下载文档原格式
第二章 参数估计【学习目标】1、掌握矩估计的替代原则；会求已知分布中未知参数的矩估计（值）2、熟练掌握极大似然估计的思想及求法3、估计量的评价标准：无偏性、有效性、相合性的定义4、统计量的无偏性的判断；两个无偏估计的有效性判断；会用Fisher 信息量及c-R 下界进行统计量的UMVUE 充分性判断5、掌握区间估计的定义6、单个正态总体均值的区间估计（包括方差已知、方差未知）；单个正态总体方差的区间估计（包括均值已知、均值未知）7、两个正态总体均值差的区间估计（方差未知）；两个正态总体方差比的区间估计 8、单侧置信区间的求法 【典型例题讲解】例1、设1,,n X X 是来自均匀分布(,1)U θθ+的总体的容量为n 的样本，其中θ-∞<<+∞为未知参数，试证：θ的极大似然估计量不止一个，例如1(1)ˆXθ=，2()ˆ1n X θ=-，3(1)()11ˆ()22n XXθ=+-都是θ的极大似然估计。
解：(,1)U θθ+分布的密度函数为11()0x f x θθ≤≤+⎧=⎨⎩其他似然函数(1)()11()0n x x L θθθ≤≤≤+⎧=⎨⎩其他由于在(1)()1n x x θθ≤≤≤+上()L θ为常数，所以凡是满足：(1)()ˆˆ1n x x θθ≤≤≤+的ˆθ均为θ的极大似然估计。
从而（1）1(1)ˆX θ=满足此条件，故1(1)ˆX θ=是θ的极大似然估计；（2）由于()(1)1n X X -≤，故2()(1)()2ˆˆ11n n X X X θθ=-≤≤=+，所以2()ˆ1n Xθ=-为θ的极大似然估计；（3）由于()(1)1n X X -≤，故(1)()(1)12n X X X +-≤，(1)()()12n n X X X ++≥，从而有3(1)()(1)()(1)()31111ˆˆ()()12222n n n XXXXXXθθ=+-≤≤≤++=+，故3ˆθ也为θ的极大似然估计。
练习二 多元正态分布的参数估计2.1.试叙述多元联合分布和边际分布之间的关系。
解：多元联合分布讨论多个随机变量联合到一起的概率分布状况，12(,,)p X X X X '=的联合分布密度函数是一个p 维的函数，而边际分布讨论是12(,,)p X X X X '=的子向量的概率分布，其概率密度函数的维数小于p 。
2.2设二维随机向量12()X X '服从二元正态分布，写出其联合分布。
解：设12()X X '的均值向量为()12μμ'=μ，协方差矩阵为21122212σσσσ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则其联合分布密度函数为1/21222112112222122121()exp ()()2f σσσσσσσσ--⎧⎫⎛⎫⎛⎫⎪⎪'=---⎨⎬ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎪⎪⎩⎭x x μx μ。
2.3已知随机向量12()X X '的联合密度函数为121212222[()()()()2()()](,)()()d c x a b a x c x a x c f x x b a d c --+-----=-- 其中1a x b ≤≤，2c x d ≤≤。
求（1）随机变量1X 和2X 的边缘密度函数、均值和方差； （2）随机变量1X 和2X 的协方差和相关系数； （3）判断1X 和2X 是否相互独立。
（1）解：随机变量1X 和2X 的边缘密度函数、均值和方差；112121222[()()()()2()()]()()()d x cd c x a b a x c x a x c f x dx b a d c --+-----=--⎰12212222222()()2[()()2()()]()()()()dd c c d c x a x b a x c x a x c dx b a d c b a d c -------=+----⎰ 121222202()()2[()2()]()()()()dd c c d c x a x b a t x a t dt b a d c b a d c ------=+----⎰ 2212122222()()[()2()]1()()()()d cdc d c x a x b a t x a t b a d c b a d c b a------=+=----- 所以由于1X 服从均匀分布，则均值为2b a+，方差为()212b a -。
