数学归纳法练习题

数列与数学归纳法练习题数学归纳法是数学中常用的一种证明方法，尤其在数列问题中被广泛应用。

通过数学归纳法，我们能够证明某个命题对所有自然数都成立，而不需要逐个验证。

本文将为大家提供数列与数学归纳法的练习题，帮助大家更好地掌握这一方法。

1. 练习题一证明下列命题对所有正整数n成立：(1) 1 + 3 + 5 + ... + (2n-1) = n^2(2) 1^2 + 2^2 + 3^2 + ... + n^2 = n(n+1)(2n+1)/6解答：(1) 首先在n=1的情况下，命题显然成立，因为左右两边都等于1。

假设当n=k时，命题成立，即1 + 3 + 5 + ... + (2k-1) = k^2。

下面证明当n=k+1时，命题也成立。

当n=k+1时，左边的求和式为：1 + 3 + 5 + ... + (2k-1) + (2(k+1)-1) = k^2 + (2k+1)。

根据假设，我们知道前面的求和式等于k^2，因此我们只需要证明(2k+1) = (k+1)^2即可。

展开(k+1)^2，得到k^2 + 2k + 1，与2k+1相比较，左右两边相等。

因此，由数学归纳法可知，命题对所有正整数n成立。

(2) 同样，在n=1的情况下，命题显然成立。

假设当n=k时，命题成立，即1^2 + 2^2 + 3^2 + ... + k^2 = k(k+1)(2k+1)/6。

下面证明当n=k+1时，命题也成立。

当n=k+1时，左边的求和式为：1^2 + 2^2 + 3^2 + ... + k^2 + (k+1)^2 = k(k+1)(2k+1)/6 + (k+1)^2。

将右边的分数相加，得到(k^3 + 3k^2 + 2k)/6 + (k^2 + 2k + 1)。

化简并合并同类项，得到(k^3 + 3k^2 + 2k + k^2 + 2k + 1)/6 = (k^3 +4k^2 + 5k + 1)/6。

因此，我们只需要证明(k^3 + 4k^2 + 5k + 1) = (k+1)(k+2)(2k+3)即可。

专题7.6数学归纳法练基础1．（2021·全国高三专题练习（理））用数学归纳法证明等式123(21)(1)(21)n n n +++++=++ 时，从n k =到1n k =+等式左边需增添的项是（）A ．22k +B ．[]2(1)1k ++C ．[(22)(23)]k k +++D ．[][](1)12(1)1k k ++++2．（2020·全国高三专题练习）已知n 为正偶数，用数学归纳法证明1-111234+-+…+1-1n =2111 (24)2n n n ⎛⎫+++⎪++⎝⎭时，若已假设n=k (k ≥2，k 为偶数)时命题成立，则还需要用归纳假设证（）A ．n=k+1时等式成立B ．n=k+2时等式成立C ．n=2k+2时等式成立D ．n=2(k+2)时等式成立3．（2020·全国高三专题练习（理））用数学归纳法证明不等式“1＋12＋13＋…＋121n -＜n (n ∈N *，n ≥2)”时，由n ＝k (k ≥2)时不等式成立，推证n ＝k ＋1时，左边应增加的项数是（）A ．2k －1B ．2k －1C ．2kD ．2k ＋14．（2021·全国高三专题练习（理））用数学归纳法证明不等式()*1114,21225n N n n n n ∈+++≤≥++ 时，可将其转化为证明（）A ．()*11141,2122521n n n n n n N +++≤+∈≥+++ B ．()*14,2122521111n n n n n n N +++≤∈-≥+++ C ．()*114,21225211N n n n n n n +++≤∈+≥++ D ．()*11141,212252N n n n n n n+++≤∈-≥++ 5．（2019·浙江高二月考）利用数学归纳法证明“1111...(,1)2321n n n N n *++++<∈>-”的过程中，由假设“n k =”成立，推导“1n k =+”也成立时，左边应增加的项数是（）A．kB．1k +C．2kD．21k +6．（2020·上海徐汇区·高三一模）用数学归纳法证明()2511222n n N -*++++∈ 能被31整除时，从k 到1k +添加的项数共有__________________项（填多少项即可）．7.（2019·湖北高考模拟（理））已知正项数列{}n a 满足11a =，前n 项和n S 满足214(3)(2,)n n S a n n N *-=+∈≥，则数列{}n a 的通项公式为n a =______________．8.（2019届江苏省扬州市仪征中学摸底）已知正项数列中，1=1,r1=1+∈∗用数学归纳法证明：<r1∈∗.9.（2021·全国高三专题练习）数列{}n a 满足()*2N n n S n a n =-∈.（1）计算123a a a 、、，并猜想n a 的通项公式；（2）用数学归纳法证明（1）中的猜想.10．（2021·全国高三专题练习（理））已知数列{a n }满足：11a =，点*1(,)()n n a a n N +∈在直线21y x =+上．（1）求234,,a a a 的值，并猜想数列{a n }的通项公式；（2）用数学归纳法证明（1）中你的猜想．练提升1．（2021·全国）已知数列{}n a 满足()*1n n nna a n N a +=+∈，10a >，则当2n ≥时，下列判断一定正确的是（）A ．1n a n <+B ．211n n n n a a a a +++-<-C ．n a n≥D ．1n a n ≥+2．（2021·浙江高三专题练习）已知数列{}n a ，满足()101a a a =<<，()()()*11ln 1n n n a a a n N ++=+∈，则（）A ．110nn a a n+<<<B ．110n n a a n+<<<C ．110n n a a n+<<<D ．110x n a a n+<<<3．（2020·浙江省桐庐中学）数列{}n a 满足()2*1n n n a a a n N +=-+∈，110,2a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则以下说法正确的个数（）①10n n a a +<<；②22221231n a a a a a ++++< ；③对任意正数b ，都存在正整数m 使得12311111111mb a a a a ++++>---- 成立；④11n a n <+.A ．1B ．2C ．3D ．44．（2021·全国高三其他模拟（理））已知数列{}n a 满足：10a =，()()1ln 1n an n a e a n *+=+-∈N ，前n 项和为n S （参考数据：ln 20.693≈，ln 3 1.099≈，则下列选项错误的是（）.A ．{}21n a -是单调递增数列，{}2n a 是单调递减数列B ．1ln 3n n a a ++≤C ．2020670S <D ．212n na a -≤5．（2021·上海市建平中学高三开学考试）有限集S 的全部元素的积称为该数集的“积数”，例如{}2的“积数”为2，{}2,3的“积数”为6，1111,,,,23n ⎧⎫⋅⋅⋅⎨⎬⎩⎭的“积数”为1!n ，则数集*1,22021,M x x n n N n ⎧⎫==≤≤∈⎨⎬⎩⎭的所有非空子集的“积数”的和为___________.6．（2021·浙江高三期末）已知数列{}n a 满足0n a >，前n 项和为n S ，若33a =，且对任意的*k N ∈，均有211222k a k a -+=，21222log 1k k a a +=+，则1a =_______；20S =______.7．（2020·江苏南通·高三其他）数列{}n a 的前n 项和为n R ，记11nn i S i==∑，数列{}n b 满足11b a =，()12n n n n R b S a n n-=+≥，且数列{}n b 的前n 项和为n T ．（1）请写出n R ，n S ，n T 满足的关系式，并加以证明；（2）若数列{}n a 通项公式为112n n a -=，证明：22ln n T n <+．8.（2020届浙江省“山水联盟”高三下学期开学）已知等比数列{}n a 的公比1q >，且23414a a a ++=，31a +是2a ，4a 的等差中项，数列{}n b 满足：数列{}n n a b ⋅的前n 项和为2n n ⋅．（1）求数列{}n a 、{}n b 的通项公式；（2）数列{}n c 满足：13c =，*1,n n n n b c c n N c +=+∈，证明*12(2),2n n n c c c n N +++⋅⋅⋅+>∈9．（2020届浙江省嘉兴市3月模拟）设数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知1a ，n a ，n S 成等差数列，且542a S =+，*n N ∈．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）记2nn na b S =，*n N ∈，证明：()12314421n n b b b +++≤-- ，*n N ∈．10.已知点(,)满足r1=.r1，r1=1−42(∈∗)，且点1的坐标为(−1,1).（1）求过点1,2的直线的方程；（2）试用数学归纳法证明：对于∈∗，点都在（1）中的直线上.练真题1．（2020·全国高考真题（理））设数列{a n }满足a 1=3，134n n a a n +=-．（1）计算a 2，a 3，猜想{a n }的通项公式并加以证明；（2）求数列{2na n }的前n 项和S n ．2.（2017浙江）已知数列{}n x 满足：11x =，11ln(1)n n n x x x ++=++()n ∈*N ．证明：当n ∈*N 时（Ⅰ）10n n x x +<<；（Ⅱ）1122n n n n x x x x ++-≤；（Ⅲ）121122n n n x --≤≤．3．(湖北省高考真题)已知数列{}n a 的各项均为正数，1(1()nn n b n a n n +=+∈N ，e 为自然对数的底数．（Ⅰ）求函数()1e xf x x =+-的单调区间，并比较1(1)n n+与e 的大小；（Ⅱ）计算11b a ，1212b ba a ，123123b b b a a a ，由此推测计算1212n n b b b a a a 的公式，并给出证明；（Ⅲ）令112()nn n c a a a = ，数列{}n a ，{}n c 的前n 项和分别记为n S ,n T ,证明：e n n T S <．4.（2021·全国高三专题练习）设数列{a n }满足a 1=3，134n n a a n +=-．（1）计算a 2，a 3，猜想{a n }的通项公式并加以证明；（2）求数列{2n a n }的前n 项和S n ．5.(江苏省高考真题)已知函数0sin ()(0)x f x x x=>，设()n f x 为1()n f x -的导数，n *∈N ．（Ⅰ）求()()122222f f πππ+的值；（2）证明：对任意的n *∈N ，等式()()1444n n nf f -πππ+=成立．6.（2021·上海普陀区·高三其他模拟）如图，曲线():10C xy x =>与直线:l y x =相交于1A ，作11A B l ⊥交x 轴于1B ，作12B A //l 交曲线C 于2A ，……，以此类推.（1）写出点123,,A A A 和123,,B B B 的坐标；（2）猜想()n A n N*∈的坐标，并用数学归纳法加以证明.。

