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第4讲 功能关系 能量守恒定律一、几种常见的功能关系及其表达式力做功能的变化 定量关系 合力的功 动能变化 W ＝E k2－E k1＝ΔE k重力的功 重力势能变化 (1)重力做正功，重力势能减少(2)重力做负功，重力势能增加(3)W G ＝－ΔE p ＝E p1－E p2弹簧弹力的功 弹性势能变化 (1)弹力做正功，弹性势能减少(2)弹力做负功，弹性势能增加(3)W 弹＝－ΔE p ＝E p1－E p2只有重力、弹簧弹力做功机械能不变化机械能守恒，ΔE ＝0除重力和弹簧弹力之外的其他力做的功机械能变化 (1)其他力做多少正功，物体的机械能就增加多少 (2)其他力做多少负功，物体的机械能就减少多少 (3)W 其他＝ΔE 一对相互作用的滑动摩擦力的总功机械能减少内能增加(1)作用于系统的一对滑动摩擦力一定做负功，系统内能增加 (2)摩擦生热Q ＝F f ·x 相对自测1(多选)(2020·某某某某市模拟)如图1所示，质量为m 的物体(可视为质点)以某一速度从A 点冲上倾角为30°的固定斜面，其减速运动的加速度为34g ，此物体在斜面上能够上升的最大高度为h ，则在这个过程中物体( )图1A ．重力势能增加了mghB ．机械能损失了12mghC ．动能损失了mghD ．克服摩擦力做功14mgh 答案 AB二、两种摩擦力做功特点的比较类型比较静摩擦力做功滑动摩擦力做功 不同点能量的转化方面 只有机械能从一个物体转移到另一个物体，而没有机械能转化为其他形式的能 (1)将部分机械能从一个物体转移到另一个物体 (2)一部分机械能转化为内能，此部分能量就是系统机械能的损失量一对摩擦力的总功方面 一对静摩擦力所做功的代数和总等于零一对滑动摩擦力做功的代数和总是负值 相同点正功、负功、不做功方面两种摩擦力对物体可以做正功，也可以做负功，还可以不做功判断正误 (1)只有一对相互作用的静摩擦力，做功不改变系统的机械能，系统机械能守恒．( √ )(2)只有一对相互作用的滑动摩擦力，做的总功为负功，使系统机械能减少，转化为内能．( √ )三、能量守恒定律1．内容能量既不会凭空产生，也不会凭空消失，它只能从一种形式转化为另一种形式，或者从一个物体转移到别的物体，在转化或转移的过程中，能量的总量保持不变．2．表达式ΔE 减＝ΔE 增．3．基本思路(1)某种形式的能量减少，一定存在其他形式的能量增加，且减少量和增加量一定相等；(2)某个物体的能量减少，一定存在其他物体的能量增加，且减少量和增加量一定相等． 自测2如图2所示，小车静止在光滑的水平轨道上，一个小球用细绳悬挂在小车上，现由图中位置无初速度释放，在小球下摆到最低点的过程中，下列说法正确的是( )图2A．细绳对小球的拉力不做功B．小球克服细绳拉力做的功等于小球减少的机械能C．细绳对小车做的功等于小球减少的重力势能D．小球减少的重力势能等于小球增加的动能答案 B解析小球下摆的过程中，小车的机械能增加，小球的机械能减少，小球克服细绳拉力做的功等于小球减少的机械能，选项A错误，B正确；细绳对小车做的功等于小球减少的机械能，选项C错误；小球减少的重力势能等于小球增加的动能与小车增加的机械能之和，选项D错误．1．只涉及动能的变化用动能定理分析．2．只涉及重力势能的变化，用重力做功与重力势能变化的关系分析．3．只涉及机械能的变化，用除重力和弹簧的弹力之外的其他力做功与机械能变化的关系分析．例1(2019·某某某某市友好学校联合体期末)从地面竖直上抛一个质量为m的小球，小球上升的最大高度为h，设上升和下降过程中空气阻力大小恒为F f.