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北京海淀区高考数学模拟试题一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．(1)已知集合M=｛x|x-a=0｝，N=｛x|ax-1=0｝．若M∩N＝M，则实数a等于[ ]A．1 B．-1 C．1或-1 D．1或-1或0[ ]A．20 B．-20 C．160 D．-160(3)已知命题甲：“x＞2”、命题乙：“x≥2”，那么命题甲是命题乙成立的[ ]A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．非充分非必要条件的最近距离等于[ ][ ][ ]A．是55 B．是95 C．是100 D．不能确定(7)如图，点P、Q、R、S分别在正方体的四条棱上，并且是所在棱的中点，则直线PQ与RS是异面直线的一个图是[ ]1个公共点，这样的直线l共有[ ] A．1条B．2条C．3条D．4条(9)已知点P(x，y)在经过A(3，0)、B(1，1)两点的直线上那么[ ][ ]A．关于直线x=1对称 B．关于直线y=x对称C．关于直线y=-1对称D．关于直线y=1对称(11)若l是过椭圆一个焦点且与长轴不重合的一条直线，则此椭圆与l垂直且被l平分的弦[ ]A．有且只有1条B．有且只有2条C．有3条D．不存在(12)某商场开展促销抽奖活动，摇奖器摇出的一组中奖号码是8、2、5、3、7、1，参加抽奖的每位顾客从0、1、2、3、4、5、6、7、8、9这十个号码中任意抽出六个组成一组，如果顾客抽出的六个号码中至少有5个与摇奖器摇出的号码相同(不计顺序)就可以得奖．一位顾客可能抽出的不同号码组共有m组，其中可以中奖的号码[ ]第Ⅱ卷二、填空题：本大题满分16分，每小题4分，各题只要求直接写出结果．(16)一个三棱锥的三个侧面中有两个是等腰直角三角形，另一个是边长为1的正三角形，这样的三棱锥体积为________(写出一个可能值)．三、解答题：本大题满分74分(17)(Ⅰ)求argz，并写出z的三角式(本小题满分12分)(18)(本小题满分12分)已知边长为a的正三角形ABC的中线AF与中位线DE相交于G(如图)，将此三角形沿DE 折成二面角A′-DE-B．(Ⅰ)求证：平面A′GF⊥平面BCED；(Ⅱ)当二面角A′-DE-B为多大时，异面直线A′E与BD互相垂直？证明你的结论．(19) (本小题满分12分)(20)(本小题满分12分)某港口水的深度y(m)是时间t(0≤t≤24，单位：时)的函数，记作y=f(t)，下面是某日水深的数据：经长期观察，y=f(t)的曲线可以近似地看成函数y=Asinωt＋b的图象．(Ⅰ)试根据以上数据，求出函数y=f(t)的近似表达式；(Ⅱ)一般情况下，船舶航行时，船底离海底的距离为5m或5m以上时认为是安全的(船舶停靠时，船底只需不碰海底即可)．某船吃水深度(船底离水面的距离)为6.5m．如果该船希望在同一天内安全进出港，请问，它至多能在港内停留多长时间(忽略进出港所需的时间)？(21)(本小题满分12分)已知函数y＝f(x)是定义在R上的周期函数，周期T=5，函数y=f(x)，(-1≤x≤1)是奇函数．又知y=f(x)在[0，1]上是一次函数，在[1，4]上是二次函数，且在x=2时函数取得最小值，最小值为-5．(Ⅰ)证明：f(1)＋f(4)=0,(Ⅱ)试求y=f(x)，x∈[1，4]的解析式；(Ⅲ)试求y=f(x)在[4，9]上的解析式．(22)(本小题满分14分)D与y轴交于A、B两点，点P为(-3，0)(Ⅰ)若点D坐标为(0，3)，求∠APB的正切值；(Ⅱ)当点D在y轴上运动时，求∠APB的最大值；(Ⅲ)在x轴上是否存在定点Q，当圆D在y轴上运动时，∠AQB是定值？如果存在，求出点Q坐标；如果不存在，说明理由．参考答案与评分标准一、选择题：(1)C；(2)D；(3)A；(4)A；(5)C；(6)B；(7)C；(8)C；(9)B；(10)C；(11)D；(12)D．二、填空题：(13)12；(14)｛x|-2＜x＜1＝；(15)x∈(0，2)；三、解答题：(17)解：(Ⅰ)△ABC的面积为1．