向量的数量积经典例题(含详细答案)

向量数量积精选1．平面向量a 与b 的夹角为60°，(2,0),1,==a b 则2+=a b （ ）【答案】B2．ABC ∆中，3π=A ，3=AB ，8=AC ，则=BC .【答案】73．在三角形ABC 中，若A=60°，AB=4，AC=1，D 是BC 的中点，则AD 的长为 ．．4．在ABC ∆中，||||AB AC AB AC +=-，2=AB ，1=AC ，E ，F 为BC 的三等分点，则AE AF ⋅=（ ）A ．89B ．910C ．925D ．9265．已知向量)sin ,2(),1,(cos αα-==，若b a ⊥，则=-)42tan(πα A ．31- B ．3- C ．31 D ．7 【答案】D 6．设311(2sin ,),(,cos )264a xb x ==,且//a b ,则锐角x 为（ ） A ．6π B ．3π C ．4π D ．512π 【答案】C.7．设,x y R ∈，向量(,1)a x =r ，(1,)b y →=，(2,4)c →=-，且a c →→⊥，//b c →→，则||a b →→+=_____________.8．已知向量(1,2)a =-，(2,3)b =，若m a b λ=+与n a b =-的夹角为钝角，则实数λ的取值范围是 ．【答案】9λ<且1x ≠-9．O 是△ABC 所在平面内的一点，且满足()(2)0OB OC OB OC OA -⋅+-=，则△ABC 的形状一定是（ ）A ．正三角形B ．直角三角形C ．等腰三角形D ．斜三角形【答案】C10．在ABC ∆中，若2=++AB AB AC BA BC CA CB ⋅⋅⋅，则ABC ∆是（ ）A ．等边三角形B ．锐角三角形C ．钝角三角形D ．直角三角形【答案】D11．（本题满分14分）已知向量1(2=-a ，(2cos ,2sin )θθ=b ，0πθ<<． （1）若a ∥b ，求角θ的大小；（2）若+=a b b ，求sin θ的值．【答案】（1）2π3θ=；（2； 【解析】试题分析：（1）由向量共线的坐标表示得到关于θ的方程进而求解；（2）将向量模的关系式转化为数量积的关系式，用坐标表示数量积则可得到关于θ的方程，接下来可以用方程组求解sin θ，也可通过配角求解；试题解析：（1） 因为//a b ，所以12sin 2cos 2θθ-⋅=，即sin θθ-=，所以tan θ= 又0πθ<<，所以2π3θ=． （2）因为+=a b b ，所以22()+=a b b ，化简得220+⋅=a a b ，又1(2=-a ，(2cos ,2sin )θθ=b ，则21=a ，cos θθ⋅=-a b ，1cos 2θθ=--，则π1sin()064θ-=-<，又0πθ<<，πcos()6θ-=所以ππππππsin[()]sin()cos cos()sin 66i 66n 6s 6θθθθ-+=-+-==． 12．已知)0,2(A ，)2,0(B ，)sin ,(cos θθC ，O 为坐标原点.（1）13AC BC ⋅=-，求θ2sin 的值；（2）若7||=+OC OA ，且)0,(πθ-∈，求与的夹角.【答案】（1）95-；（2）65π. 【解析】 试题分析：(1)利用向量工具考察三角函数知识，首先根据向量知识，求出,，然后由向量数量积运算即可求解；（2）依然以向量为载体考察三角函数知识，首先利用向量的模长得到三角函数式，然后由向量的夹角公式求解.试题解析：（1）)sin ,2(cos )0,2()sin ,(cos θθθθ-=-=,)2sin ,(cos )2,0()sin ,(cos -=-=θθθθ， ∴1cos (cos 2)sin (sin 2)12(sin cos )3AC BC θθθθθθ⋅=-+-=-+=-， 3分 ∴32cos sin =+θθ，∴952sin -=θ. 5分 （2）∵)0,2(=,)sin ,(cos θθ, ∴)sin ,cos 2(θθ+=+OC OA ，∴7sin )cos 2(||22=++=+θθ， 即7sin cos cos 4422=+++θθθ， ∴21cos =θ，又)0,(πθ-∈，∴3πθ-=， 7分 又)2,0(=OB ，)23,21(-=，∴||cos ,||||OB OC OB OC OB OC ⋅<>===⋅ ∴65,π>=<OC OB . 10分 13．已知2(1,2),(cos 2,cos ),2x m n x ==且x f ⋅=)(. （1）在ABC ∆中，若1)(=A f ，求A 的大小；（2）若x x x f x g sin 3cos 2)()(2+-=，将)(x g 图像上所有点的纵坐标不变，横坐标伸长到原来的2倍，得到)(x h 的图像，求)(x h 的单调减区间.【答案】（1）3π；（2）]384,324[ππππ++k k ，Z k ∈. 14．（本小题满分13分）已知向量 2(3sin ,1),(cos ,cos )444x x x m n ==，记()f x m n =⋅（Ⅰ）若 3()2f a =，求 2cos()3a π-的值； （Ⅱ）将函数 ()y f x =的图象向右平移 23π个单位得到 ()y g x =的图象，若函数 ()y g x k =-在 70,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有零点，求实数k 的取值范围． 【答案】（1）1；（2）⎥⎦⎤⎢⎣⎡32,0．。

6.2.4向量的数量积1.[2022·福建三明高一期末]在边长为2的正方形ABCD 中，E 为BC 中点，则AB → ·AE → ＝( )A ．2B ．4C ．25D ．52．[2022·山东东营高一期末]若向量a ，b 满足||a ＝||b ＝2，〈a ，b 〉＝120°，则||a －b ＝( )A ．4B ．12C ．2D ．233．[2022·湖北武汉高一期末]已知|a |＝2，|b |＝3，a 与b 的夹角为135°，则a 在b 方向上的投影向量为________．4．已知|a |＝4，|b |＝2，且a 与b 的夹角为2π3，求： (1)a ·b ；(2)(a －2b )·(a ＋b ).5.[2022·河北石家庄高一期末]已知在边长为6的等边三角形ABC 中，BD → ＝12DC → ，则AD → ·AC → ＝( )A ．24B ．6C ．18D ．－246．[2022·江苏苏州高一期中]已知平面向量a ，b 满足||a ＝2，||b ＝1，a ·(a －b )＝5，则向量a 与b 的夹角为( )A ．π6B ．π3C ．2π3D ．5π67．[2022·福建福州高一期末]设非零向量a ，b ，c 是满足a ＋b ＋c ＝0，a ⊥b ，(2a －b )⊥c ，若||a ＝2 ，则||b ＝________．8．[2022·河北邢台高一期末]已知向量a ，b 满足(2a ＋b )·(a －2b )＝2，且|a |＝2 ，|b |＝2.(1)求a 与b 的夹角θ；(2)求||a ＋b .9.[2022·广东珠海高一期末]已知||a ＝2 ，|b |＝1，且a 与a －2b 相互垂直．(1)求向量a 与向量b 的夹角θ的大小；(2)求||a ＋b .10．在△ABC 中，AB → ＝c ，BC → ＝a ，CA → ＝b ，且a ·b ＝b ·c ＝c ·a ，试判断△ABC 的形状．11.(多选)[2022·山东滨州高一期末]已知a ，b ，c 是任意的非零向量，则下列结论正确的是( )A ．||a ＋b ≤||a ＋||bB ．a ·b ≤||a ·||bC ．若||a ＝||b ，则a ＝bD ．若||a ＋b ＝||a －b ，则a ⊥b12．设两个向量e 1，e 2满足|e 1|＝2，|e 2|＝1，e 1，e 2的夹角为60°，若向量2t e 1＋7e 2与e 1＋t e 2的夹角θ为钝角，求实数t 的取值范围．答案：1．解析：由题设，AB → ·AE → ＝|AB → ||AE → |cos ∠BAE ＝|AB → |2＝4.故选B.答案：B 2．解析：由||a ＝||b ＝2，〈a ，b 〉＝120°，可得a ·b ＝||a ·||b cos 〈a ，b 〉＝2×2×cos 2π3＝－2， 所以||a －b ＝（a －b ）2 ＝a 2＋b 2－2a ·b ＝||a 2＋||b 2－2a ·b ＝4＋4－2×（－2）＝23 .故选D.答案：D3．解析：因为a 在b 方向上的投影为||a cos 135°＝－2 ，与b 同向的单位向量为b ||b ＝13 b ，所以a 在b 方向上的投影向量为－23b . 答案：－23b 4．解析：(1)由平面向量数量积的定义可得a ·b ＝|a |·|b |cos 2π3 ＝4×2×(－12)＝－4； (2)(a －2b )·(a ＋b )＝a 2－a ·b －2b 2＝|a |2－a ·b －2|b |2＝42＋4－2×22＝12.5．解析：因为BD → ＝12DC → ， 所以BD → ＝13 BC → ＝13(AC → －AB → )， 所以AD → ＝AB → ＋BD → ＝AB → ＋13 (AC → －AB → )＝23 AB → ＋13AC → . 因为等边三角形ABC 的边长为6，所以AC → ·AB → ＝6×6cos 60°＝18，所以AD → ·AC → ＝(23 AB → ＋13AC → )·AC → ＝23 AB → ·AC → ＋13AC → 2 ＝23 ×18＋13×36＝24，故选A. 答案：A6．解析：因为||a ＝2，||b ＝1，a ·(a －b )＝5，所以a ·(a －b )＝a 2－a ·b ＝||a 2－a ·b ＝5，所以a ·b ＝－1，设向量a 与b 的夹角为θ，则cos θ＝a ·b ||a ·||b ＝－11×2＝－12 ， 因为θ∈[]0，π ，所以θ＝2π3.故选C. 答案：C 7．解析：因为a ＋b ＋c ＝0，可得c ＝－(a ＋b )，又因为a ⊥b ，(2a －b )⊥c ，且||a ＝2 ，可得(2a －b )·c ＝(2a －b )·[]－（a ＋b ） ＝－2a 2－a ·b ＋b 2＝－2×(2 )2－0＋||b 2＝0， 解得||b 2＝4，所以||b ＝2.答案：2 8．解析：(1)由(2a ＋b )·(a －2b )＝2a 2－3a ·b －2b 2＝4－3×2 ×2cos θ－8＝2， 得cos θ＝－22 ，因为θ∈[0，π]，所以θ＝3π4. (2)由题意得|a ＋b |＝a 2＋2a ·b ＋b 2 ＝2－42×22＋4 ＝2 . 9．解析：(1)由题意，a ·(a －2b )＝a 2－2a ·b ＝0，所以2－22 cos θ＝0，可得cos θ＝22，而0≤θ≤π，所以θ＝π4. (2)由||a ＋b 2＝a 2＋2a ·b ＋b 2＝2＋2＋1＝5， 所以||a ＋b ＝5 .10．解析：在△ABC 中，易知AB → ＋BC → ＋CA → ＝0，即a ＋b ＋c ＝0，因此a ＋c ＝－b ，a ＋b ＝－c ，从而⎩⎪⎨⎪⎧（a ＋b ）2＝（－c ）2，（a ＋c ）2＝（－b ）2， 两式相减可得b 2＋2a ·b －c 2－2a ·c ＝c 2－b 2，则2b 2＋2(a ·b －a ·c )＝2c 2，因为a ·b ＝c ·a ＝a ·c ，所以2b 2＝2c 2，即|b |＝|c |.同理可得|a |＝|b |，故|AB → |＝|BC → |＝|CA → |，即△ABC 是等边三角形．11．解析：对A ，||a ＋b 2＝a 2＋b 2＋2a ·b ＝||a 2＋||b 2＋2||a ·||b ·cos 〈a ，b 〉≤||a 2＋||b 2＋2||a ·||b ＝(||a ＋||b )2，当且仅当a ，b 同向时等号成立，所以||a ＋b ≤||a ＋||b ，故A 正确；对B ，因为cos 〈a ，b 〉≤1，所以a ·b ＝||a ·||b ·cos 〈a ，b 〉≤||a ·||b ，当且仅当a ，b 同向时等号成立，故B 正确；对C ，若||a ＝||b ，因为a ，b 方向不一定相同，所以a ，b 不一定相等，故C 错误； 对D ，若||a ＋b ＝||a －b ，两边平方可得a ·b ＝0，所以a ⊥b ，故D 正确．故选ABD. 答案：ABD12．解析：由向量2t e 1＋7e 2与e 1＋t e 2的夹角θ为钝角，得cos θ＝（2t e 1＋7e 2）·（e 1＋t e 2）|2t e 1＋7e 2|·|e 1＋t e 2|＜0， ∴(2t e 1＋7e 2)·(e 1＋t e 2)＜0，化简得2t 2＋15t ＋7＜0.解得－7＜t ＜－12. 当向量2t e 1＋7e 2与e 1＋t e 2的夹角为180°时，也有(2t e 1＋7e 2)·(e 1＋t e 2)＜0，但此时夹角不是钝角．设2t e 1＋7e 2＝λ(e 1＋t e 2)，λ＜0，则⎩⎪⎨⎪⎧2t ＝λ，7＝λt ，λ＜0， 解得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝－14，t ＝－142． ∴所求实数t 的取值范围是(－7，－142 )∪(－142 ，－12 ).。

向量性质描述的判断例1．已知a 、b 、c 是三个非零向量，则下列命题中真命题的个数为（ ）①b a b a b a //⇔⋅=⋅； ②a 、b 反向b a b a ⋅-=⋅⇔ ③b a b a b a -=+⇔⊥； ④c b c a b a ⋅=⋅⇔=A ．1B ．2C ．3D ．4分析：需对以上四个命题逐一判断，依据有两条，一是向量数量积的定义；二是向量加法与减法的平行四边形法则．①中∵θcos b a b a ⋅=⋅，∴由b a b a ⋅=⋅及a 、b 为非零向量可得1cos =θ，∴0=θ或π，∴b a //且以上各步均可逆，故命题①是真命题．②中若a 、b 反向，则a 、b 的夹角为π，∴b a b a b a ⋅-=⋅=⋅πcos 且以上各步均可逆，故命题②是真命题．③中当b a ⊥时，将向量a 、b 的起点确定在同一点，则以向量a 、b 为邻边作平行四边形，则该平行四边形必为矩形，于是它的两对角线长相等，即有b a b a -=+．反过来，若b a b a -=+，则以a 、b 为邻边的四边形为矩形，所以有b a ⊥，因此命题③是真命题．④中当b a =但a 与c的夹角和b 与c 的夹角不等时，就有c b c a ⋅≠⋅，反过来由c b c a ⋅=⋅也推不出b a =．故命题④是假命题． 答案：C小结：（1）两向量同向时，夹角为0（或︒0）；而反向时，夹角为π（或︒180）；两向量垂直时，夹角为︒90．因此当两向量共线时，夹角为0或π，反过来若两向量的夹角为0或π，则两向量共线．（2）对于命题④我们可以改进为：b a =既不是c b c a ⋅=⋅的充分条件也不是必要条件．利用定义求向量的数量积例1．已知4=a ，5=b ，当（l ）b a //（2）b a ⊥，（3）a 与b 的夹角为︒30时，分别求a 与b 的数量积。

