八年级下册数学复习专题

人教版八年级数学下册期末复习专题训练——在直角坐标系中求几何图形的面积1.如图，四边形是矩形，点，在坐标轴上，是由绕点顺时针旋转得到的，点在轴上，直线交轴于点，交于点，线段＝2，＝4（1）求直线的解析式．（2）求的面积．2.直线a：y=x+2和直线b：y=﹣x+4相交于点A，分别与x轴相交于点B和点C，与y轴相交于点D和点E．（1）在同一坐标系中画出函数图象；（2）求△ABC的面积；（3）求四边形ADOC的面积；（4）观察图象直接写出不等式x+2≤﹣x+4的解集和不等式﹣x+4≤0的解集．3.如果两个一次函数y=k1x+b1和y=k2x+b2满足k1=k2，b1≠b2，那么称这两个一次函数为“平行一次函数”．已知函数y=﹣2x+4的图象与x轴、y轴分别交于A、B两点，一次函数y=kx+b 与y=﹣2x+4是“平行一次函数”（1）若函数y=kx+b的图象过点（3，1），求b的值；（2）若函数y=kx+b的图象与两坐标轴围成的面积是△AOB面积的，求y=kx+b的解析式．4.如图，10个边长为1的正方形如图摆放在平面直角坐标系中，经过原点的一条直线l将这10个正方形分成面积相等的两部分，求该直线l的解析式5.如图1，直线3=xy分别与y轴、x轴交于点A、点B，点C的坐标为(－3，0)，D -3+3为直线AB上一动点，连接CD交y轴于点E(1) 点B的坐标为__________，不等式+-x的解集为___________3>33(2) 若S△COE＝S△ADE，求点D的坐标(3) 如图2，以CD为边作菱形CDFG，且∠CDF＝60°．当点D运动时，点G在一条定直线上运动，请求出这条定直线的解析式.6.在直角坐标系中，一条直线经过A（﹣1，5），P（﹣2，a），B（3，﹣3）三点．（1）求a的值；（2）设这条直线与y轴相交于点D，求△OPD的面积．7.如图，把Rt△ABC放在直角坐标系内，其中∠CAB=90°，BC=10，点A、B的坐标分别为（2，0）、（8，0），将△ABC沿x轴向右平移，当点C落在直线y=x﹣5上时，求线段BC扫过的面积8.已知：如图，已知直线AB的函数解析式为y=﹣2x+8，与x轴交于点A，与y轴交于点B．（1）求A、B两点的坐标；（2）若点P（m，n）为线段AB上的一个动点（与A、B不重合），作PE⊥x轴于点E，PF⊥y轴于点F，连接EF，若△PAO的面积为S，求S关于m的函数关系式，并写出m的取值范围；9. 如图,已知直线343+=x y 与坐标轴交于B,C 两点,点A 是x 轴正半轴上一点,并且15=∆ABC S .点F 是线段AB 上一动点(不与端点重合),过点F 作FE ∥x 轴,交BC 于E.(1) 求AB 所在直线的解析式;(2) 若FD ⊥x 轴于D,且点D 的坐标为)0,(m ,请用含m 的代数式,表示DF 与EF 的长;(3) 在x 轴上是否存在一点P,使得△PEF 为等腰直角三角形,若存在,请直接写出点P 的坐标,若不存在,请说明理由.10.如图，在平面直角坐标系xOy 中，直线y=﹣2x +a 与y 轴交于点C （0，6），与x 轴交于点B ．（1）求这条直线的解析式；（2）直线AD 与（1）中所求的直线相交于点D （﹣1，n ），点A 的坐标为（﹣3，0）．①求n 的值及直线AD 的解析式； ②求△ABD 的面积；③点M 是直线y=﹣2x+a 上的一点（不与点B 重合），且点M 的横坐标为m ，求△ABM 的面积S 与m 之间的关系式．11.已知一次函数的图象经过（1，1）和（﹣1，﹣5）．（1）求这个一次函数的表达式；（2）求这个一次函数的图象与x 轴、y 轴的交点坐标，并求出该图象与两坐标轴围成的三角形的面积．12.如图，边长为5的正方形OABC的顶点0在坐标原点处，点A、C分别在x轴、y轴的正半轴上，点E是0A边上的点(不与点A重合)，EF⊥CE，且与正方形外角平分线AG交于点P．(1)求证：CE=EP；(2)若点E的坐标为(3，O)，在y轴上是否存在点M，使得四边形BMEP是平行四边形?若存在，求出点M的坐标：若不存在，说明理由．13.已知一次函数的图象经过（1，1）和（﹣1，﹣5）．（1）求这个一次函数的表达式；（2）求这个一次函数的图象与x轴、y轴的交点坐标，并求出该图象与两坐标轴围成的三角形的面积．14.直线AB与x轴交于点A(1，0)，与y轴交于点B(0，－2)．(1)求直线AB的解析式；(2)若直线AB上一点C在第一象限且点C的坐标为(2，2)，求△BOC的面积．15.在平面直角坐标系xOy中，直线y＝kx＋4(k≠0)与y轴交于点A.(1)如图，直线y＝－2x＋1与直线y＝kx＋4(k≠0)交于点B，与y轴交于点C，点B的横坐标为－1.①求点B的坐标及k的值；②直线y＝－2x＋1、直线y＝kx＋4与y轴所围成的△ABC的面积等于____________；(2)直线y＝kx＋4(k≠0)与x轴交于点E(x0，0)，若－2＜x0＜－1，求k的取值范围．16.如图，己知直线l：y=x+1（k≠0）的图象与x轴、y轴交于A、B两点.（1）直接写出A、B两点的坐标；（2）若P是x轴上的一个动点，求出当△PAB是等腰三角形时P的坐标；（3）在y轴上有点C（0，3），点D在直线l上.若△ACD面积等于4.请直接写出D的坐标.17.如图①所示，正方形ABCD的边长为6 cm，动点P从点A出发，在正方形的边上沿A→B →C→D运动，设运动的时间为t(s)，三角形APD的面积为S(cm2)，S与t的函数图象如图②所示，请回答下列问题：(1)点P在AB上运动的时间为________s，在CD上运动的速度为________cm/s，三角形APD的面积S的最大值为________cm2；(2)求出点P在CD上运动时S与t之间的函数解析式；(3)当t为何值时，三角形APD的面积为10 cm2?18.已知：如图，已知直线AB的函数解析式为y=﹣2x+8，与x轴交于点A，与y轴交于点B．（1）求A、B两点的坐标；（2）若点P（m，n）为线段AB上的一个动点（与A、B不重合），作PE⊥x轴于点E，PF ⊥y轴于点F，连接EF，若△PAO的面积为S，求S关于m的函数关系式，并写出m的取值范围；答案：1. （1）OC=4,BC=2,B(-2,4)，．设解析式为，．（2），．直线，．当，，，．2.（1）依照题意画出图形，如图所示．（2）令y=x+2中y=0，则x+2=0，解得：x=﹣2，∴点B（﹣2，0）；令y=﹣x+4中y=0，则﹣x+4=0，解得：x=4，∴点C（4，0）；联立两直线解析式得：，解得：，∴点A （1，3）．S △ABC =BC•y A =×[4﹣（﹣2）]×3=9．（3）令y=x +2中x=0，则y=2，∴点D （0，2）．S 四边形ADOC =S △ABC ﹣S △DBO =9﹣×2×2=7．（4）观察函数图形，发现：当x ＜1时，直线a 在直线b 的下方，∴不等式x +2≤﹣x +4的解集为x ≤1；当x ＞4时，直线b 在x 轴的下方，∴不等式﹣x +4≤0的解集为x ≥4．3.（1）∵一次函数y=kx +b 与y=﹣2x +4是“平行一次函数”，∴k=﹣2，即y=﹣2x +b ． ∵函数y=kx +b 的图象过点（3，1），∴1=﹣2×3+b ，∴b=7．（2）在y=﹣2x +4中，令x=0，得y=4，令y=0，得x=2，∴A （2，0），B （0，4），∴S △AOB =OA•OB=4．由（1）知k=﹣2，则直线y=﹣2x +b 与两坐标轴交点的坐标为（，0），（0，b ），于是有|b |•||=4×=1，∴b=±2，即y=kx +b 的解析式为y=﹣2x +2或y=﹣2x ﹣2．4.设直线l 和10个正方形的最上面交点为A ，过A 作AB ⊥OB 于B ，过A 作AC ⊥OC 于C ， ∵正方形的边长为1，∴OB=3，∵经过原点的一条直线l将这10个正方形分成面积相等的两部分，∴两边分别是5，∴三角形ABO 面积是7，∴OB•AB=7，∴AB=，∴OC=AB=，由此可知直线l 经过（，3），设直线方程为y=kx （k ≠0），则3=k ，解得k=∴直线l 解析式为y=x ．故答案为：y=x ．5.(1) (3，0)、x ＜3(2) ∵S △COE ＝S △ADE ∴S △AOB ＝S △CBD 即33321621⨯⨯=⨯⨯D y ，y D ＝233 当y ＝233时，23233333==+-x x ，∴D (23323，) (3) 连接CF ∵∠CDF ＝60°∴△CDF 为等边三角形连接AC ∵AB ＝AC ＝BC ＝6∴△ABC 为等边三角形∴△CAF ≌△CBD （SAS ）∴∠CAF ＝∠ACB ＝60°∴AF ∥x 轴设D (m ，333+-m )过点D 作DH ⊥x 轴于H ∴BH ＝3－m ，DB ＝6－2m ＝AF∴F (2m －6，33)由平移可知：G (m －9，m 3-)令⎪⎩⎪⎨⎧-=-=m y m x 39∴点G 在直线393--=x y 上6. （1）设直线的解析式为y=kx +b ，把A （﹣1，5），B （3，﹣3）代入，可得：{533=+--=+b k b k ，解得：，所以直线解析式为：y=﹣2x +3，把P （﹣2，a ）代入y=﹣2x +3中，得：a=7； （2）由（1）得点P 的坐标为（﹣2，7），令x=0，则y=3，所以直线与y 轴的交点坐标为（0，3），所以△OPD 的面积=．7.∵点A 、B 的坐标分别为（2，0）、（8，0），∴AB=6，∵∠CAB=90°，BC=10， ∴CA==8，∴C 点纵坐标为：8，∵将△ABC 沿x 轴向右平移，当点C 落在直线y=x ﹣5上时，∴y=8时，8=x ﹣5，解得：x=13，即A 点向右平移13﹣2=11个单位， ∴线段BC 扫过的面积为：11×8=88．故选：B ．8.（1）令x=0，则y=8，∴B （0，8），令y=0，则﹣2x +8=0，∴x=4，∴A （4，0）， （2）∵点P （m ，n ）为线段AB 上的一个动点，∴﹣2m +8=n ，∵A （4，0），∴OA=4，∴0＜m ＜4∴S △PAO =OA ×PE=×4×n=2（﹣2m +8）=﹣4m +16，（0＜m ＜4） )3,0(30343)1(,9B y x x y 即时，中，当在==+= ∴OB=3同理OC=4 ∵15)(21=⋅+OB OA OC ,153)4(21=⨯+⨯OA ∴OA=6 即点A 的坐标为(6,0) 设AB 所在直线的解析式为y=kx+b⎩⎨⎧⎩⎨⎧=+=-==213063k b b k b 解得则∴AB 所在直线的解析式为 (2)在中,当,即DF= 在中,当m x m y 32,321-=+-=时 mm m EF 35)32(=--= (3)10.（1）∵直线y=﹣2x +a 与y 轴交于点C （0，6），∴a=6，∴该直线解析式为y=﹣2x +6 （2）①∵点D （﹣1，n ）在直线BC 上，∴n=﹣2×（﹣1）+6=8，∴点D （﹣1，8）设直线AD 的解析式为y=kx +b ，将点A （﹣3，0）、D （﹣1，8）代入y=kx +b 中，得：，解得：，∴直线AD 的解析式为y=4x +12．②令y=﹣2x +6中y=0，则﹣2x +6=0，解得：x=3，∴点B （3，0）．∵A （﹣3，0）、D （﹣1，8），∴AB=6．S △ABD =AB•y D =×6×8=24．③∵点M 在直线y=-2x+6上，∴M （m ，-2m+6），时，即S=6m-18．11. （1）设函数解析式为y=kx +b ， 由题意将两点代入得：{15=+-=+-b k b k ，解得：{32=-=k b ．∴一次函数的解析式为：y=3x ﹣2；（2）令y=0，得x=32，令x=0，得y=﹣2， 3232221=⨯⨯=∴s 12．（1）在OC 上截取OK =OE .连接EK .∵OC =OA ，∠1=90°，∠OEK =∠OKE =45°，∵AP 为矩形外角平分线，∴∠BAP =45°∴∠EKC =∠PAE =135°.∴CK =EA .∵EC ⊥EP ，∴∠3=∠4.∴△EKC ≌△PAE . ∴EC =EP （2）y 轴上存在点M ，使得四边形BMEP 是平行四边形.如图，过点B 作BM ∥PE 交y 轴于点M ，∴∠5=∠CEP =90°，∴∠6=∠ 4.在△BCM 和△COE 中，⎪⎩⎪⎨⎧∠=∠=∠=∠,,,46C O E B C M OC BC ∴△BCM ≌△COE ，∴BM =CE 而CE =EP ，∴BM =EP .由于BM ∥EP ，∴四边形BMEP是平行四边形由△BCM ≌△COE 可得CM =OE =3，∴OM =CO -CM =2.故点M 的坐标为（0，2）.13.（1）设函数解析式为y=kx +b ，由题意将两点代入得：，解得：．∴一次函数的解析式为：y=3x ﹣2；（2）令y=0，得x=，令x=0，得y=﹣2，∴S=×2×=．14.(1)设直线AB 的解析式为y ＝kx ＋b(k ≠0)．将A(1，0)，B(0，－2)代入解析式，得⎩⎪⎨⎪⎧k ＋b ＝0，b ＝－2.解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝2，b ＝－2.∴直线AB 的解析式为y ＝2x －2.(2)S △BOC ＝12×2×2＝2.15.（1）32 当x ＝－1时，y ＝－2×(－1)＋1＝3，∴B(－1，3)．将B(－1，3)代入y ＝kx ＋4，得k ＝1.(2)y ＝kx ＋4与x 轴的交点为(－4k ，0)，∵－2＜x 0＜－1，∴－2＜－4k＜－1，(1)解得2＜k＜4.16.（1）当y=0时，x+1=0，解得x=﹣2，则A（﹣2，0），当x=0时，y=x+1=1，则B（0，1）；（2）AB==，当AP=AB时，P点坐标为（﹣，0）或（，0）；当BP=BA时，P点坐标为（2，0）；当PA=PB时，作AB的垂直平分线交x轴于P，连结PB，如图1，则PA=PB，设P（t，0），则OA=t+2，OB=t+2，在Rt△OBP中，12+t2=（t+2）2，解得t=﹣，此时P点坐标为（﹣，0）；（3）如图2，设D（x，x+1），当x＞0时，∵S△ABC+S△BCD=S△ACD，∴•2•2+•2•x=4，解得x=2，此时D点坐标为（2，2）；当x＜0时，∵S△BCD﹣S△ABC=S△ACD，∴•2•（﹣x）﹣•2•2=4，解得x=﹣6，此时D点坐标为（﹣6，﹣2），综上所述，D点坐标为（2，2）或（﹣6，﹣2）.故答案为（﹣2，0），（0，1）；（2，2）或（﹣6，﹣2）.17.略18.（1）令x=0，则y=8，∴B（0，8），令y=0，则﹣2x+8=0，∴x=4，∴A（4，0），（2）∵点P（m，n）为线段AB上的一个动点，∴﹣2m+8=n，∵A（4，0），∴OA=4，∴0＜m＜4∴S△PAO=OA×PE=×4×n=2（﹣2m+8）=﹣4m+16，（0＜m＜4）。

