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九年级数学上册 1.2 反比例函数的图象与性质 第1课时 反比例函数y=k∕x(k＞0)的图象与性质练习 (新版)

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九年级数学上册第1章反比例函数1.2反比例函数的图像与性质(第2课时反比例函数y=k╱x(k＜0)的图象与性质

九年级数学上册第1章反比例函数1.2反比例函数的图像与性质(第2课时反比例函数y=k╱x(k＜0)的图象与性质
xቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
入其中，解得k=-8，所以反比例函数的表达式为: y8 x
(3)根据反比例函数图象的中心对称性 可补画出另一支，图象略．
6. 已知反比例函数 y k 的图象经过点 A (2，－4). x
(1) 求 k 的值；
解：∵ 反比例函数y k 的图象经过点 A(2，－4)， x
∴ 把点 A 的坐标代入表达式，得 4 k ， 2
因为点 B 的坐标满足该解析式，而点 C 的坐标 不满足该解析式， 所以点 B 在该函数的图象上，点 C 不在该函数 的图象上.
能力提升：
7. 点 (a－1，y1)，(a＋1，y2)在反比例函数 y
k x
(k＞0)
的图象上，若y1＜y2，求a的取值范围.
解：由题意知，在图象的每一支上，y 随 x 的增大而
导入新课
观察与思考
问题 下表是一个反比例函数的部分取值，想一想这 些点如果在平面直角坐标系中是怎样一种情况呢？可 以试着动手画一画．
x -6 -3 -2 -1 1 2 3 6 y 1 2 3 6 -6 -3 -2 -1
讲授新课
一 反比例函数 y k (k 0)图象与性质 x
例1：画反比例函数 y 4 的图象.
减小.
① 当这两点在图象的同一支上时，
∵y1＜y2，∴a－1＞a+1， 无解； ②当这两点分别位于图象的两支上时，
∵y1＜y2，∴必有 y1＜0＜y2. ∴a－1＜0，a+1＞0， 解得：－1＜a＜1.
故 a 的取值范围为：－1＜a＜1．
课堂小结
k 图象
性质
反比例函数 y k (k≠0) x
k>0
解得 k = －8.
(2) 这个函数的图象分布在哪些象限？y 随 x 的增大 如何变化?

湘教版九年级上册数学 1.2.3反比例函数y=kx(k≠0)中k的性质 课后习题重点练习课件

湘教版九年级上册数学 1.2.3反比例函数y=kx(k≠0)中k的性质 课后习题重点练习课件

解：∵顶点 A 的坐标是(0，2)，顶点 C 的纵坐标是 －4，∴AE＝6.又∵▱ABCD 的面积是 24， ∴AD＝BC＝4，∴D(4，2)，∴k＝4×2＝8， ∴反比例函数的表达式为 y＝8x.
(2)AB所在直线的表达式． 解：由题意知点 B 的纵坐标为－4，且在反比例函数 y ＝8x的图象上．∴点 B 的横坐标为－2，∴B(－2，－4)． 设 AB 所在直线的表达式为 y＝k′x＋b，将 A(0，2)， B(－2，－4)的坐标代入，得b－＝22k， ′＋b＝－4， 解得kb′＝＝23，，∴AB 所在直线的表达式为 y＝3x＋2.
【点拨】过点 B 作 BC⊥OA 于点 C.∵点 A 的坐标是 (2，0)，∴AO＝2.∵△ABO 是等边三角形，∴OC＝ 1，∴BC＝ 3，∴点 B 的坐标是(1， 3)．把点 B(1， 3)的坐标代入 y＝kx，得 k＝ 3.故选 C.
【答案】C
*4.【中考·济宁】如图，点 A 的坐标是(－2，0)，点 B 的 坐标是(0，6)，C 为 OB 的中点，将△ ABC 绕点 B 逆 时针旋转 90°后得到△ A′BC′.若反比例函数 y＝kx的图 象恰好经过 A′B 的中点 D，则 k 的值是( ) A．9 B．12 C．15 D．18
【答案】D
8．【中考·凉山州】如图，正比例函数 y＝kx 与反比 例函数 y＝4x的图象相交于 A，C 两点，过点 A 作 x 轴的垂线交 x 轴于点 B，连接 BC，则△ ABC 的面积等于( ) A．8 B．6 C．4 D．2
【点拨】∵点 A，C 位于反比例函数图象上且关于原 点对称，∴S△ OBA＝S△ OBC.∵过双曲线上任意一点与原 点所连的线段、x 轴(或 y 轴)、和过该点向坐标轴作的 垂线所围成的直角三角形面积 S 是个定值， ∴S△OBA＝12|k|.∴△ABC 的面积等于 2×12|k|＝|k|＝4. 【答案】C

