《有关重复的排列组合的解题归纳》

有重复元素的排列组合计算
为了解决有重复元素的排列组合计算问题，我们需要明确一些基本概念和原则。

1. 重复元素：在排列组合中，如果存在相同的元素，则称这些元素为重复元素。

2. 排列：排列是指从给定的一组元素中取出若干个元素进行有序排列的方式。

对于有重复元素的排列，我们需要考虑重复元素的不同排列情况。

3. 组合：组合是指从给定的一组元素中取出若干个元素进行无序组合的方式。

对于有重复元素的组合，我们需要去除重复元素所导致的重复情况。

为了计算有重复元素的排列组合，可以按照以下步骤进行：
1. 确定元素集合：首先，我们需要确定参与排列组合计算的元素集合，并将其列出。

2. 计算元素频次：对于有重复元素的集合，我们需要计算每个元素的频次，即该元素在集合中出现的次数。

3. 计算排列数量：对于有重复元素的排列，我们可以使用重复排列公式进行计算。

假设元素集合中存在n个不同的元素，其中第i个元素的频次为m[i]，则有重复元素的排列数量为
4. 计算组合数量：对于有重复元素的组合，我们可以使用组合公式进行计算。

假设元素集合中存在n个不同的元素，其中第i个元素的频次为m[i]，则有重复元素的组合数量为
这些方法可以帮助我们计算有重复元素的排列组合。

需要注意的是，对于较大的元素集合或频次较大的情况，计算量可能较大，可以考虑使用计算工具或编程语言进行辅助计算。

排列组合是组合数学中的一个重要概念，涉及到对一组对象进行排列或组合的方式。

下面列举几个经典的排列组合题型及解法：
1. 排列问题：
-题型：从n个不同元素中选取m个元素，有多少种排列方式？
-解法：使用排列数的公式P(n, m) = n! / (n-m)!，其中n!表示n 的阶乘。

2. 组合问题：
-题型：从n个不同元素中选取m个元素，有多少种组合方式？
-解法：使用组合数的公式C(n, m) = n! / (m!(n-m)!)，其中n!表示n的阶乘。

3. 重复排列问题：
-题型：从n个元素中选取m个元素进行排列，允许元素重复，有多少种排列方式？
-解法：使用重复排列数的公式P'(n, m) = n^m，其中^n表示n的m次方。

4. 重复组合问题：
-题型：从n个元素中选取m个元素进行组合，允许元素重复，有多少种组合方式？
-解法：使用重复组合数的公式C'(n, m) = C(n+m-1, m)，其中C(n, m)表示组合数。

