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平面向量一、选择题1.（四川理4）如图，正六边形ABCDEF 中，B A C D E F ++=A ．0B ．B EC ．A DD ．C F【答案】D【解析】B A C D E F B A A F E F B F E F C E E F C F ++=++=+=+=2.（山东理12）设1A ，2A ，3A ，4A 是平面直角坐标系中两两不同的四点，若1312A A A A λ=（λ∈R ），1412A AA A μ=（μ∈R ），且112λμ+=,则称3A ，4A 调和分割1A ，2A ,已知平面上的点C ，D 调和分割点A ，B 则下面说法正确的是 A ．C 可能是线段AB 的中点 B ．D 可能是线段AB 的中点 C ．C ，D 可能同时在线段AB 上 D ．C ，D 不可能同时在线段AB 的延长线上 【答案】D3.（全国新课标理10）已知a ，b 均为单位向量，其夹角为θ，有下列四个命题12:||1[0,)3p a b πθ+>⇔∈22:||1(,]3p a b πθπ+>⇔∈13:||1[0,)3p a b πθ->⇔∈4:||1(,]3p a b πθπ->⇔∈其中真命题是（A ） 14,p p （B ） 13,p p （C ） 23,p p （D ） 24,p p 【答案】A4.（全国大纲理12）设向量a ，b ，c 满足a=b=1，a b =12-，,a c b c --=060，则c的最大值等于 A ．2 B ．3C ．2D ．1 【答案】A5.（辽宁理10）若a ，b ，c 均为单位向量，且0=⋅ba ，0)()(≤-⋅-c b c a，则||c b a-+的最大值为（A ）12- （B ）1 （C ）2 （D ）2【答案】B6.（湖北理8）已知向量a=（x +z,3）,b=（2,y-z ），且a ⊥ b ．若x ,y 满足不等式1x y +≤，则z 的取值范围为 A ．[-2，2] B ．[-2，3] C ．[-3，2] D ．[-3，3] 【答案】D7.（广东理3）若向量ａ，ｂ，ｃ满足ａ∥ｂ且ａ⊥ｂ，则(2)c a b ∙+= A ．4 B ．3 C ．2 D ．0 【答案】D8.（广东理5）已知在平面直角坐标系x O y上的区域D 由不等式组0222x y x y ⎧≤≤⎪≤⎨⎪≤⎩给定。
2008年全国各地高考数学试题及解答分类汇编大全（10平面向量）一、选择题：1．（2008安徽文）若(2,4)AB =，(1,3)AC =, 则BC =（ B ）A ．（1，1）B ．（－1，－1）C ．（3，7）D ．（-3,-7）2．（2008安徽理）在平行四边形ABCD 中，AC 为一条对角线，若(2,4)AB =，(1,3)AC =,则=（ B ）A ． （－2，－4）B ．（－3，－5）C ．（3，5）D ．（2，4）3．(2008广东文)已知平面向量),2(),2,1(m b a -==，且∥，则32+=（C ） A ．（-2，-4） B. （-3，-6） C. （-4，-8） D. （-5，-10）4．(2008广东理)在平行四边形ABCD 中，AC 与BD 交于点O ，E 是线段OD 的中点，AE 的延长线与CD 交于点F. 若=, =,则=（ B ）A ．1142a b + B.2133a b + C.1124a b +D. 1233a b + 4.解法1:21=,b a OD AO AD 2121+=+=,412121212121)(21+=⎪⎭⎫ ⎝⎛++=+=,由A 、E 、F 三点共线,知1,>=λλ而满足此条件的选择支只有B ，故选B.4. 解法2:如图，分别过点D 、O 作直线AO 、AD 的平行 线，两平行线相交于G 点，显然F 是△DOG 的重心，3131==，所以34=，由解法1知， 313241213434+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+==，故选B.5、(2008海南、宁夏文)已知平面向量a =（1，－3），b =（4，－2），a b λ+与a 垂直，则λ是（ A ）A. －1B. 1C. －2D. 26．(2008湖北文、理)设a =(1,-2),b =(-3,4),c =(3,2),则(a +2b )·c =（C ）A.(-15,12)B.0 C .-3 D.-117. (2008湖南理)设D 、E 、F 分别是△ABC 的三边BC 、CA 、AB 上的点，且2,DC BD =2,CE EA =2,AF FB =则AD BE CF ++与BC ( A. )A.反向平行B.同向平行C.互相垂直D.既不平行也不垂直【解析】由定比分点的向量式得:212,1233AC AB AD AC AB +==++12,33BE BC BA =+12,33CF CA CB =+以上三式相加得 1,3AD BE CF BC ++=-所以选A.8．(2008辽宁文)已知四边形ABCD 的三个顶点(02)A ，，(12)B --，，(31)C ，，且2BC AD =，则顶点D 的坐标为（ A ） A ．722⎛⎫ ⎪⎝⎭， B ．122⎛⎫- ⎪⎝⎭，C ．(32)，D ．(13)，9．(2008辽宁理)已知O ，A ，B 是平面上的三个点，直线AB 上有一点C ，满足20AC CB +=，则OC =（A ）A ．2OA OB - B ．2OA OB -+C ．2133OA OB - D ．1233OA OB -+10．(2008全国Ⅰ卷文、理)在ABC △中，AB =c ，AC =b ．若点D 满足2BD DC =，则AD =（ A ）A ．2133+b cB ．5233-c b C ．2133-b cD ．1233+b c11．(2008四川文)设平面向量()()3,5,2,1a b ==-，则2a b -=( A ) （Ａ）()7,3 （Ｂ）()7,7 （Ｃ）()1,7 （Ｄ）()1,312．（2008浙江理））已知a ，b 是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量c 满足0)()(=-⋅-c b c a ,则c 的最大值是（ C ）（A ）1 （B ）2 （C ）2 （D ）22二、填空题： 1．