数列与数学归纳法的综合练习题一、数学归纳法的基本概念数学归纳法是一种证明数学命题的常用方法。

它包括两个基本步骤：基础步和归纳步。

基础步是证明命题对于某个特定的自然数成立；归纳步是假设命题对于一个自然数成立，然后证明对于下一个自然数也成立。

下面通过具体的练习题来进一步理解数学归纳法的应用。

二、练习题一：数列的定义与递推关系1. 已知数列{an}的通项公式是an = 3n - 1（n为自然数），求前5项的值。

解：将n逐个代入通项公式，有：a1 = 3 * 1 - 1 = 2；a2 = 3 * 2 - 1 = 5；a3 = 3 * 3 - 1 = 8；a4 = 3 * 4 - 1 = 11；a5 = 3 * 5 - 1 = 14。

所以，数列{an}的前5项的值分别为2，5，8，11，14。

2. 已知数列{bn}的递推关系是bn = bn-1 + 2，其中b1 = 1，求前6项的值。

解：根据递推关系，可以得到：b2 = b1 + 2 = 1 + 2 = 3；b3 = b2 + 2 = 3 + 2 = 5；b4 = b3 + 2 = 5 + 2 = 7；b5 = b4 + 2 = 7 + 2 = 9；b6 = b5 + 2 = 9 + 2 = 11。

所以，数列{bn}的前6项的值分别为1，3，5，7，9，11。

三、练习题二：数学归纳法证明1. 证明1 + 2 + 3 + ... + n = n(n+1)/2，其中n为自然数。

证明：基础步：当n=1时，等式左边为1，右边为1(1+1)/2，两边相等成立。

归纳步：假设当n=k时等式成立，即1 + 2 + 3 + ... + k = k(k+1)/2；则当n=k+1时，等式左边变为1 + 2 + 3 + ... + k + (k+1)；根据归纳假设，左边可以变为k(k+1)/2 + (k+1)；化简得 (k^2 + k + 2k + 2) / 2；再次化简得 (k^2 + 3k + 2) / 2；进一步化简得 (k+1)(k+2)/2；即等式右边。

小学六年级数学归纳法练习题数学归纳法是一种用于证明与自然数有关的命题的方法。

对于小学六年级的同学来说，通过练习数学归纳法的相关题目，可以培养逻辑思维和推理能力。

下面我们就来一起看看一些小学六年级数学归纳法的练习题。

一、基础练习1、观察下列算式：1 ＋ 3 ＝ 41 ＋ 3 ＋ 5 ＝ 91 ＋ 3 ＋ 5 ＋ 7 ＝ 161 ＋ 3 ＋ 5 ＋ 7 ＋ 9 ＝ 25根据以上规律，用数学归纳法证明：1 ＋ 3 ＋ 5 ＋… ＋（2n 1) ＝n²证明：当 n ＝ 1 时，左边＝ 1，右边＝ 1²＝ 1，等式成立。

