人教B版高中数学必修四高一作业设计：1.3.1正弦函数的图象与性质(二)

临朐六中高一数学导学案姓名： 编号：必修四-10教学课题 课型 主备教师 审核教师 班级使用时间正弦型函数新授课董洪安白华玉学习目标：1、了解振幅、周期、频率、初相的定义；2、掌握振幅变换和相位变换的规律。

重点:熟练的对函数x y sin =进行振幅变换和相位变换。

难点：理解振幅变换和相位变换的规律。

教学过程课前预习1.函数()ϕω+=x A y sin （其中ϕω,,A 都是常数）叫做 函数，在物理工程学科中，A 叫做 ，ϕ叫做 ，ϕω+x 叫做_________，周期=T __________,频率=f _________。

2.函数()()0,0 sin ≠>+=ωϕωA x A y 的性质：⑴定义域： ； ⑵值域： ； ⑶单调性：单调增区间可由 __________________________得到，单调减区间可由______________________得到。

⑷对称性：对称轴方程：____________________;对称中心___________________。

3.作函数()()0,0 sin >>+=ωϕωA x A y 图象的规律：⑴一般地，把函数x y sin =的图象上的所有点（当0>ϕ）向______或（当0<ϕ）向______平行移动______个单位长度就得到函数()ϕ+=x y sin 的图象；⑵一般地，函数()R x x y ∈= sin ω（其中,0>ω且1≠ω）的图象可以看作是x y sin =上所有的点的横坐标_________（当1>ω）或__________（当10<<ω）到原来的__________（纵坐标________）而得到的；⑶函数()R x x A y ∈= sin 的图象可以看作是把()R x x y ∈= sin 上所有的点的纵坐标_______（当1>A ）或______（当10<<A ）到原来的______(横坐标____)而得到的。