(18)略(19) (Ⅰ)略(Ⅱ)(20)解：(Ⅰ)由已知数据，易知函数y=f(t)的周期T=12……………………………………………………………………1分振幅A＝3………………………………………………………2分b=10…………………………………………………………3分(Ⅱ)由题意，该船进出港时，水深应不小于5＋6.5=11.5(m)12k＋1≤t≤12k＋5(k∈Z)在同一天内，取k=0或1∴1≤t≤5或13≤t≤17…………………………………10分∴该船最早能在凌晨1时进港，下午17时出港，在港口内最多停留16个小时……………………………………………………………12分(21)解：(Ⅰ)∵y＝f(x)是以5为周期的周期函数∴f(4)=f(4-5)＝f(-1)………………………………1分又y=f(x)，(-1≤x≤1)是奇函数∴f(1)=-f(-1)=-f(4)∴f(1)＋f(4)=0………………3分(Ⅱ)当x∈[1，4]时，由题意，可设由f(1)＋f(4)＝0解得a=2(Ⅲ)∵y=f(x) (-1≤x≤1)是奇函数∴f(0)=-f(-0) ∴f(0)=0……………………………8分又y＝f(x) (0≤x≤1)是一次函数∴可设f(x)=kx (0≤x≤1)又f(1)=k·1=k∴k＝-3∴当0≤x≤1时f(x)=-3x…………………………………9分当-1≤x＜0时，0＜-x≤1∴f(x)=-f(-x)=-3x∴当-1≤x≤1时，f(x)=-3x……………11分当4≤x≤6时，-1≤x-5≤1∴f(x)＝f(x-5)＝-3(x-5)＝-3x＋15当6＜x≤9时1＜x-5≤4原点)．∴圆D半径r=5-2=3此时，A、B坐标分别为(0，0)、(0，6)PA在x轴上，PB斜率k=2∴tg∠APB＝2……………3分(Ⅱ)设D点坐标为(0，a)，圆D半径为r，A、B坐标分别为(0，a-r)、(0，a＋r)……………………………………6分调增函数，r∈[2，＋∞)．……………………14分。
2高中联赛模拟试题 2一试部分考试时间：80 分钟满分：120 分一、填空题（每小题 8 分，共 64 分）sin (α + 2β ) π π1. 已知 = 3 ，且 β ≠ ， α + β ≠ n π + (n , k ∈)，则 tan (α + β )= ．sin α 2 2tan β2. 在等差数列{a n } 中，若a11 a 10< -1 ，且前n 项和 S n 有最大值，则当 S n 取得最小正值时， n = ．3. 若 a +b + c= 1(a ,b , c ∈)， 4a + 1 +4b + 1 + 4c + 1 > m ，则m 的最大值为 ．4. 已知 ∆ABC 满足 AC = BC = 1 ， AB = 2x ( x > 0)．则 ∆ABC 的内切圆半径 r 的最大值为．5. 在正方体 ABCD - A 1B 1C 1D 1 中， G 为底面 A 1B 1C 1D 1 的中心．则 BG 与 AD 所成角的余弦值为___ ___．6. 函数 f ( x ) 在 上有定义，且满足 f ( x ) 为偶函数， f ( x - 1) 为奇函数．则 f (2019) =．7. 将一色子先后抛掷三次，观察面向上的点数，三数之和为 5 的倍数的概率为．8. 已知复数 z 1 , z 2 满足 ( z 1 - i )( z 2 + i ) = 1 ．若 z 1 = ，则 z 2 的取值范围是．二、解答题（第9 小题16 分，第10、11 小题20 分，共56 分）x 2 y 29. 设P 为双曲线-= 1 上的任意一点，过点P 分别作两条渐近线的平行线，与两条渐近线交于A, Ba2 b2两点．求□ABCD 的面积．10. 求方程x5 - x3 - x2 + 1= y2 的整数解的个数．11. 对于n ≥ 6 ，已知⎛1- 1 ⎫<1．求出满足3n + 4n ++(n + 2)n =(n + 3)n 的所有正整数n． n + 3 ⎪ 2⎝⎭n高中联赛模拟试题 2加试部分考试时间：150 分钟满分：180 分一、（本题满分 40 分）设 ∆ABC 为等腰三角形， AB = AC , D 为边 AB 上一点．设 ∆BCD 的外接圆 Γ 在点 D 处的切线与 AC 交 于点 E ， F 为过点 E 作圆 Γ 的另外一条切线的切点．设 BF 与 CD 交于点 G ， AG 与 BC 交于点 H ． 证明： BH = 2HC ．A二、（本题满分 40 分）约定： n 维向量 x = ( x 1 , x 2 , , x n )( x i ≥ 0,i = 1, 2, , n ) 的 p - 范数记为：x = x 1 + x 2 + + x n ( p ∈ ) p p p pp+现有两个向量 A = (a ,b , c ), B = (d , e ) ．若： ⎧⎪ A = B ⎨ A = B ．证明： A≤ B ．2 2 ⎪⎩4 433EDGF B H三、（本题满分 50 分）设整数 n ≥ 4 ， a 1 , a 2 , , a n 为区间 (0, 2n ) 内两两不同的整数．证明：集合 A = {a 1 , a 2 , , a n } 存在所有元 素之和能被 2n 整除的子集．四、（本题满分 50 分）设有 17 支球队参加足球比赛，采用单循环赛制，比赛中偶尔会出现一个循环的三元集（即集合{a , b ,c } ， 其中 a 队击败 b 队， b 队击败 c 队， c 队击败 a 队），若没有平局，则比赛结束．问：最多有多少个这 样的循环三元集？