假设当 n ＝ k（k ≥ 1）时，等式 1 ＋ 3 ＋ 5 ＋… ＋（2k 1) ＝ k²成立。

那么当 n ＝ k ＋ 1 时，左边＝ 1 ＋ 3 ＋ 5 ＋… ＋（2k 1) ＋（2(k ＋ 1) 1)＝ k²＋（2k ＋ 1)＝ k²＋ 2k ＋ 1＝（k ＋ 1)²所以当 n ＝ k ＋ 1 时，等式也成立。

综上，对于任意正整数 n，1 ＋ 3 ＋ 5 ＋… ＋（2n 1) ＝ n²成立。

2、计算：1×2 ＋ 2×3 ＋ 3×4 ＋… ＋ n(n ＋ 1)，并用数学归纳法证明你的结论。

解：1×2 ＋ 2×3 ＋ 3×4 ＋… ＋ n(n ＋ 1) ＝ 1/3 × n(n ＋ 1)（n ＋ 2)证明：当 n ＝ 1 时，左边＝ 1×2 ＝ 2，右边＝ 1/3 × 1×2×3 ＝ 2，等式成立。

假设当 n ＝ k（k ≥ 1）时，等式 1×2 ＋ 2×3 ＋ 3×4 ＋… ＋ k(k ＋ 1) ＝ 1/3 × k(k ＋ 1)（k ＋ 2) 成立。

那么当 n ＝ k ＋ 1 时，左边＝ 1×2 ＋ 2×3 ＋ 3×4 ＋… ＋ k(k ＋ 1) ＋（k ＋ 1)（k ＋ 2)＝ 1/3 × k(k ＋ 1)（k ＋ 2) ＋（k ＋ 1)（k ＋ 2)＝（k ＋ 1)（k ＋ 2)（1/3k ＋ 1)＝ 1/3 ×（k ＋ 1)（k ＋ 2)（k ＋ 3)所以当 n ＝ k ＋ 1 时，等式也成立。

教材习题点拨练习(P 19）证明:(1)当n=1时,x 2—y 2=（x+y ）(x —y ）,能够被x —y 整除.(2)假设当n=k 时,结论成立,即x 2k -y 2k 能够被x —y 整除。

当n=k+1时,)1(2+k x—)1(2+k y =)1(2+k x —)1(2+k y +x 2k y 2—x 2k y 2 =)1(2+k x —x 2k y 2+x 2k y 2—)1(2+k y=x 2k （x 2—y 2）+y 2（x 2k -y 2k ），由于x 2—y 2和x 2k —y 2k 都能被x —y 整除，所以)1(2+k x -)1(2+k y 能够被x-y 整除.所以n=k+1时也成立。

故结论得证。

习题14（P 19)1。

证明:(1)当n=1时,21=1—21,等式成立。

(2）假设当n=k 时,等式成立，即21+41+…+k 21=1-k 21. 当n=k+1时，21+41+…+k 21+121+k =1-k 21+121+k =1122+k +121+k =1-121+k .所以n=k+1时等式也成立.故结论得证. 2.证明:当n=2时,f （2）=2)12(2-=1，两条直线的交点数为1,结论明显成立。

(2）假设当n=k 时,结论成立，即k 条直线的交点数为f(k)=2)1(-k k . 当n=k+1时,交点数相当于在k 条直线的交点数的基础上增加了k 条,即f(k+1）=f(k)+k=2)1(-k k +k=22k k -+22k =2)1(+k k 。

所以n=k+1时也成立。

故结论得证.3。

证明:(1）当n=1时，左边=12=1,右边=6)112)(11(1+⨯+=1，左边=右边,故结论成立.(2）假设当n=k 时,等式成立，即12+22+…+k 2=6)12)(1(++k k k .当n=k+1时，12+22+…+k 2+（k+1）2=6)12)(1(++k k k +（k+1)2=6)12)(1(++k k k + 6]1)1(2][1)1)[(1(6)32)(2)(1(6)662)(1(6)1(622+++++=+++=++++=+k k k k k k k k k k k 所以n=k+1时等式也成立.故结论得证。

