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第一篇高等数学第一章函数、极限与连续强化训练（一）一、选择题1.2.提示：参照“例1.1.5”求解。
3.4.解因选项(D)中的 不能保证任意小，故选(D)5.6.7.8.9.10.二、填空题11.提示：由2cos 12sin 2xx =-可得。
12.13.提示：由1 未定式结果可得。
14.提示：分子有理化，再同除以n即可。
15.提示：分子、分母利用等价无穷小代换处理即可。
16.17.提示：先指数对数化，再利用洛必达法则。
18.19.解因()2000122(1cos )22cos 2lim lim lim lim lim 1x x x x x x x xx f x x xxx -----→→→→→⋅---=====- ()0lim lim xx x f x ae a --→→==， 而()0f a =，故由()f x 在 0x =处连续可知，1a =-。
20.提示：先求极限（1∞型）得到()f x 的表达式，再求函数的连续区间。
三、 解答题 21.(1)(2)提示：利用皮亚诺型余项泰勒公式处理12sin ,sin x x。
(3)(4)(5)提示：先指数对数化，再用洛必达法则。
(6)提示：请参照“例1.2.14（3）”求解。
22.23.解 由题设极限等式条件得21()ln(cos )201()lim ,limln(cos )1f x x xxx x f x e e x x x+→→=+=， 即 2201()1()limln(cos )lim ln(1cos 1)1x x f x f x x x x x x x→→+=+-+=， 利用等价无穷小代换，得201()lim(cos 1)1x f x x x x →-+=，即230cos 1()lim()1x x f x x x→-+=， 故 30()3lim 2x f x x →=。
24.提示：先指数对数化，再由导数定义可得。
25.26.28.提示：利用皮亚诺型余项泰勒公式求解。
考研数学二极限试题及答案# 考研数学二极限试题及答案## 题目一：求极限题目描述：求极限 \(\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x}\)。
解答步骤：1. 首先，我们考虑极限的类型，这是一个0/0型的不定式。
2. 为了解决这个问题，我们可以使用洛必达法则（L'Hôpital's Rule）。
3. 应用洛必达法则，对分子和分母同时求导，得到：\[\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = \lim_{x \to 0}\frac{\cos x}{1}\]4. 当 \(x \to 0\) 时，\(\cos x\) 趋向于 1。
5. 因此，极限的值为 1。
答案：\[\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1\]## 题目二：函数极限题目描述：求极限 \(\lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^2}\)。
解答步骤：1. 观察极限表达式，这是一个无穷大的倒数。
2. 当 \(x\) 趋向于无穷大时，\(x^2\) 也趋向于无穷大。
3. 任何数除以一个趋向于无穷大的数，结果都趋向于 0。
答案：\[\lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^2} = 0\]## 题目三：复合函数的极限题目描述：设函数 \(f(x) = x^3 - 3x^2 + 2x\)，求极限 \(\lim_{x \to 2} f(x)\)。
解答步骤：1. 直接将 \(x = 2\) 代入函数 \(f(x)\) 中。
2. 计算得到 \(f(2) = 2^3 - 3 \cdot 2^2 + 2 \cdot 2\)。
3. 简化得到 \(f(2) = 8 - 12 + 4\)。
4. 计算结果为 \(f(2) = 0\)。
答案：\[\lim_{x \to 2} f(x) = 0## 题目四：数列极限题目描述：考虑数列 \(a_n = \frac{1}{n}\)，求其极限。
数学极限练习题考研数学极限是考研数学中的一个重要的知识点，也是比较难以理解和掌握的内容之一。
掌握了数学极限的概念和运算方法，对于考生在考研数学中获得高分非常有帮助。
下面我将为大家列举一些数学极限的练习题，帮助大家更好地掌握和应用数学极限。
