2数学归纳法-拔高难度-习题

数学归纳法〔2021.4.21〕一、用数学归纳法证明与正整数有关命题步骤是：〔1〕证明当n 取第一个值0n 〔如01n =或2等〕时结论正确； 〔2〕假设当0(N ,)n k k k n *=∈≥ 时结论正确，证明1n k =+时结论也正确． 综合〔1〕、〔2〕，……留意：数学归纳法运用要点： 两步骤,一结论。

二、题型归纳：题型1.证明代数恒等式例1．用数学归纳法证明：()()1212121751531311+=+-++⨯+⨯+⨯n n n n 证明：①n =1时，左边31311=⨯=，右边31121=+=，左边=右边，等式成立． ②假设n =k 时，等式成立，即：()()1212121751531311+=+-++⨯+⨯+⨯k k k k ． 当n =k +1时．()()()()3212112121751531311++++-++⨯+⨯+⨯k k k k ()()3212112++++=k k k k ()()()()()()321211232121322++++=++++=k k k k k k k k ()1121321+++=++=k k k k 这就说明，当n =k +1时，等式亦成立，由①、②可知，对一切自然数n 等式成立．题型2.证明不等式例2．证明不等式n n 2131211<++++ (n ∈N)．证明：①当n =1时，左边=1，右边=2．左边<右边，不等式成立．②假设n =k 时，不等式成立，即k k 2131211<++++．那么当n =k +1时， 11131211++++++k k1112112+++=++<k k k k k ()()12112111+=++=++++<k k k k k k这就是说，当n =k +1时，不等式成立．由①、②可知，原不等式对随意自然数n 都成立．说明：这里要留意，当n =k +1时，要证目的是1211131211+<++++++k k k ，当代入归纳假设后，就是要证明： 12112+<++k k k ．相识了这个目的，于是就可朝这个目的证下去，并进展有关变形，到达这个目的．题型3.证明数列问题例3 (x ＋1)n ＝a 0＋a 1(x －1)＋a 2(x －1)2＋a 3(x －1)3＋…＋a n (x －1)n (n ≥2，n ∈N *)．(1)当n ＝5时，求a 0＋a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5值．(2)设b n ＝a 22n －3，T n ＝b 2＋b 3＋b 4＋…＋b n .试用数学归纳法证明：当n ≥2时，T n ＝n (n ＋1)(n －1)3. 解： (1)当n ＝5时，原等式变为(x ＋1)5＝a 0＋a 1(x －1)＋a 2(x －1)2＋a 3(x －1)3＋a 4(x －1)4＋a 5(x －1)5令x ＝2得a 0＋a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5＝35＝243.(2)因为(x ＋1)n ＝[2＋(x －1)]n ，所以a 2＝C n 2·2n －2b n ＝a 22n －3＝2C n 2＝n (n －1)(n ≥2) ①当n ＝2时．左边＝T 2＝b 2＝2，右边＝2(2＋1)(2－1)3＝2，左边＝右边，等式成立． ②假设当n ＝k (k ≥2，k ∈N *)时，等式成立，即T k ＝k (k ＋1)(k －1)3成立 那么，当n ＝k ＋1时，左边＝T k ＋b k ＋1＝k (k ＋1)(k －1)3＋(k ＋1)[(k ＋1)－1]＝k (k ＋1)(k －1)3＋k (k ＋1) ＝k (k ＋1)⎝⎛⎭⎫k －13＋1＝k (k ＋1)(k ＋2)3 ＝(k ＋1)[(k ＋1)＋1][(k ＋1)－1]3＝右边． 故当n ＝k ＋1时，等式成立．综上①②，当n ≥2时，T n ＝n (n ＋1)(n －1)3.。

例1．用数学归纳法证明：()()1212121751531311+=+-++⨯+⨯+⨯n n n n ． 请读者分析下面的证法：证明：①n =1时，左边31311=⨯=，右边31121=+=，左边=右边，等式成立． ②假设n =k 时，等式成立，即：()()1212121751531311+=+-++⨯+⨯+⨯k k k k ． 那么当n =k +1时，有：()()()()3212112121751531311++++-++⨯+⨯+⨯k k k k ⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+-++⎪⎭⎫ ⎝⎛+--++⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=3211211211217151513131121k k k k 322221321121++⋅=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=k k k ()1121321+++=++=k k k k 这就是说，当n =k +1时，等式亦成立．由①、②可知，对一切自然数n 等式成立．评述：上面用数学归纳法进行证明的方法是错误的，这是一种假证，假就假在没有利用归纳假设n =k 这一步，当n =k +1时，而是用拆项法推出来的，这样归纳假设起到作用，不符合数学归纳法的要求．正确方法是：当n =k +1时．()()()()3212112121751531311++++-++⨯+⨯+⨯k k k k ()()3212112++++=k k k k ()()()()()()321211232121322++++=++++=k k k k k k k k()1121321+++=++=k k k k 这就说明，当n =k +1时，等式亦成立，例2．是否存在一个等差数列{a n }，使得对任何自然数n ，等式：a 1+2a 2+3a 3+…+na n =n (n +1)(n +2)都成立，并证明你的结论．分析：采用由特殊到一般的思维方法，先令n =1，2，3时找出来{a n }，然后再证明一般性． 解：将n =1，2，3分别代入等式得方程组．⎪⎩⎪⎨⎧=++=+=60322426321211a a a a a a ， 解得a 1=6，a 2=9，a 3=12，则d =3．故存在一个等差数列a n =3n +3，当n =1，2，3时，已知等式成立．下面用数学归纳法证明存在一个等差数列a n =3n +3，对大于3的自然数，等式a 1+2a 2+3a 3+…+na n =n (n +1)(n +2)都成立．因为起始值已证，可证第二步骤．假设n =k 时，等式成立，即a 1+2a 2+3a 3+…+ka k =k (k +1)(k +2)那么当n =k +1时，a 1+2a 2+3a 3+…+ka k +(k +1)a k +1= k (k +1)(k +2)+ (k +1)[3(k +1)+3]=(k +1)(k 2+2k +3k +6)=(k +1)(k +2)(k +3)=(k +1)[(k +1)+1][(k +1)+2]这就是说，当n =k +1时，也存在一个等差数列a n =3n +3使a 1+2a 2+3a 3+…+na n =n (n +1)(n +2)成立． 综合上述，可知存在一个等差数列a n =3n +3，对任何自然数n ，等式a 1+2a 2+3a 3+…+na n =n (n +1)(n +2)都成立．例3．证明不等式n n 2131211<++++ (n ∈N)．证明：①当n =1时，左边=1，右边=2．左边<右边，不等式成立．②假设n =k 时，不等式成立，即k k 2131211<++++ ．那么当n =k +1时，11131211++++++k k1112112+++=++<k k k k k ()()12112111+=++=++++<k k k k k k这就是说，当n =k +1时，不等式成立．由①、②可知，原不等式对任意自然数n 都成立．说明：这里要注意，当n =k +1时，要证的目标是1211131211+<++++++k k k ，当代入归纳假设后，就是要证明： 12112+<++k k k ．认识了这个目标，于是就可朝这个目标证下去，并进行有关的变形，达到这个目标．例4．已知数列{a n }满足a 1=0，a 2=1，当n ∈N 时，a n +2=a n +1+a n ．求证：数列{a n }的第4m +1项(m ∈N )能被3整除．分析：本题由a n +1=a n +1+a n 求出通项公式是比较困难的，因此可考虑用数学归纳法．①当m =1时，a 4m +1=a 5=a 4+a 3=(a 3+a 2)+(a 2+a 1)=a 2+a 1+a 2+a 2+a 1=3，能被3整除．②当m =k 时，a 4k +1能被3整除，那么当n =k +1时，a 4(k +1)+1=a 4k +5=a 4k +4+a 4k +3=a 4k +3+a 4k +2+a 4k +2+a 4k +1=a 4k +2+a 4k +1+a 4k +2+a 4k +2+a 4k +1=3a 4k +2+2a 4k +1由假设a 4k +1能被3整除，又3a 4k +2能被3整除，故3a 4k +2+2a 4k +1能被3整除．因此，当m =k +1时，a 4(k +1)+1也能被3整除．由①、②可知，对一切自然数m ∈N ，数列{a n }中的第4m +1项都能被3整除．例5．n个半圆的圆心在同一条直线l上，这n个半圆每两个都相交，且都在直线l的同侧，问这些半圆被所有的交点最多分成多少段圆弧？分析：设这些半圆最多互相分成f (n)段圆弧，采用由特殊到一般的方法，进行猜想和论证．当n=2时，由图(1)．两个半圆交于一点，则分成4段圆弧，故f (2)=4=22．当n=3时，由图(2)．三个半径交于三点，则分成9段圆弧，故f (3)=9=32．由n=4时，由图(3)．三个半圆交于6点，则分成16段圆弧，故f (4)=16=42．由此猜想满足条件的n个半圆互相分成圆弧段有f (n)=n2．用数学归纳法证明如下：①当n=2时，上面已证．②设n=k时，f (k)=k2，那么当n=k+1时，第k+1个半圆与原k个半圆均相交，为获得最多圆弧，任意三个半圆不能交于一点，所以第k+1个半圆把原k个半圆中的每一个半圆中的一段弧分成两段弧，这样就多出k条圆弧；另外原k个半圆把第k+1个半圆分成k+1段，这样又多出了k+1段圆弧．∴ f (k+1)=k2+k+(k+1)=k2+2k+1=(k+1)2∴满足条件的k+1个半圆被所有的交点最多分成(k+1)2段圆弧．由①、②可知，满足条件的n个半圆被所有的交点最多分成n2段圆弧．说明：这里要注意；增加一个半圆时，圆弧段增加了多少条？可以从f (2)=4，f (3)=f (2)+2+3，f (4)=f (3)+3+4中发现规律：f (k+1)=f (k)+k+(k+1)．。

数学概括法（）一、用数学法明与正整数相关命的步是：（ 1）明当n取第一个n0（如 n0 1或2等）正确；（ 2）假当n k( k N , k n0 ) 正确，明n k 1也正确．合（ 1）、（ 2），⋯⋯注意：数学法使用重点：两步 ,一。