1.3 三角函数的图象与性质 1.3.1 正弦函数的图象与性质 第1课时 正弦函数的图象与性质学习目标：1.能正确使用“五点法”“几何法”作出正弦函数的图象．(难点)2.理解正弦函数的性质，会求正弦函数的最小正周期、奇偶性、单调区间及最值．(重点)[自 主 预 习·探 新 知]1．正弦函数的图象(1)利用正弦线可以作出y ＝sin x ，x ∈[0,2π]的图象，要想得到y ＝sin x (x ∈R)的图象，只需将y ＝sin x ，x ∈[0,2π]的图象沿x 轴平移±2π，±4π，…即可，此时的图象叫做正弦曲线．(2)“五点法”作y ＝sin x ，x ∈[0,2π]的图象时，所取的五点分别是(0,0)，⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，1，(π，0)，⎝ ⎛⎭⎪⎫32π，－1和(2π，0)．2．正弦函数的性质 (1)函数的周期性①周期函数：对于函数f (x )，如果存在一个非零常数T ，使得定义域内的每一个x 值，都满足f (x ＋T )＝f (x )，那么函数f (x )就叫做周期函数，非零常数T 叫做这个函数的周期．②最小正周期：对于一个周期函数f (x )，如果在它的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做它的最小正周期． (2)正弦函数的性质思考：观察正弦函数的图象是否具有对称性，它的对称性是怎样的？[提示] 由图(图略)可以看出，正弦函数的图象关于原点成中心对称，除了原点这个对称点外，对于正弦函数图象，点(π，0)，点(2π，0)…，点(k π，0)也是它的对称中心，由此正弦函数图象有无数个对称中心，且为(k π，0)(k ∈Z)，即图象与x 轴的交点，正弦函数的图象还具有轴对称性，对称轴是x ＝k π＋π2，(k ∈Z)，是过图象的最高或最低点，且与x 轴垂直的直线．[基础自测]1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)正弦函数的图象向左右是无限伸展的．( )(2)正弦函数y ＝sin x 的图象在x ∈[2k π，2k π＋2π]，(k ∈Z)上的图象形状相同，只是位置不同．( )(3)正弦函数y ＝sin x (x ∈R)的图象关于y 轴对称．( ) (4)正弦函数y ＝sin x (x ∈R)的图象关于原点成中心对称．( )[解析] 由正弦曲线的定义可知只有(3)错误，它关于直线x ＝k π＋π2，k ∈Z 成轴对称图形．[答案] (1)√ (2)√ (3)× (4)√ 2．下列函数中，周期为π2的是( ) A ．y ＝sin x2 B ．y ＝sin 2x C ．y ＝sin x4D ．y ＝sin(－4x )D [∵sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－4⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π2＝sin(－4x －2π)＝sin(－4x )，∴y＝sin(－4x)的周期为π2.选D.]3．下列图象中，符合y＝－sin x在[0,2π]上的图象的是()D[把y＝sin x，x∈[0,2π]上的图象关于x轴对称，即可得到y＝－sin x，x∈[0,2π]上的图象，故选D.][合作探究·攻重难]正弦函数的图象用五点法作出函数y＝1－2sin x，x∈[－π，π]的简图，并回答下列问题：(1)观察函数图象，写出满足下列条件的x的区间．①y>1；②y<1.(2)若直线y＝a与y＝1－2sin x有两个交点，求a的取值范围；(3)求函数y＝1－2sin x的最大值，最小值及相应的自变量的值．[解]按五个关键点列表描点连线得：(1)由图象可知图象在y＝1上方部分y>1，在y＝1下方部分y<1，∴当x∈(－π，0)时，y>1，当x∈(0，π)时，y<1.(2)如图，当直线y ＝a 与y ＝1－2sin x 有两个交点时，1<a <3或－1<a <1，∴a 的取值范围是{a |1<a <3或－1<a <1)．(3)由图象可知y max ＝3，此时x ＝－π2；y min ＝－1，此时x ＝π2.正弦函数的单调性及应用比较下列各组数的大小． (1)sin 194°和cos 160°； (2)sin 74和cos 53；(3)sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 3π8和sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫cos 3π8.[思路探究] 先化为同一单调区间上的同名函数，然后利用单调性来比较函数值的大小．[解] (1)sin 194°＝sin(180°＋14°)＝－sin 14°. cos 160°＝cos(180°－20°)＝－cos 20°＝－sin 70°.∵0°<14°<70°<90°， ∴sin 14°<sin 70°.从而－sin 14°>－sin 70°，即sin 194°>cos 160°. (2)∵cos 53＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋53，又π2<74<π2＋53<π，y ＝sin x 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，32π上是减函数，∴sin 74>sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋53＝cos 53，即sin 74>cos 53. (3)∵cos 3π8＝sin π8， ∴0<cos 3π8<sin 3π8<1<π2. 而y ＝sin x 在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2内递增，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫cos 3π8<sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 3π8.2．