬州、泰州、淮安三调)已知函数f(x)＝Asin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π3(A ＞0，ω＞0)图象的相邻两条对称轴之间的距离为π，且经过点⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，32.(1)求函数f(x)的解析式；(2)若角α满足f(α)＋3f ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π2＝1，α∈(0，π)，求角α的值． 解 (1)由条件知周期T ＝2π，即2πω＝2π，所以ω＝1，即f(x)＝Asin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3.因为f(x)的图象经过点⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，32，所以Asin 2π3＝32，所以A ＝1，所以f(x)＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3.(2)由f(α)＋3f ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π2＝1，得sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π3＋3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π3－π2＝1，即sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π3－3cos ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π3＝1，所以2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π3－π3＝1，即sin α＝12. 因为α∈(0，π)，所以α＝π6或5π6.3．(2017·南京三模)已知向量a ＝(2cos α，sin 2α)，b ＝(2sin α，t)，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2.(1)若a －b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫25，0，求t 的值；(2)若t ＝1，且a·b ＝1，求tan ⎝⎛⎭⎪⎫2α＋π4的值． 解 (1)方法一 因为向量a ＝(2cos α，sin 2α)，b ＝(2sin α，t)，且a －b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫25，0，所以cos α－sin α＝15，t ＝sin 2α.由cos α－sin α＝15，得(cos α－sin α)2＝125，即1－2sin αcos α＝125，从而2sin αcos α＝2425.所以(cos α＋sin α)2＝1＋2sin αcos α＝4925.因为α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，所以cos α＋sin α＝75，所以sin α＝(cos α＋sin α)－(cos α－sin α)2＝35，从而t ＝sin 2α＝925.方法二 因为向量a ＝(2cos α，sin 2α)，b ＝(2sin α，t)， 且a －b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫25，0，所以cos α－sin α＝15，t ＝sin 2α.又sin 2α＋cos 2α＝1，所以sin 2α＋⎝ ⎛⎭⎪⎫sin α＋152＝1，整理得50sin 2α＋10sin α－24＝0， 解得sin α＝－45或sin α＝35.因为α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，所以sin α＞0，所以sin α＝35， 从而t ＝sin 2α＝925.(2)方法一 因为t ＝1，且a·b ＝1，所以4sin αcos α＋sin 2α＝1，即4sin αcos α＝cos 2α. 因为α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，所以cos α≠0，从而tan α＝14.所以tan2α＝2tan α1－tan 2α＝815. 从而tan ⎝⎛⎭⎪⎫2α＋π4＝tan2α＋tanπ41－tan2α·tan π4＝815＋11－815＝237.方法二 因为t ＝1，且a·b ＝1，所以4sin αcos α＋sin 2α＝1，即4sin αcos α＝cos 2α. 所以2sin2α＝1＋cos2α2，即4sin2α－cos2α＝1，又sin 22α＋cos 22α＝1，所以sin 22α＋(4sin2α－1)2＝1， 整理得17sin 22α－8sin2α＝0， 解得sin2α＝817或sin2α＝0.因为α∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，所以2α∈(0，π)，所以sin2α＞0，所以sin2α＝817，代入4sin2α－cos2α＝1，得cos2α＝1517，因为tan2α＝sin2αcos2α＝815，从而tan ⎝⎛⎭⎪⎫2α＋π4＝tan2α＋tanπ41－tan2α·tan π4＝815＋11－815＝237.4．(2017·南通一调)如图，在平面直角坐标系xOy 中，以x 轴正半轴为始边作锐角α，其终边与单位圆交于点A.以OA 为始边作锐角β，其终边与单位圆交于点B ，AB ＝255.(1)求cos β的值；(2)若点A 的横坐标为513，求点B 的坐标．解 (1)在△AOB 中，由余弦定理， 得cos ∠AOB ＝OA 2＋OB2－AB22OA·OB＝12＋12－⎝ ⎛⎭⎪⎫25522×1×1＝35，即cos β＝35.