圆、椭圆、双曲线的参数方程共21页

<一>圆的方程(x-a)^2+(y-b)^2=r^2，圆心O（a，b），半径r。

（1）圆的一般式方程：x^2+y^2+Dx+Ey+F=0此方程可用于解决两圆的位置关系：配方化为标准方程：（x+D/2）^2.+(y+E/2)^2=(D^2+E^2-4F)/4其圆心坐标：（-D/2,-E/2）半径为r=√[（D^2+E^2-4F）]/2此方程满足为圆的方程的条件是:D^2+E^2-4F>0若不满足,则不可表示为圆的方程（2）点与圆的位置关系点P（X1,Y1) 与圆(x－a)^2+(y－b) ^2=r^2的位置关系：⑴当(x1－a)^2+(y1－b) ^2>r^2时，则点P在圆外。

⑵当(x1－a)^2+(y1－b) ^2=r^2时，则点P在圆上。

⑶当(x1－a)^2+(y1－b) ^2<r^2时，则点P在圆内。

圆与直线的位置关系判断平面内，直线Ax+By+C=0与圆x^2+y^2+Dx+Ey+F=0的位置关系判断一般方法是：1.由Ax+By+C=0，可得y=(-C-Ax)/B，（其中B不等于0），代入x^2+y^2+Dx+Ey+F=0，即成为一个关于x的一元二次方程f（x）=0。

利用判别式b^2-4ac的符号可确定圆与直线的位置关系如下：如果b^2-4ac>0，则圆与直线有2交点，即圆与直线相交。

如果b^2-4ac=0，则圆与直线有1交点，即圆与直线相切。

如果b^2-4ac<0，则圆与直线有0交点，即圆与直线相离。

2.如果B=0即直线为Ax+C=0，即x=-C/A，它平行于y轴（或垂直于x 轴），将x^2+y^2+Dx+Ey+F=0化为 (x－a)^2+(y－b) ^2=r^2。

令y=b，求出此时的两个x值x1、x2，并且规定x1<x2，那么：当x=-C/A<x1或x=-C/A>x2时，直线与圆相离；当x1<x=-C/A<x2时，直线与圆相交；半径r，直径d在直角坐标系中，圆的解析式为：(x-a)^2+(y-b)^2=r^2;x^2+y^2+Dx+Ey+F=0=> (x+D/2)^2+(y+E/2)^2=(D^2+E^2-4F)/4=> 圆心坐标为(-D/2,-E/2)其实只要保证X方Y方前系数都是1就可以直接判断出圆心坐标为(-D/2,-E/2)这可以作为一个结论运用的且r=根号（圆心坐标的平方和-F）<二>椭圆的标准方程椭圆的标准方程分两种情况：当焦点在x轴时,椭圆的标准方程是：x^2/a^2+y^2/b^2=1，(a>b>0)；当焦点在y轴时,椭圆的标准方程是：y^2/a^2+x^2/b^2=1，(a>b>0)；其中a>0，b>0。

