2015年浙江省温州市平阳中学自主招生数学试卷和解析答案

2015-2016学年浙江省温州市平阳二中高一（上）期中数学试卷一、选择题（共10小题，每题5分，共50分）1．设A={x∈Z|x≤5}，B={x∈Z|x＞1}，那么A∩B等于（）A．{1，2，3，4，5} B．{2，3，4，5} C．{2，3，4} D．{x|1＜x≤5}2．设f（x）=，则f（f（﹣2））=（）A．﹣1 B．C．D．3．f（x）=﹣x2+mx在（﹣∞，1]上是增函数，则m的取值范围是（）A．{2} B．（﹣∞，2]C．[2，+∞）D．（﹣∞，1]4．已知a=，b=，c=1.10.7，则a，b，c的大小关系是（）A．a＜b＜c B．b＜a＜c C．c＜a＜b D．b＜c＜a5．下列函数在（﹣∞，0）上不是增函数的是（）A．f（x）=1﹣B．y=2x C．y=x3D．f（x）=|x|6．函数f（x）=lnx﹣的零点所在的区间为（）A．（0，1）B．（1，2）C．（2，3）D．（3，4）7．已知a=log32，那么log38﹣2log36用a表示是（）A．5a﹣2 B．a﹣2 C．3a﹣（1+a）2D．3a﹣a2﹣18．函数y=log a（x﹣1）（0＜a＜1）的图象大致是（）A．B．C． D．9．定义在R上的偶函数f（x）满足：对任意的x1，x2∈[0，+∞）（x1≠x2），有．则（）A．f（3）＜f（﹣2）＜f（1）B．f（1）＜f（﹣2）＜f（3）C．f（﹣2）＜f（1）＜f（3）D．f（3）＜f（1）＜f（﹣2）10．已知f（x）是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f（x）=x2﹣3x，则函数g（x）=f（x）﹣x+3的零点的集合为（）A．{1，3} B．{﹣3，﹣1，1，3} C．{2﹣，1，3} D．{﹣2﹣，1，3}二、填空题（共7小题，每题4分，共28分）11．已知f（2x+1）=x，则f（x）=．12．855°角的终边在第象限．13．若集合M⊆{1，2，3}，则这样的集合M共有个．14．计算：=．15．将分针拨慢5分钟，则分针转过的弧度数是．16．函数的定义域为．17．已知函数f（x）=若存在x1，x2，当0≤x1＜x2＜2时，f（x1）=f （x2），则x1f（x2）的取值范围是．三、解答题（本大题共4小题，共42分）18．已知全集U=R，集合A={x|x＜3或x＞4}，B={x|4＜x＜5}．（1）求（∁U A）∪B；（2）已知C={x|x≥a}，若C∩B≠∅，求实数a的取值范围．19．已知函数y=a x在[﹣1，0]上的最大值与最小值的和为3．（1）求a的值．（2）若1≤a x＜16，求x的取值范围．20．已知函数f（x）=是奇函数：（1）求实数a和b的值；（2）证明y=f（x）在区间（1，+∞）上单调递减（3）解不等式f（x2﹣x+2）＜f（4）21．已知二次函数f（x）=x2+bx+c的定义域为R，且f（1）=1，f（x）在x=m时取得最值（1）求f（x）的解析式，用m表示（2）当x∈[﹣2，1]时，f（x）≥﹣3恒成立，求实数m的取值范围．2015-2016学年浙江省温州市平阳二中高一（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（共10小题，每题5分，共50分）1．设A={x∈Z|x≤5}，B={x∈Z|x＞1}，那么A∩B等于（）A．{1，2，3，4，5} B．{2，3，4，5} C．{2，3，4} D．{x|1＜x≤5}【考点】交集及其运算．【专题】常规题型．【分析】结合A，B中的元素是整数的特点，运用交集的概念直接求A与B的交集．【解答】解：由A={x∈Z|x≤5}，B={x∈Z|x＞1}，得A∩B={x∈Z|1＜x≤5}={2，3，4，5}．故选B．【点评】本题考查了交集及其运算，考查了交集的概念，是基础题．2．设f（x）=，则f（f（﹣2））=（）A．﹣1 B．C．D．【考点】分段函数的应用；函数的值．【专题】函数的性质及应用．【分析】直接利用分段函数，由里及外逐步求解即可．【解答】解：f（x）=，则f（f（﹣2））=f（2﹣2）=f（）=1﹣=1﹣=．故选：C．【点评】本题考查分段函数的应用，函数值的求法，考查计算能力．3．f（x）=﹣x2+mx在（﹣∞，1]上是增函数，则m的取值范围是（）A．{2} B．（﹣∞，2]C．[2，+∞）D．（﹣∞，1]【考点】二次函数的性质．【专题】计算题；函数的性质及应用．【分析】根据二次函数的图象，可得f（x）在区间（﹣∞，]上是增函数，在区间[+∞）上是减函数．由此结合题意建立关于m的不等式，解之即可得到m的取值范围．【解答】解：∵函数f（x）=﹣x2+mx的图象是开口向下的抛物线，关于直线x=对称，∴函数f（x）=﹣x2+mx在区间（﹣∞，]上是增函数，在区间[+∞）上是减函数∵在（﹣∞，1]上f（x）是增函数∴1≤，解之得m≥2故选：C【点评】本题给出二次函数在给定区间上为增函数，求参数m的取值范围，着重考查了二次函数的图象与性质等知识，属于基础题．4．已知a=，b=，c=1.10.7，则a，b，c的大小关系是（）A．a＜b＜c B．b＜a＜c C．c＜a＜b D．b＜c＜a【考点】对数值大小的比较；有理数指数幂的化简求值；不等关系与不等式．【专题】函数的性质及应用．【分析】利用指数函数函数对数函数的单调性即可得出．【解答】解：∵0=log0.71＜log0.70.8＜log0.70.7=1，log1.10.7＜log1.11=0，1.10.7＞1.10=1，∴b＜a＜c．故选B．【点评】熟练掌握指数函数函数对数函数的单调性是解题的关键．5．下列函数在（﹣∞，0）上不是增函数的是（）A．f（x）=1﹣B．y=2x C．y=x3D．f（x）=|x|【考点】函数单调性的判断与证明．【专题】数形结合法；函数的性质及应用．【分析】直接根据各类函数的性质，对各个选项作出单调性的判断，用到幂函数，指数函数，绝对值函数的图象和性质．【解答】解：根据各类函数的性质对各选项判断如下：A选项，函数f（x）=1﹣在（﹣∞，0）单调递增，因为y=在该区间递减；B选项，指数函数f（x）=2x在（﹣∞，0）单调递增；C选项，幂函数f（x）=x3在（﹣∞，0）单调递增；D选项，绝对值函数f（x）=|x|在（﹣∞，0）单调递减，在（0，+∞）单调递增，故选：D．【点评】本题主要考查了函数单调性的判断和单调区间的确定，涉及指数函数，对数函数，绝对值函数的单调性，属于基础题．6．函数f（x）=lnx﹣的零点所在的区间为（）A．（0，1）B．（1，2）C．（2，3）D．（3，4）【考点】函数零点的判定定理．【专题】计算题；函数的性质及应用．【分析】紧扣函数零点的判定定理即可．【解答】解：函数f（x）=lnx﹣在（0，+∞）上连续，且f（1）=﹣2＜0，f（2）=ln2﹣1＜0，f（3）=ln3﹣＞0．故选C．【点评】本题考查了函数零点的判定定理，属于基础题．7．已知a=log32，那么log38﹣2log36用a表示是（）A．5a﹣2 B．a﹣2 C．3a﹣（1+a）2D．3a﹣a2﹣1【考点】对数的运算性质．【专题】计算题．【分析】利用对数的幂的运算法则及积的运算法则将log38﹣2log36用log32，从而用a表示．【解答】解：∵log38﹣2log36=3log32﹣2（1+log32）=log32﹣2=a﹣2故选B．【点评】解决对数的化简、求值题时，先判断出各个对数的真数的形式，再选择合适对数的运算法则化简．8．函数y=log a（x﹣1）（0＜a＜1）的图象大致是（）A．B．C． D．【考点】对数函数的图像与性质．【专题】作图题；运动思想．【分析】根据0＜a＜1，判断出函数的单调性，即y=log a x在（0，+∞）上单调递减，故排除C，D，而函数y=log a（x﹣1）的图象是由y=log a x的图象向右平移一个单位得到，得到答案．【解答】解：∵0＜a＜1，∴y=log a x在（0，+∞）上单调递减，又∵函数y=log a（x﹣1）的图象是由y=log a x的图象向右平移一个单位得到，故选A．【点评】此题是个基础题．考查对数函数的图象和性质以及函数图象的平移变换，有效考查了学生对基础知识、基本技能的掌握程度．9．定义在R上的偶函数f（x）满足：对任意的x1，x2∈[0，+∞）（x1≠x2），有．则（）A．f（3）＜f（﹣2）＜f（1）B．f（1）＜f（﹣2）＜f（3）C．f（﹣2）＜f（1）＜f（3）D．f（3）＜f（1）＜f（﹣2）【考点】函数奇偶性的性质；函数单调性的性质．【专题】计算题；压轴题．【分析】对任意的x1，x2∈[0，+∞）（x1≠x2），有．可得出函数在[0，+∞）上是减函数，再由偶函数的性质得出函数在（﹣∞，0]是增函数，由此可得出此函数函数值的变化规律，由此规律选出正确选项【解答】解：任意的x1，x2∈[0，+∞）（x1≠x2），有．∴f（x）在（0，+∞]上单调递减，又f（x）是偶函数，故f（x）在（﹣∞，0]单调递增．且满足n∈N*时，f（﹣2）=f（2），3＞2＞1＞0，由此知，此函数具有性质：自变量的绝对值越小，函数值越大∴f（3）＜f（﹣2）＜f（1），故选A．【点评】本题主要考查了函数奇偶性的应用和函数的单调性的应用．属基础题．10．已知f（x）是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f（x）=x2﹣3x，则函数g（x）=f（x）﹣x+3的零点的集合为（）A．{1，3} B．{﹣3，﹣1，1，3} C．{2﹣，1，3} D．{﹣2﹣，1，3}【考点】函数奇偶性的性质．【专题】函数的性质及应用．【分析】首先根据f（x）是定义在R上的奇函数，求出函数在R上的解析式，再求出g（x）的解析式，根据函数零点就是方程的解，问题得以解决．【解答】解：∵f（x）是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f（x）=x2﹣3x，令x＜0，则﹣x＞0，∴f（﹣x）=x2+3x=﹣f（x）∴f（x）=﹣x2﹣3x，∴∵g（x）=f（x）﹣x+3∴g（x）=令g（x）=0，当x≥0时，x2﹣4x+3=0，解得x=1，或x=3，当x＜0时，﹣x2﹣4x+3=0，解得x=﹣2﹣，∴函数g（x）=f（x）﹣x+3的零点的集合为{﹣2﹣，1，3}故选：D．【点评】本题考查函数的奇偶性及其应用，考查函数的零点，函数方程思想．二、填空题（共7小题，每题4分，共28分）11．已知f（2x+1）=x，则f（x）=x﹣．【考点】函数解析式的求解及常用方法．【专题】转化思想；换元法；函数的性质及应用．【分析】变形为f（2x+1）=x=，即可得到．【解答】解：∵f（2x+1）=x=，则f（x）=x﹣．故答案为：x﹣．【点评】本题考查了函数解析式的求法，考查了计算能力，属于基础题．12．855°角的终边在第二象限．【考点】象限角、轴线角．【专题】对应思想；转化法；三角函数的求值．【分析】判断角的范围，写出结果即可．【解答】解：855°∈（720°+90°，720°+180°），所以角的终边在第二象限角．故答案为：二．【点评】本题考查象限角的表示，基本知识的考查．13．若集合M⊆{1，2，3}，则这样的集合M共有8个．【考点】子集与真子集；集合的包含关系判断及应用．【专题】计算题；集合思想；定义法；集合．【分析】根据集合中元素的个数确定集合的子集的个数．【解答】解：∵集合{1，2，3}的子集有23=8个，集合M⊆{1，2，3}，∴集合M⊆{1，2，3}，则这样的集合M共有8个，故答案为：8【点评】本题给出集合的包含关系，求满足条件集合M的个数．考查了集合的包含关系的理解和子集的概念等知识，属于基础题．14．计算：=．【考点】有理数指数幂的化简求值．【专题】计算题；函数思想；转化法；函数的性质及应用．【分析】直接利用有理指数幂的运算法则化简求解即可．【解答】解：=+1﹣=．故答案为：．【点评】本题考查有理指数幂的运算法则的应用，考查计算能力．15．将分针拨慢5分钟，则分针转过的弧度数是．【考点】弧度制．【专题】三角函数的求值．【分析】利用分针转一周为60分钟，转过的角度为2π，得到10分针是一周的六分之一，进而可得答案．【解答】解：∵分针转一周为60分钟，转过的角度为2π将分针拨慢是逆时针旋转∴钟表拨慢分钟，则分针所转过的弧度数为×2π=故答案为：．【点评】本题考查弧度的定义，一周对的角是2π弧度．考查逆时针旋转得到的角是正角．16．函数的定义域为{x|x＞2且x≠3}．【考点】函数的定义域及其求法；对数函数的定义域．【专题】计算题．【分析】根据对数函数及分式有意义的条件可得，解不等式可得【解答】解：根据对数函数及分式有意义的条件可得解可得，x＞2且x≠3故答案为：{x|x＞2且x≠3}【点评】本题属于以函数的定义为平台，求集合的交集的基础题，也是高考常考的基础型．17．已知函数f（x）=若存在x1，x2，当0≤x1＜x2＜2时，f（x1）=f（x2），则x1f（x2）的取值范围是[，）．【考点】分段函数的解析式求法及其图象的作法；函数的最值及其几何意义；二次函数的性质．【专题】计算题．【分析】先作出函数图象然后根据图象可得要使存在x1，x2，当0≤x1＜x2＜2时，f（x1）=f （x2）则必有0≤x1＜且x+在[0，）的最小值大于等于2x﹣1在[，2）的最小值从而得出x1的取值范围然后再根据x1f（x2）=x1f（x1）=+即问题转化为求y=+在x1的取值范上的值域．【解答】解：作出函数的图象：∵存在x1，x2，当0≤x1＜x2＜2时，f（x1）=f（x2）∴0≤x1＜∵x+在[0，）上的最小值为；2x﹣1在[，2）的最小值为∴x1+≥，x1≥∴≤x1＜∵f（x1）=x1+，f（x1）=f（x2）∴x1f（x2）=x1f（x1）=+令y=+（≤x1＜）∴y=+为开口向上，对称轴为x=﹣的抛物线∴y=+在区间[，）上递增∴当x=时y=当x=时y=∴y∈[，）即x1f（x2）的取值范围为[，）故答案为[，）【点评】本题主要考查了利用一元二次函数的单调性求函数的值域，属常考题，较难．解题的关键是根据函数的图象得出x1的取值范围进而转化为y=+在x1的取值范上的值域即为所求同时一元二次函数的单调性的判断需考察对称轴与区间的关系这要引起重视！三、解答题（本大题共4小题，共42分）18．已知全集U=R，集合A={x|x＜3或x＞4}，B={x|4＜x＜5}．（1）求（∁U A）∪B；（2）已知C={x|x≥a}，若C∩B≠∅，求实数a的取值范围．【考点】交、并、补集的混合运算．【专题】计算题；集合思想；数学模型法；集合．【分析】（1）直接利用补集、并集运算得答案；（2）由C∩B≠∅，结合两集合端点值间的关系列不等式得答案．【解答】解：（1）∵A={x|x＜3或x＞4}，B={x|4＜x＜5}，∴∁U A={x|3≤x≤4}，∴（∁U A）∪B={x|3≤x＜5}；（2）∵C={x|x≥a}，若C∩B≠∅，则a＜5．【点评】本题考查交、并、补集的混合运算，关键是利用集合间的关系列不等式，是基础题．19．已知函数y=a x在[﹣1，0]上的最大值与最小值的和为3．（1）求a的值．（2）若1≤a x＜16，求x的取值范围．【考点】指数函数的单调性与特殊点．【专题】函数的性质及应用．【分析】（1）由指数函数的性质可得，y=a x在[﹣1，0]单调可得a﹣1+a0=3，可求，（2）由指数函数的单调性质，即可求出x的范围．【解答】解：（1）由指数函数的性质可得，y=a x在[﹣1，0]单调，∵函数y=a x在[﹣1，0]上的最大值与最小值的和为3，∴a﹣1+a0=3∴a=，（2）由（1）值，y=，∵1≤a x＜16，∴=1≤＜16=，∴﹣4＜x≤0，．【点评】本题主要考查了指数函数的单调性的应用，属于基础试题，但若本题中给出的是最大值与最小值的差，就需要对a分a＞1，0＜a＜1两种情况讨论了20．已知函数f（x）=是奇函数：（1）求实数a和b的值；（2）证明y=f（x）在区间（1，+∞）上单调递减（3）解不等式f（x2﹣x+2）＜f（4）【考点】奇偶性与单调性的综合．【专题】函数思想；定义法；函数的性质及应用．【分析】（1）根据函数奇偶性的性质建立方程关系进行求解即可．（2）根据函数单调性的定义进行证明．（3）根据函数单调性的性质进行求解即可．【解答】解：（1）∵f（x）=是奇函数，∴f（0）=0，则a=0，即f（x）=，∴f（﹣x）=﹣f（x），即=﹣，即x2﹣bx+1=x2+bx+1，即﹣b=b，得b=0，即a=b=0；（2）∵a=b=0，∴f（x）=，设1＜x1＜x2，则f（x1）﹣f（x2）=﹣==，∵1＜x1＜x2，∴x1﹣x2＜0，x1x2＞1，则1﹣x1x2＜0，则f（x1）﹣f（x2）＞0，则f（x1）＞f（x2），即y=f（x）在区间（1，+∞）上单调递减（3）x2﹣x+2=（x﹣）2+＞1，∵y=f（x）在区间（1，+∞）上单调递减∴不等式f（x2﹣x+2）＜f（4）等价为x2﹣x+2＞4，即x2﹣x﹣2＞0，解得x＞2或x＜﹣1，即不等式的解集为（﹣∞，﹣1）∪（2，+∞）．【点评】本题主要考查函数奇偶性和单调性的证明和应用，利用定义法是证明函数单调性的基本方法．21．已知二次函数f（x）=x2+bx+c的定义域为R，且f（1）=1，f（x）在x=m时取得最值（1）求f（x）的解析式，用m表示（2）当x∈[﹣2，1]时，f（x）≥﹣3恒成立，求实数m的取值范围．【考点】二次函数的性质．【专题】分类讨论；分类法；函数的性质及应用．【分析】（1）根据f（1）=1，f（x）在x=m时取得最值，用m表示b，c可得答案；（2）分别讨论给定区间与对称轴的位置关系，结合f（x）≥﹣3恒成立，综合讨论结果，可得实数m的取值范围．【解答】解：（1）∵f（x）在x=m时取得最值，∴﹣=m，即b=﹣2m，又∵f（1）=1，即1﹣2m+c=1，∴c=2m，∴f（x）=x2﹣2mx+2m；（2）由函数f（x）=x2﹣2mx+2m的图象是开口朝上，且以直线x=m为对称轴的抛物线，且当x∈[﹣2，1]时，f（x）≥﹣3恒成立，则：当m≤﹣2时，仅须f（﹣2）=6m+4≥﹣3，解得：m≥，此时不存在满足条件的m值；当﹣2＜m＜1时，仅须f（m）=2m﹣m2≥﹣3，解得：﹣1≤m≤3，此时：﹣1≤m＜1；当m≥1时，仅须f（1）=1≥﹣3，解得：m≥1；综上所述：m≥﹣1．【点评】本题考查的知识点是二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质，是解答的关键．。

