复旦大学2018年自主招生考试数学试题解答

复旦大学自主招生与三位一体面试真题及答案分析1.你对当前房价上涨有何看法？【参考答案】现在的房子不是用来住的，是用来炒的。

真正想住房子的人住不上房子，房子只是那些商家用来赚钱的工具。

中国楼市这样下去总有一天崩盘。

投机倒把，没有任何理性，房价显示出人性最丑陋的一面，正确认识这些问题，对症下药、加大力度，遏制房价上涨势头，这既是广大群众的强烈呼声，也是关乎国民经济又好又快发展的重大问题。

还有人认为改革开放以来居民收入增加是房价上涨的首要原因，其次宽松的信贷政策是房价上涨的重要支撑，所以房价上涨也是理所当然的。

当然，每个人的年龄和他所处的环境不同，对房价上涨都会有不同的看法。

【专家点评】考查学生对时事现象的关注和思考情况，言之有理自圆其说即可。

2.金融危机对农村有何影响？【参考答案】金融危机不断向各国各个领域蔓延。

目前已经对农村和农民也有了非常直接的影响。

首先是由于出口需求的缩减，导致相关企业经营不景气，首当其冲的就是农民工失去就业机会，造成农民工返乡潮，既影响农民收入，也影响农村稳定，造成一些混乱局面；其次是以农副产品为原材料的加工业也很不景气，从而导致对农副产品需求的减少和价格回落，直接影响农民收入；第三，由于整体上预期收入和购买力增长的不协调，导致农产品价格合理上涨的势头受到抑制，甚至可能出现一定程度的价格回落；第四，由于各级财政收入可能因金融危机的影响而增幅减缓，而用于涉农的财政支出必将受到较大的影响，而直接影响农村基础设施和公共品的供给。

这些问题应当引起相关部门的重视。

换言之，应对金融危机，农村经济和农民生活是不可忽视的一个重要领域，国家要大力重视这个问题。

【专家点评】考查学生对于社会热点问题的理解。

3.如何对待文理分科？【参考答案】现在的社会是一个讲求专业人才、讲究分工协作的社会，人们主要从各自的专长和兴趣出发进行工作。

经过初中以及高一的文理科学习，相信大部分学生已经能够发现自己的能力和兴趣所在，此时进行文理分科有利于各类专才的早日培养，因为到了高中阶段学生的学习特长、兴趣倾向已经呈现，要根据自身的特长和今后的发展方向，自主选择侧重文科还是理科，有利于他们集中精力，为今后的发展奠定基础。

第一讲近年来自主招生数学试卷解读集合与命题授课教师：范端喜第一部分近年来自主招生数学试卷解读一、各学校考试题型分析：交大：题型：填空题10题，每题5分；解答题5道，每题10分；考试吋间：试题难度：考试知识点分布：90分钟，满分100分；略高于高考，比竞赛一试稍简单；基本涵盖高屮数学教材高考所有内容，如：集合、函数、不等式、数列（包括极限）、三角、复数、排列组合、向量、二项式定理、解析几何和立体儿何复旦：题型：试题类型全部为选择题（四选一）；全考试吋间：总的考试吋间为3小吋（共200道选择题，总分1000分，其屮数学部分30题左右，，每题5分）；试题难度：基本相为于高考；考试知识点分布：除高考常规内容之外，还附加了一-些内容，如：行列式、矩阵等;考试重点：同济：题型：侧重于函数和方程问题、不等式、数列及排列组合等填空题8题左右，分数大约40分，解答题约5题，每题大约12分；考试吋间：90分钟，满分100分；试题难度：考试知识点分布：基本上相半于高考；常规高考内容二、试题特点分析：1. 突出对思维能力和解题技巧的考查。

例如，2007年交大冬令营自主招生试题中有这样一个问题：设/(x)二(1 + a)x4 + x3- (3a + 2)x2 - 4a ,试证明对任意实数a:(1) 方程/(x)二0总有相同实根；(2) 存在托，恒有/(X。

)工0・这两问解决的策略和方法是：换一个角度看成一个关于a的一次函数’ 关键步骤提示：/(a) = (x4一3兀2—4)° + (兀"+ x3 - 2x2—(% + 2)(兀一2)(兀~ + 1)Q +(x + 2)(兀—1)2. 注重数学知识和其它科目的整合，考查学生应用知识解决问题的能力。

通信工程中常用〃元数组...............a”)表示信息，其中q = 0或1, i、•设"=(q,a】,® ...... a；：), v = ...... b鳥,表示"和v中相对应的元素不同的个数.(1 ) ” = (0,0,0,0,0)问存在多少个5元数组v使得力(U(2)z/ = (l?Ll丄1)问存在多少个5元数组v使得67(Z/?V)=3；(3)令w = (0.0.0 ........ 0),"二(％6,4 ................. a“)，v = (b“b],b[ .......... b j,朴0求证：〃(2,小：)+ 〃(匕W)> d{u.v)・此问题与计算机中的“二进制”有关，前两问是排列组合计数问题，尤其是第三问有-定的挑战性。