第二章 参数估计一、填空题1、总体X 的分布函数为);(θx F ，其中θ为未知参数，则对θ常用的点估计方法有 ， 。
2、设总体X 的概率密度为(),(;)0,x e x f x x θθθθ--⎧≥=⎨<⎩而12,,,n X X X 是来自总体X 的简单随机样本，则未知参数θ的矩估计量为_______3、设321,,X X X 是来自总体X 的简单随机样本，且μ=)(X E ，记3211313131X X X ++=μ，3212214141X X X ++=μ 2132121X X +=μ， 3214414141X X X ++=μ则哪个是μ的有偏估计 ，哪个是μ的较有效估计 。
4、随机变量X 的分布函数);(θx F 中未知参数θ的有效估计量和极大似然估计量的关系为 。
5、随机变量X 的分布函数);(θx F 中未知参数θ的有效估计量和最优无偏估计量的关系为 。
6、称统计量),,,(21n X X X T T =为可估函数)(θg 的（弱）一致估计量是指 。
7、判断对错：设总体),(~2σμN X ，且μ与2σ都未知，设n X X X ,...,,21是来自该总体的一个样本，设用矩法求得μ的估计量为1ˆμ、用极大似然法求得μ的估计量为2ˆμ，则1ˆμ=2ˆμ。
_________________8、ˆn θ是总体未知参数θ的相合估计量的一个充分条件是_______ .解：ˆˆlim (), lim Var()0n nn n E θθθ→∞→∞==． 9、已知1021,,x x x 是来自总体X 的简单随机样本，μ=EX 。
令∑∑==+=1076181ˆi i i i x A x μ，则当=A 时，μˆ为总体均值μ的无偏估计。
10、 设总体()θ,0~U X ，现从该总体中抽取容量为10的样本，样本值为0.51.30.61.7 2.21.20.81.5 2.01.6， ， ， ， ， ， ， ， ， 则参数θ的矩估计为 。
11、 设1ˆθ与2ˆθ都是总体未知参数θ的估计，且1ˆθ比2ˆθ有效，则1ˆθ与2ˆθ的期望与方差满足_______ .解：1212ˆˆˆˆ()(), ()()E E D D θθθθ=<． 12、设1ˆθ和2ˆθ均是未知参数θ的无偏估计量，且)ˆ()ˆ(2221θθE E >，则其中的统计量 更有效。
13、在参数的区间估计),(21θθ中，当样本容量n 固定时，精度12θθ-提高时，置信度α-1 。
14、设n X X X ,,,21 是来自总体)1,(~μN X 的样本，则μ的置信度为0.95的置信区间为 。
15、设n X X X ,,,21 是来自总体),(~2σμN X 的样本，其中2σ未知，则μ的置信度为0.95的置信区间为 。
16、设n X X X ,,,21 是来自总体),(~2σμN X 的样本，其中μ未知，则2σ的置信度为0.95的置信区间为 。
17、设X 服从参数为λ的指数分布，)2(,,,,21>n X X X n 是来自总体X 的样本，X 为其样本均值，则X n λ2服从 分布。
18、设总体服从正态分布)1,(μN ，且μ未知，设n X X X ,...,,21为来自该总体的一个样本，记∑==ni i X n X 11，则μ的置信水平为1α-的置信区间公式是___________________________________；若已知95.01=-α，则要使上面这个置信区间长度小于等于0.2，则样本容量n 至少要取多大_______。
18、为估计大学生近视眼所占的百分比，用重复抽样方式抽取200名同学进行调查，结果发现有68个同学是近视眼。
则大学生近视眼所占的百分比的95%的置信区间为 。
19、设总体X 未知参数为λ，X 为样本均值, X N(0,1)，则λ的一个双侧近似1-α置信区间为 。
20、设总体12~(,1),,,...,n X U X X X θθ+为样本，则θ的矩估计量为 ，极大似然估计量为 。
21、设总体212~(,),,,...,n X N X X X μσ为样本，μ、2σ 未知，则2σ的置信度为1－α的置信区间为 。
