倍长中线法(加倍法)

倍长中线法

倍长中线的意思是：延长底边的中线，使所延长部分与中线相等，然后往往需要连接相应的顶点，则对应角对应边都对应相等。此法常用于构造全等三角形，进而证明边之间的关系。

倍长中线法中文名 倍长中线

思想方法 构造全等三角形

领 域 平面几何 外文名 nethod of times the length of line

目 的 证明边之间的关系

1定义

所谓“倍长中线”，就是加倍延长中线，使所延长部分与中线相等，然后往往需要连接相应的顶点，则对应角对应边都对应相等。常用于构造全等三角形。中线倍长法多用于构造全等三角形和证明边之间的关系（一般都是原题已经有中线时用，不太会有自己画中线的时候）。

说简单一点，倍长中线就是指： 延长中线，使所延长部分与中线相等，然后往往需要连接相应的顶点，构造全等三角形。

板块 考试要求

A级要求 B级要求 C级要求

全等三角形的性质及判定 会识别全等三角形 掌握全等三角形的概念、判定和性质，会用全等三角形的性质和判定解决简单问题 会运用全等三角形的性质和判定解决有关问题

三角形中线的定义：三角形顶点和对边中点的连线

三角形中线的相关定理： 直角三角形斜边的中线等于斜边的一半

等腰三角形底边的中线三线合一(底边的中线、顶角的角平分线、底边的高重合)

三角形中位线定义：连结三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线．

三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边并且等于它的一半．

中位线判定定理：经过三角形一边中点且平行于另一边的直线必平分第三边．

中线中位线相关问题(涉及中点的问题)

见到中线(中点)，我们可以联想的内容无非是倍长中线以及中位线定理(以后还要学习中线长公式)，尤其是在涉及线段的等量关系时，倍长中线的应用更是较为常见．

知识点睛 中考要求 第二讲

全等三角形与

中点问题

版块一 倍长中线

【例1】 (2002年通化市中考题)在△ABC中，9,5ACAB，则BC边上的中线AD的长的取值范围是什么？

【补充】已知：ABC中，AM是中线．求证：1()2AMABAC．

MCBA

【例2】 (2008年巴中市高中阶段教育学校招生考试)已知：如图，梯形ABCD中，ADBC∥，点E是CD的中点，BE的延长线与AD的延长线相交于点F．求证：BCEFDE≌． 重点：主要掌握中线的处理方法，遇见中线考虑中线倍长法

重、难点

例题精讲

DFECBA

【例3】 (浙江省2008年初中毕业生学业考试(湖州市)数学试卷)如图，在ABC中，D是BC边的中点，F，E分别是AD及其延长线上的点，CFBE∥．求证：BDECDF≌．

FEDCBA

【例4】 如图，ABC中，

GFEDCBA

【例5】 如图，已知在ABC中，AD是BC边上的中线，E是AD上一点，延长BE交AC于F，AFEF，求证：ACBE．

倍长中线法(经典例题)2 倍长中线法（加倍法）

知识网络详解：

中线是三角形中的重要线段之一，在利用中线解决几何问题时，常常采用“倍长中线法”添加辅助线．

所谓倍长中线法，就是将三角形的中线延长一倍，以便构造出全等三角形，从而运用全等三角形的有关知识来解决问题的方法．

倍长中线法的过程：延长某某到某点，使某某等于某某，使什么等于什么（延长的那一条），用SAS证全等（对顶角）

倍长中线最重要的一点，延长中线一倍，完成SAS全等三角形模型的构造。

经典例题讲解：

例1：△ABC中，AB=5，AC=3，求中线AD的取值范围。

例2：已知在△ABC中，AB=AC，D在AB上，E在AC的延长线上，DE交BC于F，且DF=EF，

求证：BD=CE

CABDDABC

例3：已知在△ABC中，AD是BC边上的中线，E是AD上一点，且BE=AC，延长BE交AC于F，求证：AF=EF

例4：如图，AD为ABC的中线，DE平分BDA交AB于E，DF平分ADC交AC于F.

求证：EFCFBE

第 14 题图 DFCBEAFEDABC

例5：已知CD=AB，∠BDA=∠BAD，AE是△ABD的中线，求证：∠C=∠BAE

自检自测：

1、如图，△ABC中，BD=DC=AC,E是DC的中点，求证，AD平分∠BAE。

2、在四边形ABCD中，AB∥DC，E为BC边的中点，∠BAE=∠EAF，AF与DC的延长线相交于点F。试探究线段AB与AF、CF之间的数量关系，并证明你的结论.

EDABCFEABCD

3、已知：如图，在ABC中，ACAB，D、E在BC上，且DE=EC，过D作BADF//交AE于点F，DF=AC.

求证：AE平分BAC

4、如图，CB、CD分别是钝角△AEC和锐角△ABC的中线，且AC=AB．求证：①CE=2CD．②CB平分∠DCE．

ABFDEC

5、如图已知△ABC，AD是BC边上的中线，分别以AB边、AC边为直角边各向形外作等腰直角三角形，求证EF＝2AD.

倍长中线法总结

1. 引言

倍长中线法（The Doubling Midline Method）是一种用来解决数学问题的方法，它主要应用于图形和数列的问题。该方法通过找出中线并将其倍增来寻找问题的解。本文将详细介绍倍长中线法的思想和应用，并通过示例展示其实际运用。

2. 思想和原理

倍长中线法的思想源于对图形和数列的观察和分析。当遇到需要找到图形或数列的某个特定点或者结果时，我们可以通过找出中线并将其倍增来逐步逼近目标。该方法的原理是基于中线的特性，即中线两侧长度相等。通过不断倍增中线的长度，我们可以逐步逼近目标点或结果。

3. 应用步骤

倍长中线法的应用可以分为以下几个步骤：

步骤一：观察问题

首先，我们需要观察和分析问题，确定需要找到的目标点或结果。这可以帮助我们确定使用倍长中线法的运算方式和步骤。

步骤二：确定初始中线

然后，我们需要确定初始中线。中线的选择要尽可能接近目标点或结果，以提高计算的准确性和效率。

步骤三：倍增中线长度

接下来，我们将中线的长度倍增。具体的倍增倍数可以根据实际情况而定。每次倍增后，我们检查新的中线是否更接近目标点或结果。如果是，我们继续倍增中线的长度，直到达到预定的精度要求。

步骤四：确定最终结果

最后，我们确定最终结果。根据具体的问题，我们可以根据中线的位置和长度计算出目标点的坐标或者得出数列的结果。

4. 实际应用示例

为了更好地理解倍长中线法的应用，以下是一个实际示例： 问题描述

在平面直角坐标系中，有一条直线L通过点A(2, 3)和点B(5, 9)。现在需要确定直线L和Y轴的交点C的坐标。

解决步骤

1. 观察问题，确定需要找到交点C的坐标。

2. 初始中线的选择可以是线段AB的中点M，即M(3.5, 6)。

3. 根据倍长中线法，将线段AM的长度倍增，得到线段CM。

4. 假设线段CM的长度为d，当d接近垂直距离MC时，我们可以认为目标点C的坐标已经确定。