2010届高三数学全程复习方略：第七编 不等式(共32页)

第七章不等式§7.1不等关系与不等式知识要点1.不等式的性质：定理1：如果a>b,那么b<a,如果b<a,那么a>b.（对称性）即：a>b=>bva： b<a=>a>b定理2：如果a>b,且b>c,那么a>c.（传递性）即a>b, b>c=>a>c定理3：如果a>b,那么a+c>b+c.即a>b=>a+c>b+c推论：如果a>b,且c>d,那么a+c>b+d.（相加法则）即a>b, c>d =>a+c>b+d・定理4：如果a>b,且c>0,那么ac>bc；如果a>b,且c<0,那么ac<bc.推论1如果a>b >0,且c>d>0,那么ac>bd.（相乘法则）推论2 若a>b>0,则a" >b"（/?€ N且zi>l）定理5若a >b>0,贝NH H > 1）2.不等关系的证明1）.重要不等式：如果a,be R,那么am 2ab（当且仅当a = b时取”=”号）2）.定理：如果a,b是正数,那么- >4ab（^且仅当a = b时取号）.23）•公式的等价变形：曲* % ,曲（纟丈2） 72 24）. - + ->2 （^>0）,当且仅当a=b时取“=”号；a b5）.定理：如果a,b,cw RJ那么+戸+，（当且仅当a = b = c时取“二”）6）.推论：如果a,b,cw RJ那么a + b + C >\[^bc（当且仅当a = h = c时取“二”）37）.比较法之一（作差法）步骤：作差一一变形一一判断与0的关系一一结论比较法之二（作商法）步骤：作商一一变形一一判断与1的关系一一结论8).综合法：利用某些已经证明过的不等式(例如算术平均数与儿何平均数定理)和不等式的性质推导出所要证明的不等式成立，这种证明方法叫做综合法.用综合法证明不等式的逻辑关系是：A =>色n B? n…n B9)•分析法：证明不等式时，有时可以从求证的不等式出发，分析使这个不等式成立的条件, 把证明不等式转化为判定这些条件是否具备的问题，如果能够肯定这些条件都已具备，那么就可以断定原不等式成立，这种方法叫做分析法.用分析法证明不等式的逻辑关系是：B u色u u…u u A10)•三角换兀：若0 WxWl,贝|J x = sine(0<e<-)sKx = sin20 (一一< 0 < -).2 2 2若兀2 + y? = 1,贝ij可令x = cosB, y = sin0 (0 < 0 < 2兀)・若〒一才=1 ,则可令x = sece z y = tan0(O<e<27l).IT若x21,则可令x = sece(0<0<-).TT TT若xwR,则可令x = tone (——<0<-).2 211)•代数换元："整体换元〃，“均值换元”，“设差换元”的方法.12).放缩法:常用的放缩技巧有：丄—一=z1x<4< z1——丄n /? +1 n(〃 + l) rT n\n — \) n-\ n13).反证法：课前基础演练1. _________________________________________________ 已知—1 V d V 0,那么—Cly—Cl^yCT的大小关系是___________________________________2•若加v 0,n > OJDLm + n < 0,则一m-n, m. n的大小关系是__________________3.已知a v 0-1 v b v 0,那a.ab.ab2的大小关系是4. ______________________________________________________ 设a=2-& b = 4^-2,c二5-2后,则d, h , c的大小关系为_________________________________ .\2 < m + n < 4亠\0 < m<\5.设甲：m > n满足£，乙:m、 n j'两足彳，那么甲是乙的0 < mn < 3 [2< n<3条件.典例归纳例1 (1)设x<y<O f试比较(x2+r)(x-y) ^(x2 + /)(x+y)的大小;(2)已知°力疋丘｛正实数｝，且a2+b2=c\当ne N , n>2时比较c"与a” + b”的大小.例2己知a,b,c是任意的实数，且a>b,则下列不等式恒成立的是______________ .①(a + c)4 > (b + c)4②ac2 > be2③lg” + c v lg|a + c ④(a + c)§ > (b + c)3例3已知一1 <6/ +方<3且2<6/-/?<4,求2口 + 35的取值范围.巩固训练1.(1)比较兀°+1与x4 +x2的大小,其中xe R ;⑵设aw 试比较与丄的大小.a2.适当增加不等式条件使下列命题成立：(1)若a > b f I0!| ac< be ;(2)若ac2 > be2,则a2 > b2;(3)若a>h，则lg@ + l)>lg(b + l);(4)若a > b, c> d,则？ > ';d c(5)若a>b，则丄v丄.ci b3.设/(x) = or2+/?x, !</(-!)< 2, 2</(l)<4,求/(—2)的取值范围.作业一、填空题1.己知a,b,c满足c<b<a且aevO,则下列不等式中恒成立的是________________ （填序号）.— be 厂、b _ a ,、.. b2 a2厂八®->- ②----- >0 ③④-------------------- <0a a c c c ac2.（2009 •姜堰中学高三第四次综合练习）已知存在实数d满足ab2>a>ab,则实数b的取值范围为__________ •3.（2009 •苏、锡、常、镇三检）己知三个不等式：ab>Q, bc-ad>0i --->0 （其a b中d,b,c,d均为实数），用其中两个不等式作为条件，余下的一个不等式作为结论组成一个命题,可组成的正确命题的个数为________ 个.4.已知函数f（x） = log,x+l），设a>b>c> 0,则皿，型，皿的大小关系a b c5.若x> y>],且0 v a v 1 ,则① a y < a y ;② log rt x > log a y ;③兀一">;④log r a < log v a其中不成立的有_______ 个.6.己知a + b>0,则一r —与—I—的大小关系是•b2 a2 a b ----------7.给出下列四个命题：①若d>b>0,则1>1;a b②若a > b > 0,则a-— > b-—;a b③若a>b>Q f则旦辿>2；a + 2b b④设是互不相等的正数，则6/-/?+—!—>2.a-b其小正确命题的序号是__________ .（把你认为正确命题的序号都填上）二、解答题8.比较°"夕与a h b a（a,b为不相等的正数）的大小.9.已知奇函数/（%）在区间（YO,+OO）上是单调递减函数，R且4 + 0>0,0+丫>0, /+a>0.试说明f（a） + /（0） + /（丫）的值与0 的关系.10.某个电脑用户计划使用不超过1 000元的资金购买单价分别为80元、90元的单片软件和盒装磁盘•根据需要，软件至少买3片，磁盘至少买4盒，写出满足上述所有不等关系的不等式.11.己知a>0, a2 - 2ab + c2 =0, boa2.试比较a.b.c的大小.§7.2 一元二次不等式及其解法知识要点1、解一元一次不等式、一元二次不等式1)•一元一次不等式臼卅方〉0⑴若臼＞0时,则其解集为a⑵若冰0时，则其解集为a⑶若干0时，力＞0,其解集为R./W0,其解集为0・2)•—元二次不等式ax2 +bx + c〉0@H0)任何一个一元二次不等式，最后都可化为：ax1 +/zx + c＞0或or? +bx + c〈0(Q0)的形式, 而且我们已经知道，一元二次不等式的解集与其相应的一元二次方程的根及二次函数的图彖有关.⑴若判别式"厅-4ac〉0,设方程or? +bx + c=0的二根为x h x2(x[＜x2'),则①已＞0时,其解集为｛”水為，或％＞屈；②A0时,其解集为｛x\^＜x＜x2｝・⑵若4二0,则有：b _①臼〉0时，其解集为｛対好-一，圧R｝:②水0时，其解集为0.a⑶若以0,则有：①臼〉0时，其解集为R；②水0时，其解集为0・类似地,可以讨论or? +bx + c〈0(自工0)的解集.3.不等式\x\＜a与X ＞曰(曰＞0)的解集1) • |刃〈臼(臼>0)的解集为:{x -a<x<a],几何表示为:2)・|”>日(&>0)的解集为：{”x>日或x<-a\,几何表示为:4. 分式不等式与高次不等式.<=>]g(x )nO 或匕、门・J/(x) >g (兀)型 W g (兀)v0 1/(兀)〉[gCO]fM > 0V7w < g ⑴型 o v g(x)> o ・m )<[g ⑴]26. 定理：\a\-\b\<\a^-b\<\a\-^-\b\注意：1°左边可以“加强”同样成立，即||a| — |b||5|d + b|5|a| + |纠2°这个不等式俗称“三角不等式”一三角形屮两边Z 和大于第三边，两边Z 差小于第三边 3° a f b 同号时右边取“ = ”，sb 异号时左边取推论 1： \a {+a 2 +••• + % | W|d] | + |色丨+…+丨。

第七章不等式及线性规划131第七章 不等式及线性规划【高考考情解读】1.本章在高考中主要考查两数的大小比较、一元二次不等式的解法、基本不等式及线性规划问题．基本不等式主要考查求最值问题，线性规划主要考查直接求最优解和已知最优解求参数的值或取值范围.2.多与集合、函数等知识交汇命题，以选择、填空题的形式呈现，属中档题． 【知识梳理】1． 四类不等式的解法(1)一元二次不等式的解法先化为一般形式ax 2＋bx ＋c >0(a ≠0)，再求相应一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)的根，最后根据相应二次函数图象与x 轴的位置关系，确定一元二次不等式的解集． (2)简单分式不等式的解法①变形⇒f (x )g (x )>0(<0)⇔f (x )g (x )>0(<0)；②变形⇒f (x )g (x )≥0(≤0)⇔f (x )g (x )≥0(≤0)且g (x )≠0.(3)简单指数不等式的解法①当a >1时，a f (x )>a g (x )⇔f (x )>g (x )； ②当0<a <1时，a f (x )>a g (x )⇔f (x )<g (x )． (4)简单对数不等式的解法①当a >1时，log a f (x )>log a g (x )⇔f (x )>g (x )且f (x )>0，g (x )>0； ②当0<a <1时，log a f (x )>log a g (x )⇔f (x )<g (x )且f (x )>0，g (x )>0. 2． 五个重要不等式(1)|a |≥0，a 2≥0(a ∈R )． (2)a 2＋b 2≥2ab (a 、b ∈R )． (3)a ＋b 2≥ab (a >0，b >0)．(4)ab ≤(a ＋b 2)2(a ，b ∈R )．(5)a 2＋b 22≥a ＋b 2≥ab ≥2aba ＋b(a >0，b >0)． 3． 二元一次不等式(组)和简单的线性规划(1)线性规划问题的有关概念：线性约束条件、线性目标函数、可行域、最优解等． (2)解不含实际背景的线性规划问题的一般步骤：①画出可行域；②根据线性目标函数的几何意义确定其取得最优解的点；③求出目标函数的最大值或者最小值．132 4． 两个常用结论(1)ax 2＋bx ＋c >0(a ≠0)恒成立的条件是⎩⎪⎨⎪⎧ a >0，Δ<0.(2)ax 2＋bx ＋c <0(a ≠0)恒成立的条件是⎩⎪⎨⎪⎧a <0，Δ<0.【典型题型解析】考点一 一元二次不等式的解法例1 (2012·江苏)已知函数f (x )＝x 2＋ax ＋b (a ，b ∈R )的值域为[0，＋∞)，若关于x 的不等式f (x )<c 的解集为(m ，m ＋6)，则实数c 的值为________． 答案 9解析 由题意知f (x )＝x 2＋ax ＋b ＝⎝⎛⎭⎫x ＋a 22＋b －a24. ∵f (x )的值域为[0，＋∞)，∴b －a 24＝0，即b ＝a 24.∴f (x )＝⎝⎛⎭⎫x ＋a22. 又∵f (x )<c .∴⎝⎛⎭⎫x ＋a22<c ， 即－a 2－c <x <－a2＋c .∴⎩⎨⎧－a2－c ＝m ， ①－a2＋c ＝m ＋6. ②②－①，得2c ＝6，∴c ＝9.二次函数、二次不等式是高中数学的重要基础知识，也是高考的热点．本题考查了二次函数的值域及一元二次不等式的解法．突出考查将二次函数、二次方程、二次不等式三者进行相互转化的能力和转化与化归的数学思想方法．(1)已知p ：∃x 0∈R ，mx 20＋1≤0，q ：∀x ∈R ，x 2＋mx ＋1>0.若p ∧q 为真命题，则实数m 的取值范围是( )A ．(－∞，－2)B ．[－2,0)C ．(－2,0)D ．[0,2](2)设命题p ：{x |0≤2x －1≤1}，命题q ：{x |x 2－(2k ＋1)x ＋k (k ＋1)≤0}，若p 是q 的充分不必要条件，则实数k 的取值范围是__________． 答案 (1)C (2)⎣⎡⎦⎤0，12 解析 (1)p ∧q 为真命题，等价于p ，q 均为真命题．命题p 为真时，m <0；命题q 为真第七章不等式及线性规划133时，Δ＝m 2－4<0，解得－2<m <2.故p ∧q 为真时，－2<m <0. (2)p ：{x |12≤x ≤1}，q ：{x |k ≤x ≤k ＋1}，由p ⇒q 且qD ⇒/p ，则⎩⎪⎨⎪⎧k ≤121≤k ＋1，∴0≤k ≤12，即k 的取值范围是⎣⎡⎦⎤0，12. 考点二 利用基本不等式求最值问题例2 (1)(2012·浙江)若正数x ，y 满足x ＋3y ＝5xy ，则3x ＋4y 的最小值是( )A.245B.285C ．5D ．6(2)设x ，y 为实数，若4x 2＋y 2＋xy ＝1，则2x ＋y 的最大值是________． 答案 (1)C (2)2105解析 (1)∵x >0，y >0，由x ＋3y ＝5xy 得15⎝⎛⎭⎫1y ＋3x ＝1. ∴3x ＋4y ＝15(3x ＋4y )⎝⎛⎭⎫1y ＋3x ＝15⎝⎛⎭⎫3xy ＋4＋9＋12y x ＝135＋15⎝⎛⎭⎫3x y＋12y x ≥135＋15×23x y ·12yx＝5(当且仅当x ＝2y 时取等号)， ∴3x ＋4y 的最小值为5. (2)方法一 ∵4x 2＋y 2＋xy ＝1，∴(2x ＋y )2－3xy ＝1，即(2x ＋y )2－32·2xy ＝1，∴(2x ＋y )2－32·⎝⎛⎭⎫2x ＋y 22≤1，解之得(2x ＋y )2≤85，即2x ＋y ≤2105.等号当且仅当2x ＝y >0，即x ＝1010，y ＝105时成立． 方法二 令t ＝2x ＋y ，则y ＝t －2x ，代入4x 2＋y 2＋xy ＝1， 得6x 2－3tx ＋t 2－1＝0，由于x 是实数， 故Δ＝9t 2－24(t 2－1)≥0，解得t 2≤85，即－2105≤t ≤2105，即t 的最大值也就是2x ＋y 的最大值为2105.134 方法三 化已知4x 2＋y 2＋xy ＝1为⎝⎛⎭⎫2x ＋14y 2＋⎝⎛⎭⎫154y 2＝1，令2x ＋14y ＝cos α，154y ＝sin α，则34y ＝155sin α，则2x ＋y ＝2x ＋14y ＋34y ＝cos α＋155sin α＝2105sin(α＋φ)≤2105.在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误．解题时应根据已知条件适当进行添(拆)项，创造应用基本不等式的条件．(1)已知关于x 的不等式2x ＋2x －a≥7在x ∈(a ，＋∞)上恒成立，则实数a的最小值为( )A ．1 B.32C ．2D.52答案 B 解析 2x ＋2x －a ＝2(x －a )＋2x －a ＋2a ≥2·2(x －a )·2x －a＋2a ＝4＋2a ， 由题意可知4＋2a ≥7，得a ≥32，即实数a 的最小值为32，故选B.(2)(2013·山东)设正实数x ，y ，z 满足x 2－3xy ＋4y 2－z ＝0.则当zxy 取得最小值时，x ＋2y－z 的最大值为 ( )A ．0 B.98 C ．2D.94答案 C解析 由题意知：z ＝x 2－3xy ＋4y 2，则z xy ＝x 2－3xy ＋4y 2xy ＝x y ＋4y x－3≥1，当且仅当x ＝2y 时取等号，此时z ＝xy ＝2y 2. 所以x ＋2y －z ＝2y ＋2y －2y 2＝－2y 2＋4y ＝－2(y －1)2＋2≤2. 所以当y ＝1时，x ＋2y －z 取最大值2. 考点三 简单的线性规划问题例3 (2013·湖北)某旅行社租用A 、B 两种型号的客车安排900名客人旅行，A 、B 两种车辆的载客量分别为36人和60人，租金分别为1 600元/辆和2 400元/辆，旅行社要求租车总数不超过21辆，且B 型车不多于A 型车7辆．则租金最少为 ( )A ．31 200元B ．36 000元C ．36 800元D ．38 400元答案 C第七章不等式及线性规划135解析 设租A 型车x 辆，B 型车y 辆时租金为z 元 则z ＝1 600x ＋2 400y x 、y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤21y －x ≤736x ＋60y ≥900，x ，y ≥0，x 、y ∈N画出可行域如图直线y ＝－23x ＋z2 400过点A (5,12)时纵截距最小，∴z min ＝5×1 600＋2 400×12＝36 800， 故租金最少为36 800元．(1)线性规划问题一般有三种题型：一是求最值；二是求区域面积；三是确定目标函数中的字母系数的取值范围．(2)解决线性规划问题首先要找到可行域，再注意目标函数所表示的几何意义，利用数形结合找到目标函数的最优解．(3)对于应用问题，要准确地设出变量，确定可行域和目标函数．(1)(2013·山东)在平面直角坐标系xOy 中，M 为不等式组⎩⎪⎨⎪⎧2x －y －2≥0，x ＋2y －1≥0，3x ＋y －8≤0所表示的区域上一动点，则直线OM 斜率的最小值为( )A ．2B ．1C ．－13D ．－12(2)(2013·北京)设关于x 、y 的不等式组⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ＋1>0，x ＋m <0，y －m >0表示的平面区域内存在点P (x 0，y 0)，满足x 0－2y 0＝2，求得m 的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎫－∞，43B.⎝⎛⎭⎫－∞，13 C.⎝⎛⎭⎫－∞，－23D.⎝⎛⎭⎫－∞，－53 答案 (1)C (2)C解析 (1)由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y －1＝0，3x ＋y －8＝0136 得A (3，－1)．此时线OM 的斜率最小，且为－13.(2)当m ≥0时，若平面区域存在，则平面区域内的点在第二象限，平面区域内不可能存在点P (x 0，y 0)满足x 0－2y 0＝2，因此m <0. 如图所示的阴影部分为不等式组表示的平面区域．要使可行域内包含y ＝12x －1上的点，只需可行域边界点(－m ，m )在直线y ＝12x －1的下方即可，即m <－12m －1，解得m <－23.1． 三个“二次”的关系一元二次不等式解集的端点值是相应一元二次方程的根，也是相应的二次函数图象与x 轴交点的横坐标，即二次函数的零点． 2． 基本不等式的作用二元基本不等式具有将“积式”转化为“和式”或将“和式”转化为“积式”的放缩功能，常常用于比较数(式)的大小或证明不等式或求函数的最值或解决不等式恒成立问题．解决问题的关键是弄清分式代数式、函数解析式、不等式的结构特点，选择好利用基本不等式的切入点，并创设基本不等式的应用背景，如通过“代换”、“拆项”、“凑项”等技巧，改变原式的结构使其具备基本不等式的应用条件．利用基本不等式求最值时要注意“一正、二定、三相等”的条件，三个条件缺一不可． 3． 二元一次不等式表示平面区域的快速判断法：记为“同上异下”，这叫B 的值判断法．解决线性规划问题首先要找到可行域，再注意目标函数表示的几何意义，数形结合找到目标函数达到最值时可行域的顶点(或边界上的点)，但要注意作图一定要准确，整点问题要验证解决．【当堂达标】1． 若实数x 、y 满足4x ＋4y ＝2x ＋1＋2y ＋1，则t ＝2x ＋2y 的取值范围是( )A ．0<t ≤2B ．0<t ≤4第七章不等式及线性规划137C ．2<t ≤4D ．t ≥4答案 C解析 依题意得，(2x ＋2y )2－2×2x ×2y ＝2(2x ＋2y )， 则t 2－2t ＝2×2x×2y≤2×(2x ＋2y 2)2＝t 22；即t 22－2t ≤0，解得0≤t ≤4； 又t 2－2t ＝2×2x ×2y >0，且t >0， 因此有t >2，故2<t ≤4，故选C.2． 已知点A (2，－2)，点P (x ，y )在⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1≥0，x ＋y ＋1≥0，2x －y －1≤0所表示的平面区域内，则OP →在OA →方向上投影的取值范围是( )A ．[－22，22) B ．(－22，22) C ．(－22，22]D ．[－22，22] 答案 D解析 不等式组表示的平面区域，如图所示：由向量投影的几 何意义知，当点P 与点D 重合时投影最大，当点P 与点B 或点 C 重合时投影最小． 又C (－1,0)，D (0，－1)， ∴OC →＝(－1,0)，OD →＝(0，－1)， ∴OD →在OA →方向上的投影为OD →·OA →|OA →|＝22，OC →在OA →方向上的投影为OC →·OA →|OA →|＝－22，故OP →在OA →方向上投影的取值范围是[－22，22]．【点击高考】 一、选择题1． (2012·福建)下列不等式一定成立的是( )A ．lg ⎝⎛⎭⎫x 2＋14>lgx (x >0)138 B ．sin x ＋1sin x ≥2(x ≠k π，k ∈Z )C ．x 2＋1≥2|x |(x ∈R ) D.1x 2＋1>1(x ∈R ) 答案 C解析 应用基本不等式：x ，y ∈R ＋，x ＋y 2≥xy (当且仅当x ＝y 时取等号)逐个分析，注意基本不等式的应用条件及取等号的条件． 当x >0时，x 2＋14≥2·x ·12＝x ，所以lg ⎝⎛⎭⎫x 2＋14≥lg x (x >0)，故选项A 不正确； 运用基本不等式时需保证一正二定三相等，而当x ≠k π，k ∈Z 时，sin x 的正负不定，故选项B 不正确； 由基本不等式可知，选项C 正确；当x ＝0时，有1x 2＋1＝1，故选项D 不正确．2． 设a >b >1，c <0，给出下列三个结论：①c a >cb ；②ac <b c ；③log b (a －c )>log a (b －c )． 其中所有的正确结论的序号是( )A ．①B ．①②C ．②③D ．①②③答案 D解析 由不等式的基本性质可知①对； 幂函数y ＝x c (c <0)在(0，＋∞)上单调递减， 又a >b >1，所以②对；由对数函数的单调性可得log b (a －c )>log b (b －c )， 又由对数的换底公式可知log b (b －c )>log a (b －c )， 所以log b (a －c )>log a (b －c )，故选项D 正确．3． 设A ＝{x |x 2－2x －3>0}，B ＝{x |x 2＋ax ＋b ≤0}，若A ∪B ＝R ，A ∩B ＝(3,4]，则a ＋b 等于( )A ．7B ．－1C ．1D ．－7答案 D解析 依题意，A ＝(－∞，－1)∪(3，＋∞)， 又因为A ∪B ＝R ，A ∩B ＝(3,4]，则B ＝[－1,4]．第七章不等式及线性规划139所以a ＝－(－1＋4)＝－3，b ＝－1×4＝－4， 于是a ＋b ＝－7.故选D.4． (2012·陕西)小王从甲地到乙地往返的时速分别为a 和b (a <b )，其全程的平均时速为v ，则( )A ．a <v <abB ．v ＝ab C.ab <v <a ＋b 2 D ．v ＝a ＋b2答案 A解析 由小王从甲地往返到乙地的时速分别为a 和b ， 则全程的平均时速为v ＝2s(s a ＋s b )＝2aba ＋b ， 又∵a <b ，∴2a 22a <2ab a ＋b <2ab2ab ＝ab ，∴a <v <ab ，A 成立．5． (2013·课标全国Ⅱ)已知a >0，x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥1，x ＋y ≤3，y ≥a (x －3)，若z ＝2x ＋y 的最小值为1，则a 等于 ( )A.14B.12C ．1D ．2答案 B解析 作出不等式组表示的可行域，如图(阴影部分)． 易知直线z ＝2x ＋y 过交点A 时，z 取最小值，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝a (x －3)， 得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝－2a ， ∴z min ＝2－2a ＝1， 解得a ＝12，故选B.6． 已知变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋3≥0，x －3y ＋3≤0，y －1≤0，若目标函数z ＝y －ax 仅在点(－3,0)处取到最大值，则实数a 的取值范围为( )A ．(3,5)B.⎝⎛⎭⎫12，＋∞140 C ．(－1,2)D.⎝⎛⎭⎫13，1答案 B解析 如图所示，在坐标平面内画出不等式组表示的平面区域 及直线y －ax ＝0，要使目标函数z ＝y －ax 仅在点(－3,0)处取到 最大值(即直线z ＝y －ax 仅当经过该平面区域内的点(－3,0)时， 在y 轴上的截距达到最大)， 结合图形可知a >12.二、填空题7． 已知p ：x －1x≤0，q ：4x ＋2x －m ≤0，若p 是q 的充分条件，则实数m 的取值范围是________．答案 [6，＋∞)解析 由p 得：0<x ≤1，若p 是q 的充分条件， 则有对∀x ∈(0,1]，4x ＋2x －m ≤0恒成立， 即m ≥4x ＋2x 恒成立，只需m ≥(4x ＋2x )max ，而(4x ＋2x )max ＝6，∴m ≥6.8． 函数y ＝a 1－x (a >0，a ≠1)的图象恒过定点A ，若点A 在直线mx ＋ny －1＝0 (mn >0)上，则1m ＋1n 的最小值为________． 答案 4解析 定点A (1,1)，又A 在mx ＋ny －1＝0上， ∴m ＋n ＝1.∴1m ＋1n ＝(m ＋n )⎝⎛⎭⎫1m ＋1n ＝2＋n m ＋m n≥4.当且仅当m ＝n ＝12时取等号．9． 