高等数学考研真题

考研数学二（高等数学）历年真题试卷汇编22(题后含答案及解析) 题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。

1．设函数f(x)=arctanx，若f(x)=xf’(ξ)，则ξ2／x2=( )A．1。

B．2／3。

C．1／2。

D．1／3。

正确答案：D解析：故选D。

知识模块：函数、极限与连续2．设an=3／2∫0n／(n+1)xn－1dx，则极限nan等于( )A．(1+e)3／2+1。

B．(1+e－1)3／2－1。

C．(1+e－1)3／2+1。

D．(1+e)3／2－1。

正确答案：B解析：因为=1／n(1+xn)3／2|0n／(n+1)=1／n{[1+()n]3／2－1}，所以=(1+e －1)3／2－1。

知识模块：函数、极限与连续3．A．∫12ln2xdx。

B．2∫12lnxdx。

C．2∫12ln(1+x)dx。

D．∫12ln2(1+x)dx。

正确答案：B解析：由题干可知，=2∫01ln(1+x)dx2∫12lntdt=2∫12lnxdx。

故选B。

知识模块：函数、极限与连续4．A．∫01dx∫0xdy。

B．∫01dx∫0xdy。

C．∫01dx∫01dy。

D．∫01dx∫01dy。

正确答案：D解析：=∫01dx∫01dy。

知识模块：函数、极限与连续填空题5．正确答案：－1／6解析：方法一：本题为0／0未定型极限的求解，利用洛必达法则即可。

方法二：泰勒公式。

知识模块：函数、极限与连续6．正确答案：解析：由于因此原式=eln2／2= 知识模块：函数、极限与连续7．正确答案：e1／2解析：因此原式=e1／2。

知识模块：函数、极限与连续8．正确答案：解析：知识模块：函数、极限与连续9．正确答案：π／4解析：=arctanx|01=π／4。

知识模块：函数、极限与连续10．正确答案：sin1－cos1解析：由定积分的定义=∫01xsinxdx=sin1－cos1。

考研数学二（高等数学）历年真题试卷汇编20(题后含答案及解析) 题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。