专题复习提升训练卷20.2数据的波动程度-20-21人教版八年级数学下册一、选择题1、数据201，202，198，199，200的方差与极差分别是（ ）A ．1，4B ．2，2C ．2，4D ．4，22、在统计中，样本的方差可以近似地反映总体的（ ）A ．平均状态B ．分布规律C ．波动大小D ．极差3、已知A 样本的数据如下：72，73，76，76，77，78，78，78，B 样本的数据恰好是A 样本数据每个都加2，则A 、B 两个样本的下列统计量对应相同的是（ ） A ．平均数B ．方差C ．中位数D ．众数4、对于两组数据A ，B ，如果20.5A S =，22.1B S =，10B x =，10A x =，则（ ）A ．这两组数据的波动相同B ．数据B 的波动小一些C ．它们的平均水平不一样D ．数据A 的波动小一些5、已知：一组数据x 1，x 2，x 3，x 4，x 5的平均数是2，方差是13， 那么另一组数据3x 1﹣2，3x 2﹣2，3x 3﹣2，3x 4﹣2，3x 5﹣2的平均数和方差分别是（ ） A ．2，13B ．2，1C ．4，23D ．4，36、甲、乙、丙、丁四人进行射击测试，他们在相同条件下各射击10次，成绩（单位：环）统计如表：如果从这四人中，选出一位成绩较好且状态稳定的选手参加比赛，那么应选（ ） A ．甲B ．乙C ．丙D ．丁7、一家鞋店在一段时间内销售了某种女鞋30双，各种尺码的鞋销售量如下表：店主决定在下次进货时增加一些23.5cm 尺码的女鞋，影响店主决策的统计量是（ ） A ．平均数B ．中位数C ．众数D ．方差8、已知一组数据：-1，x ，0，1，-2的平均数是0，那么，这组数据的方差是（ ）A ．1B ．2C ．4D ．109、一组数1、2、2、3、3、a 、b 的众数为2，平均数为2，则这组数据的方差为（ ）A ．17B ．27C ．37D ．4710、已知：一组数据-1，2，-1，5，3，4，关于这组数据，下列说法错误的是（ ）A ．平均数是2B ．众数和中位数分别是-1和2.5C ．方差是16 D二、填空题11、需要对一批排球的质量是否符合标准进行检测，其中质量超过标准的克数记为正数，不足标准的克数记为负数，现抽取8个排球，通过检测所得数据如下（单位：克）：+1，﹣2，+1，0，+2，﹣3，0，+1，则这组数据的方差是 ． 12、已知求方差的算式()()()()222221 6.8 5.7 3.2 4.34s x x x x ⎡⎤=-+-+-+-⎢⎥⎣⎦，则其中的x =____13、已知一组数据x 1，x 2，…，x n 的方差是s 2，则新的一组数据ax 1＋1，ax 2＋1，…，ax n ＋1(a 为常数，a≠0)的方差是 ．(用含a ，s 2的代数式表示)14、如果一组数据5、8、a 、7、4的平均数是a ，那么这组数据的方差为 ． 15、下表是甲，乙两名同学近五次测试成绩统计表：根据上表数据可知，成绩最稳定的同学是____．16、某地农业科技部门积极助力家乡农产品的改良与推广，为了解甲、乙两种新品橙子的质量，进行了抽样调查在相同条件下，随机抽取了甲、乙各25份样品，对大小甜度等各方面进行了综合测评，并对数据进行收集、整理、描述和分析，下面给出了部分信息． a ．测评分数（百分制）如下：甲：77，79，80，80，85，86，86，87，88，89，89，90，91，91，91，91，91，92，93，95，95，96，97，98，98乙：69，79，79，79，86，87，87，89，89，90，90，90，90，90，91，92，92，92，94，95，96，96，97，98，98b ．按如下分组整理、描述这两组样本数据： 测评分数x 个数 品种 60≤x ＜7070≤x ＜8080≤x ＜9090≤x ≤100甲 0 2 9 14 乙13516c ．甲、乙两种橙子测评分数的平均数、众数、中位数如下表所示：品种平均数众数中位数甲89.4m91乙89.490n根据以上信息，回答下列问题（1）写出表中m，n的值（2）记甲种橙子测评分数的方差为s12，乙种橙子测评分数的方差为s22，则s12，s22的大小关系为；（3）根据抽样调查情况，可以推断种橙子的质量较好，理由为．（至少从两个不同的角度说明推断的合理性）17、2022年将在北京——张家口举办冬季奥运会，北京将成为世界上第一个既举办夏季奥运会，又举办冬季奥运会的城市.某队要从两名选手中选取一名参加比赛，为此对这两名队员进行了五次测试，测试成绩如图所示，_____________选手的成绩更稳定.18、2020年新冠疫情来势汹汹，我国采取了有力的防疫措施，控制住了疫情的蔓延．甲，乙两个学校各有400名学生，在复学前期，为了解学生对疫情防控知识的掌握情况，进行了抽样调查，过程如下，请补充完整．（1）收集数据: 从甲、乙两校各随机抽取20名学生进行了相关知识的网上测试，测试成绩如下：甲98 98 92 92 92 92 92 89 89 85 84 84 83 83 79 79 78 78 69 58乙99 96 96 96 96 96 96 94 92 89 88 85 80 78 72 72 71 65 58 55（2）整理、描述数据: 根据上面得到的两组样本数据，绘制了频数分布直方图：（3）分析数据: 两组样本数据的平均数、众数、中位数、方差如表所示：平均数众数中位数方差甲校84.7 92 m 88.91乙校83.7 n 88.5 184.01（说明：成绩80分及以上为优良，60﹣79分为合格，60分以下为不合格）（4）得出结论a．估计甲学校掌握疫情防控知识优良的学生人数约为；b．可以推断出学校的学生掌握疫情防控知识的水平较高，理由为．三、解答题19、从甲、乙两厂生产的同一种零件中各抽取5个，量得它们的尺寸（单位：mm）如下：甲厂生产的零件尺寸9.02 9.01 9 8.98 8.99乙厂生产的零件尺寸9.01 8.97 9.02 8.99 9.01（1）分别计算从甲、乙两厂抽取的5个零件的平均尺寸；（2）分别计算从甲、乙两厂抽取的5个零件的方差，根据计算结果，你认为哪个厂生产的零件更符合规格．（零件的规定尺寸为9mm）20、某校为了了解初中学生每天的睡眠时间（单位为小时），随机调查了该校的部分初中学生，根据调查结果，绘制出如图统计图．请根据相关信息，解答下列问题：（1）本次接受调查的初中学生人数为人，扇形统计图中的m＝，条形统计图中的n＝；（2）求统计调查的初中学生每天睡眠时间的平均数和方差．21、甲、乙两名同学进入八年级后某科6次考试成绩如图所示：平均数方差中位数众数甲7575乙33.370（1）请根据图填写上表；（2）从平均数和方差结合看，你认为谁的成绩稳定性更好些？22、某商店1～6周销售甲、乙两种品牌冰箱的数量如表（表Ⅰ）所示（单位：台）：第1周第2周第3周第4周第5周第6周甲9101091210乙1312711107现根据表Ⅰ数据进行统计得到表Ⅱ：平均数中位数众数甲10乙107（1）填空：根据表Ⅰ的数据补全表Ⅱ；（2）老师计算了乙品牌冰箱销量的方差：2＝[（13﹣10）2+（12﹣10）2+（7﹣10）2+（11﹣10）2+（10﹣10）2+（7﹣10）2]＝（台2）．S乙请你计算甲品牌冰箱销量的方差，根据计算结果，建议商家可多采购哪一种品牌冰箱？为什么？23、在发生某公共卫生事件期间，某专业机构认为该事件在一段时间内没有发生大规模群体感染的标志是：“连续14天，每天新增疑似病例不超过7人”．已知在过去14天，甲、乙两地新增疑似病例数据信息如下：甲地：总体平均数为2，方差为2；乙地：中位数为3，众数为4和5．请你运用统计知识对数据分析并判断：甲、乙两地是否会发生大规模群体感染？请说明理由．（方差公式：24、某校拟派一名跳高运动员参加校际比赛，对甲、乙两名同学进行了8次跳高选拔比赛，他们的原始成绩（单位：cm）如下表：学生/成第1次第2次第3次第4次第5次第6次第7次第8次绩/次数甲169 165 168 169 172 173 169 167乙161 174 172 162 163 172 172 176两名同学的8次跳高成绩数据分析如下表：学生/成绩/名称平均数（单位：cm）中位数（单位：cm）众数（单位：cm）方差（单位：cm2）甲 a b c 5.75乙169 172 172 31.25根据图表信息回答下列问题：（1）a＝，b＝，c＝；（2）这两名同学中，的成绩更为稳定；（填甲或乙）（3）若预测跳高165就可能获得冠军，该校为了获取跳高比赛冠军，你认为应该选择同学参赛，理由是：；（4）若预测跳高170方可夺得冠军，该校为了获取跳高比赛冠军，你认为应该选择同学参赛，班由是：．25、为帮助学生了解“预防新型冠状病毒”的有关知识，学校组织了一次线上知识培训，培训结束后进行测试．试题的满分为20分．为了解学生的成绩情况，从七、八年级学生中各随机抽取了20名学生的成绩进行了整理、描述和分析．下面给出了部分信息：抽取的20名七年级学生成绩是：20，20，20，20，19，19，19，19，18，18，18，18，18，18，18，17，16，16，15，14．抽取的40名学生成绩统计表性别七年级八年级平均分18 18众数 a b中位数18 c方差 2.7 2.7根据以上信息，解答下列问题：（1）直接写出表中a，b，c的值：a＝，b＝，c＝．（2）在这次测试中，你认为是七年级学生成绩好，还是八年级学生成绩好？请说明理由．（3）若九年级随机抽取20名学生的成绩的方差为2.5，则年级成绩更稳定（填“七”或“八”或“九”）．专题复习提升训练卷20.3数据的波动程度-20-21人教版八年级数学下册（解析）一、选择题1、数据201，202，198，199，200的方差与极差分别是（）A ．1，4B ．2，2C ．2，4D ．4，2【答案】C【分析】极差=数据最大值-数据最小值，求出数据的平均数，后套用方差公式计算即可. 【详解】∵最大数据为202，最小数据为198，∴极差=202-198=4；∵1200(12210)5x =++--+=200， ∴2222221[(201200)(202200)(198200)(199200)(200200)]5S =-+-+-+-+-=2，故选C.2、在统计中，样本的方差可以近似地反映总体的（ ）A ．平均状态B ．分布规律C ．波动大小D ．极差【答案】C【分析】方差是用来衡量一组数据波动大小的量，所以样本的方差可以近似地反映总体的波动大小． 【详解】解：根据方差的意义知，方差是用来衡量一组数据波动大小的量，故选C ．3、已知A 样本的数据如下：72，73，76，76，77，78，78，78，B 样本的数据恰好是A 样本数据每个都加2，则A 、B 两个样本的下列统计量对应相同的是（ ） A ．平均数 B ．方差C ．中位数D ．众数【答案】B【分析】根据样本A ，B 中数据之间的关系，结合众数，平均数，中位数和方差的定义即可得到结论． 【详解】设样本A 中的数据为xi ，则样本B 中的数据为yi=xi +2，则样本数据B 中的众数和平均数以及中位数和A 中的众数，平均数，中位数相差2， 只有方差没有发生变化．4、对于两组数据A ，B ，如果20.5A S =，22.1B S =，10B x =，10A x =，则（ ）A ．这两组数据的波动相同B ．数据B 的波动小一些C ．它们的平均水平不一样D ．数据A 的波动小一些【答案】D【分析】根据方差的定义，方差越小数据越稳定．【详解】解：∵S A 2=0.5＜S B 2=2.1，10A B x x ==, ∴数据A 组的波动小一些．故选：D ．5、已知：一组数据x 1，x 2，x 3，x 4，x 5的平均数是2，方差是13， 那么另一组数据3x 1﹣2，3x 2﹣2，3x 3﹣2，3x 4﹣2，3x 5﹣2的平均数和方差分别是（ ） A ．2，13B ．2，1C ．4，23D ．4，3【答案】D【分析】本题可将平均数和方差公式中的x 换成3x-2，再化简进行计算． 【详解】解：∵x 1，x 2，…，x 5的平均数是2，则x 1+x 2+…+x 5=2×5=10． ∴数据3x 1-2，3x 2-2，3x 3-2，3x 4-2，3x 5-2的平均数是：15x '=[（3x 1-2）+（3x 2-2）+（3x 3-2）+（3x 4-2）+（3x 5-2）] =15[3×（x 1+x 2+…+x 5）-10] =4，S′2=15×[（3x 1-2-4）2+（3x 2-2-4）2+…+（3x 5-2-4）2]，=15×[（3x 1-6）2+…+（3x 5-6）2] =9×15[（x 1-2）2+（x 2-2）2+…+（x 5-2）2] =3． 故选：D ．6、甲、乙、丙、丁四人进行射击测试，他们在相同条件下各射击10次，成绩（单位：环）统计如表：如果从这四人中，选出一位成绩较好且状态稳定的选手参加比赛，那么应选（ ） A ．甲 B ．乙C ．丙D ．丁【答案】A【分析】方差是反映一组数据的波动大小的一个量．方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越小；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好．【详解】解：∵甲与丁的平均分最高，甲的方差比丁的方差小，最稳定，∴应选甲． 故选：A ．7、一家鞋店在一段时间内销售了某种女鞋30双，各种尺码的鞋销售量如下表：店主决定在下次进货时增加一些23.5cm 尺码的女鞋，影响店主决策的统计量是（ ） A ．平均数 B ．中位数C ．众数D ．方差【答案】C【分析】根据题意，店主最关注的应该是最畅销的尺码，即影响店主决策的统计量是众数． 【详解】解：由表格可知：尺码为23.5cm 的女鞋最畅销，即销售量最多∴影响店主决策的统计量是众数故选C ．8、已知一组数据：-1，x ，0，1，-2的平均数是0，那么，这组数据的方差是（ ）A ．1B ．2C ．4D ．10【答案】B【分析】先根据平均数求出x 的值，再根据方差公式列出算式，进行计算即可求出这组数据的方差． 【详解】解：∵数据：-1，x ，0，1，-2的平均数是0，∴（-1+x+0+1-2）÷5=0，解得x=2， ∴这组数据的方差是： S 2=15[（-1-0）2+（2-0）2+（0-0）2+（1-0）2+（-2-0）2]=2； 故选：B ．9、一组数1、2、2、3、3、a 、b 的众数为2，平均数为2，则这组数据的方差为（ ）A ．17B ．27C ．37D ．47【答案】D【分析】利用这组数据的平均数可求出+a b 的值，再利用这组数据的众数是2，可具体确定这组数据，最后即可求出其方差．【详解】∵这组数据的平均数为2，∴1223327a b++++++=，∴3a b +=．又∵这组数据的众数是2， ∴12a b ==，或21a b ==，． ∴这组数据为1、1、2、2、2、3、3．∴这组数据方差为222142(12)3(22)2(32)77⎡⎤⨯-+⨯-+⨯-=⎣⎦． 故选：D ．10、已知：一组数据-1，2，-1，5，3，4，关于这组数据，下列说法错误的是（ ）A ．平均数是2B ．众数和中位数分别是-1和2.5C ．方差是16D ．标准差是433【答案】C【分析】分别求出这组数据的平均数、众数、中位数、方差和标准差即可进行判断． 【详解】解：（-1+2+-1+5+3+4）÷6=2，所以平均数是2，故A 选项不符合要求； 众数是-1，中位数是（2+3）÷2=2.5，故B 选项不符合要求； ()()()()()()2222222116=12221252324263S ⎡⎤⨯--+-+--+-+-+-=⎣⎦，故C 选项符合要求；43=3S ，故D 选项不符合要求． 故选：C二、填空题11、需要对一批排球的质量是否符合标准进行检测，其中质量超过标准的克数记为正数，不足标准的克数记为负数，现抽取8个排球，通过检测所得数据如下（单位：克）：+1，﹣2，+1，0，+2，﹣3，0，+1，则这组数据的方差是 ．解：平均数＝，方差＝＝2.5，故答案为：2.512、已知求方差的算式()()()()222221 6.8 5.7 3.2 4.34s x x x x ⎡⎤=-+-+-+-⎢⎥⎣⎦，则其中的x =____ 【答案】5【分析】由方差公式可得原数据为：6.8,5.7,3.2,4.3，求它们的平均数即可得到答案．【详解】解：由题意得：()116.8 5.7 3.2 4.3205,44x =+++=⨯= 故答案为：5.13、已知一组数据x 1，x 2，…，x n 的方差是s 2，则新的一组数据ax 1＋1，ax 2＋1，…，ax n ＋1(a 为常数，a≠0)的方差是 ．(用含a ，s 2的代数式表示) 【答案】a 2s 2【分析】由于一组数据x 1、x 2、x 3…的方差是s 2，而一组新数据ax 1+1，ax 2+1、ax 3+1…ax n +1中和原来的数据比较可以得到它们之间的联系，由此可以确定一组新数据ax 1+1，ax 2+1、ax 3+1…ax n +1的方差． 【详解】解：∵一组数据x 1、x 2、x 3…x n 的方差是s 2，∴一组新数据ax 1+1，ax 2+1、ax 3+1…ax n +1的方差是a 2•s 2．故答案为a 2s 2．14、如果一组数据5、8、a 、7、4的平均数是a ，那么这组数据的方差为 ． 解：根据题意知＝a ，解得a ＝6，所以这组数据为5、8、6、7、4，则这组数据的方差为×[（5﹣6）2+（8﹣6）2+（6﹣6）2+（7﹣6）2+（4﹣6）2]＝2， 故答案为：2．15、下表是甲，乙两名同学近五次测试成绩统计表：根据上表数据可知，成绩最稳定的同学是____．【答案】乙【分析】根据平均数的计算公式先求出甲和乙同学的平均数，再代入方差公式求出甲和乙同学的方差，然后根据方差的意义即可得出答案．【详解】解：甲同学的平均数是：15(98+93+96+91+97)=95（分），甲同学的方差是：15[(98-95)2+(93-95)2+(96-95)2+(91-95)2+(97-95)2]=6.8，乙同学的平均数是：15(96+97+93+95+94)=95（分），乙同学的方差是：15[(96-95)2+(97-95)2+(93-95)2+(95-95)2+(94-95)2]=2，∵6.8＞2，∴方差小的为乙，∴成绩比较稳定的同学是乙．故答案为：乙．16、某地农业科技部门积极助力家乡农产品的改良与推广，为了解甲、乙两种新品橙子的质量，进行了抽样调查在相同条件下，随机抽取了甲、乙各25份样品，对大小甜度等各方面进行了综合测评，并对数据进行收集、整理、描述和分析，下面给出了部分信息．a．测评分数（百分制）如下：甲：77，79，80，80，85，86，86，87，88，89，89，90，91，91，91，91，91，92，93，95，95，96，97，98，98乙：69，79，79，79，86，87，87，89，89，90，90，90，90，90，91，92，92，92，94，95，96，96，97，98，98b．按如下分组整理、描述这两组样本数据：60≤x＜7070≤x＜8080≤x＜9090≤x≤100测评分数x个数品种甲02914乙13516 c．甲、乙两种橙子测评分数的平均数、众数、中位数如下表所示：品种平均数众数中位数甲89.4m91乙89.490n根据以上信息，回答下列问题（1）写出表中m，n的值（2）记甲种橙子测评分数的方差为s12，乙种橙子测评分数的方差为s22，则s12，s22的大小关系为；（3）根据抽样调查情况，可以推断种橙子的质量较好，理由为．（至少从两个不同的角度说明推断的合理性）解：（1）甲品种橙子测评成绩出现次数最多的是91分，所以众数是91，即m＝91，将乙品种橙子的测评成绩从小到大排列处在中间位置的一个数是90，因此中位数是90，即n＝90，答：m＝91，n﹣90；（2）由甲、乙两种橙子的测评成绩的大小波动情况，直观可得s12＜s22，故答案为：＜；（3）甲品种较好，理由为：甲品种橙子的中位数、众数均比乙品种的高．故答案为：甲，甲品种橙子的中位数、众数均比乙品种的高．17、2022年将在北京——张家口举办冬季奥运会，北京将成为世界上第一个既举办夏季奥运会，又举办冬季奥运会的城市.某队要从两名选手中选取一名参加比赛，为此对这两名队员进行了五次测试，测试成绩如图所示，_____________选手的成绩更稳定.【答案】A【分析】根据方差的定义，方差越小数据越稳定．【详解】解：根据统计图可得出：S A2＜S B2，则A选手的成绩更稳定，故答案为：A．18、2020年新冠疫情来势汹汹，我国采取了有力的防疫措施，控制住了疫情的蔓延．甲，乙两个学校各有400名学生，在复学前期，为了解学生对疫情防控知识的掌握情况，进行了抽样调查，过程如下，请补充完整．（1）收集数据: 从甲、乙两校各随机抽取20名学生进行了相关知识的网上测试，测试成绩如下：甲98 98 92 92 92 92 92 89 89 85 84 84 83 83 79 79 78 78 69 58乙99 96 96 96 96 96 96 94 92 89 88 85 80 78 72 72 71 65 58 55（2）整理、描述数据: 根据上面得到的两组样本数据，绘制了频数分布直方图：（3）分析数据: 两组样本数据的平均数、众数、中位数、方差如表所示：（说明：成绩80分及以上为优良，60﹣79分为合格，60分以下为不合格） （4）得出结论a ．估计甲学校掌握疫情防控知识优良的学生人数约为 ；b ．可以推断出 学校的学生掌握疫情防控知识的水平较高，理由为 ． 【答案】（3）m ＝84.5，n ＝96；（4）a ．280人；b ．乙，乙校的中位数大于甲校的中位数． 【分析】（3）根据（1）中的数据，可以得到中位数m 和众数n 的值；（4）a ．根据（1）中的数据和（3）中的说明，由样本估算总体，可以得到甲学校掌握疫情防控知识优良的学生人数；b ．根据（3）中表格中的数据，由中位数可以得到哪所学校的学生掌握疫情防控知识的水平较高，理由见详解．【详解】解：（3）甲校的中位数m ＝（85+84）÷2＝84.5， 乙校的众数是n ＝96； 故答案为：84.5，96（4）a ．成绩80分及以上为优良，根据样本数据计算甲学校掌握疫情防控知识优良的学生人数约为：400×1420＝280（人）， 故答案为：280； b ．可以推断出乙学校的学生掌握疫情防控知识的水平较高，理由为乙校的中位数大于甲校的中位数，故答案为：乙，乙校的中位数大于甲校的中位数．三、解答题19、从甲、乙两厂生产的同一种零件中各抽取5个，量得它们的尺寸（单位：mm ）如下：甲厂生产的零件尺寸 9.02 9.01 9 8.98 8.99乙厂生产的零件尺寸 9.01 8.97 9.02 8.99 9.01（1）分别计算从甲、乙两厂抽取的5个零件的平均尺寸；（2）分别计算从甲、乙两厂抽取的5个零件的方差，根据计算结果，你认为哪个厂生产的零件更符合规格．（零件的规定尺寸为9mm ）【答案】（1）甲，乙两厂生产的零件的平均尺寸都为9mm ；（2）20.0002,S =甲20.00032S =乙，甲厂生产的零件更符合规格．【分析】（1）利用平均数公式直接计算即可得到答案；（2）由方差的计算公式直接计算甲，乙的方差，再根据方差越小，零件越符合规格，从而可得答案． 【详解】解：（1）()119.029.0198.988.99459,55x =++++=⨯=甲 ()119.018.979.028.999.01459,55x =++++=⨯=乙 所以：甲，乙两厂生产的零件的平均尺寸都为9mm（2）()()()()()222222119.0299.019998.9898.9990.0010.0002,55S ⎡⎤=-+-+-+-+-=⨯=⎣⎦甲 ()()()()()222222119.0198.9799.0298.9999.0190.00160.00032,55S ⎡⎤=-+-+-+-+-=⨯=⎣⎦乙由0.00032＞0.0002,2S ∴甲＜2,S 乙 所以甲厂生产的零件更符合规格．20、某校为了了解初中学生每天的睡眠时间（单位为小时），随机调查了该校的部分初中学生，根据调查结果，绘制出如图统计图．请根据相关信息，解答下列问题：（1）本次接受调查的初中学生人数为人，扇形统计图中的m＝，条形统计图中的n＝；（2）求统计调查的初中学生每天睡眠时间的平均数和方差．【答案】（1）40，25，15；（2）平均数：7，方差：1.15【分析】（1）根据5h的人数和所占的百分比，可以求得本次接受调查的初中学生人数，然后即可计算出m和n的值；（2）根据统计图中的数据，可以得到平均数，计算出方差．【详解】解：（1）本次接受调查的初中学生有：4÷10%＝40（人），m%＝10÷40×100%＝25%，即m＝25，n＝40×37.5%＝15，故答案为：40，25，15；（2）由条形统计图可得，x＝140×（5×4+6×8+7×15+8×10+9×3）＝7，s2＝140[（5﹣7）2×4+（6﹣7）2×8+（7﹣7）2×15+（8﹣7）2×10+（9﹣7）2×3]＝1.15．21、甲、乙两名同学进入八年级后某科6次考试成绩如图所示：平均数方差中位数众数甲7575乙33.370（1）请根据图填写上表；（2）从平均数和方差结合看，你认为谁的成绩稳定性更好些？【解答】解：（1）乙的平均数：＝（85+70+70+75+70+80）＝75分，S＝[（60﹣75）2+（65﹣75）2+（75﹣75）2+（75﹣75）2+（80﹣75）2+（95﹣75）2]＝125，乙的中位数为：（70+75）÷2＝72.5，甲的众数75，乙的众数为70，填写表格如下：平均数方差中位数众数甲751257575乙7533.372.570故答案为：75，125，72.5，75；（2）从平均数上看甲、乙两人的成绩相同，但乙的方差较小，说明乙的成绩比较稳定，单从是否稳定上看，乙的成绩较稳定．22、某商店1～6周销售甲、乙两种品牌冰箱的数量如表（表Ⅰ）所示（单位：台）：第1周第2周第3周第4周第5周第6周甲9101091210乙1312711107现根据表Ⅰ数据进行统计得到表Ⅱ：平均数中位数众数甲10乙107（1）填空：根据表Ⅰ的数据补全表Ⅱ；（2）老师计算了乙品牌冰箱销量的方差：2＝[（13﹣10）2+（12﹣10）2+（7﹣10）2+（11﹣10）2+（10﹣10）2+（7﹣10）2]＝（台2）．S乙请你计算甲品牌冰箱销量的方差，根据计算结果，建议商家可多采购哪一种品牌冰箱？为什么？解：（1）甲品牌销售数量从小到大排列为：9、9、10、10、10、12，所以甲品牌销售数量的平均数为＝10（台），众数为10台，乙品牌销售数量从小到大排列为7、7、10、11、12、13，所以乙品牌销售数量的中位数为＝10.5（台），补全表格如下：平均数中位数众数甲101010乙1010.57故答案为：10、10、10.5；（2）建议商家可多采购甲品牌冰箱，2＝，∵甲品牌冰箱销量的方差＝×[（9﹣10）2×2+（10﹣10）2×3+（12﹣10）2]＝1，S乙2，∴＜S乙∴甲品牌冰箱的销售量比较稳定，建议商家可多采购甲品牌冰箱．23、在发生某公共卫生事件期间，某专业机构认为该事件在一段时间内没有发生大规模群体感染的标志是：“连续14天，每天新增疑似病例不超过7人”．已知在过去14天，甲、乙两地新增疑似病例数据信息如下：甲地：总体平均数为2，方差为2；乙地：中位数为3，众数为4和5．请你运用统计知识对数据分析并判断：甲、乙两地是否会发生大规模群体感染？请说明理由．（方差公式：【解答】解：①甲地不会发生大规模群体感染，理由如下：由题意可知：样本容量n＝14，平均数为2，方差为2，则由方差计算公式得：28＝[（x1﹣2）2+（x2﹣2）2+…+（x14﹣2）2]，若甲地14天中存在某一天新增疑似病例不超过7人，则最少为8人，由于（8﹣2）2＝36＞28，所以没有一天新增疑似病例超过7人，故甲地不会发生大规模群体感染；②乙地不会发生大规模群体感染，理由如下：由于样本容量n＝14，所以中位数为中间两个数（即第7，8个数）的平均数，因为中位数为3，众数为4和5．所以第7，8个数可能为2，4或3，3两种情况，且4和5的个数只能都是三个，若中间两个数为2和4，则前面7个数只能取0，1，2这三个数，从而有一个数至少出现三次，于是这个数也是众数，不合题意；若中间两个数都是3，因为众数为4和5，所以较大的六个数恰好是4和5各有三个，故这14个数只能是：0，0，1，1，2，2，3，3，4，4，4，5，5，5，所以乙地不会发生大规模群体感染．24、某校拟派一名跳高运动员参加校际比赛，对甲、乙两名同学进行了8次跳高选拔比赛，他们的原始成绩（单位：cm）如下表：两名同学的8次跳高成绩数据分析如下表：根据图表信息回答下列问题：（1）a＝，b＝，c＝；（2）这两名同学中，的成绩更为稳定；（填甲或乙）（3）若预测跳高165就可能获得冠军，该校为了获取跳高比赛冠军，你认为应该选择同学参赛，理由是：；（4）若预测跳高170方可夺得冠军，该校为了获取跳高比赛冠军，你认为应该选择同学参赛，班由是：．【答案】（1）169，169，169；（2）甲;（3）甲，成绩在1.65或1.65米以上的次数甲多；（4）乙，成绩在1.70或1.70米以上的次数乙多【分析】（1）利用平均数、众数及中位数的定义分别求得a、b、c的值即可；（2）方差越大，波动性越大，成绩越不稳定，反之也成立；（3）比较一下甲、乙两名跳高运动员进行了8次选拔比赛的成绩，看谁的成绩在1.65或1.65米以上的次数多，就选哪位运动员参赛；若成绩在1.70米可获得冠军，看谁的成绩在1.70或1.70米以上的次数多，就选哪位运动员参赛．【详解】（1）a＝18（169+165+168+169+172+173+169+167）＝169；b＝12（169+169）＝169；∵169出现了3次，最多，∴c＝169, 故答案为169，169，169；（2）∵甲的方差小于乙的方差，∴甲的成绩更稳定，故答案为甲；（3）若跳高1.65米就获得冠军，那么成绩在1.65或1.65米以上的次数甲多，则选择甲；故答案为甲，成绩在1.65或1.65米以上的次数甲多；（4）若跳高1.70米就获得冠军，那么成绩在1.70或1.70米以上的次数乙多，则选择乙．故答案为乙，成绩在1.70或1.70米以上的次数乙多．25、为帮助学生了解“预防新型冠状病毒”的有关知识，学校组织了一次线上知识培训，培训结束后进行测试．试题的满分为20分．为了解学生的成绩情况，从七、八年级学生中各随机抽取了20名学生的成绩进行了整理、描述和分析．下面给出了部分信息：抽取的20名七年级学生成绩是：20，20，20，20，19，19，19，19，18，18，18，18，18，18，18，17，16，16，15，14．抽取的40名学生成绩统计表根据以上信息，解答下列问题：（1）直接写出表中a，b，c的值：a＝，b＝，c＝．（2）在这次测试中，你认为是七年级学生成绩好，还是八年级学生成绩好？请说明理由．（3）若九年级随机抽取20名学生的成绩的方差为2.5，则年级成绩更稳定（填“七”或“八”或“九”）．【答案】（1）18，19，18.5；（2）八年级成绩好，见解析；（3）九【分析】（1）根据众数和中位数的定义解决问题；（2）利用两年级成绩的平均数、方差都相同，则通过比较中位数的大小比较成绩；（3）根据方差的意义求解即可．【详解】解：（1）七年级20名学生成绩的众数a＝18，八年级成绩的众数b＝19，中位数c＝18+192＝18.5；（2）八年级的成绩好，∵七年级与八年级成绩的平均分和方差相等，而八年级的中位数大于七年级的中位数，即八年级高分人数稍多，∴八年级的成绩好；（3）∵七、八、九年级成绩的方差分别为2.7、2.7、2.5，∴九年级成绩的方差最小，∴九年级成绩更稳定，故答案为：九．。

