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第二讲 线性规划

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第二章 线性规划课件

第二章 线性规划课件
否
be max bi bi 0
是没
所有a i k 0
有
否
最 优
计算
min
bi a ik
a ik
0
be aek
解
没是
有
所有 a e j 0
最 优
否
解
计算
min
i aej
aej
<0
k aek
以为中心元素进行迭代
以为中心元素进行迭代
例6 用单纯形表求解例1。（见书P25） 解 已知该问题的标准型为:
§1 对线性规划的回顾
非标准形式化为标准形式总结
线性规划模型
变量 Xj≥0
Xj≤0
Xj无约束
约 右端 bi≥0
束项 条
bi<0
件 形式 ai1x1+…+ainxn =bi
ai1x1+…+ainxn ≤bi
ai1x1+…+ainxn ≥ bi 目标函数 max z= c1x1+…+cnxn
min z= c1x1+…+cnxn
Y*分别是问题 P和D 的最优解。
【性质4】 (强对偶性) 原规划与对偶规划同有最优解，且两者最优值相等。
【性质5】互补松弛定理：设X、Y各为原规划与对偶规划的一个可行解，则X、Y为最
优解的充分必要条件为 Y XS = YS X = 0。 【性质6】 (基解对应性) 原规划单纯形表中检验数行对应对偶规划的一个基解。
推论⑴.若X和Y分别是问题（P）和（D）的可行解，则 CX是（D）的目标函数最小 值的一个下界；Yb是（P）的目标函数最大值的一个上界。
推论⑵.在一对对偶问题（P）和（D）中，若其中一个问题可行但目标函数无界，则 另一个问题不可行；反之不成立。这也是对偶问题的无界性。

2 线性规划

2 线性规划

第一节 线性规划问题及其数学模型
可加性假定：每个决策变量对目标函数和约
束方程的影响是独立于其他变量的，目标函 数值是每个决策变量对目标函数贡献的总和 连续性假定：线性规划问题中的决策变量应 取连续值。 确定性假定：线性规划问题中的所有参数都 是确定的参数。线性规划问题不包含随机因 素。
约 束 方 程
约束条件
变量约束
第一节 线性规划问题及其数学模型
线性规划问题隐含的假定： 比例性假定 可加性假定 连续性假定 确定性假定
比例性假定：决策变量变化引起的目标函数
的改变量和决策变量的改变量成比例，同样， 每个决策变量的变化引起约束方程左端值的 改变量和该变量的改变量成比例
≥0
=
≥0
第一节 线性规划问题及其数学模型
标准型的简缩形式
max Z
c x
j j 1
n
j
s .t
n aij x j bi , i 1,2 , , m j 1 x j 0 , i 1,2 , , m

第一节 线性规划问题及其数学模型
或
松弛变量
a i 1 x 1 a i 2 x 2 a in x n bi
a i 1 x1 a i 2 x 2 a in x n x p bi , x p 0
剩余变量
练习
例:将下列线性规划问题划为标准形式： min Z = x1+3x2
s.t.
6x1+7x28 -x1+3x2-6 x1-x2=3 x10
可行域无界
x1+2x2 10 x2 0 x1
可行域无界
x2
x1 0

第二讲线性规划算法

第二讲线性规划算法

bi xk yik
注意：xBr=0
3. 基变换——转轴变换
新可行解：x‘=(xB1,…xBr-1,0,xBr+1,…,xBm,0,…，0,xk,0,…，0)
可以证明此解为新的基本可行解。这是因为原来的基 PB1,…,PBm线性无关，而yk=B-1Pk,故Pk=Byk=∑yikPBi， 而PBr的系数yrk≠0，
maxZ=CTX s.t.AX=b X ≥0
A=(B,N)
cB xB C x cN xN
s.t.
Bx B +Nx N =b x0
max z s.t. Bx B +Nx N =b
T z＝cT x +c B B N xN
z
xB
xN
右端项
0 1
B cB
矩阵式： maxZ=CTX
AX=b
X ≥0
线性规划解的概念
若A = ( B, N )， 其中B ( P 1, P 2 , …，Pm )可逆，称B为基矩阵 x1 x2 xB 相应地X＝ , x B为基变量，x N为非基变量 xN xn xB 代入约束：(B,N) b,即Bx B +Nx N =b, x B＝B-1b-B 1Nx N xN
3. 基变换——转轴变换
取某一非基变量xk→换入基（即让xk>0，其余非基变量仍为0） 同时，再从基变量中换出一个变量xBr→作为非基变量。
如何求换入变量xk和换出变量xBr？K=?，r=?
选 k max{ j | j 0}, 令xk 0, 其余非基变量＝0
jR
由AX=b, xB＝B-1b-B1Nx N

