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高一数学函数y=Asin （ωx+φ）的图像北师大版 知识精讲【本讲教育信息】一、教学内容：函数y=Asin （ωx+φ）的图像 ①五点作图法； ②平移变换作图法； ③伸缩变换作图法； ④对称变换作图法；⑤y ＝Asin （ωx ＋φ）的图像与性质二、学习目标1、了解五点法作y ＝Asin （ωx ＋φ）图像的特点及一般步骤；2、理解函数式y ＝Asin （ωx ＋φ）中各个字母A 、φ、ω、ωx ＋φ的意义；3、了解图像变换（平移、伸缩、对称）作图的一般步骤，能够在函数y ＝Asin （ωx ＋φ）和函数y=sinx 之间进行图像变换。
三、知识要点1、五点作图法作y ＝Asin （ωx ＋φ）图像的一般步骤及特征 将y ＝Asin （ωx ＋φ）与函数y=sinx 进行对照。
两个步骤：①作出一个周期内的草图； 三个零点：令ωx ＋φ=0，π，2π 两个最值点：令ωx ＋φ=2π，23π ②利用函数周期性拓展到定义域上。
2、平移变换作图（ϕ>0）——加负减正（即在未知数上加ϕ，则向对应坐标轴的负方向平移；在原坐标上减ϕ，则向对应坐标轴的正方向平移），具体操作如下：ϕ+→x x ：将原图像向左平移ϕ个单位；ϕ-→x x ：将原图像向右平移ϕ个单位； ϕ+→y y ：将原图像向下平移ϕ个单位； ϕ-→y y ：将原图像向上平移ϕ个单位。
【说明】注意上述变换的逆向变换3、伸缩变换作图（0>ω）——乘缩除伸（即在未知数前乘以ω，则将相应坐标变为原来的ω1倍；在未知数前除以ω，则将相应坐标变为原来的ω倍） x x ω→：保持纵坐标不变，每一点的横坐标变为原来的ω1倍；x x ω1→：保持纵坐标不变，每一点的横坐标变为原来的ω倍；y y ω→：保持横坐标不变，每一点的纵坐标变为原来的ω1倍； y y ω1→：保持横坐标不变，每一点的纵坐标变为原来的ω倍；【说明】注意上述变换的逆向变换4、对称变换作图——所有对称变换均转化为点与点对称 ①关于直线a x =对称：),2(),(y x a y x -- ②关于直线a y =对称：)2,(),(y a x y x -- ③关于点),(n m 对称：)y n 2,x m 2()y ,x (--- ④关于直线x y =对称：),(),(x y y x - ⑤关于直线x y -=对称：),(),(x y y x ---⑥关于直线b ax y +=对称：垂直（121-=k k ）平分（中点坐标满足直线方程b ax y +=）5、由y=sinx 作y ＝Asin （ωx ＋φ）（A>0，ω>0，φ>0）的图像——先平移再伸缩6、函数y ＝Asin （ωx ＋φ）（A>0，ω>0，φ>0）的性质——与函数y=sinx 类比 ①A ——振幅；ωx ＋φ——相位；φ——初相；Tf 1=——频率 ②周期性：ωπ2T =③单调性：⎪⎭⎫⎝⎛++-∈+ππππϕωk k x 22,22可解得其单调增区间；⎪⎭⎫⎝⎛++∈+ππππϕωk k x 223,22可解得其单调减区间；④对称性：由πϕωk x =+可解得其对称中心的横坐标（纵坐标为0）；由ππϕωk x +=+2可解得其对称轴方程。
高中数学课时分层作业10函数y ＝Asin （ωx＋φ）的图像（含解析）北师大版必修4课时分层作业(十) 函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图像(建议用时：60分钟)[合格基础练]一、选择题1．为了得到函数y ＝sin(x ＋1)的图像，只需把函数y ＝sin x 的图像上所有的点 ( )A ．向左平行移动1个单位长度B ．向右平行移动1个单位长度C ．向左平行移动π个单位长度D ．向右平行移动π个单位长度A [只需把函数y ＝sin x 的图像上所有的点向左平行移动1个单位长度，便得函数y ＝sin(x ＋1)的图像，故选A.]2．要得到函数y ＝cos 2x 的图像，可由函数y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3的图像( ) A ．向左平移π3个单位长度B ．向右平移π3个单位长度C ．向左平移π6个单位长度D ．向右平移π6个单位长度C [y ＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3y ＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6－π3＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3－π3＝cos 2x .]3．将函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π3的图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再将所得图像向左平移π3个单位，则所得函数图像对应的解析式为( )A ．y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －π3B ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6C ．y ＝sin 12xD ．y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －π6D [y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3――――――→横坐标伸长到原来的2倍y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －π3――――→向左平移π3个单位y ＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤12⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3－π3＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －π6.故选D.]4．给出几种变换：①横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变；②横坐标缩小为原来的12，纵坐标不变；③向左平移π3个单位长度；④向右平移π3个单位长度；⑤向左平移π6个单位长度；⑥向右平移π6个单位长度，则由函数y ＝sin x 的图像得到y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的图像，可以实施的方案是( )A ．①→③B ．②→③C ．②→④D ．②→⑤D [由y ＝sin x 的图像到y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的图像可以先平移变换再周期变换，即③→②；也可以先周期变换再平移变换，即②→⑤.]5．已知函数y ＝A sin(ωx ＋φ)＋B 的一部分图像如图所示，如果A >0，ω>0，|φ|<π2，则( )A ．A ＝4B ．ω＝1C ．φ＝π6D ．B ＝4C [由题图可知A ＝42＝2，B ＝2，T ＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫512π－π6＝π，∴ω＝2πT ＝2ππ＝2.∴y ＝2sin(2x ＋φ)＋2，代入点⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，4得φ＝π6.]二、填空题6．将函数y ＝sin 4x 的图像向左平移π12个单位长度，得到函数y ＝sin(4x ＋φ)(0＜φ＜π)的图像，则φ的值为________．π3 [将函数y ＝sin 4x 的图像向左平移π12个单位长度，得到y ＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤4⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π12＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫4x ＋π3，所以φ的值为π3.]7．把函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4的图像向右平移π8个单位长度，再把各点的纵坐标伸长为原来的2倍，所得图像的函数解析式为________．sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π8＋π4―――――――――→纵坐标伸长为原来的2倍横坐标不变y ＝2sin 2x .]8.函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A ，ω，φ为常数，A >0，ω>0)在闭区间[－π，0]上的图像如图所示，则ω等于________．3 [从题图中可以看出：周期T ＝－π3－(－π)＝2π3，所以ω＝2πT ＝3.]三、解答题9．若函数y ＝A sin(ωx ＋φ)＋b ⎝ ⎛⎭⎪⎫A >0，ω>0，|φ|<π2在其一个周期内的图像上有一个最高点⎝⎛⎭⎪⎫π12，3和一个最低点⎝ ⎛⎭⎪⎫7π12，－5，求该函数的解析式．[解] 由题意知：b ＝－5＋32＝－1，T ＝π，A ＝4，∴ω＝2πT＝2.∴所求函数为y ＝4sin(2x ＋φ)－1. ∵⎝⎛⎭⎪⎫π12，3为该函数图像上的点，∴当x ＝π12时，y ＝3，即4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋φ－1＝3，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋φ＝1， ∴π6＋φ＝π2＋2k π，k ∈Z .∴φ＝π3＋2k π.∵|φ|<π2，∴φ＝π3，∴该函数的解析式为y ＝4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3－1.10．已知函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4＋1.(1)用五点法画出函数的草图；(2)函数图像可由y ＝sin x 的图像怎样变换得到？ [解] (1)列表：2x ＋π40 π2 π 3π2 2π x －π8 π8 3π8 5π8 7π8 y1211描点、连线如图所示．