比较大小： (1)sin 250°与sin 260°； (2)sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－235π与sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－174π.[解] (1)sin 250°＝sin(180°＋70°)＝－sin 70°，sin 260°＝sin(180°＋80°)＝－sin 80°，因为0°＜70°＜80°＜90°，且函数y ＝sin x ，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2是增函数，所以sin 70°＜sin80°，所以－sin 70°＞－sin 80°，即sin 250°＞sin 260°. (2)sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－23π5＝－sin 23π5＝－sin 3π5＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π－2π5＝－sin 2π5，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－17π4＝－sin 17π4＝－sin π4. 因为0＜π4＜2π5＜π2，且函数y ＝sin x ，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2是增函数，所以sin π4＜sin 2π5，－sin π4>－sin 2π5， 即sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－23π5＜sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－17π4.正弦函数的值域与最值问题[探究问题]1．函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4在x ∈[0，π]上最小值能否为－1?[提示] 不能．因为x ∈[0，π]，所以x ＋π4∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，5π4，由正弦函数图象可知函数的最小值为－22.2．函数y ＝A sin x ＋b ，x ∈R 的最大值一定是A ＋b 吗？[提示] 不是．因为A >0时最大值为A ＋b ，若A <0时最大值应为－A ＋b .求下列函数的值域． (1)y ＝3＋2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3；(2)y ＝1－2sin 2x ＋sin x .[思路探究] (1)用|sin α|≤1构建关于y 的不等式，从而求得y 的取值范围． (2)用t 代替sin x ，然后写出关于t 的函数，再利用二次函数的性质及|t |≤1即可求出y 的取值范围．[解] (1)∵－1≤sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3≤1，∴－2≤2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3≤2，∴1≤2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3＋3≤5，∴1≤y ≤5，即函数y ＝3＋2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3的值域为[1,5]．(2)y ＝1－2sin 2x ＋sin x ， 令sin x ＝t ，则－1≤t ≤1，y ＝－2t 2＋t ＋1＝－2⎝ ⎛⎭⎪⎫t －142＋98.由二次函数y ＝－2t 2＋t ＋1的图象可知－2≤y ≤98， 即函数y ＝1－2sin 2x ＋sin x 的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2，98.3．设|x |≤π4，求函数f (x )＝cos 2x ＋sin x 的最小值.【导学号：79402017】[解] f (x )＝cos 2x ＋sin x ＝1－sin 2x ＋sin x ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫sin x －122＋54.∵|x |≤π4，∴－22≤sin x ≤22，∴当sin x ＝－22时取最小值为1－22.[当 堂 达 标·固 双 基]1．以下对于正弦函数y ＝sin x 的图象描述不正确的是( ) A ．在x ∈[2k π，2k π＋2π]，k ∈Z 上的图象形状相同，只是位置不同 B ．关于x 轴对称C ．介于直线y ＝1和y ＝－1之间D ．与y 轴仅有一个交点B [观察y ＝sin x 图象可知A ，C ，D 项正确，且关于原点中心对称，故选B.] 2．函数y ＝－sin x ，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，3π2的简图是( )D [可以用特殊点来验证．当x ＝0时，y ＝－sin 0＝0，排除A ，C ；当x ＝3π2时，y ＝－sin 3π2＝1，排除B.]3．点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，－m 在函数y ＝sin x 的图象上，则m 等于( )A ．0B ．1C ．－1D ．2C [由题意－m ＝sin π2，∴－m ＝1， ∴m ＝－1.]4．若sin x ＝2m ＋1且x ∈R ，则m 的取值范围是__________． [解析] 因为－1≤sin x ≤1，sin x ＝2m ＋1， 所以－1≤2m ＋1≤1， 解得－1≤m ≤0.[答案][－1,0]5．用五点法画出函数y＝－2sin x在区间[0,2π]上的简图．[解]列表：描点、连线得y＝－2sin x的图象如图：。