1．函数y=C1ex+C2e一2x+xex满足的一个微分方程是A．y”一y’一2y=3xex．B．y”一y’一2y=3ex．C．y”+y’一2y=3xex．D．y”+y’一2y=3ex．正确答案：D解析：由y=C1ex+C2e一2x+xex知，齐次方程的两个特征根分别为1和一2，所以只有(C)和(D)可能是正确的选项，将y=xex代入(D)中方程知其满足该方程，则应选(D)．2．在下列微分方程中，以y=C1ex+C2cos2x+C3sin2x(C1，C2，C3为任意常数)为通解的是A．y”‘+y”一4y’一4y=0．B．y”‘+y”+4y’+4y=0．C．y”‘一y”一4y’+4y=0．D．y”‘一y”+4y’一4y=0．正确答案：D解析：由原题设知所求方程的特征方程的根为ρ1=1，ρ2，3=±2i则其特征方程为(p一1)(ρ2+4)=0，故所求方程应为y”‘一y”+4y’一4y=0故应选(D)．3．设y1，y2是一阶线性非齐次微分方程y’+p(x)y=g(x)的两个特解，若常数λ，μ使λy1+μy2是该方程的解，λy1一μy2是该方程对应的齐次方程的解，则A．B．C．D．正确答案：A解析：由于λy1+μy2为方程y’+p(x)y=q(x)的解，则(λy1+py2)’+p(x) (λy1+μy2)=q(x)即λ(y1+p(x)y1)+μ(y2’+p(x)y2)=q(x)λq(x)+μp(x)=q(x)λ+μ=1由于λy1一μy2为方程y’+p(x)y=0的解，则(λy1一μy2)’+p(x) (λy1一μy2)=0λ(y1’+p(x)y1)一μ(y2’+p(x)y2)=0λq(x)一μq(x)=0λ一μ=0由(1)式和(2)式解得λ=μ=．4．微分方程y”一λ2y=eλx+e一λx(λ＞0)的特解形式为A．a(eλx+e一λx)．B．ax(eλx+ e一λx)．C．x(aeλx+be一λx)．D．x2(aeλx+be一λx)．正确答案：C解析：方程y”一λ2y=0的特征方程为r2一λ2=1r1=λ，r2=一λ方程y”一λ2y=eλx的特解形式为ax eλx方程y”一λ2y=e一λx的特解形式为bx e一λx则原方程的特解形式为y=x(axeλx+bxe一λx)故应选(C)．填空题5．微分方程y’=的通解是________．正确答案：y=Cxe一x．解析：由则ln|y|= ln|x|一x=ln|x|+ln e一x= ln(|x| e一x)y=Cxe一x．6．二阶常系数非齐次线性微分方程y”一4y’+3y=2e2x的通解为y=________．正确答案：y=C1ex+C2e3x一2e2x．解析：齐次方程特征方程为ρ2一4ρ+3=0解得ρ1=1，ρ2=3，则齐次方程通解为y=C1ex+ C2e3x设非齐方程特解为=Ae2x，代入原方程得A=一2，则原方程通解为y=C1ex+C2e3x一2e2x．7．微分方程(y+x2e一x)dx一xdy=0的通解是y=________．正确答案：y=x(C一e一x)．解析：方程(y+x2e一x)dx一xdy=0可改写为=x[∫e一xdx+C]=x(一e一x+C)=x(C一x).8．3阶常系数线性齐次微分方程y”‘一2y”+y’一2y=0的通解为y=________．正确答案：y=C1e2x+ C2cosx+C1sinx.解析：方程y”‘一2y”+ y’一2y=0的特征方程为r3—2r2+r一2=0即r2(r 一2)+(r一2)=0(r一2)(r2+1)=0r1=2，r2，3=±l’则原方程通解为y=C1e2x+ C2cosx+C1sinx．9．微分方程y’+y=e一xcosx满足条件y(0)=0的解为y=________．正确答案：e一x sinx．解析：由一阶线性方程的通解公式得y=e一∫dx[∫e一xcosx．e∫dxdx+C]=e 一x[∫cosxdx+C]=e一x[sinx+C]由y(0)=0知，C=0，则y=e一xsinx．10．微分方程ydx+(x一3y2)dy=0满足条件y|x=1=1的解为y=________．正确答案：解析：由ydx+(x一3y2)dy=0得这是一阶线性微分方程，由通解公式得又因为y=1时，x=1，解得C=0，故x=y2．y=．11．已知y1=e3x—xe2x，y2=ex一xe2x，y3=一xe2x是某二阶常系数非齐次线性微分方程的3个解，则该方程满足条件y|x=0=0，y’|x=0=1的解为y=________．正确答案：C1ex+C2e3x—xe2x解析：由题设知y1一y3=e3x，y2一y3=ex为齐次方程两个线性无关的特解，则非齐次方程的通解为y=C1ex+ C2e3x—xe2x．12．设函数y=y(x)是微分方程y”+y’一2y=0的解，且在x=0处y(x)取得极值3，则y(x)=________．正确答案：2ex+e一2x．解析：原方程的特征方程为λ2+λ一2=0特征根为λ1=1，λ2=一2原方程的通解为y=C1ex+ C2e一2x由y(0)=3，y’(0)=0得则C1= 2，C2=1，y =2ex+e 一2x．13．以y=x2一ex和y=x2为特解的一阶非齐次线性微分方程为________．正确答案：y’一y=2x一x2解析：设所求的一阶非齐次线性方程为y’+p(x)y=q(x)则y=x2与y=x2一ex 的差ex应是方程y’+p(x)y=0的解，将y=ex代入以上方程得p(x)=一1，再把y=x2代入方程y’一y=q(x)得q(x)=2x一x2，则所求方程为y’一y=2x一x2.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