【练习题一】求极限1. $\lim_{x \to 0}\frac{e^x-1}{x}$2. $\lim_{x \to 0}\frac{\sin x}{x}$3. $\lim_{x \to 0}\frac{\tan x}{x}$4. $\lim_{x \to \infty}\left(1+\frac{1}{x}\right)^x$5. $\lim_{x \to 0}\left(\frac{1}{x}-\frac{1}{\tan x}\right)$【解答】1. 根据极限的定义，可以得到：$$\lim_{x \to 0}\frac{e^x-1}{x} = \lim_{x \to 0}\frac{(e^x-1)'}{x'} = \lim_{x \to 0}\frac{e^x}{1} = 1$$2. 同样根据极限的定义，可以得到：$$\lim_{x \to 0}\frac{\sin x}{x} = 1$$3. 根据极限的定义，可以得到：$$\lim_{x \to 0}\frac{\tan x}{x} = \lim_{x \to 0}\frac{\sin x}{x\cos x} = \lim_{x \to 0}\frac{1}{\cos x} = 1$$4. 这是一个经典的极限，可以用连续复利公式证明，答案为：$$\lim_{x \to \infty}\left(1+\frac{1}{x}\right)^x = e$$5. 根据极限的定义，可以得到：$$\lim_{x \to 0}\left(\frac{1}{x}-\frac{1}{\tan x}\right) = \lim_{x \to 0}\frac{1-\frac{x}{\sin x}}{x}$$利用洛必达法则：$$= \lim_{x \to 0}\frac{-\frac{1}{2}\sin x + \frac{x\cos x}{\sin^2 x}}{1} = -\frac{1}{2}$$通过解答以上练习题，我们可以发现，掌握数学极限的运算方法和技巧是非常重要的。
考研高数极限试题及答案模拟试题：一、选择题（每题3分，共15分）1. 极限 \(\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x}\) 的值是多少？A. 0B. 1C. -1D. \(\frac{1}{2}\)2. 函数 \(f(x) = \frac{x^2 - 1}{x - 1}\) 在 \(x = 1\) 处的极限是多少？A. 2B. 1C. 0D. 不存在3. 极限 \(\lim_{x \to +\infty} \frac{x^2}{e^x}\) 存在吗？A. 是B. 否4. 函数 \(g(x) = \begin{cases}x^2 & \text{if } x \neq 0 \\0 & \text{if } x = 0\end{cases}\) 在 \(x = 0\) 处的右极限是多少？A. 0B. 1C. \(\frac{1}{2}\)D. 不存在5. 极限 \(\lim_{x \to 1} (x^2 - 1)\) 等于多少？A. 0B. 1C. 2D. 3二、计算题（每题10分，共40分）6. 计算极限 \(\lim_{x \to 2} \frac{x^2 - 4}{x - 2}\)。
7. 计算极限 \(\lim_{x \to 0} \frac{\cos x - 1}{x}\)。
8. 计算极限 \(\lim_{x \to +\infty} \frac{\sin x}{x}\)。
9. 计算极限 \(\lim_{n \to \infty} \frac{1}{n^2} +\frac{1}{n^3}\)。
三、解答题（每题20分，共40分）10. 证明 \(\lim_{x \to 0} x \sin \frac{1}{x} = 0\)。
11. 已知 \(\lim_{x \to 2} f(x) = 3\)，证明 \(\lim_{x \to 2} [f(x)]^2 = 9\)。
有关极限考研试题及答案1. 计算极限 \(\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x}\)。
答案：根据洛必达法则，当分子分母同时趋向于0时，可以求导数来计算极限。
对于本题，我们有：\[\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = \lim_{x \to 0}\frac{\cos x}{1} = 1\]2. 求函数 \(f(x) = x^3 - 3x\) 在 \(x = 1\) 处的左极限和右极限。
答案：- 左极限 \(\lim_{x \to 1^-} f(x) = 1^3 - 3 \times 1 = -2\) - 右极限 \(\lim_{x \to 1^+} f(x) = 1^3 - 3 \times 1 = -2\)由于左极限等于右极限，所以函数在 \(x = 1\) 处的极限存在，且为 \(-2\)。
