高二数学下册3月月考测试题10

河北省沧州市吴桥县吴桥中学2023-2024学年高二下学期3月月考数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．若()()()()()201923201901232019122222x a a x a x a x a x -=+-+-+-+⋅⋅⋅+-，则01232019a a a a a -+-+⋅⋅⋅-的值为（）A ．-2B ．-1C ．0D ．12．某单位计划从5人中选4人值班，每人值班一天，其中第一、二天各安排一人，第三天安排两人，则安排方法数为（）A ．30B ．60C ．120D ．1803．二项式821x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭展开式的常数项为（）A ．70-B ．70C ．358-D ．3584．重庆，我国四大直辖市之一，在四大直辖市中，5A 级旅游点最多，资源最为丰富，不仅有山水自然风光，还有人文历史景观．现有甲、乙两位游客慕名来到重庆旅游，分别准备从武隆喀斯特旅游区、巫山小三峡、南川金佛山、大足石刻和酉阳桃花源5个国家5A 级旅游景区中随机选择其中一个景区游玩．记事件A ：甲和乙至少一人选择巫山小三峡，事件B ：甲和乙选择的景区不同，则条件概率()P B A =（）A ．56B ．67C ．78D ．895．文字的雏形是图形，远古人类常常通过创设一些简单的图形符号，借助不同的排列方式，表达不同的信息，如图.如果有两个“ ”，两个“⨯”和两个“ ”.把它们从上到下摆成一列来传递一些信息，其中第一个位置确定为“ ”，同一种图形不相邻，那么可以传递的信息数量有（）A ．8个B ．10个C ．12个D ．14个6．某班团支部换届选举，从已产生的甲、乙、丙、丁四名候选人中选出三人分别担任书记、副书记和组织委员，并且规定：上届任职的甲、乙、丙三人不能连任原职，则不同的任职结果有（）.A ．15B ．11C ．14D ．237．已知()0.6P A =，()0.3P AB =，()|0.5P B A =，下列选项正确的是（）A ．()0.4P B =B ．()06|.P A B =C ．()|0.5P A B =D ．()()()P AB P A P B ≠8．1234202220222022202220222022C 2C 3C 4C 2022C ++++⋅⋅⋅+=（）A ．202321-B ．202421-C ．202110112⨯D ．202210112⨯二、多选题9．下列说法正确的是（）A ．已知2251818C C x x +-=，则x 可能取值为6B ．已知2251818C C x x +-=，则x 可能取值为7C ．在921x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中，各项系数和为0D ．在921x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中，各项系数和为2910．身高各不相同的六位同学A B C D E F 、、、、、站成一排照相，则说法正确的是（）A ．A 、C 、D 三位同学从左到右按照由高到矮的顺序站，共有120种站法B ．A 与C 同学不相邻，共有5424A A ⋅种站法C ．A 、C 、D 三位同学必须站在一起，且A 只能在C 与D 的中间，共有144种站法D ．A 不在排头，B 不在排尾，共有504种站法11．我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书中展示了二项式系数表，数学爱好者对杨辉三角做了广泛的研究．则下列结论正确的是（）A ．第6行、第7行、第8行的第7个数之和为第9行的第8个数B ．123356781C C C C +++=C ．第2020行的第1010个数最大D ．第12行中从左到右第2个数与第3个数之比为2:11三、填空题12．22x x +n 的展开式中第三项和第四项的二项式系数同时取最大，则n 的值为.13．若()()()()72701271222x a a x a x a x +=+++++++ ，则4a =.14．已知甲同学从学校的2个科技类社团、4个艺术类社团、3个体育类社团中选择报名参加，若甲报名了两个社团，则在有一个是艺术类社团的条件下，另一个是体育类社团的概率为.四、解答题15．某食品生产厂生产某种市场需求量很大的食品，这种食品有A 、B 两类关键元素含量指标需要检测，设两元素含量指标达标与否互不影响．若A 元素指标达标的概率为34，B 元素指标达标的概率为89，按质量检验规定：两元素含量指标都达标的食品才为合格品．(1)一个食品经过检测，AB 两类元素至少一类元素含量指标达标的概率；(2)任意依次抽取该种食品4个，设ξ表示其中合格品的个数，求ξ分布列及()E ξ．16．为深入学习贯彻党的二十大精神，推动全市党员干部群众用好“学习强国”学习平台，激发干事创业热情．某单位组织“学习强国”知识竞赛，竞赛共有10道题目，随机抽取3道让参赛者回答．已知小明只能答对其中的6道，试求：(1)抽到他能答对题目数X 的分布列；(2)求X 的期望和方差17．三部机器生产同样的零件，其中机器甲生产的占40%，机器乙生产的占25%，机器丙生产的占35%.已知机器甲、乙、丙生产的零件分别有3%、5%和1%不合格.三部机器生产的零件混合堆放在一起，现从中随机地抽取一个零件.(1)求取到的是不合格品的概率；(2)经检验发现取到的产品为不合格品，它是由哪一部机器生产出来的可能性大？请说明理由.18．一种电子玩具按下按钮后，会出现红球或绿球，已知按钮第一次按下后，出现红球与绿球的概率都是12，从按钮第二次按下起，若前次出现红球，则下一次出现红球、绿球的概率分别为13、23；若前次出现绿球，则下一次出现红球，绿球的概率分别为35、25，记第()N,1n n n ∈≥次按下按钮后出现红的概率为n P ．(1)求2P 的值；(2)当,N 2n n ∈≥，求用1n P -表示n P 的表达式；(3)求n P 关于n 的表达式．19．2024年高三数学适应性考试中选择题有单选和多选两种题型组成．单选题每题四个选项，有且仅有一个选项正确，选对得5分，选错得0分，多选题每题四个选项，有两个或三个选项正确，全部选对得6分，部分选对得3分，有错误选择或不选择得0分．(1)已知某同学对其中4道单选题完全没有答题思路，只能随机选择一个选项作答，且每题的解答相互独立，记该同学在这4道单选题中答对的题数为随机变量X ．（i ）求()3P X =；（ii ）求使得()P X k =取最大值时的整数k ；(2)若该同学在解答最后一道多选题时，除确定B ，D 选项不能同时选择之外没有答题思路，只能随机选择若干选项作答．已知此题正确答案是两选项与三选项的概率均为12，求该同学在答题过程中使得分期望最大的答题方式，并写出得分的最大期望．参考答案：1．B【分析】令1x =，即可求01232019a a a a a -+-+⋅⋅⋅-出的值.【详解】解：在所给等式中，令1x =，可得等式为()20190123201912a a a a a -=-+-+⋅⋅⋅-，即012320191a a a a a -+-+⋅⋅⋅-=-.故选：B.【点睛】本题考查二项式定理的展开使用及灵活变求值，特别是解决二项式的系数问题，常采用赋值法，属于中档题.2．B【分析】根据分步乘法计数原理结合捆绑法分析求解.【详解】先从5人中选出4人值班，再从4人中选出2人值第三天，剩余2人分别值第一、二天，所以安排方法数为422542C C A 60⋅⋅=.故选：B.3．D【分析】由82181C 2kk kk T x-+⎛⎫=- ⎪⎝⎭，令820k -=得出k 后代入计算即可得.【详解】88218811C C ,0,1,2,,822k kk kk kk T x x k x --+⎛⎫⎛⎫=-=-=⋯ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，令820k -=，即4k =，故445817035C 2168T ⎛⎫=-==⎪⎝⎭，即展开式的常数项为358.故选：D.4．D【分析】求出事件A 发生的个数和事件,A B 同时发生的个数，根据条件概率的计算公式，即得答案.【详解】由题意可知事件A 发生的情况为甲乙两人只有有一人选择巫山小三峡或两人都选选择巫山小三峡，个数为1124C C 19+=,事件,A B 同时发生的情况为一人选巫山小三峡，另一人选其他景区，个数为1124C C 8=，故()()8()9P AB P B A P A ==,故选：D 5．B【分析】列出所有的基本事件即可..【详解】列举得：,,,,,⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯ ，,,,⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯ ，共10种，故选：B.6．B【分析】利用正难则反的方法，求出总的方法数，利用分类讨论的方法，分一、二、三个职位连任，可得答案.【详解】四人中选出三人分别任职三个不同的岗位，其方法数为34A 43224=⨯⨯=，三个职位中有一位连任，假设上届任职的甲、乙、丙三人分别担任书记、副书记和组织委员，假设甲连任书记，副书记可选的人选分别为丙和丁，当丁担任了副书记，则组织委员只能选乙；当丙担任了副书记，则组织委员只能选乙和丁，故其方法数为()13C 129+=；三个职位中有两位连任，其方法数为23C 13⨯=；三个职位中三位都连任，其方法数为1.故符合题意的方法数为2493111---=.故选：B.7．B【分析】根据条件概率的概率公式计算可得.【详解】因为()|0.5P B A =，即()()()()()0.51P BA P B P BA P A P A -==-，又()0.6P A =，()0.3P AB =，所以()0.5P B =，故A 错误；又()()()0.3|0.60.5P AB P A B P B ===，故B 正确；()()()P AB P A P B =，故D 错误；()()()()()()0.50.3|0.40.5P AB P B P BA P A B P B P B --====，故C 错误.故选：B 8．D【分析】结合导数以及二项式展开式的知识求得正确答案.【详解】()01221C C C C nn nn n n n x x x x +=++++ ，两边求导得()11211C 2C C n n n n n n n x x x n x--+=+++ ，令1x =得1122C 2C C n nn n n n n -⋅=+++ ，再令2022n =得：123420222021202220222022202220222022C 2C 3C 4C 2022C 2022210112++++⋅⋅⋅+=⨯=⨯.故选：D 9．BC【分析】对于选项A 和选项B ，根据组合数公式2251818C C x x +-=，计算求解即可判断；对于选项C 和选项D ，根据赋值法求解即可判断．【详解】根据组合数公式2251818C C x x +-=，则225x x +=-或22518x x -=++，解得7x =，经检验符合题意；故A 错B 对；令1x =，则921x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中，各项系数和为0，故C 对D 错.故选：BC.10．ABD【分析】根据全排列和定序即可判断A ；利用插空法即可判断B ；利用捆绑法即可判断C ；利用间接法即可判断D.【详解】对于A ，6个人全排列有66A 种方法，A 、C 、D 全排列有33A 种方法，则A 、C 、D 从左到右按高到矮的排列有6633A 120A =种方法，A 正确；对于B ，先排列除A 与C 外的4个人，有44A 种方法，4个人排列共有5个空，利用插空法将A 和C 插入5个空，有25A 种方法，则共有44A 25A 种方法，B 正确；对于C ，A 、C 、D 必须排在一起且A 在C 、D 中间的排法有2种，将这3人捆绑在一起，与其余3人全排列，有44A 种方法，则共有442A 48=种方法，C 错误；对于D ，6个人全排列有66A 种方法，当A 在排头时，有55A 种方法，当B 在排尾时，有55A 种方法，当A 在排头且B 在排尾时，有44A 种方法，则A 不在排头，B 不在排尾的情况共有6546544A 2A A 50-+=种，D 正确.故选：ABD 11．ABD【分析】根据杨辉三角读出数据即可判断A ，利用组合数公式判断B ，分析各行数据的特征，即可判断C ，求出第12行中从左到右第2个数与第3个数，即可判断D.【详解】对于A ：第6行，第7行，第8行的第7个数字分别为：1，7，28，其和为172836++=；而第9行第8个数字就是36，故A 正确；对于B ：因为123567611C C 6576515523C 21⨯⨯⨯=+++⨯+=⨯⨯++，38876C 56321⨯⨯==⨯⨯，所以123356781C C C C +++=，故B 正确；对于C ：由图可知：第n 行有1n +个数字，如果n 是偶数，则第12n+（最中间的）个数字最大；如果n 是奇数，则第12n +和第112n ++个数字最大，并且这两个数字一样大，所以第2020行的第1011个数最大，故C 错误；对于D ：依题意：第12行从左到右第2个数为112C 12=，第12行从左到右第3个数为212C 66=，所以第12行中从左到右第2个数与第3个数之比为12:662:11=，故D 正确；故答案为：ABD.12．5【分析】根据二项式定理求解.【详解】因为22nx ⎫⎪⎭的展开式中第三项和第四项的二项式系数同时取最大，所以23C C n n =，解得n=5；故答案为：5.13．35-【分析】所求4a 为()42x +的系数，因为()77(1)21x x +=+-⎡⎤⎣⎦，利用其展开式通项公式，求得()43347(1)2T C x =-+，即可得答案.【详解】()77(1)21x x +=+-⎡⎤⎣⎦展开式的通项公式为()7172(1)kkk k T C x -+=+-，令74k -=，则k =3，则()43347(1)2T C x =-+，所以3347(1)35a C =-=-.故答案为：-3514．613【分析】根据题意，结合组合的知识分别求得事件A 与事件AB 的概率，从而利用条件概率公式即可得解.【详解】依题意，设事件A 为“所报的两个社团中有一个是艺术类”，事件B 为“所报的两个社团中有一个是体育类”，则11211454432299C C C C C 2612(),()C 36C 36P A P AB +====，所以12()636()26()1336P AB P B A P A ===∣.故答案为：613.15．(1)3536；(2)分布列见解析，期望值为83.【分析】（1）根据给定条件，利用对立事件、相互独立事件的概率公式计算即得.（2）求出合格品的概率，利用二项分布的概率求出分布列和数学期望.【详解】（1）令M 为一个食品经过检测至少一类元素含量指标达标的事件，则M 是A ，B 都不达标的事件，因此1135()1()14936P M P M =-=-⋅=，所以一个食品经过检测至少一类元素含量指标达标的概率为3536.（2）依题意，A ，B 两类元素含量指标都达标的概率为382493⨯=，ξ的所有可能取值为0，1，2，3，4，显然2(4,)3ξB ，因此411(0)()381P ξ===，134218(1)C ()3381P ξ⋅⋅===，2224218(2)C (()3327P ξ===，3342132(3)C ()3381P ξ⋅===，4216(4)()381P ξ===，所以ξ的概率分布为：ξ01234P18188182732811681数学期望18832168()0123481812781813E ξ=++⨯+⨯+⨯+⨯=.16．(1)分布列见解析(2)期望()95E X =；方差()1425D X =【分析】（1）列举出X 所有可能的取值，根据超几何分布概率公式可求得每个取值对应的概率，由此可得分布列；（2）根据期望和方差的计算公式直接求解即可.【详解】（1）由题意知：X 所有可能的取值为0,1,2,3，()34310C 410C 12030P X ====；()2146310C C 3631C 12010P X ====；()1246310C C 6012C 1202P X ====；()36310C 2013C 1206P X ====；X ∴的分布列为：X0123P 1303101216（2）期望()1311901233010265E X =⨯+⨯+⨯+⨯=；又()213111901493010265E X =⨯+⨯+⨯+⨯=，∴方差()()()2219811452525D XE X E X =-=⎡⎤⎣⎦.17．(1)0.028(2)它是机器乙生产的概率最大【分析】（1）根据全概率公式求得正确答案.（2）根据贝叶斯公式求得正确答案.【详解】（1）取到的是不合格品的概率为：0.40.030.250.050.350.010.028⨯+⨯+⨯=.（2）取到的产品为不合格品，它是机器甲生产的概率为0.40.031230.028287⨯==，它是机器乙生产的概率为0.250.05125250.02828056⨯==，它是机器甲生产的概率为0.350.013570.02828056⨯==，所以它是机器乙生产的概率最大.18．(1)2715P =(2)143155n n P P -=-+(3)()1149N,1381519n n P n n -⎛⎫=-+∈≥ ⎪⎝⎭【分析】（1）分两种情况讨论：①第一次和第二次均出现红球；②第一次出现绿球第二次出现红球，根据互斥事件概率法则可求得2P ．（2）第n 1-次按下按钮后出现红球的概率为()1N,2n P n n -∈≥，则出现绿球的概率为11n P --，根据互斥事件概率法则可用1n P -表示n P ；（3）根据143155n n P P -=-+，将其变形为1949191519n n P P -⎛⎫-=-- ⎪⎝⎭构造等比数列，从而可求得n P ．【详解】（1）若按钮第一次、第二次按下后均出现红球，则其概率为111236⨯=，若按钮第一次、第二次按下后依次出现绿球、红球，则其概率为1332510⨯=，故所求概率为213761015P =+=.（2）由题意可得第n 1-次按下按钮后出现红球的概率为()1N,2n P n n -∈≥，则出现绿球的概率为11n P --，若第n 1-次、第n 次按下按钮后均出现红球，则其概率为113n P -⨯，若第n 1-次、第n 次按下按钮后依次出现绿球、红球，则其概率为()1315n P --⨯，所以()1111343135155n n n n P P P P ---=+-⨯=-+（其中,N 2n n ∈≥）.（3）由（2）得1949191519n n P P -⎛⎫-=-- ⎪⎝⎭（其中,N 2n n ∈≥），又191911921938P -=-=，所以919n P ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭构成首项为138，公比为415-的等比数列，所以()1149N,1381519n n P n n -⎛⎫=-+∈≥ ⎪⎝⎭.19．(1)（i ）()3364P X ==；（ii ）1k =(2)该同学选择单选A 或单选C 的得分期望最大，最大值为125分【分析】（1）（i ）易知X 服从二项分布，据此计算()3P X =；（ii ）令()()()()11P X k P X k P X k P X k ⎧=≥=+⎪⎨=≥=-⎪⎩，结合二项分布的概率公式得到不等式组，解得k 的取值范围，再由k 为整数确定取值；（2）算出单选、双选和三选条件下的数学期望，比较大小即可.【详解】（1）（i ）因为14,4X B ⎛⎫~ ⎪⎝⎭，所以()3341333C 4464P X ⎛⎫==⨯= ⎪⎝⎭．（ii ）因为()4413C ,0,1,,444k k k P X k k -⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ．依题意()()()()11P X k P X k P X k P X k ⎧=≥=+⎪⎨=≥=-⎪⎩，即4131444151441313C C 44441313C C 4444k k k k k k k k k k k k -+-+----⎧⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫≥⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎨⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪≥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎩，解得1544k ≤≤，又k 为整数，所以1k =，即1k =时()P X k =取最大值.（2）由题知，B,D 选项不能同时选择，故该同学可以选择单选、双选和三选．正确答案是两选项的可能情况为AB,AC,BC,AD,CD ，每种情况出现的概率均为1112510⨯=．正确答案是三选项的可能情况为ABC,ACD ，每种情况出现的概率为111224⨯=．若该同学做出的决策是单选，则得分的期望如下：()()1112A C 33231045E E ==⨯⨯+⨯⨯=（分），()()1127B D 321310420E E ==⨯⨯+⨯⨯=（分），若该同学做出的决策是双选，则得分的期望如下：()()()()1127AB AD BC CD 6310420E E E E ====⨯+⨯=（分），()1121AC 62310410E =⨯+⨯⨯=（分）．若该同学做出的决策是三选，则得分的期望如下：()()13ABC ACD 642E E ==⨯=（分）．经比较，该同学选择单选A 或单选C 的得分期望最大，最大值为125分.【点睛】方法点睛：根据正确答案的所有可能结果，对答题情况进行分类讨论，计算每种答题情况的得分期望值，选择最优方案.。

2023-2024学年广东省佛山市顺德区高二下册3月月考数学模拟试题一、单选题1．根据所给数列前五项的规律，判断数列1，3，…，）个项．A ．27B ．9C ．13D ．14【正确答案】D【分析】利用数列的概念即可求得结果.【详解】数列1，3，…，可得n a ==即2127n -=，解得14n =.故选：D2．已知数列{}n a 的前n 项和2n S n =，则2232a a -的值为（）．A ．9B ．16C ．21D ．11【正确答案】B【分析】利用数列的前n 项和与项之间的关系即可求解.【详解】2n S n = ，2213323,945,a a S S S S ∴=-==-=-=223225916a a ∴-=-=.故选：B.3．已知在等差数列{}n a 中，4820a a +=,712a =，则9a =（）A ．8B ．10C ．14D ．16【正确答案】D【分析】根据等差数列的通项公式可求出结果.【详解】设公差为d ，则1113720612a d a d a d +++=⎧⎨+=⎩，解得102a d =⎧⎨=⎩，所以91816a a d =+=.故选：D.4．在正项等比数列{}n a 中，已知21a =，346a a +=，则14a a =（）A ．1B ．2C ．4D ．8【正确答案】B【分析】利用等比数列的基本量运算求出公比q ，进而化简14a a 求值即可．【详解】设等比数列{}n a 的公比为q2234226a a a q a q q q +=+=+= ，2q ∴=或3q =-（舍）则221421422a a a a q q =⨯=⨯=故选：B5．图1是一个水平摆放的小正方体木块，图2，图3是由这样的小正方体木块叠放而成的，按照这样的规律放下去，第8个叠放的图形中小正方体木块的总数是（）A ．66B ．91C ．107D ．120【正确答案】D【分析】根据数列的规律得到第n 个叠放图形中共有n 层，构成等差数列求解.【详解】因为图1有1个小正方体，图2有1+5=6个小正方体，图3有1+5+9=15个小正方体，归纳可得：第n 个叠放图形中共有n 层，构成以1为首项，以4为公比的等差数列，所以第n 个叠放的图形中小正方体木块的总数是()21422n n n S n n n -=+=-，第8个叠放的图形中小正方体木块的总数是28288120S =⨯-=，故选：D6．已知各项均为正数的等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，249a a =，42910S S =，则24a a +的值为（）A ．30B ．10C ．9D ．6【正确答案】B【分析】根据等比中项可得33a =，对42910S S =根据等比数列的定义和通项公式可得13q =，运算求解即可得答案.【详解】{}n a 为正数的等比数列，则0n a >，可得10,0a q >>，∵23249a a a ==，∴33a =，又∵42910S S =，则()()123412910a a a a a a +++=+，可得()34129a a a a +=+，∴2341219a a q a a +==+，解得13q =，故324310a a a a q q+=+=.故选：B.7．已知函数()f x 的导函数为()f x '，若(2)4'=f ，则0(2)(2)lim 2x f f x x∆→--∆=∆（）A ．2B ．-2C ．8D ．-8【正确答案】A【分析】根据导数的概念0000()()()lim x f x x f x f x x∆→+∆-'=∆理解处理．【详解】由题意可得00(2)(2)1(2)(2)1lim lim (2)2222x x f f x f f x f x x ∆→∆→--∆--∆'===∆∆.故选：A ．8．设{}n a 是以2为首项，1为公差的等差数列，{}n b 是1为首项，2为公比的等比数列，记12n n b b b M a a a =+++ ，则{}n M 中不超过2023的项的个数为（）A ．8B ．9C ．10D ．11【正确答案】C【分析】求出数列{}{}n n a b ､的通项公式，可得出数列{}n b a 的通项公式，利用分组求和法可求得n M ，找出使得不等式2009n M ≤成立的最大正整数n 的值，进而可得出结论.【详解】由题意可得()112111,122n n n n a n n b --=+-⨯=+=⨯=，所以，1121n n b n a b -=+=+，则()12011122222112n nn n n b b b M a a a n n n --=+++=++++=+=+-- ，所以，数列{}n M 单调递增，因为10111011291033,2102058M M =+==+=，则10112023M M <<，则使得不等式2023n M ≤成立的最大正整数n 的值为10.因此，数列{}n M 中不超过2023的项的个数为10.故选:C.二、多选题9．若各项为正数的数列{}n a 是等比数列，则下列结论正确的是（）A ．