2015-2016学年浙江省温州市平阳二中高三（上）期中数学试卷（理科）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的．1．（5分）设全集U={x∈N|x＜6}，集合A={l，3}，B={3，5}，则（∁U A）∩（∁B）=（）UA．{2，4}B．{2，4，6}C．{0，2，4}D．{0，2，4，6}2．（5分）已知函数y=f（x）+x是偶函数，且f（2）=1，则f（﹣2）=（）A．﹣1 B．1 C．﹣5 D．53．（5分）命题“∃x∈R，使x2+ax﹣4a＜0为假命题”是“﹣16≤a≤0”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件4．（5分）已知等差数列{a n}中，a1=1，前10项的和等于前5的和，若a m+a6=0，则m=（）A．10 B．9 C．8 D．25．（5分）已知m，n是两条不同直线，α，β是两个不同平面，在下列条件中，可得出α⊥β的是（）A．m⊥n，m⊥α，n∥β B．m∥n，m⊥α，n⊥β C．m⊥n，m∥α，n∥β D．m∥n，m∥α，n⊥β6．（5分）已知某锥体的正视图和侧视图如图，其体积为，则该锥体的俯视图可以是（）A．B． C．D．7．（5分）已知，是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量满足（）•（）=0，则||的最大值是（）A．1 B．2 C．D．8．（5分）设函数的集合P=，平面上点的集合Q=，则在同一直角坐标系中，P中函数f（x）的图象恰好经过Q中两个点的函数的个数是（）A．4 B．6 C．8 D．10二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分．9．（6分）已知tanα=2，则tan2α的值为，cos2α=．10．（6分）函数f（x）=的定义域为，值域为．11．（6分）已知数列{a n}满足：a1=2，（n+1）a n=（n﹣1）a n﹣1（n≥2，n∈N*），则=，数列{a n}的通项公式为．12．（6分）向量=（λ﹣1，1），=（λ﹣2，2），若∥，则λ=；若+）⊥（﹣），则λ=．13．（4分）函数f（x）=min{，|x﹣2|}，其中min{a，b}=，则f（x）的最小值为；若直线y=m与函数y=f（x）的图象有三个不同的交点，则实数m的取值范围是．14．（4分）若不等式|x+1|+|2x﹣1|＞a恒成立，则a的取值范围是．15．（4分）设a，b∈R，关于x的方程（x2﹣ax+1）（x2﹣bx+1）=0的四个实根构成以q为公比的等比数列，若q∈[，2]，则ab的取值范围为．三、解答题：本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．16．（14分）在△ABC中，内角A，B，C的对应边分别为a，b，c，已知a=csinB+bcosC．（1）求A+C的值；（2）若b=，求△ABC面积的最大值．17．（15分）设数列{a n}的前n项和为S n．已知a1=1，a n+1=3S n+1，n∈N*．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）记T n为数列{na n}的前n项和，求T n．18．（15分）如图所示，在四棱锥P﹣ABCD中，底面是边长为a的正方形，侧棱PD=a，PA=PC=a，（1）求证：PD⊥平面ABCD；（2）求证：平面PAC⊥平面PBD；（3）若E是PC的中点，求二面角E﹣BD﹣C的正切值．19．（15分）已知函数（1）求f（x）的值域；（2）设函数g（x）=ax﹣2，x∈[﹣2，2]，对于任意x1∈[﹣2，2]，总存在x0∈[﹣2，2]，使得g（x0）=f（x1）成立，求实数a的取值范围．20．（15分）设a为实数，函数f（x）=（x﹣a）2+|x﹣a|﹣a（a﹣1）．（1）若f（0）≤1，求a的取值范围；（2）讨论f（x）的单调性；（3）当a≥2 时，讨论f（x）+在区间（0，+∞）内的零点个数．2015-2016学年浙江省温州市平阳二中高三（上）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的．1．（5分）设全集U={x∈N|x＜6}，集合A={l，3}，B={3，5}，则（∁U A）∩（∁B）=（）UA．{2，4}B．{2，4，6}C．{0，2，4}D．{0，2，4，6}【解答】解：∵全集U={x∈N|x＜6}={0，1，2，3，4，5}，集合A={l，3}，B={3，5}，∴∁U A={0，2，4，5}，∁U B={0，1，2，4}，则（∁U A）∩（∁U B）={0，2，4}．故选：C．2．（5分）已知函数y=f（x）+x是偶函数，且f（2）=1，则f（﹣2）=（）A．﹣1 B．1 C．﹣5 D．5【解答】解：令y=g（x）=f（x）+x，∵f（2）=1，∴g（2）=f（2）+2=1+2=3，∵函数g（x）=f（x）+x是偶函数，∴g（﹣2）=3=f（﹣2）+（﹣2），解得f（﹣2）=5．故选：D．3．（5分）命题“∃x∈R，使x2+ax﹣4a＜0为假命题”是“﹣16≤a≤0”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件【解答】解：∵命题“∃x∈R，使x2+ax﹣4a＜0为假命题”，∴命题“∀x∈R，使x2+ax﹣4a≥0为真命题”，∴△=a2+16a≤0，∴﹣16≤a≤0，即命题“∃x∈R，使x2+ax﹣4a＜0为假命题”⇒“﹣16≤a≤0”；∵﹣16≤a≤0，∴△=a2+16a≤0，∴命题“∀x∈R，使x2+ax﹣4a≥0为真命题”，∴命题“∃x∈R，使x2+ax﹣4a＜0为假命题”，即命题“∃x∈R，使x2+ax﹣4a＜0为假命题”⇒“﹣16≤a≤0”．故命题“∃x∈R，使x2+ax﹣4a＜0为假命题”是“﹣16≤a≤0”的充要条件．故选：C．4．（5分）已知等差数列{a n}中，a1=1，前10项的和等于前5的和，若a m+a6=0，则m=（）A．10 B．9 C．8 D．2【解答】解：在等差数列{a n}中，由S10=S5，得a6+a7+a8+a9+a10=0，即，∴a6+a10=0，又a m+a6=0，∴m=10．故选：A．5．（5分）已知m，n是两条不同直线，α，β是两个不同平面，在下列条件中，可得出α⊥β的是（）A．m⊥n，m⊥α，n∥β B．m∥n，m⊥α，n⊥β C．m⊥n，m∥α，n∥β D．m∥n，m∥α，n⊥β【解答】解：A．当m⊥n，m⊥α时，n∥α或n⊂α，若n∥β，则无法判断α⊥β成立，所以A错误．B．m∥n，m⊥α，则n⊥α，若n⊥β，所以α∥β，所以B错误．C．若m⊥n，m∥α，则n与α关系不确定，所以即使n∥β，则无法判断α⊥β成立，所以C错误．D．若n⊥β，m∥n，所以m⊥β，又m∥α，所以α⊥β，所以D正确．故选：D．6．（5分）已知某锥体的正视图和侧视图如图，其体积为，则该锥体的俯视图可以是（）A．B． C．D．【解答】解：∵锥体的正视图和侧视图均为边长为2的等边三角形，故锥体的高为，又∵锥体的体积为，故锥体的底面面积为2，A中图形的面积为4，不满足要求；B中图形的面积为π，不满足要求；C中图形的面积为2，满足要求；D中图形的面积为，不满足要求；故选：C．7．（5分）已知，是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量满足（）•（）=0，则||的最大值是（）A．1 B．2 C．D．【解答】解：∵；∴；∴如图设，连接AB，作以AB为直径的圆，在圆上取C点，连接OC，则；∴||的最大值为该圆的直径，则：根据图形及已知条件，此时；即的最大值为．故选：C．8．（5分）设函数的集合P=，平面上点的集合Q=，则在同一直角坐标系中，P中函数f（x）的图象恰好经过Q中两个点的函数的个数是（）A．4 B．6 C．8 D．10【解答】解：将数据代入验证知当a=，b=0；a=，b=1；a=1，b=1a=0，b=0a=0，b=1a=1，b=﹣1时满足题意，故选：B．二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分．9．（6分）已知tanα=2，则tan2α的值为﹣，cos2α=﹣．【解答】解：∵tanα=2，则tan2α===﹣，cos2α===﹣，故答案为：﹣；﹣．10．（6分）函数f（x）=的定义域为（﹣2，2），值域为（﹣∞，2] ．【解答】解：∵4﹣x2＞0，∴x∈（﹣2，2），∵0＜4﹣x2≤4，∴≤2，∴值域为（﹣∞，2]．故答案为：（﹣2，2），（﹣∞，2]．11．（6分）已知数列{a n}满足：a1=2，（n+1）a n=（n﹣1）a n﹣1（n≥2，n∈N*），则=，数列{a n}的通项公式为．【解答】解：∵（n+1）a n=（n﹣1）a n﹣1（n≥2，n∈N*），∴=（n≥2，n∈N*），∵=，=，∴=•=，同时累乘得：=••…•=，又∵a1=2，∴a n=•2=，故答案为：、．12．（6分）向量=（λ﹣1，1），=（λ﹣2，2），若∥，则λ=0；若+）⊥（﹣），则λ=3．【解答】解：当∥时，2×（λ﹣1）﹣1×（λ﹣2）=0，解得λ=0；当+）⊥（﹣）时，+=（2λ﹣3，3），﹣=（1，﹣1），∴（2λ﹣3）+3×（﹣1）=0，解得λ=3．故答案为：0，3．13．（4分）函数f（x）=min{，|x﹣2|}，其中min{a，b}=，则f（x）的最小值为0；若直线y=m与函数y=f（x）的图象有三个不同的交点，则实数m的取值范围是（0，1）．【解答】解：令g（x）=，h（x）=|x﹣2|，则f（x）的图象是由g（x）与h （x）图象中位置较低的部分组成，f（x）的最小值为0若直线y=m与函数y=f（x）的图象有三个不同的交点，则0＜m＜y A，由=2﹣x，解得x A=1，∴y A=1，∴m∈（0，1）．故答案为：0，（0，1）14．（4分）若不等式|x+1|+|2x﹣1|＞a恒成立，则a的取值范围是（﹣∞，）．【解答】解：设f（x）=|x+1|+|2x﹣1|=，由于函数f（x）在（﹣∞，﹣1]、（﹣1，）上都是减函数，在[，+∞）上是增函数，故当x=时，函数f（x）取得最小值为f（）=．再根据题意可得＞a，故答案为：（﹣∞，）．15．（4分）设a，b∈R，关于x的方程（x2﹣ax+1）（x2﹣bx+1）=0的四个实根构成以q为公比的等比数列，若q∈[，2]，则ab的取值范围为．【解答】解：设方程（x2﹣ax+1）（x2﹣bx+1）=0的4个实数根依次为m，mq，mq2，mq3，由等比数列性质，不妨设m，mq3为x2﹣ax+1=0的两个实数根，则mq，mq2为方程x2﹣bx+1=0的两个根，由韦达定理得，m2q3=1，m+mq3=a，mq+mq2=b，则故ab=（m+mq3）（mq+mq2）=m2（1+q3）（q+q2）=（1+q3）（q+q2）=+，设t=，则=t2﹣2，因为q∈[，2]，且t=在[，1]上递减，在（1，2]上递增，所以t∈[2，]，则ab=t2+t﹣2=，所以当t=2时，ab取到最小值是4，当t=时，ab取到最大值是，所以ab的取值范围是：．三、解答题：本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．16．（14分）在△ABC中，内角A，B，C的对应边分别为a，b，c，已知a=csinB+bcosC．（1）求A+C的值；（2）若b=，求△ABC面积的最大值．【解答】解：（1）由正弦定理得到：sinA=sinCsinB+sinBcosC，∵在△ABC中，sinA=sin[π﹣（B+C）]=sin（B+C），∴sin（B+C）=sinBcosC+cosBsinC=sinCsinB+sinBcosC，∴cosBsinC=sinCsinB，∵C∈（0，π），sinC≠0，∴cosB=sinB，即tanB=1，∵B∈（0，π），∴B=，即A+C=；（2）由余弦定理得到：b2=a2+c2﹣2accosB，即2=a2+c2﹣ac，∴2+ac=a2+c2≥2ac，即ac≤=2+，当且仅当a=c，即a=c=时取“=”，∵S=acsinB=ac，△ABC∴△ABC面积的最大值为．17．（15分）设数列{a n}的前n项和为S n．已知a1=1，a n+1=3S n+1，n∈N*．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）记T n为数列{na n}的前n项和，求T n．【解答】解：（Ⅰ）由题意，a n=3S n+1，+1则当n≥2时，a n=3S n﹣1+1．=4a n（n≥2）．两式相减，得a n+1又∵a1=1，a2=4，∴，∴数列{a n}是以首项为1，公比为4的等比数列，∴（n∈N*），（Ⅱ）由（I）得，，∴，两式相减得，，整理得，（n∈N*）．18．（15分）如图所示，在四棱锥P﹣ABCD中，底面是边长为a的正方形，侧棱PD=a，PA=PC=a，（1）求证：PD⊥平面ABCD；（2）求证：平面PAC⊥平面PBD；（3）若E是PC的中点，求二面角E﹣BD﹣C的正切值．【解答】证明：（1）∵PD=a，DC=a，PC=a，∴PC2=PD2+DC2，∴PD⊥DC．同理可证PD⊥AD，又AD∩DC=D，∴PD⊥平面ABCD．（2）由（1）知PD⊥平面ABCD，∴PD⊥AC，而四边形ABCD是正方形，∴AC⊥BD，又BD∩PD=D，∴AC⊥平面PDB．同时，AC⊂平面PAC，∴平面PAC⊥平面PBD．（3）过点E作EF⊥CD于F，过F作HF⊥BD于H，故∠FHE为二面角E﹣BD﹣C的平面角．在Rt△EFH中，tan∠FHE=．19．（15分）已知函数（1）求f（x）的值域；（2）设函数g（x）=ax﹣2，x∈[﹣2，2]，对于任意x1∈[﹣2，2]，总存在x0∈[﹣2，2]，使得g（x0）=f（x1）成立，求实数a的取值范围．【解答】解：（1）当当当∴（2）①若a=0，g（x）=﹣2，对于任意②当a＞0时，g（x）=ax﹣2在[﹣2，2]是增函数，g（x）∈[﹣2a﹣2，2a﹣2]任给若存在x0∈[﹣2，2]，使得g（x0）=f（x1）成立则③a＜0，g（x）=ax﹣2在[﹣2，2]是减函数，g（x）∈[2a﹣2，﹣2a﹣2]∴综上，实数20．（15分）设a为实数，函数f（x）=（x﹣a）2+|x﹣a|﹣a（a﹣1）．（1）若f（0）≤1，求a的取值范围；（2）讨论f（x）的单调性；（3）当a≥2 时，讨论f（x）+在区间（0，+∞）内的零点个数．【解答】解：（1）若f（0）≤1，即：a2+|a|﹣a（a﹣1）≤1．可得|a|+a﹣1≤0，当a≥0时，a，可得a∈[0，]．当a＜0时，|a|+a﹣1≤0，恒成立．综上a．∴a的取值范围：；（2）函数f（x）==，当x＜a时，函数f（x）的对称轴为：x==a+＞a，y=f（x）在（﹣∞，a）时是减函数，当x≥a时，函数f（x）的对称轴为：x==a﹣＜a，y=f（x）在（a，+∞）时是增函数，（3）F（x）=f（x）+=，，当x＜a时，=，所以，函数F（x）在（0，a）上是减函数．当x≥a时，因为a≥2，所以，F′（x）=═，所以，函数F（x）在（a，+∞）上是增函数．F（a）=a﹣a2+．当a=2时，F（2）=0，此时F（x）有一个零点，当a＞2时，F（a）=a﹣a2+，F′（a）=1﹣2a==．所以F（ah）在（2，+∞）上是减函数，所以F（a）＜，即F（a）＜0，当x＞0且x→0时，F（x）→+∞；当x→+∞时，F（x）→+∞，所以函数F（x）有两个零点．综上所述，当a=2时，F（x）有一个零点，a＞2时F（x）有两个零点．。

