第二章 空间解析几何
§1、向量的“三积”
1、 数量积：cosabab
几何意义：向量a在b上的投影线段的长度
2、 向量积：sinabab
几何意义：以,ab为边的平行四边形的面积
3、 混合积：设111222333(,,)(,,)(,,)axyzbxyzcxyz
,,()(sin)sincosabcabcabcabc
111222333xyzabcxyzxyz
*其中为,ab的夹角，为(),abc的夹角。
一、已知3ab与75ab垂直，4ab与72ab垂直，求,ab。
分析：本题用到向量的变形形式，找出,,abab之间的关系即可。
解：
由题意可知 (3)(75)0abab
(4)(72)0abab
222271615073080aabbaabb
联立两式得 21=2abb 21=2aba
=ab 716cos150
1cos2 (0,)3
二、证明：对任意4个向量,,,abcd，有
,,,,,,,,0bcdacadbabdcbacd
分析：本题主要运用了点乘，叉乘，混合积的运算法则，以及恒等式。 证： abcacbbca 2.2.13
,,,,,,,,abcdacdbbcdacdabcdbacadbbcda ,,,,abcdcadbbcda
,,,,,,,,abcdcdabcabddabcabcdabdcbacdabdc =,,,,abcdbacdabdc
第二章解析几何初步（二）—圆
第1页共8页知识点部分：
1.圆的定义：
平面内与一定点的距离等于定长的点的集合是圆．定点就是圆心，定长就是半径．
2.圆的标准方程：
圆的标准方程（x﹣a）2
+（y﹣b）2
＝r2
，圆心为（a，b），半径为r；特别当圆心是（0，0），
半径为r时，圆的标准方程为x2
+y2
＝r2
．
3.圆的一般方程：
（1）圆的一般方程x2
+y2
+Dx+Ey+F＝0．
①当D2
+E2
﹣4F＞0
时，表示圆心（﹣
，﹣）
，半径为的圆；
②当D2
+E2
﹣4F＝0
时，表示点（﹣
，﹣）；
③当D2
+E2
﹣4F＜0时，不表示任何图形．
（2）形如Ax2
+Bxy+Cy2
+Dx+Ey+F＝0的方程表示圆的条件：
①A＝C≠0；②B＝0；③D2
+E2
﹣4F＞0．
4．直线与圆的位置关系（1）直线与圆的位置关系
（2）判断直线与圆的位置关系的方法
直线Ax+By+C＝0与圆（x﹣a）2
+（y﹣b）2
＝r2
（r＞0）的位置关系的判断方法：
①几何方法：利用圆心到直线的d和半径r的关系判断．圆心到直线的距离
d＝
相交：d＜r；相切：d＝r；相离：d＞r
②代数方法：联立直线与圆的方程，转化为一元二次方程，用判别式△判断．
由消元，得到一元二次方程的判别式△
相交：△＞0；相切：△＝0；相离：△＜0．第二章解析几何初步（二）—圆
第2页共8页5．圆与圆的位置关系及其判定（1）圆与圆的位置关系
（2）圆与圆的位置关系的判定
设两圆圆心分别为O
1，O
2，半径分别为r
1，r
2，|O
1O
2|＝d
利用两圆的圆心距与两圆半径的关系判断
①外离（4条公切线）：d＞r
1+r
2
②外切（3条公切线）：d＝r
1+r
2
③相交（2条公切线）：|r
1﹣r
2|＜d＜r
1+r
2
④内切（1条公切线）：d＝|r
1﹣r
2|
⑤内含（无公切线）：0＜d＜|r
1﹣r
2|
练习题部分：
1．圆（x+1）2
+y2
＝4的圆心坐标和半径分别是（）
A．（1，0），2B．（﹣1，0），2C．（1，0），4D．（﹣1，0），4
《第二章 平面解析几何》试卷(答案在后面)
一、单选题（本大题有8小题，每小题5分，共40分）
1、下列关于直线的倾斜角和斜率描述正确的是（ ）