2007年复旦大学自主招生考试数学试题选择题（每题5分，共150分，答对得5分，答错扣2分，不答得0分） 1．三边均为整数，且最大边长为11的三角形，共有 个． A ．20B ．26C ．30D ．362．若a>1，b>1且lg （a+b ）=lga+lgb ，则lg （a −1）+lg （b −1）= ． A ．lg2B ．1C ．不是与a 、b 无关的常数D ．03．已知z ∈C ，若∣z ∣＝2－4i ，则z1的值是 ． A ．3＋4i B ．i 5453+ C ．i 154153+ D ．i 254253- 4．已知函数f （x ）=cos （x k 2316++π）+cos （x k 2316--）=23sin （x 23+π），其中x 为实数且k 为整数．则f （x ）的最小正周期为 ．A ．3πB ．2π C ．πD ．2π5．已知A ＝｛（x ，y ）∣y ≥x 2｝，B={（x ，y ）∣x 2+（y −a ）2≤1}．则使A∩B＝B 成立的充分必要条件为 ．A ．a=45B ．a≥45 C ．0<a<1 D ．a≥16．已知平面上三角形ABC 为等边三角形且每边边长为a ，在AB 和BC 上分别取D ，E 两点使得AD ＝BE ＝3a，连接A ，E 两点以及C ，D 两点．则AE 和CD 之间的最小夹角为 ． A ．9πa B ．3πa C ．3π D ．以上均不对7．已知数列｛a n ｝满足3a n+1+a n =4，（n≥1），且a 1=9， 其前n 项之和为S n ，则满足不等式∣S n −n −6∣<1251的最小整数是45． A ．6B ．7C ．8D ．98．将一个四棱锥的每个顶点染上一种颜色，并使用一条棱的两端点异色，若只有五种颜色可供使用，则不同的染色方法的总数为 ．A ．120B ．260C ．340D ．4209．设甲乙两个袋子中装有若干个均匀白球和红球，且甲乙两个袋子中的球数比为1∶3．已知从甲袋中摸到红球的概率为31，而将甲乙两个袋子中的球装在一起后，从中摸到红球的概率为32．则从乙袋中摸到红球率为 ． A ．97 B ． 4519C ．3013D ．4522 10．方程f （x ）=543423322212321---------x x x x x x x x x =0 的实根的个数是 ．A ．1个B ． 2个C ．3个D ．无实根11．已知a ，b 为实数，满足（a+b ）59=−1，（a −b ）60=1，则∑=-601)(n n nb a＝ ．A ．0121B ．−49C ．0D ．2312．a=21是“直线（a+2）x +3a y +1=0与直线（a −2）x +（a+2）y −3=0相互垂直”的 ． A ．充分必要条件B ．充分而不必要条件C ．必要而不充分条件D ．既不充分也不必要条件13．设函数y =f （x ）对一切实数x 均满足f （2+x ）=f （2−x ），且方程f （x ）=0恰好有7个不同的实根，则这7个不同实根的和为 ．A ．0B ．10C ．12D ．1414．已知α，β，γ分别为某三角形中的三个内角且满足tan 2βα+=sin γ，则下列四个表达式:（1）tan αtan β=1 （2）0<sin α+sin β≤2 （3）sin 2α+sin 2β=1 （4）cos 2α+cos 2β=sin 2γ中，恒成立的是 ．A ．（1）（3）B ．（10（4）C ．（2）（3）D ．（2）（4）15．设S n =1+2+…+n，n ∈N ．则∞→n lim1)32(2++n nS n nS ＝ ．A ．2B ．321C ．161 D ．6416．复数z =iia 212+-（a ∈R ，i=1-）在复平面上对应的点不可能位于 ． A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限17．已知f （x ）=asin x +b 3x ＋4（a ，b 为实数）且f [lg （lg 310）]=5，则f [lg （lg3）]= ．A ．−5B ．−3C ．3D ．随a ，b 取不同值而取不同值18．已知四棱锥P －ABCD ，底面ABCD 是菱形，∠DAB ＝3π，PD ⊥平面ABCD ，线段PD ＝AD ，点E 是AB 的中点，点F 是PD 的中点，则二面角P －AB －F 的平面角的余弦值＝ ．A ．21 B ．552 C ．1475D ．1473 19．在（32-）50的展开式中有 项为有理数． A ．10B ．11C ．12D ．1320．棱长为a 的正方体内有两球互相外切，且两球各与正方体的三个面相切．则两球半径之和为为 ．A ．无法确定B ．aC ．a 233-D ．a 255- 21．在集合{1，2，…11}中任选两个作为椭圆方程12222=+by a x 中的a 和b ，则能组成落在矩形区域{（x ，y ）||x |<11，|y |<9}内的椭圆个数是 ．A ．70B ．72C ．80D ．8822．设a ，b ，c 为非负实数，且满足方程02562684495495=+⨯-++++cb a cb a ，则a+b+c的最大值和最小值 ．A ．互为倒数B ．其和为13C ．其乘积为4D ．均不存在23．给定正整数n 和正常数a ，对于满足不等式a 12+a n+12≤a 的所有等差数列a 1，a 2，a 3，…，和式∑++=1211n n i a的最大值＝ ．A ．)1(210+n aB ．n a210 C ．)1(25+n aD ．n a 2524．设z 0（z 0≠0）为复平面上一定点，z 1为复平面上的动点，其轨迹方程为|z 1−z 0|=|z 1|，z 为复平面上另一个动点满足z 1z =−1．则z 在复平面上的轨迹形状是 ．A ．一条直线B ．以01z -为圆心，01z 为半径的圆 C ．焦距为012z 的双曲线 D ．以上均不对25．一个球与正四面体的六条棱都相切，若正四面体的棱长为a ，则这个球的体积为 ．A ．3123a π B ．343a π C ．3242a π D ．3243a π 26．已知函数f （x ）的定义域为（0，2），则函数g （x ）=f （x +c ）+f （x −c ） 在 0＜21时的定义域为 ．A ．（1−c ，2+c ）B ．（c ，2−c ）C ．（1−c ，2−c ）D ．（c ，2+c ） 27．设函数f （x ）=sin （2x +ϕ），（−π<ϕ<0），y =f （x ）图象的一条直线x =8π．则ϕ的值为 ．A ．4πB ．43πC ．－43πD ．2π28．设f （x ）是定义在实数集上的周期为2的周期函数，且是偶函数．已知当x ∈[2，3]时，f （x ）=−x ，则当x ∈[－2，0］时，f （x ）的表达式为 ．A ．−3+|x +1|B ．2−|x +1|C ．3−|x +1|D ．2+|x +1|29．当a 和b 取遍所有实数时，则函数f （a ，b ）=（a+5−3|cosb|）2+（a −2）|sinb|）2所能达到的最小值为 ．A ．1B ．2C ．3D ．430．对任意实数x ，y ，定义运算x ºy 为x ºy ＝a x +b y +c xy ，其中a ，b ，c 为常数，且等式右端中的运算为通常的实数加法、乘法运算．已知1º2＝3，2º3＝4且有一个非零实数d ，使得对于任意实数x 均有x ºd=x ，则d= ．A ．－4B ．－2C ．1D ．4历年自主招生考试数学试题大全专题下载链接：/a760682.html链接打开方法：1、按住ctrl键单击链接即可打开专题链接2、复制链接到网页。

