高等数学考研真题

考研数学二（高等数学）历年真题试卷汇编22(题后含答案及解析) 题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。

1．设函数f(x)=arctanx，若f(x)=xf’(ξ)，则ξ2／x2=( )A．1。

B．2／3。

C．1／2。

D．1／3。

正确答案：D解析：故选D。

知识模块：函数、极限与连续2．设an=3／2∫0n／(n+1)xn－1dx，则极限nan等于( )A．(1+e)3／2+1。

B．(1+e－1)3／2－1。

C．(1+e－1)3／2+1。

D．(1+e)3／2－1。

正确答案：B解析：因为=1／n(1+xn)3／2|0n／(n+1)=1／n{[1+()n]3／2－1}，所以=(1+e －1)3／2－1。

知识模块：函数、极限与连续3．A．∫12ln2xdx。

B．2∫12lnxdx。

C．2∫12ln(1+x)dx。

D．∫12ln2(1+x)dx。

正确答案：B解析：由题干可知，=2∫01ln(1+x)dx2∫12lntdt=2∫12lnxdx。

故选B。

知识模块：函数、极限与连续4．A．∫01dx∫0xdy。

B．∫01dx∫0xdy。

C．∫01dx∫01dy。

D．∫01dx∫01dy。

正确答案：D解析：=∫01dx∫01dy。

知识模块：函数、极限与连续填空题5．正确答案：－1／6解析：方法一：本题为0／0未定型极限的求解，利用洛必达法则即可。

方法二：泰勒公式。

知识模块：函数、极限与连续6．正确答案：解析：由于因此原式=eln2／2= 知识模块：函数、极限与连续7．正确答案：e1／2解析：因此原式=e1／2。

知识模块：函数、极限与连续8．正确答案：解析：知识模块：函数、极限与连续9．正确答案：π／4解析：=arctanx|01=π／4。

知识模块：函数、极限与连续10．正确答案：sin1－cos1解析：由定积分的定义=∫01xsinxdx=sin1－cos1。

考研数学二（高等数学）历年真题试卷汇编20(题后含答案及解析) 题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。

1．函数y=C1ex+C2e一2x+xex满足的一个微分方程是A．y”一y’一2y=3xex．B．y”一y’一2y=3ex．C．y”+y’一2y=3xex．D．y”+y’一2y=3ex．正确答案：D解析：由y=C1ex+C2e一2x+xex知，齐次方程的两个特征根分别为1和一2，所以只有(C)和(D)可能是正确的选项，将y=xex代入(D)中方程知其满足该方程，则应选(D)．2．在下列微分方程中，以y=C1ex+C2cos2x+C3sin2x(C1，C2，C3为任意常数)为通解的是A．y”‘+y”一4y’一4y=0．B．y”‘+y”+4y’+4y=0．C．y”‘一y”一4y’+4y=0．D．y”‘一y”+4y’一4y=0．正确答案：D解析：由原题设知所求方程的特征方程的根为ρ1=1，ρ2，3=±2i则其特征方程为(p一1)(ρ2+4)=0，故所求方程应为y”‘一y”+4y’一4y=0故应选(D)．3．设y1，y2是一阶线性非齐次微分方程y’+p(x)y=g(x)的两个特解，若常数λ，μ使λy1+μy2是该方程的解，λy1一μy2是该方程对应的齐次方程的解，则A．B．C．D．正确答案：A解析：由于λy1+μy2为方程y’+p(x)y=q(x)的解，则(λy1+py2)’+p(x) (λy1+μy2)=q(x)即λ(y1+p(x)y1)+μ(y2’+p(x)y2)=q(x)λq(x)+μp(x)=q(x)λ+μ=1由于λy1一μy2为方程y’+p(x)y=0的解，则(λy1一μy2)’+p(x) (λy1一μy2)=0λ(y1’+p(x)y1)一μ(y2’+p(x)y2)=0λq(x)一μq(x)=0λ一μ=0由(1)式和(2)式解得λ=μ=．4．微分方程y”一λ2y=eλx+e一λx(λ＞0)的特解形式为A．a(eλx+e一λx)．B．ax(eλx+ e一λx)．C．x(aeλx+be一λx)．D．x2(aeλx+be一λx)．正确答案：C解析：方程y”一λ2y=0的特征方程为r2一λ2=1r1=λ，r2=一λ方程y”一λ2y=eλx的特解形式为ax eλx方程y”一λ2y=e一λx的特解形式为bx e一λx则原方程的特解形式为y=x(axeλx+bxe一λx)故应选(C)．填空题5．微分方程y’=的通解是________．正确答案：y=Cxe一x．解析：由则ln|y|= ln|x|一x=ln|x|+ln e一x= ln(|x| e一x)y=Cxe一x．6．二阶常系数非齐次线性微分方程y”一4y’+3y=2e2x的通解为y=________．正确答案：y=C1ex+C2e3x一2e2x．解析：齐次方程特征方程为ρ2一4ρ+3=0解得ρ1=1，ρ2=3，则齐次方程通解为y=C1ex+ C2e3x设非齐方程特解为=Ae2x，代入原方程得A=一2，则原方程通解为y=C1ex+C2e3x一2e2x．7．微分方程(y+x2e一x)dx一xdy=0的通解是y=________．正确答案：y=x(C一e一x)．解析：方程(y+x2e一x)dx一xdy=0可改写为=x[∫e一xdx+C]=x(一e一x+C)=x(C一x).8．3阶常系数线性齐次微分方程y”‘一2y”+y’一2y=0的通解为y=________．正确答案：y=C1e2x+ C2cosx+C1sinx.解析：方程y”‘一2y”+ y’一2y=0的特征方程为r3—2r2+r一2=0即r2(r 一2)+(r一2)=0(r一2)(r2+1)=0r1=2，r2，3=±l’则原方程通解为y=C1e2x+ C2cosx+C1sinx．9．微分方程y’+y=e一xcosx满足条件y(0)=0的解为y=________．正确答案：e一x sinx．解析：由一阶线性方程的通解公式得y=e一∫dx[∫e一xcosx．e∫dxdx+C]=e 一x[∫cosxdx+C]=e一x[sinx+C]由y(0)=0知，C=0，则y=e一xsinx．10．微分方程ydx+(x一3y2)dy=0满足条件y|x=1=1的解为y=________．正确答案：解析：由ydx+(x一3y2)dy=0得这是一阶线性微分方程，由通解公式得又因为y=1时，x=1，解得C=0，故x=y2．y=．11．已知y1=e3x—xe2x，y2=ex一xe2x，y3=一xe2x是某二阶常系数非齐次线性微分方程的3个解，则该方程满足条件y|x=0=0，y’|x=0=1的解为y=________．正确答案：C1ex+C2e3x—xe2x解析：由题设知y1一y3=e3x，y2一y3=ex为齐次方程两个线性无关的特解，则非齐次方程的通解为y=C1ex+ C2e3x—xe2x．12．设函数y=y(x)是微分方程y”+y’一2y=0的解，且在x=0处y(x)取得极值3，则y(x)=________．正确答案：2ex+e一2x．解析：原方程的特征方程为λ2+λ一2=0特征根为λ1=1，λ2=一2原方程的通解为y=C1ex+ C2e一2x由y(0)=3，y’(0)=0得则C1= 2，C2=1，y =2ex+e 一2x．13．以y=x2一ex和y=x2为特解的一阶非齐次线性微分方程为________．正确答案：y’一y=2x一x2解析：设所求的一阶非齐次线性方程为y’+p(x)y=q(x)则y=x2与y=x2一ex 的差ex应是方程y’+p(x)y=0的解，将y=ex代入以上方程得p(x)=一1，再把y=x2代入方程y’一y=q(x)得q(x)=2x一x2，则所求方程为y’一y=2x一x2.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

高等数学考研真题含答案高等数学对于很多考研的同学来说，那可真是一座难以翻越的大山呀！但别怕，咱们今天就一起来瞅瞅那些让人又爱又恨的高等数学考研真题，还有贴心的答案解析哦！记得我之前有个学生叫小李，他特别努力，每天都早早地来到图书馆，抱着那本厚厚的高等数学教材，一脸严肃地钻研。

有一天，我路过他身边，发现他正对着一道真题愁眉苦脸。

那道题是这样的：计算定积分∫（x^2 ＋ 2x ＋ 1)dx，积分区间是0, 2。

小李在草稿纸上写写画画，额头上都冒出了汗珠。

咱们先来说说这道题的答案吧。

首先对被积函数进行积分，得到(x^3/3 ＋ x^2 ＋ x)，然后把积分上限 2 和下限 0 代入，相减得到 14 ／3 。

再来看这一类的真题，比如求函数 f(x) ＝ x^3 3x^2 ＋ 2 的极值。

这就需要我们先求导，f'（x) ＝ 3x^2 6x，令导数等于 0 ，解出 x ＝ 0 和 x ＝ 2 。

然后再判断这两个点是极大值还是极小值。

通过二阶导数或者判断一阶导数在这两个点左右两侧的符号，就能得出 x ＝ 0 是极大值点，极大值为 2 ；x ＝ 2 是极小值点，极小值为－2 。

还有像这种证明题，比如证明方程 x^3 3x ＋ 1 ＝ 0 在区间(0, 1)内至少有一个实根。

这就得用到零点定理啦。

先设函数 f(x) ＝ x^3 3x ＋1 ，然后计算 f(0) 和 f(1) ，发现 f(0) ＝ 1 ，f(1) ＝－1 ，因为 f(0) 和f(1) 异号，所以根据零点定理，在区间(0, 1)内至少存在一个点使得 f(x) ＝ 0 ，也就是方程 x^3 3x ＋ 1 ＝ 0 在区间(0, 1)内至少有一个实根。