反比例函数图像和性质ppt课件

反比例函数图像和性质ppt课件

反比例函数的定义域和值域
定义域
反比例函数的定义域是 x ≠ 0 的所有实数，即 x 可以取任何实数值，除了 0。
值域
反比例函数的值域是除了 y = 0 以外的所有实数，即 y 可以取任何实数值，但 永远不会等于 0。
02
反比例函数的性质
反比例函数的单调性
总结词
反比例函数在其定义域内并非单 调，但在各自象限内具有单调性。
表达式形式
反比例函数的一般形式为 y = k/x (k ≠ 0)，其中 x 和 y 是自变量和 因变量，k 是常数。
反比例函数图像的绘制
图像绘制方法
反比例函数的图像通常在二维坐标系 中绘制，通过选择不同的 k 值，可 以绘制出不同的反比例函数图像。
图像特性
反比例函数的图像位于 x 轴和 y 轴的 有限区域，呈现出双曲线的形状，随 着 x 的增大或减小，y 的值会无限接 近于 0 但永远不会等于 0。
积分是数学中计算面积和体积的方法，分为定积分和不定积分。
反比例函数的不定积分
反比例函数y=1/x的不定积分为ln|x|+C（C为常数），这表明反比例函数可以通过对ln|x|进行不定积分得 到。
反比例函数与复数的关系
复数的概念
复数是实数和虚数的组合，形式为a+bi（a,b为实数）。
反比例函数在复数域的表现
投资回报
投资回报与投资风险成反比，即投资风险越大，投资回报越小；反之亦然。
反比例函数在日常生活中的应用
药物剂量
在药物治疗过程中，药物剂量与药效 成反比关系，即当药物剂量增加时， 药效可能会减弱。
体育训练
在体育训练中，训练强度与训练效果 成反比关系，即当训练强度增加时， 训练效果可能会减弱。

湘教版九年级数学 1.2 反比例函数的图象与性质(学习、上课课件)

湘教版九年级数学 1.2 反比例函数的图象与性质(学习、上课课件)

知3－讲
已知函数 y＝kx (k ≠ 0).
感悟新知
知3－讲
特别提醒
◆在利用反比例函数y＝kx(k ≠ 0)中k的几何性质确定k的值 时，不仅要注意矩形面积的大小，还要注意函数图象 的位置.
感悟新知
k 值与矩形面积的关系 k 值与三角形面积的关系知3－讲
图形
条件
过图象上任意一点 P 分别作PM ⊥ x 轴于
2-2. [ 中考·天门] 在反比 例函数 y= 4－x k的图象上有两
点 A( x1，y1)， B( x2， y2)，当 x1 ＜0 ＜ x2 时，有 y1 ＜ y2，则 k 的取值范围是( C )
A. k ＜ 0
B. k ＞ 0
C. k ＜ 4
D. k ＞ 4
感悟新知
知识点 3 反比例函数 y＝kx (k ≠ 0)中k的几何性质
过图象上任意一点 E 作 M，EF ⊥ y 轴于 F，连接 OE
PN ⊥ y 轴于 N
结论
S 矩形 OMPN=|k|
S
△
OEF=
|k| 2
感悟新知
知3－讲
矩形 OMPN 的面积S=PM·PN=|yP|·|xP|= |xPyP|.所以 S=|k|.同理，S △ OEF= |k2|.
感悟新知
知3－练
示意图(如图1.2-1).
知1－讲
感悟新知
活学巧记 点越多，越精确， 平滑曲线把点过， 两个分支不能少， 对称关系很奇妙.
知1－讲
感悟新知
知1－练
例1 [母题 教材 P7 探究]在同一平面直角坐标系中画出反
比例函数y＝8x和y＝－8x的图象.
解题秘方：紧扣画图象的“一列、二描、三连” 的步骤作图.