将y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4＋1在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π8，7π8上的图像向左(右)平移k π(k ∈Z )个单位，即可得到y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4＋1的整个图像．[等级过关练]1.已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)(ω>0)的部分图像如图所示，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2等于( )A ．－32B ．－22C ．32D ．22B [∵12T ＝3π4－5π12＝π3，∴T ＝2π3.∴2πω＝2π3，即ω＝3. 又∵3×5π12＋φ＝π＋2k π(k ∈Z )，∴φ可取－π4.∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2＋φ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2－π4＝sin 5π4＝－22.]2．将函数y ＝sin(2x ＋φ)的图像沿x 轴向左平移π8个单位后，得到一个偶函数的图像，则φ的一个可能取值为( )A ．3π4B ．π4C ．0D ．－π4B [将函数y ＝sin(2x ＋φ)的图像沿x 轴向左平移π8个单位，得到函数y ＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π8＋φ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4＋φ的图像，因为此时函数为偶函数，所以π4＋φ＝π2＋k π，k ∈Z ，即φ＝π4＋k π，k ∈Z ，所以选B.]3．某同学给出了以下论断：①将y ＝sin x 的图像向右平移π个单位长度，得到y ＝－sin x 的图像； ②将y ＝sin x 的图像向右平移2个单位长度，可得到y ＝sin(x ＋2)的图像； ③将y ＝sin(－x )的图像向左平移2个单位长度，得到y ＝sin(－x －2)的图像． 其中正确的结论是________(填序号)．①③ [将y ＝sin x 的图像向右平移π个单位长度所得图像的解析式为y ＝sin(x －π)＝－sin(π－x )＝－sin x ，所以①正确；将y ＝sin x 的图像向右平移2个单位长度所得图像的解析式为y ＝sin(x －2)，所以②不正确；将y ＝sin(－x )的图像向左平移2个单位长度所得图像的解析式为y ＝sin[－(x ＋2)]＝sin(－x －2)，所以③正确．]4．已知函数f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎪⎫ωx －π6(ω>0)和g (x )＝2cos(2x ＋φ)＋1的图像的对称轴完全相同．若x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，则f (x )的取值范围是________．⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，3 [由于对称轴完全相同，所以它们的周期相同，∴ω＝2，∴f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6.由x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，得－π6≤2x －π6≤56π，∴－32≤f (x )≤3.]5．已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)⎝⎛A ＞0，ω＞0，－π2＜φ＜⎭⎪⎫π2，x ∈R 在一个周期内的图像如图所示．(1)求函数f (x )的解析式；(2)设g (x )＝12f (2x )cos x ，求g ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π4的值．[解] (1)由题图可知A ＝2，T ＝7π2－⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2＝4π，则ω＝2π4π＝12，∴解析式为f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋φ， 且由f (x )的图像过点⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，2， 即2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12×π2＋φ＝2，可得φ＝2k π＋π4，又－π2＜φ＜π2，得φ＝π4，∴f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋π4.(2)∵g (x )＝12f (2x )cos x＝12×2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4cos x＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4cos x ， ∴g ⎝⎛⎭⎪⎫5π4＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π4＋π4cos 5π4＝sin 3π2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π＋π4 ＝(－1)×⎝⎛⎭⎪⎫－22＝22.。
高中数学学习材料 （灿若寒星 精心整理制作）§8 函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图像(二)课时目标 1．会用“五点法”画函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)的图像．2．明确函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A 、ω、φ为常数，A >0，ω>0)中常数A 、ω、φ的物理意义．理解振幅、频率、相位、初相的概念．3．了解函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)图像的对称性(如对称轴，对称中心)．1．简谐振动简谐振动y ＝A sin(ωx ＋φ)中，____叫做振幅，周期T ＝________，频率f ＝________，相位是________，初相是____．2．函数y ＝A sin(ωx ＋φ) (A >0，ω>0)的性质如下：定义域 R值域周期性 T ＝__________奇偶性 φ＝________________时是奇函数；φ＝______________时是偶函数；当φ≠k π2(k ∈Z )时是__________函数单调性 单调增区间可由____________________________________得到，单调减区间可由____________________________________得到一、选择题1．函数y ＝A sin(ωx ＋φ) (A >0，ω>0)为偶函数的条件是( )A ．φ＝π2＋2k π (k ∈Z )B ．φ＝π2＋k π (k ∈Z )C ．φ＝2k π (k ∈Z )D ．φ＝k π(k ∈Z )2．已知简谐运动f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫π3x ＋φ(|φ|<π2)的图像经过点(0,1)，则该简谐运动的最小正周期T 和初相φ分别为( )A ．T ＝6，φ＝π6B ．T ＝6，φ＝π3C ．T ＝6π，φ＝π6D ．T ＝6π，φ＝π33．下列函数中，图像的一部分如下图所示的是( )A ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6B ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6 C ．y ＝cos ⎝⎛⎭⎫4x －π3 D ．y ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x －π64．已知函数y ＝sin(ωx ＋φ)(ω>0，|φ|<π2)的部分图像如图所示，则( )A ．ω＝1，φ＝π6B ．ω＝1，φ＝－π6C ．ω＝2，φ＝π6D ．ω＝2，φ＝－π65．函数y ＝sin(ωx ＋φ) (x ∈R ，ω>0,0≤φ<2π)的部分图像如图所示，则( )A ．ω＝π2，φ＝π4B ．ω＝π3，φ＝π6C ．ω＝π4，φ＝π4D ．ω＝π4，φ＝5π46．设函数f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫π2x ＋π5，若对于任意x ∈R ，都有f (x 1)≤f (x )≤f (x 2)成立，则|x 1－x 2|的最小值为( )A ．4B ．2C ．1D ．12二、填空题7．函数y ＝12sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6与y 轴最近的对称轴方程是__________． 8．已知函数y ＝sin(ωx ＋φ) (ω>0，－π≤φ<π)的图像如下图所示，则φ＝________．9．函数y ＝sin 2x 的图像向右平移φ个单位(φ>0)得到的图像恰好关于x ＝π6对称，则φ的最小值是________．10．关于f (x )＝4sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3 (x ∈R )，有下列命题 ①由f (x 1)＝f (x 2)＝0可得x 1－x 2是π的整数倍；②y ＝f (x )的表达式可改写成y ＝4cos ⎝⎛⎭⎫2x －π6；③y ＝f (x )图像关于⎝⎛⎭⎫－π6，0对称； ④y ＝f (x )图像关于x ＝－π6对称．其中正确命题的序号为________(将你认为正确的都填上)． 三、解答题11．已知曲线y ＝A sin(ωx ＋φ) (A >0，ω>0)上的一个最高点的坐标为⎝⎛⎭⎫π8，2，此点到相邻最低点间的曲线与x 轴交于点⎝⎛⎭⎫38π，0，若φ∈⎝⎛⎭⎫－π2，π2． (1)试求这条曲线的函数表达式；(2)用“五点法”画出(1)中函数在[0，π]上的图像．12．已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ) (ω>0,0≤φ≤π)是R 上的偶函数，其图像关于点M ⎝⎛⎭⎫3π4，0对称，且在区间⎣⎡⎦⎤0，π2上是单调函数，求φ和ω的值．