就像小李后来跟我说的，刚开始做这些真题的时候，感觉每个字都认识，放在一起就像天书。

但慢慢地，多做几道，多总结方法，好像也就没那么可怕了。

再比如说求曲线 y ＝ x^2 与直线 y ＝ x 所围成的图形的面积。

10. 曲线 y = ln x 与直线 x + y = 1 垂直的切线方程为 ________ . 04数一考研题 11. 设函数 f ( x) 在 ( ∞ , + ∞) 上有定义 , 在区间 [ 0 , 2 ] 上 , f ( x ) = x ( x 2 4 ), 若对任意的 x 都满足 f ( x ) = kf ( x + 2 ), 其中 k 为常数 . (1) 写出 f ( x ) 在 [ 2 , 0 ) 上的表达式 ;
06数二考研题
h→ 0
h →0
设函数 y = y ( x ) 由方程 e y + 6 xy + x 2 1 = 0 所确定 , 则 y ′′(0) =
02数一考研题
.k hd
).
02数二考研题
(B) ln 3 1 ;
(C) ln 2 1;
(D) ln 2 1.
7. 设函数 f ( u ) 可导 , y = f ( x 2 ) 当自变量 x 在 x = 1 处取得增量 x = 0.1 时, 相应的函数增量 y 的线性主部为 0.1, 则 f ′ (1) = ( (A) 1 ; (B) 0.1 ; (C) 1 ;
4. 求 f ( x ) = x 2 ln(1 + x ) 在 x = 0 处的 n 阶导数 f 5. 曲线 y = ( x 1 ) 2 ( x 3 ) 2 的拐点个数为 ( (A) 0 ; (B) 1 ; (C) 2 ;
( 0) ( n ≥ 3) .
00数二考研题
). (D) 3.
01数二考研题
(2) 问 k 为何值时, f ( x ) 在 x = 0 处可导 .
考研真题二
1. 填空
xy 设函数 y = y ( x ) 由方程 2 = x + y 所确定 , 则 dy x =0

考研数学一（高等数学）-试卷1(总分102, 做题时间90分钟)1. 选择题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。

1.设当x→0时，有ax 3＋bx 2＋cx～，则( )．SSS_SINGLE_SELA a＝，b＝1，c＝0B a＝，b＝1，c＝0C a＝，b＝－1，c＝0D a＝0，b＝2，c＝02.设f(x)＝，g(x)＝x 3＋x 4，当x→0时，f(x)是g(x)的( )．SSS_SINGLE_SELA 等价无穷小B 同阶但非等价无穷小C 高阶无穷小D 低阶无穷小3.设，则当x→0时，f(x)是g(x)的( )．SSS_SINGLE_SELA 低阶无穷小B 高阶无穷小C 等价无穷小D 同阶但非等价的无穷小4.设{an }与{bn}为两个数列，下列说法正确的是( )．SSS_SINGLE_SELA若{an }与{bn}都发散，则{anbn}一定发散B若{an }与{bn}都无界，则{anbn}一定无界C若{an}无界且＝0，则＝0D若an 为无穷大，且＝0，则bn一定是无穷小5.设f(x)＝在(一∞，＋∞)内连续，且＝0，则( )．SSS_SINGLE_SELA a＞0，b＞0B a＜0，b＜0C a≥0，b＜0D a≤0，b＞06.设α～β(x→a)，则等于( )．SSS_SINGLE_SELA eBe 2C 1D7.设函数f(x)连续，且f’(0)＞0，则存在δ＞0使得( )．SSS_SINGLE_SELA 对任意的x∈(0，δ)有f(x)＞f(0)B 对任意的x∈(0，δ)有f(x)＜f(0)C 当x∈(0，δ)时，f(x)为单调增函数D 当x∈(0，δ)时，f(x)是单调减函数8.设f(x)是二阶常系数非齐次线性微分方程y"＋py"＋qy＝sin2x＋2e x的满足初始条件f(0)＝f"(0)＝0的特解，则当x→0时，( )．SSS_SINGLE_SELA 不存在B 等于0C 等于1D 其他9.下列命题正确的是( )．SSS_SINGLE_SELA 若｜f(x)｜在x＝a处连续，则f(x)在x＝a处连续B 若f(x)在x＝a处连续，则｜f(x)｜在x＝a处连续C 若f(x)在x＝a处连续，则f(x)在x＝a的一个邻域内连续D 若[f(a＋h)一f(a一h)]＝0，则f(x)在x＝a处连续2. 填空题1.SSS_FILL2.SSS_FILL3.SSS_FILL4.SSS_FILL5.当x→0时，x—sinxcos2x～cx k，则c＝__________，k＝__________．SSS_FILL6.SSS_FILL7.SSS_FILL8.SSS_FILL9.设f’(x)连续，f(0)＝0，f"(0)＝1，则＝___________.SSS_FILL10.设f(x)一阶连续可导，且f(0)＝0，f"(0)≠0，则＝___________.SSS_FILL11.设f(x)连续，且＝__________.SSS_FILL12.SSS_FILL13.设f(x)在x＝0处连续，且，则曲线y＝f(x)在(2，f(2))处的切线方程为_________．SSS_FILL14.设在x＝0处连续，则a＝___________，b＝___________.SSS_FILL3. 解答题解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

而 f ( x) 1 , [ x ] 1, f [ ( x)] 2 均无间断点,故排除 A 、 B 、 C ，应选 D 。 6、 C
4
分析：因为 f (0) a 2 lim e 1 a 1 。
x x 0
2、 lim(1
n
2 2 n ) e 2 n n2 1 2 2 2 2 2 2 1 2 1 1 n n n n n(n 1) n 1
分析：当 n 1 时,
2 2 2 2 n (1 ) n (1 2 ) n (1 ) n n n n 1 2 n 2 n 2 2 2 因为 lim(1 ) e , lim(1 ) e 2 ,所以 lim(1 2 ) n e 2 n n n n n 1 n n sin x sin a 3、 lim cos a xa xa
A
不存在
B
1
C
0
D
1
5、设 f ( x) 和 ( x) 在 , 内有定义， f ( x ) 为连续函数，且 f ( x) 0 ， ( x ) 有间断 点。则（ ）
A f ( x) 必有间断点 C
f ( x) 必有间断点
x
2
分析：原式 lim
5、 f (2008) 分 析 ： 令 y 0, 则 f (0) f ( x) f (0) 。 由 f ( x ) 0 ， 则 f (0) 0 ， 得 f ( x) 1 ， 故
2、已知函数 f ( x 1)
A A

1 x
x 1 ，则 f ( x 1) 等于（ ） x 1 x x 1 B C 1 x x

考研数学一（高等数学）-试卷53(总分54, 做题时间90分钟)1. 选择题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。

1.函数f(x)=xsinx( )SSS_SINGLE_SELA 当x→∞时为无穷大。

B 在(-∞，+∞)内有界。

C 在(-∞，+∞)内无界。

D 当x→∞时极限存在。

该题您未回答:х该问题分值: 2答案:C解析：令xn =2nπ+ ，yn=2nπ+π，则f(xn)=2nπ+ ，f(yn)=0。

因为，所以f(x)在(-∞，+∞)内无界，故选C。

2.设，则( )SSS_SINGLE_SELAf(x)在x=x0处必可导且f"(x)=a。

Bf(x)在x=x处连续，但未必可导。

Cf(x)在x=x处有极限但未必连续。

D 以上结论都不对。

该题您未回答:х该问题分值: 2答案:D解析：本题需将f(x)在x=x0处的左、右导数f"-(x2)和f"+(x)与在x=x0处的左、右极限区分开。

，但不能保证f(x)在x处可导，以及在x=x处连续和极限存在。

例如f(x)= 但是不存在，所以f(x)在x=0处不连续，不可导。

故选D。

3.曲线y=(x-1) 2 (x-3) 2的拐点个数为( )SSS_SINGLE_SELA 0。

B 1。

C 2。

D 3。

该题您未回答:х该问题分值: 2答案:C解析：对于曲线y，有 y"=2(x-1)(x-3) 2 +2(x-1) 2 (x-3) =4(x-1)(x-2)(x-3)， y""=4[(x-2)(x-3)+(x-1)(x-3)+(x-1)(x-2)] =4(3x 2 -12x+11)．令y""=0，得x1 = 又由y""=24(x-2)，可得 y"""(x1)≠0，y"""(x2)≠0，因此曲线有两个拐点，故选C。

考研数学一（高等数学）历年真题试卷汇编5(总分：62.00，做题时间：90分钟)一、选择题(总题数：9，分数：18.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。