2019年秋九年级数学上册1.2反比例函数的图像与性质第2课时反比例函数y=k╱xk＜0的图象与性质课件湘教版

2019年秋九年级数学上册1.2反比例函数的图像与性质第2课时反比例函数y=k╱xk＜0的图象与性质课件湘教版

解：(1)把 A(－1,4)代入反比例函数 y＝mx ，得 m＝－1×4＝－4， ∴反比例函数的解析式为 y＝－4x； 把 B(2，n)代入 y＝－4x，得 n＝－2，
∴点 B 的坐标为(2，－2)， 把 A(－1,4)和 B(2，－2)代入一次函数 y＝kx＋b，得－2k＋k＋b＝b＝－4，2， 解得 k＝－2， b＝2， ∴一次函数的解析式为 y＝－2x＋2.
C(x3，y3)．若 x1<0<x2<x3，则下列结论正确的是( C )
A．y3<y2<y1
B．y1<y3<y2
C．y2<y3<y1
D．y3<y1<y2
4．[2018·镇江]反比例函数 y＝kx(k≠0)的图象经过点 A“减小”)
例 2 答图
【点悟】 比较反比例函数上的点的坐标值的大小，先要判断是同一象限还是 不同象限内的点，同一象限内的点可根据函数的增减性进行比较，不同象限内的 点，可根据纵坐标的正、负性进行比较. 更直观的方法是利用函数图象进行比较(如 本例题)．
当堂测评
1．下列图象中是反比例函数 y＝－2x的图象的是( C )
例 1 答图
类型之二 反比例函数 y＝kx(k<0)图象的特征 已知直线 y＝－3x 与反比例函数 y＝m－x 5的图象交于点 P(－1，n)．
(1)求 m 的值； (2)若点 A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)在反比例函数 y＝m－x 5的图象上，且 x1<x2<0<x3，试比较 y1，y2，y3 的大小．
∴直线 AB 与 x 轴的交点 D 的坐标为(1,0)， ∴DE＝1－－13＝43， ∴S△AED＝12×43×4＝83.

湘教版九年级数学《反比例函数的图象及性质》PPT课件

湘教版九年级数学《反比例函数的图象及性质》PPT课件

感悟新知
知1－练
1．若双曲线 y＝kx与直线 y＝2x＋1 的一个交点的横坐 标为－1，则 k 的值为( B )
A．－1
B．1
C．－2
D．2
感悟新知
第一章 反比例函数
1.2反比例函数的图象及性质
第1课时 反比例函数 y = k (k＞0)
x
的图象与性质
学习目标
1 课时讲解 2 课时流程
会用描点的方法画反比例函数
y= k x
(k>0)的图象
理解反比例函数 y =
k
(k>0)的性质
x
逐点 导讲练
课堂 小结
作业 提升
课时导入
复习提问
引出问题
我们已经学习了用“描点法”画一次函数的图
四象限内的两支曲线组成， 它们与x 轴、 y 轴都不 相交，在每个象限内，函数值 y 随自变量 x 的增大 而增大.
感悟新知
1．反比例函数 y＝－4x(x>0)的图象位于( D ) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
知1－练
感悟新知
知1－练
2．如图，函数 y＝1x－(x1x＞(x＜0)，0)的图象所在坐标系的原点是 ( A) A．点 M B．点 N C．点 P D．点 Q
知1－导
(2) 把点A，B 的坐标分别代入 y 8 ，可知点 A 的坐标
x
满足函数表达式 ， 点 B 的坐标不满足函数表达式， 所以点 A 在这个函数的图象上，点B不在这个函数 的图象上.
感悟新知
知1－导
(3) 因为k＞0，所以这个反比例函数的图象位于第一、 三象限，在每个象限内，函数值 y 随自变量 x 的 增大而减小.
感悟新知