数列{}2n a 是等比数列B ．数列{}1n n a a +是等比数列C ．数列{}lg n a 是等比数列D ．数列1n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等比数列【正确答案】ABD【分析】根据等比数列的定义逐项分析即可得出结果.【详解】设等比数列{}n a 的公比为q ，则11n n a a q -=.因为222221222411n n n n a a q q a a q---==，所以数列{}2n a 是等比数列，则A 正确.因为21112111nn n n n n n n a a a a q q a a a a q++---===，所以数列{}1n n a a +是等比数列，则B 正确.因为()()1112111lg lg lg (1)lg lg lg (2)lg lg n nn n a q a a n q a a n qa q ---+-==+-，当1q ≠时，11lg (1)lg lg (2)lg a n q a n q +-+-不是常数，所以数列{}lg n a 不是等比数列，则C 错误.因为数列{}n a 是等比数列，所以1n na q a +=，所以数列1n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等比数列，则D 正确.故选：ABD10．已知函数()y f x =，下列说法正确的是（）A ．()()00y f x x f x ∆=+∆-叫做函数值的增量B ．()()00f x x f x y x x+∆-∆=∆∆叫做函数在[]00,x x x +∆上的平均变化率C ．()f x 在0x x =处的导数记为y 'D ．()f x 在0x x =处的导数记为()0f x '【正确答案】ABD【分析】由函数值的增量的意义判断A ；由平均变化率和瞬时变化率的意义判断BCD.【详解】A 中，()()00y f x x f x ∆=+∆-叫作函数值的改变量，即函数值的增量，A 正确；B 中，()()00f x x f x y x x+∆-∆=∆∆称为函数()f x 在0x 到0x x +∆之间的平均变化率，B 正确；由导数的定义知函数()f x 在0x x =处的导数记为()0f x '，故C 错误，D 正确.故选：ABD11．已知数列{an }是公差不为0的等差数列，前n 项和为Sn ，满足a 1+5a 3＝S 8，下列选项正确的有（）A ．100a =B ．712S S =C ．10S 最小D ．200S =【正确答案】AB【分析】由已知可得100a =，由等差数列的性质，当p q m n +=+时，p q m n a a a a +=+可得1270S S -=，再结合等差数列的前n 项和公式21(21)n n S n a -=-求和即可得解.【详解】解：因为{an }是等差数列，设公差为d ，由1385a a S +=，可得190a d +=，即100a =，即选项A 正确，又127891*********S S a a a a a a -=++++==，即选项B 正确，当0d >时，则9S 或10S 最小，当0d <时，则9S 或10S 最大，即选项C 错误，又1910190S a ==，200a ≠，所以200S ≠，即选项D 错误，故选AB.本题考查了等差数列的性质及前n 项和公式，属中档题.12．记数列{}n a 的前n 项和为n S ，若存在实数H ，使得对任意的*n ∈N ，都有n S H <，则称数列{}n a 为“和有界数列”．下列说法正确的是（）A ．若数列{}n a 是等差数列，且公差0d =，则数列{}n a 是“和有界数列”B ．若数列{}n a 是等差数列，且数列{}n a 是“和有界数列”，则公差0d =C ．若数列{}n a 是等比数列，且公比q 满足1q <，则数列{}n a 是“和有界数列”D ．若数列{}n a 是等比数列，且数列{}n a 是“和有界数列”，则公比q 满足1q <【正确答案】BC【分析】利用给定定义结合等差数列前n 项和对选项A ，B 并借助一次、二次函数性质分析判断；结合等比数列前n 项和对选项C 并借助||1n q <即可推理判断，举特例判断选项D 作答.【详解】若数列{}n a 是公差为d 的等差数列，则211(1)()222n n n d d dS na n a n -=+=+-，当0d =时，若10a ≠，则1n S a n =⋅，n S 是n 的一次函数，不存在符合题意的H ，A 错误；数列{}n a 是“和有界数列”，当0d ≠时，n S 是n 的二次函数，不存在符合题意的H ，当0d =，10a =时，存在符合题意的H ，B 正确；若数列{}n a 是公比为(1)≠q q 的等比数列，则1(1)1-=-n n a q S q ，因q 满足1q <，则||1n q <，即|1|2n q -<，11|||||1|2||11n n a aS q q q=⋅-<--，则存在符合题意的实数H ，即数列{}n a 是“和有界数列”，C 正确；若等比数列{}n a 是“和有界数列”，当1q =-时，若n 为偶数，则0n S =，若n 为奇数，则1n S a =，即1=n S a ，从而存在符合题意的实数H ，D 错误.故选：BC三、填空题13．在等比数列{}n a 中，134a a +=，3512a a +=，则57a a +=________.【正确答案】36【分析】利用等比数列的性质n mn m a a q -=化简，求值【详解】设等比数列{}n a 的公比为q ，则()23513a a a a q +=+，从而23q =，故()2573536a a a a q +=+=.故36.14．{}n a 是等差数列，其前n 项和为n S ，23415a a a ++=，1470++=a a a ，n S 的最大值为__________．【正确答案】30【分析】利用等差中项知40a =，进而有2315a a +=，由等差通项公式求基本量并写出通项公式，判断n S 最大对应n 的值，即可得结果.【详解】由题设147430a a a a ++==，则40a =，所以2342315a a a a a ++=+=，若{}n a 公差为d ，则2221520a d a d +=⎧⎨+=⎩，所以2105a d =⎧⎨=-⎩，则2(2)205n a a n d n =+-=-，所以4n ≤时0n a ≥，4n >时0n a <，故n S 最大为前3项或4项和，即3n =或4时，max ()15105030n S =+++=.故3015．函数()y f x =的图象在点()()2,2M f 处的切线方程是28y x =-，则()()22f f ='__________.【正确答案】-2【分析】根据导数的几何意义可知，在()()2,2M f 点处的切线的斜率即为()2f '，又切线过切点，即可求出()2f ，即可得解；【详解】解：由题意，()22f '=，又()22284f =⨯-=-，∴()()24222f f -==-'.故答案为.2-16．已知n S 为数列{}n a 的前n 项和，112n n n a a +=-，*n ∈N ，11a =，则12n S S S ++⋅⋅⋅+=___________.【正确答案】()11212n n -⎛⎫-+ ⎪⎝⎭【分析】利用累加法求出112n n a -⎛⎫= ⎪⎝⎭，1122n n S -⎛⎫=- ⎪⎝⎭，再利用分组求和得解.【详解】因为112n n na a +-=-，当2n ≥时，所以2112a a -=-，32212a a -=-，……，1112n n n a a ---=-，121111222n n a a --=---⋅⋅⋅-，所以121111112222n n n a --⎛⎫=---⋅⋅⋅-= ⎪⎝⎭，所以1122n n S -⎛⎫=- ⎪⎝⎭，所以()11211()122211212nn n S S S n n --⎛⎫++⋅⋅⋅+=-=-+ ⎪⎝⎭-，所以()1121212n n S S S n -⎛⎫++⋅⋅⋅+=-+ ⎪⎝⎭.故()11212n n -⎛⎫-+ ⎪⎝⎭四、解答题17．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且525S =，2121a a =+．(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)令2n an n c a =+，求数列{}n c 的前n 项和n T ．【正确答案】(1)21n a n =-(2)222433n n T n =+⋅-【分析】（1）根据等差数列基本量的计算即可求解公差和首项，进而可求通项，（2）根据分组求和，结合等差数列以及等比数列的求和公式即可求解.【详解】（1）设数列{}n a 的首项为1a ，公差为d ，由题意得1115102521a d a d a +=⎧⎨+=+⎩,解得：2d =，11a =所以21n a n =-（2）因为21212n n c n -=-+所以()()321121321222n n n T c c c n -=++⋅⋅⋅+=++⋅⋅⋅+-+++⋅⋅⋅+⎡⎤⎣⎦()()221412122421433nn n n n -+-=+=+⋅--．18．已知某质点的运动方程为()2321s t t t =++（s 的单位为m ，t 的单位为s ）．(1)求从2t s =到()2t t s =+∆的平均速度；(2)求当0.1t s ∆=时的平均速度；(3)求当2t s =时的瞬时速度．【正确答案】(1)314t ∆+(2)14.3(3)14【分析】（1）（2）利用平均速度的定义求解即可；（3）对平均速度求极限，得到瞬时速度．【详解】（1）从2t s =到()2t t s =+∆的平均速度为()()2222s t s s t t +∆-∆=∆+∆-()()23222117t t t +∆++∆+-=∆2314t t t∆+∆=∆（2）当0.1t s ∆=时的平均速度为30.11414.3⨯+=；（3）当0t ∆→时，则14st∆→∆，∴当2t s =时的瞬时速度为14．19．截至2020年末，某城市普通汽车（除新能源汽车外）保有量为300万辆.若此后该市每年新增普通汽车8万辆，而报废旧车转购新能源汽车的约为上年末普通汽车保有量的10%，其它情况视为不计.(1)设从2020年起该市每年末普通汽车的保有量构成数列{}n a ，试写出n a 与1n a +的一个递推公式，并求2023年末该市普通汽车的保有量（精确到整数）；(2)根据（1）中n a 与1n a +的递推公式，证明数列{80}n a -是等比数列，并求从哪一年起，该市普通汽车的保有量首次少于150万辆？（参考数据：90.90.39≈，100.90.35≈，110.90.31≈，120.90.28≈）【正确答案】(1)10.98n n a a +=+，240（万辆）(2)证明见解析，2031年末【分析】（1）根据题意得到递推公式，再依次计算得到答案.（2）变换得到1800.9(80)n n a a +-=⨯-，得到证明，再计算得到答案.【详解】（1）1300a =，10.98n n a a +=+，故20.93008278a =⨯+=，30.92788258a =⨯+≈，所以2023年末该市普通汽车的保有量40.92588240a =⨯+≈（万辆）.（2）10.98n n a a +=+得1800.9(80)n n a a +-=⨯-，而180220a -=，故{}80n a -是首项为220，公比为0.9的等比数列，所以1802200.9n n a --=⨯，即12200.980n n a -=⨯+，解12200.980150n n a -=⨯+<得1770.9,0.310.352222n -<<<，求得12n ≥，即从2031年末开始，该市普通汽车的保有量首次少于150万辆.20．已知函数()32f x x =-，数列{}n a 的前n 项和为n S ，且点(),2n n a S 在函数()y f x =的图象上．(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)设()n n b f a =，数列{}n b 的前n 项和为n T ，若2142n n n T na t T n++<++对任意的n *∈N 恒成立，求实数t 的取值范围．【正确答案】(1)123n n a -=⋅(2)2t >-【分析】（1）利用题意可得232n n S a =-，则11232n n S a --=-，两式相减，可得{}n a 是首项为2，公比为3的等比数列，即可求解；（2）求出数列{}n b 的前n 项和为n T ，由2142n n n T n a T n ++<+，可得31n t -+<，求出()max 31n -+即可．【详解】（1）∵()32f x x =-，数列{}n a 的前n 项和为n S ，且点(),2n n a S 在函数()y f x =的图象上，∴232n n S a =-①，当1n =时，11232S a =-，∴12a =，当2n ≥时，11232n n S a --=-②，①-②有：13n n a a -=，∴{}n a 是首项为2，公比为3的等比数列，∴123n n a -=⋅．（2）()232n n n b f a ==⋅-，∴()2123332323n n n T n n +=+++-=--L ，∴()()2231314313123131n n n n n n n n T n T n -++-===++--，∵2142n n n T n a t T n++<++对任意的n *∈N 恒成立，∴3123n n t +<⋅+对任意的n *∈N 恒成立，即()max 31n t >-+，因为n *∈N ，且31n -+随着n 的增大而减小，所以当1n =时，()max 312n -+=-∴2t >-．21．已知函数112y x =-+的图象按向量()2,1n = 平移后得到()f x 的图象，数列{}n a 满足()1n n a f a -=（N n *∈且2n ≥）.(1)若135a =，且11n n b a =-，证明：{}n b 是等差数列；(2)若135a =，试判断{}n a 中是否存在最大项与最小项，若存在，求出最大项与最小项；若不存在，请说明理由.【正确答案】(1)证明见解析；(2)存在，最大项43a =与最小项31a =-.【分析】（1）求出函数()f x 的解析式，进而求出数列{}n a 相邻两项的关系等式，再根据已知推理计算作答.（2）由（1）求出数列{}n a 的通项公式，再分段讨论并结合单调性求解作答.【详解】（1）函数112y x =-+的图象按向量()2,1n = 平移后得到的图象对应的函数为()1111222f x x x=-+=--+，则当N n *∈且2n ≥时，()1112n n n a f a a --==-，1111111121n n n n n a b a a a ---===----，由11n n b a =-，得当N n *∈且2n ≥时，1111n n b a --=-，则11111111n n n n n a b b a a -----=-=--，所以{}n b 是以111512b a ==--为首项，1为公差的等差数列.（2）由（1）知，数列{}n b 的通项公式为57122n b n n =-+-=-，由11n n b a =-，得111172n n a b n =+=+-，即2127n a n =+-，显然当4n ≥时，1n a >，122402527(25)(27)n n a a n n n n +-=-=-<----，即1n n a a +<，因此当4n ≥时，数列{}n a 是递减的，413n a a <≤=，当3n ≤时，1n a <，而135a =，213a =，31a =-，即当3n ≤时，数列{}n a 是递减的，311n a a -=≤<，所以数列{}n a 中存在最大项43a =与最小项31a =-.22．已知等比数列{}n a 的各项均为正数，24a =，3424a a +=.(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)在n a 与1n a +之间插入n 个数，使这2n +个数组成一个公差为n d 的等差数列，求证.12311113nd d d d ++++<L 【正确答案】(1)2,n n a n N*=∈(2)证明见解析【分析】（1）设等比数列{}n a 的公比为(0)q q >，根据题意列出方程求得2q =进而求得数列{}n a 的通项公式；（2）由2nn a =，结合题意求得1211n n n n a a d n n +-==++，得到11(1)()2n n n d =+⋅，利用乘公比错位相减法，求得数列{}n d 的前n 项和为13(3)(2n n S n =-+⋅，进而证得3n S <，即可求解.【详解】（1）解：设等比数列{}n a 的公比为(0)q q >，因为24a =，3424a a +=，可得2344424a a q q +=+=，即260q q +-=，解得2q =或3q =-（舍去），所以数列{}n a 的通项公式为222422n n n n a a q --==⋅=.（2）解：由2n n a =，可得112n n a ++=因为n a 与1n a +之间插入n 个数，使这2n +个数组成一个公差为n d 的等差数列，可得1(1)n n n a a n d +=++，所以1211n n n n a a d n n +-==++，所以111(1)()22n n n n n d +==+⋅，设数列{}n d 的前n 项和为n S ，可得2311111123()4()()(1)()22222n n n S n n -=⋅+⋅+⋅++⋅++⋅ ，则23411111112(3(4(()(1)()222222n n n S n n +=⋅+⋅+⋅++⋅++⋅ ，两式相减231111111((((1)()22222n n n S n -=++++-+⋅ 211111()[1()]131221(1)()(3)()122212n n n n n -++-=++⋅=-+⋅-，所以13(3)()2n n S n =-+⋅，因为n N *∈，所以1(3)(02n n +⋅>，所以13(3)()32n n S n =-+⋅<，即12311113n d d d d ++++<L .。

2023-2024学年重庆市高二下册3月月考数学质量检测试题一、单选题1．已知集合(){}{}21,60A x y ln x B x x x ==+=--≤，则A B = （）A ．(]2,3-B ．(]1,3-C ．(]3,2-D ．()1,3-【正确答案】B【分析】首先求出集合A 、B ，再利用集合的交运算即可求解.【详解】(){}{}{}1101A x y ln x x x x x ==+=+>=>-，{}()(){}{}26032023B x x x x x x x x =--≤=-+≤=-≤≤，所以A B ⋂{}(]131,3x x =-<≤=-，故选：B2．为对某组数据进行分析，建立了四种不同的模型进行拟合，现用回归分析原理，计算出四种模型的相关指数R 2分别为0.97，0.86，0.65，0.55，则拟合效果最好的回归模型对应的相关指数R 2的值是（）A ．0.97B ．0.86C ．0.65D ．0.55【正确答案】A【分析】在回归分析中，模型的相关指数R 2越接近于1，其拟合效果就越好，即可求解．【详解】由题意，四种模型的相关指数R 2分别为0.97，0.86，0.65，0.55，根据在回归分析中，模型的相关指数R 2越接近于1，其拟合效果就越好，可得拟合效果最好的回归模型对应的相关指数R 2的值是0.97．故选：A ．本题考查了用相关指数拟合模型效果的应用问题，其中解答中熟记回归分析中，模型的相关指数R 2越接近于1，其拟合效果就越好是解答的关键，属于基础题．3．已知26=22464+--，53=25434+--，71=27414+--，102=210424-+---，依照以上各式的规律，得到一般性的等式为（）A ．8=24(8)4n n n n -+---B ．1(1)5=2(1)4(1)4n n n n +++++-+-C ．4=24(1)4n n n n ++-+-D ．15=2(1)4(5)4n n n n ++++-+-【正确答案】A【分析】由已知结合归纳推理即可求解【详解】解：从各个等式可以看出，等式右端均为2，左端为两个分式的和，且两个式子的分子之和恒等于8，分母则为相应分子减去4，设其中一个分子为n ，另一个分子必为8－n ，故8=24(8)4n n n n -+---满足；故选：A4．已知命题p ：220x x +->，命题q ：()(){|lg 23}x f x x =-，则p 是q 的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【正确答案】B分别化简命题p 和命题q ，利用必要不充分条件的定义进行判断即可．【详解】命题p ：220x x +->等价于1x >或<2x -；命题q ：()(){}3{|lg 23}|230|2x f x x x x x x ⎧⎫=-=->=>⎨⎬⎩⎭则p 是q 的必要不充分条件故选：B5．函数22o )l g (1f x x x =-+的零点所在区间是（）A ．1184⎛⎫⎪⎝⎭，B ．1142⎛⎫ ⎪⎝⎭，C ．112⎛⎫⎪⎝⎭D ．()12，【正确答案】C【分析】利用零点存在性定理即可求解．【详解】2111151log 08484f ⎛⎫=-+=-< ⎪⎝⎭211151log 04242f ⎛⎫=-+=-< ⎪⎝⎭21111log 1022f ⎛⎫=-+=-< ⎪⎝⎭()12110f =-=>()1102f f ⎛⎫⋅< ⎪⎝⎭，221log ()f x x x ∴=-+的零点所在区间是112⎛⎫ ⎪⎝⎭，故选：C6．某产品的广告费支出x 与销售额y （单位：万元）之间的关系如下表，由此得到y 与x 的线性回归方程为6y x a =+$$，由此可得：当广告支出5万元时，随机误差的效应（残差）为x24568y3040605070A ．-10B ．0C ．10D ．20【正确答案】C【分析】由已知求得,x y 的值，得到ˆa，求得线性回归方程，令5x =求得y 的值，由此可求解结论.【详解】由题意，根据表格中的数据，可得2456830406050705,5055x y ++++++++====，所以ˆ6506520ay x =-⨯=-⨯=，所以ˆ620y x =+，取5x =，得ˆ652050y=⨯+=，所以随机误差的效应（残差）为605010-=，故选C.本题主要考查了回归直线方程的求解，以及残差的求法，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.7．设曲线f (x )＝ax 2在点(2，4a )处的切线与直线4x －y ＋4＝0垂直，则a ＝（）A ．2B ．－116C ．12D ．－1【正确答案】B【分析】由已知结合导数的几何意义即可求解．【详解】f (x )＝ax 2，则()2f x ax'=因为在点(2，4a )处的切线与直线4x －y ＋4＝0垂直，所以()1244f a =-'=所以116a =-故选：B8．函数3222xxx y -=+在[]6,6-的图像大致为A ．B ．C ．D ．【正确答案】B【分析】由分子、分母的奇偶性，易于确定函数为奇函数，由(4)f 的近似值即可得出结果．【详解】设32()22x x x y f x -==+，则332()2()()2222x xx x x x f x f x ----==-=-++，所以()f x 是奇函数，图象关于原点成中心对称，排除选项C ．又34424(4)0,22f -⨯=>+排除选项D ；36626(6)722f -⨯=≈+，排除选项A ，故选B ．本题通过判断函数的奇偶性，缩小考察范围，通过计算特殊函数值，最后做出选择．本题较易，注重了基础知识、基本计算能力的考查．9．设0.80.70.713,,log 0.83a b c -⎛⎫=== ⎪⎝⎭，则,,a b c 的大小关系为（）A ．a b c <<B ．b a c<<C ．b<c<aD ．c<a<b【正确答案】D【分析】利用指数函数与对数函数的性质，即可得出,,a b c 的大小关系.【详解】因为0.731a =>，0.80.80.71333b a -⎛⎫==>= ⎪⎝⎭，0.70.7log 0.8log 0.71c =<=，所以1c a b <<<.故选：D.本题考查的是有关指数幂和对数值的比较大小问题，在解题的过程中，注意应用指数函数和对数函数的单调性，确定其对应值的范围.比较指对幂形式的数的大小关系，常用方法：（1）利用指数函数的单调性：x y a =，当1a >时，函数递增；当01a <<时，函数递减；（2）利用对数函数的单调性：log a y x =，当1a >时，函数递增；当01a <<时，函数递减；（3）借助于中间值，例如：0或1等.10．若定义在R 的奇函数f (x )在(,0)-∞单调递减，且f (2)=0，则满足(10)xf x -≥的x 的取值范围是（）A ．[)1,1][3,-+∞B ．3,1][,[01]--C ．[1,0][1,)-⋃+∞D ．[1,0][1,3]-⋃【正确答案】D【分析】首先根据函数奇偶性与单调性，得到函数()f x 在相应区间上的符号，再根据两个数的乘积大于等于零，分类转化为对应自变量不等式，最后求并集得结果.【详解】因为定义在R 上的奇函数()f x 在(,0)-∞上单调递减，且(2)0f =，所以()f x 在(0,)+∞上也是单调递减，且(2)0f -=，(0)0f =，所以当(,2)(0,2)x ∈-∞-⋃时，()0f x >，当(2,0)(2,)x ∈-+∞ 时，()0f x <，所以由(10)xf x -≥可得：0210x x <⎧⎨-≤-≤⎩或0012x x >⎧⎨≤-≤⎩或0x =解得10x -≤≤或13x ≤≤，所以满足(10)xf x -≥的x 的取值范围是[1,0][1,3]-⋃，故选：D.本题考查利用函数奇偶性与单调性解抽象函数不等式，考查分类讨论思想方法，属中档题.11．已知函数()()221x g x x e ax a =--+在()0,∞+上单调递增，则实数a 的取值范围是（）A ．(,-∞B ．(C ．(,-∞D ．(0,【正确答案】A先求导数，利用单调性转化为()()2120xg x x e ax '=+-≥，构造新函数()()21x xf x x e +=求解()f x 的最小值即可.【详解】()()212x g x x e ax '=+-，由题意可知()()2120xg x x e ax '=+-≥在()0,∞+恒成立，即()212x x e a x+≥恒成立，设()()21x xf x x e +=，()()()()22221211x x x x e x x e x x f x +--+='=10,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x '<，()f x 为减函数；1,2x ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭时，()0f x ¢>，()f x 为增函数；()f x 的最小值为12f ⎛⎫= ⎪⎝⎭a ≤故选：A.