圆椭圆双曲线抛物线知识点汇总一、圆椭圆双曲线抛物线的定义1. 圆：圆是平面上到定点距离相等的所有点的集合。

圆由圆心和半径唯一确定。

2. 椭圆：椭圆是平面上到两个定点的距离之和为常数的所有点的集合。

椭圆由两个焦点和两个半轴唯一确定。

3. 双曲线：双曲线是平面上到两个定点的距离之差为常数的所有点的集合。

双曲线由两个焦点和两个实轴唯一确定。

4. 抛物线：抛物线是平面上到定点距离等于到定直线的距离的所有点的集合。

抛物线由焦点和直线唯一确定。

二、圆椭圆双曲线抛物线的方程1. 圆：圆的标准方程为(x-a)² + (y-b)² = r²，其中圆心为(a, b)，半径为r。

2. 椭圆：椭圆的标准方程为x²/a² + y²/b² = 1，其中a和b分别为x轴和y轴上的半轴长。

3. 双曲线：双曲线的标准方程为x²/a² - y²/b² = 1或者y²/a² - x²/b² = 1，取决于焦点的位置。

4. 抛物线：抛物线的标准方程为y² = 4ax或者x² = 4ay，取决于抛物线开口的方向。

三、圆椭圆双曲线抛物线的性质1. 圆：圆的直径是圆上任意两点之间的最大距离，且所有直径相等。

2. 椭圆：椭圆的离心率介于0和1之间，离心率越接近0，椭圆越接近于圆。

3. 双曲线：双曲线分为两支，每一支的焦点到定点的距离之差相等。

4. 抛物线：抛物线的焦点在抛物线上方，开口方向取决于系数a的正负号。

四、圆椭圆双曲线抛物线的应用1. 圆：在几何中常常与角度和三角函数结合，用于描述正弦和余弦函数的周期性。

2. 椭圆：在天体力学中用于描述行星轨道的形状，以及通信中的极化椭圆。

3. 双曲线：在光学和电磁学中用于描述折射和反射现象。

4. 抛物线：在物理学中用于描述自由落体运动和抛物线运动。

2.2 常见曲线的参数方程 第一节 圆锥曲线的参数方程一椭圆的参数方程1、中心在坐标原点，焦点在x 轴上，标准方程是22221(0)x y a b a b+=>>的椭圆的参数方程为cos (sin x a y b ϕϕϕ=⎧⎨=⎩为参数）同样，中心在坐标原点，焦点在y 轴上，标准方程是22221(0)y x a b a b+=>>的椭圆的参数方程为cos (sin x b y a ϕϕϕ=⎧⎨=⎩为参数）2、椭圆参数方程的推导如图，以原点O 为圆心，,()a b a b o >>为半径分别作两个同心圆，设A 为大圆上的任一点，连接OA ，与小圆交于点B ，过点,A B 分别作x 轴，y 轴的垂线，两垂线交于点M 。

设以Ox 为始边，OA 为终边的角为ϕ，点M 的坐标是(,)x y 。

那么点A 的横坐标为x ，点B 的纵坐标为y 。

由于点,A B 都在角ϕ的终边上，由三角函数的定义有cos cos ,sin sin x OA a y OB b ϕϕϕϕ==== 3当半径OA 绕点O 旋转一周时，就得到了点M 的轨迹，它的参数方程是cos (sin x a y b ϕϕϕ=⎧⎨=⎩为参数）这是中心在原点O ，焦点在x 轴上的椭圆的参数方程。

3、椭圆的参数方程中参数ϕ的意义 圆的参数方程cos (sin x r y r θθθ=⎧⎨=⎩为参数）中的参数θ是动点(,)M x y 的旋转角，但在椭圆的参数方程cos (sin x a y b ϕϕϕ=⎧⎨=⎩为参数）中的参数ϕ不是动点(,)M x y 的旋转角，它是动点(,)M x y 所对应的圆的半径OA （或OB ）的旋转角，称为点M 的离心角，不是OM 的旋转角，通常规定[)0,2ϕπ∈ 4、椭圆参数方程与普通方程的互化可以借助同角三角函数的平方关系将普通方程和参数方程互化。

①由椭圆的参数方程cos (sin x a y b ϕϕϕ=⎧⎨=⎩为参数，0)a b >>，易得cos ,sin x ya b ϕϕ==，可以利用平方关系将参数方程中的参数ϕ化去得到普通方程22221(0)x y a b a b+=>>②在椭圆的普通方程22221(0)x y a b a b +=>>中，令cos ,sin x ya bϕϕ==，从而将普通方程化为参数方程cos (sin x a y b ϕϕϕ=⎧⎨=⎩为参数，0)a b >>注：①椭圆中参数的取值范围：由普通方程可知椭圆的范围是：,a x a b y b -≤≤-≤≤，结合三角函数的有界性可知参数[)0,2ϕπ∈②对于不同的参数，椭圆的参数方程也有不同的呈现形式。

曲线与曲面的参数方程曲线与曲面是数学中非常重要的概念，我们在生活中也可以发现许多物体的形状都可以用曲线与曲面来描述。

这篇文章将介绍曲线与曲面的参数方程，为大家解答这个问题。

一、曲线的参数方程曲线是指在平面或空间中的一条连续的线，因为曲线有弯曲和曲度的特性，所以需要用一种方法来描述它的特性。

参数方程就是一种常用的描述曲线特性的方法。

曲线的参数方程可以用一组参数来表示曲线上的每个点的位置，通常可以表示为：$$\begin{cases}x=f(t) \\ y=g(t)\end{cases}$$这就是二维平面曲线的参数方程，其中 $t$ 是参数，$f(t)$ 和$g(t)$ 是随参数 $t$ 的变化而改变的函数。

例如，坐标系上的圆可以用以下参数方程来表示：$$\begin{cases}x=r\cos t \\ y=r\sin t \end{cases}$$其中 $r$ 是圆的半径，$t$ 的取值范围是 $0\leq t<2\pi $。

当$t=0$ 时，表示圆的起点，当 $t=2\pi$ 时，表示圆的终点。

因为$t$ 是参数，所以可以用不同的参数方程来描述同一个曲线，例如：$$\begin{cases}x=r\cos \omega t \\ y=r\sin \omega t \end{cases}$$其中 $\omega$ 是常数，这也是描述圆的参数方程，只不过经过了缩放，并且运动速度变快了。

同样，空间中的曲线也可以用参数方程来表示，通常可以表示为：$$\begin{cases}x=f(t) \\ y=g(t) \\ z=h(t) \end{cases}$$这就是三维空间中曲线的参数方程，其中 $t$ 是参数，$f(t)$、$g(t)$ 和 $h(t)$ 是随参数 $t$ 的变化而改变的函数。