能力提升13．右图是函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(x ∈R )在区间[－π6，5π6]上的图像．为了得到这个函数的图像，只要将y ＝sin x (x ∈R )的图像上所有的点( )A ．向左平移π3个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变B ．向左平移π3个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变C ．向左平移π6个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变D ．向左平移π6个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变14．如果函数y ＝sin 2x ＋a cos 2x 的图像关于直线x ＝－π8对称，那么a 等于( )A ． 2B ．－ 2C ．1D ．－11．由函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的部分图像确定解析式关键在于确定参数A ，ω，φ的值． (1)一般可由图像上的最大值、最小值来确定|A |．(2)因为T ＝2πω，所以往往通过求周期T 来确定ω，可通过已知曲线与x 轴的交点从而确定T ，即相邻的最高点与最低点之间的距离为T2；相邻的两个最高点(或最低点)之间的距离为T ．(3)从寻找“五点法”中的第一零点⎝⎛⎭⎫－φω，0(也叫初始点)作为突破口．以y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0)为例，位于单调递增区间上离y 轴最近的那个零点最适合作为“五点”中的第一个点．2．在研究y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0)的性质时，注意采用整体代换的思想．如，它在ωx ＋φ＝π2＋2k π(k ∈Z )时取得最大值，在ωx ＋φ＝3π2＋2k π(k ∈Z )时取得最小值．§8 函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图像(二) 答案知识梳理 1．A 2πω ω2π ωx ＋φ φ 2．[－A ，A ] 2π|ω|k π (k ∈Z )π2＋k π (k ∈Z ) 非奇非偶 2k π－π2≤ωx ＋φ≤2k π＋π2(k ∈Z ) 2k π＋π2≤ωx ＋φ≤2k π＋3π2(k ∈Z )作业设计 1．B2．A [T ＝2πω＝2ππ3＝6，代入(0,1)点得sin φ＝12．∵－π2<φ<π2，∴φ＝π6．]3．D [由图知T ＝4×⎝⎛⎭⎫π12＋π6＝π，∴ω＝2πT＝2． 又x ＝π12时，y ＝1．]4．D [由图像知T 4＝7π12－π3＝π4，∴T ＝π，ω＝2．且2×7π12＋φ＝k π＋π(k ∈Z )，φ＝k π－π6(k ∈Z )．又|φ|<π2，∴φ＝－π6．]5．C [由⎩⎪⎨⎪⎧ω×1＋φ＝π2ω×3＋φ＝π，解得⎩⎨⎧ω＝π4φ＝π4．]6．B [对任意x ∈R ，f (x 1)≤f (x )≤f (x 2)成立． ∴f (x 1)＝f (x )min ＝－2，f (x 2)＝f (x )max ＝2．∴|x 1－x 2|min ＝T 2＝12×2ππ2＝2．]7．x ＝－π6解析 令2x －π6＝k π＋π2(k ∈Z )，∴x ＝k π2＋π3(k ∈Z )．由k ＝0，得x ＝π3；由k ＝－1，得x ＝－π6．8．9π10解析 由图像知函数y ＝sin(ωx ＋φ)的周期为2⎝⎛⎭⎫2π－3π4＝5π2，∴2πω＝5π2，∴ω＝45． ∵当x ＝34π时，y 有最小值－1，∴45×3π4＋φ＝2k π－π2(k ∈Z )． ∵－π≤φ<π，∴φ＝9π10．9．5π12解析 y ＝sin 2x 向右平移φ个单位得 f (x )＝sin 2(x －φ)＝sin(2x －2φ)．由f ⎝⎛⎭⎫π6＝sin ⎝⎛⎭⎫π3－2φ＝±1， ∴π3－2φ＝k π＋π2(k ∈Z )， ∴2φ＝－k π－π6，令k ＝－1，得2φ＝56π，∴φ＝512π或作出y ＝sin 2x 的图像观察易知φ＝π6－⎝⎛⎭⎫－π4＝512π． 10．②③解析 对于①，由f (x )＝0，可得2x ＋π3＝k π (k ∈Z )．∴x ＝k 2π－π6，∴x 1－x 2是π2的整数倍，∴①错；对于②，f (x )＝4sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3利用公式得：f (x )＝4cos ⎣⎡⎦⎤π2－⎝⎛⎭⎫2x ＋π3＝4cos ⎝⎛⎭⎫2x －π6． ∴②对；对于③，f (x )＝4sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的对称中心满足2x ＋π3＝k π， ∴x ＝k 2π－π6，∴⎝⎛⎭⎫－π6，0是函数y ＝f (x )的一个对称中心．∴③对； 对于④，函数y ＝f (x )的对称轴满足2x ＋π3＝π2＋k π，∴x ＝π12＋k π2．∴④错．11．解 (1)由题意知A ＝2，T ＝4×⎝⎛⎭⎫38π－π8＝π，ω＝2πT＝2，∴y ＝2sin(2x ＋φ)．又∵sin ⎝⎛⎭⎫π8×2＋φ＝1，∴π4＋φ＝2k π＋π2，k ∈Z ， ∴φ＝2k π＋π4，k ∈Z ，又∵φ∈⎝⎛⎭⎫－π2，π2，∴φ＝π4． ∴y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4 (2)列出x 、y 的对应值表：x －π8 π8 38π 58π78π 2x ＋π4 0 π2 π 32π2π y 0 2 0 －2描点，连线，如图所示：12．解 ∵f (x )在R 上是偶函数，∴当x ＝0时，f (x )取得最大值或最小值．即sin φ＝±1，得φ＝k π＋π2，k ∈Z ，又0≤φ≤π，∴φ＝π2．由图像关于M ⎝⎛⎭⎫34π，0对称可知，sin ⎝⎛⎭⎫34πω＋π2＝0，解得ω＝43k －23，k ∈Z ． 又f (x )在⎣⎡⎦⎤0，π2上单调函数，所以T ≥π，即2πω≥π， ∴ω≤2，又ω>0，∴当k ＝1时，ω＝23；当k ＝2时，ω＝2．13．A [由图像可知A ＝1，T ＝5π6－(－π6)＝π，∴ω＝2πT＝2．∵图像过点(π3，0)，∴sin(2π3＋φ)＝0，∴2π3＋φ＝π＋2k π，k ∈Z ，∴φ＝π3＋2k π，k ∈Z ．∴y ＝sin(2x ＋π3＋2k π)＝sin(2x ＋π3)．故将函数y ＝sin x 先向左平移π3个单位长度后，再把所得各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，可得原函数的图像．]14．D [方法一 ∵函数y ＝sin 2x ＋a cos 2x 的图像关于x ＝－π8对称，设f (x )＝sin 2x ＋a cos 2x ，则f ⎝⎛⎭⎫－π4＝f (0) ∴sin ⎝⎛⎭⎫－π2＋a cos ⎝⎛⎭⎫－π2＝sin 0＋a cos 0． ∴a ＝－1．方法二 由题意得f ⎝⎛⎭⎫－π8－x ＝f ⎝⎛⎭⎫－π8＋x ， 令x ＝π8，有f ⎝⎛⎭⎫－π4＝f (0)，即－1＝a ．]。
§8 函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图像(二)[学习目标] 1.会用“五点法”画函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图像.2.能根据y ＝A sin(ωx ＋φ)的部分图像，确定其解析式.3.了解y ＝A sin(ωx ＋φ)的图像的物理意义，能指出简谐运动中的振幅、周期、相位、初相．[知识链接]1．由函数y ＝sin x 的图像经过怎样的变换得到函数y ＝sin(ωx ＋φ)(ω>0)的图像？ 答 y ＝sin x 的图像变换成y ＝sin(ωx ＋φ)(ω>0)的图像一般有两个途径： 途径一：先相位变换，再周期变换先将y ＝sin x 的图像向左(φ>0)或向右(φ<0)平移|φ|个单位长度，再将得到的图像上各点的横坐标变为原来的1ω倍(纵坐标不变)，得y ＝sin(ωx ＋φ)的图像．途径二：先周期变换，再相位变换先将y ＝sin x 的图像上各点的横坐标变为原来的1ω倍(纵坐标不变)，再将得到的图像向左(φ>0)或向右(φ<0)平移|φ|ω个单位长度，得y ＝sin(ωx ＋φ)的图像．2．物理中，简谐运动的图像就是函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0)，x ∈[0，＋∞)的图像，其中A ＞0，ω＞0.描述简谐运动的物理量有振幅、周期、频率、相位和初相等，你知道这些物理量分别是指哪些数据以及各自的含义吗？答 A 是振幅，它是指物体离开平衡位置的最大距离；T ＝2πω是周期，它是指物体往复运动一次所需要的时间；f ＝1T ＝ω2π是频率，它是指物体在单位时间内往复运动的次数；ωx ＋φ称为相位；φ称为初相，即x ＝0时的相位． [预习导引]1．简谐振动 ：简谐振动y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0)中，A 叫作振幅，周期T ＝2πω，频率f ＝ω2π，相位是ωx ＋φ，初相是φ. 2．函数y ＝A sin(ωx ＋φ) (A >0，ω>0)的性质如下：要点一 “五点法”作y ＝A sin(ωx ＋φ)的简图例1 用“五点法”作出函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的简图，并指出该函数的单调区间． 解 (1)列表如下：(2)描点、连线，如图由图像知，在一个周期内，函数在⎣⎡⎦⎤π12，7π12上单调递减，函数在⎣⎡⎦⎤－512π，π12上单调递增． 又因为函数的周期为π，所以函数的单调递减区间为⎣⎡⎦⎤π12＋k π，7π12＋k π(k ∈Z )；单调递增区间为⎣⎡⎦⎤－5π12＋k π，π12＋k π(k ∈Z )．规律方法 用“五点法”画函数y ＝A sin (ωx ＋φ)(x ∈R )的简图，先作变量代换，令X ＝ωx ＋φ，再用方程思想由X 取0，π2，π，32π，2π来确定对应的x 值，最后根据x ，y 的值描点、连线画出函数的图像．跟踪演练1 作出函数y ＝32sin ⎝⎛⎭⎫13x －π3在长度为一个周期的闭区间上的图像． 