(2)因为cos β＝35，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，所以sin β＝1－cos 2β＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫352＝45. 因为点A 的横坐标为513，由三角函数定义可得cos α＝513.因为α为锐角，所以sin α＝1－cos 2α＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫5132＝1213.所以cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β＝513×35－1213×45＝－3365，sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β＝1213×35＋513×45＝5665.所以点B 坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－3365，5665.3．空间平行与垂直1．(2017·南京学情调研)如图，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，M ，N 分别为线段A 1B ，AC 1的中点．(1)求证：MN ∥平面BB 1C 1C ；(2)若D 在边BC 上，AD ⊥DC 1，求证：MN ⊥AD.证明 (1)如图，连结A 1C ，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，侧面AA 1C 1C 为平行四边形，又因为N 为线段AC 1的中点，所以A 1C 与AC 1相交于点N ，即A 1C 经过点N ，且N 为线段A 1C 的中点． 因为M 为线段A 1B 的中点， 所以MN ∥BC.又MN ⊄平面BB 1C 1C ，BC ⊂平面BB 1C 1C ， 所以MN ∥平面BB 1C 1C.(2)在直三棱柱ABC－A1B1C1中，CC1⊥平面ABC，又AD⊂平面ABC，所以CC1⊥AD.因为AD⊥DC1，DC1⊂平面BB1C1C，CC1⊂平面BB1C1C，CC1∩DC1＝C1，所以AD⊥平面BB1C1C. 又BC⊂平面BB1C1C，所以AD⊥BC.由(1)知MN∥BC，所以MN⊥AD.2．如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是正方形，AC与BD交于点O，PC⊥底面ABCD，E为PB上一点，G为PO的中点．(1)若PD∥平面ACE，求证：E为PB的中点；(2)若AB＝2PC，求证：CG⊥平面PBD.证明 (1)连结OE ，由四边形ABCD 是正方形知，O 为BD 的中点， 因为PD ∥平面ACE ，PD ⊂平面PBD ，平面PBD ∩平面ACE ＝OE ， 所以PD ∥OE.因为O 为BD 的中点，所以E 为PB 的中点． (2)在四棱锥P －ABCD 中，AB ＝2PC ， 因为四边形ABCD 是正方形，所以OC ＝22AB ， 所以PC ＝OC.因为G 为PO 的中点，所以CG ⊥PO. 又因为PC ⊥底面ABCD ，BD ⊂底面ABCD ， 所以PC ⊥BD.而四边形ABCD 是正方形，所以AC ⊥BD ， 因为AC ，PC ⊂平面PAC ，AC ∩PC ＝C ， 所以BD ⊥平面PAC ，因为CG ⊂平面PAC ，所以BD ⊥CG. 因为PO ，BD ⊂平面PBD ，PO ∩BD ＝O ， 所以CG ⊥平面PBD.3．如图，已知平面PAC ⊥平面ABC ，AC ⊥BC ，PE ∥CB ，M 是AE 的中点． (1)若N 是PA 的中点，求证：平面CMN ⊥平面PAC ； (2)若MN ∥平面ABC ，求证：N 是PA 的中点．证明 (1)因为平面PAC ⊥平面ABC ，平面PAC ∩平面ABC ＝AC ，AC ⊥BC ，BC ⊂平面ABC ， 所以BC ⊥平面PAC ，因为M ，N 分别为AE ，AP 的中点，所以MN ∥PE ， 又因为PE ∥BC ，所以MN ∥BC ， 即MN ⊥平面PAC ，又MN ⊂平面CMN ， 所以平面CMN ⊥平面PAC.(2)因为PE ∥CB ，BC ⊂平面ABC ，PE ⊄平面ABC ， 所以PE ∥平面ABC ，设平面PAE 与平面ABC 的交线为l ，则PE ∥l. 又MN ∥平面ABC ，MN ⊂平面PAE ，所以MN ∥l.所以MN ∥PE ，因为M 是AE 的中点，所以N 为PA 的中点．4．如图，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，D 为棱BC 上一点． (1)若AB ＝AC ，D 为棱BC 的中点，求证：平面ADC 1⊥平面BCC 1B 1； (2)若A 1B ∥平面ADC 1，求BDDC的值．(1)证明 因为AB ＝AC ，点D 为BC 的中点， 所以AD ⊥BC.因为ABC －A 1B 1C 1是直三棱柱，所以BB 1⊥平面ABC. 因为AD ⊂平面ABC ，所以BB 1⊥AD.因为BC ∩BB 1＝B ，BC ⊂平面BCC 1B 1，BB 1⊂平面BCC 1B 1， 所以AD ⊥平面BCC 1B 1.因为AD ⊂平面ADC 1，所以平面ADC 1⊥平面BCC 1B 1.(2)解 连结A 1C ，交AC 1于O ，连结OD ，所以O 为A 1C 的中点．因为A 1B ∥平面ADC 1，A 1B ⊂平面A 1BC ，平面ADC 1∩平面A 1BC ＝OD ，所以A 1B ∥OD. 因为O 为A 1C 的中点，所以D 为BC 的中点， 所以BDDC ＝1.4．应用题1．(2017·苏锡常镇调研)某单位将举办庆典活动，要在广场上竖立一形状为等腰梯形的彩门BADC(如图)．设计要求彩门的面积为S(单位：m 2)，高为h(单位：m)(S ，h 为常数)．彩门的下底BC 固定在广场底面上，上底和两腰由不锈钢支架组成，设腰和下底的夹底为α，不锈钢支架的长度之和记为l.(1)请将l 表示成关于α的函数l ＝f(α)； (2)问：当α为何值时l 最小，并求最小值．解 (1)过D 作DH ⊥BC 于点H ，则∠DCB ＝α⎝ ⎛⎭⎪⎫0＜α＜π2，DH ＝h ，设AD ＝x.则DC ＝h sin α，CH ＝h tan α，BC ＝x ＋2htan α.