2017年度天津高考理科数学试题及其规范标准答案

2017年普通高等学校招生统一考试（天津卷）理科数学一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. （1）设集合{1,2,6},{2,4},{|15}A B C x x ===∈-≤≤R ，则()A B C = （A ）{2} （B ）{1,2,4}（C ）{1,2,4,6}（D ）{|15}x x ∈-≤≤R 【答案】B【解析】(){1246}[15]{124}A B C =-= ，，，，，， ,选B.（2）设变量,x y 满足约束条件20,220,0,3,x y x y x y +≥⎧⎪+-≥⎪⎨≤⎪⎪≤⎩则目标函数z x y =+的最大值为（A ）23 （B ）1（C ）32（D ）3 【答案】D【解析】目标函数为四边形ABCD 及其内部，其中324(0,1),(0,3),(,3),(,)233A B C D --，所以直线z x y =+过点B 时取最大值3，选D.（3）阅读右面的程序框图，运行相应的程序，若输入N 的值为24，则输出N 的值为（A ）0 （B ）1（C ）2（D ）3 【答案】C【解析】依次为8N = ,7,6,2N N N ===，输出2N = ，选C. （4）设θ∈R ，则“ππ||1212θ-<”是“1sin 2θ<”的 （A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件（C ）充要条件（D ）既不充分也不必要条件 【答案】A（5）已知双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的左焦点为F ，离心率为.若经过F 和(0,4)P 两点的直线平行于双曲线的一条渐近线，则双曲线的方程为（A ）22144x y -= （B ）22188x y -=（C ）22148x y -=（D ）22184x y -=【答案】B【解析】由题意得224,14,188x y a b c a b c ==-⇒===-=- ，选B. （6）已知奇函数()f x 在R 上是增函数，()()g x xf x =.若2(log 5.1)a g =-，0.8(2)b g =，(3)c g =，则a ，b ，c 的大小关系为（A ）a b c << （B ）c b a << （C ）b a c <<（D ）b c a <<【答案】C（7）设函数()2sin()f x x ωϕ=+，x ∈R ，其中0ω>，||ϕ<π.若5()28f π=，()08f 11π=，且()f x 的最小正周期大于2π，则 （A ）23ω=，12ϕπ= （B ）23ω=，12ϕ11π=- （C ）13ω=，24ϕ11π=-（D ）13ω=，24ϕ7π=【答案】A【解析】由题意125282118k k ωππϕπωπϕπ⎧+=+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，其中12,k k Z ∈，所以2142(2)33k k ω=--，又22T ππω=>，所以01ω<<，所以23ω=，11212k ϕππ=+，由ϕπ<得12πϕ=，故选A ．（8）已知函数23,1,()2, 1.x x x f x x x x ⎧-+≤⎪=⎨+>⎪⎩设a ∈R ，若关于x 的不等式()||2xf x a ≥+在R 上恒成立，则a 的取值范围是 （A ）47[,2]16-（B ）4739[,]1616-（C）[- （D）39[]16-【答案】A所以2a -≤≤， 综上47216a -≤≤．故选A ． 二. 填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分. （9）已知a ∈R ，i 为虚数单位，若i2ia -+为实数，则a 的值为 . 【答案】2-【解析】()(2)(21)(2)2122(2)(2)555a i a i i a a i a a i i i i -----+-+===-++-为实数， 则20,25a a +==-. （10）已知一个正方体的所有顶点在一个球面上，若这个正方体的表面积为18，则这个球的体积为 . 【答案】92π 【解析】设正方体边长为，则226183a a =⇒= ，外接球直径为34427923,πππ3382R V R ====⨯= （11）在极坐标系中，直线4cos()106ρθπ-+=与圆2sin ρθ=的公共点的个数为___________. 【答案】2【解析】直线为210y ++= ，圆为22(1)1x y +-= ，因为314d =< ，所以有两个交点（12）若,a b ∈R ，0ab >，则4441a b ab++的最小值为___________.【答案】【解析】442241414a b a b ab ab+++≥≥ ，当且仅当21a b ==时取等号 （13）在ABC △中，60A =︒∠，3AB =，2AC =.若2BD DC =，()AE AC AB λλ∈=-R，且4AD AE ⋅=- ，则λ的值为___________.【答案】311（14）用数字1，2，3，4，5，6，7，8，9组成没有重复数字，且至多有一个数字是偶数的四位数，这样的四位数一共有___________个.（用数字作答） 【答案】 1080【解析】413454541080A C C A +=三. 解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15.（本小题满分13分）在ABC △中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c .已知a b >，5,6a c ==，3sin 5B =. （Ⅰ）求和sin A 的值； （Ⅱ）求πsin(2)4A +的值.【答案】 (1) b =2616.（本小题满分13分）从甲地到乙地要经过3个十字路口，设各路口信号灯工作相互独立，且在各路口遇到红灯的概率分别为111,,234. （Ⅰ）设X 表示一辆车从甲地到乙地遇到红灯的个数，求随机变量X 的分布列和数学期望；（Ⅱ）若有2辆车独立地从甲地到乙地，求这2辆车共遇到1个红灯的概率. 【答案】 (1)1312 (2) 1148【解析】（Ⅰ）随机变量X 的所有可能取值为0,1,2,3.1111(0)(1)(1)(1)2344P X ==-⨯-⨯-=，11111111111(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)23423423424P X ==⨯-⨯-+-⨯⨯-+-⨯-⨯=，1111111111(2)(1)(1)(1)2342342344P X ==-⨯⨯+⨯-⨯+⨯⨯-=，1111(3)23424P X ==⨯⨯=.所以，随机变量X 的分布列为随机变量X 的数学期望()012342442412E X =⨯+⨯+⨯+⨯=. （Ⅱ）设Y 表示第一辆车遇到红灯的个数，Z 表示第二辆车遇到红灯的个数，则所求事件的概率为(1)(0,1)(1,0)(0)(1)(1)(0)P Y Z P Y Z P Y Z P Y P Z P Y P Z +====+=====+==1111111142424448=⨯+⨯=. 所以，这2辆车共遇到1个红灯的概率为1148. （17）（本小题满分13分）如图，在三棱锥P -ABC 中，PA ⊥底面ABC ，90BAC ∠=︒.点D ，E ，N 分别为棱PA ，P C ，BC 的中点，M 是线段AD 的中点，PA =AC =4，AB =2. （Ⅰ）求证：MN ∥平面BDE ； （Ⅱ）求二面角C -EM -N 的正弦值；（Ⅲ）已知点H 在棱PA 上，且直线NH 与直线BE AH 的长.【答案】 （1）证明见解析（2 （3）85 或12（Ⅰ）证明：DE =（0，2，0），DB=（2，0，2-）.设(,,)x y z =n ，为平面BDE 的法向量，则0DE DB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n ，即20220y x z =⎧⎨-=⎩.不妨设1z =，可得(1,0,1)=n .又MN =（1，2，1-），可得0MN ⋅=n.所以，线段AH 的长为或12.18.（本小题满分13分）已知{}n a 为等差数列，前n 项和为()n S n *∈N ，{}n b 是首项为2的等比数列，且公比大于0，2312b b +=,3412b a a =-，11411S b =. （Ⅰ）求{}n a 和{}n b 的通项公式；（Ⅱ）求数列221{}n n a b -的前n 项和()n *∈N . 【答案】 （1）32n a n =-.2n n b =.（2）1328433n n n T +-=⨯+. 【解析】（I ）设等差数列{}n a 的公差为d ，等比数列{}n b 的公比为.由262n a n =-，12124n n b --=⨯，有221(31)4n n n a b n -=-⨯， 故23245484(31)4n n T n =⨯+⨯+⨯++-⨯ ，23414245484(34)4(31)4n n n T n n +=⨯+⨯+⨯++-⨯+-⨯ ，上述两式相减，得231324343434(31)4n n n T n +-=⨯+⨯+⨯++⨯--⨯1112(14)4(31)414(32)48.n n n n n ++⨯-=---⨯-=--⨯- 得1328433n n n T +-=⨯+. 所以，数列221{}n n a b -的前项和为1328433n n +-⨯+. （19）（本小题满分14分）设椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左焦点为F ，右顶点为A ，离心率为12.已知A 是抛物线22(0)y px p =>的焦点，F 到抛物线的准线的距离为12.（I ）求椭圆的方程和抛物线的方程；（II ）设上两点P ，Q 关于轴对称，直线AP 与椭圆相交于点B （B 异于点A ），直线BQ 与轴相交于点D .若APD △AP 的方程.【答案】 （1）22413y x +=， 24y x =.（2）330x -=，或330x -=. 【解析】（Ⅰ）解：设F 的坐标为(,0)c -.依题意，12c a =，2p a =，12a c -=，解得1a =，12c =，2p =，于是22234b ac =-=. 所以，椭圆的方程为22413y x +=，抛物线的方程为24y x =.所以，直线AP 的方程为330x -=，或330x -=. （20）（本小题满分14分）设a ∈Z ，已知定义在R 上的函数432()2336f x x x x x a =+--+在区间(1,2)内有一个零点0x ，()g x 为()f x 的导函数. （Ⅰ）求()g x 的单调区间；（Ⅱ）设00[1,)(,2]m x x ∈ ，函数0()()()()h x g x mx f m =--，求证：0()()0h m h x <；（Ⅲ）求证：存在大于0的常数A ，使得对于任意的正整数,p q ，且00[1,)(,2],px x q∈满足041||p x q Aq -≥. 【答案】（1）增区间是(,1)-∞-，1(,)4+∞，减区间是1(1,)4-.（2）（3）证明见解析 【解析】（Ⅰ）由432()2336f x xxx x a=+--+，可得32()()8966g x f x x x x '==+--，进而可得2()24186g x x x '=+-.令()0g x '=，解得1x =-，或14x =. 当x 变化时，(),()g x g x '的变化情况如下表：所以，()g x 的单调递增区间是(,1)-∞-，(,)4+∞，单调递减区间是(1,)4-. （Ⅱ）证明：由0()()()()h x g x m x f m =--，得0()()()()h m g m m x f m =--，000()()()()h x g x m x f m =--.（III ）证明：对于任意的正整数 p ，，且00[1)(,],2px x q∈ ， 令pm q=，函数0()()()()h g m x x x m f =--. 由（II ）知，当0[1),m x ∈时，()h x 在区间0(,)m x 内有零点； 当0(,2]m x ∈时，()h x 在区间0(),x m 内有零点.- 11 - 所以041|2|()p x q g q -≥.所以，只要取()2A g =，就有041||p x q Aq -≥.。