例如，直线的参数方程可以表示为：$$\begin{cases}x=x_0+at \\ y=y_0+bt \\ z=z_0+ct \end{cases}$$其中 $(x_0,y_0,z_0)$ 是直线上的一个点，$(a,b,c)$ 是直线的方向向量。

2.3 椭圆的参数方程2.4 双曲线的参数方程1.椭圆的参数方程(1)椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1的参数方程为⎩⎨⎧x ＝a cos φ，y ＝b sin φ(φ为参数)，参数的几何意义是以a为半径所作圆上一点和椭圆中心的连线与x 轴正半轴的夹角. (2)中心在C (x 0，y 0)的椭圆的参数方程是⎩⎨⎧x ＝x 0＋a cos φ，y ＝y 0＋b sin φ(φ为参数).2.双曲线的参数方程中心在原点，焦点在x 轴上的双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a cos φ，y ＝b tan φ(φ为参数)，规定φ的取值范围为φ∈[0，2π)且φ≠π2，φ≠32π. 【思维导图】【知能要点】 1.椭圆的参数方程. 2.双曲线的参数方程.题型一 椭圆的参数方程1.和圆的参数方程⎩⎨⎧x ＝r cos θ，y ＝r sin θ中的参数θ是半径OM 的旋转角不同，椭圆参数方程⎩⎨⎧x ＝a cos φ，y ＝b sin φ中的参数φ是椭圆上点M 的离心角.2.椭圆（x －m ）2a 2＋（y －n ）2b 2＝1 (a >b >0)的参数方程为⎩⎨⎧x ＝m ＋a cos φ，y ＝n ＋b sin φ(φ为参数).【例1】 已知A 、B 分别是椭圆x 236＋y 29＝1的右顶点和上顶点，动点C 在该椭圆上运动，求△ABC 的重心G 的轨迹的普通方程.解 由动点C 在该椭圆上运动，故据此可设点C 的坐标为(6cos θ，3sin θ)，点G 的坐标为(x ，y )，则由题意可知点A (6，0)，B (0，3). 由重心坐标公式可知⎩⎪⎨⎪⎧x ＝6＋0＋6cos θ3＝2＋2cos θ，y ＝0＋3＋3sin θ3＝1＋sin θ. 由此消去θ得到（x －2）24＋(y －1)2＝1即为所求.【反思感悟】 本题的解法体现了椭圆的参数方程对于解决相关问题的优越性.运用参数方程显得很简单，运算更简便.1.设F 1、F 2分别为椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1 (a >b >0)的左、右焦点.(1)若椭圆C 上的点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32到F 1、F 2距离之和等于4，写出椭圆C 的方程和焦点坐标；(2)设P 是(1)中椭圆上的动点，求线段F 1P 的中点的轨迹方程. 解 (1)由椭圆上点A 到F 1、F 2的距离之和是4， 得2a ＝4，即a ＝2. 又点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32在椭圆上，因此14＋⎝ ⎛⎭⎪⎫322b 2＝1，得b 2＝3， 于是c 2＝a 2－b 2＝1，所以椭圆C 的方程为x 24＋y 23＝1， 焦点坐标为F 1(－1，0)，F 2(1，0).(2)设椭圆C 上的动点P 的坐标为(2cos θ，3sin θ)， 线段F 1P 的中点坐标为(x ，y )， 则x ＝2cos θ－12，y ＝3sin θ＋02， 所以x ＋12＝cos θ，2y3＝sin θ.消去θ，得⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋122＋4y23＝1，这就是线段F 1P 的中点的轨迹方程.题型二 双曲线的参数方程与椭圆类似，双曲线的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a cos φ，y ＝b tan φ (φ为参数)中φ的几何意义也是双曲线上一点M 的离心角.【例2】 直线AB 过双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的中心O ，与双曲线交于A ，B 两点，P 是双曲线上的任意一点.求证：直线P A ，PB 的斜率的乘积为定值. 证明 如图所示，设P ⎝ ⎛⎭⎪⎫a cos α，b tan α，A ⎝ ⎛⎭⎪⎫a cos θ，b tan θ.∵AB 过原点O ，∴A ，B 的坐标关于原点对称， 于是有B ⎝ ⎛⎭⎪⎫－a cos θ，－b tan θ，从而：k P A ·k PB ＝b （tan α－tan θ）a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1cos α－1cos θ·b （tan α＋tan θ）a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1cos α＋1cos θ ＝b 2（tan 2 α－tan 2 θ）a 2⎝ ⎛⎭⎪⎫1cos 2 α－1cos 2 θ＝b 2a 2为定值.【反思感悟】 本例的求解充分利用了双曲线的参数方程.一般地，当与二次曲线上的动点有关时，可将动点用参数形式表示，从而将x ，y 都表示为某角θ的函数，运用三角知识求解，可大大减少运算量，收到事半功倍的效果.2.如图所示，设M 为双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ，b ＞0)上任意一点，O 为原点，过点M 作双曲线两渐近线的平行线，分别与两渐近线交于A ，B 两点.探求平行四边形MAOB 的面积，由此可以发现什么结论？解 双曲线的渐近线方程为y ＝±ba x . 不妨设M 为双曲线右支上一点，其坐标为 ⎝ ⎛⎭⎪⎫a cos φ，b tan φ，则直线MA 的方程为 y －b tan φ＝－b a ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －a cos φ.①将y ＝ba x 代入①，解得点A 的横坐标为 x A ＝a 2⎝ ⎛⎭⎪⎫1cos φ－tan φ.