2.3数学归纳法第1课时数学归纳法1．用数学归纳法证明“2n>n2＋1对于n≥n0的自然数n都成立”时，第一步证明中的起始值n0应取()．A．2 B．3 C．5 D．6解析当n取1、2、3、4时2n>n2＋1不成立，当n＝5时，25＝32>52＋1＝26，第一个能使2n>n2＋1的n值为5，故选C.答案 C2．用数学归纳法证明等式1＋2＋3＋…＋(n＋3)＝(n＋3)(n＋4)2(n∈N＋)，验证n＝1时，左边应取的项是()．A．1 B．1＋2C．1＋2＋3 D．1＋2＋3＋4解析等式左边的数是从1加到n＋3.当n＝1时，n＋3＝4，故此时左边的数为从1加到4.答案 D3．设f(n)＝1＋12＋13＋…＋13n－1(n∈N＋)，那么f(n＋1)－f(n)等于()．A.13n＋2B.13n＋13n＋1C.13n＋1＋13n＋2D.13n＋13n＋1＋13n＋2解析∵f(n)＝1＋12＋13＋…＋13n－1，∵f(n＋1)＝1＋12＋13＋…＋13n－1＋13n＋13n＋1＋13n＋2，∴f(n＋1)－f(n)＝13n＋13n＋1＋13n＋2.答案 D4．用数学归纳法证明关于n的恒等式，当n＝k时，表达式为1×4＋2×7＋…＋k(3k＋1)＝k(k＋1)2，则当n＝k＋1时，表达式为________．答案1×4＋2×7＋…＋k(3k＋1)＋(k＋1)(3k＋4)＝(k＋1)(k＋2)25．记凸k边形的内角和为f(k)，则凸k＋1边形的内角和f(k＋1)＝f(k)＋________.解析由凸k边形变为凸k＋1边形时，增加了一个三角形图形，故f(k＋1)＝f(k)＋π.答案π6．用数学归纳法证明：1 1×2＋13×4＋…＋1(2n－1)·2n＝1n＋1＋1n＋2＋…＋1n＋n.证明(1)当n＝1时，左边＝11×2＝12，右边＝12，等式成立．(2)假设当n＝k(k∈N*)时，等式成立，即1 1×2＋13×4＋…＋1(2k－1)·2k＝1k＋1＋1k＋2＋…＋12k.则当n＝k＋1时，1 1×2＋13×4＋…＋1(2k－1)·2k＋1(2k＋1)(2k＋2)＝1k＋1＋1k＋2＋…＋12k＋1(2k＋1)(2k＋2)＝1k＋2＋1k＋3＋…＋12k＋⎝⎛⎭⎪⎫12k＋1－12k＋2＋1k＋1＝1k＋2＋1k＋3＋…＋12k＋12k＋1＋12k＋2＝1(k＋1)＋1＋1(k＋1)＋2＋…＋1(k＋1)＋k＋1(k＋1)＋(k＋1).即当n＝k＋1时，等式成立．根据(1)(2)可知，对一切n∈N*，等式成立．7．若命题A(n)(n∈N*)在n＝k(k∈N*)时命题成立，则有n＝k＋1时命题成立．现知命题对n＝n0(n0∈N*)时命题成立，则有()．A．命题对所有正整数都成立B．命题对小于n0的正整数不成立，对大于或等于n0的正整数都成立C．命题对小于n0的正整数成立与否不能确定，对大于或等于n0的正整数都成立D．以上说法都不正确解析由已知得n＝n0(n0∈N*)时命题成立，则有n＝n0＋1时命题成立；在n ＝n0＋1时命题成立的前提下，又可推得n＝(n0＋1)＋1时命题也成立，依此类推，可知选C.答案 C8．用数学归纳法证明(n＋1)(n＋2)(n＋3)…(n＋n)＝2n·1·3·…·(2n－1)(n∈N*)，从n＝k到n＝k＋1，左边增加的代数式为()．A．2k＋1 B．2(2k＋1)C.2k＋1k＋1D.2k＋3k＋1解析n＝k时，左边＝(k＋1)(k＋2)…(2k)；n＝k＋1时，左边＝(k＋2)(k＋3)…(2k＋2)＝2(k＋1)(k＋2)…(2k)(2k＋1)，故选B.答案 B9．分析下述证明2＋4＋…＋2n＝n2＋n＋1(n∈N＋)的过程中的错误：证明假设当n＝k(k∈N＋)时等式成立，即2＋4＋…＋2k＝k2＋k＋1，那么2＋4＋…＋2k＋2(k＋1)＝k2＋k＋1＋2(k＋1)＝(k＋1)2＋(k＋1)＋1，即当n＝k＋1时等式也成立．因此对于任何n∈N＋等式都成立．__________________.答案缺少步骤归纳奠基，实际上当n＝1时等式不成立10．用数学归纳法证明(1＋1)(2＋2)(3＋3)…(n＋n)＝2n－1·(n2＋n)时，从n＝k到n ＝k＋1左边需要添加的因式是________．解析当n＝k时，左端为：(1＋1)(2＋2)…(k＋k)，当n ＝k ＋1时，左端为：(1＋1)(2＋2)…(k ＋k )(k ＋1＋k ＋1)， 由k 到k ＋1需添加的因式为：(2k ＋2)． 答案 2k ＋2 11．用数学归纳法证明12＋22＋…＋n 2＝n (n ＋1)(2n ＋1)6(n ∈N *)．证明 (1)当n ＝1时，左边＝12＝1， 右边＝1×(1＋1)×(2×1＋1)6＝1，等式成立．(2)假设当n ＝k (k ∈N *)时等式成立，即 12＋22＋…＋k 2＝k (k ＋1)(2k ＋1)6那么，12＋22＋…＋k 2＋(k ＋1)2 ＝k (k ＋1)(2k ＋1)6＋(k ＋1)2＝k (k ＋1)(2k ＋1)＋6(k ＋1)26＝(k ＋1)(2k 2＋7k ＋6)6＝(k ＋1)(k ＋2)(2k ＋3)6＝(k ＋1)[(k ＋1)＋1][2(k ＋1)＋1]6，即当n ＝k ＋1时等式也成立．根据(1)和(2)，可知等式对任何n ∈N *都成立．12．(创新拓展)已知正数数列{a n }(n ∈N *)中，前n 项和为S n ，且2S n ＝a n ＋1a n ，用数学归纳法证明：a n ＝n －n －1. 证明 (1)当n ＝1时．a 1＝S 1＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫a 1＋1a 1，∴a 21＝1(a n >0)，∴a 1＝1，又1－0＝1， ∴n ＝1时，结论成立．(2)假设n ＝k (k ∈N *)时，结论成立， 即a k ＝k －k －1. 当n ＝k ＋1时， a k ＋1＝S k ＋1－S k＝12⎝⎛⎭⎪⎫a k ＋1＋1a k ＋1－12⎝ ⎛⎭⎪⎫a k ＋1a k ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫a k ＋1＋1a k ＋1－12⎝⎛⎭⎪⎫k －k －1＋1k －k －1 ＝12⎝⎛⎭⎪⎫a k ＋1＋1a k ＋1－k∴a 2k ＋1＋2k a k ＋1－1＝0，解得a k ＋1＝k ＋1－k (a n >0)， ∴n ＝k ＋1时，结论成立．由(1)(2)可知，对n ∈N *都有a n ＝n －n －1.。

高二数学归纳法练习题一、选择题从A、B、C、D四个选项中选出一个正确答案。

1. 使用归纳法证明命题“对任意正整数n，当n为偶数时，2n一定是偶数”，需要进行的推理基础是：A. 列举B. 逆否命题C. 数学归纳法D. 反证法2. 已知正整数序列An满足An = An-1 + n，若A1 = 3，则A3的值为：A. 6B. 8C. 9D. 113. 使用归纳法证明命题“对任意自然数n，2^n + 1能被3整除”，需要证明的基础命题是：A. 2^1 + 1能被3整除B. 2^n能被3整除C. 2^2 + 1能被3整除D. 2^n + 1能被3整除4. 已知定义在非负整数上的函数f(n)满足f(0) = 0，且对任意非负整数n，f(n+1) = f(n) + 2n + 1。

则f(3)的值为：A. 6B. 8C. 9D. 115. 使用数学归纳法证明命题“对任意正整数n，2^n - 1能被7整除”，需要进行的推理基础是：A. 2^1 - 1能被7整除B. 2^n能被7整除C. 2^2 - 1能被7整除D. 2^n - 1能被7整除二、解答题请根据所给条件，使用归纳法完成下列问题的证明。