又∵AE⊥BD，∴AO＝AB，∴AO＝AB＝BO，∴△ABO是等边三角形，
∴∠ABO＝60°，∴∠BAE＝30°，∴AE BE＝3cm，∴BE cm，
故答案为： ．
15、如图，已知▱ABCD，下列条件：①AC＝BD；②AB＝AD；③∠1＝∠2；④AB⊥BC中，能说明▱ABCD是矩形的有①④(填写序号)．
∴∠E＝∠DAE，
又∵BD＝CE，
∴CE＝CA，
∴∠E＝∠CAE，
∵∠CAD＝∠CAE+∠DAE，
∴∠E+∠E＝40°，即∠E＝20°．
故选：A．
6、如图，▱ABCD中的对角线AC，BD相交于点O，点E．F在BD上，且BE═DF，连接AE，EC，CF，FA，下列条件能判定四边形AECF为矩形的是（ ）
18、如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，过点A作AE⊥BD，垂足为点E，若BE＝1，
AE＝2，则AC＝．
19、如图，点E，F，G，H分别是BD，BC，AC，AD的中点：下列结论：①EH＝EF；②当AB＝CD，EG平分∠HGF；③当AB⊥CD时，四边形EFGH是矩形；其中正确的结论序号是．
∴四边形ECFP是矩形，∴EF＝PC，∴当PC最小时，EF也最小，即当CP⊥AB时，PC最小，
∵AC＝4，BC＝3，∴AB＝5，∴PC的最小值为： =2.4．
∴线段EF长的最小值为2.4．故选：B．
10、如图，在矩形ABCD中，点A的坐标是（1，0），点C的坐标是（﹣2，4），则BD的长是（ ）
A． B．5C．3 D．4
C、AC⊥BE时，四边形AECF为菱形；故选项C不符合题意；
D、AE＝AF时，四边形AECF为菱形；故选项D不符合题意；
故选：B．
7、如图，将矩形纸片ABCD沿直线EF折叠，使点C落在AD边的中点C′处，点B落在点B′处，其中AB＝9，BC＝6，则FC′的长为(D)

八年级数学下册《一次函数》期末专题复习【基础知识回顾】一、 一次函数的定义: 一般的：如果y= （ ）即y 叫x 的一次函数特别的：当b=时，一次函数就变为y=kx(k ≠0)，这时y 叫x 的 【名师提醒：正比例函数是一次函数，反之不一定成立，是有当b=0时，它才是正比例函数】 二、一次函数的图象及性质：1、一次函数y=kx+b 的图象是经过点（0，b ）（-，0）的一条正比例函数y= kx 的图象是经过点 和 的一条直线 【名师提醒：图为一次函数的图象是一条直线，所以画函数图象只取 个特殊的点，过这两个点画一条直线即可】 2、正比例函数y= kx(k ≠0当k >0时，其图象过 、 象限，时y 随x 的增大而 当k<0时，其图象过 、 象限，时y 随x 的增大而3、 一次函数y= kx+b ，图象及函数性质 ①、k >0 b >0过 象限k >0 b<0过 象限 k<0 b >0过 象限 k<0 b >0过 象限4、若直线y= k 1x+ b 1与l1y= k 2x+ b 2平行，则k 1 k 2，若k 1≠k 2，则l 1与l 2【名师提醒：y 随x 的变化情况，只取决于 的符号与 无关，而直线的平移，只改变 的值 的值不变】 三、用待定系数法求一次函数解析式：关键：确定一次函数y= kx+ b 中的字母 与 的值 步骤：1、设一次函数表达式2、将x ，y 的对应值或点的坐标代入表达式3、解关于系数的方程或方程组4、将所求的系数代入等设函数表达式中四、一次函数与一元一次方程，一元一次不等式和二元一次方程组1、一次函数与一元一次方程：一般地将x= 或y 解一元一次方程求直线与坐标轴的交点坐标，代入y= kx+ b 中。