5. 圆排列问题：
-题型：将n个不同的物体围成一个圆圈，有多少种不同的排列方式？
-解法：使用圆排列数的公式P(n) = (n-1)!。

以上是一些常见的排列组合题型及其解法。

在实际问题中，可能会出现更加复杂和变化的情况，需要根据具体问题进行分析和推导解法。

重复元素的排列组合问题简介在排列组合问题中，有时会涉及到重复的元素。

这篇文档将介绍如何解决重复元素的排列组合问题。

问题描述重复元素的排列组合问题指的是在一个集合中存在多个相同的元素，在进行排列组合时需要考虑这些重复元素的情况。

简单来说，就是要找出所有可能的排列组合，而不考虑元素的顺序。

解决方法解决重复元素的排列组合问题有几种常用的方法：1. 使用集合可以使用集合来存储元素，从而去除重复的元素。

然后，对于每个集合中的元素，分别计算其排列组合。

最后将所有的排列组合合并起来，得到最终的结果。

2. 使用递归可以使用递归的方式来解决重复元素的排列组合问题。

首先选择一个元素，然后对剩余的元素进行递归计算其排列组合。

最后将选择的元素插入到每个递归计算的结果中，得到最终的排列组合。

示例下面通过一个示例来说明如何解决重复元素的排列组合问题：假设有一组数字 {1, 2, 2}，要求找出所有可能的排列组合。

使用集合首先去除重复的元素，得到集合 {1, 2}。

然后计算集合 {1, 2}的排列组合，得到结果 {1, 2} 和 {2, 1}。

接下来考虑重复的元素2，将其插入到排列组合的每个位置中，得到结果 {1, 2, 2}、{2, 1, 2} 和 {2, 2, 1}。

最终得到所有可能的排列组合为 {1, 2}、{2, 1}、{1, 2, 2}、{2, 1, 2} 和 {2, 2, 1}。

使用递归首先选择元素 1，然后递归计算剩余元素 {2, 2} 的排列组合。

得到结果 {2, 2} 和 {2, 2}。

然后将选择的元素 1 插入到递归计算的结果中，得到结果 {1, 2, 2} 和 {1, 2, 2}。

最后将元素 2 插入到递归计算的结果中，分别得到结果 {2, 1, 2} 和 {2, 2, 1}。

最终得到所有可能的排列组合为 {1, 2, 2}、{1, 2, 2}、{2, 1, 2} 和 {2, 2, 1}。

结论重复元素的排列组合问题可以通过使用集合或者递归的方法来解决。

含有重复元素的排列组合计算1. 排列排列是指从某一给定的元素集合中，按照一定的顺序选择若干元素进行排列的方法。

当集合中的元素存在重复时，计算排列的方法需要进行相应的调整。

1.1 无重复元素的排列当集合中的元素各不相同时，计算排列的方法非常简单。

假设集合中共有n个元素，则需要从中选择r个元素进行排列。

计算方法可以使用排列数公式进行计算：$$P_n^r = \frac{{n!}}{{(n-r)!}}$$其中，$n!$表示n的阶乘，即$n! = n \times (n-1) \times (n-2) \times \ldots \times 2 \times 1$。

1.2 含有重复元素的排列当集合中的元素存在重复时，计算排列的方法稍有不同。

假设集合中有n个元素，其中某个元素重复了m次，需要从中选择r个元素进行排列。

计算方法可以通过对原始的排列数进行调整得到：$$P_n^r = \frac{{n!}}{{(n-r)!}}$$但是这个结果并不是最终的排列数，因为重复元素造成了重复的情况。

为了消除这些重复，需要将重复元素的排列数除以重复元素的阶乘，得到最终的排列数：$$P_n^r = \frac{{n!}}{{(n-r)! \times m!}}$$2. 组合组合是指从某一给定的元素集合中，按照一定的顺序选择若干元素形成子集的方法。

与排列不同，组合中的元素选择并不考虑顺序。

2.1 无重复元素的组合当集合中的元素各不相同时，计算组合的方法比较简单。

假设集合中共有n个元素，需要从中选择r个元素进行组合。

计算方法可以使用组合数公式进行计算：$$C_n^r = \frac{{n!}}{{r! \times (n-r)!}}$$2.2 含有重复元素的组合当集合中的元素存在重复时，计算组合的方法也需要进行相应的调整。

假设集合中有n个元素，其中某个元素重复了m次，需要从中选择r个元素进行组合。

计算方法可以通过对原始的组合数进行调整得到：$$C_n^r = \frac{{n!}}{{r! \times (n-r)!}}$$但是这个结果并不是最终的组合数，因为重复元素造成了重复的情况。

排列组合问题中的重复计算剖析在解答排列组合问题中，易犯的错误是遗漏与重复。

遗漏多半比较明显,而重复较为隐蔽.本文对一些隐蔽的重复计算错误举例剖析.研究失误的原因，寻求补正和预防的方法。

例1 某天有六节不同的课，若第一节排数学,或第六节排体育,问共有多少种不同的排法?错解数学排第一节的排法有5A种，体育排第六节的排法也有55A5种，根据加法原理，第一节排数学或排体育的排法共有5A＋55A＝525A＝240种5剖析在数学排第一节的排法中，存在着体育排第六节的排法，在排体育第六节的排法中，存在着数学排第一节的排法，它重复计算了数学排第一节，同时体育排第六节的排法，即多算4A种。

正确结4果是：5A＋55A－44A＝216种5例2 从4名男生3名女生中选3人成立科技小组,问当选者中至少有一名男生和一名女生的选法有几种?错解先选一名男生，有1C种选法，再选一名女生,有13C种选法,4最后从余下的5名学生中选一名有1C种选法，故共有选法14C13C15C5＝60种剖析上述解法中，每一种选法都符合要求，但是否有重复计算呢？为此我们不妨设4名男生为A1，A2，A3,A4，3名女生为B1，B2，B3，把上面选法中含有一名男生的选法分为4类。

