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圆和椭圆的参数方程知识点：1.圆的参数方程圆222r y x =+参数方程⎩⎨⎧==θθsin cos r y r x （θ为参数）说明：（1）参数θ的几何意义是OM 与x 轴正方向的夹角，如下图：（2）随着选取的参数不同，参数方程形式也有不同，但表示的曲线是相同的。
（3）在建立曲线的参数方程时，要注明参数及参数的取值范围。
（2）圆222()()x a y b r -+-=的常用参数方程为：cos ,[0,2π)sin x a r y b r θθθ=+⎧∈⎨=+⎩为参数.2.椭圆的参数方程（1）设点M 的坐标(x,y)，ϕ是以Ox 为始边，OA 为终边的正角，取ϕ为参数，那么 x=ON=|OA|cos ϕ， y=NM=|OB|sin ϕ 即⎩⎨⎧==ϕϕsin cos b y a x ①，引为点M 的轨迹参数方程，ϕ为参数。
（2）椭圆的参数方程也可由12222=+b y a x （a>b>0）三角换元直接得出，即令ϕcos =a x，ϕsin =by。
（3）椭圆参数方程⎩⎨⎧==ϕϕsin cos b y a x （ϕ为参数），参数有明显几何意义，但是离心角ϕ与∠MOX 一般不同。
一、圆的参数方程的应用①距离和最值问题（22）（2017广州一测理）在直角坐标系中，直线的参数方程为为参数.在以坐标原点为极点, 轴正半轴为极轴的极坐标系中, 曲线 (Ⅰ) 求直线的普通方程和曲线的直角坐标方程; (Ⅱ) 求曲线上的点到直线的距离的最大值.解： (Ⅰ) 由消去得,所以直线的普通方程为. 由,得.将代入上式,得曲线的直角坐标方程为, 即.(Ⅱ) 法1:设曲线上的点为,则点到直线的距离为xOy l 3,(1,=-⎧⎨=+⎩x t t y t )x :.4⎛⎫=- ⎪⎝⎭πρθC l C C l 3,1,=-⎧⎨=+⎩x t y t t 40+-=x y l 40+-=x y 4⎛⎫=-⎪⎝⎭πρθcos cos sin sin 2cos 2sin 44⎫=+=+⎪⎭ππθθθθ22cos 2sin =+ρρθρθ222,cos ,sin =+==ρρθρθx y x y C 2222+=+x y x y ()()22112-+-=x y C ()1,1ααP P l =d =当时, , 所以曲线上的点到直线的距离的最大值为法2: 设与直线平行的直线为, 当直线与圆相切时,解得或(舍去),所以直线的方程为. 所以直线与直线的距离为所以曲线上的点到直线的距离的最大值为2/.圆()()22124x y -++=上的点到直线210x y -+=的最短距离是_______.4．若实数,x y 满足22240x y x y +-+=，则2x y -的最大值为 .22222.(1,0),(1,0)(3)(4)4.A B x y P PA PB P --+-=+（三星）平面上两点，在圆上取一点，求使取得最小值时点的坐标备注：注意P 点的坐标的求法，三角函数问题=sin 14⎛⎫+=- ⎪⎝⎭παmax =d C l l :0l x y b '++=l 'C =0b =4b =-l '0x y +=l l 'd ==C l2223.5,4,3.ABC AB BC AC P ABC PA PB PC ∆===∆++（三星）已知的三边长，点是内切圆上一点，求的最小值与最大值备注：也可以用三角函数来做②参数的几何意义2. （二星）（2014年高考新课标Ⅱ）在直角坐标系xoy 中，以坐标原点为极点，x 轴为极轴建立极坐标系，半圆C 的极坐标方程为2cos ρθ=，0,2πθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦.（1）求C 的参数方程；（2）设点D 在C 上，C 在D处的切线与直线:2l y =+垂直，根据（Ⅰ）中你得到的参数方程，确定D 的坐标. 备注：参数方程的应用解：（1）C 的普通方程为22(1)1(01)x y y -+=≤≤可得C 的参数方程为1cos sin x ty t =+⎧⎨=⎩（t 为参数，0t π≤≤）（2）设(1c o s ,s i n )D t t+由（Ⅰ）知C 是以(1,0)G 为圆心，1为半径的上半圆，因为C在点D 处的切线与l 垂直，所以直线GD 与l的斜率相同。
