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第二章 2.3 第2课时A 组·素养自测一、选择题1．若不等式x 2＋mx ＋m2>0的解集为R ，则实数m 的取值X 围为( D )A ．m >2B ．m <2C ．m <0，或m >2D ．0<m <2[解析] 由Δ＝m 2－4×m2＝m 2－2m <0可得．2．已知不等式x 2＋ax ＋4<0的解集为空集，则a 的取值X 围是( A ) A ．－4≤a ≤4 B ．－4<a <4 C ．a ≤－4，或a ≥4D ．a <－4，或a >4[解析] 由Δ＝a 2－4×4≤0可得．3．若存在x 0∈R ，使得x 20＋2x 0＋m <0成立，则实数m 的取值X 围是( B ) A ．m ≤1 B ．m <1 C ．m >1D ．m ≥1[解析] 由题意可得Δ＝4－4m >0，∴m <1.4．已知关于x 的不等式x 2－ax －b <0的解集是{x |2<x <3}，则a ＋b 的值是( C ) A ．－11 B ．11 C ．－1D ．1[解析] 由已知可得2,3是方程x 2－ax －b ＝0的根，故a ＝5，b ＝－6，∴a ＋b ＝－1，故选C ．5．如果ax 2＋bx ＋c >0的解集为{x |x <－2，或x >4}，那么对于函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c ，应有( D )A ．f (5)<f (2)<f (－1)B ．f (2)<f (5)<f (－1)C ．f (－1)<f (2)<f (5)D ．f (2)<f (－1)<f (5)[解析] 由条件知a >0，且⎩⎪⎨⎪⎧－ba＝－2＋4，ca ＝－2×4，解得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝－2a ，c ＝－8a ，所以f (x )＝ax 2－2ax －8a ＝a [(x －1)2－9]， 则f (－1)＝－5a ，f (2)＝－8a ，f (5)＝7a . 又因为a >0，所以f (2)<f (－1)<f (5)．6．如果方程x 2＋(m －1)x ＋m 2－2＝0的两个实根一个小于－1，另一个大于1，那么实数m 的取值X 围是( D )A ．－2<m < 2B ．－2<m <0C ．－2<m <1D ．0<m <1[解析] 令f (x )＝x 2＋(m －1)x ＋m 2－2，则⎩⎪⎨⎪⎧f 1＝m 2＋m －2<0，f －1＝m 2－m <0，解得0<m <1，故选D ．二、填空题7．若不等式x 2－ax －a ≤－3的解集为空集，则实数a 的取值X 围是__{a |－6<a <2}__. [解析] 不等式x 2－ax －a ≤－3可化为x 2－ax －a ＋3≤0，由不等式x 2－ax －a ≤－3的解集为空集，得Δ＝(－a )2－4(－a ＋3)<0， 即a 2＋4a －12<0，解得－6<a <2，则实数a 的取值X 围是{a |－6<a <2}． 8．若关于x 的不等式x －ax ＋1>0的解集为{x |x <－1或x >4}，则实数a ＝__4__. [解析] 不等式x －ax ＋1>0等价于(x －a )(x ＋1)>0， 因为不等式x －ax ＋1>0的解集为{x |x <－1或x >4}，所以a ＝4. 9．若不等式x 2＋2x ＋2>|a －2|对于一切实数x 均成立，则实数a 的取值X 围是__{a |1<a <3}__.[解析]∵x 2＋2x ＋2＝(x ＋1)2＋1≥1，∴当x ＝－1时，x 2＋2x ＋2有最小值，最小值为1， 由不等式x 2＋2x ＋2>|a －2|对于一切实数x 均成立， 得|a －2|<1，解得1<a <3， ∴实数a 的取值X 围是{a |1<a <3}． 三、解答题10．关于x 的不等式E ：ax 2＋ax －2≤0，其中a ∈R . (1)当a ＝1时，求不等式E 的解集；(2)若不等式E 在R 上恒成立，某某数a 的取值X 围．[解析] (1)当a ＝1时，不等式E ：ax 2＋ax －2≤0可化为x 2＋x －2≤0， 即(x ＋2)(x －1)≤0，方程(x ＋2)(x －1)＝0的两根为x 1＝－2，x 2＝1， 则不等式x 2＋x －2≤0的解集是{x |－2≤x ≤1}， ∴当a ＝1时，不等式E 的解集为{x |－2≤x ≤1}．(2)当a ＝0时，不等式E 化为0·x 2＋0·x －2≤0，对x ∈R 恒成立，即a ＝0满足题意． 当a ≠0时，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a <0，Δ＝a 2－4a－2≤0⇒⎩⎪⎨⎪⎧a <0，－8≤a ≤0，解得－8≤a <0.综上可知，a 的取值X 围为{a |－8≤a ≤0}．11．汽车在行驶中，由于惯性的作用，刹车后还要继续向前滑行一段距离才能停止，我们称这段距离为“刹车距离”．刹车距离是分析事故的一个重要因素．在一个限速为40 km/h 的弯道上，甲、乙两辆汽车相向而行，发现情况不对，同时刹车，但还是相碰了．事后现场勘查测得甲车的刹车距离略超过12 m ，乙车的刹车距离略超过10 m ．已知甲、乙两种车型的刹车距离s (m)与车速x (km/h)之间分别有如下关系：s 甲＝0.1x ＋0.01x 2，s 乙＝0.05x ＋0.005x 2.问：甲、乙两车有无超速现象？[解析] 由题意知，对于甲车，有0.1x ＋0.01x 2>12，即x 2＋10x －1 200>0，解得x >30或x <－40(不符合实际意义，舍去)，这表明甲车的车速超过30 km/h.但根据题意知刹车距离略超过12 m ，由此估计甲车的车速不会超过限速40 km/h. 对于乙车，有0.05x ＋0.005x 2>10，即x 2＋10x －2000>0，解得x >40或x <－50(不符合实际意义，舍去)，这表明乙车的车速超过40 km/h ，即超过规定限速．B 组·素养提升一、选择题1．不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x x ＋2>0，|x |<1的解集为( C )A ．{x |－1<x <0}B ．{x |－2<x <－1}C ．{x |0<x <1}D ．{x |x >1}[解析] 由x (x ＋2)>0，得x >0或x <－2.又由|x |<1，得－1<x <1，所以不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x x ＋2>0，|x |<1的解集为{x |0<x <1}．2．不等式x 2－2x －2x 2＋x ＋1<2的解集为( A )A ．{x |x ≠－2}B ．RC ．∅D ．{x |x <－2或x >2}[解析]∵x 2＋x ＋1>0恒成立，∴原不等式⇔x 2－2x －2<2x 2＋2x ＋2⇔x 2＋4x ＋4>0⇔(x ＋2)2>0， ∴x ≠－2，∴不等式的解集为{x |x ≠－2}．3．(多选题)不等式x 2＋ax ＋b ≤0(a ，b ∈R )的解集为{x |x 1≤x ≤x 2}，且|x 1|＋|x 2|≤2，其中错误的命题为( ACD )A ．|a |≥1B ．b ≤1C ．|a ＋2b |≥2D ．|a ＋2b |≤2[解析] 由题意知x 1x 2＝b ，|x 1|＋|x 2|≤2，不妨令a ＝－1，b ＝0，则x 1＝0，x 2＝1，但|a ＋2b |＝1，所以C 不正确；令a ＝2，b ＝1，则x 1＝x 2＝1，但|a ＋2b |＝4，所以D 不正确；令a ＝0，b ＝－1，则x 1＝－1，x 2＝1，但|a |＝0，故A 不正确；b ＝x 1x 2≤(x 1＋x 22)2≤⎝⎛⎭⎪⎫|x 1|＋|x 2|22≤1，所以B 正确，故选ACD ．4．(多选题)已知关于x 的方程x 2＋(m －3)x ＋m ＝0，下列结论正确的是( BCD ) A ．方程x 2＋(m －3)x ＋m ＝0有实数根的充要条件是m ∈{m |m <1或m >9} B ．方程x 2＋(m －3)x ＋m ＝0有一正一负根的充要条件是m ∈{m |m <0} C ．