第二课时 正弦型函数y ＝A sin(ωx ＋φ)基础知识基本能力1．了解A ，ω，φ的物理意义及y ＝A sin(ωx ＋φ)的实际意义． 2．掌握“五点法”作函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象，理解A ，ω，φ对y ＝A sin(ωx ＋φ)的影响．(重点)3．掌握图象的平移、伸缩变换原理及能利用图象变换解决相关问题．(难点、易错点)1．能正确使用“五点法”“图象变换法”作出y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象，并熟悉其变换过程．(重点、易错点)2．注重整体思想、数形结合思想、分类讨论思想的应用．(难点)1．正弦型函数的概念形如y ＝A sin(ωx ＋φ)(其中A ，ω，φ都是常数)的函数，通常叫做正弦型函数． 当函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0，x ∈(0，＋∞))表示一个振动量时，则A 称为振幅；T ＝2πω称为这个振动的周期；单位时间内往复振动的次数f ＝1T称为频率；ωx ＋φ称为相位；x ＝0时，相位φ称为初相．一般地，函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(其中A ，ω，φ为常数，且A ≠0，ω＞0)的周期T ＝2πω.【自主测试1－1】函数f (x )＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－π4，x ∈R 的最小正周期为( ) A ．π2B ．π C．2π D．4π答案：D【自主测试1－2】函数y ＝2 012sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋π6的振幅为__________，周期为__________，初相为__________．答案：2 012 2π3 π62．正弦型函数的图象变换(1)相位变换．y ＝sin x 的图象―----------------------―→向左φ＞0或向右φ＜0平移|φ|个单位长度y ＝sin(x ＋φ)的图象． (2)周期变换．y ＝sin x 的图象――--------------------------------------→横坐标缩短ω>1或伸长0<ω<1到原来的1ω倍纵坐标不变y ＝sin_ωx 的图象． (3)振幅变换．y ＝sin x 的图象――-------------------------→纵坐标变为原来的A A >0倍横坐标不变y ＝A sin_x 的图象． (4)y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象可以这样得到：y ＝sin x 相位变换,y ＝sin(x ＋φ)周期变换,y ＝sin(ωx ＋φ)振幅变换,y ＝A sin(ωx ＋φ)．【自主测试2】函数y ＝sin x 的图象的横坐标和纵坐标同时扩大3倍，再将图象向右平移3个单位长度，所得图象的函数解析式为__________．解析：y ＝sin x →y ＝3sin 13x →y ＝3sin 13(x －3)＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫13x －1. 答案：y ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫13x －11．解读图象变换常用的两种途径剖析：由y ＝sin x 的图象变换出y ＝sin(ωx ＋φ)(ω＞0)的图象一般有两种途径． 途径一：先作相位变换，再作周期变换．先将y ＝sin x 的图象向左(φ＞0)或向右(φ＜0)平移|φ|个单位长度；再将得到的图象上各点的横坐标变为原来的1ω倍(纵坐标不变)，得y ＝sin(ωx ＋φ)的图象．途径二：先作周期变换，再作相位变换．先将y ＝sin x 的图象上各点的横坐标变为原来的1ω倍(纵坐标不变)；再将得到的图象沿x 轴向左(φ＞0)或向右(φ＜0)平移|φ|ω个单位长度，得y ＝sin(ωx ＋φ)的图象．疑点是这两种途径在平移变换中，为什么沿x 轴平移的单位长度不同．其突破口是化归到由函数y ＝f (x )的图象经过怎样的变换得到函数y ＝f (ωx ＋φ)的图象．若按途径一，先将y ＝f (x )的图象向左(φ＞0)或向右(φ＜0)平移|φ|个单位长度，得函数y ＝f (x ＋φ)的图象；再将函数y ＝f (x ＋φ)的图象上各点的纵坐标不变，横坐标变为原来的1ω倍，得y ＝f (ωx ＋φ)的图象．若按途径二，先将y ＝f (x )的图象上各点的纵坐标不变，横坐标变为原来的1ω倍，得函数y ＝f (ωx )的图象；再将函数y ＝f (ωx )的图象上各点沿x 轴向左(φ＞0)或向右(φ＜0)平移|φ|ω个单位长度，得y ＝f (ωx ＋φ)的图象．若将y ＝f (x )的图象上各点的纵坐标不变，横坐标变为原来的1ω倍(ω＞0)，得函数y＝f (ωx )的图象；再将函数y ＝f (ωx )的图象上各点沿x 轴向左(φ＞0)或向右(φ＜0)平移|φ|个单位长度，得到y ＝f [ω(x ＋φ)]的图象，即函数y ＝f (ωx ＋ωφ)的图象，而不是函数y ＝f (ωx ＋φ)的图象．知识拓展函数图象中的对称变换： ①y ＝f (x )―------------------―→图象关于y 轴对称y ＝f (－x ) ②y ＝f (x )――--------→图象关于x 轴对称y ＝－f (x )③y ＝f (x )――---------------------------→将x 轴下方的图象翻折到x 轴上方原x 轴上方的图象不动y ＝|f (x )| ④y ＝f (x )――---------------------→将y 轴右边的图象作对称得到y 轴左边图象，原y 轴右边的图象不动y ＝f (|x |) 2．教材中的“思考与讨论”想一想，如何按照下列指定的顺序，将一个函数的图象变为下一个函数的图象：y ＝sin x →y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3→y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3→y ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3.剖析：y ＝sin xy ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3――---------------→纵坐标不变，横坐标缩短为原来的12y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3―------------→横坐标不变，纵坐标扩大为原来的3倍y ＝3sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3.