二、型：型 1.明朝数恒等式例 1．用数学概括法证明：1111n1335572n12n12n111，右侧11证明：① n=1 时，左侧，左侧 =右侧，等式建立．123313②假定 n=k 时，等式建立，即：1111k．1335572k12k12k1当n=k+1 时．111111335572k 1 2k12k12k3k12k12k12k 32k 23k12k1 k12k12k32k12k3k1k12k3 2 k11这就说明，当n=k+1 时，等式亦建立，由①、②可知，对全部自然数n 等式建立．题型 2.证明不等式例 2．明不等式111n (n∈N)．1322n明：①当 n=1 ，左 =1，右 =2．左 <右，不等式建立．②假 n=k ，不等式建立，即111k ．1322k那么当 n=k+1 ，1111 13k k 1 22k1 2 k k11 k1k1k k11 2 k12k 1k1k1就是，当n=k+1 ，不等式建立．由①、②可知，原不等式随意自然数n 都建立．明：里要注意，当n=k+1 ，要的目是1111 13k 2 k 1 ，今世入假后，就是要明：2k 11k 1 ．2 k2k1了个目，于是便可朝个目下去，并行相关的形，达到个目．题型 3.证明数列问题例3 ( x＋1) n＝a0＋a1(x－1)＋ a2(x－ 1)2＋ a3(x－ 1)3＋⋯＋ a n( x－1)n (n≥ 2， n∈ N* ) ．(1)当 n＝ 5 ，求 a0＋ a1＋ a2＋ a3＋ a4＋a5的．a2(2)b n＝2n－3， T n＝ b2＋ b3＋ b4＋⋯＋ b n.用数学法明：当n≥ 2 ， T n＝n(n＋1)(n－1).3解：(1)当 n＝ 5 ，原等式 (x＋ 1)5＝ a0＋ a1(x－ 1)＋ a2(x－ 1)2＋ a3( x－ 1)3＋a4(x－ 1)4＋ a5(x－ 1)5令 x ＝ 2 得 a 0＋ a 1＋ a 2＋ a 3＋ a 4＋ a 5＝ 35 ＝243.(2)由于 (x ＋ 1)n ＝ [2＋ (x － 1)]n ，因此 a 2＝ C n 2·2n －2b n ＝a 2＝ 2C n 2＝ n(n － 1)(n ≥ 2)2n－3① 当 n ＝ 2 时．左侧＝ T 2＝ b 2 ＝ 2，右侧＝2(2＋ 1)(2－1)＝ 2，左侧＝右侧，等式建立．3② 假定当 n ＝ k(k ≥ 2，k ∈ N * ) 时，等式建立，即T k ＝ k(k ＋ 1)(k － 1)建立3那么，当 n ＝ k ＋1 时，左侧＝ T k ＋ b k ＋ 1＝k(k ＋1)(k －1)＋(k ＋1)[( k ＋ 1)－ 1]＝k(k ＋1)(k － 1)＋ k(k ＋ 1)33＝ k(k ＋ 1)k － 1＋ 1 ＝ k(k ＋ 1)(k ＋ 2)33＝(k ＋ 1)[( k ＋1)＋ 1][( k ＋ 1)－1]＝右侧． 3故当 n ＝ k ＋ 1 时，等式建立．n( n ＋ 1)( n － 1)综上 ①② ，当 n ≥ 2 时， T n ＝.3。

数学归纳法（2016.4.21）一、用数学归纳法证明与正整数有关命题的步骤是：（1）证明当n 取第一个值0n （如01n =或2等）时结论正确；（2）假设当0(N ,)n k k k n *=∈≥ 时结论正确，证明1n k =+时结论也正确． 综合（1）、（2），……注意：数学归纳法使用要点： 两步骤,一结论。

二、题型归纳：题型1.证明代数恒等式例1．用数学归纳法证明：()()1212121751531311+=+-++⨯+⨯+⨯n n n n 证明：①n =1时，左边31311=⨯=，右边31121=+=，左边=右边，等式成立． ②假设n =k 时，等式成立，即：()()1212121751531311+=+-++⨯+⨯+⨯k k k k ． 当n =k +1时．()()()()3212112121751531311++++-++⨯+⨯+⨯k k k k ()()3212112++++=k k k k ()()()()()()321211232121322++++=++++=k k k k k k k k ()1121321+++=++=k k k k 这就说明，当n =k +1时，等式亦成立，由①、②可知，对一切自然数n 等式成立．题型2.证明不等式例2．证明不等式n n 2131211<++++ (n ∈N)．证明：①当n =1时，左边=1，右边=2．左边<右边，不等式成立．②假设n =k 时，不等式成立，即k k 2131211<++++．那么当n =k +1时， 11131211++++++k k1112112+++=++<k k k k k ()()12112111+=++=++++<k k k k k k这就是说，当n =k +1时，不等式成立．由①、②可知，原不等式对任意自然数n 都成立．说明：这里要注意，当n =k +1时，要证的目标是1211131211+<++++++k k k ，当代入归纳假设后，就是要证明： 12112+<++k k k ．认识了这个目标，于是就可朝这个目标证下去，并进行有关的变形，达到这个目标．题型3.证明数列问题例3 (x ＋1)n ＝a 0＋a 1(x －1)＋a 2(x －1)2＋a 3(x －1)3＋…＋a n (x －1)n (n ≥2，n ∈N *)．(1)当n ＝5时，求a 0＋a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5的值．(2)设b n ＝a 22n －3，T n ＝b 2＋b 3＋b 4＋…＋b n .试用数学归纳法证明：当n ≥2时，T n ＝n (n ＋1)(n －1)3. 解： (1)当n ＝5时，原等式变为(x ＋1)5＝a 0＋a 1(x －1)＋a 2(x －1)2＋a 3(x －1)3＋a 4(x －1)4＋a 5(x －1)5令x ＝2得a 0＋a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5＝35＝243.(2)因为(x ＋1)n ＝[2＋(x －1)]n ，所以a 2＝C n 2·2n －2b n ＝a 22n －3＝2C n 2＝n (n －1)(n ≥2) ①当n ＝2时．左边＝T 2＝b 2＝2，右边＝2(2＋1)(2－1)3＝2，左边＝右边，等式成立． ②假设当n ＝k (k ≥2，k ∈N *)时，等式成立，即T k ＝k (k ＋1)(k －1)3成立 那么，当n ＝k ＋1时，左边＝T k ＋b k ＋1＝k (k ＋1)(k －1)3＋(k ＋1)[(k ＋1)－1]＝k (k ＋1)(k －1)3＋k (k ＋1) ＝k (k ＋1)⎝⎛⎭⎫k －13＋1＝k (k ＋1)(k ＋2)3 ＝(k ＋1)[(k ＋1)＋1][(k ＋1)－1]3＝右边． 故当n ＝k ＋1时，等式成立．综上①②，当n ≥2时，T n ＝n (n ＋1)(n －1)3.。

高二数学数学归纳法试题答案及解析1. 用数学归纳法证明1＋2＋3＋ ＋n 2＝，则当n ＝k ＋1时左端应在n ＝k 的基础上加上( )A ．k 2＋1B ．(k ＋1)2C ．D ．(k 2＋1)＋(k 2＋2)＋ ＋(k ＋1)2【答案】D 【解析】当时，,当时，,所以时左端应在的基础上加上. 【考点】数学归纳法.2. 某地区为了绿化环境进行大面积植树造林，如图，在区域 内植树，第一棵 树在点A l （0，1），第二棵树在点．B 1（l ， l ），第三棵树在点C 1（1,0），第四棵树在点C 2（2,0），接着按图中箭头方向每隔一个单位种一棵树，那么（1）第n 棵树所在点坐标是（44,0），则n= ．（2）第2014棵树所在点的坐标是 .【答案】（1）；（2）【解析】（1）从图上可以看出：第3棵树在点，第4颗树在点，第15棵数在点，第16棵数在点，设第棵树在点，显然可以归纳出，∴；由图可知，以，为左右端点的正方形区域内共有棵树，而， ∴第2014的数应是，为左右端点的正方形区域内的依次种植的倒数第11棵树，∴第2014棵树的所在点的坐标为. 【考点】归纳推理.3. 用数学归纳法证明1＋＋＋…＋(,)，在验证成立时，左式是____．【答案】1＋＋ 【解析】当时，；所以在验证成立时，左式是.【考点】数学归纳法.4. 是否存在常数使得对一切恒成立？若存在，求出的值，并用数学归纳法证明；若不存在，说明理由. 【答案】【解析】先探求出的值，即令，解得.用数学归纳法证明时，需注意格式.第一步，先证起始项成立，第二步由归纳假设证明当n="k" 等式成立时，等式也成立.最后由两步归纳出结论.其中第二步尤其关键，需利用归纳假设进行证明，否则就不是数学归纳法.解：取和2 得解得 4分即以下用数学归纳法证明：（1）当n=1时，已证 6分（2）假设当n=k，时等式成立即 8分那么，当时有10分12分就是说，当时等式成立 13分根据（1）（2）知，存在使得任意等式都成立 15分【考点】数学归纳法5.已知，不等式，，，…，可推广为，则等于 .【答案】【解析】因为，……，所以该系列不等式，可推广为，所以当推广为时，.【考点】归纳推理.)时，该命题成立，那么可6.某个命题与正整数有关，如果当n＝k(k∈N＋推得当n＝k＋1时命题也成立．现在已知当n＝5时，该命题不成立，那么可推得( )．A．当n＝6时该命题不成立B．当n＝6时该命题成立C．当n＝4时该命题不成立D．当n＝4时该命题成立【答案】C【解析】依题意，若n＝4时该命题成立，则n＝5时该命题成立；而n＝5时该命题不成立，却无法判断n＝6时该命题成立还是不成立，故选C.7.用数学归纳法证明“当n为正奇数时，x n＋y n能被x＋y整除”的第二步是( )．A．假使n＝2k＋1时正确，再推n＝2k＋3正确B．假使n＝2k－1时正确，再推n＝2k＋1正确C．假使n＝k时正确，再推n＝k＋1正确D．假使n≤k(k≥1)，再推n＝k＋2时正确(以上k∈N＋)【答案】B【解析】因为n为正奇数，据数学归纳法证题步骤，第二步应先假设第k个正奇数也成立，本题即假设n＝2k－1正确，再推第k＋1个正奇数即n＝2k＋1正确．8.用数学归纳法证明等式时，第一步验证时，左边应取的项是A．1B．C．D．【答案】D【解析】根据题意，数学归纳法证明等式时，第一步验证时，坐标表示的为前4项的和，因为最后一项为4，且从1开始，因此可知左边为，选D.【考点】数学归纳法点评：主要是考查了数学归纳法的基本原理的运用，属于基础题。

