10.1 平方根(3课时)-

10.1 平方根(3课时)

课程目标

一、知识与技能目标

1.通过对平方值的计算等确立平方根的意义、开方的运算。了解算术平方根与平方根的区别与联系。

2.对于任意有理数都能区分其“＋”、“－”性，运用计算器已势在必行。

二、过程与方法目标

采用类比平方值的求法，定义出平方根的概念，同时从这个过程可知一个什么样的数才具有平方根，这种数有几个平方根？并比较这两个平方根之间有什么关系？

三、情感态度与价值观目标

1.引导学生充分进行交流，讨论与探索等教学活动，培养他们的合作与钻研精神。

2.了解无理数的发现过程，鼓励学生大胆质疑，培养学生学习数学的热情。

教材解读

本节内容首先给出一个简单的问题，根据正方形的面积求出其边长，由此引出求某数的平方根的问题，在涉及到不能直接用已有的知识开方时，则引进计算器的使用方法，通过计算器对任意正数进行开方。这样将有理数与无理数沟通起来成为实数。

学情分析

上学期已经学习了有理数，对任何数的形式主义都能够顺利得到，同时也感知了“互为相反数的平方相等”，故由平方值去探索平方根的问题实际上只是互逆过程，只要求出一个数的平方就可得知平方根的值。

第１课时

一、创设情境，导入新课

玲玲家最近喜事不断，家里新购了一套房子，全家欢欢喜喜地搬进新居，爸爸妈妈又增加了工资。条件改善了，为了给玲玲一个好的学习环境，爸爸打算给玲玲买一张桌子供她在家做作业。爸爸问玲玲：“你喜欢长方形桌子还是正方形桌子？”玲玲认为正方形桌子更大，可以多堆点书，又可以有足够的位置写字，所以她更喜欢正方形桌子。于是爸爸根据她的喜爱为她购置了一张正方形桌子，玲玲量了量课桌的边长为100cm，你能算出这张桌子的周长和面积吗？当然可以了，•可是如果玲玲更直接地告诉爸爸“我想要一张面积约为125dm的正方形桌子”。•请问她爸爸能为她购置到满意的桌子吗？当然可以，计算正方形的面积必须要知道正方形的边长，根据边长求面积是乘方运算，而根据面积求边长又是什么运算呢？这节课我们就来探讨这个问题。

二、师生互动，课堂探究

(一)提出问题,引发讨论 1.你能求出下列各数的平方吗?

0,-1,5,2.3,-15,-3,3,1,15

能.02=0 (-1)2=1 52=25 2.32=5.29 (-15)2=125 (-3)2=9 32=9 12=1

(15)2=125

2.若已知一个数的平方为下列各数,你能把这个数的取值说出来吗?

25,0,4,425,1144,-14,1.69

能.由于52=25,(-5)2=25,故平方为25的数为5或-5.

02=0,故平方为0的数为0.

22=4,(-2)2=4,故平方为4的数为2或-2.

(-25)2=425,(25)2=425,故平方为425的数为±25.

(-112)2=1144,(112)2=1144,故平方为1144的数为±112.

对于-14这个数,没有哪个数的平方等于它,故平方为-14的数找不到.

1.32=1.69,(-1.3)2=1.69,故平方为1.69的数是±1.3.

又如:课本P160中的问题:小欧要裁一块面积为25dm2的正方形画布,由于正方形的面积为边长的平方,而边长不可能为负数,故此画布的边长应为5dm.依此可得正方形的面积若分别为1,9,16,36,425时,此正方形的边长分别为1,3,4,6,25 .

由以上讨论发现,有时候我们已知一个数要求这个数的平方值时,只有一个,•也有些时候,我们已知某数的平方,要求出这个数,发现此时通常可找到两个数,且这两个数是互为相反数,而如果是已知某物的面积求其边长时,其边长也只有一个值.•我们把已知平方值,求原数的问题称为求这个数的平方根.

(二)导入知识,解释疑难

1.教材内容讲解

欲确定某数的平方根时,由以上过程发现,即使有两个值,•这两个值也是一对互为相反数,因此实际上我们若求出其中一个值,另一个值也就可以根据求出的数再写出它的相反数,我们就可先确定一个正数,把这个正数称为所给数的算术平方根.

一般地,如果一个正数x的平方等于a,即x2=a,那么这个正数x叫做a的算术平方根,a的算术平方根记为a,读作“根号a”,a叫做被开方数.规定:0的算术平方根是0.

例1 求下列各数的算术平方根:

(1)900 (2)1 (3) 4964 (4)196 (5)0 (6)10-6 解:(1)∵302=900,故900的算术平方根是30,即900=30.

(2)∵12=1,故1的算术平方根是1,即1=1.

(3)∵(78)2=4964,故4964的算术平方根是78,即4964=78

(4)∵142=196,故196的算术平方根是14,即196=14.

(5)∵02=0,故0的算术平方根是0,即0=0.

(6)∵(10-3)2=10-6,故10的算术平方根是10-3,即610 =10-3

例2:勤俭节约是中国人的一种美德,涛涛的爷爷是个能工巧匠,他把两张破损了一部分的桌面重新拼接成一张完整的正方形桌面,其面积为169dm2.•已知他用的两张小桌面也是锯成了正方形的桌面,其中一张是边长为5dm的小板子,•试问另一张较大的桌面的边长应为多少dm才能拼出面积为169dm2的桌面?

分析:边长为5dm的正方形板子,其面积为25dm2,要拼出面积为169dm2的桌面,还需面积为169-25=144dm2的正方形桌面,故问题实际上转化为求144•的算术平方根,144即=12.