同理可得，点B 的横坐标为x B ＝a 2⎝ ⎛⎭⎪⎫1cos φ－tan φ.设∠AOx ＝a ，则tan α＝ba .所以，▱MAOB 的面积为S ▱MAOB ＝|OA |·|OB |sin 2α ＝x A cos α·x B cos α·sin 2α＝a 2⎝ ⎛⎭⎪⎫1cos 2φ－tan 2φ4cos 2α·sin 2α ＝a 22·tan α＝a 22·b a ＝ab 2.由此可见，平行四边形MAOB 的面积恒为定值，与点M 在双曲线上的位置无关.题型三 参数方程的应用若曲线的参数方程⎩⎨⎧x ＝2pt 2，y ＝2pt(t 为参数)，由于y x ＝1t ，因此t 的几何意义是曲线上的点(除顶点外)与曲线的顶点连线的斜率的倒数.【例3】 设飞机以匀速v ＝150 m/s 做水平飞行，若在飞行高度h ＝588 m 处投弹(假设炸弹的初速度等于飞机的速度). (1)求炸弹离开飞机后的轨迹方程；(2)试问飞机在离目标多远(水平距离)处投弹才能命中目标.分析 这是物理学中的平抛运动，选择合理的参变量将炸弹(看作质点)的水平方向和竖直方向的运动表示出来.解 (1)如图所示，A 为投弹点，坐标为(0，588)，B 为目标，坐标为(x 0，0).记炸弹飞行的时间为t ，在A 点t ＝0.设M (x ，y )为飞行曲线上的任一点，它对应时刻t ，炸弹初速度v 0＝150 m/s ，用物理学知识，分别计算水平、竖直方向的路程，得 ⎩⎪⎨⎪⎧x ＝v 0t ，y ＝588－12gt 2 (g ＝9.8 m/s 2)，即⎩⎨⎧x ＝150t ，y ＝588－4.9t 2， 这是炸弹飞行曲线的参数方程.(2)炸弹飞行到地面目标B 处的时间t 0满足方程y ＝0， 即588－4.9t 2＝0，解得t 0＝230.由此得x 0＝150×230＝30030≈1 643 (m).即飞机在离目标约1 643 m(水平距离)处投弹才能击中目标.【反思感悟】 准确把握题意，分析物理学中运动过程，选择适当的坐标系及变量，将物理问题转化为数学问题.利用抛物线的参数方程解决.3.青海省玉树县发生7.1级地震，灾区人民的安危牵动着全国人民的心，一批批救援物资源源不断地运往灾区.现在一架救援飞机在离灾区地面593 m 高处以150 m/s 的速度作水平飞行.为使投放救援物资准确落于灾区某指定的地点(不记空气阻力)，飞行员应如何确定投放时机呢？解 如图所示，物资投出机舱后，设在时刻t 的水平位移为x ，垂直距离为y ，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＝150t ，y ＝593－12gt 2(g ＝9.8 m/s 2). 令y ＝0，得t ≈11 s ，代入x ＝150 t ，得x ≈1 650 m.所以，飞行员在离救援点的水平距离约1 650米时开始投放物资，可使其准确落在指定位置.1.已知实数x ，y 满足x 225＋y 216＝1，求目标函数z ＝x －2y 的最大值与最小值. 解 椭圆x 225＋y 216＝1的参数方程为⎩⎨⎧x ＝5cos φ，y ＝4sin φ(φ为参数).代入目标函数得z ＝5cos φ－8sin φ＝52＋82cos(φ＋φ0)＝89cos(φ＋φ0)(tan φ0＝85).所以目标函数z min ＝－89，z max ＝89.2.点P 在椭圆x 216＋y 29＝1上，求点P 到直线3x －4y ＝24的最大距离和最小距离. 解 设P (4cos θ，3sin θ)， 则d ＝|12cos θ－12sin θ－24|5.即d ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪122cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4－245，当cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝－1时，d max ＝125(2＋2)；当cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝1时，d min ＝125(2－2).3.已知弹道曲线的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝20t cos π6，y ＝20t sin π6－12gt 2(g ＝9.8 m/s 2)(1)求炮弹从发射到落地所需的时间； (2)求炮弹在运动中达到的最大高度. 解 (1)令y ＝20t sin π6－12gt 2＝0， 即4.9t 2－10t ＝0. 解得t ＝0或t ≈2.所以炮弹从发射到落地所需时间约为2秒.(2)由y ＝10t －4.9t 2，得y ＝－4.9⎝ ⎛⎭⎪⎫t 2－10049t ＝－4.9⎝ ⎛⎭⎪⎫t －50492＋25049.所以当t ＝5049时，y max ＝25049≈5.1.所以炮弹在运动中达到的最大高度为5.1米.4.已知双曲线方程为x 2－y 2＝1，M 为双曲线上任意一点，M 点到两条渐近线的距离分别为d 1和d 2，求证：d 1与d 2的乘积是常数.证明 设d 1为M 点到渐近线y ＝x 的距离，d 2为M 点到渐近线y ＝－x 的距离， 因为M 点在双曲线x 2－y 2＝1上，则可设M 点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫1cos α，tan α.d 1＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪1cos α－tan α2，d 2＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪1cos α＋tan α2，d 1·d 2＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪1cos 2α－tan 2α2＝12，故d 1与d 2的乘积是常数.[P 36思考交流] 参照求圆的参数方程 ⎩⎪⎨⎪⎧x ＝（1－k 2）r1＋k 2，y ＝2kr 1＋k 2(k 为参数)的方法，给出椭圆另一种形式的参数方程(如图).