高等数学考研真题含答案高等数学对于很多考研的同学来说，那可真是一座难以翻越的大山呀！但别怕，咱们今天就一起来瞅瞅那些让人又爱又恨的高等数学考研真题，还有贴心的答案解析哦！记得我之前有个学生叫小李，他特别努力，每天都早早地来到图书馆，抱着那本厚厚的高等数学教材，一脸严肃地钻研。

有一天，我路过他身边，发现他正对着一道真题愁眉苦脸。

那道题是这样的：计算定积分∫（x^2 ＋ 2x ＋ 1)dx，积分区间是0, 2。

小李在草稿纸上写写画画，额头上都冒出了汗珠。

咱们先来说说这道题的答案吧。

首先对被积函数进行积分，得到(x^3/3 ＋ x^2 ＋ x)，然后把积分上限 2 和下限 0 代入，相减得到 14 ／3 。

再来看这一类的真题，比如求函数 f(x) ＝ x^3 3x^2 ＋ 2 的极值。

这就需要我们先求导，f'（x) ＝ 3x^2 6x，令导数等于 0 ，解出 x ＝ 0 和 x ＝ 2 。

然后再判断这两个点是极大值还是极小值。

通过二阶导数或者判断一阶导数在这两个点左右两侧的符号，就能得出 x ＝ 0 是极大值点，极大值为 2 ；x ＝ 2 是极小值点，极小值为－2 。

还有像这种证明题，比如证明方程 x^3 3x ＋ 1 ＝ 0 在区间(0, 1)内至少有一个实根。

这就得用到零点定理啦。

先设函数 f(x) ＝ x^3 3x ＋1 ，然后计算 f(0) 和 f(1) ，发现 f(0) ＝ 1 ，f(1) ＝－1 ，因为 f(0) 和f(1) 异号，所以根据零点定理，在区间(0, 1)内至少存在一个点使得 f(x) ＝ 0 ，也就是方程 x^3 3x ＋ 1 ＝ 0 在区间(0, 1)内至少有一个实根。

就像小李后来跟我说的，刚开始做这些真题的时候，感觉每个字都认识，放在一起就像天书。

但慢慢地，多做几道，多总结方法，好像也就没那么可怕了。

再比如说求曲线 y ＝ x^2 与直线 y ＝ x 所围成的图形的面积。

考研数学一（高等数学）-试卷1(总分102, 做题时间90分钟)1. 选择题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。

