解析几何第三章

解析几何作业集

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§1.1向量的概念

1.下列情形中的向量终点各构成什么图形？

（1）把空间中一切单位向量归结到共同的始点；

（2）把平行于某一平面的一切单位向量归结到共同的始点；

（3）把平行于某一直线的一切向量归结到共同的始点；

（4）把平行于某一直线的一切单位向量归结到共同的始点.

解：

2.设点O是正六边形ABCDEF的中心，

在向量OA

、OB

、OC

、OD

、OE、

OF

、AB

、BC

、CD

、DE

、EF和

FA中，哪些向量是相等的？

解：

图1-1

3.设在平面上给了一个四边形ABCD，点K、L、M、N分别是边ＡＢ、ＢＣ、

ＣＤ、

ＤＡ的中点，求证：KL

＝NM

.当ABCD是空间四边形时，这等式是否也成立？

解：AF

BE

CDO

图1—24.如图1-3，设ABCD-EFGH是一个平行六面体，在下列各对向

量中，找出相等的向量和互为相反向量的向量：

(1)AB

、CD

;(2)AE

、CG

;(3)AC

、EG

;(4)AD

、GF

;(5)BE、CH.

解：§1.2向量的加法

1.要使下列各式成立，向量ba,

应满足什么条件？

（1

）

;baba

（2）;baba

（3

）

;baba

（4）;baba

（5）.baba

解：

§1.3数量乘向量

1、已知四边形ABCD

中，

caAB2

，

cbaCD865

，对角线

AC

、

BD

的

中点分别为E

、F

，求

EF

．

解：

2、设

baAB5

，

baBC82

，)(3

baCD

，证明：A

、B

、D

三点共线．

解：

3、在四边形ABCD

中，

baAB2

，

baBC4

，



baCD35

，证明ABCD

为梯形．

解：图1—36.设L、M、N分别是ΔABC的三边BC、CA、AB的中点，证明：三中线向量AL

,BM

,CN

可以构成一个三角形.

解：

7.设L、M、N是△ABC的三边的中点，O是任意一点，证明

OBOA+OC=OL+OM+ON.

第一章 矢量与坐标

§1.1 矢量的概念

1.以下情形中的矢量终点各构成什么图形？

〔1〕把空间中一切单位矢量归结到共同的始点；

〔2〕把平行于某一平面的一切单位矢量归结到共同的始点；

〔3〕把平行于某一直线的一切矢量归结到共同的始点；

〔4〕把平行于某一直线的一切单位矢量归结到共同的始点.

解：

2. 设点O是正六边形ABCDEF的中心，

在矢量OA、OB、 OC、OD、OE、

OF、AB、BC、CD、 DE、EF

和FA中，哪些矢量是相等的？

[解]：

图1-1

3. 设在平面上给了一个四边形ABCD，点K、L、M、N分别是边ＡＢ、ＢＣ、ＣＤ、

ＤＡ的中点，求证：KL＝NM. 当ABCD是空间四边形时，这等式是否也成立？

[证明]：

.

4. 如图1-3，设ABCD-EFGH是一个平行六面体，在以下各对矢量中，找出相等的矢量和互为相反矢量的矢量：

(1) AB、CD; (2) AE、CG; (3) AC、EG;

(4) AD、GF; (5) BE、CH.

解：

图1—3 O §1.2 矢量的加法

1.要使以下各式成立，矢量ba,应满足什么条件？

〔1〕;baba 〔2〕;baba

〔3〕;baba 〔4〕;baba

〔5〕.baba

解：

§1.3 数量乘矢量

1 试解以下各题．

⑴ 化简)()()()(bayxbayx．

⑵ 已知3212eeea，321223eeeb，求ba，ba和ba23．

思考题3-1

1.对.理由：由ABCAE可知，B和C都是方阵，进一步可知，B和C都是A的逆矩阵，又因为逆矩阵是唯一的，所以BC.

2.对.理由：因为A可逆，所以在ABO的两边同时左乘1A，可得BO.

3.错.错的原因是：AX=YA中左右两边A的位置不同.

4.错. 改为1XCA.

5.错.反例，设100010A，100100B，则AB可逆，但A和B都不可逆。若增加条件,AB为方阵，则结论正确。

6. 错.反例，设100100A，则TAA可逆，但TAA不可逆.。若增加条件A为方阵，则结论正确。

7.对。111()()TTAAA，1A也是对称矩阵.

8.错。反例，设100000000A，则AO，但AO.

9.对。用反证法可以证明。

证：若A的2n个元素的余子阵都是奇异矩阵，则A的所有元素的代数余子式都为0.将A的行列式按第一行展开，可知0A，这与A是非奇异矩阵矛盾，所以A的2n个元素中至少有一个元素的余子阵是非奇异矩阵.

10.对。注：讨论矩阵相乘可交换的问题时，一般要用到11AAAA.

11. BAC=E不正确，BCA=E正确。理由：

由,,ABC为方阵及ABC=E可知，A可逆，其逆矩阵为BC，所以BCA=E.

同理可证CABE.但得不出BAC=E.

12.对。矩阵A的奇异性由A是否等于0决定，对三种初等变换分别讨论可知结论正确。

习题3-1

1. 5k且1.k 2.11221721(1)432(2)210111411AB

11111144445300111121004444(3)(4)001311114444001211114444CD

第三章 平面与空间直线

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§3.1 平面的方程

1．平面的点位式方程

在空间给定了一点M0与两个不共线的向量a，b后，通过点M0且与a，b平行的平面 就惟一被确定. 向量a，b叫平面 的方位向量. 任意两个与 平行的不共线的向量都可作为平面 的方位向量.

取标架321,,;eeeO，设点M0的向径0r=0OM=000,,zyx，平面 上任意一点M的向径为r =OM = {x，y，z}（如图）. 点M在平面上的充要条件为向量MM0与向量a，b共面. 由于a，b不共线，这个共面的条件可以写成

MM0= ua＋vb

而MM0= r －r0，所以上式可写成 xyzOMMbarreee12300

r = r0＋ua＋vb (3.1－1)

此方程叫做平面 的点位式向量参数方程，其中u，v为参数.

若令a = {1X，1Y，1Z}，b = {2X，2Y，2Z}，则由(3.1－1)可得

vZuZzzvYuYyyvXuXxx210210210 (3.1－2)

此方程叫做平面 的点位式坐标参数方程，其中u，v为参数.

(3.1－1)式两边与a×b作内积，消去参数u，v得

(r －r0，a，b) = 0 (3.1－3)

此即

222111000ZYXZYXzzyyxx=0 (3.1－4) 这是 的点位式普通方程.

已知平面上三非共线点iM（i = 1，2，3）. 建立坐标系{O；e1, e2, e3}，设ri = iOM ={ix，iy，iz}，i = 1，2，3. 对动点M，设r =OM={x，y，z}，取21MM和31MM为方位向量，M1为定点，则平面的向量参数方程，坐标参数方程和一般方程依次为

r = 1r＋u(2r－1r)＋v(3r－r1) (3.1－5)