解 列表：描点画图(要点二 求函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的解析式例2 函数y ＝A sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫A >0，ω>0，|φ|<π2的图像的一部分如图所示，求此函数的解析式．解 方法一 (逐一定参法)由图像知A ＝3，T ＝5π6－⎝⎛⎭⎫－π6＝π，∴ω＝2πT ＝2， ∴y ＝3sin(2x ＋φ)．∵点⎝⎛⎭⎫－π6，0在函数图像上， ∴0＝3sin ⎝⎛⎭⎫－π6×2＋φ. ∴－π6×2＋φ＝k π，得φ＝π3＋k π(k ∈Z )．∵|φ|<π2，∴φ＝π3.∴y ＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3. 方法二 (待定系数法)由图像知A ＝3.∵图像过点⎝⎛⎭⎫π3，0和⎝⎛⎭⎫5π6，0，∴⎩⎨⎧πω3＋φ＝π，5πω6＋φ＝2π，解得⎩⎪⎨⎪⎧ω＝2，φ＝π3.∴y ＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3. 方法三 (图像变换法)由A ＝3，T ＝π，点⎝⎛⎭⎫－π6，0在图像上，可知函数图像由y ＝3sin 2x 向左平移π6个单位长度而得，所以y ＝3sin 2⎝⎛⎭⎫x ＋π6，即y ＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3. 规律方法 三角函数中系数的确定方法给出y ＝A sin(ωx ＋φ)的图像的一部分，确定A ，ω，φ的方法(1)第一零点法：如果从图像可直接确定A 和ω，则选取“第一零点”(即“五点法”作图中的第一个点)的数据代入“ωx ＋φ＝0”(要注意正确判断哪一点是“第一零点”)求得φ. (2)特殊值法：通过若干特殊点代入函数式，可以求得相关待定系数A ，ω，φ.这里需要注意的是，要认清所选择的点属于五个点中的哪一点，并能正确代入列式．(3)图像变换法：运用逆向思维的方法，先确定函数的基本解析式y ＝A sin ωx ，再根据图像平移规律确定相关的参数．跟踪演练2 如图，函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0，|φ|<π)的图像，根据图中条件，写出该函数解析式．解 由图像知A ＝5. 由T 2＝5π2－π＝3π2， 得T ＝3π，∴ω＝2πT ＝23.∴y ＝5sin(23x ＋φ)．下面用两种方法求φ： 方法一 (单调性法)∵点(π，0)在递减的那段曲线上， ∴2π3＋φ∈[π2＋2k π，32π＋2k π](k ∈Z )． 由sin(2π3＋φ)＝0，得2π3＋φ＝2k π＋π(k ∈Z )，∴φ＝2k π＋π3(k ∈Z )．∵|φ|<π，∴φ＝π3.方法二 (最值点法)将最高点坐标(π4，5)代入y ＝5sin(23x ＋φ)，得5sin(π6＋φ)＝5，∴π6＋φ＝2k π＋π2(k ∈Z )， ∴φ＝2k π＋π3(k ∈Z )．∵|φ|<π，∴φ＝π3.所以该函数式为y ＝5sin(23x ＋π3).1．要得到函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫－12x 的图像，只需将函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫－12x ＋π6的图像( ) A ．向左平移π3个单位B ．向右平移π3个单位C ．向左平移π6个单位D ．向右平移π6个单位答案 A解析 提取x 的系数－12得y ＝sin ⎣⎡⎦⎤－12⎝⎛⎭⎫x －π3，于是可得．2．已知函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π3(ω>0)的最小正周期为π，则该函数的图像( ) A ．关于点⎝⎛⎭⎫π3，0对称 B ．关于直线x ＝π4对称C ．关于点⎝⎛⎭⎫π4，0对称 D ．关于直线x ＝π3对称答案 A3．函数y ＝sin(ωx ＋φ)(x ∈R ，ω>0,0≤φ<2π)的部分图像如图，则( )A ．ω＝π2，φ＝π4B ．ω＝π3，φ＝π6C ．ω＝π4，φ＝π4D ．ω＝π4，φ＝5π4答案 C解析 由所给图像可知，T4＝2，∴T ＝8.又∵T ＝2πω，∴ω＝π4.∵图像在x ＝1处取得最高点，∴π4＋φ＝π2＋2k π(k ∈Z )，∴φ＝2k π＋π4(k ∈Z )， ∵0≤φ≤2π，，∴φ＝π4.4．作出y ＝3sin ⎝⎛⎭⎫12x －π4一个周期的图像． 解 (1)列表：描点、连线，如图所示：1.由函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的部分图像确定解析式关键在于确定参数A ，ω，φ的值． (1)一般可由图像上的最大值、最小值来确定|A |.(2)因为T ＝2πω，所以往往通过求周期T 来确定ω，可通过已知曲线与x 轴的交点，从而确定T ，即相邻的最高点与最低点之间的距离为T2；相邻的两个最高点(或最低点)之间的距离为T .(3)从寻找“五点法”中的第一零点⎝⎛⎭⎫－φω，0(也叫初始点)作为突破口．以y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0)为例，位于单调递增区间上离y 轴最近的那个零点最适合作为“五点”中的第一个点．2．在研究y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0)的性质时，注意采用整体代换的思想．例如，它在ωx ＋φ＝π2＋2k π (k ∈Z )时取得最大值，在ωx ＋φ＝3π2＋2k π (k ∈Z )时取得最小值．一、基础达标1．已知简谐运动f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫π3x ＋φ(|φ|<π2)的图像经过点(0,1)，则该简谐运动的最小正周期T 和初相φ分别为( ) A ．T ＝6，φ＝π6B ．T ＝6，φ＝π3C ．T ＝6π，φ＝π6D ．T ＝6π，φ＝π3答案 A解析 T ＝2πω＝2ππ3＝6，代入(0,1)点得sin φ＝12.∵－π2<φ<π2，∴φ＝π6.2．已知a 是实数，则函数f (x )＝1＋a sin ax 的图像不可能是( )答案 D解析 当a ＝0时f (x )＝1，C 符合， 当0<|a |<1时T >2π， 且最小值为正数，A 符合， 当|a |>1时T <2π，B 符合． 排除A 、B 、C ，故选D.3．若函数y ＝sin(ωx ＋φ)(ω＞0)的部分图像如图，则ω等于 ( )A ．5B ．4C ．3D ．2答案 B解析 设函数的最小正周期为T ， 由函数图像可知T 2＝⎝⎛⎭⎫x 0＋π4－x 0＝π4， 所以T ＝π2.又因为T ＝2πω，可解得ω＝4.4．下列函数中，图像的一部分如下图所示的是( )A ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6B ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6C ．y ＝cos ⎝⎛⎭⎫4x －π3D ．y ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x －π6 答案 D解析 由图知T ＝4×⎝⎛⎭⎫π12＋π6＝π，∴ω＝2πT＝2. 又x ＝π12时，y ＝1，经验证，可得D 项解析式符合题目要求．5．函数y ＝12sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6与y 轴最近的对称轴方程是__________． 答案 x ＝－π6解析 令2x －π6＝k π＋π2(k ∈Z )，∴x ＝k π2＋π3(k ∈Z )．由k ＝0，得x ＝π3；由k ＝－1，得x ＝－π6.6．函数y ＝cos(2x ＋φ)(－π≤φ<π)的图像向右平移π2个单位后，与函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的图像重合，则φ＝______. 答案5π6解析 函数y ＝cos(2x ＋φ)向右平移π2个单位，得到y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3，即y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3向左平移π2个单位得到函数y ＝cos(2x ＋φ)，y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3向左平移π2个单位，得y ＝sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x ＋π2＋π3＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π＋π3＝－sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3＝cos ⎝⎛⎭⎫π2＋2x ＋π3＝cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋5π6，即φ＝5π6.7．已知曲线y ＝A sin(ωx ＋φ) (A >0，ω>0)上的一个最高点的坐标为⎝⎛⎭⎫π8，2，此点到相邻最低点间的曲线与x 轴交于点⎝⎛⎭⎫38π，0，若φ∈⎝⎛⎭⎫－π2，π2. (1)试求这条曲线的函数表达式；(2)用“五点法”画出(1)中函数在[0，π]上的图像． 解 (1)由题意知A ＝2，T ＝4×⎝⎛⎭⎫38π－π8＝π， ω＝2πT＝2，∴y ＝2sin(2x ＋φ)．又∵sin ⎝⎛⎭⎫π8×2＋φ＝1，∴π4＋φ＝2k π＋π2，k ∈Z ， ∴φ＝2k π＋π4，k ∈Z ，又∵φ∈⎝⎛⎭⎫－π2，π2，∴φ＝π4.∴y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4. (2)列出x 、y 的对应值表：二、能力提升8．如图是函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(x ∈R )在区间[－π6，5π6]上的图像．为了得到这个函数的图像，只要将y ＝sin x (x ∈R )的图像上所有的点( )A ．向左平移π3个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变 B ．向左平移π3个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变 C ．