方程x 2＋(m －3)x ＋m ＝0有两正实数根的充要条件是m ∈{m |0<m ≤1} D ．方程x 2＋(m －3)x ＋m ＝0无实数根的必要条件是m ∈{m |m >1}[解析] 在A 中，由Δ＝(m －3)2－4m ≥0得m ≤1或m ≥9，故A 错误；在B 中，当x ＝0时，函数y ＝x 2＋(m －3)x ＋m 的值为m ，由二次函数的图象知，方程有一正一负根的充要条件是m ∈{m |m <0}，故B 正确；在C 中，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝m －32－4m ≥0，3－m >0，m >0，解得0<m ≤1，故C 正确；在D 中，由Δ＝(m －3)2－4m <0得1<m <9，又{m |1<m <9}⊆{m |m >1}，故D 正确，故选BCD ．二、填空题5．若对任意实数x ，不等式2kx 2＋kx －3<0恒成立，则实数k 的取值X 围是__{k |－24<k ≤0}__.[解析] 当k ＝0时，不等式为－3<0，不等式恒成立；当k ≠0时，若不等式恒成立，则⎩⎪⎨⎪⎧k <0，Δ<0，解得－24<k <0.综上所述，－24<k ≤0.6．关于x 的方程x 2－(k ＋1)x ＋2k －1＝0的根一个大于4，另一个小于4，则实数k 的取值X 围是__⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫k ⎪⎪⎪k >112__. [解析] 令f (x )＝x 2－(k ＋1)x ＋2k －1，则f (4)<0，即42－4(k ＋1)＋2k －1<0，整理有2k －11>0，解得k >112.7．若不等式x 2＋ax ＋1≥0对一切x ∈{x |0<x ≤12}成立，则a 的最小值为__－52__.[解析]∵x 2＋ax ＋1≥0对一切x ∈{x |0<x ≤12}成立，∴a ≥－(x ＋1x )在x ∈{x |0<x ≤12}上恒成立．令g (x )＝－(x ＋1x )，则g (x )在{x |0<x ≤12}上为增函数．∴g (x )max ＝g (12)＝－52.∴a ≥－52.∴a 的最小值为－52.三、解答题8.如图，有一长AM ＝30米，宽AN ＝20米的矩形地块，物业计划将其中的矩形ABCD 建为仓库，要求顶点C 在地块的对角线MN 上，B ，D 分别在边AM ，AN 上，其他地方建停车场和路，设AB ＝x 米．(1)求矩形ABCD 的面积S 关于x 的函数解析式；(2)若要求仓库占地面积不小于144平方米，求x 的取值X 围．[解析] (1)由题意知，△NDC ∽△NAM ，则DC AM ＝ND NA ，即x 30＝20－AD 20，解得AD ＝20－23x .所以矩形ABCD 的面积S 关于x 的函数解析式为S ＝20x －23x 2(0<x <30)．(2)由题意得20x －23x 2≥144，即x 2－30x ＋216≤0，解得12≤x ≤18.故x 的取值X 围是{x |12≤x ≤18}．。
第2课时 一元二次不等式的应用学习目标 1.经历从实际情境中抽象出一元二次不等式的过程．了解一元二次不等式的现实意义.2.能够构建一元二次函数模型，解决实际问题．知识点一 简单的分式不等式的解法 分式不等式的解法：思考x －3x ＋2>0与(x －3)(x ＋2)>0等价吗？x －3x ＋2≥0与(x －3)(x ＋2)≥0等价吗？ 答案x －3x ＋2>0与(x －3)(x ＋2)>0等价；x －3x ＋2≥0与(x －3)(x ＋2)≥0不等价，前者的解集中没有－2，后者的解集中有－2.知识点二 一元二次不等式恒成立问题 1．转化为一元二次不等式解集为R 的情况，即 ax 2＋bx ＋c >0(a ≠0)恒成立⇔⎩⎪⎨⎪⎧ a >0，Δ<0；ax 2＋bx ＋c <0(a ≠0)恒成立⇔⎩⎪⎨⎪⎧a <0，Δ<0.2．分离参数，将恒成立问题转化为求最值问题． 知识点三 利用不等式解决实际问题的一般步骤 1．选取合适的字母表示题目中的未知数．2．由题目中给出的不等关系，列出关于未知数的不等式(组)． 3．求解所列出的不等式(组)． 4．结合题目的实际意义确定答案．思考 解一元二次不等式应用题的关键是什么？答案 解一元二次不等式应用题的关键在于构造一元二次不等式模型，选择其中起关键作用的未知量为x ，用x 来表示其他未知量，根据题意，列出不等关系再求解．1．不等式x －2x －1<0的解集为________．答案 {x |1<x <2}解析 原不等式⇔(x －1)(x －2)<0，∴1<x <2. 2．不等式1x ≤1的解集为________．答案 {x |x ≥1或x <0}解析 ∵1x ≤1，∴x －1x ≥0，∴⎩⎪⎨⎪⎧x (x －1)≥0，x ≠0，∴x ≥1或x <0.3．若方程x 2＋ax ＋1＝0的解集是∅，则实数a 的取值范围是________． 答案 －2<a <2解析 由题意可得a 2－4<0，所以－2<a <2.4．对∀x ∈R ，不等式x 2＋2x ＋m >0恒成立，则实数m 的取值范围是________． 答案 m >1解析 由题意可得22－4m <0，所以m >1.一、简单的分式不等式的解法 例1 解下列不等式： (1)x ＋12x －1<0； (2)1－x 3x ＋5≥0； (3)x －1x ＋2>1. 解 (1)原不等式可化为(x ＋1)(2x －1)<0， ∴－1<x <12，故原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪－1<x <12.(2)原不等式可化为x －13x ＋5≤0，∴⎩⎪⎨⎪⎧(x －1)(3x ＋5)≤0，3x ＋5≠0，∴⎩⎨⎧－53≤x ≤1，x ≠－53，即－53<x ≤1.故原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪－53<x ≤1. (3)原不等式可化为x －1x ＋2－1>0，∴x －1－(x ＋2)x ＋2>0，－3x ＋2>0，则x <－2.故原不等式的解集为{x |x <－2}． (学生)反思感悟 分式不等式的解法(1)对于比较简单的分式不等式，可直接转化为一元二次不等式或一元一次不等式组求解，但要注意等价变形，保证分母不为零．(2)对于不等号右边不为零的较复杂的分式不等式，先移项再通分(不要去分母)，使之转化为不等号右边为零，然后再用上述方法求解． 跟踪训练1 解下列不等式： (1)x ＋1x －3≥0；(2)5x ＋1x ＋1<3. 解 (1)不等式x ＋1x －3≥0可转化成不等式组⎩⎨⎧(x ＋1)(x －3)≥0，x ≠3.解这个不等式组，可得x ≤－1或x >3.即知原不等式的解集为{x |x ≤－1或x >3}． (2)不等式5x ＋1x ＋1<3可改写为5x ＋1x ＋1－3<0，即2(x －1)x ＋1<0.可将这个不等式转化成2(x －1)(x ＋1)<0， 解得－1<x <1.所以，原不等式的解集为{x |－1<x <1}． 二、不等式的恒成立问题例2 对∀x ∈R ，不等式mx 2－mx －1<0，求m 的取值范围． 解 若m ＝0，显然－1<0恒成立；若m ≠0，则⎩⎪⎨⎪⎧m <0，Δ＝m 2＋4m <0⇒解得－4<m <0.综上，m 的取值范围为{m |－4<m ≤0}． (教师) 延伸探究1．在本例中，是否存在m ∈R ，使得∀x ∈R ，不等式mx 2－mx －1>0，若存在，求m 的取值范围；若不存在，说明理由． 解 显然m ＝0时不等式不成立；由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧m >0，Δ＝m 2＋4m <0，解得m ∈∅，所以不存在m ∈R ，使得∀x ∈R ，不等式mx 2－mx －1>0.2．在本例中，把条件“∀x ∈R ”改为“x ∈{x |2≤x ≤3}”，其余不变，求m 的取值范围． 解 由不等式mx 2－mx －1<0得m (x 2－x )<1， 因为x ∈{x |2≤x ≤3}，所以x 2－x >0， 所以m (x 2－x )<1可化为m <1x 2－x， 因为x 2－x ＝⎝⎛⎭⎫x －122－14≤6， 所以1x 2－x ≥16，所以m <16.