重力加速度为g，下列说法正确的是( )A．小球上升的过程中动能减少了mghB．小球上升和下降的整个过程中机械能减少了F f hC．小球上升的过程中重力势能增加了mghD．小球上升和下降的整个过程中动能减少了F f h答案 C解析小球上升的过程中，重力和阻力都做负功，其中克服重力做功等于mgh，故总功大于mgh；根据动能定理，动能的减小量大于mgh，故A错误；除重力外其余力做的功等于机械能的变化量，除重力外，克服阻力做功2F f h，机械能减小2F f h，故B错误；小球上升h，故重力势能增加mgh，故C正确；小球上升和下降的整个过程中，重力做功等于零，阻力做功等于－2F f h，故根据动能定理，动能减小2F f h，故D错误．变式1(多选)(2019·某某德阳市第三次诊断)如图3所示，离水平地面一定高度处水平固定一内壁光滑的圆筒，筒内固定一轻质弹簧，弹簧处于自然长度．现将一小球从地面以某一初速度斜向上抛出，刚好能水平进入圆筒中，不计空气阻力．下列说法中正确的是( )图3A．小球向上运动的过程中处于失重状态B．小球压缩弹簧的过程中小球减小的动能等于弹簧增加的势能C．弹簧获得的最大弹性势能等于小球抛出时的动能D．小球从抛出到将弹簧压缩到最短的过程中小球的机械能守恒答案AB解析小球抛出的过程中加速度为g，方向竖直向下，处于失重状态，故A正确；小球压缩弹簧的过程，小球的动能和弹簧的弹性势能总量守恒，所以小球减小的动能等于弹簧增加的势能，故B正确；小球从抛出到将弹簧压缩到最短的过程，小球的动能、重力势能和弹簧的弹性势能总量守恒，小球抛出时的动能等于小球的重力势能增加量与弹簧的最大弹性势能之和，故C错误；小球从抛出到将弹簧压缩到最短的过程中，小球和弹簧组成的系统机械能守恒，而小球的机械能不守恒，故D错误．例2(多选)(2019·某某某某市期初调研)如图4所示，竖直固定的光滑直杆上套有一个质量为m的小球，初始时静置于a点．一原长为l的轻质弹簧左端固定在O点，右端与小球相连．直杆上还有b、c、d三点，且b与O在同一水平线上，Ob＝l，Oa、Oc与Ob夹角均为37°，Od与Ob夹角为53°.现释放小球，小球从a点开始下滑，到达d点时速度为0，在此过程中弹簧始终处于弹性限度内，则下列说法正确的是(重力加速度为g，sin37°＝0.6)( )图4A．小球在b点时加速度为g，速度最大B ．小球从a 点下滑到c 点的过程中，小球的机械能先增大后减小C ．小球在c 点的速度大小为3glD ．小球从c 点下滑到d 点的过程中，弹簧的弹性势能增加了2512mgl 答案 BCD解析 从a 到b ，弹簧对小球有沿弹簧向下的拉力，小球的速度不断增大．从b 到c ，弹簧对小球有沿弹簧向上的拉力，b 点时小球只受重力，小球仍在加速，所以小球在b 点时速度不是最大，此时小球的合力为mg ，则加速度为g .故A 错误；从a 点下滑到c 点的过程中，小球和弹簧组成的系统机械能守恒，由于弹性势能先减小后增大，则小球的机械能先增大后减小，故B 正确；从a 点下滑到c 点的过程中，对于小球与弹簧组成的系统，由机械能守恒定律得：mg ·2l tan37°＝12mv c 2，可得小球在c 点的速度大小为：v c ＝3gl ，故C 正确；小球从c 点下滑到d 点的过程中，弹簧的弹性势能增加量等于小球的机械能减小量：ΔE p ＝12mv c 2＋mgl (tan53°－tan37°)，代入数据解得ΔE p ＝2512mgl ，故D 正确．变式2(多选)(2019·某某某某市适应性监测(三))如图5所示，轻质弹簧一端固定，另一端与质量为m 、套在粗糙竖直固定杆A 处的圆环相连，弹簧水平且处于原长．