向左平移π6个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变 D ．向左平移π6个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变 答案 A解析 由图像可知A ＝1，T ＝5π6－(－π6)＝π， ∴ω＝2πT＝2. ∵图像过点(π3，0)， ∴sin(2π3＋φ)＝0， ∴2π3＋φ＝π＋2k π，k ∈Z ， ∴φ＝π3＋2k π，k ∈Z . ∴y ＝sin(2x ＋π3＋2k π)＝sin(2x ＋π3)． 故将函数y ＝sin x 先向左平移π3个单位长度后，再把所得各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，可得原函数的图像．9．函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)，⎝⎛⎭⎫ω＞0，－π2＜φ＜π2的部分图像如图所示，则ω，φ的值分别是( )A ．2，－π3B ．2，－π6C ．4，－π6D ．4，π3答案 A解析 34T ＝5π12－⎝⎛⎭⎫－π3＝3π4∴T ＝π由此可得T ＝2πω＝π，解得ω＝2， 得函数表达式为f (x )＝2sin(2x ＋φ)．又因为当x ＝5π12时取得最大值2， 所以2sin(2·5π12＋φ)＝2， 可得5π6＋φ＝π2＋2k π(k ∈Z )． 因为－π2＜φ＜π2， 所以取k ＝0，得φ＝－π3，故选A. 10．关于f (x )＝4sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3 (x ∈R )，有下列命题： ①由f (x 1)＝f (x 2)＝0可得x 1－x 2是π的整数倍；②y ＝f (x )的表达式可改写成y ＝4cos ⎝⎛⎭⎫2x －π6； ③y ＝f (x )图像关于⎝⎛⎭⎫－π6，0对称； ④y ＝f (x )图像关于x ＝－π6对称． 其中正确命题的序号为________．答案 ②③解析 对于①，由f (x )＝0，可得2x ＋π3＝k π (k ∈Z )． ∴x ＝k 2π－π6，∴x 1－x 2是π2的整数倍，∴①错； 对于②，f (x )＝4sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3利用公式得： f (x )＝4cos ⎣⎡⎦⎤π2－⎝⎛⎭⎫2x ＋π3＝4cos ⎝⎛⎭⎫2x －π6. ∴②对；对于③，f (x )＝4sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的对称中心满足2x ＋π3＝k π，k ∈Z ，∴x ＝k 2π－π6，k ∈Z .∴⎝⎛⎭⎫－π6，0是函数y ＝f (x )的一个对称中心，∴③对； 对于④，函数y ＝f (x )的对称轴满足2x ＋π3＝π2＋k π，k ∈Z ， ∴x ＝π12＋k π2，k ∈Z ，∴④错． 11．函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0，|φ|<π2)的最小值为－2，其图像相邻的最高点与最低点横坐标差是3π，又图像过点(0,1)，求函数的解析式．解 由于最小值为－2，所以A ＝2.又相邻的最高点与最低点横坐标之差为3π.故T ＝2×3π＝6π，从而ω＝2πT ＝2π6π＝13， y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫13x ＋φ.又图像过点(0,1)，所以sin φ＝12. 因为|φ|<π2，所以φ＝π6. 故所求解析式为y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫13x ＋π6.12．已知函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0)的图像过点P (π12，0)，图像与P 点最近的一个最高点坐标为(π3，5)． (1)求函数解析式；(2)指出函数的增区间；(3)求使y ≤0的x 的取值范围．解 (1)∵图像最高点坐标为(π3，5)，∴A ＝5. ∵T 4＝π3－π12＝π4，∴T ＝π. ∴ω＝2πT ＝2.∴y ＝5sin(2x ＋φ)．代入点(π3，5)， 得sin(23π＋φ)＝1. ∴23π＋φ＝2k π＋π2，k ∈Z .令k ＝0，则φ＝－π6， ∴y ＝5sin(2x －π6)． (2)∵函数的增区间满足2k π－π2≤2x －π6≤2k π＋π2(k ∈Z )，∴2k π－π3≤2x ≤2k π＋2π3(k ∈Z )． ∴k π－π6≤x ≤k π＋π3(k ∈Z )． ∴增区间为[k π－π6，k π＋π3](k ∈Z )． (3)∵5sin(2x －π6)≤0， ∴2k π－π≤2x －π6≤2k π(k ∈Z )， ∴k π－512π≤x ≤k π＋π12(k ∈Z )． 三、探究与创新13．已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ) (ω>0,0≤φ≤π)是R 上的偶函数，其图像关于点M ⎝⎛⎭⎫3π4，0对称，且在区间⎣⎡⎦⎤0，π2上是单调函数，求φ和ω的值． 解 ∵f (x )在R 上是偶函数，∴当x ＝0时，f (x )取得最大值或最小值．即sin φ＝±1，得φ＝k π＋π2，k ∈Z ， 又0≤φ≤π，∴φ＝π2. 由图像关于M ⎝⎛⎭⎫3π4，0对称可知，sin ⎝⎛⎭⎫3π4ω＋π2＝0， 解得ω＝43k －23，k ∈Z . 又f (x )在⎣⎡⎦⎤0，π2上是单调函数，所以T ≥π，即2πω≥π， ∴ω≤2，又ω>0，∴当k ＝1时，ω＝23；当k ＝2时，ω＝2.。
1.8 函数y=Asin（ωxφ）的图象自主广场我夯基我达标1.浙江高考卷，文1)函数y＝sin(2x+ )的最小正周期是（）6A. B.π C.2π D.4π222思路解析：T= = =π.2 答案：B2.若函数y=f（x）的图像上各点的纵坐标保持不变，横坐标伸长到原来的2倍，然后再将整1个图像沿x轴向左平移个单位，沿y轴向下平移1个单位，得到的曲线与y= sinx的图像2 2相同，则y=f（x）是（）11A.y= sin（2x+ ）+1B.y= sin（2x- ）+12222 11C.y= sin（2x- ）+1D.y= sin（2x+ ）+1242411思路解析：逆向法解决，将y= sinx的图像沿y轴向上平移1个单位得到函数y= sinx+12 211的图像；再将函数y= sinx+1的图像向右平移个单位得到函数y= sin（x- ）+1的图222211像；再将函数y= sin（x- ）+1的图像上各点的纵坐标保持不变，横坐标缩短到原来的22 21得到函数y= sin（2x- ）+1.这就是函数y=f（x）的解析式.2 2答案：B3.(2006四川高考卷，理5文6)下列函数中，图像的一部分如图1-7-5所示的是（）图1-7-5A.y=sin(x+ ）B.y=sin(2x- ）C.y=cos(4x- ）D.y=cos(2x- ）663612思路解析：从图像看出，T= + = ，∴函数的最小正周期为π.∴ω==2.∴排除41264TA、C.∵图像过点(- ,0)，代入选项B，∴f(-)=sin(- - )=-1≠0.∴排除B.663 6 答案：D4.把函数y=sin(ωx+φ)（其中φ为锐角）的图像向右平移8个单位，或向左平移38个单位都可使对应的新函数成为奇函数，则原函数的一条对称轴方程是（）15 A.x=B.x=C.x=-D.x=2 48 8思路解析：将函数 y=sin(ωx+φ)的图像向右平移 个单位后，得函数 y=sin ［ω(x - ）88+φ］为奇函数，根据奇函数的性质，由函数的定义域为 R ，知 sin ［ω(0- )+φ］=0（即8f(0)=0）.∴ω(- )+φ=0,φ=.88 33将函数 y=sin(ωx+φ)向左平移个单位后，得函数 y=sin ［ω(x+）+φ］也是奇函数，8833∴sin ［ω(0+)+φ］=0.将 φ=代入，得 sin(+)=0.8888∴=kπ,ω=2k(k∈Z ).∵φ∈(0,)，∴ω=2，且 φ= .又正弦函数图像的对称轴过取22 4k55得最值的点，设 2x+ =kπ+ ，则 x= + .当 k=1时，x=，即 x=是函数 y=sin(2x+42288 8)的一条对称轴方程. 4 答案：D5.求函数 y=2sin （3x-4）的对称中心.思路分析：利用整体策略求出对称中心坐标. 解：由 y=sinx 的对称中心是（kπ，0），令 3x-k即对称中心是（+，0）（k ∈Z ）.3124=kπ，x=k3+12（k∈Z ）,6.设函数 f(x)=Asin(ωx+φ)(A ＞0,ω＞0),φ 取何值时，f(x)为奇函数？思路分析：结合正弦函数的图像和性质来讨论. 解：（1）∵x∈R ，f(x)是奇函数，∴f(x)+f(-x)=0. 则有 f(0)=0，∴sinφ=0.∴φ=kπ,k∈Z . 当 φ=kπ,k∈Z 时，f(x )=Asin(ωx+kπ)， 当 k 为偶数时，f(x)=Asin(ωx)是奇函数； 当 k 为奇数时，f(x)=-Asin(ωx)是奇函数. 综上可得,当 φ=kπ,k∈Z 时，f(x)为奇函数.我综合 我发展7.函数y=5sin( -2x)的单调递增区间是_________.43思路解析：函数y=-5sin(2x- )=5sin(2x+ )，令2kπ-445解得kπ-≤x≤kπ-.4455答案：［kπ-,kπ-］(k∈Z)4442≤2x+34≤2kπ+2(k∈Z)，218.已知sin（2x+ ）=- ，x∈［0，2π］，求角x的集合.32思路分析：先由x的范围确定2x+ 的范围，然后判断角的个数求出角.313解：∵0≤x≤2π，∴≤2x+≤.33 31∵sin（2x+ ）=- ，327111317∴2x+= 或2x+ = 或2x+ = 或2x+ = .36363636 53115∴x＝，，，.12412453115∴x的集合为{ ，，，}.124124k9.函数f(x)=2sin( x+ )（k≠0）.53（1）求f(x)的最大值M、最小值N和最小正周期T.（2）试求最小的正整数k，使得当自变量x在任意两个整数间（包括整数本身）变化时，函数f(x)至少有一个值是M,一个值是N.（3）当k=10时，由y=sinx的图像经过怎样的变换得到y=f(x)的图像?思路分析：由于k影响函数的周期，所以求最小的正整数k就要讨论函数周期的限制.解：（1）∵f(x)=2sin(k5x+3)，k≠0，且x∈R，10|k|∴M=2，N=-2，T=.