2014-2015学年浙江省温州市平阳二中高二（上）期中数学试卷（理科）一．选择题（每题4分，共9题，36分）1．（4分）圆x2+y2﹣2x﹣2=0的圆心坐标是（）A．（0，1） B．（0，﹣1）C．（1，0） D．（﹣1，0）2．（4分）已知圆x2+y2﹣2x+my﹣4=0上两点M、N关于直线2x+y=0对称，则圆的半径为（）A．9 B．3 C．2 D．23．（4分）点A（1，3）关于直线y=kx+b对称的点是B（﹣2，1），则直线y=kx+b 在x轴上的截距是（）A．﹣ B．C．﹣ D．4．（4分）由直线y=x+1上的一点向圆（x﹣3）2+y2=1引切线，则切线长的最小值为（）A．1 B．2 C．D．35．（4分）已知m为一条直线，α，β为两个不同的平面，则下列说法正确的是（）A．若m∥α，α∥β，则m∥βB．若α⊥β，m⊥α，则m⊥βC．若m∥α，α⊥β，则m⊥βD．若m⊥α，α∥β，则m⊥β6．（4分）设m，n是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，则下面结论中正确的是（）A．若α⊥γ，β⊥γ，则α∥βB．若m⊥n，m⊥α，n∥β，则α∥βC．若m⊥α，m⊥β，则α∥βD．若m∥n，m∥α，n∥β，则α∥β7．（4分）有若干个边长为1的小正方体搭成一个几何体，这个几何体的主视图和右视图均如图所示，那么符合这个平面图形的小正方体块数最多时该几何体的体积是（）A．6 B．14 C．16 D．188．（4分）四面体ABCD的四个顶点都在球O的表面上，AB⊥平面BCD，△BCD 是边长为3的等边三角形．若AB=2，则球O的表面积为（）A．4πB．12πC．16πD．32π9．（4分）已知两定点A（﹣2，0），B（1，0），若动点P满足|PA|=2|PB|，则P 的轨迹为（）A．直线B．线段C．圆D．半圆二．填空题（每题4分，共6题，24分）10．（4分）已知直线l1：x﹣3y+1=0，l2：2x+my﹣1=0．若l1∥l2，则实数m=．11．（4分）已知两条直线（m+2）x+3my+1=0与（m﹣2）x+（m+2）y﹣3=0相互垂直，则m=．12．（4分）已知a、b为不垂直的异面直线，α是一个平面，则a、b在α上的射影有可能是：①两条平行直线；②两条互相垂直的直线；③同一条直线；④一条直线及其外一点．在上面结论中，正确结论的编号是（写出所有正确结论的编号）13．（4分）如图，某几何体的正视图是边长为2的正方形，左视图和俯视图都是直角边长为2的等腰直角三角形，则该几何体的体积等于．14．（4分）已知正方形ABCD，AB=2，若将△ABD沿正方形的对角线BD所在的直线进行翻折，则在翻折的过程中，四面体A﹣BCD的体积的最大值是．15．（4分）若直线nx+my+3m=0被圆x2+y2=r2（r＞0）截得的最短弦长为8，则r=．三．解答题（每题12分，共5题，60分）16．（12分）已知直线2x﹣y+2=0和x+y+1=0的交点为P，直线l经过点P且与直线x+3y﹣5=0垂直，求直线l的直线方程．17．（12分）如图，在底面是菱形的四棱锥P﹣ABCD中∠ABC=60°，PA=AC=1，PB=PD=，若E是侧棱PD的中点（Ⅰ）证明：PA⊥平面ABCD（Ⅱ）求直线CE与底面ABCD所成角的大小．18．（12分）已知四棱锥S﹣ABCD中，SD⊥平面ABCD，E是SC中点，O是底面正方形ABCD的中心，AB=SD，OF⊥SB，垂足为F（1）求异面直线EO与BC所成的角．（2）求证：平面AFC⊥平面SBC．19．（12分）在直三棱柱ABC﹣A′B′C′中，AB⊥AC，D，E分别是BC，A′B′的中点，AB=AC=2，AA′=4．（Ⅰ）求证：DE∥平面ACC′A′；（Ⅱ）求二面角B′﹣AD﹣C′的余弦值．20．（12分）已知以点A（﹣1，2）为圆心的圆与直线l1：x+2y+7=0相切，切点为P，过点B（﹣2，0）的动直线l与圆A相交于M，N两点，点M在x轴上方（1）当|MN|=2时，求直线l的方程（2）若△PBM的内切圆的圆心在x轴上，求以MN为直径的圆的方程．2014-2015学年浙江省温州市平阳二中高二（上）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一．选择题（每题4分，共9题，36分）1．（4分）圆x2+y2﹣2x﹣2=0的圆心坐标是（）A．（0，1） B．（0，﹣1）C．（1，0） D．（﹣1，0）【解答】解：∵圆x2+y2﹣2x﹣2=0可化为（x﹣1）2+y2=3，∴圆心是（1，0），故选：C．2．（4分）已知圆x2+y2﹣2x+my﹣4=0上两点M、N关于直线2x+y=0对称，则圆的半径为（）A．9 B．3 C．2 D．2【解答】解：因为圆x2+y2﹣2x+my﹣4=0上两点M、N关于直线2x+y=0对称，所以直线经过圆的圆心，圆x2+y2﹣2x+my﹣4=0的圆心坐标（1，﹣），所以2×1﹣=0，m=4．所以圆的半径为：=3故选：B．3．（4分）点A（1，3）关于直线y=kx+b对称的点是B（﹣2，1），则直线y=kx+b 在x轴上的截距是（）A．﹣ B．C．﹣ D．【解答】解：由题意知，解得k=﹣，b=，∴直线方程为y=﹣x+，其在x轴上的截距为﹣×（﹣）=．故选：D．4．（4分）由直线y=x+1上的一点向圆（x﹣3）2+y2=1引切线，则切线长的最小值为（）A．1 B．2 C．D．3【解答】解：切线长的最小值是当直线y=x+1上的点与圆心距离最小时取得，圆心（3，0）到直线的距离为d=，圆的半径为1，故切线长的最小值为，故选：C．5．（4分）已知m为一条直线，α，β为两个不同的平面，则下列说法正确的是（）A．若m∥α，α∥β，则m∥βB．若α⊥β，m⊥α，则m⊥βC．若m∥α，α⊥β，则m⊥βD．若m⊥α，α∥β，则m⊥β【解答】解：对于A，若m∥α，α∥β，则m∥β或m⊂β，不正确；对于B，∵α⊥β，∴设α∩β=a，在平面β内作直线b⊥a，则b⊥α，∵m⊥α，∴m∥b，若m⊄β，则m∥β，若m⊂β，也成立．∴m∥β或m⊂β，不正确；对于C，若m∥α，α⊥β，则则m∥β或m，β相交，不正确；对于D，若m⊥α，α∥β，利用平面与平面平行的性质，可得m⊥β，正确．故选：D．6．（4分）设m，n是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，则下面结论中正确的是（）A．若α⊥γ，β⊥γ，则α∥βB．若m⊥n，m⊥α，n∥β，则α∥βC．若m⊥α，m⊥β，则α∥βD．若m∥n，m∥α，n∥β，则α∥β【解答】解：A、因为垂直于同一平面的两个平面可能平行、相交，不能确定两平面之间是平行关系，故不正确；B、若m⊥n，m⊥α，n∥β，则α∥β或α，β相交，故不正确；C，由垂直同一条直线的两个平面的关系判断，正确；D，若m∥n，m∥α，n∥β，则α∥β或α，β相交，故不正确．故选：C．7．（4分）有若干个边长为1的小正方体搭成一个几何体，这个几何体的主视图和右视图均如图所示，那么符合这个平面图形的小正方体块数最多时该几何体的体积是（）A．6 B．14 C．16 D．18【解答】解：由题意，最底层可以放9个，中间放4个，顶层1个，故最多14个．故体积为14．8．（4分）四面体ABCD的四个顶点都在球O的表面上，AB⊥平面BCD，△BCD 是边长为3的等边三角形．若AB=2，则球O的表面积为（）A．4πB．12πC．16πD．32π【解答】解：取CD的中点E，连结AE，BE，∵在四面体ABCD中，AB⊥平面BCD，△BCD是边长为3的等边三角形．∴Rt△ABC≌Rt△ABD，△ACD是等腰三角形，△BCD的中心为G，作OG∥AB交AB的中垂线HO于O，O为外接球的中心，BE=，BG=，∴R=2．四面体ABCD外接球的表面积为：4πR2=16π．故选：C．9．（4分）已知两定点A（﹣2，0），B（1，0），若动点P满足|PA|=2|PB|，则P 的轨迹为（）A．直线B．线段C．圆D．半圆【解答】解：设P点的坐标为（x，y），∵A（﹣2，0）、B（1，0），动点P满足|PA|=2|PB|，∴，平方得（x+2）2+y2=4[（x﹣1）2+y2]，即（x﹣2）2+y2=4．∴P的轨迹为圆．故选：C．二．填空题（每题4分，共6题，24分）10．（4分）已知直线l1：x﹣3y+1=0，l2：2x+my﹣1=0．若l1∥l2，则实数m=﹣6．【解答】解：直线l1：x﹣3y+1=0的斜率为：，因为直线l1：x﹣3y+1=0，l2：2x+my﹣1=0．l1∥l2，所以=，解得m=﹣6；故答案为：﹣6．11．（4分）已知两条直线（m+2）x+3my+1=0与（m﹣2）x+（m+2）y﹣3=0相互垂直，则m=﹣2或．【解答】解：∵直线（m+2）x+3my+1=0与（m﹣2）x+（m+2）y﹣3=0相互垂直，∴（m+2）（m﹣2）+3m（m+2）=0，解得m=﹣2或m=故答案为：﹣2或12．（4分）已知a、b为不垂直的异面直线，α是一个平面，则a、b在α上的射影有可能是：①两条平行直线；②两条互相垂直的直线；③同一条直线；④一条直线及其外一点．在上面结论中，正确结论的编号是①②④（写出所有正确结论的编号）【解答】解：不妨以正方体为例，A1D与BC1在平面ABCD上的射影互相平行，①正确；AB1与BC1在平面ABCD上的射影互相垂直，②正确；如果a、b在α上的射影是同一条直线，那么a、b共面，不正确．DD1与BC1在平面ABCD上的射影是一条直线及其外一点，④正确．故答案为：①②④13．（4分）如图，某几何体的正视图是边长为2的正方形，左视图和俯视图都是直角边长为2的等腰直角三角形，则该几何体的体积等于．【解答】解：由三视图知几何体是一个四棱锥，四棱锥的底面是一个边长为2的正方形，∴底面面积是2×2=4四棱锥的一条侧棱与底面垂直，长度是2∴四棱锥的体积是=．故答案为：．14．（4分）已知正方形ABCD，AB=2，若将△ABD沿正方形的对角线BD所在的直线进行翻折，则在翻折的过程中，四面体A﹣BCD的体积的最大值是．【解答】解：三棱锥A﹣BCD的底面为△BCD，面积为2，易知当平面ABD垂直于平面BCD时，该三棱锥高为OA最大，体积为=．故答案为：．15．（4分）若直线nx+my+3m=0被圆x2+y2=r2（r＞0）截得的最短弦长为8，则r=5．【解答】解：直线nx+my+3m=0恒过（0，﹣3），圆心到直线的距离为：d=，弦长的最小值为8，此时圆心与（0，﹣3）连线垂直，∴d=3，∴r2﹣32=42，r2=9+16=25．∴r=5．故答案为：5．三．解答题（每题12分，共5题，60分）16．（12分）已知直线2x﹣y+2=0和x+y+1=0的交点为P，直线l经过点P且与直线x+3y﹣5=0垂直，求直线l的直线方程．【解答】解：解方程组可得P（﹣1，0），∵直线x+3y﹣5=0的斜率为﹣，∴由垂直关系可得直线l的斜率为3，∴直线l的直线方程为y﹣0=3（x+1），化为一般式可得3x﹣y+3=0．17．（12分）如图，在底面是菱形的四棱锥P﹣ABCD中∠ABC=60°，PA=AC=1，PB=PD=，若E是侧棱PD的中点（Ⅰ）证明：PA⊥平面ABCD（Ⅱ）求直线CE与底面ABCD所成角的大小．【解答】证明：（1）∵在底面是菱形的四棱锥P﹣ABCD中∠ABC=60°，PA=AC=1，PB=PD=，∴AB2+PA2=PB2，AD2+PA2=PD2，∴PA⊥AB，PA⊥AD，∵AB∩AD=A，∴PA⊥平面ABCD．解：（2）∵E是侧棱PD的中点∴过点E作EO⊥平面ABCD，交AD于点O，连结CO，则∠ECO是直线CE与底面ABCD所成角，CO=，∵四棱锥P﹣ABCD中∠ABC=60°，PA=AC=1，PB=PD=，∴DO=，CO==，∴tan==，∴∠ECO=30°，∴直线CE与底面ABCD所成角的大小为30°．18．（12分）已知四棱锥S﹣ABCD中，SD⊥平面ABCD，E是SC中点，O是底面正方形ABCD的中心，AB=SD，OF⊥SB，垂足为F（1）求异面直线EO与BC所成的角．（2）求证：平面AFC⊥平面SBC．【解答】（1）解：在平面ABCD内，过O作OH⊥DC于H，连接EH，∵O为底面正方形ABCD的中心，∴H为CD的中点，又E为SC的中点，则EH∥SD，∵SD⊥平面ABCD，∴EH⊥平面ABCD，则EH⊥OH，设AB=a，∵AB=SD，则OH=HE=，在Rt△OHE中，由OH=HE=，得∠OHE=，∴异面直线EO与BC所成的角为；（2）证明：∵SD⊥平面ABCD，∴SD⊥AC，又AC⊥BD，且SD∩BD=D，∴AC⊥平面SDB，则AC⊥SB，又OF⊥SB，OF∩AC=O，∴SB⊥平面AFC．而SB⊂平面SBC，则平面AFC⊥平面SBC．19．（12分）在直三棱柱ABC﹣A′B′C′中，AB⊥AC，D，E分别是BC，A′B′的中点，AB=AC=2，AA′=4．（Ⅰ）求证：DE∥平面ACC′A′；（Ⅱ）求二面角B′﹣AD﹣C′的余弦值．【解答】（Ⅰ）证明：取AC的中点F，连结DF，A′F，∵直三棱柱ABC﹣A′B′C′中，AB⊥BC，D，E分别是BC，A′B′的中点，∴DF∥AB，A‘F∥AB，∴DF∥A’E，又∵DF=，A‘E=，∴DF=A’E，∴四边形DFA‘E是平行四边形，∴ED∥平面ACC’A′．（Ⅱ）由题意，AD⊥BC，AD⊥CC′，BC∩CC′=C，∴AD⊥平面BB′C‘C，又∵B′D⊂平面BB′C’C，C′D⊂平面BB’C‘C，∴AD⊥B’D，AD⊥C′D，∴∠B′DC是二面角B′﹣AD﹣C′的平面角，在△B′DC′中，，C′D=3，B′C=2，∴cos∠B′DC′==．20．（12分）已知以点A（﹣1，2）为圆心的圆与直线l1：x+2y+7=0相切，切点为P，过点B（﹣2，0）的动直线l与圆A相交于M，N两点，点M在x轴上方（1）当|MN|=2时，求直线l的方程（2）若△PBM的内切圆的圆心在x轴上，求以MN为直径的圆的方程．【解答】解：（1）设直线l的方程是x=my﹣2或y=0，==1∵d圆心到直线∴=1⇒3m2﹣4m=0⇒m=0或，y=0不成立，∴直线l的方程是：x=﹣2或3x﹣4y+6=0，（2）设切点P（x0，y0），则k AP=，又k l1=﹣，∴•（﹣）=﹣1，即y0=2x0+4，①又x0+2y0+7=0，②，由①②解得，∴P（﹣3，﹣2），又∵B（﹣2，0）∴k BP==2，∵△PBM的内切圆的圆心在x轴上，∴∠MBE=∠PBE∴k BM=﹣k PB=﹣2，∴直线L的方程为y﹣0=﹣2（x+2），即2x+y+4=0，③∵A（﹣1，2），∴R==2，过点A作AD⊥MN，∴AD==，∴DM2=AM2﹣AD2=，∵k AD•k BM=﹣1，∴k AD=，∴直线AD的方程为y﹣2=（x+1），即x﹣2y+5=0，④，由③④构成方程组，解得，∴以MN为直径的圆的圆心坐标为（﹣，），∴以MN为直径的圆的方程为（x+）2+（y﹣）2=．赠送：初中数学几何模型举例【模型四】几何最值模型：图形特征：l运用举例：1. △ABC中，AB=6，AC=8，BC=10，P为边BC上一动点，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，M为AP的中点，则MF的最小值为EM FB2.如图，在边长为6的菱形ABCD中，∠BAD＝60°，E为AB的中点，F为AC上一动点，则EF+BF的最小值为_________。