在含有男生A1的一类的选法有：A1，B1，A2，即先选A1，再选B1，最后选A2；在含有男生A 2的一类中有A 2， B 1，A 1,即先选A 2，再选B 1,最后选A 1.显然这两种选法被重复计算了。

因此上述解法是错误的。

错误的原因在于没有将符合要求的选法进行正确分类，分类要不重不漏. 正解 以男生人数分类，则符合条件的有且仅有两类，一类是男生一名女生两名,有1243C C 种选法，另一类是男生两名女生一名，有2143C C .故共有1243C C ＋2143C C ＝30种 例3 n 个不同的球放入n －1个不同的盒子，假设每个盒子都有足够大的容量，问每个盒子中至少有一个球的放法共有多少种？错解 先在每盒子中放入一球共有1n n A -种放法，再将剩下的一球放入，有n －1种放法。

含有重复元素的排列组合计算引言在排列组合中，当元素存在重复时，计算的方法与不重复元素的情况有所不同。

本文将介绍含有重复元素的排列组合计算方法。

排列计算排列是从一组元素中选出特定数量的元素进行排列的方式。

当元素存在重复时，计算排列的方法如下：1. 计算总的排列数量，即将所有元素都排列的情况。

2. 对于每个重复的元素，计算它们之间的排列数量，并将这些数量相乘。

3. 将所有元素的排列数量相乘，得到最终的排列数量。

组合计算组合是从一组元素中选取特定数量的元素的方式，与排列不同的是组合不考虑元素的顺序。

当元素存在重复时，计算组合的方法如下：1. 计算总的组合数量，即从所有元素中选取特定数量元素的情况。

2. 对于每个重复的元素，计算它们之间的组合数量，并将这些数量相乘。

3. 将所有元素的组合数量相乘，得到最终的组合数量。

示例假设有一组元素：A, A, B, C。

我们要从中选取2个元素进行排列和组合计算。

排列计算总的排列数量为4! = 4x3x2x1 = 24。

其中，重复的元素A有2个，所以它们之间的排列数量为2! = 2x1 = 2。

最终的排列数量为24 / 2 = 12。

组合计算总的组合数量为C(4,2) = 4! / (2!(4-2)!) = 6。

其中，重复的元素A有2个，所以它们之间的组合数量为C(2,2) = 1。

最终的组合数量为6 / 1 = 6。

结论含有重复元素的排列和组合计算可以通过计算总的排列或组合数量，并考虑重复元素之间的排列或组合数量来得到最终的结果。

以上是关于含有重复元素的排列组合计算的介绍。

希望对您有所帮助！。

浅析排列组合中的重复计算问题-无锡洛社高级中学例析排列组合中的重复计算的产生及对策无锡市洛社高级中学戎钢学生在解排列组合的题目时，往往容易出现考虑不周全，漏解的情况。

另外有些类型的排列组合题目较容易出现重复计算的问题，而且此类问题较隐蔽，学生不容易发现。

在解题时，应做到既不重复遗漏，又能判断解题的正误，并能加以剖析。

这样对于学生解题能力的提高大有好处。

一、分步引起的重复计算例1:从4台甲型机和5台乙型电视机中任意取出3台，其中至少有甲型和乙型机各1台，则不同的取法有多少种？【错解】先保证各1台，在从剩下的机子中任取一台。

即分三步：第一步从甲型机中取一台，有14C 种取法；第二步从乙型机中取一台，有15C 种取法；第三步从剩下的七台机子中取一台，有17C 种取法，根据乘法原理，共有111457140C C C ??=种取法。

【分析】设甲型机种有a 、b 两台机子，乙型机中有A 、B 两台机子，根据上述选法，其中有一种取法可以是“先选a ，再选A ，再选b ”,另外一种取法是“先选b ，再选A ，再选a ”。