1.设当x→0时，有ax 3＋bx 2＋cx～，则( )．SSS_SINGLE_SELA a＝，b＝1，c＝0B a＝，b＝1，c＝0C a＝，b＝－1，c＝0D a＝0，b＝2，c＝02.设f(x)＝，g(x)＝x 3＋x 4，当x→0时，f(x)是g(x)的( )．SSS_SINGLE_SELA 等价无穷小B 同阶但非等价无穷小C 高阶无穷小D 低阶无穷小3.设，则当x→0时，f(x)是g(x)的( )．SSS_SINGLE_SELA 低阶无穷小B 高阶无穷小C 等价无穷小D 同阶但非等价的无穷小4.设{an }与{bn}为两个数列，下列说法正确的是( )．SSS_SINGLE_SELA若{an }与{bn}都发散，则{anbn}一定发散B若{an }与{bn}都无界，则{anbn}一定无界C若{an}无界且＝0，则＝0D若an 为无穷大，且＝0，则bn一定是无穷小5.设f(x)＝在(一∞，＋∞)内连续，且＝0，则( )．SSS_SINGLE_SELA a＞0，b＞0B a＜0，b＜0C a≥0，b＜0D a≤0，b＞06.设α～β(x→a)，则等于( )．SSS_SINGLE_SELA eBe 2C 1D7.设函数f(x)连续，且f’(0)＞0，则存在δ＞0使得( )．SSS_SINGLE_SELA 对任意的x∈(0，δ)有f(x)＞f(0)B 对任意的x∈(0，δ)有f(x)＜f(0)C 当x∈(0，δ)时，f(x)为单调增函数D 当x∈(0，δ)时，f(x)是单调减函数8.设f(x)是二阶常系数非齐次线性微分方程y"＋py"＋qy＝sin2x＋2e x的满足初始条件f(0)＝f"(0)＝0的特解，则当x→0时，( )．SSS_SINGLE_SELA 不存在B 等于0C 等于1D 其他9.下列命题正确的是( )．SSS_SINGLE_SELA 若｜f(x)｜在x＝a处连续，则f(x)在x＝a处连续B 若f(x)在x＝a处连续，则｜f(x)｜在x＝a处连续C 若f(x)在x＝a处连续，则f(x)在x＝a的一个邻域内连续D 若[f(a＋h)一f(a一h)]＝0，则f(x)在x＝a处连续2. 填空题1.SSS_FILL2.SSS_FILL3.SSS_FILL4.SSS_FILL5.当x→0时，x—sinxcos2x～cx k，则c＝__________，k＝__________．SSS_FILL6.SSS_FILL7.SSS_FILL8.SSS_FILL9.设f’(x)连续，f(0)＝0，f"(0)＝1，则＝___________.SSS_FILL10.设f(x)一阶连续可导，且f(0)＝0，f"(0)≠0，则＝___________.SSS_FILL11.设f(x)连续，且＝__________.SSS_FILL12.SSS_FILL13.设f(x)在x＝0处连续，且，则曲线y＝f(x)在(2，f(2))处的切线方程为_________．SSS_FILL14.设在x＝0处连续，则a＝___________，b＝___________.SSS_FILL3. 解答题解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

考研数学一（高等数学）-试卷53(总分54, 做题时间90分钟)1. 选择题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。

1.函数f(x)=xsinx( )SSS_SINGLE_SELA 当x→∞时为无穷大。

B 在(-∞，+∞)内有界。

C 在(-∞，+∞)内无界。

D 当x→∞时极限存在。

该题您未回答:х该问题分值: 2答案:C解析：令xn =2nπ+ ，yn=2nπ+π，则f(xn)=2nπ+ ，f(yn)=0。

因为，所以f(x)在(-∞，+∞)内无界，故选C。

2.设，则( )SSS_SINGLE_SELAf(x)在x=x0处必可导且f"(x)=a。

Bf(x)在x=x处连续，但未必可导。

Cf(x)在x=x处有极限但未必连续。

D 以上结论都不对。

该题您未回答:х该问题分值: 2答案:D解析：本题需将f(x)在x=x0处的左、右导数f"-(x2)和f"+(x)与在x=x0处的左、右极限区分开。

，但不能保证f(x)在x处可导，以及在x=x处连续和极限存在。

例如f(x)= 但是不存在，所以f(x)在x=0处不连续，不可导。

故选D。

3.曲线y=(x-1) 2 (x-3) 2的拐点个数为( )SSS_SINGLE_SELA 0。

B 1。

C 2。

D 3。

该题您未回答:х该问题分值: 2答案:C解析：对于曲线y，有 y"=2(x-1)(x-3) 2 +2(x-1) 2 (x-3) =4(x-1)(x-2)(x-3)， y""=4[(x-2)(x-3)+(x-1)(x-3)+(x-1)(x-2)] =4(3x 2 -12x+11)．令y""=0，得x1 = 又由y""=24(x-2)，可得 y"""(x1)≠0，y"""(x2)≠0，因此曲线有两个拐点，故选C。

考研数学一（高等数学）历年真题试卷汇编5(总分：62.00，做题时间：90分钟)一、选择题(总题数：9，分数：18.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。