2015年普通高等学校招生全国统一考试（浙江卷）数学（理科）第Ⅰ卷（选择题 共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求． （1）【2015年浙江，理1】已知集合2{20}P x x x =-≥，{12}Q x x =<≤，则()R P Q =（ ） （A ）[0,1) （B ）(0,2] （C ）(1,2) （D ）[1,2] 【答案】C【解析】(][),02,P =-∞+∞，()0,2R P =，()()1,2R P Q ∴=，故选C ．【点评】此题考查了交、并、补集的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键． （2）【2015年浙江，理2】某几何体的三视图如图所示（单位：cm ）,则该几何体的体积是（ ）（A ）38cm （B ）312cm （C ）332cm 3 （D ）340cm 3【答案】C【解析】图像为正四棱锥与正方体的组合体，由俯视图知：正方体棱长为2，正四棱锥底面边长2，高为2，所以该几何体的体积3213222233V =+⨯⨯=，故选C ．【点评】本题考查三视图与直观图的关系的判断，几何体的体积的求法，考查计算能力． （3）【2015年浙江，理3】已知{}n a 是等差数列，公差d 不为零，前n 项和是n S ，若348,,a a a 成等比数列，则（ ）（A ）10,0n a d dS >> （B ）10,0n a d dS << （C ）10,0n a d dS >< （D ）10,0n a d dS <>【答案】B【解析】因为245,,a a a 成等比数列，所以()()()211134a d a d a d +=++，化简得2150a d d =-<，()224114646140dS d a d a d d d =+=+=-<，故选B ．【点评】本题考查了等差数列和等比数列的性质，考查了等差数列的前n 项和，是基础题． （4）【2015年浙江，理4】命题“**,()n N f n N ∀∈∈ 且()f n n ≤的否定形式是（ ）（A ）**,()n N f n N ∀∈∈且()f n n > （B ）**,()n N f n N ∀∈∈或()f n n >（C ）**00,()n N f n N ∃∈∈且00()f n n > （D ）**00,()n N f n N ∃∈∈或00()f n n > 【答案】D【解析】全称命题:p x M ∀∈，()p x 的否定是0:p x M ⌝∃∈，()0p x ⌝，所以命题的否定为：*0n N ∃∈，()*0f n N ∉或()00f n n >，故选D ．【点评】本题主要考查含有量词的命题的否定，比较基础． （5）【2015年浙江，理5】如图，设抛物线24y x =的焦点为F ，不经过焦点的直线上有三个不同的点,,A B C ，其中点,A B 在抛物线上，点C 在y 轴上，则n a 与ACF ∆的面积之比是（ ） （A ）11BF AF --（B ）2211BF AF --（C ）11BF AF ++（D ）2211BF AF ++【答案】A【解析】如图所示，抛物线的准线DE 的方程为1x =-，又由抛物线定义知BF BD =，AF AE =，11BM BD BF ∴=-=-，11AN AE AF =-=-，11BCF ACF BMBF S BC S AC AN AF ∆∆-∴===-，故选A ． 【点评】本题主要考查三角形的面积关系，利用抛物线的定义进行转化是解决本题的关键．（6）【2015年浙江，理6】设,A B 是有限集，定义(,)()()d A B card A B card A B =-，其中()card A 表示有限集A 中的元素个数（ ）命题①：对任意有限集,A B ，“A B ≠”是“(,)0d A B >”的充分必要条件；命题②：对任意有限集,,A B C ，(,)(,)(,)d A C d A B d B C ≤+．（A ）命题①和命题②都成立 （B ）命题①和命题②都不成立 （C ）命题①成立，命题②不成立 （D ）命题①不成立，命题②成立 【答案】A【解析】由题意，()()()(),20d A B card A card B card A B =+-≥，命题①：()()(),0A B card AB card AB d A B =⇔=⇔=，(),0A B d A B ∴≠⇔>，命题①成立．命题②：由维恩图易知命题②成立，下面给出严格证明：()()(),,,d A C d A B d B C ≤+()()()()()()()()()222card A card C card A C card A card B card AB card B cardC card BC ⇔+-≤+-++-()()()()card A C card A B card B C card B ⇔≥+-()()()()card AC card AC B card A B C card B ⇔≥--⎡⎤⎣⎦，因为()0card A C ≥且()()()0card A C B card ABC card B --≤⎡⎤⎣⎦，故命题②成立，故选A ．【点评】本题考查了，元素和集合的关系，以及逻辑关系，分清集合之间的关系与各集合元素个数之间的关系，注意本题对充要条件的考查．集合的元素个数，体现两个集合的关系，但仅凭借元素个数不能判断集合间的关系，属于基础题．（7）【2015年浙江，理7】存在函数()f x 满足，对任意x R ∈都有（ ）（A ）(sin 2)sin f x x = （B ）2(sin 2)f x x x =+ （C ）2(1)1f x x +=+ （D ）2(2)1f x x x +=+ 【答案】D【解析】选项A ：当4x π=时，()212f =；当54x π=时，()212f =-； 选项B ：当4x π=时，()21164f ππ=+；当54x π=时，()22551164f ππ=+； 选项C ：当1x =-时，()20f =；当1x =时，()22f =；或()21f x +为偶函数，然而1y x =+并不是偶函数；选项D ：()()222111f x x f x x +=+-=+，令1t x =+得()21f t t -=，0t ≥，再令21t m -=，则1t m =+，()1f m m =+，故函数()1f x x =+可以满足要求，故选D ．【点评】本题考查函数的定义的应用，基本知识的考查，但是思考问题解决问题的方法比较难．（8）【2015年浙江，理8】如图，已知ABC ∆，D 是AB 的中点，沿直线CD 将ACD ∆折成A CD '∆，所成二面角A CD B '--的平面角为α，则（ ）（A ）A DB α'∠≤ （B ）A DB α'∠≥ （C ）A CB α'∠≤ （D ）A CB α'∠≤ 【答案】B【解析】解法一：考查特殊值，用排除法，若CA CB ≠，则当απ=时，A CB π'∠<，排除D ，当0α=时， 0A CB '∠>，0A DB '∠>，排除A ，C ，故选B ． 解法二：①当AC BC =时，A DB α'∠=； ②当AC BC ≠时，如图，点A '投影在AE 上，A OE α'=∠，连接AA '，易得ADA AOA ''∠<∠，A DB A OE ''∴∠>∠，即A DB α'∠>． 综上所述，A DB α'∠≥，故选B ．【点评】本题考查空间角的大小比较，注意解题方法的积累，属于中档题．第Ⅱ卷（非选择题 共110分）二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分．（9）【2015年浙江，理9】双曲线2212x y -=的焦距是 ，渐近线方程是 ．【答案】23；22y x =±【解析】2a =，1b =，焦距223c a b =+=，∴焦距为23，渐近线22b y x x a =±=±．【点评】本题考查双曲线的方程与性质，考查学生的计算能力，比较基础．（10）【2015年浙江，理10】已知函数221,1()2lg(1),1x x f x x x ⎧+-≥⎪=⎨⎪+<⎩，则((3))f f -= ，()f x 的最小值是 ． 【答案】0；223-【解析】()()((3))log1011230f f f f -===+-=；当1x ≥时，()23223f x x x=+-≥-（当2x =时取最小值）当2x =时取最小值，当1x <时，()()2log 1log10f x x =+≥=，2230-<，()f x ∴的最小值为223-．【点评】本题主要考查了分段函数的函数值的求解，属于基础试题． （11）【2015年浙江，理11】函数2()sin sin cos 1f x x x x =++的最小正周期是 ，单调递减区间是 ．【答案】π；37,,88k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦【解析】()21cos 2123sin sin cos 1sin 21sin 222242x f x x x x x x π-⎛⎫=++=++=-+ ⎪⎝⎭，所以最小正周期T π=； 单调递减区间：3222242k x k πππππ+≤-≤+，化简得3788k x k ππππ+≤≤+， ∴单调递减区间：37,,88k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦．【点评】本题考查三角函数的化简，涉及三角函数的周期性和单调性，属基础题． （12）【2015年浙江，理12】若2log 3a =，则22a a -+= ． 【答案】433【解析】由2log 3a =可知43a =，即23a =，所以14322333a a -+=+=． 【点评】本题考查对数的运算性质，是基础的计算题． （13）【2015年浙江，理13】如图，三棱锥A BCD -中，3AB AC BD CD ====，2AD BC ==，点,M N 分别是,AD BC 的中点，则异面直线,AN CM 所成的角的余弦值是 __．【答案】78【解析】取ND 的中点E ，因为//ME AN ，则EMC ∠为异面直线AN ，CM 所成的角．22AN =，2ME NE ∴==，22MC =，又EN NC ⊥，223EC EN NC ∴=+=，2837cos 82222EMC +-∴∠==⨯⨯．【点评】本题考查异面直线所成角的求法，考查空间想象能力以及计算能力． （14）【2015年浙江，理14】若实数,x y 满足221x y +≤，则2263x y x y +-+--的最小值是 ．【答案】3【解析】221x y +≤，630x y ∴-->，即6363x y x y --=--，如图，直线220x y +-=将直线221x y +=分成了两部分：①在阴影区域内的(),x y 满足220x y +-≥，即2222x y x y +-=+-， 此时()()2263226324x y x y x y x y x y +-+--=+-+--=-+，利用线性规划可知在34,55A ⎛⎫⎪⎝⎭处取得最小值3；②在阴影区域外的(),x y 满足220x y +-≤，即()2222x y x y +-=-+-， 此时()()22632263834x y x y x y x y x y +-+--=-+-+--=--，利用线性规划可知在34,55A ⎛⎫⎪⎝⎭处取得最小值3．综上，当35x =，45y =时，2263x y x y +-+--的最小值为3．【点评】本题考查直线和圆的位置关系，主要考查二元函数在可行域内取得最值的方法，属于中档题．（15）【2015年浙江，理15】已知12,e e 是空间单位向量，1212e e ⋅=，若空间向量b 满足1252,2b e b e ⋅=⋅=，且对于任意,x y R ∈，12010200()()1(,)b xe ye b x e y e x y R -+≥-+=∈，则0x = ，0y = ，b = ． 【答案】01x =，02y =，22b ==． 【解析】121212121cos ,cos ,2e e e e e e e e ⋅===，12,3e e π∴=，不妨设113,,022e ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭，()21,0,0e =，(),,b m n t =，则由题意知113222b e m n ⋅=+=，252b e m ⋅==，解得52m =，32n =，53,,22b t ⎛⎫∴= ⎪ ⎪⎝⎭， ()125133,,2222b xe ye x y x t ⎛⎫-+=--- ⎪ ⎪⎝⎭，()22221251332222b xe ye x y x t ⎛⎫⎛⎫∴-+=--+-+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()22222243457224y x xy y x y t x y t -⎛⎫=++--++=++-+ ⎪⎝⎭，由题意，当1e x x ==，2e y y ==时，()22243224y x y t -⎛⎫++-+ ⎪⎝⎭取到最小值1，此时21t =，故2225382222b t ⎛⎫⎛⎫=++== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． 【点评】本题考查空间向量的数量积，涉及向量的模长公式，属中档题．三、解答题：本大题共5题，共74分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．（16）【2015年浙江，理16】（本小题满分14分）在()nf n n ≤中，内角**,()n N f n N ∀∈∉所对边分别为**,()n N f n N ∀∈∉．已知4A π=，22212b ac -=-． （Ⅰ）求tan C 的值；（Ⅱ）若()nf n n ≤的面积为7，求b 的值．解：（Ⅰ）由22212b a c -=及正弦定理得2211sin sin 22B C -=，故2cos2sin B C -=．又由4A π=，即34B C π+=， 得cos2sin22sin cos B C C C -==，解得tan 2C =．（Ⅱ）由tan 2C =得25sin 5C =，5cos 5C =，又()sin sin sin 4B A C C π⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，故310sin 10B =，由正弦定理得223c b =，又4A π=，1sin 32bc A =，故62bc =，故3b =．【点评】本题考查了正弦定理余弦定理、同角三角形基本关系式、三角形面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．（17）【2015年浙江，理17】（本小题满分15分）如图，在三棱柱111ABC A B C -中，090BAC ∠=，2AB AC ==，14A A =，1A 在底面ABC 的射影为BC 的中点，D 为11B C 的中点．（Ⅰ）证明：1A D ⊥平面1A BC ；（Ⅱ）求二面角11A BD B --的平面角的余弦值． 解：解法一：（Ⅰ）设E 为BC 的中点，连1,A E AE ．由题1A E ⊥平面ABC ，故1A E AE ⊥．因AB AC =，故AE BC ⊥， 从而AE ⊥平面1A BC ．由,D E 分别11,B C BC 的中点，得1//DE B B 且1DE B B =， 从而1//DE A A ，且1DE A A =，所以1A AED 为平行四边形，故1//A D AE ．又AE ⊥平面1A BC ， 故1A D ⊥平面1A BC ．（Ⅱ）作1A F BD ⊥于F ，连1B F ，由题2AE EB ==，01190A EA A EB ∠=∠=，得114A B A A ==．由11A D B D =，11A B B B =，得11A DB B DB ∆≅∆．由1A F BD ⊥，得1B F BD ⊥，因此11A FB ∠ 为二面角11A BD B --的平面角．由12A D =，14A B =，0190DA B ∠=，得32BD =，1143A F B F ==，由余弦定理得111cos 8A FB =-．解法二：（Ⅰ）如图，以BC 中点为原点O ，CB 方向为x 轴正方向，OA 为y 轴正方向，1OA 为z 轴正方向，建立空间直角坐标系．2BC =，22AC =，221114AO AA AO =+=，易知 ()10,0,14A ，()2,0,0B，()2,0,0C -，()0,2,0A ，()0,2,14D -，()12,2,14B -， ()10,2,0A D =-，()2,2,14BD =--，()12,0,0B D =-，()22,0,0BC =-， ()10,0,14OA =，110A D OA ∴⋅=，11A D OA ∴⊥，又10A D BC ⋅=，1A D BC ∴⊥，又1OA BC O =，1A D ∴⊥平面1A BC ．（Ⅱ）设平面1A BD 的法向量为()1111,,n x y z =，知11120n A D y ⋅=-=，111122140n BD x y z ⋅=--+=，则取()17,0,1n =，设平面1B BD 的法向量为()2222,,n x y z =，则2122222140n B D x y z ⋅=--+=，2220n BD x ⋅=-=，则取()20,7,1n =，12121211cos ,82222n n n n n n ⋅∴===⨯⋅，又知该二面角为钝角，所以其平面角的余弦值为18-．