计数与概率

计数原理及概率的应用1. 介绍计数原理和概率是数学中的重要内容，在实际生活和工作中具有广泛的应用。

本文将介绍计数原理和概率的基本概念、原理，并阐述它们在不同领域的实际应用。

2. 计数原理计数原理是研究有关计数的方法和技巧的数学理论。

它主要包括排列、组合和选择问题的解决方法。

2.1 排列排列是从一组元素中按照一定的顺序选择若干元素的方式。

排列问题中的元素顺序是重要的，例如在一家商店购买商品，可以使用排列来计算不同商品的购买方式。

排列的计数公式为：A n k=n!/(n−k)!，其中A n k表示从n个元素中选取k个元素的排列数。

2.2 组合组合是从一组元素中选择若干元素的方式，与排列不同的是，组合中不考虑元素的顺序。

组合问题中的元素顺序是不重要的，例如从一组人员中选取若干人参加会议。

组合的计数公式为：C n k=n!/(k!(n−k)!)，其中C n k表示从n个元素中选取k个元素的组合数。

2.3 选择问题选择问题是从一组元素中选择一个或多个元素的方式。

与排列和组合不同的是，选择问题中每个元素只能选择一次。

选择问题的计数公式为：2n，其中n表示元素的个数。

例如，在菜单上选择多个菜品时，每个菜品只能选择一次。

3. 概率概率是研究随机事件发生可能性的数学理论。

在实际生活和工作中，我们常常要面对各种未知的情况，概率可以帮助我们预测事件发生的可能性。

3.1 基本概念概率的基本概念包括样本空间、事件、古典概率、频率概率和条件概率等。

•样本空间：样本空间是指所有可能出现的结果的集合。

•事件：事件是样本空间的一个子集，表示一种可能发生的结果。

•古典概率：古典概率是指在样本空间中每个结果出现的可能性相等的情况下，某个事件发生的概率。

•频率概率：频率概率是指通过实验和观察，根据事件发生的频率来确定概率。

•条件概率：条件概率是指在已知某个事件发生的情况下，另一个事件发生的概率。

3.2 概率计算概率的计算方法包括古典概率、频率概率、加法定理和乘法定理等。

概率的计数原理与应用概率是数学中的一个重要分支，它研究的是事件发生的可能性。

而计数原理则是概率论的基础，通过统计、组合和排列等方法，可以精确地计算出事件的可能性。

本文将探讨概率的计数原理及其在实际应用中的重要性。

一、组合与排列的计数原理在概率计算中，我们常常需要计算从一个集合中选取出若干元素的方式数量。

这就涉及到了组合和排列的计数原理。

1. 组合的计数原理组合是指从一个集合中选取出若干个元素，不考虑顺序的问题。

在计数时，我们使用C(n,m)表示从n个元素中选取m个元素的组合数，计算公式为：C(n,m) = n! / (m!(n-m)!)其中，n!表示n的阶乘。

例如，C(6,2)表示从6个元素中选取2个元素的组合数，计算公式为：C(6,2) = 6! / (2!(6-2)!) = 6! / (2!4!) = 152. 排列的计数原理排列是指从一个集合中选取出若干个元素，考虑顺序的问题。

在计数时，我们使用P(n,m)表示从n个元素中选取m个元素的排列数，计算公式为：P(n,m) = n! / (n-m)!例如，P(6,2)表示从6个元素中选取2个元素的排列数，计算公式为：P(6,2) = 6! / (6-2)! = 6! / 4! = 30二、概率的计数原理应用概率的计数原理在实际应用中有着广泛的应用。

下面以几个例子来说明其应用场景。

1. 抽奖活动抽奖活动是常见的一种概率事件。

在抽奖过程中，我们可以利用计数原理来计算中奖的概率。

例如，一共有10个人参与抽奖，其中3个人可以获得奖品，那么中奖的概率可以通过计算C(10,3)来得出。

2. 赛事结果预测对于体育比赛等赛事，我们可以利用概率的计数原理来进行结果预测。

例如，在一场足球比赛中，两支球队A、B对阵，我们可以计算出射门次数、进球次数等数据，然后根据这些数据利用概率计算得出A、B获胜的概率。

3. 网络安全在网络安全领域，计数原理也被广泛应用。

例如，在密码学中，我们可以利用组合和排列的计数原理来计算密码的破解难度。

组合计数问题和概率组合计数问题是教学竞赛中常见的一类问题，也是数学竞赛中与实际生活联系最为直接的内容。

计数问题的顺利解决会给其他排列组合问题的解决打下竖实的基础。

概率作为新增内容，拓展了排列组合的研究和应用的领域。

实则是以排列组合为基础的内容，所以概率的考查通常与计数问题联系在一起，既要用到排列组合的知识来解答，也要用到排列、组合的解题思路。

解组合计数问题的基本方法有枚举法和利用基本计数原理及基本公式、映射方法、算二次方法、递推方法、容斥原理等，其中蕴含的数学思想有分类讨论的思想、化纳和转化的思想、函数与方程的思想等重要的数学思想。