利用函数单调性求解参数时，通常转化为恒成立问题求解：（1）()f x 在区间D 上单调递增等价于()0f x '≥在区间D 上恒成立；（2）()f x 在区间D 上单调递减等价于()0f x '≤在区间D 上恒成立.12．若正实数a ，b 满足22ln ln 222+≥+-b a b a ，则（）A ．124+=+a bB ．122-=-a b C ．2a b >D ．240b a -<【正确答案】B【分析】利用基本不等式可得)222212b a +-≥（当且仅当222b a =时取等号），利用熟知的结论1ln x x -≥（当且仅当1x =时取等号）进行放缩可得到2222ln ln 2b a a b +-≥+，结合已知条件，得到22ln ln 222b a b a +=+-，考虑到各不等式取等号的条件，解得,a b 的值，然后逐一检验即可做出正确判断.【详解】先证明熟知的结论：1ln x x -≥恒成立，且当且仅当1x =时取等号.设()1ln f x x x =--,则()11f x x'=-,在(0,1)上，()0f x '<,()f x 单调递减;在(1,+∞)上，()0f x '>,()f x 单调递增.故()()11100min f x f ==--=,∴()1ln f x x x =-≥恒成立，且当且仅当1x =时取等号.由)22222212lnln ln 2b a a b +-≥=≥+,由已知22ln ln 222b a b a +≤+-，∴22ln ln 222b a b a +=+-，且2221b a ⎧=⎪=，解得12a b ⎧=⎪⎨⎪=⎩,经检验只有B 正确，故选：B.本题关键点在于利用基本不等式和熟知的结论1ln x x -≥恒成立，且当且仅当1x =时取等号进行研究，得到2222ln ln 2b a a b +-≥+，结合已知得到等式，一定要注意基本不等式和1ln x x -≥取等号的条件，才能列出方程组求得,a b 的值.二、填空题13．函数()f x =__________．【正确答案】(0,1)(1,]e ⋃【分析】利用对数、分式、根式的性质列不等式，求x 的范围，即得定义域.【详解】由函数解析式，知：01ln 0220x x x ⎧>⎪-≥⎨⎪-≠⎩，解得0x e <≤且1x ≠.故答案为.(0,1)(1,]e ⋃14．i 是复数单位，若()1243i z i +=+，z 的虚部为__________.【正确答案】1【分析】由复数除法求得z 后可得z ，从而得其虚部．【详解】由已知243(43)(12)4836212(12)(12)5i i i i i i z i i i i ++--+-====-++-，2z i =+，虚部为1．故1．15．已知函数()f x 定义域为R ，满足 ()(2)f x f x =-，且对任意121x x ≤<，均有()()12120x x f x f x ->-，则不等式(21)(3)0f x f x ---≥解集为______．【正确答案】4(,0],3⎡⎫-∞+∞⎪⎢⎣⎭【分析】先求出函数()f x 关于直线1x =对称，函数()f x 在[)1,+∞上单调递增．在(],1-∞上单调递减，再解不等式|211||31|x x --≥--即得解.【详解】因为函数()f x 满足()(2)f x f x =-，所以函数()f x 关于直线1x =对称，因为对任意121x x ≤<，均有()()12120x x f x f x ->-成立，所以函数()f x 在[)1,+∞上单调递增．由对称性可知()f x 在(],1-∞上单调递减．因为()()2130f x f x ---≥，即()()213f x f x -≥-，所以|211||31|x x --≥--，即|22||2|x x -≥-，解得0x ≤或43x ≥．故4(,0],3⎡⎫-∞+∞⎪⎢⎣⎭方法点睛：对于函数问题的求解，通常要先研究函数的奇偶性、对称性、周期性和单调性等，再利用这些性质求解函数的问题.16．已知函数()()()202ln f x a x x x a =+>-有两个极值点1x 、()212x x x <，则()()12f x f x +的取值范围为_________.【正确答案】(),16ln 224-∞-【分析】确定函数()y f x =的定义域，求导函数，利用极值的定义，建立方程，结合韦达定理，即可求()()12f x f x +的取值范围．【详解】函数()()22ln f x a x x x =-+的定义域为()0,∞+，()21222212x ax a f x a x x x -+⎛⎫'=-+= ⎪⎝⎭，依题意，方程22220x ax a -+=有两个不等的正根1x 、2x （其中12x x <），则241604a a a ∆=->⇒>，由韦达定理得120x x a +=>，120x x a =>，所以()()()()()22121212122ln 2f x f x a x x x x a x x +=++-+()()()2222121212122ln 222ln 222ln 2a x x x x x x a x x a a a a a a a a a ⎡⎤=++--+=+--=--⎣⎦，令()()22ln 24h a a a a a a =-->，则()2ln 2h a a a '=-，()()2122a h a a a-''=-=，当4a >时，()0h a ''<，则函数()y h a '=在()4,+∞上单调递减，则()()44ln 280h a h '<=-<，所以，函数()y h a =在()4,+∞上单调递减，所以，()()416ln 224h a h <=-.因此，()()12f x f x +的取值范围是(),16ln 224-∞-.故答案为.(),16ln 224-∞-本题考查了函数极值点问题，考查了函数的单调性、最值，将()()12f x f x +的取值范围转化为以a 为自变量的函数的值域问题是解答的关键，考查计算能力，属于中等题.三、解答题17．已知命题:,p x R ∀∈240++≤mx x m .（1）若p 为真命题，求实数m 的取值范围；（2）命题[]:2,8q x ∃∈，使得2log 1m x ≥，当p q ⌝∧⌝为假命题且q ⌝为真命题时，求实数m 的取值范围.【正确答案】（1）14m ≤-；（2）14m ≤-.（1）由题得0m <且21160∆=-≤m ，解不等式即得m 的取值范围；（2）先转化为[]2,8x ∃∈，21log m x ≥，再求21log x的最小值得m 的范围，因为p q ⌝∧⌝为假命题且q ⌝为真命题，所以p 真q 假，从而得到关于m 的不等式组，解不等式组即得解.【详解】（1）∵2,40x R mx x m ∀∈++≤，0m ∴<且21160∆=-≤m ，解得14m ≤-p ∴为真命题时，14m ≤-.（2）[2,8]∃∈x ，21log m x ≥，又[2,8]x ∈时，211[,1]log 3x ∈，13m ∴≥∵p q ⌝∧⌝为假命题且q ⌝为真命题∴当p真q假，有1413mm⎧≤-⎪⎪⎨⎪<⎪⎩解得14m≤-【点晴】方法点晴：复合命题真假判定的口诀：真“非”假，假“非”真，一真“或”为真，两真“且”才真.18．2020年12月29日至30日，全国扶贫开发工作会议在北京召开，会议指出经过各方面的共同努力，中国现行标准下农村贫困人口全部脱贫，贫困县全部摘帽，贫困村全部退出，脱贫攻坚目标任务如期全面完成.2021年是“十四五”规划开局之年，是巩固拓展脱贫攻坚成果、实现同乡村振兴有效衔接的起步之年．要按照中共中央国务院新决策新部署，把巩固拓展脱贫攻坚成果摆在头等重要位置来抓，推动脱贫攻坚政策举措和工作体系逐步向乡村振兴平稳过渡，用乡村振兴巩固拓展脱贫攻坚成果，坚决守住脱贫攻坚胜利果实，确保不出现规模性返贫，确保实现同乡村振兴有效衔接，确保乡村振兴有序推进．北方某刚脱贫的贫困地区积极响应，根据本地区土地贫瘠，沙地较多的特点，准备大面积种植一种叫做欧李的奇特的沙漠果树，进行了广泛的宣传．经过一段时间的宣传以后，为了解本地区广大农民对引进这种沙漠水果的理解程度、种植态度及思想观念的转变情况，某机构进行了调查研究，该机构随机在该地区相关人群中抽取了600人做调查，其中45岁及以下的350人中有200人认为这种水果适合本地区，赞成种植，45岁以上的人中赞成种植的占2 5．（1）完成如下的2×2列联表，并回答能否有99.5%的把握认为“赞成种植与年龄有关”？赞成种植不赞成种植合计45岁及以下45岁以上合计（2）为了解45岁以上的人的想法态度，需要在已抽取45岁以上的人中按种植态度（是否赞成种植）采用分层抽样的方法选取5位45岁以上的人做调查，再从选取的5人中随机抽取2人做深度调查，求2人中恰有1人“不赞成种植”的概率．附表：()20P K k ≥0.150.100.050.0250.0100.0050.0010k 2.072 2.706 3.841 5.0246.6357.87910.828参考公式为：()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++【正确答案】（1）填表见解析；有99.5%的把握认为“是否赞成种植与年龄有关”；（2）35．【分析】（1）根据题中数据，直接完善列联表，再由公式计算2K ，结合临界值表，即可得出结论；（2）先由题中条件，确定被抽取的5人中，“赞成种植的”有2人，记为a ，b ，“不赞成种植的”有3人，记为C ，D ，E ；用列举法写出总的基本事件，以及满足“恰有1人不赞成种植”的基本事件，基本事件的个数比即为所求概率.【详解】（1）由题意可得2×2列联表：赞成种植不赞成种植合计45岁及以下20015035045岁以上100150250合计30030060022600(200150150100)300300350250K ⨯⨯-⨯=⨯⨯⨯12017.1437.8797=≈>经查表，得()27.8790.005P K >≈，所以有99.5%的把握认为“是否赞成种植与年龄有关”．（2）在45岁以上的人中，赞成种植和不赞成种植的人数比为2:3，所以被抽取到的5人中，“赞成种植的”有2人，记为a ，b ，“不赞成种植的”有3人，记为C ，D ，E ，从被选取到的5人中再从中抽取2人，共有如下抽取方法：(,)a b ，(,)a C ，(,)a D ，(,)a E ，(,)b C ，(,)b D ，(,)b E ，(,)C D ，(,)C E ，(,)D E ，共有10种不同的结果，两人中恰好有1人为“不赞成种植的”包含了(,)a C ，(,)a D ，(,)a E ，(,)b C ，(,)b D ，(,)b E ，共有6种结果．所以所求概率63105P ==．方法点睛：求古典概型的概率的常用方法：（1）古典概型所包含的基本事件个数较少时，可用列举法列举出总的基本事件个数，以及满足条件的基本事件个数，基本事件个数比即为所求概率；（2）古典概型所包含的基本事件个数较多时，可根据排列组合数的计算，求出总的基本事件个数，以及满足条件的基本事件个数，进而求出所求概率.19．已知三次函数32()41f x x ax x =+++(a 为常数).（1）当1a =时，求函数()f x 在2x =处的切线方程；（2）若a<0，讨论函数()f x 在()0,x ∈+∞的单调性.【正确答案】（1）20190x y --=；（2）答案见解析.【分析】（1）对函数求导，由导数的几何意义可得直线的斜率，再由直线的点斜式方程即可得解；（2）对函数求导，结合二次函数的性质，按照0a -≤<、a <-()0f x '>、()0f x '<的解集即可得解.【详解】（1）当1a =时，函数32()41f x x x x =+++，2()324f x x x '=++Q ，(2)20f '∴=即切线的斜率20k =，(2)21f =Q ，∴切线方程为2120(2)y x -=-即20190x y --=；（2）导函数2()324f x x ax '=++的对称轴为03a x =->，①当24480a ∆=-≤即0a -≤<时，()0f x '≥，()f x 在(0,)+∞上单调递增；②当24480a ∆=->即a <-(0)40f '=>，令2()3240f x x ax '=++=，则13a x -=，23a x -=，因为120x x <<，所以当0x <<或x >时，()0f x '>；x <<时，()0f x '<；所以()f x在0,3a ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，,3a ⎛⎫-+∞ ⎪ ⎪⎝⎭上单调递增；()f x 在33a a a a ⎛---+ ⎪ ⎪⎝⎭上单调递减.本题考查了导数几何意义的应用及利用导数研究函数的单调性，考查了运算求解能力与逻辑推理能力，属于中档题.20．近年来，中美贸易摩擦不断.特别是美国对我国华为的限制.尽管美国对华为极力封锁，百般刁难，并不断加大对各国的施压，拉拢他们抵制华为5G ，然而这并没有让华为却步.华为在2018年不仅净利润创下记录，海外增长同样强劲.今年，我国华为某一企业为了进一步增加市场竞争力，计划在2020年利用新技术生产某款新手机.通过市场分析，生产此款手机全年需投入固定成本250万，每生产x （千部）手机，需另投入成本()R x 万元，且210100,040()100007019450,40x x x R x x x x ⎧+<<⎪=⎨+-≥⎪⎩，由市场调研知，每部手机售价0.7万元，且全年生产的手机当年能全部销售完.(1)求出2020年的利润()W x （万元）关于年产量x （千部）的函数关系式，（利润=销售额—成本）；(2)2020年产量为多少（千部）时，企业所获利润最大？最大利润是多少？【正确答案】(1)210600250,040()10000()9200,40x x x W x x x x ⎧-+-<<⎪=⎨-++≥⎪⎩；(2)2020年产量为100千部时，企业所获利润最大，最大利润是9000万元.【分析】（1）根据给定的函数模型，直接计算作答.（2）利用（1）中函数，借助二次函数最值及均值不等式求出最大值，再比较大小作答.【详解】（1）依题意，销售收入700x 万元，固定成本250万元，另投入成本210100,040()100007019450,40x x x R x x x x ⎧+<<⎪=⎨+-≥⎪⎩万元，因此210600250,040()700()25010000()9200,40x x x W x x R x x x x ⎧-+-<<⎪=--=⎨-++≥⎪⎩，所以2020年的利润()W x （万元）关于年产量x （千部）的函数关系式是210600250,040()10000()9200,40x x x W x x x x ⎧-+-<<⎪=⎨-++≥⎪⎩.（2）由（1）知，当040x <<时，2()10(30)87508750W x x =--+≤，当且仅当30x =时取等号，当40x ≥时，10000()()920092009000W x x x =-++≤-+=，当且仅当10000x x =，即100x =时取等号，而87509000<，因此当100x =时，max ()9000W x =，所以2020年产量为100千部时，企业所获利润最大，最大利润是9000万元.21．已知函数2()e x f x ax x =+-.（1）当a =1时，讨论f （x ）的单调性；（2）当x ≥0时，f （x ）≥12x 3+1，求a 的取值范围.【正确答案】（1）当(),0x ∈-∞时，()()'0,f x f x <单调递减，当()0,x ∈+∞时，()()'0,f x f x >单调递增.（2）27e ,4∞⎡⎫-+⎪⎢⎣⎭【分析】(1)由题意首先对函数二次求导，然后确定导函数的符号，最后确定原函数的单调性即可.(2)方法一：首先讨论x =0的情况，然后分离参数，构造新函数，结合导函数研究构造所得的函数的最大值即可确定实数a 的取值范围.【详解】(1)当1a =时，()2e x f x x x =+-，()e 21x f x x ='+-，由于()''e 20x f x =+>，故()'f x 单调递增，注意到()00f '=，故：当(),0x ∈-∞时，()()0,f x f x '<单调递减，当()0,x ∈+∞时，()()0,f x f x '>单调递增.(2)[方法一]【最优解】：分离参数由()3112f x x ≥+得，231e 12x ax x x +-+，其中0x ≥，①.当x =0时，不等式为：11≥，显然成立，符合题意；②.当0x >时，分离参数a 得，321e 12x x x a x----，记()321e 12x x x g x x ---=-，()()2312e 12x x x x g x x⎛⎫---- ⎪⎝⎭'=-，令()()21e 102x h x x x x =---≥，则()e 1x h x x ='--，()''e 10x h x =-≥，故()'h x 单调递增，()()00h x h ''≥=，故函数()h x 单调递增，()()00h x h ≥=，由()0h x ≥可得：21e 102x x x ---恒成立，故当()0,2x ∈时，()0g x '>，()g x 单调递增；当()2,x ∈+∞时，()0g x '<，()g x 单调递减；因此，()()2max 7e 24g x g -⎡⎤==⎣⎦,综上可得，实数a 的取值范围是27e ,4∞⎡⎫-+⎪⎢⎣⎭.[方法二]：特值探路当0x ≥时，31()12f x x ≥+恒成立27e (2)54-⇒⇒f a ．只需证当274e a -≥时，31()12f x x ≥+恒成立．当274e a -≥时，227e ()e e 4-=+-≥+x x f x ax x 2⋅-x x ．只需证明2237e 1e 1(0)42-+-≥+≥xx x x x ⑤式成立．⑤式()223e 74244e -+++⇔xx x x ，令()223e 7424()(0)e -+++=≥x x x x h x x ，则()()222313e 2e 92()e -+--=='x x x x h x ()()222213e 2e 9e ⎡⎤-----⎣⎦=x x x x ()2(2)2e 9e ⎡⎤--+-⎣⎦x x x x ，所以当29e 0,2⎡⎤-∈⎢⎣⎦x 时，()0,()h x h x <'单调递减；当29e ,2,()0,()2⎛⎫-∈> ⎪⎝⎭'x h x h x 单调递增；当(2,),()0,()∈+∞<'x h x h x 单调递减．从而max [()]max{(0),(2)}4==h x h h ，即()4h x ≤，⑤式成立．所以当274e a -≥时，31()12f x x ≥+恒成立．综上274e a -≥．[方法三]：指数集中当0x ≥时，31()12f x x ≥+恒成立323211e 1(1)e 122x x x ax x x ax x -⇒+-+⇒-++≤，记()32(1(1)e 0)2x g x x ax x x -=-++≥，()2231(1)e 22123xg x x ax x x ax -'=--+++--()()()2112342e 212e 22x x x x a x a x x a x --⎡⎤=--+++=----⎣⎦，①.当210a +≤即12a ≤-时，()02g x x '=⇒=，则当(0,2)x ∈时，()0g x '>，()g x 单调递增，又()01g =，所以当(0,2)x ∈时，()1g x >，不合题意；②.若0212a <+<即1122a -<<时，则当(0,21)(2,)x a ∈+⋃+∞时，()0g x '<，()g x 单调递减，当(21,2)x a ∈+时，()0g x '>，()g x 单调递增，又()01g =，所以若满足()1g x ≤，只需()21g ≤，即()22(7e 14)g a --≤=27e 4a -⇒，所以当27e 142a -⇒≤<时，()1g x ≤成立；③当212a +≥即12a ≥时，()32311(1)e (1)e 22x x g x x ax x x x --=++≤-++，又由②可知27e 142a -≤<时，()1g x ≤成立，所以0a =时，31()(1)e 21x g x x x -=+≤+恒成立，所以12a ≥时，满足题意.综上，27e 4a -.【整体点评】导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，本题主要考查利用导数解决恒成立问题，常用方法技巧有：方法一，分离参数，优势在于分离后的函数是具体函数，容易研究；方法二，特值探路属于小题方法，可以快速缩小范围甚至得到结果，但是解答题需要证明，具有风险性；方法三，利用指数集中，可以在求导后省去研究指数函数，有利于进行分类讨论，具有一定的技巧性！22．如图，在极坐标系Ox 中，(2,0)A ，)4B π，)4C 3π，(2,)D π，弧 AB ， BC ， CD 所在圆的圆心分别是(1,0)，(1,2π，(1,)π，曲线1M 是弧 AB ，曲线2M 是弧 BC ，曲线3M 是弧 CD .（1）分别写出1M ，2M ，3M 的极坐标方程；（2）曲线M 由1M ，2M ，3M 构成，若点P 在M 上，且||OP =P 的极坐标.【正确答案】(1)2cos ([0,])4πρθθ=∈,32sin ([])44ππρθθ=∈,32cos ([,])4πρθθπ=-∈,(2))6π,)3π,2)3π,5)6π.【分析】(1)将三个过原点的圆方程列出，注意题中要求的是弧，所以要注意的方程中θ的取值范围.(2)根据条件ρ=P 点的极坐标.【详解】(1)由题意得，这三个圆的直径都是2，并且都过原点.1:2cos ([0,4M πρθθ=∈，23:2cos()2sin ([,])244M πππρθθθ=-=∈,33:2cos()2cos ([,])4M πρθπθθπ=-=-∈.(2)解方程2cos [0,])4πθθ=∈得6πθ=，此时P 的极坐标为)6π解方程32sin [,])44ππθθ=∈得3πθ=或23πθ=，此时P 的极坐标为3π或2)3π解方程32cos [,])4πθθπ-=∈得56πθ=，此时P 的极坐标为5)6π故P 的极坐标为)6π,)3π,2)3π,5)6π.此题考查了极坐标中过极点的圆的方程，思考量不高，运算量不大，属于中档题.23．设函数()|21||4|f x x x =+--．（1）求不等式()2f x >的解集；（2）求函数()f x 的最小值.【正确答案】（1）{7x x ∈<-R 或53x ⎫>⎬⎭；（2）92-．【分析】(1)将绝对值函数化为分段函数，用不同的区间对应的解析式大于2，分别解出不等式求其并集即可.(2)由分段函数求其值域即可得到最小值.【详解】1521()33425(4)x x f x x x x x ⎧⎛⎫--<- ⎪⎪⎝⎭⎪⎪⎛⎫=--≤≤⎨ ⎪⎝⎭⎪⎪+>⎪⎩⑴①由5212x x -->⎧⎪⎨<-⎪⎩解得7<-x ；②332142x x ->⎧⎪⎨-≤≤⎪⎩解得543x <≤；③524x x +>⎧⎨>⎩解得>4x ；综上可知不等式的解集为{|7x x ∈<-R 或53x ⎫>⎬⎭.⑵由(1)知，当12x <-时，()195522f x x =-->-=-；当142x -≤≤时，()33f x x =-，()992f x -≤≤；当>4x 时，()59f x x =+>；综上x ∈R 时，()92f x ≥-，所以min 9()2f x =-故函数()f x 的最小值为92-.。