解:设另一张较大的桌面的边长为xdm,则有

x2+52=159,x2=169-25=144,而122=144

故144的算术平方根为12,即144=12,即另一张桌面的边长应为12dm.

练习:

1.求下列各式的值:

①1.44; ②2(0.1); ③0.810.04; ④1124.

解:①1.44=1.2 ②2(0.1)=0.01=0.1

③0.810.04=0.9-0.2=0.7 ④1124=494=72

(2)若(a-1)2+│b-9│=0,则ba的算术平方根是下列哪一个( )

A.13 B.±3 C.3 D.-3 分析:由于(a-1)2≥0.│b-9│≥0,

∴(a-1)2+│b-9│=0时,有a-1=0且b-9=0,

∴a=1,b=9,

∴ba=91=9,故ba的算术平方根是3.

3. 7有意义吗?为什么?

分析: 7无意义,因为任何数的平方都是非负数,即a2≥0,故7无意义.

2.探究活动

(1)当a为负数时,a2有没有算术平方根?其算术平方根与a有什么关系?当a为正数时,a2的算术平方根如何表示?a为0呢?举例说明你的结论.

(2)x2-x+14是否有算术平方根?如有请写出其算术平方根,如没有说明为什么?

解:当a为负数时,a2为正数,故a2有算术平方根,如a=-5时,a2=(-5)2=25,

2a=25=5,5是-•5的相反数,故a2<0时,a的算术平方根与a互为相反数,表示为-a.

当a2为正数时,a的算术平方根表示为2a,其值为a,即2a=a.

当a=0时, 2a=0

由此可知2a=|a|=(0)0(0)(0)aaaaa

(2)因为(x-12)2=x2-x+14,而(x-12)2一定是非负数,故x-x+也是非负数,故x2-x+14有算术平方根,其算术平方根的值要视x的取值而定.当x≥12时,x2-x+14的算术平方根为x-12.•当x<12时,x2-x+14的算术平方根为-(x-12)=12-x.

(三)归纳总结,知识回顾

这节课主要就平方根中的算术平方根进行讨论,•求一个数的算术平方根与求一个正数的平方幂正好是互逆的过程,因此,求正数的算术平方根实际上可以转化为求一个数的开平方运算.只不过,只有正数和0才有算术平方根,负数没有算术平方根.

练习设计

(一)双基练习

1.某数的算术平方根等于它本身,则这个数为_______;•若某数的算术平方根为其相反数,则这个数为______.

2.求下列各式的值:

0.16,11125, 2(3) , 0.25, 210

3.3x-4为25的算术平方根,求x的值.

4.已知9的算术平方根为a,b的绝对值为4,求a-b的值.

(二)创新提升

5.已知2a-1的算术平方根是3,3a+b-1的算术平方根是4,求a、b的值.

(三)探究拓展

6.若4x与4y互为相反数,求xy的算术平方根.

参考答案

1.0,1 0; 2.0.4, 65,3,0.5,10-1(110); 3.x=3

4.a=3,b=±4,则a-b=3-4或3-(-4),故a-b=-1或7.

5.a=5,b=2

6.x=4,y=4,xy=16,xy的算术平方根为4.

课后作业：

第2课时

一、创设情境，导入新课

某同学用一张正方形纸片折小船，但他手头上没有现成的正方形纸片，于是他撕下一张作业本上的纸，按照如图，沿AE对折使点B落在点F的位置上,•再把多余部分FECD剪下,如果他事先量得矩形ABCD的面积为90cm2,又测量剪下的多余的矩形纸片的面积为40cm2.•请根据上述条件算出剪出的正方形纸片的边长是多少厘米.

FEDCBA

将原矩形纸片的面积减去剩余的矩形纸片的面积即为正方形纸片的面积,•正方形纸片的面积为90-40=50cm2,而正方形的面积为边长的平方,要求正方形的边长就得算出多少的平方等于50,但我们知道72=49,82=64,50这个数既不是72,也不是82,由于49<50<64,故此正方形的边长应大于7而小于8.到底它为多少呢?它是一个小数吗?你有什么办法确定这个值呢?这一系列问题正是我们这节课要讨论的问题. 二、师生互动,课堂探究

(一)提出问题,引发讨论

在实际问题中,往往会遇到像上述情形中的问题,如果在所学过的有理数中确实找不到合适的数的平方会等于所给的数,我们该怎么表示所给数的算术平方根呢?

我们知道,若有正数x,使x2=a(a≥0),则x为a的算术平方根,记作x=a•,•于是若x2=50时(x为正数),则x=50,而72<50<82,因此有7<50<8,现在我们就来学习如何求50的近似值,50是不是有理数呢?

(二)导入知识,解释疑难

1.教材内容讲解

在上学期有理数的乘方运算中,•我们已经掌握了用计算器求一个数的平方的方法,现在我们要确定一个数的平方根,也可借助这种方法进行,•我们不妨用计算器验证7.12,7.12=50.41,而50.41>50,故50<7.1,再验证7.092=50.27>50,故7<50 <7.09,而7.082=50.12,7.072=49.98,故7.07<50<7.08,接着继续增加小数点后一位小数,如7.071,计算7.0712=49.99,而7.0722=50.013,故7.071<50<7.072,……如此继续进行下去,可以发现将小数点后的小数位继续增加下去,一直不能穷尽,都只能使7.07……的平方值无限接近50,因此发现,50不可能化为我们以前学过的无限循环小数,•只能化为无限不循环小数,而有理数只包括有限小数和无限循环小数或者整数,但50却不在这些数的范围内,只能说50这个数不是有理数,我们把这种数重新命名为“无理数”,于是数的范围也就扩充了,是否我们可以直接用计算器来计算某一个正数的算术平方根呢?