2# 数学归纳练习题一、填空题1．平面内有n(n≥2)个圆心在同一直线l上的半圆，其中任何两个都相交，且都在直线l的同侧(如图)，则这些半圆被所有的交点最多分成的圆弧的段数为________．2．设n∈N*，则4×6n＋5n＋1除以20的余数为________．3．用数学归纳法证明“1＋2＋3＋…＋n＋…＋3＋2＋1＝n2(n∈N*)”时，从n＝k到n＝k＋1时，该式左边应添加的代数式是________．4．用数学归纳法证明“对于足够大的正整数n，总有2n>n3”时，验证第一步不等式成立所取的第一个最小值n0应当是______．5．数列{a n}中，已知a1＝2，a n＋1＝a n3a n＋1(n∈N*)，依次计算出a2，a3，a4后，归纳、猜测得出a n的表达式为________．二、解答题1．用数学归纳法证明：1－12＋13－14＋…＋12n－1－12n＝1n＋1＋1n＋2＋…＋12n.2．用数学归纳法证明不等式：1n＋1n＋1＋1n＋2＋…＋1n2＞1(n∈N*且n＞1)．2# 答案1．解析：设最多分成的圆弧的段数为f (n )，则由题图容易发现，f (2)＝4＝22，f (3)＝9＝32，f (4)＝16＝42.答案：n 22. 解析：取n ＝1，则4×6n ＋5n ＋1＝24＋25＝49，被20除余数为9.答案：93. 解析：∵当n ＝k ＋1时，左边＝1＋2＋…＋k ＋(k ＋1)＋k ＋…＋2＋1，∴从n ＝k 到n ＝k ＋1时，应添(k ＋1)＋k ＝2k ＋1.答案：2k ＋14. 解析：n ＝1时，21>13，n ＝2,3，…，9时2n <n 3，n ＝10时，210＝1 024>103，∴n 0＝10.答案：105. 解析：a 1＝2，a 2＝27，a 3＝213，a 4＝219，猜测a n ＝26n －5.答案：a n ＝26n －5解答题1．证明：(1)当n ＝1时，左边＝1－12＝12，右边＝12，命题成立． (2)假设当n ＝k 时命题成立，即1－12＋13－14＋…＋12k －1－12kF ＝1k ＋1＋1k ＋2＋…＋12k ，那么当n ＝k ＋1时，左边＝1－12＋13－14＋…＋12k －1－12k ＋12k ＋1－12k ＋2＝1k ＋1＋1k ＋2＋…＋12k ＋12k ＋1－12k ＋2＝1k ＋2＋1k ＋3＋…＋12k ＋1＋12k ＋2. 上式表明当n ＝k ＋1时命题也成立．由(1)和(2)知，命题对一切自然数均成立．2. 证明：(1)当n ＝2时，不等式的左边为12＋13＋14＝1312＞1，故n ＝2时表达式成立； (2)假设当n ＝k (k ＞1，k ∈N *)时不等式成立，即1k ＋1k ＋1＋1k ＋2＋…＋1k 2＞1 那么，当n ＝k ＋1时，由k ≥2得1k ＋1＋1k ＋2＋…＋1k 2＋1k 2＋1＋1k 2＋2＋…＋1 k ＋1 2＞1－1k ＋1k 2＋1＋…＋1k 2＋2k ＋1＞1－1k＋⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 k ＋1 2＋1 k ＋1 2＋…＋1 k ＋1 2＝1－1k ＋2k ＋1 k ＋1 2＝1＋k 2－ k ＋1 k ＋1 2 当k ≥2时，k 2－k －1＞0成立，故当n ＝k ＋1时不等式也成立根据(1)和(2)可知，当n ＞1，n ∈N *时不等式都成立．。

数学归纳法（一、用数学归纳法证明与正整数有关命题的步骤是：（1）证明当n 取第一个值0n （如01n =或2等）时结论正确；（2）假设当0(N ,)n k k k n *=∈≥ 时结论正确，证明1n k =+时结论也正确．综合（1）、（2），……注意：数学归纳法使用要点： 两步骤,一结论。

二、题型归纳：题型1.证明代数恒等式例1．用数学归纳法证明：证明：①n =1时，左边31311=⨯=，右边31121=+=，左边=右边，等式成立． ②假设n =k 时，等式成立，即：()()1212121751531311+=+-++⨯+⨯+⨯k k k k Λ． 当n =k +1时．这就说明，当n =k +1时，等式亦成立，由①、②可知，对一切自然数n 等式成立．题型2.证明不等式例2．证明不等式n n 2131211<++++Λ (n ∈N)．证明：①当n =1时，左边=1，右边=2．左边<右边，不等式成立．②假设n =k 时，不等式成立，即k k 2131211<++++Λ．那么当n =k +1时，这就是说，当n =k +1时，不等式成立．由①、②可知，原不等式对任意自然数n 都成立．说明：这里要注意，当n =k +1时，要证的目标是 1211131211+<++++++k k k Λ，当代入归纳假设后，就是要证明：12112+<++k k k ．认识了这个目标，于是就可朝这个目标证下去，并进行有关的变形，达到这个目标． 题型3.证明数列问题例3 (x ＋1)n ＝a 0＋a 1(x －1)＋a 2(x －1)2＋a 3(x －1)3＋…＋a n (x －1)n (n ≥2，n ∈N *)．(1)当n ＝5时，求a 0＋a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5的值．(2)设b n ＝a 22n －3，T n ＝b 2＋b 3＋b 4＋…＋b n .试用数学归纳法证明：当n ≥2时，T n ＝n (n ＋1)(n －1)3. 解： (1)当n ＝5时，原等式变为(x ＋1)5＝a 0＋a 1(x －1)＋a 2(x －1)2＋a 3(x －1)3＋a 4(x －1)4＋a 5(x －1)5 令x ＝2得a 0＋a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5＝35＝243.(2)因为(x ＋1)n ＝[2＋(x －1)]n ，所以a 2＝C n 2·2n －2b n ＝a 22n －3＝2C n 2＝n (n －1)(n ≥2) ①当n ＝2时．左边＝T 2＝b 2＝2，右边＝2(2＋1)(2－1)3＝2，左边＝右边，等式成立． ②假设当n ＝k (k ≥2，k ∈N *)时，等式成立，即T k ＝k (k ＋1)(k －1)3成立 那么，当n ＝k ＋1时，左边＝T k ＋b k ＋1＝k (k ＋1)(k －1)3＋(k ＋1)[(k ＋1)－1]＝k (k ＋1)(k －1)3＋k (k ＋1) ＝k (k ＋1)⎝⎛⎭⎫k －13＋1＝k (k ＋1)(k ＋2)3 ＝(k ＋1)[(k ＋1)＋1][(k ＋1)－1]3＝右边． 故当n ＝k ＋1时，等式成立．综上①②，当n ≥2时，T n ＝n (n ＋1)(n －1)3.。