已知实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧y ≥0，y －x ＋1≤0，y －2x ＋4≥0，若z ＝y －ax 取得最大值时的最优解(x ，y )有无数个，则a 的值为________． 答案 1解析 依题意，在坐标平面内画出题中的不等式组表示的平面区域， 如图所示．要使z ＝y －ax 取得最大值时的最优解(x ，y )有无数个， 则直线z ＝y －ax 必平行于直线y －x ＋1＝0，于是有a ＝1.第七章不等式及线性规划14110．(2013·浙江)设z ＝kx ＋y ，其中实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －2≥0，x －2y ＋4≥0，2x －y －4≤0.若z 的最大值为12，则实数k ＝________.答案 2解析 作出可行域如图阴影部分所示：由图可知当0≤－k <12时，直线y ＝－kx ＋z 经过点M (4,4)时z 最大，所以4k ＋4＝12，解得k ＝2(舍去)；当－k ≥12时，直线y ＝－kx ＋z 经过点(0,2)时z 最大，此时z 的最大值为2，不合题意；当－k <0时，直线y ＝－kx ＋z 经过点M (4,4)时z 最大，所以4k ＋4＝12，解得k ＝2，符合题意．综上可知，k ＝2.三、解答题11．求解关于x 的不等式ax 2－(a ＋1)x ＋1<0.解 (1)当a ＝0时，原不等式变为－x ＋1<0，此时不等式的解集为{x |x >1}．(2)当a ≠0时，原不等式可化为a (x －1)⎝⎛⎭⎫x －1a <0. 若a <0，则上式即为(x －1)⎝⎛⎭⎫x －1a >0， 又因为1a<1， 所以此时不等式的解集为{x |x >1或x <1a}． 若a >0，则上式即为(x －1)⎝⎛⎭⎫x －1a <0. ①当1a<1，即a >1时， 原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |1a <x <1； ②当1a＝1，即a ＝1时，原不等式的解集为∅； ③当1a>1，即0<a <1时， 原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |1<x <1a .142 综上所述，当a <0时，原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x <1a 或x >1； 当a ＝0时，原不等式的解集为{x |x >1}；当0<a <1时，原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |1<x <1a ； 当a ＝1时，原不等式的解集为∅；当a >1时，原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |1a <x <1. 12．某工厂利用辐射对食品进行灭菌消毒，现准备在该厂附近建一职工宿舍，并对宿舍进行防辐射处理，建防辐射材料的选用与宿舍到工厂距离有关．若建造宿舍的所有费用p (万元)和宿舍与工厂的距离x (km)的关系式为p ＝k 3x ＋5(0≤x ≤8)，若距离为1 km 时，测算宿舍建造费用为100万元．为了交通方便，工厂与宿舍之间还要修一条道路，已知购置修路设备需5万元，铺设路面每公里成本为6万元．设f (x )为建造宿舍与修路费用之和．(1)求f (x )的表达式；(2)宿舍应建在离工厂多远处，可使总费用f (x )最小，并求最小值．解 (1)根据题意得100＝k 3×1＋5，所以k ＝800， 故f (x )＝8003x ＋5＋5＋6x,0≤x ≤8. (2)因为f (x )＝8003x ＋5＋2(3x ＋5)－5≥80－5， 当且仅当8003x ＋5＝2(3x ＋5)即x ＝5时f (x )min ＝75. 所以宿舍应建在离厂5 km 处，可使总费用f (x )最小，最小为75万元．13．已知函数f (x )＝13ax 3－bx 2＋(2－b )x ＋1在x ＝x 1处取得极大值，在x ＝x 2处取得极小值，且0<x 1<1<x 2<2.(1)证明：a >0；(2)若z ＝a ＋2b ，求z 的取值范围．(1)证明 求函数f (x )的导数f ′(x )＝ax 2－2bx ＋2－b .由函数f (x )在x ＝x 1处取得极大值，在x ＝x 2处取得极小值，知x 1、x 2是f ′(x )＝0的两个根，所以f ′(x )＝a (x －x 1)(x －x 2)．当x <x 1时，f (x )为增函数，f ′(x )>0，由x －x 1<0，x －x 2<0得a >0.第七章不等式及线性规划143 (2)解 在题设下，0<x 1<1<x 2<2等价于⎩⎪⎨⎪⎧ f ′(0)>0，f ′(1)<0，f ′(2)>0，即⎩⎪⎨⎪⎧ 2－b >0，a －2b ＋2－b <0，4a －4b ＋2－b >0，化简得⎩⎪⎨⎪⎧ 2－b >0，a －3b ＋2<0，4a －5b ＋2>0.此不等式组表示的区域为平面aOb 上的三条直线：2－b ＝0，a －3b ＋2＝0,4a －5b ＋2＝0所围成的△ABC 的内部，其三个顶点分别为：A ⎝⎛⎭⎫47，67，B (2,2)，C (4,2)．z 在这三点的值依次为167，6,8. 所以z 的取值范围为(167，8)．。

第七章 不 等 式1.不等关系了解现实世界和日常生活中存在着大量的不等关系，了解不等式(组)的实际背景.2.一元二次不等式(1)会从实际问题的情境中抽象出一元二次不等式模型.(2)通过函数图象了解一元二次不等式与相应的二次函数、一元二次方程的联系.(3)会解一元二次不等式，对给定的一元二次不等式，会设计求解的程序框图.3.二元一次不等式组与简单线性规划问题 (1)会从实际情境中抽象出二元一次不等式组. (2)了解二元一次不等式的几何意义，能用平面区域表示二元一次不等式组.(3)会从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题，并能加以解决.4.基本不等式：ab ≤a ＋b2(a ≥0，b ≥0)(1)了解基本不等式的证明过程.(2)会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题.§7.1 不等关系与不等式1.比较原理 两实数a ，b 之间有且只有以下三个大小关系之一：__________、__________、__________.其中a ＞b ⇔a －b ＞0；a ＜b ⇔______________；a ＝b ⇔__________.2.不等式的性质(1)对称性：a >b ⇔__________；(2)传递性：a >b ，b >c ⇒__________；(3)不等式加等量：a >b ⇔a ＋c______b ＋c ； (4)不等式乘正量：a >b ，c >0⇒__________； 不等式乘负量：a >b ，c <0⇒__________.(5)同向不等式相加：a >b ，c >d ⇒__________； (6)异向不等式相减：a >b ，c <d ⇒__________； (7)同向不等式相乘：a >b >0，c >d >0⇒__________；(8)异向不等式相除：a >b >0，0<c <d ⇒ac ______b d； (9)不等式取倒数：a >b ，ab >0⇒1a ______1b；(10)不等式的乘方：a >b >0⇒______________； (11)不等式的开方：a >b >0⇒______________. 注：1.(5)(6)说明，同向不等式可相加，但不可相减，而异向不等式可相减；2.(7)(8)说明，都是正数的同向不等式可相乘，但不可相除，而都是正数的异向不等式可相除.自查自纠：1.a ＞b a ＜b a ＝b a －b ＜0 a －b ＝02.(1)b <a (2)a >c (3)> (4)ac >bc ac <bc(5)a ＋c >b ＋d (6)a －c >b －d (7)ac >bd(8)＞ (9)＜ (10)a n >b n (n ∈N *且n >1) (11)n a >nb (n ∈N *且n >1)(2013·上海)如果a <b <0，那么下列不等式成立的是( )A.1a <1bB.ab <b 2C.－ab <－a 2D.－1a <－1b解：1a －1b ＝b －a ab >0，故1a >1b，∴－1a<－1b.故选D.设f (x )＝3x 2－x ＋1，g (x )＝2x 2＋x －1，x ∈R ，则f (x )与g (x )的大小关系是( )A.f (x )＞g (x )B.f (x )≥g (x )C.f (x )＝g (x )D.f (x )＜g (x )解：f (x )－g (x )＝x 2－2x ＋2＝(x －1)2＋1＞0恒成立，故选A.已知a ＞0，b ＞0，则a a b b 与a b b a的大小关系为( )A.a a b b ≥a b b aB.a a b b ＜a b b aC.a a b b ≤a b b aD.与a ，b 的大小有关解：不妨设a ≥b ＞0，则a b ≥1，a －b ≥0，故a a b ba b ba小关系是点燃导火线后要在燃放前转移到已知导火线的燃烧速度为4m/s，导火线的长度解：人到达安全区域的时间小于导火线燃烧的随着铁钉的深入，铁钉所受的阻力会越来越大，得每次钉N*)，已知一个铁钉受击且第一次受击后进入木板部分的铁钉长度是钉长的③bc>ad.则可组成几个正确命题？则一定有(A.ac＞bdC.ad＞bc的取值范围是解：由 α－β的取值范围是解：∵－＜β＜π＞0)的大小解法一：a ＋m b ＋m若a <0，－1<b <0，则下列不等式成立的是________.①log 0.5(－a )<log 0.5(－ab 2)；②(－a )2<(－ab 2)2；③(－a )－1>(－ab 2)－1；④0.5－a >0.5－ab 2.解法一：对于①，∵a ＜0，－1＜b ＜0，可知－a ＞0，0＜b 2＜1，∴－a ＞－ab 2＞0，结合对数函数的性质容易得到log 0.5(－a )＜log 0.5(－ab 2)，①成立；对于②，由①知－a ＞－ab 2＞0，故(－a )2＞(－ab 2)2，②不成立；对于③，由－a ＞0知，－1a ＞－1ab2⇔1＞1b2⇔b 2＞1，与－1＜b ＜0矛盾，③不成立；对于④，由①知④不成立.解法二：用作差或作商法解本题也是可行的，如对于①，有log 0.5(－a )－log 0.5(－ab 2)＝log 0.51b2＜0，从而①正确，其余类似可解.故填①.1.理解不等关系的意义、实数运算的符号法则、不等式的性质，是解不等式和证明不等式的依据和基础.2.一般数学结论都有前提，不等式性质也是如此.在运用不等式性质之前，一定要准确把握前提条件，注意放宽条件和加强条件与其结论的关系，以及条件与结论间的相互联系.如：同向不等式相加，方向不改变；都是正数的同向不等式相乘，方向不改变；异向不等式相减，方向与被减不等式方向相同；都是正数的异向不等式相除，方向与被除不等式方向相同；两个正数的n 次(n ∈N ＋，n ＞1)方(开n 次方)，当这两个正数相等时，它们的幂(方根)相等；而不等的两个正数，它们的幂(方根)不等，较大的正数幂(方根)较大.3.不等式性质包括“充分条件(或者是必要条件)”和“充要条件”两种，前者一般是证明不等式的理论基础，后者一般是解不等式的理论基础.4.比较两个实数的大小，有作差法和作商法两种方法.一般多用作差法，注意当这两个数都是正数时，才可以用作商法.作差法是比较作差后的式子与“0”的大小关系；作商法是比较作商后的式子与“1”的大小关系.5.对于实际问题中的不等量关系，还要注意实际问题对各个参变数的限制.1.设a ∈R ，则a ＞1是1a＜1的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件解：若a ＞1，则1a ＜1成立；反之，若1a＜1，则a ＞1或a ＜0.即a ＞1⇒1a ＜1，而1a＜1a ＞1，故选A.2.已知a ，b 为正数，a ≠b ，n 为正整数，则a nb＋ab n －a n ＋1－b n ＋1的正负情况为 ( )A.恒为正B.恒为负C.与n 的奇偶性有关D.与a ，b 的大小有关解：a n b ＋ab n －a n ＋1－b n ＋1＝a n (b －a )＋b n(a －b )＝－(a －b )(a n －b n)，不妨设a >b ，则a n >b n ，所以a n b ＋ab n －a n ＋1－b n＋1<0恒成立.故选B.3.若a ，b ，c ∈R ，a ＞b ，则下列不等式成立的是( )A.1a ＜1bB.a 2＞b 2C.a c 2＋1＞bc 2＋1D.a ||c ＞b ||c 解：用排除法.取a ＝1，b ＝－1，排除A ，B ；取c ＝0，排除D.显然1c 2＋1＞0，对不等式a ＞b 的两边同时乘以1c 2＋1，得a c 2＋1＞b c 2＋1成立.故选C. 4.(2014·湖南)已知命题p ：若x ＞y ，则－x＜－y ；命题q ：若x ＞y ，则x 2＞y 2.在命题①p ∧q ；②p ∨q ；③p ∧(綈q )；④(綈p )∨q 中，真命题是( )A.①③B.①④C.②③D.②④解：当x ＞y 时，两边乘以－1可得－x ＜－y ，∴命题p 为真命题；当x ＝1，y ＝－2时，显然x 2＜y 2，∴命题q 为假命题，∴②③为真命题.故选C.5.(2014·浙江)已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋c ，且0＜f (－1)＝f (－2)＝f (－3)≤3，则( )A.c ≤3B.3＜c ≤6C.6＜c ≤9D.c ＞9解：由f (－1)＝f (－2)＝f (－3)得，－1＋a －b ＋c ＝－8＋4a －2b ＋c ＝－27＋9a －3b ＋c ，消去c 得⎩⎪⎨⎪⎧3a －b ＝7，5a －b ＝19， 解得a ＝6，b ＝11，于是0＜c －6≤3，即6＜c ≤9.故选C.6.如果0＜m ＜b ＜a ，则( )A.cos b ＋m a ＋m ＜cos b a ＜cos b －m a －mB.cos b a ＜cos b －m a －m ＜cos b ＋m a ＋mc c§7.2 一元二次不等式及其解法1.解不等式的有关理论(1)若两个不等式的解集相同，则称它们是 ；(2)一个不等式变形为另一个不等式时，若两个不等式是同解不等式，这种变形称为不等式的 ；(3)解不等式变形时应进行同解变形；解不等式的结果，一般用集合表示.2.一元一次不等式解法任何一个一元一次不等式经过不等式的同解变形后，都可以化为ax ＞b (a ≠0)的形式.当a ＞0时，解集为 ；当a ＜0时，解集为 .若关于x 的不等式ax >b 的解集是R ，则实数a ，b 满足的条件是.3.一元二次不等式及其解法 (1)我们把只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为__________不等式.(2)使某个一元二次不等式成立的x 的值叫做这个一元二次不等式的解，一元二次不等式所有的解组成的集合叫做一元二次不等式的________.(3)若一元二次不等式经过同解变形后，化为一元二次不等式ax 2＋bx ＋c ＞0(或ax 2＋bx ＋c ＜0)(其中a ＞0)的形式，其对应的方程ax 2＋bx ＋c ＝0有两个不相等的实根x 1，x 2，且x 1＜x 2(此时Δ＝b 2－4ac ＞0)，则可根据“大于号取，小于号取”求解集.(4)一元二次不等式的解：函数与不等式 Δ＞0 Δ＝0 Δ＜0二次函数 y ＝ax 2＋bx＋c (a ＞0)的图象一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ＞0)的根有两相异实根 x 1，x 2(x 1＜x 2) 有两相等实根 x 1＝x 2＝－b 2a无实根ax 2＋bx ＋c＞0 (a ＞0)的解① ② R 集ax 2＋bx ＋c＜0 (a ＞0)的解集{x |x 1＜x＜x 2}∅ ③4.分式不等式解法(1)化分式不等式为标准型.方法：移项，通分，右边化为0，左边化为f （x ）g （x ）的形式.(2)将分式不等式转化为整式不等式求解，如：f （x ）g （x ）＞0 ⇔ f (x )g (x )＞0； f （x ）g （x ）＜0 ⇔ f (x )g (x )＜0； f （x ）g （x ）≥0 ⇔ ⎩⎪⎨⎪⎧f （x ）g （x ）≥0，g （x ）≠0； f （x ）g （x ）≤0 ⇔ ⎩⎪⎨⎪⎧f （x ）g （x ）≤0，g （x ）≠0.自查自纠：1.(1)同解不等式 (2)同解变形2.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ＞b a⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ＜b a a ＝0，b ＜03.(1)一元二次 (2)解集 (3)两边 中间 (4)①{}x |x ＜x 1或x ＞x 2②⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x ≠－b 2a③∅(2014·课标Ⅰ)已知集合A ＝{x |x 2－2x －3≥0}，B ＝{x |－2≤x ＜2}，则A ∩B ＝( )A.[－2，－1]B.[－1，2)C.[－1，1]D.[1，2)解：∵A ＝{x |x ≥3或x ≤－1}，B ＝{x |－2≤x ＜2}，∴A ∩B ＝{x |－2≤x ≤－1}＝[－2，－1].故选A .设f (x )＝x 2＋bx ＋1且f (－1)＝f (3)，则f (x )>0的解集为( )A.{x |x ∈R }B.{x |x ≠1，x ∈R }C.{x |x ≥1}D.{x |x ≤1} 解：f (－1)＝1－b ＋1＝2－b ，f (3)＝9＋3b ＋1＝10＋3b ，由f (－1)＝f (3)，得2－b ＝10＋3b ，解出b ＝－2，代入原函数，f (x )>0即x 2－2x30的解集为)x＋b－解：由(解：(1)①当m＝－②当m＝(2)当m(1)x2－(3)x2－解：(1).而y＝－x＋1，x－1，x1)≤1的解集是A.{x|－1≤解集是{x|－5≤解：∵不等式≤1}，∴x1＝－＜x＜3}解：∵不等式，∴a＜0，且根，由根与系数的关系得.解：(1)＞0，不等式的解集为(2)当a∈R).解：不等式整理为当a＝0当a≠0解：x －2x x ＋2x ＋1≥0|x －2x ≤0A.{x |－1≤C.{x |0≤解：易知⎦⎥⎤0，12成立，则A.0 B.图1 图2 图3综上 ①②③，≥－52.故选(2)已知对于任意的a ∈[－11]，函数f (x )＋(a －4)x ＋2a 的值总大于，则x 的取值范围是( )A.1＜x ＜3B.x ＜1或 3C.1＜x ＜2D.x ＜1或 2解：记g (a )x －2)a ＋x 2－＋4，a ∈[－1，依题意，只须（1）＞0，（－1）＞0⇒－3x ＋2＞0，－5x ＋6＞0＜1或x ＞3，故选B.点拨：(1)一元二次不等式恒成立问题，对于x 变化的情形，解法一利用参变量分离法，化成a ＞f (x )(a (x ))型恒成立问题，再利用＞f (x )max (a ＜∈[－2，解法一：当－a2＜－且仅有一解，则A.a <－C.－1<解法一：，即－1×(2点的关系.本书2.4节有较详细的讨论，可参看.如果方程x2＋(m－1)x＋m2－2＝0的两个实根一个小于－1，另一个大于1，那么实数m的取值范围是( )A.－2<m< 2B.－2<m<0C.－2<m<1D.0<m<1解：令f(x)＝x2＋(m－1)x＋m2－2，结合二次函数图象可知，⎩⎪⎨⎪⎧f（－1）＜0，f（1）＜0，即⎩⎪⎨⎪⎧m2－m＜0，m2＋m－2＜0，解之，得实数m的取值范围是0＜m＜1.故选D.类型八一元二次不等式的应用(2013·上海)甲厂以x千克/小时的速度匀速生产某种产品(生产条件要求1≤x≤10)，每小时可获得利润是100⎝⎛⎭⎪⎫5x＋1－3x元.(1)要使生产该产品2小时获得的利润不低于3000元，求x的取值范围；(2)要使生产900千克该产品获得的利润最大，问：甲厂应该选取何种生产速度？并求最大利润.解：(1)根据题意，200⎝⎛⎭⎪⎫5x＋1－3x≥3 000⇒5x－14－3x≥0⇒5x2－14x－3≥0⇒(5x＋1)(x－3)≥0，又1≤x≤10，可解得3≤x≤10.(2)设利润为y元，则y＝900x·100⎝⎛⎭⎪⎫5x＋1－3x＝9×104⎝⎛⎭⎪⎫－3x2＋1x＋5＝9×104⎣⎢⎡⎦⎥⎤－3⎝⎛⎭⎪⎫1x－162＋6112.故x＝6时，y max＝457 500元.点拨：和一元二次不等式有关的实际应用题是教材中的重点，这也是将实际生活和数学相结合的切入点，是考查能力的好载体，应予以重视.某小型服装厂生产一种风衣，日销货量x件与货价p元/件之间的关系为p＝160－2x，生产x件所需成本为C＝500＋30x元，则该厂日产量为时，日获利不少于1300元.解：由题意，得(160－2x)x－(500＋30x)≥1300，化简得x2－65x＋900≤0，解之得20≤x≤45.因此，该厂日产量在20件至45件时，日获利不少于1300元.故填20件至45件.1.一元二次不等式ax2＋bx＋c＞0(或ax2＋bx＋c＜0)(a≠0)的解集的确定，受二次项系数a的符号及判别式Δ＝b2－4ac的符号制约，且与相应的二次函数、一元二次方程有密切联系，可结合相应的函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象，数形结合求得不等式的解集；二次函数y＝ax2＋bx＋c的值恒大于0的条件是a＞0且Δ＜0；若恒大于或等于0，则a＞0且Δ≤0.若二次项系数中含参数且未指明该函数是二次函数时，必须考虑二次项系数为0这一特殊情形.2.解分式不等式要使一边为零；求解非严格分式不等式时，要注意分母不等于0，转化为不等式组.(注：形如f（x）g（x）≥0或f（x）g（x）≤0的不等式称为非严格分式不等式).3.解含参数的不等式的基本途径是分类讨论，能避免讨论的应设法避免讨论.对字母参数的逻辑划分要具体问题具体分析，必须注意分类不重、不漏、完全、准确.4.解不等式的过程，实质上是不等式等价转化的过程.因此保持同解变形是解不等式应遵循的基本原则.5.各类不等式最后一般都要化为一元一次不等式(组)或一元二次不等式(组)来解，这体现了转化与化归的数学思想.6.对给定的一元二次不等式，求解的程序框图是：1.不等式x－2x＋1≤0的解集是( )A.(－∞，－1)∪(－1，2]B.[－1，2]C.(－∞，－1)∪[2，＋∞)D.(－1，2]解：x－2x＋1≤0⇔()x＋1()x－2≤0，且x≠－1，即x∈(－1，2]，故选D.2.关于x的不等式(mx－1)(x－2)＞0，若此不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x|1m＜x＜2，则m的取值范围是单位：m)的取值范围是B.[12，25]D.[20，30]解：设矩形的另一边为y m，依题意得§7.3 二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题1.二元一次不等式表示的区域(1)当B＞0时，Ax＋By＋C＞0表示直线Ax＋By ＋C＝0的；Ax＋By＋C＜0表示直线Ax＋By＋C＝0的.(2)当B＜0时，Ax＋By＋C＞0表示直线Ax＋By ＋C＝0的；Ax＋By＋C＜0表示直线Ax＋By＋C＝0的.2.线性规划(1)不等式组是一组对变量x，y的约束条件，由于这组约束条件都是关于x，y的一次不等式，所以又可称其为线性约束条件.Z＝Ax＋By是要求最大值或最小值的函数，我们把它称为.由于Z＝Ax＋By是关于x，y的一次解析式，所以又可叫做.另外注意：线性约束条件除了用一次不等式表示外，也可用一次方程表示.(2)一般地，求线性目标函数在线性约束条件下的的问题，统称为线性规划问题.(3)满足线性约束条件的解(x，y)叫做，由所有可行解组成的集合叫做.其中，使目标函数取得最大值或最小值的可行解都叫做这个问题的.线性目标函数的最值常在可行域的边界上，且通常在可行域的顶点处取得；而求最优整数解首先要看它是否在可行域内.(4)用图解法解决简单的线性规划问题的基本步骤：①首先，要根据 (即画出不等式组所表示的公共区域).②设，画出直线l0.③观察、分析、平移直线l0，从而找到最优解.④最后求得目标函数的.(5)利用线性规划研究实际问题的解题思路：首先，应准确建立数学模型，即根据题意找出条件，确定函数.然后，用图解法求得数学模型的解，即，在可行域内求得使目标函数.自查自纠：1.(1)上方区域下方区域(2)下方区域上方区域2.(1)目标函数线性目标函数(2)最大值或最小值(3)可行解可行域最优解(4)①线性约束条件画出可行域②z＝0④最大值或最小值(5)约束线性目标画出可行域取得最值的解下列命题中正确的是( )A.点(0，1)在区域x－y＋1＞0内B.点(0，0)在区域x＋y＋1＜0内C.点(1，0)在区域y≥2x内D.点(0，0)在区域x＋y≥0内解：将(0，0)代入x＋y≥0，成立.故选D.不等式x－2y＋6＞0表示的区域在直线x －2y＋6＝0的( )A.左下方B.左上方C.右下方D.右上方解：画出直线及区域范围知C正确.故选C.(2014·湖北)若变量x，y满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x＋y≤4，x－y≤2，x≥0，y≥0，则z＝2x＋y的最大值是( )A.2B.4C.7D.8解：画出不等式组的可行域如图阴影部分所示，结合目标函数可知，当直线y＝－2x＋z经过点A(3，1)时，z取最大值，且为7.故选C.点()－2，t在直线2x－3y＋6＝0的上方，则t的取值范围是.解：()－2，t在2x－3y＋6＝0的上方，则2×()－2－3t＋6＜0，解得t＞23.故填⎩⎨⎧⎭⎬⎫t|t＞23.不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x＞0，y＞0，4x＋3y＜12表示的平面区域内的整点(横坐标和纵坐标都是整数的点)共有个.解：画出平面区域的图象，可以看出整点有(1，1)，(1，2)，(2，1)，共3个，故填3.≥0，＋3y ≥4，＋y ≤4与D 有公共点，则x ＋1)恒过定点C (－BC ＝12，k AC ＝4，∴要使直线D 有公共点，则12＋y －2≥0，＋2y －4≤0，＋3y －2≥0________.|BD |＝2，C 点坐标(8，－2)，＝S △ABD ＋S △BCD ＝12×2×(2＋2)＝y ≤x ，x ＋y ≤1，y ≥－1，和n ，则＝－2x ＋z 经过点B 时，z 1)，则n ＝z min ＝2×(－1)故选C.)A.有最小值B.有最小值C.