（2008北京文）已知向量a 与b 的夹角为120°，且｜a ｜=|b |=4,那么a ·b 的值为 -8 . 2．（2008北京理）已知向量a 与b 的夹角为120，且4==a b ，那么(2)+b a b 的值为 0 ．3、(2008海南、宁夏理)已知向量(0,1,1)a =-，(4,1,0)b =，||29a b λ+=且0λ>，则λ= ___3___4．(2008江西文)如图，正六边形ABCDEF 中，有下列四个命题： A ．2AC AF BC += B ．22AD AB AF =+ C ．AC AD AD AB ⋅=⋅D ．()()AD AF EF AD AF EF ⋅=⋅其中真命题的代号是 A 、B 、D （写出所有真命题的代号）．4.2AC AF AC CD AD BC +=+==, ∴A 对 取AD 的中点O ,则22AD AO AB AF ==+, ∴B 对 设1AB =, 则32cos 36AC AD π⋅=⨯⨯=,而21cos13AD AF π⋅=⨯⨯=,∴C 错又212cos1()3AB AD AF π⋅=⨯⨯==,∴D 对∴真命题的代号是,,A B DABDECF5. (2008江苏) a ，b 的夹角为120︒，1a =，3b = 则5a b -= 7 ． 5．【解析】本小题考查向量的线性运算．()2222552510a b a b a a b b -=-=-+=22125110133492⎛⎫⨯-⨯⨯⨯-+= ⎪⎝⎭，5a b -=76．(2008湖南文) 已知向量)3,1(=，)0,2(-=，则+=____2____.7．(2008江西理)直角坐标平面内三点()()()1,23,29,7A B C -、、，若E F 、为线段BC 的三等分点，则·＝ 22 ．8．(2008全国Ⅱ卷文、理)设向量(12)(23)==，，，a b ，若向量λ+a b 与向量(47)=--，c 共线，则=λ 2 ．9.(2008陕西文、理)关于平面向量，，a b c ．有下列三个命题： ①若a b =a c ，则=b c ．②若(1)(26)k ==-，，，a b ，∥a b ，则3k =-． ③非零向量a 和b 满足||||||==-a b a b ，则a 与+a b 的夹角为60． 其中真命题的序号为 ② ．（写出所有真命题的序号）10．(2008上海文、理)若向量a ，b 满足12a b ==，且a 与b 的夹角为3π，则a b +11．（2008浙江文）已知a 是平面内的单位向量，若向量b 满足()0b a b -=，则||b 的取值范围是[0,1]。
高中平面向量经典练习题【编著】黄勇权一、填空题1、向量a=（2，4），b=（-1，-3），则向量3a-2b的坐标是。
2、已知向量a与b的夹角为60°，a=（3，4），|b | =1，则|a+5b | = 。
3、已知点A（1，2），B（2，1），若→AP=（3，4），则→BP= 。
4、已知A（-1，2），B（1，3），C（2，0），D（x，1），若AB与CD共线，则|BD|的值等于________。
5、向量a、b满足|a|=1，|b|= 2 ，(a+b)⊥(2a-b)，则向量a与b的夹角为________。
6、设向量a，b满足|a＋b|＝ 10，|a－b|＝ 6 ，则a·b＝。
7、已知a、b是非零向量且满足(a－2b)⊥a，(b－2a)⊥b，则a与b的夹角是。
8、在△ABC中，D为AB边上一点，→AD =12→DB，→CD =23→CA + m→CB，则m= 。
9、已知非零向量a，b满足|b|=4|a|，a⊥（2a+b），则a与b的夹角是。
10、在三角形ABC中，已知A（-3，1），B（4，-2），点P（1，-1）在中线AD上，且→AP= 2→PD，则点C的坐标是（）。
二、选择题1、设向量→OA=（6，2），→OB=（-2，4），向量→OC垂直于向量→OB，向量→BC平行于→OA，若→OD +→OA=→OC，则→OD坐标=（）。
A、（11，6）B、（22，12）C、（28，14）D、（14，7）2、把A（3,4）按向量a（1,-2）平移到A',则点A'的坐标（）A、（4 , 2）B、（3，1）C、（2，1）D、（1，0）3、已知向量a，b，若a为单位向量, 且 | a| = | 2b| ,则（2a+ b）⊥（a-2b），则向量a与b的夹角是（）。
A、90°B、60°C、30°D、0°4、已知向量ab的夹角60°，| a|= 2，b=（-1，0），则| 2a-3b|=（）A、 15B、 14C、 13D、 115、在菱形ABCD中，∠DAB＝60°，|2·→0C ＋→CD|＝4，则,|→BC+→CD|＝______.A、12B、8C、4D、26题、7题、8、若向量a＝(3,4)，向量b＝(2,1)，则a在b方向上的投影为________．A、2B、4C、8D、169题、10、已知正方形ABCD的边长为2，E为CD的中点，则→AE·→BD＝.A、-1B、1C、-2D、2三、解答题1、在△ABC中，M是BC的中点，AM=3，BC=10，求→AB·→AC的值。
2012年高考数学分类汇编平面向量一、选择题 1 ．（2012年高考（重庆文））设x R ∈ ,向量(,1),(1,2),a xb ==- 且a b ⊥ ,则||a b +=（ ）A B C ．D ．102 ．（2012年高考（重庆理））设,x y ∈R,向量()()()4,2,,1,1,-===c y b x a ,且c b c a //,⊥,则_______=（ ）A B C ．D ．103 ．（2012年高考（浙江文））设a,b 是两个非零向量.（ ）A ．若|a+b|=|a|-|b|,则a ⊥bB ．若a ⊥b,则|a+b|=|a|-|b|C ．若|a+b|=|a|-|b|,则存在实数λ,使得b=λaD ．若存在实数λ,使得b=λa,则|a+b|=|a|-|b| 4 ．（2012年高考（浙江理））设a,b 是两个非零向量.（ ）A ．若|a+b|=|a|-|b|,则a⊥bB ．若a⊥b,则|a+b|=|a|-|b|C ．若|a+b|=|a|-|b|,则存在实数λ,使得a=λbD ．若存在实数λ,使得a=λb,则|a+b|=|a|-|b|5 ．（2012年高考（天津文））在ABC ∆中,90A ∠=︒,1AB =,设点,P Q 满足,(1),AP AB AQ AC R λλλ==-∈ .若2BQ CP ⋅=-,则λ=（ ）A ．13B ．