因为S ＝12⎝⎛⎭⎪⎫x ＋x ＋2h tan α·h，则x ＝S h －h tan α，则l ＝f(α)＝2DC ＋AD＝S h ＋h ⎝ ⎛⎭⎪⎫2sin α－1tan α⎝ ⎛⎭⎪⎫0＜α＜π2. (2)f ′(α)＝h·⎝⎛⎭⎪⎫－2cos αsin 2α－－1sin 2α＝h·1－2cos αsin 2α， 令f ′(α)＝h·1－2cos αsin 2α＝0，得α＝π3. 当α变化时，f ′(α)，f(α)的变化情况如下表：所以l min ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＝3h ＋h .答 当α＝π3时，l 有最小值，为3h ＋Sh(m)．2．(2017·南京学情调研)如图，某城市有一块半径为40m 的半圆形绿化区域(以O 为圆心，AB 为直径)，现计划对其进行改建，在AB 的延长线上取点D ，OD ＝80m ，在半圆上选定一点C ，改建后的绿化区域由扇形区域AOC 和三角形区域COD 组成，其面积为Sm 2.设∠AOC ＝xrad. (1)写出S 关于x 的函数关系式S(x)，并指出x 的取值范围； (2)试问∠AOC 多大时，改建后的绿化区域面积S 取得最大值？解 (1)因为扇形AOC 的半径为40m ，∠AOC ＝xrad ，所以扇形AOC 的面积S 扇形AOC ＝x·OA22＝800x,0＜x ＜π.在△COD 中，OD ＝80，OC ＝40，∠COD ＝π－x ， 所以△COD 的面积S △COD ＝12OC·OD·sin∠COD＝1600sin(π－x)＝1600sinx ，从而S ＝S △COD ＋S 扇形AOC ＝1600sinx ＋800x,0＜x ＜π. (2)由(1)知，S(x)＝1600sinx ＋800x,0＜x ＜π， 则S ′(x)＝1600cosx ＋800＝1600⎝ ⎛⎭⎪⎫cosx ＋12， 由S ′(x)＝0，解得x ＝2π3，从而当0＜x ＜2π3时，S ′(x)＞0；当2π3＜x ＜π时，S ′(x)＜0，因此S(x)在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫0，2π3上单调递增，在区间⎝⎛⎭⎪⎫2π3，π上单调递减．所以当x ＝2π3时，S(x)取得最大值．答 当∠AOC ＝2π3时，改建后的绿化区域面积S 最大．3．某宾馆在装修时，为了美观，欲将客户的窗户设计成半径为1m 的圆形，并用四根木条将圆分成如图所示的9个区域，其中四边形ABCD 为中心在圆心的矩形，现计划将矩形ABCD 区域设计为可推拉的窗口．(1)若窗口ABCD 为正方形，且面积大于14m 2(木条宽度忽略不计)，求四根木条总长的取值范围；(2)若四根木条总长为6m ，求窗口ABCD 面积的最大值．解 (1)设一根木条长为xm ， 则正方形的边长为21－⎝ ⎛⎭⎪⎫x 22＝4－x 2m. 因为S 四边形ABCD ＞14，所以4－x 2＞14，即x ＜152.又因为四根木条将圆分成9个区域，所以x ＞2， 所以42＜4x ＜215.答 四根木条总长的取值范围为(42，215)．(2)方法一 设AB 所在的木条长为am ，则BC 所在的木条长为(3－a)m. 因为a ∈(0,2)，3－a ∈(0,2)，所以a ∈(1,2)．S 矩形ABCD ＝41－a 24·1－(3－a )24＝4－a 2·4－(3－a )2＝a 4－6a 3＋a 2＋24a －20， 设f(a)＝a 4－6a 3＋a 2＋24a －20，则f ′(a)＝4a 3－18a 2＋2a ＋24＝2(a ＋1)(2a －3)(a －4)， 令f ′(a)＝0，得a ＝32或a ＝－1(舍去)或a ＝4(舍去)．当a 变化时，f ′(a)，f(a)的变化情况如下表：所以当a ＝32时，f(a)max ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＝4916，即S max ＝74.答 窗口ABCD 面积的最大值为74m 2.方法二 设AB 所在的木条长为am ，BC 所在的木条长为bm ．由条件知，2a ＋2b ＝6，即a ＋b ＝3.因为a ，b ∈(0,2)，所以b ＝3－a ∈(0,2)，从而a ，b ∈(1,2)． 由于AB ＝21－b24，BC ＝21－a24，S 矩形ABCD ＝41－b 241－a 24＝4－b 24－a 2，因为4－b24－a 2≤8－(a 2＋b 2)2≤8－(a ＋b )222＝74，当且仅当a ＝b ＝32∈(1,2)时，S 矩形ABCD ＝74为最大值．答 窗口ABCD 面积的最大值为74m 2.4．某隧道设计为双向四车道，车道总宽20m ，要求通行车辆限高4.5m ，隧道口截面的拱线近似地看成抛物线形状的一部分，如图所示建立平面直角坐标系xOy. (1)若最大拱高h 为6m ，则隧道设计的拱宽l 是多少？(2)为了使施工的土方工程量最小，需隧道口截面面积最小．现隧道口的最大拱高h 不小于6m ，则应如何设计拱高h 和拱宽l ，使得隧道口截面面积最小？隧道口截面面积公式为S ＝23lh.解 (1)设抛物线的方程为y ＝－ax 2(a ＞0)，则抛物线过点⎝ ⎛⎭⎪⎫10，－32，代入抛物线方程解得a ＝3200， 令y ＝－6，解得x ＝±20，则隧道设计的拱宽l 是40m.(2)抛物线最大拱高为hm ，h ≥6，抛物线过点⎝ ⎛⎭⎪⎫10，－h ＋92，代入抛物线方程得a ＝h －92100.令y ＝－h ，则－h －92100x 2＝－h ，解得x 2＝100h h －92，则⎝ ⎛⎭⎪⎫l 22＝100h h －92，h ＝92l 2l 2－400.因为h ≥6，所以92l 2l 2－400≥6，即20＜l ≤40.所以S ＝23lh ＝23l·92l 2l 2－400＝3l3l 2－400(20＜l ≤40)．所以S ′＝9l 2(l 2－400)－3l 3·2l (l 2－400)2＝3l 2(l 2－1200)(l 2－400)2＝3l 2(l ＋203)(l －203)(l 2－400)2， 当20＜l ＜203时，S ′＜0；当203＜l ≤40时，S ′＞0，即S 在(20,203)上单调递减，在(203，40]上单调递增，所以S 在l ＝203时取得最小值，此时l ＝203，h ＝274.