5 5 5 2 1高中联赛模拟试题 2解答一试部分考试时间：80 分钟满分：120 分一、填空题（每小题 8 分，共 64 分） 1. 2．sin (α + 2β )+ 1 解析： tan (α + β ) = sin (α + β ) ⋅ cos β = sin (α + 2β ) + sin α = sin α = 2 ．tan βcos (α + β ) ⋅ sin β sin (α - 2β ) - sin α sin (α + 2β)-1sin α2. 19．解析：由 S n 有最大值可知 a 1 > 0, d < 0 ，由a 11a 10< -1 ，则 a 10 + a 11 < 0, a 11 < 0 < a 10 ，20(a 1 + a 20 ) ⇒ S ==10(a + a ) < 0, S 19(a 1 + a19 ) = = 19a > 0 ， 20 2 10 11 19 2 10再由 S 19 - S 1 = a 2 + a 3 ++ a 19 = 9(a 10 + a 11 ) < 0 ，知 S n 取最小正值时，n = 19 ．3. 2 + ．解析： (a + 1)(b + 1) > 1 + a + b ⇒ a + 1 + b + 1+ 2 1 + a + b > 2 + a + b 2 1+ a + b2 2⇒ (a + 1 ++ 1) > (+1 + a + b )⇒ + 1 + b + 1 > 1 +．反复利用上式，得：4a +b + 1 +c + 1 > 1 + 4 (a + b ) + 1 + 4c + 1 > 1 + 1 += 2 + 5 ；另一方面，当 a → 1,b → 0, c → 0 时，不等式左边趋于 2 + ．因此 2+ 为最大的下界．4.5 5 - 11 ．2解析：转化为求函数 f (x ) = x (1 - x )在 (0,1) 内的最大值．1 + a + b1 + 4 (a + b + c )+ x5.6解析：BG= CG =cos ∠GBC = BC =AD //BC ，则 BG 与 AD62 2BG 6． 2 1 1 ⎪ 2 2 ⎪1 x - ⎭ 6. 0．解析：由已知得 f ( x ) 关于 x 轴及点 (-1, 0) 对称．从而4 为 f ( x ) 的一个周期，且 f (-1) = 0 ．故f (2019) = f (-1) = 0 ．7.43 216解析：和为 5 的形如 3、1、1 与 2、2、1，共 6 种．和为 10 的形如 6、3、1 的有 6 种，形如 6、2、2 的有 3 种，形如 5、4、1 的有 6 种，形如 5、 3、2 的有 6 种，形如 4、3、3 的有 3 种，形如 4、4、2 的有 3 种．合计 27 种．和为 15 的形如 4、5、6 的有 6 种，形如 5、5、5 的有 1 种，形如 6、6、3 的有 3 种，合计 10 种．8. ⎡2 -2, 2 + 2 ⎤ ．⎣ ⎦解析：设 z 2 = x + yi ( x , y∈) ．则z 1 = z z 2i⇒ z = + i 1 - y + xi x + y + 1)i = ⇒ x 2 + ( y + 2)2 = 2 ．由 z 2 的几何意义，知其范围为⎡2 -2, 2 + 2 ⎤ ． ⎣ ⎦二、解答题（第 9 小题 16 分，第 10、11 小题 20 分，共 56 分）9. 双曲线的两条渐近线方程分别为 y = b x , y = - bx ．a a设 A ⎛ x , b ⎝ a x ⎫, B ⎛x , - b ⎭ ⎝a x ⎫, P (x , y ) ．⎭ b由 OAPB 知， x = x 1 + x 2 , y = aa 2(x 1 - x 2 ) ．代入双曲方程化简得 x 1 x 2 = ．4于是， OAPB 的面积为 x ⎛ - b ⎫ ⎝ a2 ⎪ b x 1 x 2 = a x 1 x 2 = 1 ab ． 210. 原方程可化为 (x 3 - 1)(x 2 - 1) = y 2 ⇒ ( x - 1)2( x + 1)(x 2 + x + 1) = y 2 ．------------------------------（1） 当 x = 0 时， y 2 = 1 ⇒ y = ±1 ； 当 x = ±1 时， y = 0 ．2 2b ax -1 ⎪ 设 x , y 为方程的整数解，且 x ≠ ±1, 0 ．由（1）式， ( x -1)2| y 2⇒ ( x -1) | y ⇒ ( x + 1)(x 2+ x + 1) = ⎛ y ⎫⎝ ⎭ ．又因为 y 为整数，则x -1( x + 1)(x 2 + x + 1)为完全平方数．而 x 2 + x + 1 = x ( x + 1) + 1 ⇒ (x + 1, x 2 + x + 1) = 1 ，2n n4 5 n + 3 ⎪⎩⇒ x + 1, x 2 + x + 1均为完全平方数 ⇒ x + 1 ≥ 0( x ≠ 0, ±1) ⇒ x ≥ 2 ⇒ x 2 < x 2 + x + 1 < (x + 1)2，显然， x 2 + x +1不为完全平方数．