1. 对任意正整数n，证明下列命题成立：1 + 2 + 3 + ... + n = n(n+1)/2。

2. 已知正整数序列Bn满足Bn = Bn-1 + 2n - 1，且B1 = 1，证明Bn = n^2。

3. 对任意正整数n，证明下列命题成立：1^3 + 2^3 + 3^3 + ... + n^3= ((n(n+1))/2)^2。

4. 已知定义在非负整数上的函数g(n)满足g(0) = 1，且对任意非负整数n，g(n+1) = g(n) + 3n + 1。

证明g(n) = (n+1)^2。

5. 对任意正整数n，证明下列命题成立：1^2 + 2^2 + 3^2 + ... + n^2= (n(n+1)(2n+1))/6。

三、应用题根据所给条件，使用归纳法解决下列问题。

4.4 数学归纳法(精练)【题组一 增项问题】1．(2021·全国高二课时练习)用数学归纳法证明等式(1)(2)()213(21)n n n n n n ++⋅⋅+=⋅⋅⋅⋅-()N n *∈，从k 到1k +左端需要增乘的代数式为( ) A ．21k + B ．()221k + C ．211k k ++ D ．231k k ++ 【答案】B【解析】当n k =时，左端为()()()1232k k k k +++⋅⋅⋅当1n k =+时，左端为()()()()2322122k k k k k ++⋅⋅⋅+⋅+因为()()()()()()()()23221221232221k k k k k k k k k k ⎡⎤++⋅⋅⋅+⋅+=+++⋅⋅⋅⋅+⎣⎦所以从k 到1k +左端需要增乘的代数式为()221k +，故选：B. 2．(2021·全国高二专题练习)用数学归纳法证明“1＋a ＋a 2＋…＋a 2n ＋1＝221(1)1n a a a+-≠-”．在验证n ＝1时，左端计算所得项为( ) A ．1＋a B ．1＋a ＋a 2 C ．1＋a ＋a 2＋a 3D ．1＋a ＋a 2＋a 3＋a 4【答案】C【解析】由21n a +知，当1n =时，等式的左边是231a a a +++.故选：C.3．(2021·全国)用数学归纳法证明“当n 为正奇数时，n n x y +能被x y +整除”时，第二步归纳假设应写成( )A ．假设当()*21n k k N=+∈时成立，再推出当23n k =+时成立B ．假设当()*21n k k N =-∈时成立，再推出当21n k =+时成立C ．假设当()*n k k N =∈时成立，再推出当1n k =+时成立D ．假设当()1n k k =≥时成立，再推出当2n k =+时成立 【答案】B【解析】第二步假设当()*21n k k =-∈N 时成立，再推出当()21121n k k =+-=+时成立.故选：B.4．(2021·全国高二课时练习)用数学归纳法证明()1111N ,22321nn n n *++++<∈≥-时，第一步需要验证的不等式是( ) A ．1122+< B ．111223++<C ．111323++<D ．11113234+++<【答案】B【解析】因为2n ≥，由数学归纳法可知：第一步需要证明2n =时该不等式成立， 所以第一步需要验证的不等式是111223++<，故选：B.5．(2021·全国高二课时练习)用数学归纳法证明：首项是a 1，公差是d 的等差数列的前n 项和公式是S n ＝na 1＋(1)2n n -d 时，假设当n ＝k 时，公式成立，则S k ＝( ) A ．a 1＋(k －1)d B ．1()2k k a a + C ．ka 1＋(1)2k k -d D ．(k ＋1)a 1＋(1)2k k + d 【答案】C【解析】假设当n ＝k 时，公式成立，只需把公式中的n 换成k 即可，即S k ＝ka 1＋(1)2k k -d . 故选: C6(2021·杭州市实验外国语学校高中部高二期中)用数学归纳法证明：11112321n n ++++<-，(*,1)n n ∈>N 时，在第二步证明从n k =到1n k =+成立时，左边增加的项数是( ) A ．2k B ．21k - C ．12k - D ．21k +【答案】A【解析】从n k =到1n k =+成立时，左边增加的项为1111,,,22121k k k ++-，因此增加的项数是121212k k k +--+=，故选A .7．(2021·全国)用数学归纳法证明：()()()()1121321126n n n n n n n ⨯+⨯-+⨯-++⨯=++，当n k =时，左式为()f k ，当1n k =+时，左式为()1f k +，则()()1f k f k +-应该是( )A ．()11k ⨯+B ．()1231k +++++C ．123k ++++D ．()2k k ⨯-【答案】B【解析】由题意，()12(1)3(2)4(3)...1=⋅+-+-+-++⋅f k k k k k k ，()11(1)23(1)4(2)...2(1)1+=⋅+++-+-++⋅++⋅f k k k k k k k ，所以()()11[(1)]2[(1)]3[(1)(2)]4[(2)(3)]...(21)(1)1+-=⋅+-+⋅--+⋅---+⋅---++⋅-++⋅f k f k k k k k k k k k k k 123...(1)=++++++k k .故选：B.8．(2021·陕西省黄陵县中学高二月考(理))用数学归纳法证明“1111(2)2321n n n ++++<≥-”时，由n k =的假设证明1n k =+时，不等式左边需增加的项数为( ) A ．12k - B ．21k -C ．2kD ．21k +【答案】C【解析】当n k =时，左边11112321k =++++-， 当1n k =+时，左边11111111123212222121k k k k k ++=+++++++++-+-，所以左边增加111112212221k k k k +++++++-分母是连续的正整数所以共增加了1(21)212222k k k k k +--+=⨯-=项所以n k =的假设证明1n k =+时，不等式左边需增加的项数为2k 故选：C9．(2021·全国)用数学归纳法证明1＋a ＋a 2＋…＋a n ＝1n(a ≠1，n ∈N *)，在验证n ＝1时，左边计算所得的式子是( ) A ．1 B ．1＋a C ．1＋a ＋a 2D ．1＋a ＋a 2＋a 3 【答案】B【解析】当n ＝1时，左边计算得出1a +故选：B10．(2021·河南信阳高中高二月考(理))用数学归纳法证明242123,2n n n n N *++++⋅⋅⋅+=∈，则当1n k =+时，左端应在n k =的基础上加上( ) A ．21k +B ．()21k +C ．()()()222121k k k +++⋅⋅⋅++D ．()()24112k k +++【答案】C【解析】当n k =时，等式左端为2123k +++⋅⋅⋅+，当1n k =+时，等式左端为()()()2222123121k k k k +++⋅⋅⋅++++++⋅⋅⋅++，∴左端应在n k =的基础上加上()()()222121k k k ++++⋅⋅⋅++.故选：C.11(2021·全国高二课时练习)用数学归纳法证明1+2+3+…+(2n+1)=(n+1)(2n+1)时，从“n=k ”到“n=k+1”，左边需增添的代数式是( ) A ．(2k+1)+(2k+2) B ．(2k-1)+(2k+1) C ．(2k+2)+(2k+3) D ．(2k+2)+(2k+4)【答案】C【解析】当n=k 时，左边是共有2k+1个连续自然数相加，即1+2+3+…+(2k+1)， 所以当n=k+1时，左边共有2k+3个连续自然数相加， 即1+2+3+…+(2k+1)+(2k+2)+(2k+3). 所以左边需增添的代数式是(2k+2)+(2k+3). 故选：C12．(2021·全国高二课时练习)用数学归纳法证明242123()2n n n n N *+++++=∈，则当1n k =+时，等式左边应该在n k =的基础上加上( ) A ．