ch3幂律齐普夫,帕累托模型

prandtl幂定律（最新版）目录1.Prandtl 幂定律的定义与含义2.Prandtl 幂定律的公式表示3.Prandtl 幂定律的应用领域4.Prandtl 幂定律的实际应用案例5.Prandtl 幂定律的发展历史与相关研究正文【1.Prandtl 幂定律的定义与含义】Prandtl 幂定律，又称普朗特幂定律，是由德国物理学家 Ludwig Prandtl 于 1904 年提出的一种描述流体流动的规律。

Prandtl 幂定律主要描述了流体在管道内流动时，流速与压力的变化关系。

这一定律在流体力学领域具有重要的理论意义和实用价值，被广泛应用于各种流体动力学问题的解决。

【2.Prandtl 幂定律的公式表示】Prandtl 幂定律的数学表达式为：f(x) = γ * (1 + (x^2))^(γ-1)，其中，f(x) 表示流速，γ表示比热容比，x 表示管道的特征长度，(x^2) 表示管道长度的平方。

通过这个公式，我们可以计算出流体在管道内任意一点的流速。

【3.Prandtl 幂定律的应用领域】Prandtl 幂定律在流体力学领域有着广泛的应用，尤其在化工、石油、航空航天等产业中具有重要意义。

在实际应用中，Prandtl 幂定律可以用于计算流体在管道内的流速，以及流体在弯头、阀门等复杂几何形状处的速度分布，从而为流体动力学问题的解决提供理论依据。

【4.Prandtl 幂定律的实际应用案例】在实际工程中，Prandtl 幂定律的应用案例比比皆是。

例如，在设计输油管道时，需要根据 Prandtl 幂定律计算流体的流速，以保证输油管道的流量和压力满足设计要求。

此外，在飞机翼型设计中，也可以利用Prandtl 幂定律研究流体在翼型上的流动特性，从而优化翼型设计，提高飞行性能。

【5.Prandtl 幂定律的发展历史与相关研究】自 Prandtl 提出幂定律以来，许多学者对其进行了深入研究，发现了许多与幂定律相关的规律。

思维模型——幂律敏思乐行简书作者2019-01-16 14:55幂律（power layer）是统计学中的概念。

在统计学中，幂律是两个量之间的函数关系，其中一个量的相对变化导致另一个量的相对变化。

与这些量的初始大小无关：一个量随另一个量的变化而变化。

image本文仅仅列举幂律分布中两个重要且常见的形式。

1、帕累托分布（二八原则）帕累托分布是一种幂律概率分布，以意大利土木工程师，经济学家和社会学家Vilfredo Pareto命名，用来描述社会、科学、地球物理、精算和许多其他类型的可观察现象。

最初，帕累托分布用于描述社会中财富的分配，社会上80%的财富掌握在20%的人口持手中，帕累托分布又被称为帕累托原则或“80-20规则“，也是我们常常看到的二八原则。

经观察，80-20广泛适用大自然和人类活动。

在时间管理上，找到每天最重要的两个小时，专注这个高效产出的时间段；在安排任务指标上，找到其中最关键的任务，少部分任务决定了最终的绩效成果；人际关系上，经营有质量的人际关系，回避大多数的无用社交。

2、边际效应递减边际收益递减是指其他投入固定不变时，连续地增加某一种投入，所新增的产出或收益反而会逐渐减少。

比如公司增加人手，收益递增，可到达一个临界点，投入继续增加，而收益下降直至不再增加，这个时候的投入将是负回报。

我们个人也是如此，投入时间工作会有一个明显的收入增长，可是当继续投入时间，同类的工作收入无法有更多的收获，这个时候就需要调整工作，我们在选择的时候也尽量不要选择容易边际效益递减的工作。