2018年复旦大学自主招生试题1.设x ∈R ，求函数f x =16x +41-x +4⋅2x +14x +21-x的最小值.【答案】103.【考点】求函数最小值问题.【解析】f x =2x 4+22x 2+4⋅2x +12x 2+22x =2x 2+22x 2+12x 2+22x =2x 2+22x +12x 2+22x，令t =2x 2+22x =2x 2+12x +12x ≥3，则f x ≥103. 当x =0时，函数f x 的最小值为103. 2.设f x =4x +2x +1−8，求A =x ∈−6,6 |f x >0 的区间长度.【答案】5【考点】函数定义域的应用.【解析】f x =4x +2x +1-8=2x -2 2x +4 >0⇒x >1，所以A 的区间长度为5.3.求能放入一个半径为r 的球体的圆锥体积最小值.【答案】8πr 23【考点】立体几何问题.【解析】如图所示，设圆锥的底面半径为R ，圆锥的顶点A 到球体的球心距离为m ，所以△ABO 1∼△AOD , 所以OD AD =BO 1AO 1，即R m +r =r m 2-r 2⇒R 2=r 2m +r m -r ，则V ABC =πr 23 m +r 2m -r =πr 23 m -r +4r 2m -r +4r≥8πr 23 . 4.极坐标系中，曲线C :ρ2-6ρcos θ-8ρsin θ+16=0上一点与曲线D :ρ2-2ρcos θ-4ρsin θ+4=0上一点的距离最大值是多少？【答案】4+22 .【考点】圆的参数方程的问题.【解析】C :x -3 2+y -4 2=9,D :x -1 2+y -2 2=1，则两个动点的距离最大值为圆心距加两个半径，即为4+22 .5.△ABC 中，D 为BC 上一点，AB =c ,AC =b ,AD =h ,BD =x ,CD =y ,则x 2+y 2+2h 2=b 2+c 2是AD 为中线的什么条件？【答案】必要不充分条件【考点】三角函数问题和余弦定理的应用.【解析】△ADB 中，由余弦定理cos ∠ADB =x 2+h 2-c 22xh, 在△ADC 中，由余弦定理cos ∠ADC =y 2+h 2-b 22yh,AB C DOO 1博观而约取 厚积而薄发由∠ADB +∠ADC =π，所以x 2+h 2-c 22xh +y 2+h 2-b 22yh=0，考虑到x 2+y 2+2h 2=b 2+c 2，所以x 2+h 2-c 2=b 2-y 2-h 2=0，此时x 不一定等于y ，此时AD 不一定为中线，而当x =y 时x 2+y 2+2h 2=b 2+c 2，所以x 2+y 2+2h 2=b 2+c 2是AD 为中线的必要不充分条件.6.求最小正整数k ，使得4725k 为完全平方数.【答案】21【考点】初等数论问题.【解析】4725k =152⋅21k , 又因为m 是正整数，所以k min =21.7.1900年，数学家_______在巴黎国际数学家大会上提出了23个未解决的问题.【答案】希尔伯特.【考点】数学史问题.【解析】希尔伯特.8.记正方体的六个面中心为A ,B ,C ,D ,E ,F , 先在这6个点中任取两点连线，再在这6个点中任取两点连线，则两条线段平行但不重合的概率是多少？【答案】475.【考点】立体几何问题.【解析】已知这个六面体是两个正四棱锥结合在一起，中间正方形的平行有两对，上下两个正四棱锥侧棱平行有四对，则所求概率为P =12C 26C 26=475 . 9.直线l 1:mx +y -1=0,l 2:x -my +2+m =0分别过定点A ,B ，若两直线交于点P ，求P A +PB 的取值范围.【答案】P A +PB ∈2,22 .【考点】直线和三角函数问题.【解析】直线l 1⊥l 2, 所以P A ⊥PB ，而A 0,1 ,B -2,1 满足P A 2+PB 2=4,令P A =2cos α,PB =2sin α,α∈0,π2 ,则P A +PB =22 sin α+π4 ，所以P A +PB ∈2,22 .10.在单位正方体ABCD -EFGH 中，M ,N 分别为棱CG ,AE 的中点，P 为平面BFGC 上一点，并满足EP 平行平面BMN ，求EP 长度的取值范围.【答案】30 5≤EP ≤2 .【考点】立体几何问题.【解析】取BF 中点，连接EK ，GK 与EG ，则平面EKG 平行于平面NBM ，所以点P 在线段KG 上运动，在△EKG 中，cos ∠EKG =54 +54 -22⋅54 =15 ,则EP min =EK sin ∠EKG =5 2 26 5 =30 5,所以305 ≤EP ≤2 . 11.已知在△ABC 中，A (3,2)，B (4,3)，C (6,7)，求△ABC 的面积.【答案】1【考点】解三角形问题.【解析】S △ABC =12 AB ×AC =12 (1,1)×(3,5) =1. 12.在△ABC 中，AD =2DB ,BE =2EC ，设直线CD 和AE 交于点P ，若AP =mAB +nAC , 求m ,n .【答案】m =27,n =47 .