题型一 作正弦型函数的图象【例题1】用五点法作出函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π3＋3的简图，并指出它的周期、频率、初相、最值及单调区间．分析：先画出函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π3＋3在一个周期内的图象，再将其分别向左、右扩展，从而得所求函数的图象．解：先由五点法作出y ＝2sin ⎛⎪⎫x －π3＋3在一个周期内的图象．列表：描点作图．如图所示，再将上述一个周期内的图象分别向左、向右扩展即得函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π3＋3的简图(图略)，该函数的周期T ＝2π，频率f ＝1T ＝12π，初相为－π3，最大值为5，最小值为1，函数的减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π＋5π6，2k π＋11π6(k ∈Z )，增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π－π6，2k π＋5π6(k ∈Z )．反思用五点法作图象中的五个点，有三个点位于平衡位置，有一个点是最高点，有一个点是最低点，所以相邻两个点的横坐标相差14个周期．因此，找出一个点后，可依次把横坐标加上14个周期，从而得到其他点的横坐标．题型二 正弦型函数的图象变换【例题2】试用两种方法说明由函数y ＝sin x 的图象变换成函数y ＝5sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －π6的图象的全过程．分析：思路一：先变相位，再变周期，最后变振幅，即y ＝sin x →y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π6→y＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －π6→y ＝5sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －π6.思路二：先变周期，再变相位，最后变振幅，即y ＝sin x →y ＝sin 12x →y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －π6→y ＝5sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －π6.解：解法一：①先把正弦曲线上所有的点向右平移π6个单位长度，得到函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π6的图象；②再把函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π6的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，得到函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －π6的图象；③最后把函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －π6的图象上所有点的纵坐标伸长到原来的5倍(横坐标不变)，得到函数y ＝5sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －π6的图象．解法二：①先把正弦曲线上所有的点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，得到函数y ＝sin 12x 的图象；②再把函数y ＝sin 12x 的图象上所有的点向右平移π3个单位长度，得到函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －π6的图象；③最后把函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －π6的图象上所有点的纵坐标伸长到原来的5倍(横坐标不变)，得到函数y ＝5sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －π6的图象．反思对于函数y ＝A sin(ωx ＋φ)，应明确A ，ω决定“形变”，φ决定“位变”，A影响值域，ω影响周期，A ，ω，φ影响单调性．当选用“伸缩在前，平移在后”的变换顺序时，一定要注意针对x 的变化，函数图象向左或向右平移φ|ω|个单位长度．题型三 由函数图象求解析式【例题3】如图是函数y ＝A sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫其中A >0，ω>0，|φ|<π2的图象中的一段，确定A ，ω，φ的值，并写出函数的解析式．分析：可采用起始点法、最值点法、图象变换法来确定解析式． 解：解法一：(起始点法)由图象知，振幅A ＝3.又∵T ＝5π6－⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6＝π，∴ω＝2πT ＝2.由五点法作图原理知点⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6，0为起始点， 令－π6·2＋φ＝0，得φ＝π3.∴y ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3. 解法二：(最值点法)由图象知，振幅A ＝3.又T ＝5π6－⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6＝π，∴ω＝2πT＝2.由图象知，图象的最高点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫π12，3，将该点坐标代入y ＝3sin(2x ＋φ)，得3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×π12＋φ＝3， ∴π6＋φ＝2k π＋π2，即φ＝2k π＋π3，k ∈Z .不妨令k ＝0，得φ＝π3.∴y ＝3sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3. 解法三：(图象变换法)由A ＝3，T ＝π，点⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6，0在图象上，可知图象由y ＝3sin 2x 向左平移π6个单位长度得到的，∴y ＝3sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6，即y ＝3sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3.反思通过本题我们认识到：解决同一个问题，可以有多种途径，大家在做题时，要注意发散思维．