2、一次函数与一元一次不等式：kx+ b>0或kx+ b<0即一次函数图象位于x 轴上方或下方时相应的x 的取值范围，反之也成立。

八年级下册数学 一元二次方程根与系数的关系复习专题（附答案）一、单选题1.已知关于x 的一元二次方程ax 2+bx+c=0的根为2和3，则关于x 的一元二次方程ax 2-bx-c=0的根为（ ）. A. -2,-3 B. -6,1 C. 2,-3 D. -1,62.一元二次方程ax 2+bx+c=0中，若a>0，b<0，c<0，则这个方程根的情况是（ ）A. 有两个正根B. 有两个负根C. 有一正根一负根且正根绝对值大D. 有一正根一负根且负根绝对值大3.已知一元二次方程a(x-x 1)(x-x 2)=0(a≠0，x 1≠x 2)与一元一次方程dx+e=0有一个公共解x=x 1 ， 若一元二次方程a(x-x 1)(x-x 2)+(dx+e)=0有两个相等的实数根，则( )A. a(x 1-x 2)=dB. a(x 2-x 1)=dC. a(x 1-x 2)²=dD. a(x 2-x 1)=d4.已知方程x 2-2x-5=0，有下列判断：①x 1+x 2=-2；②x 1•x 2=-5；③方程有实数根；④方程没有实数根；则下列选项正确的是（ ）A. ①②B. ①②③C. ②③D. ①②④ 5.若x 1 ， x 2是一元二次方程x 2﹣2x ﹣3=0的两个根，则x 1x 2的值是（ ）A. -2B. -3C. 2D. 36.已知A ，B 是两个锐角，且满足 sin 2A +cos 2B =54t ， cos 2A +sin 2B =34t 2 ，则实数t 所有可能值的和为（ ） A. - 83 B. - 53 C. 1 D. 113 7.下列各式计算正确的是（ ）A. a 3⋅a 2=a 6B. a 5+a 5=a 10C. (−2a 3)3=−8a 9D. (a −1)2=a 2−1 8.若多项式2x 2+3y+3的值为8，则多项式6x 2+9y+8的值为（ ）A. 1B. 11C. 15D. 239.已知实数a ，b 分别满足a 2−6a +4=0,b 2−6b +4=0 ， 且a≠b ，则b a +a b 的值是( )A. 7B. －7C. 11D. －1110.已知实数 m 、n 满足 x 2−7x +2=0 ，则 n m +m n 的值是（ ）A. 452B. 152C. 152 或2D. 452 或2 二、填空题11.已知关于x 的方程x²-mx+2m-1=0的两个实数根的平方和为7，那么m 的值是________12.设m 、n 是方程x 2+x-1001=0的两个实数根，则m 2+2m+n 的值为________。

专题13.1 轴对称知识点1：轴对称图形1.定义：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形.这条直线就是它的对称轴。

这时我们就说这个图形关于这条直线（或轴）对称.2.两个图形成轴对称：把一个图形沿某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线对称. 这条直线叫做对称轴，折叠后互相重合的点是对应点，叫做对称点.3.轴对称图形和轴对称的区别：轴对称图形是一个图形，轴对称是两个图形。

4.轴对称和全等的关系：轴对称一定是全等图形，但全等图形不一定是轴对称。

知识点2：轴对称的性质（1）成轴对称的两个图形全等。

（2）对称轴与连结“对应点的线段”垂直。

（3）对应点到对称轴的距离相等。

（4）对应点的连线互相平行。

也就是不管是轴对称图形还是两个图形关于某条直线对称，对称轴都是任何一对对应点所连线段的垂直平分线.对称的图形都全等.知识点3：线段的垂直平分线1.定义：经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫这条线段的垂直平分线.2.线段垂直平分线的性质：（1）线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等.（2）与一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上.【例题1】若下列选项中的图形均为正多边形，则哪一个图形恰有4条对称轴？（）A B C D【例题2】下面四个手机应用图标中是轴对称图形的是（）A．B．C．D．【例题3】如图，直线MN是四边形AMBN的对称轴，点P时直线MN上的点，下列判断错误的是（）A．AM=BM B．AP=BN C．∠MAP=∠MBP D．∠ANM=∠BNM【例题4】如图，在直角△ABC中，∠C=90°，∠CAB的平分线AD交BC于D，若DE垂直平分AB，求∠B的度数．一、选择题1.下列图形中，是轴对称图形的是（）A B C D2.下列图形一定是轴对称图形的是（）A．直角三角形B．平行四边形C．直角梯形D．正方形3.下列图案属于轴对称图形的是（）A B C D4.下列图形中，是轴对称图形的是（）A B C D二、解答题5.如图所示的是一个在19×16的点阵图上画出的“中国结”，点阵的每行及每列之间的距离都是1，请你画出“中国结”的对称轴，并直接写出阴影部分的面积。

人教版八年级数学下册期末复习专题训练——图形变换一．典例讲解：例题：已知：如图所示的一张矩形纸片ABCD（AD＞AB），将纸片折叠一次，使点A与点C重合，再展开，折痕EF交AD边于点E，交BC边于点F，分别连接AF和CE．（1）求证：四边形AFCE是菱形；（2）若AE=10cm，△ABF的面积为24cm2，求△ABF的周长．解：（1）∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∴∠EAO=∠FCO，由折叠的性质可得：OA=OC，AC⊥EF，在△AOE和△COF中，∵，∴△AOE≌△COF（ASA），∴AE=CF，∴四边形AFCE是平行四边形，∵AC⊥EF，∴四边形AFCE是菱形；（2）∵四边形AFCE是菱形，∴AF=AE=10cm，∵四边形ABCD是矩形，∴∠B=90°，∴S△ABF=AB•BF=24cm2，∴AB•BF=48（cm2），∴AB2+BF2=（AB+BF）2﹣2AB•BF=（AB+BF）2﹣2×48=AF2=100（cm2），∴AB+BF=14（cm）∴△ABF的周长为：AB+BF+AF=14+10=24（cm二．对应训练：1.如图所示，矩形纸片ABCD中，已知AD=8，如图，矩形纸片ABCD中，已知AD=8，折叠纸片使AB边于对角线AC重合，点B落在点F处，且EF=3，求AB的长2.如图，一块矩形纸片的宽CD为2cm，点E在AB上，如果沿图中的EC对折，B点刚好落在AD上，此时∠BCE=15°，求BC的长3.如图，直线y=﹣x+8与x轴、y轴分别相交于点A、B，设M是OB上一点，若将△ABM沿AM 折叠，使点B恰好落在x轴上的点B′处．求：（1）点B′的坐标；（2）直线AM所对应的函数关系式．4.如图，直线l与坐标轴分别交于A、B两点，∠BAO=45°，点A坐标为（8，0）．动点P从点O出发，沿折线段OBA运动，到点A停止；同时动点Q也从点O出发，沿线段OA运动，到点A停止；它们的运动速度均为每秒1个单位长度．（1）求直线AB的函数关系式；（2）若点A、B、O与平面内点E组成的图形是平行四边形，请直接写出点E的坐标；（3）在运动过程中，当P、Q的距离为2时，求点P的坐标．5.已知，如图，矩形ABCD边AB=6，BC=8，再沿EF折叠，使D点与B点重合，C点的对应点为G，将△BEF绕着点B顺时针旋转，旋转角为a（0°＜a＜180°），记旋转这程中的三角形为△BE′F′，在旋转过程中设直线E′F′与射钱EF、射线ED分别交于点M、N，当EN=MN时，求FM的长6.如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y=﹣x+8与x轴，y轴分别交于点A，点B，点D在y轴的负半轴上，若将△DAB沿直线AD折叠，点B恰好落在x轴正半轴上的点C处．（1）求AB的长和点C的坐标；（2）求直线CD的解析式．7.如图，把一张长方形纸条ABCD沿AF折叠．已知∠ADB＝25°，AE∥BD，求∠BAF8.如图，在平面直角坐标系xOy中，菱形ABCD的顶点A的坐标为（2，0），点B的坐标为（0，1），点C在第一象限内，对角线BD与x轴平行，直线y=x+3与x轴、y轴分别交于点E，F．将菱形ABCD 沿x轴向左平移m（m＞0）个单位，当点D落在△EOF的内部时（不包括三角形的边），求m的取值范围．9.如图，将矩形纸片ABCD沿对角线AC折叠，使点B落到点B′的位置，AB′与CD交于点E．（1）试找出一个与△AED全等的三角形，并加以证明；（2）若AB=8，DE=3，P为线段AC上的任意一点，PG⊥AE于G，PH⊥EC于H，试求PG+PH的值，并说明理由．10.如图，在▱ABCD中，AB=5，AD=6，将▱ABCD沿AE翻折后，点B恰好与点C重合，求折痕AE的长11.将矩形纸片ABCD按如图所示的方式折叠，得到菱形AECF．若AB=6，求BC的长．12.如图，矩形ABCD的长为8，宽为6，现将矩形沿对角线BD折叠，C点到达C′处，C′B交AD于E．（1）判断△EBD的形状，并说明理由；（2）求DE的长．13.如图，已知正方形纸片ABCD，M，N分别是AD、BC的中点，把BC边向上翻折，使点C恰好落在MN上的P点处，BQ为折痕，求∠PBQ．14.已知：如图所示的一张矩形纸片ABCD(AD＞AB)，将纸片折叠一次，使点A与点C重合，再展开，折痕EF交AD边于点E，交BC边于点F，分别连结AF和CE．(1)求证：四边形AFCE是菱形．(2)若AE=10cm，△ABF的面积为24cm2．求△ABF的周长．15.如图，长方形纸片ABCD中，AB=3cm，BC=4cm，现将A，C重合，使纸片折叠压平，设折痕为EF，试确定重叠部分△AEF的面积．16.如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，AC=60cm，∠A=60°，点D从点C出发沿CA方向以4cm/秒的速度向点A匀速运动，同时点E从点A出发沿AB方向以2cm/秒的速度向点B匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点D、E运动的时间是t秒（0＜t≤15）．过点D作DF⊥BC于点F，连接DE，EF．（1）求证：AE=DF；（2）四边形AEFD能够成为菱形吗？如果能，求出相应的t值，如果不能，说明理由；（3）当t为何值时，△DEF为直角三角形？请说明理由．答案；二．对应训练：1.略2.略3.（1）y=﹣x+8，令x=0，则y=8，令y=0，则x=6，∴A（6，0），B（0，8），∴OA=6，OB=8 AB=10，∵A B'=AB=10，∴O B'=10﹣6=4，∴B'的坐标为：（﹣4，0）．（2）设OM=m，则B'M=BM=8﹣m，在Rt△OMB'中，m2+42=（8﹣m）2，解得：m=3，∴M的坐标为：（0，3），设直线AM的解析式为y=kx+b，则，解得：，故直线AM的解析式为：y=﹣x+3．4.（1）∵∠BAO=45°，∠AOB=90°，∴△AOB为等腰直角三角形，即OA=OB=8，∴B（0，8），设直线AB解析式为y=kx+b，将A（8，0）与B（0，8）代入得：，解得：k=﹣1，b=8，则直线AB解析式为y=﹣x+8；（2）如图所示：当四边形AOBE1为平行四边形时，E1坐标为（8，8）；当四边形ABE2O为平行四边形时，E2坐标为（﹣8，8）；当四边形ABOE3为平行四边形时，E3坐标为（8，﹣8）；（3）当P在OB上时，连接PQ，由PQ=2，在Rt△POQ中，OP=OQ，可得：OP=OQ=×2=，此时P（0，）；当P′在AB上时，过P′作P′M⊥x轴，∵P′Q′=2，△P′Q′M为等腰直角三角形，∴P′M=Q′M=OM=OB ﹣P′M=8﹣，此时P′（8﹣，）．5如图所示：由折叠性质得：设AE=x=FC=FG，则BE=ED=8﹣x，在Rt△ABE中，由勾股定理得：AB2+AE2=BE2，即62+x2=（8﹣x）2，解得：x=，∴BE=8﹣=，EF===，由折叠性质得：∠BEF=∠DEF=∠BFE，∵EN=NM，∴∠DEF=∠NME=∠F′，∴EM∥BF′，BE∥E′F′，∴四边形BEMF′为平行四边形，由旋转性质得：BF′=BF=8﹣x，∴BE=BF′，∴平行四边形BEMF′为菱形，∴EM=BE=，∴FM=EF﹣EM=﹣=．6.（1）∵直线y=﹣x+8与x轴，y轴分别交于点A，点B，∴A（6，0），B（0，8），在Rt△OAB中，∠AOB=90°，OA=6，OB=8，∴AB==10，∵△DAB沿直线AD折叠后的对应三角形为△DAC，∴AC=AB=10．∴OC=OA+AC=OA+AB=16．∵点C在x轴的正半轴上，∴点C的坐标为C（16，0）．（2）设点D的坐标为D（0，y）（y＜0），由题意可知CD=BD，CD2=BD2，在Rt△OCD中，由勾股定理得162+y2=（8﹣y）2，解得y=﹣12．∴点D的坐标为D（0，﹣12），可设直线CD的解析式为y=kx﹣12（k≠0）∵点C（16，0）在直线y=kx﹣12上，∴16k﹣12=0，解得k=，∴直线CD的解析式为y=x﹣12．7.略8.∵菱形ABCD的顶点A（2，0），点B（1，0），∴点D的坐标为（4，1），当y=1时，x+3=1，解得x=﹣2，∴点D向左移动2+4=6时，点D在EF上，∵点D落在△EOF的内部时（不包括三角形的边），∴4＜m＜6．9.（1）△AED≌△CEB′证明：∵四边形ABCD为矩形，∴B′C=BC=AD，∠B′=∠B=∠D=90°，又∵∠B′EC=∠DEA，∴△AED≌△CEB′；（2）由折叠的性质可知，∠EAC=∠CAB，∵CD∥AB，∴∠CAB=∠ECA，∴∠EAC=∠ECA，∴AE=EC=8﹣3=5．在△ADE中，AD===4，延长HP交AB于M，则PM⊥AB，∴PG=PM．∴PG+PH=PM+PH=HM=AD=4．10.∵翻折后点B恰好与点C重合，∴AE⊥BC，BE=CE，∵BC=AD=6，∴BE=3，∴AE==4，11.∵菱形AECF，AB=6，设BE=x，则AE=CE=6﹣x，∵菱形AECF，∴∠FCO=∠ECO，∵∠ECO=∠ECB，∴∠ECO=∠ECB=FCO=30°，∴2BE=CE，即CE=2x，∴2x=6﹣x，解得：x=2，∴CE=4，又EB=2，则利用勾股定理得：BC=2．12.（1）证明：∵△BDC1是由△BDC沿直线BD折叠得到的，∴∠C1BD=∠CBD，∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∴∠CBD=∠EDB，∴∠C1BD=∠EDB，∴BE=DE，∴△EBD是等腰三角形；（2）解：设DE=x，则AE=AD﹣DE=8﹣x，∵∠A=90°，BE=DE=x，在Rt△ABE中，BE2=AB2+AE2，∴x2=62+（8﹣x）2，∴x=，即DE=．13.根据折叠的性质知：BP=BC，∠PBQ=∠CBQ ∴BN=BC=BP ∵∠BNP=90°∴∠BPN=30°∴∠PBQ=×60°=30°．14.（1）证明：如图所示，由折叠得OA=OC，EF⊥AC.∵AD∥BC，∴∠AEO=∠CFO，∠EAO=∠FCO.∴△AOE≌△COF，∴AE=CF.又AE∥CF，∴四边形AECF 是平行四边形.∵AC⊥EF，∴四边形AECF是菱形.（2）解：∵四边形AECF是菱形，∴AF=AE=10cm，设AB=a，BF=b，∵△ABF 的面积为24cm 2,∴10022=+b a ,48=ab ,∴196)(2=+b a .∴14=+b a ，或14-=+b a （不合题意，舍去），∴△A BF 的周长为2410=++b a （cm ）15.设AE=x ，由折叠可知，EC=x ，BE=4﹣x ，在Rt △ABE 中，AB 2+BE 2=AE 2，即32+（4﹣x ）2=x 2，解得：x=，由折叠可知∠AEF=∠CEF ，∵AD ∥BC ，∴∠CEF=∠AFE ，∴∠AEF=∠AFE ，即AE=AF=，∴S △AEF =×AF ×AB=××3= 16.（1）证明：∵直角△ABC 中，∠C=90°﹣∠A=30°．∵CD=4t ，AE=2t ，又∵在直角△CDF 中，∠C=30°，∴DF=CD=2t ，∴DF=AE ；解：（2）∵DF ∥AB ，DF=AE ，∴四边形AEFD 是平行四边形，当AD=AE 时，四边形AEFD 是菱形，即60﹣4t=2t ，解得：t=10，即当t=10时，▱AEFD 是菱形；（3）当t=时△DEF 是直角三角形（∠EDF=90°）；当t=12时，△DEF 是直角三角形（∠DEF=90°）．理由如下：当∠EDF=90°时，DE ∥BC ．∴∠ADE=∠C=30°∴AD=2AE ∵CD=4t ，∴DF=2t=AE ，∴AD=4t ，∴4t +4t=60，∴t=时，∠EDF=90°．当∠DEF=90°时，DE ⊥EF ，∵四边形AEFD 是平行四边形，∴AD ∥EF ，∴DE ⊥AD ，∴△ADE 是直角三角形，∠ADE=90°，∵∠A=60°，∴∠DEA=30°，∴AD=AE ，AD=AC ﹣CD=60﹣4t ，AE=DF=CD=2t ，∴60﹣4t=t ，解得t=12．综上所述，当t=时△DEF是直角三角形（∠EDF=90°）；当t=12时，△DEF是直角三角形（∠DEF=90°）．。