有最大值解：画出不等式表示的平面区域，如图，由z ＝x ＋y ，得y ＝－x ＋z ，令z ＝0，画出y ＝－x 的图象，当它的平行线经过A (2，0)时，z 取得最小值为z min ＝2＋0＝2，由于可行域是向右上方无限延伸的非封闭区域，y ＝－x ＋z 向右上方移动时，z ＝x ＋y 也趋于无穷大，所以z ＝x ＋y 无最大值，故选B.类型三 含参数的线性规划问题(1)若不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，x ＋3y ≥4，3x ＋y ≤4所表示的平面区域被直线y ＝kx ＋43分为面积相等的两部分，则k 的值是( )A.73B.37C.43D.34解：由题目所给的不等式组可知，其表示的平面区域如图阴影部分所示，这里直线y ＝kx ＋43只需经过线段AB 的中点D即可，此时D 点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，52，代入可得k ＝73.故选A.(2)在平面直角坐标系中，若不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －1≥0，x －1≤0，ax －y ＋1≥0(a 为常数)所表示的平面区域的面积等于2，则a 的值为( )A.－5B.1C.2D.3解：如图可得阴影部分即为满足x －1≤0与x ＋y －1≥0的可行域，而直线ax －y ＋1＝0恒过点(0，1)，故看作直线绕点(0，1)旋转，若不等式组所表示的平面区域内的面积等于2，则它是三角形，设该三角形为△ABC ，因为△ABC 的点A 和B 的坐标分别为A (0，1)和B (1，0)，且S △ABC＝2，设点C 的坐标为C (1，y )，则12×1×y ＝2⇒y＝4，将点C (1，4)代入ax －y ＋1＝0得a ＝3.故选D.点拨：此类问题综合性较强，注意到y ＝kx ＋43，ax －y ＋1＝0都是含参数且恒过定点的直线，因此这两题我们采用数形结合求解.注意把握的两点：①参数的几何意义；②条件的合理转化.(1)若x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥1，x －y ≥－1，2x －y ≤2.目标函数z ＝ax ＋2y 仅在点(1，0)处取得最小值，则a 的取值范围是( )A.(－1，2)B.(－4，2)C.(－4，0]D.(－2，4)解法一：z ＝ax ＋2y 的斜率为－a2，目标函数在点(1，0)处取得最小值，由图象知斜率－a 2满足：－1＜－a2＜2⇒－4＜a＜2，所以参数a 的取值范围是(－4，2).解法二：由条件知，可行域是一个三角形，顶点为A (1，0)，B (3，4)，C (0，1)，由于目标函数的最小值仅在A 点处取得，z A ＝a ，z B ＝3a ＋8，z C ＝2，依题意，z A ＝a ＜z B ＝3a ＋8，z A ＝a ＜z C ＝2，所以参数a 的取值范围是(－4，2)，故选B.(2)(2014·湖南)若变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧y ≤x ，x ＋y ≤4，y ≥k ， 且z ＝2x ＋y 的最小值为－6，则k ＝________.解：易得出约束条件中三条直线两两所成的交点(k ，k )，(4－k ，k )，(2，2)，且可行域如图，则k ≤2.最小值在点(k ，k )处取得，3k ＝－6，得k ＝－2.故填－2.类型四 利用线性规划求非线性目标函数的最优解已知⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y －2≥0，x －2y ＋4≥0，3x －y －3≤0.当x ，y 取何值时，x 2＋y 2取得最大值、最小值？最大值、最小值各是多少？解：如图，作出可行域(图中的阴影部分)，可行域是封闭的△ABC (包括边界)，由⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋4＝0，3x －y －3＝0，得顶点A (2，3)，同理可得B (0，2)，C (1，0)，因为x 2＋y 2是可行域内一点P (x ，y )到原点的距离的平方，所以，当P (x ，y )和A (2，3)重合时，(x 2＋y 2)max ＝22＋32＝13，显然，原点到直线BC ：2x ＋y －2＝0的距离d 最小，这里d ＝|2×0＋0－2|22＋12＝25，(x 2＋y 2)min ＝d 2＝45， 此时点P 的坐标满足⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y －2＝0，x 2＋y 2＝45，⇒⎩⎪⎨⎪⎧x ＝45，y ＝25，即点P 的坐标为P ⎝ ⎛⎭⎪⎫45，25. 综上可知，当x ＝2，y ＝3时，x 2＋y 2取得最大值，最大值是13；当x ＝45，y ＝25时，x 2＋y 2取得最小值，最小值是45.点拨：本题不是求线性目标函数的最优解，而是求a 2＋b 2取得最大值、最小值问题，理解待求式的几何意义并准确画图是解这类题目的关键，同时注意取得最值的点不一定在顶点处取得，本题的最小值就是利用距离公式求得的.实系数方程f (x )＝x 2＋ax ＋2b ＝0的一个根在(0，1)内，另一个根在(1，2)内，求：(1)b －2a －1的值域； (2)(a －1)2＋(b －2)2的值域.解：由题意知⎩⎪⎨⎪⎧f （0）＞0，f （1）＜0，f （2）＞0⇒⎩⎪⎨⎪⎧b ＞0，a ＋2b ＋1＜0，a ＋b ＋2＞0.可行域是一个不包括边界的三角形，其顶点为A (－3，1)，B (－2，0)，C (－1，0).如图所示.(1)设b －2a －1＝k ⇒b ＝k (a －1)＋2，则k 表示可行域内一个动点P (a ，b )和定点Q (1，2)连线的斜率，因为A (－3，1)，C (－1，0)，则k AQ ＝14，k CQ ＝1，k AQ ＜k ＜k CQ ，14＜k ＜1.∴b －2a －1的值域是⎝ ⎛⎭⎪⎫14，1. (2)(a －1)2＋(b －2)2表示可行域内一个动点P (a ，b )和定点Q (1，2)的距离的平方，显然，当动点P (a ，b )和点C (－1，0)重合时距离最小，最小值为22，而P (a ，b )和点A (－3，1)重合时距离最大，最大值为17，所以(a －1)2＋(b －2)2的值域为(8，17).所表示的平面区域为和纵坐标均为整数的点的通项公式为＋2y －5＞＋y －7＞≥0，y ≥0小值为( z ，y ＝－34x ＋z4，过x ，(3，0)，(4，0)，(5＝－34x ＋z4过(4，1)时有最小值(2，4)，(4，1)逐个试验积不超过50植黄瓜和韭菜的产量、成本和售价如下表年产量黄瓜≤50，.9y ≤54，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤50，4x ＋3y ≤180，x ≥0，y ≥0.画出可行域如图所示.两类产品，甲种设备每天能生产类产品10件，类产品20设备乙每天的租赁费为类产品300y 对应的直线过两直线⎩⎪⎨⎪⎧x ＋65y ＝10，x ＋2y ＝14的交点(4，5)时，目标函数z ＝200x ＋300y 取得最小值为2300元.故填2300.1.解客观题可利用特殊点判断二元一次不等式(组)表示的平面区域所在位置，如果直线Ax ＋By ＋C ＝0不经过原点，则把原点代入Ax ＋By ＋C ，通过Ax ＋By ＋C 的正负和不等号的方向，来判断二元一次不等式(组)表示的平面区域所在的位置.2.如果可行域是一个多边形，那么一般在其顶点处目标函数取得最大值或最小值.最优解一般是多边形的某个顶点，到底是哪个顶点为最优解，有三种解决方法：第一种方法：将目标函数的直线平行移动，最先通过或最后通过的一个便是.第二种方法：利用围成可行域的直线斜率来判断.特别地，当线性目标函数的直线与可行域某条边重合时，其最优解可能有无数组.第三种方法：将可行域所在多边形的每一个顶点P i 逐一代入目标函数ZP i ＝mx ＋ny ，比较各个ZP i ，得最大值或最小值.1.不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥2，x －y ≥0所表示的平面区域是( )解：画出直线x ＝2，在平面上取直线的右侧部分(包含直线本身)；再画出直线x －y ＝0，取直线的右侧部分(包含直线本身)，两部分重叠的区域就是不等式组表示的平面区域.故选D.2.(2014·天津)设变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －2≥0，x －y －2≤0，y ≥1，则目标函数z ＝x ＋2y 的最小值为( )A.2B.3C.4D.5解：画出约束条件表示的平面区域如图中阴影部分所示，目标函数可化为y ＝－12x ＋12z ，由图可知，当直线y ＝－12x ＋12z 经过点(1，1)时，z 取得最小值3.故选B.3.设二元一次不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y －19≥0，x －y ＋8≥0，2x ＋y －14≤0所表示的平面区域为M ，则使函数y ＝a x()a ＞0，a ≠1的图象过区域M 的a 的取值范围是( )A.[1，3]B.[2，10]C.[2，9]D.[10，9]解：如图，阴影部分为平面区域M ，显然a ＞1，只需研究过(1，9)，(3，8)两种情形，a 1≤9且a 3≥8即2≤a ≤9，故选C.4.若不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≥0，2x ＋y ≤2，y ≥0，x ＋y ≤a表示的平面区域是一个三角形，则a 的取值范围是( )A.a ≥43 B.0＜a ≤1C.1≤a ≤43D.0＜a ≤1或a ≥43解：如图，由条件可知，当直线x ＋y ＝a 在直线x ＋y ＝43右上方时，可行域可以组成一个三角形，即a ≥43时，可行域可以组成一个△OAB ；当0＜a ≤1，可以组成一个三角形，所以0＜a ≤1或a ≥43，故选D.解：作出可行域如图阴影部分所示，－ax得y＝ax＋z.当AB重合时，z取最大值直线y＝ax＋z与直线，此时a＝－1.故选D.z＝x＋y，则y＝－知可行域只可能是△ABC，且x＋y的最大值只在点x－y－3＝0，－my＝－1解：作出可行域如图中阴影部分，联立易得，1)，C(5，2).－3y⇔y＝43x－z13，易知平移如图，作出可行域，作直线l ：6x 向右上方平移至l 1位置，直线经过可行域且与原点距离最大，此时z ＝解方程组⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋10y ＝300，4x ＋5y ＝200得M (20，C 三点的坐标分别为0).，则直线b ＝2a －取得最小值，经过点C 时，z 取得最大值，即，又A ，B ，C 三点不在可行域内，1)的光线经x 轴反射后的光线所，－1)，由图可知，区域3，1)，所以所求直线＋2y －4≤0，§7.4 基本不等式及其应用1.如果a＞0，b＞0，那么叫做这两个正数的算术平均数.2.如果a＞0，b＞0，那么叫做这两个正数的几何平均数.3.重要不等式：a，b∈R，则a2＋b2≥ (当且仅当a＝b时取等号).4.基本不等式：a＞0，b＞0，则，当且仅当a＝b时等号成立，即两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.5.求最小值：a>0，b>0，当ab为定值时，a＋b，a2＋b2有，即a＋b≥，a2＋b2≥.6.求最大值：a＞0，b＞0，当a＋b为定值时，ab有最大值，即，亦即；或a2＋b2为定值时，ab有最大值(a＞0，b＞0)，即.7.拓展：若a＞0，b＞0时，21a＋1b≤≤a＋b2≤，当且仅当a＝b时等号成立.自查自纠：1.a＋b22.ab3.2ab4.a＋b2≥ab5.最小值2ab2ab6.ab≤⎝⎛⎭⎪⎫a＋b22ab≤14(a＋b)2ab≤a2＋b227.aba2＋b22设a，b∈R，且a＋b＝3，则2a＋2b的最小值是( )A.6B.42C.2 2D.2 6解：因为2a＞0，2b＞0，由基本不等式得2a＋2b≥22a·2b＝22a＋b＝42，当且仅当a＝b＝32时取等号，故选B.若a＞0，b＞0，且a＋2b－2＝0，则ab的最大值为( )A.12B.1C.2D.4解：∵a＞0，b＞0，a＋2b＝2，∴a＋2b＝2≥22ab，即ab≤12.当且仅当a＝1，b＝12时等号成立.故选A.小王从甲地到乙地往返的时速分别为a和b(a＜b)，其全程的平均时速为v，则( )A.a＜v＜abB.v＝abC.ab＜v＜a＋b2D.v＝a＋b2解：设甲、乙两地之间的距离为s.∵a＜b，∴v＝2ssa＋sb＝2aba＋b＜2ab2ab＝ab.又v－a＝2aba＋b－a＝ab－a2a＋b＞a2－a2a＋b＝0，∴v＞a.故选A.(2014·上海)若实数x，y满足xy＝1，则x2＋2y2的最小值为________.解：由xy＝1得x2＋2y2＝x2＋2x2≥22，当且仅当x＝±42时等号成立.故填22.点(m，n)在直线x＋y＝1位于第一象限内的图象上运动，则log2m＋log2n的最大值是________.解：由条件知，m＞0，n＞0，m＋n＝1，所以mn≤⎝⎛⎭⎪⎫m＋n22＝14，当且仅当m＝n＝12时取等号，∴log2m＋log2n＝log2mn≤log214＝－2，故填－2.类型一利用基本不等式求最值(1)求函数y＝（x＋5）（x＋2）x＋1(x＞－1)的值域.解：∵x＞－1，∴x＋1＞0，令m＝x＋1，则m＞0，且y＝（m＋4）（m＋1）m＝m＋4m＋5≥2m·4m＋5＝9，当且仅当m＝2时取等号，故4t＋1t的最小值为解：∵t，解集是M，则对任意实常数A.2∈MC.2∈M解法一：求出不等式的解集：k然对数的底数(0，＋∞)上恒成立，求实数解：由条件知∞)上恒成立要求矩形场地的一面利用旧墙其它三面围墙要新建，在旧墙的对面的新墙上要留一个宽度为维修费用为用的旧墙的长度为x 的函数； 使修建此矩形场地围墙的总费用最小，并求出最小总费用.如图，设矩形的另一边长为180(x －2)＋180·2，得a ＝360x，3602－360(x ≥2)要制造一个底宽孔流入，经沉淀后从 m ，高度为分数与a ，b ，b 各为多少为排出的水中杂质的质量分数，根据题意可知：y ＝k ab，其中k 最小，只需ab 最大＋2ab ＋2a ≤60(a ab (a ＞0，b ＞0)ab ，ab ≤30，得0＜时取“＝”号，＝3 m 时经沉淀后排出的水中杂解法二：同解法一得b ≤30－a a ＋2和；和定积最大，积定和最小”，必要时可以通过变形(拆补)、运算(指数、对数运算等)构造“和”或者“积”为定值.4.求1a ＋1b型最值问题，常通过“1”来进行转化，但不是所有的最值都可以通过基本不等式解决，有一些看似可以通过基本不等式解决的问题，由于条件的限制，等号不能够成立，这时就不能用基本不等式来解决，而要借助于其他求值域的方法来解决.1.若a ＞1，则a ＋1a －1的最小值是( ) A.2 B.a C.3 D.2aa －1解：∵a ＞1，∴a ＋1a －1＝a －1＋1a －1＋1≥2（a －1）·1a －1＋1＝2＋1＝3，当a ＝2时等号成立.故选C.2.设a ，b ∈R ，a ≠b ，且a ＋b ＝2，则下列各式正确的是( )A.ab ＜1＜a 2＋b 22B.ab ＜1≤a 2＋b 22C.1＜ab ＜a 2＋b 22D.ab ≤a 2＋b 22≤1解：运用不等式ab ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22⇒ab ≤1以及(a ＋b )2≤2(a 2＋b 2)⇒2≤a 2＋b 2(由于a ≠b ，所以不能取等号)得，ab ＜1＜a 2＋b 22，故选A.3.函数f (x )＝5－4x ＋x22－x在(－∞，2)上的最小值是( )A.0B.1C.2D.3解：当x ＜2时，2－x ＞0，因此f (x )＝1＋（4－4x ＋x 2）2－x ＝12－x ＋(2－x )≥2·12－x ·（2－x ）＝2，当且仅当12－x＝2－x 时上式取等号.而此方程有解x ＝1∈(－∞，2)，因此f (x )在(－∞，2)上的最小值为2，故选C.4.(2014·福建)要制作一个容积为4 m 3，高为1 m 的无盖长方体容器，已知该容器的底面造价是每平方米20元，侧面造价是每平方米10元，则该容器的最低总造价是( )A.80元B.120元C.160元D.240元解：假设底面的长、宽分别为x m ，4xm ，由条件知该容器的最低总造价为y ＝80＋20x ＋80x≥160，当且仅当底面边长x ＝2时，总造价最低，且为160元.故选C.5.下列不等式中正确的是( )A.若a ，b ∈R ，则b a ＋a b≥2b a ·a b＝2 B.若x ，y 都是正数，则lg x ＋lg y ≥2lg x ·lg yC.若x <0，则x ＋4x≥－2x ·4x＝－4 D.若x ≤0，则2x ＋2－x≥22x·2－x＝2解：对于A ，a 与b 可能异号，A 错；对于B ，lg x 与lg y 可能是负数，B 错；对于C ，应是x ＋4x＝－⎣⎢⎡⎦⎥⎤（－x ）＋4－x ≤－2（－x ）·4－x＝－4，C错；对于D ，若x ≤0，则2x＋2－x≥22x ·2－x＝2成立(x ＝0时取等号).故选D.6.(2014·重庆)若log 4(3a ＋4b )＝log 2ab ，则a ＋b 的最小值是( )A.6＋2 3B.7＋2 3C.6＋4 3D.7＋4 3 解：因为log 4(3a ＋4b )＝log 2ab ，所以log 4(3a＋4b )＝log 4(ab )，即3a ＋4b ＝ab ，且⎩⎪⎨⎪⎧3a ＋4b ＞0，ab ＞0，即a ＞0，b ＞0，所以4a ＋3b ＝1(a ＞0，b ＞0)，a ＋b＝(a ＋b )⎝ ⎛⎭⎪⎫4a ＋3b ＝7＋4b a ＋3a b ≥7＋24b a ·3a b ＝7＋43，当且仅当4b a ＝3ab时取等号.故选D.7.若对任意x ＞0，xx 2＋3x ＋1≤a 恒成立，则a的取值范围是.解：因为x ＞0，所以x ＋1x≥2(当且仅当x ＝1时取等号)，所以有x x 2＋3x ＋1＝1x ＋1x＋3≤12＋3＝15，即x x 2＋3x ＋1的最大值为15，故填a ≥15. 8.(2014·四川)设m ∈R ，过定点A 的动直线x ＋my ＝0和过定点B 的动直线mx －y －m ＋3＝0交于点P (x ，y )，则|PA |·|PB |的最大值是________.解：易知定点A (0，0)，B (1，3). 且无论m 取何值，两直线垂直. 所以无论P 与A ，B 重合与否，均有36 m长网的材料，宽各设计为多少时，可使每间虎笼面积最大？若使每间虎笼面积为24 m2，则每间虎笼的长、宽各设计为多少时，可使围成四间虎笼的钢筋设每间虎笼长为x m，宽为36，即2x＋3y＝设每间虎笼的面积为S，则S＝( 21解：问题转化为求△ABC中∠BCAAB的延长线于点米，看A，B的视角最大，＝α，∠ACD＝β一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合M ＝{x |0≤x ＜3}，N ＝{x |x 2－3x －4＜0}，则集合M ∩N ＝( ) A.{x |0≤x ＜3} B.{x |0≤x ≤3} C.{x |0≤x ≤1} D.{x |0≤x ＜1}解：x 2－3x －4＜0⇔(x －4)(x ＋1)＜0⇔－1＜x ＜4，∴N ＝{x |－1＜x ＜4}，∴M ∩N ＝{x |0≤x ＜3}.故选A.2.不等式x ＋5()x －12≥2的解集是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－3，12B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，3C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，1∪(1，3]D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫－12，1∪(1，3] 解：x ＋5（x －1）2≥2⇔（x ＋5）－2（x －1）2（x －1）2≥0⇔－2x 2＋5x ＋3（x －1）2≥0⇔－2x 2＋5x ＋3≥0(x ≠1)⇔2x 2－5x －3≤0(x ≠1)⇔－12≤x ≤3且x ≠1.故选D.3.(2014·北京)设a ，b 是实数，则“a >b ”是“a 2>b 2”的( ) A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件解：令a ＝2，b ＝－3，则“a >b ”推不出“a 2>b 2”；反之，令a ＝－1，b ＝0，则“a 2>b 2”推不出“a >b ”.综上知，故选D.4.若一个矩形的对角线长为常数a ，则其面积的最大值为( )A.a 2B.12a 2C.aD.12a解：如图，设矩形的长和宽分别为x ，y ，则x 2＋y 2＝a 2，其面积S ＝xy ，由基本不等式得S ≤12(x 2＋y 2)＝12a 2，当且仅当x ＝y 时取等号，此时为正方形.故选B.5.函数y ＝log 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x －1＋5(x >1)的最小值为( ) A.－4 B.－3 C.3 D.4解：函数y ＝log 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x －1＋5(x ＞1)＝log 2(x －1＋1x －1＋6)≥log 2⎝⎛⎭⎪⎫2（x －1）×1x －1＋6＝log 28＝3，当且仅当x －1＝1x －1，即x ＝2时取得等号.故选C.6.(2014·四川)执行如图所示的程序框图，如果输入的x ，y ∈R ，那么输出的S 的最大值为( )A.0B.1C.2D.3解：由程序框图知，当⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，y ≥0，x ＋y ≤1时，目标函数S ＝2x ＋y ∈[0，2]，否则，S ＝1.因此，输出的S 的最大值为2.故选C.7.(2014·山东)已知实数x ，y 满足a x ＜a y(0＜a ＜1)，则下列关系式恒成立的是( )A.1x 2＋1＞1y 2＋1B.ln(x 2＋1)＞ln(y 2＋1) C.sin x ＞sin y D.x 3＞y 3解：根据指数函数的性质得x ＞y ，此时x 2，y 2的大小不确定，故选项A ，B 中的不等式不恒成立；根据三角函数的性质，选项C 中的不等式也不恒成立；根据不等式的性质知，选项D 中的不等式恒成立.故选D.8.(2014·湖南模拟)在关于x 的不等式x 2－(a ＋1)x ＋a ＜0的解集中恰有两个整数，则a 的取值范围是( )A.(3，4)B.(－2，－1)∪(3，4)C.(3，4]D.[－2，－1)∪(3，4]解：由题意得，原不等式为(x －1)(x －a )＜0.当a ＞1时，解得1＜x ＜a ，此时解集中的整数为2，3，则3＜a ≤4；当a ＜1时，解得a ＜x ＜1，此时解集中的整数为0，－1，则－2≤a ＜－1.故a ∈[－2，－1)∪(3，4].故选D.9.若直线ax －by ＋2＝0(a ＞0，b ＞0)被圆x 2＋y 2＋2x －4y ＋1＝0截得的弦长为4，则1a＋1b的最小值为( ) A.14 B. 2 C.32＋ 2 D.32＋2 2 解：圆的直径是4，说明直线过圆心(－1，2)，故12a ＋b ＝1，1a ＋1b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12a ＋b ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ＝32＋b a ＋a 2b ≥32＋2(当且仅当a ＝22－2，b ＝2－2时等号成立)，故选C. 10.已知实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧y ≥1，y ≤2x －1，x ＋y ≤m ，如果目标函数z ＝x －y 的最小值为－1，则实数m＝( )A.2B.3C.4D.5。