答 设椭圆的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1其中a ＞b ＞0，则点A 的坐标为(－a ，0)，设AP 的斜率为k .直线AP 的方程为y ＝k (x ＋a )由⎩⎨⎧y ＝k （x ＋a ），x 2a 2＋y 2b 2＝1，可得直线AP 与椭圆的交点的横坐标，x 1＝－a ，x 2＝ab 2－a 3k 2b 2＋a 2k2. 直线AP 与椭圆交点的纵坐标为y 1＝0，y 2＝2ab 2k b 2＋a 2k2即点P 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫ab 2－a 3k 2b 2＋a 2k 2，2ab 2k b 2＋a 2k 2. ∵点P 是椭圆任意的不同于A 的点，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ab 2－a 3k 2b 2＋a 2k2，y ＝2ab 2kb 2＋a 2k2(k 为参数)，上面参数方程即为椭圆的另一种形式的参数方程.其中参数k 表示直线AP 的斜率.也由此可以看出，由于参数的选取不同，参数方程也不同. [P 37思考交流]1.双曲线的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a cos φ，y ＝b tan φ中，参数的几何意义是什么？答 参数的几何意义是以原点为圆心，a 为半径的圆的半径的旋转角. 2.试求双曲线y 2a 2－x 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的参数方程.答 如图：分别以a ，b 为半径，原点为圆心作同心圆. 设OA ＝a ，OB ＝b ，A 为圆上任一点.∠AOx ＝φ(参数)，B 为圆与y 轴的交点，过B 作平行于x 轴的直线交OA 的延长线于B 1点，在Rt △OBB 1中，∠BB 1O ＝φ，BB 1＝btan φ. 过A 的切线交y 轴于A 1点，A 1P ⊥y 轴，A 1P ⊥B 1P . 设点P 的坐标为(x ，y )，在Rt △OAA 1中，∠OA 1A ＝φ，OA ＝a ，OA 1＝asin φ. x ＝BB 1＝b tan φ，y ＝OA 1＝asin φ.∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝b tan φ，y ＝a sin φ(其中φ为参数)，∴y 2a 2－x 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝btan φ，y ＝a sin φ(φ为参数).3.试求抛物线y 2＝2px (p ＞0)的参数方程.(1)以抛物线上一点(x ，y )与其顶点连线斜率的倒数t 为参数. (2)以抛物线上任意一点(x ，y )的纵坐标y 0为参数. 答 (1)抛物线y 2＝2px ，p 为焦点到准线的距离. 抛物线上任意一点M (x ，y )，∠MOx ＝α，则yx ＝tan α代入y 2＝2px 中y ·tan α＝2p .∴y ＝2p tan α.x ＝y 22p ＝12p ·（2p ）2tan 2 α＝2p tan 2α.设t ＝1tan α，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2pt 2，y ＝2pt .其中t 为参数.几何意义是抛物线上任意一点与抛物线顶点的连线的斜率的倒数.故⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2pt 2，y ＝2pt 即为所求.(2)⎩⎨⎧x ＝y 22p ，y ＝y 0(y 0为参数).几何意义是抛物线上任意点的纵坐标.【规律方法总结】1.椭圆和双曲线的参数方程中，参数φ的几何意义都是曲线上点M 的离心角；抛物线参数方程中参数t 的几何意义是抛物线上的点(除顶点外)和顶点连线斜率的倒数.2.利用圆锥曲线的参数方程，可以方便求解一些需要曲线上点的两个坐标独立表示的问题，如求最大值、最小值问题、轨迹问题等.3.圆锥曲线的参数方程可以有不同的形式，求曲线的参数方程可根据具体问题选取角度、长度、斜率、时间等作为参数.一、选择题1.下列参数方程(t 为参数)与普通方程x 2－y ＝0表示同一曲线的方程是( ) A.⎩⎨⎧x ＝|t |，y ＝tB.⎩⎨⎧x ＝cos t ，y ＝cos 2t C.⎩⎨⎧x ＝tan t ，y ＝1＋cos 2t 1－cos 2tD.⎩⎨⎧x ＝tan t ，y ＝1－cos 2t 1＋cos 2t解析 注意参数范围，可利用排除去.普通方程x 2－y ＝0中的x ∈R ，y ≥0.A 中x ＝|t |≥0，B 中x ＝cos t ∈[－1，1]，故排除A 和B.而C 中y ＝2cos 2t 2sin 2t ＝cos 2t ＝1tan 2t ＝1x 2，即x 2y ＝1，故排除C. 答案 D2.下列在曲线⎩⎨⎧x ＝sin 2θ，y ＝cos θ＋sin θ(θ为参数)上的点是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－2 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－34，12 C.(2，3)D.(1，3)解析 转化为普通方程：y 2＝1＋x (|y |≤2)，把选项A 、B 、C 、D 代入验证得，选B. 答案 B3.若点P (3，m )在以点F 为焦点的抛物线⎩⎨⎧x ＝4t 2，y ＝4t(t 为参数)上，则|PF |等于( )A.2B.3C.4D.5解析 抛物线为y 2＝4x ，准线为x ＝－1，|PF |为P (3，m )到准线x ＝－1的距离，即为4.答案 C4.已知椭圆的参数方程⎩⎨⎧x ＝2cos t ＋1，y ＝4sin t(t 为参数)，点M 在椭圆上，对应参数t ＝π3，点O 为原点，则直线OM 的倾斜角α为( )A.π3B.