（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________ 解析：2.当x→1（分数：2.00）A.等于2．B.等于0．C.为∞．D.不存在但不为∞．√3.设，其中a 2 +c 2≠0，则必有（分数：2.00）A.b=4dB.b=一4dC.a=4cD.a=一4c √4.设{a n }，{b n }，{c n }均为非负数列，且（分数：2.00）A.a n＜b n对任意n成立．B.b n＜c n对任意n成立．√解析：解析：由于即极限故应选(D)．5.当x→0 +时，与等价的无穷小量是（分数：2.00）A.B. √C.D.解析：解析：直接法．(B)．6.设函数f(x)在(一∞，+∞)内单调有界，{x n }为数列，下列命题正确的是（分数：2.00）A.若{x n }收敛，则{f(x n )}收敛．B.若{x n )单调，则{f(x n )}收敛．√C.若{f(x n )}收敛，则{x n }收敛．D.若{f(x n )}单调，则{x n }收敛．解析：解析：由于f(x)在(一∞，+∞)上单调有界，若{x n}单调，则{f(x n)}是单调有界数列，故{f(x n)}收敛，事实上(A)(C)(D)都是错误的，若令，显然，即{x n }收敛，令，显然f(x)在(一∞，+∞)上单调有界，但{f(x n )}不收敛．由于f(x n )= ，所以不存在，故(A)不正确．若令x n =n，f(x)=arctanx．显然{f(x n )}收敛且单调，但x n =n不收敛，故(c)和(D)不正确. 7.当x→0时，f(x)=x—sinax与g(x)=x 2 ln(1一bx)是等价无穷小，则（分数：2.00）A.a=1，√B.a=1，C.a=一1，D.a=一1，解析：解析：由于当x→0时，f(x)=x—sinax与y(x)=x 2ln(1一bx)是等价无穷小，则(A)．8.（分数：2.00）A.1．B.e．C.e a-b．√D.e b-a．解析：解析：由于=e a-b9.k，c为常数，且c≠0，则（分数：2.00）A.k=2，B.k=2，C.k=3，D.k=3，√二、填空题(总题数：10，分数：20.00)10.设函数f[f(x)]= 1．（分数：2.00）解析：解析：由x有｜f(x)｜≤1，则f[f(x)]=1．11.设a（分数：2.00）填空项1:__________________ （正确答案：正确答案：e 2a．）12.已知当x→0cosx一1是等价无穷小，则常数a= 1．（分数：2.00）填空项1:__________________ （正确答案：正确答案：[*]）解析：解析：由于x→0时则（分数：2.00）填空项1:__________________ （正确答案：正确答案：e 6．）解析：解析：由于=6，则6．14.，则a= 1．（分数：2.00）填空项1:__________________ （正确答案：正确答案：ln2）解析：解析：由于又 e 3a =8 知a=ln2．（分数：2.00）填空项1:__________________ （正确答案：正确答案：3／2）16.（分数：2.00）填空项1:__________________解析：（分数：2.00）填空项1:__________________ （正确答案：正确答案：[*]）。

专题一:极限与连续1、极限计算（等价无穷小替换，两个重要极限）()40sin sin sin sin lim x x x x x →-⎡⎤⎣⎦= 0ln(1)lim1cos x x x x→+=-.142e sin lim().1exx xxx→∞+++= )1ln(12)(cos lim x x x +→ = .2lim ()()xx x x a x b →∞⎡⎤⎢⎥-+⎣⎦= 110))1ln((lim -→+e x xx = 例、求极限()[]401cos ln(1tan )limsin x x x x x→--+例、当0x →时,()sin f x x ax =-与()()2ln 1g x x bx =-等价无穷小,则(A)11,6a b ==-(B)11,6a b ==(C)11,6a b =-=-(D)11,6a b =-=例、设函数)(x f 在0x =的某邻域具有一阶连续导数,且0)0()0(≠'f f ,当0→h 时,若)()0()2()(h o f h bf h af =-+,试求b a ,的值.例、已知两曲线)(x f y =与2arctan 0e x t y dt -=⎰在点(0,0)处的切线相同.求此切线的方程,并求极限)2(lim nnf n ∞→.例、当0x +→时,(A)1-(B)1(D)1-例、把+→0x 时的无穷小量dt t dt t dt t xx x⎰⎰⎰===302sin ,tan ,cos 2γβα,使排在后面的是前一个的高阶无穷小,则正确的排列次序是(A)γβα,, (B)βγα,, (C)γαβ,,(D)αγβ,,例、已知函数()11sin x f x x x+=-，记()0lim x a f x →=，(I)求a 的值;(II)若0x →时，()f x a -与kx 是同阶无穷小，求常数k 的值.2、两个极限收敛准则（夹逼准则，单调有界准则） 夹逼准则例、设}{},{},{n n n c b a 均为非负数列,且0lim =∞→n n a ,1lim =∞→n n b ,∞=∞→n n c lim ,则必有(A)n n b a <对任意n 成立 (B)n n c b <对任意n 成立 (C)极限n n n c a ∞→lim 不存在(D)极限n n n c b ∞→lim 不存在例、①证明：对任意的正整数n ，都有nn n 1)11ln(11<+<+成立； ②设......)2,1(ln 1............211=-+++=n n na n ，证明数列{}n a 收敛.单调有界准则例、设数列{}n x 满足()110,sin 1,2,...n x x x n ππ+<<==.求:(1)证明lim n x x →∞存在,并求之.(2)计算211lim n x n x n x x +→∞⎛⎫ ⎪⎝⎭. 例、设1230(1,2,3),n n n a n S a a a a >==++++，则数列{}n S 有界是数列{}n a 收敛的(A) 充分必要条件 (B) 充分非必要条件 (C) 必要非充分条件 (D) 非充分也非必要例、设函数()f x 在(0, +∞)上具有二阶导数,且"()0f x >, 令()1,2,,,n u f n n ==则下列结论正确的是(A)若12u u >,则{n u }必收敛(B)若12u u >,则{n u }必发散 (C)若12u u <,则{n u }必收敛(D)若12u u <,则{n u }必发散例、设函数()f x 在(,)-∞+∞内单调有界,{}n x 为数列,下列命题正确的是(A)若{}n x 收敛,则{}()n f x 收敛 (B)若{}n x 单调,则{}()n f x 收敛 (C)若{}()n f x 收敛,则{}n x 收敛(D)若{}()n f x 单调,则{}n x 收敛例、(I)证明方程1x x x ++=n n-1+()1n >的整数，在区间1,12⎛⎫⎪⎝⎭内有且仅有一个实根；(II)记(I)中的实根为n x ，证明lim n n x →∞存在，并求此极限.3、含极限的函数例、设函数n nn xx f 31lim )(+=∞→,则()f x 在),(+∞-∞内(A)处处可导 (B)恰有一个不可导点 (C)恰有两个不可导点(D)至少有三个不可导点4、函数的连续与间断点例、设()F x 是连续函数()f x 的一个原函数,""N M ⇔表示"M 的充分必要条件是",N 则必有(A)()F x 是偶函数()f x ⇔是奇函数 (B)()F x 是奇函数()f x ⇔是偶函数 (C)()F x 是周期函数()f x ⇔是周期函数 (D)()F x 是单调函数()f x ⇔是单调函数例、函数()3sin x x f x nx-=的可去间断点的个数（ ）()A 1.()B 2. ()C 3.()D 无穷多个.5、函数图象的渐近线例、曲线122+=x x y 的斜渐近线方程为 _____________.例、曲线1ln(1e)xyx=++,渐近线的条数为(A)0 (B)1 (C)2 (D)3例、曲线221x xyx+=-渐近线的条数为（）（A）0 （B）1 （C）2 （D）3专题二：导数与可微1、可导、可微定义与几何意义例、设0)0(=f 则)(x f 在x =0处可导⇔(A)20(1cos )lim h f h h→-存在(B) 0(1e )lim h h f h→-存在(C)2(sin )limh f h h h→-存在(D)hh f h f h )()2(lim-→存在例、设函数()f x 在0x =处连续,下列命题错误的是(A)若0()limx f x x →存在,则(0)0f = (B)若0()()lim x f x f x x→+- 存在,则(0)0f =(C)若0()lim x f x x → 存在,则(0)0f '= (D)若0()()lim x f x f x x→-- 存在,则(0)0f '=例、设函数()y f x =具有二阶导数,且()0,()0f x f x '''>>,x ∆为自变量x 在0x 处的增量,y ∆与dy 分别为()f x 在点0x 处对应的增量与微分,若0x ∆>,则(A)0dx y <<∆ (B)0y dy <∆< (C)0y dy ∆<<(D)0dy y <∆<例、设函数2()(1)(2)()xxnx f x e e e n =---，其中n 为正整数，则'(0)f =（A ）1(1)(1)!n n --- （B ）(1)(1)!n n -- （C ）1(1)!n n -- （D ）(1)!n n -例、已知2e 610yxy x ++-=,则(0)y ''=_____________.例、设()y y x =是由方程xy 1ye x +=+确定的隐函数，则2x=0d y=dx2例、设()y y x =是由方程21yx y e -+=所确定的隐函数，则202x d ydx== .例、设20e ,ln(1),ttx y u du -==+⎰求220t d ydx == .2、导数的应用应用一：切线，法线，曲率例、曲线ln y x =上与直线1=+y x 垂直的切线方程为__________ .例、曲线()()sin ln xy y x x +-=在点()0,1处的切线方程为 .例、曲线2221-x=0ln(2)u t e duy t t -⎧⎪⎨⎪=-⎩⎰在（0，0）处的切线方程为 例、曲线()20y x x x =+<上曲率为2的点的坐标是 . 例、若()f x ''不变号，且曲线()y f x =在点()1,1上的曲率圆为222x y +=，则()f x 在区间()1,2内（ ）()A 有极值点，无零点. ()B 无极值点，有零点.()C 有极值点，有零点. ()D 无极值点，无零点.应用二：判断单调性、凹凸性例、函数2x y x =在区间(]01，上的最小值为例、设函数)(x f 在定义域内可导,)(x f y =的图形如右图所示,则)(x f y '=的图形为(A) (B)(C) (D)例、设函数()y f x =在区间[]1,3-上的图形为则函数()()0xF x f t dt =⎰的图形为(A)(B)(C)(D)例、设函数()f x 在),(+∞-∞内连续,其导函数的图形如图所示,则()f x 有(A)一个极小值点和两个极大值点 (B)两个极小值点和一个极大值点 (C)两个极小值点和两个极大值点 (D)三个极小值点和一个极大值点例、设()f x 、()g x 是恒大于零的可导函数,且()()()()0f x g x f x g x ''-<,则当a x b <<时,有(A)()()()()f x g b f b g x > (B)()()()()f x g a f a g x >(C)()()()()f x g x f b g b >(D)()()()()f x g x f a g a >例、曲线432)4()3()2)(1(----=x x x x x y 的拐点是（ ）A （1，0）B （2，0）C （3，0）D （4，0） 例、设函数()f x 连续,且,0)0(>'f 则存在0>δ,使得(A)()f x 在(0,)δ内单调增加(B)()f x 在)0,(δ-内单调减少(C)对任意的),0(δ∈x 有()(0)f x f > (D)对任意的)0,(δ-∈x 有()(0)f x f > 例、设函数)(x f 在+R 上有界且可导,则(A)当0)(lim =+∞→x f x 时,必有0)(lim ='+∞→x f x(B)当)(lim x f x '+∞→存在时,必有0)(lim ='+∞→x f x(C) 当0)(lim 0=+→x f x 时,必有0)(lim 0='+→x f x(D) 当)(lim 0x f x '+→存在时,必有0)(lim 0='+→x f x .应用三：判断不等式例、证明：21ln cos 1,1112x x x x x x ++≥+-<<-应用四：讨论零点的个数例、设函数2()ln(2)x f x t dt =+⎰则()f x '的零点个数(A)0 (B)1(C)2(D)3例、求方程0arctan =-x x k 的不同实根的个数，其中k 为参数。