（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________ 解析：2.当x→1（分数：2.00）A.等于2．B.等于0．C.为∞．D.不存在但不为∞．√3.设，其中a 2 +c 2≠0，则必有（分数：2.00）A.b=4dB.b=一4dC.a=4cD.a=一4c √4.设{a n }，{b n }，{c n }均为非负数列，且（分数：2.00）A.a n＜b n对任意n成立．B.b n＜c n对任意n成立．√解析：解析：由于即极限故应选(D)．5.当x→0 +时，与等价的无穷小量是（分数：2.00）A.B. √C.D.解析：解析：直接法．(B)．6.设函数f(x)在(一∞，+∞)内单调有界，{x n }为数列，下列命题正确的是（分数：2.00）A.若{x n }收敛，则{f(x n )}收敛．B.若{x n )单调，则{f(x n )}收敛．√C.若{f(x n )}收敛，则{x n }收敛．D.若{f(x n )}单调，则{x n }收敛．解析：解析：由于f(x)在(一∞，+∞)上单调有界，若{x n}单调，则{f(x n)}是单调有界数列，故{f(x n)}收敛，事实上(A)(C)(D)都是错误的，若令，显然，即{x n }收敛，令，显然f(x)在(一∞，+∞)上单调有界，但{f(x n )}不收敛．由于f(x n )= ，所以不存在，故(A)不正确．若令x n =n，f(x)=arctanx．显然{f(x n )}收敛且单调，但x n =n不收敛，故(c)和(D)不正确. 7.当x→0时，f(x)=x—sinax与g(x)=x 2 ln(1一bx)是等价无穷小，则（分数：2.00）A.a=1，√B.a=1，C.a=一1，D.a=一1，解析：解析：由于当x→0时，f(x)=x—sinax与y(x)=x 2ln(1一bx)是等价无穷小，则(A)．8.（分数：2.00）A.1．B.e．C.e a-b．√D.e b-a．解析：解析：由于=e a-b9.k，c为常数，且c≠0，则（分数：2.00）A.k=2，B.k=2，C.k=3，D.k=3，√二、填空题(总题数：10，分数：20.00)10.设函数f[f(x)]= 1．（分数：2.00）解析：解析：由x有｜f(x)｜≤1，则f[f(x)]=1．11.设a（分数：2.00）填空项1:__________________ （正确答案：正确答案：e 2a．）12.已知当x→0cosx一1是等价无穷小，则常数a= 1．（分数：2.00）填空项1:__________________ （正确答案：正确答案：[*]）解析：解析：由于x→0时则（分数：2.00）填空项1:__________________ （正确答案：正确答案：e 6．）解析：解析：由于=6，则6．14.，则a= 1．（分数：2.00）填空项1:__________________ （正确答案：正确答案：ln2）解析：解析：由于又 e 3a =8 知a=ln2．（分数：2.00）填空项1:__________________ （正确答案：正确答案：3／2）16.（分数：2.00）填空项1:__________________解析：（分数：2.00）填空项1:__________________ （正确答案：正确答案：[*]）。