综上，原方程只能有 4 组解： ( x , y ) = (0,1), (0, -1), (1, 0), (-1, 0) ．11. 当 n ≥ 6 时，由 ⎛1 - 1 ⎫ < 1 ⇒ ⎛ n + 2 ⎫ < 1 ⇒ (n + 3)n - (n +2)n > (n + 2)n ． n + 3 ⎪ 2 n + 3 ⎪2 ⎝ ⎭ ⎝ ⎭n nn 而 ⎛ 3 ⎫< ⎛ 4 ⎫< < ⎛ n + 2 ⎫ < 1，故： ⎪ ⎪ ⎪ ⎝⎭ ⎝ ⎭ ⎝ ⎭ 2⎧ 4n - 3n > 3n ,⎪ 5n - 4n > 4n, ⎨ ⎪⎪(n + 3)n - (n + 2)n > (n + 2)n . 累加后3n + 4n + + (n + 2)n< (n + 3)n- 3n < (n + 3)n，此时无解． 直接检验 n = 1, 2, 3, 4, 5 ，知当 n = 2, 3 时等式成立．, ．⎩a4 4 4 4 4一、（本题满分 40 分）加试部分考试时间：150 分钟满分：180分在 ∆ABG , ∆ACG 中，由正弦定理得 BG = AG CG = AGsin ∠BAH sin ∠ABF sin ∠CAH sin ∠ACD 故 BH = sin ∠BAH = BG ⋅ sin ∠ABF = BG ⋅ sin ∠FCD = sin ∠DCB ⋅ sin ∠FCD = FD ⋅ CI ． CH sin ∠CAH CG ⋅ s in ∠ACD CG ⋅ s in ∠DBI sin ∠CBF ⋅ s in ∠DBI DI ⋅ C F 设 AC 与圆 Γ 的另一个交点为 I ．则四边形 CFID 为调和四边形． 于是， FI ⋅ CD = CF ⋅ ID ． 由托勒密定理得 FD ⋅ CI = FI ⋅ CD + CF ⋅ ID = 2ID ⋅ C F ． 从而， BH = 2HC ．二、（本题满分 40 分）等价于证明： 设 a , b , c , d , e 为非负数，且满足⎧a 2 + b 2 + c 2 = d 2 + e 2⎨+ b + c = d + e ， 证明： a 3 + b 3 + c 3 ≤ d 3 + e 3 ．----------------------------------------------------------------------------------------（1）注意到 2(a 2b 2 + b 2c 2 + c 2a 2 ) = (a 2 + b 2 + c 2 )2- (a 4 + b 4 + c 4 ) = (d 2 + e 2 )2- (d 4 + e 4 ) = 2d2e 2． 则 a 2b 2 + b 2c 2 + c 2a 2 = d 2e 2 ． 又a 6 +b 6 +c 6 - 3a 2b 2c 2 = (a 2 + b 2 + c 2 )(a 4 + b 4 + c 4 - a 2b 2 - b 2c 2 - a 2c 2 ) = (d 2 +e 2 )(d 4 + e 4 - d 2e 2 )= d 6 + e 6（1）式两边平方得 a 6 + b 6 + c 6 + 2(a 3b 3 + b 3c 3 + c 3a 3 ) ≤ d 6 + e 6 + 2d 3e 33⇔ 2(a 3b 3 + b 3c 3 + c 3a 3 ) + 3a 2b 2c 2 ≤ 2d 3e 3 ⇔ 2(a 3b 3 + b 3c 3 + c 3a 3 ) + 3a 2b 2c 2 ≤ 2(a 2b 2 + b 2c 2 + c 2a 2 )2 ---（2）3设 x = ab , y = bc , z = ca ．则（2） ⇔ 2(x 3+ y 3+ z 3) + 3xyz ≤ 2(x 2+ y 2+ z 2 )2 ．由柯西不等式，知⎡2 x 3 + y 3 + z 3 2 + 3xyz ⎤ = ⎡x 2x 2 + yz + y 2 y 2 + zx 2+ z 2z 2 + xy ⎤ ⎣ () ⎦ ⎣ ( ) ( ) ( )⎦⎣ ⎦ ≤ (x 2 + y 2 + z 2 )⎡(2x 2 + yz )2+ (2 y 2 + zx )2+ (2z 2 + xy )2⎤ ⎢⎣⎥⎦≤ (x 2 + y 2 + z 2 )⎡4(x 4 + y 4 + z 4 ) + 8( y 2 z 2 + z 2 x 2 + x 2 y 2 )⎤ = 4(x 2 + y 2 + z 2 )3． 从而，结论成立．C b= C a+ 2 C a = ∑ ∑三、（本题满分 50 分）若 n ∉{a 1 , a 2 , , a n } ，则 2n 个整数 a 1 , a 2 , , a n , 2n - a 1 , 2n - a 2 , , 2n - a n ∈(0, 2n ) ．