π6C.2π3D.5π6解析 M 点的坐标为(2，23)，∴k ＝3，tan α＝3，α＝π3.答案 A二、填空题5.曲线⎩⎨⎧x ＝3t －2，y ＝t 2－1与x 轴交点的坐标是______________. 解析 将曲线的参数方程化为普通方程：(x ＋2)2＝9(y ＋1)，令y ＝0，得x ＝1或x ＝－5.答案 (1，0)，(－5，0)6.双曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3＋3tan φ，y ＝1cos φ(φ为参数)的渐近线方程是________. 解析 将参数方程化为普通方程是y 2－（x －3）29＝1， a ＝1，b ＝3，渐近线的斜率k ＝±13，双曲线的中心为(3，0)，∴渐近线方程为y＝±13(x －3).答案 y ＝±13(x －3)7.二次曲线⎩⎨⎧x ＝5cos θ，y ＝3sin θ(θ是参数)的左焦点的坐标是________. 解析 题中二次曲线的普通方程为x 225＋y 29＝1左焦点为(－4，0).答案 (－4，0)8.过双曲线x 2－y 2＝4的右焦点F 作倾斜角为105°的直线，交双曲线于P ，Q 两点，则|FP |·|FQ |的值为________.解析 因双曲线的标准方程为x 24－y 24＝1，∴a ＝b ＝2.∴c ＝a 2＋b 2＝4＋4＝2 2.故右焦点为F (22，0).∴可设过F (22，0)，倾斜角为105°的直线的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝22＋t cos 105°，y ＝t sin 105°(t 为参数).代入双曲线方程x 2－y 2＝4，整理得32t 2＋(23－2)t －4＝0， ∴|FP |·|FQ |＝|t 1t 2|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪－432＝833. 答案 833三、解答题9.已知圆O 1：x 2＋(y －2)2＝1上一点P 与双曲线x 2－y 2＝1上一点Q ，求P ，Q 两点距离的最小值.解 圆心O 1坐标为(0，2)，Q 点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫1cos φ，tan φ， |QO 1|2＝1cos 2φ＋(tan φ－2)2＝1cos 2φ＋tan 2φ－4tan φ＋4＝2tan 2φ－4tan φ＋5.设t ＝tan φ，|QO 1|2＝2t 2－4t ＋5＝2(t －1)2＋3≥3，∴|QO 1|min ＝3，∴PQ 两点间的距离的最小值为3－1.10.已知曲线C ：x 24＋y 29＝1，直线l ：⎩⎨⎧x ＝2＋t ，y ＝2－2t (t 为参数). (1)写出曲线C 的参数方程，直线l 的普通方程；(2)过曲线C 上任意一点P 作与l 夹角为30°的直线，交l 于点A ，求|P A |的最大值与最小值.解 (1)曲线C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝2cos θ，y ＝3sin θ(θ为参数).直线l 的普通方程为2x ＋y －6＝0.(2)曲线C 上任意一点P (2cos θ，3sin θ)到l 的距离为d ＝55|4cos θ＋3sin θ－6|，则|P A |＝d sin 30°＝255|5sin(θ＋α)－6|，其中α为锐角，且tan α＝43.当sin(θ＋α)＝－1时，|P A |取得最大值， 最大值为2255.当sin(θ＋α)＝1时，|P A |取得最小值， 最小值为255.11.已知椭圆x 24＋y 2＝1上任一点M (除短轴端点外)与短轴两端点B 1，B 2的连线分别交x 轴于P ，Q 两点，求证：|OP |·|OQ |为定值.证明 设M (2cos φ，sin φ)，φ为参数，B 1(0，－1)，B 2(0，1).则MB 1的方程：y ＋1＝sin φ＋12cos φ·x ，令y ＝0，则x ＝2cos φsin φ＋1，即|OP |＝|2cos φ1＋sin φ|. MB 2的方程：y －1＝sin φ－12cos φx ，∴|OQ |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪2cos φ1－sin φ. ∴|OP |·|OQ |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪2cos φ1＋sin φ×⎪⎪⎪⎪⎪⎪2cos φ1－sin φ＝4. 即|OP |·|OQ |＝4为定值.12.已知抛物线y 2＝2px (p ＞0)，过动点M (a ，0)且斜率为1的直线l 与该抛物线交于不同的两点A ，B ，|AB |≤2p .(1)求a 的取值范围；(2)若线段AB 的垂直平分线交x 轴于点N ，求△NAB 面积的最大值.解 设直线l 的方程为y ＝x －a 代入y 2＝2px 中，得：x 2－2(a ＋p )x ＋a 2＝0.(1)设A ，B 两点的坐标为(x 1，y 1)、(x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝2(a ＋p )，x 1x 2＝a 2.∴|AB |＝1＋12（x 1＋x 2）2－4x 1x 2＝24（a ＋p ）2－4a 2＝28ap ＋4p 2≤2p ，∴2(8ap ＋4p 2)≤4p 2，解得a ≤－p 4. (2)A ，B 的中点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22，y 1＋y 22，即为(a ＋p ，p )，斜率为－1，垂直平分线方程为y －p ＝－(x －a －p )＝－x ＋a ＋p .y ＝0时，x ＝a ＋2p ，∴点N 的坐标为(a ＋2p ，0)，∴点N (a ＋2p ，0)到直线AB 的距离为|2p |2＝2p ， 则S △NAB ＝12·2p ·28ap ＋4p 2＝p 8ap ＋4p 2＝2p ·p 2＋2ap ＝2p 2pa ＋p 2，当a 最大时，S △NAB 取最大值，故a ＝－p 4时，S 取最大值为2p 2.。