第二章线性规划——运筹学课件PPT

第二章线性规划——运筹学课件PPT

2020/11/24
广东工业大学管理学院
4
线性规划模型的特征
决策变量 目标函数 约束条件 目标函数必须是决策变量的线性函数 约束条件必须是含决策变量的线性等式或不等式
2020/11/24
广东工业大学管理学院
5
例2.2 设有一批规格为10米长的圆钢筋，将它截成分别 为3米，4米长的预制构件的短钢筋各100根，问怎样截 取最省料。
2020/11/24
广东工业大学管理学院
2
例2.1 穗羊公司的例子
I
II
每周可使用量
A（千克）
1
2
5
B（吨）
2
1
4
C（百工时）
4
3
9
单位产品利润（万元）
3
2
问该公司每周应生产产品I与产品II各多少单位，才能使每周 的获利达到最大？
假设产品I、II每周的产量分别是x1和x2，得到如下数学模型:
目标函数 max z=3x1+2x2
所需人数 60 70 60 50 20 30
设服务员分别在各时间区段一开始时上班，并连续工作八 小时，问该酒至少配备多少名服务员。列出此问题的线性 规划模型。
2020/11/24
广东工业大学管理学院
7
min w x1 x2 x3 x4 x5 x6
x1 x6 ≥ 60
x1
x2
≥
70
2020/11/24
广东工业大学管理学院
10
配料问题：由若干种不同价格、不同成分含量的原料，用 不同的配比混合调配出一些不同规格的产品，在原料的供 应量限制和保证产品成分含量的前提下，如何进行配料来 获取最大利润或使总成本最低。

管理运筹学课件第2章线性规划

管理运筹学课件第2章线性规划

2019/7/14
课件
4
2.1.1 线性规划问题的提出
承导入案例
产品甲 产品乙 生产能力
设备A
2
1
10
设备B
1
1
8
单位利润 3
2
决策变量 （decision variable）
设两种产品产量为x1,x2,则有: 总利润表三达要式素
最大化 max z 3x1 2x2
目标函数 （objective function） 约束条件
最优值：z=18
10 2x1+x2=10
8
6
(2,6) z=3×2+2×6=18
【例2.3】用图解法求LP最优解
max z 3x1 2x2
s.t.
2xx11

x2 x2
≤10 ≤8
x1, x2 ≥ 0
可行域
o
45
令3x1+2x2=12
x1+x2=8
8
x1
2019/7/14
课件
课件
6
2.1.2 线性规划的数学模型
线性规划的一般形式：
max(min)z c1x1 c2x2 cn xn
a11x1 a12 x2 s.t.a21x1 a22 x2
am1x1 am2 x2
a1n xn ≤ (或≥， ）b1 a2n xn ≤ (或≥， ）b2
11
2.2.3 线性规划几何解的讨论
线性规划几何解存在四种情况：唯一最优解、无穷 多最优解、无界解、无可行解。 可行域为封闭有界区域时，可能存在唯一最优解， 无穷多最优解两种情况； 可行域为非封闭无界区域时，可能存在唯一最优解， 无穷多最优解，无界解三种情况； 可行域为空集时，没有可行解，原问题没有最优解。