题型四 正弦型函数的综合应用【例题4】若函数f (x )＝5sin(2x ＋φ)对任意x 都有f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－x ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋x . (1)求f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3的值； (2)求φ的最小正值；(3)当φ取最小正值时，若x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，π6，求f (x )的最大值和最小值． 分析：f (x )对任意x 都有f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－x ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋x ，意味着f (x )的一条对称轴为x ＝π3，以此为切入点求出φ，再利用图象及性质求最值．解：(1)∵f (x )对任意x 都有f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－x ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋x ， ∴x ＝π3是函数f (x )＝5sin(2x ＋φ)的一条对称轴．∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＝± 5. (2)由f (x )＝5sin(2x ＋φ)的图象的对称轴知2x ＋φ＝k π＋π2(k ∈Z )，∴x ＝k2π＋π4－φ2(k ∈Z )． ∵直线x ＝π3是其中一条对称轴，代入得φ＝k π－π6(k ∈Z )．∴φ的最小正值为5π6.(3)由(2)，知f (x )＝5sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋5π6， ∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，π6，∴2x ＋5π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，7π6，∴f (x )ma x ＝5，f (x )min ＝－52. 反思对于函数f (x )来说，若总有f (a ＋x )＝f (a －x )，则该函数图象关于直线x ＝a 对称． 题型五 易错辨析【例题5】要得到y ＝sin 4x 的图象，只需把y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫4x －π3的图象( ) A ．向左平移π3个单位长度 B ．向右平移π3个单位长度C ．向左平移π12个单位长度D ．向右平移π12个单位长度错解：D错因分析：平移方向有误．我们知道要得到函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫4x －π3的图象，只需把y ＝sin4x 的图象向右平移π12个单位长度即可，但在回答本题时，要注意平移方向的变化，故应为向左平移π12个单位长度．正解：C1．函数y ＝－2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6的周期、振幅分别为( ) A ．π，－2 B ．π，2 C ．2π，－2 D ．2π，2答案：B2．(2012·天津期末)函数y ＝A sin(ωx ＋φ)在一个周期内的图象如下图所示，此函数的解析式为( )A ．y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋2π3B ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3C ．y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3D ．y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x ＋5π6 答案：A3．把函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4的图象向右平移π8个单位长度，再把所得图象上各点的横坐标缩短到原来的12，则所得图象的函数解析式是( )A ．y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x ＋3π8B ．y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x ＋π8C ．y ＝sin 4xD ．y ＝sin x解析：将y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4的图象向右平移π8个单位长度，得y ＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π8＋π4，即y ＝sin 2x 的图象；再将y ＝sin 2x 的图象上各点的横坐标缩短到原来的12，就得到函数y ＝sin 4x 的图象．答案：C4．下列各点不是函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3的图象的对称中心的是( )A ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3，0B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3，0C ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－4π3，0D ．⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，0 答案：D5．当－π2≤x ≤π2时，函数f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3的最大值是__________，最小值是__________．解析：∵－π2≤x ≤π2，∴－π6≤x ＋π3≤5π6.令μ＝x ＋π3，则－π6≤μ≤5π6.此时－12≤sin μ≤1，∴－22≤2sin μ≤2，即－22≤2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3≤ 2.∴该函数的最大值为2，最小值为－22. 答案： 2 －226．已知函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0)．(1)若A ＝3，ω＝12，φ＝－π3，作出该函数在一个周期内的草图；(2)若y 表示一个振动量，其振动频率是2π，当x ＝π24时，相位是π3，求ω与φ.解：(1)由函数y ＝3sin ⎛⎪⎫x －π列出下表：描出对应的五个点，用平滑的曲线连接各点即得所求作的函数图象(见下图)．(2)依题意，有⎩⎪⎨⎪⎧f ＝ω2π＝2π，ω·π24＋φ＝π3，解得⎩⎪⎨⎪⎧ω＝4，φ＝π6.。