分析：已知a 与b ，求b a ⋅，只需确定其夹角θ，须注意到b a //时，有︒=0θ和︒=180θ两种可能。

平面向量数量积运算题型一 平面向量数量积的基本运算例1 (1)(2014·天津)已知菱形ABCD 的边长为2，∠BAD ＝120°，点E ，F 分别在边BC ，DC 上，BC ＝3BE ，DC ＝λDF .若AE →·AF →＝1，则λ的值为________.(2)已知圆O 的半径为1，P A ，PB 为该圆的两条切线，A ，B 为切点，那么P A →·PB →的最小值为( ) A.－4＋ 2 B.－3＋ 2 C.－4＋2 2D.－3＋2 2变式训练1 (2015·湖北)已知向量OA →⊥AB →，|OA →|＝3，则OA →·OB →＝________.题型二 利用平面向量数量积求两向量夹角 例2 (1)(2015·重庆)若非零向量a ，b 满足|a |＝223|b |，且(a －b )⊥(3a ＋2b )，则a 与b 的夹角为( )A.π4B.π2C.3π4D.π(2)若平面向量a 与平面向量b 的夹角等于π3，|a |＝2，|b |＝3，则2a －b 与a ＋2b 的夹角的余弦值等于( )A.126B.－126C.112D.－112变式训练2 (2014·课标全国Ⅰ)已知A ，B ，C 为圆O 上的三点，若AO →＝12(AB →＋AC →)，则AB →与AC →的夹角为________.题型三 利用数量积求向量的模例3 (1)已知平面向量a 和b ，|a |＝1，|b |＝2，且a 与b 的夹角为120°，则|2a ＋b |等于( ) A.2 B.4 C.2 5D.6(2)已知直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠ADC ＝90°，AD ＝2，BC ＝1，P 是腰DC 上的动点，则|P A →＋3PB →|的最小值为________.变式训练3 (2015·浙江)已知e 1，e 2是平面单位向量，且e 1·e 2＝12.若平面向量b 满足b ·e 1＝b ·e 2＝1，则|b |＝________.高考题型精练1.(2015·山东)已知菱形ABCD 的边长为a ，∠ABC ＝60°，则BD →·CD →等于( ) A.－32a 2B.－34a 2C.34a 2 D.32a 2 2.(2014·浙江)记max{x ，y }＝⎩⎪⎨⎪⎧ x ，x ≥y ，y ，x <y ，min{x ，y }＝⎩⎪⎨⎪⎧y ，x ≥y ，x ，x <y ，设a ，b 为平面向量，则( )A.min{|a ＋b |，|a －b |}≤min{|a |，|b |}B.min{|a ＋b |，|a －b |}≥min{|a |，|b |}C.max{|a ＋b |2，|a －b |2}≤|a |2＋|b |2D.max{|a ＋b |2，|a －b |2}≥|a |2＋|b |23.(2015·湖南)已知点A ，B ，C 在圆x 2＋y 2＝1上运动，且AB ⊥BC .若点P 的坐标为(2,0)，则|P A →＋PB →＋PC →|的最大值为( ) A.6 B.7 C.8D.94.如图，在等腰直角△ABO 中，OA ＝OB ＝1，C 为AB 上靠近点A 的四等分点，过C 作AB 的垂线l ，P 为垂线上任一点，设OA →＝a ，OB →＝b ，OP →＝p ，则p ·(b －a )等于( )A.－12B.12C.－32D.325.在平面上，AB 1→⊥AB 2→，|OB 1→|＝|OB 2→|＝1，AP →＝AB 1→＋AB 2→.若|OP →|<12，则|OA →|的取值范围是( )A.(0，52] B.(52，72] C.(52，2] D.(72，2] 6.如图所示，△ABC 中，∠ACB ＝90°且AC ＝BC ＝4，点M 满足BM →＝3MA →，则CM →·CB →等于( )A.2B.3C.4D.67.(2014·安徽)设a ，b 为非零向量，|b |＝2|a |，两组向量x 1，x 2，x 3，x 4和y 1，y 2，y 3，y 4均由2个a 和2个b 排列而成.若x 1·y 1＋x 2·y 2＋x 3·y 3＋x 4·y 4所有可能取值中的最小值为4|a |2，则a 与b 的夹角为( ) A.2π3 B.π3 C.π6D.0 8.(2014·江苏)如图，在平行四边形ABCD 中，已知AB ＝8，AD ＝5，CP →＝3PD →，AP →·BP →＝2，则AB →·AD →的值是________.9.设非零向量a ，b 的夹角为θ，记f (a ，b )＝a cos θ－b sin θ.若e 1，e 2均为单位向量，且e 1·e 2＝32，则向量f (e 1，e 2)与f (e 2，－e 1)的夹角为________. 10.如图，在△ABC 中，O 为BC 中点，若AB ＝1，AC ＝3，〈AB →，AC →〉＝60°，则|OA →|＝________.11.已知向量a ＝(sin x ，34)，b ＝(cos x ，－1).当a ∥b 时，求cos 2x －sin 2x 的值；12.在△ABC 中，AC ＝10，过顶点C 作AB 的垂线，垂足为D ，AD ＝5，且满足AD →＝511DB →.(1)求|AB →－AC →|；(2)存在实数t ≥1，使得向量x ＝AB →＋tAC →，y ＝tAB →＋AC →，令k ＝x ·y ，求k 的最小值.平面向量数量积运算题型一 平面向量数量积的基本运算例1 (1)(2014·天津)已知菱形ABCD 的边长为2，∠BAD ＝120°，点E ，F 分别在边BC ，DC 上，BC ＝3BE ，DC ＝λDF .若AE →·AF →＝1，则λ的值为________.(2)已知圆O 的半径为1，P A ，PB 为该圆的两条切线，A ，B 为切点，那么P A →·PB →的最小值为( ) A.－4＋ 2 B.－3＋ 2 C.－4＋2 2 D.－3＋2 2答案 (1)2 (2)D 解析 (1)如图，AE →·AF →＝(AB →＋BE →)·(AD →＋DF →)＝(AB →＋13BC →)·(AD →＋1λDC →)＝AB →·AD →＋1λAB →·DC →＋13BC →·AD →＋13λBC →·DC →＝2×2×cos 120°＋1λ×2×2＋13×2×2＋13λ×2×2×cos 120°＝－2＋4λ＋43－23λ＝103λ－23，又∵AE →·AF →＝1， ∴103λ－23＝1，∴λ＝2. (2)方法一 设|P A →|＝|PB →|＝x ，∠APB ＝θ， 则tan θ2＝1x，从而cos θ＝1－tan 2θ21＋tan 2θ2＝x 2－1x 2＋1.P A →·PB →＝|P A →|·|PB →|·cos θ ＝x 2·x 2－1x 2＋1＝x 4－x 2x 2＋1＝(x 2＋1)2－3(x 2＋1)＋2x 2＋1＝x 2＋1＋2x 2＋1－3≥22－3，当且仅当x 2＋1＝2，即x 2＝2－1时取等号，故P A →·PB →的最小值为22－3. 方法二 设∠APB ＝θ，0<θ<π， 则|P A →|＝|PB →|＝1tanθ2.P A →·PB →＝|P A →||PB →|cos θ ＝(1tanθ2)2cos θ＝cos 2θ2sin 2θ2·(1－2sin 2θ2)＝(1－sin 2θ2)(1－2sin 2θ2)sin 2θ2.令x ＝sin 2θ2，0<x ≤1，则P A →·PB →＝(1－x )(1－2x )x＝2x ＋1x－3≥22－3，当且仅当2x ＝1x ，即x ＝22时取等号.故P A →·PB →的最小值为22－3.方法三 以O 为坐标原点，建立平面直角坐标系xOy ， 则圆O 的方程为x 2＋y 2＝1， 设A (x 1，y 1)，B (x 1，－y 1)，P (x 0,0)，则P A →·PB →＝(x 1－x 0，y 1)·(x 1－x 0，－y 1)＝x 21－2x 1x 0＋x 20－y 21. 由OA ⊥P A ⇒OA →·P A →＝(x 1，y 1)·(x 1－x 0，y 1)＝0⇒x 21－x 1x 0＋y 21＝0， 又x 21＋y 21＝1，所以x 1x 0＝1.从而P A →·PB →＝x 21－2x 1x 0＋x 20－y 21＝x 21－2＋x 20－(1－x 21) ＝2x 21＋x 20－3≥22－3.故P A →·PB →的最小值为22－3.点评 (1)平面向量数量积的运算有两种形式：一是依据长度和夹角，二是利用坐标运算，具体应用哪种形式由已知条件的特征来选择.注意两向量a ，b 的数量积a ·b 与代数中a ，b 的乘积写法不同，不应该漏掉其中的“·”.(2)向量的数量积运算需要注意的问题：a·b ＝0时得不到a ＝0或b ＝0，根据平面向量数量积的性质有|a |2＝a 2，但|a·b |≤|a |·|b |.变式训练1 (2015·湖北)已知向量OA →⊥AB →，|OA →|＝3，则OA →·OB →＝________. 答案 9解析 因为OA →⊥AB →，所以OA →·AB →＝0.所以OA →·OB →＝OA →·(OA →＋AB →)＝OA →2＋OA →·AB →＝|OA →|2＋0＝32＝9.题型二 利用平面向量数量积求两向量夹角 例2 (1)(2015·重庆)若非零向量a ，b 满足|a |＝223|b |，且(a －b )⊥(3a ＋2b )，则a 与b 的夹角为( ) A.π4 B.π2 C.3π4D.π(2)若平面向量a 与平面向量b 的夹角等于π3，|a |＝2，|b |＝3，则2a －b 与a ＋2b 的夹角的余弦值等于( ) A.126 B.－126C.112D.－112答案 (1)A (2)B解析 (1)由(a －b )⊥(3a ＋2b )得(a －b )·(3a ＋2b )＝0，即3a 2－a·b －2b 2＝0.又∵|a |＝223|b |，设〈a ，b 〉＝θ，即3|a |2－|a |·|b |·cos θ－2|b |2＝0， ∴83|b |2－223|b |2·cos θ－2|b |2＝0. ∴cos θ＝22.又∵0≤θ≤π，∴θ＝π4. (2)记向量2a －b 与a ＋2b 的夹角为θ， 又(2a －b )2＝4×22＋32－4×2×3×cos π3＝13，(a ＋2b )2＝22＋4×32＋4×2×3×cos π3＝52，(2a －b )·(a ＋2b )＝2a 2－2b 2＋3a ·b ＝8－18＋9＝－1，故cos θ＝(2a －b )·(a ＋2b )|2a －b |·|a ＋2b |＝－126，即2a －b 与a ＋2b 的夹角的余弦值是－126.点评 求向量的夹角时要注意：(1)向量的数量积不满足结合律，(2)数量积大于0说明不共线的两向量的夹角为锐角，数量积等于0说明两向量的夹角为直角，数量积小于0且两向量不能共线时两向量的夹角为钝角.变式训练2 (2014·课标全国Ⅰ)已知A ，B ，C 为圆O 上的三点，若AO →＝12(AB →＋AC →)，则AB →与AC →的夹角为________. 答案 90°解析 ∵AO →＝12(AB →＋AC →)，∴点O 是△ABC 中边BC 的中点，∴BC 为直径，根据圆的几何性质得AB →与AC →的夹角为90°. 题型三 利用数量积求向量的模例3 (1)已知平面向量a 和b ，|a |＝1，|b |＝2，且a 与b 的夹角为120°，则|2a ＋b |等于( ) A.2 B.4 C.2 5D.6(2)已知直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠ADC ＝90°，AD ＝2，BC ＝1，P 是腰DC 上的动点，则|P A →＋3PB →|的最小值为________.答案 (1)A (2)5解析 (1)因为平面向量a 和b ，|a |＝1，|b |＝2，且a 与b 的夹角为120°， 所以|2a ＋b |＝(2a )2＋b 2＋2×|2a |×|b |cos 120° ＝22×12＋22＋2×2×1×2×⎝⎛⎭⎫－12＝2. (2)方法一 以D 为原点，分别以DA 、DC 所在直线为x 、y 轴建立如图所示的平面直角坐标系，设DC ＝a ，DP ＝x .∴D (0,0)，A (2,0)，C (0，a )，B (1，a )，P (0，x )， P A →＝(2，－x )，PB →＝(1，a －x )， ∴P A →＋3PB →＝(5,3a －4x )， |P A →＋3PB →|2＝25＋(3a －4x )2≥25， ∴|P A →＋3PB →|的最小值为5. 方法二 设DP →＝xDC →(0<x <1)， ∴PC →＝(1－x )DC →， P A →＝DA →－DP →＝DA →－xDC →， PB →＝PC →＋CB →＝(1－x )DC →＋12DA →，∴P A →＋3PB →＝52DA →＋(3－4x )DC →，|P A →＋3PB →|2＝254DA →2＋2×52×(3－4x )DA →·DC →＋(3－4x )2·DC →2＝25＋(3－4x )2DC →2≥25，∴|P A →＋3PB →|的最小值为5.点评 (1)把几何图形放在适当的坐标系中，给有关向量赋以具体的坐标求向量的模，如向量a ＝(x ，y )，求向量a 的模只需利用公式|a |＝x 2＋y 2即可求解.(2)向量不放在坐标系中研究，求解此类问题的方法是利用向量的运算法则及其几何意义或应用向量的数量积公式，关键是会把向量a 的模进行如下转化：|a |＝a 2.变式训练3 (2015·浙江)已知e 1，e 2是平面单位向量，且e 1·e 2＝12.若平面向量b 满足b ·e 1＝b ·e 2＝1，则|b |＝________. 答案233解析 因为|e 1|＝|e 2|＝1且e 1·e 2＝12.所以e 1与e 2的夹角为60°.又因为b ·e 1＝b ·e 2＝1，所以b ·e 1－b ·e 2＝0，即b ·(e 1－e 2)＝0，所以b ⊥(e 1－e 2).所以b 与e 1的夹角为30°，所以b ·e 1＝|b |·|e 1|cos 30°＝1. 所以|b |＝233. 高考题型精练1.(2015·山东)已知菱形ABCD 的边长为a ，∠ABC ＝60°，则BD →·CD →等于( ) A.－32a 2B.－34a 2C.34a 2 D.32a 2 答案 D解析 如图所示，由题意，得BC ＝a ，CD ＝a ，∠BCD ＝120°.BD 2＝BC 2＋CD 2－2BC ·CD ·cos 120°＝a 2＋a 2－2a ·a ×⎝⎛⎭⎫－12＝3a 2， ∴BD ＝3a .∴BD →·CD →＝|BD →||CD →|cos 30°＝3a 2×32＝32a 2.2.(2014·浙江)记max{x ，y }＝⎩⎪⎨⎪⎧ x ，x ≥y ，y ，x <y ，min{x ，y }＝⎩⎪⎨⎪⎧y ，x ≥y ，x ，x <y ，设a ，b 为平面向量，则( )A.min{|a ＋b |，|a －b |}≤min{|a |，|b |}B.min{|a ＋b |，|a －b |}≥min{|a |，|b |}C.max{|a ＋b |2，|a －b |2}≤|a |2＋|b |2D.max{|a ＋b |2，|a －b |2}≥|a |2＋|b |2 答案 D解析 由于|a ＋b |，|a －b |与|a |，|b |的大小关系与夹角大小有关，故A ，B 错.当a ，b 夹角为锐角时，|a ＋b |>|a －b |，此时，|a ＋b |2>|a |2＋|b |2；当a ，b 夹角为钝角时，|a ＋b |<|a －b |，此时，|a －b |2>|a |2＋|b |2；当a ⊥b 时，|a ＋b |2＝|a －b |2＝|a |2＋|b |2，故选D.3.(2015·湖南)已知点A ，B ，C 在圆x 2＋y 2＝1上运动，且AB ⊥BC .若点P 的坐标为(2,0)，则|P A →＋PB →＋PC →|的最大值为( ) A.6 B.7 C.8 D.9答案 B解析 ∵A ，B ，C 在圆x 2＋y 2＝1上，且AB ⊥BC ，∴AC 为圆直径，故P A →＋PC →＝2PO →＝(－4,0)，设B (x ，y )，则x 2＋y 2＝1且x ∈[－1,1]，PB →＝(x －2，y )，∴P A →＋PB →＋PC →＝(x －6，y ).故|P A →＋PB →＋PC →|＝－12x ＋37，∴x ＝－1时有最大值49＝7，故选B.4.如图，在等腰直角△ABO 中，OA ＝OB ＝1，C 为AB 上靠近点A 的四等分点，过C 作AB 的垂线l ，P 为垂线上任一点，设OA →＝a ，OB →＝b ，OP →＝p ，则p ·(b －a )等于( )A.－12B.12C.－32D.32答案 A解析 以OA ，OB 所在直线分别作为x 轴，y 轴，O 为坐标原点建立平面直角坐标系， 则A (1,0)，B (0,1)，C (34，14)，直线l 的方程为y －14＝x －34，即x －y －12＝0.设P (x ，x －12)，则p ＝(x ，x －12)，而b －a ＝(－1,1)，所以p ·(b －a )＝－x ＋(x －12)＝－12.5.在平面上，AB 1→⊥AB 2→，|OB 1→|＝|OB 2→|＝1，AP →＝AB 1→＋AB 2→.若|OP →|<12，则|OA →|的取值范围是( )A.(0，52] B.(52，72] C.(52，2] D.(72，2] 答案 D解析 由题意，知B 1，B 2在以O 为圆心的单位圆上，点P 在以O 为圆心，12为半径的圆的内部.又AB 1→⊥AB 2→，AP →＝AB 1→＋AB 2→， 所以点A 在以B 1B 2为直径的圆上， 当P 与O 点重合时，|OA →|取得最大值2， 当P 在半径为12的圆周上时，|OA →|取得最小值72，故选D.6.如图所示，△ABC 中，∠ACB ＝90°且AC ＝BC ＝4，点M 满足BM →＝3MA →，则CM →·CB →等于( )A.2B.3C.4D.6答案 C解析 在△ABC 中，因为∠ACB ＝90°且AC ＝BC ＝4，所以AB ＝42，且B ＝A ＝45°.因为BM →＝3MA →，所以BM →＝34BA →.所以CM →·CB →＝(CB →＋BM →)·CB →＝CB →2＋BM →·CB →＝CB →2＋34BA →·CB →＝16＋34×42×4cos 135°＝4.7.(2014·安徽)设a ，b 为非零向量，|b |＝2|a |，两组向量x 1，x 2，x 3，x 4和y 1，y 2，y 3，y 4均由2个a 和2个b 排列而成.若x 1·y 1＋x 2·y 2＋x 3·y 3＋x 4·y 4所有可能取值中的最小值为4|a |2，则a 与b 的夹角为( ) A.2π3 B.π3 C.π6 D.0 答案 B解析 设a 与b 的夹角为θ，由于x i ，y i (i ＝1,2,3,4)均由2个a 和2个b 排列而成，记S ＝ i ＝14(x i ·y i )，则S 有以下三种情况：①S ＝2a 2＋2b 2；②S ＝4a ·b ；③S ＝|a |2＋2a ·b ＋|b |2.∵|b |＝2|a |，∴①中S ＝10|a |2，②中S ＝8|a |2cos θ，③中S ＝5|a |2＋4|a |2cos θ. 易知②最小，即8|a |2cos θ＝4|a |2，∴cos θ＝12，可求θ＝π3，故选B.8.(2014·江苏)如图，在平行四边形ABCD 中，已知AB ＝8，AD ＝5，CP →＝3PD →，AP →·BP →＝2，则AB →·AD →的值是________.答案 22解析 由CP →＝3PD →，得DP →＝14DC →＝14AB →，AP →＝AD →＋DP →＝AD →＋14AB →，BP →＝AP →－AB →＝AD →＋14AB→－AB →＝AD →－34AB →.因为AP →·BP →＝2，所以(AD →＋14AB →)·(AD →－34AB →)＝2，即AD →2－12AD →·AB →－316AB→2＝2.又因为AD →2＝25，AB →2＝64，所以AB →·AD →＝22.9.设非零向量a ，b 的夹角为θ，记f (a ，b )＝a cos θ－b sin θ.若e 1，e 2均为单位向量，且e 1·e 2＝32，则向量f (e 1，e 2)与f (e 2，－e 1)的夹角为________. 答案 π2解析 由e 1·e 2＝32，可得cos 〈e 1，e 2〉＝e 1·e 2|e 1||e 2|＝32， 故〈e 1，e 2〉＝π6，〈e 2，－e 1〉＝π－〈e 2，e 1〉＝5π6.f (e 1，e 2)＝e 1cos π6－e 2sin π6＝32e 1－12e 2，f (e 2，－e 1)＝e 2cos5π6－(－e 1)sin 5π6＝12e 1－32e 2.f (e 1，e 2)·f (e 2，－e 1)＝(32e 1－12e 2)·(12e 1－32e 2)＝32－e 1·e 2＝0， 所以f (e 1，e 2)⊥f (e 2，－e 1).故向量f (e 1，e 2)与f (e 2，－e 1)的夹角为π2.10.如图，在△ABC 中，O 为BC 中点，若AB ＝1，AC ＝3，〈AB →，AC →〉＝60°，则|OA →|＝________.答案132解析 因为〈AB →，AC →〉＝60°，所以AB →·AC →＝|AB →|·|AC →|cos 60°＝1×3×12＝32，又AO →＝12(AB →＋AC →)，所以AO →2＝14(AB →＋AC →)2＝14(AB →2＋2AB →·AC →＋AC →2)，即AO →2＝14(1＋3＋9)＝134，所以|OA →|＝132.11.已知向量a ＝(sin x ，34)，b ＝(cos x ，－1).(1)当a ∥b 时，求cos 2x －sin 2x 的值；(2)设函数f (x )＝2(a ＋b )·b ，已知在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若a ＝3，b ＝2，sin B ＝63，求f (x )＋4cos(2A ＋π6)(x ∈[0，π3])的取值范围.解 (1)因为a ∥b ，所以34cos x ＋sin x ＝0.所以tan x ＝－34.故cos 2x －sin 2x ＝cos 2x －2sin x cos xsin 2x ＋cos 2x＝1－2tan x 1＋tan 2x ＝85.(2)f (x )＝2(a ＋b )·b＝2(sin x ＋cos x ，－14)·(cos x ，－1)＝sin 2x ＋cos 2x ＋32＝2sin(2x ＋π4)＋32.由正弦定理，得a sin A ＝bsin B ，所以sin A ＝a sin Bb＝3×632＝22. 所以A ＝π4或A ＝3π4.因为b >a ，所以A ＝π4.所以f (x )＋4cos(2A ＋π6)＝2sin(2x ＋π4)－12.因为x ∈[0，π3]，所以2x ＋π4∈[π4，11π12].所以32－1≤f (x )＋4cos(2A ＋π6)≤2－12. 所以f (x )＋4cos(2A ＋π6)的取值范围为[32－1，2－12].12.在△ABC 中，AC ＝10，过顶点C 作AB 的垂线，垂足为D ，AD ＝5，且满足AD →＝511DB →.(1)求|AB →－AC →|；(2)存在实数t ≥1，使得向量x ＝AB →＋tAC →，y ＝tAB →＋AC →，令k ＝x ·y ，求k 的最小值. 解 (1)由AD →＝511DB →，且A ，B ，D 三点共线，可知|AD →|＝511|DB →|.又AD ＝5，所以DB ＝11.在Rt △ADC 中，CD 2＝AC 2－AD 2＝75， 在Rt △BDC 中，BC 2＝DB 2＋CD 2＝196， 所以BC ＝14.所以|AB →－AC →|＝|CB →|＝14.(2)由(1)，知|AB →|＝16，|AC →|＝10，|BC →|＝14. 由余弦定理，得cos A ＝102＋162－1422×10×16＝12.由x ＝AB →＋tAC →，y ＝tAB →＋AC →， 知k ＝x ·y＝(AB →＋tAC →)·(tAB →＋AC →) ＝t |AB →|2＋(t 2＋1)AC →·AB →＋t |AC →|2 ＝256t ＋(t 2＋1)×16×10×12＋100t＝80t 2＋356t ＋80.由二次函数的图象，可知该函数在[1，＋∞)上单调递增， 所以当t ＝1时，k 取得最小值516.。