即m 的取值范围是⎩⎨⎧⎭⎬⎫m ⎪⎪m <16. (学生)反思感悟 一元二次不等式恒成立问题的解法(1)转化为对应的二次函数图象与x 轴的交点问题，考虑两个方面：x 2的系数和对应方程的判别式的符号．(2)转化为二次函数的最值问题：分离参数后，求相应二次函数的最值，使参数大于(小于)这个最值．跟踪训练2 若关于x 的不等式(k －1)x 2＋(k －1)x －1<0恒成立，则实数k 的取值范围是________． 答案 {k |－3<k ≤1}解析 当k ＝1时，－1<0恒成立；当k ≠1时，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧k －1<0，(k －1)2＋4(k －1)<0，解得－3<k <1，因此实数k 的取值范围为{k |－3<k ≤1}． 三、一元二次不等式的实际应用例3 某农贸公司按每担200元的价格收购某农产品，并每100元纳税10元(又称征税率，为10个百分点)，计划可收购a 万担．政府为了鼓励收购公司多收购这种农产品，决定将征税率降低x (x >0)个百分点，预测收购量可增加2x 个百分点． (1)写出降税后税收y (万元)与x 的关系式；(2)要使此项税收在税率调节后，不少于原计划税收的83.2%，试确定x 的取值范围． 解 (1)降低税率后的税率为(10－x )%，农产品的收购量为a (1＋2x %)万担， 收购总金额为200a (1＋2x %)万元． 依题意得y ＝200a (1＋2x %)(10－x )% ＝150a (100＋2x )(10－x )(0<x <10)． (2)原计划税收为200a ×10%＝20a (万元)． 依题意得150a (100＋2x )(10－x )≥20a ×83.2%，化简得x 2＋40x －84≤0，解得－42≤x ≤2. 又因为0<x <10，所以0<x ≤2. 即x 的取值范围为{x |0<x ≤2}． (学生)反思感悟 解不等式应用题的步骤跟踪训练3 某农家院有客房20间，日常每间客房日租金为80元，每天都客满．该农家院欲提高档次，并提高租金，经市场调研，每间客房日租金每增加10元，客房出租数就会减少1间．每间客房日租金不得超过130元，要使每天客房的租金总收入不低于1 800元，该农家院每间客房日租金提高的空间有多大？解 设每间客房日租金提高x 个10元，即每间客房日租金提高到(80＋10x )元，则客房出租数减少x 间，此时客房的租金总收入为(80＋10x )(20－x )元．因为每天客房的租金总收入不低于1 800元，所以(80＋10x )(20－x )≥1 800. 化简，得x 2－12x ＋20≤0.解得2≤x ≤10，所以20≤10x ≤100. 又由题意可知80＋10x ≤130，所以10x ≤50.因此，该农家院每间客房日租金提高的空间是20～50元．1．不等式1＋x1－x ≥0的解集为( )A ．{x |－1<x ≤1}B ．{x |－1≤x <1}C ．{x |－1≤x ≤1}D ．{x |－1<x <1}答案 B解析 原不等式⇔⎩⎪⎨⎪⎧(x ＋1)(x －1)≤0，x －1≠0，∴－1≤x <1.2．若集合A ＝{x |－1≤2x ＋1≤3}，B ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪x －2x ≤0，则A ∩B 等于( )A ．{x |－1≤x <0}B ．{x |0<x ≤1}C ．{x |0≤x <2}D ．{x |0≤x ≤1}答案 B解析 ∵A ＝{x |－1≤x ≤1}，B ＝{x |0<x ≤2}， ∴A ∩B ＝{x |0<x ≤1}．3．不等式x ＋1x≥5的解集是________．答案 ⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪0<x ≤14 解析 原不等式⇔x ＋1x －5≥0⇔4x －1x ≤0⇔⎩⎪⎨⎪⎧x (4x －1)≤0，x ≠0，解得0<x ≤14.4．不等式x 2＋ax ＋4<0的解集不是空集，则实数a 的取值范围是________． 答案 a >4或a <－4解析 ∵x 2＋ax ＋4<0的解集不是空集， 即不等式x 2＋ax ＋4<0有解，∴Δ＝a 2－4×1×4>0，解得a >4或a <－4.5．某商品在最近30天内的价格y 1与时间t (单位：天)的关系式是y 1＝t ＋10(0<t ≤30，t ∈N )；销售量y 2与时间t 的关系式是y 2＝－t ＋35(0<t ≤30，t ∈N )，则使这种商品日销售金额z 不小于500元的t 的取值范围为________． 答案 {t |10≤t ≤15，t ∈N } 解析 z ＝(t ＋10)(－t ＋35)， 依题意有(t ＋10)·(－t ＋35)≥500，解得10≤t ≤15，t ∈N ，所以解集为{t |10≤t ≤15，t ∈N }．1．知识清单：(1)简单的分式不等式的解法． (2)不等式的恒成立问题． (3)一元二次不等式的实际应用． 2．方法归纳：转化、恒等变形．3．常见误区：(1)解分式不等式要等价变形．(2)利用一元二次不等式解决实际问题时，应注意实际意义．1．不等式x －2x ＋1≤0的解集是( )A ．{x |x <－1或－1<x ≤2}B ．{x |－1≤x ≤2}C ．{x |x <－1或x ≥2}D ．{x |－1<x ≤2} 答案 D解析 此不等式等价于⎩⎪⎨⎪⎧(x －2)(x ＋1)≤0，x ＋1≠0，∴－1<x ≤2.2．不等式3x －12－x≥1的解集是( )A.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪34≤x ≤2 B.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪34≤x <2 C.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪ x >2或x ≤34 D.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ≥34 答案 B解析 不等式3x －12－x ≥1，移项得3x －12－x －1≥0，即x －34x －2≤0，可化为⎩⎪⎨⎪⎧⎝⎛⎭⎫x －34(x －2)≤0，x －2≠0，解得34≤x <2，则原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪34≤x <2. 3．若关于x 的不等式ax －b >0的解集为{x |x >1}，则关于x 的不等式ax ＋bx －2>0的解集为( )A ．{x |x >1或x <－2}B ．{x |1<x <2}C ．{x |x >2或x <－1}D ．{x |－1<x <2}答案 C解析 x ＝1为ax －b ＝0的根，∴a －b ＝0，即a ＝b ， ∵ax －b >0的解集为{x |x >1}，∴a >0， 故ax ＋b x －2＝a (x ＋1)x －2>0，等价为(x ＋1)(x －2)>0. ∴x >2或x <－1.4．已知不等式－x 2＋4x ≥a 2－3a 在R 上有解，则实数a 的取值范围为( ) A ．{a |－1≤a ≤4} B ．{a |－1<a <4} C ．{a |a ≥4或a ≤－1} D ．{a |－4≤a ≤1}答案 A解析 由题意知，原不等式可化为－(x －2)2＋4≥a 2－3a 在R 上有解， ∴a 2－3a ≤4，即(a －4)(a ＋1)≤0，∴－1≤a ≤4.5．某地每年销售木材约20万立方米，每立方米价格为2 400元，为了减少木材消耗，决定按销售收入的t %征收木材税，这样每年的木材销售量减少52t 万立方米．为了既减少木材消耗又保证税金收入每年不少于900万元，则t 的取值范围是( ) A ．{t |1≤t ≤3} B ．{t |3≤t ≤5} C ．{t |2≤t ≤4} D ．{t |4≤t ≤6} 答案 B解析 设按销售收入的t %征收木材税时，税金收入为y 万元， 则y ＝2 400⎝⎛⎭⎫20－52t ×t %＝60(8t －t 2)． 令y ≥900，即60(8t －t 2)≥900.解得3≤t ≤5. 6．