（2）由题意，得当自变量x在任意两个整数间变化时，函数f(x)至少有一个最大值，又有一10|k|个最小值，则函数的周期应不大于区间长度的最小值1，即≤1，解得|k|≥10π，所以最小的正整数k=32.（3）当k=10时，有f(x)=2sin(2x+ 变换步骤是：3).①把y=sinx的图像上所有的点向左平行移动个单位，得函数y=sin(x+ )的图像；3 31②把函数y=sin(x+ )的图像上所有点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），得函数3 2y=sin(2x+ )的图像；3③把函数y=sin(2x+ )的图像上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍（横坐标不变），得函数3f(x)=2sin(2x+ )的图像.310. 如图1-7-6 所示，某地一天从6 时至14 时的温度变化曲线近似满足函数3y=Asin(ωx+φ)+b(A ＞0,ω＞0,0＜φ＜π).图 1-7-6（1）求这段时间的最大温差； （2）写出这段曲线的函数解析式.思路分析：图像最上方的点的纵坐标是温度的最大值，最下方的点的纵坐标是温度的最小值. 解：（1）由图知这段时间的最大温差是 30-10=20（℃）. （2）图中从6时到14时的图像是函数y=Asin(ωx+φ)+b 的半个周期的图像，即1 1∴ω= ,A= (30-10）=10，b= (30+10)=20.8 223 这时 y=10sin( x+φ)+20.将 x=6,y=10代入上式，可取 φ=843 综上，所求的解析式为 y=10sin( x+)+20，x∈［0,14］.84.2=2(14-6)，4。
8 函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图像与性质(2)课时跟踪检测一、选择题1．函数y ＝sin(2x ＋π)是( ) A ．周期为π的奇函数 B ．周期为π的偶函数 C ．周期为2π的奇函数D ．周期为2π的偶函数解析：y ＝sin(2x ＋π)＝－sin2x ，周期为2π2＝π.∵f (－x )＝－sin2(－x )＝sin2x ＝－f (x )， ∴y ＝sin(2x ＋π)为奇函数． 答案：A2．已知函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4，若存在α∈(0，π)，使得f (x ＋α)＝f (x ＋3α)恒成立，则α的值是( )A ．π6B ．π3C ．π4D ．π2解析：函数f (x )的周期T ＝2π2＝π. ∵f (x ＋α)＝f (x ＋3α)，∴T ＝2α＝π，即α＝π2.答案：D3．已知函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫π4－2x ，则其图像的下列结论中，正确的是( )A ．向左平移π8后得到奇函数B ．向左平移π8后得到偶函数C ．关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫－π8，1中心对称 D ．关于直线x ＝π8轴对称答案：A4．若将函数y ＝2sin2x 的图像向左平移π12个单位长度，则平移后图像的对称轴为( )A ．x ＝k π2－π6(k ∈Z )B ．x ＝k π2＋π6(k ∈Z ) C ．x ＝k π2－π12(k ∈Z ) D ．x ＝k π2＋π12(k ∈Z ) 解析：由题意，将函数y ＝2sin2x 的图像向左平移π12个单位得y ＝2sin2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π12＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6，则平移后函数的对称轴为2x ＋π6＝π2＋k π，k ∈Z ，即x ＝π6＋k π2，k ∈Z ，故选B ．答案：B5．已知函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)(ω＞0)的图像关于直线x ＝π3对称，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12＝0，则ω的最小值为( )A ．2B ．4C ．6D ．8解析：由题意得π3ω＋φ＝k 1π＋π2(k 1∈Z )，π12ω＋φ＝k 2π(k 2∈Z )，∴π4ω＝(k 1－k 2)π＋π2(k 1，k 2∈Z )．∴ω＝4(k 1－k 2)＋2(k 1，k 2∈Z )．∵ω＞0，∴ω的最小值为2.答案：A6．设函数f (x )＝cos ωx (ω＞0)，将y ＝f (x )的图像向右平移π3个单位长度后，所得的图像与原图像重合，则ω的最小值等于( )A ．13B ．3C ．6D ．9解析：依题意得f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤ω⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －π3ω＝cos ωx ，∴－π3ω＝2k π(k ∈Z )，∴ω＝－6k .又ω＞0，∴当k ＝－1时，ω有最小值6. 答案：C 二、填空题7．函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋π3，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π，π2的单调递增区间为________．解析：由－π2＋2k π≤12x ＋π3≤π2＋2k π，k ∈Z 得函数的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤4k π－5π3，π3＋4k π，k ∈Z .又x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π，π2，∴单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π，π3.答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π，π3 8．(2018·某某卷)已知函数y ＝sin(2x ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2<φ<π2的图像关于直线x ＝π3对称，则φ的值是________．解析：由题意可得sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫23π＋φ＝±1，所以23π＋φ＝π2＋k π，φ＝－π6＋k π(k ∈Z )，因为－π2<φ<π2，所以当k ＝0时，φ＝－π6.答案：－π69．设函数y ＝sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫ω＞0，φ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2的最小正周期为π，且图像关于直线x ＝π12对称，则在下面四个结论中：①图像关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，0对称； ②图像关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，0对称； ③在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π6上是增函数； ④在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，0上是增函数． 那么所有正确结论的编号为________． 解析：∵2πω＝π，∴ω＝2.∴f (x )＝sin(2x ＋φ)， 又∵f (x )关于x ＝π12对称，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2·π12＋φ＝±1， ∴π6＋φ＝k π＋π2， ∴φ＝k π＋π3，k ∈Z ，又∵φ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2， ∴令k ＝0得φ＝π3，∴f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3. 令f (x )＝0得2x ＋π3＝k π，∴x ＝k π2－π6，k ∈Z ， 令k ＝1得一个对称中心⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，0， 令－π2≤2x ＋π3≤π2，－512π≤x ≤π12， ∴f (x )的一个增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－512π，π12，又∵⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，0⊆⎣⎢⎡⎦⎥⎤－512π，π12，∴②④正确． 答案：②④ 三、解答题10．已知函数f (x )＝12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＋54.(1)求f (x )的最大值、最小值，及相应x 的值； (2)求f (x )的最小正周期、对称轴和对称中心；(3)函数f (x )的图像至少向左平移多少个单位长度时才为偶函数？解：(1)当2x ＋π6＝2k π＋π2(k ∈Z )时，f (x )有最大值74，即当x ＝π6＋k π(k ∈Z )时，f (x )max ＝74，当2x ＋π6＝－π2＋2k π(k ∈Z )时，f (x )有最小值34，即当x ＝k π－π3(k ∈Z )时，f (x )min ＝34.(2)由T ＝2π|ω|知函数f (x )的最小正周期为T ＝π.令2x ＋π6＝k π＋π2(k ∈Z )，则x ＝k π2＋π6(k ∈Z )，∴对称轴为直线x ＝k π2＋π6(k ∈Z )， 令2x ＋π6＝k π(k ∈Z )，则x ＝k π2－π12(k ∈Z )，∴对称中心为⎝⎛⎭⎪⎫k π2－π12，54(k ∈Z )．(3)由函数性质知若函数y ＝A sin(ωx ＋φ)＋b 为偶函数，φ＞0，则φ至少为π2，即y ＝12sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π2＋54＝12cos2x ＋54为偶函数．∴应将函数y ＝12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＋54的图像平移至函数y ＝12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π2＋54的图像处．