第二章线性规划知识课件

第二章线性规划知识课件

方案 x1 x2 x3 x4 x5
2.9米 1 2 0 1 0
2.1米 0 0 2 2 1
1.5米 3 1 2 0 3
合计 7.4 7.3 7.2 7.1 6.6
余料 0 0.1 0.2 0.3 0.8
OBJ: MinZ 0x1 0.1x2 0.2x3 0.3x4 0.8x5
x1 2x2 x4 100 s.t. 3x12x3x2 2x24x3 x53x5101000
4) 移动等值线到可行域边界得到最优点
11
1.用图解法求解极大化问题
例1 OBJ : max Z 2 x1 3 x 2
x1 2x2 8
s
.
t
.
4
x
1
16 4 x 2 12
x1 , x 2 0
x x12x2 2
2x13x24
做目标函数2x1+3x2的等值线，与 3 阴影部分的边界相交于Q(4,2)点， 这表明最优解是:x1= 4,x2 =2
0
4x1=16 x1+2x2=8
Q(4,2) 4x2=12
4 Z=2x1+3x2
8 x1
12
例2
max Z 6 x 1 4 x 2
2 x 1 x 2 10
s
.t
.
x1 x2 8 x2 7
x 1 , x 2 0
最优解 : x1 2 x2 6 Z 36
x2
10 F
9
8E
7 ABG 3
A
533
1.5
B
221
0.7
每人每月最低需求量（单位） 60 40 35
例3 现要做100套钢架，每套需2.9米、2.1米和1.5米的圆钢各一

运筹学课件——第2讲 线性规划模型(1)

第1章 线性规划
本章要求： 本章要求： 1.掌握并熟练应用线性规划的模型处理实际问 1.掌握并熟练应用线性规划的模型处理实际问 题 2.掌握线性规划的图解法 2.掌握线性规划的图解法 3.掌握软件求解线性规划 3.掌握软件求解线性规划 4.了解线性规划对偶问题的基本性质 4.了解线性规划对偶问题的基本性质 5.理解有关灵敏度分析内容 5.理解有关灵敏度分析内容
+ = x 1 x 3 4 x 12 2x 2 + 4 = s.t. + 3x 1 + 2 x 2 x 5 = 18 x j ≥ 0( j = 1,2,3,4,5)
max Z = 70 x1 + 120 x 2 9 x1 + 4 x 2 ≤ 360 4 x + 5 x ≤ 200 1 2 s.t . 3 x1 + 10 x 2 ≤ 300 x1 ≥ 0, x 2 ≥ 0
例4：饮料配制计划
大众酒吧自行配制生产甲，乙两种饮料，管 大众酒吧自行配制生产甲，乙两种饮料， 理层决定下月总产量至少达到350 350升 理层决定下月总产量至少达到350升。甲饮料每 升的制造成本为2 制造时间需2小时， 升的制造成本为2元，制造时间需2小时，乙饮 料每升的制造成本为3 制造时间需1小时， 料每升的制造成本为3元，制造时间需1小时， 下月总生产时间为600小时。此外， 600小时 下月总生产时间为600小时。此外，下月有一位 客户已预定甲饮料125升。试为管理层制定满足 客户已预定甲饮料125升 125 客户要求且制作成本最小的生产计划。 客户要求且制作成本最小的生产计划。 线性规划模型？ 线性规划模型？
显然，上述活动所引起的问题是一类有约束的 显然，上述活动所引起的问题是一类有约束的 最优化问题（ 最优化问题（Constrained Optimization）。 ） 线性规划正是解决有约束的最优化问题的一种 线性规划正是解决有约束的最优化问题的一种 常用的方法，其涉及的主要概念包括： 常用的方法，其涉及的主要概念包括： ◆目标（Objective）:所要达到的最优结果（最 所要达到的最优结果（ 目标（ ） 所要达到的最优结果 大或最小）； 大或最小）； ◆约束条件（Constraints）:对所能产生结果的 约束条件（ ） 对所能产生结果的 限制。 限制。

第二章 线性规划的基本概念与基本定理

x1 x2 x3 5
例3.求x1----x5 满足
Байду номын сангаас
x1 x2 x4 2 6 x1 2 x2 x5 21 xi 0, i 1 ~ 5
使min f= 2 x1 x2
•解：A=
1 1 1 0 0 1 1 0 1 0 6 2 0 0 1
x1 x2 1 x1 x2 1 x1 0, x2 0
x1 x2 1 x1 x2 l
0 解：问题的可行域是上图 x1 x2 l1 所示的 无界 凸多边形区 域，在此无界可行域上， 目标函数值无上界，所以这个线性规划问题有无界解。
x1
例2. max f= x1 x2 s.t
它有正分量个数等于m(m=2)的可行解:x1=3,x2=1,x3=0,x4=0 但它不是基本可行解。 证：（反证法）假设可行解x=(3,1,0,0)T是上面约束的基本 可行解。因为基本可行解中非基变量取0值，基变量取非 负值。 在这个可行解中x1,x2非零正值，因此x1,x2不可能是非基变 量，只能是基变量。 按定义，基变量对应的系数矩阵中的列向量p1,p2应构成一 个基矩阵B.但这里p1,p2 是线性相关的（p1=p2), 这与B是基 矩阵矛盾。故知x=(2,1,0,0)T不是基可行解。
是一组基。而
•
1 1 p1 1, p2 1 不在这个基中，所以x , x 为非基变量。 1 2 0 2
B •定义8 ：设Ax=b, x 0一个基 p j 1... p j m 量构成的m维列向量记为 B ( x j1 ... x jm )T x
注：定义９与定义１２的等价性可由定义７推出。