而很明显，上述两种取法是同一种结果，出现重复。

究其原因是本题使用的是分类计数原理（分步原理）。

而分步必然有先有后，也就有顺序，跟排列有关。

本题中无论是取两台甲型机还是两台乙型机，对于这两台机而言，只是一个组合，没有先后，因此重复了两遍。

【正解】根据结果分类，第一类：两台甲型机，有2145C C ?种取法；第二类：两台乙型机，有1245C C ?种取法，根据分类计数原理，共有2112454570C C C C ?+?=种取法。

二、涉及到平均分组中的重复计算例2:袋中有红、白、黄球各一个，每次任取一球，记下颜色后放回，当各种颜色均被取到时结束，则取球结束时，一共取了五次的不同取法有多少种？【错解】由题意，第五次一定是第三种颜色的球。

前四次取到其他两种颜色的球。

先分步，第五次有13C 种颜色的可能，再分类讨论前四次的情况，第一类：剩下的两种颜色的球，一种颜色的取到三次，另外一种取到一次。

排列组合解题技巧归纳总结排列组合问题联系实际生动有趣，但题型多样，思路灵活，因此解决排列组合 问题，首先要认真审题，弄清楚是排列问题、组合问题还是排列与组合综合问题； 其次要抓住问题的本质特征，采用合理恰当的方法来处理。

教学内容1. 分类计数原理（加法原理）完成一件事，有n 类办法，在第1类办法中有m i 种不同的方法，在第2类办法中有 m 2种不同的方法，…，在第n 类办法中有m n 种不同的方法，那么完成这件事共有：N = m 1 + m 2 +出 + m n种不同的方法.2. 分步计数原理（乘法原理）完成一件事，需要分成n 个步骤，做第1步有m i 种不同的方法，做第2步有m 2种 不同的方法，…，做第n 步有m n 种不同的方法，那么完成这件事共有：N = m∏ × m 2 H × m n种不同的方法.3. 分类计数原理分步计数原理区别分类计数原理方法相互独立，任何一种方法都可以独立地完成这件事。

分步计数原理各步相互依存，每步中的方法完成事件的一个阶段，不能完成整个 事件.解决排列组合综合性问题的一般过程如下：1. 认真审题弄清要做什么事2. 怎样做才能完成所要做的事，即采取分步还是分类，或是分步与分类同时进行，确 定分多少步及多少类。

3. 确定每一步或每一类是排列问题（有序）还是组合（无序）问题,元素总数是多少及 取出多少个元素.4. 解决排列组合综合性问题，往往类与步交叉，因此必须掌握一些常用的解题策略一. 特殊元素和特殊位置优先策略例1.由0,1,2,3,4,5 可以组成多少个没有重复数字五位奇数.解:由于末位和首位有特殊要求，应该优先安排，以免不合要求的元素占了这两个位先排末位共有C 3然后排首位共有c 4最后排其它位置共有A由分步计数原理得C ：C 3A ：=288 位置分析法和元素分析法是解决排列组合问题最常用也是最基本的方法 ，若以元素分析为主，需先安排特殊元素，再处理其它元素.若以位置分析为主，需先满足特殊位置的要求 ，再处理其它位 置。

排列组合常见模型及解题技巧排列组合常见模型及解题技巧___________________________________排列组合是数学中的一个重要概念，其主要用于解决有关物品数量、顺序、种类等问题，十分重要。