昆明理工大学2022年[高等数学]考研真题一、单项选择题1．的导数（ ）（A ）是奇函数（B ）是偶函数（C ）恒大于零（D ）不是周期函数2．（ ）（A ）0（B ）1（C ）2（D ）极限不存在3.函数的原函数是（）（A ）（B ）（C ）（D ）4.定积分=（ ）（A ）2(2sin )y x =()dy f x dx =0sin2lim x xx →=1x 212x -x2ln x3ln x+⎰ba xdx ()/2x ab -（B ）（C ）（D ）5.函数在x=0处有一个（ ）极大值（B ）极小值（C ）拐点（D ）间断点6.二元函数，则（ ）（A ）（B ）（C ）（D ）7.下列极限中，比更高阶的无穷小量是（ ）（A ）（B ）（C ）（D ）8.设函数，则高阶导数=（）（A ）12!（B ）11!（C ）10!2)(a b -22a b -2/))((a b b a -+)0,0(2>>+=b a bx a y 23cos z x y x y =+=∂∂x z32cos xy y+223si n x y x y-32si n xy y+23cos x y y+20l i m3x x →xx sin lim 0→)1(cos lim 0-→x x )(sin lim 0x x x -→xx tan lim 0→()()2931259=++f x x x x ()(12)f x（D ）09.直线L ：与z 坐标轴的夹角为（）（A ）（B ）（C ）（D ）10.曲面是（ ）（A ）xoz 平面上的曲线绕z 轴旋转而成（B ）yoz 平面上的曲线绕y 轴旋转而成（C ）球面（D ）圆柱面11.二阶常微分方程的通解为（ ）（A ）（B ）（C ）（D ）12.函数在x=0展开为泰勒级数，则（）（A ） （B ）（C ） （D ）3111++==-x z 6π4π3π2π122222=++z y x 1222=+x z 1222=+y z 2''0y a y +=21ax Cy C e +=12ax axy C e C e-=+21iax Cy C e +=12sin cos y C ax C ax=+x y e =0n n n y a x ∞==∑3a =116313二、填空题1.函数在区间[0,2]的最小值为.2.计算.3.计算积分.4.设区域,.5.二元函数,求.6.幂级数的收敛域为.7.曲线在处的切线方程为.8.曲线的拐点是.9.已知直线与平行，则.三、解答题1.（1）证明;（5分）（2）若函数在区间上连续，且在上可导，证明：存在，满足.2.求不定积分.6()63f x x x =-+30(1)l i m si n x x e x→-=101xdx xydy =⎰⎰{}(,)|03,03D x y x y =≤≤≤≤=⎰⎰D dxdy 22ln(2)u x y =+22u x∂=∂1(1)(1)n n n x n ∞=--∑2331x t y t⎧=-⎪⎨=+⎪⎩3t =339y x x =+-12()32=+⎧⎪=+⎨⎪=-⎩x t y t a z at 39125-+==x y z =a a b a b -≤+()f x [,]a b (,)a b (,)ξ∈a b ()()()()ξξξ-'+=-bf b af a f f b a22(si n )si n 2x xdx ⎰3.求，其中D 是由和围成的闭区域.4.求与矢量和垂直的单位矢量.5.求极限.22I ()Dx y d σ=+⎰⎰2y x =y x =23A i j k =++ B i k =+ 321(23)l i m (2)l n x x x x x →+-+。

高数考研真题及答案高数考研真题及答案高等数学是考研数学的重要组成部分，也是许多考生最为头疼的一门科目。

为了提高自己的数学水平，很多考生会通过做真题来进行复习。

本文将介绍一些高数考研真题及其答案，希望对考生们有所帮助。

一、函数与极限1. 某函数f(x)在x=0处连续，且f(0)=1，求极限lim(x→0)⁡〖f(2x-1)〗。

解析：根据函数的连续性和极限的性质，可以得出lim(x→0)⁡〖f(2x-1)〗=f(0)=1。

2. 已知函数f(x)满足f(0)=1，且对任意x，有f'(x)=f(x)，求f(x)的表达式。

解析：根据题目中给出的条件，可以得出f(x)=e^x，其中e是自然对数的底数。

二、导数与微分1. 求函数y=ln(1+x^2)的导数。

解析：根据链式法则和对数函数的导数公式，可以得出y'=(2x)/(1+x^2)。

2. 某物体的运动方程为s(t)=t^3-2t^2+3t，求物体在t=2时的速度。

解析：速度的定义是位移对时间的导数，即v(t)=s'(t)=3t^2-4t+3。

代入t=2，可以得到v(2)=7。

三、定积分与不定积分1. 求∫(0 to π/2)⁡〖sin^2(x) dx〗。

解析：根据三角恒等式sin^2(x)=1/2-1/2cos(2x)，可以将原式转化为∫(0 toπ/2)⁡〖(1/2-1/2cos(2x)) dx〗。

根据不定积分的性质和基本积分公式，可以得到结果为π/4。

2. 求∫(0 to 1)⁡〖x^2e^x dx〗。

解析：根据不定积分的性质和积分公式，可以得到结果为2。

四、级数1. 求级数∑(n=1 to ∞)⁡〖(1/2)^n〗的和。

解析：根据级数的求和公式，可以得到结果为1。

2. 求级数∑(n=1 to ∞)⁡〖(n^2)/(2^n)〗的和。

解析：根据级数的求和公式和幂级数的性质，可以得到结果为6。

通过以上的高数考研真题及答案的介绍，我们可以看到，在高等数学考研中，函数与极限、导数与微分、定积分与不定积分、级数等内容都是考生们需要重点掌握的知识点。

考研数学二（高等数学）历年真题试卷汇编9(题后含答案及解析) 题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。