初中数学北师大九年级上册反比例函数-反比例函数的图像与性质

定义
一般地，如果两个变量x、y之间 的关系可以表示成y=k/x (k为常 数，k≠0)的形式，那么称y是x的
反比例函数。
表达式
反比例函数的解析式一般可以写为 y=k/x (k≠0)。
特别注意
在反比例函数中，自变量x的取值范 围是不等于0的任意实数，且因变量 y也不能为0。
自变量与因变量关系
当k>0时，图象分别位于第一、三象 限，每一个象限内，从左往右，y随x 的增大而减小。
电阻、电容和电感
在电子工程中，电阻、电容和电感是基本的电子元件。它们的特性往往与反比例函数有关，例如电阻的阻值与电 流成反比，电容的容抗与频率成反比等。
机械传动
在机械工程中，齿轮传动是一种常见的传动方式。齿轮的大小和转速之间往往存在反比例关系，即大齿轮转速慢 ，小齿轮转速快。这种关系可以用反比例函数来描述。
速找到解题思路。
不断练习反比例函数相关问题， 提高自己的解题能力和思维水平
。
06
拓展延伸：反比例函数在现实生 活中的应用举例
经济学领域应用举例
供需关系
当一种商品的价格上涨时，需求量通 常会下降，反之亦然。这种价格与需 求量之间的反比例关系可以用反比例 函数来描述。
劳动力市场
在劳动力市场中，工资率与就业量之 间往往存在反比例关系。当工资率提 高时，企业愿意雇佣的劳动力数量减 少，反之则增加。
初中数学北师大九年级上册反比例 函数-反比例函数的图像与性质
汇报人：XXX 2024-01-28
目录
• 反比例函数基本概念 • 反比例函数图像绘制 • 反比例函数性质探讨 • 与其他函数关系比较 • 解题技巧与策略分享 • 拓展延伸：反比例函数在现实生活中
的应用举例

初中九年级数学上册反比例函数的图象与性质课件

• 场景四：工程学中的杠杆原理。在杠杆平衡的条件下，动力臂与阻力臂的长度成反比关系。因此，可以通过反 比例函数来描述这种关系，进而求解相关问题。
THANKS
感谢观看
梯形面积
梯形的上底、下底和高之间也可能 存在反比例关系，通过反比例函数 可以求解梯形的面积。
行程问题中的应用
匀速运动
在匀速运动中，速度、时间和路程之 间存在反比例关系。当已知其中两个 量时，可以利用反比例函数求解第三 个量。
变速运动
在某些变速运动问题中，速度和时间 之间可能存在反比例关系。通过反比 例函数可以描述这种关系并求解相关 问题。
因为当 x = 0 时，函数 y = k/x 没有意义，所以 x 不能取0。 同时，由于 x 可以取任何非零实数，因此反比例函数的定义 域非常广泛。
02
反比例函图象是由两支分别 位于第一、三象限和第二、四象 限的曲线组成，它们关于原点对 称。
图象位置
当$k > 0$时，两支曲线分别位于 第一、三象限；当$k < 0$时，两 支曲线分别位于第二、四象限。
05
反比例函数与一次函数综合应用
两者关系及相互转化
反比例函数
形如 $y = frac{k}{x}$ (其中 $k$ 是常 数且 $k neq 0$) 的函数。
一次函数
形如 $y = kx + b$ (其中 $k$ 和 $b$ 是常数且 $k neq 0$) 的函数。
两者关系及相互转化
两者关系
当反比例函数中的 $x$ 值增大时，$y$ 值减小，反之亦然。这与一次函数的增减性 相反。
解析
联立两个方程求解，得到交点坐标。
综合应用举例及解析方法
例题2
已知一次函数 $y = -x + 4$ 与反比例函数 $y = frac{k}{x}$ 的图象有两个交点，且这 两个交点关于原点对称，求 $k$ 的值。