12023年重庆一中高2024届高二下学期3月月考数学试题卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.1. 若255C C n =，则n =（ ）A. 2B. 2或3C. 3D. 42. 已知一组样本数据1x ，2x ，3x ，4x ，5x 的平均数x 为2，则51(2)ii x =−=∑（ ）A. 0B. 2C. 2.5D. 13. 若()()()()112110121121111R x a a x a x a x x −=+−+−++−∈,，则01211a a a a ++++=（ ）A. 1B. 1131−C. 113D. 1131+4. 某校为了了解同学们参加社会实践活动的意向，决定利用分层抽样的方法从高一、高二、高三学生中选取200人进行调查，已知该校高一年级学生有1300人，高二年级学生有1200人，高三年级学生有1500人，则抽取的学生中，高三年级有（ ） A. 50人B. 60人C. 65人D. 75人5. 已知正项数列{}n a 中，22111,1n n a a a +=−=，则数列11nn a a +⎧⎫⎨⎬+⎩⎭的前120项和为（ ）A. 4950B. 10C. 9D.149506. 某班级周三上午共有5节课，只能安排语文、数学、英语、体育和物理.数学必须安排，且连续上两节，但不能同时安排在第二三节，除数学外其他学科最多只能安排一节，体育不能安排在第一节，则不同的排课方式共有( ) A. 48种B. 60种C. 72种D. 96种7. 将甲、乙、丙、丁4名志愿者随机派往①，②，③三个社区进行核酸信息采集，每个社区至少派1名志愿者，事件A =“志愿者甲派往①社区”； 事件B= “志愿者乙派往①社区”； 事件C= “志愿者乙派往②社区”，则（ ） A. 事件A 、B 同时发生的概率为19 B. 事件A 发生的条件下B 发生的概率为16C. 事件A 与B 相互独立D. 事件A 与C 为互斥事件8. 已知O 为坐标原点，P 是椭圆()2222:10x y E a b a b+=>>上位于x 轴上方的点，F 为右焦点.延长PO 、PF 交椭圆E 于Q 、R 两点，QF FR ⊥，4QF FR =，则椭圆E 的离心率为（ ）A.33B.22 C.53D.104的2二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.9. 某科技学校组织全体学生参加了主题为“创意之匠心，技能动天下”的文创大赛，随机抽取了400名学生进行成绩统计，发现抽取的学生的成绩都在50分至100分之间，进行适当分组后（每组的取值区间均为左闭右开），画出频率分布直方图（如图），下列说法正确的是（ ）A. 图中x 的值为0.020B. 在被抽取的学生中，成绩在区间[)70,80内的学生有60人C. 估计全校学生成绩的中位数约为87.7D. 估计全校学生成绩的众数为95 10. 对于函数()22ln xf x x=，下列说法正确的有（ ） A. ()f x 的单调递减区间为()1,+∞ B. ()f x 在e x =1eC. ()f x 只有一个零点D. ()3πf f>11. 已知编号为1，2，3的三个盒子，其中1号盒子内装有两个1号球，一个2号球和一个3号球；2号盒子内装有两个1号球，一个3号球；3号盒子内装有三个1号球，两个2号球.若第一次先从1号盒子内随机抽取1个球，将取出的球放入与球同编号的盒子中，第二次从该盒子中任取一个球，则下列说法正确的是（ ） A. 在第一次抽到2号球的条件下，第二次抽到1号球的概率为12 B. 第二次抽到3号球的概率为1148C. 如果第二次抽到的是3号球，则它来自1号盒子的概率最大D. 如果将5个不同的小球放入这三个盒子内，每个盒子至少放1个，则不同的放法有180种12. 冬春季节，人们容易感冒发热.若发生群体性发热，则会影响到人们的身体健康，干扰正常工作，有专业机构认为某地区在一段时间内没有发生大规模群体发热现象的标志为“连续10天，该地区每天新增疑似发热病例不超过7人”.下列连续10天疑似发热病例人数的统计特征数中，能判定该地没有发生群体性发热的为（ ） A. 总体平均数为23 B. 总体平均数为4，总体方差为32C. 总体平均数为3，中位数为4D. 总体平均数为2，第65百分位数为5三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13. 在nx x ⎛ ⎝的展开式中，第3项和第4项的二项式系数最大，则展开式中含2x 项的系数为_____.314. 透明袋子中装有黑球1个、白球3个，这些球除了颜色外无其他差别. 从袋子中随机摸出一个球，记下颜色后放回，将袋子中的球摇匀，再随机摸出一个球，记下颜色，求前后两次摸出的球都是白球的概率为___________. 15. 数论领域的四平方和定理最早由欧拉提出，后被拉格朗日等数学家证明.四平方和定理的内容是：任意正整数都可以表示为不超过四个自然数的平方和，例如正整数222222221231112220=+++=+++.设222236a b c d =+++，其中a b c d ,,,均为自然数，则满足条件的有序数组(),,,a b c d 的个数是___________.16. 已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足3n n S k a =⋅−（k 是常数，1k >）10122a =，且23420222048a a a a ++++=，则23420221111a a a a ++++=___________.四、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17. (本小题满分10分)在一个选拔项目中，每个选手都需要进行4轮考核，每轮设有一个问题，能正确回答者进入下一轮考核，否则被淘汰．已知某选手能正确回答第一、二、三、四轮问题概率分别为56、45、34、13，且各轮问题能否正确回答互不影响．（Ⅰ）求该选手进入第三轮才被淘汰的概率； （Ⅱ）求该选手至多进入第三轮考核的概率；18. (本小题满分12分)在数列{}n a 中，*1111,20,N 3n n n n a a a a a n ++=+−=∈． （1）求证：1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列，并求数列{}n a 的通项公式； （2）满足不等式()*122311N 8k k a a a a a a k ++++<∈成立的k 的最大值．的419. (本小题满分12分)随机抽取100名男学生，测得他们的身高（单位：cm ），按照区间[)160165,，[)165170,，[)170175,，[)175,180，[]180,185分组，得到样本身高的频率分布直方图如图所示：（1）求身高在170cm 及以上的学生人数； （2）估计该校100名学生身高75%分位数.（3）据统计，身高在[)170175,，[)175,180，[]180,185时，体重超过70kg 的概率分别为16、13、12.现在从身高在[170，185]的学生中任选一个学生，估计其体重超过70kg 的概率.20. (本小题满分12分) 在二项式4)2n x x的展开式中，前三项的系数依次为M ，P ，N ，且满足2P M N =+.（1）若直线l ：0ax by c的系数a ，b ，c （a b c >>）为展开式中所有无理项系数，求不同直线l 的条数；（2）求展开式中系数最大的项.21. (本小题满分12分) 已知C ：22221x y a b+=7，离心率为12，过椭圆左焦点F 作不与x 轴重合的直线与椭圆C 相交于M 、N 两点，直线m 的方程为：2x a =−，过点M 作ME 垂直于直线m 交直线m 于点E .（1）求椭圆C 标准方程：（2）①若线段EN 必过定点P ，求定点P 的坐标； ②点O 为坐标原点，求OEN 面积的最大值.22. (本小题满分12分) 已知函数()xf x xe =（其中e 为自然对数的底数）.（1）求函数()f x 的最小值；（2）求证：()1ln 2xf x e x >+−.的5。

湖北省天门2023-2024学年度高二下学期三月月考数学试题（答案在最后）考试内容：选修一第一章——选修三第六章6.1考试时间：2024年3月31日出题人：审题人：一、单选题（共40分）1.某圆锥的侧面积为16π，其侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的底面半径长为（）A.2B.4C. D.【答案】C 【解析】【分析】设圆锥的母线长为l ，底面半径为r ，由题意得到2ππr l =求解.【详解】设圆锥的母线长为l ，底面半径为r ，即侧面展开图的半径为l ，侧面展开图的弧长为πl .又圆锥的底面周长为2πr ，所以2ππr l =，即圆锥的母线长2l r =.所以圆锥的侧面积为2π2π16πrl r ==，解得r =故选：C.2.若直线1l ：2(1)40x m y +++=与直线2l ：320mx y +-=平行，则m 的值为（）A.2B.3- C.2或3- D.2-或3-【答案】C 【解析】【分析】依题意可得23(1)0m m ⨯-+=，求出m 的值，再检验即可.【详解】直线1l ：2(1)40x m y +++=与直线2l ：320mx y +-=平行，则23(1)0m m ⨯-+=，解得3m =-或2m =，当3m =-时，此时直线1l ：2240x y -+=与直线2l ：3320x y -+-=平行，当2m =时，此时直线1l ：2340x y ++=与直线2l ：2320x y +-=平行，故3m =-或 2.m =故选：C3.等比数列{}n a 的各项均为正数，且564718a a a a +=，则3132310log log log a a a ++⋅⋅⋅+=（）A.12B.10C.5D.32log 5【答案】B 【解析】【分析】利用等比数列的性质，结合对数的运算法则即可得解.【详解】因为{}n a 是各项均为正数的等比数列，564718a a a a +=，所以564756218a a a a a a +==，即569a a =，则11029569a a a a a a ==== 记3132310log log log S a a a =++⋅⋅⋅+，则3103931log log log S a a a =+⋅+⋅⋅+，两式相加得()()()3110329310132log log log 10log 920S a a a a a a =++⋅⋅⋅+=⨯=，所以10S =，即3132310log log log 10a a a ++⋅⋅⋅+=.故选：B.4.已知函数()()()ln 2ln 4f x x x =-+-，则()f x 的单调递增区间为（）A.()2,3 B.()3,4 C.(),3-∞ D.()3,+∞【答案】A 【解析】【分析】根据对数真数大于零可构造不等式组求得函数定义域；利用导数可求得函数单调递增区间．【详解】由2040x x ->⎧⎨->⎩得：24x <<，即()f x 的定义域为()2,4；()()()()23112424x f x x x x x -'=-=---- ，∴当()2,3x ∈时，()0f x ¢>；当()3,4x ∈时，()0f x '<；()f x \的单调递增区间为()2,3．故选：A ．5.已知函数()2xf x =，则函数()f x 的图象在点()()0,0f 处的切线方程为（）A.10x y --=B.10x y -+=C.ln 210x y ⋅--=D.ln 210x y ⋅-+=【答案】D【分析】求出函数()f x 的导数，再利用导数的几何意义求出切线方程.【详解】函数()2xf x =，求导得()2ln 2x fx '=，则(0)ln 2f '=，而(0)1f =，所以所求切线方程为1ln 2(0)y x -=⋅-，即ln 210x y ⋅-+=.故选：D6.在平面直角坐标系xOy 中，点()()1,0,2,3A B -，向量OC mOA nOB =+，且40m n --=.若P 为椭圆2217y x +=上一点，则PC 的最小值为（）A.B.C.D.【答案】A 【解析】【分析】根据给定条件，求出点C 的轨迹，再借助三角代换及点到直线距离公式求出最小值.【详解】设点(,)C x y ，由()()1,0,2,3A B -及OC mOA nOB =+，得(,)(2,3)x y m n n =-+，即23x m ny n=-+⎧⎨=⎩，而40m n --=，消去,m n 得：3120x y -+=，设椭圆2217y x +=上的点(cos ),R P θθθ∈，则点P 到直线3120x y -+=的距离d =，其中锐角ϕ由tanϕ=确定，当sin()1θϕ+=时，min d =PC d ≥ ，所以PC 的故选：A【点睛】思路点睛：求出椭圆上的点与其相离的直线上点的距离最小值，可转化为求椭圆上的点到直线距离有最小值解决.7.5人排一个5天的值日表，每天排一人值日，每人可以排多天或不排，但相邻两天不能排同一人，值日表排法的总数为（）A.120B.324C.720D.1280【分析】利用分步乘法计数原理计算即可.【详解】第一天可以排5个人中的任意一个，有5种排法；第二天可以排另外4个人中任意一个，有4种排法；第三天同上，有4种排法；第四天同上，有4种排法；第五天同上，有4种排法．根据分步乘法计数原理得所有的排法总数为544441280⨯⨯⨯⨯=．故选:D ．8.函数32()(1)f x x a x x b =+--+为R 上的奇函数，过点1,12P ⎛⎫- ⎪⎝⎭作曲线()y f x =的切线，可作切线条数为（）A.1B.2C.3D.不确定【答案】A 【解析】【分析】根据奇函数确定3()f x x x =-，求导得到导函数，设出切点，根据切线方程公式计算01x =-，计算切线得到答案.【详解】()3232()(1)(1)f x x a x x b f x x a x x b -=-+-+=-=--++--，故1a =，0b =，3()f x x x =-，2()31x f x '=-，设切点为()00,Mxy ，则2000012()311y f x x x '-=+=-，且30000()f x x x y -==，整理得到()()20001410x x x +-+=，解得01x =-，(1)2f '-=，故切线方程为22y x =+，故选：A二、多选题（共18分）9.公差为d 的等差数列{}n a ，其前n 项和为n S ，110S >，120S <，下列说法正确的有（）A.0d < B.70a > C.{}n S 中5S 最大D.49a a <【分析】利用等差数列性质结合给定条件可得60a >，670a a +<，再逐项分析判断作答.【详解】由()111116111102a a S a +==>，得60a >，又()()112126712602a a S a a +==+<，得，670a a +<，所以60a >，70a <，数列{}n a 是递减数列，其前6项为正，从第7项起均为负数，等差数列{}n a ，公差0d <，A 选项正确；70a <，B 选项错误；前6项和最大，C 选项错误；由40a >，90a <，有4949670a a a a a a -=+=+<，则49a a <，D 选项正确.故选：AD.10.已知函数()()322R x x a a f x x =-++∈的图像为曲线C ，下列说法正确的有（）A.R a ∀∈，()f x 都有两个极值点B.R a ∀∈，()f x 都有零点C.R a ∀∈，曲线C 都有对称中心D.R a ∃∈，使得曲线C 有对称轴【答案】ABC 【解析】【分析】根据函数极值的定义、零点的定义，结合函数的对称性的性质逐一判断即可.【详解】A ：()()()()3222341311x x x a f x x x x x f x '=-++⇒=-+=--，当1x >时，()()0,f x f x '>单调递增，当113x <<时，()()0,f x f x '<单调递减，当13x <时，()()0,f x f x '>单调递增，因此13x =是函数的极大值点，1x =是函数的极小值点，因此本选项正确；B ：当x →+∞时，()f x →+∞，当x →-∞时，()f x →-∞，而函数()f x 是连续不断的曲线，所以一定存在0R x ∈，使得()0f x =，因此本选项正确；C ：假设曲线C 的对称中心为(),b c ，则有()()()()()()32322222,f b x f b x c b x b x b x a b x b x b x a c ++-=⇒+-+++++---+-+=化简，得()232322b x c a b b b -=---+，因为x ∈R ，所以有322320320227b b c a b b b c a ⎧=⎪-=⎧⎪⇒⎨⎨---+=⎩⎪-=⎪⎩，因此给定a 一个实数，一定存在唯一的一个实数c 与之对应，因此假设成立，所以本选项说法正确；D ：由上可知当x →+∞时，()f x →+∞，当x →-∞时，()f x →-∞，所以该函数不可能是关于直线对称，因此本选项说法不正确，故选：ABC11.已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，下列四个结论中正确的是（）A.直线1B C 与直线1AD 所成的角为90B.直线1B C 与平面1ACD 所成角的余弦值为33C.1B D ⊥平面1ACD D.点1B 到平面1ACD 的距离为32【答案】ABC 【解析】【分析】如图建立空间直角坐标系，求出1B C 和1AD uuu r的坐标，由110AD B C ⋅= 可判断A ；证明10AC B D ⋅= ，110AD B D ⋅=，再由线面垂直的判定定理可判断C ；计算11cos ,B D B C 的值可得线面角的正弦值，再求出夹角的余弦值可判断B ；利用向量求出点A 到平面11D B C 的距离可判断D.【详解】如图以D 为原点，分别以1,,DA DC DD 所在的直线为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，则()0,0,0D ，()1,0,0A ，()0,1,0C ，()10,0,1D ，()11,1,1B ，对于A ：()11,0,1B C =-- ，()11,0,1AD =-，因为()()()111100110B C AD ⋅=-⨯-+⨯+-⨯= ，所以11AD B C ⊥ ，即11B C AD ⊥，直线1B C 与直线1AD 所成的角为90 ，故选项A 正确；对于C ：因为()1,1,0AC =- ，()11,0,1AD =- ，()11,1,1B D =---，所以11100AC B D ⋅=-+= ，111010AD B D ⋅=+-= ，所以1AC B D ⊥ ，11AD B D ⊥uuur uuu r ，因为1AC AD A =I ，1,AC AD ⊂平面A 1，所以1B D ⊥平面1ACD ，故选项C 正确；对于B ：由选项C 知：1B D ⊥平面1ACD ，所以平面1ACD 的一个法向量()11,1,1B D =---，因为()11,0,1B C =-- ，所以111111cos ,B D B C B D B C B D B C⋅=== 即直线1B C 与平面1ACD 所成，所以直线1B C 与平面1ACD33=，故选项B 正确；对于D ：因为()11,0,1B C =-- ，平面1ACD 的一个法向量()11,1,1B D =---，所以点1B 到平面1ACD的距离为1113B D B C d B D⋅=== ，故选项D 不正确.故选：ABC.三、填空题（共15分）12.若抛物线22y px =-过点()1,2-，则该抛物线的焦点为________．【答案】()1,0-【解析】【分析】根据题意，代入求得2p =，结合抛物线的几何性质，即可求解.【详解】解：将()1,2-代入抛物线方程22y px =-，可得2p =，即24y x =-，所以抛物线24y x =-的焦点为()1,0-．故答案为：()1,0-.13.已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足122n n S λ+=+，则实数λ的值是_____．【答案】-2【解析】【分析】由已知推得1q ≠，继而结合等比数列的前n 项和的特点及已知即可求解.【详解】等比数列{}n a 中，由122n n S λ+=+可得122n n S λ=+，则11122a S λ==+，若公比1q =，则2211224,02S a λλλ=+==+∴=，则13323S a =≠，故1q ≠，则等比数列的前n 项和()1111111n nn a q a S qa q a a--=⋅--=-，（1q ≠），故令112λ=-，即2λ=-，故答案为：2-14.若e e e e ()cos 22x x x xf x x x ---+=+，则不等式(sin )(cos )0f x f x +>的解集是________．【答案】π3π|2π2π,44x k x k k ⎧⎫-<<+∈⎨⎬⎩⎭Z 【解析】【分析】根据奇偶性的定义和导数分析可知()f x 在[]1,1-内单调递增，且为奇函数，进而可得sin cos x x >-，利用辅助角公式结合正弦函数运算求解.【详解】取()f x 的定义域为[]1,1-，关于原点对称，且()()()e e e e e e e e ()cos cos sin 2222x x x x x x x xf x x x x x f x -----+-+-=-+-=--=-，所以()f x 为定义在[]1,1-上的奇函数，因为()e e e e e e e e ()cos sin sin cos e e cos 2222x x x x x x x xx x f x x x x x x ------+-+'=-++=+，若[]1,1x ∈-，则e 0,e cos 00,x x x ->>>，可得()()e e cos 0x xf x x -'=+>，可知()f x 在[]1,1-内单调递增，对于不等式(sin )(cos )0f x f x +>，则(sin )(cos )(cos )f x f x f x >-=-，且[][]sin 1,1,cos 1,1x x ∈--∈-，可得sin cos x x >-，整理得πsin cos 04x x x ⎛⎫+=+> ⎪⎝⎭，令π2π2ππ,4k x k k <+<+∈Z ，解得π3π2π2π,44k x k k -<<+∈Z ，所以不等式(sin )(cos )0f x f x +>的解集是π3π|2π2π,44x k x k k ⎧⎫-<<+∈⎨⎬⎩⎭Z .故答案为：π3π|2π2π,44x k x k k ⎧⎫-<<+∈⎨⎬⎩⎭Z .四、解答题（共77分）15.已知函数()ln 1f x x ax =++.（1）当1a =-时，求()f x 的最大值.（2）讨论函数()f x 的单调性.【答案】（1）0（2）答案见解析【解析】【分析】（1）利用导数求解函数最值即可.（2）含参讨论函数单调性即可.【小问1详解】当1a =-时，()ln 1f x x x =-+，由0x >，所以()111x f x x x-=-='，当01x <<时，()0f x '>，所以函数()f x 在()0,1上单调递增；当1x >时，()0f x '<，所以函数()f x 在()1,∞+上单调递减；故()()max 1ln1110f x f ==-+=；【小问2详解】定义域为(0,)+∞，()1f x a x'=+，当0a ≥时，()10f x a x+'=>，()f x 在(0,)+∞上递增；当a<0时，令()10f x a x +'=>，解得10,x a ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，令()10f x a x +'=<，解得1,x a ∞⎛⎫∈-+ ⎪⎝⎭.于是()f x 在10,a ⎛⎫-⎪⎝⎭上单调递增；在1,a ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭上单调递减.16.如图，在底面为菱形的直四棱柱1111ABCD A B C D -中，12π,23BAD AA AB ∠===，,,E F G 分别是111,,BB CC DD 的中点．（1）求证：1A E GC ∥；（2）求平面1A EF 与平面ABCD 所成夹角的大小．【答案】（1）证明见解析（2）π6【解析】【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用向量的坐标运算即可求解，（2）根据法向量的夹角即可求解.【小问1详解】取BC 中点H ，连接AH因为底面ABCD 为菱形，2π3BAD ∠=，所以AH AD ⊥以A 为原点，1,,AH AD AA 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则()()()10,0,2,3,1,1,0,2,1A E G -，()()3,1,0,3,1,1C F ))13,1,1,3,1,1A E GC =--=-- 1A E GC∴ ∥1A E GC∴∥【小问2详解】设平面1A EF 的法向量为(),,n x y z =又()0,2,0EF = 所以100n A E n EF ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ 即3020y z y --==⎪⎩取1x =，则0,3y z ==(3n = ()10,0,2AA = 为平面ABCD 的法向量，设平面1A EF 与平面ABCD 的夹角为θ，则11233cos 222AA n AA nθ⋅===⨯ π6θ∴=∴平面1A EF 与平面ABCD 的夹角为π617.已知数列{}n a 的前n 项和n S 满足()1122n n S n +=-+．（1）求{}n a 的通项公式；（2）求数列12·1n n a n ++⎧⎫⎨⎬+⎩⎭的前n 项和n T ．【答案】（1）2nn a n =⨯（2）()2124n n T n +=+⨯-【解析】【分析】（1）由已知结合数列的和与项的递推关系即可求解；（2）先求数列121n n a n ++⎧⎫⎨⎬+⎩⎭的通项公式，然后利用错位相减求和即可求解．【小问1详解】当1n =时，112a S ==，当2n ≥时，由()1122n n S n +=-+，得()1222n n S n -=-+，则()()1112222n n n n n n a S S n n n +-=-=---=⨯，因为11212a ==⨯，所以2n n a n =⨯；【小问2详解】由（1）可知，()112·221n n n a n n +++=+⨯+，则()234132425222n n T n +=⨯+⨯+⨯+⋯++⨯，则()3452232425222n n T n +=⨯+⨯+⨯+⋯++⨯，则()234123222222n n n T n ++-=⨯+++⋯+-+⨯()()12812122212n n n -+-=+-+⨯-()22122822n n n ++=+--+⨯()2412n n +=-+⨯，所以()2124n n T n +=+⨯-．18.在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆2222:1x y C a b +=（0a b >>过点(2,1)P，且离心率2e =．（1）求椭圆C 的方程；（2）直线l 的斜率为12，直线l 与椭圆C 交于A 、B 两点，求PAB 的面积的最大值．【答案】（1）22182x y +=（2）2【解析】【分析】（1）利用222c e a =，可得22234a b a -=，再将点P 坐标代入方程，解方程组求得,a b 从而可得椭圆的方程；（2）设直线l 的方程为1,2y x m =+，代入椭圆方程中整理得222240x mx m ++-=，借助根的判别式可得||2m <，结合根与系数的关系可得AB ==直线的距离公式可求出点P 到直线的距离d ，再利用三角形面积公式1||2PAB S d AB =⋅ 和基本不等式进行求解，即可解决问题.【小问1详解】因为22222234c a b e a a -===，所以224a b =，①因为椭圆C 过点(2,1)P ，所以22411a b +=，②由①②解得228,2a b ==，所以椭圆的方程为22182x y +=．【小问2详解】设直线l 的方程为()()11221,,,,2y x m A x y B x y =+，联立2212182y x m x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，得222240x mx m ++-=，所以212122,24x x m x x m +=-=-，又直线l 与椭圆相交，所以2248160m m =-+> ，解得||2m <，则AB ==P 到直线l的距离d ==，所以221142222PAB m m S d AB +-=⋅==≤= ，当且仅当22m =，即m =时，PAB 的面积取得最大值为2．19.已知函数()2e e x x f x a x =-+，其中0a >.（1）当1a =时，求函数()f x 在0x =处的切线方程；（2）讨论函数()f x 的极值点的个数；（3）若对任意的0a >，关于x 的方程()f x m =仅有一个实数根，求实数m 的取值范围.【答案】（1）20x y -=（2）见解析（3）3ln 2,2⎡⎫-++∞⎪⎢⎣⎭【解析】【分析】（1）求导得斜率，再利用点斜式求直线方程；（2）求导，讨论判别式与0的关系得单调性即可求解极值点个数；（3）构造新函数()2ee x x g x a x m =-+-，判单调性，得到()()120,ln 2,ln 2,x x ∞∈∈+，结合()10g x <或()20g x >即可求解.【小问1详解】当1a =时，()()22e e ,2e e 1x x x x f x x f x '=-+=-+，()02f '=，()00f =，所以函数()f x 在0x =处的切线方程为()020y x -=-，即20x y -=.【小问2详解】()22e e 1x x f x a '=-+，令()0,e x f x t ='=，得2210at t -+=，则18a ∆=-.当18a ≥时，0∆≤，此时()0f x '≥，故函数()f x 在(),∞∞-+上单调递增，没有极值点；当108a <<时，0∆>，令()0f x '=，则1e 4x a =，则1211ln ln 44x x a a-+==，则当()1,x x ∞∈-时，()0f x '>，当()12,x x x ∈时，()0f x '<，当()2,x x ∞∈+时，()0f x '>，则()f x 在()()12,,,x x ∞∞-+单调递增，在()12,x x 单调递减，此时函数()f x 有两个极值点.综上所述，当18a ≥时，函数()f x 没有极值点；当108a <<时，函数()f x 有两个极值点.【小问3详解】依题意，2e e x x a x m -+=，记()2e e x x g x a x m =-+-，()()g x f x '='.（i ）由（2）知当18a ≥时，()0g x '≥，则函数()g x 在(),∞∞-+上单调递增；可知当x →-∞时，()g x ∞→-，当x →+∞时，()g x ∞→+，故当18a ≥时，函数()g x 恰有一个零点，方程()f x m =仅有一个实数根，此时R m ∈.（ii ）当108a <<时，()g x 在()1,x ∞-上单调递增，在()12,x x 上单调递减，在()2,x ∞+单调递增，()()112222122e e 12e e 10x x x x g x a g x a ''=-+==-+=，则121222e 1e 12e 2ex x x x a --==，所以()()1112111e 1ee 22x x x g x g x a x m x m ==-+-=-+--极大值，()()2222222e 1e e 22x x x g x g x a x m x m ==-+-=-+--极小值，因为当(),x g x ∞∞→-→-，当(),x g x ∞∞→+→+，故只需()10g x <或()20g x >，令()e 122x h x x =-+-，则()e 12xh x '=-+，故当(),ln 2x ∞∈-时，()0h x '>，当()ln 2,x ∞∈+时，()0h x '<，则()h x 在(),ln 2∞-单调递增，在()ln 2,∞+单调递减；又121ln ln ln4x x a -===又108a <<，故()0,1，则()()120,ln 2,ln 2,x x ∞∈∈+，所以()()12331,ln 2,,ln 222h x h x ∞⎛⎫⎛⎫∈--+∈--+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故3ln 22m ≥-+.综上所述，实数m 的取值范围为3ln 2,2∞⎡⎫-++⎪⎢⎣⎭.【点睛】关键点点睛：本题考查函数极值点及零点个数问题，解决问题关键是利用第二问单调性解决第三问零点问题，并利用构造函数法求函数值域。