23C ．43D ．26 ．（2012年高考（天津理））已知△ABC 为等边三角形,=2AB ,设点P,Q 满足=AP AB λ ,=(1)AQ AC λ-,R λ∈,若3=2BQ CP ⋅- ,则=λ（ ）A ．12B ．12C ．12D ．32-± 7 ．（2012年高考（辽宁文））已知向量 a = (1,—1),b = (2,x).若 a ·b = 1,则x =（ ）A ．—1B ．—12C ．12D ．18 ．（2012年高考（辽宁理））已知两个非零向量a,b 满足|a+b|=|a -b|,则下面结论正确的是（ ）A ．a∥bB ．a⊥bC ．{0,1,3}D ．a+b=a -b9 ．（2012年高考（广东文））(向量、创新)对任意两个非零的平面向量α和β,定义⋅⋅=⋅αβαβββ,若平面向量a 、b 满足0≥>a b ,a 与b 的夹角0,4πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,且 a b 和 b a 都在集合2n n Z ⎧⎫∈⎨⎬⎩⎭中,则= a b （ ）A ．12 B ．1C ．32D ．5210 ．（2012年高考（广东文））(向量)若向量()1,2AB = ,()3,4BC = ,则AC =（ ）A ．()4,6B ．()4,6--C ．()2,2--D ．()2,211 ．（2012年高考（福建文））已知向量(1,2),(2,1)a xb =-=,则a b ⊥ 的充要条件是 （ ）A ．12x =-B ．1x =-C ．5x =D ．0x =12 ．（2012年高考（大纲文））ABC ∆中,AB 边的高为CD ,若CB a = ,CA b = ,0a b ⋅= ,||1a = ,||2b = ,则AD = （ ）A ．1133a b -B ．2233a b -C ．3355a b -D ．4455a b -13 ．（2012年高考（湖南理））在△ABC 中,AB=2,AC=3,AB BC= 1则___BC =. （ ）A B C ．D 14 ．（2012年高考（广东理））对任意两个非零的平面向量α和β,定义⋅⋅=⋅αβαβ,若平面向量a 、b 满足0≥>a b ,a 与b 的夹角0,4πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,且 a b 和 b a 都在集合2n n Z ⎧⎫∈⎨⎬⎩⎭中,则= a b（ ）A ．12 B ．1C ．32D ．5215 ．（2012年高考（广东理））(向量)若向量()2,3BA = ,()4,7CA = ,则BC =（ ）A ．()2,4--B ．()2,4C ．()6,10D ．()6,10--16 ．（2012年高考（大纲理））ABC ∆中,AB 边上的高为CD ,若,,0,||1,||2CB a CA b a b a b ==⋅=== ,则AD = （ ）A ．1133a b -B ．2233a b -C ．3355a b -D ．4455a b -17．（2012年高考（安徽理））在平面直角坐标系中,(0,0),(6,8)O P ,将向量OP按逆时针旋转34π后,得向量OQ 则点Q 的坐标是 （ ） A．(- B．(- C．(2)-- D．(-二、填空题10．（2012年高考（浙江文））在△ABC 中,M 是BC 的中点,AM=3,BC=10,则AB AC ⋅=________.11．（2012年高考（上海文））在知形ABCD 中,边AB 、AD 的长分别为2、1. 若M 、N 分别是边BC 、CD 上 的点,||||CD CN BC BM =,则AN AM ⋅的取值范围是_________ .12．（2012年高考（课标文））已知向量a ,b 夹角为045,且|a |=1,|2-a b|=,则|b |=_______.13．（2012年高考（江西文））设单位向量(,),(2,1)m x y b ==-。
2008年高考数学 平面向量试题1．(全国Ⅰ) 已知向量(56)=-，a ，(65)=，b ，则a 与b （ ） A ．垂直B ．不垂直也不平行C ．平行且同向D ．平行且反向解：已知向量(5,6)a =-，(6,5)b =，30300a b ⋅=-+=，则a 与b 垂直，选A 。
2．(全国II) 在ABC △中，已知D 是AB 边上一点，若123AD DB CD CA CB λ==+，，则λ=（ ） A ．23B ．13C ．13-D ．23-解：在∆ABC 中，已知D 是AB 边上一点，若AD =2DB ，CD =CB CA λ+31，则22()33CD CA AD CA AB CA CB CA =+=+=+-1233CA CB +，32，选A 。
设F 为抛物线24y x =的焦点，A B C ，，为该抛物线上三点，若0FA FB FC ++=，则FA FB FC ++=（ ） A ．9B ．6C ．4D ．3解：设F 为抛物线y 2=4x 的焦点，A 、B 、C 为该抛物线上三点，若++=0，则F 为△ABC 的重心，∴ A 、B 、C 三点的横坐标的和为F 点横坐标的3倍， 即等于3， ∴ |FA|+|FB|+|FC|=(1)(1)(1)6A B C x x x +++++=，选B 。
3．（北京卷）已知O 是ABC △所在平面内一点，D 为BC 边中点，且20OA OB OC ++=，那么（ ）Ａ．AO OD = Ｂ．2AO OD =Ｃ．3AO OD =Ｄ．2AO OD =解：O 是ABC △所在平面内一点，D 为BC 边中点，∴ 2OB OC OD +=，且2OA OB OC ++=0，∴ 220OA OD +=，即AO OD =，选A.在ABC △中，若1tan 3A =，150C =，1BC =，则AB = ．解：在ABC △中，若1tan 3A =，150C =，∴ A 为锐角，sin A =1BC =，则根据正弦定理AB =sin sin BC C A ⋅4．（天津卷）设两个向量22(2,cos )a λλα=+-和(,sin ),2mb m α=+其中,,m λα为实数.若2,a b =则mλ的取值范围是 ( )A.[6,1]-B.[4,8]C.(,1]-∞D.