例1． （2004年全国高中联赛题）设三位数为abc n =，若以a ，b ，c 为三条边的长可以构成一个等腰(含等边)三角形，则这样的三位数n 有A ．45个B ．81个C ．165个D ．216个解：选C 。

理由：a , b , c 要构成三角形边长，显然不为零，即a , b , c ∈{1, 2, 3, …, 9}。

（1）若构成等边三角形，则c b a ==可取{1, 2, …, 9}中任何一个值，所以这样的三位数的个数为9191==C n 。

（2）若构成等腰（非等边）三角形，设这样的三角形个数为n 2，且等腰三角形的三边长为a 1, b 1=c 1。

当111c b a =<时，即腰大于底边时，等腰（非等边）三角形由数组(a 1, b 1)惟一确定，有29C 个；当111c b a =>时，即腰小于底边时，这时数组(a 1, b 1)有29C 个，但必须1112b a b <<才能构成三角形。

而不能构成三角形的组数(a 1, b 1)是共20种情况，故这时等腰（非等边）三角形只有2039-C 个。

同时，每个数组(a 1, b 1)可形成23C 个三位abc ，故156)20(2929232=-+=C C C n 。

综上，16521=+=n n n ，故选C 。

计数原理与概率排列组合1. 定义、公式排列与排列数组合与组合数定义1．排列：从n个不同元素中取出m（m≤n）个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列。

2．排列数：从n个不同元素中取出m（m≤n）个元素的所有不同排列的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数。

1．组合：从n个不同元素中取出m（m≤n）个元素合成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合。

2．组合数：从n个不同元素中取出m（m≤n）个元素的所有不同组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数。

公式。

排列数公式组合数公式性质（1）（2）备注排列组合常见问题及解法一、分析题意明确是分类问题还是分步问题，是排列还是组合问题5. 用0，1，2，3，4，5这六个数字组成无重复数字的五位数，分别求出下列各类数的个数：（1）奇数；（2）5的倍数；（3）比20300大的数；（4）不含数字0，且1，2不相邻的数。

{二、特殊元素，优先处理；特殊位置，优先考虑6. 五个人站成一排，求在下列条件下的不同排法种数：（1）甲必须在排头；（2）甲必须在排头，并且乙在排尾；（3）甲、乙必须在两端；（4）甲不在排头，并且乙不在排尾；（5）甲、乙不在两端；（6）甲在乙前；（7）甲在乙前，并且乙在丙前；三、捆绑与插空7. 8人排成一队(1)甲乙必须相邻(2)甲乙不相邻(3)甲乙必须相邻且与丙不相邻(4)甲乙必须相邻，丙丁必须相邻(5)甲乙不相邻，丙丁不相邻四、间接法8. 四面体的顶点和各棱中点共10个点,在其中取4个不共面的点,不同的取法共有多少种五、隔板法9. 10个名额分配到八个班，每班至少一个名额，问有多少种不同的分配方法（六、定序问题七、10. 六人排成一排，要求甲在乙的前面，(不一定相邻)，共有多少种不同的方法如果要求甲乙丙按从左到右依次排列呢…七、排列组合综合应用11. （1）某地奥运火炬接力传递路线共分6段，传递活动分别由6名火炬手完成．如果第一棒火炬手只能从甲、乙、丙三人中产生，最后一棒火炬手只能从甲、乙两人中产生，则不同的传递方案共有______种．（用数字作答）（2）有4张分别标有数字1，2，3，4的红色卡片和4张分别标有数字1，2，3，4的蓝色卡片，从这8张卡片中取出4张卡片排成一行．如果取出的4张卡片所标数字之和等于10，则不同的排法共有__________种（用数字作答）．（1）根据题意，先安排第一棒，再安排最后一棒，由于甲既可以传第一棒，又可以传最后一棒，因此应分类讨论，然后再逐类排出。