参数方程题型大全1.直线、圆、椭圆、双曲线和抛物线都可以用参数方程表示。

对于过点M(x，y)，倾斜角为α的直线l，其参数方程为：x = x + tcosαy = y + tsinα其中t为参数。

对于圆心在点M(x，y)，半径为r的圆，其参数方程为：x = x + rcosθy = y + rsinθ其中θ为参数。

对于椭圆x^2/a^2 + y^2/b^2 = 1(a>b>0)，其参数方程为：x = a cosφy = b sinφ其中φ为参数。

对于双曲线x^2/a^2 - y^2/b^2 = 1(a>0，b>0)，其参数方程为：x = a secθy = b tanθ其中θ为参数。

对于抛物线y = 2px，其参数方程为：x = 2pt^2y = 2pt其中t为参数。

2.给定曲线的参数方程，求其普通方程。

对于曲线C的参数方程，设其参数为t，则其普通方程为：y = f(x)其中x和y是曲线上的点，f是关于t的函数。

将参数方程中的t用x或y表示，代入另一个方程中消去t，得到关于x 和y的方程即为普通方程。

3.给定曲线的参数方程，求其与直线或另一曲线的交点。

对于曲线C的参数方程，设其参数为t，则曲线上的点可以表示为(x(t)。

y(t))。

如果要求曲线C与直线l的交点，则将直线l的方程代入曲线C的参数方程中，解出参数t，再代入参数方程中求出交点的坐标。

如果要求曲线C与另一曲线D的交点，则将曲线D的参数方程代入曲线C的参数方程中，解出参数t，再代入参数方程中求出交点的坐标。

4.求椭圆上两点间的最短距离。

设椭圆的参数方程为：x = a cosφy = b sinφ其中φ为参数。

设椭圆上两点分别为A(x1.y1)和B(x2.y2)，则两点间的距离为：A B = √[(x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2]将x和y用φ表示，代入上式，得到AB的函数，求导后令其为0，解出φ的值，再代入AB的函数中求得最小值即为最短距离。