3. 判断函数 \(g(x) = \frac{1}{x^2 + 1}\) 是否在 \(x = 0\) 处连续。
答案：函数 \(g(x)\) 在 \(x = 0\) 处的左极限和右极限都等于1，即：\[\lim_{x \to 0^-} g(x) = \lim_{x \to 0^+} g(x) = 1\]同时，\(g(0) = 1\)，因此函数在 \(x = 0\) 处连续。
4. 计算不定积分 \(\int \frac{1}{1 + x^2} \, dx\)。
答案：这是一个标准积分形式，其积分结果为：\[\int \frac{1}{1 + x^2} \, dx = \arctan(x) + C\]其中 \(C\) 为积分常数。
5. 求函数 \(h(x) = \ln(x)\) 在 \(x = e\) 处的导数。
答案：函数 \(h(x)\) 的导数为 \(h'(x) = \frac{1}{x}\)，因此在 \(x = e\) 处的导数为：\[h'(e) = \frac{1}{e}\]6. 判断级数 \(\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2}\) 是否收敛。
高数考研题库极限高数考研题库极限高等数学是考研数学中的重要科目，而极限是高等数学中的基础概念，也是考研数学中的重点内容之一。
掌握好极限的理论和解题技巧对于考研数学的学习至关重要。
因此，熟悉高数考研题库中的极限题目，对于备考考研数学是非常有帮助的。
极限是数学中的一个重要概念，它描述了一个函数在某一点的趋近情况。
在高等数学中，我们经常会遇到求极限的问题，因此，掌握极限的概念和性质是非常重要的。
在高数考研题库中，极限题目的形式多种多样，涉及到函数的极限、数列的极限等。
下面我们就来看几个例子。
第一题：计算极限$$\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x}$$这是一个典型的极限题目，也是考研中经常出现的题型。
我们可以通过泰勒展开或利用极限的性质来求解。
根据泰勒展开，我们有$$\sin x = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \frac{x^7}{7!} + \cdots$$将上式代入原式，得到$$\lim_{x \to 0} \frac{x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \frac{x^7}{7!} +\cdots}{x}$$化简可得$$\lim_{x \to 0} 1 - \frac{x^2}{3!} + \frac{x^4}{5!} - \frac{x^6}{7!} + \cdots$$由于$$\lim_{x \to 0} x^n = 0, \quad (n > 0)$$因此，上式的极限为1。
所以，原式的极限为1。
第二题：求函数的极限$$\lim_{x \to +\infty} \left(1 + \frac{1}{x}\right)^x$$这是一个常见的求极限的题目，也是考研中常见的题型之一。
我们可以通过利用极限的性质来求解。
将上式化简为$$\lim_{x \to +\infty} \left(1 + \frac{1}{x}\right)^x = \lim_{x \to +\infty}\left(\frac{x+1}{x}\right)^x$$再将上式化简为$$\lim_{x \to +\infty} \left(\frac{x+1}{x}\right)^x = \lim_{x \to +\infty} \left(1 +\frac{1}{x}\right)^x \cdot \lim_{x \to +\infty} \left(\frac{x}{x+1}\right)$$由于$$\lim_{x \to +\infty} \left(1 + \frac{1}{x}\right)^x = e$$$$\lim_{x \to +\infty} \left(\frac{x}{x+1}\right) = 1$$因此，原式的极限为$e \cdot 1 = e$。