由函数图像平移方法知：y ＝12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＋54的图像――→向左平移π6个单位长度y ＝12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π2＋54的图像，∴函数f (x )的图像至少向左平移π6个单位长度才为偶函数．11．已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)，x ∈R ⎝ ⎛⎭⎪⎫其中A ＞0，ω＞0，0＜φ＜π2的图像与x 轴的交点中，相邻两个交点之间的距离为π2，且图像上一个最低点为M ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3，－2.(1)求f (x )的解析式； (2)当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π12，π2，求f (x )的值域．解：(1)由最低点为M ⎝⎛⎭⎪⎫2π3，－2得A ＝2.由x 轴上相邻的两个交点之间的距离为π2得T 2＝π2，即T ＝π，ω＝2πT ＝2ππ＝2.由点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3，－2在图像上知，2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×2π3＋φ＝－2， 即sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4π3＋φ＝－1. 故4π3＋φ＝2k π－π2(k ∈Z )，∴φ＝2k π－11π6(k ∈Z )． 又∵φ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，∴φ＝π6.故f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6.(2)∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π12，π2，∴2x ＋π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，7π6.当2x ＋π6＝π2，即x ＝π6时，f (x )取得最大值2；当2x ＋π6＝7π6，即x ＝π2时，f (x )取得最小值－1，故f (x )的值域为[－1,2]．12．已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)－b (ω＞0,0＜φ＜π)的图像两相邻对称轴之间的距离是π2，若将f (x )的图像先向右平移π6个单位，再向上平移3个单位，所得函数g (x )为奇函数．(1)求f (x )的解析式；(2)求f (x )的对称轴及单调区间．解：(1)∵2πω＝2×π2，∴ω＝2，∴f (x )＝sin(2x ＋φ)－b .又∵g (x )＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6＋φ－b ＋3为奇函数，且0＜φ＜π，则φ＝π3，b ＝3，故f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3－ 3. (2)由(1)知f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3－3，其对称轴由2x ＋π3＝k π＋π2(k ∈Z )，得x ＝k π2＋π12(k ∈Z )．由2k π－π2≤2x ＋π3≤2k π＋π2(k ∈Z )，得k π－5π12≤x ≤k π＋π12(k ∈Z )，由2k π＋π2≤2x ＋π3≤2k π＋3π2(k ∈Z )，得k π＋π12≤x ≤k π＋7π12(k ∈Z )．∴函数f (x )的对称轴为x ＝k π2＋π12(k ∈Z )，增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－5π12，k π＋π12(k ∈Z )， 减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π＋π12，k π＋7π12(k ∈Z )．13．已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)与对数函数y ＝g (x )在同一坐标系中的图像如图所示．(1)分别写出两个函数的解析式； (2)方程f (x )＝g (x )共有多少个解？ 解：(1)由图像知A ＝2，φ＝0，T ＝2， 故ω＝π，f (x )＝2sinπx .设g (x )＝log a x ，由图像知log a 4＝－1， 故a ＝14，g (x )＝log 14x .(2)因g (x )为减函数，f (x )最小值为－2.故当g (x )≥－2时，可能有交点，由log 14x ≥－2，得0＜x ≤16.当2≤x ≤16时，f (x )与g (x )在f (x )的每一个周期上的图像均有两个交点，共14个交点；当0＜x ＜2时，由图像知有3个交点；当x＞16时，图像无交点．综上可知f(x)＝g(x)共有17个解．。
§8 函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图像(一)课时目标 1．了解φ、ω、A 对函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)的图像的影响．2．掌握y ＝sin x 与f (x )＝A sin(ωx ＋φ)图像间的变换关系．用“图像变换法”作y ＝A sin(ωx ＋φ) (A >0，ω>0)的图像 1．φ对y ＝sin(x ＋φ)，x ∈R 的图像的影响y ＝sin(x ＋φ) (φ≠0)的图像可以看作是把正弦曲线y ＝sin x 上所有的点______(当φ>0时)或______(当φ<0时)平行移动______个单位长度而得到．2．ω(ω>0)对y ＝sin(ωx ＋φ)的图像的影响函数y ＝sin(ωx ＋φ)的图像，可以看作是把y ＝sin(x ＋φ)的图像上所有点的横坐标______(当ω>1时)或______(当0<ω<1时)到原来的______倍(纵坐标________)而得到．3．A (A >0)对y ＝A sin(ωx ＋φ)的图像的影响函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图像，可以看作是把y ＝sin(ωx ＋φ)图像上所有点的纵坐标______(当A >1时)或______(当0<A <1时)到原来的______(横坐标不变)而得到，函数y ＝A sin x 的值域为________，最大值为____，最小值为____．4．函数y ＝sin x 的图像到函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图像的变换过程．y ＝sin x 的图像――→向左(φ>0)或向右(φ<0)平移|φ|个单位______________的图像10ωω>−−−−−−−−−→横坐标变为原来的（）倍纵坐标不变__________的图像――→纵坐标变为原来的A (A >0)倍横坐标不变______________的图像．一、选择题1．要得到y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π3的图像，只要将y ＝sin x 的图像( ) A ．向左平移π3个单位长度B ．向右平移π3个单位长度C ．向左平移π6个单位长度D ．向右平移π6个单位长度2．为得到函数y ＝cos(x ＋π3)的图像，只需将函数y ＝sin x 的图像( )A ．向左平移π6个单位长度B ．向右平移π6个单位长度C ．向左平移5π6个单位长度D ．向右平移5π6个单位长度3．把函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4的图像向右平移π8个单位，所得图像对应的函数是( ) A ．非奇非偶函数 B ．既是奇函数又是偶函数 C ．奇函数 D ．偶函数4．将函数y ＝sin 2x 的图像向左平移π4个单位，再向上平移1个单位，所得图像的函数解析式是( )A ．y ＝cos 2xB ．y ＝1＋cos 2xC ．y ＝1＋sin(2x ＋π4) D ．y ＝cos 2x －15．为了得到函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3的图像，只需把函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6的图像( ) A ．向左平移π4个长度单位B ．向右平移π4个长度单位C ．向左平移π2个长度单位D ．向右平移π2个长度单位6．把函数y ＝sin x (x ∈R )的图像上所有的点向左平行移动π3个单位长度，再把所得图像上所有点的横坐标缩短到原来的12倍(纵坐标不变)，得到的图像所表示的函数是( )A ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3，x ∈R B ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x 2＋π6，x ∈RC ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3，x ∈R D ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋2π3，x-Ray二、填空题7．函数y ＝sin 2x 图像上所有点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变，所得图像的函数解析式为f (x )＝____________．8．将函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6的图像向左平移π6个单位，所得函数的解析式为____________． 9．为得到函数y ＝cos x 的图像，可以把y ＝sin x 的图像向右平移φ个单位得到，那么φ的最小正值是____．10．