选修2-2 2. 3 数学归纳法一、选择题1．用数学归纳法证明1＋12＋13＋…＋12n －1<n (n ∈N *，n >1)时，第一步应验证不等式( ) A ．1＋12<2 B ．1＋12＋13＜2 C ．1＋12＋13＜3 D ．1＋12＋13＋14＜3 [答案] B[解析] ∵n ∈N *，n ＞1，∴n 取第一个自然数为2，左端分母最大的项为122－1＝13， 2．用数学归纳法证明1＋a ＋a 2＋…＋an ＋1＝1－a n ＋21－a(n ∈N *，a ≠1)，在验证n ＝1时，左边所得的项为( ) A ．1 B ．1＋a ＋a 2 C ．1＋a D ．1＋a ＋a 2＋a 3[答案] B[解析] 因为当n ＝1时，a n ＋1＝a 2，所以此时式子左边＝1＋a ＋a 2.故应选B.3．设f (n )＝1n ＋1＋1n ＋2＋…＋12n (n ∈N *)，那么f (n ＋1)－f (n )等于( ) A.12n ＋1 B.12n ＋2C.12n ＋1＋12n ＋2D.12n ＋1－12n ＋2[答案] D[解析] f (n ＋1)－f (n )＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1(n ＋1)＋1＋1(n ＋1)＋2＋…＋12n ＋12n ＋1＋12(n ＋1) －⎣⎢⎡⎦⎥⎤1n ＋1＋1n ＋2＋…＋12n ＝12n ＋1＋12(n ＋1)－1n ＋1＝12n ＋1－12n ＋2. 4．某个命题与自然数n 有关，若n ＝k (k ∈N *)时，该命题成立，那么可推得n ＝k ＋1时该命题也成立．现在已知当n ＝5时，该命题不成立，那么可推得( )A ．当n ＝6时该命题不成立B ．当n ＝6时该命题成立C．当n＝4时该命题不成立D．当n＝4时该命题成立[答案] C[解析]原命题正确，则逆否命题正确．故应选C.5．用数学归纳法证明命题“当n是正奇数时，x n＋y n能被x＋y整除”，在第二步的证明时，正确的证法是()A．假设n＝k(k∈N*)，证明n＝k＋1时命题也成立B．假设n＝k(k是正奇数)，证明n＝k＋1时命题也成立C．假设n＝k(k是正奇数)，证明n＝k＋2时命题也成立D．假设n＝2k＋1(k∈N)，证明n＝k＋1时命题也成立[答案] C[解析]∵n为正奇数，当n＝k时，k下面第一个正奇数应为k＋2，而非k＋1.故应选C.6．凸n边形有f(n)条对角线，则凸n＋1边形对角线的条数f(n＋1)为()A．f(n)＋n＋1B．f(n)＋nC．f(n)＋n－1D．f(n)＋n－2[答案] C[解析]增加一个顶点，就增加n＋1－3条对角线，另外原来的一边也变成了对角线，故f(n＋1)＝f(n)＋1＋n＋1－3＝f(n)＋n－1.故应选C.7．用数学归纳法证明“对一切n∈N*，都有2n>n2－2”这一命题，证明过程中应验证() A．n＝1时命题成立B．n＝1，n＝2时命题成立C．n＝3时命题成立D．n＝1，n＝2，n＝3时命题成立[答案] D[解析]假设n＝k时不等式成立，即2k>k2－2，当n＝k＋1时2k＋1＝2·2k>2(k2－2)由2(k2－2)≥(k－1)2－4⇔k2－2k－3≥0⇔(k＋1)(k－3)≥0⇒k≥3，因此需要验证n＝1,2,3时命题成立．故应选D.8．已知f (n )＝(2n ＋7)·3n ＋9，存在自然数m ，使得对任意n ∈N *，都能使m 整除f (n )，则最大的m 的值为( )A ．30B ．26C ．36D ．6[答案] C[解析] 因为f (1)＝36，f (2)＝108＝3×36，f (3)＝360＝10×36，所以f (1)，f (2)，f (3)能被36整除，推测最大的m 值为36.9．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2a n (n ≥2)，而a 1＝1，通过计算a 2、a 3、a 4，猜想a n ＝( )A.2(n ＋1)2B.2n (n ＋1)C.22n －1D.22n －1[答案] B[解析] 由S n ＝n 2a n 知S n ＋1＝(n ＋1)2a n ＋1∴S n ＋1－S n ＝(n ＋1)2a n ＋1－n 2a n∴a n ＋1＝(n ＋1)2a n ＋1－n 2a n∴a n ＋1＝n n ＋2a n (n ≥2)． 当n ＝2时，S 2＝4a 2，又S 2＝a 1＋a 2，∴a 2＝a 13＝13a 3＝24a 2＝16，a 4＝35a 3＝110. 由a 1＝1，a 2＝13，a 3＝16，a 4＝110猜想a n ＝2n (n ＋1)，故选B. 10．对于不等式n 2＋n ≤n ＋1(n ∈N ＋)，某学生的证明过程如下：(1)当n ＝1时，12＋1≤1＋1，不等式成立．(2)假设n ＝k (k ∈N ＋)时，不等式成立，即k 2＋k <k ＋1，则n ＝k ＋1时，(k ＋1)2＋(k ＋1)＝k 2＋3k ＋2<(k 2＋3k ＋2)＋(k ＋2)＝(k ＋2)2＝(k ＋1)＋1，∴当n ＝k ＋1时，不等式成立，上述证法( )A ．过程全都正确B ．n ＝1验证不正确C ．归纳假设不正确D ．从n ＝k 到n ＝k ＋1的推理不正确[答案] D[解析] n ＝1的验证及归纳假设都正确，但从n ＝k 到n ＝k ＋1的推理中没有使用归纳假设，而通过不等式的放缩法直接证明，不符合数学归纳法的证题要求．故应选D.二、填空题11．用数学归纳法证明“2n ＋1≥n 2＋n ＋2(n ∈N *)”时，第一步的验证为________．[答案] 当n ＝1时，左边＝4，右边＝4，左≥右，不等式成立[解析] 当n ＝1时，左≥右，不等式成立，∵n ∈N *，∴第一步的验证为n ＝1的情形．12．已知数列11×2，12×3，13×4，…，1n (n ＋1)，通过计算得S 1＝12，S 2＝23，S 3＝34，由此可猜测S n ＝________.[答案] n n ＋1 [解析] 解法1：通过计算易得答案．解法2：S n ＝11×2＋12×3＋13×4＋…＋1n (n ＋1)＝⎝⎛⎭⎫1－12＋⎝⎛⎭⎫12－13＋⎝⎛⎭⎫13－14＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋1 ＝1－1n ＋1＝n n ＋1. 13．对任意n ∈N *,34n ＋2＋a 2n＋1都能被14整除，则最小的自然数a ＝________.[答案] 5[解析] 当n ＝1时，36＋a 3能被14整除的数为a ＝3或5，当a ＝3时且n ＝3时，310＋35不能被14整除，故a ＝5.14．用数学归纳法证明命题：1×4＋2×7＋3×10＋…＋n (3n ＋1)＝n (n ＋1)2.(1)当n 0＝________时，左边＝____________，右边＝______________________；当n ＝k 时，等式左边共有________________项，第(k －1)项是__________________．(2)假设n ＝k 时命题成立，即_____________________________________成立．(3)当n ＝k ＋1时，命题的形式是______________________________________；此时，左边增加的项为______________________．[答案] (1)1；1×(3×1＋1)；1×(1＋1)2；k ；(k －1)[3(k －1)＋1](2)1×4＋2×7＋3×10＋…＋k (3k ＋1)＝k (k ＋1)2(3)1×4＋2×7＋…＋(k ＋1)[3(k ＋1)＋1]＝(k ＋1)[(k ＋1)＋1]2；(k ＋1)[3(k ＋1)＋1]三、解答题15．求证：12－22＋32－42＋…＋(2n －1)2－(2n )2＝－n (2n ＋1)(n ∈N *)．[证明] ①n ＝1时，左边＝12－22＝－3，右边＝－3，等式成立．②假设n ＝k 时，等式成立，即12－22＋32－42＋…＋(2k －1)2－(2k )2＝－k (2k ＋1)2. 当n ＝k ＋1时，12－22＋32－42＋…＋(2k －1)2－(2k )2＋(2k ＋1)2－(2k ＋2)2＝－k (2k ＋1)＋(2k ＋1)2－(2k ＋2)2＝－k (2k ＋1)－(4k ＋3)＝－(2k 2＋5k ＋3)＝－(k ＋1)[2(k ＋1)＋1]，所以n ＝k ＋1时，等式也成立．由①②得，等式对任何n ∈N *都成立．16．求证：12＋13＋14＋…＋12n －1>n －22(n ≥2)． [证明] ①当n ＝2时，左＝12>0＝右， ∴不等式成立．②假设当n ＝k (k ≥2，k ∈N *)时，不等式成立．即12＋13＋…＋12k －1>k －22成立． 那么n ＝k ＋1时，12＋13＋…＋12k －1 ＋12k －1＋1＋…＋12k －1＋2k －1>k －22＋12k －1＋1＋…＋12k >k －22＋12k ＋12k ＋…＋12k ＝k －22＋2k －12k ＝(k ＋1)－22， ∴当n ＝k ＋1时，不等式成立．据①②可知，不等式对一切n ∈N *且n ≥2时成立．17．在平面内有n 条直线，其中每两条直线相交于一点，并且每三条直线都不相交于同一点．求证：这n 条直线将它们所在的平面分成n 2＋n ＋22个区域．[证明] (1)n ＝2时，两条直线相交把平面分成4个区域，命题成立．(2)假设当n ＝k (k ≥2)时，k 条直线将平面分成k 2＋k ＋22块不同的区域，命题成立． 当n ＝k ＋1时，设其中的一条直线为l ，其余k 条直线将平面分成k 2＋k ＋22块区域，直线l 与其余k 条直线相交，得到k 个不同的交点，这k 个点将l 分成k ＋1段，每段都将它所在的区域分成两部分，故新增区域k ＋1块．从而k ＋1条直线将平面分成k 2＋k ＋22＋k ＋1＝(k ＋1)2＋(k ＋1)＋22块区域． 所以n ＝k ＋1时命题也成立．由(1)(2)可知，原命题成立．18．(2010·衡水高二检测)试比较2n ＋2与n 2的大小(n ∈N *)，并用数学归纳法证明你的结论．[分析] 由题目可获取以下主要信息：①此题选用特殊值来找到2n ＋2与n 2的大小关系；②利用数学归纳法证明猜想的结论．解答本题的关键是先利用特殊值猜想．[解析] 当n ＝1时，21＋2＝4>n 2＝1，当n ＝2时，22＋2＝6>n 2＝4，当n ＝3时，23＋2＝10>n 2＝9，当n ＝4时，24＋2＝18>n 2＝16，由此可以猜想，2n ＋2>n 2(n ∈N *)成立下面用数学归纳法证明：(1)当n ＝1时，左边＝21＋2＝4，右边＝1，所以左边>右边，所以原不等式成立．当n ＝2时，左边＝22＋2＝6，右边＝22＝4，所以左边>右边；当n＝3时，左边＝23＋2＝10，右边＝32＝9，所以左边>右边．(2)假设n＝k时(k≥3且k∈N*)时，不等式成立，即2k＋2>k2.那么n＝k＋1时，2k＋1＋2＝2·2k＋2＝2(2k＋2)－2>2·k2－2.又因：2k2－2－(k＋1)2＝k2－2k－3＝(k－3)(k＋1)≥0，即2k2－2≥(k＋1)2，故2k＋1＋2>(k＋1)2成立．根据(1)和(2)，原不等式对于任何n∈N*都成立．。

数学归纳法（2016.4.21）令狐采学一、用数学归纳法证明与正整数有关命题的步骤是：（1）证明当n 取第一个值0n （如01n =或2等）时结论正确；（2）假设当0(N ,)n k k k n *=∈≥ 时结论正确，证明1n k =+时结论也正确．综合（1）、（2），……注意：数学归纳法使用要点：两步骤,一结论。

二、题型归纳：题型1.证明代数恒等式例1．用数学归纳法证明：证明：①n=1时，左边31311=⨯=，右边31121=+=，左边=右边，等式成立．②假设n=k 时，等式成立，即：()()1212121751531311+=+-++⨯+⨯+⨯k k k k ． 当n=k+1时．这就说明，当n=k+1时，等式亦成立，由①、②可知，对一切自然数n 等式成立．题型2.证明不等式例2．证明不等式n n 2131211<++++ (n ∈N)．证明：①当n=1时，左边=1，右边=2．左边<右边，不等式成立．②假设n=k 时，不等式成立，即k k 2131211<++++ ．那么当n=k+1时，这就是说，当n=k+1时，不等式成立．由①、②可知，原不等式对任意自然数n 都成立．说明：这里要注意，当n=k+1时，要证的目标是1211131211+<++++++k k k ，当代入归纳假设后，就是要证明：12112+<++k k k ．认识了这个目标，于是就可朝这个目标证下去，并进行有关的变形，达到这个目标．题型3.证明数列问题例3 (x ＋1)n ＝a0＋a1(x －1)＋a2(x －1)2＋a3(x －1)3＋…＋an(x －1)n(n ≥2，n ∈N*)．(1)当n ＝5时，求a0＋a1＋a2＋a3＋a4＋a5的值．(2)设bn ＝a22n －3，Tn ＝b2＋b3＋b4＋…＋bn.试用数学归纳法证明：当n ≥2时，Tn ＝n(n ＋1)(n －1)3. 解：(1)当n ＝5时，原等式变为(x ＋1)5＝a0＋a1(x －1)＋a2(x －1)2＋a3(x －1)3＋a4(x －1)4＋a5(x －1)5令x ＝2得a0＋a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝35＝243.(2)因为(x ＋1)n ＝[2＋(x －1)]n ，所以a2＝Cn2·2n －2 bn ＝a22n －3＝2Cn2＝n(n －1)(n ≥2)①当n ＝2时．左边＝T2＝b2＝2，右边＝2(2＋1)(2－1)3＝2，左边＝右边，等式成立． ②假设当n ＝k(k ≥2，k ∈N*)时，等式成立， 即Tk ＝k(k ＋1)(k －1)3成立 那么，当n ＝k ＋1时，左边＝Tk ＋bk ＋1＝k(k ＋1)(k －1)3＋(k ＋1)[(k ＋1)－1]＝k(k ＋1)(k －1)3＋k(k ＋1) ＝k(k ＋1)⎝⎛⎭⎪⎫k －13＋1＝k(k ＋1)(k ＋2)3 ＝(k ＋1)[(k ＋1)＋1][(k ＋1)－1]3＝右边． 故当n ＝k ＋1时，等式成立．综上①②，当n ≥2时，Tn ＝n(n ＋1)(n －1)3.。