不等式x ＋5x －2>0的解集为________．答案 {x |x <－5或x >2} 解析x ＋5x －2>0⇔(x ＋5)(x －2)>0⇔x <－5或x >2. 7．不等式1x －1≥－1的解集是________．答案 {x |x ≤0或x >1}解析1x －1≥－1⇔1x －1＋1≥0⇔x x －1≥0 ⇔⎩⎪⎨⎪⎧x (x －1)≥0，x －1≠0，∴不等式的解集是{x |x ≤0或x >1}．8．若实数a ，b 满足a ＋b <0，则不等式x ＋a b －x <0的解集为________．答案 {x |x >－a 或x <b }解析 原不等式等价于(x ＋a )(b －x )<0⇔(x －b )(x ＋a )>0. 因为a ＋b <0，所以b <－a .所以原不等式的解集为{x |x >－a 或x <b }． 9．解下列不等式： (1)2x －5x ＋4<0；(2)x ＋12x －3≤1. 解 (1)2x －5x ＋4<0⇔(2x －5)(x ＋4)<0⇔－4<x <52，∴原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪－4<x <52. (2)∵x ＋12x －3≤1，∴x ＋12x －3－1≤0，∴－x ＋42x －3≤0，即x －4x －32≥0.此不等式等价于(x －4)⎝⎛⎭⎫x －32≥0且x －32≠0， 解得x <32或x ≥4，∴原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x <32或x ≥4. 10．某汽车厂上年度生产汽车的投入成本为10万元/辆，出厂价为12万元/辆，年销售量为10 000辆．本年度为适应市场需求，计划提高产品质量，适度增加投入成本．若每辆车投入成本增加的比例为x (0<x <1)，则出厂价相应地提高比例为0.75x ，同时预计年销售量增加的比例为0.6x ，已知年利润＝(出厂价－投入成本)×年销售量．(1)写出本年度预计的年利润y 与投入成本增加的比例x 的关系式；(2)为使本年度的年利润比上年度有所增加，则投入成本增加的比例x 应在什么范围内？ 解 (1)由题意得y ＝[12(1＋0.75x )－10(1＋x )]×10 000×(1＋0.6x )(0<x <1)，整理得y ＝－6 000x 2＋2 000x ＋20 000(0<x <1)．(2)要保证本年度的年利润比上年度有所增加，必须有⎩⎪⎨⎪⎧ y －(12－10)×10 000>0，0<x <1，即⎩⎪⎨⎪⎧－6 000x 2＋2 000x >0，0<x <1，解得0<x <13， 所以投入成本增加的比例x 应在0<x <13的范围内．11．二次不等式ax 2＋bx ＋c <0的解集为全体实数的条件是( )A.⎩⎪⎨⎪⎧ a >0，Δ>0B.⎩⎪⎨⎪⎧ a >0，Δ<0C.⎩⎪⎨⎪⎧ a <0，Δ>0D.⎩⎪⎨⎪⎧a <0，Δ<0 答案 D解析 二次不等式ax 2＋bx ＋c <0的解集为全体实数等价于二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象全部在x 轴下方，需要开口向下，且与x 轴无交点，故需要⎩⎨⎧ a <0，Δ<0.12．若a >0，b >0，则不等式－b <1x<a 的解集为( ) A.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪ x <－1b 或x >1a B.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪ －1a <x <1b C.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪ x <－1a 或x >1b D.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪－1b <x <0或0<x <1a 答案 A解析 原不等式可化为⎩⎨⎧ 1x >－b ，1x <a ，即⎩⎪⎨⎪⎧ bx ＋1x >0，ax －1x >0， 可得⎩⎨⎧ x <－1b 或x >0，x <0或x >1a ， 故不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪ x <－1b 或x >1a . 13．设x 2－2x ＋a －8≤0对于任意x ∈{x |1≤x ≤3}恒成立，则a 的取值范围是________． 答案 {a |a ≤5}解析 原不等式x 2－2x ＋a －8≤0转化为a ≤－x 2＋2x ＋8对任意x ∈{x |1≤x ≤3}恒成立，设y ＝－x 2＋2x ＋8，易知y 在{x |1≤x ≤3}上的最小值为5.∴a ≤5.14．在一个限速40 km/h 的弯道上，甲、乙两辆汽车相向而行，发现情况不对，同时刹车，但还是相碰了．事发后现场测得甲车的刹车距离略超过12 m ，乙车的刹车距离略超过10 m ．又知甲、乙两种车型的刹车距离s m 与车速x km /h 之间分别有如下关系：s 甲＝0.1x ＋0.01x 2， s 乙＝0.05x ＋0.005x 2.则这次事故的主要责任方为________．答案 乙车解析 由题意列出不等式s 甲＝0.1x ＋0.01x 2>12，s 乙＝0.05x ＋0.005x 2>10.分别求解，得x 甲<－40或x 甲>30，x 乙<－50或x 乙>40.由于x >0，从而得x 甲>30 km /h ，x 乙>40 km/h.经比较知乙车超过限速，应负主要责任．15．不等式x 2＋8y 2≥λy (x ＋y )对于任意的x ，y ∈R 恒成立，则实数λ的取值范围为________． 答案 －8≤λ≤4解析 因为x 2＋8y 2≥λy (x ＋y )对于任意的x ，y ∈R 恒成立，所以x 2＋8y 2－λy (x ＋y )≥0对于任意的x ，y ∈R 恒成立，即x 2－λyx ＋(8－λ)y 2≥0恒成立，由二次不等式的性质可得，Δ＝λ2y2＋4(λ－8)y2＝y2(λ2＋4λ－32)≤0，所以(λ＋8)(λ－4)≤0，解得－8≤λ≤4.16．某热带风暴中心B位于海港城市A南偏东60°的方向，与A市相距400 km.该热带风暴中心B以40 km/h的速度向正北方向移动，影响范围的半径是350 km.问：从此时起，经多少时间后A市将受热带风暴影响，大约受影响多长时间？解如图，以A市为原点，正东方向为x轴建立直角坐标系．∵AB＝400，∠BAx＝30°，∴台风中心B的坐标为(2003，－200)，x h后台风中心B到达点P(2003，40x－200)处．由已知，A市受台风影响时，有AP≤350，即(2003)2＋(40x－200)2≤3502，整理得16x2－160x＋375≤0，解这个不等式得，3.75≤x≤6.25，A市受台风影响的时间为6.25－3.75＝2.5(h)．故在3.75 h后，A市会受到台风的影响，时间长达2.5 h.。
2.3.1乘方第1课时有理数的乘方运算课时目标1.经历探索有理数乘方的意义的过程,体会转化的数学思想方法,培养学生的运算能力.2.理解乘方的意义,了解乘方与幂的关系,能识别指数和底数,掌握幂的符号法则,会进行乘方运算.3.经历发现问题、提出问题、分析问题和解决问题的过程,培养学生科学的思考问题的方法.学习重点乘方的意义以及幂的符号法则.学习难点幂、底数、指数的概念.课时活动设计情境引入问题1:如果一个正方形的边长为2,那么该正方形的面积是多少?问题2:如果一个正方体的棱长为2,那么该正方体的体积是多少?解:该正方形的面积为2×2,该正方体的体积为2×2×2.设计意图:创设情境,引入新课,为本节课的学习作铺垫.探究新知探究1有理数的乘方在上一教学活动中,所列的两个式子有什么特殊之处?你还能写出几个具有上述特征的式子吗?学生自主交流,独立完成,教师适时给予点拨.根据你发现的特征,完成下面的填空.(1)5×5×5记作53,读作5的3次方.(2)5×5×5×5记作54,读作5的4次方.(3)5×5×5×5×5记作55,读作5的5次方.⏟(4)5×5×5×…×5×5记作5n,读作5的n次方.n个5请你根据上面的内容,自己总结发现的规律.,记作a n,读作“a的n次方”.