除来工作，我们在娱乐活动的选择，也同样存在边际效应递减，回归到那些给我们带来长久快乐的事情。

知识的学习是为了结合工作生活运用，二八原则和边际效应递减都是很常见且重要的思维模型，要掌握也不是一件简单的事情，且行且努力。

幂律分布⼏⼗年前，埃尔德什和莱利将复杂⽹络放到“随机”灌⽊丛中。

是幂律将复杂⽹络从中拉了出来，并将其放到⾊彩斑斓、内涵丰富的“⾃组织”舞台上。

1、啥？幂律是什么所谓幂律，是说节点具有的连线数和这样的节点数⽬乘积是⼀个定值，也就是⼏何平均是定值，⽐如有10000个连线的⼤节点有10个，有1000个连线的中节点有100个，100个连线的⼩节点有1000个……，在对数坐标上画出来会得到⼀条斜向下的直线。

所谓幂律分布，是指⾃然界与社会⽣活中存在各种各样性质迥异的幂律分布现象，因⽽对它们的研究具有⼴泛⽽深远的意义。

借助于有效的物理和数学⼯具以及强⼤的计算机运算能⼒，科学家们对幂律分布的本质有了进⼀步深层次的理解。

数学模型y=cx^-r。

如图：哦，这个不是数学课和物理课。

这么说吧，幂律分布是⼀条没有峰，且不断递减的曲线，它最突出的特征是⼤量微⼩事件和少数⾮常重⼤的事件并存。

也就是说，⽹络中⼤多数节点只有很少⼏个链接，它们通过少数⼏个⾼度连接的枢纽节点连接在⼀起。

2、幂律、钟型曲线、帕累托定律如果你不是物理学家或数学家，你可能从没有听说过“幂律”。

这是因为，⾃然界中⼤多数的量都遵循钟形曲线，⽽钟形曲线对应的分布和刻画随机⽹络的单峰分布⾮常相似。

但是在过去⼏⼗年⾥，科学家发现，⾃然界有时会产⽣⼀些遵循幂律分布的量，它们不再遵循钟形曲线。

幂律最突出的特征不是有很多⼩事件，⽽是⼤量微⼩事件和少数⾮常重⼤的事件并存。

⽽与之相对，这些⾮常重⼤的事件绝对不可能出现在钟形曲线中。

在物理学家和数学家⼤谈幂律时，80/20定律风⾏于⼤众媒体和商业刊物中。

只要80/20定律适⽤，你就可以确定，其背后⼀定有幂律存在。

80/20定律即帕累托定律，源⾃⼀位⾮常有影响⼒的意⼤利经济学家维弗雷多·帕累托。

在学术之外，帕累托凭借⼀个经验观察⽽享有盛名。

作为⼀个勤劳的园丁，他注意到，80%的豌⾖是20%的⾖荚结出的。

作为经济不平等现象的细⼼观察者，他发现意⼤利80%的⼟地被20%的⼈⼝占有。

复杂网络与人类动力学中的常见分布律及数据拟合、参数估计基本术语连续分布的概率密度函数PDF：probability density function离散分布的概率分布函数PMF：probability mass function连续分布的累积分布函数CDF：cumulative distribution function，F(a)=P(x<a)连续分布的互补累积分布函数CCDF：complementary cumulative distribution function，F(a)=P(x>a)方差：variance 标准差：standard deviation 均值：mean 期望：expectation横坐标：abscissa 纵坐标：ordinate 坐标系：coordinate system最小二乘回归：Ordinary least-square (OLS) regression 极大似然估计：Maximum likelihood estimation (MLE) K-S检验：Kolmogorov-Smirnov test 拟合优度：Goodness-of-fit 显著性水平：Significance level常见的分布律●正态/高斯分布Normal distribution / Gaussian distribution连续型正态分布是一种最重要最广泛的分布形式，和其它类型的分布（如泊松分布、二项分布等）有着密切关系。

The normal (or Gaussian) distribution is a continuous probability distribution that has a bell-shaped probability density function, known as the Gaussian function or informally the bell curve.PDF：其中为均值，为标准差。

规模法则幂律公式全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：规模法则是一种被广泛应用于自然界和人类社会的数学模型，它描述了许多现象在不同规模下的普遍规律。