1．设函数f(x)在x=0处可导，且f(0)=0，则A．一2f’(0).B．一f’(0).C．f’(0).D．0正确答案：B解析：2．函数f(x)=ln|(x一1)（x一2)(x一3)|的驻点个数为A．0B．1C．2D．3正确答案：C解析：令3x2—12x+11=0由于△= 122一12x+11＞0，则该方程有两个实根，f(x)有两个驻点．3．曲线y=渐近线的条数为A．0B．1C．2D．3正确答案：C解析：由于=1，则该曲线有水平渐近线y=1．又=∞，则x=1为该曲线的一条垂直渐近线，故应选(C)．4．设函数f(x)=(ex一1)(e2x一2)…（enx一n），其中n为正整数，则f’(0)= A．（一1)n一1（n一1）!．B．（一1）n（n一1）!．C．（一1）n1n!．D．（一1）nn!．正确答案：A解析：排除法：当n=2时，f(x)=(ex一1)(e2x一2)f’(x)=ex(e2x一2)+2e2x(ex一1)f’(0)=一1显然，(B)(C)(D)都不正确，故应选(A)．5．设函数y=f(x)由方程cos(xy)+lny一x=1确定，则A．2B．1C．一1D．一2正确答案：A解析：由方程cos(xy)+lny一x=1知，当x=0时，y=1，即f(0)=1，以上方程两端对x求导得将x=0，y=1代入上式得y’|x=0=1，即f’(0)=1，6．下列曲线中有渐近线的是A．y=x+sinxB．y=x2+sinxC．y=x+sinD．y=x2+sin正确答案：C解析：由于所以曲线y=x+有斜渐近线y=x，故应选(C)．7．设函数f(x)具有2阶导数，g(x)=f(0)(1一x)+f(1)x，则在区间[0，1]上A．当f’(x)≥0时，f(x)≥g(x)B．当f’(x)≥0时，f(x)≤g(x)C．当f”(x)≥0时，f(z)≥g(x)D．当f”(x)≥0时，f(x)≤g(x)正确答案：D解析：由于g(0)=f(0)，g(1)=f(1)，则直线y=f(0)(1一x)+f(1)x过点(0，f(0))和(1，f(1))，当f”(x)≥0时，曲线y=f(x)在区间[0，1]上是凹的，曲线y=f(x)应位于过两个端点(0，f(0))和(1，f(1))的弦y=f(0)(1一x)+f(1)x的下方，即f(x)≤g(x) 故应选(D)．8．曲线上对应于t=1的点处的曲率半径是A．B．C．D．正确答案：C解析：故应选(C)．9．设函数f(x)=arctanx，若f(x)=xf’(ξ)，则A．B．C．D．正确答案：D解析：由f(x)= arctanx，及f(x)=xf’(ξ)得故应选(D)．10．设函数f(x)=(α＞0，β＞0)．若f’(x)在x=0处连续，则A．α一β＞1．B．0＜α一β≤1．C．α一β＞2．D．0＜α一β≤2．正确答案：A解析：f一’(0)=0，f+’(0)=该极限存在当且仅当α一1＞0，即α＞1．此时，α＞1，f+’(0)=0，f’(0)=0．当x＞0时，f’(x)=axα一1+βxα一β一1cos要使上式的极限存在且为0，当且仅当α一β一1＞0．则α一β＞1．故应选(A)．11．设函数f(x)在(一∞，+∞)内连续，其2阶导函数f”(x)的图形如右图所示，则曲线y=f(x)的拐点个数为A．0B．1C．2D．3正确答案：C解析：由右图知f”(x1)=f”(x2)=0，f”(0)不存在，其余点上二阶导数f”(x)存在且非零，则曲线y=f(x)最多三个拐点，但在x=x1两侧的二阶导数不变号，因此不是拐点，而在x=0和x=x2两侧的二阶导数变号，则曲线y=f(x)有两个拐点，故应选(C)．12．设函数f(x)在(一∞，+∞)内连续，其导函数的图形如图所示，则A．函数f(x)有2个极值点，曲线y=f(x)有2个拐点．B．函数f(x)有2个极值点，曲线y=f(x)有3个拐点．C．函数f(x)有3个极值点，曲线y=f(x)有1个拐点．D．函数f(x)有3个极值点，曲线y=f(x)有2个拐点．正确答案：B解析：x1，x3，x5为驻点，而在x1和x3两侧一阶导数f’(x)变号，则为极值点，在x5两侧一阶导数f’(x)不变号，则不是极值点，在x2处一阶导数不存在，但在x2两侧f’(x)不变号，则不是极值点．在x2处二阶导数不存在，在x4和x5处二阶导数为零，在这三个点两侧一阶导函数的增减性发生变化，则都为拐点，故应选(B)．13．设函数fi(x)(i=1，2)具有二阶连续导数，且fi”(x0)＜0(i=1，2)．若两条曲线y=fi(x)(i=1，2)在点(x0，y0)处具有公切线y=g(x)，且在该点处曲线y=f1(x)的曲率大于曲线y=f2(x)的曲率，则在x0的某个邻域内，有A．f1(x)≤f2(x)≤g(x)．B．f2(x)≤f1(x)≤g(x)．C．f1(x)≤g(x)≤f2(x)．D．f2(x)≤g(x)≤f1(x)．正确答案：A解析：由函数fi(x)(i=1，2)具有二阶连续导数，且fi”(x0)＜0(i=1，2)可知，在x0某邻域内曲线y =fi(x)(i=1，2)是凸的，而两曲线y=fi(x)(i=1，2)在点(x0，y0)处有公共切线y=g(x)，且在该点处曲线y=f1(x)的曲率大于曲线y=f2(x)的曲率，则在x0的某邻域内三条曲线如图所示，故在x0点的该邻域内f1(x)≤f2(x)≤g(x)故应选(A)．填空题14．曲线y=的渐近线方程为________．正确答案：y=2x．解析：显然曲线y=无水平渐近线和垂直渐近线，则原曲线有斜渐近线y=2x．15．函数y=ln(1一2x)在x=0处的n阶导数y(n)(0)=________．正确答案：一2n(n一1)!.解析：利用ln(l+x)的麦克劳林展开式16．已知一个长方形的长l以2cm/s的速率增加，宽ω以3 cm/s的速率增加，则当l=12 cm，ω=5 cm时，它的对角线增加的速率为________．正确答案：3．解析：设l=x(t)，ω=y(t)，其对角线长为z(t)，则z2(t)=x2(t)+y2(t)，2z(t)z’(t)=2x(t)x’(t)+2y(t)y’(t)将x(t)=12，y(t)=5，x’(t)=2，y’(t)=3，z(t)==13代入上式得z’(t)=3．17．设y=y(x)是由方程x2一y+1=ey所确定的隐函数，则|x=0=________．正确答案：1．解析：在方程x2一y+1=ey中令x=0，得y=0，该方程两端对x求导得2x 一y’=eyy’将x=0，y=0代入上式得y’(0)=0，上式再对x求导2一y”=eyy’2+eyy”将x=0，y=0，y’(0)代入上式得y”(0)=1．18．曲线y=x2+x(x＜0)上曲率为的点的坐标是________．正确答案：(一1，0)．解析：由y=x2+x得，y’=2x+1，y”=2，代入曲率计算公式得由K=得(2x+1)2=1解得x=0或x=一1，又x＜0，则x=一1，这时y=0，故所求点的坐标为(一1，0)．19．曲线上对应于t=1的点处的法线方程为________．正确答案：y+x=解析：而t=1时，x=则t=1处的法线方程为20．设f(x)是周期为4的可导奇函数，且f’(x)=2(x 一1)，x∈[0，2]，则f(7)=________．正确答案：1．解析：由f’(x)=2(x一1)，x∈[0，2]知，f(x)=(x一1)2+C．又f(x)为奇函数，则f(0)=0，C=一1．f(x)=(x一1)2一1．由于f(x)以4为周期，则f(7)=f[8+(一1)]=f(一1)=一f(1)=1．21．曲线L的极坐标方程是r=θ，则L在点(r，θ)=处的切线的直角坐标方程是________．正确答案：解析：22．=________．正确答案：48．解析：23．函数f(x)=x22x在x=0处的竹阶导数f(n)(0)=________．正确答案：n(n一1)(ln2)n一2．解析：24．曲线y=+arctan(1+x2)的斜渐近线方程为________．正确答案：y=x+解析：则该曲线的斜渐近线方程为y=x+25．已知函数f(x)在(一∞，+∞)上连续，且f(x)=(x+1)2+2∫0xf(t) dt，则当n≥2时，f(n)(0)=________．正确答案：5．2n一1．解析：等式f(x)=(x+1)2+2∫0xf (t)dt两边对x求导得f’(x)=2(x+1)+2f(x)，f’(0)=2+2f(0)=4f”(x)=2+2f’(x)，f”(0)=2+2f’(0)=10f”‘(x)=2f”(x)f(n)(x)=2f(n一1)(x)=22f(n一2)(x)=…=2n一2f”(x) (n＞2)f(n)(0)=2n一22f”(0) (n＞2)= 2n一2．10=2n一1．5.26．已知动点P在曲线y=x3上运动，记坐标原点与点P间的距离为l．若点P的横坐标对时间的变化率为常数υ0，则当点P运动到点(1，1)时，l对时间的变化率是________．正确答案：解析：由题设知解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

考研数学一（高等数学）历年真题试卷汇编2(总分：74.00，做题时间：90分钟)一、选择题(总题数：10，分数：20.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。

（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________ 解析：2.设函数u(x，y)=φ(x+y)+φ(x—y)+，其中函数φ具有二阶导数，φ具有一阶导数，（分数：2.00）A.B. √C.D.3.设有三元方程xy—zlny+e xz =1，根据隐函数存在定理，存在点(0，1，1)的一个邻域，在此邻域内该方程（分数：2.00）A.只能确定一个具有连续偏导数的隐函数z=z(x，y)．B.可确定两个具有连续偏导数的隐函数y=y(x，z)和z=z(x，y)．C.可确定两个具有连续偏导数的隐函数z=z(y，z)和z=z(x，y)．D.可确定两个具有连续偏导数的隐函数x=x(y，z)和y=y(x，z)．√解析：解析：令F(x，y，z)=xy—zlny+e xz一1 显然，F(x，y，z)在点(0，1，1)的邻域内有连续一阶偏导数，且F(0，1，1)=0，F x"(0，1，1)=2≠0，F y"(0，1，1)=一1≠0，由隐函数存在定理知方程xy—zlny+e xz =1可确定两个具有连续偏导数的隐函数x=x(y，z)和y=(x，z)，故应选(D)．4.若f(x，y)与φ(x，y)均为可微函数，且φy"(x，y)≠0．已知(x 0，y 0)是f(x，y)在约束条件φ(x，y)=0下的一个极值点，下列选项正确的是（分数：2.00）A.若f x "(x 0，y 0 )=0，则f y "(x 0，y 0 )=0．B.若f x "(x 0，y 0 )=0，则f y "(x 0，y 0)≠0．C.若f x "(x 0，y 0)≠0，则f y "(x 0，y 0 )=0．D.若f x "(x 0，y 0)≠0，则f y "(x 0，y 0)≠0．√解析：解析：由拉格朗日乘数法知，若(x 0，y 0 )是f(x，y)在约束条件φ(x，y)=0下的极值点，则必有若f x"(x 0，y 0)≠0，由①式知，λ≠0，加之原题设φy"(x，y)≠0，由②式知，λφy"(x 0，y 0)≠0，从而必有f y "(x 0，y 0)≠0，故应选(D)．5.函数f(x，(0，1)处的梯度等于（分数：2.00）A.i √B.一iC.jD.-j解析：解析：由f(x，y)= 知 f x "(0，1)=1，f y "(0，1)=0，所以gradf(0，1)=i6.设函数z=z(x，y)由方程确定，其中F为可微函数，且F 2"≠0，则（分数：2.00）A.x．B.z．√C.一x．D.一z．7.设函数f(x)具有二阶连续导数，且f(x)＞0，f"(0)=0，则函数z=f(x)lnf(y)在点(0，0)处取得极小值的一个充分条件是（分数：2.00）A.f(0)＞1，f"(0)＞0．√B.f(0)＞1，f"(0)＜0．C.f(0)＜1，f"(0)＞0．D.f(0)＜1，f"(0)＜0．8.如果f(x，y)在(0，0)处连续，那么下列命题正确的是（分数：2.00）A.f(x，y)在(0，0)处可微．B.f(x，y)在(0，0)处可微．√C.若f(x，y)在(0，0)D.若f(x，y)在(0，0)9.曲面x 2 +cos(xy)+yz+z=0在点(0，1，一1)处的切平面方程为（分数：2.00）A.x—y+z=一2．√B.x+y+z=0．C.x一2y+z=一3．D.x—y—z=0．解析：解析：令F(x，y，z)=x 2+cos(xy)+yz+x，则n={2x—ysin(xy)+1，一xsin(xy)+z,y}｜(0,1，-1)={1，一1，1} 则所求切平面方程为 x-(y一1)+(z+1)=0 即 x一y+z=一210.设有空间区域Ω1：x 2 +y 2 +z 2≤R 2，z≥0；及Ω2：x 2 +y 2 +z 2≤R 2，x≥0，y≥0，z≥0，则（分数：2.00）A.B.C. √D.解析：解析：由于(C)选项中的被积函数f(x，y，z)=z既是x的偶函数，也是y的偶函数，而积分域Ω1既关于yOz坐标面前后对称，又关xOz坐标面左右对称，则二、填空题(总题数：9，分数：18.00)11.设函数u(x，y，z)=，单位向量，则（分数：2.00）填空项1:__________________ （正确答案：正确答案：[*]）12.设f(u，v)为二元可微函数，z=f(x y，y x )，则（分数：2.00）填空项1:__________________ （正确答案：正确答案：yx y-1 f 1 "+y x Inyf 2 "．）13.（分数：2.00）填空项1:__________________ （正确答案：正确答案：4）（分数：2.00）填空项1:__________________ （正确答案：正确答案：(1，1，1)）15.曲面z=x 2 (1一siny)+y 2 (1一sinx)在点(1，0，1)处的切平面方程为 1．（分数：2.00）填空项1:__________________ （正确答案：正确答案：2x—y一z=1）解析：解析：由z=x 2 (1一siny)+y 2 (1一sinx)得 z x "=2x(1一siny)一y 2 cosx，z x "(1，0)=2 z y "=一x 2cosy+2y(1一sinx)，z y"(1，0)=一1 所以，曲面z=x 2 (1一siny)+y 2(1一sinx)在点(1，0，1)处的法向量为=(2，一1，一1)，该点处切平面方程为2(x一1)一y一(z一1)=0 即2x—y—z=1．16.若函数z=z(x，y)由方程e x +xyz+x+cosx=2确定，则dz｜(0，1) = 1．（分数：2.00）填空项1:__________________ （正确答案：正确答案：一dx）解析：解析：将x=0，y=1代入e z +xyz+x+cosx=2中得e z +1=2，则z=0 方程e z +xyz+x+cosx=2两端微分得 e z dz+yzdx+xzdy+xydz+dx—sinxdx=0 将x=0，y=1，z=0代入上式得 dx+dz=0 则dz｜(0，1) =一dx17.设L为取正向的圆周x 2 +y 2 =9，则曲线积分 1（分数：2.00）填空项1:__________________ （正确答案：正确答案：一18π．）18.向量场u(x，y，z)=xy 2 +ye z j+xln(1+z 2 )k在点P(1，1，0)处的散度divu= 1．（分数：2.00）填空项1:__________________ （正确答案：正确答案：2）19.设平面曲线L为下半圆周，则曲线积分（分数：2.00）填空项1:__________________ （正确答案：正确答案：π）三、解答题(总题数：18，分数：36.00)20.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