5、【答案】：.【解析】：6、【答案】：(C)【解析】：由得：，所以此时必有：，，故7、原式8、【答案】：.【解析】：9、【答案】：.【解析】：10、【答案】：.中公考研，让考研变得简单！查看更多【解析】：.11、【答案】：（D）【解析】：若存在，必得存在，从而应得存在，这与已知矛盾，故A、B不正确.对于（C），只需取反例说明即可例存在，不存在但是存在的，故（C）必不正确.12、【答案】：.【解析】：（1）（3）（4）有不可导点.二．洛必达法则13、（1）【解析】：（2）【解析】：中公考研，让考研变得简单！查看更多（3）【解析】：（4）【解析】：（5）【解析】：原式（6）【解析】：原式14、【答案】：0【解析】：由，知，，于是当时，.故.15、【解析】：中公考研，让考研变得简单！查看更多16、【解析】：17、（1）【解析】：（2）【解析】：.三．泰勒公式18、（1）【解析】：（2）【解析】：原式中公考研，让考研变得简单！查看更多（3）【解析】：（4）【解析】：（5）【解析】：（6）【解析】：故中公考研，让考研变得简单！查看更多（7）【解析】：（8）【解析】：19、【答案】：(B)【解析】：利用泰勒公式由题设20、【答案】：(C)【解析】：利用泰勒公式中公考研，让考研变得简单！查看更多代入可得，也即从而有，可知，故选(C).21、【解析】：由泰勒公式得代入可得.22、【答案】：(D)【解析】：利用泰勒公式从而有，可知，故选(D).23、【解析】：由泰勒公式得从而中公考研，让考研变得简单！查看更多24、【解析】：可知.四．幂指函数的处理25、（1）【解析】：原式，在此数列的极限可以转化为函数的极限问题，考虑极限，所以原式=（2）【解析】：中公考研，让考研变得简单！查看更多（3）【解析】：令，则.故.（4）【解析】：（5）【解析】：（6）【解析】：，故，（7）【解析】：（8）【解析】：中公考研，让考研变得简单！查看更多（9）【解析】：（10）【解析】：.26、【解析】：.由极限存在与无穷小量的关系知，上式可改写为，其中满足.由此解出.从而.五．夹逼定理27、【答案】：（A）【解析】：由得又由及夹逼定理得，因此，由此得，故应选（A）中公考研，让考研变得简单！查看更多28、（1）【解析】：，有界，故.（2）【解析】：，有界，故.29、【答案】：(B)【解析】：，由于且，按极限的夹逼定理得30、【答案】：【解析】：令，则故当，利用夹逼定理可得31、（1）【解析】：由于再由，则原式（2）【解析】：中公考研，让考研变得简单！查看更多（3）【解析】：，。
考研数学极限题真题解析考研数学极限题真题解析在考研数学中，极限题是一个非常重要的考点。
掌握好极限的概念和解题技巧，对于提高数学成绩至关重要。
本篇文章将通过对几道考研数学极限题的真题解析，帮助考生更好地理解和掌握极限的相关知识。
一、题目一已知数列${a_n}$满足$a_1=1$，$a_{n+1}=\sqrt{a_n+2}$，求$\lim_{n\to\infty}a_n$。
解析：首先，我们可以观察到数列${a_n}$是递推定义的，每一项都依赖于前一项。
我们可以尝试计算前几项的值，看是否能找到规律。
$a_1=1$，$a_2=\sqrt{1+2}=3$，$a_3=\sqrt{3+2}=\sqrt{5}$，$a_4=\sqrt{\sqrt{5}+2}=\sqrt[4]{5+2}$，依此类推。
我们可以发现，每一项都是前一项的平方根加上2的结果。
因此，我们可以猜测，当$n$趋近于无穷大时，数列${a_n}$的极限应该是一个常数。
设该极限为$L$，则有$L=\sqrt{L+2}$。
将方程两边平方，得到$L^2=L+2$。
移项整理，得到$L^2-L-2=0$。
解这个二次方程，我们得到$L=2$或$L=-1$。
但由于数列${a_n}$的每一项都是正数，所以$L$不能为负数。
因此，$\lim_{n\to\infty}a_n=2$。
二、题目二已知函数$f(x)=\frac{x^2-4}{x-2}$，求$\lim_{x\to2}f(x)$。
解析：这是一个极限的函数题。
我们可以尝试直接代入$x=2$，看看是否能够得到一个有意义的结果。
当$x=2$时，分子和分母都为0，无法直接计算。
但我们可以对函数进行化简，看是否能够消去这个不确定性。
将分子进行因式分解，得到$f(x)=\frac{(x+2)(x-2)}{x-2}$。
我们可以看到，分子中的$(x-2)$与分母中的$(x-2)$可以相互约去。
化简后的函数为$f(x)=x+2$。
第一讲：函数与数列的极限的强化练习题答案一、单项选择题1．下面函数与y x=为同一函数的是（）2.A y=.B y=ln.xC y e=.ln xD y e=解：ln lnxy e x e x===，且定义域(),-∞+∞，∴选D2．已知ϕ是f的反函数，则()2f x的反函数是（）()1.2A y xϕ=().2B y xϕ=()1.22C y xϕ=().22D y xϕ=解:令()2,y f x=反解出x：()1,2x y=ϕ互换x，y位置得反函数()12y x=ϕ，选A3．