【考点】平面向量问题.【解析】过点D 作DF 平行于BC 交AE 于点F ，所以△ADF ∼△ABE ，则DF BE =AD AB =23 , 所以DF =23 BE =43 EC , △DFP ∼△CEP ，所以DF CE =FP PE =43 ，而AF FE =21 ，则AP =67 AE , 所以AP =27 AB +47 AC ，m =27,n =47 . 13. 令f x =sin nx sin x n ∈ℕ* ，下列结论正确的是_______.(1)f x 是周期函数；(2)f x 有对称轴；(3)f x 关于π2,0 对称；(4)f x ≤n 【答案】（1）（2）（4）【考点】三角函性质的应用.【解析】显然（1）对; f x 是偶函数，（2）对；（3）由f x +π +f -x =0,n 偶数≠0，n 奇数 ，（3）错；（4）由数学归纳法可以证明sin nx ≤n sin x ，所以（4）正确. 答案（1）（2）（4）.14.若函数f x 满足f 1x +1x f -x =2x x ≠1 ，求f 2 .【答案】f 2 =92.【考点】赋值法的应用.【解析】赋值法. 令x =12 ,f 2 +2f -12=1, 令x =-2,f -12 -12f 2 =-4,解得f 2 =92. 15.已知A 0,1 ,B 1,-1 ，直线ax +by =1与线段AB 有公共点，求a 2+b 2的最小值.【答案】12.【考点】直线与距离的应用.【解析】将直线ax +by =1看成关于变量a ,b 的直线，则a 2+b 2表示直线上一点到原点距离的平方，则a 2+b 2≥1x 2+y 2 ，又0≤x ≤1,-1≤y ≤1，则a 2+b 2≥112+12 =12 .博观而约取 厚积而薄发16.设方程log 3x 3+log 273x =-43 的两个根为a 和b ，求a +b 的值.【答案】1081.【考点】对数方程问题和换元法的应用.【解析】记log 33x =t ，则1t +t 3 =-43⇒t =-1,-3，所以a =19 ,b =181 ,则a +b =1081. 17.已知方程x 4+ax 3+bx 2-3x -2=0有两个实根x 1=2,x 2=-1，则其余两根为______.A.相同的实根B.不同的实根C.共轭复根D.以上都不对【答案】C【考点】方程复数根的问题.【解析】x 1=2,x 2=-1⇒b +2a =-2b -a =-2 ⇒a =0,b =-2.则x 4+0⋅x 3-2x 2-3x -2=x +1 x -2 x 2+x +1 ，所以另外两个复根为x =-1±3 i 2，答案C .18.定义x ⊕y =log x y +2，解方程x ⊕4 ⊕4=0.【答案】x =2-43.【考点】对数方程的问题.【解析】记log x 4+2=t ，则方程即log t 4+4=0⇒t =12 ⇒x =2-43 . 19.已知a >0，设f x =4x -1-2x +a -1, 若x 1x 2=a 2，且x 2>x 1>0，试比较f x 2 和f x 1 的大小.【答案】f x 2 >f x 1 .【考点】指数函数问题.【解析】记t =2x -1，则f x =g t =t 2-2a t ,t 1=2x 1-1,t 2=2x 2-1, 因为x 1x 2=a 2，且x 2>x 1>0，所以x 2>a >x 1⇒2x 2-1>2a -1>2x 1-1，另一方面，2x 2-1+2x 1-1>22x 1+x 2-1-1 >222x 1x 2 -1-1 =2a ,所以f x 2 >f x 1 .20.已知x 4-ax 3-bx 2+12x +36=0有二重根，求a 2+b +1 2的值.【答案】1440【考点】方程根的问题.【解析】x 4-ax 3-bx 2+12x +36=x 2x 2-ax -b +1 +x 2+12x +36=0,方程有二重根，所以-a =12,-b +1 =-36⇒a =12,b =35⇒ a 2+b +1 2=1440.21.在1，2，3 ，⋯,10中等概率的取出两个数a ,b ，使得x +1 2+3y 2+1=a b +1 x 2+4b a +2 y +3 2 是抛物线的概率为_______.【答案】P =9+2C 210=1145 .【考点】解析几何和概率问题.【解析】①当a b +1=1时，此时有9个；②当4b a +2 =3时a ,b =2,3 ,6,6 ,10,9 但是a ,b =10,9 与①中重复出现，所以此时只有2个，则所求概率P =9+2C 210=1145 . 22.已知正数a ,b ，则log a b =log b a 是a =b 的_______条件.【答案】既不必要也不充分条件【考点】逻辑关系问题.【解析】既不必要也不充分条件. 考虑到log 22-1=log 2-12=-1和a =b =1情形.23.设A ,B ,C ,P 是平面上不同的点，则P A +PB +PC =0 是P 为△ABC 的重心的______条件.【答案】充要条件【考点】逻辑关系问题.【解析】充要条件，平面奔驰定理直接推论.。