22、设总体X 在区间]1,[+θθ上服从均匀分布，则θ的矩估计=θˆ ；D。
)ˆ(θ=23、设总体),(~2σμN X ，若μ和2σ均未知，n 为样本容量，总体均值μ的置信水平为α-1的置信区间为),(λλ+-X X ，则λ的值为________；24、在实际问题中求某参数的置信区间时，总是希望置信水平愈 愈好，而置信区间的长度愈 愈好。
但当增大置信水平时，则相应的置信区间长度总是 。
二、简述题1、描述矩估计法的原理。
2、描述极大似然估计法的原理。
3、极大似然估计法的一般步骤是什么？4、评价估计量好坏的标准有哪几个？5、什么是无偏估计？6、什么是较有效？7、什么叫有效估计量？8、判断可估函数)(θg 是有效估计量的充要条件是什么？ 9、什么是最优无偏估计量？10、什么是一致最小方差无偏估计量？11、有效估计量和最优无偏估计量的关系是什么？ 12、什么叫均方误差最小估计量？ 13、叙述一致估计量的概念。
14、试述评价一个置信区间好坏的标准。
15、描述区间估计中样本容量、精度、置信度的关系。
三、单选题1、设总体未知参数θ的估计量θ满足()E θθ=,则θ一定是θ的( ) A 极大似然估计 B 矩估计 C 无偏估计 D 有效估计2、设总体未知参数θ的估计量θ满足()E θθ≠,则θ一定是θ的( )A 极大似然估计B 矩估计C 有偏估计D 有效估计3、设n X X X ,,,21 为来自均值为μ的总体的简单随机样本，则),,2,1(n i X i =（ ）A ．是μ的有效估计量B ．是μ的一致估计量C ．是μ的无偏估计量D ．不是μ的估计量4、估计量的有效性是指( ) A.估计量的抽样方差比较小 B.估计量的抽样方差比较大 C.估计量的置信区间比较宽 D.估计量的置信区间比较窄5、若置信水平保持不变，当增大样本容量时，置信区间（ ） A ．将变宽 B ．将变窄 C ．保持不变 D ．宽窄无法确定6、一个95%的置信区间是指（ ） A ．总体参数有95%的概率落在这一区间内 B ．总体参数有5%的概率未落在这一区间内C ．在用同样方法构造的总体参数的多个区间中，有95%的区间包含该总体参数D ．在用同样方法构造的总体参数的多个区间中，有95%的区间不包含该总体参数7、置信度α-1表示区间估计的（ ） A ．精确性 B ．显著性 C ．可靠性 D ．准确性8、抽取一个容量为100的随机样本，其均值为x =81，标准差s =12。
总体均值μ的99%的置信区间为（ ）其中：58.2995.0=U 。
A 81±1.97B 81±2.35C 81±3.09D 81±3.52四、计算题 1、设1,,n X X 是来自总体X 的样本X 的密度函数为,0(),00,0x e x f x x λλλ-⎧>=>⎨≤⎩试求λ的极大似然估计量。
2、设总体X 服从参数为λ的泊松分布，求未知参数λ的矩估计量。
3、 设总体X 服从参数为λ的泊松分布，求未知参数λ的有效估计量。
4、设总体X 的概率密度为.,,0,)()(其它θθ≥⎩⎨⎧=--x e x f xθ是未知参数,n X X X ,,,21 是来自X 的样本，求θ的矩估计量1θ∧5、设n X X X ,...,,21是取自总体X 的一个样本，X 的密度函数为⎪⎩⎪⎨⎧<<=elsex xx f ,00,2)(2θθ其中 未知， ＞0。
试求 的矩估计和极大似然估计。
6、设n X X X ,...,,21 是取自总体X 的一个样本，X 的密度函数为⎪⎩⎪⎨⎧<<-=else x x xx f ,00),(6)(3θθθ 其中θ 未知，0>θ 试求θ的矩估计θˆ。
7、设总体X 的概率密度为.,,0,)()(其它θθ≥⎩⎨⎧=--x e x f xθ是未知参数,n X X X ,,,21 是来自X 的样本，（1）求θ的矩估计量1θ∧；（2）求θ的最大似然估计量2θ∧；（3）1θ∧和2θ∧是不是θ的无偏估计量（说明原因）？8、设总体),(~2σμN X ，且μ与2σ都未知，设n X X X ,,,21 为来自总体的一个样本，设∑==n i i X n X 11，∑=-=n i i X X n S 122)(1。
求μ与2σ的极大似然估计量9、设总体X 的概率分布为其中)30(<<θθ是未知参数,利用总体X 的如下样本值0，1，1，0，2，0，2，1，1，2（1）求θ的矩估计值；（2）求θ的最大似然估计值。