2021秋九上第1章反比例函数1、2反比例函数的图像与性质2反比例函数y=kxk＜0的图象与性质习题


解：由题意知点 B 的坐标为－2，32. 把点 B－2，32的坐标代入 y＝kx，得 k＝－3. ∴反比例函数的表达式为 y＝－3x.
(2)若P(x1，y1)，Q(x2，y2)是该反比例函数图象上
的两点，且x1＜x2时，y1＞y2，指出点P，Q各
位于哪个象限，并简要说明理由． 解：结论：点 P 在第二象限，点 Q 在第四象限．
第1章 反比例函数
1.2 反比例函数的图象与性质 第2课时 反比例函数y＝ (k<0)的图象
与性质
提示：点击 进入习题
1D 2B 3A 4B
5A 6D 7B 8C
答案显示
提示：点击 进入习题
9C 10 见习题 11 见习题 12 见习题 13 见习题
答案显示
1．【中考·营口】反比例函数 y＝－4x(x>0)的图象 位于( D )
【答案】B
*3.【中考·河北】如图，函数 y＝1x－（1xx（＞x0＜）0，）的
图象所在坐标系的原点是( A )
A．点 M B．点 N C．点 P D．点 Q 【点拨】易知函数 y＝1x－（1x（x＞x＜0）0， ）的图象关于 y 轴对 称，且图象位于 x 轴上方，所以点 M 是原点．
4．【中考·泸州】如图，一次函数 y1＝ax＋b 和反比例函 数 y2＝kx的图象相交于 A，B 两点，则使 y1>y2 成立的 x 的取值范围是( B ) A．－2<x<0 或 0<x<4 B．x<－2 或 0<x<4 C．x<－2 或 x>4 D．－2<x<0 或 x>4
【答案】A
6．【中考·天门】反比例函数 y＝－3x，下列说法不正确 的是( ) A．图象经过点(1，－3) B．图象位于第二、四象限 C．图象关于直线 y＝x 对称 D．y 随 x 的增大而增大