高二数学数学归纳法试题答案及解析1.若，则对于，．【答案】【解析】【考点】数学归纳法2.用数学归纳法证明：“1＋a＋a2＋＋a n＋1＝(a≠1，n∈N*)”在验证n＝1时，左端计算所得的项为( )A．1B．1＋aC．1＋a＋a2D．1＋a＋a2＋a3【答案】C【解析】当n=1时，左端为1＋a＋a2，故选C.考点:数学归纳法3.已知,,,,…,由此你猜想出第n个数为【答案】【解析】观察根式的规律，和式的前一项与后一项的分子相同，是等差数列,而后一项的分母可表示为，故答案为【考点】归纳推理.4.用数学归纳法证明1＋＋＋…＋(,)，在验证成立时，左式是____．【答案】1＋＋【解析】当时，；所以在验证成立时，左式是.【考点】数学归纳法.5.利用数学归纳法证明“， ()”时，在验证成立时，左边应该是．【答案】【解析】用数学归纳法证明“， ()”时，在验证成立时，将代入，左边以1即开始，以结束，所以左边应该是.【考点】数学归纳法.6.已知，不等式，，，…，可推广为，则等于 .【答案】【解析】因为，……，所以该系列不等式，可推广为，所以当推广为时，.【考点】归纳推理.)能被9整除”，要利7.用数学归纳法证明“n3＋(n＋1)3＋(n＋2)3，(n∈N＋用归纳法假设证n＝k＋1时的情况，只需展开( )．A．(k＋3)3B．(k＋2)3C．(k＋1)3D．(k＋1)3＋(k＋2)3【答案】A【解析】假设n＝k时，原式k3＋(k＋1)3＋(k＋2)3能被9整除，当n＝k＋1时，(k＋1)3.＋(k＋2)3＋(k＋3)3为了能用上面的归纳假设，只须将(k＋3)3展开，让其出现k3即可．故应选A.8.用数学归纳法证明：【答案】通过两步（n=1，n=k+1）证明即可得出结论。

【解析】解：当n=1时，等式左边为2，右边为2，左边等于右边，当n=k时，假设成立，可以得到（k+1）+（k+2）+…+（k+k）=n=k+1时等式左边与n=k时的等式左边的差，即为n=k+1时等式左边增加的项，由题意，n=k时，等式左边=（k+1）+（k+2）+…+（k+k），n=k+1时，等式左边=（k+2）+（k+3）+…+（k+k+1）+（k+1+k+1），比较可得n=k+1时等式左边等于右边，进而综上可知，满足题意的所有正整数都成立，故证明。

高二数学数学归纳法试题答案及解析1.观察下列等式第一个式子第二个式子第三个式子第四个式子照此规律下去（Ⅰ）写出第个等式；（Ⅱ）你能做出什么一般性的猜想？请用数学归纳法证明猜想．【答案】（1）；（2）.【解析】（1）数学归纳法是一种重要的数学思想方法，主要用于解决与正整数有关的数学问题；（2）用数学归纳法证明等式问题，要“先看项”，弄清等式两边的构成规律，等式两边各有多少项，初始值是多少；（3)由时等式成立，推出时等式成立，一要找出等式两边的变化（差异），明确变形目标；二要充分利用归纳假设，进行合理变形，正确写出证明过程，由于“猜想”是“证明”的前提和“对象”，务必保证猜想的正确性，同时必须严格按照数学归纳法的步骤书写.试题解析：（Ⅰ）第个等式（Ⅱ）猜测第个等式为证明：（1）当时显然成立；（2）假设时也成立，即有那么当时左边而右边这就是说时等式也成立．根据（1）（2）知，等式对任何都成立．【考点】归纳推理以及数学归纳法.2.给出四个等式：1＝11－4＝－(1＋2)1－4＋9＝1＋2＋31－4＋9－16＝－(1＋2＋3＋4)……（1）写出第5,6个等式，并猜测第n(n∈N*)个等式（2）用数学归纳法证明你猜测的等式．【答案】（1）第五行第六行第行等式为：（2）证明见解析【解析】（1）根据已知的式子的规律易求得第五、六两行的等式，再由归纳推理即可求得第行的式子；（2）根据数学归纳法证明步骤即可证明.试题解析：（1）第五行第六行第行等式为：（2）证明：①当时，左边，右边，左边右边，等式成立.②假设时，等式成立，即.则当时，时，等式也成立根据①②可知，对等式均成立.【考点】推理与证明；数学归纳法的应用.3.是否存在常数，使等式对于一切都成立？若不存在，说明理由；若存在，请用数学归纳法证明？【答案】，证明详见解析.【解析】先从特殊情形，等式必须成立，求出值，然后用数学归纳法加以证明，在这里必须指出的是：若题目没有讲要用数学归纳法证明，我们也应从数学归纳法考虑，因为等式的左边我们无法通过数列求和的知识解决，其次本题是与自然数有关的命题证明，我们应优先考虑数学归纳法，证明时必须严格遵循数学归纳法的证题步骤，做到规范化.试题解析：若存在常数使等式成立，则将代入上式，有得，即有对于一切成立. 5分数学归纳法证明如下：证明如下：（1）当时，左边=，右边=，所以等式成立，（2）假设（且）时等式成立，即，当时，也就是说，当时，等式成立，综上所述，可知等式对任何都成立. 12分【考点】数学归纳法.4.用数学归纳法证明：“1＋a＋a2＋＋a n＋1＝(a≠1，n∈N*)”在验证n＝1时，左端计算所得的项为( )A．1B．1＋aC．1＋a＋a2D．1＋a＋a2＋a3【答案】C【解析】当n=1时，左端为1＋a＋a2，故选C.考点:数学归纳法5.给出四个等式：（1）写出第个等式，并猜测第（）个等式；（2）用数学归纳法证明你猜测的等式.【答案】（1）第个等式：，第个等式：，第个等式：；（2）详见解析.【解析】（1）通过观察前4个等式的特征不难得到第个等式，同过归纳，也易猜测第（）个等式、不过这里涉及到正负号问题，这个问题经常通过或来调控；（2）首先要掌握好数学归纳法证题的规范、完整的证题步骤，而真正的难点和重点是由假设来推导第步，这里要充分地利用假设，对于恒等式的证明在利用了假设以后就很容易推导出第步，如何利用假设呢？就是要创造假设所具备的条件，那才会有假设所具有的结论，故有“凑假设”一说. 试题解析：（1）第个等式： 2分第个等式： 4分第个等式： 6分（2）证明：（1）当时，左边，右边，左边右边，等式成立. 8分（2）假设（）时，等式成立，即.那么当时，∴当时，等式也成立.根据（1）、（2）可知，对于任何等式均成立． 14分【考点】1.归纳推理；2. 数学归纳法的应用之一：归纳、猜想和证明.6.下列推理中属于归纳推理且结论正确的是()A．设数列﹛an ﹜的前n项和为sn，由an=2n﹣1，求出s1=12， s2=22，s3=32，…推断sn=n2B．由cosx，满足对x∈R都成立，推断为奇函数。