平面向量数量积运算题型一 平面向量数量积的基本运算例1 (1)(2014·天津)已知菱形ABCD 的边长为2，∠BAD ＝120°，点E ，F 分别在边BC ，DC 上，BC ＝3BE ，DC ＝λDF .若AE →·AF →＝1，则λ的值为________.(2)已知圆O 的半径为1，P A ，PB 为该圆的两条切线，A ，B 为切点，那么P A →·PB →的最小值为( ) A.－4＋ 2 B.－3＋2 C.－4＋2 2D.－3＋22变式训练1 (2015·湖北)已知向量OA →⊥AB →，|OA →|＝3，则OA →·OB →＝________.题型二 利用平面向量数量积求两向量夹角 例2 (1)(2015·重庆)若非零向量a ，b 满足|a |＝223|b |，且(a －b )⊥(3a ＋2b )，则a 与b 的夹角为( )A.π4B.π2C.3π4D.π(2)若平面向量a 与平面向量b 的夹角等于π3，|a |＝2，|b |＝3，则2a －b 与a ＋2b 的夹角的余弦值等于( )A.126B.－126C.112D.－112变式训练2 (2014·课标全国Ⅰ)已知A ，B ，C 为圆O 上的三点，若AO →＝12(AB →＋AC →)，则AB →与AC →的夹角为________.题型三 利用数量积求向量的模例3 (1)已知平面向量a 和b ，|a |＝1，|b |＝2，且a 与b 的夹角为120°，则|2a ＋b |等于( ) A.2 B.4 C.2 5D.6(2)已知直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠ADC ＝90°，AD ＝2，BC ＝1，P 是腰DC 上的动点，则|P A →＋3PB →|的最小值为________.变式训练3 (2015·浙江)已知e 1，e 2是平面单位向量，且e 1·e 2＝12.若平面向量b 满足b ·e 1＝b ·e 2＝1，则|b |＝________.高考题型精练1.(2015·山东)已知菱形ABCD 的边长为a ，∠ABC ＝60°，则BD →·CD →等于( ) A.－32a 2B.－34a 2C.34a 2 D.32a 2 2.(2014·浙江)记max{x ，y }＝⎩⎪⎨⎪⎧ x ，x ≥y ，y ，x <y ，min{x ，y }＝⎩⎪⎨⎪⎧y ，x ≥y ，x ，x <y ，设a ，b 为平面向量，则( )A.min{|a ＋b |，|a －b |}≤min{|a |，|b |}B.min{|a ＋b |，|a －b |}≥min{|a |，|b |}C.max{|a ＋b |2，|a －b |2}≤|a |2＋|b |2D.max{|a ＋b |2，|a －b |2}≥|a |2＋|b |23.(2015·湖南)已知点A ，B ，C 在圆x 2＋y 2＝1上运动，且AB ⊥BC .若点P 的坐标为(2,0)，则|P A →＋PB →＋PC →|的最大值为( ) A.6 B.7 C.8D.94.如图，在等腰直角△ABO 中，OA ＝OB ＝1，C 为AB 上靠近点A 的四等分点，过C 作AB 的垂线l ，P 为垂线上任一点，设OA →＝a ，OB →＝b ，OP →＝p ，则p ·(b －a )等于( )A.－12B.12C.－32D.325.在平面上，AB 1→⊥AB 2→，|OB 1→|＝|OB 2→|＝1，AP →＝AB 1→＋AB 2→.若|OP →|<12，则|OA →|的取值范围是( )A.(0，52] B.(52，72] C.(52，2] D.(72，2] 6.如图所示，△ABC 中，∠ACB ＝90°且AC ＝BC ＝4，点M 满足BM →＝3MA →，则CM →·CB →等于( )A.2B.3C.4D.67.(2014·安徽)设a ，b 为非零向量，|b |＝2|a |，两组向量x 1，x 2，x 3，x 4和y 1，y 2，y 3，y 4均由2个a 和2个b 排列而成.若x 1·y 1＋x 2·y 2＋x 3·y 3＋x 4·y 4所有可能取值中的最小值为4|a |2，则a 与b 的夹角为( ) A.2π3 B.π3 C.π6D.0 8.(2014·江苏)如图，在平行四边形ABCD 中，已知AB ＝8，AD ＝5，CP →＝3PD →，AP →·BP →＝2，则AB →·AD →的值是________.9.设非零向量a ，b 的夹角为θ，记f (a ，b )＝a cos θ－b sin θ.若e 1，e 2均为单位向量，且e 1·e 2＝32，则向量f (e 1，e 2)与f (e 2，－e 1)的夹角为________. 10.如图，在△ABC 中，O 为BC 中点，若AB ＝1，AC ＝3，〈AB →，AC →〉＝60°，则|OA →|＝________.11.已知向量a ＝(sin x ，34)，b ＝(cos x ，－1).当a ∥b 时，求cos 2x －sin 2x 的值；12.在△ABC 中，AC ＝10，过顶点C 作AB 的垂线，垂足为D ，AD ＝5，且满足AD →＝511DB →.(1)求|AB →－AC →|；(2)存在实数t ≥1，使得向量x ＝AB →＋tAC →，y ＝tAB →＋AC →，令k ＝x ·y ，求k 的最小值.平面向量数量积运算题型一 平面向量数量积的基本运算例1 (1)(2014·天津)已知菱形ABCD 的边长为2，∠BAD ＝120°，点E ，F 分别在边BC ，DC 上，BC ＝3BE ，DC ＝λDF .若AE →·AF →＝1，则λ的值为________.(2)已知圆O 的半径为1，P A ，PB 为该圆的两条切线，A ，B 为切点，那么P A →·PB →的最小值为( ) A.－4＋ 2 B.－3＋2 C.－4＋2 2 D.－3＋22答案 (1)2 (2)D 解析 (1)如图，AE →·AF →＝(AB →＋BE →)·(AD →＋DF →)＝(AB →＋13BC →)·(AD →＋1λDC →)＝AB →·AD →＋1λAB →·DC →＋13BC →·AD →＋13λBC →·DC →＝2×2×cos 120°＋1λ×2×2＋13×2×2＋13λ×2×2×cos 120°＝－2＋4λ＋43－23λ＝103λ－23，又∵AE →·AF →＝1， ∴103λ－23＝1，∴λ＝2. (2)方法一 设|P A →|＝|PB →|＝x ，∠APB ＝θ，则tan θ2＝1x，从而cos θ＝1－tan 2θ21＋tan 2θ2＝x 2－1x 2＋1.P A →·PB →＝|P A →|·|PB →|·cos θ ＝x 2·x 2－1x 2＋1＝x 4－x 2x 2＋1＝(x 2＋1)2－3(x 2＋1)＋2x 2＋1＝x 2＋1＋2x 2＋1－3≥22－3，当且仅当x 2＋1＝2，即x 2＝2－1时取等号，故P A →·PB →的最小值为22－3. 方法二 设∠APB ＝θ，0<θ<π， 则|P A →|＝|PB →|＝1tan θ2.P A →·PB →＝|P A →||PB →|cos θ ＝(1tan θ2)2cos θ ＝cos 2θ2sin 2θ2·(1－2sin 2θ2)＝(1－sin 2θ2)(1－2sin 2θ2)sin 2θ2.令x ＝sin 2θ2，0<x ≤1，则P A →·PB →＝(1－x )(1－2x )x＝2x ＋1x－3≥22－3，当且仅当2x ＝1x ，即x ＝22时取等号.故P A →·PB →的最小值为22－3.方法三 以O 为坐标原点，建立平面直角坐标系xOy ， 则圆O 的方程为x 2＋y 2＝1， 设A (x 1，y 1)，B (x 1，－y 1)，P (x 0,0)，则P A →·PB →＝(x 1－x 0，y 1)·(x 1－x 0，－y 1)＝x 21－2x 1x 0＋x 20－y 21. 由OA ⊥P A ⇒OA →·P A →＝(x 1，y 1)·(x 1－x 0，y 1)＝0⇒x 21－x 1x 0＋y 21＝0， 又x 21＋y 21＝1，所以x 1x 0＝1.从而P A →·PB →＝x 21－2x 1x 0＋x 20－y 21＝x 21－2＋x 20－(1－x 21) ＝2x 21＋x 20－3≥22－3.故P A →·PB →的最小值为22－3.点评 (1)平面向量数量积的运算有两种形式：一是依据长度和夹角，二是利用坐标运算，具体应用哪种形式由已知条件的特征来选择.注意两向量a ，b 的数量积a ·b 与代数中a ，b 的乘积写法不同，不应该漏掉其中的“·”.(2)向量的数量积运算需要注意的问题：a·b ＝0时得不到a ＝0或b ＝0，根据平面向量数量积的性质有|a |2＝a 2，但|a·b |≤|a |·|b |.变式训练1 (2015·湖北)已知向量OA →⊥AB →，|OA →|＝3，则OA →·OB →＝________. 答案 9解析 因为OA →⊥AB →，所以OA →·AB →＝0.所以OA →·OB →＝OA →·(OA →＋AB →)＝OA →2＋OA →·AB →＝|OA →|2＋0＝32＝9.题型二 利用平面向量数量积求两向量夹角 例2 (1)(2015·重庆)若非零向量a ，b 满足|a |＝223|b |，且(a －b )⊥(3a ＋2b )，则a 与b 的夹角为( ) A.π4 B.π2 C.3π4D.π(2)若平面向量a 与平面向量b 的夹角等于π3，|a |＝2，|b |＝3，则2a －b 与a ＋2b 的夹角的余弦值等于( ) A.126 B.－126C.112D.－112答案 (1)A (2)B解析 (1)由(a －b )⊥(3a ＋2b )得(a －b )·(3a ＋2b )＝0，即3a 2－a·b －2b 2＝0.又∵|a |＝223|b |，设〈a ，b 〉＝θ，即3|a |2－|a |·|b |·cos θ－2|b |2＝0， ∴83|b |2－223|b |2·cos θ－2|b |2＝0. ∴cos θ＝22.又∵0≤θ≤π，∴θ＝π4. (2)记向量2a －b 与a ＋2b 的夹角为θ， 又(2a －b )2＝4×22＋32－4×2×3×cos π3＝13，(a ＋2b )2＝22＋4×32＋4×2×3×cos π3＝52，(2a －b )·(a ＋2b )＝2a 2－2b 2＋3a ·b ＝8－18＋9＝－1，故cos θ＝(2a －b )·(a ＋2b )|2a －b |·|a ＋2b |＝－126，即2a －b 与a ＋2b 的夹角的余弦值是－126.点评 求向量的夹角时要注意：(1)向量的数量积不满足结合律，(2)数量积大于0说明不共线的两向量的夹角为锐角，数量积等于0说明两向量的夹角为直角，数量积小于0且两向量不能共线时两向量的夹角为钝角.变式训练2 (2014·课标全国Ⅰ)已知A ，B ，C 为圆O 上的三点，若AO →＝12(AB →＋AC →)，则AB →与AC →的夹角为________. 答案 90°解析 ∵AO →＝12(AB →＋AC →)，∴点O 是△ABC 中边BC 的中点，∴BC 为直径，根据圆的几何性质得AB →与AC →的夹角为90°. 题型三 利用数量积求向量的模例3 (1)已知平面向量a 和b ，|a |＝1，|b |＝2，且a 与b 的夹角为120°，则|2a ＋b |等于( ) A.2 B.4 C.2 5D.6(2)已知直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠ADC ＝90°，AD ＝2，BC ＝1，P 是腰DC 上的动点，则|P A →＋3PB →|的最小值为________. 答案 (1)A (2)5解析 (1)因为平面向量a 和b ，|a |＝1，|b |＝2，且a 与b 的夹角为120°， 所以|2a ＋b |＝(2a )2＋b 2＋2×|2a |×|b |cos 120° ＝22×12＋22＋2×2×1×2×⎝⎛⎭⎫－12＝2. (2)方法一 以D 为原点，分别以DA 、DC 所在直线为x 、y 轴建立如图所示的平面直角坐标系，设DC ＝a ，DP ＝x .∴D (0,0)，A (2,0)，C (0，a )，B (1，a )，P (0，x )， P A →＝(2，－x )，PB →＝(1，a －x )， ∴P A →＋3PB →＝(5,3a －4x )， |P A →＋3PB →|2＝25＋(3a －4x )2≥25，∴|P A ＋3PB |的最小值为5. 方法二 设DP →＝xDC →(0<x <1)， ∴PC →＝(1－x )DC →， P A →＝DA →－DP →＝DA →－xDC →， PB →＝PC →＋CB →＝(1－x )DC →＋12DA →，∴P A →＋3PB →＝52DA →＋(3－4x )DC →，|P A →＋3PB →|2＝254DA →2＋2×52×(3－4x )DA →·DC →＋(3－4x )2·DC →2＝25＋(3－4x )2DC →2≥25，∴|P A →＋3PB →|的最小值为5.点评 (1)把几何图形放在适当的坐标系中，给有关向量赋以具体的坐标求向量的模，如向量a ＝(x ，y )，求向量a 的模只需利用公式|a |＝x 2＋y 2即可求解.(2)向量不放在坐标系中研究，求解此类问题的方法是利用向量的运算法则及其几何意义或应用向量的数量积公式，关键是会把向量a 的模进行如下转化：|a |＝a 2.变式训练3 (2015·浙江)已知e 1，e 2是平面单位向量，且e 1·e 2＝12.若平面向量b 满足b ·e 1＝b ·e 2＝1，则|b |＝________. 答案233解析 因为|e 1|＝|e 2|＝1且e 1·e 2＝12.所以e 1与e 2的夹角为60°.又因为b ·e 1＝b ·e 2＝1，所以b ·e 1－b ·e 2＝0，即b ·(e 1－e 2)＝0，所以b ⊥(e 1－e 2).所以b 与e 1的夹角为30°，所以b ·e 1＝|b |·|e 1|cos 30°＝1. 所以|b |＝233. 高考题型精练1.(2015·山东)已知菱形ABCD 的边长为a ，∠ABC ＝60°，则BD →·CD →等于( ) A.－32a 2B.－34a 2C.34a 2 D.32a 2解析 如图所示，由题意，得BC ＝a ，CD ＝a ，∠BCD ＝120°.BD 2＝BC 2＋CD 2－2BC ·CD ·cos 120°＝a 2＋a 2－2a ·a ×⎝⎛⎭⎫－12＝3a 2， ∴BD ＝3a .∴BD →·CD →＝|BD →||CD →|cos 30°＝3a 2×32＝32a 2.2.(2014·浙江)记max{x ，y }＝⎩⎪⎨⎪⎧ x ，x ≥y ，y ，x <y ，min{x ，y }＝⎩⎪⎨⎪⎧y ，x ≥y ，x ，x <y ，设a ，b 为平面向量，则( ) A.min{|a ＋b |，|a －b |}≤min{|a |，|b |} B.min{|a ＋b |，|a －b |}≥min{|a |，|b |} C.max{|a ＋b |2，|a －b |2}≤|a |2＋|b |2 D.max{|a ＋b |2，|a －b |2}≥|a |2＋|b |2 答案 D解析 由于|a ＋b |，|a －b |与|a |，|b |的大小关系与夹角大小有关，故A ，B 错.当a ，b 夹角为锐角时，|a ＋b |>|a －b |，此时，|a ＋b |2>|a |2＋|b |2；当a ，b 夹角为钝角时，|a ＋b |<|a －b |，此时，|a －b |2>|a |2＋|b |2；当a ⊥b 时，|a ＋b |2＝|a －b |2＝|a |2＋|b |2，故选D.3.(2015·湖南)已知点A ，B ，C 在圆x 2＋y 2＝1上运动，且AB ⊥BC .若点P 的坐标为(2,0)，则|P A →＋PB →＋PC →|的最大值为( ) A.6 B.7 C.8D.9解析 ∵A ，B ，C 在圆x 2＋y 2＝1上，且AB ⊥BC ，∴AC 为圆直径，故P A →＋PC →＝2PO →＝(－4,0)，设B (x ，y )，则x 2＋y 2＝1且x ∈[－1,1]，PB →＝(x －2，y )，∴P A →＋PB →＋PC →＝(x －6，y ).故|P A →＋PB →＋PC →|＝－12x ＋37，∴x ＝－1时有最大值49＝7，故选B.4.如图，在等腰直角△ABO 中，OA ＝OB ＝1，C 为AB 上靠近点A 的四等分点，过C 作AB 的垂线l ，P 为垂线上任一点，设OA →＝a ，OB →＝b ，OP →＝p ，则p ·(b －a )等于( )A.－12B.12C.－32D.32答案 A解析 以OA ，OB 所在直线分别作为x 轴，y 轴，O 为坐标原点建立平面直角坐标系， 则A (1,0)，B (0,1)，C (34，14)，直线l 的方程为y －14＝x －34，即x －y －12＝0.设P (x ，x －12)，则p ＝(x ，x －12)，而b －a ＝(－1,1)，所以p ·(b －a )＝－x ＋(x －12)＝－12.5.在平面上，AB 1→⊥AB 2→，|OB 1→|＝|OB 2→|＝1，AP →＝AB 1→＋AB 2→.若|OP →|<12，则|OA →|的取值范围是( )A.(0，52] B.(52，72] C.(52，2] D.(72，2] 答案 D解析 由题意，知B 1，B 2在以O 为圆心的单位圆上，点P 在以O 为圆心，12为半径的圆的内部.又AB 1→⊥AB 2→，AP →＝AB 1→＋AB 2→， 所以点A 在以B 1B 2为直径的圆上， 当P 与O 点重合时，|OA →|取得最大值2，当P 在半径为12的圆周上时，|OA →|取得最小值72，故选D.6.如图所示，△ABC 中，∠ACB ＝90°且AC ＝BC ＝4，点M 满足BM →＝3MA →，则CM →·CB →等于( )A.2B.3C.4D.6答案 C解析 在△ABC 中，因为∠ACB ＝90°且AC ＝BC ＝4，所以AB ＝42，且B ＝A ＝45°.因为BM →＝3MA →，所以BM →＝34BA →.所以CM →·CB →＝(CB →＋BM →)·CB →＝CB →2＋BM →·CB →＝CB →2＋34BA →·CB →＝16＋34×42×4cos 135°＝4.7.(2014·安徽)设a ，b 为非零向量，|b |＝2|a |，两组向量x 1，x 2，x 3，x 4和y 1，y 2，y 3，y 4均由2个a 和2个b 排列而成.若x 1·y 1＋x 2·y 2＋x 3·y 3＋x 4·y 4所有可能取值中的最小值为4|a |2，则a 与b 的夹角为( ) A.2π3 B.π3 C.π6 D.0 答案 B解析 设a 与b 的夹角为θ，由于x i ，y i (i ＝1,2,3,4)均由2个a 和2个b 排列而成，记S ＝ i ＝14(x i ·y i )，则S 有以下三种情况：①S ＝2a 2＋2b 2；②S ＝4a ·b ；③S ＝|a |2＋2a ·b ＋|b |2.∵|b |＝2|a |，∴①中S ＝10|a |2，②中S ＝8|a |2cos θ，③中S ＝5|a |2＋4|a |2cos θ.易知②最小，即8|a |2cos θ＝4|a |2，∴cos θ＝12，可求θ＝π3，故选B.8.(2014·江苏)如图，在平行四边形ABCD 中，已知AB ＝8，AD ＝5，CP →＝3PD →，AP →·BP →＝2，则AB →·AD →的值是________.答案 22解析 由CP →＝3PD →，得DP →＝14DC →＝14AB →，AP →＝AD →＋DP →＝AD →＋14AB →，BP →＝AP →－AB →＝AD →＋14AB→－AB →＝AD →－34AB →.因为AP →·BP →＝2，所以(AD →＋14AB →)·(AD →－34AB →)＝2，即AD →2－12AD →·AB →－316AB →2＝2.又因为AD →2＝25，AB →2＝64，所以AB →·AD →＝22.9.设非零向量a ，b 的夹角为θ，记f (a ，b )＝a cos θ－b sin θ.若e 1，e 2均为单位向量，且e 1·e 2＝32，则向量f (e 1，e 2)与f (e 2，－e 1)的夹角为________. 答案 π2解析 由e 1·e 2＝32，可得cos 〈e 1，e 2〉＝e 1·e 2|e 1||e 2|＝32， 故〈e 1，e 2〉＝π6，〈e 2，－e 1〉＝π－〈e 2，e 1〉＝5π6.f (e 1，e 2)＝e 1cos π6－e 2sin π6＝32e 1－12e 2，f (e 2，－e 1)＝e 2cos5π6－(－e 1)sin 5π6＝12e 1－32e 2.f (e 1，e 2)·f (e 2，－e 1)＝(32e 1－12e 2)·(12e 1－32e 2)＝32－e 1·e 2＝0， 所以f (e 1，e 2)⊥f (e 2，－e 1).故向量f (e 1，e 2)与f (e 2，－e 1)的夹角为π2.10.如图，在△ABC 中，O 为BC 中点，若AB ＝1，AC ＝3，〈AB →，AC →〉＝60°，则|OA →|＝________.答案132解析 因为〈AB →，AC →〉＝60°，所以AB →·AC →＝|AB →|·|AC →|cos 60°＝1×3×12＝32，又AO →＝12(AB →＋AC →)，所以AO →2＝14(AB →＋AC →)2＝14(AB →2＋2AB →·AC →＋AC →2)，即AO →2＝14(1＋3＋9)＝134，所以|OA →|＝132.11.已知向量a ＝(sin x ，34)，b ＝(cos x ，－1).(1)当a ∥b 时，求cos 2x －sin 2x 的值；(2)设函数f (x )＝2(a ＋b )·b ，已知在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若a ＝3，b ＝2，sin B ＝63，求f (x )＋4cos(2A ＋π6)(x ∈[0，π3])的取值范围. 解 (1)因为a ∥b ，所以34cos x ＋sin x ＝0.所以tan x ＝－34.故cos 2x －sin 2x ＝cos 2x －2sin x cos xsin 2x ＋cos 2x＝1－2tan x 1＋tan 2x ＝85.(2)f (x )＝2(a ＋b )·b＝2(sin x ＋cos x ，－14)·(cos x ，－1)＝sin 2x ＋cos 2x ＋32＝2sin(2x ＋π4)＋32.由正弦定理，得a sin A ＝bsin B ，所以sin A ＝a sin Bb＝3×632＝22. 所以A ＝π4或A ＝3π4.因为b >a ，所以A ＝π4.所以f (x )＋4cos(2A ＋π6)＝2sin(2x ＋π4)－12.因为x ∈[0，π3]，所以2x ＋π4∈[π4，11π12].所以32－1≤f (x )＋4cos(2A ＋π6)≤2－12. 所以f (x )＋4cos(2A ＋π6)的取值范围为[32－1，2－12].12.在△ABC 中，AC ＝10，过顶点C 作AB 的垂线，垂足为D ，AD ＝5，且满足AD →＝511DB →.(1)求|AB →－AC →|；(2)存在实数t ≥1，使得向量x ＝AB →＋tAC →，y ＝tAB →＋AC →，令k ＝x ·y ，求k 的最小值. 解 (1)由AD →＝511DB →，且A ，B ，D 三点共线，可知|AD →|＝511|DB →|.又AD ＝5，所以DB ＝11.在Rt △ADC 中，CD 2＝AC 2－AD 2＝75， 在Rt △BDC 中，BC 2＝DB 2＋CD 2＝196， 所以BC ＝14.所以|AB →－AC →|＝|CB →|＝14.(2)由(1)，知|AB →|＝16，|AC →|＝10，|BC →|＝14. 由余弦定理，得cos A ＝102＋162－1422×10×16＝12.由x ＝AB →＋tAC →，y ＝tAB →＋AC →， 知k ＝x ·y＝(AB →＋tAC →)·(tAB →＋AC →) ＝t |AB →|2＋(t 2＋1)AC →·AB →＋t |AC →|2＝256t ＋(t 2＋1)×16×10×12＋100t＝80t 2＋356t ＋80.由二次函数的图象，可知该函数在[1，＋∞)上单调递增， 所以当t ＝1时，k 取得最小值516.。

