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§5 正弦函数的图像与性质 5.1 正弦函数的图像 5.2 正弦函数的性质1．了解利用单位圆中的正弦线画正弦曲线的方法．(重点)2．掌握“五点法”画正弦曲线的方法和步骤，能用“五点法”作出简单的正弦曲线．(难点)3．能用正弦函数的图像理解和记忆正弦函数的性质．(重点、难点)[基础·初探]教材整理1 “五点法”作正弦函数的图像阅读教材P 25～P 27“例1”以上部分，完成下列问题．在函数y ＝sin x ，x ∈[0,2π]的图像上，起着关键作用的有五个关键点：(0,0)，⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，1，(π，0)，⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2，－1，(2π，0)． 描出这五个点后，函数y ＝sin x ，x ∈[0,2π]的图像就基本上确定了．因此，在精确度要求不太高时，我们常常先找出这五个关键点，然后用光滑曲线顺次将它们连接起来，就得到这个函数的简图．我们称这种画正弦函数曲线的方法为“五点法”．如图1－5－1.图1－5－1判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)函数y ＝sin x 在[0,2π]和[4π，6π]上的图像形状相同，只是位置不同．( ) (2)函数y ＝sin x 的图像介于直线y ＝－1和y ＝1之间．( ) (3)函数y ＝sin x 的图像关于x 轴对称．( ) (4)函数y ＝sin x 的图像与y 轴只有一个交点．( )【解析】 由函数y ＝sin x 的图像可知，y ＝sin x 的图像不关于x 轴对称，与y 轴只有一个交点，且图像介于直线y ＝－1和y ＝1之间，在[0,2π]和[4π，6π]上的图像形状相同，而位置不同．【答案】 (1)√ (2)√ (3)× (4)√ 教材整理2 正弦函数的性质阅读教材P 28～P 29“例2”以上部分，完成下列问题．判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)正弦函数y ＝sin x 的定义域为R .( )(2)正弦函数y ＝sin x 是单调增函数．( ) (3)正弦函数y ＝sin x 是周期函数．( )(4)正弦函数y ＝sin x 的最大值为1，最小值是－1.( )【解析】 由正弦函数性质知，(1)(3)(4)均正确，对于(2)，正弦函数在⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π－π2，2k π＋π2(k ∈Z )上是单调增函数，在R 上不具有单调性． 【答案】 (1)√ (2)× (3)√ (4)√[质疑·手记]预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问1：_________________________________________________________ 解惑：___________________________________________________________ 疑问2：_________________________________________________________ 解惑：___________________________________________________________ 疑问3：_________________________________________________________ 解惑：___________________________________________________________[小组合作型]【精彩点拨】 借助于五点作图法按下列次序完成：【自主解答】 (1)列表，如下表所示：(2)描点，连线，如图所示：1．解答本题的关键是要抓住五个关键点．使函数中x 取0，π2，π，3π2，2π，然后相应求出y 值，再作出图像．2．五点法作图是画三角函数的简图的常用方法，作图过程中要注重整体代换思想的运用，特别是在取值、描点上，这五点主要指函数的零点及最大值、最小值点，连线要保持平滑，注意凸凹方向．[再练一题]1．作出函数y ＝－1＋2sin x ，x ∈[0,2π]的简图． 【解】 按五个关键点列表：(1)y ＝1－2sin 2 x ； (2)y ＝log 21sin x －1.【精彩点拨】 先根据条件，求出sin x 的取值范围，再借助于单位圆或正弦线或正弦函数的图像解决．【自主解答】 (1)为使函数有意义，需满足1－2sin 2x ≥0，即sin 2 x ≤12，解得－22≤sin x ≤22，结合单位圆可知，－π4＋2k π≤x ≤π4＋2k π或3π4＋2k π≤x ≤5π4＋2k π(k ∈Z )． ∴原函数的定义域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4＋2k π，π4＋2k π∪⎣⎢⎡⎦⎥⎤3π4＋2k π，5π4＋2k π(k ∈Z )． (2)为使函数有意义，需满足⎩⎪⎨⎪⎧log 21sin x －1≥0，sin x >0，即⎩⎪⎨⎪⎧sin x ≤12，sin x >0.正弦函数和单位圆如图所示：∴定义域为⎩⎨⎧x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫2k π<x ≤2k π＋π6，k ∈Z ∪⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪2k π＋5π6≤x <2k π＋π，k ∈Z.1．求函数的定义域通常是解不等式组，利用“数形结合”，借助于数轴画线求交集的方法进行．在求解三角函数，特别是综合性较强的三角函数的定义域时，我们同样可以利用“数形结合”，在单位圆中画三角函数线，求表示各三角不等式解集的扇形区域的交集来完成．2．求三角函数的定义域要注意三角函数本身的特征和性质，如在转化为不等式或不等式组后，要注意三角函数的符号及单调性，在进行三角函数的变形时，要注意三角函数的每一步变形都要保持恒等，即不能改变原函数的自变量的取值范围．[再练一题]2．