高三数学数学归纳法练习题及答案数学归纳法是高中数学中非常重要的一种证明方法，它在数学推理和证明中具有广泛的应用。

通过运用归纳法，我们可以推出一般性的结论，从而能够解决更加复杂的数学问题。

在高三数学的学习中，熟练掌握数学归纳法的使用对于解题至关重要。

下面将为大家提供一些高三数学数学归纳法练习题及答案，希望能帮助大家更好地掌握该方法。

练习题一：证明：对于任意正整数n，都有1 + 2 + 3 + ... + n = n(n + 1)/2答案一：首先，我们需要明确归纳假设的内容。

假设当n=k时，等式成立，即1 + 2 + 3 + ... + k = k(k + 1)/2。

然后，我们需要证明当n=k+1时，等式也成立。

即1 + 2 + 3 + ... + (k+1) = (k+1)(k + 2)/2。

根据归纳假设，1 + 2 + 3 + ... + k = k(k + 1)/2。

我们需要证明：1 + 2 + 3 + ... + k + (k+1) = (k+1)(k + 2)/2。

将左边的式子进行展开得到： [1 + 2 + 3 + ... + k] + (k+1)。

由归纳假设，我们可以将其中的[1 + 2 + 3 + ... + k]替换成k(k + 1)/2，得到： k(k + 1)/2 + (k+1)。

化简该式子： k(k + 1) + 2(k+1)。

再进一步化简： (k+1)(k + 2) / 2。

可以看出，我们得到了(k+1)(k + 2)/2这个形式，就证明了当n=k+1时，等式也成立。

因此，根据数学归纳法原理，对于任意正整数n，都有1 + 2 + 3 + ... + n = n(n + 1)/2。

练习题二：证明：对于任意正整数n，2^n > n^2。

答案二：同样使用数学归纳法进行证明。

首先，当n=1时，2^1 = 2，1^2 = 1，2 > 1，等式成立。

假设当n=k时，2^k > k^2 成立。

数学归纳法知识讲解一、数学归纳法的定义定义：对于某些与自然数n 有关的命题常常采用下面的方法来证明它的正确性：先证明当n取第一个值0n 时命题成立；然后假设当n k =(*k N ∈，k ≥0n )时命题成立，证明当1n k =+命题也成立这种证明方法就叫做数学归纳法.二、数学归纳法的基本思想基本思想：数学归纳法是完全归纳法的一种.它是一种归纳——演绎的推理方法.数学归纳法的理论依据是“自然数归纳原理”：设A (n )表示关于自然数n 的一命题，如果满足条件：(i)A （1）正确；(ii)假设A (k )成立，推断A (k +1)也成立、那么A (n )对一切自然数n 都成立.其中第(i)是验证，它是证明的基础；第(ii)是以假设A (k )成立，通过演绎推理，推证出A (k +1)也正确.即先验证使结论有意义的最小的正整数0n ，如果当0n n =时，命题成立，再假设当n k =(*k N ∈，k ≥0n )时，命题成立.(这时命题是否成立不是确定的)，根据这个假设，如能推出当1n k =+时，命题也成立，那么就可以递推出对所有不小于0n 的正整数01n +，02n +，…，命题都成立.三、用数学归纳法证明一个与正整数有关的命题的步骤：1.证明：当n 取第一个值0n 结论正确；2.假设：假设当n k =(*k N ∈，k ≥0n )时结论正确，证明当1n k =+时结论也正确.3.得出结论：由1，2可知，命题对于从0n 开始的所有正整数n 都正确.<注意点> 递推基础不可少，归纳假设要用到，结论写明莫忘掉.用数学归纳法证题时，两步缺一不可；（2）证题时要注意两凑：一凑归纳假设，二凑目标.<重点> 数学归纳法大致可分为两个步骤，第一步，验证命题对某个自然数n=0n 成立，（n ∈N ），一般取0n =1，第二步假设n=k （k ∈N ，k≥0n ）的时候，命题成立，证明当n=k+1时命题也成立.至此就可以得到结论，命题对于0n 和比0n 大的所有自然数都成立.如果将证明数学命题用建筑高楼来比喻，这两步中，第一部可以看作是奠基部分，第二步可以看作是建设部分，整个命题的基础就在第一步，如果忽略第一步，或者是第一步错误的话，那么不管第二步的证明有多巧妙和精彩，都如大厦建在沙子上一样，是不稳固的；而整个命题的递推过程在于第二步，如果递推过程出现了问题或者瑕疵，那么就如同建筑中的“烂尾楼”一般，得不到一个圆满的结局.由此可见，这两步都非常重要，缺一不可.注：数学归纳法是证明有递推性或可转化为递推性命题的有效手段，它的思路明晰，形式优美，但也要看到它的局限性，那就是并不具有普遍性，在无法转化为递推形式的命题中，数学归纳法一般是没有用武之地的.四、数学归纳法证明命题步骤1.归纳奠基(或递推基础)2.归纳递推(或归纳假设)五、数学归纳法可以证明的命题恒等式、不等式、数列通项公式、整除性问题、几何问题等典型例题一．选择题（共2小题）1．（2018春•临沂期中）利用数学归纳法证明不等式1＜n+1（n∈N*）的过程中，由n=k到n=k+1时，不等式的左边增加的项数为（）A．1 B．2k﹣1 C．2k D．k【解答】解：用数学归纳法证明1＜n+1的过程中，假设n=k 时不等式成立，左边=1，则当n=k+1时，左边=1，∴由n=k递推到n=k+1时不等式左边增加了：++…+，共（2k+1﹣k﹣1）﹣2k+k﹣1+1=2k﹣1项，故选：B．2．（2018春•武清区期中）用数学归纳法证明等式：12﹣22+32﹣…+（﹣1）n﹣1n2=n （n+1）（n是正奇数），假设n=k时等式成立，则需证（）A．n=k+1时等式成立，且k≥1 B．n=k+1时等式成立，且k≥3C．n=k+2时等式成立，且k≥1 D．n=k+2时等式成立，且k≥3【解答】解：由于相邻的两个奇数相差2，根据数学归纳法证明数学命题的步骤，在第二步时，假设n=k（k为正奇数）时，则需证明n=k+2时等式成立，且k≥1．故选：C．二．填空题（共4小题）3．（2016秋•桥西区校级期末）用数学归纳法证明（n+1）（n+2）（n+3）…（n+n）=2n•1•3•5…（2n﹣1）（n∈N*）时，从n=k到n=k+1时左边需增乘的代数式是4k+2．【解答】解：用数学归纳法证明（n+1）（n+2）（n+3）...（n+n）=2n•1•3•5 (2)﹣1）（n∈N*）时，从n=k到n=k+1时左边需增乘的代数式是=2（2k+1）．故答案为：4k+2．4．（2017春•商丘期中）用数学归纳法证明：“1+＜，＞”由n=k（k∈N*，k＞1）不等式成立，推理n=k+1时，不等式左边应增加的项数为2k．【解答】解：当n=k时，不等式左侧为1+++…+，当n=k+1时，不等式左侧为1+++…++++…+不等式左边增加的项数是（2k+1﹣1）﹣（2k﹣1）=2k．故答案为：2k．5．（2017春•徐州期中）用数学归纳法说明：1+＜＞，在第二步证明从n=k到n=k+1成立时，左边增加的项数是2k项．【解答】解：在用数学归纳法证明：1+＜＞，在第二步证明时，假设n=k时成立，即++…+＜k，则n=k+1成立时，有++…+++…+＜k+1，∴左边增加的项数是（2k+2k﹣1）﹣（2k﹣1）=2k．故答案为：2k．6．（2017春•平阴县校级月考）用数学归纳法证明等式1+2+3+…+（2n+1）=（n+1）（2n+1）时，当n=1时左边表达式是，从k→k+1需要添的项是（2k+2）+（2k+3）．【解答】解：∵用数学归纳法证明等式1+2+3+…+（2n+1）=（n+1）（2n+1）时，当n=1左边所得的项是1+2+3；假设n=k时，命题成立，左端为1+2+3+…+（2k+1）；则当n=k+1时，左端为1+2+3+…+（2k+1）+（2k+2）+[2（k+1）+1]，∴从“k→k+1”需增添的项是（2k+2）+（2k+3）．故答案为：（2k+2）+（2k+3）．三．解答题（共10小题）7．（2018春•大连期末）已知数列{a n}满足S n=2n﹣a n（n∈N+）．（1）计算a1，a2，a3，a4，猜想出a n的表达式；（2）用数学归纳法证明（1）的猜想．【解答】解：（1）由a1=2﹣a1，得a1=1，由a1+a2=4﹣a2，得a2=，由a1+a2+a3=6﹣a3，得a3=，由a1+a2+a3+a4=8﹣a4，得a4=，猜想a n==2﹣（）n﹣1，（2）证明：①当n=1，由上面计算可知猜想成立，②假设n=k时猜想成立，即a k=2﹣（）k﹣1，此时S k=2k﹣a k=2k﹣2+（）k﹣1，当n=k+1时，S k+1=2（k+1）﹣a k+1，得S k+a k+1=2（k+1）﹣a k+1，因此a k+1=（k+1）﹣S k=（k+1）﹣k+a k=1+1﹣×（）k﹣1=2﹣（）k，∴当n=k+1时也成立，∴a n=2﹣（）n﹣1．8．（2017秋•原州区校级期末）在数列{a n}中，已知a1=2，，（Ⅰ）计算a2，a3，a4的值，并猜想出{a n}的通项公式；（Ⅱ）请用数学归纳法证明你的猜想．【解答】解：（Ⅰ）a2===，a3==，a4==，于是猜想出a n=，（Ⅱ）①当n=1时，显然成立；②假设当n=k时，猜想成立，即a k=，则当n=k+1时，a k+1====，即当n=k+1时猜想也成立．综合①②可知对于一切n∈N*，a n=．9．（2018春•焦作期中）用数学归纳法证明：对于任意的n∈N*，＞．【解答】证明：①当n=1时，左边=＞=右边，命题成立．…………………………（3分）②假设当n=k（k∈N*）命题成立，即＞；……（5分）当n=k+1时，左边==＞＞，即当n=k+1时，命题成立．…………………………………………………………………（10分）综上所述，对于任意的n∈N*，＞．………（12分）10．（2018春•新罗区校级月考）已知数列{a n}的前n项和．（1）计算a1，a2，a3，a4；（2）猜想a n的表达式，并用数学归纳法证明你的结论．【解答】解：（1）由已知得：当n=1时，有S1=1﹣a1=a1，即，当n=2时，有S2=1﹣2a2=a1+a2，即，同理可得：，；（2）猜想：（n∈N*），证明：①当n=1时，由（1）得，等式成立，②假设当n=k（k∈N*）时，成立，则当n=k+1 时，有a k+1=S k+1﹣S k=[1﹣（k+1）a k+1]﹣（1﹣ka k）=ka k﹣（k+1）a k+1，可得=，即当n=k+1 时，等式也成立．综合①②可知对一切n∈N*都成立．11．（2017•天心区校级学业考试）已知a i＞0（i=1，2，…，n），且①a1•≥1；②（a1+a2）（+）≥4；③（a1+a2+a3）（++）≥9．归纳出对a1，a2，…，a n都成立的类似不等式，并用数学归纳法加以证明．【解答】解：结论：（a1+a2+…+a n）（++…+）≥n2．用数学归纳法证明：①当n=1时，显然成立；②假设当n=k时，不等式成立，即（a1+a2+…+a k）（++…+）≥k2，那么，当n=k+1时，（a1+a2+…+a k+a k+1）（++…++）=（a1+a2+…+a k）（++…+）+a k+1（++…+）+（a1+a2+…+a k）+1≥k2+2+2+…+2+1=k2+2k+1=（k+1）2，这就是说n=k+1时，不等式成立．由（1），（2）可知，对一切n∈N*，不等式成立．12．（2018•南通一模）（1）用数学归纳法证明：当n∈N*时，cosx+cos2x+cos3x+…+cosnx=﹣（x∈R，且x≠2kπ，k∈Z）；（2）求sin+2sin+3sin+4sin+…+2018sin的值．【解答】证明：（1）①当n=1时，等式右边====cosx=等式左边，等式成立．②假设当n=k时等式成立，即cosx+cos2x+cos3x+…+coskx=﹣．那么，当n=k+1时，有cosx+cos2x+cos3x+…+coskx+cos（k+1）x=﹣+cos（k+1）x=﹣=﹣=﹣=﹣．即当n=k+1时等式也成立．根据①和②可知，对任何n∈N*，等式都成立．（2）由（1）可知，cosx+cos2x+cos3x+…+cos2018x=﹣，两边同时求导，得﹣sinx﹣2sin2x﹣3sin3x﹣…﹣2018sin2018x=．令x=﹣可得：sin+2sin+3sin+4sin+…+2018sin==﹣．13．（2018•盐城三模）（1）已知＞，＞，比较与的大小，试将其推广至一般性结论并证明；（2）求证：．【解答】解：（1），因为a i＞0，b i＞0，所以＞，＞，则，所以，即．所以，当且仅当，即时等号成立．……（2分）推广：已知a i＞0，b i＞0（i∈N*，1≤i≤n），则．……………………………（4分）证明：①当n=1时命题显然成立；当n=2时，由上述过程可知命题成立；②假设n=k（k≥2）时命题成立，即已知a i＞0，b i＞0（i∈N*，1≤i≤k）时，有成立，则n=k+1时，，由，可知，故，故n=k+1时命题也成立．综合①②，由数学归纳法原理可知，命题对一切n∈N*恒成立．……（6分）（注：推广命题中未包含n=1的不扣分）（2）证明：由（1）中所得的推广命题知=①，…（8分）记，则，两式相加，得，=，故②，又③，将②③代入①，得，所以，，证毕．……（10分）14．（2018•南京三模）已知f n（x）=A x（x+1）…（x+i﹣1），g n（x）=A+x（x+1）…（x+n﹣1），其中x∈R，n∈N*且n≥2．（1）若f n（1）=7g n（1），求n的值；（2）对于每一个给定的正整数n，求关于x的方程f n（x）+g n（x）=0所有解的集合．【解答】解：（1）因为f n（x）=A x（x+1）…（x+i﹣1），所以f n（1）=A n n﹣i×1×…×i=n!=（n﹣1）×n!，g n（1）=A n n+1×2×…×n=2×n!，所以（n﹣1）×n!=14×n!，解得n=15．（2）因为f2（x）+g2（x）=2x+2+x（x+1）=（x+1）（x+2），f3（x）+g3（x）=6x+3x（x+1）+6+x（x+1）（x+2）=（x+1）（x+2）（x+3），猜想f n（x）+g n（x）=（x+1）（x+2）…（x+n）．下面用数学归纳法证明：当n=2时，命题成立；假设n=k（k≥2，k∈N*）时命题成立，即f k（x）+g k（x）=（x+1）（x+2）…（x+k），因为f k+1（x）=A k+1k+1﹣i x（x+1）…（x+i﹣1），=f k+1（x）=（k+1）A k k﹣i x（x+1）…（x+i﹣1）+A k1x（x+1）…（x+k﹣1），=（k+1）f k（x）+（k+1）x（x+1）…（x+k﹣1），所以f k+1（x）+g k+1（x）=（k+1）f k（x）+（k+1）x（x+1）…（x+k﹣1）+A k+1k+1+x （x+1）…（x+k），=（k+1）[f k（x）+x（x+1）…（x+k﹣1）+A k k]+x（x+1）…（x+k），=（k+1）[f k（x）+g k（x）]+x（x+1）…（x+k），=（k+1）（x+1）（x+2）…（x+k）+x（x+1）…（x+k），=（x+1）（x+2）…（x+k）（x+k+1），即n=k+1时命题也成立．因此任意n∈N*且n≥2，有f n（x）+g n（x）=（x+1）（x+2）…（x+n）．所以对于每一个给定的正整数n，关于x的方程f n（x）+g n（x）=0所有解的集合为{﹣1，﹣2，…，﹣n}．15．（2018春•铜山区期中）已知数列{a n}满足，且a1=3．（1）计算a2，a3，a4的值，由此猜想数列{a n}的通项公式；（2）用数学归纳法对你的结论进行证明．【解答】解：（1）∵a1=3，a n+1=﹣na n+1（n∈N*），∴a2=×9﹣×1×3+1=4，同理可求a3=5，a4=6，猜想：a n=n+2（n∈N*）；（2）①当n=1时，a1=3，结论成立；②假设当n=k（k≥1，k∈N*）时，结论成立，即a k=k+2，则当n=k+1时，a k+1=﹣ka k+1=（k+2）2﹣k（k+2）+1=（k+2）[k+2﹣k]+1=k+3=（k+1）+1，即当n=k+1时，结论也成立．由①②得，数列{a n}的通项公式为a n=n+2（n∈N*）．16．（2018春•太原期中）已知数列{a n}的前n项和为S n，且满足，．（1）计算a2，a3，a4，根据计算结果，猜想a n的表达式；（2）用数学归纳法证明你猜想的结论．【解答】解：（1）当n=2时，S2=a1+a2=4a2，∴，当n=3时，S3=a1+a2+a3=9a3，∴，当n=4时，S4=a1+a2+a3+a4=16a4，∴，由此猜想，（2）下面用数学归纳法证明，①当n=1时，显然成立，②假设当n=k（k≥1）时猜想成立，即，由题意得，∴，∴，∴当n=k+1时猜想也成立，由①和②，可知猜想成立，即．。