[1,6]-解：由22(2,cos )a λλα=+-,(,sin ),2mb m α=+2,a b =可得2222cos 2sin m m λλαα+=⎧⎨-=+⎩，设k m λ=代入方程组可得22222cos 2sin km mk m m αα+=⎧⎨-=+⎩消去m 化简得2222cos 2sin 22k k k αα⎛⎫-=+ ⎪--⎝⎭，再化简得22422cos 2sin 022k k αα⎛⎫+-+-= ⎪--⎝⎭再令12t k =-代入上式得222(sin 1)(16182)0t t α-+++=可得2(16182)[0,4]t t -++∈解不等式得1[1,]8t ∈--因而11128k -≤≤--解得61k -≤≤.故选A.B ACD如图，在ABC ∆中，120,2,1,BAC AB AC D ∠=︒==是边BC 上一点，2,DC BD = 则AD BC =__________.解：由余弦定理得222222cos 22AB AC BC AB AD BD B AB AC AB BD+-+-==⨯⨯⨯⨯可得BC,AD =,AD BC 夹角大小为ADB ∠，22232cos 29BD AD AB ADB BD AD +-∠==-=⨯⨯所以AD BC =8cos 3AD BC ADB ⨯⨯∠=-.【解析】根据向量的加减法法则有:BC AC AB =-112()333AD AB BD AB AC AB AC AB =+=+-=+,此时2212122()()33333AD BC AC AB AC AB AC AC AB AB =+-=+-··18183333=--=-.5．(上海卷) 直角坐标系xOy 中，i j ，分别是与x y ，轴正方向同向的单位向量．在直角三角形ABC 中，若j k i j i+=+=3,2，则k 的可能值个数是（ ）Ａ．1 Ｂ．2 Ｃ．3 Ｄ．4 解：解法一：23(1)BC BA AC i j i k j i k j=+=--++=+-（1） 若A 为直角，则(2)(3)606AB AC i j i k j k k ⋅=++=+=⇒=-； （2） 若B 为直角，则(2)[(1)]101AB BC i j i k j k k ⋅=++-=+=⇒=-； （3） 若C 为直角，则2(3)[(1)]30AC BC i k j i k j k k k φ⋅=++-=-+=⇒∈。
四、平面向量（一）填空题1、（2008江苏卷5）a r ，b r 的夹角为120︒，1a =r ，3b =r 则5a b -=r r ．【解析】本小题考查向量的线性运算．()2222552510a b a b a a b b -=-=-+r r r r r r r r g=22125110133492⎛⎫⨯-⨯⨯⨯-+= ⎪⎝⎭，5a b -=r r 7 2、（2008江苏卷13）若AB=2, AC=2BC ，则ABC S ∆的最大值 ．【解析】本小题考查三角形面积公式、余弦定理以及函数思想．设BC ＝x ，则AC ＝2x ， 根据面积公式得ABC S ∆=21sin 1cos 2AB BC B x B =-g ，根据余弦定理得 2222242cos 24AB BC AC x x B AB BC x +-+-==g 244x x-=，代入上式得 ABC S ∆=()2221281241416x x x x --⎛⎫--= ⎪⎝⎭ 由三角形三边关系有2222x x x x⎧+>⎪⎨+>⎪⎩解得222222x -<<+，故当22x =时取得ABC S ∆最大值223、（2009江苏卷2）已知向量a r 和向量b r 的夹角为30o ，||2,||3a b ==r r ，则向量a r 和向量b r 的数量积a b ⋅r r = 。
【解析】 考查数量积的运算。
32332a b ⋅=⋅⋅=r r4、（2011江苏卷10）．已知→→21,e e 是夹角为π32的两个单位向量，,,22121→→→→→→+=-=e e k b e e a 若0=⋅→→b a ，则k 的值为 .【解析】 因为2212121122(2)()(12)2a b e e k e e k e k e e e →→→→→→→→→→⋅=-⋅+=+-⋅-且12||||1e e →→==，12e e →→⋅＝－12，所以2k －12－2＝0，即k ＝54. 5、（2012江苏卷9）如图，在矩形ABCD 中，22AB BC ==，，点E 为BC 的中点，点F 在边CD 上，若2AB AF =u u u r u u u r g AE BF u u u r u u u r g 的值是 ．C F D【解析】根据题意,→→→+=DF BC AF 所以 ()cos 022,AB AF AB BC DF AB BC AB DF AB DF AB DF DF →→→→→→→→→→→→→→•=•+=•+•=•=⋅︒==从而得到1=→DF ，又因为→→→→→→+=+=CF BC BF DF AD AE ,，所以2180cos 00)()(2=⋅+++=+•+=•︒→→→→→→→→→CF DF BC CF BC DF AD BF AE .【点评】本题主要考查平面向量的基本运算，同时，结合平面向量的数量积运算解决．设法找到1=→DF ，这是本题的解题关键，本题属于中等偏难题目.6、（2013江苏卷10）10．设E D ，分别是ABC ∆的边BC AB ，上的点，AB AD 21=，BC BE 32=，若AC AB DE 21λλ+= （21λλ，为实数），则21λλ+的值为 。
2009届高考数学试题分类汇编：平面向量一.选择题1. （上海市长宁区2008学年高三年级第一次质量调研16）已知||2||0,a b =≠且关于x 的方程2||0x a x a b ++=有实数根，则a b 与的夹角的取值范围是( ) A.[,]3ππ B.[0,]6πC.2[,]33ππD.[,]6ππ 答案：A2（上海市奉贤区2008年高三数学联考14）设向量a ＝(－2，1)，b ＝(λ，－1) (λ∈R)，若a 、b 的夹角为钝角，则λ的取值范围是（ ）(A) (－∞, －21) (B) (－21, ＋∞) (C) (21, ＋∞) (D) (－21, 2)∪(2, ＋∞)答案：D1(2008学年度第一学期上海市普陀区高三年级质量调研第13题) 若平面向量(1,)a x =和(23,)b x x =+-互相平行，其中x R ∈.则a b -=（ ）A. 2-或0；B.C. 2或D. 2或10.