求函数y ＝ 2 sin x ＋3的定义域.【导学号：66470014】【解】 要使函数有意义，只需2 sin x ＋3≥0.即sin x ≥－32，如图所示，在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，3π2上，适合条件的x 的取值范围是－π3≤x ≤4π3.所以该函数的定义域是⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π－π3，2k π＋4π3(k ∈Z )．求下列函数的周期，并判断其奇偶性．(1)y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3(x ∈R )；(2)y ＝|sin x |(x ∈R )．【精彩点拨】 (1)利用代换z ＝2x ＋π3，将求原来函数的周期转化为求y ＝sin z 的周期求解，或利用公式求解．(2)作出函数图像观察求解．【自主解答】 (1)法一：令z ＝2x ＋π3，∵x ∈R ，∴z ∈R ，函数y ＝sin z 的最小正周期是2π，就是说变量z 只要且至少要增加到z ＋2π，函数y ＝sin z (z ∈R )的值才能重复取得，而z ＋2π＝2x ＋π3＋2π＝2(x ＋π)＋π3，所以自变量x 只要且至少要增加到x ＋π，函数值才能重复取得，从而函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3(x ∈R )的周期是π.法二：f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3中，ω＝2， ∴T ＝2π|2|＝π.又sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2x ＋π3≠sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3，且sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2x ＋π3≠－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3， ∴y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3是非奇非偶函数．(2)作出y ＝|sin x |的图像如图：由图像可知，y ＝|sin x |的周期为π.其图像关于y 轴对称，∴y ＝|sin x |是偶函数．1．利用周期函数的定义求三角函数的周期，关键是抓住变量“x ”增加到“x＋T ”，函数值重复出现，T 是函数的一个周期这一理论依据．2．常见三角函数周期的求法(1)对于形如函数y ＝A sin(ωx ＋φ)，ω≠0的周期求法，通常用定义T ＝2π|ω|来求解；(2)对于形如y ＝|A sin ωx |的周期情况，常结合图像法来解决．[再练一题]3．求下列函数的周期，并判断其奇偶性． (1)f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－π6；(2)f (x )＝|sin 2x |.【解】 (1)在f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－π6中，∵ω＝12，∴T ＝2π12＝4π.又f (－x )≠－f (x )，且f (－x )≠f (x )， ∴f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－π6是非奇非偶函数．(2)作出f (x )＝|sin 2x |的图像如图：由图知，y ＝|sin 2x |的周期为π2，又其图像关于y 轴对称，因而是偶函数．(1)①sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－3π5与sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－9π4；②sin 1，sin 2，sin 3，sin 4(由大到小排列)．(2)求函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－x 的单调递增区间．【精彩点拨】 (1)将所给角通过诱导公式化到同一单调区间内，然后利用y ＝sin x 的单调性比较大小．(2)将⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－x 视为z ，利用y ＝sin z 的单调性求解．【自主解答】 (1)①sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－3π5＝－sin 2π5， sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－9π4＝－sin π4，sin 2π5>sin π4，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－3π5<sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－9π4.②因为sin 2＝sin(π－2)，sin 3＝sin(π－3)， 且0<π－3<π－2<π2.函数y ＝sin x 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上是增加的，所以sin(π－2)>sin 1>sin(π－3)>0，即sin2>sin 1>sin 3>sin 4.(2)y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－x ＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6. 由2k π＋π2≤x －π6≤2k π＋32π，k ∈Z ，得 2k π＋23π≤x ≤2k π＋53π，k ∈Z .所以原函数的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π＋23π，2k π＋53π，k ∈Z .1．