第三讲基本不等式1.[2020河南驻马店模拟]设0<a<b,则下列不等式正确的是()A.a<b<√ab<a+b2B.a<√ab<a+b2<bC.a<√ab<b<a+b2D.√ab<a<a+b2<b2.[改编题]下列结论正确的个数为()①函数y=x+1x的最小值是2;②函数f (x)=cos x+4cosx ,x∈(0,π2)的最小值为4;③“x>0且y>0”是“xy +yx≥2”的充要条件;④若a>0,则a3+1a2的最小值为2√a;⑤不等式a2+b2≥2ab与a+b2≥√ab有相同的成立条件.A.0B.1C.2D.33.[2019天津,13,5分][文]设x>0,y>0,x+2y=4,则(x+1)(2y+1)xy的最小值为.4.[2017 江苏,10,5分]某公司一年购买某种货物600吨,每次购买x吨,运费为6万元/次,一年的总存储费用为4x万元.要使一年的总运费与总存储费用之和最小,则x的值是.5.[2015山东,14,5分][文]定义运算“⊕”:x⊕y=x2- y2xy(x,y∈R,xy≠0).当x>0,y>0时,x⊕y+(2y)⊕x的最小值为.考法1 用利基本不等式求最值命题角度1利用拼凑法求最值1[2019辽宁两校联考]已知a>b>0,则a+4a+b +1a - b的最小值为A.3√102B.4C.2√3D.3√2观察式子的结构特征→将a用后面两个式子的分母表示,凑出积为定值的形式→利用基本不等式求最值因为a=12[(a+b)+(a - b)],所以a +4a+b +1a - b =12(a +b )+4a+b +12(a - b )+1a -b . ........................................................ (变形凑成积为定值) 因为a >b >0,所以a +b >0,a - b >0.由基本不等式可得12(a +b )+4a+b ≥2√12(a +b)×4a+b =2√2 ①,当且仅当12(a +b )=4a+b ,即a +b =2√2时,等号成立;12(a - b )+1a - b ≥2√12(a - b)×1a -b =√2 ②, 当且仅当12(a - b )=1a -b ,即a - b =√2时,等号成立.由{a +b =2√2,a - b =√2,解得{a =3√22,b =√22. .......................................................................... (检验等号成立的条件)所以当{a =3√22,b =√22时,①②中的等号同时成立.故a +4a+b +1a - b 的最小值为2√2+√2=3√2.D命题角度2 利用常数代换法求最值2若直线2mx - ny - 2=0(m >0,n >0)过点(1, - 2),则1m+2n的最小值为A.2 B .6 C .12 D .3+2√2把点的坐标代入直线的方程得m 与n 的关系式→进行“1”的代换→利用基本不等式求最值因为直线2mx - ny - 2=0(m >0,n >0)过点(1, - 2), 所以2m +2n - 2=0,即m +n =1, 所以1m +2n =(1m +2n )(m +n )=3+nm +2m n≥3+2√2, ........................................................... (运用“1”的代换求解)当且仅当nm =2m n,即n =√2m 时取等号,所以1m +2n 的最小值为3+2√2.D命题角度3 利用消元法求最值3[2019辽宁五校联考]已知正实数a ,b 满足ab - b +1=0,则1a +4b 的最小值是 .先将已知等式变形,可得a =b - 1b,然后对1a +4b =bb - 1+4b 进行合理拼凑,再利用基本不等式求出最值即可.由ab - b +1=0可得a =b - 1b,由a =b - 1b>0且b >0得b >1,所以1a +4b =bb - 1+4b =1b - 1+4(b - 1)+5.易知1b - 1+4(b - 1)≥4,所以1a +4b ≥9,当且仅当1b - 1=4(b - 1),即b =32,a =13时等号成立,故1a +4b 的最小值是9.1.(1)[2018天津,13,5分][文]已知a ,b ∈R ,且a - 3b +6=0,则2a +18b 的最小值为 .(2)[2017 山东,12,5分][文]若直线xa +yb =1(a >0,b >0)过点(1,2),则2a +b 的最小值为 .考法2 利用基本不等式解决实际问题4经调查测算,某产品的年销售量(即该厂的年产量)x 万件与年促销费用m 万元(m ≥0)满足x =3 - km+1(k 为常数),若不搞促销活动,则该产品的年销售量只能是1万件.已知2019年生产该产品的固定投入为8万元,每生产1万件该产品需要再投入16万元,厂家将每件产品的销售价格定为每件产品平均成本的1.5倍(产品生产包括固定投入和再投入两部分资金). (1)将2019年该产品的利润y 万元表示为年促销费用m 万元的函数; (2)该厂家2019年的促销费用投入多少万元时,厂家的利润最大?题中信息 对接方法 年销售量、年促销费用 由题中信息确定k 值,进而明确两者关系.销售价格、成本 销售价格、成本用年销售量x 与年促销费用m 表示,构建关于m 的关系式. 利润最大 利用基本不等式求解.(1)由题意可知,当m =0时,x =1,∴1=3 - k ,解得k =2,即x =3 - 2m+1,...................................................................................... (代值定参数) 每1万件产品的销售价格为1.5×8+16x x(万元),∴2019年的利润y =x (1.5×8+16x x) - (8+16x +m ) ........................................... (建模,利润=总收入 - 总投入)=4+8x - m =4+8(3 - 2m+1) - m =28 - 16m+1 - m (m ≥0).∴y 与m 之间的函数关系式是y =28 - 16m+1 - m (m ≥0). (2)由(1)知y = - [16m+1+(m +1)]+29(m ≥0).∵当m ≥0时,16m+1+(m +1)≥2√16m+1·(m +1)=8, ................................................ (利用基本不等式求最值) 当且仅当16m+1=m +1,即m =3时取等号,∴y ≤ - 8+29=21,即当m =3时,y 取得最大值,为21.∴当该厂家2019年的促销费用投入3万元时,厂家获得的利润最大,为21万元.2.[2019江苏南京三模]某工厂有100名工人接受了生产1 000台某产品的任务,每台产品由9个甲型装置和3个乙型装置配套组成,每名工人每小时能加工完成1个甲型装置或3个乙型装置.现将工人分成两组,分别加工甲型和乙型装置,设加工甲型装置的工人有x 名,他们加工完甲型装置所需时间为t 1时,其余工人加工完乙型装置所需时间为t 2时,设f (x )=t 1+t 2.(1)求f (x )的解析式,并写出其定义域; (2)当x 等于多少时, f (x )取得最小值?易错 连续运用基本不等式求最值时忽略等号的验证而出错5[2017天津,13,5分][文]若a ,b ∈R ,ab >0,则a 4+4b 4+1ab的最小值为 .因为ab >0, 所以a 4+4b 4+1ab≥2√4a 4b 4+1ab=4a 2b 2+1ab=4ab +1ab ≥2√4ab ·1ab =4,当且仅当{a 2=2b 2,ab =12时等号成立,(连续使用两次基本不等式,两个等号成立的条件要一致)故a 4+4b 4+1ab的最小值是4.易错警示当多次使用基本不等式时,一定要注意等号成立的条件的一致性,否则容易出错.因此利用基本不等式处理问题时,列出等号成立的条件不仅是解题的必要步骤,而且是检验转换结果是否有误的一种方法.3.[2019安徽合肥二模]若a +b ≠0,则a 2+b 2+1(a+b)2的最小值为 .1.B因为0<a<b,所以a- √ab=√a(√a − √b)<0,故a<√ab;因为b- a+b2=b - a2>0,所以b>a+b2;由基本不等式知a+b2>√ab.综上所述,a<√ab<a+b2<b,故选B.2.A当x<0时,y≤ - 2,故①错误;易知当且仅当cos x=2时f(x)取最小值,但cos x不可能为2,所以等号不可能成立,故②错误;当x<0且y<0时,不等式xy +yx≥2也成立,故③错误;2√a不是定值,故④错误;a2+b2≥2ab对于a,b∈R都成立,而a+b2≥√ab只有当a>0,b>0时才成立,故⑤错误.选A.3.92解法一由题意知x=4 - 2y,则(x+1)(2y+1)xy=(4 - 2y+1)(2y+1)(4 - 2y)y=- 4y2+8y+5 - 2y2+4y =2+5- 2y2+4y=2+5- 2(y - 1)2+2≥2+52=92,当y=1时,“=”成立.解法二由题意知(x+1)(2y+1)xy =2xy+x+2y+1xy=2xy+5xy=2+5xy,因为x >0,y >0,所以4=x+2y≥2√2xy,即xy≤2,当且仅当x=2y=2时取“=”,所以(x+1)(2y+1)xy ≥2+52=92.4.30一年购买600x 次,则总运费与总存储费用之和为600x×6+4x=4(900x+x)≥8√900x·x=240,当且仅当x=30时取等号,故总运费与总存储费用之和最小时x的值是30.5.√2因为x>0,y>0,所以x⊗y+(2y)⊗x=x2- y2xy +4y2- x22xy=x2+2y22xy=12(xy+2yx)≥√2,当且仅当xy=2yx,即x=√2y时取等号.故x⊗y+(2y)⊗x的最小值为√2.1.(1)14 由a - 3b +6=0,得a =3b - 6,则2a +18b =23b - 6+123b ≥2√23b - 6×123b =2×2 - 3=14,当且仅当23b - 6=123b ,即b =1时等号成立,故2a +18b 的最小值为14.(2)8 ∵直线x a +y b =1(a >0,b >0)过点(1,2),∴1a+2b =1.∵a >0,b >0,∴2a +b =(2a +b )(1a +2b )=4+ba +4a b≥4+2√ba·4a b=8,当且仅当ba=4a b和1a+2b=1同时成立,即a =2,b =4时等号成立,∴2a +b 的最小值为8. 2.(1)易知t 1=9 000x,t 2= 3 0003(100 - x)= 1 000100 - x ,则f (x )=t 1+t 2=9 000x + 1 000100 - x ,定义域为{x |1≤x ≤99,x ∈N *}.(2)f (x )=9 000x+1 000100 - x=1 000(9x +1100 - x)=10[x +(100 - x )](9x+1100 - x )=10[10+9(100 - x)x+x 100 - x].因为f (x )的定义域为{x |1≤x ≤99,x ∈N *},所以9(100 - x)x>0,x100 - x>0,故9(100 - x)x+x100 - x≥2√9=6,当且仅当9(100 - x)x=x100 - x ,即x =75时取等号.故当x =75时, f (x )取得最小值.3.√2 解法一 因为2ab ≤a 2+b 2,所以(a +b )2≤2(a 2+b 2). 由a +b ≠0,知a 2+b 2+1(a+b)2≥a 2+b 2+12(a 2+b 2)≥2√12=√2, 当且仅当a =b 且a 2+b 2=12(a 2+b ),即a =b =±√184时两个等号同时成立.故a 2+b 2+1(a+b)2的最小值为√2.解法二 因为a 2+b 2≥2ab ,所以2(a 2+b 2)≥(a +b )2, 所以a 2+b 2≥(a+b)22,所以a 2+b 2+1(a+b)≥(a+b)22+1(a+b)≥2√12=√2,当且仅当a =b 且(a+b)22=1(a+b)2,即a =b =±√184时两个等号同时成立.故a 2+b 2+1(a+b)2的最小值为√2.。

第三章 不等式【学习指导】[学习内容][学习目标]1.感受在现实世界和日常生活中存在着大量的不等关系，了解不等式（组）的实际背景.2.了解不等式的基本性质.3.了解一元二次不等式与一元二次方程、二次函数的联系；能借助二次函数的图象解一元二次不等式；知道一元二次不等式可以转化为一元一次不等式组.4.了解二元一次不等式的几何意义，能用平面区域表示二元一次不等式组.5.能从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题，并能用图解法加以解决.6.探索并了解基本不等式的证明过程；会用基本不等式解决简单的最大（小）值问题. [方法指导][重点] 本章的重点有：用不等式（组）表示实际问题中的不等关系；不等式的基本性质；一元二次不等式的解法与应用；平面区域与线性规划问题；基本不等式的证明及应用.[难点] 本章的难点有：用不等式（组）正确表示出实际问题中的不等关系；理解一元二次不等式与一元二次方程、二次函数的联系；能正确画出二元一次不等式组表示的平面区域；理解线性目标函数的几何意义；灵活运用基本不等式解决最大（小）值问题.[建议]1.必须重视对概念、性质等基础知识的学习与理解概念、性质是进行数学思维、运用数学知识解决问题的基础.许多同学在解决问题时出现不等关系不等式实数大小比较的基本事实 不等式的性质证明不等式一元二次不等式的解法 二元一次不等式（组）与平面区域基本不等式一元二次不等式的应用线性规划最大（小）值问题错误的主要原因，就是对概念、性质等基础知识没有真正的理解与掌握. 特别要重视对概念、性质中的条件的理解与掌握，如不等式基本性质中，有许多是在正数（或非负数）范围内成立的；一元二次不等式中二次项的系数不能为0，且其正负对解集会有影响；运用基本不等式求最大（小）值的条件是“一正、二定、三相等”等.2.必须动手解题,形成运算能力不论是解决不等式本身的问题，还是运用不等式解决实际问题，都要对不等式（组）进行大量运算.运算的要求是不仅结果正确，而且算法合理.这就要克服“眼高手低”的毛病，动手解题，形成技能，形成能力.3.掌握并主动运用数学基本方法和数学思想方法不等式问题的解决中，经常会用到配方、换元、代入等基本方法，及数形结合、转化、类比等思想方法.掌握并主动运用这些数学基本方法和数学思想方法，会使我们形成和提高数学能力、数学素养，变得聪明起来.4.增强应用意识，体验数学价值不等式是描述现实世界中不等关系的数学模型，在解决实际问题中有着广泛的应用.线性规划问题的图解法、基本不等式求最大（小）值等，就是其中的典型.通过实际问题的解决，可以使我们增强应用意识，体验到数学的价值.【同步检测】§3.1不等关系与不等式（1）[基础达标]一、选择题1.在下列各式中，是不等式的有（ ）.①2≥2 ②3a ＋5b 2 ③3x 2－2x ＋1＝0 ④ 12m 2＋n ≠0（A ）①② （B ）①③ （C ）①④ （D ）③④2.一个两位数10a ＋b 的数字之和为9，交换两个数位上的数字后所得的两位数不超过55.一名学生由于列错了式子，得到了这个两位数的一个错误值为36.那么这名学生列的错式是（ ）.（A ）10a ＋（9－a ）≥55 （B ）10（9－a ）＋a≤55 （C ）10b ＋（9－b ）≤55 （D ）10b ＋（9－b ）≥55 3.已知a ＝5－7，b ＝6－8，则a 与b 的大小关系是（ ）. （A ）a ＞b （B ）a ＝b （C ）a ＜b （D ）无法比较4.若0＜a 1＜a 2，0＜b 1＜b 2，且a 1＋a 2＝b 1＋b 2＝1，则下列代数式中值最大的是（ ）. （A ）a 1b 1＋a 2b 2 （B ）a 1a 2＋b 1b 2 （C ）a 1b 2＋a 2b 1 （D ）12二、填空题5.已知一杯b g 糖水里有a g 糖，再加入m g 糖，糖水更甜了.试用不等式表示此问题中的不等关系： .6.已知a ＝x 2－1x 2＋1，b ＝x －1x ＋1，若x ＞1，则a 与b 的大小关系为 .7.设实数a 、b 满足0＜a ＜b 且a ＋b ＝1，则 12，a 2＋b 2，2ab ，a 四个数中最大的是 .三、解答题8.某校组织师生共270人春游.已知45座客车的租金为每辆260元，60座客车的租金为每辆300元.同时租用这两种客车，且60座客车比45座客车多租一辆，租金比单独租一种客车节省.试用不等式组表示这个问题中的不等关系.9.比较2x 2＋x 与x 2＋2x 的大小.10.如果0＜m ＜b ＜a ，试比较cosb a，cosb －m a －m ，cos b ＋m a ＋m的大小.[拓展探究]11.已知a ＞b ＞c ＞0，试比较a 2a b 2b c 2c与a b ＋c b c ＋a c a ＋b的大小.§3.1不等关系与不等式（2）[基础达标]一、选择题1.已知x ＞y ＞0且z ≠0，则下列不等式中不恒成立的是（ ）. （A ）x ＋z ＞y ＋z （B ）x －z ＞y －z （C ）xz ＞yz （D ）x z 2＞yz 22.若r ＞0，则对所有满足pq ≠0且pr ＞qr 的p 和q ，有（ ）.（A ）p q＞1 （B ）p 2＞pq （C ）1p ＜1q（D ）p 3＞q 33.设a ，b ∈R ，若a －|b |＞0，则下列不等式中成立的是（ ）. （A ）b －a ＞0 （B ）b ＋a ＜0 （C ）a 3＋b 3＜0 （D ）a 2－b 2＞04.已知真命题“若a ＞b ，则c ＞d ”和“若e ＞f ，则c ＜d ”.下列命题中为真命题的是（ ）. （A ）若a ＜b ，则e ＞f （B ）若e ＜f ，则a ＞b （C ）若e ＞f ，则a ≥b （D ）若a ＞b ，则e ≤f 二、填空题5.已知命题：①若a ＞b ，c ＞d ，则a －d ＞b －c ；②若a ＞b ＞0，c ＞d ＞0，则a ＋c ＞b ＋d ；③若a c 2＜b c 2，则a ＜b ；④若a ＞b ，c ＞d ，则ac ＞bd ；⑤若a ＞b ＞0，c ＞d ＞0，则a d ＞b c；⑥若a＞b，则a n＞b n（n∈N，n＞1）.其中真命题有： .6.已知命题甲：a＞0；乙：a＞b且 a－1＞b－1，则甲是乙的条件（充分不必要、必要不充分、充分必要、不充分不必要）.7.已知函数f（x）＝ax2－c满足－4≤f（1）≤－1，－1≤f（2）≤5，那么f（3）的取值范围是 .三、解答题8.已知a＞b＞0，c＜d＜0，e＜0，求证ea－c＞eb－d.9.求证不等式a2＋b2≥2（2a－b）－5.10.已知p3＋q3＝2，用反证法证明p＋q≤2. [拓展探究]11.已知|a|＜1，|b|＜1，求证|a＋b1＋ab|＜1.。

第七编 不等式 §7.1 不等关系与不等式1.已知-1＜a ＜0,那么-a,-a 3,a 2的大小关系是 . 答案 -a ＞a 2＞-a 32.若m ＜0,n ＞0且m+n ＜0，则-n ，-m ，m ，n 的大小关系是 . 答案 m ＜-n ＜n ＜-m3.已知a ＜0,-1＜b ＜0,那么a,ab,ab 2的大小关系是 . 答案 ab ＞ab 2＞a4.设a=2-5,b=5-2,c=5-25,则a,b,c 的大小关系为 . 答案 a ＜b ＜c5.设甲：m 、n 满足⎩⎨⎧<<<+<,30,42mn n m 乙：m 、n 满足⎩⎨⎧<<<<,32,10n m 那么甲是乙的 条件.答案 必要不充分更多成套系列资源请您访问： 谢谢您对我们的帮助支持！例1 （1）设x ＜y ＜0,试比较(x 2+y 2)(x-y)与(x 2-y 2)(x+y)的大小；（2）已知a,b,c ∈{正实数}，且a 2+b 2=c 2,当n ∈N ,n ＞2时比较c n与a n+b n的大小. 解 （1）方法一 （x 2+y 2）(x-y)-(x 2-y 2)(x+y) =(x-y)［x 2+y 2-(x+y)2］=-2xy(x-y), ∵x ＜y ＜0,∴xy ＞0,x-y ＜0, ∴-2xy(x-y)＞0,∴(x 2+y 2)(x-y)＞(x 2-y 2)(x+y).方法二 ∵x ＜y ＜0,∴x-y ＜0,x 2＞y 2,x+y ＜0. ∴(x 2+y 2)(x-y)＜0,(x 2-y 2)(x+y)＜0, ∴0＜))(())((2222y x y x y x y x +--+=xyy x y x 22222+++＜1,∴(x 2+y 2)(x-y)＞(x 2-y 2)(x+y). (2)∵a,b,c ∈{正实数}，∴a n,b n,c n＞0, 而nn n c b a +=n c a ⎪⎭⎫ ⎝⎛+nc b ⎪⎭⎫⎝⎛.∵a 2+b 2=c 2,则2⎪⎭⎫ ⎝⎛c a +2⎪⎭⎫⎝⎛c b =1,∴0＜c a ＜1,0＜cb＜1. ∵n ∈N ,n ＞2,∴nc a ⎪⎭⎫ ⎝⎛＜2⎪⎭⎫ ⎝⎛c a ,nc b ⎪⎭⎫ ⎝⎛＜2⎪⎭⎫ ⎝⎛c b , ∴nn n c b a +=n c a ⎪⎭⎫ ⎝⎛+nc b ⎪⎭⎫⎝⎛＜222c b a +=1, ∴a n+b n＜c n.例2 已知a 、b 、c 是任意的实数，且a ＞b,则下列不等式恒成立的是 . ①(a+c)4＞(b+c)4②ac 2＞bc 2③lg|b+c|＜lg|a+c| ④(a+c)31＞(b+c) 31 答案 ④例3 （14分）已知-1＜a+b ＜3且2＜a-b ＜4,求2a+3b 的取值范围. 解 设2a+3b=m(a+b)+n(a-b),∴⎩⎨⎧=-=+32n m n m , 4分 ∴m=25,n=-21. 6分 ∴2a+3b=25(a+b)-21(a-b). 7分 ∵-1＜a+b ＜3,2＜a-b ＜4, ∴-25＜25(a+b)＜215,-2＜-21(a-b)＜-1, 10分 ∴-29＜25(a+b)- 21(a-b)＜213, 12分 即-29＜2a+3b ＜213. 14分1.（1）比较x 6+1与x 4+x 2的大小，其中x ∈R ; (2)设a ∈R ,且a ≠0,试比较a 与a1的大小. 解 （1）（x 6+1）-（x 4+x 2） =x 6-x 4-x 2+1=x 4(x 2-1)-(x 2-1) =(x 2-1)(x 4-1)=(x 2-1)(x 2-1)(x 2+1) =(x 2-1)2(x 2+1).当x=±1时，x 6+1=x 4+x 2; 当x ≠±1时，x 6+1＞x 4+x 2. （2）a-a 1=aa 12-=a a a )1)(1(+-当-1＜a ＜0或a ＞1时,a ＞a 1； 当a ＜-1或0＜a ＜1时,a ＜a1； 当a=±1时,a=a1. 2.适当增加不等式条件使下列命题成立： （1）若a ＞b,则ac ≤bc; (2)若ac 2＞bc 2,则a 2＞b 2;(3)若a ＞b,则lg(a+1)＞lg(b+1); (4)若a ＞b,c ＞d,则d a ＞cb ; (5)若a ＞b,则a 1＜b1. 解 （1）原命题改为：若a ＞b 且c ≤0，则ac ≤bc,即增加条件“c ≤0”. (2)由ac 2＞bc 2可得a ＞b,但只有b ≥0时，才有a 2＞b 2,即增加条件“b ≥0”. (3)由a ＞b 可得a+1＞b+1,但作为真数，应有b+1＞0,故应加条件“b ＞-1”. （4）d a ＞cb成立的条件有多种，如a ＞b ＞0,c ＞d ＞0,因此可增加条件“b ＞0,d ＞0”.还可增加条件为“a ＜0,c ＞0,d ＜0”. (5)a 1＜b1成立的条件是a ＞b,ab ＞0或a ＜0,b ＞0, 故增加条件为“ab ＞0”.3.设f(x)=ax 2+bx,1≤f(-1)≤2,2≤f(1)≤4,求f(-2)的取值范围. 解 方法一 设f(-2)=mf(-1)+nf(1) (m,n 为待定系数), 则4a-2b=m(a-b)+n(a+b), 即4a-2b=(m+n)a+(n-m)b,于是得⎩⎨⎧-=-=+24m n n m ,解得⎩⎨⎧==13n m ,∴f(-2)=3f(-1)+f(1). 又∵1≤f(-1)≤2,2≤f(1)≤4, ∴5≤3f(-1)+f(1)≤10, 故5≤f(-2)≤10.方法二 由⎩⎨⎧+=-=-b a f ba f )1()1(,得[][]⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧--=+-=)1()1(21)1()1(21f f b f f a , ∴f(-2)=4a-2b=3f(-1)+f(1). 又∵1≤f(-1)≤2,2≤f(1)≤4,∴5≤3f(-1)+f(1)≤10,故5≤f(-2)≤10.方法三 由⎩⎨⎧≤+≤≤-≤4221b a b a 确定的平面区域如图.当f(-2)=4a-2b 过点A ⎪⎭⎫⎝⎛2123,时,取得最小值4×23-2×21=5, 当f(-2)=4a-2b 过点B(3,1)时, 取得最大值4×3-2×1=10, ∴5≤f(-2)≤10.一、填空题1.已知a,b,c 满足c ＜b ＜a 且ac ＜0，则下列不等式中恒成立的是 （填序号）. ①a b ＞a c ②c a b -＞0 ③c b 2＞ca 2④ac c a -＜0 答案 ①②④2.（2009·姜堰中学高三第四次综合练习）已知存在实数a 满足ab 2＞a ＞ab,则实数b 的取值范围为 . 答案 （-∞，-1）3.(2009·苏、锡、常、镇三检)已知三个不等式：ab ＞0，bc-ad ＞0,a c -bd＞0(其中a,b,c,d 均为实数),用其中两个不等式作为条件,余下的一个不等式作为结论组成一个命题,可组成的正确命题的个数为 个. 答案 34.已知函数f(x)=log 2(x+1),设a ＞b ＞c ＞0,则a a f )(,b b f )(,cc f )(的大小关系为 . 答案a a f )(＜b b f )(＜cc f )( 5.若x ＞y ＞1,且0＜a ＜1,则①a x＜a y;②log a x ＞log a y;③x -a＞y -a;④log x a ＜log y a. 其中不成立的有 个. 答案 3 6.已知a+b ＞0，则2b a +2a b 与a 1+b1的大小关系是 . 答案2b a +2a b ≥a 1+b1 7.给出下列四个命题： ①若a ＞b ＞0,则a 1＞b 1; ②若a ＞b ＞0,则a-a 1＞b-b1;③若a ＞b ＞0,则b a b a 22++＞ba; ④设a,b 是互不相等的正数，则|a-b|+ba -1≥2. 其中正确命题的序号是 .（把你认为正确命题的序号都填上） 答案 ② 二、解答题8.比较a a b b与a b b a（a,b 为不相等的正数）的大小. 解 ab ba b a b a =a a-b b b-a=ba b a -⎪⎭⎫⎝⎛,当a ＞b ＞0时，b a ＞1,a-b ＞0,∴ba b a -⎪⎭⎫⎝⎛＞1；当0＜a ＜b 时，b a ＜1,a-b ＜0,∴ba b a -⎪⎭⎫⎝⎛＞1.综上所述，总有a a b b ＞a b b a.9.已知奇函数f(x)在区间(-∞,+∞)上是单调递减函数,α ,β,γ∈R 且α+β＞0, β+γ＞0, γ+α＞0. 试说明f(α)+f(β)+f(γ)的值与0的关系. 解 由α+β＞0,得α＞-β.∵f(x)在R 上是单调减函数,∴f(α)＜f(-β).又∵f(x)为奇函数,∴f(α)＜-f(β),∴f(α)+f(β)＜0, 同理f(β)+f(γ)＜0,f(γ)+f(α)＜0, ∴f(α)+f(β)+f(γ)＜0.10.某个电脑用户计划使用不超过1 000元的资金购买单价分别为80元、90元的单片软件和盒装磁盘.根据需要，软件至少买3片，磁盘至少买4盒，写出满足上述所有不等关系的不等式. 解 设买软件x 片、磁盘y 盒,则x 、y 满足关系：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧∈∈≥≥≤+y x x x y x 4300019080.11.已知a ＞0,a 2-2ab+c 2=0,bc ＞a 2.试比较a,b,c 的大小. 解 ∵bc ＞a 2＞0,∴b,c 同号. 又a 2+c 2＞0,a ＞0,∴b=ac a 222+＞0,∴c ＞0, 由(a-c)2=2ab-2ac=2a(b-c)≥0,∴b-c ≥0. 当b-c ＞0,即b ＞c 时,由⎪⎭⎪⎬⎫>+=2222a bc a c a b 得a c a 222+·c ＞a 2 (a-c)(2a 2+ac+c 2)＜0.∵a ＞0,b ＞0,c ＞0,∴2a 2+ac+c 2＞0, ∴a-c ＜0,即a ＜c,则a ＜c ＜b ； 当b-c=0,即b=c 时,N + N +∵bc＞a2,∴b2＞a2,即b≠a.又∵a2-2ab+c2=(a-b)2=0 a=b与a≠b矛盾,∴b-c≠0.综上可知:a＜c＜b.§7.2 一元二次不等式及其解法1.下列结论正确的是 .①不等式x2≥4的解集为{x|x≥±2}②不等式x2-9＜0的解集为{x|x＜3}③不等式(x-1)2＜2的解集为{x|1-2＜x＜1+2}④设x1,x2为ax2+bx+c=0的两个实根，且x1＜x2,则不等式ax2+bx+c＜0的解集为{x|x1＜x＜x2} 答案③2.（2007·湖南理）不等式12+-x x ≤0的解集是 . 答案 （-1，2］3.（2008·天津理）已知函数f(x)=⎩⎨⎧≥-<+-,0,1,0,1x x x x 则不等式x+(x+1)·f(x+1)≤1的解集是 .答案 {x|x ≤2-1}4.在R 上定义运算⊗:x ⊗y=x(1-y).