⏟总结:一般地,n个相同的乘数a相乘,即a·a·…·an个求n个相同乘数的积的运算,叫作乘方,乘方的结果叫作幂.在a n中,a叫作底数,n叫作指数,当a n看作a的n次方的结果时,也可读作“a的n次幂”.例如,在94中,底数是9,指数是4,94读作“9的4次方”,或“9的4次幂”.一个数可以看作这个数本身的1次方.例如,5就是51.指数1通常省略不写.因为a n就是n个a相乘,所以可以利用有理数的乘法运算来进行有理数的乘方运算.探究2幂的符号法则思考:(1)-26的底数是多少?它与(-2)6表示的意义相同吗?(2)计算,并将下表补充完整.思考:上表中的计算结果的符号有什么规律?学生归纳总结.总结:正数的任何次幂都是正数,负数的奇次幂是负数,负数的偶次幂是正数. 0的任何正整数次幂都是0.设计意图:通过探究引导学生思考有理数乘方的意义,区分-a n 与(-a )n ,通过让学生计算乘方,发现幂的符号规律,并总结出幂的符号法则.典例精讲 例1 计算:(1)(-4)3; (2)(-2)4; (3)(-23)3. 解:(1)(-4)3=(-4)×(-4)×(-4)=-64. (2)(-2)4=(-2)×(-2)×(-2)×(-2)=16. (3)(-23)3=(-23)×(-23)×(-23)=-827. 例2 用计算器计算(-8)5和(-3)6. 解:用带符号键的计算器.显示结果为-32 768.显示结果为729.因此,(-8)5=-32 768,(-3)6=729.设计意图:通过例题练习和讲解,提高学生的运算能力,并学会用计算器计算有理数的乘方运算,提高对新知识的应用能力.巩固训练1.(-2)3等于( C )A.-6B.6C.-8D.82.下列各组数中,运算结果相等的是( A )A.-53与(-5)3B.34与43C.-22与(-2)2D.(45)2与4253.计算3×3×…×32+2+⋯+2⏞ m 个3⏟ n 个2的结果为( A ) A.3m2nB.3m2nC.3mn 2D.m 32n4.(-2)5的底数是 -2 ,指数是 5 ,表示的意义是 5个-2相乘的积 ,即(-2)5= -32 .5.计算:(1)(-3)3; (2)(-5)4; (3)(-13)3; (4)0.23; (5)-72. 解:(1)(-3)3=(-3)×(-3)×(-3)=-27. (2)(-5)4=(-5)×(-5)×(-5)×(-5)=625. (3)(-13)3=(-13)×(-13)×(-13)=-127. (4)0.23=0.2×0.2×0.2=0.008. (5)-72=-(7×7)=-49.学生自主完成,教师订正并给予评价.设计意图:通过设置不同层次的练习,不仅能使学生的新知得到及时巩固,也能使学生的思维能力得到有效提高,能更好地将知识学以致用.最后针对练习结果进行统一订正,并对同学们的表现作出及时评价,体现课程评价在课堂中的合理运用.课堂小结1.乘方中的底数、指数和幂的概念,会求有理数的正整数指数幂,掌握乘方运算与乘法运算的关系,会进行有理数的乘方运算.2.强调有理数乘方的符号规律.3.负数的奇次幂是负数,负数的偶次幂是正数;正数的任何次幂都是正数;0的任何正整数次幂都是0.设计意图:学生通过自主反思,可加深对有理数乘方意义的理解,通过反思数学思想方法与活动经验,培养学生的数学思维品质,让学生学会学习,学会思考,使学生真正深入数学的学习过程中,抓住数学思维的内在实质.课堂8分钟.1.教材第52页练习第1,2,3题,第56页习题2.3第1,2题.2.七彩作业.教学反思第2课时有理数的混合运算课时目标1.能确定有理数加、减、乘、除、乘方混合运算的运算顺序,会进行有理数的混合运算,培养学生的运算能力.2.在进行有理数混合运算的过程中,能合理地使用运算律进行简化运算.学习重点掌握有理数混合运算的运算顺序,会进行有理数的混合运算.学习难点熟练合理使用运算律进行混合运算.课时活动设计情境引入计算:1. (1)-32; (2)(-3)2; (3)-16; (4)(-1)6. 2. -3÷25×52.3. 18-32÷8+(-2)2×5.问题:先计算,再思考上述运算中有几种运算?分别是什么?结合经验你能说说混合运算的运算顺序吗?设计意图:通过有理数的混合运算,让学生先独立思考运算顺序,然后谈一谈自己的理解,加深学生对运算顺序的理解.探究新知探究 有理数的混合运算问题:如何计算18-32÷8+(-2)2×5呢?分几步运算? 学生先独立思考,分解计算步骤.教师给出下述计算过程. 18-32÷8+(-2)2×5 ① ① ①所以原式=①-①+①=18-4+20=34.由此可知,有理数混合运算顺序:先算乘方,再算乘除,最后算加减.如果有括号,要先算括号内的.总结:有理数的加、减、乘、除、乘方混合运算的运算顺序为 1.先乘方,再乘除,最后加减; 2.同级运算,从左到右进行;3.如有括号,先做括号内的运算,按小括号、中括号、大括号依次进行. 设计意图:通过探究,让学生确定有理数的加、减、乘、除、乘方混合运算的运算顺序,会进行有理数的混合运算,培养学生的运算能力.典例精讲 例1 计算:(1)2×(-3)3-4×(-3)+15;(2)(-2)3+(-3)×(-42+2)-(-3)2÷(-2).解:(1)原式=2×(-27)-(-12)+15=-54+12+15=-27.(2)原式=-8+(-3)×(-16+2)-9÷(-2)=-8+(-3)×(-14)-(-4.5)=-8+42+4.5=38.5. 例2 观察下面三行数: -2,4,-8,16,-32,64,…;① 0, 6, -6, 18, -30, 66, …; ① -1, 2, -4, 8, -16, 32, …. ①(1)第①行中的数可以看成按什么规律排列? (2)第①①行中的数与第①行中的数分别有什么关系? (3)取每行中的第10个数,计算这三个数的和.分析:观察第①行中的数,发现各数均为2的倍数,联系数的乘方,从符号和绝对值两方面考虑,可以发现排列的规律.解:(1)第①行中的数可以看成按如下规律排列:-2,(-2)2,(-2)3,(-2)4,….(2)对比第①①两行中位置对应的数,可以发现:第①行中的数是第①行中相应的数加2,即-2+2,(-2)2+2,(-2)3+2,(-2)4+2,…;对比第①①两行中位置对应的数,可以发现:第①行中的数是第①行中相应数的12,即(-2)×12,(-2)2×12,(-2)3×12,(-2)4×12,….(3)每行中的第10个数的和是(-2)10+[(-2)10+2]+(-2)10×12=1 024+(1 024+2)+1 024×12=1 024+1 026+512=2 562.设计意图:通过例1让学生得以练习,提高对有理数混合运顺序的应用能力;通过例2引导学生解决简单的规律性问题.巩固训练 计算:(1)(-1)8×3+(-2)4÷4; (2)(-3)3+(-12)3×16; (3)78×(23-12)×37÷54.解:(1)原式=1×3+16÷4=3+4=7. (2)原式=-27+(-18)×16=-27-2=-29. (3)原式=78×16×37×45=120.设计意图:通过设置练习,不仅能使学生的新知得到巩固,也能使学生的思维能力得到有效提高.课堂小结1.有理数混合运算顺序: 先乘方,再乘除,最后加减; 同级运算,从左到右进行;如有括号,先做括号内的运算,按小括号、中括号、大括号依次进行. 2.探究简单的规律性问题.设计意图:回顾本节课内容,加深学生对本节课知识的理解,提高学生归纳总结及表达的能力.课堂8分钟.1.教材第54页练习,第56页习题2.3第3,11题. 2.七彩作业.教学反思2.3.2科学记数法课时目标1.借助身边熟悉的事物体会大数,发展学生的好奇心、想象力及创新意识.2.通过用科学记数法表示大数的学习,让学生从多种角度感受大数,促使学生重视大数的现实意义,以发展学生的数感.学习重点正确使用科学记数法表示大于10的数.学习难点正确掌握10n的特征以及科学记数法中n与数位的关系.课时活动设计情境引入地球距离月球表面约为384 000 000米.这样大的数,读写都有一定的困难.这节课我们就来学习表示大数的一种方法——科学记数法.设计意图:通过实际问题引入本节课的内容,激发学生的学习兴趣.探究新知探究科学记数法观察10的乘方,102=100,103=1 000,104=10 000,….