答 当拱高为274m ，拱宽为203m 时，使得隧道口截面面积最小．5．直线与圆1．已知圆心为C 的圆，满足下列条件：圆心C 位于x 轴正半轴上，与直线3x －4y ＋7＝0相切，且被y 轴截得的弦长为23，圆C 的面积小于13. (1)求圆C 的标准方程；(2)设过点M(0,3)的直线与圆C 交于不同的两点A ，B ，以OA ，OB 为邻边作平行四边形OADB.是否存在这样的直线l ，使得直线OD 与MC 恰好平行？如果存在，求出l 的方程；若不存在，请说明理由．解 (1)设圆C ：(x －a)2＋y 2＝r 2(a ＞0)，由题意知⎩⎪⎨⎪⎧|3a ＋7|32＋(－4)2＝r ，a 2＋3＝r ，解得a ＝1或a ＝138，又S ＝πr 2＜13，∴a ＝1，∴圆C 的标准方程为(x －1)2＋y 2＝4.(2)当斜率不存在时，直线l 为x ＝0，不满足题意．当斜率存在时，设直线l ：y ＝kx ＋3，A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，又l 与圆C 相交于不同的两点，联立得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋3，(x －1)2＋y 2＝4，消去y 得(1＋k 2)x 2＋(6k －2)x ＋6＝0.∴Δ＝(6k －2)2－24(1＋k 2)＝12k 2－24k －20＞0， 解得k ＜1－263或k ＞1＋263.x 1＋x 2＝－6k －21＋k 2，y 1＋y 2＝k(x 1＋x 2)＋6＝2k ＋61＋k 2，OD →＝OA →＋OB →＝(x 1＋x 2，y 1＋y 2)，MC →＝(1，－3)， 假设OD →∥MC →，则－3(x 1＋x 2)＝y 1＋y 2，解得k ＝34∉⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，1－263∪⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋263，＋∞，假设不成立，∴不存在这样的直线l.2.如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知圆C ：x 2＋y 2－4x ＝0及点 A(－1,0)，B(1,2)．(1)若直线l ∥AB ，与圆C 相交于M ，N 两点，MN ＝AB ，求直线l 的方程； (2)在圆C 上是否存在点P ，使得PA 2＋PB 2＝12？若存在，求点P 的个数；若不存在，请说明理由．解 (1)圆C 的标准方程为(x －2)2＋y 2＝4， 所以圆心C(2,0)，半径为2.因为l ∥AB ，A(－1,0)，B(1,2)，所以直线l 的斜率为2－01－(－1)＝1，设直线l 的方程为x －y ＋m ＝0，则圆心C 到直线l 的距离为d ＝|2－0＋m|2＝|2＋m|2.因为MN ＝AB ＝22＋22＝22，而CM 2＝d 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫MN 22，所以4＝(2＋m )22＋2， 解得m ＝0或m ＝－4，故直线l 的方程为x －y ＝0或x －y －4＝0.(2)假设圆C 上存在点P ，设P(x ，y)，则(x －2)2＋y 2＝4，PA 2＋PB 2＝(x ＋1)2＋(y －0)2＋(x －1)2＋(y －2)2＝12即x 2＋y 2－2y －3＝0，即x 2＋(y －1)2＝4.因为|2－2|<(2－0)2＋(0－1)2<2＋2，所以圆(x －2)2＋y 2＝4与圆x 2＋(y －1)2＝4相交， 所以点P 的个数为2.3．在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：x 24＋y23＝1的左顶点为A ，右焦点为F ，P ，Q 为椭圆C 上两点，圆O ：x 2＋y 2＝r 2(r ＞0)．(1)若PF ⊥x 轴，且满足直线AP 与圆O 相切，求圆O 的方程；(2)若圆O 的半径为3，点P ，Q 满足k OP ·k OQ ＝－34，求直线PQ 被圆O 截得的弦长的最大值．解 (1)因为椭圆C 的方程为x 24＋y23＝1，所以A(－2,0)，F(1,0)．如图，因为PF ⊥x 轴，所以P ⎝⎛⎭⎪⎫1，±32， 根据对称性，可取P ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32，则直线AP 的方程为y ＝12(x ＋2)，即x －2y ＋2＝0.由圆O 与直线AP 相切，得r ＝25，所以圆O 的方程为x 2＋y 2＝45.(2)易知，圆O 的方程为x 2＋y 2＝3. ①当PQ ⊥x 轴时，k OP ·k OQ ＝－k 2OP ＝－34，所以k OP＝±32，不妨设OP ：y ＝32x ，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝32x ，x 24＋y23＝1，解得x ＝2，y ＝62，即P ⎝⎛⎭⎪⎫2，62， 此时得直线PQ 被圆O 截得的弦长为2. ②当PQ 与x 轴不垂直时，设直线PQ 的方程为y ＝kx ＋b ，P(x 1，y 1)，Q(x 2，y 2)(x 1x 2≠0)， 由k OP ·k OQ ＝－34，得3x 1x 2＋4y 1y 2＝0，即3x 1x 2＋4(kx 1＋b)(kx 2＋b)＝0，所以(3＋4k 2)x 1x 2＋4kb(x 1＋x 2)＋4b 2＝0.(*) 联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋b ，x 24＋y23＝1消去y ，得(3＋4k 2)x 2＋8kbx ＋4b 2－12＝0，将x 1＋x 2＝－8kb 3＋4k 2，x 1x 2＝4b 2－123＋4k 2代入(*)式，得2b 2＝4k 2＋3.由于圆心O 到直线PQ 的距离为d ＝|b|k 2＋1， 所以直线PQ 被圆O 截得的弦长为l ＝23－d 2＝4＋2k 2＋1，故当k ＝0时，l 有最大值 6. 综上，因为6＞2，所以直线PQ 被圆O 截得的弦长的最大值为 6.4．