A、直线的倾斜角越大，其斜率越大
B、所有直线都有倾斜角，但并非所有直线都有斜率
C、斜率的绝对值越大，直线条数越多
D、直线的斜率可以为零
2、已知直线(𝑙)经过点 A(3, -2) 和 B(-1, 4)，求直线(𝑙)的斜率(𝑘)。
A.(−32)
B.(32)
C.(−23)
D.(23)
3、在直角坐标系中，点A（2，3）关于直线x=1的对称点为B，则点B的坐标为（ ）
A、（0，3）
B、（-2，3）
C、（-1，3）
D、（1，3）
4、已知直线(𝑙)的方程为(2𝑥−3𝑦+1=0)，则该直线的斜率是（ ）。
A、(23) B、(−23)
C、(32)
D、(−32)
5、在平面直角坐标系中，若直线y=2x+1与x轴和y轴的交点分别为A、B，点P（m，n）满足m+n=1，则直线上是否存在点Q（x，y）使得|AQ|=|BP|？
A. 是
B. 否
C. A、B两点都在直线y=-x+1上
6、在直角坐标系中，点A（3，4）关于直线y=x的对称点是（ ）
A.（4，3） B.（-3，-4） C.（-4，-3） D.（-4，3）
7、已知直线(𝑙1:3𝑥+4𝑦−5=0)和(𝑙2:6𝑥+8𝑦−7=0)，则这两条直线的位置关系为（ ）。
A、平行
B、垂直
C、重合
D、相交但不垂直
8、 在平面直角坐标系中，点A(-3,2)关于直线y=-x的对称点为B，B的横坐标是：
A. 2 B. -2 C. 3 D. -3
二、多选题（本大题有3小题，每小题6分，共18分）
1、在直角坐标系中，下列说法正确的是（ ） A. 点P（-3，4）关于x轴的对称点为P’（3，-4）
B. 直线y=2x+3的斜率是2
C. 圆（x+2）²+（y-1）²=9的圆心坐标是（-2，1）
第八章 平面解析几何
本章概述:
同学们知道，函数y=2x+3的图象是一条直线，这说明在平面直角坐标系中，图形可以用含有x，y的方程来表示。本章就是利用方程来研究平面图形的位置、计算等问题。这就是平面解析几何的思想。
本章的主要内容是直线的方程；圆的方程；椭圆、双曲线、抛物线的方程以及极坐标、曲线的参数方程简介。
本章研究的方法是坐标法，即用点的坐标研究点、用代数方程研究曲线，通过坐标、方程的性质研究曲线的性质等，向量是研究这类问题的主要工具。
大家在学习本章时，要充分挖掘数与形、形与数的互相转化与联系，从而为正确解决问题打下良好的基础。
学习要求:
1.理解直线的倾角、斜率和截距的概念，理解直线的点向式方程、两点式方程、斜截式方程、点斜式方程和一般式方程，并能根据已知条件求直线方程。
2.理解两直线平行和垂直的条件，掌握两条相交直线的交点、夹角，能利用直线方程讨论两条直线的位置关系。
3.了解点到直线的距离和两平行直线间的距离公式，并能进行简单计算。
4.了解二次曲线方程的概念。
5.理解二次曲线的标准方程及几何性质。
6.会求直线与二次曲线的交点。
7.了解直线与圆的位置关系，掌握圆的标准方程和一般式方程。
8.了解坐标平移公式的简单应用。
9.理解极坐标的概念、极坐标与直角坐标的关系，能正确地进行点和方程的直角坐标与极坐标的互化。
10.理解直线和二次曲线的极坐标方程，并会根据所给条件求直线、椭圆、双曲线和抛物线的极坐标方程
重难点内容:
例题讲解:
例1．已知直线上两点的坐标分别为A( 2, 1 ), B( 2, 3 ), 写出该直线的方向向量、倾斜角和斜率, 并写出直线方程.
解：直线的方向向量v =AB= ( 4, 4 ), 斜率k = 1, 倾斜角 = 135
直线方程为：x + y 1 = 0
例2．说出下列直线的方向向量、斜率和截距
（1）2x 3y +4 = 0 （2）x 3y + 1 = 0 （3）3x + 1 = 0