尤其在中考、高考中，排列组合模型非常常见。

因此，想要在考试中取得好成绩，需要对排列组合的相关知识有所了解。

### 一、常见的排列组合模型1. 元素排列模型：当有n个元素时，可以有n!种不同的排列方式。

2. 重复的排列模型：当有n个元素中有m个重复的元素时，可以有$\frac{n!}{m!}$种不同的排列方式。

3. 选择排列模型：当从n个元素中选出m个元素进行排列时，可以有$\frac{n!}{(n-m)!}$种不同的排列方式。

4. 组合模型：当从n个元素中选出m个元素进行组合时，可以有$\frac{n!}{m!(n-m)!}$种不同的组合方式。

5. 组合中出现重复的情况：当从n个元素中选出m个元素进行组合时，若有k个重复的元素，可以有$\frac{n!}{(m-k)!(n-m)!}$种不同的组合方式。

### 二、解题技巧1. 明确问题：排列组合问题一般都是要求出物品的总数量或者某一种情况出现的总次数。

因此，在解决这样的问题之前，要明确问题是要计算出总数量还是总次数。

2. 对物品进行分类：在解决排列组合问题时，要明确物品的数量、重复的情况以及可以选择的情况，将物品分成不同的分类。

3. 认真计算：根据不同的情况，选择对应的模型来计算出总数量或者总次数。

在计算之前一定要仔细地去理解问题，以免出错。

4. 熟悉常用公式：在处理排列组合问题时，要能够准确地使用对应的公式来计算出正确的答案。

因此，对于常用的公式一定要牢记于心，并能够准确地使用。

### 三、总结通过本文，我们可以了解到排列组合常见的几个模型以及如何正确地使用它们来解决问题。

排列组合问题是数学考试中常见的问题之一，因此在备考考试时一定要加强对这方面的学习。

排列组合解题技巧归纳总结排列组合问题联系实际生动有趣,但题型多样,思路灵活,因此解决排列组合问题,首先要认真审题,弄清楚是排列问题、组合问题还是排列与组合综合问题；其次要抓住问题的本质特征,采用合理恰当的方法来处理;教学内容1.分类计数原理加法原理完成一件事,有n 类办法,在第1类办法中有1m 种不同的方法,在第2类办法中有2m 种不同的方法,…,在第n 类办法中有m 种不同的方法,那么完成这件事共有：种不同的方法．2.分步计数原理乘法原理完成一件事,需要分成n 个步骤,做第1步有1m 种不同的方法,做第2步有2m 种不同的方法,…,做第n步有n m 种不同的方法,那么完成这件事共有：种不同的方法．3.分类计数原理分步计数原理区别分类计数原理方法相互独立,任何一种方法都可以独立地完成这件事;分步计数原理各步相互依存,每步中的方法完成事件的一个阶段,不能完成整个事件．解决排列组合综合性问题的一般过程如下: 1.认真审题弄清要做什么事2.怎样做才能完成所要做的事,即采取分步还是分类,或是分步与分类同时进行,确定分多少步及多少类;3.确定每一步或每一类是排列问题有序还是组合无序问题,元素总数是多少及取出多少个元素.4.解决排列组合综合性问题,往往类与步交叉,因此必须掌握一些常用的解题策略 一.特殊元素和特殊位置优先策略例1.由0,1,2,3,4,5可以组成多少个没有重复数字五位奇数.解:由于末位和首位有特殊要求,应该优先安排,以免不合要求的元素占了这两个位置.先排末位共有13C然后排首位共有14C 最后排其它位置共有34A由分步计数原理得113434288C C A =练习题:7种不同的花种在排成一列的花盆里,若两种葵花不种在中间,也不种在两端的花盆里,问有多少不同的种法二.相邻元素捆绑策略例2. 7人站成一排 ,其中甲乙相邻且丙丁相邻, 共有多少种不同的排法. 解：可先将甲乙两元素捆绑成整体并看成一个复合元素,同时丙丁也看成一个复合元素,再与其它元素进行排列,同时对相邻元素内部进行自排;由分步计数原理可得共有522522480A A A 种不同的排法练习题:某人射击8枪,命中4枪,4枪命中恰好有3枪连在一起的情形的不同种数为 20三.不相邻问题插空策略例3.一个晚会的节目有4个舞蹈,2个相声,3个独唱,舞蹈节目不能连续出场,则节目的出场顺序有多少种解:分两步进行第一步排2个相声和3个独唱共有55A 种,第二步将4舞蹈插入第一步排好的6个元素中间包含首尾两个空位共有种46A 不同的方法,由分步计数原理,节目的不同顺序共有5456A A 种练习题：某班新年联欢会原定的5个节目已排成节目单,开演前又增加了两个新节目.