2018年复旦大学自主招生考试数学试题选择题（每题5分，共150分，答对得5分，答错扣2分，不答得0分） 1．三边均为整数，且最大边长为11的三角形，共有 个． A ．20B ．26C ．30D ．362．若a>1，b>1且lg （a+b ）=lga+lgb ，则lg （a −1）+lg （b −1）= ． A ．lg2B ．1C ．不是与a 、b 无关的常数D ．03．已知z ∈C ，若∣z ∣＝2－4i ，则z1的值是 ． A ．3＋4i B ．i 5453+ C ．i 154153+ D ．i 254253-4．已知函数f （x ）=cos （x k 2316++π）+cos （x k 2316--）=23sin （x 23+π），其中x 为实数且k 为整数．则f （x ）的最小正周期为 ．A ．3πB ．2π C ．πD ．2π5．已知A ＝｛（x ，y ）∣y ≥x 2｝，B={（x ，y ）∣x 2+（y −a ）2≤1}．则使A∩B＝B 成立的充分必要条件为 ．A ．a=45B ．a≥45 C ．0<a<1 D ．a≥16．已知平面上三角形ABC 为等边三角形且每边边长为a ，在AB 和BC 上分别取D ，E 两点使得AD ＝BE ＝3a，连接A ，E 两点以及C ，D 两点．则AE 和CD 之间的最小夹角为 ． A ．9πa B ．3πa C ．3π D ．以上均不对7．已知数列｛a n ｝满足3a n+1+a n =4，（n≥1），且a 1=9， 其前n 项之和为S n ，则满足不等式∣S n −n −6∣<1251的最小整数是45． A ．6B ．7C ．8D ．98．将一个四棱锥的每个顶点染上一种颜色，并使用一条棱的两端点异色，若只有五种颜色可供使用，则不同的染色方法的总数为 ．A ．120B ．260C ．340D ．4209．设甲乙两个袋子中装有若干个均匀白球和红球，且甲乙两个袋子中的球数比为1∶3．已知从甲袋中摸到红球的概率为31，而将甲乙两个袋子中的球装在一起后，从中摸到红球的概率为32．则从乙袋中摸到红球率为 ． A ．97 B ． 4519C ．3013D ．4522 10．方程f （x ）=543423322212321---------x x x x x x x x x =0 的实根的个数是 ．A ．1个B ． 2个C ．3个D ．无实根11．已知a ，b 为实数，满足（a+b ）59=−1，（a −b ）60=1，则∑=-601)(n n nb a＝ ．A ．0121B ．−49C ．0D ．2312．a=21是“直线（a+2）x +3a y +1=0与直线（a −2）x +（a+2）y −3=0相互垂直”的 ． A ．充分必要条件B ．充分而不必要条件C ．必要而不充分条件D ．既不充分也不必要条件13．设函数y =f （x ）对一切实数x 均满足f （2+x ）=f （2−x ），且方程f （x ）=0恰好有7个不同的实根，则这7个不同实根的和为 ．A ．0B ．10C ．12D ．1414．已知α，β，γ分别为某三角形中的三个内角且满足tan 2βα+=sinγ，则下列四个表达式:（1）tanαtanβ=1 （2）0<sinα+sinβ≤2 （3）sin 2α+sin 2β=1 （4）cos 2α+cos 2β=sin 2γ中，恒成立的是 ．A ．（1）（3）B ．（10（4）C ．（2）（3）D ．（2）（4）15．设S n =1+2+…+n，n ∈N ．则∞→n lim1)32(2++n nS n nS ＝ ．A ．2B ．321C ．161 D ．6416．复数z =iia 212+-（a ∈R ，i=1-）在复平面上对应的点不可能位于 ． A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限17．已知f （x ）=asin x +b 3x ＋4（a ，b 为实数）且f [lg （lg 310）]=5，则f [lg （lg3）]= ．A ．−5B ．−3C ．3D ．随a ，b 取不同值而取不同值18．已知四棱锥P －ABCD ，底面ABCD 是菱形，∠DAB ＝3π，PD ⊥平面ABCD ，线段PD ＝AD ，点E 是AB 的中点，点F 是PD 的中点，则二面角P －AB －F 的平面角的余弦值＝ ．A ．21 B ．552 C ．1475D ．1473 19．在（32-）50的展开式中有 项为有理数．A ．10B ．11C ．12D ．1320．棱长为a 的正方体内有两球互相外切，且两球各与正方体的三个面相切．则两球半径之和为为 ．A ．无法确定B ．aC ．a 233-D ．a 255- 21．在集合{1，2，…11}中任选两个作为椭圆方程12222=+by a x 中的a 和b ，则能组成落在矩形区域{（x ，y ）||x |<11，|y |<9}内的椭圆个数是 ．A ．70B ．72C ．80D ．8822．设a ，b ，c 为非负实数，且满足方程02562684495495=+⨯-++++cb a cb a ，则a+b+c的最大值和最小值 ．A ．互为倒数B ．其和为13C ．其乘积为4D ．均不存在23．给定正整数n 和正常数a ，对于满足不等式a 12+a n+12≤a 的所有等差数列a 1，a 2，a 3，…，和式∑++=1211n n i a的最大值＝ ．A ．)1(210+n aB ．n a210 C ．)1(25+n aD ．n a 2524．设z 0（z 0≠0）为复平面上一定点，z 1为复平面上的动点，其轨迹方程为|z 1−z 0|=|z 1|，z 为复平面上另一个动点满足z 1z =−1．则z 在复平面上的轨迹形状是 ．A ．一条直线B ．以01z -为圆心，01z 为半径的圆 C ．焦距为012z 的双曲线 D ．以上均不对25．一个球与正四面体的六条棱都相切，若正四面体的棱长为a ，则这个球的体积为 ．A ．3123a π B ．343a π C ．3242a π D ．3243a π 26．已知函数f （x ）的定义域为（0，2），则函数g （x ）=f （x +c ）+f （x −c ） 在 0＜21时的定义域为 ．A ．（1−c ，2+c ）B ．（c ，2−c ）C ．（1−c ，2−c ）D ．（c ，2+c ） 27．设函数f （x ）=sin （2x +ϕ），（−π<ϕ<0），y =f （x ）图象的一条直线x =8π．则ϕ的值为 ．A ．4πB ．43πC ．－43πD ．2π28．设f （x ）是定义在实数集上的周期为2的周期函数，且是偶函数．已知当x ∈[2，3]时，f （x ）=−x ，则当x ∈[－2，0］时，f （x ）的表达式为 ．A ．−3+|x +1|B ．2−|x +1|C ．3−|x +1|D ．2+|x +1|29．当a 和b 取遍所有实数时，则函数f （a ，b ）=（a+5−3|cosb|）2+（a −2）|sinb|）2所能达到的最小值为 ．A ．1B ．2C ．3D ．430．对任意实数x ，y ，定义运算x ºy 为x ºy ＝a x +b y +c xy ，其中a ，b ，c 为常数，且等式右端中的运算为通常的实数加法、乘法运算．已知1º2＝3，2º3＝4且有一个非零实数d ，使得对于任意实数x 均有x ºd=x ，则d= ．A ．－4B ．－2C ．1D ．4历年自主招生考试数学试题大全专题下载链接：/a760682.html链接打开方法：1、按住ctrl键单击链接即可打开专题链接2、复制链接到网页。