10、设随机变量X 的分布函数为⎪⎩⎪⎨⎧≤>⎪⎭⎫ ⎝⎛-=，，，αx αx x αβαx F β0,1),,( 其中参数1,0>>βα. 设n X X X ,,,21 为来自总体X 的简单随机样本,(1) 当1=α时, 求未知参数β的矩估计量; (2) 当1=α时, 求未知参数β的最大似然估计量; (3) 当2=β时, 求未知参数α的最大似然估计量.11、 设)2(,,,21>n X X X n 为来自总体N (0,2σ)的简单随机样本，X 为样本均值，记.,,2,1,n i X X Y i i =-=求：（1） i Y 的方差(),1,2,,i D Y i n =；（2）1Y 与n Y 的协方差).,(1n Y Y Cov（3）若21)(n Y Y c +是2σ的无偏估计量，求常数c.12、设总体X 的概率密度为(),01,;1,12,0,x f x x θθθ<<⎧⎪=-≤<⎨⎪⎩其他,其中θ是未知参数()01θ<<，12n ,...,X X X 为来自总体X 的简单随机样本，记N 为样本值12,...,n x x x 中小于1的个数.（1） 求θ的矩估计；（2）求θ的最大似然估计13、设总体X 的概率密度为1,021(),12(1)0,x f x x θθθθ⎧<<⎪⎪⎪=≤<⎨-⎪⎪⎪⎩其他n X X X ,,,21 为来自总体X 的简单随机样本，X 是样本均值.（1）求参数θ的矩估计量θ；（2）判断24X 是否为2θ的无偏估计量，并说明理由.解：（1）101()(,)22(1)42x x E X xf x dx dx dx θθθθθθ+∞-∞==+=+-⎰⎰⎰，令()X E X =，代入上式得到θ的矩估计量为1ˆ22X θ=-．（2）222211141 (4)44[()]4()424E X EX DX EX DX DX n n θθθ⎡⎤==+=++=+++⎢⎥⎣⎦，因为()00D X θ≥>，，所以22 (4)E X θ>．故24X 不是2θ的无偏估计量．14、设总体X 服从)0](,0[>θθ上的均匀分布，n X X X ,...,,21是来自总体X 的一个样本，试求参数θ的极大似然估计． 解：X 的密度函数为1,0;(,)0,x f x θθθ≤≤⎧=⎨⎩其他,似然函数为1,0,1,2,,,()0,n i x i n L θθθ<<=⎧⎪=⎨⎪⎩其它显然0θ>时，()L θ是单调减函数，而{}12max ,,,n x x x θ≥，所以{}12ˆmax ,,,n X X X θ=是θ的极大似然估计．15、 设总体X 的概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧<<+=其它,0,10,)1()(x x x f θθ 1->θ.n X X X ,...,,21是来自X 的样本，则未知参数θ的极大似然估计量为_________.解:似然函数为 111(,,;)(1)(1)(,,)nn n i n i L x x x x x θθθθθ==+=+∏1ln ln(1)ln nii L n x θθ==++∑1ln ln 01ni i d L nx d θθ==++∑解似然方程得θ的极大似然估计为1111ln ni i x n θ==-∑.16、设总体的概率密度为101,,(;).0,x x f x θθθ-<<⎧=⎨⎩其它 (0)θ>试用来自总体的样本n X X X ,...,,21，求未知参数θ的矩估计和极大似然估计. 解：先求矩估计1101EX x dx θθμθθ===+⎰111μθμ∴=- 故θ的矩估计为1XX θ=-再求极大似然估计11111(,,;)()nn n i n i L x x x x x θθθθθ--===∏1ln ln (1)ln nii L n x θθ==+-∑1ln ln 0nii d L n x d θθ==+∑所以θ的极大似然估计为111ln ni i x n θ==-∑.17、已知分子运动的速度X 具有概率密度22(),0,0,()0,0.x x f x x αα-⎧>>=≤⎩n X X X ,...,,21为X 的简单随机样本（1）求未知参数α的矩估计和极大似然估计； （2）验证所求得的矩估计是否为α的无偏估计。