【点评】本题考查空间中线面垂直的判定定理，考查求二面角的三角函数值，注意解题方法的积累，属于中档题． （18）【2015年浙江，理18】（本小题满分15分）已知函数()()2,f x x ax b a b R =++∈，记(),M a b 是()||f x 在区间[]1,1-上的最大值．（Ⅰ）证明：当||2a ≥时，(),2M a b ≥；（Ⅱ）当,a b 满足(),2M a b ≤，求||||a b +的最大值．解：（Ⅰ）由()2224a a f x x b ⎛⎫=++- ⎪⎝⎭，得对称轴为直线2a x =-，由||2a ≥，得||12a -≥，故()f x 在[]1,1-上单调，因此()()(){},max |1|,|1|M a b f f =-．当2a ≥时，()()1124f f a --=≥，故()()4|1||1|f f ≤+-，()(){}max |1|,|1|2f f ∴-≥，即(),2M a b ≥；当2a ≤-时，()()1124f f a --=-≥，故()()4|1||1|f f ≤-+，()(){}max |1|,|1|2f f ∴-≥，即(),2M a b ≥．综上，当||2a ≥时，(),2M a b ≥．（Ⅱ）由(),2M a b ≤得()|1||1|2a b f ++=≤，()|1||1|2a b f -+=-≤，故||3a b +≤，||3a b -≤，由()()||0||||||0a b ab a b a b ab ⎧+≥⎪+=⎨-<⎪⎩，得||||3a b +≤．当2a =，1b =-时，||||3a b +=，且2|21|x x +-在[]1,1-的最大值为2，即()2,12M -=，故||||a b +的最大值为3．【点评】本题考查了二次函数闭区间上的最值求法；解答本题的关键是正确理解(),M a b 是()f x 在区间[]1,1-上的最大值，以及利用三角不等式变形．（19）【2015年浙江，理19】（本小题满分15分）已知椭圆2212x y +=上两个不同的点,A B 关于直线12y mx =+对称． （Ⅰ）求实数m 的取值范围；（Ⅱ）求AOB ∆面积的最大值（O 为坐标原点）． 解：（Ⅰ）由题知0m ≠，可设直线AB ：1y x b m=-+，代入椭圆方程并整理得()()222224210m x mbx m b +-+-=． 因直线AB 与椭圆2212x y +=有两个不同的交点，故()2222820m m m b ∆=+-> ①．将AB 中点2222,22mb m b M m m ⎛⎫ ⎪++⎝⎭代入直线方程12y mx =+得2222m b m +=-②．由①②得m <m > （Ⅱ）令2130,2t m ⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭，则||AB =，且O 到AB的距离为1t d +=，故AOB ∆的面积()1||2S t AB d =⋅≤，当且仅当12t =时，等号成立，故AOB ∆． 【点评】本题考查了椭圆的定义标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题转化为方程联立可得根与系数的关系、中点坐标公式、线段垂直平分线的性质、三角形面积计算公式、弦长公式、均值不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于难题．（20）【2015年浙江，理20】（本小题满分15分）已知数列{}n a 满足112a =且()21n n n a a a n N ++=-∈，数列{}2n a 的前n 项和为n S ，证明：（Ⅰ）()112n n an N a ++≤≤∈；（Ⅱ）()()()112221n S n N n n n +≤≤∈++． 解：（Ⅰ）由题210n n n a a a +-=-≤，即1n n a a +≤，故12n a ≤． 由()111n n n a a a --=-得()()()12111110n n n a a a a a --=--->，故102n a <≤，从而(]111,21n n n a a a +=∈-，即112n n a a +≤≤． （Ⅱ）由题21n n n a a a +=-，故11n n S a a +=- ①．由1111=n n n n a a a a ++-和112n n a a +≤≤得，11112n na a +≤-≤，故11112n n n a a +≤-≤，因此()()111212n a n N n n ++≤≤∈++ ②， 由①②得()()()112221n S n N n n n +≤≤∈++． 【点评】本题是一道数列与不等式的综合题，考查数学归纳法，对表达式的灵活变形是解决本题的关键，注意解题方法的积累，属于难题．。

2015-2016学年浙江省温州市平阳县五校八年级（下）第一次月考数学试卷一、选择题（本题有8小题，每小题4分，共32分．请选出各题中一个符合题意的正确选项，不选、多选、错选，均不给分.）1．使二次根式有意义的x的取值范围是（）A．x≠1 B．x＞1 C．x≤1 D．x≥12．方程x2=4的解为（）A．x=2 B．x=﹣2 C．x1=4，x2=﹣4 D．x1=2，x2=﹣23．甲、乙、丙、丁四位选手各10次射击成绩的方差如表：则这四人中成绩发挥最稳定的是（）A．甲B．乙C．丙D．丁4．用配方法解一元二次方程x2﹣4x﹣1=0，配方后得到的方程是（）A．（x﹣2）2=1 B．（x﹣2）2=4 C．（x﹣2）2=5 D．（x﹣2）2=35．下列各式中，正确的是（）A．=﹣2 B．﹣=﹣2 C．（﹣）2=﹣2 D．=±26．某商品原售价500元，经过连续两次降价后售价为400元．设平均每次降价的百分率为x，则下面所列方程中正确的是（）A．500（1﹣x）2=400 B．400（1﹣x）2=500 C．500（1﹣2x）=400 D．400（1﹣2x）=5007．如图，在长方形ABCD中无重叠放入面积分别为16cm2和12cm2的两张正方形纸片，则图中空白部分的面积为（）cm2．A．16﹣8B．﹣12+8C．8﹣4D．4﹣28．如图，在△ABC中，∠B=90°，AB=6cm，BC=8cm．点P从点A开始沿AB边向点B以1cm/s的速度移动，点Q从点B开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移动．若P、Q两点同时出发，当点Q运动到点C时，P、Q两点同时停止运动，则在整个运动过程中PQ的长度变化情况是（）A．先变长后变短B．一直变短C．一直变长D．先变短后变长二、填空题（本题有8小题，每小题4分，共32分）9．计算：×=．10．若方程x2+mx+1=0的一个根是2，则m=．11．当x=﹣4时，二次根式的值为．12．某小组7位同学的中考体育测试成绩（满分40分）依次为37，40，39，37，40，38，40，则这组数据的中位数是．13．小明设计了一个魔术盒，当任意实数对（a，b）进入其中时，会得到一个新的实数a2﹣b．例如把（3，5）放入其中，就会得到32﹣5=4．现将实数对（m，3m）放入其中，得到实数0，则m=．14．公园新增设了一台滑梯，该滑梯高度AC=2米，滑梯AB的坡比是1：2（即AC：BC=1：2），则滑梯AB的长是米．15．关于x的一元二次方程x2+mx+8=0（m是常数）有两个整数解，则m的值可以是（写出一个即可）．16．如图1，是一张等腰直角三角形彩色纸，∠ACB=90°，AB=40cm，CD⊥AB．现在沿着CD方向裁出三张宽度相等的长方形纸条．若用这些纸条为一幅正方形美术作品镶边（纸条不重叠），如图2所示，已知镶边后的正方形EFGH的面积是400cm 2，则裁出的三条长方形纸条的宽度是 cm ．三、解答题（本题有6小题，共56分）17．计算：（1）3﹣；（2）（2﹣）（3+2） 18．解方程：（1）（x ﹣2）2﹣8=0（2）2x 2﹣5x +3=0．19．某校组织学生开展植树活动．为了解全校学生的植树情况，学校随机抽查了20名学生的植树数量，并将调查数据整理如表：请根据表格提供的信息回答下列问题：（1）调查的植树数量的众数是 棵；（2）求这20名学生的植树数量的平均数；（3）若该校共有500名学生，请根据调查的数据估计该校学生的植树总数约是多少棵？20．如图，在5×5的正方形网格中，设每个小正方形的边长都为1．已知点A 在格点上（即小正方形的顶点）．请你按下列要求完成问题：（1）画一条线段AB ，使得AB=，且点B 在格点上；（2）以上题中所画的线段AB 为一边，画一个直角三角形△ABC ，使点C 在格点上，且另外两边长都是无理数；（3）所画的△ABC的周长为（直接写出答案）．21．自2016年1月10日零时起，金丽温高铁开通，某旅行社为吸引广大市民组团去仙都旅游，推出了如下收费标准：如果人数不超过10人，人均旅游费用为200元，如果人数超过10人，每增加1人，人均旅游费用降低5元，但人均旅游费用不得低于150元．（1）如果某单位组织12人参加仙都旅游，那么需支付旅行社旅游费用元；（2）现某单位组织员工去仙都旅游，共支付给该旅行社旅游费用2625元，那么该单位有多少名员工参加旅游？22．如图，在△ABC中，∠ABC=90°，AB=BC=2．动点P从点C出发，沿折线CBA方向向终点A匀速运动，另一动点Q从点A出发，沿AC方向向终点C匀速运动．已知点P的运动速度是个单位/秒，点Q的运动速度是1个单位/秒，P、Q两点同时出发，当P运动到点A时，P、Q两点同时停止运动，设运动时间为t秒．（1）当t=时，△CPQ的面积是；（2）在整个运动过程中，求△CPQ面积是时t的值；（3）在整个运动过程中，点C关于直线PQ的对称点为C′，若点C′恰好落在CB 或CA边所在直线上，请直接写出满足条件所有t的值．2015-2016学年浙江省温州市平阳县五校八年级（下）第一次月考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本题有8小题，每小题4分，共32分．请选出各题中一个符合题意的正确选项，不选、多选、错选，均不给分.）1．使二次根式有意义的x的取值范围是（）A．x≠1 B．x＞1 C．x≤1 D．x≥1【考点】二次根式有意义的条件．【分析】根据二次根式中的被开方数必须是非负数列出不等式，解不等式即可．【解答】解：由题意得，x﹣1≥0，解得x≥1，故选：D．2．方程x2=4的解为（）A．x=2 B．x=﹣2 C．x1=4，x2=﹣4 D．x1=2，x2=﹣2【考点】解一元二次方程﹣直接开平方法．【分析】两边开方，即可得出方程的解．【解答】解：x2=4，x1=2，x2=2，故选D．3．甲、乙、丙、丁四位选手各10次射击成绩的方差如表：则这四人中成绩发挥最稳定的是（）A．甲B．乙C．丙D．丁【考点】方差．【分析】根据方差的意义可作出判断．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．【解答】解：由表可知丁的方差最小，∴这四人中成绩发挥最稳定的是丁，故选：D．4．用配方法解一元二次方程x2﹣4x﹣1=0，配方后得到的方程是（）A．（x﹣2）2=1 B．（x﹣2）2=4 C．（x﹣2）2=5 D．（x﹣2）2=3【考点】解一元二次方程﹣配方法．【分析】此题考查了配方法解一元二次方程，解题时首先进行移项，变形成x2﹣4x=1，两边同时加上4，则把左边配成完全平方式，右边化为常数．【解答】解：∵x2﹣4x﹣1=0∴x2﹣4x=1∴x2﹣4x+4=1+4∴（x﹣2）2=5故选C．5．下列各式中，正确的是（）A．=﹣2 B．﹣=﹣2 C．（﹣）2=﹣2 D．=±2【考点】算术平方根．【分析】根据立方根，平方根，以及算术平方根的定义进行选择即可．【解答】解：A、=﹣2，故错误；B、﹣=﹣2，故正确；C、（﹣）2=﹣2，故错误；D、=±2，故错误；故选B．6．某商品原售价500元，经过连续两次降价后售价为400元．设平均每次降价的百分率为x，则下面所列方程中正确的是（）A．500（1﹣x）2=400 B．400（1﹣x）2=500 C．500（1﹣2x）=400 D．400（1﹣2x）=500【考点】由实际问题抽象出一元二次方程．【分析】首先表示出第一次降价后的价格500（1﹣x），再表示第二次降价后的价格500（1﹣x）（1﹣x），进而可得答案．【解答】解：设平均每次降价的百分率为x，由题意得：500（1﹣x）2=400，故选：A．7．如图，在长方形ABCD中无重叠放入面积分别为16cm2和12cm2的两张正方形纸片，则图中空白部分的面积为（）cm2．A．16﹣8B．﹣12+8C．8﹣4D．4﹣2【考点】二次根式的应用．【分析】根据正方形的面积求出两个正方形的边长，从而求出AB、BC，再根据空白部分的面积等于长方形的面积减去两个正方形的面积列式计算即可得解．【解答】解：∵两张正方形纸片的面积分别为16cm2和12cm2，∴它们的边长分别为=4cm，=2cm，∴AB=4cm，BC=（2+4）cm，∴空白部分的面积=（2+4）×4﹣12﹣16，=8+16﹣12﹣16，=（﹣12+8）cm2．故选B．8．如图，在△ABC中，∠B=90°，AB=6cm，BC=8cm．点P从点A开始沿AB边向点B以1cm/s的速度移动，点Q从点B开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移动．若P、Q两点同时出发，当点Q运动到点C时，P、Q两点同时停止运动，则在整个运动过程中PQ的长度变化情况是（）A．先变长后变短B．一直变短C．一直变长D．先变短后变长【考点】动点问题的函数图象．【分析】根据勾股定理得到PQ2与时间t的函数关系式，由函数关系式对选项作出选择．【解答】解：设PQ=y，点P、Q的运动时间为t，则y2=（6﹣t）2+（2t）2=4t2﹣12t+36=4（t﹣）2+27，该函数图象是抛物线，且顶点坐标是（，27）．则y2的值是先变短或变长，所以y即PQ的值是先变短或变长，故选：D．二、填空题（本题有8小题，每小题4分，共32分）9．计算：×=6．【考点】二次根式的乘除法．【分析】先将二次根式化为最简，然后再进行二次根式的乘法运算即可．【解答】解：原式=2×=6．故答案为：6．10．若方程x2+mx+1=0的一个根是2，则m=﹣．【考点】一元二次方程的解．【分析】把x=2代入已知方程，列出关于m的新方程，通过解新方程可以求得m的值．【解答】解：把x=2代入方程x2+mx+1=0，得4+2m+1=0，解得m=﹣．故答案是：﹣．11．当x=﹣4时，二次根式的值为3．【考点】二次根式的定义．【分析】直接将x=﹣4，代入二次根式求出即可，注意开方时容易出错．【解答】解：将当x=﹣4，代入二次根式====3，故答案为：3．12．某小组7位同学的中考体育测试成绩（满分40分）依次为37，40，39，37，40，38，40，则这组数据的中位数是39．【考点】中位数．【分析】把数据按从小到大的顺序排列，位于最中间的一个数或两个数的平均数为中位数，由此即可确定这组数据中位数．【解答】解：把这组数据从小到大排序后为37，37，38，39，40，40，40，其中第四个数据为39，所以这组数据的中位数为39．故答案为39．13．小明设计了一个魔术盒，当任意实数对（a，b）进入其中时，会得到一个新的实数a2﹣b．例如把（3，5）放入其中，就会得到32﹣5=4．现将实数对（m，3m）放入其中，得到实数0，则m=0或3．【考点】有理数的混合运算．【分析】根据题意可以得到关于m的方程，从而可以求得m的值，本题得以解决．【解答】解：由题意可得，m2﹣3m=0，∴m（m﹣3）=0，解得，m=0或m=3，故答案为：0或3．14．公园新增设了一台滑梯，该滑梯高度AC=2米，滑梯AB的坡比是1：2（即AC：BC=1：2），则滑梯AB的长是2米．【考点】解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题．【分析】根据坡比求出BC，在Rt△ABC中，根据勾股定理可求出斜边AB的长度．【解答】解：由题意知，AC：BC=1；2，且AC=2，故BC=4米．在Rt△ABC中，AB==2（米），即滑梯AB的长度为2米．故答案是：2．15．关于x的一元二次方程x2+mx+8=0（m是常数）有两个整数解，则m的值可以是6，9，﹣6，﹣9写出一个（写出一个即可）．【考点】根的判别式．