数学归纳法（一、用数学归纳法证明与正整数有关命题的步骤是：（1）证明当n 取第一个值0n （如01n =或2等）时结论正确；（2）假设当0(N ,)n k k k n *=∈≥ 时结论正确，证明1n k =+时结论也正确．综合（1）、（2），……注意：数学归纳法使用要点： 两步骤,一结论。

二、题型归纳： 题型1.证明代数恒等式例1．用数学归纳法证明： 证明：①n =1时，左边31311=⨯=，右边31121=+=，左边=右边，等式成立．②假设n =k 时，等式成立，即：()()1212121751531311+=+-++⨯+⨯+⨯k k k k ．当n =k +1时．这就说明，当n =k +1时，等式亦成立， 由①、②可知，对一切自然数n 等式成立． 题型2.证明不等式例2．证明不等式n n2131211<++++(n ∈N)．证明：①当n =1时，左边=1，右边=2．左边<右边，不等式成立． ②假设n =k 时，不等式成立，即k k2131211<++++．那么当n =k +1时，这就是说，当n =k +1时，不等式成立．由①、②可知，原不等式对任意自然数n 都成立． 说明：这里要注意，当n =k +1时，要证的目标是1211131211+<++++++k k k ，当代入归纳假设后，就是要证明：12112+<++k k k ．认识了这个目标，于是就可朝这个目标证下去，并进行有关的变形，达到这个目标． 题型3.证明数列问题例 3 (x ＋1)n ＝a 0＋a 1(x －1)＋a 2(x －1)2＋a 3(x －1)3＋…＋a n (x －1)n (n ≥2，n ∈N *)．(1)当n ＝5时，求a 0＋a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5的值． (2)设b n ＝a 22n －3，T n ＝b 2＋b 3＋b 4＋…＋b n .试用数学归纳法证明：当n ≥2时，T n ＝n (n ＋1)(n －1)3.解： (1)当n ＝5时，原等式变为(x ＋1)5＝a 0＋a 1(x －1)＋a 2(x －1)2＋a 3(x －1)3＋a 4(x －1)4＋a 5(x －1)5令x ＝2得a 0＋a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5＝35＝243. (2)因为(x ＋1)n ＝[2＋(x －1)]n ，所以a 2＝C n 2·2n －2b n ＝a 22n －3＝2C n 2＝n (n －1)(n ≥2)①当n ＝2时．左边＝T 2＝b 2＝2，右边＝2(2＋1)(2－1)3＝2，左边＝右边，等式成立．②假设当n ＝k (k ≥2，k ∈N *)时，等式成立， 即T k ＝k (k ＋1)(k －1)3成立那么，当n ＝k ＋1时， 左边＝T k ＋b k＋1＝k (k ＋1)(k －1)3＋(k ＋1)[(k ＋1)－1]＝k (k ＋1)(k －1)3＋k (k ＋1)＝k (k ＋1)⎝ ⎛⎭⎪⎫k －13＋1＝k (k ＋1)(k ＋2)3＝(k ＋1)[(k ＋1)＋1][(k ＋1)－1]3＝右边．故当n ＝k ＋1时，等式成立． 综上①②，当n ≥2时，T n ＝n (n ＋1)(n －1)3.。

数学归纳法(Ⅱ)用数学归纳法证明一个与正整数有关的命题的步骤：(1)证明：当n取第一个值n0结论正确；(2)假设当n=k(k∈N*，且k≥n0)时结论正确，证明当n=k＋1时结论也正确．由(1)，(2)可知，命题对于从n0开始的所有正整数n都正确．例1、比较2n与n2的大小(n∈N*)．解：当n=1时，2n>n2，当n=2、4时，2n=n2，当n=3时，2n<n2，当n=5时，2n>n2，猜想：当n≥5时，2n>n2，n∈N*．下面用数学归纳法证明：(1)当n=5时，结论显然成立．(2)假设n=k(k∈N*，k≥5)时2k>k2，当n=k＋1时，2k＋1=2·2k>2k2．下面证明2k2>(k＋1)2，2k2－(k＋1)2=k2－2k－1，此式在k≥5时单调递增．∴k2－2k－1≥14>0，∴2k2>(k＋1)2．即n=k＋1时，2k＋1>(k＋1)2．∴由（1）（2）得所求证成立．综上，当n=1或n≥5时，2n>n2；当n=2，4时，2n=n2；当n=3时，2n<n2．例2、已知数列满足，，试猜想的通项公式并用数学归纳法证明．解：由和，得，，，，归纳上述结果，可猜想．下面用数学归纳法证明：(1)当n=1时，，右边，等式成立．(2)假设当n=k(k≥1)时，等式成立，即成立．当n=k＋1时，．即n=k＋1时等式成立．根据(1)和(2)，可知猜想对任意正整数n都成立．例3、是否存在常数a、b、c，使等式对一切正整数n 都成立？证明你的结论．解：把n=1，2，3代入得方程组，解得，猜想：等式对一切都成立．下面用数学归纳法证明：(1)当n=1时，由上面的探求可知等式成立．(2)假设n=k时等式成立，即，当n=k＋1时，所以当n=k＋1时，等式也成立，∴由（1）（2）知猜想成立，即存在a=3，b=11，c=10使命题成立．例4、是否存在正整数m，使得f(n)=(2n＋7)·3n＋9对任意自然数n都能被m整除?若存在，求出最大的m值，并证明结论；若不存在，请说明理由．解：由f(n)=(2n＋7)·3n＋9，得f(1)=36， f(2)=3×36， f(3)=10×36， f(4)=34×36，由此猜想最大的m=36．下面用数学归纳法证明f(n)能被36整除：(1)当n=1时，显然成立．(2)假设n=k时， f(k)能被36整除，即f(k)=(2k＋7)·3k＋9能被36整除；当n=k＋1时，f(k＋1)=[2(k＋1)＋7]·3k＋1＋9=3[(2k＋7)·3k＋9]＋18(3k－1－1)，由于3k－1－1是偶数，故18(3k－1－1)能被36整除．∴当n=k＋1时，f(n)也能被36整除．由(1)(2)可知对一切正整数n都有f(n)=(2n＋7)·3n＋9能被36整除，m的最大值为36．练习：一、选择题1、如果命题对成立，那么它对也成立，又若对及成立，则下列结论正确的是（）A．对所有自然数成立 B．只对所有正偶数成立C．只对所有正奇数成立 D．对所有大于1的自然数成立2、用数学归纳法证明“对一切n∈N*，都有2n>n2－2”这一命题，证明过程中应验证（）A．n=1时命题成立B．n=1，n=2时命题成立C．n=3时命题成立D．n=1，n=2，n=3时命题成立3、用数学归纳法证明命题“n3＋(n＋1)3＋(n＋2)3(n∈N)能被9整除”要利用归纳假设证n=k＋1时的情况，只需展开（）A．(k＋3)3 B．(k＋2)3 C．(k＋1)3D．(k＋1)3＋(k＋2)34、如果命题对n=k成立，则它对n=k＋1也成立，现已知对n=4不成立，则下列结论中正确的是（）A．对成立 B．对n>4且成立C．对n<4且成立 D．对n≤4且不成立二、填空题5、用数学归纳法证明“2n>n2＋1对于n≥n0的正整数n都成立”时，第一步证明中的起始值n0应取__________．6、证明<1＋＋＋＋…＋<n＋1(n>1)，当n=2时，中间式子等于_________．三、解答题7、用数学归纳法证明：对一切大于1的自然数，不等式(1＋)(1＋)…(1＋)>均成立．8、已知数列{a n}的前n项和为S n，且a1=1，S n=n2a n(n∈N*)．(1)试求出S1，S2，S3，S4，并猜想S n的表达式；(2)证明你的猜想，并求出a n的表达式．9、是否存在常数a、b、c使等式12＋22＋32＋…＋n2＋(n－1)2＋…＋22＋12=an(bn2＋c)对于一切n∈N*都成立，若存在，求出a、b、c并证明；若不存在，试说明理由．10、已知数列，计算S1，S2，S3，S4，根据计算结果，猜想S n的表达式，并用数学归纳法进行证明．11、已知等差数列{a n}的公差d大于0，且a2，a5是方程x2－12x＋27=0的两根，数列{b n}的前n项和为T n，且T n=1－．(1)求数列{a n}、{b n}的通项公式；(2)设数列{a n}的前n项和为S n，试比较与S n＋1的大小，并说明理由．参考答案：1、D 解析：命题对成立，则它对也成立；由成立可以得取所有正偶数都成立，由成立可以得取所有正奇数都成立，所以答案选D．2、D 解析：假设n=k时不等式成立，即2k>k2－2．当n=k＋1时，2k＋1=2·2k>2(k2－2)，由2(k2－2)≥(k＋1)2－2k2－2k－3≥0(k＋1)(k－3)≥0k≥3，因此需验证n=1，2，3时命题成立．3、A 解析：假设n=k时命题成立，即k3＋(k＋1)3＋(k＋2)3能被9整除，当n=k＋1时(k＋1)3＋(k＋2)3＋(k＋3)3＝[k3＋(k＋1)3＋(k＋2)3]＋9(k2＋3k)＋27．4、D 解析：可以考虑“命题对n=k成立，则它对n=k＋1也成立”的逆否命题：“命题对n=k＋1不成立，则它对n=k不成立”．5、5 提示：时2n>n2＋1都不成立，以后都成立．6、1＋＋＋提示：时，所以中间的式子为1＋＋＋．7、证明：(1)当n=2时，左边=1＋=；右边=．∵左边>右边，∴不等式成立．(2)假设n=k(k≥2，且k∈N*)时不等式成立，即(1＋)(1＋)…(1＋)>．则当n=k＋1时，(1＋)(1＋)…(1＋)>·==>==．∴当n=k＋1时，不等式也成立．由(1)(2)知，对于一切大于1的自然数n，不等式都成立．8、解：(1)∵a n=S n－S n－1(n≥2)，∴S n=n2(S n－S n－1)，∴S n=S n－1(n≥2)．∵a1=1，∴S1=a1=1，∴S2=，S3==，S4=，猜想S n=(n∈N*)．(2)证明：①当n=1时，S1=1成立．②假设n=k(k≥1，k∈N*)时，等式成立，即S k=，当n=k＋1时， S k＋1＝(k＋1)2·a k＋1＝a k＋1＋S k＝a k＋1＋，∴a k＋1＝，∴S k＋1=(k＋1)2·a k＋1==，∴n=k＋1时等式也成立，得证．∴根据①、②可知，对于任意n∈N*，等式均成立．又∵a k＋1=，∴a n=．9、解：假设存在a、b、c使12＋22＋32＋…＋n2＋(n－1)2＋…＋22＋12=an(bn2＋c)对于一切n∈N*都成立．当n=1时，a(b＋c)=1；当n=2时，2a(4b＋c)=6；当n=3时，3a(9b＋c)=19．解方程组解得证明如下：①当n=1时，由以上知存在常数a，b，c使等式成立．②假设n=k(k∈N*)时等式成立，即12＋22＋32＋…＋k2＋(k－1)2＋…＋22＋12=k(2k2＋1)；当n=k＋1时，12＋22＋32＋…＋k2＋(k＋1)2＋k2＋(k－1)2＋…＋22＋12=k(2k2＋1)＋(k＋1)2＋k2 =k(2k2＋3k＋1)＋(k＋1)2=k(2k＋1)(k＋1)＋(k＋1)2=(k＋1)(2k2＋4k＋3)=(k＋1)[2(k＋1)2＋1]，即n=k＋1时，等式成立．因此存在a=，b=2，c=1，使等式对一切n∈N*都成立．10、解：；.猜想：证明：(1)当n=1时，左边=，右边=，猜想成立．(2)假设当n=k时猜想成立，即那么，所以，当n=k＋1时猜想也成立．综合(1)(2)知，猜想对任何都成立．11、解：(1)由已知得，又∵{a n}的公差大于0，∴a5>a2，∴a2=3，a5=9．∴d===2，a1=1，∴a n=2n－1．∵T n=1－b n，∴b1=，当n≥2时，T n－1=1－b n－1，∴b n=T n－T n－1=1－b n－(1－b n－1)，化简，得b n=b n－1，∴{b n}是首项为，公比为的等比数列，即b n=·=，∴a n=2n－1，b n=．(2)∵S n==n2，∴S n＋1=(n＋1)2，=．以下比较与S n＋1的大小：当n=1时，=，S2=4，∴<S2，当n=2时，=，S3=9，∴<S3，当n=3时，=，S4=16，∴<S4，当n=4时，=，S5=25，∴>S5．猜想：n≥4时，>S n＋1．下面用数学归纳法证明：①当n=4时，已证．②假设当n=k(k∈N*，k≥4)时，>S k＋1，即>(k＋1)2．那么n=k＋1时，==3·>3(k＋1)2＝3k2＋6k＋3＝(k2＋4k＋4)＋2k2＋2k－1>[(k＋1)＋1]2＝S(k＋1)＋1，∴n=k＋1时，>S n＋1也成立．由①②可知n∈N*，n≥4时，>S n＋1都成立．综上所述，当n=1，2，3时，<S n＋1，当n≥4时，>S n＋1．。