由抽屉原理，知其中 必有两个数相等． 不妨设 a i = 2n - a j ．因为 n ∉{a 1 , a 2 , , a n }，所以 i≠ j ． 故{a i , a j }满足题意，命题成立．若 n ∈{a 1 , a 2 , , a n }，不妨设 a n = n ．考虑 n - 1 (n - 1 ≥ 3)个整数 a 1 , a 2 , , a n -1 ，在其中任取三个数 a i < a j < a k ． 若 a k - a j , a j - a i 均能被 n 整除，则 a k - a i ≥ 2n ，与 a k ∈(0, 2n ) 矛盾． 因此， a 1 , a 2 , , a n -1 中至少存在两个数，其差不能被 n 整除．不妨设 a 1 , a 2 之差不能被 n 整除．考察 n 个数： a 1 , a 2 , a 1 + a 2 , a 1 + a 2 + a 3 , , a 1 + a 2 + + a n -1 ． （1）若这 n 个数关于模 n 的余数互不相同，则其中必有一个数能被 n 整除．令这个数为 kn ． 当 k 为偶数时，结论成立；当 k 为奇数时，加上 a n 即构成所需要的子集．（2）若这 n 个数中有两个数关于模 n 同余，则其差能被 n 整除．因为 a 1 , a 2 不同余，所以这两个数之差 必为原集合 A 中若干数之和．由此归结为（1）中讨论．综上，命题得证．四、（本题满分 50 分）一个三元集{a , b , c } 不是循环的⇔ 有一支球队赢了另外两队 ⇔ 有一支球队输给了另外两队． 用 A 1 , A 2 , , A 17 代表这 17 支球队 ． 假 设 球 队 A i 赢了 a i 支球队，但输给了 b i 支球队 ．显然， a i + b i = 1 6(i = 1, 2 , , 1) ．17171 ⎛ 17 17 ⎫ 于是，不循环的三元集的个数为 2ii =1 2i i =1 ∑ 2 ⎝ i =1 i∑ i =1 C b ⎪ ．i⎭2．17 a (a -1) b (b -1) 1 ⎡(a + b )2⎤ 对于每一个 i ， C 2 + C 2 = i i + i i≥ ⎢ i i - (a + b )⎥ = 56 ． a i b i 2 2 2 ⎢ 2 i i⎥则不循环的三元集的个数至少为 1 ⨯17 ⨯ 56 = 476 ⎣ ⎦2故循环三元集最多有 C 3- 476 = 204 个．当且仅当 a i = b i = 8(i = 1, 2, ,17) 时，循环三元集的个数最多为 204．。
2018年北京市中学生数学竞赛初二试题一、选择题（每小题5分，共25分）1．在1～100这100个自然数中，质数所占的百分比是（）．（A）25% （B）24% （C）23% （D）22%2．一个三角形的三边长都是整数，它的周长等于10，则这个三角形是（）．（A）直角三角形（B）钝角三角形（C）恰有两边相等的三角形（D）恰有一个内角为60°的三角形3．已知n为正整数，S=1+2+…+n．则S的个位数字不能取到的数字是（）．（A）0，1，2，3 （B）3，4，5，6（C）3，5，6，8 （D）2，4，7，94．如图1，四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O．S△AOB=4，S△COD=9．则S四边形的最小值是（）．ABCD（A）22 （B）25 （C）28 （D）32（1）(2) (3)5．如果│a-b│=1，│b+c│=1，│a+c│=2，则│a+b+2c│等于（）．（A）3 （B）2 （C）1 （D）0二、填空题（每小题7分，共35分）1．如图2，大圆的两条直线AC、BC垂直相交于点O，分别以边AB、BC、CD、DA为直径向大圆外侧作四个半圆，图中四个“月形”阴影的总面积是2cm2．•则大圆的半径等于_______cm．2．2 005被两位的自然数去除，可能得到的最大余数是_______．3．已知a2+bc=14，b2-2bc=-6．则3a2+4b2-5bc=_________．4．如图3，在凸六边形ABCDEF中，AD、BE、CF三线共点于O，•每相邻三个顶点所组成的三角形的面积都等于1，则S六边形ABCDEF=_______．5．有6个被12除所得余数都相同的自然数，它们的连乘积为971 425．则这6•个自然数之和的最小值是________．三、（15分）已知非零实数a、b、c满足a+b+c=0.求证：（1）a3+b3+c3=3abc；（2）（a bc-+b ca-+c ab-）（ca b-+ab c-+bc a-）=9.四、（15分）如图，在△ABC中，∠BAC=∠BCA=44°，M为△ABC形内一点，•使得∠MCA=30°，∠MAC=16°，求∠BMC的度数．