2017年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）理科数学1.解析因为{1,2,6},{2,4}A B ==，所以{1,2,6}{2,4}{1,2,4,6}A B ==U U ， 所以(){1,2,4,6}[1,5]{1,2,4}A B C =-=U I I .故选B ．2.解析变量,x y 满足约束条件2022003x y x y x y +⎧⎪+-⎪⎨⎪⎪⎩……„„的可行域如图，目标函数z x y =+经过可行域的A 点时，目标函数取得最大值，由03x y =⎧⎨=⎩可得(0,3)A ，目标函数z x y =+的最大值为3.故选D.3.解析第一次24N =，24能被3整除，执行24833N ==„不成立； 第二次8N =，8不能被3整除，执行8173N =-=„不成立； 第三次7N =，7不能被3整除，执行716N =-=，6233N ==„成立，输出2N =，故选C ． 4.解析ππ10sin 121262θθθπ-<⇔<<⇒<，但0θ=，1sin 2θ<，不满足ππ1212θ-<，所以“ππ1212θ-<”是“1sin 2θ<”的充分不必要条件.故选A. 5.解析由题意得a b =，41c=--，所以4c =，又因为22216c a b =+=，所以28a =，28b =，则双曲线方程为22188x y -=.故选B. 36.解析因为奇函数()f x 在R 上增函数，所以当0x >时，()0f x >，从而()()g x xf x =是R 上的偶函数，且在(0,)+∞上是增函数，()()22log 5.1log 5.1a g g =-=，0.822<，又4 5.18<<，则22log 5.13<<，所以0.8202log 5.13<<<，所以()()()0.822log 5.13g g g <<，所以b a c <<.故选C.7.解析由题意125π282118k k ωϕωϕπ⎧+=π+⎪⎪⎨π⎪+=π⎪⎩，其中12,k k ∈Z ，所以()2142233k k ω=--，又22T ωπ=>π，所以01ω<<，所以23ω=，11212k ϕ=π+π，由ϕ<π得π12ϕ=. 故选A ．8.解析由不等式()2x f x a +…得()()2x f x a f x -+剟， ()()22x xf x a f x ---剟，只需要计算()()2x g x f x =--在R 上的最大值和()()2xh x f x =-在R 上的最小值即可， 当1x „时，又()g x =22147473241616x x x ⎛⎫-+-=---- ⎪⎝⎭„（当1=4x 时取等号），()h x =223339393241616x x x ⎛⎫-+=-+ ⎪⎝⎭…（当34x =时取等号）， 所以47391616a-剟， 当1>x 时，又()g x=323222x x x x ⎛⎫--=-+- ⎪⎝⎭„（当x =，()h x=222x x +=…（当=2x 时取等号），所以2a -， 综上47216a -剟．故选A ． 9.解析()()()()()()i 2i 212i i 212i 2i 2i 2i 555a a a a a a ---+--+===-++-为实数，则205a +=，2a =-. 10.解析设正方体边长为a ，则226183a a =⇒=，外接球直径为23==R ，344279πππ3382==⨯=V R . 11.解析直线14sin 102ρθθ⎫++=⎪⎪⎝⎭化直角坐标方程为210y +=，由圆22sin 2sin ρθρρθ=⇒=，得其直角坐标方程为222x y y +=，即()2211x y +-=，则圆心()0,1到直线的距离314d r ==<<，知直线与圆相交，得它们的公共点的个数为2.12.解析由于0ab >，则442241221144a b a b ab ab ab ab ++⋅+=+=厖， 当且仅当222a b =且14ab ab =，即a =b =时，44min414a b ab ⎛⎫++= ⎪⎝⎭.13.解析解法一：如图所示，以向量AB u u u r ，AC u u ur 为平面向量的基底，则依题意可得1cos603232AB AC AB AC ⋅==⨯⨯=ou u u r u u u r u u u r u u u r .又因为2BD DC =u u u r u u u r ，则()22213333AD AB BD AB BC AB AC AB AC AB =+=+=+-=+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u ur u u u r ， 则22212114533333AD AE AC AB AC AB λλλ⎛⎫-=⋅=-+-⋅=- ⎪⎝⎭u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ，即得311λ=.解法二：以点A 为坐标原点，以AB 所在直线为x 轴建立直角坐标系(如图所示).依题意易得()0,0A ，()3,0B，(C ，则可得25,333AD AB BD AB BC ⎛=+=+= ⎝⎭u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ， DCA()AE AC AB λλ=-=-u u u r u u u r u u u r ；于是有()511432533AD AE λλλ-=⋅=-+=-u u u r u u u r ，解得311λ=.14.解析依题意按分类计数原理操作：(1)当没有一个数字是偶数时，从1，3，5，7，9这五个数字中任取四个得无重复数字的四位数有45A 120=个(或4454C A 120=个)；(2)当仅有一个数字是偶数时，先从2，4，6，8中任取一个，再从1，3，5，7，9中任取三个，然后进行全排列得到无重复数字的四位数有134454C C A 960=；故由分类计数原理得这样的四位数共有1209601080N =+=个.15.解析（1）在ABC △中，因为a b >，故由3sin 5B =，可得4cos 5B =.由已知及余弦定理，有2222cos 13b a c ac B =+-=，所以b =.由正弦定理sin sin a bA B=，得sin sin 13a B A b ==. 所以，bsin A（2）由（Ⅰ）及a c <，得cos A =，所以12sin 22sin cos 13A A A ==， 25cos 212sin 13A A =-=-.故πππsin 2sin 2cos cos 2sin 44426A A A ⎛⎫+=+= ⎪⎝⎭. 16.解析（1）随机变量X 的所有可能取值为0，1，2，3.()111101112344P X ⎛⎫⎛⎫⎛⎫==-⨯-⨯-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，()11111111111111111123423423424P X ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫==⨯-⨯-+-⨯⨯-+-⨯-⨯= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，()111111111121112342342344P X ⎛⎫⎛⎫⎛⎫==-⨯⨯+⨯-⨯+⨯⨯-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，()1111323424P X ==⨯⨯=. 所以，随机变量X 的分布列为随机变量X 的数学期望()012342442412E X =⨯+⨯+⨯+⨯=.（2）设Y 表示第一辆车遇到红灯的个数，Z 表示第二辆车遇到红灯的个数，则所求事件的概率为(1)(0,1)(1,0)P Y Z P Y Z P Y Z +====+===(0)(1)(1)(0)P Y P Z P Y P Z ==+==1111111142424448=⨯+⨯=. 所以，这2辆车共遇到1个红灯的概率为1148.17.解析 如图所示，以A 为原点，{},,AB AC AP u u u r u u u r u u u r为基底，建立图示空间直角坐标系，依题意可得(000)A ，，，(200)B ，，，(040)C ，，，(004)P ，，，(002)D ，，，(022)E ，，，(001)M ，，，(120)N ，，．（1）证明：()0,2,0DE =u u u r ，()2,0,2DB =-u u u r.设(,,)x y z =n ，为平面BDE 的法向量，则00DE DB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u u ru u u r n n ，即20220y x z =⎧⎨-=⎩.不妨设1z =，可得(1,0,1)=n .又()1,2,1MN =-u u u u r ， 可得0MN ⋅=u u u u rn .因为MN ⊄平面BDE ，所以//MN 平面BDE ．（2）易知1(1,0,0)=n 为平面CEM 的一个法向量.设2(,,)x y z =n 为平面EMN 的法向量， 则2200EM MN ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u u u ru u u u r n n ，因为(0,2,1)EM =--u u u u r ，(1,2,1)MN =-u u u u r ，所以2020y z x y z --=⎧⎨+-=⎩. 不妨设1y =，可得2(4,1,2)=--n .因此有121212cos ,|||⋅==n n n n |n n，于是12sin ,=n n 所以，二面角C EM N --（3）依题意，设()04AH h h =剟，则H （0，0，h ），进而可得(1,2,)NH h =--u u u u r ，(2,2,2)BE =-u u u r.由已知，得||cos ,||||NH BE NH BE NH BE ⋅===u u u u r u u u ru u u u r u u u r u u u u r u u u r 2102180h h -+=，解得85h =，或12h =.所以线段AH 的长为85或12.18.解析（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，等比数列{}n b 的公比为q .由已知2312b b +=，得21()12b q q +=，而12b =，所以260q q +-=. 又因为0q >，解得2q =.所以，2nn b =.由3412b a a =-，可得138d a -=①. 由114=11S b ，可得1516a d +=②，联立①②，解得11a =，3d =，由此可得32n a n =-.所以，数列{}n a 的通项公式为32n a n =-，数列{}n b 的通项公式为2nn b =.(2)设数列221{}n n a b -的前n 项和为T n ，由262n a n =-，12124n n b --=⨯，有221(31)4nn n a b n -=-⨯，故23245484(31)4nn T n =⨯+⨯+⨯++-⨯L ，23414245484(34)4(31)4n n n T n n +=⨯+⨯+⨯++-⨯+-⨯L ，上述两式相减，得231324343434(31)4n n n T n +-=⨯+⨯+⨯++⨯--⨯=LP NM ED CBA1112(14)4(31)4(32)4814n n n n n ++⨯----⨯--⨯--.得1328433n n n T +-=⨯+. 所以，数列{}221n n a b -的前项和为1328433n n +-⨯+. 19.解析(1)依题意设点F (,0)c -，因21==a c e ，且2pa =，由对称性知抛物线的准线l 方程为a x -=，则12a c -=；解得1a =，12c =，2p =，于是22234b ac =-=.从而得椭圆的方程为22413y x +=；抛物线的方程为24y x =. (2)由于准线l 方程为1x =-，依题意设),1(t P -(0≠t )，则),1(t Q --.因)0,1(A ， 则2t k AP -=，得直线AP 方程为()12t y x =--①，将①式代入方程34322=+y x 中化简，得032)3(2222=-+-+t x t x t ；设),(00y x B ，由韦达定理得332200+-==t t x x x A ，则()0023123t t y x t =--=+，即22233,33t t B t t ⎛⎫- ⎪++⎝⎭，则t t k BQ 262+=， 于是得直线BQ 方程为)1(262++=+t tt t y ， 令0=y ，解得6622+-=t t x ，即226,06t D t ⎛⎫- ⎪+⎝⎭.则612661||222+=+--=t t t AD ，于是2112226APD S t t ==⋅⋅+△，化简得(2||0t =，即得6±=t .代入①式化简，得直线AP 方程为330x +-=，或330x --=. 20.解析（1）由a x x x x x f +--+=6332)(234，可得6698)()(23--+='=x x x x f x g ，61824)(2-+='x x x g ， 令()01g x x '=⇒=-或14x =. 当x 变化时，()g x '，()g x 变化情况如下表：所以)(x g 的单调增区间是(),1-∞-，1,4⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭；单调减区间是11,4⎛⎫- ⎪⎝⎭.（2）证明：由)())(()(0m f x m x g x h --=，0()()()()h m g m m x f m =--，000()()()()h x g x m x f x =--，令10()()()()H x g x x x f x =--，10()()()H x g x x x ''=-， 由（1）得，当]2,1[∈x 时，0)(>'x g当0[1,)x x ∈，1()0H x '<，1()H x 单调递减；当0(,2]x x ∈，1()0H x '>，1()H x 单调增； 所以当]2,(),1[00x x x Y ∈时，0)()()(0011=-=>x f x H x H ， 可得0)(1>m H 即0)(>m h .令200()()()()H x g x x x f x =--，20()()()H x g x g x '=-. 由（1）可知，)(x g 在]2,1[上单调递增， 故当),1[0x x ∈时，0)(2>'x H ，)(2x H 单调递增； 故当]2,(0x x ∈时，0)(2<'x H ，)(2x H 单调递减. 当]2,(),1[00x x x Y ∈时，0)(0)(0)()(02022<⇒<⇒=<x h m H x H x H ， 故0)()(0<x h m h .(3)对于任意的正整数q p ,，且]2,(),1[00x x qpY ∈， 令qpm =，函数)())(()(0m f x m x g x h --=， 由（2）知，当),1[0x m ∈时，)(x h 在区间内有零点),(0x m ； 当]2,(0x m ∈时，)(x h 在区间内有零点),(0m x ，故)(x h 在)2,1(上至少有一个零点，不妨设为1x ，则110()()0q p h x g x x f p q ⎛⎫⎛⎫=--= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 由（1）得)(x g 在]2,1[上单调递增，故)2()()1(01g x g g <<<. 于是4322340412336()(2)2p p f f p p q p q pq aq q q p x q g x g g q ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪+--+⎝⎭⎝⎭-==….因为当]2,1[∈x 时0)(>x g ，故)(x f 在]2,1[单调递增， 所以)(x f 在区间]2,1[上除0x 外没有其他的零点， 而,0x qp≠故0p f q ⎛⎫≠ ⎪⎝⎭，而a q p ,,是正整数， 所以|6332|432234aq pq q p q p p +--+是正整数，从而43223423361p p q p q pq aq +--+….所以041(2)p x q g q -…，所以只要取)2(g A =，就有041p x q Aq -….。

2017年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）数学（理工类）本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试用时120分钟.第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至5页.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题考上，并在规定位置粘贴考试用条形码.答卷时，考生务必将答案涂写在答题卡上，答在试卷上的无效.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.第Ⅰ卷注意事项：1.每小题选出答案后，用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.2.本卷共8小题，每小题5分，共40分.参考公式：·如果事件 A ，B 互斥，那么P (A ∪B )=P (A )+P (B )．·如果事件 A ，B 相互独立，那么 P (AB )=P (A ) P (B )．·棱柱的体积公式V =Sh . 其中S 表示棱柱的底面面积，h 表示棱柱的高．·球的体积公式343V R =π.其中R 表示球的半径．一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合{1,2,6},{2,4},{|15}A B C x x ===∈-≤≤R ，则()A B C =U I （ ）A.{2}B.{1,2,4}C.{1,2,4,6}D.{|15}x x ∈-≤≤R2.设变量,x y 满足约束条件20,220,0,3,x y x y x y +≥⎧⎪+-≥⎪⎨≤⎪⎪≤⎩则目标函数z x y =+的最大值为（ ） A.23 B.1 C.32D.3 3.阅读下面的程序框图，运行相应的程序，若输入N 的值为24，则输出N 的值为（ ）A.0B.1C.2D.34.设θ∈R ，则“ππ||1212θ-<”是“1sin 2θ<”的（ ） A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件5.已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左焦点为F ，离 心率为2.若经过F 和(0,4)P 两点的直线平行于双曲线的一条渐近线，则双曲线的方程为（ ）A.22144x y -=B.22188x y -=C.22148x y -=D.22184x y -=6.已知奇函数()f x 在R 上是增函数，()()g x xf x =.若2(log 5.1)a g =-，0.8(2)b g =，(3)c g =，则a ，b ，c 的大小关系为（ ）A.a b c <<B.c b a <<C.b a c <<D.b c a <<7.设函数()2sin()f x x ωϕ=+，x ∈R ，其中0ω>，||ϕ<π.若5()28f π=，()08f 11π=，且()f x 的最小正周期大于2π，则（ ） A.23ω=,12ϕπ= B.23ω=,12ϕ11π=- C.13ω=,24ϕ11π=- D.13ω=,24ϕ7π= 8.已知函数23,1,()2, 1.x x x f x x x x ⎧-+≤⎪=⎨+>⎪⎩设a ∈R ，若关于x 的不等式()||2x f x a ≥+在R 上恒成立，则a 的取值范围是（ ） A.47[,2]16-B.4739[,]1616-C.[-D.39[]16- 第Ⅱ卷注意事项：1．用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上.2．本卷共12小题，共110分.二. 填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.9.已知a ∈R ，i 为虚数单位，若i 2ia -+为实数，则a 的值为 . 10.已知一个正方体的所有顶点在一个球面上，若这个正方体的表面积为18，则这个球的体积为 .11.在极坐标系中，直线4cos()106ρθπ-+=与圆2sin ρθ=的公共点的个数为___________. 12.若,a b ∈R ，0ab >，则4441a b ab ++的最小值为___________. 13.在ABC △中，60A =︒∠，3AB =，2AC =.若2BD DC =u u u r u u u r ，()AE AC AB λλ∈=-R u u u r u u u r u u u r ，且4AD AE ⋅=-u u u r u u u r ，则λ的值为___________.14.用数字1，2，3，4，5，6，7，8，9组成没有重复数字，且至多有一个数字是偶数的四位数，这样的四位数一共有___________个.（用数字作答）三. 解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．15.（本小题满分13分）在ABC △中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c .已知a b >，5,6a c ==，3sin 5B =. （Ⅰ）求b 和sin A 的值；。