比较sin α与sin β的大小时，可利用诱导公式，把sin α与sin β转化为同一单调区间上的正弦值，再借助于正弦函数的单调性来进行比较．2．比较sin α与cos β的大小，常把cos β转化为sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2±β后，再依据单调性进行比较．3．当不能将两角转到同一单调区间上时，还可以借助于图像或值的符号比较．4．在求形如y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0)的函数的单调区间时，应采用“换元法”整体代换，将“ωx ＋φ”看作一个整体“z ”，即通过求y ＝A sin z 的单调区间求原函数的单调区间．[再练一题]4．比较sin 215π与sin 42π5的大小． 【解】 ∵sin 21π5＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4π＋π5＝sin π5，sin 42π5＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫8π＋2π5＝sin 2π5.∵0<π5<2π5<π2.又y ＝sin x 在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2上单调递增．∴sin π5<sin 2π5，即sin 21π5<sin 42π5.[探究共研型]探究1 【提示】求解函数值域时首先应看函数的定义域，在函数定义域内来求值域． 探究2 对于y ＝A sin 2x ＋B sin x ＋C 型的函数怎样求值域？ 【提示】 利用换元法转化为二次函数求最值．求下列函数的值域． (1)y ＝3－2 sin x ； (2)y ＝－sin 2x ＋3sin x ＋54.【精彩点拨】 (1)利用|sin x |≤1即可求解． (2)配方求解，要注意|sin x |≤1这一情况． 【自主解答】 (1)∵－1≤sin x ≤1， ∴－1≤－sin x ≤1， 1≤3－2 sin x ≤5，∴函数y ＝3－2 sin x 的值域为[1,5]．(2)令t ＝sin x ，则－1≤t ≤1，y ＝－t 2＋3t ＋54＝－⎝⎛⎭⎪⎫t －322＋2， ∴当t ＝32时，y max ＝2.此时sin x ＝32，即x ＝2k π＋π3或x ＝2k π＋2π3，k ∈Z .当t ＝－1时，y min ＝14－ 3.此时sin x ＝－1，即x ＝2k π＋3π2，k ∈Z .∴函数y ＝－sin 2x ＋ 3 sin x ＋54的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤14－3，2.此类求复合函数最大值、最小值问题关键在于依据函数值的计算过程，把原函数转化为两个基本初等函数的最大(小)值问题．解答过程要特别注意：内函数(本例中t ＝sin x )的值域恰好是外函数⎝ ⎛⎭⎪⎫本例中y ＝－t 2＋3t ＋54的定义域．[再练一题]5．求函数y ＝sin 2x －4 sin x －1的值域．【解】 y ＝sin 2x －4 sin x －1＝(sin x －2)2－5.由－1≤sin x ≤1，得当sin x ＝－1时函数的最大值为4，当sin x ＝1时，函数的最小值为－4，所以函数的值域为[－4,4] .[构建·体系]1．正弦函数y ＝sin x ，x ∈R 的图像上的一条对称轴是( )【导学号：66470015】A ．y 轴B ．x 轴C ．直线x ＝π2D ．直线x ＝π【解析】结合函数y ＝sin x ，x ∈R 的图像可知直线x ＝π2是函数的一条对称轴．【答案】 C2．函数f (x )＝3＋sin x 的最小正周期是( )A ．π2B ．πC ．3π2D ．2π【解析】 由3＋sin(2π＋x )＝3＋sin x 知f (x )的最小正周期为2π.【答案】 D3．f (x )＝－2 sin x 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π2上的最大值为________． 【解析】 f (x )＝－2 sin x 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π2上是减少的，所以f (x )max ＝－2·sin π4＝－ 2. 【答案】 － 24．函数f (x )＝sin 2x ＋1的奇偶性是________．【解析】 f (－x )＝[sin(－x )]2＋1＝sin 2x ＋1＝f (x )，所以f (x )为偶函数．【答案】 偶函数5．比较下列各组数的大小．(1)sin 2 016°和cos 160°；(2)sin 74和cos 53.【解】 (1)sin 2 016°＝sin(360°×5＋216°)＝sin 216°＝sin(180°＋36°)＝－sin 36°，cos 160°＝cos(180°－20°)＝－cos 20°＝－sin 70°.∵sin 36°<sin 70°，∴－sin 36°>－sin 70°，即sin 2 016°>cos 160°.(2)cos 53＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋53， 又π2<34<π2＋53<3π2，y ＝sin x 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，3π2上是减少的， ∴sin 74>sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋53＝cos 53， 即sin 74>cos 53.我还有这些不足：(1)______________________________________________________________(2)______________________________________________________________ 我的课下提升方案：(1)______________________________________________________________ (2)______________________________________________________________。