【分析】根据方程x2+mx+8=0（m是常数）有两个整数解可得（x﹣2）（x﹣4）=0或（x+2）（x+4）=0或（x+1）（x+8）=0或（x﹣1）（x﹣8）=0，即可得答案．【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2+mx+8=0（m是常数）有两个整数解，∴由x2+mx+8=0可得（x﹣2）（x﹣4）=0或（x+2）（x+4）=0或（x+1）（x+8）=0或（x﹣1）（x﹣8）=0，∴m=2+4=6，或m=﹣2﹣4=﹣6或m=1+8=9或m=﹣1﹣8=﹣9，故答案为：6或﹣6或9或﹣9（写出一个即可）．16．如图1，是一张等腰直角三角形彩色纸，∠ACB=90°，AB=40cm，CD⊥AB．现在沿着CD方向裁出三张宽度相等的长方形纸条．若用这些纸条为一幅正方形美术作品镶边（纸条不重叠），如图2所示，已知镶边后的正方形EFGH的面积是400cm2，则裁出的三条长方形纸条的宽度是5cm．【考点】相似三角形的应用；等腰直角三角形．【分析】先求出正方形的边长为20cm，进而求出裁出的三条长方形纸条的长度之和的最小值是=4（20﹣x），再用三条纸条的长度之和建立方程求解，最后判断是否符合题意．【解答】解：如图1，设裁出的三条长方形纸条的宽度为xcm，（x≤=5）在等腰直角三角形ABC中，AB=40cm，CD⊥AB，∴CD=AB=20，∵镶边后的正方形EFGH的面积是400cm2，∴正方形的边长EF=20，∴裁出的三条长方形纸条的长度之和的最小值是=4（20﹣x），∵MN∥AB，∴△CMN∽△CAB，∴，∵AB=40，CD=20，CP=CD﹣PD=20﹣x，∴MN=2（20﹣x），即：裁出的最长的长方形纸条的长为2（20﹣x），同理：另两条的长分别为2（20﹣2x），2（20﹣3x），根据题意得，2（20﹣x）+2（20﹣2x）+2（20﹣3x）=4（20﹣x），∴x=5，符合题意，裁出的三条长方形纸条的宽度是5cm，故答案为：5．三、解答题（本题有6小题，共56分）17．计算：（1）3﹣；（2）（2﹣）（3+2）【考点】二次根式的混合运算．【分析】（1）根据二次根式的减法可以解答本题；（2）根据多项式乘多项式的方法可以解答本题．【解答】解：（1）3﹣==0；（2）（2﹣）（3+2）=6+4=2．18．解方程：（1）（x﹣2）2﹣8=0（2）2x2﹣5x+3=0．【考点】解一元二次方程﹣因式分解法；解一元二次方程﹣直接开平方法．【分析】（1）利用直接开平方法解方程；（2）利用因式分解法解方程．【解答】解：（1）（x﹣2）2﹣8=0，（x ﹣2）2=8，x ﹣1=， 所以x 1=1+2，x 2=1﹣2，（2）（2x ﹣3）（x ﹣1）=0，2x ﹣3=0或x ﹣1=0，所以x 1=，x 2=1．19．某校组织学生开展植树活动．为了解全校学生的植树情况，学校随机抽查了20名学生的植树数量，并将调查数据整理如表：请根据表格提供的信息回答下列问题：（1）调查的植树数量的众数是 2 棵；（2）求这20名学生的植树数量的平均数；（3）若该校共有500名学生，请根据调查的数据估计该校学生的植树总数约是多少棵？【考点】众数；用样本估计总体；加权平均数．【分析】（1）找到出现次数最多的数就是众数；（2）利用平均数的计算公式进行计算即可；（3）用植树的平均数乘以总人数即可求得植树量．【解答】解：（1）观察表格发现：植树2棵的有8人，最多，所以植树的众数为2棵；故答案为：2．（2）平均数为： =2.5；答：这20名学生的植树数量的平均数是2.5；（3）500×2.5=1250，答：该校学生的植树总数约1250 棵．20．如图，在5×5的正方形网格中，设每个小正方形的边长都为1．已知点A 在格点上（即小正方形的顶点）．请你按下列要求完成问题：（1）画一条线段AB，使得AB=，且点B在格点上；（2）以上题中所画的线段AB为一边，画一个直角三角形△ABC，使点C在格点上，且另外两边长都是无理数；（3）所画的△ABC的周长为2+（直接写出答案）．【考点】勾股定理；无理数．【分析】（1）根据勾股定理画出线段AB即可；（2）画出符合条件的△ABC即可；（3）求出三角形各边的长，进而可得出结论．【解答】解：（1）点B 即为所求；（2）如图，△ABC即为所求；（3）∵AB=，BC=AC=，∴△ABC的周长=2+．故答案为：2+．21．自2016年1月10日零时起，金丽温高铁开通，某旅行社为吸引广大市民组团去仙都旅游，推出了如下收费标准：如果人数不超过10人，人均旅游费用为200元，如果人数超过10人，每增加1人，人均旅游费用降低5元，但人均旅游费用不得低于150元．（1）如果某单位组织12人参加仙都旅游，那么需支付旅行社旅游费用2280元；（2）现某单位组织员工去仙都旅游，共支付给该旅行社旅游费用2625元，那么该单位有多少名员工参加旅游？【考点】一元二次方程的应用．【分析】（1）根据人数超过10人，每增加1人，人均旅游费用降低5元，但人均旅游费用不得低于150元求解；（2）设这次旅游可以安排x人参加，就有10×200=2000＜2625，可以得出人数大于10人，则：（10+x）=2625．【解答】解：（1）依题意得：10×2000+2×=2280（元）；故答案是：2280；（2）因为10×200=2000＜2625．因此参加人比10人多，设在10人基础上再增加x人，由题意得：（10+x）=2625．解得x1=5 x2=25，∵200﹣5x≥150，∴0＜x≤10，经检验x1=5是方程的解且符合题意，x2=25 （舍去）．10+x=10+5=15答：该单位共有15名员工参加旅游．22．如图，在△ABC中，∠ABC=90°，AB=BC=2．动点P从点C出发，沿折线CBA方向向终点A匀速运动，另一动点Q从点A出发，沿AC方向向终点C匀速运动．已知点P的运动速度是个单位/秒，点Q的运动速度是1个单位/秒，P、Q两点同时出发，当P运动到点A时，P、Q两点同时停止运动，设运动时间为t秒．（1）当t=时，△CPQ的面积是；（2）在整个运动过程中，求△CPQ面积是时t的值；（3）在整个运动过程中，点C关于直线PQ的对称点为C′，若点C′恰好落在CB或CA边所在直线上，请直接写出满足条件所有t的值，2．【考点】几何变换综合题．【分析】（1）如图1，过点P作PE⊥AC于点E，结合等腰直角三角形的性质和三角形的面积公式进行解答即可；（2）需要对点P的位置进行分类讨论：当点P位于边BC上和点P位于AB边上两种情况，结合三角形的面积公式进行解答即可；（3）分两种情况，PQ⊥BC和PQ⊥AC，根据等腰直角三角形的性质进行解答．【解答】解：∵∠ABC=90°，AB=BC=2∴AC==4；（1）如图1，过点P作PE⊥AC于点E，∵在△ABC中，∠ABC=90°，AB=BC=2，∴∠C=45°，∴在等腰直角△ECP中，CP=，EC=EP=，∴△CPQ的面积是：CQ•EP=（4﹣）×=．故答案是：；（2）①当0＜t≤2时，如图1，由题意得PC=，PH=t（4﹣t ）t=QC•PH=t 1=1，t 2=3 经检验可知t 2=3 不符合题意，舍去；②当2≤t ＜4时，过点P 作PH ⊥AC 交于点H ，由题意得AP=4﹣t ，PH=4﹣t ，则QC•PH=，即（4﹣t ）•（4﹣t ）=解得t 3=4﹣，t 4=4+．经检验可知 t 4=4+ 不符合题意，舍去．综上所述，在整个运动过程中，求△CPQ 面积是时t 的值是1或4﹣；（3）①如图3，当点C′位于BC 边上时，PQ ⊥BC ，此时CQ=CP ，即4﹣t=×t ，解得t=； ②如图4，当点C′位于CA 边所在直线上时，PQ ⊥AC ，且点P 与点B 重合，此时t=2．综上所述，满足条件的有两个值：，2．故答案是：，2．2017年3月16日。

2014-2015学年浙江省温州市平阳二中高二（上）期中数学试卷（文科）一、选择题（共10小题，每题4分，共40分）1．（4分）若直线的倾斜角为120°，则直线的斜率为（）A．B．C．D．2．（4分）若a，b是异面直线，直线c∥a，则c与b的位置关系是（）A．相交B．异面C．平行D．异面或相交3．（4分）设m、n是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面，则下列命题正确的是（）A．若m∥α，n∥α，则m∥n B．若m∥α，m∥β，则α∥βC．若m∥n，m⊥α，则n⊥αD．若m∥α，α⊥β，则m⊥β4．（4分）如果ac＜0，bc＜0，那么直线ax+by+c=0不通过（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限5．（4分）点P（2，﹣1）为圆（x﹣1）2+y2=25的弦AB的中点，则直线AB的方程为（）A．x+y﹣1=0 B．2x+y﹣3=0 C．x﹣y﹣3=0 D．2x﹣y﹣5=06．（4分）过点（2，1）并与两坐标轴都相切的圆的方程是（）A．（x﹣1）2+（y﹣1）2=1B．（x﹣1）2+（y﹣1）2=1或（x﹣5）2+（y﹣5）2=5C．（x﹣1）2+（y﹣1）2=1或（x﹣5）2+（y﹣5）2=25D．（x﹣5）2+（y﹣5）2=57．（4分）已知某个几何体的三视图如图，根据图中标出的尺寸（单位：cm），可得这个几何体的体积是（）A．B．C．2000cm3 D．4000cm38．（4分）如图长方体中，AB=AD=2，CC 1=，则二面角C1﹣BD﹣C的大小为（）A．30°B．45°C．60°D．90°9．（4分）在棱长为1的正方体上，分别用过共顶点的三条棱中点的平面去截该正方体，则截去8个三棱锥后，剩下的凸多面体的体积是（）A．B．C．D．10．（4分）若直线y=kx+4+2k与曲线有两个交点，则k的取值范围是（）A．[1，+∞）B．[﹣1，﹣）C．（，1]D．（﹣∞，﹣1]二、填空题：本大题共7小题，每小题4分，共28分．11．（4分）球的半径扩大为原来的2倍，它的体积扩大为原来的倍．12．（4分）已知⊙O1：x2+y2=1与⊙O2：（x﹣3）2+（y+4）2=9，则⊙O1与⊙O2的位置关系为．13．（4分）母线长为1的圆锥的侧面积为，则此圆锥展开图的中心角为．14．（4分）求过点（2，3）且在x轴和y轴截距相等的直线的方程．15．（4分）已知圆x2﹣4x﹣4+y2=0上的点P（x，y），求x2+y2的最大值．16．（4分）光线从点（﹣1，3）射向x轴，经过x轴反射后过点（4，6），则反射光线所在的直线方程一般式是．17．（4分）如图2﹣①，一个圆锥形容器的高为a，内装有一定量的水．如果将容器倒置，这时所形成的圆锥的高恰为（如图2﹣②），则图2﹣①中的水面高度为．三、解答题：本大题共5小题，共52分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．18．（8分）已知直线l经过直线3x+4y﹣2=0与直线2x+y+2=0的交点P，且垂直于直线x﹣2y﹣1=0．求：（Ⅰ）直线l的方程；（Ⅱ）直线l与两坐标轴围成的三角形的面积S．19．（10分）已知圆C：（x﹣1）2+y2=9内有一点P（2，2），过点P作直线l交圆C于A、B两点．（1）当l经过圆心C时，求直线l的方程；（写一般式）（2）当直线l的倾斜角为45°时，求弦AB的长．20．（10分）如图，在三棱锥A﹣BPC中，AP⊥PC，AC⊥BC，M为AB中点，D 为PB中点，且△PMB为正三角形，（Ⅰ）求证：MD∥平面APC；（Ⅱ）求证：平面ABC⊥平面APC．21．（12分）在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是一直角梯形，∠BAD=90°，AD∥BC，AB=BC=1，AD=2，PA⊥底面ABCD，PD与底面成30°角．（1）求证：BC∥平面PAD；（2）若AE⊥PC，E为垂足，求证：PD⊥平面ABE．22．（12分）已知半径为5的圆的圆心在x轴上，圆心的横坐标是整数，且与直线4x+3y﹣29=0相切．（Ⅰ）求圆的方程；（Ⅱ）设直线ax﹣y+5=0（a＞0）与圆相交于A，B两点，求实数a的取值范围；（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，是否存在实数a，使得弦AB的垂直平分线l过点P（﹣2，4），若存在，求出实数a的值；若不存在，请说明理由．2014-2015学年浙江省温州市平阳二中高二（上）期中数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（共10小题，每题4分，共40分）1．（4分）若直线的倾斜角为120°，则直线的斜率为（）A．B．C．D．【解答】解：因为直线的斜率等于直线倾斜角的正切值，所以直线l的斜率k=tan120°=tan（180°﹣60°）=﹣tan60°=﹣．故选：B．2．（4分）若a，b是异面直线，直线c∥a，则c与b的位置关系是（）A．相交B．异面C．平行D．异面或相交【解答】解：由a、b是异面直线，直线c∥a知c与b的位置关系是异面或相交，故选：D．3．（4分）设m、n是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面，则下列命题正确的是（）A．若m∥α，n∥α，则m∥n B．若m∥α，m∥β，则α∥βC．若m∥n，m⊥α，则n⊥αD．若m∥α，α⊥β，则m⊥β【解答】解：A、m∥α，n∥α，则m∥n，m与n可能相交也可能异面，所以A 不正确；B、m∥α，m∥β，则α∥β，还有α与β可能相交，所以B不正确；C、m∥n，m⊥α，则n⊥α，满足直线与平面垂直的性质定理，故C正确．D、m∥α，α⊥β，则m⊥β，也可能m∥β，也可能m∩β=A，所以D不正确；故选：C．4．（4分）如果ac＜0，bc＜0，那么直线ax+by+c=0不通过（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【解答】解：∵直线ax+by+c=0可化为y=﹣，ac＜0，bc＜0∴ab＞0，∴﹣＜0，﹣＞0，∴直线过一、二、四象限，不过第三象限．故选：C．5．（4分）点P（2，﹣1）为圆（x﹣1）2+y2=25的弦AB的中点，则直线AB的方程为（）A．x+y﹣1=0 B．2x+y﹣3=0 C．x﹣y﹣3=0 D．2x﹣y﹣5=0【解答】解：∵AB是圆（x﹣1）2+y2=25的弦，圆心为C（1，0）∴设AB的中点是P（2，﹣1）满足AB⊥CP因此，AB的斜率k===1可得直线AB的方程是y+1=x﹣2，化简得x﹣y﹣3=0故选：C．6．（4分）过点（2，1）并与两坐标轴都相切的圆的方程是（）A．（x﹣1）2+（y﹣1）2=1B．（x﹣1）2+（y﹣1）2=1或（x﹣5）2+（y﹣5）2=5C．（x﹣1）2+（y﹣1）2=1或（x﹣5）2+（y﹣5）2=25D．（x﹣5）2+（y﹣5）2=5【解答】解：∵圆与两坐标轴都相切∴设圆方程为﹙x﹣a﹚2+﹙y﹣a﹚2=a2（2，1）代入，得：﹙2﹣a﹚2+﹙1﹣a﹚2=a2﹙a﹣5﹚×﹙a﹣1﹚=0a=5或1﹙x﹣5﹚2+﹙y﹣5﹚2=25﹙x﹣1﹚2+﹙y﹣1﹚2=1．故选：C．7．（4分）已知某个几何体的三视图如图，根据图中标出的尺寸（单位：cm），可得这个几何体的体积是（）A．B．C．2000cm3 D．4000cm3【解答】解：如图，几何体是四棱锥，一个侧面PBC⊥底面ABCD，底面ABCD 是正方形，．故选：B．8．（4分）如图长方体中，AB=AD=2，CC1=，则二面角C1﹣BD﹣C的大小为（）A．30°B．45°C．60°D．90°【解答】解：取BD的中点E，连接C1E，CE由已知中AB=AD=2，CC1=，易得CB=CD=2，C1B=C1D=根据等腰三角形三线合一的性质，我们易得C1E⊥BD，CE⊥BD则∠C1EC即为二面角C1﹣BD﹣C的平面角在△C1EC中，C1E=2，CC1=，CE=故∠C 1EC=30°故二面角C1﹣BD﹣C的大小为30°故选：A．9．（4分）在棱长为1的正方体上，分别用过共顶点的三条棱中点的平面去截该正方体，则截去8个三棱锥后，剩下的凸多面体的体积是（）A．B．C．D．【解答】解：在棱长为1的正方体上，分别用过共顶点的三条棱中点的平面截该正方体，则截去8个三棱锥，8个三棱锥的体积为：=．剩下的凸多面体的体积是1﹣=．故选：D．10．（4分）若直线y=kx+4+2k与曲线有两个交点，则k的取值范围是（）A．[1，+∞）B．[﹣1，﹣）C．（，1]D．（﹣∞，﹣1]【解答】解：曲线即x2+y2=4，（y≥0）表示一个以（0，0）为圆心，以2为半径的位于x轴上方的半圆，如图所示：直线y=kx+4+2k即y=k（x+2）+4表示恒过点（﹣2，4）斜率为k的直线结合图形可得，∵解得∴要使直线与半圆有两个不同的交点，k的取值范围是故选：B．二、填空题：本大题共7小题，每小题4分，共28分．