21k + B ．2(1)k +C ．2(2)k +D ．222(1)(2)(1)k k k ++++++【答案】D【解析】当n =k 时，等式左端2123k =++++，当n =k+1时，等式左端2123k =+++++222(1)(2)(1)k k k ++++++，增加了项222(1)(2)(1)k k k ++++++．故选：D ．13．(2021·全国)用数学归纳法证明下列等式：()()()()()()()()122135712112112312nn n n n n n n +++-+-++⋯+--+-++-+=-+．要验证当1n =时等式成立，其左边的式子应为( ) A ．1- B ．13-+ C ．135-+- D ．1357-+-+【答案】C 【解析】由题意，当1n =时， 左边1213(1)(213)+=-+++-⨯+135=-+-故选：C14．(2021·全国高二课时练习)用数学归纳法证明不等式11111123422n n-++++>-(*,2n N n ∈≥)时，以下说法正确的是( )A ．第一步应该验证当1n =时不等式成立B ．从“n k =到1n k =+”左边需要增加的代数式是12kC ．从“n k =到1n k =+”左边需要增加2k 项D ．从“n k =到1n k =+”左边需要增加的代数式是1111121222k k k--+++++ 【答案】D【解析】第一步应该验证当2n =时不等式成立，所以A 不正确； 因为11111111111111()2342234221222k k k k k---++++-++++=++++， 所以从“n k =到1n k =+”左边需要增加的代数式是1111121222k k k--+++++，所以B 不正确； 所以从“n k =到1n k =+”左边需要增加12k -项，所以C 不正确. 故选:D.【题组二 等式的证明】1．(2021·全国高二课时练习)用数学归纳法证明：22212(1)1335(21)(21)2(21)n n n n n n ++++=⨯⨯-++． 【答案】见解析【解析】(1)当1n =时，左边=211133=⨯，右边=213213⨯⨯=，等式成立， (2)假设当n k =时，等式成立，即22121335+⨯⨯＋…＋()()22121k k k -+＝()()1221k k k ++， 当1n k =+时，22121335+⨯⨯＋…＋()()22121k k k -++()()()221123k k k +++ ()()()()()2121212123k k k k k k ++++=++1121223k k k k k ++⎛⎫=+ ⎪++⎝⎭()()()221121223k k k k k +++=⋅++ ()()()1112211k k k +++⎡⎤⎣⎦=++⎡⎤⎣⎦，即当1n k =+时等式也成立.，由(1)(2)可知：等式对任何*n N ∈都成立， 故22212(1)1335(21)(21)2(21)n n n n n n ++++=⨯⨯-++. 2．(2021·全国)用数学归纳法证明： (1)()213521n n +++⋯+-=；(2)21122221n n -++++=-；(3)233331123(1)2n n n ⎡⎤++++=+⎢⎥⎣⎦．【答案】(1)证明见解析；(2) 证明见解析；(3) 证明见解析. 【解析】(1)当1n =时，等式左边1=，右边1=，所以等式成立； 假设n k =时等式成立，即()213521k k +++⋯+-=，则当1n k =+时，()()()()221352121211k k k k k +++⋯+-+++==++， 故1n k =+时等式成立，综上可知，等式()213521n n +++⋯+-=成立.(2) 当1n =时，等式左边1=，右边1=，所以等式成立； 假设n k =时等式成立，即21122221k k -++++=-，则当1n k =+时，()1121222221222211k k k k k k +-++++=-=⨯-=++-，故1n k =+时等式成立， 综上可知，等式21122221n n -++++=-成立.(3) 当1n =时，等式左边1=，右边1=，所以等式成立； 假设n k =时等式成立，即233331123(1)2k k k ⎡⎤++++=+⎢⎥⎣⎦，则当1n k =+时，()()()2333333221123111(1)1124k k k k k k k k ⎡⎤+++++=+++⎢⎛⎫++=++⎣⎪⎦ ⎝⎥⎭()()()()()22222111111212222k k k k k k ⎛⎫++++++ ⎪⎡⎤⎡⎤===⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎝⎭ ，故1n k =+时等式成立， 综上可知，等式233331123(1)2n n n ⎡⎤++++=+⎢⎥⎣⎦成立.【题组三 不等式的证明】1．(2021·全国高二课时练习)证明：不等式()*11111123422n n n N -+++++>∈，恒成立. 【答案】证明见解析. 【解析】当1n =时，112>成立 假设n k =时，不等式11111123422k k-++++⋯+>成立那么1n k =+时111111111111112342212222212k k k k k kk ----++++⋯+++++>++++++ 111212k k ->+，111222k k ->+，，1122k k=11111111111211234221222222k k k k k k k k ----+∴++++⋯+++++>+=++ 即1n k =+时，该不等式也成立综上：不等式()*11111123422n n n N -++++⋯+>∈，恒成立.2(2021·全国高三专题练习)证明：对于一切自然数1n ≥都有222n n +>.【答案】证明见解析【解析】(1)当1n =时，1222411+=>=，成立； 当2n =时，2222624+=>=，成立； 当3n =时，32221039+=>=，成立.(2)假设当(3,)n k k k =≥∈N 时不等式成立，即222k k +>，222k k >-， 当1n k =+时，()12222(1)22221k k k k k ++-+=⋅+-++()()2222222123(3)(1)k k k k k k k >-+-++=--=-+.因为3k ≥，即(3)(1)0k k -+≥， 所以1222(1)0k k ++-+>，即当1n k =+时，1222(1)k k ++>+时仍成立. 由(1)(2)所述，原不等式得证.3．(2021·全国高三专题练习)证明不等式1(n ∈N *)．【答案】证明见解析【解析】当n ＝1时，左边＝1，右边＝2，左边<右边，不等式成立．假设当n ＝k (k ∈N *)时，不等式成立，即1< 当n ＝k ＋1时，1+<==所以当n ＝k ＋1时，不等式成立． 综上，原不等式对任意n ∈N *都成立．4．(2021·全国高二课时练习)用数学归纳法证明：1111123421++++⋯+≤-nn . 【答案】证明见解析；【解析】(1)当1n =时，左边1=，右边1=，不等式成立.(2)假设当n k =，*k N ∈时，不等式成立，即有1111123421kk ++++⋯+≤-，则当1n k =+时，左边=1111123421k ++++⋯+-112111221k k k ++⋯+++-+ k ≤+111122121k k k +++⋯++-， 又111122121k k k +++⋯++-1212k k <⋅= 即1111123421k ++++⋯+-112111221k k k ++⋯+++-+1k ≤+， 即当1n k =+时，不等式也成立.综上可得，对于任意*n N ∈，1111123421++++⋯+≤-nn 成立. 5．(2021·全国高二课时练习)试用数学归纳法证明2221111123(1)22n n ++⋯+>-++. 