第18讲 向量的数量积问题一．解答题（共16小题）1．已知圆22:2O x y +=交抛物线2:2(0)C y px p =>的准线于M ，N 两点(M 点在上方），且OM ON ⊥．（1）求抛物线C 的方程；（2）过抛物线C 的焦点F 的直线l 与抛物线交于A ，B 两点，若MA MB ⊥，求直线l 的斜率．2．已知抛物线C 的焦点在x 轴上，顶点在原点且过点(2,1)p ，过点(2,0)的直线l 交抛物线C 于A ，B 两点，M 是线段AB 的中点，过点M 作y 轴的垂线交C 于点N ．（1）求抛物线C 的方程；（2）是否存在直线l ，使得以AB 为直径的圆M 经过点N ？若存在，求出直线l 的方程；若不存在，说明理由．3．已知抛物线2:2(0)C y px p =>过点(1,2)A -． （1）求抛物线C 的标准方程，并求其准线方程；（2）是否存在平行于(OA O 为坐标原点）的直线l ，使得直线OA 与l 在，求直线l 的方程，若不存在，说明理由．（3）过抛物线C 的焦点F 作两条斜率存在且互相垂直的直线1l ，2l ，设1l 与抛物线C 相交于点M ，N ，2l 与抛物线C 相交于点D ，E ，求MD NE ⋅的最小值．4．已知(2,2)E 是抛物线2:2C y px =上一点，经过点(2,0)D 的直线l 与抛物线C 交于A ，B 两点（不同于点)E ，直线EA ，EB 分别交直线2x =-于点M ，N （1）求抛物线方程及其焦点坐标，准线方程； （2）已知O 为原点，求证：MON ∠为定值．5．已知抛物线2:2(0)C x py p =>的焦点为(0,1)F ，过点F 作直线l 交抛物线C 于A ，B 两点．椭圆E 的中心在原点，焦点在x 轴上，点F 是它的一个顶点，且其离心率e =． （1）分别求抛物线C 和椭圆E 的方程；（2）经过A ，B 两点分别作抛物线C 的切线1l ，2l ，切线1l 与2l 相交于点M ．证明：AB MF ⊥； （3）椭圆E 上是否存在一点M '，经过点M '作抛物线C 的两条切线M A ''，(M B A '''，B '为切点），使得直线A B ''过点F ？若存在，求出点M '及两切线方程，若不存在，试说明理由．6．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，点P 在椭圆C 上，且满足2210PF F F ⋅=． （1）求椭圆C 的标准方程；（2）设直线:l y kx m =+与椭圆C 交于不同的两点M ，N ，且(OM ON O ⊥为坐标原点）．证明：总存在一个确定的圆与直线l 相切，并求该圆的方程．7．设A ，B 为双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左、右顶点，直线l 过右焦点F 且与双曲线C 的右支交于M ，N 两点，当直线l 垂直于x 轴时，AMN ∆为等腰直角三角形． （1）求双曲线C 的离心率；（2）若双曲线左支上任意一点到右焦点F 点距离的最小值为3， （ⅰ）求双曲线方程；（ⅱ）已知直线AM ，AN 分别交直线2ax =于P ，Q 两点，当直线l 的倾斜角变化时，以PQ 为直径的圆是否过x 由．8．已知1F ，2F 是椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右焦点圆22212:(||2)O x y c F F c +==与椭圆有且仅有两个公共点，点在椭圆上． （1）求椭圆C 的标准方程；（2）设直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点，已知1(0,)4M ，若MA MB ⋅为定值，则直线是否经过定点？若经过，求出定点坐标和定值；若不经过，请说明理由．9．设双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，双曲线C 的左、右准线与其一条渐近线2y x =的交点分别为A ，B ，四边形12AF BF 的面积为4． （1）求双曲线C 的方程； （2）已知l 为圆224:3O x y +=的切线，且与C 相交于P ，Q 两点，求OP OQ ⋅．10．已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b +=>>的离心率为12，以E 的四个顶点为顶点的四边形的面积为（Ⅰ）求椭圆E 的方程；（Ⅱ）设A ，B 分别为椭圆E 的左、右顶点，P 是直线4x =上不同于点(4,0)的任意一点，若直线AP ，BP 分别与椭圆相交于异于A ，B 的点M 、N ，试探究，点B 是否在以MN 为直径的圆内？证明你的结论．11．已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>过点，且离心率e ．（1）求椭圆E 的方程；（2）设直线1()x my m R =-∈交椭圆E 于A ，B 两点，判断点9(,0)4G -与以线段AB 为直径的圆的位置关系，并说明理由．12．已知圆22:0G x y x +--=，经过椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的右焦点F 及上顶点B ，过圆外一点(m ，0)()m a >倾斜角为34π的直线l 交椭圆于C ，D 两点． （1）求椭圆的方程；（2）若右焦点F 在以线段CD 为直径的圆E 的内部，求m 的取值范围．13．设A ，B 分别为椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左、右顶点，椭圆的长轴长为4，且点在该椭圆上． （Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）设P 为直线4x =上不同于点(4,0)的任意一点，若直线AP 与椭圆相交于异于A 的点M ，证明：MBP ∆为钝角三角形．14．设A ，B 分别为椭圆22221(,0)x y a b a b+=>的左、右顶点，椭圆长半轴的长等于焦距，且4x =为它的右准线． （Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）设P 为右准线上不同于点(4,0)的任意一点，若直线AP ，BP 分别与椭圆相交于异于A ，B 的点M 、N ，证明点B 在以MN 为直径的圆内．15．设A ，B 分别为椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左右顶点，椭圆长半轴的长等于焦距，且直线4x =是它的右准线． （Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）设P 为椭圆右准线上不同于点(4,0)的任意一点，若直线BP 于椭圆相交于两点B ，N ，求证：NAP ∠为锐角．16．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，上顶点为B ，若△12BF F 的周长为6，且离心率12e =． （Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）设1A ，2A 是椭圆C 长轴的两个端点，点P 是椭圆C 上不同于1A ，2A 的任意一点，直线1A P 交直线14x =于点M ，求证：以MP 为直径的圆过点2A ．第18讲 向量的数量积问题参考答案与试题解析一．解答题（共16小题）1．已知圆22:2O x y +=交抛物线2:2(0)C y px p =>的准线于M ，N 两点(M 点在上方），且OM ON ⊥．（1）求抛物线C 的方程；（2）过抛物线C 的焦点F 的直线l 与抛物线交于A ，B 两点，若MA MB ⊥，求直线l 的斜率．【解答】解：（1）由题意可得22p⋅=2p =， 所以抛物线C 的方程为24y x =． （2）由（1）可知焦点F 的坐标为(1,0)， 当直线l 的斜率不存在时，直线l 的方程为1x =， 所以(1,2)A ，(1,2)B -，抛物线的准线方程为1x =-，联立圆O 的方程222x y +=，所以(1,1)M -，所以(2,1)MA =，(2,3)MB =-， 所以1MA MB ⋅=， 不满足MA MB ⊥，所以直线l 的斜率不存在不满足条件．当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为(1)y k x =-， 由2(1)4y k x y x=-⎧⎨=⎩，得2222(24)0k x k x k -++=， 设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，则212224k x x k ++=，121x x =，则124y y k+=，124y y =-， 又(1,1)M -，所以1(1MA MB x ⋅=+，121)(1y x -⋅+，22)y - 12121212()1x x x x y y y y =+++-++2224411410k k k+=++--+=，解得2k =，所以直线l 的斜率为2．2．已知抛物线C 的焦点在x 轴上，顶点在原点且过点(2,1)p ，过点(2,0)的直线l 交抛物线C 于A ，B 两点，M 是线段AB 的中点，过点M 作y 轴的垂线交C 于点N ．（1）求抛物线C 的方程；（2）是否存在直线l ，使得以AB 为直径的圆M 经过点N ？若存在，求出直线l 的方程；若不存在，说明理由．【解答】解：（1）由题意可设抛物线C 的方程为22y px =，而(2,1)P 在抛物线上， 14p ∴=，即14p =， ∴抛物线C 的方程为：212y x =． （2）由题意可设:2l x ty =+，代入212y x =，得：2220y ty --=， 设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，则121y y =-，122t y y +=，212121212(2)(2)2()44x x ty ty t y y t y y ∴=++=+++=，2121212(2)(2)()442t x x ty ty t y y +=+++=++=+，2(8t N ∴，)4t ，21(8t NA x =-，1)4t y -，22(8t NB x =-，2)4t y -，若以AB 为直径的圆M 经过点N ，则221212()()()()08844t t t tNA NB x x y y =--+--=，24212121212()()0864416t t t t x x x x y y y y ∴-+++-++=，4212640t t ∴+-=，即24t =，2t =±． ∴存在直线l ，l 的方程：22x y =±+．3．已知抛物线2:2(0)C y px p =>过点(1,2)A -． （1）求抛物线C 的标准方程，并求其准线方程；（2）是否存在平行于(OA O 为坐标原点）的直线l ，使得直线OA 与l 在，求直线l 的方程，若不存在，说明理由．（3）过抛物线C 的焦点F 作两条斜率存在且互相垂直的直线1l ，2l ，设1l 与抛物线C 相交于点M ，N ，2l 与抛物线C 相交于点D ，E ，求MD NE ⋅的最小值． 【解答】解：（1）将(1,2)-代入22y px =，得2(2)21p -=⨯，解得2p =． 故所求抛物线C 的方程为24y x =，其准线方程为1x =-． （2）假设存在符合题意的直线l ，其方程为2y x t =-+， 由224y x ty x=-+⎧⎨=⎩得2220y y t +-=． 直线l 与抛物线C 有公共点， ∴△480t =+，解得12t -，由直线OA 与l 的距离d =，解得1t =±． 11[,)2-∉-+∞，11[,)2∈-+∞，∴符合题意的直线l 存在，其方程为210x y +-=．（3）由题意可知：设1(M x ，1)y ，2(N x ，2)y ，设直线1l 的斜率为0k ≠，则1l 的方程为(1)y k x =-，联立2(1)4y k x y x =-⎧⎨=⎩，得2222(24)0k x k x k -++=，∴212224k x x k ++=，121x x =．12l l ⊥，∴直线2l 的斜率为1k -，方程为1(1)y x k =--，设3(D x ，3)y ，4(B x ，4)y ．联立21(1)4y x ky x ⎧=--⎪⎨⎪=⎩，化为22(24)10x k x -++=， ∴23424x x k +=+，341x x =．∴()()MD NE MF FD NF FE ⋅=+⋅+MF NF MF FE FD NF FD FE =⋅+⋅+⋅+⋅ ||||||||MF FN EF FD =+1234(1)(1)(1)(1)x x x x =+++++121234342x x x x x x x x =++++++224121242k k=++++++22184()84216k k =+++⨯，当且仅当1k =±时取等号． ∴当1k =±时，MD NE ⋅的最小值为16．4．已知(2,2)E 是抛物线2:2C y px =上一点，经过点(2,0)D 的直线l 与抛物线C 交于A ，B 两点（不同于点)E ，直线EA ，分别交直线2x =-于点M ，N （1）求抛物线方程及其焦点坐标，准线方程； （2）已知O 为原点，求证：MON ∠为定值． 【解答】解：（1）将(2,2)E 代入22y px =，得1p =，∴抛物线方程为22y x =，焦点坐标为1(2，0)，准线方程12x =-；．⋯（3分）（2）证明：设21(2y A ，1)y ，22(2y B ，2)y ，(M M x ，)M y ，(N N x ，)N y ，因为直线l 不经过点E ，则直线l 的斜率存在， 设直线l 方程为(2)y k x =-，与抛物线方程联立得到2(2)2y k x y x=-⎧⎨=⎩，消去x ，整理得：2240ky y k --=，则由韦达定理得：122y y k+=，124y y =-，⋯（6分）直线AE 的方程为：12122(2)22y y x y --=--， 即12(2)22y x y =-++， 令2x =-，得11242M y y y -=+，⋯（9分） 同理可得：22242N y y y -=+，⋯（10分）又(2,)M OM y =-，(2,)N ON y =-，则121224244422M N y y OM ON y y y y --=+=+⨯++， 1212121244(44)4[2()4]4404[2()4]44y y y y k y y y y k--+-++=+=+=⋯+++-++（13分）OM ON ∴⊥，即MON ∠为定值2π．⋯（14分）． 方法二：证明：设21(2y A ，1)y ，22(2y B ，2)y ，(M M x ，)M y ，(N N x ，)N y ，设直线l 方程为2x my =+，于抛物线方程联立得222x my y x=+⎧⎨=⎩，整理得：2240y my --=，则由韦达定理得：122y y m +=，124y y =-，⋯（6分） 直线AE 的方程为：12122(2)22y y x y --=--， 即12(2)22y x y =-++， 令2x =-，得11242M y y y -=+，⋯（9分） 同理可得：22242N y y y -=+，⋯（10分）又(2,)M OM y =-，(2,)N ON y =-，则121224244422M N y y OM ON y y y y --=+=+⨯++， 121212124[2()4]4(424)440[2()4]424y y y y m y y y y m -++--+=+=+=⋯+++-++（13分）OM ON ∴⊥，即MON ∠为定值2π．⋯（14分） 5．已知抛物线2:2(0)C x py p =>的焦点为(0,1)F ，过点F 作直线l 交抛物线C 于A ，B 两点．椭圆E 的中心在原点，焦点在x 轴上，点F 是它的一个顶点，且其离心率e =． （1）分别求抛物线C 和椭圆E 的方程；（2）经过A ，B 两点分别作抛物线C 的切线1l ，2l ，切线1l 与2l 相交于点M ．证明：AB MF ⊥； （3）椭圆E 上是否存在一点M '，经过点M '作抛物线C 的两条切线M A ''，(M B A '''，B '为切点），使得直线A B ''过点F ？若存在，求出点M '及两切线方程，若不存在，试说明理由．【解答】解：（1）抛物线2:2C x py = (0)p >的焦点为(0,1)F ， 可得12p=，解得2p =， 可得抛物线C 的方程为24x y =；设椭圆E 的方程为22221x y a b+= (0)a >，半焦距为c ．由已知可得：c e a ==，1b =，222a b c -=， 解得2a =，1b =．所以椭圆E 的方程为2214x y +=；（2）证明：显然直线l 的斜率存在，否则直线l 与抛物线C 只有一个交点，不合题意， 故可设直线l 的方程为1y kx =+， 设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y 12()x x ≠，代入抛物线方程24x y =，消去y 并整理得2440x kx --=，124x x ∴=-． 抛物线C 的方程为214y x =，求导得12y x '=，∴过抛物线C 上A 、B 两点的切线方程分别是1111()2y y x x x -=-，2221()2y y x x x -=-， 即2111124y x x x =-，2221124y x x x =-， 解得两条切线1l ，2l 的交点M 的坐标为12(2x x +，12)4x x ，即12(2x x M +，1)-， 12(2x x FM AB +=，212)(x x --，2222212121111)()2()0244y y x x x x -=---=， AB MF ∴⊥．（3）假设存在点M '满足题意，由（2）知点M '必在直线1y =-上， 又直线1y =-与椭圆E 有唯一交点，故M '的坐标为(0,1)M '-， 设过点M '且与抛物线C 相切的切线方程为0001()2y y x x x -=-，其中点0(x ，0)y 为切点． 令0x =，1y =-，得2000111(0)42x x x --=-，解得02x =或02x =-，故不妨取(2,1)A '-，(2,1)B '，即直线A B ''过点F ． 综上所述，椭圆E 上存在一点(0,1)M '-，经过点M '作抛物线C 的两条切线M A ''、(M B A '''、B '为切点），能使直线A B ''过点F ． 此时，两切线的方程分别为1y x =--和1y x =-．6．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，点P 在椭圆C 上，且满足2210PF F F ⋅=． （1）求椭圆C 的标准方程；（2）设直线:l y kx m =+与椭圆C 交于不同的两点M ，N ，且(OM ON O ⊥为坐标原点）．证明：总存在一个确定的圆与直线l 相切，并求该圆的方程．【解答】解：（1）满足2210PF F F ⋅=，可得P 的横坐标为c ，纵坐标为2b a ，再由P ，可得2c ==，2b a解得28a =，24b =，所以椭圆的方程为：22184x y +=； （2）证明：设1(M x ，1)y ，2(N x ，2)y ，联立2228y kx mx y =+⎧⎨+=⎩，整理可得：222(12)4280k x mkx m +++-=，则122412mkx x k +=-+，21222812m x x k -=+，2222222121212222(28)48()121212k m mk m k y y k x x km x x m km m k k k ---=+++=+⋅+=+++， 因为OM ON ⊥，即0OM ON ⋅=， 则12120x x y y +=，即2222228801212m m k k k --+=++， 可得22388m k =+，原点O 到直线l 的距离d === 所以可证：存在一个确定的圆2283x y +=与直线l 相切．7．设A ，B 为双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左、右顶点，直线l 过右焦点F 且与双曲线C 的右支交于M ，N 两点，当直线l 垂直于x 轴时，AMN ∆为等腰直角三角形． （1）求双曲线C 的离心率；（2）若双曲线左支上任意一点到右焦点F 点距离的最小值为3， （ⅰ）求双曲线方程；（ⅱ）已知直线AM ，AN 分别交直线2ax =于P ，Q 两点，当直线l 的倾斜角变化时，以PQ 为直径的圆是否过x 轴上的定点，若过定点，求出定点的坐标；若不过定点，请说明理由．