性质：1．定义域：sin y x =的定义域为 .2．值域：1︒sin y x =的值域为结论： （有界性）2︒ 对于,sin x y = 当且仅当 时 1max =y ,当且仅当 时 1min -=y ；3．周期性：正弦函数是周期函数，它的周期 ，最小正周期是 .4．奇偶性：正弦函数sin y x =是 ，正弦曲线关于原点对称．正弦曲线是中心对称图形，其所有对称中心的坐标为 ； 正弦曲线是轴对称图形，其所有对称轴的方程为： ．5．单调性正弦函数在每一个闭区间 上都是增函数，其值从－1增大到1；在每一个闭区间 上都是减函数，其值从1减小到－1.这两类区间的每一个都是函数的一个单调区间．正弦类函数的值域求法（通法归纳）（1）一次式：sin()y A x B ωϕ=++（0ω≠）根据正弦函数的有界性，其值域为 ；（2）二次式：2sin sin y a x b x c =++先将函数表达式化为再根据正弦函数的有界性求函数的最小值和最大值，最后就可求出其值域；（3）一次分式：sin sin c x d y a x b+=+ 有表达式可得 ，再根据正弦函数的有界性可得不等式 这个不等式的解集就是此函数的值域。

注意：以上给出的都是在存在域内的值域问题。

最小正周期公式：sin()y A x B ωϕ=++（0ω≠）T =sin()y A x B ωϕ=++T =例1 求下列函数的最大值和最小值以及相应的x 的集合1．sin 2y x =；2．2sin y x =+；3．2sin sin 1y x x =-+例2 直接写出下列函数的定义域、值域：1︒ x y sin 11+= ； 2︒ y =； 3︒ y =.例3 求下列函数的最大值与最小值： (1));4sin(2π--=x y (2)4sin 5cos 22-+=x x y ;(3)23sin 4sin 1y x x =-+, ∈x ,66ππ-; 343sin x y .sin x例4 求下列函数的周期：(1) ; cos 3R x x y ∈=，(2) ; 2sin R x x y ∈=，(3) . )621sin(2R x x y ∈-=，π例5 求函数223x y sin π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭的最小正周期：例6 设f (x )是以5为周期的函数，且当x ∈［－25，25］时，f (x )＝x ，则f (6.5)＝_________ 例7 如果对于定义在R 上的函数)(x f 分别满足下列条件，判断是否为周期函数？（1）)()2(x f x f -=+；（2）)(1)2(x f x f =+；（3）)(1)2(x f x f -=+； （4）)2()2(-=+x f x f ；（5）)2()2(x f x f -=+．例8判断下列函数的奇偶性（1）|sin |x y =;（2）3sin y x =;（3）7cos 2y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭例91． 函数y ＝sin(2x ＋25π)的图象的一条对称轴方程为 A.x ＝45π B.x ＝－2π C.x ＝8π D.x ＝4π2．求下列函数图像的对称中心坐标和对称轴方程：(1)sin 2y x = (2)1sin 26y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭例10（1）函数[]2sin 2,0,6y x x ππ⎛⎫=-∈⎪⎝⎭为增函数的区间是（2）求函数y ＝3sin(3π＋2x )的单调区间.（3）求函数y ＝3sin(3π-2x )的单调区间例111．不通过求值,指出下列各式大干零还是小于零；(1)sin sin 1810ππ⎛⎫⎛⎫--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭； (2)2317sin sin 54ππ⎛⎫⎛⎫--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． 2．比较sin 1, sin 2, sin 3的大小．。

、
、能够认识以上这些函数与正弦函数
过正弦函数
、明确
的
函数，
，称为
单位时间内往复振动的次数，
动的频率；
在函数中，
的图
的五
图象
的图象
倍得到的
为振幅变换
)
)的简图
X-
X+
其中
｜个单位长度而得到
置不一样，这一变换称为相位变换＝
sin＝
的图象
（当
（当
平移
sin
再作图
换称为周期变换
(ω>1
或伸长
1若将某函数的图象向右平移以后所得到的图象的函数式是
A＋)
y－D)
2＋
A向右平移个单位，横坐标缩小到原来的
B向左平移个单位，横坐标缩小到原来的
C向右平移个单位，横坐标扩大到原来的倍，纵坐标缩小到原来的向左平移个单位，横坐标缩小到原来的倍，纵坐标缩小到原来的
正弦型函数
=
＋的简图
=sin的图象（简图）。

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正弦函数的图象与性质1。

能正确使用“五点法”、“几何法”作出正弦函数的图象.(难点）2.理解正弦函数的性质，会求正弦函数的最小正周期、奇偶性、单调区间及最值.(重点)［基础·初探］教材整理1 正弦函数的图象阅读教材P37～P38“例1”以上部分，完成下列问题.1。

利用正弦线可以作出y＝sin x，x∈［0,2π］的图象,要想得到y＝sin x(x∈R）的图象，只需将y＝sin x，x∈[0,2π］的图象沿x轴平移±2π，±4π…即可，此时的图象叫做正弦曲线。

2。

“五点法”作y＝sin x，x∈[0，2π］的图象时,所取的五点分别是（0,0），错误!，（π，0)，错误!和(2π，0）。

判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)正弦函数的图象向左右是无限伸展的。

( ）（2)正弦函数y＝sin x的图象在x∈［2kπ，2kπ＋2π]，(k∈Z）上的图象形状相同,只是位置不同。

（)（3）正弦函数y＝sin x（x∈R)的图象关于x轴对称。

（)(4）正弦函数y＝sin x(x∈R)的图象关于原点成中心对称。

（）【解析】由正弦曲线的定义可知只有(3）错误.【答案】(1)√(2)√（3）×(4)√教材整理2 正弦函数的性质阅读教材P39～P40“例2”以上部分,完成下列问题.1。