函数中的动点问题1. 点在线段上运动：根据线段长或图形面积求函数关系。

如：如图所示，点P在线段BC、CD、DA上运动，△ABP的面积变化情况的图象是什么样的？解析：看清横轴和纵轴表示的量。

答案：2. 双动点变化：两动点同时运动，分析图形面积变化图象。

如图1，在矩形ABCD中，点E是对角线AC 的三等分点（靠近点A），动点F从点C出发沿C→A→B运动，当点F与点B重合时停止运动。

设点F运动的路程为x，△BEF的面积为y，那么图2能表示y与x函数关系的大致图象吗？图1 图2解析：动点问题的函数图象，解决本题应首先看清横轴和纵轴表示的量，然后根据动点的行程判断y的变化情况。

答案：能。

3. 图形运动变化所形成的函数问题：图形整体运动时，形成的函数问题；如图，边长为1和2的两个正方形，其一边在同一水平线上，小正方形自左向右匀速穿过大正方形，设穿过的时间为t，阴影部分面积为S，那么S与t的函数图象大致是什么？解析：图形运动变化所形成的函数问题．关键是理解图形运动过程中的几个分界点。

答案：4. 实际问题中的运动变化图象如图，小亮在操场上玩，一段时间内沿M→A→B→M的路径匀速散步，能近似刻画小亮到出发点M的距离y与时间x之间关系的函数图象是（）解析：解决实际问题中的运动变化图象，要根据几何图形和图形上的数据分析得出所对应的函数的类型和所需要的条件，结合实际意义选出正确的图象。

答案：总结：研究在不同位置时点的运动变化所产生的线段、面积的变化关系是重点。

例题如图，M是边长为4的正方形AD边的中点，动点P自A点起，由A⇒B⇒C⇒D匀速运动，直线MP扫过正方形所形成面积为y，点P运动的路程为x，则表示y与x的函数关系的图象为（）A.B.C.D.解析：分别求出P 在AB 段、BC 段、CD 段的函数解析式或判断函数的类型，即可判断。

答案：解：点P 在AB 段时，函数解析式是：y ＝21AP•AM＝21×2x＝x ，是正比例函数y x =；点P 在BC 段时，函数解析式是：1()242y AM BP AB x =+⋅=-，是一次函数24y x =-；则2,1BC AB k k ==，BC AB k k ∴>。

专题14.3因式分解1.因式分解把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个式子因式分解.2.因式分解方法(1)提公因式法：找岀最大公因式.(2)公式法：①平方差公式：a2-b2=(a+b)(a-b) ②完全平方公式：a2±2ab+b2=(a±b)23.分解因式的一般步骤若有公因式，先提公因式；然后再考虑用公式法(平方差公式：孑一歹=(a+b)(a-2>),完全平方公式: /±2曰b+F=(a±bF)或英它方法分解；直到每个因式都不能再分解为止.【例题1】因式分解：ab-a= __________ •【例题2］把多项式4子-1分解因式，结果正确的是( )A. (4M1) (4a-1) B・(2M1) (2”1)C. (2a- 1) 2D・(2亦1) 2【例题3］分解因式3/ - 27/= __________ .【例题4】分解因式：xf - 2xy^x= _________ .【例题5】因式分解：/-9= _________ .【例题6】分解因式：_________________ ・一.选择题1.a'b - 6a'bTa：b分解因式得正确结果为( )A. a"b (a* - 6a+9) B・ a-b (a - 3) (a+3) C・ b (a" - 3) D・ a"b (a - 3)2.把多项式x2 - 6x+9分解因式，结果正确的是()A・(x - 3 ) 2 B・(x - 9)=C・(x+3) ( x - 3 ) D・(x+9) ( x - 9)3.多项式77x: - 13x - 3 0可因式分解成(7 x+a ) ( bx+c儿其中a > b、c均为整数，求a+b + c之值为何？( )A. 0 B・ 10 C・ 12 D・ 224.已知甲、乙、丙均为x的一次多项式，且其一次项的系数皆为正整数.若甲与乙相乘为X3- 4,乙与丙相乘为x=+15x - 34,则甲与丙相加的结果与下列哪一个式子相同？( )A. 2x+19 B・ 2x - 19 C・ 2x+15 D・ 2x - 155.把8a'-8a：+2a进行因式分解，结果正确的是( )A. 2a ( 4a: - 4a+l) B・ 8a: ( a - 1)C. 2a ( 2a - 1) 2 D・ 2a (2a+l) 26.多项式77x" - 13x - 30可因式分解成(7x-ra ) ( bx+c )，其中a. b c均为整数，求a+b + c之值为何？( )A. 0 B・ 10 C・ 12 D・ 227.已知甲、乙、丙均为x的一次多项式，且英一次项的系数皆为正整数.若甲与乙相乘为x c- 4,乙与丙相乘为x=+15x - 34,则甲与丙相加的结果与下列哪一个式子相同？( )A. 2x+19B. 2x - 19 C ・ 2x+15 D. 2x・ 158.把多项式亍+ax+b分懈因式，得(x+1) (x-3)则a, b的值分别是( )A. a=2t b=3 B・ a= - 2, b二・3 C・ a= - 2, b=3 D・ a=2, b= - 39.分解因式：16-丘二( )A. (4 - x) (4+x) B・(x - 4) (x+4) C. (8+x) (8 - x) D. (4 - x):10.将下列多项式因式分解，结果中不含有因式a+1的是( )A. a" - 1 B・ a"+a C・ a"+a - 2 D・(a+2) " - 2 (a+2) +1二、填空题11.分解因式：1-¥= _________ .12.分解因式：3a'b十6卅二__ ・13.分解因式X3—9x= _____1 0 114•已知实数x满足x+_=3,则x2 + —的值为___________ -X X15•因式分解：£・6a+9二____ ・16.分解因式：2^2 - 8/= ______________ .17.因式分解：a2 -2a = _________ .18.分解因式：x2 +x-2 = __________ ・19.分解因式.4丘一9二 _____ ・20.分解因式：a^b —ab= _______ ・21.分解因式：ax= - ay== ______________ .22.分解因式：a-16a= ________________ ・23.把多项式9a5 - ab：分解因式的结果是__________ .24._______________________________________ •把多项式ax：+2a*a'分解因式的结果是.25.分解因式3m l - 48= ____________ ・26・分解因式：ab 1 - 4ab:+4ab:= ______________ ・27.分解因式：(m+1) (m- 9) +8m二__________ ・28•将/ (x-2) +加(2-.Y)分解因式的结果是________________三、解答题29•已知a+b二3, ab=2,求代数式a5b+2aV+ab3的值.专题14.3因式分解1.因式分解把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个式子因式分解.2.因式分解方法(1)提公因式法：找岀最大公因式.(2)公式法：①平方差公式：a2-b2=(a+b)(a-b) ②完全平方公式：a2±2ab+b2=(a±b)23.分解因式的一般步骤若有公因式，先提公因式；然后再考虑用公式法(平方差公式：孑一歹=(a+b)(a-2>),完全平方公式: /±2曰b+F=(a±bF)或英它方法分解；直到每个因式都不能再分解为止.【例题1】因式分解：ab-a= ___________•【答案】a (6-1).【解析】提公因式a即可.ab- a=a (.b ■ 1 )・【点拨】本题考査了提取公因式法因式分解.关键是求岀多项式里各项的公因式，提公因式.【例题2】把多项式4/ - 1分解因式，结果正确的是( )A. (4亦1) (4a- 1)B. (2M1) (2”1)C. (2a- 1) 2D・(2M1) 2【答案】B【解析】如果把乘法公式反过来，就可以把某些多项式分解因式，这种方法叫公式法.平方差公式：=(a+6) (a- b)i完全平方公式：a:±2aM6:= (a±b) 5：4a:- 1= (2a+l) (2a- 1),【点拨】本题考査了分解因式，熟练运用平方差公式是解题的关键。

人教版2022-2023学年八年级下册数学期末复习专题以弦图为背景的计算题姓名班级1．如图是单位长度为1的正方形网格．（1）在图1中画出一条长度为10的线段AB；（2）在图2中画出一个以格点为顶点，面积为5的正方形．2．（1）教材在探索平方差公式时利用了面积法，面积法可以帮助我们直观地推导或验证公式，俗称“无字证明”，例如，著名的赵爽弦图（如图①，其中四个直角三角形较大的直角边长都为a，较小的直角边长都为b，斜边长都为c），大正方形的面积可以表示为c2，也可以表示为4×12ab＋(a－b)2，所以4×12ab＋(a－b)2=c2，即a2＋b2=c2．由此推导出重要的勾股定理：如果直角三角形两条直角边长为a，b，斜边长为c，则a2＋b2=c2．图②为美国第二十任总统伽菲尔德的“总统证法”，请你利用图②推导勾股定理．(2)试用勾股定理解决以下问题：如果直角三角形ABC的两直角边长为3和4，则斜边上的高为．(3)试构造一个图形，使它的面积能够解释(a－2b)2=a2－4ab＋4b2，画在上面的网格中，并标出字母a，b所表示的线段．3．如图所示，以Rt ABC∆的三边为直径分别向外作三个半圆，已如以AC为直径的半圆的面积为1S，以BC为直径的半圆的面积为2S，以AB为直径的半国的面积为S．（1）求证：12=+；S S S（2）若将图中半圆改为分别以三边为斜边的等腰直角三角形，如图所示，探究（1）中的结论是否仍成立？4．（1）四年一度的国际数学家大会于2002年8月20日在北京召开，大会会标如图1，它是由四个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形.若大正方形的面积为13，每个直角三角形两直角边的和是5，求中间小正方形的面积.（2）现有一张长为6.5cm，宽为2cm的纸片，如图2，请你将它分割成6块，再拼合成一个正方形.（要求：先在图2中画出分割线，再画出拼成的正方形并标明相应数据）5．教材第九章中探索乘法公式时，设置由图形面积的不同表示方法验证了乘法公式．我国著名的数学家赵爽，早在公元3世纪，就把一个矩形分成四个全等的直角三角形，用四个全等的直角三角形拼成了一个大的正方形(如图①)，这个图形称为赵爽弦图，验证了一个非常重要的结论：在直角三角形中两直角边a、b 与斜边c满足关系式a2＋b2＝c2，称为勾股定理．(1)爱动脑筋的小明把这四个全等的直角三角形拼成了另一个大的正方形(如图②)，也能验证这个结论，请你帮助小明完成验证的过程．(2)小明又把这四个全等的直角三角形拼成了一个梯形(如图③)，利用上面探究所得结论，求当a＝3，b＝4时梯形ABCD的周长．(3)如图④，在每个小正方形边长为1的方格纸中，△ABC的顶点都在方格纸格点上．请在图中画出△ABC的高BD，利用上面的结论，求高BD的长．6．中国古代对勾股定理有深刻的认识．(1)三国时代吴国数学家赵爽第一次对勾股定理加以证明：用四个全等的图1所示的直角三角形拼成一个图2所示的大正方形，中间空白部分是一个小正方形．如果大正方形的面积是13，小正方形的面积是1，直角三角形的两直角边分别为a ，b ，求(a ＋b)2的值；(2)清朝的康熙皇帝对勾股定理也很有研究，他著有《积求勾股法》：用现代的数学语言描述就是：若直角三角形的三边长分别为3，4，5的整数倍，设其面积为S ，则求其边长的方法为：第一步6S ＝m ；第二步：m ＝k ；第三步：分别用3，4，5乘k ，得三边长．当面积S 等于150时，请用“积求勾股法”求出这个直角三角形的三边长．7．如图，图中所有的三角形都是直角三角形，四边形都是正方形，已知正方形A ，B ，C ，D 的面积分别是12，16，9，12，求最大正方形E 的面积．答案。

思维特训(十一)几何图形的面积等分方法点津面积等分基本模型：1．三角形的中线把三角形面积等分；2．夹在两条平行线间的距离相等，同底等高的两个三角形面积相等；3．过平行四边形对角线中点(对称中心)的任意一条直线把平行四边形面积等分．典题精练类型一作一个图形的面积等于已知图形1．(1)如图11－S－1①，已知直线m∥n，点A，B在直线n上，点C，P在直线m上．①写出图①中面积相等的三角形：________；②当点P在直线m上移动到任一位置时，总有________与△ABC的面积相等；(2)如图11－S－1②，已知一个五边形ABCDE，你能否过点E作一条直线交BC(或其延长线)于点M，使四边形ABME的面积等于五边形ABCDE的面积？图11－S－1类型二等分面积2．阅读下列材料：小明遇到一个问题：AD是△ABC的中线，M为BC边上任意一点(不与点D重合)，过点M作一直线，使其等分△ABC的面积．他的作法是：如图11－S－2①，连接AM，过点D作DN∥AM交AC于点N，作直线MN，直线MN即为所求直线．请你参考小明的作法，解决下列问题：(1)如图②，在四边形ABCD中，AE平分四边形ABCD的面积，M为CD边上一点，过点M作一直线MN，使其等分四边形ABCD的面积(要求：在图②中画出直线MN，并保留作图痕迹)；(2)如图③，求作过点A的直线AE，使其等分四边形ABCD的面积(要求：在图③中画出直线AE，并保留作图痕迹)．图11－S－23．有一些几何图形可以被某条直线分成面积相等的两部分，我们将“把一个几何图形分成面积相等的两部分的直线叫做该图形的二分线”，如三角形的中线所在的直线一定是三角形的“二分线”．解决下列问题：(1)在图11－S－3①中，试用三种不同的方法分别画出平行四边形ABCD的“二分线”；(2)解决问题：兄弟俩分家时，有原来共同承包的一块平行四边形田地ABCD，现要进行平均划分，由于在这块地里有一口井P，如图②所示，为了兄弟俩都能方便使用这口井，兄弟俩在划分时犯难了，聪明的你能帮他们解决这个问题吗(画图，并说明结果)?图11－S－34．我们把能平分四边形面积的直线称为“好线”．利用下面的作图，可以得到四边形的“好线”：如图11－S－4①，在四边形ABCD中，取对角线BD的中点O，连接OA，OC，AC.显然，折线AOC能平分四边形ABCD的面积，再过点O作OE∥AC交CD于点E，则直线AE即为一条“好线”．(1)试说明：直线AE是“好线”的理由；(2)如图②，AE为一条“好线”，F为AD边上的一点，请作出经过点F的“好线”，并对画图作适当说明(不需要说明理由)．图11－S－45．自定义：在一个图形上画一条直线，若这条直线既平分该图形的面积，又平分该图形的周长，我们称这条直线为这个图形的“等分积周线”．(1)如图11－S－5①，已知△ABC，AC≠BC，过点C能否画出△ABC的一条“等分积周线”？若能，说出确定的方法；若不能，请说明理由．(2)如图②，在四边形ABCD中，∠B＝∠C＝90°，EF垂直平分AD，垂足为F，交BC 于点E，已知AB＝3，BC＝8，CD＝5.求证：直线EF为四边形ABCD的“等分积周线”．(3)如图③，在△ABC中，AB＝BC＝6，AC＝8，请你作出△ABC的一条“等分积周线”EF(要求：直线EF不过△ABC的顶点，交边AC于点F，交边BC于点E)，并说明理由．图11－S－5典题讲评与答案详析1．解：(1)①图①中符合条件的三角形有：△CAB与△P AB，△BCP与△APC，△ACO 与△BPO.②△P AB(2)如图，连接EC，过点D作直线DM∥EC交BC的延长线于点M，作直线EM，直线EM即为所求的直线．2．解：(1)如图①，连接AM，过点E作EN∥AM，交AD于点N，再作直线MN即可．(2)如图②，取对角线BD的中点O，连接AO，CO，AC，过点O作OE∥AC交CD于点E，直线AE就是所求直线．3．解：(1)答案不唯一，示例如下：(2)能解决这个问题．连接AC，BD相交于点O，过点O，P作直线与DC，AB分别交于点E，F，如图所示．则一人分四边形ADEF，一人分四边形CEFB.4．解：(1)∵OE∥AC，∴S△AOE＝S△COE，∴S△AOF＝S△CEF.又∵折线AOC能平分四边形ABCD的面积，∴直线AE平分四边形ABCD的面积，即AE是“好线”．(2)连接EF，过点A作EF的平行线交CD于点G，连接FG，则FG为一条“好线”．∵AG∥EF，∴S△AGE＝S△AFG. 设AE与FG的交点是O，则S△AOF＝S△GOE.又∵AE为一条“好线”，∴FG为一条“好线”．5．解：(1)不能．理由：如图①，取AB的中点D，连接CD，则S△ADC＝S△DBC，且过点C只能画CD一条直线平分△ABC的面积．∵AC≠BC，∴AD＋AC≠BD＋BC，∴过点C不能画出△ABC的一条“等分积周线”．(2)证明：如图②，连接AE，DE，设BE＝x，∵EF垂直平分AD，∴AE＝DE，AF＝DF，S△AEF＝S△DEF.∵∠B＝∠C＝90°，AB＝3，BC＝8，CD＝5，∴在Rt△ABE和Rt△DCE中，根据勾股定理，得AB2＋BE2＝CE2＋DC2，即32＋x2＝(8－x)2＋52，解得x＝5，∴BE＝5，CE＝3，∴AB＋BE＝CE＋DC，S△ABE＝S△DCE.∴AF＋AB＋BE＝DF＋CE＋DC.∵S四边形ABEF＝S△ABE＋S△AEF，S四边形DCEF＝S△DEF＋S△DCE，∴S四边形ABEF＝S四边形DCEF，∴直线EF为四边形ABCD的“等分积周线”．(3)如图③，在AC上取一点F，使得FC＝AB＝6，在BC上取一点E，使得BE＝2，作直线EF，则直线EF是△ABC的“等分积周线”．理由：由作图可得AF＝AC－FC＝8－6＝2，在CB上取一点G，使得CG＝AF＝2.∵AB ＝BC，∴∠A＝∠C.在△ABF和△CFG中，AF＝CG，∠A＝∠C，AB＝CF，∴△ABF≌△CFG(SAS)，∴S△ABF＝S△CFG.又易得BE＝EG＝2，∴S△BFE＝S△EFG，∴S△EFC＝S四边形ABEF，AF＋AB＋BE＝CE＋CF＝10，∴直线EF是△ABC的“等分积周线”．。