2023北京通州运河中学高二3月月考数 学3.24一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分）1. 函数()2f x x =在区间[]0,2上的平均变化率等于（ ）A. 12B. 1C. 2D.322. 设函数()2f x x x =+，则()()22lim x f x f x∆→+∆−=∆（ ）A. 5B. 5−C. 2D. 2−3. 函数3x y =在2x =处的导数为（ ） A. 9 B. 6 C. 9ln 3D. 6ln 34. 若函数()sin cos f x x x =+，则()4f π'=（ ）C. 1D. 05. 若函数()()3213f x x f x '=−+，则()1f '=（ ）A. 1B. 2C. 3D. 46. 曲线2e x y =在0x =处的切线斜率是（ ） A. 1− B. 1C. 2D. e7. 已知()ln xf x x=，下列说法正确的是（ ） A. ()f x 无零点 B. 单调递增区间为(),e −∞C. ()f x 的极大值为1eD. ()f x 的极小值点为e x =8. 若函数2()x f x x e a =−恰有3个零点，则实数a 的取值范围是 A. 24(,)e +∞ B. 24(0,)eC. 2(0,4)eD. (0,)+∞9. 已知定义在R 上的奇函数()f x 的部分图象如图所示，()f x '是()f x 的导函数，则（ ）A. ()21f =−B. ()()124f f ⋅<C. ()()120f f ''<⋅D. 方程()0f x '=无解10. 若函数()y f x =满足()()xf x f x '>−在R 上恒成立，且a b >，则（ ） A. ()()af b bf a > B. ()()af a bf b > C. ()()af a bf b <D. ()()af b bf a <二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分）11. 一个物体的运动方程是()23s t t =+，则物体在2t =时的瞬时速度为_______12. 如图，函数()y f x =的图象在点P 处的切线方程是5y x =−+，则()()3'3f f +=__________．13. 已知函数f (x )=ax 3+3x 2-6ax +b 在x =2处取得极值9，则a +2b =___________.14. 已知函数()()1ln 0f x x a x a =−−>在()0+∞，内有且只有一个零点，则()f x 在21e ⎡⎤⎣⎦，上的最大值与最小值的和为_____.15. 已知函数()321ln 2=−+−f x ax x x x x 存在两个极值点，则实数a 的取值范围是______． 三、解答题（本大题共6小题，共85分）16. 已知函数()33f x x x =−.（1）求曲线()f x 在0x =处的切线方程； （2）求函数()f x 的单调区间与极值.17. 已知函数2 ()ln f x x a x =+的极值点为2 ． （1）求实数a 的值； （2）求函数()f x 的极值；（3）求函数 ()f x 在区间1,e e⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最值． 18. 已知三次函数()32f x ax bx cx =++的极大值是20，其导函数()y f x '=的图象经过点()2,0，()4,0.如图所示.（1）求()f x 的单调区间； （2）求a ，b ，c 的值；（3）若函数()y f x m =−有三个零点，求m 的取值范围.19. 已知函数()21ex ax f x =−，R a ∈.（1）若曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线平行于直线y x =，求该切线方程 （2）若1a =，求证：当0x >时，()0f x >； （3）若()f x 的极小值为3−，求a 的值. 20. 已知函数()(1)ln f x x x ax a =+−+.（1）若曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线倾斜角为4π，求a 的值； （2）若()f x 在(0,)+∞上单调递增，求a 的最大值； （3）请直接写出()f x 的零点个数. 21. 已知()()ln 1f x x ax a =−+∈R ． （1）讨论()f x 的单调性； （2）若()212f x ax x ≤−对()0,x ∞∈+恒成立，求整数a 的最小值．参考答案一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分）1. 【答案】C 【解析】【分析】根据平均变化率公式计算可得；【详解】解：因为()()204y f f ∆=−=，202x ∆=−=， 所以()()20220f f y x −∆==∆−，即函数()2f x x =在区间[]0,2上的平均变化率为2； 故选：C 2. 【答案】A 【解析】【分析】根据瞬时变化率的求解方法即可求解. 【详解】()()()()220222222lim limlim 55x x x f x f x x x xx∆→∆→∆→+∆−+∆++∆−−==∆+=∆∆故选：A 3. 【答案】C 【解析】【分析】根据初等函数导数公式直接计算可得结果. 【详解】()33ln 3x x y ''==，∴所求导数为9ln 3.故选：C. 4. 【答案】D 【解析】【分析】求导后代入4x π=求解即可【详解】由题意，()cos sin f x x x '=−，故cos sin 0444f πππ⎛⎫'=−= ⎪⎝⎭故选：D 5. 【答案】A 【解析】 【分析】利用导数的运算法则以及基本初等函数的导数即可求解. 【详解】由函数()()3213f x x f x '=−+，则()()2321f x x f x ''=−，()()1321f f ''∴=−，所以()11f '=.故选：A【点睛】本题主要考查导数的运算法则以及基本初等函数的导数，需熟记导数公式与运算法则，属于基础题.6. 【答案】C 【解析】【分析】求得22e x y '=，得到0|2x y ='=，即可求得切线的斜率，得到答案.【详解】因为函数2e x y =，可得22e x y '=，所以00|2e 2x y ='==，即切线的斜率2k =. 故选：C. 7. 【答案】C 【解析】【分析】由()f x 的定义域为()0,∞+，可判定B 不正确；求得()21ln xf x x−'=，得到函数()f x 的单调性和极值的概念，可判定C 正确，D 不正确；结合单调性和()10f =，可判定A 不正确. 【详解】由函数()ln xf x x=，可得定义域为()0,x ∈+∞，所以B 不正确； 又由()21ln xf x x−'=，令()0f x '=，解得e x =， 当(0,e)x ∈时，0fx，()f x 单调递增；当(e,)x ∈+∞时，()0f x '<，(f 单调递减，所以当e x =时，函数()f x 取得极大值，极大值为()1e ef =，无极小值， 所以C 正确，D 不正确；当(0,1)x ∈时，()0f x <；当1x =时，()10f =；当1x >时，()0f x >， 所以函数()f x 在定义域内有一个零点，所以A 不正确. 故选：C. 8. 【答案】B 【解析】【分析】求导函数，求出函数的极值，利用函数2()x f x x e a =−恰有三个零点，即可求实数a 的取值范围. 【详解】函数2x y x e =的导数为2'2(2)xxxy xe x e xe x =+=+， 令'0y =，则0x =或2−，20x −<<上单调递减，(,2),(0,)−∞−+∞上单调递增，所以0或2−是函数y 的极值点，函数的极值为：224(0)0,(2)4f f ee −=−==， 函数2()x f x x e a =−恰有三个零点，则实数的取值范围是：24(0,)e . 故选B.【点睛】该题考查的是有关结合函数零点个数，来确定参数的取值范围的问题，在解题的过程中，注意应用导数研究函数图象的走向，利用数形结合思想，转化为函数图象间交点个数的问题，难度不大. 9. 【答案】C 【解析】【分析】利用奇函数的性质并结合图象可判断AB 选项的正误，分析出()f x '为偶函数，结合图象可判断CD 选项的正误.【详解】对于A 选项，由于函数()f x 为奇函数，则()()222f f =−−<−，A 选项错误； 对于B 选项，()12f −=，()22f −>，则()()()()41122f f f f ⋅=−⋅−>，B 选项错误； 对于C 选项，()()f x f x −=−，等式两边求导得()()f x f x ''−−=−，即()()f x f x ''−=，故函数()f x '为偶函数，由图可知，()20f '−>，()10f '−<， 故()()()()02112f f f f '''⋅=−−'⋅<，C 选项正确；对于D 选项，当0x <时，由图可知，方程()0f x '=有解，D 选项错误. 故选：C.【点睛】关键点点睛：本题考查利用函数图象判断命题的正误，涉及函数奇偶性的应用，解题的关键要充分结合图象并分析出函数()f x '为偶函数，由此结合函数图象求解. 10. 【答案】B 【解析】【分析】构造函数()()g x xf x =，根据导数确定函数单调性，进而判断各选项. 【详解】由()()xf x f x '>−， 设()()g x xf x =，则()()()0g xxf x f x ''=+>，所以()g x 在R 上是增函数，又a b >，所以()()g a g b >，即()()af a bf b >， 故选：B.二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分）11. 【答案】4 【解析】【分析】根据瞬时速度的概念求极限即可. 【详解】由条件可得：()()()0022lim lim 44t t s t s t t∆→∆→+∆−=+∆=∆，故答案为：4 12. 【答案】1 【解析】【详解】由图可知()()()()32,'31,3'31f f f f ==−∴+= . 13. 【答案】-24 【解析】【分析】根据(2)0f '=和(2)9f =列式可解得结果. 【详解】f ′(x )=3ax 2+6x -6a ， 因为f (x )在x =2处取得极值9，所以(2)0(2)9f f =⎧⎨='⎩，即121260812129a a a a b +−=⎧⎨+−+=⎩，解得211a b =−⎧⎨=−⎩，所以222224a b +=−−=−， 故答案为：-24 14. 【答案】2e 3− 【解析】【分析】先由“有且只有一个零点”求出实数a 的值，再求最值即可. 【详解】由()1ln f x x a x =−−，可得()1af x x'=−. 当0x a <<时，()0f x '<，()f x 单调递减； 当x a >时，()0f x '>，()f x 单调递增，又0x →时,()f x →+∞,x →+∞时,()f x →+∞,要使()f x 在()0+∞，内有且只有一个零点，则()1ln 0f a a a a =−−=. 设()1ln g x x x x =−−，则()ln g x x '=−， 当01x <<时，()0g x '>，()g x 单调递增； 当1x >时，()0g x '<，()g x 单调递减，所以当且仅当1x =时，()g x 取得最大值为(1)0g =. 所以()1ln 0f a a a a =−−=有唯一解1a =.所以()1ln =−−f x x x 在21e ⎡⎤⎣⎦，上单调递增.所以()f x 在21e ⎡⎤⎣⎦，上的最大值与最小值的和为22(e )(1)e 3f f +=−.故答案为2e 3−.【点睛】本题考查利用导数研究函数的零点、最值.一般先通过导数讨论函数的单调性和极值，判断函数图象的大致走向，从而对函数零点、最值和方程的根的情况等作出判断. 15. 【答案】10,3⎛⎫ ⎪⎝⎭【解析】【分析】根据极值点的定义，将极值问题转化为导函数的零点问题，然后利用分离参数法即可求解．【详解】由题意得()23ln ax x f x x '=−−，因为函数()f x 有两个极值点，所以()f x '有两个正数零点．由()0f x '=得23ln ax x x =+，即2ln 3x x a x +=，令()2ln x x g x x +=，则()312ln x xg x x −+−'=，易知函数12ln y x x =−+−是减函数，且当1x =时，0y =，所以当01x <<时，()0g x '>，()g x 单调递增；当1x >时，()0g x '<，()g x 单调递减．故()()max 11g x g ==，又当10x e<<时，()0g x <，当1x >时，()0g x >，所以要使()f x '有两个零点，需031a <<，即103a <<． 故答案为：10,3⎛⎫ ⎪⎝⎭三、解答题（本大题共6小题，共85分）16. 【答案】（1）3y x =−；（2）增区间(),1−∞−，()1,+∞，减区间()1,1−，函数()y f x =的极大值为2，极小值为2−.【解析】 【分析】（1）求出()0f 和()0f '的值，利用点斜式可得出所求切线的方程；（2）求出函数()y f x =的极值点，列表分析函数()y f x =的单调性以及导数符号的变化，即可得出函数()y f x =的单调区间和极值. 【详解】（1）()33=−f x x x ，()233'∴=−f x x ，则()00f =，()03f '=−.因此，曲线()y f x =在0x =处的切线方程为3y x =−； （2）令()2330f x x '=−=，得1x =±，列表如下：所以，函数()y f x =的增区间为(),1−∞−，()1,+∞，减区间()1,1−， 极大值为()12f −=，极小值为12f .【点睛】本题考查利用导数求函数的切线方程，同时也考查了利用导数求函数的单调区间和极值，考查计算能力，属于基础题.17. 【答案】（1）8−；（2）极小值为 (2)482f ln =−；（3）218e+ 【解析】【详解】分析: （1）直接根据(2)0f '=求出a 的值.(2)利用导数求函数()f x 的极值.(3)先求函数的单调性，再根据单调性求函数()f x 在区间1,e e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最值．详解：（1）∵()2ln f x x a x =+,0x >∴()2a f x x x='+又函数()f x 的极值点为2， ∴()22202af =⨯+='， 解得8a =−．经验证得8a =−符合题意， ∴8a =−.（2）由（1）得()28ln f x x x =+.∴()()22282x x f x x x x+−=−='， 当02x <<时，()0f x '<，()f x 单调递减，当2x >时，()0f x '>，()f x 单调递增.∴当2x =时，()f x 有极小值，且极小值为()2482f ln =−（3）由（2）得()f x 在1,2e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭当单调递减，在(]2,e 上单调递增，∴()()min 2482f x f ln ==−， ∵2118f e e ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，()218f e e f e ⎛⎫=−< ⎪⎝⎭， ∴()2max 118f x f e e ⎛⎫==+ ⎪⎝⎭． 点睛：（1）本题意在考查利用导数求极值、最值等知识，意在考查学生对这些基础知识的掌握能力及数形结合分析能力. (2)()f x 在1,2e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭当单调递减，在(]2,e 上单调递增，函数的最大值在端点取得，所以要比较1f e ⎛⎫ ⎪⎝⎭和()f e 的大小，这个不能看距离极小值点的远近，因为它不是抛物线. 18. 【答案】（1）()f x 单调递减区间是()2,4；()f x 单调递增是(),2−∞和()4,+∞. （2）1,9,24a b c ==−= （3）()16,20m ∈ 【解析】【分析】(1)通过导函数的图象与原函数单调性的联系可得结果； (2)由导函数零点与原函数极值点可建立方程组，从而解得a ，b ，c 的值；(3)由图象可知函数的单调性及极值，函数()y f x m =−有三个零点等价于y m =与()y f x =有三个交点，继而可得m 的取值范围. 【小问1详解】根据图象可知()2,4x ∈时，()0f x '<，即()f x 单调递减；(),2x ∈−∞和()4,+∞时，0f x，即 ()f x 单调递增；故答案为：()f x 单调递减区间是()2,4；()f x 单调递增是(),2−∞和()4,+∞. 【小问2详解】由已知可得：()232,f x ax bx c '=++2x =和4x =是()0f x '=的两个根，由（1）可得()f x 的极大值在2x =处取得，故()2243243284220b ac a f a b c ⎧+=−⎪⎪⎪⨯=⎨⎪=++=⎪⎪⎩解得：1,9,24a b c ==−= 故答案为：1,9,24a b c ==−= 【小问3详解】由（2）知()32924f x x x x =−+，()f x 的极小值为：()416f =结合()f x 的单调性可作其草图，如下所示函数()y f x m =−有三个零点等价于y m =与()y f x =有三个交点，所以()16,20m ∈. 故答案为：()16,20m ∈19. 【答案】（1）1y x =+（2）证明见解析 （3）2e【解析】【分析】（1）由()11ea f '=−=，求得a e =−，得出切点为(1,2)，进而求得切线方程； （2）当1a =时，求得()(2)e x x x f x −'=，得出函数的单调性和最小值()24210e f =−>，即可得证； （3）求得()(2)e xax x f x −'=，当0a =时，显然不成立；再分0a >和a<0两种情况讨论，求得函数()f x 的单调性和极小值，列出方程，即可求解.【小问1详解】解：由函数()21ex ax f x =−，可得()(2)e x ax x f x −'=， 所以()11ea f '=−=，可得a e =−，所以()112e a f =−=，即切点为(1,2)， 所以切线方程为21y x −=−，即1y x =+.【小问2详解】解：当1a =时，()21ex x f x =−，可得()(2)e x x x f x −'=， 当()0,2x ∈时，()0f x '<，()f x 单调递减；当()2,x ∈+∞时，0f x ，()f x 单调递增，所以()f x 的最小值为()24210ef =−>， 所以当0x >时，()0f x >成立【小问3详解】解：对于函数()21,R ex ax f x a =−∈，可得()(2)e x ax x f x −'=， ①若0a =，可得()1f x =，此时函数()f x 无极值点，不符合题意（舍去）；令()0f x '=，解得0x =或2x =，②若0a >，则：当(),0x ∈−∞时，0f x ，()f x 单调递增；当()0,2x ∈时，()0f x '<，()f x 单调递减；当()2,x ∈+∞时，0f x ，()f x 单调递增，所以2x =时，函数()f x 取得极小值()2421e a f =−， 令2413ea −=−，解得2e a =. ③若a<0，则：当(),0x ∈−∞时，()0f x '<，()f x 单调递减；当()0,2x ∈时，0f x ，()f x 单调递增；当()2,x ∈+∞时，()0f x '<，()f x 单调递减，所以0x =时，函数()f x 取得极小值()013f =≠−，不符合题意（舍去）.综上可得，实数a 的值为2e .【点睛】方法技巧：解答有关函数的极值问题的方法与策略：1、求得函数的导数()f x '，不要忘记定义域，求得方程()0f x '=的根；2、判定()0f x '=的根的左右两侧()f x '的符号，确定函数的极值点或函数的极值；3、注意()0f x '=的根不是函数极值点的充要条件，利用待定系数法求解后必须验证根的合理性. 20. 【答案】（1）1a =；（2）2；（3）见解析.【解析】【分析】（1）求出(1)2f a '=−，再根据切线的倾斜角可得1a =.（2）根据函数为增函数可得()0f x '≥在(0,)+∞上恒成立，令()()g x f x '=，利用导数可求()min g x ，从而可得a 的最大值.（3）结合（2）的结果可得当2a ≤时()f x 的零点个数为1，而当2a >时()f x 的零点个数为3.【详解】（1）1()ln x f x x a x+'=+−，故(1)2f a '=−， 因为曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线倾斜角为4π，故(1)1f '=即21a −=，故1a =.（2）因为()f x 在(0,)+∞上单调递增，故()0f x '≥在(0,)+∞上恒成立， 故1ln 0x x a x++−≥在(0,)+∞上恒成立. 令()1ln ,0x g x x a x x +=+−>，则()21x g x x −'=， 当01x <<时，()0g x '<；当1x >时，()0g x '>，故()g x 在()0,1上为减函数，在()1,+∞上为增函数，故()()min 120g x g a ==−≥，故2a ≤，故a 的最大值2.（3）由（2）的讨论可知当2a ≤时，()f x 在(0,)+∞上单调递增，而(1)00f a a =−+=，故此时()f x 的零点个数为1.而当2a >时，()f x 的零点个数为3.【点睛】结论点睛：（1）函数在0x x =处的导数是函数图象在()()00,x f x 处切线的斜率；（2）若可导函数()f x 在(),a b 上为增函数，则()0f x '≥在(),a b 上恒成立. 21. 【答案】（1）分类讨论，答案见解析；（2）2【解析】【分析】（1）求导1()f x a x'=−0a ≤和0a >两种情况讨论. （2）把不等式分离参量得22(ln 1)2x x a x x ++≥+，求函数22(ln 1)()2x x F x x x ++=+的最大值，但是求导后求不出具体的根，所以设隐零点，整体代入求解.【小问1详解】()f x 的定义域为1(0,),()f x a x'+∞=−， （ⅰ）当0a ≤时，()0f x '>，∴()f x 在,()0x ∈+∞上单调递增；（ⅱ）当0a >时，令1()0100f x ax x a >⇒'−>⇒<<， 令()10f x x a'<⇒>， ∴当0a ≤时，()f x 在,()0x ∈+∞上单调递增；当0a >时，()f x 在10,x a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭上单调递增，在1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递减．【小问2详解】 由21()2f x ax x ≤−，可得：()222(ln 1)a x x x x +≥++， ∵0x >，∴原命题等价于22(ln 1)2x x a x x++≥+对,()0x ∈+∞恒成立． 令22(ln 1)()2x x F x x x ++=+，∴()222(1)(2ln )()2x x x F x x x +'−+=+， 令()2ln G x x x =+，∴2()10G x x'=+>，∴()G x 在,()0x ∈+∞上单调递增．又(0.5)2ln 20.5ln 4ln 0,(1)10G G =−+=−+<=>，故存在唯一的0(0.5,1)x ∈，使得()0002ln 0G x x x =+=．当00x x <<时，()0<G x ，∴()0F x '>，∴()F x 在()00,x x ∈上单调递增，当0x x >时，()0G x >，∴()0F x '<，∴()F x 在()0,x x ∈+∞上单调递减．∴()()()000max 02000002ln 121()22x x x F x F x x x x x x +++====++， ∴01a x ≥时，01,12x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭恒成立． ∴2a ≥，又a ∈Z ，∴a 的最小整数值为2．【点睛】求某个函数的单调性时，发现极值点不容易求出，则用隐零点解决. 第一步设出隐零点0x ，然后代入得到等式()00x ϕ=，第二步根据设出的隐零点得到函数的单调区间，求出函数的极值()0g x 第三步极值()0g x 分离出()0x ϕ代入，化简成新的表达式()0h x第四步求()0h x 的最值.。