专题一:极限与连续1、极限计算（等价无穷小替换，两个重要极限）()40sin sin sin sin lim x x x x x →-⎡⎤⎣⎦= 0ln(1)lim1cos x x x x→+=-.142e sin lim().1exx xxx→∞+++= )1ln(12)(cos lim x x x +→ = .2lim ()()xx x x a x b →∞⎡⎤⎢⎥-+⎣⎦= 110))1ln((lim -→+e x xx = 例、求极限()[]401cos ln(1tan )limsin x x x x x→--+例、当0x →时,()sin f x x ax =-与()()2ln 1g x x bx =-等价无穷小,则(A)11,6a b ==-(B)11,6a b ==(C)11,6a b =-=-(D)11,6a b =-=例、设函数)(x f 在0x =的某邻域具有一阶连续导数,且0)0()0(≠'f f ,当0→h 时,若)()0()2()(h o f h bf h af =-+,试求b a ,的值.例、已知两曲线)(x f y =与2arctan 0e x t y dt -=⎰在点(0,0)处的切线相同.求此切线的方程,并求极限)2(lim nnf n ∞→.例、当0x +→时,(A)1-(B)1(D)1-例、把+→0x 时的无穷小量dt t dt t dt t xx x⎰⎰⎰===302sin ,tan ,cos 2γβα,使排在后面的是前一个的高阶无穷小,则正确的排列次序是(A)γβα,, (B)βγα,, (C)γαβ,,(D)αγβ,,例、已知函数()11sin x f x x x+=-，记()0lim x a f x →=，(I)求a 的值;(II)若0x →时，()f x a -与kx 是同阶无穷小，求常数k 的值.2、两个极限收敛准则（夹逼准则，单调有界准则） 夹逼准则例、设}{},{},{n n n c b a 均为非负数列,且0lim =∞→n n a ,1lim =∞→n n b ,∞=∞→n n c lim ,则必有(A)n n b a <对任意n 成立 (B)n n c b <对任意n 成立 (C)极限n n n c a ∞→lim 不存在(D)极限n n n c b ∞→lim 不存在例、①证明：对任意的正整数n ，都有nn n 1)11ln(11<+<+成立； ②设......)2,1(ln 1............211=-+++=n n na n ，证明数列{}n a 收敛.单调有界准则例、设数列{}n x 满足()110,sin 1,2,...n x x x n ππ+<<==.求:(1)证明lim n x x →∞存在,并求之.(2)计算211lim n x n x n x x +→∞⎛⎫ ⎪⎝⎭. 例、设1230(1,2,3),n n n a n S a a a a >==++++，则数列{}n S 有界是数列{}n a 收敛的(A) 充分必要条件 (B) 充分非必要条件 (C) 必要非充分条件 (D) 非充分也非必要例、设函数()f x 在(0, +∞)上具有二阶导数,且"()0f x >, 令()1,2,,,n u f n n ==则下列结论正确的是(A)若12u u >,则{n u }必收敛(B)若12u u >,则{n u }必发散 (C)若12u u <,则{n u }必收敛(D)若12u u <,则{n u }必发散例、设函数()f x 在(,)-∞+∞内单调有界,{}n x 为数列,下列命题正确的是(A)若{}n x 收敛,则{}()n f x 收敛 (B)若{}n x 单调,则{}()n f x 收敛 (C)若{}()n f x 收敛,则{}n x 收敛(D)若{}()n f x 单调,则{}n x 收敛例、(I)证明方程1x x x ++=n n-1+()1n >的整数，在区间1,12⎛⎫⎪⎝⎭内有且仅有一个实根；(II)记(I)中的实根为n x ，证明lim n n x →∞存在，并求此极限.3、含极限的函数例、设函数n nn xx f 31lim )(+=∞→,则()f x 在),(+∞-∞内(A)处处可导 (B)恰有一个不可导点 (C)恰有两个不可导点(D)至少有三个不可导点4、函数的连续与间断点例、设()F x 是连续函数()f x 的一个原函数,""N M ⇔表示"M 的充分必要条件是",N 则必有(A)()F x 是偶函数()f x ⇔是奇函数 (B)()F x 是奇函数()f x ⇔是偶函数 (C)()F x 是周期函数()f x ⇔是周期函数 (D)()F x 是单调函数()f x ⇔是单调函数例、函数()3sin x x f x nx-=的可去间断点的个数（ ）()A 1.()B 2. ()C 3.()D 无穷多个.5、函数图象的渐近线例、曲线122+=x x y 的斜渐近线方程为 _____________.