设()f x在(),-∞+∞有定义，则下列函数为奇函数的是（）()().A y f x f x=+-()().B y x f x f x=--⎡⎤⎣⎦()32.C y x f x=()().D y f x f x=-⋅解：()32y x f x=的定义域(),-∞+∞且()()()()()3232y x x f x x f x y x-=-=-=-∴选C4．下列函数在(),-∞+∞内无界的是（）21.1A yx=+.arctanB y x=.sin cosC y x x=+.sinD y x x=解: 排除法：A21122xxx x≤=+有界，B arctan2xπ<有界，C sin cosx x+≤故选D5．数列{}n x有界是lim nnx→∞存在的（）A 必要条件B 充分条件C 充分必要条件D 无关条件解：{}n x收敛时，数列n x有界（即nx M≤），反之不成立，（如(){}11n--有界，但不收敛，选A6．当n→∞时，21sinn与1kn为等价无穷小，则k= （）A12B 1C 2D -2解：2211sinlim lim111n nk kn nn n→∞→∞==，2k=选C二、填空题（每小题4分，共24分）7．设()11f xx=+，则()f f x⎡⎤⎣⎦的定义域为解：∵()f f x⎡⎤⎣⎦()111111f xx==+++112x xx≠-+=+ ∴()f f x ⎡⎤⎣⎦定义域为(,2)(2,1)(1,)-∞-⋃--⋃-+∞8．设2(2)1,f x x +=+ 则(1)f x -=解：（1）令()22,45x t f t t t +==-+()245f x x x =-+（2）()221(1)4(1)5610f x x x x x -=---+=-+9．函数44log log 2y =的反函数是解：（1）4log y =，反解出x ：214y x -=（2）互换,x y 位置，得反函数214x y -=10．n =解：原式32n =有理化11．若105lim 1,knn e n --→∞⎛⎫+= ⎪⎝⎭则k =解：左式=5lim ()510n kn k ne e e →∞---==故2k =12．2352limsin 53n n n n→∞++= 解：当n →∞时，2sinn ～2n∴原式=2532lim 53n n n n →∞+⋅+= 65三、计算题（每小题8分，共64分）13．求函数21arcsinx y -=解：{21113471110x x x x x --≤≤-≤≤><-->⎧⎪⎨⎪⎩⇔或∴函数的定义域为[](3,1)1,4--⋃ 14．设sin1cos 2x f x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭求()f x 解：22sin 2cos21sin 222x x x f⎛⎫⎛⎫==- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()()221f⎡⎤∴=-⎣⎦故()()221f x x =-15．设()f x ln x =，()g x 的反函数()()1211x g x x -+=-，求()()f g x解: （1） 求22():1x g x y x +=- ∴反解出x ：22xy y x -=+22x y y =+-互换,x y 位置得()22g x x x =+- (2)()()ln ln 22f g x g x x x ==⎡⎤⎣⎦+-16．判别()f x (ln x =的奇偶性。
高数强化考试题及答案一、选择题（每题4分，共20分）1. 极限的定义中，如果函数f(x)在x趋近于a时的极限存在，则以下哪个条件是正确的？A. f(x)在x=a处必须有定义B. f(x)在x=a处必须连续C. f(x)在x趋近于a时的左极限和右极限相等D. f(x)在x趋近于a时的值必须等于a答案：C2. 以下哪个函数是偶函数？A. f(x) = x^2 + xB. f(x) = x^3 - xC. f(x) = x^2 - 1D. f(x) = x^3 + 1答案：C3. 积分∫(0 to 1) x^2 dx的值是多少？A. 1/3B. 1/2C. 1D. 2答案：A4. 以下哪个级数是发散的？A. ∑(1/n^2) from n=1 to ∞B. ∑(1/n) from n=1 to ∞C. ∑((-1)^n/n) from n=1 to ∞D. ∑(1/2^n) from n=1 to ∞答案：B5. 函数y=e^x的导数是？A. e^(-x)B. e^xC. -e^xD. 1/e^x答案：B二、填空题（每题3分，共15分）1. 函数f(x)=x^3-3x的导数是________。
答案：3x^2-32. 函数f(x)=sin(x)的不定积分是________。
答案：-cos(x)+C3. 函数f(x)=e^x的二阶导数是________。