考研真题一
1. 求 lim
x ® 0
10. 设 f ( x ) = lim
n ® ¥
( n - 1 ) x , 则 f ( x ) 的间断点为 x = _________ . 04数二考研题 2 nx + 1 cos x 是等价无
05数二考研题
[
2 + e 1/ x sin x + . x 1 + e 4/ x
5. 设 f ( 0 ) = 0 , 则 f ( x ) 在点 x = 0 可导的充要条件为 : (A) lim
0 h ®
15. 设函数 y = y ( x ) 由方程 y = 1 - xe y 确定 , 则 dy dx
1
h 2
1
1 f ( - cos h ) 存在 ;
x ) g ( x ) - f ( x ) g ¢( x ) < 0 , 3. 设 f ( x ) , g ( x ) 是恒大于零的可导函数 , 且 f ¢(
则当 a < x < b 时有 ( ).
00数二考研题
a , b 的值 .
2 ln b - ln a 1 a < < 11. 设 0 < a < b , 证明不等式 2 . a + b 2 b - a ab
01数二考研题
(A) x = 0 , x = 1 都是 f ( x ) 的第一类间断点 ; (B) x = 0 , x = 1 都是 f ( x ) 的第二类间断点 ; (C) x = 0 是 f ( x ) 的第一类间断点 , x = 1 是 f ( x ) 的第二类间断点 ; (D) x = 0 是 f ( x ) 的第二类间断点 , x = 1 是 f ( x ) 的第一类间断点 . 13. lim

考研数学一（高等数学）历年真题试卷汇编11(题后含答案及解析) 题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。

1．设线性无关的函数y1，y2，y3都是二阶非齐次线性方程y”+p(x)y’+q(x)y=f(x)的解，c1，c2是任意常数，则该非齐次方程的通解是A．c1y1+c2y2+y3B．c1y1+c2y2一(c1+c2)y3C．c1y1+c2y2一(1一c1—c2)y3D．c1y1+c2y2+(1一c1一c2)y3正确答案：D解析：由于(D)中的y=C1y1+C2y2+(1一C1—C2)y3=C1(y1—y3)+C2(y2一y3)+y3其中y1一y3和y2一y3是对应的齐次方程的两个解，且y1一y3与y2一y3线性无关．事实上，若令A(y1一y3)+B(y2—y3)=0即Ay1+By2一(A+B)y3=0由于y1，y2，y3线性无关，则A=0，B=0，一(A+B)=0因此y1—y3与y2一y3线性无关，故y=C1y1+C2y2+(1一C1—C2)y3是原方程通解。

知识模块：高等数学2．若连续函数f(x)满足关系式，则f(x)等于A．exln2B．e2xln2C．ex+ln2D．e2x+ln2正确答案：B解析：等式两边求导得f’(x)=2f(x)解此方程得f(x)=Ce2x由原方程可知f(0)=ln2，代入f(x)=Ce2x得C=In2．故f(x)=e2xln2 知识模块：高等数学3．设曲线积分与路径无关，其中f(x)具有一阶连续导数，且f(0)=0，则f(x)等于A．B．C．D．正确答案：B解析：知识模块：高等数学4．已知函数y=y(x)在任意点x处的增量，且当△x→0时，α是△x的高阶无穷小，y(0)=π，则y(1)等于A．2πB．πC．D．正确答案：D解析：知识模块：高等数学5．在下列微分方程中，以y=C1ex+C2cos2x+C3sin2x(C1，C2，C3为任意常数)为通解的是A．y’’’+y”-4y’一4y=0．B．y’’’+y”+4y’+4y=0．C．y’’’一y”一4y’+4y=0．D．y’’’一y”+4y’一4y=0．正确答案：D解析：由原题设知所求方程的特征方程的根为ρ1=1，ρ2，3=±2i则其特征方程为(ρ一1)(ρ2+4)=0，故所求方程应为y’’’一y”+4y’一4y=0故应选(D)．知识模块：高等数学6．设是二阶常系数非齐次线性微分方程y”+ay’+by=cex的一个特解，则A．a=一3，b=2，c=一1．B．a=3，b=2，c=一1．C．a=一3，b=2，c=1．D．a=3，b=2，c=1．正确答案：A解析：由是方程y”+ay’+by=cex的一个特解可知，y1=e2x，y2=ex是齐次方程的两个线性无关的解，y*=xex是非齐次方程的一个解．1和2是齐次方程的特征方程的两个根，特征方程为(ρ—1)(ρ一2)=0即p2—3ρ+2=0则a=-3，b=2将y=xex代入方程y”一3y’+2y=cex得c=一1．故应选(A)．知识模块：高等数学填空题7．微分方程y’+ytanx=cosx的通解为y=__________．正确答案：(x+c)cosx．解析：由线性方程通解公式得知识模块：高等数学8．y”一4y=e2x的通解为y=_____________．正确答案：解析：特征方程为λ2一4=0，则λ1=一2，λ2=2，从而齐次方程的解为知识模块：高等数学9．微分方程xy”+3y’=0的通解为___________．正确答案：解析：令y’=p，则y”=p’．代入原方程得解得因此知识模块：高等数学10．设y=ex(C1sinx+C2cosx)(C1，C2为任意常数)为某二阶常系数线性齐次微分方程的通解，则该方程为_____________．正确答案：y”一2y’+2y=0．解析：所求方程的特征根为λ1，2=1±i则其特征方程为λ2一2λ+2=0故所求方程为y”一2y’+2y=0 知识模块：高等数学11．微分方程yy”+y’2=0满足初始条件的特解是____________．正确答案：y2=x+1或解析：令y’=P，则，代入原方程得知识模块：高等数学12．欧拉方程的通解为____________．正确答案：解析：令x=et 代入原方程所得新方程的特征方程为ρ(ρ一1)+4ρ+2=0解得ρ1=一1，ρ2=一2则新方程通解为y=C1e-t+C2e-2t，将x=et代入得原方程通解为．知识模块：高等数学13．微分方程xy’+2y=xlnx满足的解为___________．正确答案：解析：方程xy’+2y=xlnx是一阶线性方程，方程两端同除以x得：，则通解为知识模块：高等数学14．二阶常系数非齐次线性微分方程y”一4y’+3y=2e2x的通解为y=___________．正确答案：y=C1ex+C2e3x一2e2x．解析：齐次方程特征方程为ρ2一4ρ+3=0解得ρ1=1，ρ2=3，则齐次方程通解为y=C1ex+C2e3x设非齐方程特解为，代入原方程得A=一2，则原方程通解为y=C1ex+C2e3x一2e2x 知识模块：高等数学15．微分方程xy’+y=0满足条件y(1)=1的解是y=____________．正确答案：解析：方程xy’+y=0是一个变量可分离方程，原方程可改写为知识模块：高等数学16．若二阶常系数线性齐次微分方程y”+ay’+by=0的通解为y=(C1+C2x)ex，则非齐次方程y”+ay’+by=x满足条件y(0)=2，y’(0)=0的解为y=___________．正确答案：y=一xex+x+2解析：由于y=(C1+C2z)ex是方程y”+ay’+by=0的通解，则该方程的两个特征根为λ1=λ2=1，故a=一2，b=1．设非齐次方程y”一2y’+y=x的特解为y*=Ax+B代入方程得A=1，B=2，则其通解为y=(C1+C2x)ex+x+2由y(0)=2，y’(0)=0得，C1=0，C2=一1．所以y=一xex+x+2 知识模块：高等数学17．微分方程y’+y=e-xcosx满足条件y(0)=0的解为y=____________．正确答案：e-xsinx解析：由一阶线性方程的通解公式得由y(0)=0知，C=0，则y=e-xsinx 知识模块：高等数学18．若函数f(x)满足方程f”(x)+f’(x)一2f(x)=0及f”(x)+f(x)=2ex，则f(x)=___________正确答案：ex解析：知识模块：高等数学19．已知y1=e3x一xe2x，y2=ex一xe2x，y3=一xe2x是某二阶常系数非齐次线性微分方程的3个解，则该方程的通解为y=____________．正确答案：C1ex+C2e3x—xe2x．解析：由题设知y1—y3=e3x，y2一y3=ex为齐次方程两个线性无关的特解，则非齐次方程的通解为y=C1ex+C2e3x—xe2x 知识模块：高等数学解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