2023-2024学年山西省晋中市平遥县高二下册3月月考数学试题一、单选题1．为响应国家“节约粮食”的号召，某同学决定在某食堂提供的2种主食、3种素菜、2种大荤、4种小荤中选取一种主食、一种素菜、一种荤菜作为今日伙食，并在用餐时积极践行“光盘行动”，则不同的选取方法有（）A ．48种B ．36种C ．24种D ．12种【正确答案】B利用分步计数原理，分3步即可求出【详解】解：由题意可知，分三步完成：第一步，从2种主食中任选一种有2种选法；第二步，从3种素菜中任选一种有3种选法；第三步，从6种荤菜中任选一种有6种选法，根据分步计数原理，共有23636⨯⨯=不同的选取方法，故选：B2．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若532a a =,则95S S =（）A ．910B ．1518C ．95D ．185【正确答案】D【分析】根据等差数列的前n 项和21(21)n n S n a -=-，将95S S 转化为5a 和3a 的算式即可得到所求．【详解】解：依题意，数列{}n a 为等差数列，所以19951553992552a a S a a a S a +⨯⨯==+⨯⨯，又因为532a a =，所以955399182555S a S a ⨯===⨯，故选D.等差数列的性质，等差数列的前n 项和，考查分析解决问题的能力和运算能力，属于基础题．3．北京2022年冬奥会吉祥物“冰墩墩”和冬残奥会吉祥物“雪容融”一亮相，好评不断，这是一次中国文化与奥林匹克精神的完美结合，是一次现代设计理念的传承与突破.为了宣传2022年北京冬奥会和冬残奥会，某学校决定派小明和小李等5名志愿者将两个吉祥物安装在学校的体育广场，若小明和小李必须安装同一个吉祥物，且每个吉祥物都至少由两名志愿者安装，则不同的安装方案种数为（）A ．8B ．10C ．12D ．14【正确答案】A【分析】分为三人组中包含小明和小李和不包含小明和小李两类，分别计算方案种数即可得结果.【详解】由题意可知应将志愿者分为三人组和两人组，当三人组中包含小明和小李时，安装方案有12326C A =种；当三人组中不包含小明和小李时，安装方案有222A =种，共计有628+=种，故选：A.4．设F 为抛物线C ：24y x =的焦点，点M 在C 上，点N 在准线l 上且MN 平行于x 轴，若NF MN =，则MF =（）A ．3B ．1C ．3D ．4【正确答案】D【分析】由抛物线方程可知焦点坐标及准线方程，设准线l 与x 轴交点为E ，画出图象，由抛物线定义及NF MN =可知MNF 是正三角形，结合平行关系可判断60EFN ∠=︒，利用直角三角形性质即可求解.【详解】由题可知，2p =，抛物线焦点F 为()1,0，准线l 为=1x -，设准线l 与x 轴的交点为E ，如图所示，由题知MN l ⊥，由抛物线的定义可知MN MF =，因为NF MN =，所以MNF 是正三角形，则在Rt NEF 中，因为MN EF ∥，所以60EFN MNF ∠=∠=︒，所以224MF NF EF p ====．故选：D5．三棱锥A BCD -中，AC ⊥平面BCD ，BD CD ⊥．若3AB =，1BD =，则该三棱锥体积的最大值为（）A ．2B ．43C ．1D ．23【正确答案】D【分析】先利用线面垂直的判定定理与性质定理依次证得BD ⊥平面ACD 、BD AD ⊥与AC CD ⊥，从而利用基本不等式求得2ACDS≤，进而得到23A BCDB ACD V V --=≤，由此得解.【详解】因为AC ⊥平面BCD ，BD ⊂平面BCD ，所以AC BD ⊥，又BD CD ⊥，AC CD C = ，,AC CD ⊂平面ACD ，所以BD ⊥平面ACD ，因为AD ⊂平面ACD ，所以BD AD ⊥，在Rt △ABD 中，3AB =，1BD =，则AD ==，因为AC ⊥平面BCD ，CD ⊂平面BCD ，所以AC CD ⊥，在Rt ACD △中，不妨设(),0,0AC a CD b a b ==>>，则由222AC CD AD +=得228a b +=，所以()221111222244ACDSAC CD ab ab a b =⋅==⨯≤+=，当且仅当a b =且228a b +=，即2a b ==时，等号成立，所以11221333A BCDB ACD ACDV V SBD --==⋅≤⨯⨯=，所以该三棱锥体积的最大值为23.故选：D..6．()62121ay x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭展开式中23x y -项的系数为160，则=a （）A ．2B ．4C ．2-D ．-【正确答案】C先求得()61ay +展开式中3y 的系数，可得()62121ay x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭展开式中23x y -的系数，从而得答案.【详解】二项式()61ay +展开式的通项为()6166C 1C rr rr r r r T ay a y -+=⨯=，令3r =可得二项式()61ay +展开式中3y 的系数为336C a ，∴()62121ay x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭展开式中23x y -的系数为()3361C 160a -=，可得38a =-，解得2a =-，故选：C ．7．甲、乙、丙、丁、戊5名党员参加“党史知识竞赛”，决出第一名到第五名的名次（无并列名次），已知甲排第三，乙不是第一，丙不是第五．据此推测5人的名次排列情况共有（）种A ．5B ．8C ．14D ．21【正确答案】C【分析】按乙排第五和不是第五分类讨论．【详解】乙排在第五的情况有：33A ，乙不在第五的方法有112222C C A ，共有3112322214A C C A +=，故选：C ．关键点点睛：本题考查排列组合的综合应用，解题关键是确定完成事件的方法：是先分类还是先分步：分类后每一类再分步．然后结合计数原理求解．8．设函数()f x ，()g x 在R 上的导函数存在，且()()f x g x ''<，则当(),x a b ∈时（）A ．()()f x g x <B ．()()f xg x >C ．()()()()f x g a g x f a +<+D ．()()()()f xg b g x f b +<+【正确答案】C【分析】对于AB ，利用特殊函数法，举反例即可排除；对于CD ，构造函数()()()h x f x g x =-，利用导数与函数单调性的关系证得()h x 在R 上单调递减，从而得以判断.【详解】对于AB ，不妨设()2f x x =-，()1g x =，则()2f x '=-，()0g x '=，满足题意，若()1,x a b =-∈，则()()21f x g x =>=，故A 错误，若()0,x a b =∈，则()()01f x g x =<=，故B 错误；对于CD ，因为()f x ，()g x 在R 上的导函数存在，且()()f x g x ''<，令()()()h x f x g x =-，则()()()0h x f x g x ''-'=<，所以()h x 在R 上单调递减，因为(),x a b ∈，即a x b <<，所以()()()h b h x h a <<，由()()h x h a <得()()()()f x g x f a g a -<-，则()()()()f x g a g x f a +<+，故C 正确；由()()h b h x <得()()()()f b g b f x g x -<-，则()()()()f x g b g x f b +>+，故D 错误.故选：C.二、多选题9．有3位男生和3位女生，要在某风景点前站成一排照合影，则下列说法正确的是（）A ．共有66A 种不同的排法B ．男生不在两端共有2424A A 种排法C ．男生甲、乙相邻共有2525A A 种排法D ．三位女生不相邻共有3333A A 种排法【正确答案】AC【分析】根据给定条件，利用无限制条件的排列判断A ；利用有位置条件的排列判断B ；利用相邻、不相邻问题的排列判断C ，D 作答.【详解】有3位男生和3位女生，要在某风景点前站成一排照合影，共有66A 种不同的排法，A 正确；男生不在两端，从3位女生中取2人站两端，再排余下4人，共有2434A A 种排法，B 不正确；男生甲、乙相邻，视甲乙为1人与其余4人全排列，再排甲乙，共有2525A A 种排法，C 正确；三位女生不相邻，先排3位男生，再在2个间隙及两端4个位置中插入3位女生，共有3334A A种排法，D 不正确.故选：AC 10．()20232202301220231ax a a x a x a x +=++++ ，若16069a =-，则下列结论正确的有（）A ．3a =B ．202301220232a a a a ++++=- C ．202312220231333a a a +++=- D ．()20231ax +的展开式中第1012项的系数最大【正确答案】BC【分析】利用二项式展开式的通项公式求解含x 项的系数，从而求解a ，即可判断选项A ，赋值法即可求解系数和问题，从而判断选项B 、C ，利用展开式系数符合规律判断选项D 【详解】对于A ，112023C 20236069a a a =⋅==-，可得3a =-，故A 错误；对于B ，因为()2023201213x a a x a x -=++20232023a x ++ ，令1x =，则()202320230122023132a a a a ++++=-=- ，故B 正确；对于C ，令0x =，则01a =，令13x =，则2023202312002202311313333a a a a a ⎛⎫+++=-⨯-=-=- ⎪⎝⎭ ，故C 正确；对于D ，由展开式知，20n a >，210n a -<，故第1012项的系数10110a <，不会是展开式中系数最大的项，故D 错误.故选：BC11．对于三次函数()()320ax bx d a f x cx =+++≠，给出定义：设()f x '是函数()y f x =的导数，()f x ''是函数()f x '的导数，若方程()0f x ''=有实数解0x ，则称()()00,x f x 为函数()y f x =的“拐点”．某同学经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心．若函数()()3211R 32f x x x x b b =-++∈，则（）A ．()f x 一定有两个极值点B ．函数()y f x =在R 上单调递增C ．过点()0,b 可以作曲线()y f x =的2条切线D ．当712b =时，123202220222023202320232023f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭【正确答案】BCD【分析】对()f x 求导，得出()0f x ¢>，没有极值点，可判断A ，B ；由导数的几何意义求过点()0,b 的切线方程条数可判断C ；求出三次函数()f x 的对称中心，由于函数的对称中心为1,12⎛⎫⎪⎝⎭，可得()()12f x f x +-=，由倒序相加法求出所给的式子的值，可判断D.【详解】由题意知()21f x x x '=-+，1430∆=-=-<，()0f x ¢>恒成立，所以()f x 在R 上单调递增，没有极值点，A 错误，B 正确；设切点为3211,32m m m m b ⎛⎫-++ ⎪⎝⎭，则()21k f m m m '==-+，切线方程为()()32211132y m m m b m m x m ⎛⎫--++=-+- ⎪⎝⎭，代入点()0,b 得32321132m m m m m m -+-=-+-，即322132m m =，解得0m =或34m =，所以切线方程为y x b =+或1316y x b =+，C 正确；易知()21f x x ''=-，令()0f x ''=，则12x =．当712b =时，102f ⎛⎫= ⎪⎝⎭''，112f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，所以点1,12⎛⎫⎪⎝⎭是()f x 的对称中心，所以有11222f x f x ⎛⎫⎛⎫-++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即()()12f x f x +-=．令123202320232023S f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 20222023⎛⎫ ⎪⎝⎭，又20222021202012023202320232023S f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以12022220232023S f f ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦22021202212022240442023202320232023f f f f ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++++=⨯= ⎪ ⎪⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦ ，所以2022S =，D 正确．故选：BCD.12．已知椭圆C ：22143x y +=的左、右焦点分别为1F ，2F ，上顶点为B ，直线l ：()0y kx k =≠与椭圆C 交于M ，N 两点，12F MF ∠的角平分线与x 轴相交于点E ，与y 轴相交于点()0,G m ，则（）A ．四边形12MF NF 的周长为8B ．1114MF NF +的最小值为9C ．直线BM ，BN 的斜率之积为34-D ．当12m =-时，12:2:1F E F E =【正确答案】AC【分析】对A 选项，由椭圆的定义知，四边形12MF NF 的周长为4a 即可求解；对B 选项，由直线()0y kx k =≠与椭圆相交的对称性知：12NF MF =，11121414MF NF MF MF ∴+=+，借助基本不等式可得1114MF NF +的最小值；对C 选项，设()11,M x y ，则()11,N x y --，由点()11,M x y 在椭圆上，即可化得BM BN k k ⋅的值；对D 选项，设出()()11,0t E t -<<，由条件推出()121MF t =+，()221MF t =-，又在椭圆C 中，由其第二定义1MF e =得()1112212MF x t =+=+，从而得到M ，E ，G 三点坐标，再根据其三点共线，化简求解即可．【详解】对A 选项，由椭圆的定义知，四边形12MF NF 的周长为2248a a a +==，A 正确；对B 选项，1112141414MF NF MF MF +=+=()21121212414191444MF MF MF MF MF MF MF MF ⎛⎫⎛⎫++=+++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭≥，当且仅当1248,33MF MF ==时等号成立，故B 错误；对C 选项，设()11,M x y ，则()11,N x y --，又(B，所以211121113BM BNy y y k k x x x --⋅=⋅=-．因为点()11,M x y 在椭圆上，所以2211143x y +=，即()222111441333y x y ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，所以2121334BM BNy k k x -⋅==-，C 正确；对D 选项，设()()11,0t E t -<<，则12F E F E 1211MF t t MF +==-，124MF MF +=所以()121MF t =+，()221MF t =-，在椭圆C ：22143x y +=中，由其第二定义1MF e d =（d 指的是椭圆上的点到相应的准线的距离）得221111()()22M a a MF de x e x e x c c ==+⋅=+⋅=+，12MF ∴=+()11212x t =+，所以14x t =，故()14,M t y ，(),0E t ，10,2⎛⎫- ⎪⎝⎭G ，因为三点共线，所以1123y t t =，解得132y =，则29164143t +=，解得14t =±，当14t =时，1211541314F E F E +==-，当14t =-时，1211341514F E F E -==+，故D 错误．故选：AC方法点睛：直线与圆锥曲线位置关系的题目，往往需要联立两者方程，利用韦达定理解决相应关系，其中的计算量往往较大，需要反复练习加以强化.三、填空题....道上有编号1，2，.3，....10的十盏路灯，为节省用电又能看清路面，可以把其中的三盏路灯关掉，但不能同时关掉相邻的两盏或三盏，在两端的灯都不能关掉的情况下，满足条件的关灯方法有__________种.【正确答案】20【分析】采用插空法即可求解.【详解】10只灯关掉3只，实际上还亮7只灯，而又要求不关掉两端的灯和相邻的灯，此题可以转化为在7只亮着的路灯之间的6个空挡中放入3只熄灭的灯，有36C 20=种方法，故答案为.2014．我国古代《九章算术》将底面为矩形的棱台称为刍童.若一刍童为正棱台，其上、下底1，则该刍童的外接球的表面积为______.【正确答案】20π【分析】根据题意，作出图形，设该刍童外接球的球心为O ，半径为R ，分两种情况讨论，分别根据条件列出方程组，即可求出外接球半径，代入球的表面积公式计算即可求解．【详解】设该刍童外接球的球心为O ，半径为R ，上底面中心为1O ，下底面中心为2O ，则由题意，121O O =，22AO =，111A O =，1R OA OA ==．如图，当O 在12O O 的延长线上时，设2OO h =，则在2AOO 中，22R 4h =+①，在11A OO 中，()22R 11h =++②，联立①②得1h =，2R 5=，所以刍童外接球的表面积为20π，同理，当O 在线段12O O 上时，设1OO h =，则有22R 1h =+，()22R 14h =-+，解得2h =，不满足题意，舍去．综上所述，该刍童外接球的表面积为20π．故20π．15．两名学生一起去一家单位应聘，面试前单位负责人对他们说：“我们要从面试的人中招聘3人，你们俩同时被招聘进来的概率是170．”若每个参加面试的人被招聘的可能性相同，则根据这位负责人的话，可以推断出参加面试的人数为______．【正确答案】21【分析】利用古典概型的概率公式求解.【详解】设参加面试的人数为n ，依题意有()()()()2122362C C 61C 12170n nn n n n n n --===---，即()()242020210n n n n --=+-=，解得21n =或20n -（舍去）．16．南宋数学家杨辉善于把已知形状、大小的几何图形的求面积、体积的连续量问题转化为求离散量的垛积问题，在他的专著《详解九章算法·商功》中给出了著名的三角垛公式()()()()()1112123123126n n n n ++++++⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅+=++，则数列{}22n n +的前n 项和为____________．【正确答案】()()1121226n n n n ++++-【分析】由三角垛公式可知数列()12n n +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为()()1126n n n ++，根据()212222n n n n n n ++=⨯-+，采用分组求和法，结合等差、等比求和公式可求得结果.【详解】()11232n n n ++++⋅⋅⋅+=，∴数列()12n n +⎧⎫⎨⎩⎭的前n 项和为()()1126n n n ++，()212222n n n n n n ++=⨯-+ ，∴数列{}22n n +的前n 项和()()()1211223212222222n n n n S n +⎛⎫⨯⨯=⨯++⋅⋅⋅+-++⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅+ ⎪⎝⎭()()()()()()121211211122232126n n n n n n n n n n +-+++=++-+=+--.故答案为.()()1121226n n n n ++++-关键点点睛：本题考查数列中的分组求和法的应用，解题关键是能够将所求数列的通项进行变型，从而与已知的三角垛公式联系起来，利用所给的三角垛公式来进行求和.四、解答题17．现有一些小球和盒子，完成下面的问题．(1)4个不同的小球放入编号为1，2，3，4的4个盒子中（允许有空盒子），一共有多少种不同的放法？(2)4个不同的小球放入编号为1，2，3，4的4个盒子中，恰有1个空盒的放法共有多少种？【正确答案】(1)256；【分析】（1）根据题意分析将4个不同的小球放入编号为1，2，3，4的4个盒子中，每个小球有4种放法，由分步计数原理计算即可得出答案；（2）根据题意，分两步进行，①将4个小球分为3组，②在4个盒子中任选3个，放入三组小球，根据分步计数原理计算即可得出答案；【详解】（1）4个不同的小球放入编号为1，2，3，4的4个盒子中，每个小球有4种放法，则4个小球有4444256⨯⨯⨯=种不同的放法；（2）①将4个小球分为3组，有24C 6=种分组方法，②在4个盒子中任选3个，放入三组小球，有3343C A 24=种情况，则624144⨯=种不同的放法．18．如图，四边形ABCD 是圆柱底面的内接四边形，AC 是圆柱的底面直径，PC 是圆柱的母线，E 是AC 与BD 的交点，AB AD =，60BAD ∠=︒．(1)记圆柱的体积为1V ，四棱锥P ABCD -的体积为2V ，求12V V ；(2)设点F 在线段AP 上，4,4PA PF PC CE ==，求二面角F CD P --的余弦值．【正确答案】【分析】（1）利用平面几何的知识推得AC BD ⊥，进而得到BD =与4AC EC =，从而利用柱体与锥体的体积公式求得12,V V 关于,EC PC 的表达式，由此得解；（2）根据题意建立空间直角坐标系，设1CE = ，结合（1）中结论与（2）中所给条件得到所需向量的坐标表示，从而求得平面FCD 与平面PCD 的法向量n 与m ，由此利用空间向量夹角余弦的坐标表示即可得解.【详解】（1）因为ABD ∠与ACD ∠是底面圆弧AD 所对的圆周角，所以ABD ACD ∠=∠，因为AB AD =，所以在等腰ABD △中，ABD ADE ∠=∠，所以ADE ACD ∠=∠，因为AC 是圆柱的底面直径，所以90ADC ∠=︒，则90CAD ACD ∠+∠=︒，所以90CAD ADE ∠+∠=︒，则90AED ∠=︒，即AC BD ⊥，所以在等腰ABD △，BE DE =，AC 平分BAD ∠，则1302CAD BAD ∠=∠=︒，所以60ADE ∠=︒，则30∠=︒CDE ，故在Rt CED 中，2CD EC =，DE ，则2BD DE ==，在Rt ACD △中，24AC CD EC ==，因为PC 是圆柱的母线，所以PC ⊥面ABCD ，所以()22211ππ24π2V AC CP EC PC EC PC ⎛⎫=⋅⋅=⋅⋅=⋅⋅ ⎪⎝⎭，2211143263V AC BD PC EC PC EC PC =⨯⋅⋅=⨯⨯⋅=⋅，所以12V V =．（2）以C 为坐标原点，CA 的方向为x 轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系C xyz -，不妨设1CE = ，则44AC EC ==，DE =44PC CE ==，则()()()()0,0,0,4,0,0,1,,0,0,4C A D P ，所以()CD = ，()0,0,4CP = ，()4,0,4PA =- ，因为4PA PF =，所以()11,0,14PF PA ==- ，则()()01,0,1(1,0,3,0,4)CF CP PF ==+=-+ ，设平面FCD 的法向量(,,)n x y z = ，则00n CF n CD ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即300x z x +=⎧⎪⎨=⎪⎩，令3x =-，则1y z ==，故(n =- ，设平面PCD 的法向量(,,)m p q r = ，则00m CP m CD ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即400r p =⎧⎪⎨=⎪⎩，令3p =-，则0q r ==，故(m =- ，设二面角F CD P --的平面角为θ，易知π02θ<<，所以cos cos ,13||||n m n m n m θ⋅====⋅ ，因此二面角F CD P --19．记数列{}n a 的前n 项和为n T ，且111,(2)n n a a T n -==≥．(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)设m 为整数，且对任意*n ∈N ，1212nn m a a a ≥+++ ，求m 的最小值．【正确答案】(1)21,1,2, 2.n n n a n -=⎧=⎨≥⎩(2)7【分析】（1）由数列n a 与n T 的关系可得()122n n a a n +=≥，再结合等比数列的通项可得解；（2）利用错位相减法求出1212nn a a a +++ ，结合范围即可得解.【详解】（1）因为111,(2)n n a a T n -==≥，所以211a a ==，当2n ≥时，112n n n n n a T T a a +-+===，故()222222n n n a a n --==⋅≥，且11a =不满足上式，故数列{}n a 的通项公式为21,1,2, 2.n n n a n -=⎧=⎨≥⎩（2）设1212n nn S a a a =+++ ，则11S =，当2n ≥时，102122322n n S n --=+⋅++⋅+⋅ ，故112112232222n n S n ---=+⋅+⋅+⋅+ ，于是()122115222222n n n S n ----=++++-⋅ ()121121252212n n n -----=+-⋅-．