【解答】解：（1）由l x ⊥轴时，AMN ∆为等腰直角三角形， 可得||||||AF NF MF ==，所以2b ac a+=，即2220c ac a --=， 故220e e --=， 因为1e >， 解得2e =，故双曲线C 的离心率为2；（2）()i 由双曲线的几何性质可知双曲线左顶点到右焦点F 的距离最小， 最小距离为a c +， 即3a c +=，又2ce a==， 所以1a =，2c =， 所以2223b c a =-=，所以双曲线的方程为：2213y x -=，()ii 由题知直线l 的斜率不为0，设直线:2l x my =+， 1(M x ，1)y ，2(N x ，2)y ，联立直线l 与双曲线的方程得22213x my y x =+⎧⎪⎨-=⎪⎩，化简得，22(31)1290m y my -++=，根据根与系数的关系得，1221231m y y m +=--，122931y y m =-，① 所以121224()431x x m y y m -+=++=-，②221212122342()431m x x m y y m y y m --=+++=-，③ 设直线11:(1)1y AM y x x =++， 直线22:(1)1y AN y x x =++， 令12x =，可得1(2P ，113)2(1)y x +，1(2Q ，223)2(1)y x +， 设(,)G x y 是以PQ 为直径的圆上的任意一点， 则0PG QG ⋅=，则以PQ 为直径的圆的方程为：21212331()[][]022(1)2(1)y y x y y x x -+--=++， 由对称性可得，若存在定点，则一定在x 轴上， 令0y =，可得21212331()022(1)2(1)y y x x x -+⋅=++，即212121291()024[()1]y y x x x x x -+=+++，将①②③代入，可得2222299131()034424(1)3131m x m m m ⨯--+=---++--， 即219()24x -=，解得1x =-或2，所以以PQ 为直径的圆过定点(1,0)-，(2,0)．8．已知1F ，2F 是椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右焦点圆22212:(||2)O x y c F F c +==与椭圆有且仅有两个公共点，点在椭圆上． （1）求椭圆C 的标准方程；（2）设直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点，已知1(0,)4M ，若MA MB ⋅为定值，则直线是否经过定点？若经过，求出定点坐标和定值；若不经过，请说明理由．【解答】解：（1）因为圆22212:(||2)O x y c F F c +==与椭圆C 有且仅有两个公共点， 所以b c =，由题意，得2222213124b ca b a b c=⎧⎪⎪+=⎨⎪=+⎪⎩，解得22a =，21b =，所以椭圆C 的标准方程为2212x y +=．（2）当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为y kx m =+，联立2212x y y kx m ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，得222(21)42(1)0k x kmx m +++-=，所以△222222164(21)2(1)8(21)0k m k m k m =-+⋅-=-+>， 设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，由根与系数的关系可得，122421kmx x k -+=+，21222(1)21m x x k -=+， 而1(MA x =，11)4y -，2(MB x =，21)4y -，所以121211()()44MA MB x x y y ⋅=+--121211()()44x x kx m kx m =++-+-22121211(1)()()()44k x x k m x x m =++-++-222222(1)141(1)()()214214m km k k m m k k --=+⋅+-⋅+-++ 2222221111{[2(1)4()2()][2(1)()]}21444m m m m k m m k =---+-+-+-+ 22215131(3)821621k m m k -+--=+， 由MA MB ⋅为定值，可得2151313821621m m ---=，即2620m m --=， 解得12m =-或23m =（满足△0)>，所以直线l 的方程为12y kx =-或23y kx =+， 所以直线l 过定点1(0,)2-或2(0,)3，此时定值为1516-，当直线l 的斜率不存在时，设直线l 的方程为x n =，不妨令(A n，(,B n ，则2221153(1)162162n n MA MB n ⋅=+--=-+，又MA MB ⋅为定值，所以0n =， 直线l 的方程为0x =，此时直线l 过点1(0,)2-，2(0,)3，1516MA MB ⋅=-，符合题意，综上，若MA MB ⋅为定值，则直线l 过定点1(0,)2-或2(0,)3，且定值为1516-．9．设双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，双曲线C 的左、右准线与其一条渐近线2y x =的交点分别为A ，B ，四边形12AF BF 的面积为4． （1）求双曲线C 的方程； （2）已知l 为圆224:3O x y +=的切线，且与C 相交于P ，Q 两点，求OP OQ ⋅． 【解答】解：（1）设122F F c =，由直线2y x =是双曲线C 的一条渐近线，可得2ba=①， 因为双曲线C 的准线方程为2a x c=±，则22a x c y x⎧=⎪⎨⎪=⎩，可得22a y c =，所以222(,)a a B c c ， 由双曲线的对称性，可得21222124442BOF AF BF a S Sc a c==⨯⨯=四边形，结合四边形12AF BF 的面积为4，可得244a =，解得1a =， 结合①，可得2b =，所以双曲线C 的方程为2214y x -=；（2）①当直线l 的斜率存在时，对于圆224:3O x y +=，不妨考虑:l x ，则由2214x y x ⎧=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，可得x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，所以P Q ， 所以0OP OQ ⋅=；②当直线l 的斜率存在时，设:l y kx m =+， 因为这些l 与C 相交于P ，Q 两点，所以2k ≠±， 因为这些PQ 与圆O 相切，=224(1)(*)3m k =+， 设1(P x ，1)y ，2(Q x ，2)y ，联立方程组2214y kx m y x =+⎧⎪⎨-=⎪⎩，可得222(4)2(4)0(2)k x kmx m k ---+=≠±，结合(*)，可得△222216(2)4(4)(4)(16)03km k m k =+-+=+>， 则212122224,44km m x x x x k k ++==---， 所以12121212()()OP OQ x x y y x x kx m kx m ⋅=+=+++221212(1)()k x x km x x m =++++2222222(1)(4)244k m k m m k k ++=-++-- 22234(1)4m k k -+=-， 结合(*)，可得22243(1)4(1)304k k OP OQ k ⨯+-+⋅==-． 综上所述，0OP OQ ⋅=．10．已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b +=>>的离心率为12，以E 的四个顶点为顶点的四边形的面积为（Ⅰ）求椭圆E 的方程；（Ⅱ）设A ，B 分别为椭圆E 的左、右顶点，P 是直线4x =上不同于点(4,0)的任意一点，若直线AP ，BP 分别与椭圆相交于异于A ，B 的点M 、N ，试探究，点B 是否在以MN 为直径的圆内？证明你的结论． 【解答】解：（Ⅰ）依题意得12c a =，122432a b =，又222a b c =+，由此解得2a =，b =． 所以椭圆E 的方程为22143x y +=．（Ⅱ）点B 在以MN 为直径的圆内．证明如下： 方法1：由（Ⅰ）得(2,0)A -，(2,0)B ．设0(M x ，0)y ．M 点在椭圆上，2203(4)4y x ∴=-． ① 又点M 异于顶点A 、B ，022x ∴-<<． 由P 、A 、M 三点共线可以得006(4,)2y P x +． 从而0(2BM x =-，0)y ，006(2,)2y BP x =+． ∴2220000006224(43)22y BM BP x x y x x =-+=-+++． ②将①代入②，化简得05(2)2BM BP x =-．020x ->，∴0BM BP >，于是MBP ∠为锐角，从而MBN ∠为钝角，故点B 在以MN 为直径的圆内．方法2：由（Ⅰ）得(2,0)A -，(2,0)B ．设1(M x ，1)y ，2(N x ，2)y ，则122x -<<，222x -<<，又MN 的中点Q 的坐标为1212(,)22x x y y ++， 依题意，计算点B 到圆心Q 的距离与半径的差222222*********1||||(2)()[()()]4224x x y y BQ MN x x y y ++-=-+--+-1212(2)(2)x x y y =--+ ③直线AP 的方程为11(2)2y y x x =++，直线BP 的方程为22(2)2y y x x =--， 而两直线AP 与BP 的交点P 在直线4x =上， ∴12126222y y x x =+-，即21213(2)2x y y x -=+ ④ 又点M 在椭圆上，则2211143x y +=，即22113(4)4y x =- ⑤于是将④、⑤代入③，化简后可得221215||||(2)(2)044BQ MN x x -=--<．11．已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>过点，且离心率e．（1）求椭圆E 的方程；（2）设直线1()x my m R =-∈交椭圆E 于A ，B 两点，判断点9(,0)4G -与以线段AB 为直径的圆的位置关系，并说明理由．【解答】解法一：（1）由已知得222b ca abc ⎧=⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎩，解得2a b c =⎧⎪⎨==⎪⎩∴椭圆E 的方程为22142x y +=．（2）设点11()A x y ，2(B x ，2)y ，AB 中点为0(H x ，0)y ．由221142x my x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩，化为22(2)230m y my +--=，12222m y y m ∴+=+，12232y y m -=+，022my m ∴=+． 9(,0)4G -，222222200000095525||()()(1)44216GH x y my y m y my ∴=++=++=+++． 222222212121212012()()(1)[()4]||(1)()444x x y y m y y y y AB m y y y -+-++-===+-， 故222222012222||52553(1)25172||(1)042162(2)21616(2)AB m m m GH my m y y m m m ++-=+++=-+=>+++．∴||||2AB GH >，故G 在以AB 为直径的圆外． 解法二：（1）同解法一．（2）设点11()A x y ，2(B x ，2)y ，则119(,)4GA x y =+，229(,)4GB x y =+．由221142x my x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩，化为22(2)230m y my +--=，12222m y y m ∴+=+，12232y y m -=+，从而121299()()44GA GB x x y y ⋅=+++121255()()44my my y y =+++21212525(1)()416m y y m y y =++++22222253(1)2517202(2)21616(2)m m m m m m ++=-+=>+++． ∴0GA GB ⋅>，又GA ，GB 不共线，AGB ∴∠为锐角．故点9(,0)4G -在以AB 为直径的圆外．12．已知圆22:0G x y x +--=，经过椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的右焦点F 及上顶点B ，过圆外一点(m ，0)()m a >倾斜角为34π的直线l 交椭圆于C ，D 两点． （1）求椭圆的方程；（2）若右焦点F 在以线段CD 为直径的圆E 的内部，求m 的取值范围． 【解答】解：（1）圆22:0G x y x +-=经过点F ，B ．∴(1,0),F B ，∴1,c b ==24a ∴=．故椭圆的方程为22143x y +=，⋯（4分） （2）设直线l 的方程为()(2)y x m m =-->．由22143()x y y x m ⎧+=⎪⎨⎪=--⎩消去y 得2278(412)0x mx m -+-=， 设1(C x ，1)y ，2(D x ，2)y ，则212128412,77m m x x x x -+==，⋯（6分） ∴212121212[()][()]()y y x m x m x x m x x m =--⋅--=-++．1(1FC x =-，1)y ，2(1FD x =-，2)y ，⋯（8分）∴212121212127817(1)(1))()17m m FC FD x x y y x x x x y y --⋅=--+=-+++=⋯（10分）点F 在圆G 的内部，∴0FC FD ⋅<，即2781707m m --<，m <<， 由△226428(412)0m m =-->，解得m <<． 又2m >，∴2m <⋯（12分）13．设A ，B 分别为椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左、右顶点，椭圆的长轴长为4，且点在该椭圆上． （Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）设P 为直线4x =上不同于点(4,0)的任意一点，若直线AP 与椭圆相交于异于A 的点M ，证明：MBP ∆为钝角三角形．【解答】解：（Ⅰ）由题意：24a =，所以2a =，所求椭圆方程为22214x y b+=；又点在椭圆上，∴231414b +=，21b ∴=； 故所求椭圆方程为：2214x y +=．（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）知，(2,0)A -，(2,0)B ，设(4,)P t ，(M M x ，)M y ，则直线PA 的方程为：(2)6ty x =+，(0)t ≠；由22(2)644t y x x y ⎧=+⎪⎨⎪+=⎩得2222(9)44360t x t x t +++-=； 因为直线PA 与椭圆相交于异于A 的点M ，所以22429M t x t --+=+，所以222189M t x t -+=+；由(2)6M M t y x =+，得269M ty t =+，所以2222186(,)99t t M t t -+++；从而22246(,)99t t BM t t =-++，(2,)BP t =；所以2222228620999t t t BM BP t t t ⋅=-+=-<+++． 又M ，B ，P 三点不共线，所以MBP ∠为钝角；所以MBP ∆为钝角三角形．14．设A ，B 分别为椭圆22221(,0)x y a b a b+=>的左、右顶点，椭圆长半轴的长等于焦距，且4x =为它的右准线．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）设P 为右准线上不同于点(4,0)的任意一点，若直线AP ，BP 分别与椭圆相交于异于A ，B 的点M 、N ，证明点B 在以MN 为直径的圆内．【解答】解：（Ⅰ）依题意得2a c =，24a c=， 解得2a =，1c =，从而b 故椭圆的方程为22143x y +=． （Ⅱ）由（Ⅰ）得(2,0)A -，(2,0)B ．设0(M x ，0)y ． M 点在椭圆上，22003(4)4y x ∴=-（1） 又点M 异于顶点A 、B ，022x ∴-<<，由P 、A 、M006(4,)2y P x +． 从而0(2BM x =-，0)y ，006(2,)2y BP x =+． ∴2220000006224(43)22y BM BP x x y x x ⋅=-+=-+++．（2） 将（1）代入（2），化简得05(2)2BM BP x ⋅=-． 020x ->，∴0BM BP ⋅>，则MBP ∠为锐角，从而MBN ∠为钝角， 故点B 在以MN 为直径的圆内．15．设A ，B 分别为椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左右顶点，椭圆长半轴的长等于焦距，且直线4x =是它的右准线．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）设P 为椭圆右准线上不同于点(4,0)的任意一点，若直线BP 于椭圆相交于两点B ，N ，求证：NAP ∠为锐角．【解答】解：（Ⅰ）依题意得224a c a c=⎧⎪⎨=⎪⎩，解得21a c =⎧⎨=⎩，从而b ==． 故椭圆的方程为22143x y +=． （Ⅱ）由（Ⅰ）得(2,0)A -，(2,0)B ，设0(N x ，0)y ， N 点在椭圆上，∴22003(4)4y x =-① 又N 点异于顶点A 、B ，022x ∴-<<，00y ≠由P 、B 、N 三点共线可得002(4,)2y P x -， 从而00(2,)AN x y =+，002(6,)2y AP x =-． 200026122y AN AP x x =++-② 00039612(2)(2)22AN AP x x x =+-+=+． 020x +>，00y ≠，∴0AN AP >于是NAP ∠为锐角．16．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，上顶点为B ，若△12BF F 的周长为6，且离心率12e =． （Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）设1A ，2A 是椭圆C 长轴的两个端点，点P 是椭圆C 上不同于1A ，2A 的任意一点，直线1A P 交直线14x =于点M ，求证：以MP 为直径的圆过点2A ．【解答】（Ⅰ）解：设1(,0)F c -、2(,0)F c ，由已知可得226a c +=①， 12c a =②又222a b c =+③， 由①②③可求得2a =，b =所以椭圆C 的方程为22143x y +=； （Ⅱ）证明：由题意知1(2,0)A -，2(2,0)A ．设0(P x ，0)y ， 则直线1A P 的方程为00(2)2y y x x =++，当14x =时，00162y y x =+， 所以0016(14,)2y M x +， 又点0(P x ，0)y 在椭圆C 上， 所以22003(1)4x y =-， 因为22(12A M A P =，00016)(22y x x -+，0)y 220000000001612(4)12(2)(2)12(2)12(2)0222y x x x x x x x x --+=-+==--=+++ 所以22A M A P ⊥，因此以MP 为直径的圆过点2A ．。

