倍长中线法

全等三角形——倍长中线法

知识网络详解：

中线是三角形中的重要线段之一，在利用中线解决几何问题时，常常采用“倍长中线法”添加辅助线.

所谓倍长中线法，就是将三角形的中线延长一倍，以便构造出全等三角形，从而运用全等三角形的有关知识来解决问题的方法．

倍长中线法的过程：延长某某到某点，使某某等于某某，使什么等于什么（延长的那一条），用SAS证全等（对顶角）

倍长中线最重要的一点，延长中线一倍，完成SAS全等三角形模型的构造。

倍长中线巧解题

山东 邹殿敏

中线是三角形中的重要线段之一，在利用中线解决几何问题时，常常采用“倍长中线法”添加辅助线．所谓倍长中线法，就是将三角形的中线延长一倍，以便构造出全等三角形，从而运用全等三角形的有关知识来解决问题的方法．下面举例说明．

一、证明线段不等

例1 如图1，在△ABC中，AD为BC边上的中线．求证：AB+AC＞2AD．

分析：延长AD至点E，使DE=AD，连接CE．

易证△ABD≌△ECD．所以AB=EC．

在△ACE中，因为AC+EC＞AE=2AD，所以AB+AC＞2AD．

二、证明线段相等

例2 如图2，在△ABC中，AB＞AC，E为BC边的中点，AD为∠BAC的平分线，过E作AD的平行线，交AB于F，交CA的延长线于G．求证：BF=CG．

分析：可以把FE看作△FBC的一条中线．

延长FE至点H，使EH=FE，连接CH．

则△CEH≌△BEF．所以CH=BF，∠H=∠1．

因为EG//AD，所以∠1=∠2，∠3=∠G．

又因为∠2=∠3，所以∠1=∠G．所以∠H=∠G．

由此得CH=CG．所以BF=CG．

三、求线段的长

例3 如图3，△ABC中，∠A=90°，D为斜边BC的中点，E，F分别为AB，AC上的点，且DE⊥DF，若BE=3，CF=4，试求EF的长．

分析：可以把ED看作△EBC的一条中线．

延长ED至点G，使DG=ED，连接CG，FG．

则△CDG≌△BDE．所以CG=BE=3，∠2=∠B．

因为∠B+∠1=90°，所以∠1+∠2=∠FCG=90°．

因为DF垂直平分EG，所以FG=EF．

在Rt△FCG中，由勾股定理得2222345FGCGCF，所以EF=5．

E B D C A

图1 A

2 3 G

B E D C F

1

H 图2

AG B D F E

1 C

2

倍长中线法

倍长中线的意思是：延长底边的中线，使所延长部分与中线相等，然后往往需要连接相应的顶点，则对应角对应边都对应相等。此法常用于构造全等三角形，进而证明边之间的关系。

倍长中线法中文名 倍长中线

思想方法 构造全等三角形

领 域 平面几何 外文名 nethod of times the length of line

目 的 证明边之间的关系

1定义

所谓“倍长中线”，就是加倍延长中线，使所延长部分与中线相等，然后往往需要连接相应的顶点，则对应角对应边都对应相等。常用于构造全等三角形。中线倍长法多用于构造全等三角形和证明边之间的关系（一般都是原题已经有中线时用，不太会有自己画中线的时候）。

说简单一点，倍长中线就是指： 延长中线，使所延长部分与中线相等，然后往往需要连接相应的顶点，构造全等三角形。

板块 考试要求

A级要求 B级要求 C级要求

全等三角形的性质及判定 会识别全等三角形 掌握全等三角形的概念、判定和性质，会用全等三角形的性质和判定解决简单问题 会运用全等三角形的性质和判定解决有关问题

三角形中线的定义：三角形顶点和对边中点的连线

三角形中线的相关定理： 直角三角形斜边的中线等于斜边的一半

等腰三角形底边的中线三线合一(底边的中线、顶角的角平分线、底边的高重合)

三角形中位线定义：连结三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线．

三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边并且等于它的一半．

中位线判定定理：经过三角形一边中点且平行于另一边的直线必平分第三边．

中线中位线相关问题(涉及中点的问题)

见到中线(中点)，我们可以联想的内容无非是倍长中线以及中位线定理(以后还要学习中线长公式)，尤其是在涉及线段的等量关系时，倍长中线的应用更是较为常见．

知识点睛 中考要求 第二讲

全等三角形与

中点问题

版块一 倍长中线

【例1】 (2002年通化市中考题)在△ABC中，9,5ACAB，则BC边上的中线AD的长的取值范围是什么？

【补充】已知：ABC中，AM是中线．求证：1()2AMABAC．

MCBA

【例2】 (2008年巴中市高中阶段教育学校招生考试)已知：如图，梯形ABCD中，ADBC∥，点E是CD的中点，BE的延长线与AD的延长线相交于点F．求证：BCEFDE≌． 重点：主要掌握中线的处理方法，遇见中线考虑中线倍长法

重、难点

例题精讲

DFECBA

【例3】 (浙江省2008年初中毕业生学业考试(湖州市)数学试卷)如图，在ABC中，D是BC边的中点，F，E分别是AD及其延长线上的点，CFBE∥．求证：BDECDF≌．

FEDCBA

【例4】 如图，ABC中，

GFEDCBA

【例5】 如图，已知在ABC中，AD是BC边上的中线，E是AD上一点，延长BE交AC于F，AFEF，求证：ACBE．