考研数学一（高等数学）-试卷146(总分52, 做题时间90分钟)3. 解答题解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

1.设z＝f(x，y)满足＝2x，f(x．1)＝0，＝sinx，求f(x，y)．SSS_TEXT_QUSTI该题您未回答:х该问题分值: 2答案:正确答案：＝2xy＋φ(x)，(x)为x的任意函数f(x，y)＝xy 2＋φ(x)y ＋ψ(x)，ψ(x)也是x的任意函数．由＝sinx，得[2xy＋＝sinx，则φ(x)＝sinx．由f(x，1)＝0，得[xy 2＋φ(x)y＋φ(x)]｜y＝0＝x＋sinx＋ψ(x)＝0，则ψ(x)＝一x一sinx．因此，f(x，y)ψ(x)]｜y＝1＝xy 2＋ysinx一x一sinx．2.设，求．SSS_TEXT_QUSTI该题您未回答:х该问题分值: 2答案:正确答案：3.设u＝u(x，y)由方程u＝φ(u)＋P(t)dt确定，其中φ可微，P连续，且φ'(u)≠1，求．SSS_TEXT_QUSTI该题您未回答:х该问题分值: 2答案:正确答案：将原方程对x求导将原方程对y求导考由①×P(y)＋②×P(x)得由于φ'(u)≠14.设函数u(x，y)有连续二阶偏导数，满足，又满足下列条件：u(x，2x)＝x，u'x (x，2x)＝x 2 (即u'x(x，y)｜y＝2x＝x 2 )，求u''xx(x，2x)，u''xy (x，2x)，u''yy(x，2x)．SSS_TEXT_QUSTI该题您未回答:х该问题分值: 2答案:正确答案：将u(x，2x)＝x两边对x求导，由复合函数求导法及ux'(x，2x)＝x 2得 ux '(x，2x)＋2uy'(x，2x)＝1，uy'(x，2x)＝(1一x2 )．现将ux '(x，2x)＝x 2，uy'2＝1(1一x 2 )分别对x求导得 uxx ''(x，2x)＋2uxy''(x，2x)＝2x， uyx''(x，2x)＋2uyy''(x，2x)＝一x．① ①式×2一②式，利用条件uxx ''(x，2x)一uyy''(x，2x)＝0及uxy''(x，2x)＝uyx ''(x，2x)得② 3uxy''(x，2x)＝5x，uxy''(x，2x)＝．代入①式得uxx ''(x，2x)＝uyy''(x，2x)＝．5.设z＝f(xy)＋yφ(x＋y)，且f，φ具有二阶连续偏导数，求．SSS_TEXT_QUSTI该题您未回答:х该问题分值: 2答案:正确答案：先求．由于f(xy)是一元函数f(u)与二元函数u＝xy的复合，u 是中间变量，φ(x＋y)是一元函数φ(v)与二元函数v＝x＋y的复合，v是中间变量．由题设知方便，由复合函数求导法则得6.设，求du及．SSS_TEXT_QUSTI该题您未回答:х该问题分值: 2答案:正确答案：u是u＝f(s，t)与复合而成的x，y，z的三元函数．先求du．由一阶全微分形式不变性及全微分四则运算法则，得进一步由已知函数f(x，y，z)＝x 3 y 2 z及方程x＋y＋z—3＋e —3＝e —(x＋y＋z)， (*) (I)如果x＝x(y，z)是由方程(*)确定的隐函数满足x(1，1)＝1，又u＝fx(y，z)，y，z)，求(Ⅱ)如果z＝z(x，y)是由方程(*)确定的隐函数满足z(1，1)＝1，又w＝f(x，y，z(x，y))，求SSS_TEXT_QUSTI该题您未回答:х该问题分值: 2答案:正确答案：(I)依题意，为f[x(y，z)，y，z]对y的偏导数，故有① 因为题设方程(*)确定x为y，z的隐函数，所以在(*)两边对y求导数时应将z看成常量，从而有由此可得＝一1．代入①式，得(Ⅱ)同(I)一样，求得在题设方程(*)中将x看成常量，对y求导，可得＝一1，故有8.设z＝f(x，y，u)，其中f具有二阶连续偏导数，u(x，y)由方程u 5—5xy＋5u＝1确定．求SSS_TEXT_QUSTI该题您未回答:х该问题分值: 2答案:正确答案：将方程u 5—5xy＋5u＝1两端对x求导数，得5u 4 ux'一5y＋5ux '＝0，解得，故在上式对x求导数时，应注意其中的f1'，f3'仍是x，y，u的函数，而u又是x，y的函数，于是9.设y＝f(x，t)，且方程F(x，y，t)＝0确定了函数t＝t(x，y)，求．SSS_TEXT_QUSTI该题您未回答:х该问题分值: 2答案:正确答案：由y＝f(x，t)知② 由F(x，y，t)＝0知，将dt的表达式代入②式并整理可得若可微函数z＝f(x，y)在极坐标系下只是θ的函数，求证(r≠0)．SSS_TEXT_QUSTI该题您未回答:х该问题分值: 2答案:正确答案：由z＝f(rcosθ，rsinθ)与r无关11.作自变量与因变量变换：u＝x＋y，v＝x—y，w＝xy—z，变换方程为w关于u，v的偏导数满足的方程，其中z对x，y有连续的二阶偏导数．SSS_TEXT_QUSTI该题您未回答:х该问题分值: 2答案:正确答案：由于z＝xy—w，则12.设u＝u(x，y)，v＝v(x，y)有连续的一阶偏导数且满足条件：F(u，v)＝0，其中F有连续的偏导数且SSS_TEXT_QUSTI该题您未回答:х该问题分值: 2答案:正确答案：将方程F(u，v)＝0分别对x，y求偏导数，由复合函数求导法得按题设，这个齐次方程有非零解，其系数行列式必为零，即13.设z＝f(x，y)，满足，又，由z＝f(x，y)可解出y＝y(z，x)．求：(I)；(Ⅱ)y＝(z，x)．SSS_TEXT_QUSTI该题您未回答:х该问题分值: 2答案:正确答案：(I)以z，x为自变量，y为因变量y＝y(z，x)，它满足z＝f(x，y(z，x))．将z＝f(x，y)对x求偏导数，得．再对x求偏导数，得将代入上式，得利用条件得(Ⅱ)因y＝y(z，x)，y＝xφ(z)＋ψ(z)·14.设f(x，y)＝2(y一x 2 ) 2一x 7一y 2， (I)求f(x，y)的驻点；(Ⅱ)求f(x，y)的全部极值点，并指明是极大值点还是极小值点SSS_TEXT_QUSTI该题您未回答:х该问题分值: 2答案:正确答案：(I)解即驻点为(0，0)与(一2，8)．在(一2，8)处，，AC一B 2＞0，A＞0 (—2，8)为极小值点. 在(0，0)处，AC 一B 2＝0，该方法失效·但令x＝0 f(0，y)＝y 2这说明原点邻域中y轴上的函数值比原点函数值大，又令y＝x 2，f(x，x 2 )＝，这说明原点邻域中抛物线y＝x 2上的函数值比原点函数值小，所以(0，0)不是极值点．15.求z＝2x＋y在区域D：≤1上的最大值与最小值．SSS_TEXT_QUSTI该题您未回答:х该问题分值: 2答案:正确答案：令F(x，y，λ)＝2x＋y＋λ(x 2＋一1)，解方程组由①，②得y＝2x，代入③得相应地因为z在D存在最大、最小值z在D的最大值为，最小值为．16.设函数z＝(1＋e y )cosx一ye y，证明：函数z有无穷多个极大值点，而无极小值点．SSS_TEXT_QUSTI该题您未回答:х该问题分值: 2答案:正确答案：(I)先计算(II)求出所有的驻点．由解得(x，y)＝(2nπ，0) 或 (x，y)＝((2n＋1)π，一2)，其中n＝0，±1，±2， (Ⅲ)判断所有驻点是否是极值点，是极大值点还是极小值点．在(2nπ，0)处，由于＝(一2)×(一1)一＝2＞0，一2＜0，则(2nπ，0)是极大值点．在((2n＋1)π，—2)处，由于则((2n＋1)π，一2)不是极值点．因此函数z有无穷多极大值点(2nπ，0)(n＝0，±1，±2，…)，而无极小值点．17.设函数f(u，v)具有二阶连续偏导数，函数g(y)连续可导，且g(y)在y＝1处取得极值g(1)＝2．求复合函数z＝f(xg(y)，x＋y)的二阶混合偏导数在点(1，1)处的值．SSS_TEXT_QUSTI该题您未回答:х该问题分值: 2答案:正确答案：计算可得将x＝1与y＝1代入并利用g(1)＝2，g'(1)＝0 即得18.设f(x，y)在点(a，b)的某邻域具有二阶连续偏导数，且f'y(a，b)≠0，证明由方程f(x，y)＝0在x＝a的某邻域所确定的隐函数y＝φ(x)在x＝a处取得极值＝φ(a)的必要条件是：f(a，b)＝0， f'x(a，b)＝0，且当r(a，b)＞0时，b＝φ(a)是极大值；当r(a，b)SSS_TEXT_QUSTI该题您未回答:х该问题分值: 2答案:正确答案：y＝φ(x)在x＝a处取得极值的必要条件是φ'(a)＝0．按隐函数求导法，φ'(x)满足 f'x (x，φ(x))＋f'y(x，φ(x))φ'(x)＝0． (*) 因b＝φ(a)，则有 f(a，b)＝0，φ'(a)＝于是fx'(a，b)＝0．将(*)式两边对x求导得 f''xx (x，φ(x))＋f''xy(x，φ(x))φ'(x)＋[f'y(x，φ(x))]φ'(x)＋f'y(x，φ(x))φ''(x)＝0，上式中令x＝a，φ(x)＝b，φ'(a)＝0，得因此当时，φ''(a)＜0，故b＝φ(a)是极大值；当时，φ''(a)＞0，故b＝φ(a)是极小值．19.建一容积为V的无盖长方体水池，问其长、宽、高为何值时有最小的表面积．SSS_TEXT_QUSTI该题您未回答:х该问题分值: 2答案:正确答案：化为无条件最值问题．由条件解出，代入S表达式得S＝xy＋＝xy＋2V(x＞0，y＞0) 解得x＝y＝因该实际问题存在最小值，所以当长、宽、高分别为时无盖长方体水池的表面积最小．20.已知三角形的周长为2p，将它绕其一边旋转而构成一立体，求使立体体积最大的那个三角形．SSS_TEXT_QUSTI该题您未回答:х该问题分值: 2答案:正确答案：设旋转边上的高为z，分该边长为x与y，见图8.2，于是该三角形的周长为l＝x＋y＋，该旋转体的体积V＝π(x＋y)z 2．问题化成求V在条件l一2p＝0下的最大值点求(x＋y)z 2在条件l一2p＝0下的最大值点求ln(x＋y)＋2lnz在条件x＋y＋—2p＝0下的最大值点．用拉格朗日乘子法．令F(x，y，z，λ)＝ln(x＋y)＋2lnz＋λ(x＋y＋)，解方程组由①，② x＝y，再由④ ⑤ 由实际问题知，最大体积一定存在，以上又是方程组的唯一解，因而三角形的三边长分别为，旋转边为时旋转体的体积最大．21.证明条件极值点的必要条件(8．9)式，并说明(8．9)式的几何意义．SSS_TEXT_QUSTI该题您未回答:х该问题分值: 2答案:正确答案：由所设条件，φ(x，y)＝0在x＝x的某邻域确定隐函数y＝y(x)满足y0＝y(x)，于是P(x，y)是z＝f(x，y)在条件φ(x，y)＝0下的极值点z＝f(x，y(x))在x＝x0取极值f'x(x，y)＋f'y (x，y)y'(x)＝0 ① 又由φ(x，y(x))＝0，两边求导得φ'x(x0，y)＋φ'y(x，y))＝0，解得y'(x2)＝一φ'x(x，y0 )／φ'y(x，y)．② 将②式代入①式得f'x(x，y)—f'y(x0，y)φ'(x，y)／φ'y(x，yn)＝0．因此在Oxy平面上看，φ(x，y)＝0是一条曲线，它在P0 (x，y)的法向量是(φ'x(P0 )，φ'y(P))，而f(x，y)＝f(x，y)是一条等高线，它在P的法向量是(f'x (P)，f'y(P))，(8．9)式表示这两个法向量平行，于是曲线φ(x，y)＝0与等高线f(x，y)＝f(P0 )在点P处相切．22.求函数u＝xy＋yz＋zx在M(2，l，3)处沿与各坐标轴成等角方向的方向导数．SSS_TEXT_QUSTI该题您未回答:х该问题分值: 2答案:正确答案：先求出所设方向的方向余弦．设所求方向与各坐标轴的夹角为α，由方向余弦的性质得 cos 2α＋cos 2α＋cos 2α＝1 cosα＝± ．均与各坐标轴成等角．23.求椭球面S：x 2＋y 2＋z 2一yz一1＝0上具有下列性质的点(x，y，z)的轨迹：过(x，y，z)的切平面与Oxy平面垂直．SSS_TEXT_QUSTI该题您未回答:х该问题分值: 2答案:正确答案：椭球面S上点x，y，z)处的法向量n＝{2x，2y一z，2z—y}．点(x，y，z)处切平面上Oxy平面，则n·k＝0，即2z—y＝0．又(x，y，z)在S上x 2＋y 2＋z 2一yz一1＝0．因此所求点的轨迹：．它是圆柱面x 2＋＝1与平面2x一y＝0的交线．24.过球面x 2＋y 2＋z 2＝169上点M(3，4，12)分别作垂直于x轴与y轴的平面，求过这两平面与球面的截线的公共点的两截线的切线方程，并求通过这两条切线的平面方程．SSS_TEXT_QUSTI该题您未回答:х该问题分值: 2答案:正确答案：过M点分别与x、y轴垂直的平面是z＝3与y＝4，与球面的截线它们的交点是M1 (3，4，12)， M2(3，4，一1 2)．г1在M1的切向量＝{0，24，一8}＝8{0，3，一1}，г2在M1的切向量＝{一24，0，6}＝6{一4，0，1}．г1，г2在M1点的切线方程分别为过这两条切线的平面方程是，即3(x一3)＋4(y一4)＋12(z—12)＝0．又г2在M2的切向量＝{0，一24，一8}＝8{0，一3，一1}，г2在M2的切向量＝{24，0，6}＝6{4，0，1}，г1，г2在M2点的切线方程分别为过两条切线的平面方程是，即3(x一3)＋4(y 一4)一12(z＋12)＝0．25.设a，b，c＞0，在椭球面的第一卦限部分求一点，使得该点处的切平面与三个坐标面所围成的四面体的体积最小．SSS_TEXT_QUSTI该题您未回答:х该问题分值: 2答案:正确答案：先写出椭球面上点(x，y，z)处的切半面方程，然后求出它在三条坐标轴上的截距，由此可写出四面体的体积表达式V(x，y，z)．问题化为求V(x，y，z)在条件下的最小值点．将椭球面方程改写成G(x，y，z) 椭球面第一卦限部分上点(x，y，z)处的切平面方程是其中（X．Y．Z)为切平面上任意点的坐标．分别令Y＝Z＝0，Z＝X＝0，X＝Y＝0，得该切平面与三条坐标轴的交点分别为四面体的体积为V(x，y，z)＝为了简化计算，问题转化成求V＝xyz(x＞0，y＞0，z＞0)在条件下的最大值点．令F(x，y，z，λ)＝xyz＋，求解方程组因实际问题存在最小值，因此椭球面上点(x，y，z)＝处相应的四面体的体积最小．1。