圆的参数方程2
圆的参数方程2
一、概念
参数方程表示圆的几何特征，是由两个有理函数组成的系统，即：x=rcosθ
y=rsinθ
其中x和y是圆上的任意一点坐标，r是半径，θ（取值范围是0到2π）是极角，可用以定义从x轴正向转动到到该点的角度。
二、特点
1.圆的参数方程在直角坐标系中是一对互相交错的曲线，它由一组相同的点组成，这些点都在同一个圆内且离圆心恒定的距离。
2.圆的参数方程既有定义域的要求，又有值域的要求，定义域一般为0到2π，表示极角从0度（即X轴正向）逆时针增加至360°，值域范围为圆心到椭圆的最长半径之间的距离。
3.圆的参数方程可以用来求解圆上任意一点的坐标，只需知道极角θ即可，如果知道椭圆上的任意一点的坐标，可以很容易的求出极角。
4.圆的参数方程也扩展到椭圆和抛物线等其他几何图形，只要将上面参数的极角范围和曲线的最长半径改变即可。
三、参数方程
x = a cosθ
y = b sinθ
其中x和y是圆上任意一点的坐标，a和b是半径，θ（取值范围是0到2π）是极角。
用标准形式表示圆的参数方程是：
(x–h)2+(y–k)2=r2
其中h和k是圆心的坐标，r是半径。
当然，可以通过将圆心和圆上任意一点的坐标求出半径。
椭圆的参数方程表示
椭圆是一种常见的二次曲线，其方程可以表示为(x/a)^2 + (y/b)^2 = 1，其中a和b 分别为椭圆的长半轴和短半轴。
除此之外，我们还可以使用参数方程来描述椭圆。
椭圆的参数方程为：
x = a cos(t)
y = b sin(t)
其中t为参数，0 <= t <= 2π。
这个参数方程的意义是，我们可以通过让参数t从0到2π取遍所有可能的值，从而得到整个椭圆上的所有点的坐标。
具体来说，当t=0时，x=a，y=0，这个点位于椭圆的右端点。
当t=π/2时，x=0，y=b，这个点位于椭圆的上端点。
当t=π时，x=-a，y=0，这个点位于椭圆的左端点。
当t=3π/2时，x=0，y=-b，这个点位于椭圆的下端点。
当t=2π时，x=a，y=0，这个点又回到了椭圆的右端点。
通过这个参数方程，我们可以很容易地看出椭圆的形状和大小。
当a=b时，椭圆变成了一个圆，此时参数方程化简为：
x = r cos(t)
y = r sin(t)
其中r为圆的半径，t为参数。
椭圆在数学中有着广泛的应用，如在几何学中描述椭圆形的轨迹、在物理学中描述行星轨道、在工程学中描述电子轨道等等。
椭圆方程的参数方程是一种简单而直观的表示方式，方便我们对椭圆进行研究和应用。
2.2圆和椭圆的参数方程学习目标：1.圆的参数方程与普通方程的互化；2.了解椭圆的参数方程的推导过程及参数的意义；3. 掌握椭圆的参数方程，并能解决一些简单的问题.学习重点：椭圆参数方程的应用，学习难点：椭圆参数方程中参数的意义.学习过程：（一）复习旧知（1）在取定的坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标x 、y 都是某个变数t 的函数， 即 并且对于t 的每一个允许值，由上述方程组所确定的点M （x,y ）都在这条曲线上，那么上述方程组就叫做这条曲线的参数方程 ，联系x 、y 之间关系的变数叫做参变数，简称参数。
参数方程的参数可以是有物理、几何意义的变数，也可以是没有明显意义的变数（2） 相对于参数方程来说，前面学过的直接给出曲线上点的坐标关系的方程，叫做曲线的普通方程。