如图，某市有一条东西走向的公路l ，现欲经过公路l 上的O 处铺设一条南北走向的公路m.在施工过程中发现在O 处的正北1百米的A 处有一汉代古迹．为了保护古迹，该市决定以A 为圆心，1百米为半径设立一个圆形保护区．为了连通公路l ，m ，欲再建一条公路PQ ，点P ，Q 分别在公路l ，m 上，且要求PQ 与圆A 相切．(1)当P 距O 处2百米时，求OQ 的长； (2)当公路PQ 长最短时，求OQ 的长．解 以O 为原点，直线l ，m 分别为x 轴，y 轴建立平面直角坐标系．设PQ 与圆A 相切于点B ，连结AB ，以1百米为单位长度，则圆A 的方程为x 2＋(y －1)2＝1.(1)由题意可设直线PQ 的方程为x 2＋yq ＝1，即qx ＋2y －2q ＝0(q ＞2)， ∵PQ 与圆A 相切， ∴|2－2q|q 2＋22＝1，解得q ＝83， 故当P 距O 处2百米时，OQ 的长为83百米．(2)设直线PQ 的方程为x p ＋yq ＝1，即qx ＋py －pq ＝0(p ＞1，q ＞2)， ∵PQ 与圆A 相切，∴|p －pq|q 2＋p 2＝1，化简得p 2＝q q －2， 则PQ 2＝p 2＋q 2＝q q －2＋q 2， 令f(q)＝q q －2＋q 2(q ＞2)，∴f ′(q)＝2q －2(q －2)2＝2(q －1)(q 2－3q ＋1)(q －2)2(q ＞2)，当2＜q ＜3＋52时，f ′(q)＜0，即f(q)在⎝ ⎛⎭⎪⎫2，3＋52上单调递减；当q ＞3＋52时，f ′(q)＞0，即f(q)在⎝ ⎛⎭⎪⎫3＋52，＋∞上单调递增，∴f(q)在q ＝3＋52时取得最小值，故当公路PQ 长最短时，OQ 的长为3＋52百米．6．圆锥曲线1．(2017·苏州期末)如图，已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为32，且过点P(2，－1)．(1)求椭圆C 的方程；(2)设点Q 在椭圆C 上，且PQ 与x 轴平行，过点P 作两条直线分别交椭圆C 于A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)两点，若直线PQ 平分∠APB ，求证：直线AB 的斜率是定值，并求出这个定值．解 (1)由e ＝c a ＝32，得a ∶b ∶c ＝2∶1∶3，椭圆C 的方程为x 24b 2＋y2b 2＝1.把P(2，－1)代入，得b 2＝2， 所以椭圆C 的方程是x 28＋y22＝1.(2)由已知得PA ，PB 的斜率存在，且互为相反数． 设直线PA 的方程为y ＋1＝k(x －2)，其中k ≠0.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＋1＝k (x －2)，x 2＋4y 2＝8消去y ，得x 2＋4[kx －(2k ＋1)]2＝8，即(1＋4k 2)x 2－8k(2k ＋1)x ＋4(2k ＋1)2－8＝0， 因为该方程的两根为2，x A ，所以2x A ＝4(2k ＋1)2－81＋4k 2，即x A ＝8k 2＋8k －21＋4k2，从而y A ＝4k 2－4k －14k 2＋1. 把k 换成－k ，得x B ＝8k 2－8k －21＋4k 2，y B ＝4k 2＋4k －14k 2＋1. 故k AB ＝y B －y A x B －x A ＝8k －16k ＝－12，是定值．2．(2017·常州期末)已知圆C ：(x －t)2＋y 2＝20(t ＜0)与椭圆E ：x 2a 2＋y2b2＝1(a ＞b ＞0)的一个公共点为B(0，－2)，F(c,0)为椭圆E 的右焦点，直线BF 与圆C 相切于点B. (1)求t 的值以及椭圆E 的方程；(2)过点F 任作与两坐标轴都不垂直的直线l 与椭圆交于M ，N 两点，在x 轴上是否存在一定点P ，使PF 恰为∠MPN 的平分线？ 解 (1)由题意得b ＝2. 因为C(t,0)，B(0，－2)， 所以BC ＝t 2＋4＝20， 所以t ＝±4.因为t ＜0，所以t ＝－4.因为BC ⊥BF ，所以20＋c 2＋4＝(c ＋4)2， 所以c ＝1，所以a 2＝b 2＋c 2＝5. 所以椭圆E 的方程为x 25＋y24＝1.(2)设M(x 1，y 1)，N(x 2，y 2)，设l ：y ＝k(x －1)(k ≠0)，代入x 25＋y24＝1，化简得(4＋5k 2)x 2－10k 2x ＋5k 2－20＝0，所以⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝10k 24＋5k2，x 1x 2＝5k 2－204＋5k2.若点P 存在，设P(m,0)，由题意k PM ＋k PN ＝0， 所以y 1x 1－m ＋y 2x 2－m ＝k (x 1－1)x 1－m ＋k (x 2－1)x 2－m ＝0，所以(x 1－1)(x 2－m)＋(x 2－1)(x 1－m)＝0， 即2x 1x 2－(1＋m)(x 1＋x 2)＋2m＝2·5k 2－204＋5k 2－(1＋m)10k 24＋5k2＋2m ＝0，所以8m －40＝0，所以m ＝5.所以存在定点P(5,0)，使PF 恰为∠MPN 的平分线．3．(2017·无锡期末)已知椭圆x 24＋y 23＝1，动直线l 与椭圆交于B ，C 两点(点B 在第一象限)． (1)若点B 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32，求△OBC 面积的最大值； (2)设B(x 1，y 1)，C(x 2，y 2)，且3y 1＋y 2＝0，求当△OBC 的面积最大时直线l 的方程．解 (1)直线OB 方程为y ＝32x ，即3x －2y ＝0， 设过点C 且平行于OB 的直线l ′方程为y ＝32x ＋b. 则当l ′与椭圆只有一个公共点时，△OBC 的面积最大．由⎩⎪⎨⎪⎧ x 24＋y 23＝1，y ＝32x ＋b消去y 整理得3x 2＋3bx ＋b 2－3＝0， 此时Δ＝9b 2－12(b 2－3)，令Δ＝0，解得b ＝±23，当b ＝23时，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫－3，32； 当b ＝－23时，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫3，－32， 所以△OBC 面积的最大值为12×1＋94×|33＋3|13＝ 3. (2)显然，直线l 与y 轴不垂直，设直线l 的方程为x ＝my ＋n.