6.2.2 平面向量的数量积（精练）【题组一 向量的数量积】1．（2020·天水市第一中学高一期末）已知等边ABC 的边长为2，若3BC BE =，AD DC =，则BD AE ⋅等于（ ） A ．103B ．103-C ．2D ．2-【答案】D【解析】等边△ABC 的边长为2，3BC BE =，AD DC =， ∴()12BD BA BC =+，1313A AB BE AB B E BC A C B =+=+=-， ∴()221111223233BD AE BA BC BC BA BC BA BC BA ⎛⎫⎛⎫+-=--⋅ ⎪ ⎪⎝=⎭⎝⎭， 112144222332⎛⎫=⨯⨯--⨯⨯⨯ ⎪⎝⎭，2=-．故选：D ． 2．（2020·陕西渭南市·高一期末）在ABC 中，D 为线段BC 的中点，1AD =，3BC =，则AB AC ⋅（ ） A ．13- B ．54-C ．3D ．4【答案】B 【解析】在ABC 中，D 为线段BC 的中点()12AD AB AC BC AC AB⎧=+⎪∴⎨⎪=-⎩，可得12AB ADBC ，12AC ADBC , 2211152244AB AC AD BC ADBC AD BC ⎛⎫⎛⎫∴⋅=-⋅+=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.故选：B.3．（2020·湖南益阳市·高一期末）在ABC 中，AB =AC =G 为ABC 的重心，则AG BC ⋅=________．【答案】6【解析】如图，点D 是BC 的中点，G 为ABC 的重心，∴()()22113323AG AD AB AC AB AC ==⨯+=+，BC AC AB =-， 所以()()()221133AG BC AB AC AC AB AC AB ⋅=+⋅-=- ()126863=-=故答案为：64．（2020·黑龙江大庆市·大庆一中高一期末）如图，在ABC 中，D 是BC 的中点，E ，F 是AD 上的两个三等分点5BA CA ⋅=，2BF CF ⋅=-，则BE CE ⋅的值是________.【答案】58【解析】因为222211436=52244AD BC FD BC BA CA BC AD BC AD （）（）--⋅=-⋅--==， 2211114223234FD BCBF CF BC AD BC AD （）（）-⋅=-⋅--==-，因此2223,827FD BC ==，222211416.224458ED BC FD BC BE CE BC ED BC ED （）（）--⋅=-⋅--===故答案为：58.5．（2020·四川内江市）在等腰Rt ABC 中，斜边BC =AB c =，BC a =，CA b =，那么a b b c c a ⋅+⋅+⋅=_____.【答案】2-【解析】由题可知在等腰Rt ABC 中，斜边BC =1ABAC ，,24AB C，即2a =，1b c ==，()()cos 0cos a b b c c a a b C c a B ππ∴⋅+⋅+⋅=⋅⋅-++⋅⋅-11222⎛⎛⎫=⨯-+-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.故答案为：2-.6．（2020·北京101中学高一期末）如图，在矩形ABCD 中，AB =2BC =，点E 为BC 的中点，点F 在边CD 上，若2AB AF ⋅=，则AE BF ⋅的值是______.【解析】∵AF AD DF =+，()22AB AF AB AD DF AB AD AB DF AB DF DF ⋅=⋅+=⋅+⋅=⋅==，∴1DF =，21CF =，∴()()AE BF AB BEBC CF AB CF BE BC ⋅=++=⋅+⋅)11222=+⨯=-+=.7．（2020·陕西咸阳市·高一期末）已知两个单位向量a ，b 的夹角为120︒，()1c ta t b =+-.若1a c ⋅=，则实数t =______. 【答案】1 【解析】两个单位向量a ，b 的夹角为120︒，∴11·1122a b ⎛⎫=⨯⨯-=- ⎪⎝⎭，又(1)c ta t b =+-，1a c =，∴21[(1)](1)(1)12a ta tb ta t a b t t +-=+-=--=，解得1t =． 故答案为：1．8．（2020·长沙县实验中学高一期末）已知非零向量m →，n →满足4m →=3n →，cos m →〈，13n →〉=.若n →⊥t m n →→⎛⎫+ ⎪⎝⎭，则实数t 的值为_____________. 【答案】4-【解析】非零向量m →，n →满足4m →=3n →，cos m →〈，13n →〉=,n →⊥t m n →→⎛⎫+ ⎪⎝⎭,n →∴⋅22+||||cos ,||t m n t m n n t m n m n n →→→→→→→→→→⎛⎫+=⋅=<>+ ⎪⎝⎭223||||034t n n →→=⨯+=,解得4t =-，故答案为：4- 【题组二 向量的夹角】1．（2020·山东临沂市·高一期末）已知非零向量a ，b ，若||2||a b =，且(2)a a b ⊥-，则a 与b 的夹角为（ ） A ．6πB ．4π C ．3π D ．34π 【答案】B【解析】因为(2)a a b ⊥-，所以22(2)22cos ,0a a b a a b a a b a b ⋅-=-⋅=-=，因为||2||a b =，所以22cos ,22aa ab a bb===， []a,b 0,,a,b 4ππ∈∴=.故选:B.2．（2020·镇原中学高一期末）已知a b c ，，为单位向量，且满足370a b c λ++=，a 与b 的夹角为3π，则实数λ=_______________. 【答案】8λ=-或5λ=【解析】由370a b c λ++=，可得7(3)c a b λ=-+，则22224996b b c a a λλ=++⋅. 由a b c ，，为单位向量，得2221a b c ===，则24996cos 3πλλ=++，即23400λλ+-=，解得8λ=-或5λ=.3．（2020·浙江温州市·高一期末）已知平面向,,a b c ，满足2,3,1a b c ===，且()()5a c b c -⋅-=，a b -与a b +夹角余弦值的最小值等于_________.【解析】平面向,,a b c ,满足2,3,1a b c ===,则2222224,3,1a a b bc c ======因为()()5a c b c -⋅-=展开化简可得()25a b c a b c ⋅-++=,因为221c c ==,代入化简可得()4a b c a b ⋅-+= 设c 与a b +的夹角为[],0,θθπ∈ 则由上式可得cos 4a b c a b θ⋅-⋅+⋅= 而()222272a b aba abb a b +=+=+⋅+=+⋅代入上式化简可得cos θ=令m a b =⋅,设a 与b 的夹角为[],0,ααπ∈,则由平面向量数量积定义可得cosa b a b m αα⋅=⋅⋅==,而1cos 1α-≤≤所以m -≤≤由余弦函数的值域可得cos 1θ≤,即4cos 1722a b m a bθ⋅-==≤+⋅将不等式化简可得21090m m -+≤,解不等式可得19m ≤≤ 综上可得1m ≤≤即123a b ⋅≤≤而由平面向量数量积的运算可知,设a b -与a b +夹角为β,则()()22727c 2osa b a b a b a ba b a bβ-⋅+-⋅+-⋅⋅⋅=+==当分母越大时,cos β的值越小;当a b ⋅的值越小时,分母的值越大 所以当1a b ⋅=时,cos β的值最小 代入可得c s o β==所以a b -与a b +夹角余弦值的最小值等于15故答案为4．（2020·延安市第一中学高一月考）已知向量,a b满足2,1,2a b a b a b ==+=-. （1）求a 在b 上的投影； （2）求a 与2a b -夹角的余弦值. 【答案】（1）12-；（2）4. 【解析】（1）2222222(2)()442a b a b a b a b a a b b a a b b +=-⇒+=-⇒+⋅+=-⋅+2163,2a b b a b ∴⋅=-∴⋅=-，设a 和b 的夹角为θ，a 在b 上的投影为：1cos 2a ba bθ⋅==-；（2）设a 与2a b -夹角为α，()2222cos 2244a a ba a ba a ab bα⋅-====⨯⋅-⋅-⋅+.5．（2020·北京顺义区·高一期末）已知平面向量a ，b ，2=a ，1=b ，且a 与b 的夹角为3π． （1）求a b ⋅； （2）求2a b +；（3）若2a b +与()2a b R λλ+∈垂直，求λ的值． 【答案】（1）1；（2）（3）4-. 【解析】（1）1cos2132a b a b π⋅=⋅=⨯=； （2）()2222224444412a b a ba ab b +=+=+⋅+=++=，223a b +∴=；（3）()()22a b a b λ+⊥+，()()220a b a b λ∴+⋅+=，即()()222428421230a a b b λλλλλ++⋅+=+++=+=，解得：4λ=-. 6．（2020·南昌市·江西师大附中高一月考）已知向量,a b 满足||||1a b ==，||3||(0,)ka b a kb k k R +=->∈（1）若//a b ，求实数k 的值； （2）求向量a 与b 夹角的最大值. 【答案】（1）2±；（2）3π. 【解析】（1）因为//a b ，0k >，所以2104k a b k+⋅=>，则a 与b 同向.因为||||1a b ==，所以1a b ⋅=，即2114k k+=，整理得2410k k -+=，解得2k =所以当2k =±//a b . （2）设,a b 的夹角为θ，则221111cos 2444||||k a b k k a k a b b θ⋅⎡⎤+⎛⎫==⋅==+=+⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦，=，即1k =时，cos θ取最小值12，又0θπ≤≤，所以3πθ=，即向量a 与b 夹角的最大值为3π. 7．（2020·全国高一专题练习）已知向量12,e e ，且121e e ==，1e 与2e 的夹角为3π.12m e e λ=+，1232n e e =-.（1）求证：()1222e e e -⊥； （2）若m n =，求λ的值； （3）若m n ⊥，求λ的值； （4）若m 与n 的夹角为3π，求λ的值. 【答案】（1）见解析（2）2λ=或3λ=-.（3）14λ=（4）2λ= 【解析】（1）证明：因为121e e ==，1e 与2e 的夹角为3π，所以()2221221221221222cos2111032e e e e e e e e e π-⋅=-=-=⨯⨯⨯-=， 所以()1222e e e-⊥.（2）由m n =得()()22121232e e e e λ+=-，即()2211229(212)30e e e e λλ-++⋅-=.因为121e e ==，12,3e e π=，所以22121e e ==，12111cos 32e e π⋅=⨯⨯=， 所以()2191(212)3102λλ-⨯++⨯-⨯=， 即260λλ+-=.所以2λ=或3λ=-.（3）由m n ⊥知0m n ⋅=，即()()1212320e e e e λ+⋅-=，即2211223(32)20e e e e λλ+-⋅-=. 因为121e e ==，12,3e e π=，所以22121e e ==，12111cos32e e π⋅=⨯⨯=， 所以()1332202λλ+-⨯-=.所以14λ=.（4）由前面解答知22121e e ==，1212e e ⋅=，7n =.而()22222212112221m e e e e e e λλλλλ=+=+⋅+=++，所以2m λ=()()1212211222113(32)23(32)222322e e e m n e e e e e λλλλλλ+-⋅-=+-⨯-⋅=+⋅-==-因为,3m n π=，由cos ,m n m n m n ⋅=得11222λ-=， 化简得23520λλ--=， 所以2λ=或13λ=-.经检验知13λ=-不成立，故2λ=.【题组三 向量的投影】1．（2021·江西上饶市）若向量a 与b 满足()a b a +⊥，且1a =，2b =，则向量a 在b 方向上的投影为（）A B ．12-C ．-1D ．3 【答案】B【解析】利用向量垂直的充要条件有：()20a b a a a b +⋅=+⋅=，∴1a b ⋅=-，则向量a 在b 方向上的投影为12a b b⋅=-,故选B.2．（2020·沈阳市第一七〇中学高一期末）已知向量a ，b ，其中1a =，24a b -=，22a b +=，则a 在b 方向上的投影为( ) A ．2-B ．1C ．1-D ．2【答案】C【解析】由题意，向量a ，b ，其中1a =，24a b -=，22a b +=， 可得()222224414416a ba b a b b a b -=+-⋅=+-⋅= (1)()2222244144=4a b a b a b b a b +=++⋅=++⋅ (2)联立(1)(2)解得32b =，32a b ⋅=-， 所以a 在b 方向上的投影为1a b b⋅=-.故选：C .3．（2020·长沙市·湖南师大附中高一月考）已知向量a ，b 满足1a=，3b=，且a 在b 方向上的投影与b 在a 方向上的投影相等，则a b -等于（ ） A B C ．4D ．5【答案】A【解析】设两个向量的夹角为θ，则cos cos a b θθ=，从而cos 0θ=， 因为[]0,θπ∈，故2πθ=，所以2210a b a b -=+=．故选：A ．4．（2020·眉山市彭山区第一中学高一期中）已知1a =，2b =，,60a b =︒，则a b +在a 上的投影是（ ） A ． 1 B C ．2 D 【答案】C【解析】因为1a =，2b =，,60a b =︒，所以cos ,12cos601a b a b a b ⋅=<>=⨯⨯︒=()22112a b a ab a +⋅=+⋅=+=所以a b +在a上的投影()2a b a a+⋅=故选：C 5（2020·陕西渭南市·高一期末）已知3a =，3b =，32a b +=，则向量a 在向量b 方向的投影（ ） A ．1 B ．1- C ．3D ．3-【答案】A【解析】由题意，向量3a =，3b =，32a b +=，可得222239218a b a b a b a b +=++⋅=++⋅=，解得3a b ⋅=， 所以向量a 在向量b 方向的投影313a b b⋅==.故选：A. 6．（2020·四川绵阳市·高一期末）在△ABC 中，ABAC ⋅=0，点P 为BC 的中点，且|PA |＝|AB |，则向量BA 在向量BC 上的投影为（ ） A BC B ．BC C ．﹣14BC D ．14BC 【答案】D【解析】根据题意，AB AC ⊥，又点P 为BC 中点，故可得PC PB PA AB ===， 如下所示：故三角形PAB 为等边三角形，故可得60B ∠=︒， 不妨设BA a =，故可得2BC a =， 则向量BA 在向量BC 上的投影为21212224a BA BC a BC a BC⨯⋅===. 故选：D .7．（2020·营口市第二高级中学高一期末）已知向量,a b 满足||5,||4,||6b a b a b =+=-=，则向量a 在向量b 上的投影为________.【答案】1-【解析】向量,a b 满足||5,||4,||6b a b a b =+=-=，可得2()16a b +=，2()36a b -=，即为22216a b a b ++=，22236a b a b +-=，两式相减可得5a b =-， 则向量a 在向量b 上的投影为515||a b b -==-．故答案为：1-． 8．（2020·湖北武汉市·高一期末）设向量a ，b 满足2a =，1b =，且()b a b ⊥+，则向量b 在向量2a b +上的投影的数量为_______. 【答案】12【解析】()b a b ⊥+，()20a b b a b b =⋅+∴⋅+=，21a b b ∴=-=-⋅，()2221b a b a b b ∴⋅+=⋅+=，22244442a b a b a b +=++⋅=+=，∴向量b 在向量2a b +上的投影的数量为()2122b a b a b⋅+=+.故答案为：12.9．（2021·河南郑州市）已知平面向量,a b 满足1,2,3a b a b ==+=，则a 在b 方向上的投影等于______． 【答案】12-【解析】由题意结合平面向量数量积的运算法则有：()22221243,1a b a a b b a b a b +=+⋅+=+⋅+=∴⋅=-，据此可得，a 在b 方向上的投影等于1122a b b⋅-==-. 10．（2020·四川高一期末）已知边长为2的等边ABC 中，则向量AB 在向量CA 方向上的投影为_____． 【答案】1-【解析】因为ABC 是等边三角形， 所以向量AB 与向量CA 的夹角为120， 因为ABC 边长为2，所以向量AB 在向量CA 方向上的投影为1cos120212AB ⎛⎫⋅=⨯-=- ⎪⎝⎭， 故答案为：1-.11．（2020·全国高一课时练习）已知e 为一个单位向量，a 与e 的夹角是120︒.若a 在e 上的投影向量为2e -，则a =_____________. 【答案】4【解析】e 为一个单位向量,a 与e 的夹角是120︒由平面向量数量积定义可得1cos1202a e a ⋅=⨯⨯︒=-, 根据平面向量投影定义可得122a e e ⎛⎫⨯-⋅=- ⎪⎝⎭,∴4a =.故答案为:4 12．（2020·福建省福州第一中学高一期末）已知非零向量a 、b 满足2a =，24a b -=，a 在b 方向上的投影为1，则()2b a b ⋅+=_______. 【答案】18 【解析】2a =，a 在b 方向上的投影为1，212a b ⋅=⨯=，24a b -=，222222216244444242a b a a b b a a b b b =-=-⋅+=-⋅+=⨯-⨯+，可得22b =，因此，()22222818b a b a b b ⋅+=⋅+=+⨯=.故答案为：18. 【题组四 向量的模长】1．（2020·全国高一）已知平面向量a ，b 满足2a =，3b =，若a ，b 的夹角为120°，则3a b -=（ ）A ．B ．C ．D ．3【答案】A【解析】由题意得，2239636a b a a b b -=-⋅+=+=A .2．（2020·全国高一）若向量a 与b 的夹角为60°，且43a b ==，， 则a b +等于（ ）A ．37B ．13C D 【答案】C【解析】因为向量a 与b 的夹角为60°，且43a b ==，， 所以22222+2++2cos 60+a b a a b b a a b b +⋅=⋅⋅=2214+243+3372=⨯⨯⨯=所以37a b +=，故选：C ．3．（2020·全国高一开学考试）已知向量a ，b 满足0a b ⋅=，1a =，3b =，则a b -=（ ）A ．0B ．2C ．D【答案】D【解析】因为向量a ,b 满足0a b ⋅=,1a =,3b =则2a b a b -=-222a a b b =-⋅+==:D4．（2020·银川市·宁夏大学附属中学高一期末）已知向量a 、b 满足：3a =，4b =，41a b +=，则a b -=_________. 【答案】3. 【解析】()222222222232441a b a b a a b b a a b b a b +=+=+⋅+=+⋅+=+⋅+=，8a b ∴⋅=，()2222222233a b a b a a b b a a b b ∴-=-=-⋅+=-⋅+=-，因此，3a b -=，故答案为3.5．（2020·全国高一单元测试）若平面向量a ，b 满足2a b +=，6a b -=，则a b ⋅=__________，22a b +=__________．【答案】-1 4 【解析】由2a b +=，得2222a a b b +⋅+=，①由6a b -=，得2226a a b b -⋅+=，②①-②得：44a b ⋅=-，∴1a b ⋅=-．故224a b +=．故答案为：①-1；②4.6．