（二十）计数原理
（1）理解分类加法计数原理和分步乘法计数原理，能正确区分“类”和“步”，并能利用两个原理解决一些简单的实际问题．
（2）理解排列的概念及排列数公式，并能利用公式解决一些简单的实际问题.
（3）理解组合的概念及组合数公式，并能利用公式解决一些简单的实际问题.
（4）会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题.
（二十一）概率与统计
（1）理解取有限个值的离散型随机变量及其分布列的概念，认识分布列刻画随机现象的重要性，会求某些取有限个值的离散型随机变量的分布列.
（2）了解超几何分布及其导出过程，并能进行简单的应用.
（3）了解条件概率的概念，了解两个事件相互独立的概念，理解n次独立重复试验的模型及二项分布，并能解决一些简单的实际问题.
（4）理解取有限个值的离散型随机变量均值、方差的概念，会求简单离散型随机变量的均值、方差，并能利用离散型随机变量的均值、方差概念解决一些简单问题.
（5）借助直观直方图认识正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义.
（6）了解回归的基本思想、方法及其简单应用.
（7）了解独立性检验的思想、方法及其初步应用.。

计数原理、概率一、基础训练：1、四张卡片上分别标有数字“2”“0”“0”“9”，其中“9”可当“6”用，则由这四张卡片可组成不同的四位数的个数为 122、甲、乙两人从4门课程中各选修2门，则甲、乙所选的课程中至少有1门不相同的选法共有 30种3、两个实习生每人加工一个零件．加工为一等品的概率分别为23和34，两个零件是否加工为一等品相互独立，则这两个零件中恰有一个一等品的概率为 512．4、在24的展开式中，x 的幂的指数是整数的项共有 5 项5、(82展开式中不含．．4x 项的系数的和为0 ．6、投掷一枚均匀硬币和一枚均匀骰子各一次，记“硬币正面向上”为事件A,“骰子向上的点数是3”为事件B,则事件A ，B 中至少有一件发生的概率是 712．二、例题分析：例1、7人排成一行，分别求出符合下列要求的不同排法的种数． (1)甲排中间； (2)甲不排在两端； (3)甲、乙相邻； (4)甲在乙的左边(不一定相邻)； (5)甲、乙、丙两两不相邻． 解：(1)甲排中间，其余6人任意排列，故共有66P ＝720种不同排法．(2)若甲排在左端或右端，各有66P 种排法，故甲不排在两端共有66772P P -＝3600种不同排法．(3)法一：先由甲与除乙以外的5人(共6人)任意排列，再将乙排在甲的左侧或右侧(相邻)，故共有66P ·12P ＝1440种不同排法．法二：先将甲、乙合成为一个“元素”，连同其余5人共6个“元素”任意排列，再由甲、乙交换位置，故共有66P ·12P ＝1440种不同排法．(4)在7人排成一行形成的77P 种排法中，“甲左乙右”与“甲右乙左”的排法是一一对应的(其余各人位置不变)，故甲在乙的左边的不同排法共有7721P ＝2520种不同解法． (5)先由除甲、乙、丙以外的4人排成一行，形成左、右及每两人之间的五个“空”，再将甲、乙、丙插入其中的三个“空”，每“空”1人，故共有3544P P ⋅＝1440种不同的排法．评述 这是一组排队的应用问题，是一类典型的排列问题，附加的限制条件常是定位与限位，相邻与不相邻，左右或前后等． 例2、已知(n x +的展开式中前三项的系数成等差数列．（Ⅰ）求n 的值； （Ⅱ）求展开式中系数最大的项．解：（Ⅰ）由题设，得 02111C C 2C 42n n n +⨯=⨯⨯，即2980n n -+=，解得n ＝8，n ＝1（舍去）．（Ⅱ）设第r ＋1的系数最大，则1881188111C C 2211C C .22rr r r r r r r ++--⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩≥，≥ 即1182(1)11.291r r r ⎧⎪-+⎪⎨⎪⎪-⎩≥，≥ 解得r ＝2或r ＝3．所以系数最大的项为537T x =，9247T x =．例3、某校10名学生组成该校“科技创新周”志愿服务队（简称“科服队”），他们参加活动的有关数据统计如下：（1）从“科服队”中任选3人，求这3人参加活动次数各不相同的概率； （2）从“科服队”中任选2人，用ξ表示这2人参加活动次数之差的绝对值，求随机变量ξ的分布列及数学期望E ξ解：（1）3人参加活动次数各不相同的概率为111235310C C C 1C 4P == 故这3名同学中参加活动次数各不相同的概率为14． （2）由题意知：ξ=0, 1, 2，222235210C C C 14(0)C 45P ξ++===； 11112335210C C C C 217(1)C 4515P ξ+====； 1125210C C 102(2)C 459P ξ====．所以ξ的数学期望:1472410124515945E ξ=⨯+⨯+⨯=．例4、（2010宁波十校联考）某校举行环保知识大奖赛，比赛分初赛和决赛两部分，初赛采用选手选一题答一题的方式进行，每位选手最多有5次选题答题的机会，选说累计答对3题或答错3题即终止其初赛的比赛，答对3题者直接进入决赛，答错3题者则被淘汰，已知选手甲答题连续两次答错的概率为19，（已知甲回答每个问题的正确率相同，并且相互之间没有影响。