问题1:等号左边10的指数与右边整数中0的个数有什么关系?教师引导学生得到左边10的指数与右边整数中0的个数相同,即10的n次幂等于10…0(在1的后面有n个0),因此可以利用10的乘方表示一些大数,例如,696 000=6.96×105,读作“6.96乘10的5次方(幂)”.像上面这样,把一个大于10的数表示成a×10n的形式(其中a大于或等于1,且a小于10,n是正整数),使用的是科学记数法.问题2:对于小于-10的数能否也用类似的方法表示呢?-567 000 000用这种方法应该怎样表示?学生分小组探究交流,教师将正确答案进行板书.解:-567 000 000=-5.67×108.设计意图:让学生经历用科学记数法表示数的探索过程,提高学生分析问题和解决问题的能力,增强学生的思维能力.典例精讲例用科学记数法表示下列各数:1 000 000,57 000 000,-123 000 000 000.解:1 000 000=1×106.57 000 000=5.7×107.-123 000 000 000=-1.23×1011.设计意图:通过例题讲解,让学生对科学记数法的表示得以运用,提高学生的运用能力.巩固训练1.用科学记数法表示下列各数:(1)352 000 000;(2)167 560 000;(3)602 000 000 000.解:(1)352 000 000=3.52×108.(2)167 560 000=1.675 6×108.(3)602 000 000 000=6.02×1011.2.下列用科学记数法表示的数,原来各是什么数?1×107,1.9×103,2.06×106.解:1×107=10 000 000,1.9×103=1 900,2.06×106=2 060 000.设计意图:通过练习,让学生巩固所学知识,加深对科学记数法的理解,提高学生的运算能力.课堂小结1.本节课主要学习用科学记数法表示大数的方法.应该注意:任意一个大于10的数表示成a×10n的形式,其中10的指数n应等于整数位数减1,1≤a<10,n是正整数.2.思考现实中还有哪些比较大的数,并用科学记数法表示出来.设计意图:学生通过反思,可进一步加深对科学记数法的理解,通过归纳总结,培养学生的数学思维品质,让学生学会学习,学会思考.课堂8分钟.1.教材第56页练习第1,2,3题,第56页习题2.3第4,5,9题.2.七彩作业.2.3.2科学记数法把一个大于10的数表示成a×10n的形式(其中a大于或等于1,且a小于10,n 是正整数),即为科学记数法.教学反思2.3.3近似数课时目标1.了解和掌握近似数的概念,能准确确定一个近似数的精确度.2.能根据要求用四舍五入法取近似数.学习重点近似数、精确度的概念.学习难点由给出的近似数求其精确度.课时活动设计回顾引入回顾什么是四舍五入法.设计意图:通过回顾旧知,引入本节课的学习.探究新知探究近似数和准确数1.宇宙的年龄约为138亿年,长江约长6 300千米,圆周率π约为3.14,每个三角形都有3个内角,某中学七年级共有10个班.上面语句中出现的数字中,哪些是与实际相符的?哪些是与实际相近的?学生分小组交流讨论.教师随后给出近似数和准确数的概念.准确数:与实际相符的数.近似数:与实际相近的数,通过测量或估计得到.2.小明和小颖分别测量了同一片树叶的长度,他们所用的直尺的最小单位是不同的,分别是厘米和毫米.问题:根据小明的测量,这片树叶的长度约为多少米?根据小颖的测量呢?谁的测量结果会更准确一些?学生自主探究.教师给出:近似数与准确数的接近程度,可以用精确度表示.追问:小明、小颖的测量分别精确到什么单位?解:分别精确到了十分位和百分位.按四舍五入法对圆周率π取近似数时,有π≈3(精确到个位),π≈3.1(精确到0.1,或叫作精确到十分位),π≈3.14(精确到0.01,或叫作精确到百分位),π≈3.142(精确到0.001,或叫作精确到千分位),π≈3.141 6(精确到0.000 1,或叫作精确到万分位),……设计意图:让学生通过实际情境理解近似数与准确数及精确度的概念.典例精讲例按括号内的要求,用四舍五入法对下列各数取近似数:(1)0.015 8(精确到0.001);(2)304.35(精确到个位);(3)1.804(精确到0.1);(4)1.804(精确到百分位).解:(1)0.015 8≈0.016.(2)304.35≈304.(3)1.804≈1.8.(4)1.804≈1.80.设计意图:通过例题让学生体会运用四舍五入法求近似数的方法.巩固训练用四舍五入法对下列各数取近似数:(1)0.012 36(精确到0.000 1);(2)688.753 2(精确到个位);(3)2.597 43(精确到0.01);(4)0.085 6(精确到千分位).解:(1)0.012 36≈0.012 4.(2)688.753 2≈689.(3)2.597 43≈2.60.(4)0.085 6≈0.086.设计意图:通过设置练习,不仅能使学生的新知得到巩固,也能使学生的思维能力得到有效提高.课堂小结1.本节课主要学习近似数的概念,并能按要求取近似数.2.通过这节课的学习,还有哪些收获呢?设计意图:学生通过反思,可进一步加深对近似数的理解.通过归纳总结,培养学生的数学思维品质,让学生学会学习,学会思考.课堂8分钟.1.教材第56页练习第4题,第56页习题2.3第6题.2.七彩作业.2.3.3近似数1.准确数和近似数.2.用四舍五入法求近似数.教学反思。
第三节水圈和水循环第二课时洋流【明确考点】洋流的概念、分类及分布规律。
洋流的地理意义。
【课堂互动】知识点一：洋流及分布规律自主学习1．洋流概念：海水沿相对稳定的____作______运动的现象。
2．洋流的形成因素：________是海洋水体运动的主要动力；________及________力能改变洋流的方向。
3．洋流的分类（1）按水温状况寒流：从______的海区流向______的海区的洋流。
暖流：从______的海区流向______的海区的洋流。
（2）按形成的主导因素：可分为____流、____流和____流三种类型；4．洋流的分布规律（1）以副热带为中心的大洋环流流向：北半球__时针，南半球__时针。
性质：大洋东部为____，西部为____。
（2）以副极地为中心的大洋环流（北半球）流向：__时针。
性质：大洋东部为__流，西部为__流。
（3）南半球中高纬海区：形成全球性的环流________。
（4）北印度洋海区受____的影响，形成季风洋流。
合作探究读教材图2-3-7“世界表层洋流分布”，回答下列问题。
（1）北太平洋中低纬度海区大洋环流的流向如何？南半球中低纬度海区大洋环流流向是怎样的？（2）南北半球中低纬度大洋环流东西两侧洋流性质有何差异？典例剖析例在世界洋流模式图中，A、B、C、D分别代表四个不同的大洋环流。
读图解答：（1）环流、呈顺时针方向流动。
（2）环流、流经大陆西岸时应为寒流。
（3）在环流B的都是形成大渔场的理想海区。
假如该图为大西洋，此处应是渔场。
（4）假如该图为大西洋，环流B的西部洋流名称是；环流C的南部洋流名称为。
解析：本题主要考查对世界大洋洋流模式图的识记和理解能力。
B、C是以副热带为中心的大洋环流，B在北半球为顺时针方向，C在南半球为逆时针方向；环流BC在大洋的东岸是由高纬流向低纬，属于寒流，在大洋的西岸是由低纬流向高纬，属暖流。
A、D属于分布在中高纬度以副极地为中心的大洋环流，在北半球为逆时针方向，在南半球为顺时针方向；环流AD在大洋的东岸是由低纬流向高纬，属暖流；在大洋东岸是由高纬流向低纬，属寒流。