圆环从A 处由静止释放后，经过B 处速度最大，到达C 处(AC ＝h )时速度减为零．若在此时给圆环一个竖直向上的速度v ，它恰好能回到A 点．弹簧始终在弹性限度内，重力加速度为g ，则圆环( )图5A ．下滑过程中，加速度一直增大B ．下滑过程中，克服摩擦力做的功为14mv 2 C ．在C 处弹簧的弹性势能为mgh －14mv 2 D ．上、下两次经过B 点的速度大小相等答案 BC解析 圆环从A 处由静止开始下滑，经过B 处的速度最大，到达C 处时速度为零，所以圆环先做加速运动，再做减速运动，经过B 处的速度最大，所以经过B 处的加速度为零，所以加速度先减小后增大，故A 错误；研究圆环从A 处由静止开始下滑到B 的过程，运用动能定理列出等式：mgh ′－W f －W F ＝12mv B 2－0 研究圆环从B 处上滑到A 的过程，运用动能定理列出等式：－mgh ′－W f ＋W F ＝0－12mv B ′2 观察两个公式可以发现：上升过程中经过B 点的速度大于下降过程中经过B 点的速度，故D 错误；研究圆环从A 处由静止开始下滑到C 的过程，运用动能定理列出等式：mgh －W f ′－W F ′＝0－0在C 处获得一竖直向上的速度v ，恰好能回到A ，运用动能定理列出等式：－mgh －W f ′＋W F ′＝0－12mv 2 解得：W f ′＝14mv 2， 所以下滑过程中，克服摩擦力做的功为14mv 2，故B 正确； 由B 可知W F ′＝mgh －14mv 2， 根据弹力做功与弹性势能的转化关系可知：在C 处弹簧的弹性势能为mgh －14mv 2，故C 正确．例3 如图6所示，某工厂用传送带向高处运送物体，将一物体轻轻放在传送带底端，第一阶段物体被加速到与传送带具有相同的速度，第二阶段物体与传送带相对静止，匀速运动到传送带顶端．下列说法正确的是( )图6A ．第一阶段摩擦力对物体做正功，第二阶段摩擦力对物体不做功B ．第一阶段摩擦力对物体做的功等于第一阶段物体动能的增加量C ．第一阶段物体和传送带间因摩擦产生的热量等于第一阶段物体机械能的增加量D ．物体从底端到顶端全过程机械能的增加量大于全过程摩擦力对物体所做的功 答案 C 解析 对物体受力分析知，其在两个阶段所受摩擦力方向都沿斜面向上，与其运动方向相同，摩擦力对物体都做正功，A 错误；由动能定理知，合力做的总功等于物体动能的增加量，B 错误；物体机械能的增加量等于摩擦力对物体所做的功，D 错误；设第一阶段物体的运动时间为t ，传送带速度为v ，对物体有x 1＝v 2t ，对传送带有x 1′＝v ·t ，因摩擦产生的热量Q ＝F f x 相对＝F f (x 1′－x 1)＝F f ·v 2t ，物体机械能增加量ΔE ＝F f ·x 1＝F f ·v2t ，所以Q ＝ΔE ，C 正确． 变式3质量为m 的物体以初速度v 0沿水平面向左开始运动，起始点A 与一轻弹簧O 端相距s ，如图7所示．已知物体与水平面间的动摩擦因数为μ，物体与弹簧相碰后，弹簧的最大压缩量为x ，则从开始碰撞到弹簧被压缩至最短，物体克服弹簧弹力所做的功为(重力加速度为g )( )图7A.12mv 02－μmg (s ＋x )B.12mv 02－μmgx C ．μmgs D ．μmg (s ＋x )答案 A解析 根据功的定义式可知物体克服摩擦力做功为W f ＝μmg (s ＋x )，由能量守恒定律可得12mv 02＝W 弹＋W f ，则W 弹＝12mv 02－μmg (s ＋x )，故选项A 正确.例4(2019·某某某某市适应性监测(三))某某，是全国唯一一个以“开发扶贫、生态建设”为主题的试验区，是国家“西电东送”的主要能源基地．