如果将这两个新节目插入原节目单中,且两个新节目不相邻,那么不同插法的种数为 30四.定序问题倍缩空位插入策略例人排队,其中甲乙丙3人顺序一定共有多少不同的排法解:倍缩法对于某几个元素顺序一定的排列问题,可先把这几个元素与其他元素一起进行排列,然后用总排列数除以这几个元素之间的全排列数,则共有不同排法种数是：7373/A A空位法设想有7把椅子让除甲乙丙以外的四人就坐共有47A 种方法,其余的三个位置甲乙丙共有 1种坐法,则共有47A 种方法;思考:可以先让甲乙丙就坐吗插入法先排甲乙丙三个人,共有1种排法,再把其余4四人依次插入共有 方法练习题:10人身高各不相等,排成前后排,每排5人,要求从左至右身高逐渐增加,共有多少排法 510C五.重排问题求幂策略例5.把6名实习生分配到7个车间实习,共有多少种不同的分法解:完成此事共分六步:把第一名实习生分配到车间有 7 种分法.把第二名实习生分配到车间也有7种分依此类推,由分步计数原理共有67种不同的排法练习题：1． 某班新年联欢会原定的5个节目已排成节目单,开演前又增加了两个新节目.如果将这两个节目插入原节目单中,那么不同插法的种数为 422. 某8层大楼一楼电梯上来8名乘客人,他们到各自的一层下电梯,下电梯的方法87 六.环排问题线排策略例6. 8人围桌而坐,共有多少种坐法解：围桌而坐与坐成一排的不同点在于,坐成圆形没有首尾之分,所以固定一人44A 并从此位置把圆形展成直线其余7人共有8-1种排法即7A B C D E AE H G F练习题：6颗颜色不同的钻石,可穿成几种钻石圈 120 七.多排问题直排策略例人排成前后两排,每排4人,其中甲乙在前排,丙在后排,共有多少排法解:8人排前后两排,相当于8人坐8把椅子,可以把椅子排成一排.个特殊元素有24A 种,再排后4个位置上的特殊元素丙有14A 种,其余的5人在5个位置上任意允许重复的排列问题的特点是以元素为研究对象,元素不受位置的约束,可以逐一安排各个元素的位置,一般地n 不同的元素没有限制地安排在m 个位置上的排列数为n m 种一般地,n 个不同元素作圆形排列,共有n-1种排法.如果从n 个不同元素中取出m 个元素作圆形排列共有1mn A n排列有55A 种,则共有215445A A A 种前 排后 排练习题：有两排座位,前排11个座位,后排12个座位,现安排2人就座规定前排中间的3个座位不能坐,并且这2人不左右相邻,那么不同排法的种数是 346八.排列组合混合问题先选后排策略例8.有5个不同的小球,装入4个不同的盒内,每盒至少装一个球,共有多少不同的装法.解:第一步从5个球中选出2个组成复合元共有25C 种方法.再把4个元素包含一个复合元素装入4个不同的盒内有44A 种方法,根据分步计数原理装球的方法共有2454C A练习题：一个班有6名战士,其中正副班长各1人现从中选4人完成四种不同的任务,每人完成一种任务,且正副班长有且只有1人参加,则不同的选法有 192 种九.小集团问题先整体后局部策略例9.用1,2,3,4,5组成没有重复数字的五位数其中恰有两个偶数夹1,５在两个奇数之间,这样的五位数有多少个解：把１,５,２,４当作一个小集团与３排队共有22A 种排法,再排小集团内部共有2222A A 种排法,由分步计数原理共有222222A A A 种排法.练习题：１.计划展出10幅不同的画,其中1幅水彩画,４幅油画,５幅国画, 排成一行陈列,要求同一 品种的必须连在一起,并且水彩画不在两端,那么共有陈列方式的种数为254254A A A2. 5男生和５女生站成一排照像,男生相邻,女生也相邻的排法有255255A A A 种十.元素相同问题隔板策略例10.有10个运动员名额,分给7个班,每班至少一个,有多少种分配方案 解：因为10个名额没有差别,把它们排成一排;相邻名额之间形成９个空隙;在９个空档中选６个位置插个隔板,可把名额分成７份,对应地分给７个班级,每一种插板方法对应一种分法共有69C 种分法;一般地,元素分成多排的排列问题,可归结为一排考虑,再分段研小集团排列问题中,先整体后局部,再结合其它策略进行处理;一班二班三班四班六班七班练习题：1． 