由⎩⎪⎨⎪⎧x 24＋y 23＝1，x ＝my ＋n 消去x 并整理得(3m 2＋4)y 2＋6mny ＋3n 2－12＝0， 所以⎩⎪⎨⎪⎧y 1＋y 2＝－6mn 3m 2＋4，y 1y 2＝3n 2－123m 2＋4. 因为3y 1＋y 2＝0，所以⎩⎪⎨⎪⎧ y 1＝3mn 3m 2＋4，y 21＝4－n 23m 2＋4， 从而9n 2m 2(3m 2＋4)2＝4－n 23m 2＋4，即n 2＝3m 2＋43m 2＋1， 所以S △OBC ＝12|n|·|y 1－y 2|＝2|n|·|y 1|＝6|m|n 23m 2＋4＝6|m|3m 2＋1. 因为B 在第一象限，所以x 1＝my 1＋n ＝3m 2n 3m 2＋4＋n ＞0，所以n ＞0. 因为y 1＞0，所以m ＞0，所以S △OBC ＝6m 3m 2＋1＝63m ＋1m ≤623＝3，当且仅当3m ＝1m ，即m ＝33时取等号，此时n ＝102， 所以直线l 的方程为x ＝33y ＋102，即y ＝3x －302.4．(2017·南京、盐城二模)如图，在平面直角坐标系xOy 中，焦点在x 轴上的椭圆C ：x 28＋y2b2＝1经过点(b,2e)，其中e 为椭圆C 的离心率．过点T(1,0)作斜率为k(k ＞0)的直线l 交椭圆C 于A ，B 两点(A 在x 轴下方)．(1)求椭圆C 的标准方程；(2)过点O 且平行于l 的直线交椭圆C 于M ，N 两点，求AT·BT MN 2的值； (3)记直线l 与y 轴的交点为P ，若AP →＝25TB →，求直线l 的斜率k.解 (1)由点(b,2e)在椭圆C 上，得b 28＋4e 2b2＝1. 因为e 2＝c 2a 2＝8－b 28＝1－b 28，所以b 28＋4b 2＝32. 又b 2＜a 2＝8，解得b 2＝4， 所以椭圆C 的标准方程是x 28＋y 24＝1. (2)设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，M(x 0，y 0)，由对称性知N(－x 0，－y 0)，其中y 1＜0.因为MN ∥AB ，所以AT·BT MN 2＝－y 1y 24y 20. 直线AB 的方程为y ＝k(x －1)，直线MN 的方程为y ＝kx ，其中k ＞0. 由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝k (x －1)，x 2＋2y 2＝8消去x ，得(1＋2k 2)y 2＋2ky －7k 2＝0，所以y 1y 2＝－7k 21＋2k 2. 由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝kx ，x 2＋2y 2＝8消去x ，得(1＋2k 2)y 2＝8k 2， 所以y 20＝8k 21＋2k 2，从而得AT·BT MN 2＝732. (3)由AP →＝25TB →，得－x 1＝25(x 2－1)． 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x －1)，x 2＋2y 2＝8消去y ，得 (1＋2k 2)x 2－4k 2x ＋2k 2－8＝0， 所以x 1＋x 2＝4k 21＋2k 2，x 1x 2＝2k 2－81＋2k 2. 又因为－x 1＝25(x 2－1)， 所以x 1＝－4k 2＋23(1＋2k 2)，x 2＝16k 2－23(1＋2k 2)， 从而－4k 2＋23(1＋2k )·16k 2－23(1＋2k )＝2k 2－81＋2k . 整理得50k 4－83k 2－34＝0，解得k 2＝2或k 2＝－1750(舍)． 因为k ＞0，所以k ＝ 2.。

唐山一中高三年级强化提升考试（四）理科数学一．选择题（每小题5分，计60分，在每小题给出的四个选项中只有一个选项正确）1.设集合{}11M x x =-≤≤，{}2log 1N x x =<，则M N =( ) A.{10}x x -≤< B ．{01}x x <≤ C ．{12}x x ≤< D ．{12}x x -≤<2.若复数20182(1i)i z =-（i 为虚数单位），则z 的共轭复数z =( ) A ．1i + B ．i C ．12i - D.12i 3.设变量x ，y 满足约束条件02390210x x y x y ≥⎧⎪+-≥⎨⎪--≤⎩，则目标函数2z x y =+的取值范围是（ ）A ．[6,)+∞B ．[5,)+∞C ．[0,6]D ．[0,5]4.已知命题p ：存在实数α，β，sin()sin sin αβαβ+=+；命题q ：2log 2log 2a a +≥（2a >且1a ≠）.则下列命题为真命题的是（ ）A ．p q ∨B ．p q ∧C.()p q ⌝∧ D ．()p q ⌝∨5．已知等差数列{}n a 的公差为2362,,,a a a 成等比数列，则{}n a 的前n 项和n S =（ ） A. ()2n n -B. ()1n n -C. ()1n n +D. ()2n n + 6.执行下列程序框图，若输入的n 等于7，则输出的结果是（ ）A ．2B ．13 C.12- D ．3-7.函数()sin()(0,0,0)2f x A x A πωϕωϕ=+>><<的部分图象如图所示，则(0)f 的值是（ ） A.23 B.43 C.26 D.468.已知圆C 的方程为2220x x y -+=，直线:220l kx y k -+-=与圆C 交于B A ,两点，则当ABC ∆面积最大时，直线l 的斜率k =（ ）A.1B.6C.1或7D. 2或69.圆周率是圆的周长与直径的比值，一般用希腊字母π表示.我们可以通过设计下面的实验来估计π的值：从区间[0,1]随机抽取200个实数对(,)x y ，其中两数能与1构成钝角三角形三边的数对(,)x y 共有156个.则用随机模拟的方法估计π的近似值为（ ）A ．227B ．257 C.7225 D ．782510.