思维特训(十)平行四边形的剪拼方法点津1．平行四边形剪拼成三角形2．平行四边形剪拼成矩形3．菱形剪拼成矩形典题精练类型一三角形的剪拼1．如图10－S－1，将一张锐角三角形纸片沿中位线剪开，拼成一个新的图形，这个新的图形一定是下列图形中的()图10－S－1A．平行四边形B．矩形C．菱形D．正方形2．如图10－S－2，任意三角形ABC中，可沿中位线EF一刀剪切后，用得到的△AEF 和四边形EBCF拼成平行四边形EBCD，现在仿照上述方法，结合自己所画的图，完成下列问题．图10－S－2(1)在△ABC中，可增加条件：________，沿着图中________一刀剪切后的两图形可拼成矩形(剪切线与拼图画在图10－S－3①的位置)；(2)在△ABC中，可增加条件：________，沿着图中________一刀剪切后的两图形可拼成菱形(剪切线与拼图画在图②的位置)；(3)在△ABC中，可增加条件：________，沿着图中________一刀剪切后的两图形可拼成正方形(剪切线与拼图画在图③的位置)．图10－S－33．如图10－S－4，已知在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于点D，且AD＝BC＝4.若将此三角形沿AD剪开成为两个三角形，在平面上把这两个三角形拼成一个四边形，你能拼出所有的不同形状的四边形吗？画出所拼四边形的示意图(标出图中的直角)，并分别写出所拼四边形的对角线的长．(不要求写计算过程，只需写出结果)图10－S－4类型二平行四边形的剪拼4．(1)如图10－S－5①，平行四边形纸片ABCD中，AD＝5，S▱ABCD＝15，过点A作AE ⊥BC，垂足为E，沿AE剪下△ABE，将它平移至△DCE′的位置，拼成四边形AEE′D，则四边形AEE′D的形状为________．A．平行四边形B．菱形C．矩形D．正方形(2)如图10－S－5②，在(1)中的四边形纸片AEE′D中，在EE′上取一点F，使EF＝4，剪下△AEF，将它平移至△DE′F′的位置，拼成四边形AFF′D.①求证：四边形AFF′D是菱形；②求四边形AFF′D的两条对角线的长．图10－S－55．有一张邻边不相等的平行四边形纸片，剪去一个菱形，余下一个四边形，称为第一次操作；在余下的四边形纸片中再剪去一个菱形，又剩下一个四边形，称为第二次操作……依此类推，若第n次操作余下的四边形是菱形，则称原平行四边形为n阶准菱形．如图10－S－6①，平行四边形ABCD中，若AB＝1，BC＝2，则平行四边形ABCD为1阶准菱形．(1)判断与推理：①邻边长分别为2和3的平行四边形是________阶准菱形；②小明为了剪去一个菱形，进行了如下操作：如图②，把平行四边形ABCD沿BE折叠(点E在AD上)，使点A落在BC边上的点F处，得到四边形ABFE.请证明四边形ABFE是菱形．(2)操作、探究与计算：①已知平行四边形ABCD的邻边长分别为1，a(a＞1)，且是3阶准菱形，请画出▱ABCD 及裁剪线的示意图，并在图形下方写出a的值；②已知平行四边形ABCD的邻边长分别为a，b(a＞b)，且a，b满足a＝6b＋r，b＝5r，请写出平行四边形ABCD是几阶准菱形．图10－S－6类型三矩形的剪拼6．如图10－S－7是甲、乙两张不同的矩形纸片，将它们分别沿着虚线剪开后，各自要拼一个与原来面积相等的正方形，则()图10－S－7A．甲、乙都可以B．甲、乙都不可以C．甲不可以、乙可以D．甲可以、乙不可以7．有一张邻边不相等的矩形纸片，剪去一个正方形，余下一个四边形，称为第一次操作；在余下的四边形中再剪去一个正方形，又余下一个四边形，称为第二次操作……以此类推，若第n次操作后余下的四边形是正方形，则称原矩形是n阶矩形．如图10－S－8①，矩形ABCD中，若AB＝1，AD＝2，则矩形ABCD是1阶矩形．探究：(1)两边长分别是2和3的矩形是________阶矩形．(2)小聪为了剪去一个正方形，进行如下的操作：如图②，把矩形ABCD沿着BE折叠(点E在AD上)，使点A落在BC上的点F处，得到四边形ABFE.请证明四边形ABFE是正方形．(3)操作、计算：①已知矩形的两边分别是2，a(a＞2)，而且它是3阶矩形，请画出此矩形及裁剪线的示意图，并在示意图下方直接写出a的值；②已知矩形ABCD的两邻边长分别为a，b(a＞b)，且a，b满足a＝5b＋m，b＝4m.请直接写出矩形ABCD是几阶矩形．图10－S－8典题讲评与答案详析1．A [解析] 因为此三角形没说明是特殊三角形，所以沿中位线剪开，拼成一个新的图形，一定是平行四边形．2．解：答案不唯一．(1)如图①，∠B ＝90°；中位线DE . (2)如图②，∠ACB ＝90°，∠A ＝30°；中位线DE . (3)如图③，∠ABC ＝90°，AB ＝BC ；AC 上的高BE .3．解：图①是矩形，两条对角线长相等，均为2 5；图②是平行四边形，两条对角线长为4和4 2；图③是平行四边形，两条对角线长为2和2 17；图④是一般的四边形，两条对角线长为2 5和855.4．解：(1)C(2)①证明：∵▱ABCD 中，AD ＝5，S ▱ABCD ＝15，AE ⊥BC ， ∴AE ＝3.∵将△AEF 平移至△DE ′F ′的位置， ∴AF ∥DF ′，AF ＝DF ′， ∴四边形AFF ′D 是平行四边形． 在Rt △AEF 中，由勾股定理，得 AF ＝AE 2＋EF 2＝32＋42＝5， ∴AF ＝AD ＝5，∴四边形AFF ′D 是菱形．②连接AF ′，DF ，如图．在Rt △DE ′F 中，E ′F ＝FF ′－E ′F ′＝5－4＝1，DE ′＝3， ∴DF ＝DE ′2＋E ′F 2＝32＋12＝10.在Rt △AEF ′中，EF ′＝EF ＋FF ′＝4＋5＝9，AE ＝3， ∴AF ′＝AE 2＋EF ′2＝32＋92＝310. 5．解：(1)①2②证明：由折叠知：∠ABE ＝∠FBE ，AB ＝BF .∵四边形ABCD是平行四边形，∴AE∥BF，∴∠AEB＝∠FBE，∴∠AEB＝∠ABE，∴AE＝AB，∴AE＝BF，∴四边形ABFE是平行四边形．又∵AE＝AB，∴四边形ABFE是菱形．(2)①如图所示：②∵a＝6b＋r，b＝5r，∴a＝6×5r＋r＝31r.如图所示：故平行四边形ABCD是10阶准菱形．6．A[解析] 所作图形如图所示，甲、乙都可以拼一个与原来面积相等的正方形．7．解：(1)2(2)证明：∵△AEB与△FEB关于直线BE成轴对称，∴△AEB≌△FEB，∴AE＝FE，∠BFE＝∠A.∵四边形ABCD是矩形，∴∠A＝∠ABF＝90°，∴∠A＝∠ABF＝∠BFE＝90°，∴四边形ABFE为矩形．又∵AE＝FE，∴矩形ABFE为正方形．(3)①如图所示：②∵a＝5b＋m，b＝4m，∴a＝21m.如图所示：∴矩形ABCD是8阶矩形．。

八年级下册数学复习专题八年级下册数学复资料第一章直角三角形1、直角三角形的性质：①直角三角形的两锐角互余。

②直角三角形斜边上的中线等于斜边上的一半。

例如，在直角三角形ABC中，CD是斜边AB的中线，因此CD等于AB的一半。

③在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半。

例如，在直角三角形ABC中，如果∠A=30°，那么BC等于AB的一半。

例如，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，则正确的结论是AC²+BC²=AB²。

④在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的角等于30°。

例如，在直角三角形ABC 中，如果BC等于AB的一半，那么∠A=30°。

例如，如果等腰三角形一腰上的高等于腰长的一半，那么顶角的度数是60°。

⑤勾股定理及其逆定理1）勾股定理：直角三角形两直角边a、b的平方和等于斜边c的平方，即a²+b²=c²。

求斜边的长度，可以用c=√(a²+b²)；求直角边的长度，可以用a=√(c²-b²)或b=√(c²-a²)。

例如，在图中的拉线电线杆示意图中，已知CD⊥AB，∠CAD=60°，那么拉线AC的长度是6m。

例如，如果一个直角三角形的两边长分别为6和10，那么这个三角形的第三条边长是√136.2）逆定理：如果三角形的三边长a、b、c有关系，那么这个三角形是直角三角形。

可以分别计算“a²+b²”和“c²”，如果相等就是直角三角形，不相等就不是直角三角形。

例如，在Rt△ABC中，如果AC=2，BC=7，AB=3，那么正确的结论是∠C=90°。

例如，如果一块木板如图所示，已知AB=4，BC=3，DC=12，AD=13，∠B=90°，那么这块木板的面积是18.例如，某校把一块形状为直角三角形的废地开辟为生物园，如图所示，∠ACB=90°，AC=80米，BC=60米，若线段CD是一条小渠，且D点在边AB上，已知水渠的造价为10元/米，问D点在距A点多远处时，水渠的造价最低？最低造价是多少？直角三角形性质及勾股定理的应用常见于各种图形中。

专题13.3 等腰三角形知识点1：等腰三角形1.等腰三角形的定义：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形．相等的两边叫做腰，另一边叫做底边，两腰所夹的角叫做顶角，底边与腰的夹角叫底角．2.等腰三角形的性质：（1）等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”）．（2）等腰三角形的顶角平分线，底边上的中线、 底边上的高互相重合（通常称作“三线合一”）．3.等腰三角形的判定定理：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简写成“等角对等边”）．知识点2：等边三角形1.定义：三条边相等的三角形叫做等边三角形．2.等边三角形的性质和判定：（1）等边三角形的三个内角都相等，并且每一个角都等于60°。

（2）三个角都相等的三角形是等边三角形。

（3）有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形。

知识点3：直角三角形的一个定理在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半．【例题1】如图，在△ABC中，AB=AC，点D在AC上，且BD=BC=AD，求：△ABC各角的度数．【例题2】证明：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°， 那么它所对的直角边等于斜边的一半． 已知：如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°，∠BAC=30°．求证：BC=AB ．【例题7】已知等边三角形的边长为3，点P 为等边三角形内任意一点，则点P 到三边的距离之和为（ ）A ．B ．C ．D ．不能确定【例题3】如图，已知AC ⊥BC ，BD ⊥AD ，AC 与BD 交于点O ，AC=BD.求证：(1)BC=AD ；(2)△OAB 是等腰三角形.一、选择题1.已知等边三角形的边长为3，点P 为等边三角形内任意一点，则点P 到三边的距离之和为（ ）12C AA．B．C．D．不能确定2.如图所示，点D是△ABC的边AC上一点（不含端点），AD=BD，则下列结论正确的是（）A．AC＞BC B．AC=BC C．∠A＞∠ABC D．∠A=∠ABC3．如图，∠AOB=120°，OP平分∠AOB，且OP=2．若点M，N分别在OA，OB上，且△PMN 为等边三角形，则满足上述条件的△PMN有（）A．1个B．2个C．3个D．3个以上4.如图所示，底边BC为2，顶角A为120°的等腰△ABC中，DE垂直平分AB于D，则△ACE的周长为（）A．2+2B．2+C．4 D．3二、解答题5.已知：在△ABC中，AB=AC，D为AC的中点，DE⊥AB，DF⊥BC，垂足分别为点E，F，且DE=DF．求证：△ABC是等边三角形．6.如图，在△ABC中，过C作∠BAC的平分线AD的垂线，垂足为D，DE∥AB交AC于E．求证：AE=CE．7.求证：如果三角形一个外角的平分线平行于三角形的一边，那么这个三角形是等腰三角形．已知：∠CAE 是△ABC 的外角，∠1=∠2，AD ∥BC （如图）．求证：AB=AC ．8.已知：如图，AD ∥BC ，BD 平分∠ABC ．求证：AB=AD ．9.证明：等腰三角形两底角的平分线相等．已知：如图，在△ABC 中，AB=AC ，BD 、CE 是△ABC 的平分线．求证：BD=CE ．10.证明：等腰三角形两腰上的高相等．已知：如图，在△ABC 中，AB=AC ，BE 、CF 分别是△ABC 的高．E DCAB11.证明：等腰三角形两腰上的中线相等．已知：如图，在△ABC 中，AB=AC ，BD 、CE 分别是两腰上的中线．求证：BD=CE ．12.已知：如图，在△ABC 中，AB=AC=2a ，∠ABC=∠ACB=15°，CD 是腰AB 上的高．求：CD 的长．13．已知：如图，△ABC 中，∠ACB=90°，CD 是高，∠A=30°．求证：BD=AB ．14.已知直角三角形的一个锐角等于另一个锐角的2倍，这个角的平分线把对边分成两条线段．求证：其中一条是另一条的2倍．已知：在Rt △ABC 中，∠A=90°，∠ABC=2∠C ，BD 是∠ABC 的平分线．1415.已知：如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°，BC=AB ．求证：∠BAC=30°．16.已知，如图，点C 为线段AB 上一点，△ACM 、△CBN 是等边三角形．求证：AN=BM ．17．一个直角三角形房梁如图所示，其中BC ⊥AC ，∠BAC=30°，AB=10cm ， CB 1⊥AB ，B 1C ⊥AC 1，垂足分别是B 1、C 1，那么BC 的长是多少？18.如图，△ABC 中，AB=AC ，∠A=36°，AC 的垂直平分线交AB 于E ，D 为垂足，连接EC ．（1）求∠ECD 的度数；（2）若CE=5，求BC 长．12专题13.3 等腰三角形知识点1：等腰三角形1.等腰三角形的定义：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形．相等的两边叫做腰，另一边叫做底边，两腰所夹的角叫做顶角，底边与腰的夹角叫底角．2.等腰三角形的性质：（1）等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”）．（2）等腰三角形的顶角平分线，底边上的中线、 底边上的高互相重合（通常称作“三线合一”）．3.等腰三角形的判定定理：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简写成“等角对等边”）．知识点2：等边三角形1.定义：三条边相等的三角形叫做等边三角形．2.等边三角形的性质和判定：（1）等边三角形的三个内角都相等，并且每一个角都等于60°。