答案：e^x4. 函数f(x)=ln(x)的定义域是________。
答案：(0, +∞)5. 函数f(x)=x^2+2x+1的极小值点是________。
答案：-1三、解答题（每题10分，共30分）1. 求函数f(x)=x^2-4x+3在区间[1,3]上的定积分，并说明其几何意义。
答案：∫(1 to 3) (x^2-4x+3) dx = (1/3x^3-2x^2+3x) | from 1 to 3 = 0，几何意义是曲线y=x^2-4x+3与x轴在区间[1,3]上的面积为0，因为曲线在该区间内全部位于x轴下方。
模块二极限（应用）Ⅰ经典习题一．连续、间断点以及间断点的分类1、设，在连续，则2、“在点连续”是在点处连续的（）条件(A) 必要非充分(B) 充分非必要(C) 充要(D)既非充分又非必要3、设函数在区间上连续，则是函数的( )(A) 可去间断点(B) 跳跃间断点(C) 无穷间断点(D) 振荡间断点4、函数在上的第一类间断点是5、函数的间断点的个数为（）(A) 1 (B) 2 (C) 3 (D)46、设函数则( )（A）都是的第一类间断点.(B)都是的第二类间断点.(C)是的第一类间断点，是的第二类间断点.(D) 是的第二类间断点，是的第一类间断点.7、求函数的间断点，并指出类型。
8、求函数所有间断点及其类型二．可导与可微1．对导数定义式的直接考查9、则在处( )(A) 极限不存在(B) 极限存在，但不连续(C) 连续但不可导(D)可导10、在可导且为奇函数，则11、设函数在内有定义且，则在处（）（A）不连续（B）连续但不可导（C）可导且（D）可导但12、设连续，，且，求并讨论在处的连续性13、设在的邻域内有定义，，且，则在处( )（A）可导，且（B）可导，且（C）可导，且（D）不可导14、设可导，则当时，是的（）（A）高阶无穷小（B）等价无穷小（C）同阶无穷小（D）低阶无穷小15、设函数对任意均满足, 且, 其中为非零常数, 则（）(A) 在处不可导（B）在处可导, 且（C）在处可导, 且（D）在处可导,且2．导数的定义与极限的计算16、设一阶可导，且，则17、设二阶连续可导，且则18、在处可导，且，则19、设函数在点处可导，且，则（）（A）（B）（C）（D）20、设, 则21、设可导, 则22、设在处连续，且，则曲线在点的切线方程为23、已知函数在处可导，，求下列极限：（1）（2）（3）（4）（5）（6）3．函数可导的充要条件24、判断下列命题是否与函数在点处可导等价（1）极限存在（2）极限存在（3）极限存在（4）极限存在（5）极限存在（6）极限存在（7）极限存在（8）极限存在三．渐近线25、曲线的渐近线有（）(A)1条(B)2条 (C)3条(D)4条26、曲线渐近线的条数为（）(A)0 (B)1 (C)2 (D)327、求下列曲线所有的渐近线。
（1）（2）（3）四．多元函数微分学的概念28、讨论下列二重极限是否存在，如果存在求出极限值（1）（2）（3）（4）（5）（6）29、讨论下列函数在点处是否连续，偏导数是否存在，是否可微。
（1）（2）（3）（4）30、连续函数满足，则________。
Ⅱ参考答案一．连续、间断点以及间断点的分类1、【答案】：.【解析】：在连续由于，，即.2、【答案】：(B)【解析】：在连续在连续（）但在连续推不出在连续，如，在连续，但在间断3、【答案】：(A)【解析】：在中，令当时，当时，因此，于是，按照间断点的分类，所以是的可去间断点4、【答案】：.【解析】：显然在区间内没有意义的点有：，且，，根据间断点的定义知为跳跃间断点即为第一类间断点5、【答案】：(B)【解析】：易得的表达式：，由表达式得到的间断点为6、【答案】：(D)【解析】：因为，所以是的第二类间断点，再由，所以是的第一类间断点7、【解析】：显然为的间断点，其余点处都连续。
，为可去间断点所以为跳跃间断点。
8、【解析】：有间断点. 又.因为，所以为跳跃间断点.又，所以为可去间断点，且，所以为无穷间断点二．可导与可微1．对导数定义式的直接考查9、【答案】：(C) 【解析】：，所以在处不可导，又由存在可得在右连续和左连续，既在连续10、【答案】：2(0)g '【解析】：因()g x 在0x =处可导，所以()g x 在0x =处连续，又()g x 是奇函数，所以(0)0g =，222001()0()(0)(0)lim lim x x x e x g x f x f x f x x→→-+--'==222220001()(0)1()(0)lim lim[1]lim 2(0)x x x x x e x g x g e g x g g x x x x →→→-+---'=⋅=+⋅=11、【答案】：（C ） 【解析】：显然，且所以在处连续，又由得，根据夹逼定理：，即12、【解析】：当0x ≠时，做变量代换u xt =得0()()xf u du x xϕ=⎰当0x =时，1(0)(0)(0)f dt f ϕ==⎰。