11．（4分）球的半径扩大为原来的2倍，它的体积扩大为原来的8倍．【解答】解：设球原来的半径为r，则扩大后的半径为2r，球原来的体积为，球后来的体积为=，球后来的体积与球原来的体积之比为=8，故答案为8．12．（4分）已知⊙O1：x2+y2=1与⊙O2：（x﹣3）2+（y+4）2=9，则⊙O1与⊙O2的位置关系为相离．【解答】解：根据题意，得⊙O1的半径为r=1，⊙O2的半径为R=3，O1O2=5，R+r=4，R﹣r=2，则4＜5，即R+r＜O1O2，∴两圆相离．故答案为：相离．13．（4分）母线长为1的圆锥的侧面积为，则此圆锥展开图的中心角为．【解答】解：设此圆锥的底面半径为r，由题意可得，解得r=．设此圆锥展开图的中心角为θ，则，解得θ=．故答案为．14．（4分）求过点（2，3）且在x轴和y轴截距相等的直线的方程x+y﹣5=0，或3x﹣2y=0．【解答】解：设直线在x轴为a，y轴截距为b，①当a=b=0时，直线过点（2，3）和（0，0），其方程为，即3x﹣2y=0．②当a=b≠0时，直线方程为，把点（2，3）代入，得，解得a=5，∴直线方程为x+y﹣5=0．故答案为：x+y﹣5=0，或3x﹣2y=0．15．（4分）已知圆x2﹣4x﹣4+y2=0上的点P（x，y），求x2+y2的最大值．【解答】解：因为圆x2﹣4x﹣4+y2=0化为（x﹣2）2+y2=8，所以（x﹣2）2≤8，解得2﹣2≤x≤2+2，圆上的点P（x，y），所以x2+y2=4x+4≤．故答案为：．16．（4分）光线从点（﹣1，3）射向x轴，经过x轴反射后过点（4，6），则反射光线所在的直线方程一般式是9x﹣5y﹣6=0．【解答】解：根据题意：（﹣1，3）关于x轴的对称点为（﹣1，﹣3）而直线又过（4，6）∴其直线为：即：9x﹣5y﹣6=0故答案为：9x﹣5y﹣6=017．（4分）如图2﹣①，一个圆锥形容器的高为a，内装有一定量的水．如果将容器倒置，这时所形成的圆锥的高恰为（如图2﹣②），则图2﹣①中的水面高度为a﹣．【解答】解：令圆锥倒置时水的体积为V′，圆锥体积为V则==V正置后：V水=V则突出的部分V空设此时空出部分高为h，则h3：，∴故水的高度为：a﹣故答案为：a﹣三、解答题：本大题共5小题，共52分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．18．（8分）已知直线l经过直线3x+4y﹣2=0与直线2x+y+2=0的交点P，且垂直于直线x﹣2y﹣1=0．求：（Ⅰ）直线l的方程；（Ⅱ）直线l与两坐标轴围成的三角形的面积S．【解答】解：（Ⅰ）由解得由于点P的坐标是（﹣2，2）．则所求直线l与x﹣2y﹣1=0垂直，可设直线l的方程为2x+y+m=0．把点P的坐标代入得2×（﹣2）+2+m=0，即m=2．所求直线l的方程为2x+y+2=0．（Ⅱ）由直线l的方程知它在x轴．y轴上的截距分别是﹣1．﹣2，所以直线l与两坐标轴围成三角形的面积．19．（10分）已知圆C：（x﹣1）2+y2=9内有一点P（2，2），过点P作直线l交圆C于A、B两点．（1）当l经过圆心C时，求直线l的方程；（写一般式）（2）当直线l的倾斜角为45°时，求弦AB的长．【解答】解：（1）圆C：（x﹣1）2+y2=9的圆心为C（1，0），因直线过点P、C，所以直线l的斜率为2，直线l的方程为y=2（x﹣1），即2x﹣y﹣2=0．（2）当直线l的倾斜角为45°时，斜率为1，直线l的方程为y﹣2=x﹣2，即x﹣y=0圆心C到直线l的距离为，圆的半径为3，弦AB的长为．20．（10分）如图，在三棱锥A﹣BPC中，AP⊥PC，AC⊥BC，M为AB中点，D 为PB中点，且△PMB为正三角形，（Ⅰ）求证：MD∥平面APC；（Ⅱ）求证：平面ABC⊥平面APC．【解答】证明：（Ⅰ）∵M为AB中点，D为PB中点，∴MD∥AP，又MD⊄平面APC，∴MD∥平面APC．（Ⅱ）∵△PMB为正三角形，且D为PB中点，∴MD⊥PB．又由（Ⅰ）知MD∥AP，∴AP⊥PB．又已知AP⊥PC，PB∩PC=P∴AP⊥平面PBC，而BC包含于平面PBC，∴AP⊥BC，又AC⊥BC，而AP∩AC=A，∴BC⊥平面APC，又BC包含于平面ABC∴平面ABC⊥平面PAC．21．（12分）在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是一直角梯形，∠BAD=90°，AD ∥BC，AB=BC=1，AD=2，PA⊥底面ABCD，PD与底面成30°角．（1）求证：BC∥平面PAD；（2）若AE⊥PC，E为垂足，求证：PD⊥平面ABE．【解答】（1）证明：∵AD∥BC，AD⊂平面PAD，BC⊄平面PAD，∴BC∥平面PAD．（2）证明：∵PA⊥底面ABCD，CD⊂平面ABCD，∴PA⊥CD，∵底面ABCD是一直角梯形，∠BAD=90°，AD∥BC，AB=BC=1，AD=2，PD与底面成30°角，∴PA=，AC=CD=，∴AC2+CD2=AD2，∴AC⊥CD，又PA∩AC=A，∴CD⊥平面PAC，∵AE⊂平面PAC，∴CD⊥AE，又AE⊥PC，PC∩CD=C，∴AE⊥平面PCD，∴AE⊥PD，又AB⊥PD，∴PD⊥平面ABE．22．（12分）已知半径为5的圆的圆心在x轴上，圆心的横坐标是整数，且与直线4x+3y﹣29=0相切．（Ⅰ）求圆的方程；（Ⅱ）设直线ax﹣y+5=0（a＞0）与圆相交于A，B两点，求实数a的取值范围；（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，是否存在实数a，使得弦AB的垂直平分线l过点P（﹣2，4），若存在，求出实数a的值；若不存在，请说明理由．【解答】（本小题满分14分）解：（Ⅰ）设圆心为M（m，0）（m∈Z）．由于圆与直线4x+3y﹣29=0相切，且半径为5，所以，即|4m﹣29|=25．因为m为整数，故m=1．故所求圆的方程为（x﹣1）2+y2=25．…（4分）（Ⅱ）把直线ax﹣y+5=0，即y=ax+5，代入圆的方程，消去y，整理，得（a2+1）x2+2（5a﹣1）x+1=0，由于直线ax﹣y+5=0交圆于A，B两点，故△=4（5a﹣1）2﹣4（a2+1）＞0，即12a2﹣5a＞0，由于a＞0，解得a＞，所以实数a的取值范围是（）．（Ⅲ）设符合条件的实数a存在，则直线l的斜率为，l的方程为，即x+ay+2﹣4a=0由于l垂直平分弦AB，故圆心M（1，0）必在l上，所以1+0+2﹣4a=0，解得．由于，故存在实数使得过点P（﹣2，4）的直线l垂直平分弦AB．…（14分）赠送初中数学几何模型【模型三】双垂型：图形特征：运用举例：1.在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以斜边AB为底边向外作等腰三角形PAB，连接PC. （1）如图，当∠APB＝90°时，若AC=5，PC＝62，求BC的长；（2）当∠APB＝90°时，若AB=45APBC的面积是36，求△ACB的周长.P2.已知：如图，B、C、E三点在一条直线上，AB＝AD，BC＝CD.（1）若∠B＝90°，AB＝6，BC＝23，求∠A的值；（2）若∠BAD＋∠BCD＝180°，cos∠DCE＝35，求ABBC的值.3.如图，在四边形ABCD中，AB=AD，∠DAB=∠BCD=90°，（1）若AB=3，BC+CD=5，求四边形ABCD的面积（2）若p= BC+CD，四边形ABCD的面积为S，试探究S与p之间的关系。

2015年浙江省温州市中考适应性数学试卷一、选择题（本题有10小题，每小题4分，共40分．每小题只有一个选项是正确的，不选、多选、错选，均不给分）1．（4分）计算（﹣6）+5的结果是（）A．﹣11 B．11 C．﹣1 D．12．（4分）函数y=中，自变量x的取值范围是（）A．x≠2 B．x≥2 C．x＞2 D．x≥﹣23．（4分）在以下“绿色食品”、“节能减排”、“循环回收”、“质量安全”四个标志中，是轴对称图形的是（）A．B．C．D．4．（4分）如图，是由4个大小相同的正方体搭成的几何体，其俯视图是（）A．B．C．D．5．（4分）不透明的布袋中有2个白球，3个黑球，除颜色外其他都相同，从中随机摸出一个球，恰好为黑球的概率是（）A．B．C．D．6．（4分）为了证明命题“任何偶数都是8的整数倍”是假命题，下列各数中可以作为反例的是（）A．32 B．16 C．8 D．47．（4分）不等式2（x﹣1）≥x的解集在数轴上表示为（）A．B．C．D．8．（4分）如图，已知D，E分别是△ABC的AB，AC边上的点，DE∥BC，且BD=3AD．那么AE：AC等于（）A．2：3 B．1：2 C．1：3 D．1：49．（4分）如图，正方形ABCD的边长为1，分别以顶点A、B、C、D为圆心，1为半径画弧，四条弧交于点E、F、G、H，则图中阴影部分的外围周长为（）A．πB．πC．πD．π10．（4分）把三张大小相同的正方形卡片A，B，C叠放在一个底面为正方形的盒底上，底面未被卡片覆盖的部分用阴影表示．若按图1、图2摆放，阴影部分的面积分别为S1和S2，则S1和S2的大小关系是（）A．S1=S2B．S1＜S2C．S1＞S2D．无法确定二、填空题（本题有6小题，每小题5分，共30分）11．（5分）分解因式：ab﹣2a=．12．（5分）已知一组数据：2，1，﹣1，0，3，则这组数据的中位数是．13．（5分）在同一平面直角坐标系内，将函数y=2x2﹣3的图象向右平移2个单位，再向下平移1个单位得到新图象的顶点坐标是．14．（5分）如图，将Rt△ABC绕直角顶点A顺时针旋转90°，得到△AB′C′，连结BB′，若∠1=25°，则∠C的度数是．15．（5分）如图，在平面直角坐标系中，直线y=kx+b与x轴、y轴分别交于点A （4，0）、B（0，2），点C为线段AB上任意一点，过点C作CD⊥OA于点D，延长DC至点E使CE=DC，作EF⊥y轴于点F，则四边形ODEF的周长为．16．（5分）如图，已知AB，CD是⊙O的两条相互垂直的直径，E为半径OB上的一点，且BE=3OE，延长CE交⊙O于点F，线段AF与DO交于点M，则的值是．三、解答题（本题有8小题，共80分．解答需写出必要的文字说明、验算步骤或证明过程）17．（10分）（1）计算：（2）化简：．18．（8分）如图，已知E、F分别是▱ABCD的边BC、AD上的点，且BE=DF．（1）求证：四边形AECF是平行四边形；（2）若四边形AECF是菱形，且BC=10，∠BAC=90°，求BE的长．19．（8分）如图，△ABC是正方形网格中的格点三角形（顶点在格点上），请分别在图甲，图乙的正方形网格内按下列要求画一个格点三角形．（1）在图甲中，以AC为边画直角三角形，使它的一个锐角等于∠A或∠B，且与△ABC不全等；（2）在图乙中，以AB为边画直角三角形，使它的一个锐角等于∠A或∠B，且与△ABC不全等．20．（8分）某市每年都要举办中小学三独比赛（包括独唱、独舞、独奏三个类别），如图是该市2012年参加三独比赛的不完整的参赛人数统计图．（1）该市参加三独比赛的总人数是人，图中独唱所在扇形的圆心角的度数是度，并把条形统计图补充完整；（2）从这次参赛选手中随机抽取20人调查，其中有9人获奖，请你估算今年全市约有多少人获奖？21．（10分）已知反比例函数的图象经过点A（2，1）．点M（m，n）（0＜m＜2）是该函数图象上的一动点，过点M作直线MB∥x轴，交y轴于点B；过点A作直线AC∥y轴交x轴于点C，交直线MB于点D．（1）求反比例函数的函数解析式；（2）当四边形OADM的面积为2时，请判断BM与DM是否相等，并说明理由．22．（10分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=5，CB=12，AD是△ABC的角平分线，过A、C、D三点的圆与斜边AB交于点E，连接DE．（1）求BE的长；（2）求△ACD外接圆的半径．23．（12分）温州儿童玩具畅销国内外，工人小李在童星玩具厂工作．已知该厂生产A，B两种产品，小李生产1件A产品和1件B产品需35分钟；生产3件A 产品和2件B产品需85分钟．（1）小李生产1件A产品和B产品各需要几分钟？（2）已知该厂工资待遇为：按件计酬，多劳多得，每月另加福利工资300元，全勤奖300元，按月结算．工人每生产一件A种产品和B产品分别可得报酬2.0元、2.6元，小李可能被分配到生产A，B两种产品中的一种或两种．①如果小李可以自己选择一种产品生产，他选择哪种更合算？说明理由．②如果小李4月份工作22天，每天8小时，且享受了该月的福利工资和全勤奖，试确定小李该月的工资收入范围．24．（14分）如图，在平面直角坐标系中，直线AB与x轴交于点A（4，0），与y轴交于点B（0，4），抛物线y=x2﹣4x+4的顶点为E．点C的坐标为（0，m）（m ≠4），点C关于AB的对称点是点D，连结BD，CD，CE，DE（1）当点C在线段OB上时，求证：△BCD是等腰直角三角形；（2）当m＞0时，若△CDE为直角三角形，求tan∠CEO的值；（3）设点P是该抛物线上一点，是否存在m的值，使以P，C，D，E为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出所有满足条件的m的值；若不存在，请说明理由．2015年浙江省温州市中考适应性数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本题有10小题，每小题4分，共40分．每小题只有一个选项是正确的，不选、多选、错选，均不给分）1．（4分）计算（﹣6）+5的结果是（）A．﹣11 B．11 C．﹣1 D．1【分析】根据有理数的加法法则：绝对值不等的异号加减，取绝对值较大的加数符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值，求出（﹣6）+5的结果是多少即可．【解答】解：∵（﹣6）+5=﹣1，∴（﹣6）+5的结果是﹣1．故选：C．2．（4分）函数y=中，自变量x的取值范围是（）A．x≠2 B．x≥2 C．x＞2 D．x≥﹣2【分析】根据被开方数大于等于0列式计算即可得解．【解答】解：由题意得，x﹣2≥0，解得x≥2．故选：B．3．（4分）在以下“绿色食品”、“节能减排”、“循环回收”、“质量安全”四个标志中，是轴对称图形的是（）A．B．C．D．【分析】根据轴对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．【解答】解：A、是轴对称图形，故本选项正确；B、不是轴对称图形，故本选项错误；C、不是轴对称图形，故本选项错误；D、不是轴对称图形，故本选项错误．故选：A．4．（4分）如图，是由4个大小相同的正方体搭成的几何体，其俯视图是（）A．B．C．D．【分析】找到从上面看所得到的图形即可．【解答】解：从上面看是一行3个正方形．故选A．5．（4分）不透明的布袋中有2个白球，3个黑球，除颜色外其他都相同，从中随机摸出一个球，恰好为黑球的概率是（）A．B．C．D．【分析】根据概率的求法，找准两点：①全部情况的总数；②符合条件的情况数目；二者的比值就是其发生的概率．【解答】解：根据题意可得：不透明的袋子里，装有2个白球，3个黑球，故任意摸出1个，摸到黑球概率是3÷5=．故选：C．6．（4分）为了证明命题“任何偶数都是8的整数倍”是假命题，下列各数中可以作为反例的是（）A．32 B．16 C．8 D．4【分析】证明命题为假命题，通常用反例说明，此反例满足命题的题设，但不满足命题的结论．【解答】解：4是偶数，但4不是8的倍数．故选：D．7．（4分）不等式2（x﹣1）≥x的解集在数轴上表示为（）A．B．C．D．【分析】根据解不等式的方法，可得不等式的解集，根据不等式的解集的表示方法，可得答案．【解答】解：2（x﹣1）≥x，解得x≥2，故选：C．8．（4分）如图，已知D，E分别是△ABC的AB，AC边上的点，DE∥BC，且BD=3AD．那么AE：AC等于（）A．2：3 B．1：2 C．1：3 D．1：4【分析】根据DE∥BC，得出=，再根据BD=3AD，即可得出AE：AC的值．【解答】解：∵DE∥BC，∴=，∵BD=3AD，∴==，∴AE：AC=1：4；故选：D．9．（4分）如图，正方形ABCD的边长为1，分别以顶点A、B、C、D为圆心，1为半径画弧，四条弧交于点E、F、G、H，则图中阴影部分的外围周长为（）A．πB．πC．πD．π【分析】连接AF、DF，根据圆的定义判断出△ADF是等边三角形，根据正方形和等边三角形的性质求出∠BAF=30°，同理可得弧DE的圆心角是30°，然后求出弧EF的圆心角是30°，再根据弧长公式求出弧EF的长，然后根据对称性，图中阴影部分的外围四条弧都相等列式计算即可得解．