2021年高考理数第二轮第1讲 等差数列与等比数列

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新高考数学（理）数列

03 等差数列（等差数列的和与性质）

一、具体目标：等差数列

（1） 理解等差数列的概念.

（2） 掌握等差数列的通项公式与前n项和公式.

（3） 能在具体的问题情境中识别数列的等差关系关系，并能用有关知识解决相应的问题.

（4） 了解等差数列与一次函数的关系.等差数列的和与二次函数的关系及最值问题.

二、知识概述：

一）等差数列的有关概念

1.定义：等差数列定义：一般地，如果一个数列从第项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母表示.用递推公式表示为或.

2.等差数列的通项公式：；dmnaamn.

说明：等差数列（通常可称为数列）的单调性：为递增数列，为常数列， 为递减数列.

3.等差中项的概念：

定义：如果，，成等差数列，那么叫做与的等差中项,其中 .

，，成等差数列.

4.等差数列的前和的求和公式：.

5.要注意概念中的“从第2项起”．如果一个数列不是从第2项起，而是从第3项或第4项起，每一项与2d1(2)nnaadn1(1)nnaadn1(1)naandAPd00d0daAbAab2abAaAb2abAn11()(1)22nnnaannSnad【考点讲解】 2 它前一项的差是同一个常数，那么此数列不是等差数列．

6.注意区分等差数列定义中同一个常数与常数的区别．

二）方法规律：

1．等差数列的四种判断方法

(1) 定义法：对于数列na，若daann1nN(常数)，则数列na是等差数列；

(2) 等差中项：对于数列na，若212nnnaaanN，则数列na是等差数列;

(3)通项公式：napnq(,pq为常数,nN)⇔ 是等差数列;

(4)前n项和公式：2nSAnBn(,AB为常数, nN)⇔ 是等差数列;

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2023高考数学----等差等比数列的交汇问题规律方法与典

型例题讲解

【规律方法】

在解决等差、等比数列综合问题时，要充分利用基本公式、性质以及它们之间的转化关系，

在求解过程中要树立“目标意识”，“需要什么，就求什么”，并适时地采用“巧用性质，整体考虑”

的方法．可以达到减少运算量的目的．

【典型例题】

例1．（2022·

河南·

一模（理））已知等比数列

na

的前n

项和为

nS

，()

121

nnaSn

+=+N

．

(1)

求数列

na

的通项公式；

(2)

在

na

和

1na

+之间插入n

个数，使这2n+

个数组成一个公差为

nd

的等差数列，在数列

nd

中是

否存在3项,,

mkpddd

（其中,,mkp是公差不为

0的等差数列）成等比数列？若存在，求出这3项；

若不存在，请说明理由．

【解析】（1

）当2n

时，由

121

nnaS

+=+

得：

121

nnaS

−=+

，

11222

nnnnnaaSSa

+−−=−=，则

13

nnaa

+=，



n

a

为等比数列，

等比数列

na

的公比为3；

当1n=时，

2112121aSa=+=+

，

11321aa=+

，解得：

11a=

，

()

1

3n

nan−

=N

（2

）假设存在满足题意的3项，

由（1

）得：

13n

na

+=

，又()

11

nnnaand

+=++，11

13323

111nnn

nn

naa

d

nnn−−

+−−

===

+++；

,,

mkpdd

d

成等比数列，2

kmpddd=

，即

(

)()(

)22112

243232343

1111

1kmpmp

mpmp

k−−−+−



==

++++

+，

,,mk

p

成等差数列，2kmp=+

，

(

)()()22

24343

11

1mpmp

mp

k+−+−



=

++

+，

()()()2

111121kmpmpmpmpk+=++=+++=++

，

整理可得：2

kmp=，又2

2

2mp

k+



=



，2

22

2

24mpmmpp

mp+++



==



，

即()2

0mp−=

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等差数列与等比数列的公共项探索

作者：张再香 张秀梅

来源：《读写算》2012年第61期

在近年高考题中，多次出現有关等差数列与等比数列的公共项的问题，如07年湖南卷、07福建卷、07江苏卷和08江苏卷。本文试图在其基础上，从更一般的角度探索此类问题的规律与解法。由于常数数列的结果是显然的，故在证明过程中不再特别说明。

类I 等差数列中是否存在三项成等比数列？

例1、判断下列等差数列中，是否存在三项成等比数列？若存在，举出实例；若不存在，请说明理由。

（1） （2）

解析：（1） 是 的一个子列；

（2）假设 中存在三项 依次成等比数列，则 ，即 ，，整理得 ，于是

，消去s整理得 ，矛盾。所以，不存在等比子列。

规律探索：

基于一个基本事实：如果等差数列 中存在三项 成等比数列，则数列 中相应三项 也成等比数列，我们只需研究 的情况。

结论1.1 若c为有理数，则等差数列 中存在一个无穷项的等比数列。

证明：设 ，（ 是互质的整数，且不妨设 ，否则，可以构造数列 是 的一个子列），则 符合题意。

结论1.2 若c为无理数，则等差数列 中不存在三项成等比数列。

证明方法与例1（2）相同，略。

类II 等比数列中是否存在三项成等差数列？

例2、判断通项为 的等比数列中，是否存在三项成等差数列？若存在，举出实例；若不存在，请说明理由。 龙源期刊网

解：假设 中存在三项 依次成等差数列，则

方法一：因为 ，所以

方法二：两边同除以 ，则左边为偶数，右边为奇数

所以，不存在成等比的三项。

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第2节 等差数列及其前n项和

最新考纲 1.理解等差数列的概念；2.掌握等差数列的通项公式与前n项和公式；3.能在具体的问题情境中识别数列的等差关系，并能用等差数列的有关知识解决相应的问题；4.了解等差数列与一次函数的关系.

知 识 梳 理

1.等差数列的概念

(1)如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列.

数学语言表达式：an＋1－an＝d(n∈N*，d为常数).

(2)若a，A，b成等差数列，则A叫做a，b的等差中项，且A＝a＋b2.

2.等差数列的通项公式与前n项和公式

(1)若等差数列{an}的首项是a1，公差是d，则其通项公式为an＝a1＋(n－1)d.

(2)前n项和公式：Sn＝na1＋n（n－1）d2＝n（a1＋an）2.

3.等差数列的性质

(1)通项公式的推广：an＝am＋(n－m)d(n，m∈N*).

(2)若{an}为等差数列，且k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N*)，则ak＋al＝am＋an.

(3)若{an}是等差数列，公差为d，则ak，ak＋m，ak＋2m，…(k，m∈N*)是公差为md的等差数列.

(4)若Sn为等差数列{an}的前n项和，则数列Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…也是等差数列.

(5)若Sn为等差数列{an}的前n项和，则数列Snn也为等差数列.

[微点提醒]

1.已知数列{an}的通项公式是an＝pn＋q(其中p，q为常数)，则数列{an}一定是2

等差数列，且公差为p.

2.在等差数列{an}中，a1＞0，d＜0，则Sn存在最大值；若a1＜0，d＞0，则Sn存在最小值.

3.等差数列{an}的单调性：当d＞0时，{an}是递增数列；当d＜0时，{an}是递减数列；当d＝0时，{an}是常数列.

4.数列{an}是等差数列⇔Sn＝An2＋Bn(A，B为常数).

基 础 自 测