1、设函数y=f（x）=e x+1，则反函数OyxOyxO x答案：A2、设f（x）是区间[a，b]f（x）是[a，b]上的递增函数，那么，f（xA．存在满足x<y的x，y∈[a，b]B．不存在x，y∈[a，b]满足x<y且fC．对任意满足x<y的x，y∈[a，b]D．存在满足x<y的x，y∈[a，b]答案：A3、设]2,2[,ππβα-∈，且满足sinαA． [−2，2] B． [答案：D4、设实数0,≥yx，且满足2=+yxA．97/8 B．答案：C5则该多面体的体积为______________。

A．2/3 B．3/4答案：D6、在一个底面半径为1/2，高为1的圆柱内放入一个直径为1的实心球后，在圆柱内空余的地方放入和实心球、侧面以及两个底面之一都相切的小球，最多可以放入这样的小球个数是___________。

A ．32个；B ．30个；C ．28个；D ．26个答案：B7、给定平面向量（1，1），那么，平面向量（231-，231+）是将向量（1，1）经过________． A ．顺时针旋转60°所得； B ．顺时针旋转120°所得； C ．逆时针旋转60°所得；D ．逆时针旋转120°所得；答案：C8、在直角坐标系O xy 中已知点A 1（1，0），A 2（1/2，3/2），A 4（−1，0），A 5（−1/2，−3/2）和A6（1/2， −3/2）．问在向量−−→−ji A A （i ，j=1，2，3，4，5，6，i≠j）中，不同向量的个数有_____． A ．9个； B ．15个； C ．18个； D ．30个答案：C9、对函数f:[0，1]→[0，1]，定义f 1（x ）=f （x ），……，f n（x ） =f （f n −1（x ）），n=1，2，3，……．满足f n （x ）=x 的点x ∈[0，1]称为f 的一个n −周期点．现设⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤≤-≤≤=121,22,210,2)(x x x x x f 问f 的n −周期点的个数是___________．A ．2n 个；B ．2n 2个；C ．2n个；D ．2（2n−1）个．答案：C10、已知复数z 1=1+3i ，z 2=−3+3i ，则复数z 1z 2的幅角__________． A ．13π/12 B ．11π/12 C ．−π/4 D ．−7π/12答案：A11、设复数βαβαcos sin ,sin cos i w i z +=+=满足z w =3/2，则sin （β−α）=______． A ．±3/2B ．3/2，−1/2C ．±1/2D ．1/2，−3/2答案：D12、已知常数k 1，k 2满足0<k 1<k 2，k 1k 2=1．设C 1和C 2分别是以y =±k 1（x −1）+1和y =±k 2（x −1）+1为渐近线且通过原点的双曲线．则C 1和C 2的离心率之比e 1/e 等于_______．A ．222111k k ++ B ．212211k k ++ C ．1 D ．k 1/k 2答案：C13、参数方程0,)cos 1()sin (>⎩⎨⎧-=-=a t a y t t a x 所表示的函数y=f （x ）是____________．A ．图像关于原点对称；B ．图像关于直线x =π对称；C ．周期为2a π的周期函数D ．周期为2π的周期函数．答案：C14、将同时满足不等式x −k y −2≤0，2x +3y −6≥0，x +6y −10≤0 （k>0）的点（x ，y ）组成集合D 称为可行域，将函数（y +1）/x 称为目标函数，所谓规划问题就是求解可行域中的点（x ，y ）使目标函数达到在可行域上的最小值．如果这个规划问题有无穷多个解（x ，y ），则k 的取值为_____．A ．k≥1;B ．k≤2C ．k=2D ．k=1．答案：C15、某校有一个班级，设变量x 是该班同学的姓名，变量y 是该班同学的学号，变量z 是该班同学的身高，变量w 是该班同学某一门课程的考试成绩．则下列选项中正确的是________．A ．y 是x 的函数；B ．z 是y 的函数；C ．w 是z 的函数；D ．w 是x 的函数．答案：B16、对于原命题“单调函数不是周期函数”，下列陈述正确的是________． A ．逆命题为“周期函数不是单调函数”； B ．否命题为“单调函数是周期函数”； C ．逆否命题为“周期函数是单调函数”； D ．以上三者都不正确 答案：D17、设集合A={（x ，y ）|log a x +log a y >0}，B={（x ，y ）|y +x <a}．如果A∩B=∅，则a 的取值范围是_______ A ．∅ B ．a>0，a≠1 C ．0<a≤2， a≠1 D ．1<a≤2答案：D18、设计和X 是实数集R 的子集，如果点x 0∈R 满足：对任意a>0，都存在x ∈X 使得0<|x −x 0|<a ，则称x 0为集合X 的聚点．用Z 表示整数集，则在下列集合（1）{n/（n+1）|n ∈Z ， n≥0}， （2） R\{0}， （3）{1/n|n ∈Z ， n≠0}， （4）整数集Z 中，以0为聚点的集合有_____． A ．（2），（3）B ．（1），（4）C ．（1），（3）D ．（1），（2），（4）答案：A19、已知点A （−2，0），B （1，0），C （0，1），如果直线kx y =将三角形△ABC 分割为两个部分，则当k =______时，这两个部分得面积之积最大？A ．23-B ．43-C ．34-D ．32-答案：A20、已知x x x x f 2cos 3cos sin )(+=，定义域⎥⎦⎤⎢⎣⎡=ππ127,121)(f D ，则=-)(1x f_____A ．π12123arccos 21+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-x B ．π6123arccos 21-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-x C ．π12123arcsin 21+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--x D ．π6123arcsin 21-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-x 答案：A21、设1l ，2l 是两条异面直线，则直线l 和1l ，2l 都垂直的必要不充分条件是______ A ．l 是过点11l P ∈和点22l P ∈的直线，这里21P P 等于直线1l 和2l 间的距离 B ．l 上的每一点到1l 和2l 的距离都相等 C ．垂直于l 的平面平行于1l 和2lD ．存在与1l 和2l 都相交的直线与l 平行 答案：D22、设ABC −A’B’C’是正三棱柱，底面边长和高都为1，P 是侧面ABB’A’的中心，则P 到侧面ACC’A’的对角线的距离是_____A ．21B ．43C ．814D ．823答案：C23、在一个球面上画一组三个互不相交的圆，成为球面上的一个三圆组．如果可以在球面上通过移动和缩放将一个三圆组移动到另外一个三圆组，并且在移动过程中三个圆保持互不相交，则称这两个三圆组有相同的位置关系，否则就称有不同的位置关系．那么，球面上具有不同的位置关系的三圆组有______A ．2种B ．3种C ．4种D ．5种 答案：A24、设非零向量()()()321321321,,,,,,,,c c c c b b b b a a a a ===为共面向量，),,(31x x x x x = 是未知向量，则满足0,0,0=⋅=⋅=⋅x c x b x a的向量x 的个数为_____A ．1个B ．无穷多个C ．0个D ．不能确定 答案：B25、在Oxy 坐标平面上给定点)1,2(),3,2(),2,1(C B A ，矩阵⎪⎪⎭⎫⎝⎛-112k 将向量OC OB OA ,,分别变换成向量,,，如果它们的终点',','C B A 连线构成直角三角形，斜边为''C B ，则k 的取值为______A ．2±B ．2C ．0D ．0，−2 答案：B26、设集合A ，B ，C ，D 是全集X 的子集，A∩B≠∅，A∩C≠∅．则下列选项中正确的是______． A ．如果B D ⊂或C D ⊂，则D∩A≠∅； B ．如果A D ⊂，则C x D∩B≠∅，C x D∩C≠∅； C ．如果A D ⊃，则C x D∩B=∅，C x D∩C=∅； D ．上述各项都不正确．27、已知数列{}n a 满足21=a 且n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是公比为2的等比数列，则∑==nk k a 1______A ．221-+n nB ．22)1(1+-+n n C ．)1(22-+n n n D ．n n n 22)1(+-28、复平面上圆周2211=+--iz z 的圆心是_______ A ．3+i B ．3−iC ．1+iD ．1−i29．已知C 是以O 为圆心、r 为半径的圆周，两点P 、P *在以O 为起点的射线上，且满足|OP|∙|OP *|=r 2，则称P 、P *关于圆周C 对称．那么，双曲线22x y -=1上的点P （x ，y ）关于单位圆周C':x 2＋y 2=1的对称点P *所满足的方程是（A ）2244x y x y -=+（B ）()22222x y x y-=+（C ）()22442x y x y-=+（D ）()222222x y x y-=+30、经过坐标变换⎩⎨⎧+-=+=θθθθcos sin 'sin cos 'y x y y x x 将二次曲线06532322=-+-y xy x 转化为形如1''2222=±b y a x 的标准方程，求θ的取值并判断二次曲线的类型_______ A ．)(6Z k k ∈+=ππθ，为椭圆 B ．)(62Z k k ∈+=ππθ，为椭圆C ．)(6Z k k ∈-=ππθ，为双曲线D ．)(62Z k k ∈-=ππθ，为双曲线31、设k ， m ， n 是整数，不定方程mx+ny=k 有整数解的必要条件是____________ A ．m ，n 都整除kB ．m ，n 的最大公因子整除kC ．m ，n ，k 两两互素D ．m ，n ，k 除1外没有其它共因子。