若不等式(x-a)⊗(x+a)＜1对任意实数x 成立,则a 的取值范围是 . 答案 -21＜a ＜235.(2008·江苏，4)A={x|(x-1)2＜3x-7}，则A ∩Z 的元素的个数为 . 答案 0例1 解不等式23⎪⎭⎫ ⎝⎛+-352x ≥21(x 2-9)-3x. 解 原不等式可化为-23x 2+25≥21x 2-29-3x, 即2x 2-3x-7≤0.解方程2x 2-3x-7=0,得x=4653±. 所以原不等式的解集为⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧+≤≤-4654346543x x .例2 已知不等式ax 2+bx+c ＞0的解集为(α,β),且0＜α＜β,求不等式cx 2+bx+a ＜0的解集. 解 方法一 由已知不等式的解集为(α，β)可得a ＜0, ∵α，β为方程ax 2+bx+c=0的两根，∴由根与系数的关系可得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>=<+-=00)(αββαa c ab∵a ＜0,∴由②得c ＜0, 则cx 2+bx+a ＜0可化为x 2+x c b +ca＞0, ①÷②得c b =αββα)(+-=-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+βα11＜0, 由②得c a =αβ1=α1·β1＞0, ∴α1、β1为方程x 2+c b x+c a =0的两根. ∵0＜α＜β,∴不等式cx 2+bx+a ＜0的解集为①②⎭⎬⎫⎩⎨⎧><αβ11x x x 或.方法二 由已知不等式解集为(α,β),得a ＜0, 且α，β是ax 2+bx+c=0的两根， ∴α+β=-a b ,αβ=ac, ∴cx 2+bx+a ＜0⇔a c x 2+abx+1＞0 ⇔(αβ)x 2-(α+β)x+1＞0⇔(αx-1)(βx-1)＞0⇔⎪⎭⎫ ⎝⎛-α1x ⎪⎪⎭⎫⎝⎛-β1x ＞0. ∵0＜α＜β,∴α1＞β1,∴x ＜β1或x ＞α1, ∴cx 2+bx+a ＜0的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧><αβ11x x x 或.例3 已知不等式11+-x ax ＞0 (a ∈R ). (1)解这个关于x 的不等式;(2)若x=-a 时不等式成立,求a 的取值范围. 解 (1)原不等式等价于(ax-1)(x+1)＞0. ①当a=0时,由-(x+1)＞0,得x ＜-1;②当a ＞0时,不等式化为⎪⎭⎫ ⎝⎛-a x 1(x+1)＞0,解得x ＜-1或x ＞a1; ③当a ＜0时,不等式化为⎪⎭⎫ ⎝⎛-a x 1(x+1)＜0;若a 1＜-1,即-1＜a ＜0,则a 1＜x ＜-1; 若a1=-1,即a=-1,则不等式解集为空集; 若a 1＞-1,即a ＜-1,则-1＜x ＜a1. 综上所述,a ＜-1时,解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧<<-a x x 11;a=-1时,原不等式无解;-1＜a ＜0时,解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧-<<11x a x ;a=0时,解集为{x|x ＜-1};a ＞0时,解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧><-<a x x x 11或.(2)∵x=-a 时不等式成立,∴112+---a a ＞0,即-a+1＜0,∴a ＞1,即a 的取值范围为a ＞1.例4 （14分）已知f(x)=x 2-2ax+2,当x ∈［-1，+∞）时，f(x)≥a 恒成立，求a 的取值范围. 解 方法一 f(x)=(x-a)2+2-a 2, 此二次函数图象的对称轴为x=a,2分①当a ∈(-∞,-1)时，结合图象知,f （x)在［-1，+∞）上单调递增，f(x)min =f(-1)=2a+3, 4分要使f(x)≥a 恒成立，只需f(x)min ≥a, 即2a+3≥a,解得a ≥-3,又a ＜-1,∴-3≤a ＜-1;6分②当a ∈［-1，+∞）时，f(x)min =f(a)=2-a 2, 8分由2-a 2≥a,解得-2≤a ≤1,又a ≥-1, ∴-1≤a ≤ 1.12分 综上所述，所求a的取值范围为-3≤a≤1.14分方法二 由已知得x 2-2ax+2-a ≥0在［-1，+∞）上恒成立， 4分 即Δ=4a 2-4（2-a ）≤0或⎪⎩⎪⎨⎧≥--<>∆0)1(10f a ,10分 解得-3≤a ≤1.14分1.解下列不等式： （1）-x 2+2x-32＞0;(2)9x 2-6x+1≥0. 解 （1）-x 2+2x-32＞0 ⇔x 2-2x+32＜0 ⇔3x 2-6x+2＜0Δ=12＞0,且方程3x 2-6x+2=0的两根为 x 1=1-33,x 2=1+33, ∴原不等式解集为⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧+<<-331331x x.(2)9x 2-6x+1≥0⇔(3x-1)2≥0. ∴x ∈R ,∴不等式解集为R .2.已知关于x 的不等式（a+b ）x+(2a-3b)＜0的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧-<31x x ，求关于x 的不等式(a-3b)x+(b-2a)＞0的解集.解 ∵（a+b ）x+(2a-3b)＜0的解集是⎭⎬⎫⎩⎨⎧-<31x x ,∴⎪⎩⎪⎨⎧>+=-+⎪⎭⎫⎝⎛-+.0,0)32(31)(b a b a b a 于是a=2b ＞0,b ＞0,不等式(a-3b)x+(b-2a)＞0, 即为-bx-3b ＞0,亦即-bx ＞3b,∴x ＜-3. 故所求不等式的解集为{x|x ＜-3}. 3.解关于x 的不等式2a x a x --＜0 （a ∈R ）.解2a x a x --＜0⇔(x-a)(x-a 2)＜0,①当a=0或a=1时，原不等式的解集为Φ； ②当a ＜0或a ＞1时，a ＜a 2，此时a ＜x ＜a 2; ③当0＜a ＜1时，a ＞a 2，此时a 2＜x ＜a.综上，当a ＜0或a ＞1时，原不等式的解集为{x|a ＜x ＜a 2}； 当0＜a ＜1时，原不等式的解集为{x|a 2＜x ＜a}; 当a=0或a=1时，原不等式的解集为Φ. 4.函数f （x ）=x 2+ax+3.(1)当x ∈R 时,f(x)≥a 恒成立,求a 的取值范围. (2)当x ∈［-2,2］时,f(x)≥a 恒成立,求a 的取值范围. 解 (1)∵x ∈R 时,有x 2+ax+3-a ≥0恒成立, 须Δ=a 2-4(3-a)≤0,即a 2+4a-12≤0,所以-6≤a ≤2.(2)当x ∈［-2,2］时,设g(x)=x 2+ax+3-a ≥0,分如下三种情况讨论(如图所示):①如图(1),当g(x)的图象恒在x 轴上方时,满足条件时,有Δ=a 2-4(3-a)≤0,即-6≤a ≤2. ②如图(2),g(x)的图象与x 轴有交点, 但在x ∈［-2,+∞)时,g(x)≥0,即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥--<-=≥∆0)2(,220g a x即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥-+--<-≥--0324220)3(42a a a a a ⇔⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤>-≤≥37462a a a a 或 解之得a ∈Φ.③如图(3),g(x)的图象与x 轴有交点,但在x ∈(-∞,2］时,g(x)≥0, 即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥>-=≥∆0)2(,220g a x 即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥-++>-≥--0324220)3(42a a a a a ⇔⎪⎩⎪⎨⎧-≥-<-≤≥7462a a a a 或 ⇔-7≤a ≤-6综合①②③得a ∈［-7，2］.一、填空题1.函数y=)1(log 221-x 的定义域是 .答案 ［-2,-1）∪（1，2］2.不等式412--x x ＞0的解集是 . 答案 (-2,1)∪(2,+∞) 3.若(m+1)x 2-(m-1)x+3(m-1)＜0对任何实数x 恒成立，则实数m 的取值范围是 .答案 m ＜-1113 4.若关于x 的不等式：x 2-ax-6a ＜0有解且解区间长不超过5个单位，则a 的取值范围是 .答案 -25≤a ＜-24或0＜a ≤15.(2009·启东质检)已知函数f(x ）的定义域为（-∞，+∞），f ′(x)为f(x)的导函数，函数y=f ′(x)的图象如右图所示，且f(-2)=1,f(3)=1,则不等式f(x 2-6)＞1的解集为 .答案 (2,3)∪(-3,-2)6.不等式组⎪⎩⎪⎨⎧<-<-030122x x x 的解集为 . 答案 {x|0＜x ＜1}7.若不等式2x ＞x 2+a 对于任意的x ∈［-2，3］恒成立，则实数a 的取值范围为 .答案 (-∞,-8)8.已知{x|ax 2-ax+1＜0}=Φ,则实数a 的取值范围为.答案 0≤a ≤4二、解答题9.解关于x 的不等式56x 2+ax-a 2＜0.解 原不等式可化为(7x+a)(8x-a)＜0, 即⎪⎭⎫ ⎝⎛+7a x ⎪⎭⎫ ⎝⎛-8a x ＜0. ①当-7a ＜8a ,即a ＞0时,-7a ＜x ＜8a ; ②当-7a =8a ,即a=0时,原不等式解集为φ; ③当-7a ＞8a ,即a ＜0时, 8a ＜x ＜-7a . 综上知:当a ＞0时,原不等式的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧<<-87a x a x ; 当a=0时,原不等式的解集为Φ;当a ＜0时,原不等式的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧-<<78a x a x . 10.已知x 2+px+q ＜0的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧<<-3121x x ，求不等式qx 2+px+1＞0的解集. 解 ∵x 2+px+q ＜0的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧<<-3121x x , ∴-21,31是方程x 2+px+q=0的两实数根， 由根与系数的关系得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-⨯-=-q p )21(312131,∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-==6161q p ,∴不等式qx 2+px+1＞0可化为-0161612>++x x , 即x 2-x-6＜0,∴-2＜x ＜3,∴不等式qx 2+px+1＞0的解集为{x|-2＜x ＜3}.11.若不等式2x-1＞m(x 2-1)对满足|m|≤2的所有m 都成立，求x 的取值范围.解 方法一 原不等式化为(x 2-1)m-(2x-1)＜0.令f(m)=(x 2-1)m-(2x-1)(-2≤m ≤2).则⎪⎩⎪⎨⎧<---=<----=-.0)12()1(2)2(,0)12()1(2)2(22x x f x x f 解得271+-＜x ＜231+. 方法二 求已知不等式视为关于m 的不等式， （1）若x 2-1=0，即x=±1时，不等式变为2x-1＞0,即x ＞21,∴x=1,此时原不等式恒成立.（2）当x 2-1＞0时，使1122--x x ＞m 对一切|m|≤2恒成立的充要条件是1122--x x ＞2,∴1＜x ＜231+. (3)当x 2-1＜0时，使1122--x x ＜m 对一切|m|≤2恒成立的充要条件是1122--x x ＜-2. ∴271+-＜x ＜1. 由（1）（2）（3）知原不等式的解集为⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧+<<-213217x x . 12.已知函数f(x)=ax 2+a 2x+2b-a 3,当x ∈(-2,6)时，其值为正，而当x ∈(-∞,-2)∪(6,+∞）时，其值为负.（1）求实数a,b 的值及函数f(x)的表达式；（2）设F （x ）=-4k f(x)+4(k+1)x+2(6k-1),问k 取何值时，函数F （x ）的值恒为负值？ 解 (1)由题意可知-2和6是方程f(x)=0的两根， ∴⎪⎩⎪⎨⎧-=⨯-=-=+-=-126224623aa b a ,∴⎩⎨⎧-=-=84b a , ∴f(x)=-4x 2+16x+48. (2)F(x)=-4k (-4x 2+16x+48)+4(k+1)x+2(6k-1) =kx 2+4x-2.当k=0时，F(x)=4x-2不恒为负值；当k ≠0时，若F(x)的值恒为负值，则有⎩⎨⎧<+<08160k k ,解得k ＜-2.§7.3 二元一次不等式（组）与简单的线性规划问题1.已知点A （1，-1），B （5，-3），C （4，-5），则表示△ABC 的边界及其内部的约束条件是 .答案 ⎪⎩⎪⎨⎧≥-+≤--≤++01340132012y x y x y x2.（2008·天津理，2）设变量x ，y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥+≤+≥-,12,1,0y x y x y x 则目标函数z=5x+y 的最大值为 .答案 53.若点（1，3）和（-4，-2）在直线2x+y+m=0的两侧，则m 的取值范围是 .答案 -5＜m ＜104.（2008·北京理）若实数x ，y 满足⎪⎩⎪⎨⎧≤≥+≥+-,0,0,01x y x y x 则z=3x+2y 的最小值是 .答案 15.（2008·福建理）若实数x 、y 满足⎩⎨⎧>≤+-001x y x ，则x y 的取值范围是 . 答案 （1，+∞）例1 画出不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≤≥+≥+-3005x y x y x 表示的平面区域,并回答下列问题:(1)指出x,y 的取值范围;(2)平面区域内有多少个整点?解 (1)不等式x-y+5≥0表示直线x-y+5=0上及右下方的点的集合.x+y ≥0表示直线x+y=0上及右上方的点的集合,x ≤3表示直线x=3上及左方的点的集合.所以,不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≤≥+≥+-3005x y x y x表示的平面区域如图所示.结合图中可行域得x ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡-3,25 ,y ∈［-3,8］. (2)由图形及不等式组知⎩⎨⎧∈≤≤-+≤≤-x x x y x 且,325 当x=3时,-3≤y ≤8,有12个整点;当x=2时,-2≤y ≤7,有10个整点;当x=1时,-1≤y ≤6,有8个整点;当x=0时，0≤y ≤5，有6个整点；当x=-1时,1≤y ≤4,有4个整点;当x=-2时,2≤y ≤3,有2个整点;∴平面区域内的整点共有2+4+6+8+10+12=42(个).例2 （2008·湖南理，3）已知变量x 、y 满足条件⎪⎩⎪⎨⎧≤-+≤-≥,092,0,1y x y x x 则x+y 的最大值是 .答案 6例3 （14分）某工厂生产甲、乙两种产品，计划每天每种产品的生产量不少于15吨，已知生产甲产品1吨，需煤9吨，电力4千瓦时，劳力3个；生产乙产品1吨，需煤4吨，电力5千瓦时，劳力10个；甲产品每吨的利润为7万元，乙产品每吨的利润为12万元；但每天用煤不超过300吨，电力不超过200千瓦时，劳力只有300个.问每天生产甲、乙两种产品各多少吨，才能使利润总额达到最大？解 设每天生产甲、乙两种产品分别为x 吨、y 吨，利润总额为z 万元， 1分则线性约束条件为⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≥≥≤+≤+≤+15153001032005430049y x y x y x y x ， 4分目标函数为z=7x+12y, 8分 作出可行域如图， 10分Z作出一组平行直线7x+12y=t,当直线经过直线4x+5y=200和直线3x+10y=300的交点A(20，24)时，利润最大. 12分 即生产甲、乙两种产品分别为20吨、24吨时，利润总额最大，z max =7×20+12×24=428（万元）.答 每天生产甲产品20吨、乙产品24吨，才能使利润总额达到最大. 14分1.（2008·浙江理，17）若a ≥0，b ≥0，且当⎪⎩⎪⎨⎧≤+≥≥1,0,0y x y x 时，恒有ax+by ≤1，则以a ，b 为坐标的点P （a ，b ）所形成的平面区域的面积等于 .答案 12.（2008·全国Ⅰ理，13）若x ，y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤≤≥+-≥+,30,03,0x y x y x 则z=2x-y 的最大值为 .答案 93.某家具公司制作木质的书桌和椅子两种家具，需要木工和漆工两道工序，已知木工平均四个小时做一把椅子，八个小时做一张书桌，该公司每星期木工最多有8 000个工作时；漆工平均两小时漆一把椅子，一个小时漆一张书桌，该公司每星期漆工最多有1 300个工作时.又已知制作一把椅子和一张书桌的利润分别是15元和20元，根据以上条件，怎样安排生产能获得最大利润？解 依题意设每星期生产x 把椅子，y 张书桌，那么利润p=15x+20y.其中x,y 满足限制条件⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧*∈≥*∈≥≤+≤+y y x x y x y x ,0,030012000884. 即点（x,y ）的允许区域为图中阴影部分，它们的边界分别为4x+8y=8 000(即AB)，2x+y=1 300(即BC)，x=0(即OA)和y=0(即OC ）.对于某一个确定的p=p 0满足p 0=15x+20y,且点（x,y)属于阴影部分的解x,y 就是一个能获得p 0元利润的生产方案.对于不同的p,p=15x+20y 表示一组斜率为-43的平行线，且p 越大，相应的直线位置越高；p 越小，相应的直线位置越低.按题意，要求p 的最大值，需把直线p=15x ＋20y 尽量地往上平移，又考虑到x ，y 的允许范围，N N当直线通过B 点时，处在这组平行线的最高位置，此时p 取最大值.由⎩⎨⎧=+=+30012000884y x y x ,得B （200，900）， 当x=200,y=900时，p 取最大值，即p max =15×200+20×900=21 000,即生产200把椅子、900张书桌可获得最大利润21 000元.一、填空题1.（2008·全国Ⅱ理，5）设变量x,y 满足约束条件:⎪⎩⎪⎨⎧-≥≤+≥,2,22,x y x x y 则z=x-3y 的最小值为 .答案 -82.若不等式组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤+≥≤+≥-,,0,22,0a y x y y x y x 表示的平面区域是一个三角形，则a 的取值范围是 .答案 0＜a ≤1或a ≥34 3.已知平面区域D 由以A （1，3）、B （5，2）、C （3，1）为顶点的三角形内部和边界组成.若在区域D 上有无穷多个点（x ，y ）可使目标函数z=x+my 取得最小值，则m= .答案 14.（2008·山东理）设二元一次不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≤-+≥+-≥-+0142080192y x y x y x ，所表示的平面区域为M,使函数y=a x（a ＞0,a ≠1)的图象过区域M 的a 的取值范围是 .答案 ［2,9］5.如果实数x ，y 满足⎪⎩⎪⎨⎧≥≤-+≤+-102553034x y x y x ,目标函数z=kx+y 的最大值为12，答案 26.（2007·江苏）在平面直角坐标系xOy 中，已知平面区域A={(x,y)|x+y ≤1,且x ≥0,y ≥0},则平面区域B={(x+y,x-y)|(x,y)∈A}的面积为 .答案 17.（2008·安徽理，15）若A 为不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≤-≥≤,2,0,0x y y x 表示的平面区域，则当a 从-2连续变化到1时，动直线x+y=a 扫过A 中的那部分区域的面积为 .答案 478.设集合A={(x,y)|y ≥|x-2|,x ≥0},B={(x,y)|y ≤-x+b},A ∩B ≠φ.(1)b 的取值范围是 ；（2）若(x,y)∈A ∩B,且x+2y 的最大值为9,则b 的值是 .答案 （1）［2,+∞)（2）29 二、解答题 9.已知实数x 、y 满足⎪⎩⎪⎨⎧≤--≥+-≥-+033042022y x y x y x ，试求z=11++x y 的最大值和最小值. 解 由于z=11++x y =)1()1(----x y ， 所以z 的几何意义是点（x,y ）与点M （-1，-1）连线的斜率，因此11++x y 的最值就是点 （x ，y ）与点M （-1，-1）连线的斜率的最值， 结合图可知：直线MB 的斜率最大，直线MC 的斜率最小，即z max =k MB =3，此时x=0，y=2；z min =k MC =21，此时x=1，y=0.10.已知变量x,y 满足的约束条件为⎪⎩⎪⎨⎧≤-≥-+≤-+01033032y y x y x .若目标函数z=ax+y(其中a ＞0)仅在点（3，0）处取得最大值，求a 的取值范围.解 依据约束条件，画出可行域.∵直线x+2y-3=0的斜率k 1=-21,目标函数 z=ax+y(a ＞0)对应直线的斜率k 2=-a,若符合题意，则须k 1＞k 2,即-21＞-a,得a ＞21. 11.两种大小不同的钢板可按下表截成A,B,C 三种规格成品:某建筑工地需A ，B ，C 三种规格的成品分别为15，18，27块，问怎样截这两种钢板，可得所需三种规格成品，且所用钢板张数最小.解 设需要第一种钢板x 张，第二种钢板y 张，钢板总数为z 张，z=x+y约束条件为：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧∈≥∈≥≥+≥+≥+ZZ y y x x y x y x y x ,0,027*******作出可行域如图所示：令z=0，作出基准直线l:y=-x,平行移动直线l 发现在可行域内，经过直线x+3y=27和直线2x+y=15的交点A ⎪⎭⎫ ⎝⎛539,518可使 z 取最小，由于539,518都不是整数，而最优解（x,y ）中，x,y 必须都是整数，可行域内点A ⎪⎭⎫ ⎝⎛539,518不是最优解； 通过在可行域内画网格发现，经过可行域内的整点且与A ⎪⎭⎫ ⎝⎛539,518点距离最近的直线是x+y=12,经过的整点是B(3,9)和C （4，8），它们都是最优解.答 要截得所需三种规格的钢板，且使所截两种钢板的张数最少的方法有两种：第一种截法是截第一种钢板3张，第二种钢板9张；第二种截法是截第一种钢板4张，第二种钢板8张；两种方法都最少要截两种钢板共12张.12.在R 上可导的函数f(x)=31x 3+21ax 2+2bx+c,当x ∈(0,1)时取得极大值,当x ∈(1,2)时取得极小值,求点(a,b)对应的区域 的面积以及12--a b 的取值范围. 解 函数f(x)的导数为f ′(x)=x 2+ax+2b,当x ∈(0,1)时,f(x)取得极大值,当x ∈(1,2)时,f(x)取得极小值,则方程x 2+ax+2b=0有两个根,一个根在区间(0,1)内,另一个根在区间(1,2)内,由二次函数f ′(x)=x 2+ax+2b 的图象与方程x 2+ax+2b=0根的分布之间的关系可以得到⎪⎩⎪⎨⎧>'<'>'0)2(0)1(0)0(f f f ⇒⎪⎩⎪⎨⎧>++<++>020120b a b a b ,在aOb 平面内作出满足约束条件的点(a,b)对应的区域为△ABD(不包括边界),如图阴影部分,其中点A(-3,1),B(-1,0),D(-2,0),△ABD 的面积为S △ABD =21|BD|×h=21(h 为点A 到a 轴的距离). 点C(1,2)与点(a,b)连线的斜率为12--a b , 显然12--a b ∈(k CA ,k CB ),即12--a b ∈⎪⎭⎫ ⎝⎛1,41.§7.4 基本不等式:ab ≤2b a +1.已知a ＞0,b ＞0，a 1+b 3=1，则a+2b 的最小值为 . 答案 7+262.（2009·常州武进区四校高三期中联考）若x,y ∈R +，且x+4y=1,则x ·y 的最大值是 . 答案 161 3.已知x ＞0,y ＞0，x,a,b,y 成等差数列，x,c,d,y 成等比数列，则()cdb a 2+的最小值是 . 答案 44.x+3y-2=0，则3x +27y +1的最小值为 .答案 75.（2008·江苏，11）x,y,z ∈R +，x-2y+3z=0,xz y 2的最小值是 . 答案 3例1 已知x ＞0,y ＞0,z ＞0. 求证：⎪⎭⎫ ⎝⎛+x z x y ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+y z y x ⎪⎭⎫ ⎝⎛+z y z x ≥8. 证明 ∵x ＞0,y ＞0,z ＞0, ∴x y +x z ≥xyz 2＞0, y x +y z ≥y xz 2＞0. z x +z y ≥zxy 2＞0, ∴⎪⎭⎫ ⎝⎛+x z x y ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+y z y x ⎪⎭⎫ ⎝⎛+z y z x ≥xyz xyxz yz ∙∙8=8.（当且仅当x=y=z 时等号成立）例2 （1）已知x ＞0,y ＞0，且x 1+y9=1,求x+y 的最小值； （2）已知x ＜45,求函数y=4x-2+541-x 的最大值； （3）若x,y ∈(0,+∞)且2x+8y-xy=0，求x+y 的最小值.解（1）∵x ＞0,y ＞0,x 1+y9=1, ∴x+y=(x+y)⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+y x 91 =x y +yx 9+10≥6+10=16. 