答案：C 2 （闸北区09届高三数学（理）第12题）已知,,O A B 是平面上的三点,直线AB 上有一点C ,满足=,则OC 等于 ( ) A. - B. + C. 2121- D. 2121+ 答案：D3 （静安区部分中学08－09学年度第一学期期中数学卷第13题)若++=，则、、（ ）．（A ）一定可以构成一个三角形； （B ）一定不可能构成一个三角形； （C ）都是非零向量时能构成一个三角形；（D ）都是非零向量时也可能无法构成一个三角形 答案：D4 （闵行区2008学年第一学期高三质量监控理卷第16题）如图，一质点A 从原点O 出发沿向量1(3,1)OA =到达点1A ，再沿y 轴正方向从点1A 前进11||2OA 到达点2A ，再沿1OA 的方向从点2A 前进121||2A A 到达点3A ，再沿y 轴正方向从点3A 前进231||2A A 到达点4A ，，这样无限前进下去，则质点A 最终到达的点的坐标是 [答]（ ）(A) 4)2n-.(B) .(C) 88)334n-⋅.(D) 8)3. 答案：D二.填空题1．（上海市宝山区2008学年高三年级第一次质量调研1）过点(2,3)A -，且与向量(4,3)m =-垂直的直线方程是_________________． 答案：4x-3y-17=02．（上海市奉贤区2008年高三数学联考4）已知a ＝(m －2，－3)，b ＝(－1，m)，若a ∥b ，则m ＝_________________.答案：－1或33．（ 2009年上海市普通高等学校春季招生考试6）已知2,3==b a. 若3-=⋅b a，则a与b夹角的大小为 .答案：π32.4. （上海虹口区08学年高三数学第一学期期末试卷8）D 为△ABC 的BC 边的中点，若CD pAB qAC =+，则p q +=____________.答案：05．（上海市高考模拟试题5）已知()()2,1,1,1-==OB OA ，以,为边作平行四边形OACB ，则与的夹角为 . 答案：55arccos1 （上海徐汇等区第一学期期末质量抽查第10题）已知向量(3,1)a =，向量(sin ,cos ),,b m R ααα=-∈且//a b ，则m 的最小值为_______. 答案： -22 （静安区部分中学08－09学年度第一学期期中数学卷第5题)已知点A （2，-5），AB =（4，1），=（3，-2），则点C 的坐标为 ．答案：C （9，-6）3（南汇区2008学年度第一学期期末理科第5题）在△ABC 中，∠C=90°，(1,),(2,1),AB k AC ==则k 的值是 答案：3 4 (上海市青浦区2008学年高三年级第一次质量调研第5题)||1,||2,3,a b a b ===则a 与b 夹角的大小为_____________．答案：O 30三.解答题 1．（上海市黄浦区2008学年高三年级第一次质量调研20）（本题满分16分）第1小题满分8分，第2小题满分8分. 已知函数11(0,)1bx y a x ax a+=>≠-+的图像关于直线y x =对称. (1)求实数b 的值；(2)设A B 、是函数图像上两个不同的定点，记向量12,(1,0)e AB e ==，试证明对于函数图像所在的平面早任一向量c ，都存在唯一的实数12λλ、，使得1122c e e λλ=+成立.1. (1)函数11(0,)1bx y a x ax a+=>≠-+的图像关于直线y=x 对称， ∴当点0001(,)()x y x a ≠-在函数的图像上时，点0001(,)()y x y a≠-也在函数的图像上，即0000001111bx y ax by x ay +⎧=⎪+⎪⎨+⎪=⎪+⎩，化简，得2200()(1)10.a ab x b x b ++---=此关于0x 的方程对01x a≠-的实数均成立，即方程的根多于2个， 201010a ab b b +=⎧⎪∴-=⎨⎪--=⎩，解之，得 1.b =-(2)由(1)知，11(0,)1x y a x ax a-=>≠-+，又点A 、B 是该函数图像上不同两点，则它们的横坐标必不相同，于是，可设112212(,)(,)()A x y B x y x x ≠、，所以12, (1,0)e AB e ==都是非零向量. 又1212121111x x y y ax ax ---=-++ 211212(1)()(,0)(1)(1)a x x x x a ax ax +-=≠>++12y y ∴≠，12121(,)e A B x x y y ∴==--与2(0,1)e =不平行， 即1e 与2e 为函数图像所在坐标平面上所有向量的一组基.根据平面向量的分解定理，可知，函数图像所在僄平面上任一向量c ，都存在唯一实数12λλ、使得1122c e e λλ=+成立.1（上海徐汇等区第一学期期末质量抽查第17题）（本题满分12分）第1小题8分，第2小题4分.已知向量{2,1},{1,}AB k AC k =--=. (1)若△ABC 为直角三角形，求k 值； (2).若△ABC 为等腰直角三角形，求k 值答案：解：(1)(2,1),(1,)(1,1)AB k AC k BC AC AB k k =--=⇒=-=-+若O 90,1A AB AC k ∠=⊥⇒=则若O 290,230B AB BC k k ∠=⊥⇒-+=则无解若O 290,2101C AC BC k k k ∠=⊥⇒+-=⇒=-±则综上所述，当1k =时，△ABC 是以A 为直角顶点的直角三角形； 当12k =-±时，△ABC 是以C 为直角顶点的直角三角形.(2)当1k =时，(1,1),(1,1)||||2AB AC AB AC =-=⇒==当12k =-+时，22(1,12),(22,2)||422,||8AC BC AC BC =-+=-+⇒=-=-||||A CBC ≠ 当12k =--时，22(1,12),(22,2)||422,||8AC BC AC BC =--=---⇒=+=+||||AC BC ≠综上所述，当1k =时，△ABC 是以BC 为斜边的等腰直角三角形.。