<一>圆的方程(x-a)^2+(y-b)^2=r^2，圆心O（a，b），半径r。

（1）圆的一般式方程：x^2+y^2+Dx+Ey+F=0此方程可用于解决两圆的位置关系：配方化为标准方程：（x+D/2）^2.+(y+E/2)^2=(D^2+E^2-4F)/4其圆心坐标：（-D/2,-E/2）半径为r=√[（D^2+E^2-4F）]/2此方程满足为圆的方程的条件是:D^2+E^2-4F>0若不满足,则不可表示为圆的方程（2）点与圆的位置关系点P（X1,Y1) 与圆(x－a)^2+(y－b) ^2=r^2的位置关系：⑴当(x1－a)^2+(y1－b) ^2>r^2时，则点P在圆外。

⑵当(x1－a)^2+(y1－b) ^2=r^2时，则点P在圆上。

⑶当(x1－a)^2+(y1－b) ^2<r^2时，则点P在圆内。

圆与直线的位置关系判断内，直线Ax+By+C=0与圆x^2+y^2+Dx+Ey+F=0的位置关系判断一般方法是：1.由Ax+By+C=0，可得y=(-C-Ax)/B，（其中B不等于0），代入x^2+y^2+Dx+Ey+F=0，即成为一个关于x的f（x）=0。

利用判别式b^2-4ac 的符号可确定圆与直线的位置关系如下：如果b^2-4ac>0，则圆与直线有2交点，即圆与直线相交。

如果b^2-4ac=0，则圆与直线有1交点，即圆与直线相切。

如果b^2-4ac<0，则圆与直线有0交点，即圆与直线相离。

2.如果B=0即直线为Ax+C=0，即x=-C/A，它平行于y轴（或垂直于x 轴），将x^2+y^2+Dx+Ey+F=0化为 (x－a)^2+(y－b) ^2=r^2。

令y=b，求出此时的两个x值x1、x2，并且规定x1<x2，那么：当x=-C/A<x1或x=-C/A>x2时，直线与圆相离；当x1<x=-C/A<x2时，直线与圆相交；半径r，直径d在中，圆的解析式为：(x-a)^2+(y-b)^2=r^2;x^2+y^2+Dx+Ey+F=0=> (x+D/2)^2+(y+E/2)^2=(D^2+E^2-4F)/4=> 圆心坐标为(-D/2,-E/2)其实只要保证X方Y方前系数都是1就可以直接判断出圆心坐标为(-D/2,-E/2)这可以作为一个结论运用的且r=（圆心坐标的平方和-F）<二>椭圆的标准方程椭圆的标准方程分两种情况：当焦点在x轴时,椭圆的标准方程是：x^2/a^2+y^2/b^2=1，(a>b>0)；当焦点在y轴时,椭圆的标准方程是：y^2/a^2+x^2/b^2=1，(a>b>0)；其中a>0，b>0。

双曲线的参数方程概述说明以及解释1. 引言1.1 概述本文将探讨双曲线的参数方程，以及其相关的定义、性质和推导方法。

我们将深入研究参数方程在双曲线研究中的应用，并通过实例分析来更好地理解和应用这一概念。

1.2 文章结构本文共分为五个部分进行论述。

引言部分（第一部分）将介绍文章内容的概要，并提供各部分的大纲以及目标。

第二部分将详细介绍双曲线的定义和性质，为后续参数方程的理解打下基础。

第三部分将探讨参数方程在双曲线研究中的应用，包括图像绘制、性质描述和求解问题等方面。

第四部分将通过实例对双曲线参数方程进行具体分析，涵盖标准双曲线、非标准双曲线以及特殊情况下的参数方程示例。

最后，在结论部分总结全文内容并给出相关建议和展望。

1.3 目的本文旨在通过对双曲线参数方程的研究和应用，加深读者对该概念的理解，并帮助读者掌握推导方法和应用技巧。

通过对参数方程的探索和实例分析，读者将能够更加准确地描述双曲线的性质、绘制其图像以及解决相关问题。

该文章可供数学学习者、研究人员和教师参考，为他们进一步深入学习双曲线提供指导和支持。

这就是文章“1. 引言”部分的详细内容，请您核对是否符合要求。

2. 双曲线的参数方程2.1 双曲线的定义和性质：双曲线是平面上的一种特殊曲线，具有一些独特的几何性质。

它可以通过以下参数方程进行描述。

对于一个双曲线，其参数方程可以表示为：x = a * cosh(t) 和y = b * sinh(t)，其中a和b是常数，t是参数。

双曲线有两个分支并且在原点处交于渐近线。

具体来说，它的两个分支向无穷远处延伸，并且在对称轴上关于原点对称。

2.2 参数方程的概念解释：参数方程是一种描述二维曲线或三维曲面的方法。

它通过引入一个或多个参数来表示变量与自变量之间的关系。

在双曲线中，使用参数方程可以更加灵活地描述其形状和性质。

相比于直角坐标系下的方程形式，参数方程能够准确地描绘出双曲线所具有的对称性和特征。

2.3 双曲线的参数方程推导方法：要推导出双曲线的参数方程，我们首先需要了解双曲函数的定义。