选修2-3定理概念及公式总结第一章基数原理1.分类计数原理：做一件事情，完成它可以有n 类办法，在第一类办法中有1m 种不同的方法，在第二类办法中有2m 种不同的方法，……，在第n 类办法中有n m 种不同的方法那么完成这件事共有 N=m 1+m 2+……+m n 种不同的方法2.分步计数原理：做一件事情，完成它需要分成n 个步骤，做第一步有m 1种不同的方法，做第二步有m 2种不同的方法，……，做第n 步有m n 种不同的方法，那么完成这件事有N=m 1×m 2×……m n 种不同的方法 分类要做到“不重不漏”，分步要做到“步骤完整”3.两个计数原理的区别:如果完成一件事，有n 类办法，不论哪一类办法中的哪一种方法，都能独立完成这件事,用分类计数原理，如果完成一件事需要分成几个步骤，各步骤都不可缺少，需要完成所有步骤才能完成这件事，是分步问题,用分步计数原理.4.排列:从n 个不同的元素中取出m 个(m ≤n)元素并按一定的顺序排成一列,叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列.（1）排列数: 从n 个不同的元素中取出m 个(m ≤n)元素的所有排列的个数.用符号m n A 表示 （2）排列数公式:)1()2)(1(+-⋅⋅⋅--=m n n n n A mn用于计算， 或m nA )!(!m n n -=()n m N m n ≤∈*,, 用于证明。

nnA =!n =()1231⨯⨯⨯⨯-Λn n =n(n-1)! 规定0！=1 5.组合：一般地，从n 个不同元素中取出m ()m n ≤个元素并成一组，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个组合（1）组合数: 从n 个不同元素中取出m ()m n ≤个元素的所有组合的个数，用mn C 表示（2）组合数公式: (1)(2)(1)!m m n nm m A n n n n m C A m ---+==L 用于计算，或)!(!!m n m n C m n -=),,(n m N m n ≤∈*且 用于证明。

第十章计数原理概率§10.1概率与统计初步考纲要求1．理解分类计数原理和分步计数原理2．能应用分类计数原理和分步计数原理分析、解决一些简单的问题３．了解概率的定义，以及古典概率的计算知识要点１．分类计数原理：完成一件事，有ｎ类办法，在第一类办法中有ｍ１种不同的方法，在第二类办法中有ｍ２种不同的方法，…，在第ｎ类办法中有ｍｎ种不同的方法。

那么完成这件事共有：Ｎ＝ｍ１＋ｍ２＋…＋ｍｎ种不同的方法。

２．分步计数原理：完成一件事，需要分成ｎ个步骤，做第一步有ｍ１种不同的方法，做第二步有ｍ２种不同的方法，…，做第ｎ步有有ｍｎ种不同的方法。

那么完成这件事共有：Ｎ＝ｍ１×ｍ２×…×ｍｎ种不同的方法。

３．对两个原理的理解（１）共同点：两个原理都是将一个事件分成若干个分事件来完成。

（２）区别：两个原理一个与分类有关，一个与分步有关。

若完成一个事件有ｎ类办法，这ｎ类办法彼此之间是互斥的，无论哪一类办法都能单独完成这一事件，求完成这件事的方法就用分类计数原理；若完成一个事件需要分ｎ步完成，各个步骤都不可缺少，需要依次完成所有的步骤，才能完成这一事件，而完成每一步步骤有若干种不同的方法，求完成这件事的方法就用分步计数原理。

典例分析例１．某单位职工义务献血，Ｏ型血的共有１６人，Ａ型血的共有１２人，Ｂ型血的共有１０人，ＡＢ型血的共有２人。

（１）从中任选一人去献血，有多少种不同的选法？（２）从四种血型的人中各选一人去献血，有多少种不同的选法？分析：从Ｏ型血的人中选1人有16种选法；从A型血的人中选1人有12种选法；从B型血的人中选1人有1０种选法；从AB型血的人中选1人有2种选法。

（１）任选一人献血，即无论选哪种血型的一个人此事已完成，所以用分类计数原理。

（２）要从四种血型中各选一人献血，即选４人。

要从每种血型的人中依次选出１人，这件事情才完成。

所以用分步计数原理。

解：（１）Ｎ＝１６＋１２＋１０＋２＝４０（种）（２）Ｎ＝１６１２×１０×２＝３８４０（种）点评：关键是分清题目涉及的问题是分类还是分步的问题，再选用相应的原理解题。