当且仅当x y =y x 9时，上式等号成立， 又x 1+y9=1,∴x=4,y=12时，(x+y)min =16. （2）∵x ＜45,∴5-4x ＞0, ∴y=4x-2+541-x =-⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-x x 45145+3≤-2+3=1, 当且仅当5-4x=x 451-,即x=1时，上式等号成立， 故当x=1时，y max =1.(3)由2x+8y-xy=0,得2x+8y=xy,∴y 2+x8=1, ∴x+y=(x+y)⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+y x 28=10+x y 8+y x 2 =10+2⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+y x x y 4≥10+2×2×y x x y ∙4=18, 当且仅当x y 4=yx ,即x=2y 时取等号， 又2x+8y-xy=0,∴x=12,y=6,∴当x=12,y=6时，x+y 取最小值18.例3 （14分）某造纸厂拟建一座平面图形为矩形且面积为162平方米的三级污水处理池，池的深度一定（平面图如图所示），如果池四周围墙建造单价为400元/米，中间两道隔墙建造单价为248元/米，池底建造单价为80元/米2，水池所有墙的厚度忽略不计.（1）试设计污水处理池的长和宽，使总造价最低，并求出最低总造价；（2）若由于地形限制，该池的长和宽都不能超过16米，试设计污水池的长和宽，使总造价最低，并求出最低总造价.解 （1）设污水处理池的宽为x 米，则长为x 162米. 1分 则总造价f(x)=400×⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯+x x 16222+248×2x+80×162 =1 296x+x1002961⨯+12 960 =1 296⎪⎭⎫ ⎝⎛+x x 100+12 960 4分≥1 296×2x x 100∙+12 960=38 880（元）， 当且仅当x=x 100(x ＞0), 即x=10时取等号. 6分∴当长为16.2米，宽为10米时总造价最低，最低总造价为38 880元. 8分（2）由限制条件知⎪⎩⎪⎨⎧≤<≤<161620160x x ,∴1081≤x ≤16. 10分设g(x)=x+x 100⎪⎭⎫ ⎝⎛≤≤168110x . g （x ）在⎥⎦⎤⎢⎣⎡168110,上是增函数， ∴当x=1081时(此时x 162=16), g(x)有最小值， 12分即f(x)有最小值.1 296×⎪⎭⎫⎝⎛+818008110+12 960=38 882(元).∴当长为16米，宽为1081米时，总造价最低，为38 882元. 14分1.已知,a,b,c 均为正数，且a+b+c=1. 求证：a 1+b 1+c 1≥9.证明 a 1+b 1+c 1= a c b a +++b c ba +++c cb a ++ =3+⎪⎭⎫ ⎝⎛+b a a b +⎪⎭⎫ ⎝⎛+c a a c +⎪⎭⎫⎝⎛+c b b c≥3+2+2+2=9.当且仅当a=b=c=31时取等号.2.若-4＜x ＜1,求22222-+-x x x 的最大值.解 22222-+-x x x =21·()1112-+-x x =21()⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+-111x x =-21()()⎥⎦⎤⎢⎣⎡--+--111x x ∵-4＜x ＜1,∴-(x-1)＞0,()11--x ＞0.从而()()⎥⎦⎤⎢⎣⎡--+--111x x ≥2 -21()()⎥⎦⎤⎢⎣⎡--+--111x x ≤-1 当且仅当-(x-1)= ()11--x ，即x=2（舍）或x=0时取等号. 即max22222⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+-x x x=-1.3.甲、乙两地相距s 千米，汽车从甲地匀速行驶到乙地，速度不超过c 千米/小时，已知汽车每小时的运输成本（以元为单位）由可变部分和固定部分组成：可变部分与速度v(千米/小时）的平方成正比，比例系数为b;固定部分为a 元.（1）把全程运输成本y （元）表示为速度v(千米/小时）的函数，并指出这个函数的定义域；（2）为了使全程运输成本最小，汽车应以多大速度行驶？解 （1）建模：依题意知，汽车从甲地匀速行驶到乙地所用时间为vs ，全程运输成本为y=(a+bv 2) v s =sb ⎪⎭⎫ ⎝⎛+bv a v ,v ∈（0,c ］. （2）依题意，有s,b,a,v 都是正数.因此y=sb ⎪⎭⎫ ⎝⎛+bv a v ≥2s ab ; ①若b a ≤c,则当且仅当v=bv a ⇒v=b a 时,y 取到最小值. ②若ba ≥c,则y 在（0，c ］上单调递减， 所以当v=c 时，y 取到最小值. 综上所述，为了使全程运输成本最小，当b a ≤c 时，行驶速度应该为v=b a ； 当ba ≥c 时，行驶速度应该为v=c.一、填空题1.若不等式x 2+ax+4≥0对一切x ∈（0，1］恒成立，则a 的取值范围是 .答案 a ≥-5 2.（2008·江苏）x,y,z ∈R +，x-2y+3z=0,xz y 2的最小值为 . 答案 33.已知0＜x ＜1，则x(3-3x)取得最大值时x 的值为 .答案 21 4.（2008·栟茶中学模拟）若直线2ax+by-2=0 （a,b ∈R +）平分圆x 2+y 2-2x-4y-6=0，则a 2+b1的最小值是 . 答案 3+225.函数y=log 2x+log x (2x)的值域是 .答案 （-∞，-1］∪［3，+∞） 6.某公司一年购买某种货物400吨，每次都购买x 吨，运费为4万元/次，一年的总存储费用为4x 万元，要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x= 吨.答案 207.（2008·徐州调研）若实数a,b 满足ab-4a-b+1=0 (a ＞1),则(a+1)(b+2)的最小值为 . 答案 278.若a,b 是正常数，a ≠b,x,y ∈(0,+∞)，则xa 2+yb 2≥()y x b a ++2,当且仅当x a =y b 时上式取等号.利用以上结论，可以得到函数f(x)=x 2+ x 219-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛∈210,x 的最小值为 ，取最小值时x 的值为 . 答案 2551 二、解答题 9.（1）已知0＜x ＜34，求x(4-3x)的最大值； （2）点(x,y)在直线x+2y=3上移动，求2x +4y 的最小值.解 （1）已知0＜x ＜34,∴0＜3x ＜4. ∴x(4-3x)=31(3x)(4-3x)≤3122343⎪⎭⎫ ⎝⎛-+x x =34 当且仅当3x=4-3x,即x=32时“=”成立. ∴当x=32时，x(4-3x ）的最大值为34. （2）已知点(x,y)在直线x+2y=3上移动，所以x+2y=3.∴2x +4y ≥2y x 42=2y x 22+=232=42.当且仅当⎪⎩⎪⎨⎧=+=3242y x yx ，即x=23,y=43时“=”成立. ∴当x=23,y=43时，2x +4y 的最小值为42. 10.已知a 、b ∈（0，+∞），且a+b=1,求证：(1)a 2+b 2≥21; (2)21a +21b ≥8; (3)21⎪⎭⎫ ⎝⎛+a a + 21⎪⎭⎫ ⎝⎛+b b ≥225; (4) ⎪⎭⎫ ⎝⎛+a a 1⎪⎭⎫ ⎝⎛+b b 1≥425. 证明 由⎪⎩⎪⎨⎧=+≥+,b a ,ab b a 12 a 、b ∈（0，+∞）， 得ab ≤21⇒ab ≤41⇒ab 1≥4.（当且仅当a=b=21时取等号） (1)∵a 2+b 2=(a+b)2-2ab=1-2ab ≥1-2×41=21， ∴a 2+b 2≥21. (2)∵21a +21b ≥ab 2≥8,∴21a +21b ≥8. (3)由(1)、(2)的结论，知 21⎪⎭⎫ ⎝⎛+a a + 21⎪⎭⎫ ⎝⎛+b b =a 2+b 2+4+21a +21b≥21+4+8=225,∴21⎪⎭⎫ ⎝⎛+a a + 21⎪⎭⎫ ⎝⎛+b b ≥225. (4) ⎪⎭⎫ ⎝⎛+a a 1⎪⎭⎫ ⎝⎛+b b 1=a b +b a +ab+ab 1 =a b +b a +21⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-ab ab +2≥2+2212⎪⎭⎫ ⎝⎛-+2=425. 11.设a ＞0,b ＞0,a+b=1.（1）证明：ab+ab 1≥441; (2)探索猜想，并将结果填在以下括号内：a 2b 2+221b a ≥（ ）；a 3b 3+331b a ≥（ ）；（3）由（1）（2）归纳出更一般的结论，并加以证明.（1）证明 方法一 ab+ab 1≥441⇔4a 2b 2-17ab+4≥0 ⇔(4ab-1)(ab-4)≥0.∵ab=(ab )2≤22⎪⎭⎫ ⎝⎛+b a =41, ∴4ab ≤1，而又知ab ≤41＜4, 因此（4ab-1）(ab-4)≥0成立，故ab+ab 1≥441. 方法二 ab+ab 1=ab+ab ⋅241+ab⋅2415， ∵ab ≤22⎪⎭⎫ ⎝⎛+b a =41，∴ab 1≥4，∴ab⋅2415≥415. 当且仅当a=b=21时取等号. 又ab+ab ∙241≥2ab ab ∙∙241=21， 当且仅当ab=ab ⋅241，即ab 1=4,a=b=21时取等号.故ab+ab 1≥42+415=441 （当且仅当a=b=21时，等号成立）. （2）解 猜想：当a=b=21时， 不等式a 2b 2+221b a ≥( )与a 3b 3+331b a ≥( )取等号，故在括号内分别填16161与64641. （3）解 由此得到更一般性的结论：a nb n +n n b a 1≥4n +n 41.证明如下：∵ab ≤22⎪⎭⎫ ⎝⎛+b a =41,∴ab 1≥4. ∴a n b n +n n b a 1=a n b n +n n n b a ⋅241+n n n n b a ⋅-22414 ≥2n n n n n b a b a ⋅⋅241+n n 22414-×4n =n 42+n n 4142-=4n +n 41，当且仅当ab=41,即a=b=21时取等号. 12.某工厂统计资料显示，产品次品率p 与日产量x(单位：件，x ∈N *，1≤x ≤96)的关系如下：又知每生产一件正品盈利a(a 为正常数)元，每生产一件次品就损失3a 元. （注：次品率p=产品总数次品个数×100%，正品率=1-p) （1）将该厂日盈利额T （元）表示为日产量x 的函数；（2）为了获得最大盈利，该厂的日产量应定为多少件？解 （1）依题意可知：p=x-1003(1≤x ≤96,x ∈N *), 日产量x 件中次品有xp 件，正品有x-px 件，日盈利额T=a(x-px)-3a px=a ⎪⎭⎫ ⎝⎛--x x x 1004. (2)∵T=a ⎪⎭⎫ ⎝⎛--x x x 1004=a ()⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+--x x x 1004001004 =a ⎪⎭⎫ ⎝⎛--+x x 1004004=a ()⎥⎦⎤⎢⎣⎡----x x 100400100104 ≤a(104-2400)=64a ，所以当100-x=20，即x=80时，T 最大.因此日产量为80件时，日盈利额T 取最大值.单元检测七一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分）1.已知集合M={x|x 2＜4},N={x|x 2-2x-3＜0},则集合M ∩N= .答案 {x|-1＜x ＜2}2.已知a ＞0,b ＞0,a,b 的等差中项是21，且m=a+a 1,n=b+b 1，则m+n 的最小值是 . 答案 5当且仅当a=b=21时取等号. 3.已知x ＞45，则函数y=4x+541-x 的最小值为 . 4.若x,y 是正数，则221⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+y x +221⎪⎭⎫ ⎝⎛+x y 的最小值是 . 答案 45.（2009·东海高级中学高三调研）函数y=a 1-x (a ＞0,a ≠1)的图象恒过定点A ，若点A 在直线mx+ny-1=0 (mn ＞0)上，则m 1+n1 的最小值为 .答案 46.设函数f(x)=()()⎪⎩⎪⎨⎧≥+<23222x x x x x，若f(x 0)＞1,则x 0的取值范围是 .答案 (0,2)∪(3,+∞)7.若不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≤≤≥≥+-2005x a y y x 表示的平面区域是一个三角形，则a 的取值范围是 .答案 5≤a ＜78.一批救灾物资随26辆汽车从某市以v km/h 的速度匀速直达400 km 外的灾区，为了安全起见，两辆汽车的间距不得小于220⎪⎭⎫ ⎝⎛v km,则这批物资全部运送到灾区最少需 h. 答案 109.函数f(x)=()()⎩⎨⎧≤->111x x x ，则不等式xf(x)-x ≤2的解集为 . 答案 ［-1，2］ 10.（2008·江西文）已知函数f(x)=2x 2+(4-m)x+4-m,g(x)=mx ，若对于任一实数x,f(x)与g(x)的值至少有一个为正数，则实数m 的取值范围是 .答案 （-∞，4）11.若方程x 2-2ax+4=0在区间（1，2］上有且仅有一个根，则实数a 的取值范围是 . 答案 ⎪⎭⎫⎢⎣⎡252, 12.（2008·苏中三市质检）若不等式x 2-2ax+a ＞0对x ∈R 恒成立，则关于t 的不等式a 2t+1＜a 322-+t t 的解集为 .答案 (-2,2)13.已知⎪⎩⎪⎨⎧≥+-≤--≥-+052053052y x y x y x ，则(x+1)2+(y+1)2的最小值和最大值分别是 .答案 13,4114.对于0≤m ≤4的m ，不等式x 2+mx ＞4x+m-3恒成立，则x 的取值范围是 .答案 x ＜-1或x ＞3解析 ∵x 2-4x+3+m(x-1)＞0,即(x-1)(x-3+m)＞0对0≤m ≤4恒成立，∴()⎩⎨⎧-=-<<13,1min m x x 或()⎩⎨⎧=->>.33,1max m x x∴x ＜-1或x ＞3.二、解答题（本大题共6小题，共90分）15.（2008·石家庄模拟）（14分）已知a =(1,x),b =(x 2+x,-x),m 为常数且m ≤-2,求使不等式a ·b +2＞m ⎪⎭⎫ ⎝⎛+⋅12b a 成立的x 的范围.解 ∵a =（1，x ），b =（x 2+x ，-x ），∴a ·b =x 2+x-x 2=x. 由a ·b +2＞m ⎪⎭⎫ ⎝⎛+⋅12b a ⇔x+2＞m ⎪⎭⎫ ⎝⎛+12x ⇔(x+2)-m x x 2+＞0⇔x(x+2)(x-m)＞0(m ≤-2).①当m=-2时，原不等式⇔x(x+2)2＞0⇔x ＞0;②当m ＜-2时，原不等式⇔m ＜x ＜-2或x ＞0.综上，得m=-2时，x 的取值范围是（0，+∞）；m ＜-2时，x 的取值范围是（m ，-2）∪（0，+∞）.16.(2008·苏南四市模拟)（14分）甲、乙两公司同时开发同一种新产品，经测算，对于函数f(x),g(x)以及任意的x ≥0，当甲公司投入x 万元做宣传时，若乙公司投入的宣传费小于f(x)万元，则乙公司对这一新产品的开发有失败的风险，否则没有失败的风险；当乙公司投入x 万元做宣传时，若甲公司投入的宣传费小于g(x)万元，则甲公司这一新产品的开发有失败的风险，否则没有失败的风险.（1）试解释f(0)=10,g(0)=20的实际意义；（2）设f(x)= 41x+10,g(x)=x +20，甲、乙两公司为了避免恶性竞争，经过协商，同意在双方均无失败风险的情况下尽可能少地投入宣传费用，问甲、乙两公司各应投入多少宣传费？解 （1）f(0)=10表示当甲公司不投入宣传费时，乙公司要避免新产品的开发有失败的风险，至少要投入10万元宣传费；g （0）=20表示当乙公司不投入宣传费时，甲公司要避免新产品的开发有失败的风险，至少要投入20万元宣传费.（2）设甲公司投入宣传费x 万元，乙公司投入宣传费y 万元，依题意，当且仅当()()⎪⎩⎪⎨⎧+=≥+=≥201041y y g x ,x x f y 时， 双方均无失败的风险.由①②得y ≥41(y +20)+10,即4y-y -60≥0, 即(y -4)(4y +15)≥0. ∵y ≥0,∴4y +15＞0. ∴y ≥4.∴y ≥16.∴x ≥y +20≥4+20=24.∴x min =24,y min =16,即在双方均无失败风险的情况下，甲公司至少要投入24万元，乙公司至少要投入16万元.17.（14分）函数f(x)对一切实数x,y 均有f(x+y)-f(y)=(x+2y+1)x 成立，且f(1)=0.（1）求f(0);(2)求f(x);(3)不等式f(x)＞ax-5当0＜x ＜2时恒成立，求a 的取值范围.解 （1）令x=1,y=0,得f(1+0)-f(0)=(1+2×0+1)·1=2,∴f(0)=f(1)-2=-2.(2)令y=0,f(x+0)-f(0)=(x+2×0+1)·x=x 2+x,∴f(x)=x 2+x-2.(3)f(x)＞ax-5化为x 2+x-2＞ax-5, ① ②ax ＜x 2+x+3,∵x ∈(0,2),∴a ＜x x x 32++=1+x+x 3. 当x ∈(0,2)时，1+x+x 3≥1+23,当且仅当x=x 3,即x=3时取等号，由3∈(0,2)，得m i n31⎪⎭⎫ ⎝⎛++x x =1+23. ∴a ＜1+23.18.（16分）设f(x)是定义域为（-∞，0）∪（0，+∞）上的奇函数且在（-∞,0）上为增函数.（1）若m ·n ＜0,m+n ≤0,求证：f(m)+f(n)≤0;(2)若f(1)=0,解关于x 的不等式f(x 2-2x-2)＞0.（1）证明 ∵m ·n ＜0,m+n ≤0，∴m 、n 一正一负.不妨设m ＞0,n ＜0,则n ≤-m ＜0.取n=-m ＜0,∵函数f(x)在（-∞,0）上为增函数，则f(n)=f(-m)；取n ＜-m ＜0，同理f(n)＜f(-m)∴f(n)≤f （-m ）.又函数f(x)在（-∞,0）∪(0,+∞)上为奇函数，∴f(-m)=-f(m).∴f(n)+f(m)≤0.（2）解 ∵f （1）=0，f(x)在（-∞,0）∪(0,+∞)上为奇函数，∴f(-1)=0，∴原不等式可化为()()⎪⎩⎪⎨⎧>-->--12202222f x x f x x 或()()⎪⎩⎪⎨⎧->--<--12202222f x x f x x . 易证：f(x)在（0,+∞）上为增函数.∴⎪⎩⎪⎨⎧>-->--12202222x x x x 或⎪⎩⎪⎨⎧->--<--12202222x x x x . ∴x 2-2x-3＞0或⎪⎩⎪⎨⎧>--<--01202222x x x x . 解得x ＞3或x ＜-1或⎪⎩⎪⎨⎧-<+>+<<-21213131x x x 或.∴不等式的解集为（-∞，-1）∪（1-3，1-2）∪（1+2，1+3）∪（3，+∞）.19.（16分）某厂家拟在2008年举行促销活动，经调查测算，该产品的年销售量（即该厂的年产量）x 万件与年促销费用m 万元（m ≥0）满足x=3-1+m k (k 为常数)，如果不搞促销活动，则该产品的年销售量只能是1万件.已知2008年生产该产品的固定投入为8万元，每生产1万件该产品需要再投入16万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品年平均成本的1.5倍（产品成本包括固定投入和再投入两部分资金).（1）将2008年该产品的利润y 万元表示为年促销费用m 万元的函数；（2）该厂家2008年的促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大. 解 （1）由题意可知当m=0时，x=1（万件）,∴1=3-k ⇒k=2.∴x=3-12+m . 每件产品的销售价格为1.5×x x 168+(元)， ∴2008年的利润y=x ·⎪⎭⎫ ⎝⎛+⨯x x .16851-(8+16x+m) =4+8x-m=4+8⎪⎭⎫ ⎝⎛+-123m -m =-()⎥⎦⎤⎢⎣⎡+++1116m m +29(m ≥0). （2）∵m ≥0时，116+m +(m+1)≥216=8, ∴y ≤-8+29=21,当且仅当116+m =m+1⇒m=3(万元）时，y max =21(万元）. 20.（16分）已知点M （x 1,f(x 1)）是函数f(x)=x 1,x ∈(0,+∞)图象C 上的一点，记曲线C 在点M 处的切线为l.（1）求切线l 的方程；（2）设l 与x 轴，y 轴的交点分别为A 、B ，求△AOB 周长的最小值. 解 （1）f ′(x)=-21x ,∴k=f ′(x 1)=-211x . ∴切线方程为y-11x =-211x (x-x 1), 即y=-211x x+12x . (2)在y=-211x x+12x 中，令y=0得x=2x 1, ∴A(2x 1,0).令x=0，得y=12x ,∴B ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛12,0x . ∴△AOB 的周长m=2x 1+12x +21212)2(⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+x x . ∴m=2⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+++21211111x x x x ,x 1∈(0,+∞). 令t=x 1+11x ,∵x 1∈(0,+∞),∴t ≥2. ∴当t=2，即x 1=1时，m 最小=2(2+2).故△AOB 周长的最小值是4+22.。

第七编 不等式§7.1 不等关系与不等式1.已知-1＜a ＜0,那么-a,-a3,a2的大小关系是 . 答案 -a ＞a2＞-a32.若m ＜0,n ＞0且m+n ＜0，则-n ，-m ，m ，n 的大小关系是 . 答案 m ＜-n ＜n ＜-m3.已知a ＜0,-1＜b ＜0,那么a,ab,ab2的大小关系是 . 答案 ab ＞ab2＞a4.设a=2-5,b=5-2,c=5-25,则a,b,c 的大小关系为 . 答案 a ＜b ＜c5.设甲：m 、n 满足⎩⎨⎧<<<+<,30,42mn n m 乙：m 、n 满足⎩⎨⎧<<<<,32,10n m 那么甲是乙的 条件.答案 必要不充分例1 （1）设x ＜y ＜0,试比较(x2+y2)(x-y)与(x2-y2)(x+y)的大小；（2）已知a,b,c ∈{正实数}，且a2+b2=c2,当n ∈N,n ＞2时比较cn 与an+bn 的大小. 解 （1）方法一 （x2+y2）(x-y)-(x2-y2)(x+y) =(x-y)［x2+y2-(x+y)2］=-2xy(x-y), ∵x ＜y ＜0,∴xy ＞0,x-y ＜0, ∴-2xy(x-y)＞0,∴(x2+y2)(x-y)＞(x2-y2)(x+y).方法二 ∵x ＜y ＜0,∴x-y ＜0,x2＞y2,x+y ＜0. ∴(x2+y2)(x-y)＜0,(x2-y2)(x+y)＜0,∴0＜))(())((2222y x y x y x y x +--+=xy y x y x 22222+++＜1,∴(x2+y2)(x-y)＞(x2-y2)(x+y).(2)∵a,b,c ∈{正实数}，∴an,bn,cn ＞0,而nnn c b a +=nc a ⎪⎭⎫ ⎝⎛+nc b ⎪⎭⎫ ⎝⎛.∵a2+b2=c2,则2⎪⎭⎫ ⎝⎛c a +2⎪⎭⎫ ⎝⎛c b =1,∴0＜c a ＜1,0＜c b＜1.∵n ∈N,n ＞2,∴nc a ⎪⎭⎫ ⎝⎛＜2⎪⎭⎫ ⎝⎛c a ,nc b ⎪⎭⎫ ⎝⎛＜2⎪⎭⎫ ⎝⎛c b ,∴nnn c b a +=n c a ⎪⎭⎫ ⎝⎛+nc b ⎪⎭⎫ ⎝⎛＜222c b a +=1,∴an+bn ＜cn.例2 已知a 、b 、c 是任意的实数，且a ＞b,则下列不等式恒成立的是 . ①(a+c)4＞(b+c)4 ②ac2＞bc2 ③lg|b+c|＜lg|a+c| ④(a+c)31＞(b+c)31答案 ④例3 （14分）已知-1＜a+b ＜3且2＜a-b ＜4,求2a+3b 的取值范围. 解 设2a+3b=m(a+b)+n(a-b),∴⎩⎨⎧=-=+32n m n m , 4分∴m=25,n=-21. 6分 ∴2a+3b=25(a+b)-21(a-b). 7分∵-1＜a+b ＜3,2＜a-b ＜4,∴-25＜25(a+b)＜215,-2＜-21(a-b)＜-1, 10分 ∴-29＜25(a+b)- 21(a-b)＜213, 12分 即-29＜2a+3b ＜213. 14分1.（1）比较x6+1与x4+x2的大小，其中x ∈R;(2)设a ∈R,且a ≠0,试比较a 与a 1的大小.解 （1）（x6+1）-（x4+x2） =x6-x4-x2+1=x4(x2-1)-(x2-1) =(x2-1)(x4-1)=(x2-1)(x2-1)(x2+1) =(x2-1)2(x2+1).当x=±1时，x6+1=x4+x2; 当x ≠±1时，x6+1＞x4+x2.（2）a-a 1=a a 12-=a a a )1)(1(+-当-1＜a ＜0或a ＞1时,a ＞a 1； 当a ＜-1或0＜a ＜1时,a ＜a 1； 当a=±1时,a=a 1.2.适当增加不等式条件使下列命题成立： （1）若a ＞b,则ac ≤bc; (2)若ac2＞bc2,则a2＞b2; (3)若a ＞b,则lg(a+1)＞lg(b+1);(4)若a ＞b,c ＞d,则d a ＞c b; (5)若a ＞b,则a 1＜b 1.解 （1）原命题改为：若a ＞b 且c ≤0，则ac ≤bc,即增加条件“c ≤0”. (2)由ac2＞bc2可得a ＞b,但只有b ≥0时，才有a2＞b2,即增加条件“b ≥0”. (3)由a ＞b 可得a+1＞b+1,但作为真数，应有b+1＞0,故应加条件“b ＞-1”.（4）d a ＞c b成立的条件有多种，如a ＞b ＞0,c ＞d ＞0,因此可增加条件“b ＞0,d ＞0”.还可增加条件为“a ＜0,c ＞0,d ＜0”.(5) a 1＜b 1成立的条件是a ＞b,ab ＞0或a ＜0,b ＞0,故增加条件为“ab ＞0”.3.设f(x)=ax2+bx,1≤f(-1)≤2,2≤f(1)≤4,求f(-2)的取值范围. 解 方法一 设f(-2)=mf(-1)+nf(1) (m,n 为待定系数), 则4a-2b=m(a-b)+n(a+b), 即4a-2b=(m+n)a+(n-m)b,于是得⎩⎨⎧-=-=+24m n n m ,解得⎩⎨⎧==13n m ,∴f(-2)=3f(-1)+f(1).