五、（10分）某学生在黑板上写出了17个自然数，•每个自然数的个位数码只能是0，1，2，3，4这5个数字中的一个．证明：从这17个数中可以选出5个数，•它们的和能被5整除．参考答案一、1．A在1～100这100个自然数中，有质数2，3，5，7，11，13，17，19，23，29，31，37，41，43，47，53，59，61，67，71，73，79，83，89，97共25个，所以，其中质数所占的百分比是25%．2．C将10分拆成三个正整数之和，有10=1+1+8=1+2+7=1+3+6=1+4+5=2+2+6=2+3+5=2+4+4=3+3+4共八种情况．由“三角形两边之和大于第三边”可知，只有（2，4，4），（3，3，4）两组可构成三角形．由于等腰三角形两个底角都是锐角，于是，以2、4、4为边的等边三角形中，最小边2对的顶角也是锐角．以3、3、4为边的等腰三角形中，由32+32>42，•知顶角也是锐角．所以，以2、4、4为边的等腰三角形以及以3、3、4为边的等腰三角形都是锐角三角形，排除选项（A）、（B）•．•又由于等腰三角形中恰有一个内角为60°时变为等边三角形，与边为（2，4，4）、（3，3，4）的条件矛盾，排除选项（D）．由（2，4，4）、（3，3，4）为边的三角形是恰有两边相等的三角形．3．D．由S=(1)2n n+，又n、n+1是两个连续的自然数，知n（n+1）的个位数字只能取0，2，6．•所以，S的个位数字只能是0，1，3，5，6，8这六个数字．因此，S的个位数字不能取到的是2，4，7，9．4．B如图1，设S△AOD=x，S△BOC=y，则S四边形ABCD=4+9+x+y≥13+2xy．由49xy=，有xy=36．所以，S四边形ABCD≥13+2xy=13+12=25．故S四边形ABCD的最小值是25．此时，AB∥DC，即四边形ABCD是梯形．5．A．由│a-b│=1，知a-b=1或a-b=-1；由│b+c│=1，知b+c=1或b+c=-1；由│a+c│=2，知a+c=2或a+c=-2．这样，可以得到23=8个三元一次方程组：（1）a-b=1，b+c=1，a+c=2；（2）a-b=1，b+c=1，a+c=-2；（3）a-b=1，b+c=-1，a+c=2；（4）a-b=1，b+c=-1，a+c=-2；（5）a-b=-1，b+c=1，a+c=2；（6）a-b=-1，b+c=1，a+c=-2；（7）a-b=-1，b+c=-1，a+c=2；（8）a-b=-1，b+c=-1，a+c=-2．对于（2）～（7），将前两个方程相加得到的a+c的值与后一个方程不同，所以，不会出现这六种情况．对于（1），有a=2-c，b=1-c，所以，a+b+2c=3．对于（8），有a=-2-c，b=-1-c，所以，a+b+2c=-3．故│a+b+2c│=3．二、1．1．由勾股定理知AD2+CD2=AC2．所以，上面半个大圆的面积等于以AD、CD为直径的两个半圆的面积．同理，下面半个大圆的面积等于以AB、BC为直径的两个半圆的面积．•因此，正方形ABCD的面积等于四个“月形”的总面积．容易计算，大圆的半径OD是1cm．2．85．由2 005依次被99，98，97，…去除，观察所得余数的值变化得2 005=99×20+25=98×20+45=97×20+65=96×20+85=95×21+10=94×21+31=93×21+52=92×21+73=91×22+3=90×22+25=89×22+47=88×22+69=87×23+4=86×23+27=85×23+50．以下的余数不会大于84，故可能得到的最大余数是85．3．18．3a2+4b2-5bc=3（a2+bc）+4（b2-2bc）=3×14+4×（-6）=18．4．6．如图5，连结BD、CE．因为S△BCD=S△ECD=1，所以，BE∥CD．因为S△BAF=S△EAF，所以，BE∥AF．因此，BE∥AF∥CD．同理，CF∥DE∥BA，AD∥FE∥BC．由AD、BE、CF三线共点于O，可知四边形OCDE、四边形OEFA、四边形OABC 都是平行四边形，易知，每个平行四边形的面积都等于2．5．150．因为971 425被12除余1，而971 425=5×5×7×7×13×61，其中被12除余5、余7、余1的质因数各都是两个，由于两个被12除余5（余7）的数的乘积被12除余1，而971 425与若干个1的积仍为971 425，被12除余1，所以，•只能是6个被12除余1的数的乘积为971 425．计算得知：971 425=1×1×1×1×1×971 425，这6个因数之和为1+1+1+1+1+971 425=971 430；971 425=1×1×1×1×13×74 725，这6个因数之和为1+1+1+1+13+74 725=74 742；971 425=1×1×1×13×25×2 989，这6个因数之和为1+1+1+13+25+2 989=3 030．