如图8所示，赫章的韭菜坪建有风力发电机，风力带动叶片转动，叶片再带动转子(磁极)转动，使定子(线圈，不计电阻)中产生电流，实现风能向电能的转化．若叶片长为l ，设定的额定风速为v ，空气的密度为ρ，额定风速下发电机的输出功率为P ，则风能转化为电能的效率为( )图8A.2Pπρl2v3B.6Pπρl2v3C.4Pπρl2v3D.8Pπρl2v3答案 A解析风能转化为电能的工作原理为将风的动能转化为输出的电能，设风吹向发电机的时间为t，则在t时间内吹向发电机的风的体积为V＝vt·S＝vt·πl2，则风的质量M＝ρV＝ρvt·πl2，因此风吹过的动能为E k＝12Mv2＝12ρvt·πl2·v2，在此时间内发电机输出的电能E＝P·t，则风能转化为电能的效率为η＝EE k ＝2Pπρl2v3，故A正确，B、C、D错误．变式4(多选)如图9所示，光滑水平面OB与足够长粗糙斜面BC交于B点．水平轻弹簧左端固定于竖直墙面，现将质量为m1的滑块压缩弹簧至D点，然后由静止释放，滑块脱离弹簧后经B点滑上斜面，上升到最大高度，并静止在斜面上．不计滑块在B点的机械能损失；换用相同材料质量为m2的滑块(m2＞m1)压缩弹簧至同一点D后，重复上述过程，下列说法正确的是( )图9A．两滑块到达B点的速度相同B．两滑块沿斜面上升的最大高度相同C．两滑块上升到最高点过程克服重力做的功相同D．两滑块上升到最高点过程机械能损失相同答案CD解析两滑块到B点的动能相同，但速度不同，故A错误；两滑块在斜面上运动时加速度相同，由于在B点时的速度不同，故上升的最大高度不同，故B错误；两滑块上升到斜面最高点过程克服重力做的功为mgh，由能量守恒定律得E p＝mgh＋μmg cosθ·hsinθ，则mgh＝E p 1＋μtan θ，故两滑块上升到斜面最高点过程克服重力做的功相同，故C 正确；由能量守恒定律得E 损＝μmg cos θ·h sin θ＝μmghtan θ，结合C 项分析，可知D 正确.1．(功能关系的理解)(多选)(2019·某某某某市六校联考)如图10，人站在自动扶梯上不动，随扶梯向上匀速运动的过程中，下列说法中正确的是( )图10A ．人所受的合力对人做正功B ．重力对人做负功C ．扶梯对人做的功等于人增加的重力势能D ．摩擦力对人做的功等于人机械能的变化答案 BC解析 人站在自动扶梯上不动，随扶梯向上匀速运动，受重力和支持力，重力做负功，重力势能增加，支持力做正功，合外力为零，所以合外力做功等于零，故A 错误，B 正确；由能量守恒知，扶梯对人做的正功等于重力做的负功，所以扶梯对人做的功等于人增加的重力势能，故C 正确；人不受摩擦力，所以没有摩擦力做功，人站在自动扶梯上不动，随扶梯向上匀速运动的过程中，人的动能不变，势能增加，所以人的机械能增加，故D 错误．2．(功能关系的应用)如图11所示，质量为1kg 的滑块在倾角为30°的光滑斜面上，从a 点由静止开始下滑，到b 点开始压缩轻弹簧，到c 点时达到最大速度，到d 点(图中未画出)开始弹回，返回b 点离开弹簧，恰能再回到a 点．若bc ＝0.1m ，弹簧弹性势能的最大值为8J ，g 取10m/s 2，则下列说法正确的是( )图11A ．弹簧的劲度系数是50N/mB ．从d 点到b 点滑块克服重力做功8JC ．滑块的动能最大值为8JD ．