倍长中线法(加倍法)

倍长中线法

倍长中线的意思是：延长底边的中线，使所延长部分与中线相等，然后往往需要连接相应的顶点，则对应角对应边都对应相等。此法常用于构造全等三角形，进而证明边之间的关系。

倍长中线法中文名 倍长中线

思想方法 构造全等三角形

领 域 平面几何 外文名 nethod of times the length of line

目 的 证明边之间的关系

1定义

所谓“倍长中线”，就是加倍延长中线，使所延长部分与中线相等，然后往往需要连接相应的顶点，则对应角对应边都对应相等。常用于构造全等三角形。中线倍长法多用于构造全等三角形和证明边之间的关系（一般都是原题已经有中线时用，不太会有自己画中线的时候）。

说简单一点，倍长中线就是指： 延长中线，使所延长部分与中线相等，然后往往需要连接相应的顶点，构造全等三角形。

板块 考试要求

A级要求 B级要求 C级要求

全等三角形的性质及判定 会识别全等三角形 掌握全等三角形的概念、判定和性质，会用全等三角形的性质和判定解决简单问题 会运用全等三角形的性质和判定解决有关问题

三角形中线的定义：三角形顶点和对边中点的连线

三角形中线的相关定理： 直角三角形斜边的中线等于斜边的一半

等腰三角形底边的中线三线合一(底边的中线、顶角的角平分线、底边的高重合)

三角形中位线定义：连结三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线．

三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边并且等于它的一半．

中位线判定定理：经过三角形一边中点且平行于另一边的直线必平分第三边．

中线中位线相关问题(涉及中点的问题)

见到中线(中点)，我们可以联想的内容无非是倍长中线以及中位线定理(以后还要学习中线长公式)，尤其是在涉及线段的等量关系时，倍长中线的应用更是较为常见．

知识点睛 中考要求 第二讲

全等三角形与

中点问题

版块一 倍长中线

【例1】 (2002年通化市中考题)在△ABC中，9,5ACAB，则BC边上的中线AD的长的取值范围是什么？

【补充】已知：ABC中，AM是中线．求证：1()2AMABAC．

MCBA

【例2】 (2008年巴中市高中阶段教育学校招生考试)已知：如图，梯形ABCD中，ADBC∥，点E是CD的中点，BE的延长线与AD的延长线相交于点F．求证：BCEFDE≌． 重点：主要掌握中线的处理方法，遇见中线考虑中线倍长法

重、难点

例题精讲

DFECBA

【例3】 (浙江省2008年初中毕业生学业考试(湖州市)数学试卷)如图，在ABC中，D是BC边的中点，F，E分别是AD及其延长线上的点，CFBE∥．求证：BDECDF≌．

FEDCBA

【例4】 如图，ABC中，

GFEDCBA

【例5】 如图，已知在ABC中，AD是BC边上的中线，E是AD上一点，延长BE交AC于F，AFEF，求证：ACBE．

课 题: 《全等三角形之巧添辅助线——倍长中线法》

【方法精讲】常用辅助线添加方法——倍长中线

△ABC中 , AD是BC边中线 方式1：直接倍长 延长AD到E，使DE=AD，连接BE

方式2：间接倍长

作CF⊥AD于F，作BE⊥AD的延长线于E 延长MD到N，使DN=MD，连接CN

【经典例题】

例1：△ABC中，AB=5，AC=3，求中线AD的取值范围.

提示：画出图形，倍长中线AD，利用三角形两边之和大于第三边

例2：ABC中，AD是BAC的平分线，且BD=CD，求证AB=AC

方法1：作DE⊥AB于E，作DF⊥AC于F，证明二次全等

方法2：辅助线同上，利用面积

方法3：倍长中线AD

例3：已知在△ABC中，AB=AC，D在AB上，E在AC的延长线上，DE交BC于F，且DF=EF，求证：BD=CE

方法1：过D作DG∥AE交BC于G，证明ΔDGF≌ΔCEF

DABCEDABCFEDCBANDCBAMFECABDCDAB方法2：过E作EG∥AB交BC的延长线于G，证明ΔEFG≌ΔDFB

方法3：过D作DG⊥BC于G，过E作EH⊥BC的延长线于H,证明ΔBDG≌ΔECH

例4：已知在△ABC中，AD是BC边上的中线，E是AD上一点，且BE=AC，延长BE交AC于F，求证：AF=EF

提示：倍长AD至G，连接BG，证明ΔBDG≌ΔCDA三角形BEG是等腰三角形

例5：已知：如图，在ABC中，ACAB，D、E在BC上，且DE=EC，过D作BADF//交AE于点F，DF=AC.

求证：AE平分BAC

方法1：倍长AE至G，连结DG

方法2：倍长FE至H，连结CH

例6：已知CD=AB，∠BDA=∠BAD，AE是△ABD的中线，求证：∠C=∠BAE

提示：倍长AE至F，连结DF,证明ΔABE≌ΔFDE（SAS）,进而证明ΔADF≌ΔADC（SAS）

1.截长补短法证明三角形全等

例1已知：AC平分∠BAD，CE⊥AB，∠B+∠D=180°，求证：AE=AD+BE

练习1如图，四边形ABCD中，AB∥DC，BE、CE分别平分∠ABC、∠BCD，且点E在AD上。求证：BC=AB+DC。

2.已知∠ABC=3∠C，∠1=∠2，BE⊥AE，求证：AC-AB=2BE

3如图，已知AD∥BC，∠PAB的平分线与∠CBA的平分线相交于E，CE的连线交AP于D．求证：AD+BC=AB．

PEDCBA4在△ABC中，90ACB，BCAC，直线MN经过点C，且MNAD于D，MNBE于E.(1)当直线MN绕点C旋转到图1的位置时，求证： ①ADC≌CEB；②BEADDE；

(2)当直线MN绕点C旋转到图2的位置时，（1）中的结论还成立吗？若成立，请给出证明；若不成立，说明理由.

6.如图,已知AC∥BD，EA、EB分别平分∠CAB和∠DBA，CD过点E，则AB与AC+BD相等吗？请说明理由

例2已知，如图1-1，在四边形ABCD中，BC＞AB，AD=DC，BD平分∠ABC.

求证：∠BAD+∠BCD=180°.

例1. 练习已知，如图3-1，∠1=∠2，P为BN上一点，且PD⊥BC于点D，AB+BC=2BD.

求证：∠BAP+∠BCP=180°.

ABCD图1-1

ABCDP12N图3-1 2、倍长中线法证三角形全等

例1 、求证：三角形一边上的中线小于其他两边和的一半。

练习 1：△ABC中，AB=5，AC=3，求中线AD的取值范围

例2.已知在△ABC中，AB=AC，D在AB上，E在AC的延长线上，DE交BC于F，且DF=EF，求证：BD=CE

练习2已知在△ABC中，AD是BC边上的中线，E是AD上一点，且BE=AC，延长BE交AC于F，求证：AF=EF

例3已知：如图，在ABC中，ACAB，D、E在BC上，且DE=EC，过D作BADF//交FECABDFEDABCAE于点F，DF=AC.