整理可得27(2)2n n S n -=-+，所以7n S <，又54968S =>，所以符合题设条件的m 的最小值为7．20．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>过点A ，且焦距为10．(1)求C 的方程；(2)已知点3),B D -，E 为线段AB 上一点，且直线DE 交C 于G ，H 两点．证明：||||||||GD HD GE HE =．【正确答案】(1)221169x y -=(2)证明见解析【分析】（1）根据题意列方程组求出,a b ，即可得出C 的方程；（2）根据,,,D E H G 四点共线，要证||||||||GD HD GE HE =即证HE GE G H D D ⋅=⋅，设出直线:DE y x =-，()()1122,,,G x y H x y，)E t ，联立直线方程与椭圆方程得出1212,x x x x +，将其代入G G HE E DH D ⋅-⋅ ，计算结果为零，即证出．【详解】（1）由题意可得2232910a b-==，故4,3a b ==，所以C 的方程为221169x y -=．（2）设)E t ，()()1122,,,G x y H x y ，当x =2321169y -=，解得3=±y ，则||3t <， 双曲线的渐近线方程为34y x =±，故当直线DE 与渐近线平行时，此时和双曲线仅有一个交点，此时直线DE方程为(34y x =±-，令x =y =||t ≠则直线:DE y x =-．由221169y x x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩得()222292161440t x x t -+--=，所以212229x x t +=-，21221614429t x x t +=-．()()()()11221122,,,G HE GE DH x y x t x D y t y x y ⋅-⋅=--⋅----⋅-)()121212122232x x y y x x t y y =+-+-++()2221212243244t x x t x x t ⎛⎛⎫=+-++++ ⎪⎝⎭⎝()()()222222248943244322929t t t t t t t +++=-++--0=．所以HE GE G H D D ⋅=⋅ ，所以cos0cos0HE G G E D DH = 即||||||||GD HD GE HE =．关键点睛：本题第二问不能直接计算长度，否则计算量过大，而是转化为证明向量数量积之间的关系，采取设)E t ，从而得到直线DE 方程，再使用经典的联立法，得到韦达定理式，然后证明0HE GE G D D H ⋅-⋅= 即可.21．设()()21031x Q x x ax b -=-++，其中()Q x 是关于x 的多项式，a ，b ∈R ．（1）求a ，b 的值；（2）若28ax b +=，求103x -除以81的余数．【正确答案】（1）10a =，12b =-；（2）28.【分析】（1）利用二项式定理及已知即求；（2）由题可知x 的值，然后利用二项式定理可求.【详解】（1）由已知等式，得()()()1021131x Q x x ax b -+-=-++⎡⎤⎣⎦，∴()()()()10920189101010101010C 1C 1C 1C 1C 3x x x x -+-+⋅⋅⋅+-+-+-()()21Q x x ax b =-++，∴()()()()()8722018101010C 1C 1C 110121x x x x Q x x ax b ⎡⎤-+-+⋅⋅⋅+-+-=-++⎣⎦，∴1012x ax b -=+，∴10a =，12b =-．（2）∵28ax b +=，即101228x -=，∴4x =，∴103x -1043=-()10313=+-0101991010101010C 3C 3C 3C 3=⨯+⨯+⋅⋅⋅+⨯+-()406156441010103C 3C 3C 4035328=⨯⨯+⨯+⋅⋅⋅++⨯+⨯+()0615610101081C 3C 3C 4528=⨯⨯+⨯+⋅⋅⋅+++，∴所求的余数为28．22．已知函数()()1e 6x f x k x ⎡⎤=--⎣⎦（其中e 为自然对数的底数）．(1)若1k =，求函数()f x 的单调区间；(2)若12k ≤≤，求证：[]0,x k ∀∈，()2f x x <．【正确答案】(1)单调递增区间为[)0,∞+，单调递减区间为(),0∞-；(2)见解析.【分析】（1）求导，当()0f x '≥时，0x ≥，当()0f x '<时，0x <，即可解决；（2）由()211e 60x x x k ⎡⎤---<⎣⎦令新函数()21()1e 6x g x x x k=---，求导，由()()1e 6k g k k k =---，再令新函数()()()1e 6k h k g k k k ==---，证明()0h k <在12k ≤≤上恒成立，即可得证.【详解】（1）由题知()()1e 6x f x k x ⎡⎤=--⎣⎦，所以()()e 1e e x x x f x k x kx '⎡⎤=+-=⎣⎦，当1k =时，()e x f x x '=，当()0f x '≥时，0x ≥，当()0f x '<时，0x <，所以()f x 的单调递增区间为[)0,∞+，单调递减区间为(),0∞-，（2）由题知12k ≤≤，[]0,x k ∀∈，()2f x x <，所以()21e 60x k x x ⎡⎤---<⎣⎦，因为12k ≤≤，所以()211e 60x x x k ⎡⎤---<⎣⎦令()21()1e 6x g x x x k=---即证()21()1e 60x g x x x k =---<在[]0,x k ∈上恒成立，因为22()e (e )x x g x x x x k k'=-=-当()0g x '=时，2ln x k=，当()0g x '≥时，2lnx k ≥，即()g x 在2ln ,k k ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，当()0g x '≤时，2ln x k ≤，即()g x 在20,ln k ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，因为(0)70g =-<，()()1e 6k g k k k =---，令()()()1e 6k h k g k k k ==---，所以()e 1k h k k '=-，因为12k ≤≤，所以()e 10k h k k '=->，所以()h k 在[]1,2上单调递增，所以2max ()(2)e 80h k h ==-<，所以()0g k <恒成立，因为(0)0,()0g g k <<，所以()21()1e 60x g x x x k =---<在[]0,x k ∈上恒成立，即得证.。

武汉2025届高二下学期数学三月月考（答案在最后）一､选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每个小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.1.函数3()3sin f x x x =-+的图象在点(0,(0))A f 处的切线方程是（）A.30x y -=B.30x y -= C.30x y += D.30x y +=【答案】B 【解析】【分析】利用导数的几何意义求切线方程.【详解】因为3()3sin f x x x =-+，所以(0)0f =，所以切点为(0,0)A ，又2()33cos f x x x '=-+，由导数的几何意义知函数的图象在点A 处的切线斜率(0)03cos03k f '==+=，故得函数()f x 的图象在点A 处的切线方程是03(0)y x -=-，即为30x y -=．故选：B2.已知函数()()()1e xf x x a =-+在区间()1,1-上单调递增，则a 的最小值为（）A.1e -B.2e - C.eD.2e 【答案】A 【解析】【分析】()0f x '≥在()1,1-上恒成立，即e x a x ≥-，构造函数()e xg x x =-，()1,1x ∈-，求导得到其单调性，得到()()11e g x g ->-=，得到1e a -≥，求出答案.【详解】由题意得()0f x '≥在()1,1-上恒成立，()()e 1e e x x x f x a x x a =++-=+'，故e 0x x a +≥，即e x a x ≥-，令()e xg x x =-，()1,1x ∈-，则()()e e 1e <0xxxg x x x =--=-+'在()1,1x ∈-上恒成立，故()e xg x x =-在()1,1x ∈-上单调递减，故()()11e g x g ->-=，故1e a -≥，故a 的最小值为1e -.故选：A3.若函数()3231f x ax x x =+-+恰好有三个单调区间，则实数a 的取值范围是（）A.(3,0)- B.(0,)+∞C.(,3)(0,)∞∞--⋃+ D.(3,0)(0,)-⋃+∞【答案】D 【解析】【分析】由题意得()2361f x ax x +'=-有两个不相等的零点，列出不等式组求解即可.【详解】依题意知，()2361f x ax x +'=-有两个不相等的零点，故0Δ36120a a ≠⎧⎨=+>⎩，解得3a >-且0a ≠.故选：D.4.已知R 上的可导函数()f x 的图象如图所示，则不等式()()20x f x '->的解集为（）A.()(),21,-∞-+∞B.()()212-∞-,,UC.()(),12,-∞-+∞ D.()()1,12,-+∞ 【答案】D 【解析】【分析】由函数图象得出()0f x '>和()0f x '<的解，然后用分类讨论思想求得结论．【详解】由图象知()0f x '>的解集为(,1)-∞-(1,)⋃+∞，()0f x '<的解集为(1,1)-，(2)()0x f x '->20()0x f x -⇔'>⎧⎨>⎩或20()0x f x -<<'⎧⎨⎩，所以2x >或11x -<<，解集即为()()1,12,-+∞ ．故选：D ．5.已知函数()()2121ln 2f x f x x x '=-++（()f x '是()f x 的导函数），则()1f =（）A.32B.1C.2D.12-【答案】A 【解析】【分析】先对函数()f x 求导，代入1x =，求出()1f '的值，进而求解()1f 的值即可.【详解】因为()()2121ln 2f x f x x x '=-++所以定义域为()0,+∞.所以()()1212f x f x x''=-+当1x =时，()()12121f f ''=-+，()11f '=，则()1312122f =-+=故选：A6.已知函数2ln 1()x a g x x x x=+-在()21,e 上存在极值，则实数a 的取值范围为（）A.e 1,2⎛⎫⎪⎝⎭B.e 02⎛⎫ ⎪⎝⎭, C.(0,1)D.(0,e)【答案】B 【解析】【分析】先求导函数，根据存在极值得出()32ln 2()x x ag x x--'=在给定区间有变号零点,设()()2ln ,t x x x =-再根据导数求出最值即可求解.【详解】()222332ln 2ln 11ln 21()()x x ax a x a g x g x x x x x x x x---'=+-∴=-+= ,函数2ln 1()x a g x x x x =+-在()21,e 上存在极值，()()32ln 2x x a g x x --∴='在该区间有变号零点.即()()2ln 2=02=2ln x x a a x x ---，,()()()2ln ,2ln 11ln t x x x t x x x '=-=--=-,()t x '单调递减,设()00=0,e t x x '=，()()()1,e ,0,x t x t x '∈>单调递增;()()()2e,e ,0,x t x t x '∈<单调递减;()()()max e e 21e t x t ==-=,()()()()2211202e e 220t t =⨯-==-=，()(]0,e t x ∈,e 0,2a ⎛⎫∴∈ ⎪⎝⎭.故选:B.7.已知函数()2ln f x x ax =+，若对任意两个不等的正实数1x ，2x ，都有()()12122f x f x x x ->-，则实数a的取值范围是（）A.1,4⎛⎫+∞⎪⎝⎭B.1,2⎛⎫+∞⎪⎝⎭C.1,4⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭ D.1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭【答案】D 【解析】【分析】构造函数2()()2ln 2(0)g x f x x x ax x x =-=+->，则转化得到()g x 在(0,)+∞上单调递增，将题目转化为1()220g x ax x=+-≥'在(0,)+∞上恒成立，再利用分离参数法即可得到答案.【详解】由题意,不妨设120x x >>,因为对任意两个不等的正实数12,x x ,都有()()12122f x f x x x ->-,所以()()121222f x f x x x ->-,即()()112222f x x f x x ->-,构造函数2()()2ln 2(0)g x f x x x ax x x =-=+->,则()()12g x g x >,所以()g x 在(0,)+∞上单调递增，所以1()220g x ax x =+-≥'在(0,)+∞上恒成立,即2112a x x ≥-在(0,)+∞上恒成立,设211()(0)2m x x x x =->,则233111()xm x x x x-'=-+=，所以当(0,1)x ∈时,()0,()m x m x '>单调递增，(1,)x ∈+∞时,()0,()m x m x '<单调递减，所以max 11()(1)122m x m ==-=，所以12a ≥.故选：D.8.已知函数()()120e (0)xkx x x f x kx x ⎧--+≤=⎨->⎩恰有两个零点，则实数k 的取值范围是（）A.[)1,e B.()1,1e,2∞⎛⎫-⋃+ ⎪⎝⎭C.1,e 2⎛⎫-⎪⎝⎭D.{}1,1e 2⎛⎫-⋃ ⎪⎝⎭【答案】D 【解析】【分析】分别讨论<2x -，20x -≤≤，0x >时的零点个数，求出恰有两个零点时实数k 的取值范围即可.【详解】()()()()()31212011(20)e (0)e (0)xx k x x kx x x f x k x x kx x kx x ⎧+-<-⎧--+≤⎪==--+-≤≤⎨⎨->⎩⎪->⎩，①当<2x -时，令()0f x =，解得31x k =-，若()f x 在(),2∞--内有零点，则321k <--，解得112k -<<，即当112k -<<时，()f x 在(),2∞--内有一个零点；②当20x -≤≤时，令()0f x =，解得11x k -=+，若()f x 在[]2,0-内有零点，则1201k --≤≤+，解得12k ≥-，即当12k ≥-时，()f x 在[]2,0-内有一个零点；③当0x >时，令()e 0xf x kx =-=，即e xk x=，令()()e 0xg x x x =>，则()()2e 1x x g x x='-，令()0g x '=，得1x =，∴当()0,1x ∈时，()0g x '<，()g x 在()0,1上单调递减，当()1,x ∞∈+时，()0g x '>，()g x 在()1,∞+上单调递增，∴()()1e g x g ≥=，∴当e =k 时，方程e xk x=有一个实数根，即函数()f x 在()0,∞+内有一个零点，当e k >时，方程e xk x=有两个实数根，即函数()f x 在()0,∞+内有两个零点，综上所述，当12k <-时，函数()f x 无零点；当12k =-时，函数()f x 在[]2,0-内有一个零点；当112k -<<时，函数()f x 在(),2∞--和[]2,0-内分别有一个零点，即()f x 有两个零点；当1e k ≤<时，函数()f x 在[]2,0-内有一个零点；当e =k 时，函数()f x 在[]2,0-和()0,∞+内分别有一个零点，即()f x 有两个零点；当e k >时，函数()f x 在[]2,0-内有一个零点，在()0,∞+内有两个零点，即()f x 有三个零点.函数()()120e (0)xkx x x f x kx x ⎧--+≤=⎨->⎩恰有两个零点，∴实数k 的取值范围是{}1,1e 2⎛⎫-⋃ ⎪⎝⎭.故选：D.二､多选题：本大题共3小题，每小题6分，共18分，全部选对的得6分，部分选对的得部分2分，有选错的得0分.9.下列函数在定义域上为增函数的是（）A.()ln f x x x =B.()ln f x x x =+C.()cos f x x x =-D.()2exf x x =【答案】BC【解析】【分析】结合选项中的函数，求得相应的导数，结合导函数的符号，即可判定函数的单调，得到答案．【详解】对于A 中，函数()ln f x x x =，可得()ln 1f x x ='+(0)x >，当1ex >时，()0f x '>，()f x 单调递增；当10ex <<时，()0f x '<，()f x 单调递减，所以A 不符合题意,对于B,函数()ln f x x x =+（0x >），可得()11f x x'=+，当0x >时，()0f x '>，()f x 单调递增；故B符合，对于C 中，()cos f x x x =-,则()1sin 0f x x ='+≥，故()f x 单调递增；故C 符合，对于D ，函数()2e xf x x =，可得()()2e2xf x x x ='+，当0x >或<2x -时，()0f x '>，()f x 单调递增；当20x -<<时，()0f x '<，()f x 单调递减，所以D 不符合题意；故选：BC ．10.已知函数()ln xf x x=，下列说法正确的是（）A.()f x 的单调递减区间是()0,eB.()f x 在点()()22e ,ef 处的切线方程是24ex y -+=C.若方程ln a x x =只有一个解，则ea =D.设()2g x x a =+，若对()12R,1,x x ∀∈∃∈+∞，使得()()12g x f x =成立，则ea ≥【答案】BD 【解析】【分析】对函数()ln xf x x=求导，分析其单调性得到其图象，可判断ABC ，对应选项D ，设函数()()()1,f x x ∞∈+的值域为E ，()2g x x a =+的值域为G ，由G E ⊆求解判断.【详解】函数()ln x f x x =，()()0,11,x ∞∈⋃+，()2ln 1ln x f x x-'=，令()0f x '<，得01x <<或1e x <<；令()0f x '>，得e x >；可得函数()f x 在()0,1和()1,e 上单调递减，在()e,∞+单调递增，其大致图象如图：对于A ，由上述分析可得A 错误；B 对于，由()2222ln e 11eln e 4f -='=，()22e e 2f =，得()22e 1e 24y x -=-，所以切线为24e 0x y -+=，故B 正确；对于C ，由方程()ln xf x a x==只有一解，由图象可知，e a =或a<0，故C 错误；对于D ，设函数()()R g x x ∈的值域为G ，函数()()()1,f x x ∞∈+的值域为E ，对于()2g x x a =+，R x ∀∈，[),G a ∞=+，对于()f x ，()1,x ∞∀∈+，[)e,E ∞=+，若1x ∀∈R ，()21,x ∞∃∈+，使得()()12g x f x =成立，则,e G E a ⊆∴≥，故D 正确，故选：BD.11.已知()e xf x x =，()lng x x x =.若存在1x ∈R ，()20,x ∈+∞，使得()()12f x g x t ==成立，则下列结论中正确的是（）A.当0t >时，12x x t= B.当0t >时，12eln t x x ≤C.不存在t ，使得()()12f x g x =''成立 D.()()f x g x mx >+恒成立，则2m ≤【答案】AB 【解析】【分析】A 选项，转化同构形式12ln 1222e ln eln xx x x x x ==，根据函数()e x f x x =在()0,∞+上单调，可得12ln x x =，即12x x t =；B 选项，转化为研究函数()ln tt tϕ=的最小值问题即可；C 选项，特值验证，找到t 满足条件即可；D 选项，不等式变形、分离参数，转化为e ln x m x <-恒成立问题，构造函数研究最值即可.【详解】选项A ，()()12f x g x t == 12ln 1222e ln e ln 0x xt x x x x ===>∴，则1220,0,ln 0x x x >>>，且12()(ln )0t f x f x ==>，由()e xf x x =，得()()e1xf x x '=+，当0x >时，()0f x ¢>，则()f x 在()0,∞+上递增，所以当0t >时，()f x t =有唯一解，故12ln x x =，1222ln x x x x t ∴==，故A 正确；选项B ，由A 正确，得12ln ln (0)t tt x x t=>，设()ln t t t ϕ=，则()21ln tt t ϕ-'=，令()0t ϕ'=，解得et =易知()t ϕ在(]0,e 上单调递增，在[)e,+∞上单调递减，()()1e e t ϕϕ∴≤=，12ln 1e t x x ∴≤，12eln t x x ∴≤，故B 正确；选项C ，由()()e1xf x x '=+，()ln 10g x x '=+=，得()110e f g '⎛⎫-= '=⎪⎝⎭，又验证知()111e ef g ⎛⎫-==-⎪⎝⎭，故存在1e t =-，使得()110e f g '⎛⎫-= '=⎪⎝⎭，C 错误；选项D ，由0x >，()()f x g x mx >+恒成立，即e ln x x m ->恒成立，令()e ln xr x x =-，则()1e xr x x='-，由()r x '在()0,∞+上递增，又1202r ⎛⎫=<⎪⎝⎭'，()1e 10r ='->，∴存在01,12x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，使()00r x '=，()r x ∴在()00,x 上递减，在()0,x +∞上递增（其中0x 满足001e xx =，即00ln x x =-）.()()000001e ln 2x r x r x x x x ∴≥=-=+>，要使e ln x m x <-恒成立，0()m r x ∴<，存在02()m r x <<满足题意，故D 错误.故选：AB.【点睛】方法点睛：在应用导数研究函数的综合题型中，在题干条件中同时出现指数函数和对数函数，通常可以考虑借助幂函数作为桥梁，通过变形转化为相同结构的式子，再构造函数研究问题，即指对同构思想的应用.三､填空题：本题共3小题每小题5分，共15分12.若函数()312f x x x a =-+的极大值为11，则()f x 的极小值为____________．【答案】－21【解析】【分析】首先利用导数判断函数的单调性和极大值，并求a ，再求解函数的极小值.【详解】函数的定义域为R ，()2312f x x -'=，令()0f x '=，解得12x =-或22x =，列表：x(),2∞--2-()2,2-2()2,∞+()f x '+0-0+()f x 单调递增极大值16a+单调递减极小值16a-+单调递增所以当2x =-时，函数有极大值()216f a -=+，由题意得1611a +=，解得5a =-，当2x =时，函数有极小值()21616521f a =-+=--=-.故答案为：21-13.与曲线e xy =和24x y =-都相切的直线方程为__________.【答案】1y x =+【解析】【分析】分别设出直线与两曲线相切的切点，然后表示出直线的方程，再根据切线是同一条直线建立方程求解.【详解】设直线与曲线e x y =相切于点()11,ex x ，因为e x y '=，所以该直线的方程为()111e exx y x x -=-，即()111e e 1x x y x x =+-，设直线与曲线24x y =-相切于点222,4x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭，因为2x y '=-，所以该直线的方程为()222242x x y x x +=--，即22224x x y x =-+，所以()112221e 2e 14x x x x x ⎧=-⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，解得120,2x x ==-，所以该直线的方程为1y x =+，故答案为：1y x =+.14.已知函数()e e 2sin x x f x x -=--，不等式2(2023e )(2ln )0x f a x f x x -++≤对任意的x ∈(0,)+∞恒成立，则a 的最大值为________．【答案】12023【解析】【分析】先根据奇函数的定义推出()f x 为R 上的奇函数，再利用导数推出()f x 在(,)-∞+∞上单调递增，再利用奇偶性和单调性将不等式化为22ln e 2023x x x x a +≤-对任意的,()0x ∈+∞恒成立，再参变分离得2ln 2023e (2ln )x x a x x +≤-+对任意的,()0x ∈+∞恒成立，然后构造函数()e x h x x =-，再利用导数求出其最小值可得结果．【详解】因为()()e e 2sin()e e 2sin ()x x x x f x x x f x -----=---=-+=-，所以()f x 为R 上的奇函数．又()e e 2cos 2cos 22cos 0x x f x x x x -'=+-≥-=-≥，所以()f x 在(,)-∞+∞上单调递增，不等式2(2023e )(2ln )0x f a x f x x -++≤对任意的,()0x ∈+∞恒成立，即2(2ln )(e 2023)x f x x f x a +≤-对任意的,()0x ∈+∞恒成立，所以22ln e 2023x x x x a +≤-对任意的,()0x ∈+∞恒成立，即22ln 2ln 2023e (2ln )e e (2ln )e (2ln )x x x x x a x x x x x x x +≤-+=⋅-+=-+对任意的,()0x ∈+∞恒成立，令()e x h x x =-，所以()e 1x h x '=-，所以当0x >时，()0h x '>，()h x 在(0,)+∞上为增函数；当x 0<时，()0h x '<，()h x 在(,0)-∞上为减函数，所以0min ()(0)e 01h x h ==-=，设()2ln g x x x =+，显然()g x 为(0,)+∞上的增函数，因为1111(2ln20e e e eg =+=-+<，(1)10g =>，所以存在01(1)e,x ∈，使得000()2ln 0g x x x =+=，所以2ln min [e(2ln )]1x xx x +-+=，此时2ln 0x x +=，所以20231a ≤，即a 的最大值为12023．