例、曲线1ln(1e)xyx=++,渐近线的条数为(A)0 (B)1 (C)2 (D)3例、曲线221x xyx+=-渐近线的条数为（）（A）0 （B）1 （C）2 （D）3专题二：导数与可微1、可导、可微定义与几何意义例、设0)0(=f 则)(x f 在x =0处可导⇔(A)20(1cos )lim h f h h→-存在(B) 0(1e )lim h h f h→-存在(C)2(sin )limh f h h h→-存在(D)hh f h f h )()2(lim-→存在例、设函数()f x 在0x =处连续,下列命题错误的是(A)若0()limx f x x →存在,则(0)0f = (B)若0()()lim x f x f x x→+- 存在,则(0)0f =(C)若0()lim x f x x → 存在,则(0)0f '= (D)若0()()lim x f x f x x→-- 存在,则(0)0f '=例、设函数()y f x =具有二阶导数,且()0,()0f x f x '''>>,x ∆为自变量x 在0x 处的增量,y ∆与dy 分别为()f x 在点0x 处对应的增量与微分,若0x ∆>,则(A)0dx y <<∆ (B)0y dy <∆< (C)0y dy ∆<<(D)0dy y <∆<例、设函数2()(1)(2)()xxnx f x e e e n =---，其中n 为正整数，则'(0)f =（A ）1(1)(1)!n n --- （B ）(1)(1)!n n -- （C ）1(1)!n n -- （D ）(1)!n n -例、已知2e 610yxy x ++-=,则(0)y ''=_____________.例、设()y y x =是由方程xy 1ye x +=+确定的隐函数，则2x=0d y=dx2例、设()y y x =是由方程21yx y e -+=所确定的隐函数，则202x d ydx== .例、设20e ,ln(1),ttx y u du -==+⎰求220t d ydx == .2、导数的应用应用一：切线，法线，曲率例、曲线ln y x =上与直线1=+y x 垂直的切线方程为__________ .例、曲线()()sin ln xy y x x +-=在点()0,1处的切线方程为 .例、曲线2221-x=0ln(2)u t e duy t t -⎧⎪⎨⎪=-⎩⎰在（0，0）处的切线方程为 例、曲线()20y x x x =+<上曲率为2的点的坐标是 . 例、若()f x ''不变号，且曲线()y f x =在点()1,1上的曲率圆为222x y +=，则()f x 在区间()1,2内（ ）()A 有极值点，无零点. ()B 无极值点，有零点.()C 有极值点，有零点. ()D 无极值点，无零点.应用二：判断单调性、凹凸性例、函数2x y x =在区间(]01，上的最小值为例、设函数)(x f 在定义域内可导,)(x f y =的图形如右图所示,则)(x f y '=的图形为(A) (B)(C) (D)例、设函数()y f x =在区间[]1,3-上的图形为则函数()()0xF x f t dt =⎰的图形为(A)(B)(C)(D)例、设函数()f x 在),(+∞-∞内连续,其导函数的图形如图所示,则()f x 有(A)一个极小值点和两个极大值点 (B)两个极小值点和一个极大值点 (C)两个极小值点和两个极大值点 (D)三个极小值点和一个极大值点例、设()f x 、()g x 是恒大于零的可导函数,且()()()()0f x g x f x g x ''-<,则当a x b <<时,有(A)()()()()f x g b f b g x > (B)()()()()f x g a f a g x >(C)()()()()f x g x f b g b >(D)()()()()f x g x f a g a >例、曲线432)4()3()2)(1(----=x x x x x y 的拐点是（ ）A （1，0）B （2，0）C （3，0）D （4，0） 例、设函数()f x 连续,且,0)0(>'f 则存在0>δ,使得(A)()f x 在(0,)δ内单调增加(B)()f x 在)0,(δ-内单调减少(C)对任意的),0(δ∈x 有()(0)f x f > (D)对任意的)0,(δ-∈x 有()(0)f x f > 例、设函数)(x f 在+R 上有界且可导,则(A)当0)(lim =+∞→x f x 时,必有0)(lim ='+∞→x f x(B)当)(lim x f x '+∞→存在时,必有0)(lim ='+∞→x f x(C) 当0)(lim 0=+→x f x 时,必有0)(lim 0='+→x f x(D) 当)(lim 0x f x '+→存在时,必有0)(lim 0='+→x f x .应用三：判断不等式例、证明：21ln cos 1,1112x x x x x x ++≥+-<<-应用四：讨论零点的个数例、设函数2()ln(2)x f x t dt =+⎰则()f x '的零点个数(A)0 (B)1(C)2(D)3例、求方程0arctan =-x x k 的不同实根的个数，其中k 为参数。