2008-2012 年高考数学平面向量试题汇编（填空题）一 .填空题：1. （ 2008 上海卷 5）若向量a，b满足a1，b 2 且 a 与 b 的夹角为，则3a b． 7（2008全国二）设向量 a(12)，，b(2，3) ，若向量a b与向量 c( 4，7)2.13共线，则．2（2008北京卷）已知向量a 与b的夹角为 120，且a b 4，那么 b (2a b)3.10的值为0．4. （ 2008 天津卷 14）已知平面向量a(2,4)， b(1,2)．若 c a(a b)b ，则| c |_____________．8 25.（ 2008 江苏卷 5）a，b的夹角为 120， a1， b3则 5a b▲．76. （2008 江苏卷 13）若 AB=2, AC= 2 BC ，则S ABC的最大值▲． 227.（2008 江西卷 13）直角坐标平面上三点A(1,2)、B(3, 2)、C(9,7)，若 E、F 为线段 BC 的三均分点，则AE AF =．228.（2008 湖北卷 12）在△ ABC 中，三个角A,B,C的对边边长分别为a 3,b 4,c 6,则bc cos A cacosB ab cosC 的值为61 .29.（2008 浙江卷 11）已知a >0，若平面内三点 A（1，- a），B（ 2，a2），C（3，a 3）共线，则 a =________。
1210.（ 2008 浙江卷 13）在△ ABC中，角 A、B、C 所对的边分别为a、 b、 c ，若3b c cos A a cosC ，则cosA3 _________________。
311．（2008 海南卷 13）已知向量a(0, 1,1)，b，29且0 ，(4,1,0) | a b |则 = _____312．(2009安徽文)在平行四边形 ABCD中， E 和 F 分别是边 CD和 BC的中点，或AC = AE + AF ，此中，R，则+ = _________。
2008年高考数学试题分类汇编平面向量一． 选择题：1.（全国一5）在ABC △中，AB c =，AC b =．若点D 满足2BD DC =，则AD =（ A ）A ．2133b c +B ．5233c b -C ．2133b c -D ．1233b c + 2.（安徽卷2）若(2,4)AB =，(1,3)AC =, 则BC =（ B ）A ． （1，1）B ．（－1，－1）C ．（3，7）D ．（-3,-7）3.（安徽卷5）在三角形ABC 中，5,3,7AB AC BC ===,则BAC ∠的大小为（ A ）A ．23πB ．56πC ．34πD ．3π4.（北京卷4）已知ABC △中，a =b =60B =，那么角A 等于（ C ）A ．135B ．90C ．45D ．305.（福建卷8)在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若a 2+c 2-b ac ,则角B 的值为A A.6π B.3π C.6π或56π D.3π或23π 6.（广东卷3）已知平面向量(1,2)a =，(2,)b m =-，且a //b ，则23a b +＝（ B ）A 、(5,10)--B 、(4,8)--C 、(3,6)--D 、(2,4)--7.（海南卷5）已知平面向量a =（1，－3），b =（4，－2），a b λ+与a 垂直，则λ是（ A ）A. －1B. 1C. －2D. 28.（海南卷9）平面向量a ，b 共线的充要条件是（ D ）A. a ，b 方向相同B. a ，b 两向量中至少有一个为零向量C. R λ∃∈， b a λ=D. 存在不全为零的实数1λ，2λ，120a b λλ+=9.（湖北卷设1）)2,1(-=,)4,3(-=,则=•+)2(CA.(15,12)-B.0C.3-D.11-10.（湖南卷7）在ABC ∆中，AB=3，AC=2，BC=10，则AB AC ⋅= ( D )A ．23-B ．32- C ．32 D ．23 11.（辽宁卷5）已知四边形ABCD 的三个顶点(02)A ，，(12)B --，，(31)C ，，且2BC AD =，则顶点D 的坐标为（ A ）A ．722⎛⎫ ⎪⎝⎭，B ．122⎛⎫- ⎪⎝⎭，C ．(32)，D ．(13)，12.（山东卷8）已知a b c ，，为ABC △的三个内角A B C ，，的对边，向量1)(cos sin )A A =-=，，m n ．若⊥m n ，且cos cos sin a B b A c C +=，则角A B ，的大小分别为（ C ）A ．ππ63，B ．2ππ36，C ．ππ36，D ．ππ33， 13.（四川卷3）设平面向量()()3,5,2,1a b ==-，则2a b -=( A )（Ａ）()7,3 （Ｂ）()7,7 （Ｃ）()1,7 （Ｄ）()1,314.（四川卷7）ABC ∆的三内角,,A B C 的对边边长分别为,,a b c ，若,22a A B ==，则cos B =( B )15.（重庆卷4)若点P 分有向线段AB 所成的比为-13，则点B 分有向线段PA 所成的比是A (A)-32 (B)-12 (C) 12 (D)3二． 填空题：1.（全国二13）设向量(12)(23)==，，，a b ，若向量λ+a b 与向量(47)=--，c 共线，则=λ ．22.（北京卷11）已知向量a 与b 的夹角为120，且4==a b ，那么•的值为 ．8-3.（湖北卷12）在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 所对的边，已知3,30,a b c ===︒则A ＝ . 6π 4.（湖南卷11）已知向量)3,1(=，)0,2(-=，则+=_____________________.25.（江苏卷5）a ，b 的夹角为120︒，1a =，3b = 则5a b -= ．76.（江苏卷13）若BC ，则ABC S ∆的最大值 ．7.（江西卷16）如图，正六边形ABCDEF 中，有下列四个命题：A ．2AC AF BC +=DEB ．22AD AB AF =+C ．AC AD AD AB ⋅=⋅D ．()()AD AF EF AD AF EF ⋅=⋅其中真命题的代号是 （写出所有真命题的代号）．A 、B 、D8.（陕西卷15）关于平面向量，，a b c ．有下列三个命题： ①若⋅=⋅，则=b c ．②若(1)(26)k ==-，，，a b ，∥a b ，则3k =-． ③非零向量a 和b 满足||||||==-a b a b ，则a 与+a b 的夹角为60．其中真命题的序号为 ② ．（写出所有真命题的序号）9.（上海卷5）若向量a ，b 满足12a b ==，且a 与b 的夹角为3π，则a b += ． 10.（天津卷14）已知平面向量(24)=，a ，(12)=-，b ，若()=-c a a b b ，则=c ．11.（浙江卷14）在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，若()C a A c b cos cos 3=-，则=A cos 。