（2020·全国高一）已知6a →=，8b →=，则a b →→+的最大值为______；若6a →=，8b →=，且10a b →→-=，则a b →→+=______. 【答案】14 10【解析】222222()22cos ,a b a b a a b b a a b a b b →→→→→→→→→→→→→→+=+=+⋅+=+<>+3664248cos ,a b →→=++⨯<>10096cos ,a b →→=+<>10096196≤+=，当且仅当,a b →→同向时等号成立，所以14a b →→+≤，即a b →→+的最大值为14，由10a b →→-=两边平方可得：2222()21002100a b a b a a b b a b →→→→→→→→→→-=-=-⋅+=-⋅=，所以0a b →→⋅=，所以2222()2100a b a b a a b b →→→→→→→→+=+=+⋅+=，即10a b →→+=. 故答案为：14；107．（2020·东北育才学校）已知向量a ，b 满足4a =，b 在a 上的投影（正射影的数量）为-2，则2a b -的最小值为 【答案】8【解析】因为b 在a 上的投影（正射影的数量）为2-， 所以||cos ,2b a b <>=-， 即2||cos ,b a b =-<>，而1cos ,0a b -≤<><，所以||2b ≥，因为2222222(2)44||4||||cos ,4||a b a b a a b b a a b a b b -=-=-⋅+=-<>+22=1644(2)4||484||b b -⨯⨯-+=+所以22484464a b-≥+⨯=，即28a b-≥，故选D.9．（2020·四川广元市·高一期末）设非零向量a与b的夹角是23π，且a a b=+，则22a tbb+的最小值为（）A．3B C ．12D ．1【答案】B【解析】对于a，b 和a b+的关系，根据平行四边形法则，如图a BA CD==，b BC=，a b BD+=,23ABCπ∠=，3DCBπ∴∠=，a a b=+，CD BD BC∴==，a b a b∴==+，2222222==222a tba tb a tbb bb+++，a b=，22222222244cos223=224a t ab t ba tba tbb b bπ++++=，22222222244cos4231244a t ab t b a t a a t a t tb aπ++-+==-+当且仅当1t =时，22a tbb+的最小值为2. 故选：B.10．（2020·浙江杭州市·高一期末）已知平面向量a 、b 满足23a a b =+=，则b a b ++的最大值为________． 【答案】【解析】22222443443a b a a b b a b b +=+⋅+=+⋅+=，则2a b b ⋅=-，设a 与b 的夹角为θ，则2cos a b b θ⋅=-，3cos b θ∴=-，0b ≥，0θπ≤≤，可得2θπ≤≤π， 22222233sin a b a a b b b θ+=+⋅+=-=，则3sin a b θ+=，3cos 3b a b πθθθ⎛⎫++=-+=- ⎪⎝⎭，2θπ≤≤π，则2633πππθ≤-≤，所以，当32ππθ-=b a b ++取最大值故答案为：11．（2020·沙坪坝区·重庆南开中学高一期末）已知向量a 与向量b 的夹角为3π，且1a =，()32a a b ⊥-. （1）求b ；（2）若27a mb -=，求m . 【答案】（1）3b =；（2）13m =-或1m =. 【解析】（1）∵()23232320a a b a a b a b ⋅-=-⋅=-⋅=， ∴32a b ⋅=，∴13cos 322a b a b b π⋅=⋅⋅==，∴3b =. （2）∵27a mb -=，∴()222227244469a mba mab m b m m =-=-⋅+=-+，整理得：23210m m --=，解得：13m =-或1m =. 12．（2020·北京朝阳区·人大附中朝阳学校高一月考）已知平面向量,a b 满足:2a =，1b =|.（1）若()()21a b a b +⋅-=，求a b ⋅的值；（2）设向量,a b 的夹角为θ，若存在t R ∈，使得||1a tb +=，求cos θ的取值范围.【答案】（1）1-；（2）1,⎡⎤-⋃⎢⎥⎣⎦⎣⎦.【解析】（1）若()()21a b a b +⋅-=，则2221a a b b +⋅-=， 又因为2a =，1b =|，所以421a b +⋅-=，所以1a b ⋅=-； （2）若||1a tb +=，则22221a ta b t b +⋅+=，又因为2a =，1b =，所以2203ta b t +=+⋅即204cos 3t t θ++=，所以2=16120cos θ∆-≥，解得2cos θ≤-或cos 2θ≥，所以311cos ,,θ⎡⎡⎤∈-⎢⎢⎥⎣⎦⎣⎦. 13．（2020·全国高一单元测试）已知向量OA a =，OB b =，60AOB ∠=，且4a b ==． （1）求a b +，a b -；（2）求a b +与a 的夹角及a b -与a 的夹角．【答案】（1）43a b +=，4a b -=；（2）30，60．【解析】（1）因为向量OA a =，OB b =，60AOB ∠=，且4a b ==， 所以()22222222co 60s a ba ba ab b a a b b +=+=+⋅+=++11624416482=+⨯⨯⨯+=，所以43a b +=， 又()22222222co 60s a ba ba ab b a a b b -=-=-⋅+=-+11624416162=-⨯⨯⨯+=，所以4a b -=；（2）记a b +与a 的夹角为,0,180αα⎡⎤∈⎣⎦，a b -与a 的夹角为0,180,ββ⎡⎤∈⎣⎦，则()211644cos 43a b a a b aα+⨯⨯+⋅====⨯+，所以30α=．()21164412cos 44162a b a a a ba b aβ-⨯⨯-⋅-⋅====⨯-，所以60β=．【题组五 平面向量的综合运用】1．（2020·北京丰台区·高一期末）a ，b 是两个单位向量，则下列四个结论中正确的是（ ） A ．a b = B ．1a b ⋅=C ．22a b ≠D ．22||||a b =【答案】D【解析】A ．,a b 可能方向不同，故错误；B ．cos ,cos ,a b a b a b a b ⋅=⋅⋅<>=<>，两向量夹角未知，故错误；C ．22221,1a a a a b b b b =⋅===⋅==，所以22a b =，故错误； D ．由C 知221a b ==，故正确，故选：D.2．（2020·全国高一单元测试）若a 是非零向量，b 是单位向量，①0a >，②1=b ，③ab a=，④()0a b λλ=≠，⑤0a b ⋅≠，其中正确的有（ ）A ．①②③B ．①②⑤C ．①②④D ．①②【答案】D【解析】∵0a ≠，∴0a >，①正确；b 为单位向量，故1=b ，②正确；aa表示与a 方向相同的单位向量，不一定与b 方向相同，故③错误； a 与b 不一定共线，故()0a b λλ=≠不成立，故④错误，若a 与b 垂直，则有0a b ⋅=，故⑤错误． 故选：D.3．（2021·重庆）设,a b 为向量，则“a b a b ⋅=”是“//a b ” （ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】C【解析】根据向量数量积运算，a b ⋅= a b cos θ 若a b a b ⋅=，即a b cos θ=a b 所以cos θ=± 1，即=0180θ︒︒或 所以//a b若//a b ，则a b 与的夹角为0°或180°，所以“0a b a b cos a b ⋅=︒= 或180a b a b cos a b ⋅=︒=-即a b a b cos θ⋅= 所以“a b a b ⋅=”是“//a b ”的充分必要条件 所以选C4．（2020·全国高一课时练习）若a ，b ，c 均为单位向量，且12a b =-，(,)c xa yb x y R =+∈，则x y +的最大值是（ ）A ．2 BC D ．1【答案】A 【解析】a ，b ，c 均为单位向量，且12a b =-，(,)c xa yb x y R =+∈，∴222222()21c xa yb x y xya b x y xy =+=++=+-=，设x y t +=，y t x =-，得：22()()10x t x x t x +----=， 223310x tx t ∴-+-=，方程223310x tx t -+-=有解，∴()2291210t t ∆=--，23120t -+，22t ∴-x y ∴+的最大值为2．故选：A ．5．（2020·甘肃兰州市·兰州一中高一期末）已知向量a 、b 、c 满足0a b c ++=，且a b c <<，则a b ⋅、b c ⋅、a c ⋅中最小的值是（ ）A ．a b ⋅B ．a c ⋅C ．b c ⋅D ．不能确定【答案】C【解析】由0a b c ++=，可得()c a b =-+，平方可得2222()a b c a b =-+． 同理可得2222()b c a b c =-+、2222()a c b a c =-+，||||||a b c <<，∴222a b c <<则a b 、b c 、a c 中最小的值是b c ．故选：C ．6．（2020·浙江湖州市·高一期末）已知空间向量a ，b ，c 和实数λ，则下列说法正确的是（ ） A ．若0a b ⋅=，则0a =或0b = B ．若0a λ=，则0λ=或0a = C ．若()()22ab =，则a b =或a b =-D ．若a b a c ⋅=⋅，则b c =【答案】B【解析】对于选项A ，若0a b ⋅=，则0a =或0b =或a b ⊥，故A 错误； 对于选项C ，由()()22ab =，得||||a b =，即可得其模相等，但方向不确定，故C 错误；对于选项D ，由a b a c ⋅=⋅，得()0⋅-=a b c ，则0a =或b c =或()a b c ⊥-，故D 错误；对于选项B ，由0a λ=，可得0λ=或0a =，故B 正确， 故选：B .7．（多选）（2021·江苏高一）若a 、b 、c 是空间的非零向量，则下列命题中的假命题是（ ） A ．()()a b c b c a ⋅⋅=⋅⋅B ．若a b a b ⋅=-⋅，则//a bC ．若a c b c ⋅=⋅，则//a bD ．若a a b b ⋅=⋅，则a b = 【答案】ACD【解析】()a b c ⋅⋅是与c 共线的向量，()b c a ⋅⋅是与a 共线的向量，a 与c 不一定共线，A 错， 若a b a b ⋅=-⋅，则a 与b 方向相反，∴//a b ，B 对，若a c b c ⋅=⋅，则()0a b c -⋅=，即()a b c -⊥，不能推出//a b ，C 错， 若a a b b ⋅=⋅，则||||a b =，a 与b 方向不一定相同，不能推出a b =，D 错， 故选：ACD.8．（多选）（2020·山东临沂市·高一期末）已知,,a b c 是同一平面内的三个向量，下列命题中正确的是（ ） A ．||||||a b a b ⋅≤B ．若a b c b ⋅=⋅且0b ≠，则a c =C ．两个非零向量a ，b ，若||||||a b a b -=+，则a 与b 共线且反向D ．已知(1,2)a =，(1,1)b =，且a 与a b λ+的夹角为锐角，则实数λ的取值范围是5,3⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭【答案】AC【解析】对于A ，由平面向量数量积定义可知cos ,a b a b a b ⋅=，则||||||a b a b ⋅≤，所以A 正确， 对于B ，当a 与c 都和b 垂直时，a 与c 的方向不一定相同，大小不一定相等，所以B 错误，对于C ，两个非零向量a ，b ，若||||||a b a b -=+，可得22()(||||)a b a b -=+，即22||||a b a b -⋅=，cos 1θ=-，则两个向量的夹角为π，则a 与b 共线且反向，故C 正确； 对于D ，已知(1,2)a =，(1,1)b =且a 与a b λ+的夹角为锐角， 可得()0a a b λ⋅+>即2||0a a b λ+⋅>可得530λ+>，解得53λ>-， 当a 与a b λ+的夹角为0时，(1,2)a b λλλ+=++，所以2220λλλ+=+⇒=所以a 与a b λ+的夹角为锐角时53λ>-且0λ≠，故D 错误； 故选:AC.9．（2020·浙江高一期末）已知2a b a b ==⋅=，()24c a b λλ=-+，则()()c a c b -⋅-的最小值为__________. 【答案】4952- 【解析】()14c a a b λλ-=-+，()()241c b a b λλ-=-+-，()()()()()14241c b c a a b a b λλλλ⎡⎤⎡⎤-⋅-=⋅∴-+-+-⎣⎦⎣⎦ ()()()2222216122871a a b b λλλλλλ=-++-+-⋅+-，代入2a b a b ==⋅=， 原式252386λλ=-+，∴当1952λ=时，原式最小值为4952-. 故答案为：4952-10．（2020·湖北高一开学考试）在ABC 中，已知2AB =，||||CA CB CA CB +=-，2cos 22sin 12B CA ++=，则BA 在BC 方向上的投影为__________.【解析】因为CA CB CA CB +=-，所以()()22CA CB CA CB +=-所以0CA CB =，即2C π=因为2cos 22sin12B C A ++=，所以2cos 22sin 12A A π-+=即2cos 22sin 12AA +=，即cos2cos 0A A +=，所以22cos cos 10A A +-=解得cos 1A =-或1cos 2A =因为0,2A π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以1cos 2A =，即3A π=，所以6B π=，因为2AB =，所以2sin BC A ==所以BA 在BC 方向上的投影为3BC =【点睛】本题考查平面向量的几何意义，属于中档题.11．（2020·浙江杭州市·高一期末）已知平面向量,a b ，其中||2,||1a b ==，,a b 的夹角是3π，则2a b -=____________；若t 为任意实数，则a tb +的最小值为____________．【答案】2【解析】由题意，平面向量,a b ，其中||2,||1a b ==，,a b 的夹角是3π， 可得cos 21cos133a b a b ππ⋅=⋅=⨯⨯=，则22224444414a ba b a b -=+-⋅=+-⨯=，所以22a b -=，又由22222()22a ta b t b t t a t a tb b ==+⋅+++=+=，所以当1t =-时，a tb +的最小值为故答案为：212．（2020·天津市滨海新区大港太平村中学高一期末）在ABC 中，2AB =，3AC =，120BAC ∠=︒，D 是BC 中点，E 在边AC 上，AE AC λ=，12AD BE ⋅=，则||=AD ________，λ的值为________.13【解析】因为2AB =，3AC =，120BAC ∠=︒，所以cos1203AB AC AB AC ⋅=⋅=-， 由题意()12AD AB AC =+，BE BA AE AC AB λ=+-=， 所以()()222211224AD AB AC AB AB AC AC ⎡⎤=+=+⋅+⎢⎥⎣⎦()1746944=-+=，所以72AD =； 由12AD BE ⋅=可得()()()2211222211AB AC AB AC AB AC AB AC λλλ+-⋅-=+⋅- ()31122229123λλλ=---=-=， 解得13λ=.；13. 13．（2020·湖北黄冈市·高一期末）已知向量n 与向量m 的夹角为3π，且1n =，3m =，()0n n m λ⋅-=. （1）求λ的值（2）记向量n 与向量3n m -的夹角为θ，求cos2θ. 【答案】（1）23λ=；（2）12-. 【解析】（1）由()2131cos 03n n m n m n πλλλ⋅-=-⋅=-⨯⨯⨯=，所以23λ=. （2）因为()2133333122n n m n m n ⋅-=-⋅=-⨯⨯= ()2223396963n m n m n m n m -=-=-⋅+=-=所以()3312cos 3132n n m n n m θ⋅-===⋅-⨯所以2211cos 22cos 12122θθ⎛⎫=-=⨯-=- ⎪⎝⎭. 14．（2020·山东省五莲县第一中学高一月考）已知2a =，3b =，向量a 与向量b 夹角为45°，求使向量a λb +与a b λ+的夹角是锐角时，λ的取值范围.【答案】1185((,1)(1,)-+-∞+∞ 【解析】∵2a =，3b =，a 与b 夹角为45°，∴cos 453⋅=︒==b a a b ，而()()2222223393113a ab ba a b a b b λλλλλλλλλλ+++=++++=+=+⋅+，要使向量a λb +与a b λ+的夹角是锐角，则()()0a b a b λλ+⋅+>，且向量a λb +与a b λ+不共线，由()()0a b a b λλ+⋅+>得231130λλ++>，得λ<或λ>. 由向量a λb +与a b λ+不共线得211λλ≠∴≠±所以λ的取值范围为：1185((,1)(1,)-+-∞+∞ 15．（2020·全国高一课时练习）在ABC 中，2CA CB ==，记,a CA B CB ==，且||3||(ka b a kb k+=-为正实数），（1）求证：()()a b a b +⊥-；（2）将a 与b 的数量积表示为关于k 的函数()f k ； （3）求函数()f k 的最小值及此时角A 的大小． 【答案】（1）证明见解析；（2）1()f k k k =+；（3）2，3A π=. 【解析】（1）在ABC 中，2CA CB ==，可得2a b ==，所以2222()()440a b a b a b a b +-=-=-=-=，所以()()a b a b +⊥-. （2）由||3||ka b a kb +=-，可得22||3||ka b a kb +=-，即22222223(2)k a ka b b a ka b k b ++=-+，整理得2888ka b k ⋅=+， 所以1()f k a b k k=⋅=+． （3）由（2）知1()f k a b k k=⋅=+，因为k 为正实数，则12k k +≥=，当且仅当1k k 时，即1k =时，等号成立，所以()f k 的最小值为2，即2a b ⋅=， 此时21cos 42||||a b C a b ⋅===⋅，因为(0,)C π∈，可得3C π=，又因为CA CB =，此时ABC 为等边三角形，所以3A π=．16．（2020·全国高一单元测试）在如图所示的平面图形中，已知OA a =，OB b =，点A ，B 分别是线段CE ，ED 的中点．（1）试用a ，b 表示CD ；（2）若1a =，2b =，且a ，b 的夹角2,33ππθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，试求CD 的取值范围．【答案】（1）()2CD b a =-；（2）||2CD ⎡∈⎣．【解析】（1）连接AB ，则AB OB OA b a =-=-， ∵A ，B 分别是线段CE ，ED 的中点， ∴12AB CD =，则()2CD b a =-． （2)222222CD b ab a a b =-=+-⋅2222cos b a a b θ=+-⋅，将1a =，2b =代入，则21CD == ∵2,33ππθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，∴11cos ,22θ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，则[]54cos 3,7θ-∈，故||2CD ⎡∈⎣．。