【答案】证明见解析【解析】(1)当1n =时，左边＝14，右边＝16，不等式成立；(2)假设当()*n k k N =∈时，原不等式成立，即2221111123(1)22k k ++⋯+>-++，当1n k =+时，22222111111123(1)(2)22(2)k k k k ++⋯++>-+++++ ∵()222111111111022(2)2332(2)3(2)k k k k k k k k ⎛⎫-+--=-+=> ⎪++++++++⎝⎭ ∴21111122(2)23k k k -+>-+++．即222211111123(1)(2)23k k k ++⋯++>-+++， 所以，当1n k =+时，不等式也成立．根据(1)和(2)可知，不等式对任意正整数都成立，故原不等式成立． 6．(2021·全国高二课时练习)用数学归纳法证明1＋2n ≤1＋111232n +++≤12＋n (n ∈N *)． 【答案】见解析【解析】(1)当n ＝1时，≤1＋≤，命题成立．(2)假设当n ＝k (k ∈N *)时命题成立，即1＋≤1＋＋＋…＋≤＋k ， 则当n ＝k ＋1时， 1＋＋＋…＋＋＋＋…＋＞1＋＋2k ·＝1＋.又1＋＋＋…＋＋＋＋…＋＜＋k ＋2k ·＝＋(k ＋1)，即n ＝k ＋1时，命题成立．由(1)和(2)可知，命题对所有n ∈N *都成立．【题组四 数列的证明】1．(2021·全国高二课时练习)已知数列{a n }满足：11a =，点*1(,)()n n a a n N +∈在直线21y x =+上．(1)求234,,a a a 的值，并猜想数列{a n }的通项公式； (2)用数学归纳法证明(1)中你的猜想．【答案】(1)23a =，37a =，415a =；21nn a =-；(2)证明见解析.【解析】(1)点*1(,)()n n a a n N +∈在直线21y x =+上可知，数列{}n a 满足： 121n n a a +=+，11a =，2343,7,15a a a ∴===．可猜得21n n a =-．(2)当1n =时，1211a =-=成立，假设当(1,)n k k k N =≥∈时，21kk a =-成立，则当1n k =+时，11212(21)121k k k k a a ++=+=-+=-成立，就是说*n N ∈，猜想正确；综上，21nn a =-．2(2021·河北曹妃甸一中高二期中)已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，其中(21)n n S a n n =-且113a =.(1)求23,a a ；(2)猜想数列{}n a 的通项公式，并证明．【答案】(1)2115a =，3135a =，；(2)猜想1(21)(21)n a n n =-+，证明见解析.【解析】(1)由题意，数列{}n a 满足(21)n n S a n n =-，且113a =，可得21222(221)6S a a a +==⋅⨯-， 即2111515a a ==，又由312333(231)15S a a a a ++==⨯⨯-，可得31261415a a a =+=，可得3135a =. (2)由113a =，2115a =，31,35a =，猜想：1(21)(21)n a n n =-+，证明：当1n =时，由(1)可知等式成立； 假设n k =时，猜想成立，即1(21)(21)k a k k =-+，当1n k =+时，由题设可得11,(21)(1)(21)k k k k S S a a k k k k ++==-++， 所以1(21)(21)(21)(21)21k k k S k k a k k k k k -=-⋅=-++=， ()()11121k k S k k a ++=++， 又由111(1)(21)21k k k k k a S S k k a k +++=-=++-+，所以1(23)21k k k k a k ++=+， 所以()()()()1112123211211k a k k k k +==++⎡⎤⎡⎤+-++⎣⎦⎣⎦， 即当1n k =+时，命题也成立， 综上可得，命题1(21)(21)n a n n =-+对任意n *∈N 都成立. 3．(2021·安徽金安·六安一中高二月考(理))已知数列{}n a 的前n 项和n S ，满足1122n n n a S a =+-，且0n a >． (1)求1a 、2a 、3a ；(2)猜思{}n a 的通项公式，并用数学归纳法证明．【答案】(1)11a =，2a =32a =(2)猜想n a n *∈N ，证明见解析．【解析】(1)对任意的n *∈N ，1122n n n a S a =+-，且0n a >． 当1n =时，11111122a a S a ==+-，整理得211210a a +-=，且0n a >，所以11a ； 当2n =时，221221122a S a a a =+=+-，整理得22210a +-=，且0n a >，所以2a = 当3n =时，3312331122a S a a a a =++=+-，整理得23310a +-=，且0n a >，所以32a = (2)由(1)猜想n a n *∈N ，下面用数学归纳法加以证明：①当1n =时，由(1)知11a 成立；②假设当()n k k *=∈N时，k a = 当1n k =+时，11111111111222222k k k k k k k k k a a a a S S a a a ++++++⎛⎫⎛⎫=-=+--+-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以21110k k a +++-=，且10k a +>，所以1k a +=1n k =+时猜想也成立．综上可知，猜想对一切n *∈N 都成立．4．(2021·全国高二课时练习)已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，214a =，且()1*1122n n n a S n N n -⎛⎫=+-∈ ⎪⎝⎭. (1)求12S 、24S 、38S ； (2)由(1)猜想数列2n n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的通项公式，并用数学归纳法证明. 【答案】(1)112S =，244S =，398S =；(2)()2*2n n S n n N =∈，证明见解析. 【解析】(1)()1*1122n n n a S n n -⎛⎫=+-∈ ⎪⎝⎭N ， 当1n =时，1111112a S S ⎛⎫==+- ⎪⎝⎭，解得12S =，即有112S =； 当2n =时，22121121422a S S S ⎛⎫=-=+-= ⎪⎝⎭，解得216S =，则244S =； 当3n =时，2332311223a S S S ⎛⎫=-=+- ⎪⎝⎭，解得372S =，则398S =； (2)由(1)猜想可得数列2n n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的通项公式为()2*2n n S n n =∈N . 下面运用数学归纳法证明.①当1n =时，由(1)可得112S =成立； ②假设()*n k k N =∈，22k k S k =成立， 当1n k =+时，1111111221k k k k k a S S S k +-+++⎛⎫=-=+- ⎪+⎝⎭， 即有()221112221221k k k k k k S S k k k +⎛⎫-=-=-=-⋅ ⎪+⎝⎭⋅， 则()()()1111221k k k S k k k +-=+-⋅+， 当1k =时，上式显然成立；当1k >时，()()221121212k k k S k k ++=+⋅=+⋅，即()21112k k S k ++=+， 则当1n k =+时，结论也成立.由①②可得对一切*n ∈N ，22n n S n =成立. 5．