10个相同的球装5个盒中,每盒至少一有多少装法 49C2 .100x y z w +++=求这个方程组的自然数解的组数 3103C 十一.正难则反总体淘汰策略例11.从0,1,2,3,4,5,6,7,8,9这十个数字中取出三个数,使其和为不小于10的偶数,不同的取法有多少种 解：这问题中如果直接求不小于10的偶数很困难,可用总体淘汰法;这十个数字中有5个偶数5个奇数,所取的三个数含有3个偶数的取法有35C ,只含有1个偶数的取法有1255C C ,和为偶数的取法共有123555C C C +;再淘汰和小于10的偶数共9种,符合条件的取法共有1235559C C C +-练习题：我们班里有43位同学,从中任抽5人,正、副班长、团支部书记至少有一人在内的抽法有多少种十二.平均分组问题除法策略例12. 6本不同的书平均分成3堆,每堆2本共有多少分法解: 分三步取书得222642C C C 种方法,但这里出现重复计数的现象,不妨记6本书为ABCDEF,若第一步取AB,第二步取CD,第三步取EF 该分法记为AB,CD,EF,则222642C C C 中还有AB,EF,CD,CD,AB,EF,CD,EF,ABEF,CD,AB,EF,AB,CD 共有33A 种取法 ,而这些分法仅是AB,CD,EF 一种分法,故共有22236423/C C C A 种分法;将n 个相同的元素分成m 份n,m 为正整数,每份至少一个元素,可以用m-1块隔板,插入n 个元素排成一排的n-1个空隙中,所有分法数为11m n C -- 有些排列组合问题,正面直接考虑比较复杂,而它的反面往往比较简捷,可以先求出它的反面,再从整体中淘汰. 平均分成的组,不管它们的顺序如何,都是一种情况,所以分组后要一定要除以nn A n 为均分的组数避免重复计数;练习题：1 将13个球队分成3组,一组5个队,其它两组4个队, 有多少分法 544213842/C C C A名学生分成3组,其中一组4人, 另两组3人但正副班长不能分在同一组,有多少种不同的分组方法 15403.某校高二年级共有六个班级,现从外地转 入4名学生,要安排到该年级的两个班级且每班安排2名,则不同的安排方案种数为______22224262/90C C A A = 十三. 合理分类与分步策略例13.在一次演唱会上共10名演员,其中8人能能唱歌,5人会跳舞,现要演出一个2人唱歌2人伴舞的节目,有多少选派方法 解：10演员中有5人只会唱歌,2人只会跳舞3人为全能演员;选上唱歌人员为标准进行研究只会唱的5人中没有人选上唱歌人员共有2233C C 种,只会唱的5人中只有1人选上唱歌人员112534C C C 种,只会唱的5人中只有2人选上唱歌人员有2255C C 种,由分类计数原理共有22112223353455C C C C C C C ++种;练习题：1.从4名男生和3名女生中选出4人参加某个座 谈会,若这4人中必须既有男生又有女生,则不同的选法共有342. 3成人2小孩乘船游玩,1号船最多乘3人, 2号船最多乘2人,3号船只能乘1人,他们任选2只船或3只船,但小孩不能单独乘一只船, 这3人共有多少乘船方法. 27本题还有如下分类标准：以3个全能演员是否选上唱歌人员为标准 以3个全能演员是否选上跳舞人员为标准 以只会跳舞的2人是否选上跳舞人员为标准 都可经得到正确结果 十四.构造模型策略例14. 马路上有编号为1,2,3,4,5,6,7,8,9的九只路灯,现要关掉其中的3盏,但不能关掉相邻的2盏或3盏,也不能关掉两端的2盏,求满足条件的关灯方法有多少种解：把此问题当作一个排队模型在6盏亮灯的5个空隙中插入3个不亮的灯有35C 种解含有约束条件的排列组合问题,可按元素的性质进行分类,按事件发生的连续过程分步,做到标准明确;分步层次清楚,不重不漏,分类标准一旦确定要贯穿于解题过程的始终;练习题：某排共有10个座位,若4人就坐,每人左右两边都有空位,那么不同的坐法有多少种120十五.实际操作穷举策略例15.