2018年复旦大学自主招生试题（部分学生回忆）1.设R x ∈，求函数xx x x x x f --++⨯++=1124124416)(的最小值.2.设824)(1-+=+x x x f ，求}0)(|)6,6({>-∈=x f x A 的区间长度.3.求能放入一个半径为的球体的圆锥体积的最小值.4.极坐标系中，求曲线016sin 8cos 6:2=+--θρθρρC 上一点与曲线04sin 4cos 2:2=+--θρθρρD 上一点的距离的最大值.5.ABC ∆中，D 为边BC 上一点，,,,,,y CD x BD h AD b AC c AB =====则222222c b h y x +=++是AD 为角平分线的什么条件?6.求最小正整数k ，使得k 4725为完全平方数.7.1990年，数学家（）在巴黎国际数学大会上提出了23个未解问题.8.记正方体的六个面中心为F E D C B A ,,,,,，先在这6点中任取两点连线，再在这6点中任取两点连线，则两条线段平行但不重合的概率是多少？9.直线02:,01:21=++-=-+m my x l y mx l 分别过定点B A ,，若两条直线交于点P ，求PB PA +的取值范围.10.在单位正方体EFGH ABCD -中，N M ,分别为AE CG ,的中点，P 为平面BFGC 上一点，并满足||EP 面BMN ,求EP 长度的取值范围.11.已知在ABC ∆中，)7,6(),3,4(),2,3(C B A ，求ABC ∆的面积.12.在ABC ∆中EC BE DB AD 2,2==，设直线CD 和AE 交于点P ，若AC n AB m AP +=，求),(n m .13.令*∈=N n x nx x f ,sin sin )(，下列结论正确的是_________.(1))(x f 是周期函数；（2）)(x f 有对称轴；（3）)(x f 关于)0,2(π对称；（4）n x f ≤|)(|.14.若函数)(x f 满足)1(2)(1)1(≠=-+x x x f xx f ，求)2(f .15.已知)1,1(),1,0(-B A ，直线1=+by ax 与线段AB 有公共点，求22b a +的最小值.16.设方程343log 3log 273-=+x x 的两个根为a 和b ，求b a +的值.17.已知方程023234=--++x bx ax x 有两个实数根1,221-==x x ，则其余两根为_________.（1）相等实根;（2）不同实根;（3）共轭复根;（4）以上都不对.18.定义2log +=⊕y y x x ，解方程04)4(=⊕⊕x .19.已知0>a ，设1124)(-+++=a x x x f ，若221a x x =，且012>>x x ，比较)(1x f 和)(2x f 的大小.20.已知03612234=++--x bx ax x 有二重根，求22)1(++b a 的值.21.在10,3,2,1 中等概率的取出两个数b a ,，使得曲线2222)3(24113)1(++++=+++y a b x b a y x 是抛物线的概率为________.22.已知正数b a ,，则a b b a log log =是b a =的_________条件.23.设P C B A ,,,是平面上不同的点，则0=++PC PB PA 是P 为ABC ∆的重心的_________条件.。

2018年___自主招生数学试卷(含答案解析)2018年___自主招生数学试卷一、选择题（本大题共6小题，共24.0分）1.√16的平方根是()A.4B.±4C.22.若√(1−x)2=x−1成立，则x满足()A.x≥1B.x≥C.x≤1D.±23.已知x=√5−1，则x2+2x的值是()A.2B.3C.4D.54.如图所示的四条直线a、b、c、d，直线a、b与水平线平行，以其中一条为x轴，d与水平线垂直，取向右为正方向；直线c、以其中一条为y轴，取向上为正方向．某同学在此坐标平面上画了二次函数x=xx2+2xx+2(x≠0)的图象如图，则下面结论正确的是()A.a为x轴，c为y轴B.a为x轴，d为y轴C.b为x轴，c 为y轴D.b为x轴，d为y轴5.如图，已知AB为圆的直径，C为半圆上一点，D为半圆的中点，xx⊥xx，垂足为H，HM平分∠xxx，HM交AB于x.若xx=3，xx=1，则MH长为()A.1B.1.5C.0.5D.0.76.如图，△xxx中，∠x=90°，D是BC边上一点，∠xxx=3∠xxx，xx=8，xx=7.则AB的值为()A.15B.20C.2√2+7D.2√2+√7二、填空题（本大题共10小题，共40.0分）7.已知实数x、y满足x+2x=5，则x−x=3.8.分解因式：x2+4xx+4x2+x+2x−2=(x+2x+1)2−3.9.在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为(x,3)，(3x−1,3)，若线段AB与直线x=2x+1相交，则m的取值范围为(0,1)。