已知函数()()y f x x R =∈是奇函数且当()0,x ∈+∞时是减函数，若()10f =，则函数()|ln |||y f x =的零点共有．．．．（． ）．A. 3个B.4个C. 5个D.6个11.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的外接球的表面积为（ ）A ．8πB ．16πC.32πD ．64π12. 设B A 、分别为双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的左、右顶点，P 是双曲线上不同于B A 、的一点，设直线BP AP 、的斜率分别为n m 、， 则||ln 2||ln 2214n m mnb a a b ++++取得最小值时，双曲线的离心率为（ ） A ．2 B ．5 C ．25 D ．26 二．填空题（每小题5分 共20分） 13.在24(23)x x --的展开式中，含有2x 项的系数为 ．（用数字作答）14. 抛物线28y x =的焦点为F ，点(6,3)A ，P 为抛物线上一点，且P 不在直线AF 上，则PAF ∆周长的最小值为15.已知()f x 是定义在R 上的偶函数，令()()()1009=--+F x x b f x b ，若实数b 满足2=+b a c ，则()()F a F c += ．16.如图所示，已知Rt ABC ∆中，AB BC ⊥，D 是线段AB 上的一点，满足2AD CD ==，则ABC ∆面积的最大值为 ．三.解答题17.(本小题满分12分)已知{}n a 是等比数列，满足12a =，且2a ，32a +，4a 成等差数列，数列{}n b 满足 123111223n b b b b n n+++⋅⋅⋅+=*()n N ∈ （1）求{}n a 和{}n b 的通项公式；（2）设(1)()nn n n c a b =--，求数列{}n c 的前2n 项和2n S .18. (本小题满分12分)如图，在以A ，B ，C ，D ，E 为顶点的多面体中，90ACB ︒∠=，面ACDE 为直角梯形，//DE AC ，90ACD ︒∠=，23AC DE ==，2BC =，1DC =，二面角B AC E --的大小为60︒.（1）求证：BD ⊥平面ACDE ；（2）求平面ABE 与平面BCD 所成二面角（锐角）的大小；19.2016年1月1日，我国实行全面二孩政策，同时也对妇幼保健工作提出了更高的要求.某城市实行网格化管理，该市妇联在网格1与网格2两个区域内随机抽取12个刚满8个月的婴儿的体重信息，体重分布数据的茎叶图如图所示(单位：斤，2斤=1千克）.体重不超过9.8kg 的为合格.（1）从网格1与网格2分别随机抽取2个婴儿，求网格1至少一个婴儿体重合格且网格2至少一个婴儿体重合格的概率；（2）妇联从网格1内8个婴儿中随机抽取4个进行抽检，若至少2个 婴儿合格，则抽检通过，若至少3个合格，则抽检为良好.求网格1在抽检通过的条件下，获得抽检为良好的概率；（3）若从网格1与网格2内12个婴儿中随机抽取2个，用X 表示网格2内婴儿的个数，求X 的分布列与数学期望.20．(本小题满分12分)抛物线()2:202E x py p =<<的焦点为F ，圆()22:11C x y +-=，点()00,P x y 为抛物线上一动点.已知当52p PF PFC =∆时，的面积为12. （I ）求抛物线方程； （II ）若012y >，过P 做圆C 的两条切线分别交y 轴于M ，N 两点，求PMN ∆面积的最小值，并求出此时P 点坐标.21. (本小题满分12分) 已知函数()ln 2a f x x x x=++()a R ∈. （1）求函数()f x 的单调区间；（2）若函数2g()()(2)2a x xf x x x =-+-在其定义域内有两个不同的极值点，记作1x ，2x ，且12x x <，证明：2312x x e ⋅>（e 为自然对数的底数）.（二）选考题：共10分。

高考中档大题专项训练-三角函数与平面向量1．在平面直角坐标系xOy 中，已知向量m ＝⎝⎛⎭⎫22，－22，n ＝(sin x ，cos x )，x ∈⎝⎛⎭⎫0，π2. (1)若m ⊥n ，求tan x 的值；(2)若m 与n 的夹角为π3，求x 的值． 解 (1)因为m ＝⎝⎛⎭⎫22，－22，n ＝(sin x ，cos x )，m ⊥n . 所以m ·n ＝0，即22sin x －22cos x ＝0， 所以sin x ＝cos x ，所以tan x ＝1.(2)因为|m |＝|n |＝1，所以m ·n ＝cos π3＝12， 即22sin x －22cos x ＝12，所以sin ⎝⎛⎭⎫x －π4＝12， 因为0<x <π2，所以－π4<x －π4<π4， 所以x －π4＝π6，即x ＝5π12.2．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知2(tan A ＋tan B)＝tan A cos B ＋tan B cos A. (1)证明：a ＋b ＝2c ；(2)求cos C 的最小值．(1)证明 由题意知2⎝⎛⎭⎫sin A cos A ＋sin B cos B ＝sin A cos A cos B ＋sin B cos A cos B ， 化简得2(sin A cos B ＋sin B cos A )＝sin A ＋sin B ，即2sin(A ＋B )＝sin A ＋sin B ，因为A ＋B ＋C ＝π，所以sin(A ＋B )＝sin(π－C )＝sin C ，从而sin A ＋sin B ＝2sin C ，由正弦定理得a ＋b ＝2c .(2)解 由(1)知c ＝a ＋b 2，所以cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝a 2＋b 2－⎝⎛⎭⎫a ＋b 222ab ＝38⎝⎛⎭⎫a b ＋b a －14≥12，当且仅当a ＝b 时，等号成立，故cos C 的最小值为12.3．在△ABC 中，a2＋c2＝b2＋2ac.(1)求B 的大小；(2)求2cos A ＋cos C 的最大值．解 (1)由a 2＋c 2＝b 2＋2ac 得，a 2＋c 2－b 2＝2ac .由余弦定理得，cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝2ac 2ac ＝22.