事实上，设a、b都是被12除余1的大于1的自然数，且a≥b，则a≥b>2，易知ab>a×2=a+a>a+b．①根据式①得971 425=13×74 725>13+74 725=13+25×2 989>13+25+2 989=13+25+49×61>13+25+49+61．因为971 425=52×72×13×61=1×1×13×25×49×61，所以，971 425表为6•个被12除余1的自然数，它们和的最小值等于1+1+13+25+49+61=150．三、（1）由a+b+c=0，得a+b=-c，因此，（a+b）3=-c3．于是，有a3+3a2b+3ab2+b3=-c3．故a3+b3+c3=-3ab（a+b）=-3ab（-c）=3abc．（2）．（a bc-+b ca-+c ab-）·ca b-=1+（b ca-+c ab-）·ca b-=1+22cab．同理，（a bc-+b ca-+c ab-）·ab c-=1+22abc．（a bc-+b ca-+c ab-）·bc a-=1+22bac故（a bc-+b ca-+c ab-）（ca b-+ab c-+bc a-）=1+22cab+1+22abc+1+22bac=3+3332()a b cabc++=3+23abcabc⨯=9．四、在△ABC中，由∠BAC=∠BCA=44°，得AB=BC，∠ABC=92°．如图6，作BD⊥AC于点D，延长CM交BD于点O，连结OA，则有∠OAC=∠MCA=30°，∠BAO=∠BAC-∠OAC=44°-30°=14°．∠OAM=∠OAC-∠MAC=30°-16°=14°．所以，∠BAO=∠MAO．又∠AOD=90°-∠OAD=90°-30°=60°=∠COD，所以，∠AOM=120°=∠AOB．又AO=AO，因此，△ABO≌△AMO．故OB=OM．由于∠BOM=120°，从而，∠OMB=∠OBM=1802BOM︒-∠=30°．所以，∠BMC=180°-∠OMB=150°．五、如果17个数的末位数字0，1，2，3，4每个都有，可选出5•个数的末位数字恰分别为0，1，2，3，4，则这5个数之和的末位数字为0，其和被5整除．如果17个数的末位数字不是0，1，2，3，4每个都有，则最多只有4•种不同的末位数字．这时，根据轴屉原理，这17个数中至少有5个数的末位数字一样．于是，这5•个数之和被5整除．。
2018年北京北大附中高考数学期末测试模拟题高二物理本试卷分第一部分(选择题)和第二部分(非选择题)两部分，第一部分1至2页，第二部分3至4页，满分100分。
考试时间90分钟。
注意事项：1. 答题前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的考号、姓名填写在答题卡上，并用2B 铅笔把对应的号码标号涂黑。
2．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，先用橡皮擦干净后，再选涂其他答案；不能答在试卷上。
3. 非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，再写上新的答案，改动的内容也不能超出指定的区域；不准使用铅笔、圆珠笔和涂改液。
不按以上要求作答的答案无效。
4. 考生必须保持答题卡的整洁。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第一部分 选择题 (共48分)一、选择题（本题共12小题，每小题4分，共16分。
在每小题给出的四个选项中，至少有一个选项符合题目要求。
全部选对得4分，选不全得2分，有选错或不答的得0分）1. 下列关于电场强度的说法中，正确的是（ ）A . 公式qF E =只适用于真空中点电荷产生的电场 B . 由公式q F E =可知，电场中某点的电场强度E 与检验电荷在电场中该点所受的电场力成正比C . 在公式221r Q Q k F =中，22r Q k 是点电荷2Q 产生的电场在点电荷1Q 处的场强大小 D . 由公式2rQ k E =可知，在离点电荷非常近的地方（0→r ），电场强度E 可达无穷大 2．关于磁感应强度的单位T ，下列表达式中正确的是 ( ) A . 1T=1Wb/m 2 B . 1T=1Wb·m 2C . 1T=1N /CD . 1T=1N/A·m3.电量分别为q 1、q 2的两个点电荷，相距r 时，相互作用力的大小为F （ ）A . 如果q 1、q 2恒定，当距离变为r ／2时，作用力大小将变为2FB . 如果其中一个电荷的电量不变，而另一个电荷的电量和它们间的距离都减半时，作用力大小变为2FC . 如果它们的电量和距离都加倍时，作用力大小不变D . 如果它们的电量都加倍，距离变为r 2时，作用力将变为2F4. 一个运动电荷通过某空间区域时，没有发生偏转，那么就这个空间是否存在电场和磁场，下列判断正确的是（ ）A. 