10.若一个圆锥的侧面展开图是半径为18cm，圆心角为240°的扇形，则这个圆锥的底面半径长是9cm。

11.如图，已知在矩形ABCD中，点E在边BC上，BE=2CE，将矩形沿着过点E的直线翻折后，点C、D、N处，B在同一直线上，分别落在M、F与BE交于点G.设AB=√3，那么△xxx的周长为4+4√3.12.如图，已知点x1，x2，…，xx均在直线x=x−1上，点x1，x2，…，xx均在双曲线x=−x上，x1x1⊥x并且满足：x1x2⊥x轴，x2x2⊥x轴，…，xx−1xx⊥x轴，xxxx⊥x轴，且x1x2=x2x3=…=xx−1xx，则n的最小值为2.1.由题意可知，点B在x轴负半轴，点A在x轴正半轴，且AB垂直于x轴，因此AB的斜率为0，即AB为x轴，所以B的纵坐标为0.又因为B在x轴负半轴，所以其横坐标为负数，设为-a。

2018年复旦大学自主招生报考指南（2019可参考）一、招生专业我校2018年自主招生通过望道计划、“博雅杯”人文学科体验营、奥林匹克竞赛全国决赛获奖生三种项目开展，各项目招生计划上限及招生专业如下：二、申请条件及考核方法各项目考生均须满足诚实守信、遵纪守法等基本德行要求，接受各项目选拔程序和办法，同时对相关学科持有坚定的理想信念。

各项目具体报名条件及选拔办法如下：(一)望道计划1.报名条件学科特长突出、具有创新潜质、成绩优秀，并有志于将来从事相关学科学术研究的高中毕业生可根据下列条件报考：(1)高中阶段获得数学、物理或化学奥林匹克竞赛全国联赛省级赛区一等奖或以上奖项，可根据获奖学科选报数学类、自然科学试验班、技术科学试验班、微电子科学与工程、航空航天类、核工程与核技术或基础医学等专业(类);(2)高中阶段获得全国青少年信息学奥林匹克联赛(NOIP)提高组一等奖，且NOIP成绩达到360分的考生，可选报计算机科学与技术或软件工程等专业(类)。

上述奖项须经教育部阳光高考信息公开平台学科竞赛获奖名单公示。

NOIP 成绩以NOI官网公布为准。

2.报名方式及选拔程序(1)3月22日～4月5日考生可登录特殊类型招生报名平台后按要求准确、完整地完成网上报名。

(2)我校将组织专家组审核考生报名材料，通过审核的考生将获得望道计划笔试资格。

(3)4月30日左右通过审核的考生名单将按照教育部相关规定进行公示。

(4)6月10～15日期间举行笔试，笔试测试科目为“数学+理科基础知识”，具体笔试时间和地点另行通知。

(5)考生笔试成绩须达及格线，并按笔试成绩择优选拔参加专家组面试，具体面试时间和地点另行通知。

(6)根据面试成绩确定入选名单，经校招生工作领导小组审定后择优给予自主招生优惠政策。

(7)入选考生名单报送考生所在省级招办审核，并按照教育部相关规定进行公示。

(二)“博雅杯”人文学科体验营1.报名条件高中阶段文科学习成绩特别优秀、人文学科特长显著，对文史哲学术研究具有浓厚兴趣与发展潜质，并能提供相关证明材料的高中毕业生均可报名参加“博雅杯”人文学科体验营。

复旦大学自主招生试题（正文）复旦大学自主招生试题自主招生，作为一种独特的选拔方式，给予了高中生更多展示自己的机会，而复旦大学作为一所顶尖的综合性大学，其自主招生试题更是备受考生关注。

本文将通过介绍复旦大学自主招生试题的一些例子，分析其考查内容和要求。

一、数学试题1. 已知函数f(x) = 2x^3 - 3x^2 - 12x + 5，求函数f(x)在区间[-2, 3]上的最小值和最大值。

分析：首先，我们需要先求出函数f(x)的导函数f'(x)，然后再通过导函数的零点来找出函数f(x)的极值点。

根据极值的定义，我们可以通过求解f'(x) = 0来得到。

2. 某商店商品价格打9折，然后再减去10元，最后的价格是原价的40%。

求该商品的原价。

分析：假设原价为x元，那么根据题意，我们可以得到以下等式：0.9x - 10 = 0.4x。

通过解这个方程，我们可以求出该商品的原价x。

二、英语试题1. 阅读下面短文，并根据短文内容完成后面的题目。

Most people know that exercise is good for their health. Regular physical activity can prevent a multitude of diseases and improve one’s overall well-being. However, it is essential to find an exercise routine that suits your lifestyle and preferences. In this regard, yoga is a great option for many.Yoga combines physical poses, breathing exercises, and meditation to promote a healthy mind and body. The slow and controlled movements help build flexibility, strength, and balance. Additionally, the focus on deep breathing and mindfulness promotes relaxation and stress reduction.Furthermore, yoga can be practiced by people of all ages and fitness levels. From beginner classes to advanced poses, there are variations suitable for everyone. It is a versatile practice that can be adapted to individual needs and goals.Based on the information provided in the passage, answer the following questions:a. What are the benefits of regular exercise?b. What aspects does yoga combine?c. Why is yoga suitable for people of all ages and fitness levels?三、文学试题阅读下面的《Active Learning》一文，根据文章内容回答问题。