(2021·全国)猜想满足1a a =，1121n n n a a a ++-=的数列{}n a 的通项公式，并用数学归纳法证明你的结论．【答案】1(2)(1)n n n aa n n a ---=--，证明见解析【解析】由1121n n n a a a ++-=可得112n na a +=-， 得211122a a a ==--， 32112123222a a a a a-===----，4311322243232a a a a a a -===-----． 推测1(2)(1)n n n aa n n a ---=--．下面用数学归纳法证明：①当1n =时，左边1a a ==， 右边11(12)1(11)a a a ---==--，结论成立．②假设(*)n k n N =∈时等式成立， 有1(2)(1)k k k a a k k a ---=--，则当1n k =+时，111(1)1(2)212(1)k k k k a a k k a a k ka k k a +--===----+----故当1n k =+时，结论也成立．由①②可知，对任何*n N ∈都有1(2)(1)n n n a a n n a ---=--．【题组五 整除问题】1．(2021·陕西渭滨·(理))用数学归纳法证明：对任意正整数,4151n n n +-能被9整除．【答案】见解析【解析】证明：(1)当1n =时，4151n n +-18=，能被9整除，故当1n =时， 4151n n +-能被9整除．(2)假设当n k =时，命题成立，即4151k k +-能被9整除，则当1n k =+时，()1415(1)1441519(52)k k k k k +++-=+---也能被9整除.综合(1)(2)可得, 对任意正整数,4151n n n +-能被9整除．2．(2021·陕西碑林·西北工业大学附属中学高二月考(理))用数学归纳法证明：()21243n n n N ++++∈能被13整除．【答案】证明见解析.【解析】当1n =时，3343642791+=+=，又13791⨯=，∴()21243n n n N ++++∈能被13整除； 假设当n k =时，21243k k +++能被13整除，即()2124133k k m m N +++=∈+，那么当1n k =+时，21123321111643314364163133k k k k k k k +++++++=⨯+⨯=⨯+⨯-⨯+()()2111111643133161313313163k k k k k m m +++++=⨯+-⨯=⨯-⨯=-能被13整除；综上所述：()21243n n n N ++++∈能被13整除.3(2021·河南高二月考(理))用两种方法证明：()33*278n n n +--∈N 能被49整除．【答案】证明见解析. 【解析】证明：方法一：331278878n n n n ++--=--01112111111C 7C 7C 7C 7C 78n n nn n n n n n n n +-++++++=+++++--01112111C 7C 7C 77(1)178n n nn n n n n +-+++=++++++--()0111201121111111C 7C 7C 7C 7C 7C 49n n n n n n n n n n n n +----+++--+=+++=+++⨯因为01121111C 7C 7C n n nn n n ---++++++为整数，所以33278n n +--能被49整除．方法二：(1)当1n =时，33278641549n n +--=-=，能被49整除．(2)假设当(1)n k k =≥，33278k k +--能被49整除，那么，当(1)1n k k =+≥，()3(1)33333327(1)822715827849(1)k k k k k k k ++++-+-=⨯--=--++． 因为33278k k +--能被49整除，()491k +也能被49整除，所以()313)2718k k <++-+-能被49整除，即当(1)1n k k =+≥时命题成立，由(1)(2)知，()33*278n n n +--∈N 能被49整除．4．(2020·上海高二课时练习)求证：对于自然数*212,43n n n N ++∈+能被13整除.【答案】证明见解析；【解析】当1n =时，3343642791+=+=，91能被13整除.假设当*,n k n N =∈时结论成立，即21243k k +++能被13整除.则当1n k =+时，()21222122121114433444333k k k k k k ++++++++=⋅+⋅-⋅+⋅+()21221443331k k k +++=+⋅+⋅，由于21243k k +++能被13整除，所以()2111243k k +++++能被13整除. 所以当1n k =+时，结论成立.综上所述，对于自然数*212,43n n n N ++∈+能被13整除.5．(2022·上海高三专题练习)求证：当*n ∈N ，且2n 时，1(1)--+-n n n a nab n b 能被2()a b -整除.【答案】证明见解析；【解析】证明：当2n =时，原式为2222()a ab b a b -+=-，显然能被2()a b -整除，假设当(2)n k k =时1(1)k k k a kab k b --+-能被2()a b -整除，设上式除以2()a b -所得的商为r ，则12(1)()k k k a kab k b r a b --+-=-12(1)()k k k a kab k b r a b -∴=--+-1212(1)()k k k a ka b k ab r a b a +-∴=--+-因而11(1)k k k a k ab kb ++-++2121(1)()(1)k k k k ka b k ab r a b a k ab kb ++=--+--++122()()k kb a b r a b a -=-+-12()()k ra kb a b -=+-，∴当1n k =+时命题成立，∴当*n N ∈，且2n 时，1(1)--+-n n n a nab n b 能被2()a b -整除．6．(2022·上海高三专题练习)证明(31)71+-n n 能被9整除()*n ∈N .【答案】证明见解析；【解析】证明(1)当1n =时，(31)71(31)7127+-=+⨯-=n n 是9的倍数.命题成立.(2)假设当n k =时，命题成立，即(31)71+-k k 能被9整除.那么当1n k =+时，1[3(1)1]71(2128)71+++-=+⋅-k k k k(31)71(1827)7=+⋅-++⋅k k k k由假设(31)71k k +⋅-能被9整除，(1827)7(23)79k k k k =+⋅+⋅⋅能被9整除.所以(31)71(1827)7k k k k +⋅-++⋅能被9整除.即1n k =+是命题也成立.(3)根据(1)，(2)可知()3171n n +-能被9整除.7．(2021·全国高二课时练习)用数学归纳法证明：1211112n n +-+能被133整除 ()*n N∈．【答案】见解析 【解析】证明： ①当1n =时，121211*********n n +-+=+=能被133整除，所以 1n =时结论成立，． ②假设当()*n k k N =∈时，1211112k k +-+能被133整除，那么当1n k =+时， 2211212111211111212k k k k +++-+=⨯+⨯121212121111121112111212k k k k +---=⨯+⨯-⨯+⨯()1212111111213312k k k +--=⨯++⨯．由归纳假设可知()1212111111213312k k k +--⨯++⨯能被133整除，即 2211112k k +++能被133整除．所以1n k =+时结论也成立综上，由①②得，1211112n n +-+能被133整除.。