2008-2012年高考数学平面向量试题汇编（填空题）一.填空题：1.（2008上海卷5）若向量a ，b 满足12a b == ，且a 与b 的夹角为3π，则a b +=．2.（2008全国二13）设向量(12)(23)==，，，a b ，若向量λ+a b 与向量(47)=--，c 共线，则=λ ．23.（2008北京卷10）已知向量a 与b 的夹角为120 ，且4==a b ，那么(2)+ b a b 的值为 0 ．4.（2008天津卷14）已知平面向量(2,4)a = ，(1,2)b =- ．若()c a a b b =-⋅，则||c =_____________．285.（2008江苏卷5）a ，b 的夹角为120︒，1a =，3b = 则5a b -= ▲ ．76.（2008江苏卷13）若AB=2, ，则ABC S ∆的最大值 ▲ ．7.（2008江西卷13）直角坐标平面上三点(1,2)(3,2)(9,7)A B C -、、，若E F 、为线段BC 的三等分点，则AE AF ⋅= ．228.（2008湖北卷12）在△ABC 中，三个角,,A B C 的对边边长分别为3,4,6a b c ===,则cos cos cos bc A ca B ab C ++的值为 .6129.（2008浙江卷11）已知a >0，若平面内三点A （1，-a ），B （2，2a ），C （3，3a ）共线，则a =________。
110.（2008浙江卷13）在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，若()C a A c b cos cos 3=-，则=A cos _________________。
311．（2008海南卷13）已知向量(0,1,1)a =- ，(4,1,0)b = ，||a b λ+=且0λ>，则λ= _____312．(2009安徽文)在平行四边形ABCD 中，E 和F 分别是边CD 和BC 的中点，或AC =λAE +μAF，其中λ，μ∈R ，则λ+μ= _________。
【解析】设BC b = 、BA a = 则12AF b a =- ,12AE b a =- ,AC b a =-代入条件得2433u u λλ==∴+= 【答案】4/313.. （2009安徽理）给定两个长度为1的平面向量OA 和OB，它们的夹角为120o .如图所示，点C 在以O 为圆心的圆弧AB上变动.若,OC xOA yOB =+ 其中,x y R ∈,则x y +的最大值是________.[解析]设AOC α∠=,,OC OA xOA OA yOB OA OC OB xOA OB yOB OB ⎧∙=∙+∙⎪⎨∙=∙+∙⎪⎩，即01cos 21cos(120)2x y x y αα⎧=-⎪⎪⎨⎪-=-+⎪⎩∴02[cos cos(120)]cos 2sin()26x y πααααα+=+-==+≤14．(2009广东理)若平面向量,a b 满足1a b +=，a b +平行于x 轴，(2,1)b =-，则a = ．解：设),(y x =，则)1,2(-+=+y x ，依题意，得⎪⎩⎪⎨⎧=-=-++011)1()2(22y y x ，解得⎩⎨⎧=-=11y x 或⎩⎨⎧=-=13y x ，所以)1,1(-=a 或)1,3(-=。
答： )1,1(-或)1,3(-。
15．(2009湖南文)如图2，两块斜边长相等的直角三角板拼在一起，若AD xAB yAC =+，则 x =1 ，y= .解:作DF AB ⊥,设1AB AC BC DE ==⇒==60DEB ∠=,BD ∴=由45DBF ∠=解得2DF BF ===故1x =+y =16. (2009江苏)已知向量a 和向量b 的夹角为30o，||2,||a b = 则向量a 和向量b的数量积a b ⋅= ▲。
【解析】 考查数量积的运算。
23a b ⋅==17．(2009江西理)已知向量(3,1)a = ，(1,3)b = ，(,7)c k = ，若()a c -∥b ，则k = ． 答案：5【解析】36513k k --=⇒=18．(2009江西文)已知向量(3,1)a = ，(1,3)b = ， (,2)c k = ，若()a c b -⊥则k = ． 答案：0【解析】因为(3,1),a c k -=--所以0k =.19. (2009辽宁文)在平面直角坐标系xoy 中，四边形ABCD 的边AB ∥DC,AD ∥BC,已知点A(－2，0)，B （6，8），C(8,6),则D 点的坐标为___________.【解析】平行四边形ABCD 中,OB OD OA OC +=+∴OD OA OC OB =+-＝(－2,0)＋(8,6)－(6,8)＝(0,－2) 即D 点坐标为(0,－2) 【答案】（0，－2）20．(2009四川文)设V 是已知平面M 上所有向量的集合，对于映射:,f V V a V →∈，记a 的象为()f a 。
若映射:f V V →满足：对所有a b V ∈、及任意实数,λμ都有()()()f a b f a f b λμλμ+=+，则f 称为平面M 上的线性变换。
现有下列命题：①设f 是平面M 上的线性变换，a b V ∈、，则()()()f a b f a f b +=+②若e 是平面M 上的单位向量，对,()a V f a a e ∈=+设，则f 是平面M 上的线性变换；③对,()a V f a a ∈=-设，则f 是平面M 上的线性变换；④设f 是平面M 上的线性变换，a V ∈，则对任意实数k 均有()()f ka kf a =。
其中的真命题是 （写出所有真命题的编号）【答案】①③④【解析】①：令1==μλ，则)()()(b f a f b a f +=+故①是真命题 同理，④：令0,==μλk ，则)()(a kf ka f =故④是真命题 ③：∵a a f -=)(，则有b b f -=)()()()()()()(b f a f b a b a b a f μλμλμλμλ+=-⋅+-⋅=+-=+是线性变换，故③是真命题②：由e a a f +=)(，则有e b b f +=)(e bf a f e e b e a e b a b a f -+=-+⋅++⋅=++=+)()()()()()(μλμλμλμλ ∵e 是单位向量，e ≠0，故②是假命题【备考提示】本小题主要考查函数，对应及高等数学线性变换的相关知识，试题立意新颖，突出创新能力和数学阅读能力，具有选拔性质。