chapter2线性规划


二.线性规划问题的图解法
1.图解法求最大化的步骤：
第一步，得到可行域，也就是满足所有约束条
件的自变量组成的集合。 第二步，在可行域中找到使目标函数最大的那 一点，也就是最优解。 第三步，通过最优解，求出目标函数的最优值。
案例：考虑生产规划模型：
max z 50 x1 100 x 2 x1 x 2 300 2 x x 400 1 2 x 2 250 x1 , x 2 0
注3:
一般优化模型的基本类型： (1)只有目标函数而没有约束条件和非负约束 的特殊情况称为无约束规划. (2)当模型中的决策变量取值为连续数值(实 数)时,称为连续优化即通常所说的数学规划; 此时,如果目标函数与约束条件都是线性函数, 成为线性规划(linear programming,LP).至少 有一个是非线性函数,则称为非线性规划 (nolinear programming,NLP).特别当目标函数 为二次函数,而约束条件为线性函数,称为二 次规划(quadratic programming,QP).
件中含有变量的非线性的等式或不等式的数学
模型称之为非线性规划。
(2)线性规划的目标函数为线性函数：z=ax，x 为自变量，a为参数。当a>0时，z随着x的增加 而增加，无论x为多少，x增加一个单位带来的z 的增加总是同样的a。 由于其性质，没有约束条件的时候max z=ax是 不存在的，趋向于无穷大，所以现实的模型必 须包括对自变量取值的限制，例如加入 0<=x<=5。
max z 50 x1 100 x 2 x1 x 2 300 2 x x 400 1 2 x 2 250 x1 , x 2 0

第二章线性规划(运筹学讲义)