向量的数量积练习题向量的数量积练习题在学习向量的数量积时，练习题是非常重要的一部分。

通过练习题的解答，我们可以巩固对向量数量积的理解，并提高解题能力。

下面，我将给出一些向量数量积的练习题，并逐一解答。

1. 已知向量a = (3, 4)和向量b = (1, 2)，求向量a和向量b的数量积。

解答：向量a和向量b的数量积可以通过将两个向量对应分量相乘再相加得到。

即a·b = 3 * 1 + 4 * 2 = 3 + 8 = 11。

2. 已知向量a = (2, -1)和向量b = (-3, 4)，求向量a和向量b的数量积。

解答：同样地，向量a和向量b的数量积可以通过将两个向量对应分量相乘再相加得到。

即a·b = 2 * (-3) + (-1) * 4 = -6 - 4 = -10。

3. 已知向量a = (1, 2, 3)和向量b = (4, 5, 6)，求向量a和向量b的数量积。

解答：向量a和向量b的数量积可以通过将两个向量对应分量相乘再相加得到。

即a·b = 1 * 4 + 2 * 5 + 3 * 6 = 4 + 10 + 18 = 32。

4. 已知向量a = (5, -2, 3)和向量b = (-1, 3, -4)，求向量a和向量b的数量积。

解答：同样地，向量a和向量b的数量积可以通过将两个向量对应分量相乘再相加得到。

即a·b = 5 * (-1) + (-2) * 3 + 3 * (-4) = -5 - 6 - 12 = -23。

通过以上几个练习题，我们可以看到，向量的数量积的计算方法是相对简单的。

只需要将两个向量对应分量相乘再相加即可得到结果。

同时，向量的数量积还有一个重要的几何意义，即两个向量的数量积等于其中一个向量的模长乘以另一个向量在该向量上的投影长度。

除了计算向量的数量积，我们还可以利用向量的数量积来解决一些几何问题。

例如，可以通过判断两个向量的数量积是否为零来判断两个向量是否垂直。

1.1.2空间向量的数量积运算【题组1求空间向量的数量积】1、四面体A BCD -中，各棱长均为a ，点,,E F G 分别是,,AB AD DC 的中点，则下列向量的数量积等于2a 的是（）A．2BA AC ⋅B．2AD BD⋅C．2EF CB ⋅D．2FG AC⋅【答案】BD【解析】依题意，四面体ABCD 是正四面体，对于A，,60BA CA 〈〉=，2222cos120BA AC a a ⋅==-，A 不是；对于B，,60AD BD 〈〉=，2222cos 60AD BD a a ⋅==，B 是；对于C，因,E F 是,AB AD 的中点，则2EF BD =，而,120BD CB 〈〉=，2212cos1202EF CB BD CB a a ⋅=⋅==-，C 不是；对于D，因,F G 是,AD DC 的中点，则2FG AC =，222FG AC AC a ⋅==，D 是.故选：BD2、如图，空间四边形ABCD 的每条边和对角线长都等于1，点E ，F ，G 分别是AB ，AD ，DC 的中点，则FG AB ⋅=（）B．14C．12【答案】B【解析】依题意，,,E F G 分别是,,AB AD DC 的中点，所以,2//1FG AC FG AC =，三角形ABC 是等边三角形，且边长为1.所以111cos 60224FG AB AC AB AC AB ⋅=⋅=⋅⋅︒=.故选：B3、在三棱锥P ABC -中，1PB PC ==，90APB APC ∠=∠=︒，60BPC ∠=︒，则AB PC ⋅=（）A．12C．1【答案】A【解析】因为三棱锥P ABC -中，1PB PC ==，90APB APC ∠=∠=︒，60BPC ∠=︒，所以()1cos 011cos 602AB PC PB PA PC PB PC PA PC PB PC BPC ⋅=-⋅=⋅-⋅=∠-=⨯⨯︒=4、如图，在平行六面体1111ABCD A B C D -中，12AA AD AB ===，2BAD π∠=，113BAA A AD π∠=∠=，则11AB AD ⋅=（）A．12B．8C．6D．4【答案】B【解析】()()21111111AB AD AB AA AD AA AB AD AB AA AD AA AA ⋅=+⋅+=⋅+⋅+⋅+211110222228,22AB AD ⇒⋅=+⨯⨯+⨯⨯+=故选：B5、如图，P 为圆锥的顶点，O 是圆锥底面的圆心，圆锥PO 的轴截面PAE 是边长为2的等边三角形，ABC 是底面圆的内接正三角形．则PB PC →→⋅=（）A．32B．52C．72D．92【答案】B【解析】由题得PO ==,120BOC ∠=,21531122PB PC PO OB PO OC PO OB OC →→→→→→→→→⎛⎫⎛⎫⎛⎫⋅=+⋅+=+⋅=+⨯⨯-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭．故选：B6、棱长为1的正四面体ABCD 中，点E ，F 分别是线段BC ，AD 上的点，且满足13BE BC =，12AF AD =，则AE CF ⋅=（）A．1324B．12-C．12D．512-【答案】D【解析】由已知111cos 602AB AC AB AD AC AD ⋅=⋅=⋅=⨯⨯︒=，因为13BE BC =，12AF AD =，所以1121()3333AE AB BE AB BC AB AC AB AB AC =+=+=+-=+，12CF AF AC AD AC =-=-，211()()332AE CF AB AC AD AC ⋅=+⋅-212113363AB AD AB AC AC AD AC=⋅-⋅+⋅-2121115()13362312=-+⨯-⨯=-．故选：D．7、在空间四边形ABCD 中，AB =BC =CD =DA =1，AB CD AC DB AD BC ⋅+⋅+⋅＝（）A．－1B．0C．1D．不确定【答案】B【解析】设E 是AC 中点，由于,AB BC CD DA ==，所以,BE AC DE AC ⊥⊥，由于BE DE E ⋂=，所以AC ⊥平面BDE ，所以AC BD ⊥.AB CD AC DB AD BC ⋅+⋅+⋅AB CD AD BC=+⋅⋅()D AB AD B B BC C =⋅⋅-+A BD BC AB B AD BC =⋅-+⋅⋅()D BD AB B BC AB BC BD =+=+⋅⋅⋅0AC BD =⋅=.故选：B【题组2利用空间向量求角度】1、已知m →，n →是两个空间单位向量，它们的夹角为60，设向量2a m n →→→=+，32b m n →→→=-+．求：（1）a b →→⋅；（2）向量a →与b →的夹角.【答案】（1）72-；（2）23π【解析】（1）因为m →，n →是两个空间单位向量，它们的夹角为60，所以1cos 602m n n m →→→→⋅==，所以2217232626222a b m n m n m m n n →→→→→→→→→→⎛⎫⎛⎫⋅=+⋅-+=-+⋅+=-++=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；（2）因为2222124444172a m n m m n n →→→→→→→⎛⎫=+=+⋅+=+⨯+= ⎪⎝⎭，22221329124912472b m n m m n n →→→→→→→⎛⎫=-+=-⋅+=-⨯+= ⎪⎝⎭所以a →=，b →=又因为72a b →→⋅=-，所以712cos ,2a b a b a b→→→→→→-⋅==-，因为[],0,a b π→→∈，所以23,a b π→→=，即向量a →与b →的夹角为23π.2、在空间四边形OABC 中，连接AC ，OB ，OA ＝8，AB ＝6，AC ＝4，BC ＝5，∠OAC ＝45°，∠OAB ＝60°，求向量OA 与BC所成角的余弦值．【答案】35-【解析】BC AC AB =-uu u r uuu r uu u rQ ，cos ,cos ,OA BC OA AC OA AB OA AC OA AC OA AB OA AB ∴⋅=⋅-⋅=⋅⋅<>-⋅⋅<>＝8×4×cos 135°－8×6×cos，∴24cos ,85OA BC OA BC OA BC⋅-<>===⨯⋅35-3、如右图所示，已知S 是边长为1的正三角形所在平面外一点，且SA=SB=SC=1，M、N 分别是AB、SC 的中点，求异面直线SM 与BN所成角的余弦值．【答案】23【解析】设SA a =，SB b =，SC c =，则|a|=|b|=|c|=1，且a、b、c 三个向量两两夹角均为60°，∴12a b b c a c ⋅=⋅=⋅=．∵1()()2SM BN SA SB SN SB ⋅=+⋅-11()22a b c b ⎛⎫=+⋅- ⎪⎝⎭2111222a c a b b c b ⎛⎫=⋅-⋅+⋅- ⎪⎝⎭111111112222222⎛⎫=⨯-+⨯-=- ⎪⎝⎭．∴122cos ,3||||SM BN SM BN SM BN -⋅〈〉===-⋅，故所成角的余弦值为234、如图，在平行六面体1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 是边长为2的正方形，侧棱1AA 的长度为4，且11120A AB A AD ︒∠=∠=.用向量法求:（1）1BD 的长；（2）直线1BD 与AC所成角的余弦值.【答案】（1）【解析】（1）111111BD BB B A A D =++，()22222111111111111*********222BD BB B A A D BB B A A D BB B A BB A D B A A D =++=+++⋅+⋅+⋅1644242cos60242cos120024=+++⨯⨯︒+⨯⨯︒+=，故1BD =1BD的长为；（2）()()111111AC BD AB BC BB B A A D ⋅=+⋅++1111111111AB BB AB B A AB A D BC BB BC B A BC A D =⋅+⋅+⋅+⋅+⋅+⋅24cos1204024cos120048=⨯︒-++⨯︒++=-AC ==，由（1）知：1BD =，设直线1BD 与AC 所成角为θ∴111cos cos ,3AC BD AC BD BD AC θ===⋅⋅uuu r uuu ruu uuu r uuu r uuu r u r ，∴直线1BD 与AC 5、如图，在平行六面体1111ABCD A B C D -中，以顶点A 为端点的三条棱长度都为1，且两两夹角为60.求：（1）1AC的长；（2）1BD 与AC夹角的余弦值.【答案】；（2）6.【解析】（1）记AB a =，AD b =，1AA c =，则1a b c ===，,,,60a b b c a c <>=<>=<>=，12a b b c a c ∴⋅=⋅=⋅=，()()222221323262AC a b ca b c a b b c a c ∴=++=+++⋅+⋅+⋅=+⨯=，1AC ∴=，即1AC （2）1BD b c a =+-，AC a b =+，()222212312BD b c a b c a b a c ∴=+++⋅-⋅-⋅=-=，22223AC a b a b =++⋅=，1BD ∴=，AC =又()()2211BD AC b c a a b b a b c a c ⋅=+-⋅+=-+⋅+⋅=，111cos ,BD AC BD AC BD AC⋅∴<>=⋅即1BD 与AC6、如图，空间四边形OABC 的各边及对角线长为2，E 是AB 的中点，F 在OC 上，且2OF FC =，设OA a =，OB b =，OC c =，（1）用a ，b ，c 表示EF ；（2）求向量OA 与向量EF所成角的余弦值.【答案】（1）112223a b c --+;（2）38-【解析】（1）因为OA a =，OB b =，OC c =，所以()2111232223EF OF OE OC OA OB a b c =-=-+=--+.（2）因为空间四边形OABC 的各边及对角线长为2，所以四面体OABC 是正四面体，2a b c ===，且a ，b ，c 间的夹角为π3，所以22cos 602a b a c b c ⋅=⋅=⋅=⨯⨯=，2112112223223EF a b c a b OA a a ca ⎛⎫=--+=-⋅⋅⋅⋅-+ ⎪⎝⎭211252222233=-⨯-⨯+⨯=-，22222112114122223449233EF a c a b c a b a c b c⎛⎫=--+=+++⋅-⋅-⋅ ⎪⎝⎭222114122192222224492339=⨯+⨯+⨯+⨯-⨯-⨯=，所以EF =，所以5519,3cos 38OA EF OA EF OA EF -==-⋅⨯，所以向量OA 与向量EF所成角的余弦值为【题组3利用数量积求长度】1、已知空间中非零向量a ，b ，且2a =，3b =r，,60a b ︒<>=，则23a b -的值为（）．B．97D．61【答案】C 【解析】∵()22222323491244991260a b a ba b a b a b cos ︒+--=-=⋅=⨯-⋅⨯+1971223612=-⨯⨯⨯=，∴23a b -=r r C .2、已知空间向量a ､b ､c 是两两互相垂直的单位向量，2a b c ++=_____.【解析】∵空间向量a ､b ､c 是两两互相垂直的单位向量，∴1,0a b c a b b c a c ===⋅=⋅=⋅=，∴2a b c ++=.3、平行六面体1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 是边长为2的正方形，13AA =，113BAA DAA π∠=∠=，则1AC 的长度为（）C．【答案】A【解析】因为底面ABCD 是边长为2的正方形，侧棱13AA =，且113BAA DAA π∠=∠=，则2=4AB ，2=4AD ，21=9AA ，0AB AD ⋅=uu u r uuu r，111cos 3AB AA AB AA A AB ⋅=⋅⋅∠=，111cos 3AD AA AD AA A AD ⋅=⋅⋅∠=，则1AC 1AB AD AA =++===4、如图，在三棱柱111ABC A B C -中，1BC 与1B C 交于点O ，1160A AB A AC ∠=∠=︒，90BAC ∠=︒，14A A =，2AB AC ==，则线段AO 的长度为（）B．2C．2【答案】A【解析】由题设，易知：四边形11BCC B 是平行四边形，()111122BO BC BC BB ∴==+，111111122222AO AB BO AB BC AA AC AB ∴=+=++=++，1160A AB A AC BAC ∠=∠=∠=︒，14A A =，2AB AC ==，224AB AC ∴==，2116AA =，0AB AC ⋅=，1142cos 604AB AA AC AA ⋅=⋅=⨯⨯︒=，()()221222111141222104AO AB AC AA AB AC AA AB AC AB AA AC AA ∴=++=+++⋅+⋅+⋅=AO ∴=，即AO =．故选：A ．5、如图，在平行六面体1111ABCD A B C D -中，M 为AC 与BD 的交点，若111112A B A D A A ===，1190AA D ∠=，1111160AA B B A D ∠∠==，则1||B M 的值为（）A．1C．2D．【答案】B【解析】由题平行六面体1111ABCD A B C D -中，M 为AC 与BD 的交点，111112A B A D A A ===，1190AA D ∠=，1111160AA B B A D ∠∠==，()111111112B M B B BM A A A D A B =+=+-，所以()11111112B M A A A D A B =+-====6、如图，二面角l αβ--等于120︒，A 、B 是棱l 上两点，BD 、AC 分别在半平面α、β内，AC l ⊥，BD l ⊥，且2AB AC BD ===，则CD 的长等于________.【答案】4【解析】由二面角的平面角的定义知,120BD AC =︒，∴cos ,22cos1202BD AC BD AC BD AC ⋅==⨯⨯︒=-，由AC l ⊥，BD l ⊥，得0AC BA ⋅=，0BD BA ⋅=，又DC DB BA AC =++，∴()22222222DCDB BA ACDB BA AC DB BA DB AC BA AC=++=+++⋅+⋅+⋅()2222222122216BD AC =++-⋅=-⨯-=，所以4DC =，即4CD =.7、平行六面体ABCD-A 1B 1C 1D 1中,向量1AB,AD,AA 两两的夹角均为60°,且|AB |=1,|AD |=2,|1AA |=3,则|1AC |等于()A．5B．6C．4D．8【答案】A【解析】在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中有，11AC AB AD CC =++=1AB AD AA ++所以有1AC =1AB AD AA ++，于是有21AC =21AB AD AA ++21AC =2220001112cos602cos602cos60AB AD AA AB AD AB AA AD AA +++⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅=25所以15AC =，答案选A【题组4利用数量积证明垂直关系】1、已知空间四边形OABC 中，∠AOB =∠BOC =∠AOC ，且OA =OB =OC .M ，N 分别是OA ，BC 的中点，G 是MN 的中点；求证：OG ⊥BC .【解析】连ON 由线段中点公式得：),(41)(212121)(21OC OB OA OC OB OA ON OM OG ++=⎥⎦⎤⎢⎣⎡++=+=又OB OC BC -=,所以∙OG OB OC OB OB OA OC OC OB OC OA OB OC OC OB OA OB ∙--∙-+∙+∙=-∙++=22(41)()(41)=41(OA 22OB OC OB OA OC -+∙-∙).因为AOC OC OA ∠=∙cos .AOBOB OA ∠=∙cos=，∠AOB =∠AOC .所以BC OG ∙=0,即OG ⊥BC .2、如图，在四面体O ABC -中，M ，N ，P ，Q 分别为BC ，AC ，OA ，OB 的中点，若AB OC =，求证：PM QN ⊥．【答案】证明见解析【解析】如图，设,,OA a OB b OC c ===．因为P，M 分别为OA，BC 的中点，所以111()[()]222PM OM OP b c a b a c =-=+-=-+．因为N ，Q 分别为AC ，OB 的中点，则111()[()]222a c QN ON Qb O ac =-=+-=---r r r r uuu r uur u r u u u r r 所以22111[()]{[()]}(||||)224b a c b a c b a c PM QN ⋅=-+⋅---=---r r r r r r r r uuu r uu r u r ．又因为AB OC =，所以b AB OCc a ==-=r r uu u r uuu r r 所以0PM QN ⋅=uuu r uuu r ，所以PM QN ⊥，即PM QN ⊥．3、已知平行六面体ABCD A B C D ''''-的各棱长均为1，且3A AB A AD BAD π∠=∠=∠=''．求证：AA BD '⊥；【解析】证明：由题意，平行六面体ABCD A B C D ''''-的各棱长均为1，3A AB A AD BAD π∠=∠=∠=''，因为BD AD AB =-，所以()AA BD AA AD AB ''⋅=⋅-AA AD AA AB''=⋅-⋅11cos cos 1111022AA AD A AD AA AB A AB ''=⋅∠-⋅''∠=⨯⨯-⨯⨯=，所以AA BD '⊥.4、如图，四面体OABC 各棱的棱长都是1，D ，E 分别是OC ，AB 的中点，记OA a →→=，OB b →→=，OC c →→=.（1）用向量,,a b c →→→表示向量DE →；（2）求证DE AB ⊥.【答案】（1）12a b c →→→⎛⎫+- ⎪⎝⎭；（2）证明见解析.【解析】（1）根据题意，11112222DE DO OA AE OC OA AB OC OA OB OA →→→→→→→→→→→⎛⎫=++=-++=-++- ⎪⎝⎭1122OA OB OC a b c →→→→→→⎛⎫⎛⎫=+-=+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.（2）根据题意，,,a b c →→→相互之间的夹角为π3，且模均为1，由（1）2211=22DE AB a b c b a a b b c a c →→→→→→→→→→→→→⎛⎫⎛⎫⎛⎫⋅+-⋅-=-+-⋅+⋅ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭1111111110222⎛⎫=-+-⨯⨯+⨯⨯= ⎝⎭，所以DE AB ⊥.5、如图，正三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 11，求证：AB 1⊥BC 1.【解析】证明：11AB AB BB =+，11BC BB BC =+．因为BB1⊥平面ABC，所以10BB AB ⋅=，10BB BC ⋅=．又△ABC 为正三角形，所以2,,33AB BC BA BC ππππ<>=-<>=-=．因为1AB ⋅1BC =1()+⋅AB BB 1()+BB BC AB =⋅1BB AB +211BC BB BB ⋅++•BC⋅＝|AB |⋅|BC |•cos AB <，21BC BB >+=-1+1＝0，所以AB 1⊥BC 1．。

空间向量的数量积运算1．[多选]下列各命题中，正确的命题是( ) A ．a ·a ＝|a |B ．m (λa )·b ＝(mλ)a ·b (m ，λ∈R )C ．a ·(b ＋c )＝(b ＋c )·aD ．a 2b ＝b 2a解析：选ABC ∵a ·a ＝|a |2，∴a ·a ＝|a |，故A 正确． m (λa )·b ＝(mλa )·b ＝mλa ·b ＝(mλ)a ·b ，故B 正确．a ·(b ＋c )＝a ·b ＋a ·c ，(b ＋c )·a ＝b ·a ＋c ·a ＝a ·b ＋a ·c ＝a ·(b ＋c )，故C 正确．a 2·b ＝|a |2·b ，b 2·a ＝|b |2·a ，故D 不一定正确．2．已知e 1，e 2为单位向量，且e 1⊥e 2，若a ＝2e 1＋3e 2，b ＝k e 1－4e 2，a ⊥b ，则实数k 的值为( )A ．－6B ．6C ．3D ．－3解析：选B 由题意可得a ·b ＝0，e 1·e 2＝0，|e 1|＝|e 2|＝1，∴(2e 1＋3e 2)·(k e 1－4e 2)＝0，∴2k －12＝0，∴k ＝6.3．已知空间四边形ABCD 的每条边和对角线的长都等于a ，点E ，F 分别是BC ，AD 的中点，则AE ―→·AF―→的值为( ) A ．a 2 B ．12a 2 C ．14a 2D ．34a 2解析：选C AE ―→·AF ―→＝12(AB ―→＋AC ―→)·12AD ―→＝14(AB ―→·AD ―→＋AC ―→·AD ―→)＝14⎝⎛⎭⎪⎫a ×a ×12＋a ×a ×12＝14a 2.4．已知正三棱柱ABC -A 1B 1C 1的各条棱的长度都为2，E ，F 分别是AB ，A 1C 1的中点，则EF 的长是( )A ．2B ． 3C ． 5D ．7解析：选C 由于EF ―→＝EA ―→＋AA 1―→＋A 1F ―→，所以|EF ―→|＝(EA ―→＋AA 1―→＋A 1F ―→)2＝1＋4＋1＋2×⎝ ⎛⎭⎪⎫0＋0－12＝5，即EF 的长是 5.5.如图，已知P A ⊥平面ABC ，∠ABC ＝120°，P A ＝AB ＝BC ＝6，则PC 等于( )A ．6 2B ．6C ．12D ．144解析：选C 因为PC ―→＝P A ―→＋AB ―→＋BC ―→，所以PC ―→2＝P A ―→2＋AB ―→2＋BC ―→2＋2P A ―→·AB ―→＋2P A ―→·BC ―→＋2AB ―→·BC ―→＝36＋36＋36＋2×36cos 60°＝144，所以PC ＝12.6．已知|a |＝13，|b |＝19，|a ＋b |＝24，则|a －b |＝________. 解析：|a ＋b |2＝a 2＋2a ·b ＋b 2＝132＋2a ·b ＋192＝242，∴2a ·b ＝46，|a －b |2＝a 2－2a ·b ＋b 2＝530－46＝484，故|a －b |＝22.答案：227.如图，已知四棱柱ABCD -A 1B 1C 1D 1的底面ABCD 是矩形，AB ＝4，AA 1＝3，∠BAA 1＝60°，E 为棱C 1D 1的中点，则AB ―→·AE―→＝________. 解析：AE ―→＝AA 1―→＋AD ―→＋12AB ―→，AB ―→·AE ―→＝AB ―→·AA 1―→＋AB ―→·AD ―→＋12AB ―→2＝4×3×cos 60°＋0＋12×42＝14.答案：148．已知e 1，e 2是夹角为60°的两个单位向量，则a ＝e 1＋e 2与b ＝e 1－2e 2的夹角是________．解析：a ·b ＝(e 1＋e 2)·(e 1－2e 2)＝e 21－e 1·e 2－2e 22＝1－1×1×12－2＝－32，|a |＝a 2＝(e 1＋e 2)2＝e 21＋2e 1·e 2＋e 22＝1＋1＋1＝3，|b |＝b 2＝(e 1－2e 2)2＝e 21－4e 1·e 2＋4e 22 ＝1－2＋4＝ 3.∴cos 〈a ，b 〉＝a ·b |a ||b |＝－323＝－12.∴〈a ，b 〉＝120°. 答案：120°9.如图，在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别是C 1D 1，D 1D 的中点，正方体的棱长为1.(1)求〈CE ―→，AF ―→〉的余弦值；C 1E ―→ (2)求证：BD 1⊥EF .解：(1)AF ―→＝AD ―→＋DF ―→＝AD ―→＋12AA 1―→， CE ―→＝CC 1―→＋C 1E ―→＝AA 1―→＋12CD ―→＝AA 1―→－12AB ―→. 因为AB ―→·AD ―→＝0，AB ―→·AA 1―→＝0，AD ―→·AA 1―→＝0，所以CE ―→·AF ―→＝⎝⎛⎭⎪⎫AA 1―→－12 AB ―→ ·⎝⎛⎭⎪⎫AD ―→＋12 AA 1―→ ＝12. 又|AF ―→|＝|CE ―→|＝52，所以cos 〈CE ―→，AF ―→〉＝25. (2)证明：因为BD 1―→＝BD ―→＋DD 1―→＝AD ―→－AB ―→＋AA 1―→， EF ―→＝ED 1―→＋D 1F ―→＝－12(AB ―→＋AA 1―→)，所以BD 1―→·EF ―→＝0，所以BD 1―→⊥EF ―→.即BD 1⊥EF . 10.如图，正四棱锥P -ABCD 的各棱长都为a . (1)用向量法证明：BD ⊥PC ； (2)求|AC ―→＋PC―→|的值． 解：(1)证明：∵BD ―→＝BC ―→＋CD―→， ∴BD ―→·PC ―→＝(BC ―→＋CD ―→)·PC ―→＝BC ―→·PC ―→＋CD ―→·PC ―→ ＝|BC ―→||PC ―→|·cos 60°＋|CD ―→||PC ―→|cos 120° ＝12a 2－12a 2＝0. ∴BD ⊥PC .(2)∵AC ―→＋PC ―→＝AB ―→＋BC ―→＋PC―→， ∴|AC ―→＋PC ―→|2＝|AB ―→|2＋|BC ―→|2＋|PC ―→|2＋2AB ―→·BC ―→＋2AB ―→·PC ―→＋2BC ―→·PC ―→＝a 2＋a 2＋a 2＋0＋2a 2cos 60°＋2a 2cos 60°＝5a 2，∴|AC ―→＋PC―→|＝5a .1．[多选]在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，则下列命题正确的是( )A ．(AA 1―→＋AD ―→＋AB ―→)2＝3AB ―→2B ．A 1C ―→·(A 1B 1―→－A 1A ―→)＝0 C ．AD 1―→与A 1B ―→的夹角为60° D ．正方体的体积为|AB ―→·AA 1―→·AD ―→| 解析：选AB 如图所示，(AA 1―→＋AD ―→＋AB ―→)2＝(AA 1―→＋A 1D 1―→＋D 1C 1―→)2＝AC 1―→2＝3AB ―→2； A 1C ―→·(A 1B 1―→－A 1A ―→)＝A 1C ―→·AB 1―→＝0；AD 1―→与A 1B ―→的夹角是D 1C ―→与D 1A ―→夹角的补角，而D 1C ―→与D 1A ―→的夹角为60°，故AD 1―→与A 1B ―→的夹角为120°；正方体的体积为|AB ―→||AA 1―→||AD ―→|.综上可知，A 、B 正确． 2．设空间上有四个互异的点A ，B ，C ，D ，已知(DB ―→＋DC ―→－2DA ―→)·(AB ―→－AC―→)＝0，则△ABC 是( ) A ．直角三角形 B ．等腰三角形 C ．等腰直角三角形D ．等边三角形解析：选B 因为DB ―→＋DC ―→－2DA ―→＝(DB ―→－DA ―→)＋(DC ―→－DA ―→)＝AB ―→＋AC ―→，所以(AB ―→＋AC ―→)·(AB ―→－AC ―→)＝|AB ―→|2－|AC ―→|2＝0，所以|AB ―→|＝|AC―→|，即△ABC 是等腰三角形． 3.如图，在长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，设AD ＝AA 1＝1，AB ＝2，P 是C 1D 1的中点，则B 1C ―→与A 1P ―→所成角的大小为________，B 1C ―→·A 1P ―→＝________.解析：法一：连接A 1D ，则∠P A 1D 就是B 1C ―→与A 1P ―→所成角．连接PD ，在△P A 1D 中，易得P A 1＝DA 1＝PD ＝2，即△P A 1D 为等边三角形，从而∠P A 1D ＝60°，即B 1C ―→与A 1P ―→所成角的大小为60°.因此B 1C ―→·A 1P ―→＝2×2×cos 60°＝1.法二：根据向量的线性运算可得B 1C ―→·A 1P ―→＝(A 1A―→＋)·⎝⎛⎭⎪⎫AD ―→＋12AB ―→ ＝AD ―→2＝1. 由题意可得P A 1＝B 1C ＝2，则2×2×cos 〈B 1C ―→，A 1P ―→〉＝1，从而〈B 1C ―→，A 1P ―→〉＝60°.答案：60° 14.在四面体OABC 中，各棱长都相等，E ，F 分别为AB ，OC 的中点，求异面直线OE 与BF 所成角的余弦值．解：取OA ―→＝a ，OB ―→＝b ，OC ―→＝c ， 且|a |＝|b |＝|c |＝1，则a ·b ＝b ·c ＝c ·a ＝12. 又∵OE ―→＝12(a ＋b )，BF ―→＝12c －b ， ∴OE ―→·BF ―→＝12(a ＋b )·⎝⎛⎭⎪⎫12c －b ＝14a ·c ＋14b ·c －12a ·b －12|b |2＝－12.又|OE ―→|＝32，|BF ―→|＝32，∴cos 〈OE ―→，BF ―→〉＝OE ―→·BF ―→|OE ―→||BF―→|＝－23，∵异面直线夹角的范围为⎝ ⎛⎦⎥⎤0，π2，∴异面直线OE 与BF 所成角的余弦值为23.5．如图所示，在平行四边形ABCD 中，AB ＝AC ＝1，∠ACD ＝90°，沿着它的对角线AC 将△ACD 折起，使AB 与CD 成60°角，求此时B ，D 间的距离．解：∵∠ACD ＝90°，∴AC ―→·CD ―→＝0， 同理可得AC ―→·BA ―→＝0. ∵AB 与CD 成60°角，∴〈BA ―→，CD ―→〉＝60°或〈BA ―→，CD ―→〉＝120°. 又BD ―→＝BA ―→＋AC ―→＋CD―→， ∴|BD ―→|2＝|BA ―→|2＋|AC ―→|2＋|CD ―→|2＋2BA ―→·AC ―→＋2BA ―→·CD ―→＋2AC ―→·CD ―→＝3＋2×1×1×cos 〈BA ―→，CD ―→〉．∴当〈BA ―→，CD ―→〉＝60°时，|BD ―→|2＝4， 此时B ，D 间的距离为2；当〈BA ―→，CD ―→〉＝120°时，|BD ―→|2＝2， 此时B ，D 间的距离为 2.。