1．(2012·高考山东卷)圆(x ＋2)2＋y 2＝4与圆(x －2)2＋(y －1)2＝9的位置关系为( )A ．内切B ．相交C ．外切D ．相离解析：选B.两圆的圆心距离为17，两圆的半径之差为1、半径之和为5，而1<17<5，所以两圆相交．2．两圆x 2＋y 2－4x ＋2y ＋1＝0与x 2＋y 2＋4x －4y －1＝0的公切线有( )A ．1条B ．2条C ．3条D ．4条解析：选C.∵两圆标准方程为(x －2)2＋(y ＋1)2＝4，(x ＋2)2＋(y －2)2＝9，∴圆心距d ＝(2＋2)2＋(－1－2)2＝5，r 1＝2，r 2＝3.∴d ＝r 1＋r 2，∴两圆外切，∴公切线有3条．3．过圆x 2＋y 2＋6x ＋4y ＝0与圆x 2＋y 2＋4x ＋2y －4＝0的交点的直线方程是( )A ．x ＋y ＋2＝0B ．x ＋y －2＝0C ．5x ＋3y －2＝0D ．不存在解析：选A.两圆方程相减即得．4．两圆交于A (1,3)及B (m ，－1)，两圆的圆心均在直线x －y ＋n ＝0上，则m ＋n 的值为( )A ．1B ．3C ．－3D ．－1解析：选 B.由题意可知，k AB ＝－1且AB 的中点在直线x －y ＋n ＝0上，则⎩⎪⎨⎪⎧ －1－3m －1＝－1，1＋m 2－3－12＋n ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝5，n ＝－2， ∴m ＋n ＝3.5．点P 在圆x 2＋y 2－8x －4y ＋11＝0上，点Q 在圆：x 2＋y 2＋4x ＋2y ＋1＝0上，则|PQ |的最小值是( )A ．5B ．0C ．35－5D ．5－3 5解析：选C.∵(x －4)2＋(y －2)2＝9的圆心为C 1(4,2)，半径r 1＝3，(x ＋2)2＋(y ＋1)2＝4的圆心为C 2(－2，－1)，半径r 2＝2，∴|C 1C 2|＝35>r 1＋r 2＝5，∴两圆相离，∴|PQ |min ＝|C 1C 2|－r 1－r 2＝35－5，故选C.6．已知圆(x －2)2＋(y ＋3)2＝13和圆(x －3)2＋y 2＝9交于A ，B 两点，则弦AB 的垂直平分线的方程是________．解析：弦AB 的垂直平分线也就是两圆连心线，因为两圆圆心分别是(2，－3)和(3,0)．由两点式得y －3＝x －32－3，即3x －y －9＝0. 答案：3x －y －9＝07．过两圆C 1：x 2＋y 2－4x ＋2y ＋1＝0与C 2：x 2＋y 2－6x ＝0的交点，且过点(2，－2)的圆的方程为________．解析：设圆的方程为：x 2＋y 2－4x ＋2y ＋1＋λ(x 2＋y 2－6x )＝0，(λ≠－1)由于圆过(2，－2)，可得22＋(－2)2－4×2＋2×(－2)＋1＋λ[22＋(－2)2－6×2]＝0，得λ＝－34， 所以，所求圆的方程为x 2＋y 2＋2x ＋8y ＋4＝0.答案：x 2＋y 2＋2x ＋8y ＋4＝08．若⊙O ：x 2＋y 2＝5与⊙O 1：(x －m )2＋y 2＝20(m ∈R )相交于A 、B 两点，且两圆在点A 处的切线互相垂直，则线段AB 的长度是________．解析：如图所示，在Rt △OO 1A 中，|OA |＝5，|O 1A |＝25，∴|OO 1|＝5，∴|AC |＝5×255＝2， ∴|AB |＝4.答案：49．求圆心在直线x ＋y ＝0上，且过圆x 2＋y 2－2x ＋10y －24＝0与圆x 2＋y 2＋2x ＋2y －8＝0的交点的圆的方程．解：设圆的方程为x 2＋y 2－2x ＋10y －24＋λ(x 2＋y 2＋2x ＋2y －8)＝0(λ≠－1)，即x 2＋y 2＋2(λ－1)λ＋1x ＋2(5＋λ)λ＋1y －8(λ＋3)λ＋1＝0(λ≠－1)． 圆心(1－λλ＋1，－5＋λλ＋1)，∴1－λλ＋1－5＋λλ＋1＝0， 解得λ＝－2.故所求圆的方程为x 2＋y 2－2x ＋10y －24－2(x 2＋y 2＋2x ＋2y －8)＝0，即x 2＋y 2＋6x －6y ＋8＝0.10.如图所示，在单位圆O 上任取C 点为圆心，作一圆与圆O 的直径AB 相切于点D ，圆C 与圆O 交于点E ，F ，求证：EF 平分CD .证明：取圆O 的直径AB 所在的直线为x 轴，圆心O 为坐标原点，建立平面直角坐标系，如图所示，则圆O 的方程为x 2＋y 2＝1.①设EF 与CD 相交于H ，令C (x 1，y 1)，则可得圆C 的方程(x －x 1)2＋(y －y 1)2＝y 21，即x 2＋y 2－2x 1x －2y 1y ＋x 21＝0.②①－②得2x 1x ＋2y 1y －1－x 21＝0，③③式就是直线EF 的方程．设CD 的中点为H ′，其坐标为(x 1，y 12)，将H ′的坐标代入③式，得2x 21＋2y 1·y 12－1－x 21＝x 21＋y 21－1＝0，即H ′在EF 上，∴EF 平分CD .1．两圆x 2＋y 2＝16及(x －4)2＋(y ＋3)2＝R 2(R ＞0)在交点处的切线互相垂直，则R 等于( )A ．3B ．4C ．5D ．6解析：选A.由题意知两圆交点与两圆圆心构成直角三角形，可知(42＋32)2＝52＝R 2＋16，∴R ＝3.2．若实数x ，y 满足x 2＋y 2＝1，则y －2x －1的最小值等于________． 解析：y －2x －1表示圆上的点与定点(1,2)连线的斜率，令k ＝y －2x －1，画出图形，可知定点(1,2)与圆上的点的连线的倾斜角均小于90°，则当直线与圆在圆的上方相切时，斜率最小，直线方程可设为y －2＝k (x －1)，即kx －y －k ＋2＝0.∴d ＝|－k ＋2|k 2＋1＝1，解得k ＝34. 答案：343．如图，圆C 与圆C 1：x 2＋y 2－2x ＝0相外切，并且与直线l ：x ＋3y ＝0相切于点P (3，－3)，求此圆C 的方程．解：设所求圆的圆心为C (a ，b )，半径长为r .因为C (a ，b )在过点P 且与l 垂直的直线上， 所以b ＋3a －3＝ 3.① 又因为圆C 与l 相切于点P ， 所以r ＝|a ＋3b |2.② 因为圆C 与C 1相外切，所以(a －1)2＋b 2＝|a ＋3b |2＋1.③ 由①得3a －b －43＝0，将其代入③得4a 2－26a ＋49＝|2a －6|＋1，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝4b ＝0或⎩⎨⎧a ＝0b ＝－43，此时r ＝2或r ＝6，所以所求圆C的方程为(x－4)2＋y2＝4或x2＋(y＋43)2＝36.4．已知圆M：x2＋y2－2mx－2ny＋m2－1＝0与圆N：x2＋y2＋2x＋2y－2＝0交于A、B 两点，且这两点平分圆N的圆周，求圆M的圆心的轨迹方程，并求其半径最小时，圆M的方程．解：两圆方程相减得公共弦AB所在直线的方程为2(m＋1)x＋2(n＋1)y－m2－1＝0.由于A、B两点平分圆N的圆周，∴AB为圆N的直径，即直线AB经过圆N的圆心．而N(－1，－1)，∴－2(m＋1)－2(n＋1)－m2－1＝0，即m2＋2m＋2n＋5＝0，即(m＋1)2＝－2(n＋2)(n≤－2)．由于圆M的圆心坐标为(m，n)，从而可知圆M的圆心轨迹方程为(x＋1)2＝－2(y＋2)．又圆M的半径r＝n2＋1≥5(n≤－2)．当且仅当n＝－2，m＝－1时取等号．故半径的最小值为5，此时圆M的方程为x2＋y2＋2x＋4y＝0.。
第2课时 等差数列前n 项和的性质及应用A 级：基础巩固练一、选择题1．S n 是等差数列{a n }的前n 项和，且S 9＝9S 3，则{a n }的通项公式可能是( ) A ．a n ＝4n －2 B ．a n ＝4n －1 C ．a n ＝4n ＋1 D ．a n ＝4n ＋2 答案 A解析 设等差数列{a n }的公差为d ，则由S 9＝9S 3得9a 1＋36d ＝9(3a 1＋3d )，化简得d ＝2a 1，若a n ＝4n －2，则d ＝4，a 1＝2，适合题意，B ，C ，D 均不适合，故选A.2．等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 3＝－6，S 18－S 15＝18，则S 18等于( ) A ．36 B ．18 C ．72 D ．9 答案 A解析 由S 3，S 6－S 3，…，S 18－S 15成等差数列，可知：S 18＝S 3＋(S 6－S 3)＋(S 9－S 6)＋…＋(S 18－S 15)＝6×－6＋182＝36.3．等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若m >1，且a m －1＋a m ＋1－a 2m ＝0，S 2m －1＝38，则m 等于( ) A ．38 B ．20 C ．10 D ．9 答案 C解析 因为a m －1＋a m ＋1－a 2m ＝0，所以a m －1＋a m ＋1＝a 2m .