2.3 数学归纳法2.3.2 数学归纳法应用举例【提出问题】数学归纳法是一种数学证明方法，通常被用于证明某个给定命题在整个（或者局部）自然数范围内成立。

那么，数学归纳法都能解决哪些类型的问题呢？我们再研究几个用数学归纳法证明的例子。

【经典例题】例1 在数列{a n }中a 1=1，当n ≥2时，a n ，S n ，S n －21成等比数列。

（Ⅰ）求a 2,a 3,a 4并猜想a n 的表达式；（Ⅱ）用数学归纳法证明所得的结论；解：（Ⅰ）∵a n ,S n ,S n －21成等比数列 ∴S n 2=a n ·(S n －21)(n ≥2) (*) 把a 1=1,S 2=a 1+a 2=1+a 2代入（*）式得：a 2=－32 把a 1=1,a 2=－32,S 3=31+a 3代入(*)得：a 3=－152。

同理可得：a 4=－352 由此可以猜想：a n =⎪⎩⎪⎨⎧>---=)1()12)(32(2)1(1n n n n （Ⅱ）（1）当n=1,2时，由（Ⅰ）知猜想成立。

(2)假设n=k(k ≥2) 时，a k =－)12)(32(2--k k 成立。

故S k 2=－)12)(32(2--k k ·(S k －21)(2k －3)(2k －1)S k 2+2S k －1=0∴S k =121-k 或S k =321--k （舍去） 由S k+12=a k+1·(S k+1－21)得 (S k +a k+1)2=a k+1·(a k+1+S k －21) 所以2)12(1-k +a k+12+1221-+k a k =a k+12+121-+k a k －21a k+1 解得a k+1=〕〕〔〔1)1(23)1(22-+-+-k k 即n=k+1时，命题也成立。

由(1)(2)可知，a n =⎪⎩⎪⎨⎧≥---=)2()12)(32(2)1(1n n n n 对一切正整数成立。

数学归纳法一、选择题（共12小题；共60分）1. 记凸k边形的内角和为f(k)，则凸k+1边形的内角和f(k+1)=f(k)+( )A. π2B. π C. 3π2D. 2π2. 下列代数式，n∈N∗，能被13整除的是( )A. n3+5nB. 34n+1+52n+1C. 62n−1+1D. 42n+1+3n+23. 已知f(n)=1+12+13+⋯+1n(n∈N∗)，用数学归纳法证明不等式f(2n)>n2时，f(2k+1)比f(2k)多的项数为( )A. 2k−1B. 2kC. 2k+1D. 2k+14. 设f(n)=1n+1+1n+2+1n+3+⋯+12n(n∈N+)，那么f(n+1)−f(n)等于( )．A. 12n+1B. 12n+2C. 12n+1+12n+2D. 12n+1−12n+25. 如果命题P(n)对n=k成立，则它对n=k+1也成立，现已知P(n)对n=4不成立，则下列结论中正确的是( )A. P(n)对n∈N+成立B. P(n)对n>4且n∈N+成立C. P(n)对n<4且n∈N+成立D. P(n)对n≤4且n∈N+不成立6. 用数学归纳法证明n(n+1)(n+2)能被6整除时，由归纳假设推证n=k+1时命题成立，需将n=k+1时的原式表示为( )A. k(k+1)(2k+1)+6(k+1)B. 6k(k+1)(2k+1)C. k(k+1)(2k+1)+6(k+1)2D. 以上都不对7. 某个关于自然数n的命题，如果当n=k(k∈N)时该命题成立，那么可推得n=k+1时该命题也成立．现已知当n=5时该命题不成立，那么可推得( )A. 当n=6时，该命题不成立B. 当n=4时，该命题不成立C. 当n=6时，该命题成立D. 当n=4时，该命题成立8. 用数学归纳法证明不等式“1n+1+1n+2+⋯+12n>1324(n>2)”时的过程中，由n=k到n=k+1时，不等式的左边( ) A. 增加了一项12(k+1)B. 增加了两项12k+1+12(k+1)C. 增加了两项12k+1+12(k+1)，又减少了一项1k+1D. 增加了一项12k+1，又减少了一项1k+19. 平面内有n条直线，最多可将平面分成f(n)个区域，则f(n)的表达式为( )A. n+1B. 2nC. n2+n+22D. n2+n+110. 用数学归纳法证明命题" n3+(n+1)3+(n+2)3(n∈N)能被9整除"要利用归纳假设证n=k+1时的情况，只需展开( )A. (k+3)3B. (k+2)3C. (k+1)3D. (k+1)3+(k+2)311. 已知13+23+33+⋯+n3=n2(an+b)24对一切n∈N+都成立，那么a，b的可能值为( )A. a=b=1B. a=1，b=2C. a=2，b=1D. 不存在这样的a，b12. 证明：n+22<1+12+13+14+⋯+12n<n+1(n>1)，当n=2时，中间式子等于( )A. 1B. 1+12C. 1+12+13D. 1+12+13+14二、填空题（共5小题；共25分）13. 用数学归纳法证明：1+12+13+⋯+12n−1<n(n∈N∗,n>1)．第一步即证不等式成立．14. 用数学归纳法证明时，设f(k)为1×4+2×7+⋯+k(3k+1)=k(k+1)2，则f(k+1)为．15. 使∣n2−5n+5∣=1不成立的最小正整数为．16. 用数学归纳法证明时，设f(k)为1−12+⋯+12k−1−12k=1k+1+1k+2+⋯+12k，则f(k+1)为( )．17. 用数学归纳法证明34n+1+52n+1能被14整除，在n=k+1时变为证明．三、解答题（共5小题；共65分）18. 用数学归纳法证明：(1⋅22−2⋅42)+(3⋅42−4⋅52)+⋯+[(2n−1)⋅(2n)2−2n⋅(2n+1)2]=−n(n+1)(4n+3)(n∈N+)．19. 用数学归纳法证明：12×4+14×6+16×8+⋯+12n(2n+2)=n4(n+1)(n∈N+)．20. 已知y=f(x)满足f(n−1)=f(n)−lga n−1(n≥2,n∈N)，且f(1)=−lga，问是否存在实数α，β使f(n)=(αn2+βn−1)lga对任何n∈N+都成立，证明你的结论．21. 是否存在正整数m，使得f(n)=(2n+7)⋅3n+9对任意自然数n都能被m整除?若存在，求出最大的m的值，并证明你的结论；若不存在，请说明理由．22. 平面内有n条直线，其中无任何两条平行，也无任何三条共点，求证：这n条直线把平面分割成12(n2+n+2)块．。