【解答】解：如图，连接AF、DF，由圆的定义，AD=AF=DF，所以，△ADF是等边三角形，∵∠BAD=90°，∠FAD=60°，∴∠BAF=90°﹣60°=30°，同理，弧DE的圆心角是30°，∴弧EF的圆心角是90°﹣30°×2=30°，∴==，由对称性知，图中阴影部分的外围四条弧都相等，所以，图中阴影部分的外围周长=×4=π．故选：B．10．（4分）把三张大小相同的正方形卡片A，B，C叠放在一个底面为正方形的盒底上，底面未被卡片覆盖的部分用阴影表示．若按图1、图2摆放，阴影部分的面积分别为S1和S2，则S1和S2的大小关系是（）A．S1=S2B．S1＜S2C．S1＞S2D．无法确定【分析】根据正方形的性质，可以把两块阴影部分合并后计算面积，然后，比较S1和S2的大小．【解答】解：设底面的正方形的边长为a，正方形卡片A，B，C的边长为b，由图1，得S1=（a﹣b）（a﹣b）=（a﹣b）2，由图2，得S2=（a﹣b）（a﹣b）=（a﹣b）2，∴S1=S2故选：A．二、填空题（本题有6小题，每小题5分，共30分）11．（5分）分解因式：ab﹣2a=a（b﹣2）．【分析】观察原式，公因式为a，然后提取公因式即可．【解答】解：ab﹣2a=a（b﹣2）．（提取公因式）12．（5分）已知一组数据：2，1，﹣1，0，3，则这组数据的中位数是1．【分析】要求中位数，按从小到大的顺序排列后，找出最中间的一个数（或最中间的两个数的平均数）即可．【解答】解：从小到大排列此数据为：﹣1，0，1，2，3，第3位是1，则这组数据的中位数是1．故答案为：1．13．（5分）在同一平面直角坐标系内，将函数y=2x2﹣3的图象向右平移2个单位，再向下平移1个单位得到新图象的顶点坐标是（2，﹣4）．【分析】根据函数图象向左平移加，向右平移减，向上平移加，向下平移减，可得答案．【解答】解：将函数y=2x2﹣3的图象向右平移2个单位，再向下平移1个单位得到新函数解析式为y=2（x﹣2）2﹣3﹣1，即y=2（x﹣2）2﹣4，其顶点坐标为（2，﹣4），故答案为：（2，﹣4）．14．（5分）如图，将Rt△ABC绕直角顶点A顺时针旋转90°，得到△AB′C′，连结BB′，若∠1=25°，则∠C的度数是70°．【分析】根据旋转的性质可得AB=AB′，然后判断出△ABB′是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质可得∠ABB′=45°，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和求出∠B′C′A，然后根据旋转的性质可得∠C=∠B′C′A．【解答】解：∵Rt△ABC绕直角顶点A顺时针旋转90°得到△AB′C′，∴AB=AB′，∴△ABB′是等腰直角三角形，∴∠ABB′=45°，∴∠AC′B′=∠1+∠ABB′=25°+45°=70°，由旋转的性质得∠C=∠AC′B′=70°．故答案为：70°．15．（5分）如图，在平面直角坐标系中，直线y=kx+b与x轴、y轴分别交于点A （4，0）、B（0，2），点C为线段AB上任意一点，过点C作CD⊥OA于点D，延长DC至点E使CE=DC，作EF⊥y轴于点F，则四边形ODEF的周长为8．【分析】根据A、B两点求出直线AB，设C（m，n），则E（m，2n），周长=2m+4n 题目转化为求2m+4n的值．C点代入直线AB即可得m、n的关系．【解答】解：设直线AB解析式为y=kx+b，将A（4，0），B（0，2）代入得∴∴直线AB为y=﹣x+2，设C（m，n），∵CD⊥OA，EC=DC∴E（m，2n），∵∠EFO=∠FOD=∠EDO=90°，∴四边形ODEF是矩形，∴四边形ODEF周长为2m+4n．∵点C（m，n）在直线y=﹣x+2上，∴n=﹣m+2，∴m+2n=4，∴2m+4n=8，∴四边形ODEF周长为8．故答案为8．16．（5分）如图，已知AB，CD是⊙O的两条相互垂直的直径，E为半径OB上的一点，且BE=3OE，延长CE交⊙O于点F，线段AF与DO交于点M，则的值是．【分析】连结BC、BF，如图，设OE=a，则BE=3a，圆的半径为4a，由AB，CD 是⊙O的两条相互垂直的直径得∠AOC=∠BOC=90°，则根据勾股定理可计算出CE=a，BC=4a，再根据圆周角定理得∠ABC=∠CFB=45°，∠BCE=∠FCB，于是可证明△CBE∽△CFB，利用相似比可计算出BF=a，接着利用AB为直径得∠AFB=90°，则利用勾股定理计算出AF=a，然后证明Rt△AOM∽Rt△AFB，利用相似比计算出OM=a，则可得到DM=a，CM=a，最后计算的值．【解答】解：连结BC、BF，如图，设OE=a，则BE=3a，圆的半径为4a，∵AB，CD是⊙O的两条相互垂直的直径，∴∠AOC=∠BOC=90°，在Rt△COE中，CE===a，在Rt△COB中，BC==4a，∵∠ABC=∠CFB=45°，而∠BCE=∠FCB，∴△CBE∽△CFB，∴=，即=，∴BF=a，∵AB为直径，∴∠AFB=90°，在Rt△AFB中，AF===a，∵∠MAO=∠BAF，∴Rt△AOM∽Rt△AFB，∴=，即=，∴OM=a，∴DM=4a﹣a=a，CM=4a+a=a，∴==．故答案为．三、解答题（本题有8小题，共80分．解答需写出必要的文字说明、验算步骤或证明过程）17．（10分）（1）计算：（2）化简：．【分析】（1）原式第一项化为最简二次根式，第二项利用特殊角的三角函数值计算，最后一项利用负整数指数幂法则计算即可得到结果；（2）原式利用同分母分式的加法法则计算即可得到结果．【解答】解：（1）原式=2﹣2×+2=+2；（2）原式====2．18．（8分）如图，已知E、F分别是▱ABCD的边BC、AD上的点，且BE=DF．（1）求证：四边形AECF是平行四边形；（2）若四边形AECF是菱形，且BC=10，∠BAC=90°，求BE的长．【分析】（1）利用平行四边形的性质得出AF∥EC，进而得出AF=EC，进而求出即可；（2）利用菱形的性质以及三角形内角和定理得出∠1=∠2，进而求出∠3=∠4，再利用直角三角形的性质得出答案．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，且AD=BC，∴AF∥EC，∵BE=DF，∴AF=EC，∴四边形AECF是平行四边形．（2）解：∵四边形AECF是菱形，∴AE=EC，∴∠1=∠2，∵∠BAC=90°，∴∠3=90°﹣∠2，∠4=90°﹣∠1，∴∠3=∠4，∴AE=BE，∴BE=AE=CE=BC=5．19．（8分）如图，△ABC是正方形网格中的格点三角形（顶点在格点上），请分别在图甲，图乙的正方形网格内按下列要求画一个格点三角形．（1）在图甲中，以AC为边画直角三角形，使它的一个锐角等于∠A或∠B，且与△ABC不全等；（2）在图乙中，以AB为边画直角三角形，使它的一个锐角等于∠A或∠B，且与△ABC不全等．【分析】（1）如图甲，根据两组对应边成比例，夹角相等的两三角形相似作图；（2）根据三组对应边成比例的两个三角形相似作图．【解答】解：（1）如图甲，∵AC=2，BC=4，∴当CD=1时，∴==，∴Rt△CAD∽Rt△CBA，∴△ACD为所求；（2）如图乙，∵AD=，DB=5，AC=2，BC=4，AB=2，∴===，∴△DAB∽△CAB，∴∠D=∠CAB，∠ABD=∠ABC，∴△ABD为所求．20．（8分）某市每年都要举办中小学三独比赛（包括独唱、独舞、独奏三个类别），如图是该市2012年参加三独比赛的不完整的参赛人数统计图．（1）该市参加三独比赛的总人数是400人，图中独唱所在扇形的圆心角的度数是180度，并把条形统计图补充完整；（2）从这次参赛选手中随机抽取20人调查，其中有9人获奖，请你估算今年全市约有多少人获奖？【分析】（1）利用参加独舞的人数除以参加独舞人数的百分比，进行计算即可求出参赛总人数；求出参加独唱的人数正好是参赛总人数的一半，所以独唱所在扇形的圆心角度数是180°；（2）用参赛总人数乘以获奖率，进行计算即可得解．【解答】解：（1）120÷30%=400人，400﹣120﹣80=200人，×360°=180°；补全条形统计图如图；故答案为：400，180．（2）估计今年全市获奖人数约有400×=180（人）．21．（10分）已知反比例函数的图象经过点A（2，1）．点M（m，n）（0＜m＜2）是该函数图象上的一动点，过点M作直线MB∥x轴，交y轴于点B；过点A作直线AC∥y轴交x轴于点C，交直线MB于点D．（1）求反比例函数的函数解析式；（2）当四边形OADM的面积为2时，请判断BM与DM是否相等，并说明理由．【分析】（1）利用待定系数法求得即可；（2）根据反比例函数系数k的几何意义求得△OMB和△OAC的面积，然后根据S矩形OBDC=S四边形OADM+S△OMB+S△OAC求得矩形的面积为4，从而求得n=2，然后根据△OMB的面积=1，即可求得m，从而证得MB=MD=1．【解答】解：（1）将A（2，1）分别代入中，得，∴k=2，反比例函数的解析式为；（2）BM=DM，理由：∵=S四边形OADM+S△OMB+S△OAC=1+1+2=4，即OC•OB=4，∴S矩形OBDC∵OC=2，∴OB=2，即n=2，∴，∴MB=1，MD=2﹣1=1，∴MB=MD．22．（10分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=5，CB=12，AD是△ABC的角平分线，过A、C、D三点的圆与斜边AB交于点E，连接DE．（1）求BE的长；（2）求△ACD外接圆的半径．【分析】（1）由圆O的圆周角∠ACB=90°，根据90°的圆周角所对的弦为圆的直径得到AD为圆O的直径，再根据直径所对的圆周角为直角可得三角形ADE为直角三角形，又AD是△ABC的角平分线，可得一对角相等，而这对角都为圆O的圆周角，根据同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弦相等可得CD=ED，利用HL 可证明直角三角形ACD与AED全等，根据全等三角形的对应边相等即可得得出AC=AE，进而得出BE的长；（2）由第一问的结论AE=AC，用AB﹣AE可求出EB的长，再由（1）∠AED=90°，得到DE与AB垂直，可得三角形BDE为直角三角形，设DE=CD=x，用CB﹣CD表示出BD=12﹣x，利用勾股定理列出关于x的方程，求出方程的解得到x的值，即为CD的长，在直角三角形ACD中，由AC及CD的长，利用勾股定理即可求出AD的长，进而得出外接圆半径．【解答】解：（1）∵∠ACB=90°，且∠ACB为圆O的圆周角（已知），∴AD为圆O的直径（90°的圆周角所对的弦为圆的直径），∴∠AED=90°（直径所对的圆周角为直角），又AD是△ABC的角平分线（已知），∴∠CAD=∠EAD（角平分线定义），∴CD=DE（在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弦相等），在Rt△ACD和Rt△AED中，，∴Rt△ACD≌Rt△AED（HL），∴AC=AE（全等三角形的对应边相等）；∵△ABC为直角三角形，且AC=5，CB=12，∴根据勾股定理得：AB==13，∴BE=13﹣AC=13﹣5=8；（2）由（1）得到∠AED=90°，则有∠BED=90°，设CD=DE=x，则DB=BC﹣CD=12﹣x，EB=AB﹣AE=AB﹣AC=13﹣5=8，在Rt△BED中，根据勾股定理得：BD2=BE2+ED2，即（12﹣x）2=x2+82，解得：x=，∴CD=，又AC=5，△ACD为直角三角形，∴根据勾股定理得：AD==，根据AD是△ACD外接圆直径，∴△ACD外接圆的半径为：×=．23．（12分）温州儿童玩具畅销国内外，工人小李在童星玩具厂工作．已知该厂生产A，B两种产品，小李生产1件A产品和1件B产品需35分钟；生产3件A 产品和2件B产品需85分钟．（1）小李生产1件A产品和B产品各需要几分钟？（2）已知该厂工资待遇为：按件计酬，多劳多得，每月另加福利工资300元，全勤奖300元，按月结算．工人每生产一件A种产品和B产品分别可得报酬2.0元、2.6元，小李可能被分配到生产A，B两种产品中的一种或两种．①如果小李可以自己选择一种产品生产，他选择哪种更合算？说明理由．②如果小李4月份工作22天，每天8小时，且享受了该月的福利工资和全勤奖，试确定小李该月的工资收入范围．【分析】（1）设小李生产1件A产品需要x分钟，生产一件B产品各需要y分钟，根据题意建立方程组求出其解就可以．（2）①由第（1）分别计算每个小时生产A、B两产品的数量，求出每小时的待遇，进行比较就可以求出生产那种产品划算．②小李的收入等于加工A产品或B产品的收入加上加福利工资300元和全勤奖300元，建立不等式组就可以求出其值．【解答】解：（1）设小李生产1件A产品需要x分钟，生产1件B产品需要y 分钟，由题意得：，解得：，答：生产1件A产品需要15分钟，生产1件B产品需要20分钟．（2）①选择A产品生产更合算．因为选择A产品生产小李每小时可以得报酬：4×2.0=8.0元，选择B产品生产小李每小时可以得报酬：3×2.6=7.8元，8.0＞7.8，所以选择A产品生产更合算．②方法1：设小李每月的工资收入为x元，300+300+22×8×3×2.6≤x≤300+300+22×8×4×2即1972.8≤x≤2008．答：小李该月的工资收入为1972.8至2008元．24．（14分）如图，在平面直角坐标系中，直线AB与x轴交于点A（4，0），与y轴交于点B（0，4），抛物线y=x2﹣4x+4的顶点为E．点C的坐标为（0，m）（m ≠4），点C关于AB的对称点是点D，连结BD，CD，CE，DE（1）当点C在线段OB上时，求证：△BCD是等腰直角三角形；（2）当m＞0时，若△CDE为直角三角形，求tan∠CEO的值；（3）设点P是该抛物线上一点，是否存在m的值，使以P，C，D，E为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出所有满足条件的m的值；若不存在，请说明理由．【分析】（1）由A（4，0），B（0，4），得出OB=OA=4，∠OBA=45°，因为点D 与点C关于直线AB对称，即可证得结论；（2）求得抛物线的顶点，分三种情况分别讨论，根据等腰直角三角形的性质求得m的值，进而就可求得tan∠CEO的值；（3）分C在在线段OB上和当C在在线段OB的延长线上两种情况，根据平行四边形的对边平行且相等求解即可．【解答】（1）证明：∵A（4，0）B（0，4），∴OB=OA=4，∠OBA=45°，∵点D与点C关于直线AB对称，令交点为M，∴DM=CM，CD⊥AB于M，∴∠BCM=45°，BC=BD，∠BDC=45°∴△BCD为等腰直角三角形；（2）解：∵y=x2﹣4x+4=（x﹣2）2∴E（2，0），（Ⅰ）当∠DCE=90°时，如图1，∵∠BCD=45°，∴∠OCE=45°，△OCE为等腰直角三角形，∴∠CEO=45°∴OC=OE=2，∴m=2，∴tan∠CEO=1；（Ⅱ）当∠CED=90°，如图2，作DH⊥x轴于点H，∵OB=4，OC=m，∴BC=4﹣m，由（1）知BD=BC=OH=4﹣m，∴EH=OH﹣OE=2﹣m，∵∠CEO+∠OCE=90°，∠CEO+∠HED=90°，∴∠OCE=∠HED，又∵∠COE=∠EHD=90°，∴tan∠OCE=tan∠HED，∴即，∴tan∠CEO=；（Ⅲ）当∠CDE=90°时，如图3，作DF⊥x轴于点F，∵∠CMB=∠CDE=90°，∴AB∥DE∴∠DEF=∠BAO=45°，△DFE为等腰直角三角形∴EF=DF=OB=4∴OF=DB=CB=2，∴m=OC=6，∴tan∠CEO=3；（3）当C在在线段OB上时，如图4，作DG⊥OA于G，PH⊥DG于H，∵四边形PDCE是平行四边形，∴PD∥CE，PD=CE，∴∠OCE=∠HDP，在△COE和△DHP中，，∴△COE≌△DHP，∴DH=OC，PH=OE，∵C（0，m），B（0，4），E（2，0），∴DH=OC=m，PH=OE=2，∵BD=BC=4﹣m．∴P（6﹣m，4﹣m），代入y=x2﹣4x+4得4﹣m=（6﹣m）2﹣4（6﹣m）+4，解得m1=3，m2=4，当C在在线段OB的延长线上时，如图5，作DG⊥x轴于G，PH⊥y轴于H，∵四边形PCDE是平行四边形，∴PC∥DE，PC=DE，∴∠GDE=∠HCP在△DGE和△CHP中，，∴△PCH≌△EDG，∴CH=DG=4，PH=GE，∵DB=BC=m﹣4，∴GO=DB=m﹣4，∴GE=m﹣4+2=m﹣2=PH，HO=m﹣4，∴P（m﹣2，m﹣4），代入y=x2﹣4x+4得m﹣4=（m﹣2）2﹣4（m﹣2）+4，解得m3=4（舍去），m4=5，故存在m的值，使以P，C，D，E为顶点的四边形为平行四边形，此时m的值为3或5．。