2017年普通高等学校招生全国统一考试(天津)理科数学1.(2017·天津,理1)设集合A={1,2,6},B={2,4},C={x ∈R |-1≤x ≤5},则(A ∪B )∩C=( )A.{2}B.{1,2,4}C.{1,2,4,6}D.{x ∈R |-1≤x ≤5}A={1,2,6},B={2,4},∴A ∪B={1,2,4,6}.∵C={x ∈R |-1≤x ≤5},∴(A∪B )∩C={1,2,4}.故选B . 2.(2017·天津,理2)设变量x ,y 满足约束条件{2x +y ≥0,x +2y -2≥0,x ≤0,y ≤3,则目标函数z=x+y 的最大值为( )A.23B.1C.32D.3.目标函数z=x+y 可化为y=-x+z.作直线l 0:y=-x ,平行移动直线y=-x ,当直线过点A (0,3)时,z 取得最大值,最大值为3.故选D .3.(2017·天津,理3)阅读下面的程序框图,运行相应的程序,若输入N 的值为24,则输出N 的值为( )A.0B.1C.2D.3,当输入N 的值为24时,24能被3整除,所以N=8.因为8≤3不成立,且8不能被3整除,所以N=7. 因为7≤3不成立,且7不能被3整除,所以N=6. 因为6≤3不成立,且6能被3整除,所以N=2. 因为2≤3,所以输出N=2.故选C .4.(2017·天津,理4)设θ∈R ,则“|θ-π12|<π12”是“sin θ<12”的( )A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件|θ-π12|<π12时,0<θ<π6,∴0<sin θ<12. ∴“|θ-π12|<π12”是“sin θ<12”的充分条件.当θ=-π6时,sin θ=-12<12,但不满足|θ-π12|<π12.∴“|θ-π12|<π12”不是“sin θ<12”的必要条件.∴“|θ-π12|<π12”是“sin θ<12”的充分而不必要条件.故选A.5.(2017·天津,理5)已知双曲线x 2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左焦点为F,离心率为√2,若经过F和P(0,4)两点的直线平行于双曲线的一条渐近线,则双曲线的方程为()A.x 24−y24=1 B.x28−y28=1C.x 24−y28=1 D.x28−y24=1c(c>0),则双曲线x 2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左焦点F的坐标为(-c,0),渐近线方程为y=±bax.∵点P的坐标为(0,4),∴直线PF的斜率为k=4c.由题意得4c =ba.①∵双曲线的离心率为√2,∴ca=√2.②在双曲线中,a2+b2=c2,③联立①②③解得a=b=2√2,c=4.∴所求双曲线的方程为x 28−y28=1.故选B.6.(2017·天津,理6)已知奇函数f(x)在R上是增函数,g(x)=xf(x).若a=g(-log25.1),b=g(20.8),c=g(3),则a,b,c的大小关系为()A.a<b<cB.c<b<aC.b<a<cD.b<c<af (x )是R 上的奇函数,∴g (x )=xf (x )是R 上的偶函数.∴g (-log 25.1)=g (log 25.1). ∵奇函数f (x )在R 上是增函数, ∴当x>0时,f (x )>0,f'(x )>0.∴当x>0时,g'(x )=f (x )+xf'(x )>0恒成立, ∴g (x )在(0,+∞)上是增函数.∵2<log 25.1<3,1<20.8<2,∴20.8<log 25.1<3. 结合函数g (x )的性质得b<a<c.故选C .7.(2017·天津,理7)设函数f (x )=2sin(ωx+φ),x ∈R ,其中ω>0,|φ|<π,若f (5π8)=2,f (11π8)=0,且f (x )的最小正周期大于2π,则( )A.ω=23,φ=π12B.ω=23,φ=-11π12C.ω=13,φ=-11π24D.ω=13,φ=7π24,2πω>2π,11π8−5π8≥14·2πω, 所以23≤ω<1.所以排除C,D .当ω=23时,f (5π8)=2sin (5π8×23+φ)=2sin (5π12+φ)=2, 所以sin (5π12+φ)=1.所以5π12+φ=π2+2k π,即φ=π12+2k π(k ∈Z ). 因为|φ|<π,所以φ=π12.故选A .8.(2017·天津,理8)已知函数f (x )={x 2-x +3,x ≤1,x +2x ,x >1.设a ∈R ,若关于x 的不等式f (x )≥|x2+a|在R 上恒成立,则a 的取值范围是( )A.[-4716,2] B.[-4716,3916] C.[-2√3,2]D.[-2√3,3916]f (x )={x 2-x +3,x ≤1,x +2x,x >1易知f (x )>0恒成立. ∵关于x 的不等式f (x )≥|x2+a|在R 上恒成立, ∴关于x 的不等式-f (x )≤x2+a ≤f (x )在R 上恒成立, 即关于x 的不等式-f (x )-x2≤a ≤f (x )-x2在R 上恒成立.设p (x )=f (x )-x2,则p (x )={x 2-32x +3,x ≤1,x 2+2x,x >1.当x ≤1时,p (x )=x 2-32x+3=(x -34)2+3916, ∴当x ≤1时,p (x )min =3916.当x>1时,p (x )=x 2+2x ≥2√x 2·2x =2,当且仅当x 2=2x ,即x=2时,取等号, ∴当x>1时,p (x )min =2.∵3916>2,∴p (x )min =2. 设q (x )=-f (x )-x 2,则q (x )={-x 2+x 2-3,x ≤1,-3x 2-2x ,x >1.当x ≤1时,q (x )=-x 2+x2-3=-(x -14)2−4716,∴当x ≤1时,q (x )max =-4716.当x>1时,q (x )=-3x 2−2x =-(3x 2+2x )≤-2√3,当且仅当3x 2=2x ,即x=2√33时,取等号. ∴当x>1时,q (x )max =-2√3. ∵-4716>-2√3,∴q (x )max =-4716.∵关于x 的不等式-f (x )-x2≤a ≤f (x )-x2在R 上恒成立,∴-4716≤a ≤2.故选A .9.(2017·天津,理9)已知a ∈R ,i 为虚数单位,若a -i2+i为实数,则a 的值为 .∵a -i 2+i =(a -i )(2-i )(2+i )(2-i )=2a -15−a+25i 为实数,∴-a+25=0,即a=-2.210.(2017·天津,理10)已知一个正方体的所有顶点在一个球面上,若这个正方体的表面积为18,则这个球的体积为 .a ,外接球的半径为R ,则2R=√3a.∵正方体的表面积为18,∴6a 2=18.∴a=√3,R=32.∴该球的体积为V=43πR 3=4π3×278=9π2.11.(2017·天津,理11)在极坐标系中,直线4ρcos (θ-π6)+1=0与圆ρ=2sin θ的公共点的个数为 .4ρcos (θ-π6)+1=0,展开得2√3ρcos θ+2ρsin θ+1=0,∴直线的直角坐标方程为2√3x+2y+1=0. ∵ρ=2sin θ两边同乘ρ得ρ2=2ρsin θ,∴圆的直角坐标方程为x 2+y 2-2y=0,圆心为(0,1),半径r=1. ∴圆心到直线的距离d=√3×0+2×1+1√(2√3)+2=34<r=1.∴直线与圆相交.∴直线与圆公共点的个数为2.12.(2017·天津,理12)若a ,b ∈R ,ab>0,则a 4+4b 4+1ab 的最小值为.a ,b ∈R ,且ab>0,∴a 4+4b 4+1ab≥4a 2b 2+1ab =4ab+1ab≥4(当且仅当{a 2=2b 2,4ab =1ab ,即{a 2=√22,b 2=√24时取等号).13.(2017·天津,理13)在△ABC 中,∠A=60°,AB=3,AC=2.若BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2DC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =λAC ⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ (λ∈R ),且AD ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AE⃗⃗⃗⃗⃗ =-4,则λ的值为 .BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2DC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,∴AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +23BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +23(AC ⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ )=23AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +13AB ⃗⃗⃗⃗⃗ . 又AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =λAC ⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,∠A=60°,AB=3,AC=2,AD ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AE⃗⃗⃗⃗⃗ =-4. ∴AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =3×2×12=3,(23AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +13AB ⃗⃗⃗⃗⃗ )·(λAC ⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ )=-4, 即2λ3AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 2−13AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 2+(λ3-23)AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AC ⃗⃗⃗⃗⃗=-4,∴2λ3×4-13×9+(λ3-23)×3=-4,即113λ-5=-4,解得λ=311.14.(2017·天津,理14)用数字1,2,3,4,5,6,7,8,9组成没有重复数字,且至多有一个数字是偶数的四位数,这样的四位数一共有 个.(用数字作答)没有一个数字是偶数的四位数有A 54=120个;②有且只有一个数字是偶数的四位数有C 41C 53A 44=960个.所以至多有一个数字是偶数的四位数有120+960=1 080个.15.(2017·天津,理15)在△ABC 中,内角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ,已知a>b ,a=5,c=6,sin B=35. (1)求b 和sin A 的值; (2)求sin (2A +π4)的值.在△ABC 中,因为a>b ,故由sin B=35,可得cos B=45.由已知及余弦定理,有b 2=a 2+c 2-2ac cos B=13, 所以b=√13.由正弦定理asinA =bsinB ,得sin A=asinB b=3√1313. 所以,b 的值为√13,sin A 的值为3√1313. (2)由(1)及a<c ,得cos A=2√1313,所以sin 2A=2sin A cos A=1213,cos 2A=1-2sin 2A=-513.故sin (2A +π4)=sin 2A cos π4+cos 2A sin π4=7√226.16.(2017·天津,理16)从甲地到乙地要经过3个十字路口,设各路口信号灯工作相互独立,且在各路口遇到红灯的概率分别为12,13,14.(1)记X 表示一辆车从甲地到乙地遇到红灯的个数,求随机变量X 的分布列和数学期望; (2)若有2辆车独立地从甲地到乙地,求这2辆车共遇到1个红灯的概率.随机变量X 的所有可能取值为0,1,2,3.P (X=0)=(1-12)×(1-13)×(1-14)=14, P (X=1)=12×(1-13)×(1-14)+(1-12)×13×(1-14)+(1-12)×(1-13)×14=1124,P (X=2)=(1-12)×13×14+12×(1-13)×14+12×13×(1-14)=14,P (X=3)=12×13×14=124. 所以,随机变量X 的分布列为随机变量X 的数学期望E (X )=0×14+1×1124+2×14+3×124=1312. (2)设Y 表示第一辆车遇到红灯的个数,Z 表示第二辆车遇到红灯的个数, 则所求事件的概率为P (Y+Z=1)=P (Y=0,Z=1)+P (Y=1,Z=0) =P (Y=0)P (Z=1)+P (Y=1)P (Z=0) =14×1124+1124×14=1148. 所以,这2辆车共遇到1个红灯的概率为1148.17.(2017·天津,理17)如图,在三棱锥P-ABC 中,PA ⊥底面ABC ,∠BAC=90°,点D ,E ,N 分别为棱PA ,PC ,BC 的中点,M 是线段AD 的中点,PA=AC=4,AB=2. (1)求证:MN ∥平面BDE ; (2)求二面角C-EM-N 的正弦值;(3)已知点H 在棱PA 上,且直线NH 与直线BE 所成角的余弦值为√721,求线段AH 的长.,以A 为原点,分别以AB⃗⃗⃗⃗⃗ ,AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,AP ⃗⃗⃗⃗⃗ 方向为x 轴、y 轴、z 轴正方向建立空间直角坐标系. 依题意可得A (0,0,0),B (2,0,0),C (0,4,0),P (0,0,4),D (0,0,2),E (0,2,2),M (0,0,1),N (1,2,0).(1)证明:DE ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,2,0),DB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,0,-2), 设n =(x ,y ,z )为平面BDE 的法向量,则{n ·DE ⃗⃗⃗⃗⃗ =0,n ·DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0,即{2y =0,2x -2z =0. 不妨设z=1,可得n =(1,0,1).又MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,2,-1),可得MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·n =0.因为MN ⊄平面BDE ,所以MN ∥平面BDE.(2)易知n 1=(1,0,0)为平面CEM 的一个法向量.设n 2=(x ,y ,z )为平面EMN 的法向量,则{n 2·EM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0,n 2·MN⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0. 因为EM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,-2,-1),MN⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,2,-1), 所以{-2y -z =0,x +2y -z =0.不妨设y=1,可得n 2=(-4,1,-2).因此有cos <n 1,n 2>=n 1·n 2|n 1||n 2|=-√21,于是sin <n 1,n 2>=√10521.所以,二面角C-EM-N 的正弦值为√10521.(3)依题意,设AH=h (0≤h ≤4),则H (0,0,h ),进而可得NH ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(-1,-2,h ),BE⃗⃗⃗⃗⃗ =(-2,2,2). 由已知,得|cos <NH ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,BE ⃗⃗⃗⃗⃗ >|=|NH ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·BE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ||NH ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ||BE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=√ℎ+5×2√3=√721, 整理得10h 2-21h+8=0,解得h=85或h=12. 所以,线段AH 的长为85或12.18.(2017·天津,理18)已知{a n }为等差数列,前n 项和为S n (n ∈N *),{b n }是首项为2的等比数列,且公比大于0,b 2+b 3=12,b 3=a 4-2a 1,S 11=11b 4.(1)求{a n }和{b n }的通项公式;(2)求数列{a 2n b 2n-1}的前n 项和(n ∈N *).设等差数列{a n }的公差为d ,等比数列{b n }的公比为q.由已知b 2+b 3=12,得b 1(q+q 2)=12,而b 1=2,所以q 2+q-6=0.又因为q>0,解得q=2.所以,b n =2n .由b 3=a 4-2a 1,可得3d-a 1=8.① 由S 11=11b 4,可得a 1+5d=16,② 联立①②,解得a 1=1,d=3,由此可得a n =3n-2.所以,数列{a n }的通项公式为a n =3n-2,数列{b n }的通项公式为b n =2n .(2)设数列{a 2n b 2n-1}的前n 项和为T n ,由a 2n =6n-2,b 2n-1=2×4n-1,有a 2n b 2n-1=(3n-1)×4n ,故T n =2×4+5×42+8×43+…+(3n-1)×4n ,4T n =2×42+5×43+8×44+…+(3n-4)×4n +(3n-1)×4n+1,上述两式相减,得-3T n =2×4+3×42+3×43+…+3×4n -(3n-1)×4n+1=12×(1-4n )1-4-4-(3n-1)×4n+1 =-(3n-2)×4n+1-8.得T n =3n -23×4n+1+83. 所以,数列{a 2n b 2n-1}的前n 项和为3n -23×4n+1+83. 19.(2017·天津,理19)设椭圆x 2a 2+y 2b 2=1(a>b>0)的左焦点为F ,右顶点为A ,离心率为12,已知A 是抛物线y 2=2px (p>0)的焦点,F 到抛物线的准线l 的距离为12. (1)求椭圆的方程和抛物线的方程;(2)设l 上两点P ,Q 关于x 轴对称,直线AP 与椭圆相交于点B (B 异于点A ),直线BQ 与x 轴相交于点D.若△APD 的面积为√62,求直线AP 的方程.设F 的坐标为(-c ,0).依题意,c a =12,p 2=a ,a-c=12,解得a=1,c=12,p=2,于是b 2=a 2-c 2=34.所以,椭圆的方程为x 2+4y 23=1,抛物线的方程为y 2=4x. (2)设直线AP 的方程为x=my+1(m ≠0),与直线l 的方程x=-1联立,可得点P (-1,-2m), 故Q (-1,2m ).将x=my+1与x 2+4y 23=1联立,消去x ,整理得(3m 2+4)y 2+6my=0,解得y=0或y=-6m 3m 2+4. 由点B 异于点A ,可得点B (-3m 2+43m 2+4,-6m 3m 2+4).由Q (-1,2m ),可得直线BQ 的方程为(-6m 3m 2+4-2m )(x+1)-(-3m 2+43m 2+4+1)(y -2m )=0,令y=0,解得x=2-3m 23m 2+2,故D (2-3m 23m 2+2,0).所以|AD|=1-2-3m 23m 2+2=6m 23m 2+2. 又因为△APD 的面积为√62, 故12×6m 23m 2+2×2|m |=√62,整理得3m 2-2√6|m|+2=0,解得|m|=√63,所以m=±√63. 所以,直线AP 的方程为3x+√6y-3=0或3x-√6y-3=0.20.(2017·天津,理20)设a ∈Z ,已知定义在R 上的函数f (x )=2x 4+3x 3-3x 2-6x+a 在区间(1,2)内有一个零点x 0,g (x )为f (x )的导函数.(1)求g (x )的单调区间;(2)设m ∈[1,x 0)∪(x 0,2],函数h (x )=g (x )(m-x 0)-f (m ),求证:h (m )h (x 0)<0;(3)求证:存在大于0的常数A ,使得对于任意的正整数p ,q ,且p q ∈[1,x 0)∪(x 0,2],满足|p q -x 0|≥1Aq 4.f (x )=2x 4+3x 3-3x 2-6x+a ,可得g (x )=f'(x )=8x 3+9x 2-6x-6,进而可得g'(x )=24x 2+18x-6.令g'(x )=0,解得x=-1或x=14. 当x 变化时,g'(x ),g (x )的变化情况如下表:所以,g (x )的单调递增区间是(-∞,-1),(14,+∞),单调递减区间是(-1,14).h (x )=g (x )(m-x 0)-f (m ),得h (m )=g (m )(m-x 0)-f (m ),h (x 0)=g (x 0)(m-x 0)-f (m ).令函数H 1(x )=g (x )(x-x 0)-f (x ),则H'1(x )=g'(x )(x-x 0).由(1)知,当x ∈[1,2]时,g'(x )>0,故当x ∈[1,x 0)时,H'1(x )<0,H 1(x )单调递减;当x ∈(x 0,2]时,H'1(x )>0,H 1(x )单调递增.因此,当x ∈[1,x 0)∪(x 0,2]时,H 1(x )>H 1(x 0)=-f (x 0)=0,可得H 1(m )>0,即h (m )>0. 令函数H 2(x )=g (x 0)(x-x 0)-f (x ),则H'2(x )=g (x 0)-g (x ).由(1)知g (x )在[1,2]上单调递增,故当x ∈[1,x 0)时,H'2(x )>0,H 2(x )单调递增;当x ∈(x 0,2]时,H'2(x )<0,H 2(x )单调递减.因此,当x ∈[1,x 0)∪(x 0,2]时,H 2(x )<H 2(x 0)=0,可得H 2(m )<0,即h (x 0)<0.所以,h (m )h (x 0)<0.p ,q ,且p q ∈[1,x 0)∪(x 0,2],令m=p q ,函数h (x )=g (x )(m-x 0)-f (m ).由(2)知,当m ∈[1,x 0)时,h (x )在区间(m ,x 0)内有零点;当m ∈(x 0,2]时,h (x )在区间(x 0,m )内有零点.所以h (x )在(1,2)内至少有一个零点,不妨设为x 1,则h (x 1)=g (x 1)(p q -x 0)-f (p q)=0. 由(1)知g (x )在[1,2]上单调递增,故0<g (1)<g (x 1)<g (2).于是|p q -x 0|=|f (p q )g (x 1)|≥|f (p q)|g (2) =|2p 4+3p 3q -3p 2q 2-6pq 3+aq 4|g (2)q 4. 因为当x ∈[1,2]时,g (x )>0,故f (x )在[1,2]上单调递增,所以f (x )在区间[1,2]上除x 0外没有其他的零点, 而p q ≠x 0,故f (p q)≠0. 又因为p ,q ,a 均为整数,所以|2p 4+3p 3q-3p 2q 2-6pq 3+aq 4|是正整数, 从而|2p 4+3p 3q-3p 2q 2-6pq 3+aq 4|≥1.所以|p q -x 0|≥1g (2)q 4.所以,只要取A=g (2),就有|p q -x 0|≥1Aq 4.。

数学试卷 第1页（共20页） 数学试卷 第2页（共20页）绝密★启用前2017年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）数 学（理工类）本试卷分为Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试用时120分钟．第Ⅰ卷参考公式：·如果事件,A B 互斥，那么()()()P AB P A P B =+.·如果事件,A B 相互独立，那么()()()P AB P A P B =.·棱柱的体积公式V Sh =.其中S 表示棱柱的底面面积，h 表示棱柱的高. ·球的体积公式343V R π=.其中R 表示球的半径. 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设集合{}1,2,6A =，{}2,4B =，{}|15C x R x =∈-≤≤，则()A B C =A ．{}2B ．{124}，，C ．16}2{4，，， D ．{}1|5x R x ∈-≤≤2．设变量x ，y 满足约束条件20,220,0,3,x y x y x y +≥⎧⎪+-≥⎪⎨≤⎪⎪≤⎩则目标函数z x y =+的最大值为A ．23B ．1C ．32D ．33．阅读右边所示的程序框图，运行相应的程序，若输入N 的值为24，则输出N 的 A ．0B ．1C ．2D ．34．设θ∈R ，则“ππ121||2θ-<”是“1sin 2θ<”的 A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件5．已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的左焦点为F.若经过F 和()0,4P 两点的直线平行于双曲线的一条渐近线，则双曲线的方程为A ．22144y x -= B ．22188y x -= C ．22148y x -= D ．22184y x -=6．已知奇函数f x （）在R 上是增函数，g x xf x =（）（）．若25.1a g log =-（），0.82b g =（），3c g =（），则a ，b ，c 的大小关系为A ．a b c <<B ．c b a <<C ．b a c <<D ．b c a <<7．设函数2sin f x x ωϕ=+（）（），x ∈R ，其中0ω>，πϕ<．若5π28f ⎛⎫=⎪⎝⎭，11π08f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，且f x （）的最小正周期大于2π，则 A ．2π,312ωϕ== B ．211π,312ωϕ==-C ．111π,324ωϕ==-D ．17π,324ωϕ==8．已知函数()23,1,2, 1.x x x f x x x x ⎧-+≤⎪=⎨+>⎪⎩设a ∈R ，若关于x 的不等式()2f x a x ≥+在R 上恒成立，则a 的取值范围是毕业学校_____________ 姓名________________ 考生号________________ ________________ _____________-------------在--------------------此--------------------卷--------------------上--------------------答--------------------题--------------------无--------------------效----------------数学试卷 第3页（共20页） 数学试卷 第4页（共20页）A ．47,216⎡⎤⎢⎥⎣⎦-B ．4739,1616-⎡⎤⎢⎥⎣⎦C．2-⎡⎤⎣⎦D．3916-⎡⎤⎢⎥⎣⎦第Ⅱ卷二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分． 9．已知a ∈R ，i 为虚数单位，若i2ia -+为实数，则a 的值为 ． 10．已知一个正方形的所有顶点在一个球面上，若这个正方体的表面积为18，则这个球的体积为 ．11．在极坐标系中，直线π4cos 106ρθ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭与圆2sin ρθ=的公共点的个数为 ．12．若a ，b ∈R ，0ab >，则4441a b ab++的最小值为 ．13．在ABC ∆中，60A ∠=︒，3AB =，2AC =．若2BD DC =，()AE AC AB R λλ=-∈，且4AD AE ⋅=-，则λ的值为 ．14．用数字1，2，3，4，5，6，7，8，9组成没有重复数字，且至多有一个数字是偶数的四位数，这样的四位数一共有 个．（用数字作答）三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分13分）在ABC ∆中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．已知a b >，5a =，6c =，3sin 5B =． （1）求b 和sin A 的值； （2）求π24sin A +（）的值． 16．（本小题满分13分）从甲地到乙地要经过3个十字路口，设各路口信号灯工作相互独立，且在各路口遇到红灯的概率分别为12，13，14． （1）设X 表示一辆车从甲地到乙地遇到红灯的个数，求随机变量X 的分布列和数学期望；（2）若有2辆车独立地从甲地到乙地，求这2辆车共遇到1个红灯的概率．17．（本小题满分13分）如图，在三棱锥P ABC -中，PA ⊥底面ABC ，90BAC ∠=︒．点D ，E ，N 分别为棱PA ，PC ，BC 的中点，M 是线段AD 的中点，4PA AC ==，2AB =．（1）求证：MN ∥平面BDE ； （2）求二面角C EM N --的正弦值；（3）已知点H 在棱PA 上，且直线NH 与直线BE 所成角的余弦值为21，求线段AH 的长．数学试卷 第5页（共20页） 数学试卷 第6页（共20页）18．（本小题满分13分）已知{}n a 为等差数列，前n 项和为*n S n ∈Ν（），{}n b 是首项为2的等比数列，且公比大于0，2312b b +=，3412b a a =-，11411S b =． （1）求{}n a 和{}n b 的通项公式；（2）求数列{}221n n a b -的前n 项和*n ∈N （）．19．（本小题满分14分）设椭圆222210x y a ba b +=>>（）的左焦点为F ，右顶点为A ，离心率为12．已知A 是抛物线()220y px p =>的焦点，F 到抛物线的准线l 的距离为12．（1）求椭圆的方程和抛物线的方程；（2）设l 上两点P ，Q 关于x 轴对称，直线AP 与椭圆相交于点B （B 异于点A ），直线BQ 与x 轴相交于点D ．若APD ∆AP 的方程．20．（本小题满分14分）设a Z ∈，已知定义在R 上的函数()4322336f x x x x x a =+--+在区间()12，内有一个零点0x ，()g x 为()f x 的导函数． （1）求()g x 的单调区间；（2）设0012[]m x x ∈，）（，，函数()()()()0h x g x m x f m =--，求证：()()00h m h x <；（3）求证：存在大于0的常数A ，使得对于任意的正整数p ，q ，且00[]12qx x p∈，）（，，满足041p x q Aq -≥．-------------在--------------------此--------------------卷--------------------上--------------------答--------------------题--------------------无--------------------效----------------毕业学校_____________ 姓名________________ 考生号________________________________ _____________数学试卷 第7页（共20页） 数学试卷 第8页（共20页）2017年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）数学答案解析1．【答案】B 【解析】{}(){}1,2,4,6,1,2,4AB A BC ==，选项B 符合．【提示】解题时应根据集合的运算法则，以及集合元素的三大特征，借助数轴或图示求解．【考点】集合的运算 2．【答案】D【解析】作出约束条件所表示的可行域如图中阴影部分所示，由z x y =+得y x z =-+，作出直线y x =-，平移使之经过可行域，观察可知，最优解在()03B，处取得，故max 033z =+=，选项D 符合．【提示】常常需画出约束条件所表示的可行域，画图时一定要注意边界是实线还是虚线，求解时要注意z 的几何意义。