从d 点到c 点弹簧的弹力对滑块做功8J答案 A解析 当滑块的合力为0时，滑块速度最大，又知在c 点时滑块的速度最大，故此瞬间滑块受力平衡，则有mg sin30°＝kx bc ，可得k ＝mg sin30°x bc＝50N/m ，故选项A 正确；滑块从d 点到a 点，运用动能定理得W G ＋W 弹＝0－0，又W 弹＝E p ＝8J ，可得W G ＝－8J ，即克服重力做功8J ，所以从d 点到b 点滑块克服重力做功小于8J ，故选项B 错误；滑块从a 点到c 点，由弹簧与滑块组成的系统机械能守恒知：滑块的动能增加量与弹簧弹性势能增加量之和等于滑块重力势能的减少量，小于8J ，所以滑块的动能最大值小于8J ，故选项C 错误；弹簧弹性势能的最大值为8J ，根据功能关系知从d 点到b 点弹簧的弹力对滑块做功8J ，从d 点到c 点弹簧的弹力对滑块做功小于8J ，故选项D 错误．3．(功能关系的应用)(多选)(2019·全国卷Ⅱ·18)从地面竖直向上抛出一物体，其机械能E 总等于动能E k 与重力势能E p 之和．取地面为重力势能零点，该物体的E 总和E p 随它离开地面的高度h 的变化如图12所示．重力加速度取10m/s 2.由图中数据可得( )图12A ．物体的质量为2kgB ．h ＝0时，物体的速率为20m/sC ．h ＝2m 时，物体的动能E k ＝40JD ．从地面至h ＝4m ，物体的动能减少100J答案 AD解析 根据题图可知，h ＝4m 时物体的重力势能E p ＝mgh ＝80J ，解得物体质量m ＝2kg ，抛出时物体的动能为E k0＝100J ，由公式E k0＝12mv 2可知，h ＝0时物体的速率为v ＝10m/s ，选项A 正确，B 错误；由功能关系可知F f h ＝|ΔE 总|＝20J ，解得物体上升过程中所受空气阻力F f ＝5N ，从物体开始抛出至上升到h ＝2m 的过程中，由动能定理有－mgh －F f h ＝E k －E k0，解得E k ＝50J ，选项C 错误；由题图可知，物体上升到h ＝4m 时，机械能为80J ，重力势能为80J ，动能为零，即从地面上升到h ＝4m ，物体动能减少100J ，选项D 正确．1.(2019·某某市部分区县第一次诊断)如图1所示，一物块从粗糙斜面上从静止开始释放，运动到水平面上后停止，则运动过程中，物块与地球系统的机械能( )图1A．不变B．减少C．增大D．无法判断答案 B解析物块从粗糙斜面上从静止释放后，重力与摩擦力对物块做功，其中摩擦力做功使物块的机械能有一部分转化为内能，所以物块与地球系统的机械能减小，故A、C、D错误，B正确．2.如图2所示，一个质量为m的铁块沿半径为R的固定半圆轨道上边缘由静止滑下，到半圆底部时，轨道所受压力为铁块重力的1.5倍，则此过程中铁块损失的机械能为(重力加速度为g)( )图2A.43mgR B．mgRC.12mgR D.34mgR答案 D3．(多选)一个质量为m的物体以a＝2g的加速度竖直向下运动，则在此物体下降h高度的过程中，物体的( )A．重力势能减少了2mghB．动能增加了2mghC．机械能保持不变D．机械能增加了mgh答案BD解析下降h高度，则重力做正功mgh，所以重力势能减小mgh，A错误；根据动能定理可得F合h＝ΔE k，又F合＝ma＝2mg，故ΔE k＝2mgh，B正确；重力势能减小mgh，而动能增大2mgh，所以机械能增加mgh，C错误，D正确．4．质量为2kg的物体以10m/s的初速度，从起点A出发竖直向上抛出，在它上升到某一点的过程中，物体的动能损失了50J，机械能损失了10J，设物体在上升、下降过程空气阻力大小恒定，则该物体再落回到A点时的动能为(g＝10m/s2)( )A．40．60JC．80JD．