其中最著名的规模法则之一就是幂律公式，它在描述各种现象的分布和关联性方面具有很强的适用性。

在自然界中，幂律公式被广泛应用于描述不同规模下的现象分布。

地震和火山喷发的规模经常遵循幂律关系，即规模越大的事件发生的频率越低。

物种分布、城市人口数量、互联网节点连接数量等现象也常常符合幂律分布。

在人类社会中，收入分配、社交网络中的人际联系数、文章被引用次数等现象也常常遵循幂律分布。

幂律公式的一般形式为：Y = aX^bY表示某种现象的某种属性（如频率、数量等），X表示该现象的规模或大小，a和b是常数。

在幂律分布中，通常情况下b是负值，即X增大时Y减小。

这意味着大规模事件或现象发生的频率比小规模事件要低，而大规模事件的影响力或数量也更明显。

而a值则表示了该现象在某个特定规模下的基准情况。

幂律公式的重要特性之一就是尺度不变性。

这意味着，只要幂律关系成立，无论在何种尺度下观察，都可以得到相同的幂律指数b。

这个性质使得幂律公式在描述不同尺度下的现象分布时具有很强的普适性。

幂律公式对于科学研究和实践应用具有重要意义。

通过对现象的幂律行为进行分析，可以揭示其内在的规律和机制，为解决许多实际问题提供指导。

在城市规划中，通过研究城市人口数量与城市规模的幂律关系，可以预测城市发展趋势并制定相应政策。

在网络科学中，对节点度分布的幂律行为分析可以帮助我们理解网络的结构和演化规律。

幂律公式并不是对所有现象都适用的。

有时候，现实世界中的现象可能会受到多种因素的影响，导致其分布不符合简单的幂律关系。

在应用幂律公式时，需要对具体情况进行谨慎分析，同时结合其他理论和方法进行综合考虑。

幂律公式是一种非常有用的数学工具，在许多领域都有着广泛的应用。

通过研究不同规模下的现象分布规律，我们可以更好地理解世界的复杂性，为解决实际问题提供有力支持。

幂律分布在我们的日常生活中，总是会被各式各样的现象所包围，小到人们的身高分布，大到国家的财富分布。

久而久之，人们抽象出了两个通用的模型来解释这些现象，一个叫做正态分布，另一个叫做幂律分布。

很早就知道二八法则的概念，最早是说社会上 20% 的人占有 80% 的社会财富，强调世界充满了重要的少数与琐碎的多数，这个法则在管理学、社会学等很多方面都有体现，再往上走一步，这种概率分布可以用一种更加科学的名词来表征，叫做幂律分布。

幂律分布 (power law distribution) 是一种常见的统计现象，简单地说就是两个变量为幂函数的关系，而这种简单的关系却能够与很多领域的实际情况相吻合，尤其是生物学、生态学这类典型的无标度网络。

与随机网络不同，这种无标度网络的度常常是集散分布，大部分节点只有较少的连接，而少数节点有大量的连接。

对幂律分布 (power law distribution) 研究做出重要贡献的是Zipf和Pareto。

1932年，语言学家Zipf在研究英文单词出现的频率时，发现只有极少数的词被经常使用，而绝大多数词很少被使用。

19世纪的意大利经济学家帕累托（Pareto）研究了个人收入的统计分布，发现少数人的收入要远多于大多数人的收入，提出了著名的80/20法则，即20%的人口占据了80%的社会财富。

类似的规则在互联网时代又被重新发现。

例如微博、知乎、微信上所有用户的粉丝数量大致是幂律分布的，即少部分人（那些大V）拥有于大部分的粉丝。

在有些自然或者商业现象中，因为网络效应，导致强者越强，赢家通吃。

这时的结果分布，就会呈现另外一种“尖刀型”：刀尖的那些有钱人，总体上来说，有钱的会更有钱。

常听到的“长尾”是幂律分布的一个口语化表达。

这个模型也是《指数型组织》最核心的本质。

3.线性模型线性模型比较好理解，通常假定变量之间存在某种特定的函数关系。

“教育对收入的影响、因锻炼而增加的期望寿命，以及收入对选民投票率的影响，都可以用线性模型来解释。