（二）新课学习：探究1：圆心为原点，半径为r 的圆的参数方程？例题讲解1、直线y ax b =+通过第一、二、四象限，则圆cos ()sin x a r y b r θθθ=+⎧⎨=+⎩为参数的圆心位于 （ ） A 、第一象限 B 、第二象限 C 、第三象限 D 、第四象限2、圆22(1)4x y -+=上的点可以表示为 （ ）A 、(1cos ,sin )θθ-+B 、(1sin ,cos )θθ+C 、(12cos ,2sin )θθ-+D 、(12cos ,2sin )θθ+ 3、圆cos ()sin 2x r r r y r θθθ=+⎧⎪⎨=+⎪⎩为参数,r>0的直径是4，则圆心坐标是 ． 4、点(,)x y 是曲线2cos :()sin x C y θθθπθ=-+⎧≤<⎨=⎩为参数,0上任意一点，则y x 的取值范围是 ．探究3：如图，以原点为圆心，分别以a ，b （0a b >>）为半径作两个圆，点B 是大圆半径OA 与小圆的交点，过点A 作AN Ox ⊥，垂足为N ，过点B 作BM AN ⊥，垂足为M ，求当半径OA 绕点O 旋转时点M 的轨迹参数方程.2．根据以上的解法，可求得椭圆22221b a y x +=（0a b >>）的参数方程是：cos sin x b y a θθ=⎧⎨=⎩为参数（）. 注意：椭圆的参数方程中离心角θ的的几何意义是：是xOA θ∠=，不是xOM θ∠=.5.把下列普通方程化为参数方程.（1）22149x y += （2） 22116y x += 6.已知A 、B 两点是椭圆22194y x +=与坐标轴正半轴的两个交点，在第一象限的椭圆弧上求一点P ，使四边形OAPB 的面积最大.7.点P 在椭圆221169x y +=上，求点P 到直线3424x y -=的最大距离和最小距离． 三、总结提升：1.椭圆的参数方程对于解决与椭圆上的点有关的最值问题，有很大的优越性，具体表现在最大距离、最小距离、最大面积等；在求解过程中，将问题转化为三角函数的问题，利用三角函数求最值.2.椭圆参数方程中的参数θ的几何意义，一定要利用图形观察弄清楚.教学反思：在课堂中，对学生完成课堂练习的情况进行分析，分析学生的解题情况，通过提问其他学生，让全班学生帮助分析错题原因，做到讲、练、评的有效结合。
圆和椭圆的参数方程圆和椭圆是数学中常见的几何图形，它们可以用参数方程来表示。
在本文中，我将详细介绍圆和椭圆的参数方程，并且按照分层次的优美排版方式进行分段分标题输出。
一、圆的参数方程1. 圆的定义圆是平面上所有到一个固定点（圆心）距离相等的点的集合。
2. 圆的参数方程假设圆心坐标为（h，k），半径为r，则可以使用以下参数方程来表示一个圆：x = h + r * cos(θ)y = k + r * sin(θ)其中，θ是从0到2π范围内变化的角度。
3. 参数方程解释- x = h + r * cos(θ) 表示x坐标值随着角度θ变化而变化，通过cos函数来确定具体位置。
- y = k + r * sin(θ) 表示y坐标值随着角度θ变化而变化，通过sin 函数来确定具体位置。
- h 和 k 是圆心的坐标，r 是半径。
二、椭圆的参数方程1. 椭圆的定义椭圆是平面上到两个固定点（焦点）距离之和等于常数（长轴）的点的集合。
2. 椭圆的参数方程假设焦点坐标分别为（h，k±c），长轴为2a，短轴为2b，则可以使用以下参数方程来表示一个椭圆：x = h + a * cos(θ)y = k + b * sin(θ)其中，θ是从0到2π范围内变化的角度。
3. 参数方程解释- x = h + a * cos(θ) 表示x坐标值随着角度θ变化而变化，通过cos函数来确定具体位置。
- y = k + b * sin(θ) 表示y坐标值随着角度θ变化而变化，通过sin 函数来确定具体位置。
- h 和 k 是椭圆中心的坐标，a 是长半轴长度的一半，b 是短半轴长度的一半。
三、圆和椭圆参数方程的应用1. 绘制图形使用参数方程可以方便地绘制出圆和椭圆的图形。
通过给定不同的参数值，可以绘制出不同大小、位置和形状的圆和椭圆。
2. 计算点坐标通过给定角度θ，可以计算出对应于该角度的点在圆或椭圆上的坐标。
这在进行数学计算和几何分析时非常有用。