100J答案 B解析物体抛出时的总动能为100J，物体的动能损失了50J时，机械能损失了10J，则动能损失100J时，机械能损失20J，此时到达最高点，返回时，机械能还会损失20J，故从A点抛出到落回到A点，共损失机械能40J，所以该物体再落回到A点时的动能为60J，A、C、D 错误，B正确．5.(多选)(2020·某某某某市模拟)滑沙是人们喜爱的游乐活动，如图3是滑沙场地的一段斜面，其倾角为30°，设参加活动的人和滑车总质量为m，人和滑车从距底端高为h处的顶端A沿滑道由静止开始匀加速下滑，加速度为0.4g，人和滑车可视为质点，则从顶端向下滑到底端B的过程中，下列说法正确的是( )图3A．人和滑车减少的重力势能全部转化为动能B．人和滑车获得的动能为0.8mghC．整个下滑过程中人和滑车减少的机械能为0.2mghD．人和滑车克服摩擦力做功为0.6mgh答案BC解析沿斜面的方向有ma＝mg sin30°－F f，所以F f＝0.1mg，人和滑车减少的重力势能转化为动能和内能，故A错误；人和滑车下滑的过程中重力和摩擦力做功，获得的动能为E k＝(mg sin30°－F f)hsin30°＝0.8mgh，故B正确；整个下滑过程中人和滑车减少的机械能为ΔE ＝mgh－E k＝mgh－0.8mgh＝0.2mgh，故C正确；整个下滑过程中克服摩擦力做功等于人和滑车减少的机械能，所以人和滑车克服摩擦力做功为0.2mgh，故D错误．6．(多选)(2019·某某某某市期末质量检查)如图4所示，在竖直平面内有一条不光滑的轨道ABC ，其中AB 段是半径为R 的14圆弧，BC 段是水平的．一质量为m 的滑块从A 点由静止滑下，最后停在水平轨道上C 点，此过程克服摩擦力做功为W 1.现用一沿着轨道方向的力推滑块，使它缓慢地由C 点推回到A 点，此过程克服摩擦力做功为W 2，重力加速度为g ，设推力对滑块做功为W ，则下列关系中正确的是( )图4A ．W 1＝mgRB ．W 2＝mgRC ．mgR <W <2mgRD ．W >2mgR答案 AC解析 滑块由A 到C 的过程，由动能定理可知mgR －W 1＝0，即W 1＝mgR ，故A 对；滑块由A 到B 做圆周运动，而在推力作用下从C 经过B 到达A 的过程是一个匀速过程，所以从A 到B 的过程中平均支持力大于从B 到A 的平均支持力，因此从A 到B 摩擦力做的功大于从B 到A 摩擦力做的功，即W 2<W 1＝mgR ，故B 错；滑块由C 到A 的过程中，由能量守恒可知，推力对滑块做功等于滑块重力势能增加量与克服摩擦做功之和，即W －mgR －W 2＝0，即W ＝W 1＋W 2，由于W 2<W 1＝mgR ，所以mgR <W <2mgR ，故C 对，D 错．7.如图5所示，光滑水平面AB 与竖直面内的半圆形导轨在B 点相切，半圆形导轨的半径为R .一个质量为m 的物体将弹簧压缩至A 点后由静止释放，在弹力作用下物体获得某一向右的速度后脱离弹簧，当它经过B 点进入导轨的瞬间对轨道的压力为其重力的8倍，之后向上运动恰能到达最高点C .不计空气阻力，重力加速度为g ，试求：图5(1)物体在A 点时弹簧的弹性势能；(2)物体从B 点运动至C 点的过程中产生的内能．答案 (1)72mgR (2)mgR解析 (1)设物体在B 点的速度为v B ，所受弹力为F N B ，由牛顿第二定律得：F N B －mg ＝m v B 2R 由牛顿第三定律知F N B ＝F N B ′＝8mg由能量守恒定律可知物体在A 点时的弹性势能E p ＝12mv B 2＝72mgR (2)设物体在C 点的速度为v C ，由题意可知mg ＝m v C 2R 物体由B 点运动到C 点的过程中，由能量守恒定律得 Q ＝12mv B 2－(12mv C 2＋2mgR )解得Q ＝mgR .。