2017年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）数学（理工类）第I卷一、选择题（共8小题，每小题5分，共40分）：在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求. （1）已知全集，集合，集合，则集合（A）（B）（C）（D）（2）设变量、满足约束条件，则目标函数的最大值为（A）（B）（C）（D）（3）阅读右边的程序框图，运行相应的程序，则输出的值为（A）（B）（C）（D）（4）设，则“”是“”的（A）充分而不必要条件（B）必要而不充分条件（C）充要条件（D）既不充分也不必要条件（5）如图，在圆中，、是弦的三等分点，弦、分别经过点、.若，，，则线段的长为（A）（B）（C）（D）（6）已知双曲线的一条渐近线过点，且双曲线的一个焦点在抛物线的准线上，则双曲线的方程为（A）（B）（C）（D）（7）已知定义在上的函数（为实数）为偶函数，记，，，则、、的大小关系为（A）（B）（C）（D）（8）已知函数函数，其中，若函数恰有4个零点，则的取值范围是（A）（B）（C）（D）第II卷二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）.（9）是虚数单位，若复数是纯虚数，则实数的值为.（10）一个几何体的三视图如图所示（单位：），则该几何体的体积为.（11）曲线与直线所围成的封闭图形的面积为.（12）在的展开式中，的系数为.（13）在中，内角、、所对的边分别为、、，已知的面积为，，则的值为.（14）在等腰梯形中,已知，，，，动点和分别在线段和上，且，，则的最小值为.三、解答题（本大题共6小题，共80分），解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．15.（本小题满分13分）已知函数，(I)求最小正周期；(II)求在区间上的最大值和最小值.16.（本小题满分13分）为推动乒乓球运动的发展，某乒乓球比赛允许不同协会的运动员组队参加.现有来自甲协会的运动员名，其中种子选手名；乙协会的运动员名，其中种子选手名.从这名运动员中随机选择人参加比赛.(I)设为事件“选出的人中恰有名种子选手，且这名种子选手来自同一个协会”求事件发生的概率；(II)设为选出的人中种子选手的人数，求随机变量的分布列和数学期望.17.（本小题满分13分）如图，在四棱柱中，侧棱底面，，，，，且点和分别为和的中点.(I)求证：平面；(II)求二面角的正弦值；(III)设为棱上的点，若直线和平面所成角的正弦值为，求线段的长18.（本小题满分13分）已知数列满足（为实数，且），，，，且，，成等差数列.(I)求的值和的通项公式；(II)设（），求数列的前项和.19.（本小题满分14分）已知椭圆的左焦点为,离心率为，点在椭圆上且位于第一象限，直线被圆截得的线段的长为，.(I)求直线的斜率；(II)求椭圆的方程；(III)设动点在椭圆上，若直线的斜率大于，求直线（为原点）的斜率的取值范围.20.（本小题满分14分）已知函数（），其中，.(I)讨论的单调性；(II)设曲线与轴正半轴的交点为，曲线在点处的切线方程为,求证：对于任意的正实数，都有；(III)若关于的方程（为实数）有两个正实根、，求证：．2017年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）数学（理工类）第I卷一、选择题（满分40分）题号 1 2 3 4 5 6 7 8答案 A C B A A D C D二、填空题（满分30分）9．10．11．12．13．14．三、解答题（满分80分）15．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）由题意可知所以．（Ⅱ）因为，所以，，所以的最小值为，最大值为．16．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）设事件：“选出的人中恰有名种子选手，且这名种子选手来自同一个协会”．由题意可知，．（Ⅱ）由题意，的可能取值为，，，．由题意可知，，，，．所以的分布列为：所以．17．（本小题满分14分）证明：（Ⅰ）在,且与交于点，由题意可知四棱柱中，所以，又因为为的中点，所以，,又因为为的中点，所以，．所以四边形是平行四边形．所以．平面因为平面，所以平面．（Ⅱ）以为轴，为轴，为轴建立空间直角坐标系，如图：则，，，，，,平面的法向量为,为，，，令得，．设平面的法向量为，、为，，，令得，．所以，因为二面角为锐角，所以二面角的正弦值为．（Ⅲ）设，，，．所以．平面的法向量为,由已知得，，解得，所以，线段的长为.18.（本小题满分13分）解：(I)依题意，，．因为，，成等差数列，所以，所以，或者（舍）当时，；当时，。

2017年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）;数学（理科）;;该套试卷整体上来说与往年相比，比较平稳，试题中没有偏题和怪题，在考查了基础知识的基础上，还考查了同学们灵活运用所学知识的解决问题的能力。

题目没有很多汉字的试题，都是比较简约型的。

但是不乏也有几道创新试题，像选择题的第8题，填空题的13题，解答题第20题，另外别的试题保持了往年的风格，入题简单，比较好下手，但是做出来并不是很容易。

整体上试题由梯度，由易到难，而且大部分试题适合同学们来解答体现了双基，考查了同学们的四大思想的运用，是一份比较好的试卷。

本试卷分为第I 卷（选择题〉和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，共150分,考试用时120分钟第I 卷一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.;; （1）i 是虚数单位，复数7=3iz i-+= （A ）2i + （Ｂ）2i - （Ｃ）2i -+ （Ｄ）2i -- １．B【命题意图】本试题主要考查了复数的概念以及复数的加、减、乘、除四则运算. 【解析】7=3i z i -+=(7)(3)(3)(3)i i i i --+-=2173110i i ---=2i -; （２）设R ϕ∈，则“=0ϕ”是“()=cos(+)f x x ϕ()x R ∈为偶函数”的（A ）充分而不必要条件 （Ｂ）必要而不充分条件（Ｃ）充分必要条件 （Ｄ）既不充分也不必要条件 2．A【命题意图】本试题主要考查了三角函数的奇偶性的判定以及充分条件与必要条件的判定.【解析】∵=0ϕ⇒()=cos(+)f x x ϕ()x R ∈为偶函数，反之不成立，∴“=0ϕ”是“()=cos(+)f x x ϕ()x R ∈为偶函数”的充分而不必要条件.（３）阅读右边的程序框图，运行相应的程序，当输入x 的值为25-时，输出x 的值为（A ）1- （Ｂ）1 （Ｃ）3 （Ｄ）9 3．C【命题意图】本试题主要考查了算法框图的读取，并能根据已给的算法程序进行运算.【解析】根据图给的算法程序可知：第一次=4x ，第二次=1x ，则输出=21+1=3x ⨯. （4）函数3()=2+2x f x x -在区间(0,1)内的零点个数是（A ）0 （Ｂ）1 （Ｃ）2 （Ｄ）3 4．B【命题意图】本试题主要考查了函数与方程思想，函数的零点的概念，零点存在定理以及作图与用图的数学能力.2=8，即(0)(1)<0f f⋅且函数()f x在(0,1)内B正确..，∴103=1r-，即=3r，∴x的系数为40-.（6）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是,,a b c，已知8=5b c，=2C B，则cosC=（A）725（Ｂ）725-（Ｃ）725±（Ｄ）24256．A【命题意图】本试题主要考查了正弦定理、三角函数中的二倍角公式.考查学生分析、转化与计算等能力.【解析】∵8=5b c，由正弦定理得8sin=5sinB C，又∵=2C B，∴8s i n=5s i n2B B，所以8sin=10sin cosB B B，易知sin0B≠，∴4cos=5B，2cos=cos2=2cos1C B B-=725.（7）已知△ABC为等边三角形，=2AB，设点P，Q满足=AP ABλ，=(1)AQ ACλ-，Rλ∈，若3=2BQ CP⋅-，则=λ（A ）127．A【命题意图】本试题以等边三角形为载体，主要考查了向量加减法的几何意义，平面向量基本定理，共线向量定理及其数量积的综合运用.【解析】∵=BQ AQ AB-=(1)AC ABλ--，=CP AP AC-=AB ACλ-，又∵3=2B QC P⋅-，且||=||=2A B A C，0<,>=60AB AC，0=||||cos60=2AB AC AB AC⋅⋅，∴3[(1)]()=2A C AB A B A Cλλ----，2223||+(1)+(1)||=2AB AB AC ACλλλλ--⋅-，所以234+2(1)+4(1)=2λλλλ---，解得1=2λ. C（8）设m ，n R ∈，若直线(1)+(1)2=0m x n y ++-与圆22(1)+(y 1)=1x --相切，则+m n 的取值范围是（A）[1（Ｂ）(,1[1+3,+)-∞∞（Ｃ）[2-（Ｄ）(,2[2+22,+)-∞-∞8．D【命题意图】本试题主要考查了直线与圆的位置关系，点到直线的距离公式，重要不等式，一元二次不等式的解法，并借助于直线与圆相切的几何性质求解的能力.【解析】∵直线(1)+(1)2=0m x n y ++-与圆22(1)+(y 1)=1x --相切，∴圆心(1,1)到直线的距离为d ，所以21()2m n mn m n +=++≤，设=t m n +， 则21+14tt ≥，解得(,2[2+22,+)t ∈-∞-∞. 二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.（9）某地区有小学150所，中学75所，大学25所. 现采用分层抽样的方法从这些学校中抽取30所学校对学生进行视力调査，应从小学中抽取 所学校，中学中抽取 所学校. 9．18，9【命题意图】本试题主要考查了统计中的分层抽样的概念以及样本获取的方法与计算. 【解析】∵分层抽样也叫按比例抽样，由题知学校总数为250所， 所以应从小学中抽取15030=18250⨯，中学中抽取7530=9250⨯. （10）―个几何体的三视图如图所示(单位：m )，则该几何体的体积为 3m .10．18+9π【命题意图】本试题主要考查了简单组合体的三视图的画法与体积的计算以及空间想象能力.【解析】由三视图可该几何体为两个相切的球上方了一个长方体组成的组合体，所以其体积为：343=361+2()32V π⨯⨯⨯⨯=18+9π3m .（11）已知集合={||+2|<3A x R x ∈，集合={|()(2)<0B x R x m x ∈--,且=(1,)A B n -，则=m ,=n .11．1-，1【命题意图】本试题主要考查了集合的交集的运算及其运算性质，同时考查绝对值不等式与一元二次不等式的解法以及分类讨论思想.【解析】∵={||+2|<3}A x R x ∈={||5<<1}x x -,又∵=(1,)AB n -，画数轴可知=1m -，=1n .（12）己知抛物线的参数方程为2=2,=2,x pt y pt ⎧⎨⎩（t 为参数），其中>0p ，焦点为F ，准线为l ，过抛物线上一点M 作的垂线，垂足为E ，若||=||EF MF ，点M 的横坐标是3，则=p .12．2【命题意图】本试题主要考查了参数方程及其参数的几何意义，抛物线的定义及其几何性质.【解析】∵2=2,=2,x pt y pt ⎧⎨⎩可得抛物线的标准方程为2=2y px (>0)p ，∴焦点(,0)2pF ，∵点M 的横坐标是3，则(3,M ，所以点(,2p E -，222=()+(06)22p pEF p - 由抛物线得几何性质得=+32p MF ，∵=EF MF ，∴221+6=+3+94p p p p ，解得=2p .（13）如图，已知AB 和AC 是圆的两条弦.过点B 作圆的切线与AC 的延长线相交于点D,过点C 作BD 的平行线与圆相交于点Ｅ，与AB 相交于点F ，=3AF ，=1FB ，3=2EF ，则线段CD 的长为 .13．43【命题意图】本试题主要考查了平面几何中直线与圆的位置关系，相交弦定理，切割线定理，相似三角形的概念、判定与性质.【解析】∵=3AF ，=1FB ，3=2EF ，由相交弦定理得=AF FB EF FC ⋅⋅，所以=2FC ，又∵B D ∥CE ，∴=AF FC AB BD ，4==23AB BD FC AF ⋅⨯=83，设=C D x ，则=4AD x ，再由切割线定理得2=BD CD AD ⋅，即284=()3x x ⋅，解得4=3x ，故4=3CD .（14）已知函数2|1|=1x y x --的图象与函数=2y kx -的图象恰有两个交点，则实数k 的取值范围是 .14．(0,1)(1,4)【命题意图】本试题主要考查了函数的图像及其性质，利用函数图像确定两函数的交点，从而确定参数的取值范围.【解析】∵函数=2y kx -的图像直线恒过定点B(0,2)-，且(1,2)A -，(1,0)C -，(1,2)D ，∴2+2=410-，由图像可知(0,1)(1,4)k ∈. .2sin (2+)+sin(2)+2cos 133x x x ππ--，x R ∈.44.【命题意图】本试题主要考查了 【参考答案】 （1）2()=sin(2+)+sin(2)+2cos 133f x x x x ππ--2sin 2coscos 2)34x x x ππ=+=+ 函数()f x 的最小正周期为22T ππ== （2）32sin(2)11()4444424x x x f x ππππππ-≤≤⇒-≤+≤⇒-≤+≤⇔-≤≤ 当2()428x x πππ+==时，()max f x =2()444x x πππ+=-=-时，min ()1f x =-【点评】该试题关键在于将已知的函数表达式化为=sin (+)y A x ωϕ的数学模型，再根据此三角模型的图像与性质进行解题即可.（16）（本小题满分13分）现有4个人去参加某娱乐活动，该活动有甲、乙两个游戏可供参加者选择.为增加趣味性，约定：每个人通过掷一枚质地均匀的骰子决定自己去参加个游戏，掷出点数为1或2的人去参加甲游戏，掷出点数大于2的人去参加乙游戏. （Ⅰ）求这4个人中恰有2人去参加甲游戏的概率：（Ⅱ）求这4个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数的概率：（Ⅲ）用,X Y 分别表示这4个人中去参加甲、乙游戏的人数，记=||X Y ξ-，求随机变量ξ的分布列与数学期望E ξ.【命题意图】本试题主要考查了 【参考答案】（1）每个人参加甲游戏的概率为13p =，参加乙游戏的概率为213p -= 这4个人中恰有2人去参加甲游戏的概率为22248(1)27C p p -=（2）44(4,)()(1)(0,1,2,3,4)k kk XB p P X kC p p k -⇒==-=，这4个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数的概率为1(3)(4)9P X P X =+== （3）ξ可取0,2,48(0)(2)2740(2)(1)(3)8117(4)(0)(4)81P P X P P X P X P P X P X ξξξ=======+=====+==随机变量ξ的分布列为8401714802427818181E ξ=⨯+⨯+⨯=【点评】应用性问题是高考命题的一个重要考点，近年来都通过概率问题来考查，且常考常新,对于此类考题，要注意认真审题，从数学与实际生活两个角度来理解问题的实质,将问题成功转化为古典概型，独立事件、互斥事件等概率模型求解，因此对概率型应用性问题，理解是基础，转化是关键.（17）（本小题满分13分）如图，在四棱锥P ABCD -中，PA 丄平面ABCD ，AC 丄AD ，AB 丄BC ，45BAC ︒∠=，==2PA AD ，=1AC .(Ⅰ)证明：PC 丄AD ；（Ⅱ）求二面角A PC D --的正弦值；CBAP（Ⅲ）设E 为棱PA 上的点，满足异面直线BE 与CD 所成的角为030， 求AE 的长.【命题意图】本试题主要考查了 【参考答案】（1）以,,AD AC AP 为,,x y z 正半轴方向，建立空间直角左边系A xyz - 则11(2,0,0),(0,1,0),(,,0),(0,0,2)22D C B P -(0,1,2),(2,0,0)0PC AD PC AD PC AD =-=⇒=⇔⊥ （2）(0,1,2),(2,1,0)PC CD =-=-，设平面PCD 的法向量(,,)n x y z =则0202200n PC y z y z x y x z n CD ⎧=-==⎧⎧⎪⇔⇔⎨⎨⎨-===⎩⎩⎪⎩ 取1(1,2,1)z n =⇒= (2,0,0)AD =是平面PAC 的法向量 630cos ,sin ,66AD n AD n AD n AD n<>==⇒<>=得：二面角A PC D --（3）设[0,2]AE h =∈；则(0,0,2)AE =，11(,,),(2,1,0)22BE h CD =-=- c o s ,B E CD BE C D B E C D<>=⇔⇔ 即AE = 【点评】试题从命题的角度来看，整体上题目与我们平时练习的试题相似，但底面是非特殊的四边形，一直线垂直于底面的四棱锥问题，那么创新的地方就是第三问中点E 的位置是不确定的，需要学生根据已知条件进行确定，如此说来就有难度，因此最好使用空间直角坐标系解决该问题为好.（18）(本小题满分13分）已知{n a }是等差数列，其前n 项和为n S ，{n b }是等比数列,且1a =1=2b ， 44+=27a b ，44=10S b -.(Ⅰ)求数列{n a }与{n b }的通项公式； (Ⅱ)记112231n n n n n T a b a b a b a b --=++++；证明：+12=2+10n n n T a b -+()n N ∈.【命题意图】本试题主要考查了【参考答案】（1） 设数列{}n a 的公差为d ，数列{}n b 的公比为q ；则 34434412732322710246210a b d d q S b q a d q +==⎧++=⎧⎧⇔⇔⎨⎨⎨-==+-=⎩⎩⎩ 得：31,2n n n a n b =-= （2）1211223112112222()22n n n nn n n n n n n a a T a b a b a b a b a a a a ----=++++=+++=+++111213132352222n n n n n n n a n n n c c +-----++==-=- 12231112[()()()]2()n nn n n n T c c c c c c c c ++=-+-++-=- 1022(35)102121210nn n nn nn b a T b a =⨯-+=--⇔+=- 【点评】该试题命制比较直接，没有什么隐含的条件，就是等比与等差数列的综合应用，但方法多样，第二问可以用错位相减法求解证明，也可用数学归纳法证明，给学生思维空间留有余地，符合高考命题选拔性的原则.（19）（本小题满分14分）设椭圆2222+=1x y a b(>>0)a b 的左、右顶点分别为,A B ，点P 在椭圆上且异于,A B 两点，O 为坐标原点.（Ⅰ）若直线AP 与BP 的斜率之积为12-，求椭圆的离心率； （Ⅱ）若||=||AP OA ，证明：直线OP 的斜率k 满足|k 【命题意图】本试题主要考查了 【参考答案】（1）取(0,)P b ，(,0),(,0)A a B a -；则221()22AP BP b b k k a b a a ⨯=⨯-=-⇔=2222122a b e e a -==⇔=（2）设(cos ,sin )(02)P a b θθθπ≤<；则线段OP 的中点(cos ,sin )22ab Q θθ ||=||A P O A 1AQ AQ OP k k ⇔⊥⇔⨯=- s i n s i nc o s 22c o sA Q A Q A Qb k b a k a k a a θθθθ=⇔-=+23A Q Q A Qa k k ⇒⇔<⇔ 【点评】（20）（本小题满分14分）已知函数()ln()f x x x a =-+的最小值为0，其中>0a . （Ⅰ）求a 的值；（Ⅱ）若对任意的[0,+)x ∈∞,有2()f x kx ≤成立，求实数k 的最小值； （Ⅲ）证明：=12ln (2+1)<221ni n i --∑*()n N ∈. 【参考答案】（1）函数()f x 的定义域为(,)a -+∞()l n ()f x x x a =-+11()101x a f x x a a x a x a+-'⇒=-==⇔=->-++ ()01,()01f x x a f x a x a ''>⇔>-<⇔-<<-得：1x a =-时，min ()(1)101f x f a a a =-⇔-=⇔=（2）设22()()ln(1)(0)g x kx f x kx x x x =-=-++≥则()0g x ≥在[0,+)x ∈∞上恒成立min ()0(0)g x g ⇔≥=（*） (1)1ln 200g k k =-+≥⇒> 1(221)()2111x kx k g x kx x x +-'=-+=++ ①当1210()2k k -<<时，0012()00()(0)02k g x x x g x g k-'≤⇔≤≤=⇒<=与（*）矛盾 ②当12k ≥时，min ()0()(0)0g x g x g '≥⇒==符合（*） 得：实数k 的最小值为12（3）由（2）得：21ln(1)2x x x -+<对任意的0x >值恒成立取2(1,2,3,,)21x i n i ==-：222[ln(21)ln(21)]21(21)i i i i -+--<-- 当1n =时，2ln 32-< 得：=12ln (2+1)<221ni n i --∑ 当2i ≥时，2211(21)2321i i i <---- 得：121[ln(21)ln(21)]2ln 3122121ni i i i n =-++-<-+-<--∑ 【点评】试题分为三问，题面比较简单，给出的函数比较常规，因此入手对于同学们来说没有难度，第二问中，解含参数的不等式时，要注意题中参数的讨论所有的限制条件，从而做到不重不漏；第三问中，证明不等式，应借助于导数证不等式的方法进行.。