由于()f x 连续，且0()limx f x A x→=，可知(0)0f =。
故0(),0()0,0x f u du x x xx ϕ⎧⎪≠=⎨⎪=⎩⎰ 则当0x ≠时，'02()()()xxf x f u dux xϕ-=⎰；当0x =时，'2()()(0)()(0)limlimlim22xx x x f u du x f x Axx x ϕϕϕ→→→-====⎰。
故02'()(),0(),02x xf x f u dux x x A x ϕ⎧-⎪≠⎪=⎨⎪=⎪⎩⎰下面再讨论'()x ϕ在0x =处的连续性：由于''0220000()()()()lim ()limlim lim (0)22xxx x x x xf x f u duf u du f x A A x A xx x ϕϕ→→→→-==-=-==⎰⎰ 可知'()x ϕ在0x =处连续 13、【答案】：（B ） 【解析】：而 所以14、【答案】：（A ） 【解析】：因为可导，所以可微分，即，所以是的高阶无穷小.15、【答案】：（D ） 【解析】：.,所以（注: 因为没有假设可导, 不能对于二边求导）.2．导数的定义与极限的计算16、【答案】：2【解析】：222000(1)1(1)1(1)1lim lim lim ln ()ln[1(()1)]()1x x x x x x f e f e f e f x f x f x →→→------==+--2220(1)(0)11lim 2()(0)1x x x x f e f e f x f e xx→---=⋅⋅=--17、【答案】：2e【解析】：由0()lim1,(0)0,(0)1x f x f f x→'=== 于是()()22001lim lim f x x f x xx x x e e e e x x -→→--=2000()()1()lim lim lim 222x x x f x x f x f x e x x →→→'''--==== 18、【答案】：()()f a f a e'【解析】：设()0f a >，原式可化为：1lim [ln ()ln ()]1()lim[]()x x f a f a x xx f a x e f a →∞+-→∞+=而101ln ()ln ()ln ()ln ()()()lim lim [ln ()]1()()x ax ax t xf a f a f a t f a f x f a x f x t f x f a x==→∞=→+-''+-'====于是所求极限为()()f a f a e'19、【答案】：（A ） 【解析】：因为故20、【答案】：31=k 【解析】：)('31)()(lim 0000x f x k x f x k x f k x =∆-∆+→∆, 所以)('31)('00x f x kf =所以31=k 21、【答案】：)(')(0x f n m +【解析】：解. xx n x f x f x f x m x f x ∆∆--+-∆+→∆)()()()(lim 00000=x m x f x m x f m x ∆-∆+→∆)()(lim 000+xn x f x n x f n x ∆--∆-→∆)()(lim 000=)(')(0x f n m +22、【答案】：【解析】：由极限的运算法则和相关公式易得。
从而，由于()f x 在0x 处连续，所以。
由得()f x 在点(0,(0))f 的切线方程为23、【解析】：（1） （2） （3） （4） （5） （6）3．函数可导的充要条件24、【解析】：（1）等价，（2）不等价，（3）等价，（4）不等价，（5）不等价，（6）不等价，（7）等价，（8）等价。
三．渐近线25、【答案】：(D)【解析】：水平渐近线，垂直渐近线，斜渐近线. 26、【答案】：(C)【解析】：垂直渐近线，斜渐近线.27、【解析】：（1）水平渐近线，斜渐近线；（2）垂直渐近线，斜渐近线；（3）垂直渐近线，斜渐近线。
四．多元函数微分学的概念28、【解析】：（1），由夹逼定理可得。
（2）由于无穷小量乘以有界量仍为无穷小量，所以。
（3）由重要极限可得。
（4）取特殊路径可知极限不存在。
（5），由夹逼定理可得。
（6）取特殊路径和可得极限不存在。
29、【解析】：（1）连续，偏导数存在（），但不可微。
（2）连续，偏导数存在（），但不可微。
（3）连续，存在，存在，不可微。
（4）连续，偏导数存在（），也可微。
29、【解析】：从极限式中凑出全微分的定义可知（资料素材和资料部分来自网络，供参考。
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