考研数学二（高等数学）历年真题试卷汇编29(题后含答案及解析) 题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。

1．甲乙两人赛跑，计时开始时，甲在乙前方10(单位：米)处，图中实线表示甲的速度曲线v=v1(t)(单位：m／s)，虚线表示乙的速度曲线v=v2(t)，三块阴影部分的面积的数值依次为10，20，3。

计时开始后乙追上甲的时刻记为t0(单位：s)，则( )A．t0=10。

B．15＜t0＜20。

C．t0=25。

D．t0＞25。

正确答案：C解析：从0到t0时刻，甲、乙的位移分别为v1(t)dt和v2(t)dt。

要使乙追上甲，则需[v2(t)－v1(t)]dt=10。

由定积分的几何意义可知∫025[v2(t)－v1(t)]dt=20－10=10，则t0=25。

故选C。

知识模块：一元函数积分学2．设f(x)=x2(x－1)(x－2)，则f’(x)的零点个数为( )A．0。

B．1。

C．2。

D．3。

正确答案：D解析：因为f(0)=f(1)=f(2)=0，由罗尔定理知有ξ1∈(0，1)，ξ2∈(1，2)使f’(ξ1)=f’(ξ2)=0，所以f’(x)至少有两个零点。

又f’(x)中含有因子x，故x=0也是f’(x)的零点，D正确。

知识模块：中值定理填空题3．一根长为1的细棒位于x轴的区间[0，1]上，若其线密度ρ(x)=－x2+2x+1，则该细棒的质心坐标=_______。

正确答案：11／20解析：质心横坐标其中∫01xρ(x)dx=∫01x(－x2+2x+1)dx=(－)|01=11／12，∫01ρ(x)dx=∫01(－x2+2x+1)dx=(－+x2+x)|01=5／3，所以得知识模块：一元函数积分学解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

4．设函数f(x)=，x∈[0，1]，定义函数列：f1(x)=f(x)，f2(x)=f[f1(x)]，…，fn(x)=f[fn－1(x)]，…。