2017年天津市高考数学试卷（理科）一、选择题：在每小题给出的四个选项中.只有一项是符合题目要求的.1．（5分）设集合A={1.2.6}.B={2.4}.C={x∈R|﹣1≤x≤5}.则（A∪B）∩C=（）A．{2} B．{1.2.4} C．{1.2.4.5} D．{x∈R|﹣1≤x≤5}2．（5分）设变量x.y满足约束条件.则目标函数z=x+y的最大值为（）A．B．1 C．D．33．（5分）阅读右面的程序框图.运行相应的程序.若输入N的值为24.则输出N 的值为（）A．0 B．1 C．2 D．34．（5分）设θ∈R.则“|θ﹣|＜”是“sinθ＜”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件5．（5分）已知双曲线﹣=1（a＞0.b＞0）的左焦点为F.离心率为．若经过F和P（0.4）两点的直线平行于双曲线的一条渐近线.则双曲线的方程为（）A．=1 B．=1 C．=1 D．=15.1）.b=g 6．（5分）已知奇函数f（x）在R上是增函数.g（x）=xf（x）．若a=g（﹣log2（20.8）.c=g（3）.则a.b.c的大小关系为（）A．a＜b＜c B．c＜b＜a C．b＜a＜c D．b＜c＜a7．（5分）设函数f（x）=2sin（ωx+φ）.x∈R.其中ω＞0.|φ|＜x．若f（）=2.f（）=0.且f（x）的最小正周期大于2π.则（）A．ω=.φ=B．ω=.φ=﹣C．ω=.φ=﹣D．ω=.φ=8．（5分）已知函数f（x）=.设a∈R.若关于x的不等式f（x）≥|+a|在R上恒成立.则a的取值范围是（）A．[﹣.2] B．[﹣.] C．[﹣2.2] D．[﹣2.]二.填空题：本大题共6小题.每小题5分.共30分.9．（5分）已知a∈R.i为虚数单位.若为实数.则a的值为．10．（5分）已知一个正方体的所有顶点在一个球面上.若这个正方体的表面积为18.则这个球的体积为．11．（5分）在极坐标系中.直线4ρcos（θ﹣）+1=0与圆ρ=2sinθ的公共点的个数为．12．（5分）若a.b∈R.ab＞0.则的最小值为．13．（5分）在△ABC中.∠A=60°.AB=3.AC=2．若=2.=λ﹣（λ∈R）.且=﹣4.则λ的值为．14．（5分）用数字1.2.3.4.5.6.7.8.9组成没有重复数字.且至多有一个数字是偶数的四位数.这样的四位数一共有个．（用数字作答）三.解答题：本大题共6小题.共80分．解答应写出文字说明.证明过程或演算步骤．15．（13分）在△ABC中.内角 A.B.C所对的边分别为 a.b.c．已知a＞b.a=5.c=6.sinB=．（Ⅰ）求b和sinA的值；（Ⅱ）求sin（2A+）的值．16．（13分）从甲地到乙地要经过3个十字路口.设各路口信号灯工作相互独立.且在各路口遇到红灯的概率分别为..．（Ⅰ）设X表示一辆车从甲地到乙地遇到红灯的个数.求随机变量X的分布列和数学期望；（Ⅱ）若有2辆车独立地从甲地到乙地.求这2辆车共遇到1个红灯的概率．17．（13分）如图.在三棱锥P﹣ABC中.PA⊥底面ABC.∠BAC=90°．点D.E.N分别为棱PA.PC.BC的中点.M是线段AD的中点.PA=AC=4.AB=2．（Ⅰ）求证：MN∥平面BDE；（Ⅱ）求二面角C﹣EM﹣N的正弦值；（Ⅲ）已知点H在棱PA上.且直线NH与直线BE所成角的余弦值为.求线段AH的长．18．（13分）已知{an }为等差数列.前n项和为Sn（n∈N+）.{bn}是首项为2的等比数列.且公比大于0.b2+b3=12.b3=a4﹣2a1.S11=11b4．（Ⅰ）求{an }和{bn}的通项公式；（Ⅱ）求数列{a2n b2n﹣1}的前n项和（n∈N+）．19．（14分）设椭圆+=1（a＞b＞0）的左焦点为F.右顶点为A.离心率为．已知A是抛物线y2=2px（p＞0）的焦点.F到抛物线的准线l的距离为．（I）求椭圆的方程和抛物线的方程；（II）设l上两点P.Q关于x轴对称.直线AP与椭圆相交于点B（B异于A）.直线BQ与x轴相交于点D．若△APD的面积为.求直线AP的方程．20．（14分）设a∈Z.已知定义在R上的函数f（x）=2x4+3x3﹣3x2﹣6x+a在区间（1.2）内有一个零点x.g（x）为f（x）的导函数．（Ⅰ）求g（x）的单调区间；（Ⅱ）设m∈[1.x0）∪（x.2].函数h（x）=g（x）（m﹣x）﹣f（m）.求证：h（m）h（x）＜0；（Ⅲ）求证：存在大于0的常数A.使得对于任意的正整数p.q.且∈[1.x）∪（x0.2].满足|﹣x|≥．2017年天津市高考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：在每小题给出的四个选项中.只有一项是符合题目要求的.1．（5分）设集合A={1.2.6}.B={2.4}.C={x∈R|﹣1≤x≤5}.则（A∪B）∩C=（）A．{2} B．{1.2.4} C．{1.2.4.5} D．{x∈R|﹣1≤x≤5}【分析】由并集概念求得A∪B.再由交集概念得答案．【解答】解：∵A={1.2.6}.B={2.4}.∴A∪B={1.2.4.6}.又C={x∈R|﹣1≤x≤5}.∴（A∪B）∩C={1.2.4}．故选：B．【点评】本题考查交、并、补集的混合运算.是基础题．2．（5分）设变量x.y满足约束条件.则目标函数z=x+y的最大值为（）A．B．1 C．D．3【分析】画出约束条件的可行域.利用目标函数的最优解求解即可．【解答】解：变量x.y满足约束条件的可行域如图：目标函数z=x+y结果可行域的A点时.目标函数取得最大值.由可得A（0.3）.目标函数z=x+y的最大值为：3．故选：D．【点评】本题考查线性规划的简单应用.考查计算能力以及数形结合思想的应用．3．（5分）阅读右面的程序框图.运行相应的程序.若输入N的值为24.则输出N 的值为（）A．0 B．1 C．2 D．3【分析】根据程序框图.进行模拟计算即可．【解答】解：第一次N=24.能被3整除.N=≤3不成立.第二次N=8.8不能被3整除.N=8﹣1=7.N=7≤3不成立.第三次N=7.不能被3整除.N=7﹣1=6.N==2≤3成立.输出N=2.故选：C【点评】本题主要考查程序框图的识别和应用.根据条件进行模拟计算是解决本题的关键．4．（5分）设θ∈R.则“|θ﹣|＜”是“sinθ＜”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【分析】运用绝对值不等式的解法和正弦函数的图象和性质.化简两已知不等式.结合充分必要条件的定义.即可得到结论．【解答】解：|θ﹣|＜⇔﹣＜θ﹣＜⇔0＜θ＜.sinθ＜⇔﹣+2kπ＜θ＜+2kπ.k∈Z.则（0.）⊂[﹣+2kπ.+2kπ].k∈Z.可得“|θ﹣|＜”是“sinθ＜”的充分不必要条件．故选：A．【点评】本题考查充分必要条件的判断.同时考查正弦函数的图象和性质.运用定义法和正确解不等式是解题的关键.属于基础题．5．（5分）已知双曲线﹣=1（a＞0.b＞0）的左焦点为F.离心率为．若经过F和P（0.4）两点的直线平行于双曲线的一条渐近线.则双曲线的方程为（）A．=1 B．=1 C．=1 D．=1【分析】由双曲线的离心率为.则双曲线为等轴双曲线.即渐近线方程为y=±x.根据直线的斜率公式.即可求得c的值.求得a和b的值.即可求得双曲线方程．【解答】解：设双曲线的左焦点F（﹣c.0）.离心率e==.c= a.则双曲线为等轴双曲线.即a=b.双曲线的渐近线方程为y=±x=±x.则经过F和P（0.4）两点的直线的斜率k==.则=1.c=4.则a=b=2.∴双曲线的标准方程：；故选B．【点评】本题考查双曲线的简单几何性质.等轴双曲线的应用.属于中档题．6．（5分）已知奇函数f（x）在R上是增函数.g（x）=xf（x）．若a=g（﹣log25.1）.b=g （20.8）.c=g（3）.则a.b.c的大小关系为（）A．a＜b＜c B．c＜b＜a C．b＜a＜c D．b＜c＜a【分析】由奇函数f（x）在R上是增函数.则g（x）=xf（x）偶函数.且在（0.+∞）单调递增.则a=g（﹣log25.1）=g（log25.1）.则2＜﹣log25.1＜3.1＜20.8＜2.即可求得b＜a＜c【解答】解：奇函数f（x）在R上是增函数.当x＞0.f（x）＞f（0）=0.且f′（x）＞0.∴g（x）=xf（x）.则g′（x）=f（x）+xf′（x）＞0.∴g（x）在（0.+∞）单调递增.且g（x）=xf（x）偶函数.∴a=g（﹣log25.1）=g（log25.1）.则2＜﹣log25.1＜3.1＜20.8＜2.由g（x）在（0.+∞）单调递增.则g（20.8）＜g（log25.1）＜g（3）.∴b＜a＜c.故选C．【点评】本题考查函数奇偶性.考查函数单调性的应用.考查转化思想.属于基础题．7．（5分）设函数f（x）=2sin（ωx+φ）.x∈R.其中ω＞0.|φ|＜x．若f（）=2.f（）=0.且f（x）的最小正周期大于2π.则（）A．ω=.φ=B．ω=.φ=﹣C．ω=.φ=﹣D．ω=.φ=【分析】由题意求得.再由周期公式求得ω.最后由若f（）=2求得φ值．【解答】解：由f（x）的最小正周期大于2π.得.又f（）=2.f（）=0.得.∴T=3π.则.即．∴f（x）=2sin（ωx+φ）=2sin（x+φ）.由f（）=.得sin（φ+）=1．∴φ+=.k∈Z．取k=0.得φ=＜π．∴.φ=．故选：A．【点评】本题考查由三角函数的部分图象求解析式.考查y=Asin（ωx+φ）型函数的性质.是中档题．8．（5分）已知函数f（x）=.设a∈R.若关于x的不等式f（x）≥|+a|在R上恒成立.则a的取值范围是（）A．[﹣.2] B．[﹣.] C．[﹣2.2] D．[﹣2.]【分析】讨论当x≤1时.运用绝对值不等式的解法和分离参数.可得﹣x2+x﹣3≤a≤x2﹣x+3.再由二次函数的最值求法.可得a的范围；讨论当x＞1时.同样可得﹣（x+）≤a≤+.再由基本不等式可得最值.可得a的范围.求交集即可得到所求范围．【解答】解：当x≤1时.关于x的不等式f（x）≥|+a|在R上恒成立.即为﹣x2+x﹣3≤+a≤x2﹣x+3.即有﹣x2+x﹣3≤a≤x2﹣x+3.由y=﹣x2+x﹣3的对称轴为x=＜1.可得x=处取得最大值﹣；由y=x2﹣x+3的对称轴为x=＜1.可得x=处取得最小值.则﹣≤a≤①当x＞1时.关于x的不等式f（x）≥|+a|在R上恒成立.即为﹣（x+）≤+a≤x+.即有﹣（x+）≤a≤+.由y=﹣（x+）≤﹣2=﹣2（当且仅当x=＞1）取得最大值﹣2；由y=x+≥2=2（当且仅当x=2＞1）取得最小值2．则﹣2≤a≤2②由①②可得.﹣≤a≤2．故选：A．【点评】本题考查分段函数的运用.不等式恒成立问题的解法.注意运用分类讨论和分离参数法.以及转化思想的运用.分别求出二次函数和基本不等式求最值是解题的关键.属于中档题．二.填空题：本大题共6小题.每小题5分.共30分.9．（5分）已知a∈R.i为虚数单位.若为实数.则a的值为﹣2 ．【分析】运用复数的除法法则.结合共轭复数.化简.再由复数为实数的条件：虚部为0.解方程即可得到所求值．【解答】解：a∈R.i为虚数单位.===﹣i由为实数.可得﹣=0.解得a=﹣2．故答案为：﹣2．【点评】本题考查复数的乘除运算.注意运用共轭复数.同时考查复数为实数的条件：虚部为0.考查运算能力.属于基础题．10．（5分）已知一个正方体的所有顶点在一个球面上.若这个正方体的表面积为18.则这个球的体积为．【分析】根据正方体和球的关系.得到正方体的体对角线等于直径.结合球的体积公式进行计算即可．【解答】解：设正方体的棱长为a.∵这个正方体的表面积为18.∴6a2=18.则a2=3.即a=.∵一个正方体的所有顶点在一个球面上.∴正方体的体对角线等于球的直径.即a=2R.即R=.则球的体积V=π•（）3=；故答案为：．【点评】本题主要考查空间正方体和球的关系.利用正方体的体对角线等于直径.结合球的体积公式是解决本题的关键．11．（5分）在极坐标系中.直线4ρcos（θ﹣）+1=0与圆ρ=2sinθ的公共点的个数为 2 ．【分析】把极坐标方程化为直角坐标方程.求出圆心到直线的距离d.与半径比较即可得出位置关系．【解答】解：直线4ρcos（θ﹣）+1=0展开为：4ρ+1=0.化为：2x+2y+1=0．圆ρ=2sinθ即ρ2=2ρsinθ.化为直角坐标方程：x2+y2=2y.配方为：x2+（y﹣1）2=1．∴圆心C（0.1）到直线的距离d==＜1=R．∴直线4ρcos（θ﹣）+1=0与圆ρ=2sinθ的公共点的个数为2．故答案为：2．【点评】本题考查了极坐标方程化为直角坐标方程、直线与圆的位置关系、点到直线的距离公式.考查了推理能力与计算能力.属于中档题．12．（5分）若a.b∈R.ab＞0.则的最小值为 4 ．【分析】两次利用基本不等式.即可求出最小值.需要注意不等式等号成立的条件是什么．【解答】解：a.b∈R.ab＞0.∴≥==4ab+≥2=4.当且仅当.即.即a=.b=或a=﹣.b=﹣时取“=”；∴上式的最小值为4．故答案为：4．