又∵1≤f(-1)≤2,2≤f(1)≤4, ∴5≤3f(-1)+f(1)≤10, 故5≤f(-2)≤10.方法二 由⎩⎨⎧+=-=-b a f b a f )1()1(, 得[][]⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧--=+-=)1()1(21)1()1(21f f b f f a ,∴f(-2)=4a-2b=3f(-1)+f(1).又∵1≤f(-1)≤2,2≤f(1)≤4,∴5≤3f(-1)+f(1)≤10,故5≤f(-2)≤10.方法三 由⎩⎨⎧≤+≤≤-≤4221b a b a 确定的平面区域如图.当f(-2)=4a-2b 过点A ⎪⎭⎫ ⎝⎛2123,时, 取得最小值4×23-2×21=5,当f(-2)=4a-2b 过点B(3,1)时, 取得最大值4×3-2×1=10, ∴5≤f(-2)≤10.一、填空题1.已知a,b,c 满足c ＜b ＜a 且ac ＜0，则下列不等式中恒成立的是 （填序号）.①a b ＞a c ②c a b -＞0 ③c b 2＞c a 2④ac c a -＜0答案 ①②④2.（2009·姜堰中学高三第四次综合练习）已知存在实数a 满足ab2＞a ＞ab,则实数b 的取值范围为 . 答案 （-∞，-1）3.(2009·苏、锡、常、镇三检)已知三个不等式：ab ＞0，bc-ad ＞0, a c -b d＞0(其中a,b,c,d 均为实数),用其中两个不等式作为条件,余下的一个不等式作为结论组成一个命题,可组成的正确命题的个数为 个. 答案 34.已知函数f(x)=log2(x+1),设a ＞b ＞c ＞0,则a a f )(,b b f )(,c c f )(的大小关系为 . 答案 a a f )(＜b b f )(＜c c f )(5.若x ＞y ＞1,且0＜a ＜1,则①ax ＜ay;②logax ＞logay;③x-a ＞y-a;④logxa ＜logya. 其中不成立的有 个. 答案 36.已知a+b ＞0，则2b a +2a b与a 1+b 1的大小关系是 . 答案 2b a +2a b≥a 1+b 17.给出下列四个命题：①若a ＞b ＞0,则a 1＞b 1; ②若a ＞b ＞0,则a-a 1＞b-b 1; ③若a ＞b ＞0,则b a b a 22++＞b a;④设a,b 是互不相等的正数，则|a-b|+b a -1≥2.其中正确命题的序号是 .（把你认为正确命题的序号都填上） 答案 ② 二、解答题8.比较aabb 与abba （a,b 为不相等的正数）的大小.解 ab ba b a b a =aa-bbb-a=ba b a -⎪⎭⎫ ⎝⎛,当a ＞b ＞0时，b a ＞1,a-b ＞0,∴ba b a -⎪⎭⎫ ⎝⎛＞1；当0＜a ＜b 时，b a ＜1,a-b ＜0,∴ba b a -⎪⎭⎫ ⎝⎛＞1.综上所述，总有aabb ＞abba.9.已知奇函数f(x)在区间(-∞,+∞)上是单调递减函数,α ,β,γ∈R 且α+β＞0, β+γ＞0, γ+α＞0.试说明f(α)+f(β)+f(γ)的值与0的关系. 解 由α+β＞0,得α＞-β.∵f(x)在R 上是单调减函数,∴f(α)＜f(-β). 又∵f(x)为奇函数,∴f(α)＜-f(β),∴f(α)+f(β)＜0, 同理f(β)+f(γ)＜0,f(γ)+f(α)＜0, ∴f(α)+f(β)+f(γ)＜0.10.某个电脑用户计划使用不超过1 000元的资金购买单价分别为80元、90元的单片软件和盒装磁盘.根据需要，软件至少买3片，磁盘至少买4盒，写出满足上述所有不等关系的不等式. 解 设买软件x 片、磁盘y 盒,则x 、y 满足关系：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧∈∈≥≥≤+y x x x y x 4300019080.11.已知a ＞0,a2-2ab+c2=0,bc ＞a2.试比较a,b,c 的大小.解 ∵bc ＞a2＞0,∴b,c 同号.又a2+c2＞0,a ＞0,∴b=a c a 222+＞0,∴c ＞0,由(a-c)2=2ab-2ac=2a(b-c)≥0,∴b-c ≥0. 当b-c ＞0,即b ＞c 时,由⎪⎭⎪⎬⎫>+=2222abc a c a b 得a c a 222+·c ＞a2 即(a-c)(2a2+ac+c2)＜0.∵a ＞0,b ＞0,c ＞0,∴2a2+ac+c2＞0, ∴a-c ＜0,即a ＜c,则a ＜c ＜b ； 当b-c=0,即b=c 时,∵bc ＞a2,∴b2＞a2,即b ≠a.又∵a2-2ab+c2=(a-b)2=0⇒a=b 与a ≠b 矛盾, ∴b-c ≠0.综上可知:a ＜c ＜b.§7.2 一元二次不等式及其解法1.下列结论正确的是 .①不等式x2≥4的解集为{x|x ≥±2}N + N +②不等式x2-9＜0的解集为{x|x ＜3}③不等式(x-1)2＜2的解集为{x|1-2＜x ＜1+2}④设x1,x2为ax2+bx+c=0的两个实根，且x1＜x2,则不等式ax2+bx+c ＜0的解集为{x|x1＜x ＜x2} 答案 ③2.（2007·湖南理）不等式12+-x x ≤0的解集是 .答案 （-1，2］3.（2008·天津理）已知函数f(x)=⎩⎨⎧≥-<+-,0,1,0,1x x x x 则不等式x+(x+1)·f(x+1)≤1的解集是 .答案 {x|x ≤2-1}4.在R 上定义运算⊗:x ⊗y=x(1-y).若不等式(x-a)⊗(x+a)＜1对任意实数x 成立,则a 的取值范围是 .答案 -21＜a ＜235.(2008·江苏，4)A={x|(x-1)2＜3x-7}，则A ∩Z 的元素的个数为 . 答案 0例1 解不等式23⎪⎭⎫ ⎝⎛+-352x ≥21(x2-9)-3x. 解 原不等式可化为-23x2+25≥21x2-29-3x,即2x2-3x-7≤0.解方程2x2-3x-7=0,得x=4653±.所以原不等式的解集为⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧+≤≤-4654346543x x .例2 已知不等式ax2+bx+c ＞0的解集为(α,β),且0＜α＜β,求不等式cx2+bx+a ＜0的解集. 解 方法一 由已知不等式的解集为(α，β)可得a ＜0, ∵α，β为方程ax2+bx+c=0的两根，∴由根与系数的关系可得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>=<+-=00)(αββαac a b∵a ＜0,∴由②得c ＜0,① ②则cx2+bx+a ＜0可化为x2+c +c ＞0,①÷②得c b =αββα)(+-=-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+βα11＜0, 由②得c a =αβ1=α1·β1＞0,∴α1、β1为方程x2+c b x+c a=0的两根.∵0＜α＜β,∴不等式cx2+bx+a ＜0的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧><αβ11x x x 或. 方法二 由已知不等式解集为(α,β),得a ＜0, 且α，β是ax2+bx+c=0的两根，∴α+β=-a b ,αβ=a c,∴cx2+bx+a ＜0⇔a c x2+a bx+1＞0⇔(αβ)x2-(α+β)x+1＞0⇔(αx-1)(βx-1)＞0 ⇔⎪⎭⎫ ⎝⎛-α1x ⎪⎪⎭⎫⎝⎛-β1x ＞0.∵0＜α＜β,∴α1＞β1,∴x ＜β1或x ＞α1,∴cx2+bx+a ＜0的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧><αβ11x x x 或. 例3 已知不等式11+-x ax ＞0 (a ∈R).(1)解这个关于x 的不等式;(2)若x=-a 时不等式成立,求a 的取值范围. 解 (1)原不等式等价于(ax-1)(x+1)＞0. ①当a=0时,由-(x+1)＞0,得x ＜-1;②当a ＞0时,不等式化为⎪⎭⎫ ⎝⎛-a x 1(x+1)＞0, 解得x ＜-1或x ＞a 1;③当a ＜0时,不等式化为⎭⎝a (x+1)＜0; 若a 1＜-1,即-1＜a ＜0,则a 1＜x ＜-1; 若a 1=-1,即a=-1,则不等式解集为空集; 若a 1＞-1,即a ＜-1,则-1＜x ＜a 1.综上所述,a ＜-1时,解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧<<-a x x 11;a=-1时,原不等式无解;-1＜a ＜0时,解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧-<<11x a x ; a=0时,解集为{x|x ＜-1};a ＞0时,解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧><-<a x x x 11或.(2)∵x=-a 时不等式成立,∴112+---a a ＞0,即-a+1＜0,∴a ＞1,即a 的取值范围为a ＞1.例4 （14分）已知f(x)=x2-2ax+2,当x ∈［-1，+∞）时，f(x)≥a 恒成立，求a 的取值范围. 解 方法一 f(x)=(x-a)2+2-a2, 此二次函数图象的对称轴为x=a, 2分①当a ∈(-∞,-1)时，结合图象知,f （x)在［-1，+∞）上单调递增，f(x)min=f(-1)=2a+3, 4分要使f(x)≥a 恒成立，只需f(x)min ≥a, 即2a+3≥a,解得a ≥-3,又a ＜-1,∴-3≤a ＜-1; 6分 ②当a ∈［-1，+∞）时，f(x)min=f(a)=2-a2, 8分由2-a2≥a,解得-2≤a ≤1,又a ≥-1, ∴-1≤a ≤ 1. 12分综上所述，所求a 的取值范围为-3≤a ≤ 1. 14分方法二 由已知得x2-2ax+2-a ≥0在［-1，+∞）上恒成立， 4分即Δ=4a2-4（2-a ）≤0或⎪⎩⎪⎨⎧≥--<>∆0)1(10f a ,10分解得-3≤a ≤ 1.14分1.解下列不等式：（1）-x2+2x-32＞0;(2)9x2-6x+1≥0. 解 （1）-x2+2x-32＞0 ⇔x2-2x+32＜0⇔3x2-6x+2＜0Δ=12＞0,且方程3x2-6x+2=0的两根为x1=1-33,x2=1+33,∴原不等式解集为⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧+<<-331331x x . (2)9x2-6x+1≥0⇔(3x-1)2≥0.∴x ∈R,∴不等式解集为R.2.已知关于x 的不等式（a+b ）x+(2a-3b)＜0的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧-<31x x ，求关于x 的不等式(a-3b)x+(b-2a)＞0的解集.解 ∵（a+b ）x+(2a-3b)＜0的解集是⎭⎬⎫⎩⎨⎧-<31x x , ∴⎪⎩⎪⎨⎧>+=-+⎪⎭⎫⎝⎛-+.0,0)32(31)(b a b a b a于是a=2b ＞0,b ＞0,不等式(a-3b)x+(b-2a)＞0, 即为-bx-3b ＞0,亦即-bx ＞3b,∴x ＜-3. 故所求不等式的解集为{x|x ＜-3}.3.解关于x 的不等式2a x ax --＜0 （a ∈R ）.解 2a x ax --＜0⇔(x-a)(x-a2)＜0,①当a=0或a=1时，原不等式的解集为Φ； ②当a ＜0或a ＞1时，a ＜a2，此时a ＜x ＜a2; ③当0＜a ＜1时，a ＞a2，此时a2＜x ＜a.综上，当a ＜0或a ＞1时，原不等式的解集为{x|a ＜x ＜a2}； 当0＜a ＜1时，原不等式的解集为{x|a2＜x ＜a}; 当a=0或a=1时，原不等式的解集为Φ. 4.函数f （x ）=x2+ax+3.(1)当x ∈R 时,f(x)≥a 恒成立,求a 的取值范围.(2)当x ∈［-2,2］时,f(x)≥a 恒成立,求a 的取值范围. 解 (1)∵x ∈R 时,有x2+ax+3-a ≥0恒成立,须Δ=a2-4(3-a)≤0,即a2+4a-12≤0,所以-6≤a ≤2.(2)当x ∈［-2,2］时,设g(x)=x2+ax+3-a ≥0,分如下三种情况讨论(如图所示):①如图(1),当g(x)的图象恒在x 轴上方时,满足条件时,有Δ=a2-4(3-a)≤0,即-6≤a ≤2. ②如图(2),g(x)的图象与x 轴有交点, 但在x ∈［-2,+∞)时,g(x)≥0,即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥--<-=≥∆0)2(,220g a x 即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥-+--<-≥--0324220)3(42a a aa a ⇔⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤>-≤≥37462a a a a 或解之得a ∈Φ.③如图(3),g(x)的图象与x 轴有交点, 但在x ∈(-∞,2］时,g(x)≥0,即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥>-=≥∆0)2(,220g a x 即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥-++>-≥--0324220)3(42a a a a a ⇔⎪⎩⎪⎨⎧-≥-<-≤≥7462a a a a 或⇔-7≤a ≤-6综合①②③得a ∈［-7，2］.一、填空题1.函数y=)1(log 221-x 的定义域是 .答案 ［-2,-1）∪（1，2］2.不等式412--x x ＞0的解集是 . 答案 (-2,1)∪(2,+∞)3.若(m+1)x2-(m-1)x+3(m-1)＜0对任何实数x 恒成立，则实数m 的取值范围是 .答案 m ＜-11134.若关于x 的不等式：x2-ax-6a ＜0有解且解区间长不超过5个单位，则a 的取值范围是 . 答案 -25≤a ＜-24或0＜a ≤15.(2009·启东质检)已知函数f(x ）的定义域为（-∞，+∞），f ′(x)为f(x)的导函数，函数y=f ′(x)的图象如右图所示， 且f(-2)=1,f(3)=1,则不等式f(x2-6)＞1的解集为 . 答案 (2,3)∪(-3,-2)6.不等式组⎪⎩⎪⎨⎧<-<-030122x x x 的解集为 .答案 {x|0＜x ＜1}7.若不等式2x ＞x2+a 对于任意的x ∈［-2，3］恒成立，则实数a 的取值范围为 . 答案 (-∞,-8)8.已知{x|ax2-ax+1＜0}=Φ,则实数a 的取值范围为 . 答案 0≤a ≤4 二、解答题9.解关于x 的不等式56x2+ax-a2＜0. 解 原不等式可化为(7x+a)(8x-a)＜0,即⎪⎭⎫ ⎝⎛+7a x ⎪⎭⎫ ⎝⎛-8a x ＜0.①当-7a ＜8a ,即a ＞0时,-7a ＜x ＜8a; ②当-7a =8a,即a=0时,原不等式解集为φ; ③当-7a ＞8a ,即a ＜0时, 8a ＜x ＜-7a.综上知:当a ＞0时,原不等式的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧<<-87a x a x ;当a=0时,原不等式的解集为Φ;当a ＜0时,原不等式的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧-<<78a x a x . 10.已知x2+px+q ＜0的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧<<-3121x x ，求不等式qx2+px+1＞0的解集.解 ∵x2+px+q ＜0的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧<<-3121x x ,∴-21,31是方程x2+px+q=0的两实数根，由根与系数的关系得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-⨯-=-q p )21(312131,∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-==6161q p , ∴不等式qx2+px+1＞0可化为-0161612>++x x ,即x2-x-6＜0,∴-2＜x ＜3,∴不等式qx2+px+1＞0的解集为{x|-2＜x ＜3}.11.若不等式2x-1＞m(x2-1)对满足|m|≤2的所有m 都成立，求x 的取值范围. 解 方法一 原不等式化为(x2-1)m-(2x-1)＜0. 令f(m)=(x2-1)m-(2x-1)(-2≤m ≤2).则⎪⎩⎪⎨⎧<---=<----=-.0)12()1(2)2(,0)12()1(2)2(22x x f x x f解得271+-＜x ＜231+.方法二 求已知不等式视为关于m 的不等式，（1）若x2-1=0，即x=±1时，不等式变为2x-1＞0,即x ＞21,∴x=1,此时原不等式恒成立.（2）当x2-1＞0时，使1122--x x ＞m 对一切|m|≤2恒成立的充要条件是1122--x x ＞2,∴1＜x ＜231+.(3)当x2-1＜0时，使1122--x x ＜m 对一切|m|≤2恒成立的充要条件是1122--x x ＜-2.∴271+-＜x ＜1.由（1）（2）（3）知原不等式的解集为⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧+<<-213217x x . 12.已知函数f(x)=ax2+a2x+2b-a3,当x ∈(-2,6)时，其值为正，而当x ∈(-∞,-2)∪(6,+∞）时，其值为负.（1）求实数a,b 的值及函数f(x)的表达式；（2）设F （x ）=-4kf(x)+4(k+1)x+2(6k-1),问k 取何值时，函数F （x ）的值恒为负值？解 (1)由题意可知-2和6是方程f(x)=0的两根，∴⎪⎩⎪⎨⎧-=⨯-=-=+-=-126224623a ab a ,∴⎩⎨⎧-=-=84b a ,∴f(x)=-4x2+16x+48.(2)F(x)=-4k(-4x2+16x+48)+4(k+1)x+2(6k-1)=kx2+4x-2.当k=0时，F(x)=4x-2不恒为负值； 当k ≠0时，若F(x)的值恒为负值，则有⎩⎨⎧<+<08160k k ,解得k ＜-2.§7.3 二元一次不等式（组）与简单的线性规划问题1.已知点A （1，-1），B （5，-3），C （4，-5），则表示△ABC 的边界及其内部的约束条件是 .答案 ⎪⎩⎪⎨⎧≥-+≤--≤++01340132012y x y x y x2.（2008·天津理，2）设变量x ，y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥+≤+≥-,12,1,0y x y x y x 则目标函数z=5x+y 的最大值为 . 答案 53.若点（1，3）和（-4，-2）在直线2x+y+m=0的两侧，则m 的取值范围是 . 答案 -5＜m ＜104.（2008·北京理）若实数x ，y 满足⎪⎩⎪⎨⎧≤≥+≥+-,0,0,01x y x y x 则z=3x+2y 的最小值是 .答案 15.（2008·福建理）若实数x 、y 满足⎩⎨⎧>≤+-001x y x ，则x y 的取值范围是 .答案 （1，+∞）例1 画出不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≤≥+≥+-3005x y x y x 表示的平面区域,并回答下列问题:(1)指出x,y 的取值范围;(2)平面区域内有多少个整点?解 (1)不等式x-y+5≥0表示直线x-y+5=0上及 右下方的点的集合.x+y ≥0表示直线x+y=0上及 右上方的点的集合,x ≤3表示直线x=3上及左方 的点的集合.所以,不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≤≥+≥+-3005x y x y x 表示的平面区域如图所示.结合图中可行域得x ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡-3,25 ,y ∈［-3,8］. (2)由图形及不等式组知⎩⎨⎧∈≤≤-+≤≤-x x x y x 且,325当x=3时,-3≤y ≤8,有12个整点; 当x=2时,-2≤y ≤7,有10个整点; 当x=1时,-1≤y ≤6,有8个整点; 当x=0时，0≤y ≤5，有6个整点； 当x=-1时,1≤y ≤4,有4个整点; 当x=-2时,2≤y ≤3,有2个整点; ∴平面区域内的整点共有Z2+4+6+8+10+12=42(个).例2 （2008·湖南理，3）已知变量x 、y 满足条件⎪⎩⎪⎨⎧≤-+≤-≥,092,0,1y x y x x 则x+y 的最大值是 .答案 6例3 （14分）某工厂生产甲、乙两种产品，计划每天每种产品的生产量不少于15吨，已知生产甲产品1吨，需煤9吨，电力4千瓦时，劳力3个；生产乙产品1吨，需煤4吨，电力5千瓦时，劳力10个；甲产品每吨的利润为7万元，乙产品每吨的利润为12万元；但每天用煤不超过300吨，电力不超过200千瓦时，劳力只有300个.问每天生产甲、乙两种产品各多少吨，才能使利润总额达到最大？解 设每天生产甲、乙两种产品分别为x 吨、y 吨，利润总额为z 万元， 1分则线性约束条件为⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≥≥≤+≤+≤+15153001032005430049y x y x y x y x ，4分目标函数为z=7x+12y, 8分 作出可行域如图， 10分作出一组平行直线7x+12y=t,当直线经过直线4x+5y=200和直线3x+10y=300的交点A(20，24)时， 利润最大. 12分即生产甲、乙两种产品分别为20吨、24吨时，利润总额最大，zmax=7×20+12×24=428（万元）.答 每天生产甲产品20吨、乙产品24吨，才能使利润总额达到最大. 14分1.（2008·浙江理，17）若a ≥0，b ≥0，且当⎪⎩⎪⎨⎧≤+≥≥1,0,0y x y x 时，恒有ax+by ≤1，则以a ，b 为坐标的点P （a ，b ）所形成的平面区域的面积等于.答案 12.（2008·全国Ⅰ理，13）若x ，y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤≤≥+-≥+,30,03,0x y x y x 则z=2x-y 的最大值为 .答案 93.某家具公司制作木质的书桌和椅子两种家具，需要木工和漆工两道工序，已知木工平均四个小时做一把椅子，八个小时做一张书桌，该公司每星期木工最多有8 000个工作时；漆工平均两小时漆一把椅子，一个小时漆一张书桌，该公司每星期漆工最多有1 300个工作时.又已知制作一把椅子和一张书桌的利润分别是15元和20元，根据以上条件，怎样安排生产能获得最大利润？解 依题意设每星期生产x 把椅子，y 张书桌， 那么利润p=15x+20y.其中x,y 满足限制条件⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧*∈≥*∈≥≤+≤+y y x x y x y x ,0,030012000884.即点（x,y ）的允许区域为图中阴影部分，它们的边界分别为4x+8y=8 000(即AB)，2x+y=1 300(即BC)，x=0(即OA)和y=0(即OC ）.对于某一个确定的p=p0满足p0=15x+20y,且点（x,y)属于阴影部分的解x,y 就是一个能获得p0元利润的生产方案.对于不同的p,p=15x+20y 表示一组斜率为-43的平行线，且p 越大，相应的直线位置越高；p 越小，相应的直线位置越低.按题意，要求p 的最大值，需把直线p=15x ＋20y 尽量地往上平移，又考虑到x ，y 的允许范围，当直线通过B 点时，处在这组平行线的最高位置，此时p 取最大值.由⎩⎨⎧=+=+30012000884y x y x ,得B （200，900），当x=200,y=900时，p 取最大值，即pmax=15×200+20×900=21 000,即生产200把椅子、900张书桌可获得最大利润21 000元.一、填空题1.（2008·全国Ⅱ理，5）设变量x,y 满足约束条件:N N⎪⎩⎪⎨⎧-≥≤+≥,2,22,x y x x y 则z=x-3y 的最小值为 .答案 -82.若不等式组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤+≥≤+≥-,,0,22,0a y x y y x y x 表示的平面区域是一个三角形，则a 的取值范围是 .答案 0＜a ≤1或a ≥343.已知平面区域D 由以A （1，3）、B （5，2）、C （3，1）为顶点的三角形内部和边界组成.若在区域D上有无穷多个点（x ，y ）可使目标函数z=x+my 取得最小值，则m= . 答案 14.（2008·山东理）设二元一次不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≤-+≥+-≥-+0142080192y x y x y x ，所表示的平面区域为M,使函数y=ax（a ＞0,a ≠1)的图象过区域M 的a 的取值范围是 . 答案 ［2,9］5.如果实数x ，y 满足⎪⎩⎪⎨⎧≥≤-+≤+-102553034x y x y x ,目标函数z=kx+y 的最大值为12，答案 26.（2007·江苏）在平面直角坐标系xOy 中，已知平面区域A={(x,y)|x+y ≤1,且x ≥0, y ≥0},则平面区域B={(x+y,x-y)|(x,y)∈A}的面积为 . 答案 17.（2008·安徽理，15）若A 为不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≤-≥≤,2,0,0x y y x 表示的平面区域，则当a 从-2连续变化到1时，动直线x+y=a 扫过A 中的那部分区域的面积为 .答案 478.设集合A={(x,y)|y ≥|x-2|,x ≥0},B={(x,y)|y ≤-x+b},A ∩B ≠φ. (1)b 的取值范围是 ；（2）若(x,y)∈A ∩B,且x+2y 的最大值为9,则b 的值是 .答案 （1）［2,+∞)（2）29二、解答题9.已知实数x 、y 满足⎪⎩⎪⎨⎧≤--≥+-≥-+033042022y x y x y x ，试求z=11++x y 的最大值和最小值.