一定不存在电场B. 一定不存在磁场C. 一定存在磁场D. 可能同时存在电场和磁场5．如图1所示：线圈abcd 在通电长直导线的磁场中，分别做如下运动，线圈中有感应电流的是（ ）A ．向右平动B ．向下平动C ．以cd 边为轴转动D ．以直导线为轴转动6.为了使电炉消耗的电功率减小到原来的一半，应采取下列哪些措施（ ）A . 保持电阻不变，使电流减半B . 保持电阻不变，使电压减半C . 保持电炉两端电压不变，使其电阻减半D . 使电压和电阻各减半 7. 图2所示，A 、B 、C 、D 为带孔的平行金属板，电源电动势均为5V ．一个电子从A 板小孔无初速释放，并向B 板方向运动，则（ ）A . 电子到达B 板时的动能是5eVB . 电子从B 板到达C 板动能变化量为零C . 电子到达D 板时动能是10eVD . 电子在A 板和D 板之间做往复运动8.在图3中所示的电路中，当滑动变阻器的滑动触片向 b 端移动时（ ）A ．伏特表 ○V 和安培表○A 的读数都减小B ．伏特表○V 和安培表○A 的读数都增大C ．伏特表○V 的读数增大，安培表○A 的读数减小D ．伏特表○V 的读数减小，安培表○A 的读数增大9.质量一定的金属细杆ab 置于倾角为θ的粗糙导轨上，通电时，恰好静止在导轨上，如图4（甲）所示.侧视图如图4（乙）所示，标示出四种可能的匀强磁场方向，其中杆ab 与导轨之间的摩擦力可能为零的图是（ ）10. 如图5所示，两个完全相同的线圈套在一水平光滑绝缘圆柱上，且能自由移动，若两线圈内通以大小不等的同向电流，则它们的运动情况是（ ）A . 都绕圆柱转动B . 以不等的加速度相互远离C . 以相等的加速度相互靠近D . 以相等的加速度相互远离 a d c b 图1 图2 图5 图3图4 θθB B B B A B C D A B C D （甲） （乙） a b11. 如图6所示，虚线表示等势面，相邻两等势面间的电势差相等，有一带电的小球在该电场中运动，不计小球所受的重力和空气阻力，实线表示该带正电的小球的运动轨迹，小球在a 点的动能等于20eV ，运动到b 点时的动能等于2eV ，若取C 点为零电势点，则这个带电小球的电势能等于－6eV ，它的动能等于（ ）A ．16eVB ．14eVC ．6eVD ．4eV 12. 长为L 的极板间，有垂直纸面向内的匀强磁场，如图7所示， 磁感强度为B ，板间距离也为L ，板不带电，现有质量为m ，电量为q 的带电粒子(不计重力)，从左边极板间中点以平行极板速度v 垂直射入磁场，欲使粒子不打在极板上，可采用的办法是（ ）A ．使粒子的速度v <BqL /4m ；B ．使粒子的速度v >5BqL /4m ；C ．使粒子的速度v >BqL /m ；D ．使粒子速度BqL /4m <v <5BqL /4m 。
2018年北京市中学生数学竞赛初二试题(含答案)2，3，4，5，6，7，8，9中的一个，且这些自然数的和为2018．请问这个学生写出的这17个自然数中，最小的数是多少？（请给出详细解题过程）解：设这17个自然数分别为a1,a2,…,a17，则有：a1+a2+…+a17=2018由于每个自然数的个位数码只能是1，2，3，4，5，6，7，8，9中的一个，所以每个自然数的个位数字之和一定是45，即这17个自然数的个位数字之和为765．设b1,b2,…,b17分别为这17个自然数的十位数字，则有：b1+b2+…+b17=765由于每个自然数的十位数字也只能是1，2，3，4，5，6，7，8，9中的一个，所以每个自然数的十位数字之和一定是45，即这17个自然数的十位数字之和为765．设c1,c2,…,c17分别为这17个自然数的百位数字，则有：c1+c2+…+c17=765由于每个自然数的百位数字也只能是1，2，3，4，5，6，7，8，9中的一个，所以每个自然数的百位数字之和一定是45，即这17个自然数的百位数字之和为765．由此可得，这17个自然数中最小的数为100+10+1=111．一、1.A在1到100这100个自然数中，有25个质数，分别是2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、37、41、43、47、53、59、61、67、71、73、79、83、89、97.因此，质数在这100个自然数中所占的百分比是25%。
2.C将10分拆成三个正整数之和，共有8种情况：1+1+8、1+2+7、1+3+6、1+4+5、2+2+6、2+3+5、2+4+4、3+3+4.根据“三角形两边之和大于第三边”的原则，只有（2，4，4）和（3，3，4）两组可以构成三角形。
由于等腰三角形的两个底角都是锐角，因此以2、4、4为边的等边三角形中，最小边2对的顶角也是锐角。
以3、3、4为边的等腰三角形中，由3的平方加3的平方大于4的平方可知顶角也是锐角。