某同学给出了以下论断：①将y ＝cos x 的图像向右平移π2个单位，得到y ＝sin x 的图像；②将y ＝sin x 的图像向右平移2个单位，可得到y ＝sin(x ＋2)的图像； ③将y ＝sin(－x )的图像向左平移2个单位，得到y ＝sin(－x －2)的图像；④函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的图像是由y ＝sin 2x 的图像向左平移π3个单位而得到的． 其中正确的结论是______(将所有正确结论的序号都填上)．三、解答题11．怎样由函数y ＝sin x 的图像变换得到y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3的图像，试叙述这一过程．12．已知函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫π3－2x (x ∈R )． (1)求f (x )的单调减区间；(2)经过怎样的图像变换使f (x )的图像关于y 轴对称？(仅叙述一种方案即可)．能力提升13．要得到y ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x －π4的图像，只要将y ＝sin 2x 的图像( ) A ．向左平移π8个单位 B ．向右平移π8个单位C ．向左平移π4个单位D ．向右平移π4个单位14．使函数y ＝f (x )图像上每一点的纵坐标保持不变，横坐标缩小到原来的12倍，然后再将其图像沿x 轴向左平移π6个单位得到的曲线与y ＝sin 2x 的图像相同，则f (x )的表达式为( )A ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫4x －π3B ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π6 C ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫4x ＋π3 D ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π31．由y ＝sin x 的图像，通过变换可得到函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图像，其变化途径有两条：(1)y ＝sin x ――→相位变换y ＝sin(x ＋φ)――→周期变换y ＝sin(ωx ＋φ)――→振幅变换y ＝A sin(ωx ＋φ)．(2)y ＝sin x ――→周期变换y ＝sin ωx ――→相位变换y ＝sin[ω(x ＋φω)]＝sin(ωx ＋φ)――→振幅变换y ＝A sin(ωx ＋φ)．注意：两种途径的变换顺序不同，其中变换的量也有所不同：(1)是先相位变换后周期变换，平移|φ|个单位．(2)是先周期变换后相位变换，平移|φ|ω个单位，这是很易出错的地方，应特别注意．2．类似地y ＝A cos(ωx ＋φ) (A >0，ω>0)的图像也可由y ＝cos x 的图像变换得到．§8 函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图像(一) 答案知识梳理1．向左 向右 |φ| 2．缩短 伸长 1ω不变 3．伸长 缩短 A 倍 [－A ，A ] A －A 4．y ＝sin(x ＋φ) y ＝sin(ωx ＋φ)y ＝A sin(ωx ＋φ) 作业设计1．B 2．C 3．D4．B [将函数y ＝sin 2x 的图像向左平移π4个单位，得到函数y ＝sin2(x ＋π4)，即y ＝sin(2x＋π2)＝cos 2x 的图像，再向上平移1个单位，所得图像的函数解析式为y ＝1＋cos 2x ．] 5．B [y ＝sin(2x ＋π6) 4π→向右平移个长度单位y ＝sin[2(x －π4)＋π6]＝sin(2x －π3)．]6．C [把函数y ＝sin x 的图像上所有的点向左平行移动π3个单位长度后得到函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3的图像，再把所得图像上所有的点的横坐标缩短到原来的12倍，得到函数 y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的图像．] 7．sin x8．y ＝cos 2x 9．32π 解析 y ＝sin x ＝cos ⎝⎛⎭⎫π2－x ＝cos ⎝⎛⎭⎫x －π2向右平移φ个单位后得y ＝cos ⎝⎛⎭⎫x －φ－π2， ∴φ＋π2＝2k π，k ∈Z ，∴φ＝2k π－π2，k ∈Z ．∴φ的最小正值是32π．10．①③11．解 由y ＝sin x 的图像通过变换得到函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3的图像有两种变化途径： ①y ＝sin x ――→向右平移π3个单位y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π3――→纵坐标不变横坐标缩短为12y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3 ②y ＝sin x ――→纵坐标不变横坐标缩短为12y ＝sin 2x ――→向右平移π6个单位y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3． 12．解 (1)由已知函数化为y ＝－sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3．欲求函数的单调递减区间，只需求 y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3的单调递增区间． 由2k π－π2≤2x －π3≤2k π＋π2 (k ∈Z )，解得k π－π12≤x ≤k π＋512π (k ∈Z )，∴原函数的单调减区间为⎣⎡⎦⎤k π－π12，k π＋512π (k ∈Z )． (2)f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫π3－2x ＝cos ⎣⎡⎦⎤π2－⎝⎛⎭⎫π3－2x。
8 函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图像与性质(1)课时跟踪检测一、选择题1．函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3的最大值及振幅分别为( )A ．2，2B ．－2，πC ．2，－2D ．2，π答案：A2．函数y ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－x ＋π6的相位和初相分别为( ) A ．－x ＋π6，π6B ．x ＋5π6，5π6C ．x －π6，－π6D ．x ＋5π6，π6解析：y ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－x ＋π6＝3sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π－⎝ ⎛⎭⎪⎫－x ＋π6＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋5π6，∴相位是x ＋5π6，初相是5π6.答案：B3．将函数y ＝sin x 的图像上所有的点向左平移π3个单位长度，再将图像上所有的点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，那么所得图像的函数解析式为( )A ．y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋π3 B ．y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋π6C ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3 D ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3 解析：将y ＝sin x 的图像上所有的点向左平移π3个单位长度，得到y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3的图像，再将图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，得到y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋π3的图像．答案：A4．函数f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x4＋2，如果存在实数x 1，x 2使得对任意实数x ，都有f (x 1)≤f (x )≤f (x 2)，那么|x 1－x 2|的最小值是( )A ．8πB ．4πC ．2πD ．π解析：由题意可知，|x 1－x 2|的最小值即函数最小正周期的一半T 2＝12×2π14＝4π.答案：B5．函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫ω＞0，|φ|＜π2的局部图像如下图，为得到函数f (x )的图像，只需得g (x )＝sin ωx 的图像( )A ．向右平移π6个单位长度B ．向右平移5π6个单位长度C ．向左平移π6个单位长度D ．向左平移5π6个单位长度解析：由图像知，T ＝4⎝⎛⎭⎪⎫7π12－π3＝π，∴ω＝2πT ＝2.∴f (x )＝sin(2x ＋φ)，代入点⎝⎛⎭⎪⎫7π12，－1，得sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×7π12＋φ＝－1，又|φ|＜π2，∴φ＝π3.∴f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ 2x ＋π3.又g (x )＝sin2x ，∴只需将g (x )的图像向左平移π6个单位，即得f (x )的图像．答案：C6．假设把函数y ＝sin ωx (ω＞0)的图像向左平移π3个单位后与函数y ＝cos ωx 的图像重合，那么ω的值可能是( )A.13 B ．12 C.32D ．23解析：y ＝sin ωx 向左平移π3个单位后得到y ＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤ω⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋ω3π，它与y ＝cos ωx 重合，故ω3π＝2k π＋π2(k ∈Z )，∴ω的值可能是32.答案：C 二、填空题。