产品Ⅰ 产品Ⅱ
设备使用成本和单价
资源限制
设备
1
1
10元 / 时
300台时
原料A
2
1
12元 / kg
400kg
原料B
0
1
18元 / kg
250kg
销售单价(元)
84
140
单位产品利润(元)
50
100
问题：工厂应分别生产多少单位Ⅰ、Ⅱ产品才能使工厂获利最多？
设工厂生产产品Ⅰ、Ⅱ分别为x1，x2单位， 则线性规划模型：
确定需求的约束，它们表示了一定数量的确定的需求，提供的数量等于要 求的数量。网络配送问题的共性就是它们的主要函数约束为一种特定形式 的确定需求的约束。
混合问题（mixed Problem）除以上三类以外的问题
建模过程
1.理解要解决的问题，了解解题的目标和条件；
2.定义决策变量（ x1 ，x2 ，… ，xn ），每一组值表示一个方案；
因此,凸集用数学表示为:对任何X1 ∈C, X2 ∈C, 有α X1 ＋(1- α) X2 ∈C (其中0<α<1),则称道C为凸集。 规定：单点集 {X} 为凸集，空集为凸集。
A B
E
C
D
顶点:设C是凸集, X∈C;若X不能用不同的两点X1∈C和 X2∈C的线性组合表示为X= αX1＋(1－α) X2 (其中 0<α<1),则称X为C的一个顶点
x2 49
z=10000=50x1+100x2
AB
250
C
z=27500=50x1+100x2 z=20000=50x1+100x2
z =0=50x1+100x2
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第二讲 线性规划 Linear Programming
2012年3月6日星期二 Page 8
2.1.2 线性规划模型的一般形式 一般地，假设线性规划数学模型中， 个约束， 一般地，假设线性规划数学模型中，有m个约束，有n个决策变量 个约束 个决策变量 xj, j=1,2…,n，目标函数的变量系数用 j表示 cj称为价值系数。约 价值系数。 ，目标函数的变量系数用c 表示, 称为价值系数 工艺系数。 束条件的变量系数用a 表示， 称为工艺系数 束条件的变量系数用 ij表示 ， aij称为工艺系数。 约束条件右端的 常数用b 表示， 称为资源限量 资源限量。 常数用 i表示，bi称为资源限量。则线性规划数学模型的一般表达 式可写成 max(min) Z = c1 x1 + c2 x2 + L + cn xn
a11 x 1 + a12 x2 + L + a1n xn ≤ (或 =, ≥)b1 a x + a x + L + a x ≤ (或 =, ≥)b 2n n 2 21 1 22 2 LLLLห้องสมุดไป่ตู้LLLLLLLLLL a x + a x + L + a x ≤ (或 =, ≥)b mn n m m1 1 m 2 2 x j ≥ 0, j = 1, 2,L , n
第二讲 线性规划 Linear Programming
2012年3月6日星期二 Page 16
通常设A的秩 （ ） 通常设 的秩r（A）= m，且m ≤ n。 的秩 ， 。 即AX=b中所包含的 m个方程式彼此 中所包含的 个方程式彼此 独立，没有多余方程， 独立，没有多余方程，且方程个数不 大于未知量个数。 大于未知量个数。
第二章 线性规划
第二讲 线性规划 Linear Programming
2012年3月6日星期二 Page 11
2.2 标准型
2.2 标准型
第二讲 线性规划 Linear Programming
2012年3月6日星期二 Page 12
在用单纯法求解线性规划问题时， 在用单纯法求解线性规划问题时，为了讨论问题 方便，需将线性规划模型化为统一的标准形式。 方便，需将线性规划模型化为统一的标准形式。 线性规划问题的标准型为: 线性规划问题的标准型为 1．目标函数求最大值（或求最小值） ．目标函数求最大值（或求最小值） 2．约束条件都为等式方程 ． 3．变量xj非负 ．变量 4．常数bi非负 ．常数
注：本教材默认目标函数是 max
2.2 标准型 Standard form of LP
第二讲 线性规划 Linear Programming
2012年3月6日星期二 Page 14
或写成下列形式： 或写成下列形式
max
Z =
∑
n
c
j
x
j
n ∑ a ij x j = bi i = 1,2, L , m j =1 x j ≥ 0, j = 1,2, L , n
通常X记为： 通常 记为： ＝（ x 1 , x 2 , L , x n ) T称Ａ为约束方 记为 X 程的系数矩阵， 是约束方程的个数 是约束方程的个数， 是决策变量的个数 是决策变量的个数， 程的系数矩阵，m是约束方程的个数，n是决策变量的个数， 一般情况m≤n，且r(Ａ)＝m。 一般情况 ， Ａ＝ 。
管理中一些典型的线性规划应用 •合理利用线材问题：如何在保证生产的条件下，下料最少 合理利用线材问题： 合理利用线材问题 •配料问题：在原料供应量的限制下如何获取最大利润 配料问题： 配料问题 •投资问题：从投资项目中选取方案，使投资回报最大 投资问题： 投资问题 •产品生产计划：合理利用人力、物力、财力等，使获利最大 产品生产计划： 产品生产计划 •劳动力安排：用最少的劳动力来满足工作的需要 劳动力安排： 劳动力安排 •运输问题：如何制定调运方案，使总运费最小 运输问题： 运输问题
在实际中一般x 但有时 但有时x 或 无符号限制。 在实际中一般 j≥0,但有时 j≤0或xj无符号限制。