21．(2009四川理)设V 是已知平面M 上所有向量的集合，对于映射V V V f ∈→,:，记a 的象为)(f 。
若映射V V f →:满足：对所有V ∈,及任意实数,λμ都有)()()(b f a f b a f μλμλ+=+，则f 称为平面M 上的线性变换。
现有下列命题：①设f 是平面M 上的线性变换，则)(=f w.w.w.k.s.5.u.c.o.m②对V ∈设f 2)(=，则f 是平面M 上的线性变换；w.w.w.k.s.5.u.c.o.m ③若是平面M 上的单位向量，对V ∈设f -=)(，则f 是平面M 上的线性变换；④设f 是平面M 上的线性变换，V b a ∈,，若b a ,共线，则)(),(b f a f 也共线。
其中真命题是 （写出所有真命题的序号）【考点定位】本小题考查新定义，创新题。
解析：令1,0====μλb a ，由题有0)0()0(2)0(=⇒=f f f ，故①正确； 由题)(2)(b a b a f μλμλ+=+，)(222)()(b a b a b f a f μλμλμλ+=+=+，即)()()(b f a f b a f μλμλ+=+，故②正确；由题e b a b a f -+=+μλμλ)(，e b e a b f a f -+-=+μλμλ)()(，即)()()(b f a f b a f μλμλ+≠+，故③不正确；由题a b λ=，)()(0)()()()0(b f a f b f a f b a f f λλλ=⇒=-=-=，即)(),(b f a f 也共线，故④正确；22. (2009天津文)若等边ABC ∆的边长为32，平面内一点M 满足→→→+=CA CB CM 3261,则=∙→→MB MA ________.【答案】-2【解析】合理建立直角坐标系，因为三角形是正三角形，故设)3,3(),0,32(),0,0(B A C 这样利用向量关系式，求得M )21,233(，然后求得)25,23(),21,23(--=-=→→MB MA ，运用数量积公式解得为-2.【考点定位】本试题考察了向量在解三角形中的几何运用。
也体现了向量的代数化手段的重要性。
考查了基本知识的综合运用能力。
23. (2009天津理)在四边形ABCD 中，AB =DC=（1，1），11B A B C B D B A B C B D+=，则四边形ABCD 的面积是【考点定位】本小题考查向量的几何运算，基础题。
解析：由题知四边形ABCD 是菱形，其边长为2，且对角线BD 等于边长的3倍，所以21222622cos -=⋅⋅-+=ABD ，故23sin =ABD ，323)2(2=⋅=SABCD 。
24. (2010年高考天津卷理科15)如图，在ABC 中，AD AB ⊥，,||1BC AD ==，则AC AD = 。
25．（2010年高考陕西卷理科11）已知向量()()()2,1,,1,1,2-=-=-=m ，若()+∥，则_________=m .26．（2010年高考广东卷理科10）若向量a r =（1,1,x ）, b r =(1,2,1), c r =(1,1,1),满足条件()(2)c a b -⋅r r r=-2,则x = .27．（2010年高考江西卷理科13）已知向量a ，b 满足||1a = ，||2b =，a 与b 的夹角为60︒，则||a b -=.28．（2010年高考浙江卷16）已知平面向量α，β （α≠ 0，α≠β ）满足|β |=1，且α与β- α的夹角为120°，则|a | 的取值范围是 。
29．（2010年高考上海市理科13）如图所示，直线x=2与双曲线22:14y λΓ-=的渐近线交于1E ,2E 两点，记1122,OE e OE e ==，任取双曲线Γ上的点P ，若12,()OP ae be a b R =+∈、，则a 、b 满足的一个等式是30．（2011安徽）13．在四面体O ABC -中，OA OB OC D ===，，，a b c 为BC 的中点，E 为AD 的中点，则OE =111244++a b c （用，，a b c 表示）．31．（2011北京）11．已知向量2411()()，，，a =b =．若向量()λ⊥b a +b ，则实数λ的值是3-32．（2011北京）12．在ABC △中，若1tan 3A =，150C = ，1BC =，则AB =233．（2011广东）10.若向量a 、b 满足b a b a 与,1==的夹角为120°，则ba b a ··+＝ 21.34．（2011湖南）12．在ABC △中，角A B C ，，所对的边分别为a b c ，，，若1a =，bc =B = 5π6 ．35．（2011湖南文）12．在ABC △中，角A B C ，，所对的边分别为a b c ，，，若1a =，c =π3C =，则A = π6 ．36．（2011江西）15．如图，在ABC △中，点O 是BC 的中点，过点O 的直线分别交直线AB ，AC 于不同的两点M N ，，若AB mAM = ，AC nAN =，则m n +的值为2．37．（2011江西文）13．在平面直角坐标系中，正方形OABC 的对角线OB 的两端点分别为(00)O ，，(11)B ，，则AB AC =1 ． 38．（2011陕西）15.如图，平面内有三个向量OA 、、,其中与与OB 的夹角为120°，与OC 的夹角为30°,且|OA |＝||＝1，||＝32，若＝λOA +μ（λ，μ∈R ）,则λ+μ的值为 6 .39．（2011天津）15．如图，在ABC △中，12021BAC AB AC ∠===，，°，D 是边BC 上一点，2DC BD =，则AD BC =·83-．40．（2011天津文）（15）在ABC △中，2AB =，3AC =，D 是边BC 的中点，则AD BC =52．41．（2011重庆文）（13）在△ABC 中，AB =1,B C =2,B =60°，则AC ＝3 。