解 由于z=11++x y =)1()1(----x y ，所以z 的几何意义是点（x,y ）与点M （-1，-1）连线的斜率，因此11++x y 的最值就是点（x ，y ）与点M （-1，-1）连线的斜率的最值，结合图可知：直线MB 的斜率最大，直线MC 的斜率最小，即zmax=kMB=3，此时x=0，y=2；zmin=kMC=21，此时x=1，y=0.10.已知变量x,y 满足的约束条件为⎪⎩⎪⎨⎧≤-≥-+≤-+01033032y y x y x .若目标函数z=ax+y(其中a ＞0)仅在点（3，0）处取得最大值，求a 的取值范围. 解 依据约束条件，画出可行域.∵直线x+2y-3=0的斜率k1=-21,目标函数z=ax+y(a ＞0)对应直线的斜率k2=-a,若符合题意，则须k1＞k2,即-21＞-a,得a ＞21.11.两种大小不同的钢板可按下表截成A,B,C 三种规格成品:某建筑工地需A ，B ，C 三种规格的成品分别为15，18，27块，问怎样截这两种钢板，可 得所需三种规格成品，且所用钢板张数最小.解 设需要第一种钢板x 张，第二种钢板y 张，钢板总数为z 张，z=x+y约束条件为：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧∈≥∈≥≥+≥+≥+ZZ y y x x y x y x y x ,0,027*******作出可行域如图所示：令z=0，作出基准直线l:y=-x,平行移动直线l 发现在可行域内，经过直线x+3y=27和直线2x+y=15的交点A⎪⎭⎫ ⎝⎛539,518可使z 取最小，由于539,518都不是整数，而最优解（x,y ）中，x,y 必须都是整数，可行域内点A ⎪⎭⎫ ⎝⎛539,518不是最优解；通过在可行域内画网格发现，经过可行域内的整点且与A ⎪⎭⎫ ⎝⎛539,518点距离最近的直线是x+y=12,经过的整点是B(3,9)和 C （4，8），它们都是最优解.答 要截得所需三种规格的钢板，且使所截两种钢板的张数最少的方法有两种： 第一种截法是截第一种钢板3张，第二种钢板9张； 第二种截法是截第一种钢板4张，第二种钢板8张； 两种方法都最少要截两种钢板共12张.12.在R 上可导的函数f(x)= 31x3+21ax2+2bx+c,当x ∈(0,1)时取得极大值,当x ∈(1,2)时取得极小值,求点(a,b)对应的区域的面积以及12--a b 的取值范围.解 函数f(x)的导数为f ′(x)=x2+ax+2b,当x ∈(0,1)时,f(x)取得极大值,当x ∈(1,2)时,f(x)取得极小值,则方程x2+ax+2b=0有两个根,一个根在区间(0,1)内,另一个根在区间(1,2)内,由二次函数f ′(x)=x2+ax+2b 的图象与方程x2+ax+2b=0根的分布之间的关系可以得到⎪⎩⎪⎨⎧>'<'>'0)2(0)1(0)0(f f f ⇒⎪⎩⎪⎨⎧>++<++>020120b a b a b ,在aOb 平面内作出满足约束条件的点(a,b)对应的区域为△ABD(不包括边界),如图阴影部分,其中点A(-3,1),B(-1,0),D(-2,0), △ABD 的面积为S △ABD=21|BD|×h=21(h 为点A 到a 轴的距离). 点C(1,2)与点(a,b)连线的斜率为12--a b ,显然12--a b ∈(kCA,kCB),即12--a b ∈⎪⎭⎫ ⎝⎛1,41.§7.4 基本不等式:ab ≤2ba +1.已知a ＞0,b ＞0，a 1+b 3=1，则a+2b 的最小值为 .答案 7+262.（2009·常州武进区四校高三期中联考）若x,y ∈R+，且x+4y=1,则x ·y 的最大值是 .答案 1613.已知x ＞0,y ＞0，x,a,b,y 成等差数列，x,c,d,y 成等比数列，则()cdb a 2+的最小值是 .答案 44.x+3y-2=0，则3x+27y+1的最小值为 . 答案 75.（2008·江苏，11）x,y,z ∈R+，x-2y+3z=0,xz y 2的最小值是 .答案 3例1 已知x ＞0,y ＞0,z ＞0.求证：⎪⎭⎫ ⎝⎛+x z x y ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+y z y x ⎪⎭⎫ ⎝⎛+z y z x ≥8.证明 ∵x ＞0,y ＞0,z ＞0,∴x y +x z≥x yz 2＞0, y x +y z ≥yxz 2＞0.z x +z y≥z xy 2＞0, ∴⎪⎭⎫ ⎝⎛+x z x y ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+y z y x ⎪⎭⎫ ⎝⎛+z y z x≥xyzxyxz yz ∙∙8=8.（当且仅当x=y=z 时等号成立）例2 （1）已知x ＞0,y ＞0，且x 1+y 9=1,求x+y 的最小值；（2）已知x ＜45,求函数y=4x-2+541-x 的最大值；（3）若x,y ∈(0,+∞)且2x+8y-xy=0，求x+y 的最小值.解（1）∵x ＞0,y ＞0,x 1+y 9=1, ∴x+y=(x+y)⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+y x 91 =x y +y x9+10≥6+10=16.当且仅当x y =y x9时，上式等号成立， 又x 1+y 9=1,∴x=4,y=12时，(x+y)min=16.（2）∵x ＜45,∴5-4x ＞0,∴y=4x-2+541-x =-⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-x x 45145+3≤-2+3=1, 当且仅当5-4x=x 451-,即x=1时，上式等号成立，故当x=1时，ymax=1. (3)由2x+8y-xy=0,得2x+8y=xy,∴y 2+x 8=1,∴x+y=(x+y)⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+y x 28=10+x y 8+y x 2=10+2⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+y x x y 4≥10+2×2×y x x y ∙4=18,当且仅当x y 4=y x,即x=2y 时取等号，又2x+8y-xy=0,∴x=12,y=6,∴当x=12,y=6时，x+y 取最小值18.例3 （14分）某造纸厂拟建一座平面图形为矩形 且面积为162平方米的三级污水处理池，池的深度一定 （平面图如图所示），如果池四周围墙建造单价为400元/米，中间两道隔墙建造单价为248元/米，池底建造单价为 80元/米2，水池所有墙的厚度忽略不计.（1）试设计污水处理池的长和宽，使总造价最低，并求出最低总造价；（2）若由于地形限制，该池的长和宽都不能超过16米，试设计污水池的长和宽，使总造价最低，并求出最低总造价. 解 （1）设污水处理池的宽为x 米，则长为x162米.1分则总造价f(x)=400×⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯+x x 16222+248×2x+80×162 =1 296x+x 1002961⨯+12 960=1 296⎪⎭⎫ ⎝⎛+x x 100+12 9604分≥1 296×2x x 100∙+12 960=38 880（元），当且仅当x=x 100(x ＞0),即x=10时取等号. 6分∴当长为16.2米，宽为10米时总造价最低，最低总造价为38 880元. 8分（2）由限制条件知⎪⎩⎪⎨⎧≤<≤<161620160x x ,∴1081≤x ≤16.10分设g(x)=x+x 100⎪⎭⎫ ⎝⎛≤≤168110x . g （x ）在⎥⎦⎤⎢⎣⎡168110,上是增函数， ∴当x=1081时(此时x 162=16),g(x)有最小值，12分即f(x)有最小值. 1 296×⎪⎭⎫ ⎝⎛+818008110+12 960=38 882(元). ∴当长为16米，宽为1081米时，总造价最低，为38 882元.14分1.已知,a,b,c 均为正数，且a+b+c=1.求证：a 1+b 1+c 1≥9.证明 a 1+b 1+c 1= a c b a +++b c b a +++c cb a ++=3+⎪⎭⎫ ⎝⎛+b a a b +⎪⎭⎫ ⎝⎛+c a a c +⎪⎭⎫⎝⎛+c b b c≥3+2+2+2=9.当且仅当a=b=c=31时取等号.2.若-4＜x ＜1,求22222-+-x x x 的最大值.解 22222-+-x x x =21·()1112-+-x x =21()⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+-111x x =-21()()⎥⎦⎤⎢⎣⎡--+--111x x ∵-4＜x ＜1,∴-(x-1)＞0,()11--x ＞0.从而()()⎥⎦⎤⎢⎣⎡--+--111x x ≥2 -21()()⎥⎦⎤⎢⎣⎡--+--111x x ≤-1 当且仅当-(x-1)= ()11--x ，即x=2（舍）或x=0时取等号.即max 22222⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-x x x =-1. 3.甲、乙两地相距s 千米，汽车从甲地匀速行驶到乙地，速度不超过c 千米/小时，已知汽车每小时的运输成本（以元为单位）由可变部分和固定部分组成：可变部分与速度v(千米/小时）的平方成正比，比例系数为b;固定部分为a 元.（1）把全程运输成本y （元）表示为速度v(千米/小时）的函数，并指出这个函数的定义域； （2）为了使全程运输成本最小，汽车应以多大速度行驶？解 （1）建模：依题意知，汽车从甲地匀速行驶到乙地所用时间为v s，全程运输成本为y=(a+bv2)v s =sb ⎪⎭⎫ ⎝⎛+bv a v ,v ∈（0,c ］.（2）依题意，有s,b,a,v 都是正数.因此y=sb ⎪⎭⎫ ⎝⎛+bv a v ≥2s ab ;①若b a ≤c,则当且仅当v=bv a⇒v=b a 时,y 取到最小值. ②若b a≥c,则y 在（0，c ］上单调递减，所以当v=c 时，y 取到最小值.综上所述，为了使全程运输成本最小，当b a ≤c 时，行驶速度应该为v=b a； 当b a≥c 时，行驶速度应该为v=c.一、填空题1.若不等式x2+ax+4≥0对一切x ∈（0，1］恒成立，则a 的取值范围是 . 答案 a ≥-52.（2008·江苏）x,y,z ∈R+，x-2y+3z=0,xz y 2的最小值为 .答案 33.已知0＜x ＜1，则x(3-3x)取得最大值时x 的值为 .答案 214.（2008·栟茶中学模拟）若直线2ax+by-2=0 （a,b ∈R+）平分圆x2+y2-2x-4y-6=0，则a 2+b 1的最小值是 . 答案 3+225.函数y=log2x+logx(2x)的值域是 . 答案 （-∞，-1］∪［3，+∞）6.某公司一年购买某种货物400吨，每次都购买x 吨，运费为4万元/次，一年的总存储费用为4x 万元，要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x= 吨. 答案 207.（2008·徐州调研）若实数a,b 满足ab-4a-b+1=0 (a ＞1),则(a+1)(b+2)的最小值为 . 答案 278.若a,b 是正常数，a ≠b,x,y ∈(0,+∞)，则x a 2+y b 2≥()yx b a ++2,当且仅当x a =y b 时上式取等号.利用以上结论，可以得到函数f(x)=x 2+ x219-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛∈210,x 的最小值为 ，取最小值时x 的值为 .答案 25 51二、解答题9.（1）已知0＜x ＜34，求x(4-3x)的最大值；（2）点(x,y)在直线x+2y=3上移动，求2x+4y 的最小值.解 （1）已知0＜x ＜34,∴0＜3x ＜4. ∴x(4-3x)=31(3x)(4-3x)≤3122343⎪⎭⎫ ⎝⎛-+x x =34 当且仅当3x=4-3x,即x=32时“=”成立. ∴当x=32时，x(4-3x ）的最大值为34.（2）已知点(x,y)在直线x+2y=3上移动，所以x+2y=3.∴2x+4y ≥2y x 42=2y x 22+=232=42.当且仅当⎪⎩⎪⎨⎧=+=3242y x yx ，即x=23,y=43时“=”成立.∴当x=23,y=43时，2x+4y 的最小值为42.10.已知a 、b ∈（0，+∞），且a+b=1,求证：(1)a2+b2≥21;(2)21a +21b ≥8;(3)21⎪⎭⎫ ⎝⎛+a a + 21⎪⎭⎫ ⎝⎛+b b ≥225;(4) ⎪⎭⎫ ⎝⎛+a a 1⎪⎭⎫ ⎝⎛+b b 1≥425.证明 由⎪⎩⎪⎨⎧=+≥+,b a ,ab ba 12a 、b ∈（0，+∞），得ab ≤21⇒ab ≤41⇒ab 1≥4. （当且仅当a=b=21时取等号）(1)∵a2+b2=(a+b)2-2ab=1-2ab ≥1-2×41=21， ∴a2+b2≥21.(2)∵21a +21b ≥ab 2≥8,∴21a +21b ≥8.(3)由(1)、(2)的结论，知21⎪⎭⎫ ⎝⎛+a a + 21⎪⎭⎫ ⎝⎛+b b =a2+b2+4+21a +21b ≥21+4+8=225,∴21⎪⎭⎫ ⎝⎛+a a + 21⎪⎭⎫ ⎝⎛+b b ≥225.(4) ⎪⎭⎫ ⎝⎛+a a 1⎪⎭⎫ ⎝⎛+b b 1=a b +b a+ab+ab 1=a b +b a +21⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-ab ab +2≥2+2212⎪⎭⎫ ⎝⎛-+2=425.11.设a ＞0,b ＞0,a+b=1.（1）证明：ab+ab 1≥441;(2)探索猜想，并将结果填在以下括号内：a2b2+221b a ≥（ ）；a3b3+331b a ≥（ ）； （3）由（1）（2）归纳出更一般的结论，并加以证明.（1）证明 方法一 ab+ab 1≥441⇔4a2b2-17ab+4≥0⇔(4ab-1)(ab-4)≥0. ∵ab=(ab )2≤22⎪⎭⎫ ⎝⎛+b a =41,∴4ab ≤1，而又知ab ≤41＜4,因此（4ab-1）(ab-4)≥0成立，故ab+ab 1≥441.方法二 ab+ab 1=ab+ab ⋅241+ab ⋅2415，∵ab ≤22⎪⎭⎫ ⎝⎛+b a =41，∴ab 1≥4，∴ab ⋅2415≥415.当且仅当a=b=21时取等号.又ab+ab ∙241≥2ab ab ∙∙241=21，当且仅当ab=ab ⋅241，即ab 1=4,a=b=21时取等号. 故ab+ab 1≥42+415=441（当且仅当a=b=21时，等号成立）. （2）解 猜想：当a=b=21时，不等式a2b2+221b a ≥( )与a3b3+331b a ≥( )取等号，故在括号内分别填16161与64641.（3）解 由此得到更一般性的结论：anbn+nn b a 1≥4n+n41. 证明如下：∵ab ≤22⎪⎭⎫ ⎝⎛+b a =41,∴ab 1≥4.∴anbn+n n b a 1=anbn+n n n b a ⋅241+nn n n b a ⋅-22414≥2n n n n n b a b a ⋅⋅241+nn 22414-×4n=n 42+n n 4142-=4n+n41，当且仅当ab=41,即a=b=21时取等号.12.某工厂统计资料显示，产品次品率p 与日产量x(单位：件，x ∈N*，1≤x ≤96)的关系如下：又知每生产一件正品盈利a(a 为正常数)元，每生产一件次品就损失3a元.（注：次品率p=产品总数次品个数×100%，正品率=1-p)（1）将该厂日盈利额T （元）表示为日产量x 的函数； （2）为了获得最大盈利，该厂的日产量应定为多少件？解 （1）依题意可知：p=x -1003(1≤x ≤96,x ∈N*),日产量x 件中次品有xp 件，正品有x-px 件，日盈利额T=a(x-px)-3a px=a⎪⎭⎫ ⎝⎛--x x x 1004. (2)∵T=a ⎪⎭⎫ ⎝⎛--x x x 1004=a ()⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+--x x x 1004001004 =a ⎪⎭⎫ ⎝⎛--+x x 1004004=a ()⎥⎦⎤⎢⎣⎡----x x 100400100104 ≤a(104-2400)=64a ，所以当100-x=20，即x=80时，T 最大.因此日产量为80件时，日盈利额T 取最大值.单元检测七一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分）1.已知集合M={x|x2＜4},N={x|x2-2x-3＜0},则集合M ∩N= . 答案 {x|-1＜x ＜2}2.已知a ＞0,b ＞0,a,b 的等差中项是21，且m=a+a 1,n=b+b 1，则m+n 的最小值是 .答案 5当且仅当a=b=21时取等号.3.已知x ＞45，则函数y=4x+541-x 的最小值为 .4.若x,y 是正数，则221⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+y x +221⎪⎭⎫ ⎝⎛+x y 的最小值是 . 答案 45.（2009·东海高级中学高三调研）函数y=a1-x (a ＞0,a ≠1)的图象恒过定点A ，若点A 在直线mx+ny-1=0 (mn ＞0)上，则m 1+n 1的最小值为 . 答案 46.设函数f(x)=()()⎪⎩⎪⎨⎧≥+<23222x x x x x ，若f(x0)＞1,则x0的取值范围是 .答案 (0,2)∪(3,+∞)7.若不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≤≤≥≥+-2005x a y y x 表示的平面区域是一个三角形，则a 的取值范围是 .答案 5≤a ＜78.一批救灾物资随26辆汽车从某市以v km/h 的速度匀速直达400 km 外的灾区，为了安全起见，两辆汽车的间距不得小于220⎪⎭⎫ ⎝⎛v km,则这批物资全部运送到灾区最少需 h.答案 109.函数f(x)=()()⎩⎨⎧≤->111x x x ，则不等式xf(x)-x ≤2的解集为 .答案 ［-1，2］10.（2008·江西文）已知函数f(x)=2x2+(4-m)x+4-m,g(x)=mx ，若对于任一实数x,f(x)与g(x)的值至少有一个为正数，则实数m 的取值范围是 . 答案 （-∞，4）11.若方程x2-2ax+4=0在区间（1，2］上有且仅有一个根，则实数a 的取值范围是 .答案 ⎪⎭⎫⎢⎣⎡252,12.（2008·苏中三市质检）若不等式x2-2ax+a ＞0对x ∈R 恒成立，则关于t 的不等式a2t+1＜a322-+t t 的解集为 .答案 (-2,2)13.已知⎪⎩⎪⎨⎧≥+-≤--≥-+052053052y x y x y x ，则(x+1)2+(y+1)2的最小值和最大值分别是 .答案 13,4114.对于0≤m ≤4的m ，不等式x2+mx ＞4x+m-3恒成立，则x 的取值范围是 . 答案 x ＜-1或x ＞3解析 ∵x2-4x+3+m(x-1)＞0,即(x-1)(x-3+m)＞0对0≤m ≤4恒成立，∴()⎩⎨⎧-=-<<13,1min m x x 或()⎩⎨⎧=->>.33,1max m x x∴x ＜-1或x ＞3.二、解答题（本大题共6小题，共90分）15.（2008·石家庄模拟）（14分）已知a=(1,x),b=(x2+x,-x),m 为常数且m ≤-2,求使不等式a ·b+2＞m ⎪⎭⎫⎝⎛+⋅12b a 成立的x 的范围.解 ∵a=（1，x ），b=（x2+x ，-x ），∴a ·b=x2+x-x2=x.由a ·b+2＞m ⎪⎭⎫⎝⎛+⋅12b a⇔x+2＞m ⎪⎭⎫ ⎝⎛+12x ⇔(x+2)-m x x 2+＞0⇔x(x+2)(x-m)＞0(m ≤-2).①当m=-2时，原不等式⇔x(x+2)2＞0⇔x ＞0;②当m ＜-2时，原不等式⇔m ＜x ＜-2或x ＞0.综上，得m=-2时，x 的取值范围是（0，+∞）；m ＜-2时，x 的取值范围是（m ，-2）∪（0，+∞）.16.(2008·苏南四市模拟)（14分）甲、乙两公司同时开发同一种新产品，经测算，对于函数f(x),g(x)以及任意的x ≥0，当甲公司投入x 万元做宣传时，若乙公司投入的宣传费小于f(x)万元，则乙公司对这一新产品的开发有失败的风险，否则没有失败的风险；当乙公司投入x 万元做宣传时，若甲公司投入的宣传费小于g(x)万元，则甲公司这一新产品的开发有失败的风险，否则没有失败的风险.（1）试解释f(0)=10,g(0)=20的实际意义；（2）设f(x)= 41x+10,g(x)=x +20，甲、乙两公司为了避免恶性竞争，经过协商，同意在双方均无失败风险的情况下尽可能少地投入宣传费用，问甲、乙两公司各应投入多少宣传费？ 解 （1）f(0)=10表示当甲公司不投入宣传费时，乙公司要避免新产品的开发有失败的风险，至少要投入10万元宣传费；g （0）=20表示当乙公司不投入宣传费时，甲公司要避免新产品的开发有失败的风险，至少要投入20万元宣传费.（2）设甲公司投入宣传费x 万元，乙公司投入宣传费y 万元，依题意，当且仅当()()⎪⎩⎪⎨⎧+=≥+=≥201041y y g x ,x x f y 时，双方均无失败的风险.由①②得y ≥41(y +20)+10,即4y-y -60≥0,即(y -4)(4y +15)≥0. ∵y ≥0,∴4y +15＞0.① ②∴y ≥4.∴y ≥16.∴x ≥y +20≥4+20=24.∴xmin=24,ymin=16,即在双方均无失败风险的情况下，甲公司至少要投入24万元，乙公司至少要投入16万元.17.（14分）函数f(x)对一切实数x,y 均有f(x+y)-f(y)=(x+2y+1)x 成立，且f(1)=0.（1）求f(0);(2)求f(x);(3)不等式f(x)＞ax-5当0＜x ＜2时恒成立，求a 的取值范围.解 （1）令x=1,y=0,得f(1+0)-f(0)=(1+2×0+1)·1=2,∴f(0)=f(1)-2=-2.(2)令y=0,f(x+0)-f(0)=(x+2×0+1)·x=x2+x,∴f(x)=x2+x-2.(3)f(x)＞ax-5化为x2+x-2＞ax-5,ax ＜x2+x+3,∵x ∈(0,2),∴a ＜x x x 32++=1+x+x 3.当x ∈(0,2)时，1+x+x 3≥1+23,当且仅当x=x 3,即x=3时取等号，由3∈(0,2)，得m i n 31⎪⎭⎫ ⎝⎛++x x =1+23.∴a ＜1+23.18.（16分）设f(x)是定义域为（-∞，0）∪（0，+∞）上的奇函数且在（-∞,0）上为增函数.（1）若m ·n ＜0,m+n ≤0,求证：f(m)+f(n)≤0;(2)若f(1)=0,解关于x 的不等式f(x2-2x-2)＞0.（1）证明 ∵m ·n ＜0,m+n ≤0，∴m 、n 一正一负.不妨设m ＞0,n ＜0,则n ≤-m ＜0.取n=-m ＜0,∵函数f(x)在（-∞,0）上为增函数，则f(n)=f(-m)；取n ＜-m ＜0，同理f(n)＜f(-m)∴f(n)≤f （-m ）.又函数f(x)在（-∞,0）∪(0,+∞)上为奇函数，∴f(-m)=-f(m).∴f(n)+f(m)≤0.（2）解 ∵f （1）=0，f(x)在（-∞,0）∪(0,+∞)上为奇函数，∴f(-1)=0，∴原不等式可化为()()⎪⎩⎪⎨⎧>-->--12202222f x x f x x 或()()⎪⎩⎪⎨⎧->--<--12202222f x x f x x . 易证：f(x)在（0,+∞）上为增函数.∴⎪⎩⎪⎨⎧>-->--12202222x x x x 或⎪⎩⎪⎨⎧->--<--12202222x x x x .∴x2-2x-3＞0或⎪⎩⎪⎨⎧>--<--01202222x x x x .解得x ＞3或x ＜-1或⎪⎩⎪⎨⎧-<+>+<<-21213131x x x 或.∴不等式的解集为（-∞，-1）∪（1-3，1-2）∪（1+2，1+3）∪（3，+∞）.19.（16分）某厂家拟在2008年举行促销活动，经调查测算，该产品的年销售量（即该厂的年产量）x 万件与年促销费用m 万元（m ≥0）满足x=3-1+m k(k 为常数)，如果不搞促销活动，则该产品的年销售量只能是1万件.已知2008年生产该产品的固定投入为8万元，每生产1万件该产品需要再投入16万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品年平均成本的1.5倍（产品成本包括固定投入和再投入两部分资金).（1）将2008年该产品的利润y 万元表示为年促销费用m 万元的函数；（2）该厂家2008年的促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大.解 （1）由题意可知当m=0时，x=1（万件）,∴1=3-k ⇒k=2.∴x=3-12+m .每件产品的销售价格为1.5×x x168+(元)，∴2008年的利润y=x ·⎪⎭⎫ ⎝⎛+⨯x x .16851-(8+16x+m) =4+8x-m=4+8⎪⎭⎫ ⎝⎛+-123m -m =-()⎥⎦⎤⎢⎣⎡+++1116m m +29(m ≥0). （2）∵m ≥0时，116+m +(m+1)≥216=8,∴y ≤-8+29=21,当且仅当116+m =m+1⇒m=3(万元）时，ymax=21(万元）.20.（16分）已知点M （x1,f(x1)）是函数f(x)=x 1,x ∈(0,+∞)图象C 上的一点，记曲线C 在点M 处的切线为l.（1）求切线l 的方程；（2）设l 与x 轴，y 轴的交点分别为A 、B ，求△AOB 周长的最小值.解 （1）f ′(x)=-21x ,∴k=f ′(x1)=-211x .∴切线方程为y-11x =-211x (x-x1),即y=-211x x+12x . (2)在y=-211x x+12x 中，令y=0得x=2x1,∴A(2x1,0).令x=0，得y=12x ,∴B ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛12,0x .∴△AOB 的周长m=2x1+12x +21212)2(⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+x x . ∴m=2⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+++21211111x x x x ,x1∈(0,+∞). 令t=x1+11x ,∵x1∈(0,+∞),∴t ≥2.∴当t=2，即x1=1时，m 最小=2(2+2). 故△AOB 周长的最小值是4+22.。