1.2反比例函数的图象与性质 第1课时 课件 2024-2025学年 湘教版数学九年级上册


m2＋1 (2023·武汉中考)已知点 A(a，y1)，B(a＋1，y2)在反比例函数 y＝ x (m 是常数)
的图象上，且 y1＜y2，则 a 的取值范围是__－__1_＜__a_＜__0__．
【解析】因为 k＝m2＋1＞0， m2＋1
所以反比例函数 y＝ x (m 是常数)的图象在第一、三象限，在每个象限，y 随 x 的增大而减小， ①当 A(a，y1)，B(a＋1，y2)在同一象限， 因为 y1＜y2，所以 a＞a＋1，此不等式无解； ②当点 A(a，y1)，B(a＋1，y2)在不同象限， 因为 y1＜y2，所以 a＜0，a＋1＞0，解得－1＜a＜0.
第___二__、__四____象限 ___否____
y＝ k (k≠0) x
对称性
k＞0 关于___原__点____成中心对称
k＜0 关于___原__点____成中心对称
增减性
在每个象限内，函数值y随自变量x 的增大而___减__小____．
在每个象限内，函数值y随自变量x 的增大而___增__大____．
1．2 反比例函数的图象与性质 第1课时
第1章 反比例函数
基础主干落实 重点典例探析
5+2思维赋能
基础主干落实
反比例函数y＝k (k≠0)的图象与性质
x
k
y＝x (k≠0)
k＞0
k＜0
图象名称
___双__曲__线____
图象及其位置
图象是否与坐 标轴相交
第___一__、__三____象限 ___否____
思路 1 代入法
将 x 的值代入表达式，求出 y 值
①先根据点的横坐标，判断不在同一象限内的点； 思路 2 增减比较法
②再根据增减性判断同一象限内的点
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第1课时 反比例函数y ＝k x (k>0)的图象与性质 基础题
知识点1 反比例函数y ＝k
x (k>0)的图象
1.函数y ＝1
x 的图象可能是（ ）
2．(甘孜中考)在平面直角坐标系中，反比例函数y ＝2
x 的图象的两支分别在（
） A ．第一、三象限 B ．第一、二象限
C ．第二、四象限
D ．第三、四象限
3．反比例函数y ＝4
x 的图象与x 轴的交点有（ ）
A ．0个
B ．1个
C ．2个
D ．3个
4．(漳州中考)若反比例函数y ＝8
x 的图象经过点(－2，m)，则m 的值是（ ）
A. 1
4 B ．－1
4 C ．－4 D ．4
5．请作出函数y ＝3
2x 的图象．
知识点2 反比例函数y ＝k
x (k>0)的性质
6．反比例函数y ＝1
x (x ＞0)的图象如图所示，随着x 值的增大，y 的值（ ）
A ．减小
B ．增大
C ．不变
D ．先减小后不变
7．对于函数y ＝8x ，下列说法错误的是（ ） A ．它的图象分布在第一、三象限
B ．它的图象既是轴对称图形又是中心对称图形
C ．当x>0时，y 的值随x 的增大而增大
D ．当x<0时，y 的值随x 的增大而减小
8．反比例函数y ＝2x
的图象上有两个点(2，y 1)、(4，y 2)，则y 1 y 2（填“＞”“＜”或“=”） 9．(厦门中考)已知反比例函数y ＝m －1x
的图象的一支位于第一象限，则常数m 的取值范围是________． 10．在反比例函数y ＝3a －6x
图象每一条曲线上，y 随x 的增大而减小． (1)函数经过哪些象限？
(2)求a 的取值范围．
中档题
11．如图是我们学过的反比例函数图象，它的函数表达式可能是（ ）
A ．y ＝x
B ．y ＝4x
C ．y ＝－3
x D ．y ＝1
2x
12．如图，反比例函数y ＝8x 的图象的一个分支为（ ）
A ．①
B ．②
C ．③
D ．④
13．(随州中考)关于反比例函数y ＝2x 的图象，下列说法正确的是（ ）
A ．图象经过点(1，1)
B ．两个分支分布在第二、四象限
C ．两个分支关于x 轴成轴对称
D ．图象关于原点成中心对称
14．(沈阳中考)在同一平面直角坐标系中，函数y ＝x －1与函数y ＝1
x 的图象可能是（
）
A B
C D
15.(安顺中考)如果点A(－2，y 1)，B(－1，y 2)，C(2，y 3)都在反比例函数y ＝k x (k ＞0)的图象上，那么y 1，y 2， y 3的大小关系是（ ）
A ．y 1＜y 3＜y 2
B ．y 2＜y 1＜y 3
C ．y 1＜y 2＜y 3
D ．y 3＜y 2＜y 1
16．(天津中考)已知反比例函数y ＝10x
，当1＜x ＜2时，y 的取值范围是（ ） A ．0＜y ＜5 B ．1＜y ＜2
C ．5＜y ＜10
D ．y ＞10
17．反比例函数y ＝n ＋7x
的图象的一支在第一象限，A(－1，a)、B(－3，b)均在这个函数的图象上． (1)图象的另一支位于第几象限？常数n 的取值范围是什么？
(2)试比较a 、b 的大小．
综合题
18．已知y ＝8x
，利用反比例函数在每一象限内，y 随x 的变化情况，求当x≤－2时，y 的取值范围．
参考答案
基础题
1．A 2.A 3.A 4.C 5.图象在第一、三象限，图略． 6.A
7．C 8.＞ 9.m ＞1
10.(1)∵反比例函数y ＝3a －6x
图象每一条曲线上，y 随x 的增大而减小， ∴可判定函数图象经过第一、三象限．
(2)∵函数图象在每个象限内，y 随x 的增大而减小， ∴3a －6＞0，解得a ＞2.
中档题
11.B 12.D 13.D 14.C 15.B 16.C
17.(1)∵反比例函数y ＝n ＋7x
的图象的一支在第一象限， ∴图象的另 一支在第三象限．
∴n＋7＞0，解得n ＞－7.
(2)∵－3＜－1＜0，∴a ＜b.
综合题
18.∵y＝8x
在每一象限内，y 随x 的减小而增大， ∴当x ＜0时，y 随x 的减小而增大．
又∵当x ＝－2时，y ＝－4，
∴当x≤－2时，函数图象在第三象限，y ≥－4，且y ＜0
∴－4≤y＜0.。