设有编号1,2,3,4,5的五个球和编号1,2,3,4,5的五个盒子,现将5个球投入这五个盒子内,要求每个盒子放一个球,并且恰好有两个球的编号与盒子的编号相同,有多少投法解：从5个球中取出2个与盒子对号有25C 种还剩下3球3盒序号不能对应,利用实际操作法,如果剩下3,4,5号球, 3,4,5号盒3号球装4号盒时,则4,5号球有只有1种装法,同理3号球装5号盒时,4,5号球有也只有1种装法,由分步计数原理有252C 种4号盒 5号盒练习题：1.同一寝室4人,每人写一张贺年卡集中起来,然后每人各拿一张别人的贺年卡,则四张贺年卡不同的分配方式有多少种 92.给图中区域涂色,要求相邻区 域不同色,现有4种可选颜色,则不同的着色方法有 72种54321十六. 分解与合成策略例16. 30030能被多少个不同的偶数整除分析：先把30030分解成质因数的乘积形式30030=2×3×5 × 7 ×11×13依题意可知偶因数必先取2,再从其余5个因数中任取若干个组成乘积,所有的偶因数为：1234555555C C C C C ++++练习:正方体的8个顶点可连成多少对异面直线一些不易理解的排列组合题如果能转化为非常熟悉的模型,如占位填空模型,排队模型,装盒模型等,可使问题直观解决 对于条件比较复杂的排列组合问题,不易用公式进行运算,往往利用穷举法或画出树状图会收到意想不到的结果解：我们先从8个顶点中任取4个顶点构成四体共有体共481258C -=,每个四面体有十七.化归策略 例17. 25人排成5×5方阵,现从中选3人,要求3人不在同一行也不在同一列,不同的选法有多少种解：将这个问题退化成9人排成3×3方阵,现从中选3人,要求3人不在同一行也不在同一列,有多少选法.这样每行必有1人从其中的一行中选取1人后,把这人所在的行列都划掉,如此继续下去.从3×3方队中选3人的方法有111321C C C 种;再从5×5方阵选出3×3取3行3列有3355C C 选法所以从5×53人有3311155321C C C C C 选法;练习题:某城市的街区由12个全等的矩形区组成其中实线表示马路,从A 走到B 的最短路径有多少种3735C =BA十八.数字排序问题查字典策略例18．由0,1,2,3,4,5六个数字可以组成多少个没有重复的比324105大的数 解:297221122334455=++++=A A A A A N练习:用0,1,2,3,4,5这六个数字组成没有重复的四位偶数,将这些数字从小到大排列起来,第71个数是 3140 十九.树图策略处理复杂的排列组合问题时可以把一个问题退化成一个简要的问题,通过解决这个简要的问题的解决找到解题方法,从而进下一步解决原来的问题例19．3人相互传球,由甲开始发球,并作为第一次传球,经过5次传求后,球仍回到甲的手中,则不同的传球方式有______ 10=N练习: 分别编有1,2,3,4,5号码的人与椅,其中i 号人不坐i 号椅54321,,,,i =的不同坐法有多少种44=N二十.复杂分类问题表格策略例20．有红、黄、兰色的球各5只,分别标有A 、B 、C 、D 、E 五个字母,现从中取5只,要求各字母均有且三色齐备,则共有多少种不同的取法 解二十一：住店法策略解决“允许重复排列问题”要注意区分两类元素：一类元素可以重复,另一类不能重复,把不能重复的元素看作“客”,能重复的元素看作“店”,再利用乘法原理直接求解.例21.七名学生争夺五项冠军,每项冠军只能由一人获得,获得冠军的可能的种数有 .分析：因同一学生可以同时夺得n 项冠军,故学生可重复排列,将七名学生看作7家“店”,五项冠军看作5名“客”,每个“客”有7种住宿法,由乘法原理得75种.小结本节课,我们对有关排列组合的几种常见的解题策略加以复习巩固;排列组合历来是学习中的难点,通过我们平时做的练习题,不难发现排列组合题的特点是条件隐晦,不易挖掘,题目多变,解法独特,数字庞大,难以验证;同学们只有对基本的解题策略熟练掌握;根据它们的条件,我们就可以选取不同的技巧来解决问题.对于一些比较复杂的问题,我们可以将几种策略结合起来应用把复杂的问题简单化,举一反三,触类旁通,进而为后续学习打下坚实的基础;一些复杂的分类选取题,要满足的条件比较多, 无从入手,经常出现重复遗漏的情况,用表格法,则分类明确,能保证题中须满足的条件,能达到好的效。