第二讲 线性规划 Linear Programming
2012年3月6日星期二 Page 10
线性规划一般模型的结构 max(min) z = C T X 目标函数 ：max，min ， s.t. AX ≥ ( =, ≤) b 约束条件： 约束条件：≥,=,≤ X ≥ ( ≤ )0, unr 变量符号： 变量符号：≥0, or,≤0
或用矩阵形式
j=1
2.2 标准型 Standard form of LP
第二讲 线性规划 Linear Programming
2012年3月6日星期二 Page 15
m ax Z = C X AX = b X ≥ 0
a11 a 21 其中: 其中 A= L am1
a12 L a1n x1 b 1 x b a22 L a2n ； = 2； = 2 ； ＝ c ,c ,Lc ) X b C (1 2 , n M M L L L am2 L amn xn bm
为充分利用现有资源，该厂应如何制定生产计划，使获利最大？ 为充分利用现有资源，该厂应如何制定生产计划，使获利最大？
第二讲 线性规划 Linear Programming
2012年3月6日星期二 Page 7
设X1表示I型饼干日产量，X2表示II型饼干日产量（单位为吨），z X1表示I型饼干日产量，X2表示II型饼干日产量（单位为吨），z 表示I型和II型饼干所创造的日总利润 表示I型和II型饼干所创造的日总利润
说明： 说明： ●线性规划模型由三部分构成：目标函数、约束条件和变 线性规划模型由三部分构成： 线性规划模型由三部分构成 目标函数、 量符号。 量符号。 ●任何实际问题严格来讲是非线性的。在实际建模时应 任何实际问题严格来讲是非线性的。 任何实际问题严格来讲是非线性的 明确什么样的特性使我们可以做出线性性质的假定。 明确什么样的特性使我们可以做出线性性质的假定。
等价变换：令 z ' = − z , 则目标函数转换为 → z’= −3 x1 − 2 x2 + 7 x3
第二讲 线性规划 Linear Programming
2012年3月6日星期二 Page 6
练习:饼干生产问题 练习 饼干生产问题
产品 小时/吨 单位时耗 小时 吨 资源
I 型饼干 3 2 2 5
II型饼干 每天现有工时 型饼干 5 1 2 4 15 5 11
搅拌机 成形机 烘箱
利润（百元/吨） 利润（百元 吨
实用运筹学
第二章 线性规划
Linear Programming
2.1 LP的数学模型 的数学模型 2.2 标准型 2.3 线性规划解的概念与理论 2.4 图解法 2.5 单纯形法 2.6 对偶问题 2.7 灵敏度分析 灵敏度分析
2.1 LP的数学模型 的
Mathematical Model
2.1 线性规划的数学模型 Mathematical Model of LP
第二讲 线性规划 Linear Programming
2012年3月6日星期二 Page 17
将一般型转化为标准型
极小化目标函数转化为极大化： 极小化目标函数转化为极大化：目标函数系数变号 约束条件是不等式转化为等式：“≤”约束 加上松弛 “ ” 变 量 “≥”约束 减去松弛变量 ” 变量没有符号限制（unr）转化为变量非负： 变量没有符号限制（ ）转化为变量非负： 没有符号限制的变量用两个非负变量的差表示 变量为非正转化为变量非负 用添加负号的变量替换原变量，设新变量为正 右端资源向量为非正（ 右端资源向量为非正（b ≤ 0） ） 在资源向量所在方程式两边同乘负号
2.2 标准型 Standard form of LP
第二讲 线性规划 Linear Programming
2012年3月6日星期二 Page 13
max(或min)Z=c1x1+c2x2+…+cnxn a 11 x1 + a 12 x 2 + L + a 1 n x n = b1 a x + a x + L + a x = b 22 2 2n n 2 21 L L L L L L L L L L L a m 1 x1 + a m 2 x 2 + L + a mn x n = b m x j ≥ 0 , j = 1, 2 , L , n b i ≥ 0 , i = 1, 2 , L , m
2.1 线性规划的数学模型 Mathematical Model of LP
第二讲 线性规划 Linear Programming
2012年3月6日星期二 Page 4
2.1.1 应用模型举例 【例1.1】某工厂在计划期内要安排Ⅰ、Ⅱ两种产品的生产，已知生产单 】
位产品所需的设备台时及A、B两种原材料的消耗、资源的限制，如下 表1.1： 资源限制 Ⅰ Ⅱ
约 束 条 件
2.1 线性规划的数学模型 Mathematical Model of LP
第二讲 线性规划 Linear Programming
2012年3月6日星期二 Page 5
线性规划的数学模型由 决策变量 Decision variables 目标函数Objective function 目标函数 及约束条件Constraints 及约束条件 构成。称为三个要素。 构成。称为三个要素。 怎样辨别一个模型是线性规划模型？ 怎样辨别一个模型是线性规划模型？ 其特征是： 其特征是： 1．解决问题的目标函数是多个决策变量的 ． 线性函数 函数， 最小值； 线性函数，通常是求最大值或 最小值； 2．解决问题的约束条件是一组多个决策变量 约束条件是一组多个决策变量 ．解决问题的约束条件 线性不等式或等式 不等式或等式。 的线性不等式或等式。