思维特训(二)有关二次根式的规律性问题方法点津规律性问题的解决方法：1．把已知式子(代数式或等式)按照所给顺序从上往下依次排开，并把式子变成结构大体相同的形式．2．结合式子的序号，自左向右，横向观察式子自身数的变化与序号的数量关系．3．从上至下，纵向观察式子对应位置上数的变化规律．4．熟悉完全平方公式：a2＋2ab＋b2＝(a＋b)2.典题精练类型一二次根式的化简1．有如下二次根式：①52－42；②172－82；③372－122；④652－162.(1)求各式的值；(2)仿照①②③④写出第⑤个二次根式；(3)写出第n(n为正整数)个二次根式，并化简．2．观察下面的计算过程，回答下列问题：12＋1＝1×（2－1）（2＋1）（2－1）＝2－1，13＋2＝1×（3－2）（3＋2）（3－2）＝3－2，同理可得：14＋3＝4－3，….(1)17＋6＝________；(2)求13 2＋17的值；(3)利用上面算式中的规律计算：(12＋1＋13＋2＋14＋3＋…＋12019＋2018)×(2019＋1)．类型二 含有二次根式的等式3．观察下列各式： ①1＋13＝213；②2＋14＝314； ③3＋15＝415. (1)请观察规律，并写出第④个等式：________________________；(2)请用含n (n 为正整数)的式子写出猜想的规律：________________________；(3)请证明(2)的结论．4．观察下列各式及其验证过程： 12－13＝1223， 验证：12－13＝12×3＝222×3＝12 23； 12×（13－14）＝13 38， 验证：12×（13－14)＝12×3×4＝32×32×4＝13 38； 13×（14－15）＝14 415， 验证：13×（14－15）＝13×4×5＝43×42×5＝14415. (1)按照上述三个等式及其验证过程中的基本思想，猜想14×（15－16）的变形结果并进行验证；(2)针对上述各式反映的规律，写出用n (n 为正整数)表示的等式(不需要验证)．5．先观察下列等式，再回答问题： ①12＋2＋（11）2＝1＋1＝2； ②22＋2＋（12）2＝2＋12＝212； ③32＋2＋（13）2＝3＋13＝313. (1)根据上面的三个等式提供的信息，请猜想第四个等式；(2)请按照上面各等式的规律，试写出用n (n 为正整数)表示的等式，并用所学知识证明．6．观察下列各式： 1＋112＋122＝1＋11－12＝112； 1＋122＋132＝1＋12－13＝116； 1＋132＋142＝1＋13－14＝1112. 请你根据以上三个等式提供的信息解答下列问题：(1)猜想：1＋172＋182＝________＝________； (2)归纳：根据你的观察、猜想，请写出一个用n (n 为正整数)表示的等式； (3)应用：计算8281＋1100.典题讲评与答案详析1．解：(1)①3 ②15 ③35 ④63 (2)1012－202(3)第n (n 为正整数)个二次根式为（4n 2＋1）2－16n 2.（4n 2＋1）2－16n 2 ＝（4n 2－4n ＋1）（4n 2＋4n ＋1)＝（2n －1）2（2n ＋1）2＝(2n －1)(2n ＋1)．2．解：(1)7－ 6(2)13 2＋17 ＝ 3 2－17（3 2＋17）（3 2－17） ＝3 2－1718－17＝3 2－17.(3)原式＝(2－1＋3－2＋4－3＋…＋2019－2018)×(2019＋1)＝(2019－1)×(2019＋1)＝2018.3．解：(1)4＋16＝516 (2)n ＋1n ＋2＝(n ＋1)1n ＋2(3)证明：n ＋1n ＋2＝n 2＋2n ＋1n ＋2＝(n ＋1)1n ＋2. 4．解：(1)14×（15－16）＝15 524. 验证： 14×（15－16）＝14×5×6＝54×52×6＝15 524. (2)1n （1n ＋1－1n ＋2）＝1n ＋1 n ＋1n （n ＋2）(n 为正整数)． 5．解：(1)42＋2＋（14）2＝4＋14＝414. (2)n 2＋2＋（1n ）2＝n ＋1n ＝n 2＋1n . 证明：n 2＋2＋（1n ）2 ＝n 2＋2×n ×1n ＋（1n ）2 ＝（n ＋1n ）2＝n ＋1n ＝n 2＋1n.6．解：(1)1＋17－18 1156(2)1＋1n 2＋1（n ＋1）2＝1＋1n －1n ＋1＝1＋ 1n （n ＋1）. (3)8281＋1100＝1＋181＋1100＝1＋192＋1102＝ 1＋19－110＝1190.。

八年级下册数学总复知识点一. 代数
1. 代数式的基本性质
2. 代数式的加减法、乘除法
3. 一元多项式及其乘法
4. 因式分解
5. 推广因式定理
6. 分式的加减乘除
7. 二次根式及其运算
8. 平方根与立方根
9. 特殊化运算
二. 几何
1. 平面图形的性质：六类三角形、四边形、圆、等腰梯形
2. 平面图形间的关系
3. 勾股定理及其应用
4. 圆周角和弧度制
5. 直线和平面的交角关系
6. 空间图形：正方体、立方体、金字塔等的计算
三. 线性方程组
1. 同解方程组、不同解方程组、无解方程组
2. 单解公式：三元一次方程组
3. 二元一次方程组的解法：消元法、代入法
4. 实际问题中的线性方程组
四. 函数
1. 函数的定义：自变量、函数值、定义域、值域、图像
2. 常见函数：多项式函数、绝对值函数、一次函数、二次函数
3. 函数的图像和性质
4. 函数的运算：加减乘除、复合、反函数
5. 实际问题中的函数
五. 概率
1. 随机事件和样本空间
2. 概率的基本属性：非负性、规范性、可加性
3. 古典概型、几何概型、条件概率、贝叶斯公式
4. 事件的独立性、互斥性、全面性
6. 离散型随机变量的概率分布、期望、方差
七. 统计
1. 数据的收集、整理、分析
2. 典型数据集的描述、统计量：均值、中位数、众数、四分位数
3. 离均差和标准差的计算
4. 一元统计
5. 相关性的度量：相关系数。