【点评】本题考查了基本不等式的应用问题.是中档题．13．（5分）在△ABC中.∠A=60°.AB=3.AC=2．若=2.=λ﹣（λ∈R）.且=﹣4.则λ的值为．【分析】根据题意画出图形.结合图形.利用、表示出.再根据平面向量的数量积列出方程求出λ的值．【解答】解：如图所示.△ABC中.∠A=60°.AB=3.AC=2.=2.∴=+=+=+（﹣）=+.又=λ﹣（λ∈R）.∴=（+）•（λ﹣）=（λ﹣）•﹣+λ=（λ﹣）×3×2×cos60°﹣×32+λ×22=﹣4.∴λ=1.解得λ=．故答案为：．【点评】本题考查了平面向量的线性运算与数量积运算问题.是中档题．14．（5分）用数字1.2.3.4.5.6.7.8.9组成没有重复数字.且至多有一个数字是偶数的四位数.这样的四位数一共有1080 个．（用数字作答）【分析】根据题意.要求四位数中至多有一个数字是偶数.分2种情况讨论：①、四位数中没有一个偶数数字.②、四位数中只有一个偶数数字.分别求出每种情况下四位数的数目.由分类计数原理计算可得答案．【解答】解：根据题意.分2种情况讨论：①、四位数中没有一个偶数数字.即在1、3、5、7、9种任选4个.组成一共四位数即可.有A54=120种情况.即有120个没有一个偶数数字四位数；②、四位数中只有一个偶数数字.在1、3、5、7、9种选出3个.在2、4、6、8中选出1个.有C53•C41=40种取法.将取出的4个数字全排列.有A44=24种顺序.则有40×24=960个只有一个偶数数字的四位数；则至多有一个数字是偶数的四位数有120+960=1080个；故答案为：1080．【点评】本题考查排列、组合的综合应用.注意要分类讨论．三.解答题：本大题共6小题.共80分．解答应写出文字说明.证明过程或演算步骤．15．（13分）在△ABC中.内角 A.B.C所对的边分别为 a.b.c．已知a＞b.a=5.c=6.sinB=．（Ⅰ）求b和sinA的值；（Ⅱ）求sin（2A+）的值．【分析】（Ⅰ）由已知结合同角三角函数基本关系式求得cosB.再由余弦定理求得b.利用正弦定理求得sinA；（Ⅱ）由同角三角函数基本关系式求得cosA.再由倍角公式求得sin2A.cos2A.展开两角和的正弦得答案．【解答】解：（Ⅰ）在△ABC中.∵a＞b.故由sinB=.可得cosB=．由已知及余弦定理.有=13.∴b=．由正弦定理.得sinA=．∴b=.sinA=；（Ⅱ）由（Ⅰ）及a＜c.得cosA=.∴sin2A=2sinAcosA=.cos2A=1﹣2sin2A=﹣．故sin（2A+）==．【点评】本题考查正弦定理和余弦定理在解三角形中的应用.考查倍角公式的应用.是中档题．16．（13分）从甲地到乙地要经过3个十字路口.设各路口信号灯工作相互独立.且在各路口遇到红灯的概率分别为..．（Ⅰ）设X表示一辆车从甲地到乙地遇到红灯的个数.求随机变量X的分布列和数学期望；（Ⅱ）若有2辆车独立地从甲地到乙地.求这2辆车共遇到1个红灯的概率．【分析】（Ⅰ）随机变量X的所有可能取值为0.1.2.3.求出对应的概率值.写出它的分布列.计算数学期望值；（Ⅱ）利用相互独立事件同时发生的概率公式计算所求事件的概率值．【解答】解：（Ⅰ）随机变量X的所有可能取值为0.1.2.3；则P（X=0）=（1﹣）×（1﹣）（1﹣）=.P（X=1）=×（1﹣）×（1﹣）+（1﹣）××（1﹣）+（1﹣）×（1﹣）×=.P（X=2）=（1﹣）××+×（1﹣）×+××（1﹣）=.P（X=3）=××=；所以.随机变量X的分布列为随机变量X的数学期望为E（X）=0×+1×+2×+3×=；（Ⅱ）设Y表示第一辆车遇到红灯的个数.Z表示第二辆车遇到红灯的个数.则所求事件的概率为P（Y+Z=1）=P（Y=0.Z=1）+P（Y=1.Z=0）=P（Y=0）•P（Z=1）+P（Y=1）•P（Z=0）=×+×=；所以.这2辆车共遇到1个红灯的概率为．【点评】本题考查了离散型随机变量的分布列与数学期望的计算问题.是中档题．17．（13分）如图.在三棱锥P﹣ABC中.PA⊥底面ABC.∠BAC=90°．点D.E.N分别为棱PA.PC.BC的中点.M是线段AD的中点.PA=AC=4.AB=2．（Ⅰ）求证：MN∥平面BDE；（Ⅱ）求二面角C﹣EM﹣N的正弦值；（Ⅲ）已知点H在棱PA上.且直线NH与直线BE所成角的余弦值为.求线段AH的长．（Ⅰ）取AB中点F.连接MF、NF.由已知可证MF∥平面BDE.NF∥平面BDE．得【分析】到平面MFN∥平面BDE.则MN∥平面BDE；（Ⅱ）由PA⊥底面ABC.∠BAC=90°．可以A为原点.分别以AB、AC、AP所在直线为x、y、z轴建立空间直角坐标系．求出平面MEN与平面CME的一个法向量.由两法向量所成角的余弦值得二面角C﹣EM﹣N的余弦值.进一步求得正弦值；（Ⅲ）设AH=t.则H（0.0.t）.求出的坐标.结合直线NH与直线BE所成角的余弦值为列式求得线段AH的长．【解答】（Ⅰ）证明：取AB中点F.连接MF、NF.∵M为AD中点.∴MF∥BD.∵BD⊂平面BDE.MF⊄平面BDE.∴MF∥平面BDE．∵N为BC中点.∴NF∥AC.又D、E分别为AP、PC的中点.∴DE∥AC.则NF∥DE．∵DE⊂平面BDE.NF⊄平面BDE.∴NF∥平面BDE．又MF∩NF=F．∴平面MFN∥平面BDE.则MN∥平面BDE；（Ⅱ）解：∵PA⊥底面ABC.∠BAC=90°．∴以A为原点.分别以AB、AC、AP所在直线为x、y、z轴建立空间直角坐标系．∵PA=AC=4.AB=2.∴A（0.0.0）.B（2.0.0）.C（0.4.0）.M（0.0.1）.N（1.2.0）.E（0.2.2）.则..设平面MEN的一个法向量为.由.得.取z=2.得．由图可得平面CME的一个法向量为．∴cos＜＞=．∴二面角C﹣EM﹣N的余弦值为.则正弦值为；（Ⅲ）解：设AH=t.则H（0.0.t）..．∵直线NH与直线BE所成角的余弦值为.∴|cos＜＞|=||=||=．解得：t=4．∴当H与P重合时直线NH与直线BE所成角的余弦值为.此时线段AH的长为4．【点评】本题考查直线与平面平行的判定.考查了利用空间向量求解空间角.考查计算能力.是中档题．18．（13分）已知{an }为等差数列.前n项和为Sn（n∈N+）.{bn}是首项为2的等比数列.且公比大于0.b2+b3=12.b3=a4﹣2a1.S11=11b4．（Ⅰ）求{an }和{bn}的通项公式；（Ⅱ）求数列{a2n b2n﹣1}的前n项和（n∈N+）．【分析】（Ⅰ）设出公差与公比.利用已知条件求出公差与公比.然后求解{an}和{bn}的通项公式；（Ⅱ）化简数列的通项公式.利用错位相减法求解数列的和即可．【解答】解：（I）设等差数列{an }的公差为d.等比数列{bn}的公比为q．由已知b2+b3=12.得b1（q+q2）=12.而b1=2.所以q+q2﹣6=0．又因为q＞0.解得q=2．所以.bn=2n．由b3=a4﹣2a1.可得3d﹣a1=8①．由S11=11b4.可得a1+5d=16②.联立①②.解得a1=1.d=3.由此可得an=3n﹣2．所以.数列{an }的通项公式为an=3n﹣2.数列{bn}的通项公式为bn=2n．（II）设数列{a2n b2n﹣1}的前n项和为Tn.由a2n =6n﹣2.b2n﹣1=4n.有a2nb2n﹣1=（3n﹣1）4n.故Tn=2×4+5×42+8×43+…+（3n﹣1）4n.4Tn=2×42+5×43+8×44+…+（3n﹣1）4n+1.上述两式相减.得﹣3Tn=2×4+3×42+3×43+…+3×4n﹣（3n﹣1）4n+1 ==﹣（3n﹣2）4n+1﹣8得Tn=．所以.数列{a2n b2n﹣1}的前n项和为．【点评】本题考查等差数列以及等比数列的应用.数列求和的方法.考查计算能力．19．（14分）设椭圆+=1（a＞b＞0）的左焦点为F.右顶点为A.离心率为．已知A是抛物线y2=2px（p＞0）的焦点.F到抛物线的准线l的距离为．（I）求椭圆的方程和抛物线的方程；（II）设l上两点P.Q关于x轴对称.直线AP与椭圆相交于点B（B异于A）.直线BQ与x轴相交于点D．若△APD的面积为.求直线AP的方程．【分析】（I）根据椭圆和抛物线的定义、性质列方程组求出a.b.p即可得出方程；（II）设AP方程为x=my+1.联立方程组得出B.P.Q三点坐标.从而得出直线BQ 的方程.解出D点坐标.根据三角形的面积列方程解出m即可得出答案．【解答】（Ⅰ）解：设F的坐标为（﹣c.0）．依题意可得.解得a=1.c=.p=2.于是b2=a2﹣c2=．所以.椭圆的方程为x2+=1.抛物线的方程为y2=4x．（Ⅱ）解：直线l的方程为x=﹣1.设直线AP的方程为x=my+1（m≠0）.联立方程组.解得点P（﹣1.﹣）.故Q（﹣1.）．联立方程组.消去x.整理得（3m2+4）y2+6my=0.解得y=0.或y=﹣．∴B（.）．∴直线BQ的方程为（﹣）（x+1）﹣（）（y﹣）=0.令y=0.解得x=.故D（.0）．∴|AD|=1﹣=．又∵△APD的面积为.∴×=.整理得3m2﹣2|m|+2=0.解得|m|=.∴m=±．∴直线AP的方程为3x+y﹣3=0.或3x﹣y﹣3=0．【点评】本题考查了椭圆与抛物线的定义与性质.直线与椭圆的位置关系.属于中档题．20．（14分）设a∈Z.已知定义在R上的函数f（x）=2x4+3x3﹣3x2﹣6x+a在区间（1.2）内有一个零点x.g（x）为f（x）的导函数．（Ⅰ）求g（x）的单调区间；（Ⅱ）设m∈[1.x0）∪（x.2].函数h（x）=g（x）（m﹣x）﹣f（m）.求证：h（m）h（x）＜0；（Ⅲ）求证：存在大于0的常数A.使得对于任意的正整数p.q.且∈[1.x）∪（x0.2].满足|﹣x|≥．【分析】（Ⅰ）求出函数的导函数g（x）=f′（x）=8x3+9x2﹣6x﹣6.求出极值点.通过列表判断函数的单调性求出单调区间即可．（Ⅱ）由h（x）=g（x）（m﹣x0）﹣f（m）.推出h（m）=g（m）（m﹣x）﹣f（m）.令函数H1（x）=g（x）（x﹣x）﹣f（x）.求出导函数H′1（x）利用（Ⅰ）知.推出h（m）h（x）＜0．（Ⅲ）对于任意的正整数p.q.且.令m=.函数h（x）=g（x）（m﹣x）﹣f（m）．由（Ⅱ）知.当m∈[1.x0）时.当m∈（x.2]时.通过h（x）的零点．转化推出|﹣x|=≥=．推出|2p4+3p3q﹣3p2q2﹣6pq3+aq4|≥1．然后推出结果．【解答】（Ⅰ）解：由f（x）=2x4+3x3﹣3x2﹣6x+a.可得g（x）=f′（x）=8x3+9x2﹣6x﹣6.进而可得g′（x）=24x2+18x﹣6．令g′（x）=0.解得x=﹣1.或x=．当x变化时.g′（x）.g（x）的变化情况如下表：.+所以.g（x）的单调递增区间是（﹣∞.﹣1）.（.+∞）.单调递减区间是（﹣1.）．（Ⅱ）证明：由h（x）=g（x）（m﹣x0）﹣f（m）.得h（m）=g（m）（m﹣x）﹣f（m）.h（x0）=g（x）（m﹣x）﹣f（m）．令函数H1（x）=g（x）（x﹣x）﹣f（x）.则H′1（x）=g′（x）（x﹣x）．由（Ⅰ）知.当x∈[1.2]时.g′（x）＞0.故当x∈[1.x0）时.H′1（x）＜0.H1（x）单调递减；当x∈（x0.2]时.H′1（x）＞0.H1（x）单调递增．因此.当x∈[1.x0）∪（x.2]时.H1（x）＞H1（x）=﹣f（x）=0.可得H1（m）＞0即h（m）＞0.令函数H2（x）=g（x）（x﹣x）﹣f（x）.则H′2（x）=g′（x）﹣g（x）．由（Ⅰ）知.g（x）在[1.2]上单调递增.故当x∈[1.x0）时.H′2（x）＞0.H2（x）单调递增；当x∈（x0.2]时.H′2（x）＜0.H2（x）单调递减．因此.当x∈[1.x）∪（x0.2]时.H2（x）＞H2（x）=0.可得得H2（m）＜0即h（x）＜0.．所以.h（m）h（x）＜0．（Ⅲ）对于任意的正整数p.q.且.令m=.函数h（x）=g（x）（m﹣x）﹣f（m）．由（Ⅱ）知.当m∈[1.x0）时.h（x）在区间（m.x）内有零点；当m∈（x0.2]时.h（x）在区间（x.m）内有零点．所以h（x）在（1.2）内至少有一个零点.不妨设为x1.则h（x1）=g（x1）（﹣x）﹣f（）=0．由（Ⅰ）知g（x）在[1.2]上单调递增.故0＜g（1）＜g（x1）＜g（2）.于是|﹣x|=≥=．因为当x∈[1.2]时.g（x）＞0.故f（x）在[1.2]上单调递增.所以f（x）在区间[1.2]上除x0外没有其他的零点.而≠x.故f（）≠0．又因为p.q.a均为整数.所以|2p4+3p3q﹣3p2q2﹣6pq3+aq4|是正整数.从而|2p4+3p3q﹣3p2q2﹣6pq3+aq4|≥1．所以|﹣x0|≥．所以.只要取A=g（2）.就有|﹣x|≥．【点评】本题考查函数的导数的综合应用.函数的单调性以及函数的最值的求法.考查分类讨论思想以及转化思想的应用.是难度比较大的题目．参与本试卷答题和审题的老师有：sxs123；qiss；maths；双曲线；铭灏2016；沂蒙松；742048；danbo7801（排名不分先后）菁优网2017年6月9日。