昆明理工大学2022年[高等数学]考研真题一、单项选择题1．的导数（ ）（A ）是奇函数（B ）是偶函数（C ）恒大于零（D ）不是周期函数2．（ ）（A ）0（B ）1（C ）2（D ）极限不存在3.函数的原函数是（）（A ）（B ）（C ）（D ）4.定积分=（ ）（A ）2(2sin )y x =()dy f x dx =0sin2lim x xx →=1x 212x -x2ln x3ln x+⎰ba xdx ()/2x ab -（B ）（C ）（D ）5.函数在x=0处有一个（ ）极大值（B ）极小值（C ）拐点（D ）间断点6.二元函数，则（ ）（A ）（B ）（C ）（D ）7.下列极限中，比更高阶的无穷小量是（ ）（A ）（B ）（C ）（D ）8.设函数，则高阶导数=（）（A ）12!（B ）11!（C ）10!2)(a b -22a b -2/))((a b b a -+)0,0(2>>+=b a bx a y 23cos z x y x y =+=∂∂x z32cos xy y+223si n x y x y-32si n xy y+23cos x y y+20l i m3x x →xx sin lim 0→)1(cos lim 0-→x x )(sin lim 0x x x -→xx tan lim 0→()()2931259=++f x x x x ()(12)f x（D ）09.直线L ：与z 坐标轴的夹角为（）（A ）（B ）（C ）（D ）10.曲面是（ ）（A ）xoz 平面上的曲线绕z 轴旋转而成（B ）yoz 平面上的曲线绕y 轴旋转而成（C ）球面（D ）圆柱面11.二阶常微分方程的通解为（ ）（A ）（B ）（C ）（D ）12.函数在x=0展开为泰勒级数，则（）（A ） （B ）（C ） （D ）3111++==-x z 6π4π3π2π122222=++z y x 1222=+x z 1222=+y z 2''0y a y +=21ax Cy C e +=12ax axy C e C e-=+21iax Cy C e +=12sin cos y C ax C ax=+x y e =0n n n y a x ∞==∑3a =116313二、填空题1.函数在区间[0,2]的最小值为.2.计算.3.计算积分.4.设区域,.5.二元函数,求.6.幂级数的收敛域为.7.曲线在处的切线方程为.8.曲线的拐点是.9.已知直线与平行，则.三、解答题1.（1）证明;（5分）（2）若函数在区间上连续，且在上可导，证明：存在，满足.2.求不定积分.6()63f x x x =-+30(1)l i m si n x x e x→-=101xdx xydy =⎰⎰{}(,)|03,03D x y x y =≤≤≤≤=⎰⎰D dxdy 22ln(2)u x y =+22u x∂=∂1(1)(1)n n n x n ∞=--∑2331x t y t⎧=-⎪⎨=+⎪⎩3t =339y x x =+-12()32=+⎧⎪=+⎨⎪=-⎩x t y t a z at 39125-+==x y z =a a b a b -≤+()f x [,]a b (,)a b (,)ξ∈a b ()()()()ξξξ-'+=-bf b af a f f b a22(si n )si n 2x xdx ⎰3.求，其中D 是由和围成的闭区域.4.求与矢量和垂直的单位矢量.5.求极限.22I ()Dx y d σ=+⎰⎰2y x =y x =23A i j k =++ B i k =+ 321(23)l i m (2)l n x x x x x →+-+。