专题复习提升训练卷20.3《数据的分析》单元训练(1)-20-21人教版八年级数学下册一、选择题1、某电子科技公司招聘本科毕业生，小林同学的心里测试，笔试，面试得分分别是80分，90分，70分，若依次按照2:3:5的比例确定成绩，则小林同学的最终成绩为（）A．78分B．80分C．82分D．85分2、随着冬季的来临，流感进入高发期．某校为有效预防流感，购买了A，B，C，D四种艾条进行消毒，它们的单价分别是30元，25元，20元，18元．四种艾条的购买比例如图所示，那么所购买艾条的平均单价是（）A．22.5元B．23.25元C．21.75元D．24元3、在AI计算机比赛预赛中，11名参赛者得分各不相同，按得分取前5名进入决赛．若佳佳知道自己的得分，要判断自己能否进入决赛，她只需知道11名参赛者得分的（）A．方差B．平均数C．众数D．中位数4、在抗击新型冠状病毒肺炎疫情中，某社区志愿者小分队10名队员年龄统计如下表：年龄（岁）18 22 30 35 43人数 2 3 2 2 1则这10名队员年龄的中位数、众数分别是（）A．20岁，35岁B．26岁，22岁C．22岁，26岁D．30岁，30岁5、某校为了解学生在校一周体育锻炼时间，随机调查了35名学生，调查结果列表如下：锻炼时间/h 5 6 7 8人数 6 15 10 4则这35名学生在校一周体育锻炼时间的中位数和众数分别为（ ）A ．6h ，6hB ．6h ，15hC ．6.5h ，6hD ．6.5h ，15h6、某同学参加了学校举行的“舞动青春”歌唱比赛，7位评委打分情况如下表：关于七位评委打分情况，下列说法错误的是（ ）A ．中位数是7B ．众数是8C ．平均数是7D ．方差是27、小明在计算一组数据的方差时，列出的公式如下222221(7)(8)(8)(8)s x x x x n⎡=-+-+-+-+⎣2(9)x ⎤-⎦，根据公式信息，下列说法中，错误的是（ ） A ．数据个数是5 B ．数据平均数是8 C ．数据众数是8 D ．数据方差是158、为备战2022年北京冬奥会，甲、乙两名运动员训练测验，两名运动员的平均分相同，且2s 甲=0.01，2s 乙=0.006，则成绩较稳定的是（ ）A ．乙运动员B ．甲运动员C ．两运动员一样稳定D ．无法确定9、如果一组数据的方差是2，如果将这组数据中的每个数据都扩大3倍，得到一组新的数据，请问这组数据的方差是多少（ ）A ．2B ．6C ．12D ．1810、某校九年级四班数学兴趣小组有5名成员，身高（单位：cm ）分别为165、172、168、170、175．增加1名身高为170cm 的成员后，现在兴趣小组成员的身高与原来相比（ ）A ．平均数变小，方差不变B ．平均数不变，方差变小C ．平均数不变，方差变大D ．平均数不变，方差不变二、填空题11、某校在计算学生的数学期评成绩时，规定期中考试成绩占30%，期末考试成绩占70%．王林同学的期中数学考试成绩为130分，期末数学考试成绩为140分，那么他的数学期评成绩是________分．12、某校规定：学生的数学期未总计成须由卷面成绩、研究性学习成绩、平时成绩三部分构成，各部分所占比例如图所示.小明本学期数学学科的卷面成绩、研究性学习成绩、平时成绩得分依次为90分、80分、85分，则小明的数学期末总评成绩为________分.13、“学习强国”是王老师每天的必修课，下表是王老师一周的学习得分情况：日期 11.1 11.2 11.3 11.4 11.5 11.6 11.7得分 49 60 48 42 55 55 55则这组数据的众数为______．14、商店某天销售了11件衬衫，其领口尺寸统计如下表：领口尺寸（单位：cm ） 38 39 40 41 42件数 1 4 3 1 2则这11件衬衫领口尺寸的中位数是________cm ．15、某中学篮球队12名队员的年龄情况如下：年龄（单位：岁） 14 15 16 17 18人数 1 4 3 2 2则这个队队员年龄的众数和中位数分别是_____岁、_____岁．16、若一组数据123,,x x x 的方差是2，则数据1233,3,3x x x +++的方差是_______．17、甲，乙二人参加射击测试，两人10次射击的平均成绩均为8.5环，各自的方差如右表所示，则两人中射击成绩较稳定的是________．人员甲乙方差0.6 2.818、我市某中学举行“校园好声音”歌手大赛，甲、乙两班根据初赛成绩各选出5名选手组成甲班代表队和乙班代表队参加学校决赛，两个队各选出的5名选手的决赛成绩（满分100）如图所示：根据图示信息，整理分析数据如表：平均数（分）中位数（分）众数（分）方差甲班 a 85 c 70乙班85 b 100 160（1）填空：甲班2号选手的预赛成绩是分，乙班3号选手的预赛成绩是分，班的预赛成绩更平衡，更稳定；（2）求出表格中a＝，b＝，c＝；（3）学校决定在甲、乙两班中选取预赛成绩较好的5人参加该活动的区级比赛，这5人预赛成绩的平均分数为．三、解答题19、少年学生走近操场，走到阳关下，积极参加体育锻炼，我国启动了“全国亿万学生阳光体育运动”．短跑运动，可以锻炼人的灵活性，增强人的爆发力，因此小明和小亮在课外活动中，报名参加了短跑训练小组．在近几次百米训练中，所测成绩如图所示，请根据图中所示解答以下问题．（1）请根据图中信息，补全下面的表格；第1次第2次第3次第4次第5次小明13.3 13.4 13.3 ___ 13.3小亮13.2 ___ 13.1 13.5 13.3（2）计算他们5次成绩的平均数和方差，若你是他们的教练，会分别给予他们怎样的建议?20、八（1）班组织了一次经典诵读比赛，甲、乙两队各10人的比赛成绩如下表：甲7 8 9 7 10 10 9 10 10 10乙10 8 7 9 8 10 10 9 10 9（1）甲队成绩的中位数是分，乙队成绩的众数是分；（2）计算乙队的方差；（3）已知甲队成绩的方差是1.4，则成绩较为整齐的是队．21、为了解居民的环保意识，社区工作人员在某小区随机抽取了若干名居民开展有奖问卷调查活动，并用得到的数据绘制了如下条形统计图．请根据图中信息，解答下列问题．（1）求本次调查获取的样本数据的平均数；（2）如果对该小区的800名居民全面开展这项有奖问卷活动，得10分者设为一等奖，请你根据调查结果，估计需准备多少份一等奖奖品？22、某校决定从八年级三个班中选择一个班作为市级先进班级的候选班，现对这三个班进行综合素质考评，下表是这三个班五项考评的得分表（单位：分，每项满分为10分）．班级道德行为学习成绩艺术获奖劳动卫生校运动会八年级（1班）9 8 7 9 7八年级（2班）8 9 8 9 8八年级（3班）9 9 8 9 7（1）求各班五项考评的平均分；（2）如果将道德行为、学习成绩、艺术获奖、劳动卫生、校运动会五项得分按2:3:1:3:1的比例确定各班的最终得分，那么该校会选择哪个班作为市级先进班级的候选班？23、停课不停学，疫情期间，八（1）班30位同学参加运动线上打卡，张老师为了鼓励同学们积极锻炼，统计了这30人15天的打卡次数如下：打卡次数7 8 9 14 15人数 6 9 6 3 6（1）直接写出打卡次数的众数和中位数；（2）求所有同学打卡次数的平均数；（3）为了调动同学们锻炼的积极性，张老师决定制定一个打卡奖励标准，凡打卡次数达到或超过这个标准的同学将获得奖励，请你根据（1）、（2）中所求的统计量，帮助张老师制定一个较为合理的打卡奖励标准，并说明理由．24、为了解某校九年级学生的理化实验操作情况，随机抽查40名同学实验操作的得分（满分为10分）．根据获取的样本数据，制作了如图的条形统计图和扇形统计图，请根据相关信息解答下列问题．（1）①中的描述应为“6分”，其中m的值为________；扇形①的圆心角的大小是________；（2）这40个样本数据平均数是________，众数是________，中位数是________；（3）若该校九年级共有1280名学生，估计该校理化实验操作得满分的学生有多少人．25、某校八年级（1）班甲、乙两男生在5次引体向上测试中有效次数如下：甲：8，8，7，8，9；乙：5，9，7，10，9；甲乙两同学引体向上的平均数、众数、中位数、方差如下：根据以上信息，回答下列问题：（1）表格是a＝，b＝，c＝．（填数值）（2）体育老师根据这5次的成绩，决定选择甲同学代表班级参加年级引体向上比赛，选择甲的理由是．班主任李老师根据去年比赛的成绩（至少9次才能获奖），决定选择乙同学代表班级参加年级引体向上比赛，选择乙的理由是；（3）如果乙同学再做一次引体向上，有效次数为8，那么乙同学6次引体向上成绩的平均数，中位数，方差．（填“变大”、“变小”或“不变”）专题复习提升训练卷20.4《数据的分析》单元训练(1)-20-21人教版八年级数学下册（解析）一、选择题1、某电子科技公司招聘本科毕业生，小林同学的心里测试，笔试，面试得分分别是80分，90分，70分，若依次按照2:3:5的比例确定成绩，则小林同学的最终成绩为（）A．78分B．80分C．82分D．85分【答案】A【分析】由加权平均数的含义列式：235809070101010⨯+⨯+⨯，再计算即可得到答案．【详解】解：由题意得：23580907078101010⨯+⨯+⨯=（分），所以小林同学的最终成绩为78分．故选A．2、随着冬季的来临，流感进入高发期．某校为有效预防流感，购买了A，B，C，D四种艾条进行消毒，它们的单价分别是30元，25元，20元，18元．四种艾条的购买比例如图所示，那么所购买艾条的平均单价是（）A．22.5元B．23.25元C．21.75元D．24元【答案】C【分析】根据加权平均数定义，即可求出所购买艾条的平均单价．【详解】解：所购买艾条的平均单价是：30×10%＋25×25%＋20×40%＋18×25%＝21.75（元），故选：C．3、在AI计算机比赛预赛中，11名参赛者得分各不相同，按得分取前5名进入决赛．若佳佳知道自己的得分，要判断自己能否进入决赛，她只需知道11名参赛者得分的（）A．方差B．平均数C．众数D．中位数【答案】D【分析】11人成绩的中位数是第6名的成绩，参赛选手要想知道自己是否能进入前5名，只需要了解自己的成绩以及全部成绩的中位数，比较即可．【详解】解：由于总共有11个人，且他们的分数互不相同，第6名的成绩是中位数，要判断是否进入前5名，故应知道自己的成绩和中位数．故选：D．4、在抗击新型冠状病毒肺炎疫情中，某社区志愿者小分队10名队员年龄统计如下表：则这10名队员年龄的中位数、众数分别是（）A．20岁，35岁B．26岁，22岁C．22岁，26岁D．30岁，30岁【答案】B【分析】根据中位数和众数的定义求得后对各选项判断即可．【详解】解：在10名队员的年龄数据里，第5和第6个数据分别是22岁和30岁，因而中位数是2230262+=（岁）．这10名队员的年龄数据里，22岁出现了3次，次数最多，因而众数是22岁；故选：B．5、某校为了解学生在校一周体育锻炼时间，随机调查了35名学生，调查结果列表如下：则这35名学生在校一周体育锻炼时间的中位数和众数分别为（）A．6h，6h B．6h，15h C．6.5h，6h D．6.5h，15h 【答案】A【分析】直接利用众数和中位数的概念求解即可得到答案．【详解】解：∵锻炼6h的人人数最多，∴这组数据的众数为6h，又∵调查总人数为35人，中位数为第18个数据，即中位数为6h，故选：A．6、某同学参加了学校举行的“舞动青春”歌唱比赛，7位评委打分情况如下表：关于七位评委打分情况，下列说法错误的是（）A．中位数是7 B．众数是8 C．平均数是7 D．方差是2 【答案】D【分析】根据众数与中位数、平均数、方差的定义分别求解即可．【详解】解：从小到大排列此数据为：5，6，7，7，8，8，8，7处在第4位为中位数，故A 选项正确，不符合题意；数据8出现了三次，最多，为众数，故选项B 正确，不符合题意；该同学所得分数的平均数为（5+6+7×2+8×3）÷7=7（分），故选项C 正确，不符合题意 方差为：2222222(67)(87)(77)(87)(57)(77)(87)877s -+-+-+-+-+-+-==，故选项D 错误，符合题意．故选：D ．7、小明在计算一组数据的方差时，列出的公式如下222221(7)(8)(8)(8)s x x x x n ⎡=-+-+-+-+⎣2(9)x ⎤-⎦，根据公式信息，下列说法中，错误的是（）A ．数据个数是5B ．数据平均数是8C ．数据众数是8D ．数据方差是15【答案】D【分析】根据题目中的方差公式，众数的定义以及平均数的求法即可进行判断；【详解】根据方差的公式可知样本容量为5，故A 正确； 样本的平均数为：78889=85++++ ，故B 正确；样本的众数为8，故C 正确； 样本的方差为：()()()()()22222212788888898558=s ⎡⎤=-+-+-+-+-⎣⎦，故D 错误；故选：D ．8、为备战2022年北京冬奥会，甲、乙两名运动员训练测验，两名运动员的平均分相同，且2s 甲=0.01，2s 乙=0.006，则成绩较稳定的是（ ）A ．乙运动员B ．甲运动员C．两运动员一样稳定D．无法确定【答案】A【分析】根据方差越小，代表这组数据越稳定，方差越大，代表这组数据越不稳定，直接判断即可得出答案．【详解】解：∵2s甲=0.01，2s乙=0.006，∴2s甲>2s乙，∴成绩较稳定的是乙运动员．故选：A．9、如果一组数据的方差是2，如果将这组数据中的每个数据都扩大3倍，得到一组新的数据，请问这组数据的方差是多少（）A．2 B．6 C．12 D．18【答案】D【分析】根据方差的性质可知，数据中的每个数据都扩大3倍，则方差扩大9倍，即可得出答案．【详解】解：∵将这组数据中的每个数据都扩大3倍，所得到的一组数据的方差将扩大9倍，∴新数据的方差是2×9=18；故选：D．10、某校九年级四班数学兴趣小组有5名成员，身高（单位：cm）分别为165、172、168、170、175．增加1名身高为170cm的成员后，现在兴趣小组成员的身高与原来相比（）A．平均数变小，方差不变B．平均数不变，方差变小C．平均数不变，方差变大D．平均数不变，方差不变【答案】B【分析】根据平均数的计算方法分别计算出5名同学和6名同学的平均数，再分别计算出方差，可得答案．原数据的平均数：15×（165+170+175+168+172）＝170（cm ）， 方差：15×[（165﹣170）2+（170﹣170）2+（175﹣170）2+（168﹣170）2+（172﹣170）2]＝585（cm 2）， 新数据的平均数：16×（165+170+170+175+168+172）＝170（cm ）， 方差：16×[（165﹣170）2+2×（170﹣170）2+（175﹣170）2+（168﹣170）2+（172﹣170）2]＝586＝293（cm 2）， 所以平均数不变，方差变小，故选：B ．二、填空题11、某校在计算学生的数学期评成绩时，规定期中考试成绩占30%，期末考试成绩占70%．王林同学的期中数学考试成绩为130分，期末数学考试成绩为140分，那么他的数学期评成绩是________分．【答案】137【分析】由加权平均数的含义列式为：13030%14070%,⨯+⨯计算后可得答案．【详解】解：王林同学的数学期评成绩是：13030%14070%3998137.⨯+⨯=+=故答案为：137．12、某校规定：学生的数学期未总计成须由卷面成绩、研究性学习成绩、平时成绩三部分构成，各部分所占比例如图所示.小明本学期数学学科的卷面成绩、研究性学习成绩、平时成绩得分依次为90分、80分、85分，则小明的数学期末总评成绩为________分.按统计图中各部分所占比例算出小明的期末数学总评成绩即可．【详解】解：小明的期末数学总评成绩=90×60%+80×20%+85×20%=87（分）．故答案为87．13、“学习强国”是王老师每天的必修课，下表是王老师一周的学习得分情况：日期11.1 11.2 11.3 11.4 11.5 11.6 11.7得分49 60 48 42 55 55 55则这组数据的众数为______．【答案】55【分析】众数是一组数据中出现次数最多的数．【详解】55出现了3次，出现的次数最多，则众数是55；故答案为：55．14、商店某天销售了11件衬衫，其领口尺寸统计如下表：领口尺寸（单位：cm）38 39 40 41 42 件数 1 4 3 1 2 则这11件衬衫领口尺寸的中位数是________cm．根据中位数的概念，中位数，是指将数据按大小顺序排列起来，形成一个数列，居于数列中间位置的那个数据，再根据题中所给表格，找出中位数.【详解】将所卖衬衫按照领口尺寸从小到大排列后，处于中间的衬衫领口尺寸为40cm ，此中位数是40cm 故答案：4015、某中学篮球队12名队员的年龄情况如下：则这个队队员年龄的众数和中位数分别是_____岁、_____岁．【答案】16 15【分析】根据中位数和众数的定义求解．【详解】解：从小到大排列此数据，数据15出现了四次最多为众数，16和16处在第5位和第六位，它两个数的平均数为16为中位数．故答案为：16，15．16、若一组数据123,,x x x 的方差是2，则数据1233,3,3x x x +++的方差是_______．【答案】2【分析】根据“当数据都加上一个数（或减去一个数）时，平均数也加或减这个数，方差不变，即数据的波动情况不变”求解可得．【详解】解：∵数据x1，x2，x3的方差是2，∴数据x1+3，x2+3，x3+3的波动幅度不变，∴数据x1+3，x2+3，x3+3的方差为2，故答案为：2．17、甲，乙二人参加射击测试，两人10次射击的平均成绩均为8.5环，各自的方差如右表所示，则两人中射击成绩较稳定的是________．【答案】甲【分析】根据方差的定义可做判断，方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越小，表明数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定，比较甲、乙的方差大小即可解题．【详解】解：0.6＜2.8，∴甲方差＜乙方差，∴甲成绩比乙更稳定（方差越小，数据波动越小），故答案为：甲．18、我市某中学举行“校园好声音”歌手大赛，甲、乙两班根据初赛成绩各选出5名选手组成甲班代表队和乙班代表队参加学校决赛，两个队各选出的5名选手的决赛成绩（满分100）如图所示：根据图示信息，整理分析数据如表：平均数（分） 中位数（分） 众数（分） 方差甲班 a 85 c 70乙班 85 b 100 160（1）填空：甲班2号选手的预赛成绩是 分，乙班3号选手的预赛成绩是 分， 班的预赛成绩更平衡，更稳定；（2）求出表格中a ＝ ，b ＝ ，c ＝ ；（3）学校决定在甲、乙两班中选取预赛成绩较好的5人参加该活动的区级比赛，这5人预赛成绩的平均分数为 ．【答案】（1）80；100；甲；（2）85，80，85；（3）94分；【分析】（1）根据树状图和表格分析即可；（2）根据中位数、众数、平均数的计算公式计算即可；（3）先判断出好的5人的成绩，在进行计算即可；【详解】（1）根据树状图可知甲班2号选手的成绩为80分，乙班3号选手的成绩为100分；∵甲班方差小于乙班方差，∴甲班成绩更稳定；故答案是：80；100；甲；（2）甲的平均分为()75808585100585÷++++=分，乙的数据从小到大排列：70，75，80，100，100，∴乙的中位数是80；由数据可知甲的众数是85分；∴85a ，80b =，85c =；（3）这5人的分数为：100，100，100，85，85，∴()1003852594⨯+⨯÷=分；故答案是94分；三、解答题19、少年学生走近操场，走到阳关下，积极参加体育锻炼，我国启动了“全国亿万学生阳光体育运动”．短跑运动，可以锻炼人的灵活性，增强人的爆发力，因此小明和小亮在课外活动中，报名参加了短跑训练小组．在近几次百米训练中，所测成绩如图所示，请根据图中所示解答以下问题．（1）请根据图中信息，补全下面的表格；第1次第2次第3次第4次第5次小明13.3 13.4 13.3 ___ 13.3小亮13.2 ___ 13.1 13.5 13.3（2）计算他们5次成绩的平均数和方差，若你是他们的教练，会分别给予他们怎样的建议?【答案】（1）13.2，13.4；（2）小明：平均数13.3，方差0.004；小亮：平均数13.3，方差0.02，两人的平均数相等，小亮的方差大，成绩不稳定，但获得过最好成绩比小明有潜力．【分析】（1）读折线统计图填上数据即可解答；（2）根据平均数、方差进行计算，方差越大，波动越大，成绩越不稳定；反之也成立．【详解】解：（1）根据给出的图象可得：小明第4次的成绩是13.2；小亮第2次的成绩是13.4；故答案为：13.2，13.4；（2）小明的平均成绩是：（13.3+13.4+13.3+13.2+13.3）÷5=13.3秒， 小亮的平均成绩是：（13.2+13.4+13.1+13.5+13.3）÷5=13.3秒； 小明的方差是：s 2=[（13.3-13.3）2+（13.4-13.3）2+…+（13.3-13.3）2]÷5=0.004， 小亮的方差是：s 2=[（13.2-13.3）2+（13.4-13.3）2+…+（13.3-13.3）2]÷5=0.02； 小明虽然成绩稳定，但是还需提高自己的最好成绩，小亮虽然跑出了他们两个的最好成绩，但是仍需加强成绩的稳定性．20、八（1）班组织了一次经典诵读比赛，甲、乙两队各10人的比赛成绩如下表：（1）甲队成绩的中位数是 分，乙队成绩的众数是 分；（2）计算乙队的方差；（3）已知甲队成绩的方差是1.4，则成绩较为整齐的是 队．【答案】（1）9.5，10；（2）21S 乙；（3）乙【分析】（1）根据中位数的定义求出最中间两个数的平均数；根据众数的定义找出出现次数最多的数即可； （2）先求出乙队的平均成绩，再根据方差公式进行计算；（3）先比较出甲队和乙队的方差，再根据方差的意义即可得出答案．【详解】（1）把甲队的成绩从小到大排列为：7，7，8，9，9，10，10，10，10，10，最中间两个数的平均数是（9＋10）÷2＝9.5（分）， 则中位数是9.5分；乙队成绩中10出现了4次，出现的次数最多，则乙队成绩的众数是10分；故答案为：9.5，10；（2）乙队的平均成绩是：110×（10×4＋8×2＋7＋9×3）＝9，则方差是：110×[4×（10−9）2＋2×（8−9）2＋（7−9）2＋3×（9−9）2]＝1；（3）∵甲队成绩的方差是1.4，乙队成绩的方差是1，∴成绩较为整齐的是乙队；故答案为：乙．21、为了解居民的环保意识，社区工作人员在某小区随机抽取了若干名居民开展有奖问卷调查活动，并用得到的数据绘制了如下条形统计图．请根据图中信息，解答下列问题．（1）求本次调查获取的样本数据的平均数；（2）如果对该小区的800名居民全面开展这项有奖问卷活动，得10分者设为一等奖，请你根据调查结果，估计需准备多少份一等奖奖品？【答案】（1）本次调查获取的样本数据的平均数为8.26分；（2）估计需准备160份一等奖奖品．【分析】(1)根据平均数的算法计算即可.(2)算出10分者的百分比,再与800相乘即可.【详解】解：(1)6471081591110108.26410151110x⨯+⨯+⨯+⨯+⨯==++++分,答：本次调查获取的样本数据的平均数为8.26分； (2)800×1050＝160份, 答：估计需准备160份一等奖奖品．22、某校决定从八年级三个班中选择一个班作为市级先进班级的候选班，现对这三个班进行综合素质考评，下表是这三个班五项考评的得分表（单位：分，每项满分为10分）．（1）求各班五项考评的平均分；（2）如果将道德行为、学习成绩、艺术获奖、劳动卫生、校运动会五项得分按2:3:1:3:1的比例确定各班的最终得分，那么该校会选择哪个班作为市级先进班级的候选班？【答案】（1）八年级（1班）：8分，八年级（2班）：8.4分，八年级（3班）：8.4分；（2）该校会选择八年级（3班）作为市级先进班级的候选班，见解析 ．【分析】（1）根据求平均数的公式求出各班平均数即可．（2）计算出各班的加权平均数，再进行比较即可．【详解】（1）八年级（1班）五项考评的平均分为：9879785++++=（分）， 八年级（2班）五项考评的平均数分为：898988.45++++=（分）八年级（3班）五项考评的平均分为：998978.45++++=（分）．（2）根据题意，三个班的最终得分如下：八年级（1班）五项考评的最终得分为：928379378.323131⨯+⨯++⨯+=++++（分），八年级（2班）五项考评的最终得分为：829389388.623131⨯+⨯++⨯+=++++（分），八年级（3班）五项考评的最终得分为：929389378.723131⨯+⨯++⨯+=++++（分）．∵8.78.68.3>>，∴该校会选择八年级（3班）作为市级先进班级的候选班．23、停课不停学，疫情期间，八（1）班30位同学参加运动线上打卡，张老师为了鼓励同学们积极锻炼，统计了这30人15天的打卡次数如下：（1）直接写出打卡次数的众数和中位数；（2）求所有同学打卡次数的平均数；（3）为了调动同学们锻炼的积极性，张老师决定制定一个打卡奖励标准，凡打卡次数达到或超过这个标准的同学将获得奖励，请你根据（1）、（2）中所求的统计量，帮助张老师制定一个较为合理的打卡奖励标准，并说明理由．【答案】（1）众数：8次，中位数：8.5次；（2）10次；（3）可以选择中位数，即超过9次（含9次）的获得奖励，见解析【分析】（1）根据众数、中位数的定义解答即可；（2）根据平均数的定义解答即可；（3）为了调动同学们锻炼的积极性，打卡奖励标准可以定为所有同学打卡次数的中位数，因为中位数以上的人数占总人数的一半．【详解】（1）解：（1）8次的人数最多，众数为8次；因为一共30人，所有同学打卡次数从小到大排列第15个、第16个数据为8次，9次，中位数为（8+9）÷2=8.5（次）；（2）平均数为7689961431561030⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=（次）；（3）为了调动同学们锻炼的积极性，打卡奖励标准可以定为所有同学打卡次数的中位数．因为共有30人，9次以上（含9次）的有15人，占总数的一半．即超过9次（含9次）的获得奖励．24、为了解某校九年级学生的理化实验操作情况，随机抽查40名同学实验操作的得分（满分为10分）．根据获取的样本数据，制作了如图的条形统计图和扇形统计图，请根据相关信息解答下列问题．（1）①中的描述应为“6分”，其中m的值为________；扇形①的圆心角的大小是________；（2）这40个样本数据平均数是________，众数是________，中位数是________；（3）若该校九年级共有1280名学生，估计该校理化实验操作得满分的学生有多少人．【答案】（1）10；36︒；（2）8.3；9；8；（3）224【分析】（1）所占百分比=所求人数与总人数之比，即可求出m的值；再用360︒乘以①所占的百分比，计算即可得解；（2）根据平均数的定义求出平均数；众数是一组数据中出现次数最多的数据；找中位数要把数据从小到大的顺序排列，位于最中间的一个数（或两个数的平均数）为中位数进行解答；（3）用九年级总学生人数乘以满分的人数所占的分数即可．【详解】解：（1）4%100%=10%40m=⨯，即m=10；∴36010%=36︒⨯︒，故答案为：10；36︒；（2）平均数：() 64761181291078.340⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=（分），∵9出现了12次，次数最多，∴众数为：9分；∵将40个数字按从小到大排列，中间第20、21两个数都是8，∴中位数为：8+82=8（分）；故答案为：8.3分，9分，8分；（3）7128022440⨯=（人）答：该校理化实验操作得满分的学生有224人．25、某校八年级（1）班甲、乙两男生在5次引体向上测试中有效次数如下：甲：8，8，7，8，9；乙：5，9，7，10，9；甲乙两同学引体向上的平均数、众数、中位数、方差如下：根据以上信息，回答下列问题：（1）表格是a＝，b＝，c＝．（填数值）（2）体育老师根据这5次的成绩，决定选择甲同学代表班级参加年级引体向上比赛，选择甲的理由是．班主任李老师根据去年比赛的成绩（至少9次才能获奖），决定选择乙同学代表班级参加年级引体向上比赛，选择乙的理由是；（3）如果乙同学再做一次引体向上，有效次数为8，那么乙同学6次引体向上成绩的平均数，中位数，方差．（填“变大”、“变小”或“不变”）【答案】（1）a、b、c的值分别是8、8、9；（2）甲的方差较小，比较稳定；乙的中位数是9，众数是9，获奖次数较多；（3）不变；变小；变小．【分析】（1）根据平均数，中位数和方差的概念计算即可得出答案；（2）通过对比甲，乙两同学的方差，中位数和众数即可得出答案；（3）首先计算乙同学之后的平均数，中位数和方差，然后与之前的进行比较即可得出答案．【详解】（1）59710985a++++==，因为甲中8共出现3次，次数最多，所以b=8因为乙的有效次数中按顺序排列后处于中间位置的是9，所以中位数c=9；故答案为a、b、c的值分别是8、8、9；（2）0.4 3.2<，∴甲的方差较小，成绩比较稳定，∴选择甲同学代表班级参加年级引体向上比赛；∵乙的中位数是9，众数也是9，∴获奖可能性较大，∴根据去年比赛的成绩（至少9次才能获奖），决定选择乙同学代表班级参加年级引体向上比赛；（3）∵原来的平均数是8，增加一次也是8，。