又0＜B ＜π，所以B ＝π4.(2)A ＋C ＝π－B ＝π－π4＝3π4， 所以C ＝3π4－A,0＜A ＜3π4.所以2cos A ＋cos C＝2cos A ＋cos ⎝⎛⎭⎫3π4－A＝2cos A ＋cos 3π4cos A ＋sin 3π4sin A＝2cos A －22cos A ＋22sin A ＝22sin A ＋22cos A ＝sin ⎝⎛⎭⎫A ＋π4.因为0＜A ＜3π4，所以π4＜A ＋π4＜π，故当A ＋π4＝π2， 即A ＝π4时，2cos A ＋cos C 取得最大值1.4．已知函数f(x)＝4tan xsin ⎝⎛⎭⎫π2－x ·cos ⎝⎛⎭⎫x －π3－ 3. (1)求f(x)的定义域与最小正周期；(2)讨论f(x)在区间⎣⎡⎦⎤－π4，π4上的单调性． 解 (1)f (x )的定义域为{x |x ≠π2＋k π，k ∈Z }． f (x )＝4tan x cos x cos ⎝⎛⎭⎫x －π3－ 3 ＝4sin x cos ⎝⎛⎭⎫x －π3－ 3 ＝4sin x ⎝⎛⎭⎫12cos x ＋32sin x － 3 ＝2sin x cos x ＋23sin 2x － 3＝sin 2x ＋3(1－cos 2x )－ 3＝sin 2x －3cos 2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3. 所以f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π. (2)令z ＝2x －π3，则函数y ＝2sin z 的单调递增区间是⎣⎡⎦⎤－π2＋2k π，π2＋2k π，k ∈Z . 由－π2＋2k π≤2x －π3≤π2＋2k π，k ∈Z ， 得－π12＋k π≤x ≤5π12＋k π，k ∈Z . 设A ＝⎣⎡⎦⎤－π4，π4，B ＝{x |－π12＋k π≤x ≤5π12＋k π，k ∈Z }，易知A ∩B ＝⎣⎡⎦⎤－π12，π4. 所以当x ∈⎣⎡⎦⎤－π4，π4时，f (x )在区间⎣⎡⎦⎤－π12，π4上单调递增，在区间⎣⎡⎦⎤－π4，－π12上单调递减．5．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c.已知b ＋c ＝2acos B.(1)证明：A ＝2B ；(2)若△ABC 的面积S ＝a24，求角A 的大小． (1)证明 由正弦定理得sin B ＋sin C ＝2sin A cos B ，故2sin A cos B ＝sin B ＋sin(A ＋B )＝sin B ＋sin A cos B ＋cos A sin B ，于是sin B ＝sin(A －B )．又A ，B ∈(0，π)，故0＜A －B ＜π，所以B ＝π－(A －B )或B ＝A －B ， 因此A ＝π(舍去)或A ＝2B ，所以A ＝2B .(2)解 由S ＝a 24得12ab sin C ＝a 24， 故有sin B sin C ＝12sin A ＝12sin 2B ＝sin B cos B ， 由sin B ≠0，得sin C ＝cos B .又B ，C ∈(0，π)，所以C ＝π2±B . 当B ＋C ＝π2时，A ＝π2； 当C －B ＝π2时，A ＝π4. 综上，A ＝π2或A ＝π4.。

4.概率与统计1.某校举行运动会，其中三级跳远的成绩在8.0米(四舍五入，精确到0.1米) 以上的进入决赛，把所得数据进行整理后，分成6组画出频率分布直方图的一部分(如图)，已知从左到右前5个小组的频率分别为0.04，0.10，0.14，0.28，0.30，第6小组的频数是7.(1)求进入决赛的人数；(2)经过多次测试后发现，甲成绩均匀分布在8～10米之间，乙成绩均匀分布在9.5～10.5米之间，现甲、乙各跳一次，求甲比乙远的概率.解 (1)第6小组的频率为1－(0.04＋0.10＋0.14＋0.28＋0.30)＝0.14， 所以总人数为70.14＝50.所以第4，5，6组成绩均进入决赛，人数为(0.28＋0.30＋0.14)×50＝36， 即进入决赛的人数为36.(2)设甲、乙各跳一次的成绩分别为x ，y 米，则基本事件满足的区域为⎩⎪⎨⎪⎧8≤x ≤10，9.5≤y ≤10.5，事件A “甲比乙远”的概率满足的区域为x ＞y ，如图阴影部分所示.所以由几何概型P (A )＝12×12×121×2＝116，即甲比乙远的概率为116.2.(2017·湖南永州一模)某学校为加强学生的交通安全教育，对学校旁边A ，B 两个路口进行了8天的检测调查，得到每天各路口不按交通规则过马路的学生人数(如茎叶图所示)，且A 路口数据的平均数比B 路口数据的平均数小2.(1)求出A 路口8个数据中的中位数和茎叶图中m 的值；(2)在B 路口的数据中任取大于35的2个数据，求所抽取的2个数据中至少有一个不小于40的概率.解 (1)A 路口8个数据的中位数为34＋352＝34.5.因为A 路口8个数据的平均数为 21＋30＋31＋34＋35＋35＋37＋498＝34，所以B 路口8个数据的平均数为36，所以24＋32＋36＋37＋38＋42＋45＋(30＋m )8＝36，m ＝4.(2)在B 路口的数据中任取2个大于35的数据，有如下10种可能结果：(36，37)，(36，38)，(36，42)，(36，45)，(37，38)，(37，42)，(37，45)，(38，42)，(38，45)，(42，45).其中“至少有一个抽取的数据不小于40”的情况有如下7种：(36，42)，(36，45)，(37，42)，(37，45)，(38，42)，(38，45)，(42，45). 故所求的概率为P ＝710.3.(2017·云南昆明摸底)某汽车美容公司为吸引顾客，推出优惠活动：对首次消费的顾客，按200元/次收费，并注册成为会员， 对会员逐次消费给予相应优惠，标准如下：消费次第 第1次 第2次 第3次 第4次 ≥5次 收费比例10.950.900.850.80该公司从注册的会员中， 随机抽取了100位进行统计， 得到统计数据如下：消费次第 第1次 第2次 第3次 第4次 第5次 频数60201055假设汽车美容一次， 公司成本为150元， 根据所给数据， 解答下列问题：。