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圆和椭圆的参数方程知识点：1.圆的参数方程圆222r y x =+参数方程⎩⎨⎧==θθsin cos r y r x （θ为参数）说明：（1）参数θ的几何意义是OM 与x 轴正方向的夹角，如下图：（2）随着选取的参数不同，参数方程形式也有不同，但表示的曲线是相同的。
（3）在建立曲线的参数方程时，要注明参数及参数的取值范围。
（2）圆222()()x a y b r -+-=的常用参数方程为：cos ,[0,2π)sin x a r y b r θθθ=+⎧∈⎨=+⎩为参数.2.椭圆的参数方程（1）设点M 的坐标(x,y)，ϕ是以Ox 为始边，OA 为终边的正角，取ϕ为参数，那么 x=ON=|OA|cos ϕ， y=NM=|OB|sin ϕ 即⎩⎨⎧==ϕϕsin cos b y a x ①，引为点M 的轨迹参数方程，ϕ为参数。
（2）椭圆的参数方程也可由12222=+b y a x （a>b>0）三角换元直接得出，即令ϕcos =a x，ϕsin =by。
（3）椭圆参数方程⎩⎨⎧==ϕϕsin cos b y a x （ϕ为参数），参数有明显几何意义，但是离心角ϕ与∠MOX 一般不同。
一、圆的参数方程的应用①距离和最值问题（22）（2017广州一测理）在直角坐标系中，直线的参数方程为为参数.在以坐标原点为极点, 轴正半轴为极轴的极坐标系中, 曲线 (Ⅰ) 求直线的普通方程和曲线的直角坐标方程; (Ⅱ) 求曲线上的点到直线的距离的最大值.解： (Ⅰ) 由消去得,所以直线的普通方程为. 由,得.将代入上式,得曲线的直角坐标方程为, 即.(Ⅱ) 法1:设曲线上的点为,则点到直线的距离为xOy l 3,(1,=-⎧⎨=+⎩x t t y t )x :.4⎛⎫=- ⎪⎝⎭πρθC l C C l 3,1,=-⎧⎨=+⎩x t y t t 40+-=x y l 40+-=x y 4⎛⎫=-⎪⎝⎭πρθcos cos sin sin 2cos 2sin 44⎫=+=+⎪⎭ππθθθθ22cos 2sin =+ρρθρθ222,cos ,sin =+==ρρθρθx y x y C 2222+=+x y x y ()()22112-+-=x y C ()1,1ααP P l =d =当时, , 所以曲线上的点到直线的距离的最大值为法2: 设与直线平行的直线为, 当直线与圆相切时,解得或(舍去),所以直线的方程为. 所以直线与直线的距离为所以曲线上的点到直线的距离的最大值为2/.圆()()22124x y -++=上的点到直线210x y -+=的最短距离是_______.4．若实数,x y 满足22240x y x y +-+=，则2x y -的最大值为 .22222.(1,0),(1,0)(3)(4)4.A B x y P PA PB P --+-=+（三星）平面上两点，在圆上取一点，求使取得最小值时点的坐标备注：注意P 点的坐标的求法，三角函数问题=sin 14⎛⎫+=- ⎪⎝⎭παmax =d C l l :0l x y b '++=l 'C =0b =4b =-l '0x y +=l l 'd ==C l2223.5,4,3.ABC AB BC AC P ABC PA PB PC ∆===∆++（三星）已知的三边长，点是内切圆上一点，求的最小值与最大值备注：也可以用三角函数来做②参数的几何意义2. （二星）（2014年高考新课标Ⅱ）在直角坐标系xoy 中，以坐标原点为极点，x 轴为极轴建立极坐标系，半圆C 的极坐标方程为2cos ρθ=，0,2πθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦.（1）求C 的参数方程；（2）设点D 在C 上，C 在D处的切线与直线:2l y =+垂直，根据（Ⅰ）中你得到的参数方程，确定D 的坐标. 备注：参数方程的应用解：（1）C 的普通方程为22(1)1(01)x y y -+=≤≤可得C 的参数方程为1cos sin x ty t =+⎧⎨=⎩（t 为参数，0t π≤≤）（2）设(1c o s ,s i n )D t t+由（Ⅰ）知C 是以(1,0)G 为圆心，1为半径的上半圆，因为C在点D 处的切线与l 垂直，所以直线GD 与l的斜率相同。
圆参数方程1 圆参数方程圆参数方程是描述圆的数学方程，它与直角坐标系统的坐标位置有关。
圆的参数方程的形式为：$x = r\cos \theta$,️$y = r\sin\theta$ 它可以用来描述任意圆，r表示圆的半径，而θ是阶次参数，定义它指向原点（O）和点（x，y）之间的夹角，当θ=0 时，点（x，y）即位于x正轴上，θ + 2π时，会回到原点。
2 三种方程形式圆的参数方程有三种不同的表示形式，分别是间接参数形式、角参数形式和极参数形式。
（1）间接参数形式圆的间接参数形式是圆的参数表示形式中最常用的形式，它的形式如下：$(x-x_0)^2+(y-y_0)^2=r^2$，其中，$(x_0,y_0)$是圆心的坐标，$r^2$是给定的圆半径的平方。
（2）角参数形式圆的角参数形式是以圆心为原点，以圆周上一点和圆心夹角θ来表示圆的参数形式，它的形式如下：$x = r\cos \theta$,️$y = r\sin \theta$（3）极参数形式圆的极参数形式是把圆心的坐标$(x_0,y_0)$,圆半径$r$分别代入圆的方程 $ (x-x _0)^2+(y-y _0)^2=r^2，用三角函数式变换，极参数形式为：$x=r_0 \cos \theta$,$y=r_0 \sin \theta+r_0$3 实际应用圆参数方程拥有广泛的应用。
由于它具有旋转对称性，可以用来描述基本的图形，例如椭圆形、圆形等。
借助圆参数方程，可以很容易地在屏幕上绘制各种图形。
此外，它还可用于分析复杂的函数关系，进一步深入探索数学中的有趣知识。
因此，圆参数方程的广泛应用受到科学家和数学家的欢迎与推崇，它将持续成为数学学习中不可或缺的部分，为我们带来更多令人惊叹的数学发现与奇妙探险。