根据等差数列的性质得2a m ＝a 2m ，显然a m ≠0，所以a m ＝2.又因为S 2m －1＝38，所以S 2m －1＝2m －1a 1＋a 2m －12＝(2m －1)a m .将a m ＝2代入可得(2m －1)×2＝38，解得m ＝10.故选C.4．设S n 是公差为d (d ≠0)的无穷等差数列{a n }的前n 项和，则下列命题错误的是( ) A ．若d <0，则数列{S n }有最大项 B ．若数列{S n }有最大项，则d <0C ．若数列{S n }是递增数列，则对任意n ∈N *，均有S n >0 D ．若对任意n ∈N *，均有S n >0，则数列{S n }是递增数列 答案 C解析 设{a n }的首项为a 1，则S n ＝na 1＋12n (n －1)d ＝d 2n 2＋⎝⎛⎭⎪⎫a 1－d 2n .由二次函数性质知S n有最大值时，则d <0，故A 、B 正确；因为{S n }为递增数列，则d >0，不妨设a 1＝－1，d ＝2，显然{S n }是递增数列，但S 1＝－1<0，故C 错误；对任意n ∈N *，S n 均大于0时，a 1>0，d >0，{S n }必是递增数列，D 正确．二、填空题5．已知四个数成等差数列，S 4＝32，a 2∶a 3＝1∶3，则公差d ＝________. 答案 8解析 设首项为a 1，公差为d ，则由a 2∶a 3＝1∶3得a 1＋d a 1＋2d ＝13，∴d ＝－2a 1，又S 4＝4a 1＋4×32d ＝－8a 1＝32，∴a 1＝－4，d ＝8. 6．在等差数列{a n }中，a n ＝4n －52，a 1＋a 2＋…＋a n ＝an 2＋bn (n ∈N *)，其中a ，b 均为常数，则ab ＝________.答案 －1解析 ∵a n ＝4n －52，∴a 1＝32.设等差数列{a n }的公差为d ，则d ＝a n ＋1－a n ＝4.∴an 2＋bn＝a 1＋a 2＋…＋a n ＝32n ＋nn －12×4＝2n 2－12n .∴a ＝2，b ＝－12，故ab ＝－1.7．在等差数列{a n }中，a 1＋a 2＋a 3＝15，a n ＋a n －1＋a n －2＝78，S n ＝155，则n ＝________. 答案 10解析 (a 1＋a 2＋a 3)＋(a n ＋a n －1＋a n －2) ＝3(a 1＋a n )＝15＋78，∴a 1＋a n ＝31. 又S n ＝n a 1＋a n2＝155，∴31n2＝155⇒n ＝10.三、解答题8．在等差数列{a n }中，a 10＝18，前5项的和S 5＝－15， (1)求数列{a n }的通项公式；(2)求数列{a n }的前n 项和的最小值，并指出何时取得最小值． 解 (1)设{a n }的首项，公差分别为a 1，d .则⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋9d ＝18，5a 1＋52×4×d ＝－15，解得a 1＝－9，d ＝3， ∴a n ＝3n －12. (2)S n ＝n a 1＋a n2＝12(3n 2－21n ) ＝32⎝ ⎛⎭⎪⎫n －722－1478，∴当n ＝3或4时，前n 项的和取得最小值为－18.9．已知函数f (x )＝x 2－2(n ＋1)x ＋n 2＋5n －7，n ∈N *.(1)设函数y ＝f (x )的图象的顶点的纵坐标构成数列{a n }，求证：{a n }为等差数列； (2)设函数y ＝f (x )的图象的顶点到x 轴的距离构成数列{b n }，求{b n }的前n 项和S n . 解 (1)证明：因为f (x )＝x 2－2(n ＋1)x ＋n 2＋5n －7 ＝[x －(n ＋1)]2＋3n －8， 所以a n ＝3n －8，因为a n ＋1－a n ＝3(n ＋1)－8－(3n －8)＝3， 所以数列{a n }为等差数列． (2)由题意知，b n ＝|a n |＝|3n －8|， 所以当1≤n ≤2时，b n ＝8－3n ，S n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ＝n b 1＋b n 2＝n [5＋8－3n ]2＝13n －3n 22，当n ≥3时，b n ＝3n －8，S n ＝b 1＋b 2＋b 3＋…＋b n ＝5＋2＋1＋…＋(3n －8)＝7＋n －2[1＋3n －8]2＝3n 2－13n ＋282.所以S n＝⎩⎪⎨⎪⎧13n －3n 22，1≤n ≤2，n ∈N *，3n 2－13n ＋282，n ≥3，n ∈N *.10．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a n >0，且满足：(a n ＋2)2＝4S n ＋4n ＋1，n ∈N *. (1)求a 1及通项公式a n ；(2)若b n ＝(－1)na n ，求数列{b n }的前n 项和T n . 解 (1)对于(a n ＋2)2＝4S n ＋4n ＋1， ①n ＝1时，(a 1＋2)2＝4a 1＋5，a 21＝1，而a n >0，则a 1＝1.又(a n ＋1＋2)2＝4S n ＋1＋4(n ＋1)＋1， ② 由②－①可得(a n ＋1＋2)2－(a n ＋2)2＝4a n ＋1＋4，a 2n ＋1＝(a n ＋2)2，而a n >0，∴a n ＋1＝a n ＋2，即a n ＋1－a n ＝2.∴{a n }是等差数列，即a n ＝1＋2(n －1)＝2n －1.(2)∵b n ＝(－1)n·(2n －1)，∴T n ＝－1＋3－5＋7＋…＋(－1)n(2n －1)，当n 为偶数时，T n ＝＝n ；当n 为奇数时，T n ＝－(2n －1)＝－n .综上所述，T n ＝(－1)n·n .B 级：能力提升练1．一个凸多边形的内角成等差数列，其中最小的内角为120°，公差为5°，那么这个多边形的边数n 等于( )A ．12B ．16C ．9D ．16或9 答案 C解析 a n ＝120＋5(n －1)＝5n ＋115，由a n <180，得n <13且n ∈N *， 由n 边形内角和定理得，(n －2)×180＝n ×120＋n n －12×5，解得n ＝16或n ＝9.∵n <13，∴n ＝9.2．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，点⎝ ⎛⎭⎪⎫n ，S n n 在直线y ＝12x ＋112上．数列{b n }满足b n ＋2－2b n ＋1＋b n ＝0(n ∈N *)，b 3＝11，且其前9项和为153.(1)求数列{a n }，{b n }的通项公式； (2)设＝32a n －112b n －1，数列{}的前n 项和为T n ，求使不等式T n >k57对一切n ∈N *都成立的最大正整数k 的值．解 (1)由已知得S n n ＝12n ＋112，∴S n ＝12n 2＋112n .当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝12n 2＋112n －12(n －1)2－112(n －1)＝n ＋5.当n ＝1时，a 1＝S 1＝6也符合上式， ∴a n ＝n ＋5(n ∈N *)．由b n ＋2－2b n ＋1＋b n ＝0(n ∈N *)知{b n }是等差数列． 由{b n }的前9项和为153， 可得9b 1＋b 92＝9b 5＝153，得b 5＝17，又∵b 3＝11，∴{b n }的公差d ＝b 5－b 32＝3.∵b 3＝b 1＋2d ，∴b 1＝5.∴b n ＝3n ＋2. (2)＝32n －16n ＋3＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1－12n ＋1，∴T n ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13＋13－15＋…＋12n －1－12n ＋1＝12⎝⎛⎭⎪⎫1－12n ＋1.∵n 增大时，T n 增大，∴{T n }是递增数列． ∴T n ≥T 1＝13.若T n >k57对一切n ∈N *都成立，只要T 1＝13>k57，∴k <19，则k max ＝18.。