故答案为：12023．【点睛】结论点睛：本题考查不等式的恒成立与有解问题，可按如下规则转化：一般地，已知函数()y f x =，[],x a b ∈，（1）若[],x a b ∀∈，总有()f x k <成立，故()max f x k <；（2）若[],x a b ∀∈，总有()f x k >成立，故()min f x k >；（3）若[],x a b ∃∈，使得()f x k <成立，故()min f x k <；（4）若[],x a b ∃∈，使得()f x k >，故()max f x k >．四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15.已知函数()2ln f x x a x=+-．（1）若1a =，求曲线()y f x =在()()1,1f 处的切线方程；（2）若()()0,,0x f x ∞∈+≥恒成立，求实数a 的取值范围．【答案】15.20x y +-=16.ln 21a ≤+【解析】【分析】（1）求导，再根据导数的几何意义即可得解；（2）()()0,,0x f x ∞∈+≥恒成立，即()()min 0,,0x f x ∞∈+≥，利用导数求出函数()f x 的最小值即可.【小问1详解】若1a =，则()2ln 1f x x x =+-，()212f x x x-'=，故()()11,11f f '==-，所以曲线()y f x =在()()1,1f 处的切线方程为()11y x -=--，即20x y +-=；【小问2详解】()()0,,0x f x ∞∈+≥恒成立，即()()min 0,,0x f x ∞∈+≥，又()()221222x f x x x x x-=-=>'，当02x <<时，()0f x '<，当2x >时，()0f x '>，所以函数()f x 在()0,2上单调递减，在()2,∞+上单调递增，所以()()min 2ln 21f x f a ==+-，所以ln 210a +-≥，所以ln 21a ≤+.【点睛】方法点睛：对于利用导数研究不等式的恒成立与有解问题的求解策略：（1）通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围；（2）利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题．（3）根据恒成立或有解求解参数的取值时，一般涉及分离参数法，但压轴试题中很少碰到分离参数后构造的新函数能直接求出最值点的情况，进行求解，若参变分离不易求解问题，就要考虑利用分类讨论法和放缩法，注意恒成立与存在性问题的区别．16.已知函数()21e xf x x x a =-+-．（1）当1a =-，求()f x 的单调区间；（2）若()f x 有三个零点，求a 的取值范围．【答案】（1）单调递减区间为(),0∞-，单调递增区间为()0,∞+（2）213,e e ⎛⎫ ⎪⎝⎭【解析】【分析】（1）利用导数研究函数的单调性即可得到答案；（2）由()0f x =，把函数()f x 的零点个数问题等价转化为，两个函数的交点个数问题，令()21exx x g x -+=，利用导数法研究函数()g x 的单调性和极值，进而结合函数图象得到实数a 的取值范围．【小问1详解】将1a =-代入可得()21e x f x x x =-++，其定义域为R ，则()21e xf x x -+'=.21y x =-和e x y =都在R 上增函数，所以()21e x f x x -+'=在R 上单调递增且()00f '=，因此，当(),0x ∞∈-时，()0f x '<，函数()f x 为单调递减；当()0,x ∞∈+时，()0f x '>，函数()f x 为单调递增；综上所述，函数()f x 的单调递减区间为(),0∞-，单调递增区间为()0,∞+．【小问2详解】（2）由()0f x =得，21e x x x a -+=，令()21exx x g x -+=，则()()()()()()22221e 1e 3212e e e x xxxxx x x x x x x g x ---+--+---=='=，(),1x ∞∈-时，()()0,g x g x '<单调递减；()1,2x ∈时，()()0,g x g x '>单调递增；()2,x ∞∈+时，()()0,g x g x '<单调递减；由单调性可知，当x →-∞时，()g x ∞→+；当x →+∞时，()0g x →；当1x =时，取得极小值，即()11e g =；当2x =时，取得极大值，即()232eg =.所以()y g x =和y a =的大致图象如下：综上所述，若()f x 有三个零点，则a 的取值范围为213,e e ⎛⎫⎪⎝⎭．17.已知函数()2ln f x x ax =-．（1）讨论()f x 的单调性；（2）当0a >时，求()f x 在区间[]1,2上的最大值．【答案】（1）答案见解析；（2）()max1ln 24,081111ln 2,22821,2a a f x a a a a ⎧-<≤⎪⎪⎪=--<<⎨⎪⎪-≥⎪⎩．【解析】【分析】（1）求导后，分别在0a ≤和0a >的情况下，根据()f x '的正负得到函数单调性；（2112a≤、1122a <<122a ≥三种情况下，得到()f x 在[]1,2上的单调性，由单调性可确定最大值点，代入可得最大值.【详解】（1）由题意得：()f x 定义域为()0,∞+，()21122axf x ax x x-'=-=，①当0a ≤时，()0f x ¢>，()f x \在()0,∞+上单调递增；②当0a >时，令()0f x '=得：12x a=列表如下：x10,2a ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭12a1,2a ⎛⎫+∞ ⎪ ⎪⎝⎭()f x '＋0－()f x递增极大值递减()f x \在⎛⎝上单调递增，在⎫+∞⎪⎪⎭上单调递减；综上所述：当0a ≤时，()f x 在()0,∞+上单调递增；当0a >时，()f x在⎛ ⎝上单调递增，在⎫+∞⎪⎪⎭上单调递减.（2）当0a >时，由（1）知：1≤，即12a ≥时，()f x 在[]1,2上单调递减，则()()max 1f x f a ==-；②当12<<，即1182a <<时，()f x在⎡⎢⎣上单调递增，在2⎤⎥⎦上单调递减，()max11ln 222f xf a ∴==--；2≥，即108a <≤时，()f x 在[]1,2上单调递增，则()()max 2ln 24f x f a ==-；综上所述：()max1ln 24,081111ln 2,22821,2a a f x a a a a ⎧-<≤⎪⎪⎪=--<<⎨⎪⎪-≥⎪⎩.18.已知函数()ln 1f x a x ax =++.（1）当1a =时，求()f x 的图像在点(1,(1))f 处的切线方程；（2）若不等式()e x f x x ≤恒成立，求a 的取值集合.【答案】（1）y =2x （2）{1}【解析】【分析】（1）先求出切点，再利用导数的几何意义求出切线的斜率，即可求出结果；（2）通过构造函数()e ln 1x g x x a x ax =---，将问题转化成求()g x 的最小值，通过对a 进行分类讨论，利用导数与函数单调性间的关系，求出单调区间，进而求出结果.【小问1详解】当1a =时，()ln 1f x x x =++，所以(1)2f =，又()11f x x '=+，所以()11121f '=+=，故()f x 的图像在点(1,(1))f 处的切线方程为2(1)2y x =-+，即2y x =.【小问2详解】解法一：因为()e x f x x ≤恒成立，e ln 10x x a x ax ---≥恒成立，令函数()e ln 1x g x x a x ax =---，则()()1e e (1)e (1)(e )x x x x a x a ag x x a x x x x x+'=+--=+-=+-①当0a ≤时，()()1(e )0xag x x x'=+->在区间(0,)+∞恒成立，此时g (x )在区间(0,)+∞单调递增，又11221111()e ln21(e 2)(ln2)22222a g a a =+--=-+-，易知12e 2,<1ln 22<，所以1(02g <，故0a ≤不合题意，②当0a >时，由()()1e 0xa g x x x ⎛⎫'=+-= ⎪⎝⎭，可得e 0xa x-=，即e 0x x a -=令()e xh x x =，则()()e e 1e 0xxxh x x x '=+=+>在区间(0,)+∞上恒成立所以()e xh x x =在区间(0,)+∞上单调递增，又因为()00h =，所以存在0(0,)x ∈+∞，使得00e x x a ⋅=，两边同时取对数可得00ln ln x x a +=，则当0(0,)x x ∈时，e x x a <，即()0g x '<，当0(,)x x ∈+∞时，e x x a >，即()0g x '>，所以当0x x =时，()0000min e ln 1ln 1xg x x a x ax a a a =⋅---=--，故要使()0g x ≥恒成立，只需ln 10--≥a a a ，令()ln 1a a a a ϕ=--，则()11ln ln a a a a aϕ=--⨯=-'，由()0a ϕ'>，得到01a <<，由()0a ϕ'<，得到1a >，所以()a ϕ在区间(0,1)上单调递增，在区间(1,)+∞上单调递减，()()10a ϕϕ≤=，即()ln 10a a a a ϕ=--≤，所以ln 10--≥a a a 只有唯一解，即1a =.综上，a 的取值集合为{}1.解法二：由题意可得()e ln e10xxx a x --≥恒成立，令()e x t x x =，则()()e e 1e 0xxxt x x x '=+=+>在区间(0,)+∞上恒成立，所以()e xt x x =在区间(0,)+∞上单调递增，又因为()00t =，所以()e 0xt x x =>，所以()e ln e10xxx a x --≥恒成立，即ln 10t a t --≥在区间(0,)+∞上恒成立，令()ln 1g t t a t =--，又因为(1)0g =，要使()0g t ≥恒成立，则1t =是()g t 的极小值点，又因为()1ag t t'=-，所以()110g a '=-=，解得1a =.当1a =时，令()ln 1ln 1g t t a t t t =--=--，11()1t g t t t-'=-=，所以(0,1)t ∈时，()0g t '<，()1,t ∈+∞时，()0g t '>，所以()(1)1ln110g t g ≥=--=，满足题意.综上，a 的取值集合为{}1.【点睛】方法点睛：本题考查导数的几何意义，考查不等式恒成立问题，解题方法是把不等式变形为()0g x ≥，然后由导数求得()g x 的最小值min ()g x ，解不等式min ()0g x ≥即可得参数范围．19.已知函数()23ln 4(0,)f x x ax x b a b =+-+>∈R .（1）讨论函数()f x 的单调性；（2）当12a =时，方程()0f x =有三个不相等的实数根，分别记为()1,2,3i x i =.①求b 的取值范围；②证明()41,2,3;1,2,3i j x x i j -<==.【答案】（1）答案见解析（2）①715,3ln322⎛⎫-⎪⎝⎭；②证明见解析【解析】【分析】（1）应用导数讨论函数的单调性，分Δ0≤与Δ0>讨论即可；（2）①结合函数的极值点即可求解；②构造函数()()()2(01)h x f x f x x =--<<与()()()6(13)x f x f x x ϕ=--<<讨论即可.【小问1详解】函数()f x 的定义域为()()232430,,24ax x f x ax x x∞-=+'++-=.又0a >，令()0f x '=，得22430,Δ1624ax x a -+==-.当Δ0≤，即23a ≥时，22430ax x -+≥在()0,∞+恒成立，()0f x '≥.当Δ0>，即023a <<时，方程22430ax x -+=有两根，可求得：1222,22x x a a+==，因为1212430,0,22x x x x a a+=>=>所以210x x >>，当()10,x x ∈和()2,x +∞时，()0f x ¢>，()f x 为增函数，当()12,x x x ∈时，()0f x '<，()f x 为减函数.综上：当23a ≥时，()f x 在()0,∞+上单调递增，当023a <<时，()f x 在20,2a ⎛ ⎝⎭和2,2a ∞⎛⎫++ ⎪ ⎪⎝⎭上单调递增，在22,22a a ⎛-+ ⎝⎭上单调递减.【小问2详解】当12a =时，()213ln 42f x x x x b=+-+.①方程()0f x =有三个不相等的实数根，即方程213ln 42b x x x -=+-在()0,∞+上有三个不相等的实数根.令()()213ln 4,0,2g x x x x x =+-∈+∞，则()()()1334x x g x x x x--=+-='，令()0g x '=，求得：1x =或3x =，则当01x <<或3x >时，()0g x '>，当13x <<时，()0g x '<，则()g x 在()0,1和()3,+∞上单调递增，在()1,3上单调递减，()g x 存在极大值为()712g =-，存在极小值()1533ln32g =-，且当0x →时，()g x →-∞，当x →+∞时，()g x ∞→+.要使方程()0f x =有三个不相等的实数根，则1573ln3,22b -<-<-b ∴的取值范围为715,3ln322⎛⎫-⎪⎝⎭.②证明：设方程()0f x =三个不相等的实数根分别为：123,,x x x ，且123x x x <<，由①可得123013x x x <<<<<，要证()41,2,3;1,2,3i j x x i j -<==，只需证max4i j x x -<，即证314x x -<，当12a =时，()f x 在()0,1和()3,+∞上单调递增，在()1,3上单调递减，且当0x →时，()f x →-∞，当x →+∞时，()f x →+∞.由()()()1230f x f x f x ===，构造函数()()()2(01)h x f x f x x =--<<，()()26(1)()(2)2x h x f x f x x x -''=+-=-'，当()0,1x ∈时，()()0,h x h x '>在()0,1上单调递增，()()10h x h ∴<=，即()()20f x f x --<在()0,1上恒成立，又()10,1x ∈，则有：()()()()()1121120,2f x f x f x f x f x --<∴=<-，又()()211,3,21,2x x ∈-∈ ，且()f x 在()1,3上单调递减，212x x ∴>-，即122x x +>.构造函数()()()6(13)x f x f x x ϕ=--<<，()()22(3)()(6)6x x f x f x x x ϕ-''=+-=-'，当()1,3x ∈时()()0,x x ϕϕ'>在()1,3上单调递增.()()30x ϕϕ∴<=，即()()60f x f x --<在()1,3上恒成立.又()21,3x ∈ ，则()()2260f x f x --<.即()()()3226f x f x f x =<-，由()()231,3,3,x x ∞∈∈+，则()263,5x -∈.()f x 在()3,+∞上单调递增，32326,6x x x x ∴<-+<.又122x x +>，则可证得：()314,41,2,3;1,2,3i j x x x x i j -<∴-<==.。

2023-2024学年河南省南阳市高二下册3月月考数学模拟试题第I卷（选择题，共60分）一．选择题（共12小题，满分60分，每小题5分）1．在等比数列{a n}中，若a1＝27，，则a3＝（）A．3或﹣3B．3C．﹣9或9D．92．在等差数列{a n}中，已知a10＝13，a3+a4+a9+a16＝28，则{a n}的前17项和为（）A．166B．172C．168D．1703．若数列{}是等差数列，a1＝l，a3＝﹣，则a5＝（）A．﹣B．C．D．﹣4．已知等差数列{a n}的前n项和为S n，且S10＝310，S20＝930，则S30＝（）A．1240B．1550C．1860D．21705．在等差数列{a n}中，a1+a3＝8，a2a4＝40，则公差为（）A．1B．2C．3D．46．设等差数列{a n}的前n项和为S n，a1＝2，S8≥S7≥S9，则公差d的取值范围是（）A．B．C．D．7．已知等比数列{a n}的前n项和为S n，若＝，则＝（）A．B．43C．D．418．已知等差数列{a n}的首项a1＝2，公差d＝8，在{a n}中每相邻两项之间都插入3个数，使它们和原数列的数一起构成一个新的等差数列{b n}，则b2023＝（）A．4044B．4046C．4048D．40509．等差数列{a n}的前n项和是S n，且满足S5＝S10，若S n存在最大值，则下列说法正确的是（）A．a1+a16＞0B．a2+a15＜0C．a1+a14＜0D．a2+a14＞010．已知等比数列{a n}满足：a2+a4+a6+a8＝20，a2⋅a8＝8，则的值为（）A．20B．10C．5D．11．已知数列{a n}满足a n＝2n+kn，若{a n}为递增数列，则k的取值范围是（）A．（﹣2，+∞）B．（2，+∞）C．（﹣∞，﹣2）D．（﹣∞，2）12．设等差数列{a n}，{b n}的前n项和分别为S n，T n，若，则＝（）A．B．C．D．第Ⅱ卷（非选择题,共90分）二．填空题（共4小题，满分20分，每小题5分）13．等差数列{a n}的前n项和是S n，若S n＝3（n+1）2﹣n﹣a，则实数a＝．14．若等比数列{a n}的各项均为正数，且，则lna1+lna2+⋯+lna7＝．15．在等比数列{a n}中，a5﹣a3＝12，a6﹣a4＝24，记数列{a n}的前n项和、前n项积分别为S n，T n，则的最大值是．16．首项为正数，公差不为0的等差数列{a n}，其前n项和为S n，现有下列4个命题：①若S8＜S9，则S9＜S10；②若S11＝0，则a2+a10＝0；③若S13＞0，S14＜0，则{S n}中S7最大；④若S2＝S10，则S n＞0的n的最大值为11．使其中所有真命题的序号是．三．解答题（共6小题，满分70分）17．已知等差数列{a n}满足a4＝6，a6＝10．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设等比数列{b n}各项均为正数，其前n项和T n，若b3＝a3，b5＝a9，求T n．18．已知等比数列{a n}的前n项和为S n，a5﹣a1＝90，S4＝90．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）已知数列{b n}中，满足b n＝a n+log2a n，求数列{b n}的前n项和T n．19．已知各项均不相等的等差数列{a n}的前四项和S4＝14，且a1，a3，a7成等比数列．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设T n为数列的前n项和，求T n．20．已知数列{a n}中，a2＝，a n＝a n+1+2a n a n+1．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）令{}的前n项和为T n，求证：T n＜．21．在等差数列{a n}中，已知公差d＝2，a2是a1与a4的等比中项．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）若数列{b n}满足：，求数列{b n}的通项公式；（Ⅲ）令（n∈N*），求数列{c n}的前n项和T n．22．已知数列{a n}的各项均为正数，其前n项和为S n，且满足a1＝1，a n+1＝2．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设数列{b n}满足b n＝，设数列{b n}的前n项和为T n，若∀n∈N*，不等式T n﹣na＜0恒成立，求实数a的取值范围．答案与试题解析一．选择题（共12小题）1．解：因为a3是a1和a5的等比中项，则，解得a3＝±3，由等比数列的符号特征知a3＝3．故选：B．2．解：在等差数列{a n}中，∵a3+a4+a9+a16＝4a8＝28，∴a8＝7，又a10＝13，∴S17＝．故选：D．3．解：数列{}是等差数列，设其公差为d，则2d＝，∴，可得，即a5＝．故选：D．4．解：∵等差数列{a n}的前n项和为S n，∴S10，S20﹣S10，S30﹣S20构成等差数列，∴2（S20﹣S10）＝S10+S30﹣S20，即2×（930﹣310）＝310+S30﹣930，∴S30＝1860．故选：C．5．解：等差数列{a n}中，a1+a3＝8，a2a4＝40，∴，解得a1＝1，d＝3．故选：C．6．解：∵{a n}为等差数列，a1＝2，∴，∴．故选：A．7．解：设S3＝x，则S6＝7x，由＝，可得q≠1，因为{a n}为等比数列，所以S3，S6﹣S3，S9﹣S6仍成等比数列．因为＝＝6，所以S9﹣S6＝36x，所以S9＝43x，故＝．故选：A．8．解：设数列{b n}的公差为d1，由题意可知，b1＝a1，b5＝a2，b5﹣b1＝a2﹣a1＝8＝4d1，故d1＝2，故b n＝2n，则b2023＝2023×2＝4046，故选：B．9．解：因为等差数列S n存在最大项，故等差数列的公差d＜0，又S5＝S10，即a6+a7+a8+a9+a10＝0，即a8＝0，则a1+a16＜a1+a15＝0，故选项A错误；a2+a15＜a1+a15＝0，故选项B正确；a1+a14＞a1+a15＝0，故选项C错误；而a2+a14＝a1+a15＝0，故选项D错误．故选：B．10．解：在等比数列{a n}中，由等比数列的性质可得：a4⋅a6＝a2⋅a8＝8．所以．故选：D．11．解：若{a n}为递增数列，则a n+1﹣a n＞0，则有2n+1+k（n+1）﹣（2n+kn）＝2n+1﹣2n+k＝2n+k＞0，对于n∈N+恒成立．∴k＞﹣2n，对于n∈N+恒成立，∴k＞﹣2．故选：A．12．解：根据条件：＝．故选：A．二．填空题（共4小题）13．解：因为，当n≥2时，，因为{a n}是等差数列，所以当n＝1时，a1＝11﹣a也符合上式，故a＝3．故3．14．解：∵{a n}是各项均为正数的等比数列，∴a2a6＝a42，又a42+a2a6＝2e6，∴2a42＝2e6，又a4＞0，∴a4＝e3，∴lna1+lna2+•••+lna7＝ln（a1a2•••a7）＝lna47＝7lne3＝21．故21．15．解：等比数列{a n}中，a5﹣a3＝12，a6﹣a4＝24，所以q＝＝2，a1＝＝＝1，所以数列{a n}的前n项和为S n＝＝2n﹣1，前n项积为T n＝1×2×22×...×2n﹣1＝2...+...+（n﹣1）＝，所以＝＝，当n＝2或n＝3时，＝3，所以的最大值是23＝8．故8．16．解：对于①，S8＜S9，则a9＞0，无法推得a10是否大于0，即S9＜S10无法确定，故①错误；对于②，∵S11＝0，∴＝，即a2+a10＝0，故②正确；对于③，S13＞0，S14＜0，则，即a7＞0，，即a7+a8＜0，故a7＞0，a8＜0，公差d＜0，首项为正数，故{S n}中S7最大，故③正确；对于④，若S2＝S10，则a3+a4+a5+a6+a7+a8+a9+a10＝0，即4（a3+a10）＝0，故a3+a10＝2a1+11d＝0，即，∵a1＞0，∴d＜0，∴＝＝，令S n＞0，则0＜n＜12，n∈N*，故S n＞0的n的最大值为11，故④正确．故②③④．三．解答题（共6小题）17．解：（1）设等差数列{a n}的公差为d，∵a4＝6，a6＝10，∴，解得，故数列{a n}的通项公式a n＝a1+（n﹣1）d＝2n﹣2；（2）设各项均为正数的等比数列{b n}的公比为q（q＞0），∵a n＝2n﹣2，则a3＝4，a9＝16，∵a3＝b3，a9＝b5，∴b3＝4，b5＝16，即，解得2或﹣2（舍去），∴．18．解：（1）记等比数列{a n}的公比为q，由a5﹣a1≠0可知q≠1，，，解得a1＝6，q＝2，所以数列{a n}的通项公式为．（2）∵，∴＝3×++n•log23＝3×2n+1++n•log23﹣6．19．解：（1）设公差为d，则∵S4＝14，且a1，a3，a7成等比数列∴4a1+6d＝14，（a1+2d）2＝a1（a1+6d）∵d≠0，∴d＝1，a1＝2，∴a n＝n+1（2）＝∴T n＝﹣+﹣+…+＝＝．20．解：（1）由a2＝，a n＝a n+1+2a n a n+1，可得a1＝a2+2a1a2＝+a1，解得a1＝1，又对a n＝a n+1+2a n a n+1两边取倒数，可得﹣＝2，则{}是首项为1，公差为2的等差数列，可得＝1+2（n﹣1）＝2n﹣1，所以a n＝；（2）证明：由（1）可得＝＝（﹣），所以T n＝（1﹣+﹣+﹣......+﹣+﹣）＝[﹣]，因为n∈N*，所以＞0，则T n＜×＝．21．解：（Ⅰ）等差数列{a n}的公差d＝2，a2是a1与a4的等比中项，可得a22＝a1a4，即（a1+2）2＝a1（a1+6），解得a1＝2，则a n＝a1+（n﹣1）d＝2+2（n﹣1）＝2n；（Ⅱ）数列{b n}满足：，可得a1＝，即b1＝8；n≥2时，a n﹣1＝++…+，与，相减可得2＝，即有b n＝2（3n+1），上式对n＝1也成立，可得b n＝2（3n+1），n∈N*；（Ⅲ）＝n（3n+1），则前n项和T n＝（1•3+2•32+…+n•3n）+（1+2+…+n），设S n＝1•3+2•32+…+n•3n，3S n＝1•32+2•33+…+n•3n+1，相减可得﹣2S n＝3+32+…+3n﹣n•3n+1＝﹣n•3n+1，化简可得S n＝，则T n＝+n（n+1）．22．解：（Ⅰ）由得，故，∵an＞0，∴S n＞0，∴＝+1，（2分）∴数列是首项为，公差为1的等差数列．（3分）∴，∴，…（4分）当n≥2时，，a1＝1，…（5分）又a1＝1适合上式，∴a n＝2n﹣1．…（6分）（Ⅱ）将a n＝2n﹣1代入，…（7分）∴…（9分）∵T n﹣na＜0，∴，∵n∈N+，∴…（10分）∴，∵2n+1≥3，，，∴．（12分）。