2017年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷)数学(理科）参考公式：• 如果事件A ,B 互斥,那么()()()P AB P A P B =+；• 如果事件A ，B 相互独立，那么()()()P AB P A P B =;• 柱体的体积公式V Sh =,其中S 表示柱体的底面面积，h 表示柱体的高;• 锥体体积公式13V Sh =，其中S 表示锥体的底面面积，h 表示锥体的高．第Ⅰ卷(共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． (1）【2017年天津，理1，5分】设集合{1,2,6},{2,4},{|15}A B C x x ===∈-≤≤R ,则()A B C =( ）(A ）{}2 （B ）{}1,2,4 （C ）{}1,2,4,6 （D){}|15x x ∈-≤≤R 【答案】B 【解析】{}[]{}()1,2,4,61,51,2,4AB C =-=，故选B ．（2）【2017年天津，理2，5分】设变量,x y 满足约束条件20,220,0,3,x y x y x y +≥⎧⎪+-≥⎪⎨≤⎪⎪≤⎩则目标函数z x y =+的最大值为（ ）(A ）23 （B)1 (C ）32(D ）3【答案】D【解析】目标函数为四边形ABCD 及其内部,其中324(0,1),(0,3),(,3),(,)233A B C D --，所以直线z x y =+过点B 时取最大值3，故选D ．（3)【2017年天津，理3,5分】阅读右面的程序框图，运行相应的程序，若输入N 的值为24，则输出N 的值为（ ）(A ）0 （B)1 （C ）2 （D ）3 【答案】C【解析】依次为8N = ，7,6,2N N N ===，输出2N =,故选C ．(4）【2017年天津，理4，5分】设θ∈R ，则“ππ||1212θ-<”是“1sin 2θ<”的（ ）(A)充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件（C ）充要条件 (D ）既不充分也不必要条件 【答案】A【解析】10sin 121262πππθθθ-<⇔<<⇒<,0θ=，1sin 2θ<，不满足1212ππθ-<，所以 是充分不必要条件，故选A ．（5)【2017年天津，理5，5分】已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左焦点为F ，离心率为2．若经过F 和(0,4)P 两点的直线平行于双曲线的一条渐近线，则双曲线的方程为( ）（A)22144x y -= （B ）22188x y -= （C)22148x y -= （D ）22184x y -=【答案】B【解析】由题意得224,14,22188x y a b c a b c ==-⇒===⇒-=-，故选B ．(6）【2017年天津，理6，5分】已知奇函数()f x 在R 上是增函数，()()g x xf x =．若2(log 5.1)a g =-，0.8(2)b g =，(3)c g =，则a ，b ，c 的大小关系为( ）(A ）a b c << （B ）c b a << (C ）b a c << (D ）b c a << 【答案】C 【解析】因为()f x 是奇函数且在R 上是增函数，所以在0x >时，()0f x >，从而()()g x xf x =是R 上的偶函数，且在[)0,+∞上是增函数，()()5.1 5.122log log a g g =-=，0.822<，又4 5.18<<， 5.122log 3<<，所以即0.8 5.1202log 3<<<，()()()0.8 5.122log 3g g g <<，所以b a c <<，故选C ． （7)【2017年天津，理7，5分】设函数()2sin()f x x ωϕ=+，x ∈R ，其中0ω>，||ϕ<π．若5()28f π=，()08f 11π=,且()f x 的最小正周期大于2π,则（ ）（A ）23ω=,12ϕπ= (B)23ω=，12ϕ11π=- （C)13ω=，24ϕ11π=- (D ）13ω=,24ϕ7π=【答案】A【解析】由题意125282118k k ωππϕπωπϕπ⎧+=+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩,其中12,k k Z ∈，所以2142(2)33k k ω=--，又22T ππω=>，所以01ω<<,所以23ω=，11212k ϕππ=+，由ϕπ<得12πϕ=,故选A ．(8）【2017年天津,理8，5分】已知函数23,1,()2, 1.x x x f x x x x ⎧-+≤⎪=⎨+>⎪⎩设a ∈R ，若关于x 的不等式()||2x f x a ≥+在R 上恒成立，则a 的取值范围是（ )（A ）47[,2]16- （B ）4739[,]1616- （C）[- （D)39[]16-【答案】A【解析】不等式()2x f x a ≥+为()()()*2x f x a f x -≤+≤,当1x ≤时，()*式即为22332xx x a x x -+-≤+≤-+,2233322x x a x x -+-≤≤-+，又2214732416x x x ⎛⎫-+-=---⎪⎝⎭（14x =时取等号）, 223339393241616x x x ⎛⎫-+=-+≥ ⎪⎝⎭（34x =时取等号），所以47391616a -≤≤,当1x >,()*式为222x x a x x x --≤+≤+,322222x x x a x x --≤+≤+，又323222x x x x ⎛⎫--=-+≤- ⎪⎝⎭x =号），222x x +≥=(当2x =时取等号),所以2a -≤≤，综上47216a -≤≤，故选A ． 二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．（9）【2017年天津,理9,5分】已知a ∈R ,i 为虚数单位，若i2ia -+为实数，则a 的值为 ．【答案】2-【解析】()(2)(21)(2)2122(2)(2)555a i a i i a a i a a i i i i -----+-+===-++-为实数，则20,25a a +==-．（10)【2017年天津，理10，5分】已知一个正方体的所有顶点在一个球面上，若这个正方体的表面积为18,则这个球的体积为 ． 【答案】92π【解析】设正方体边长为a ，则226183a a =⇒=，外接球直径为34427923,πππ3382R V R ====⨯=．（11)【2017年天津，理11,5分】在极坐标系中,直线4cos()106ρθπ-+=与圆2sin ρθ=的公共点的个数为 ．【答案】2【解析】直线为210y ++= ,圆为22(1)1x y +-= ，因为314d =< ，所以有两个交点．（12）【2017年天津，理12，5分】若,a b ∈R ，0ab >，则4441a b ab++的最小值为 ．【答案】4【解析】442241414a b a b ab ab+++≥≥ ，当且仅当2,1a b ==时取等号．（13）【2017年天津，理13,5分】在ABC △中，60A =︒∠,3AB =，2AC =．若2BD DC =，()AE AC AB λλ∈=-R ,且4AD AE ⋅=-，则λ的值为 ．【答案】311【解析】32cos603AB AC ⋅=⨯⨯︒=,1233AD AB AC =+，则()1233AD AE AB AC AC AB λ⎛⎫⋅=+- ⎪⎝⎭212334934333311λλλ=⨯+⨯-⨯-⨯=-⇒=． （14）【2017年天津,理14,5分】用数字1,2,3，4，5，6,7，8，9组成没有重复数字,且至多有一个数字是偶数的四位数，这样的四位数一共有 个．（用数字作答） 【答案】1080【解析】413454541080A C C A +=． 三、解答题：本大题共6题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． （15）【2017年天津，理15,13分】在ABC △中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ．已知a b >，5,6a c ==，3sin 5B =．（1)求b 和sin A 的值;（2）求πsin(2)4A +的值．解：（1)在ABC △中，a b >，故由3sin 5B =，可得4cos 5B =．由已知及余弦定理,2222cos 13b a c ac B =+-=,所以b =由正弦定理sin a bB=，得sin sin a B A b =所以b sin A ．（2）由(1）及a c <，得cos A =，所以12sin 22sin cos 13A A A ==，25cos212sin 13A A =-=-．故πππsin(2)sin 2cos cos2sin 444A A A +=+=．（16）【2017年天津，理16，13分】从甲地到乙地要经过3个十字路口,设各路口信号灯工作相互独立，且在各路口遇到红灯的概率分别为111,,234．（1）设X 表示一辆车从甲地到乙地遇到红灯的个数,求随机变量X 的分布列和数学期望； (2）若有2辆车独立地从甲地到乙地，求这2辆车共遇到1个红灯的概率．解：（1）随机变量X 的所有可能取值为0，1，2,3．1111(0)(1)(1)(1)2344P X ==-⨯-⨯-=，11111111111(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)23423423424P X ==⨯-⨯-+-⨯⨯-+-⨯-⨯=，1111111111(2)(1)(1)(1)2342342344P X ==-⨯⨯+⨯-⨯+⨯⨯-=，1111(3)23424P X ==⨯⨯=． X0 1 2 3 P14 1124 14 124随机变量X 的数学期望()012342442412E X =⨯+⨯+⨯+⨯=．（2）设Y 表示第一辆车遇到红灯的个数，Z 表示第二辆车遇到红灯的个数，则所求事件的概率为(1)(0,1)(1,0)(0)(1)(1)(0)P Y Z P Y Z P Y Z P Y P Z P Y P Z +====+=====+==1111111142424448=⨯+⨯=． 所以，这2辆车共遇到1个红灯的概率为1148．（17）【2017年天津，理17,13分】如图，在三棱锥P ABC -中,PA ⊥底面ABC ，90BAC ∠=︒．点D E N ，，分别为棱PA PC BC ，，的中点，M 是线段AD 的中点,4PA AC ==，2AB =． (1）求证：//MN 平面BDE ；(2）求二面角C EM N --的正弦值；（3）已知点H 在棱PA 上,且直线NH 与直线BE 所成角的余弦值为7,求线段AH 的长．解：如图，以A 为原点，分别以AB ，AC ，AP 方向为x 轴、y 轴、z 轴正方向建立空间直角坐标系．依题意可得()0,0,0A ，()2,0,0B ，()0,4,0C ，()0,0,4P ，()0,0,2D ，()0,2,2E ，()0,0,1M ，()1,2,0N ．（1）()0,2,0DE =，()2,0,2DB =-．设(,,)x y z =n ，为平面BDE 的法向量，则00DE DB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n ，即20220y x z =⎧⎨-=⎩．不妨设1z =，可得(1,0,1)=n ．又()1,2,1MN =-，可得0MN ⋅=n ．因为MN ⊄平面BDE ,所以//MN 平面BDE ．（2）易知1(1,0,0)=n 为平面CEM 的一个法向量．设2(,,)x y z =n 为平面EMN 的法向量，则220EM MN ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n ，因为(0,2,1)EM =--，(1,2,1)MN =-，所以2020y z x y z --=⎧⎨+-=⎩．不妨设1y =，可得2(4,1,2)=--n ．因此有121212cos ,|||21⋅<>==-n n n n |n n ，于是12105sin ,<>=n n ．二面角C EM N --的正弦值为105． （3)依题意，设AH h =（04h ≤≤），则()0,0,H h ，进而可得(1,2,)NH h =--，(2,2,2)BE =-．由已知， 得2||7|cos ,|||||523NH BE NH BE NH BE h ⋅<>===+⨯，整理得2102180h h -+=，解得85h =，或12h =．所以，线段AH 的长为85或12．（18）【2017年天津,理18，13分】已知{}n a 为等差数列，前n 项和为()n S n *∈N ，{}n b 是首项为2的等比数列，且公比大于0，2312b b +=，3412b a a =-，11411S b =． (1)求{}n a 和{}n b 的通项公式；（2）求数列{}221n n a b -的前n 项和()n *∈N ．解：（1)设等差数列{}n a 的公差为d ,等比数列{}n b 的公比为q ．由2312b b +=，得21()12b q q +=，而12b =，所以260q q +-=．又因为0q >，解得2q =．所以，2n n b =．由3412b a a =-，可得138d a -=①．由114=11S b ，可得1516a d +=②,联立①②,解得11a =，3d =，由此可得32n a n =-． 所以,数列{}n a 的通项公式为32n a n =-，数列{}n b 的通项公式为2n n b =．（2）设数列{}221n n a b -的前n 项和为n T ，由262n a n =-，1214n n b --=，有221(31)4n n n a b n -=-⨯,故23245484(31)4n n T n =⨯+⨯+⨯++-⨯,23414245484(31)4n n T n +=⨯+⨯+⨯++-⨯，上述两式相减，得231324343434(31)4nn n T n +-=⨯+⨯+⨯++⨯--⨯112(14)4(31)414n n n +⨯-=---⨯-1(32)48n n +=--⨯-得1328433n n n T +-=⨯+．所以,数列{}221n n a b -的前n 项和为1328433n n +-⨯+．(19）【2017年天津，理19，14分】设椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的左焦点为F ，右顶点为A ，离心率为12．已知A 是抛物线22(0)y px p =>的焦点,F 到抛物线的准线l 的距离为12．（1)求椭圆的方程和抛物线的方程；（2）设l 上两点P ,Q 关于x 轴对称，直线AP 与椭圆相交于点B （B 异于点A ），直线BQ 与x 轴相交于点D ．若APD ∆AP 的方程； 解：（1）设F 的坐标为(),0c -．依题意，12c a =，2p a =，12a c -=，解得1a =，12c =，2p =,22234b a c =-=．所以，椭圆的方程为22413y x +=，抛物线的方程为24y x =．(2）设直线AP 的方程为1(0)x my m =+≠，与直线l 的方程1x =-联立，可得点2(1,)P m --，故2(1,)Q m-．将1x my =+与22413y x +=联立，消去x ，整理得22(34)60m y my ++=，解得0y =，或2634my m -=+． 由点B 异于点A ，可得点222346,3434m m B m m ⎛⎫-+- ⎪++⎝⎭．由21,Q m ⎛⎫- ⎪⎝⎭，可得直线BQ 的方程为 22262342()(1)(1)()03434m m x y m m m m --+-+-+-=++,令0y =，解得222332m x m -=+，故2223(,0)32m D m -+．所以2222236||13232m m AD m m -=-=++．又因为APD ∆，故221622||32m m m ⨯⨯=+整理得23|20m m -+=,||m =,m =．直线AP 的方程为330x -=，或330x --=．（20）【2017年天津，理20,14分】设a ∈Z ，已知定义在R 上的函数432()2336f x x x x x a =+--+在区间()1,2 内有一个零点0x ，()g x 为()f x 的导函数．（1）求()g x 的单调区间；（2）设00[1,)(,2]m x x ∈，函数()()()()0h x g x m x f m =--，求证：()()00h m h x <； （3）求证：存在大于0的常数A ,使得对于任意的正整数,p q ，且00[1,)(,2],px x q∈ 满足041||p x q Aq -≥． 解：(1）由432()2336f x x x x x a =+--+，可得32()()8966g x f x x x x '==+--，可得2()24186g x x x '=+-．令()0g x '=,解得1x =-，或1x =．当x 变化时，()(),g x g x '的变化情况如下表:所以，()g x 的单调递增区间是(),1-∞-，1,4⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭，单调递减区间是11,4⎛⎫- ⎪⎝⎭．（2）由0()()()()h x g x m x f m =--，得0()()()()h m g m m x f m =--，000()()()()h x g x m x f m =--．令函数10()()()()H x g x x x f x =--，则10()()()H x g x x x ''=-．由（1）知，当[1,2]x ∈时，()0g x '>， 故当0[1,)x x ∈时，1()0H x '<，1()H x 单调递减;当0(,2]x x ∈时,1()0H x '>，1()H x 单调递增． 因此，当00[1,)(,2]x x x ∈时,1100()()()0H x H x f x >=-=,可得1()0H m >，()0h m >．令函数200()()()()H x g x x x f x =--，则20()()()H x g x g x ''=-．由（1）知,()g x 在[1,2]上单调递增， 故当0[1,)x x ∈时，2()0H x '>，2()H x 单调递增；当0(,2]x x ∈时,2()0H x '<，2()H x 单调递减．因此，当00[1,)(,2]x x x ∈时,220()()0H x H x <=，可得2()0H m <，0()0h x <． 所以，0()()0h m h x <．（3）对于任意的正整数p ，q ，且00[1)(,],2p x x q ∈,令pm q=，函数0()()()()h g m x x x m f =--．由（2）知,当0[1),m x ∈时，()h x 在区间0(,)m x 内有零点；当0(,2]m x ∈时()h x 在区间0(),x m 内有零点．所以()h x 在(1,2)内至少有一个零点，不妨设为1x ,则110()()()()0p ph g x f q x qx =--=．由（1)知()g x 在[1,2]上单调递增，故10()()12()g x g g <<<，于是432234041()|()||2336|||||()()(2)2p p f f p p p q p q pq aq q q x q g x g g q+--+-=≥=．因为当[12],x ∈时，()0g x >， 故()f x 在[1,2]上单调递增，所以()f x 在区间[1,2]上除0x 外没有其他的零点，而0p x q ≠，故()0pf q≠．又因为p ，q ，a 均为整数，所以432234|2336|p p q p q pq aq +--+是正整数，从而432234|2336|1p p q p q pq aq +--+≥．041|2|()p x q g q -≥．只要取()2A g =,就有041||p x q Aq -≥．。

绝密★启用前2017年普通高等学校招生全国统一考试理科数学（天津卷）本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试用时120分钟。

第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至5页。

答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题考上，并在规定位置粘贴考试用条形码。

答卷时，考生务必将答案涂写在答题卡上，答在试卷上的无效。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

祝各位考生考试顺利！第Ⅰ卷注意事项：1.每小题选出答案后，用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

2.本卷共8小题，每小题5分，共40分。

参考公式：·如果事件A，B互斥，那么·如果事件A，B相互独立，那么P(A∪B)=P(A)+P(B)．P(AB)=P(A) P(B)．·棱柱的体积公式V=Sh. ·球的体积公式343V R =π.其中S表示棱柱的底面面积，其中R表示球的半径．h表示棱柱的高．一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.（1）设集合{1,2,6},{2,4},{|15}A B C x x===∈-≤≤R，则()A B C=【B】（A ）{2} （B ）{1,2,4}（C ）{1,2,4,6}（D ）{|15}x x ∈-≤≤R（2）设变量,x y 满足约束条件20,220,0,3,x y x y x y +≥⎧⎪+-≥⎪⎨≤⎪⎪≤⎩则目标函数z x y =+的最大值为【D 】 （A ）23 （B ）1（C ）32 （D ）3（3）阅读右面的程序框图，运行相应的程序，若输入N 的值为24，则输出N 的值为【C 】（A ）0 （B ）1（C ）2（D ）3（4）设θ∈R ，则“ππ||1212θ-<”是“1sin 2θ<”的【A 】（A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件（C ）充要条件（D ）既不充分也不必要条件（5）已知双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的左焦点为F.若经过F 和(0,4)P 两点的直线平行于双曲线的一条渐近线，则双曲线的方程为【B 】（A ）22144x y -= （B ）22188x y -=（C ）22148x y -=（D ）22184x y -=（6）已知奇函数()f x 在R 上是增函数，()()g x xf x =.若2(log 5.1)a g =-，0.8(2)b g =，(3)c g =，则a ，b ，c 的大小关系为【C 】（A ）a b c << （B ）c b a <<（C ）b a c <<（D ）b c a << （7）设函数()2sin()f x x ωϕ=+，x ∈R ，其中0ω>，||ϕ<π.若5(28f π=，()08f 11π=，且()f x 的最小正周期大于2π，则【A 】（A ）23ω=，12ϕπ=（B ）23ω=，12ϕ11π=-（C ）13ω=，24ϕ11π=-（D ）13ω=，24ϕ7π=（8）已知函数23,1,()2, 1.x x x f x x x x ⎧-+≤⎪=⎨+>⎪⎩设a ∈R ，若关于x 的不等式()||2xf x a ≥+在R 上恒成立，则a 的取值范围是【A 】（A ）47[,2]16-（B ）4739[,]1616-（C）[-（D）39[16-第Ⅱ卷注意事项：1．用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上。

绝密★启用前2017年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）数学（理工类）本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试用时120分钟。

第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至5页。

答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题考上，并在规定位置粘贴考试用条形码。

答卷时，考生务必将答案涂写在答题卡上，答在试卷上的无效。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

祝各位考生考试顺利！第Ⅰ卷注意事项：1.每小题选出答案后，用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

2.本卷共8小题，每小题5分，共40分。

参考公式：·如果事件 A ，B 互斥，那么 ·如果事件 A ，B 相互独立，那么 P (A ∪B )=P (A )+P (B )． P (AB )=P (A ) P (B )． ·棱柱的体积公式V =Sh .·球的体积公式343V R =π. 其中S 表示棱柱的底面面积，其中R 表示球的半径．h 表示棱柱的高．一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. （1）设集合{1,2,6},{2,4},{|15}A B C x x ===∈-≤≤R ，则()A B C =（A ）{2} （B ）{1,2,4}（C ）{1,2,4,6}（D ）{|15}x x ∈-≤≤R（2）设变量,x y 满足约束条件20,220,0,3,x y x y x y +≥⎧⎪+-≥⎪⎨≤⎪⎪≤⎩则目标函数z x y =+的最大值为（A ）23 （B ）1（C ）32（D ）3 （3）阅读右面的程序框图，运行相应的程序，若输入N 的值为24，则输出N 的值为（A ）0 （B ）1（C ）2（D ）3 （4）设θ∈R ，则“ππ||1212θ-<”是“1sin 2θ<”的 （A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件（C ）充要条件（D ）既不充分也不必要条件（5）已知双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的左焦点为F，离心率为.若经过F 和(0,4)P 两点的直线平行于双曲线的一条渐近线，则双曲线的方程为（A ）22144x y -= （B ）22188x y -=（C ）22148x y -=（D ）22184x y -=（6）已知奇函数()f x 在R 上是增函数，()()g x xf x =.若2(log 5.1)a g =-，0.8(2)b g =，(3)c g =，则a ，b ，c 的大小关系为（A ）a b c << （B ）c b a << （C ）b a c << （D ）b c a <<（7）设函数()2sin()f x x ωϕ=+，x ∈R ，其中0ω>，||ϕ<π.若5()28f π=，()08f 11π=，且()f x 的最小正周期大于2π，则 （A ）23ω=，12ϕπ= （B ）23ω=，12ϕ11π=- （C ）13ω=，24ϕ11π=-（D ）13ω=，24ϕ7π=（8）已知函数23,1,()2, 1.x x x f x x x x ⎧-+≤⎪=⎨+>⎪⎩设a ∈R ，若关于x 的不等式()||2xf x a ≥+在R 上恒成立，则a 的取值范围是 （A ）47[,2]16-（B ）4739[,]1616-（C）[- （D）39[]16- 第Ⅱ卷注意事项：1．用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上。

2017年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）数学（理工类）本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试用时120分钟。

第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至5页。

答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题考上，并在规定位置粘贴考试用条形码。

答卷时，考生务必将答案涂写在答题卡上，答在试卷上的无效。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

祝各位考生考试顺利！第Ⅰ卷注意事项：1.每小题选出答案后，用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

2.本卷共8小题，每小题5分，共40分。

参考公式：·如果事件 A ，B 互斥，那么 ·如果事件 A ，B 相互独立，那么P (A ∪B )=P (A )+P (B )． P (AB )=P (A ) P (B )． ·棱柱的体积公式V =Sh .·球的体积公式343V R =π. 其中S 表示棱柱的底面面积，其中R 表示球的半径．h 表示棱柱的高．一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.（1）设集合{1,2,6},{2,4},{|15}A B C x x ===∈-≤≤R ，则()A B C = （A ）{2} （B ）{1,2,4}（C ）{1,2,4,6}（D ）{|15}x x ∈-≤≤R 【答案】B【解析】(){1246}[15]{124}A B C =-=，，，，，， ,选B.（2）设变量,x y 满足约束条件20,220,0,3,x y x y x y +≥⎧⎪+-≥⎪⎨≤⎪⎪≤⎩则目标函数z x y =+的最大值为（A ）23 （B ）1（C ）32（D ）3 【答案】D【解析】目标函数为四边形ABCD 及其内部，其中324(0,1),(0,3),(,3),(,)233A B C D --，所以直线z x y =+过点B 时取最大值3，选D.学*科*网（3）阅读右面的程序框图，运行相应的程序，若输入N 的值为24，则输出N 的值为（A ）0 （B ）1（C ）2（D ）3 【答案】C【解析】依次为8N = ,7,6,2N N N ===，输出2N = ，选C.（4）设θ∈R ，则“ππ||1212θ-<”是“1sin 2θ<”的 （A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件（C ）充要条件（D ）既不充分也不必要条件 【答案】A（5）已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左焦点为F 若经过F 和(0,4)P 两点的直线平行于双曲线的一条渐近线，则双曲线的方程为（A ）22144x y -= （B ）22188x y -=（C ）22148x y -=（D ）22184x y -=【答案】B【解析】由题意得224,14,188x y a b c a b c ==-⇒===-=- ，选B. （6）已知奇函数()f x 在R 上是增函数，()()g x xf x =.若2(log 5.1)a g =-，0.8(2)b g =，(3)c g =，则a ，b ，c 的大小关系为（A ）a b c << （B ）c b a << （C ）b a c <<（D ）b c a <<【答案】C（7）设函数()2sin()f x x ωϕ=+，x ∈R ，其中0ω>，||ϕ<π.若5()28f π=，()08f 11π=，且()f x 的最小正周期大于2π，则（A ）23ω=，12ϕπ=（B ）23ω=，12ϕ11π=-（C ）13ω=，24ϕ11π=- （D ）13ω=，24ϕ7π=【答案】A【解析】由题意125282118k k ωππϕπωπϕπ⎧+=+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，其中12,k k Z ∈，所以2142(2)33k k ω=--，又22T ππω=>，所以01ω<<，所以23ω=，11212k ϕππ=+，由ϕπ<得12πϕ=，故选A ．（8）已知函数23,1,()2, 1.x x x f x x x x ⎧-+≤⎪=⎨+>⎪⎩设a ∈R ，若关于x 的不学&科&网等式()||2xf x a ≥+在R 上恒成立，则a 的取值范围是 （A ）47[,2]16-（B ）4739[,]1616- （C）[- （D）39[]16- 【答案】A所以2a -≤≤， 综上47216a -≤≤．故选A ．学&科*网第Ⅱ卷注意事项：1．用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上。

绝密★启用前2017年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）数学（理工类）本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试用时120分钟。

第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至5页。

答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题考上，并在规定位置粘贴考试用条形码。

答卷时，考生务必将答案涂写在答题卡上，答在试卷上的无效。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

祝各位考生考试顺利！第Ⅰ卷注意事项：1.每小题选出答案后，用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

2.本卷共8小题，每小题5分，共40分。

参考公式：·如果事件A ，B 互斥，那么 ·如果事件A ，B 相互独立，那么 P (A ∪B )=P (A )+P (B )．P (AB )=P (A ) P (B )． ·棱柱的体积公式V =Sh .·棱锥的体积公式13V Sh =. 其中S 表示棱柱的底面面积，其中S 表示棱锥的底面面积，h 表示棱锥的高．h 表示棱柱的高．一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. （1）设集合{1,2,6},{2,4},{|15}A B C x x ===∈-≤≤R ，则()A B C =U I （A ）{2}（B ）{1,2,4}（C ）{1,2,4,6}（D ）{|15}x x ∈-≤≤R（2）设变量,x y 满足约束条件20,220,0,3,x y x y x y +≥⎧⎪+-≥⎪⎨≤⎪⎪≤⎩则目标函数z x y =+的最大值为（A ）23（B ）1（C ）32（D ）3（3）阅读右面的程序框图，运行相应的程序，若输入N 的值为24，则输出N 的值为（A ）0 （B ）1（C ）2（D ）3 （4）设θ∈R ，则“ππ||1212θ-<”是“1sin 2θ<”的 （A ）充分而不必要条件（B ）必要而不充分条件（C ）充要条件（D ）既不充分也不必要条件（5）已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左焦点为F ，学 科&2.若经过F 和(0,4)P 两点的直线平行于双曲线的一条渐近线，则双曲线的方程为（A ）22144x y -=（B ）22188x y -=（C ）22148x y -=（D ）22184x y -=（6）已知奇函数()f x 在R 上是增函数，()()g x xf x =.若2(log 5.1)a g =-，0.8(2)b g =，(3)c g =，则a ，b ，c 的大小关系为 （A ）a b c <<（B ）c b a <<（C ）b a c <<（D ）b c a <<（7）设函数()2sin()f x x ωϕ=+，x ∈R ，其中0ω>，||ϕ<π.若5()28f π=，()08f 11π=，且()f x 的最小正周期大于2π，则 （A ）23ω=，12ϕπ= （B ）23ω=，12ϕ11π=-（C ）13ω=，24ϕ11π=-（D ）13ω=，24ϕ7π=（8）已知函数23,1,()2, 1.x x x f x x x x ⎧-+≤⎪=⎨+>⎪⎩设a ∈R ，若关于x 的不等式()||2x f x a ≥+在R 上恒成立，则a 的取值范围是（A ）47[,2]16-（B ）4739[,]1616-（C ）[- （D ）39[]16-第Ⅱ卷注意事项：1．用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上。

绝密★启用前2017年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）数学（理工类）本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试用时120分钟。

第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至5页。

答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题考上，并在规定位置粘贴考试用条形码。

答卷时，考生务必将答案涂写在答题卡上，答在试卷上的无效。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

祝各位考生考试顺利！第Ⅰ卷注意事项：1.每小题选出答案后，用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

2.本卷共8小题，每小题5分，共40分。

参考公式：·如果事件 A ，B 互斥，那么 ·如果事件 A ，B 相互独立，那么P (A ∪B )=P (A )+P (B )． P (AB )=P (A ) P (B )．·棱柱的体积公式V =Sh . ·球的体积公式343V R =π. 其中S 表示棱柱的底面面积，其中R 表示球的半径．h 表示棱柱的高．一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. （1）设集合{1,2,6},{2,4},{|15}A B C x x ===∈-≤≤R ，则()A B C =（A ）{2} （B ）{1,2,4}（C ）{1,2,4,6}（D ）{|15}x x ∈-≤≤R（2）设变量,x y 满足约束条件20,220,0,3,x y x y x y +≥⎧⎪+-≥⎪⎨≤⎪⎪≤⎩则目标函数z x y =+的最大值为（A ）23 （B ）1（C ）32（D ）3 （3）阅读右面的程序框图，运行相应的程序，若输入N 的值为24，则输出N 的值为（A ）0 （B ）1（C ）2（D ）3 （4）设θ∈R ，则“ππ||1212θ-<”是“1sin 2θ<”的 （A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件（C ）充要条件（D ）既不充分也不必要条件（5）已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左焦点为F.若经过F 和(0,4)P 两点的直线平行于双曲线的一条渐近线，则双曲线的方程为（A ）22144x y -= （B ）22188x y -=（C ）22148x y -=（D ）22184x y -=（6）已知奇函数()f x 在R 上是增函数，()()g x xf x =.若2(log 5.1)a g =-，0.8(2)b g =，(3)c g =，则a ，b ，c 的大小关系为（A ）a b c <<（B ）c b a <<（C ）b a c <<（D ）b c a <<（7）设函数()2sin()f x x ωϕ=+，x ∈R ，其中0ω>，||ϕ<π.若5()28f π=，()08f 11π=，且()f x 的最小正周期大于2π，则 （A ）23ω=，12ϕπ= （B ）23ω=，12ϕ11π=- （C ）13ω=，24ϕ11π=- （D ）13ω=，24ϕ7π=（8）已知函数23,1,()2, 1.x x x f x x x x ⎧-+≤⎪=⎨+>⎪⎩设a ∈R ，若关于x 的不等式()||2xf x a ≥+在R 上恒成立，则a 的取值范围是 （A ）47[,2]16-（B ）4739[,]1616-（C）[- （D）39[]16- 第Ⅱ卷注意事项：1．用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上。