人教新课标版数学高二选修2-1课时作业 3-2-2空间向量与垂直关系

空间向量与垂直关系(30分钟50分)一、选择题(每小题3分,共18分)1.若平面α,β的法向量分别为n1=(2,-3,5),n2=(-3,1,-4),则( )A.α∥βB.α⊥βC.α,β相交但不垂直D.以上均不正确【解析】选C.因为n1·n2=2×(-3)+(-3)×1+5×(-4)≠0,所以n1与n2不垂直,又≠≠,所以α与β相交但不垂直.2.(2014·青岛高二检测)如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,O是底面正方形ABCD的中心,M是D1D的中点,N 是A1B1的中点,则直线NO,AM的位置关系是( )A.平行B.相交C.异面垂直D.异面不垂直【解析】选C.建立坐标系如图,设正方体的棱长为2,则A(2,0,0),M(0,0,1),O(1,1,0),N(2,1,2),=(-1,0,-2),=(-2,0,1),·=0,则直线NO,AM的位置关系是异面垂直.3.(2014·丹东高二检测)已知平面α内有一个点A(2,-1,2),α的一个法向量为n=(3,1,2),则下列点P中,在平面α内的是( )A.(1,-1,1)B.C. D.【解析】选 B.对于选项A,=(1,0,1),则·n=(1,0,1)·(3,1,2)=5≠0,故排除A;对于选项B,=,则·n=·(3,1,2)=0,故B正确,验证可知C,D均不满足·n=0.4.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,若E为A1C1的中点,则直线CE垂直于( )A.ACB.BDC.A1DD.A1A【解析】选B.如图所示,建立直角坐标系Dxyz,设AB=1,则D(0,0,0),A(1,0,0),B(1,1,0),C(0,1,0),A1(1,0,1),E(,,1),所以=(,-,1),=(-1,1,0),=(-1,-1,0),=(-1,0,-1),=(0,0,-1),所以·=0,所以⊥,即CE⊥BD.5.(2014·桂林高二检测)如图所示,正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别在A1D,AC上,且A1E=A1D,AF=AC,则( )A.EF至多与A1D,AC之一垂直B.EF⊥A1D,EF⊥ACC.EF与BD1相交D.EF与BD1异面【解析】选B.以D点为坐标原点,以DA,DC,DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系,设正方体棱长为1,则A1(1,0,1),D(0,0,0),A(1,0,0),C(0,1,0),E,F,B(1,1,0), D1(0,0,1),=(-1,0,-1),=(-1,1,0),=,=(-1,-1,1),=-,·=·=0,从而EF∥BD1,EF⊥A1D,EF⊥AC.6.下列命题中,正确命题的个数为( )①若n1,n2分别是平面α,β的法向量,则n1∥n2⇔α∥β;②若n1,n2分别是平面α,β的法向量,则α⊥β⇔n1·n2=0;③若n是平面α的法向量,a与α共面,则n·a=0;④若两个平面的法向量不垂直,则这两个平面一定不垂直.A.1B.2C.3D.4【解析】选C.命题①中平面α,β可能平行,也可能重合;结合平面法向量的概念,易知命题②③④正确.二、填空题(每小题4分,共12分)7.若向量a=(-1,2,-4),b=(2,-2,3)是平面α内的两个不共线的向量,直线l的一个方向向量m=(2,3,1),则l与α的位置关系是(填“垂直”“平行”“相交但不垂直”).【解析】m·a=(2,3,1)·(-1,2,-4)=-2+6-4=0,m·b=(2,3,1)·(2,-2,3)=4-6+3=1≠0.所以l与α相交但不垂直.答案:相交但不垂直8.已知点A,B,C的坐标分别为(0,1,0),(-1,0,1),(2,1,1),点P的坐标为(x,0,z),若⊥,⊥,则点P的坐标为.【解析】因为=(-1,-1,1),=(2,0,1),=(-x,1,-z),由·=0, ·=0,得则x=,z=-,所以P.答案:9.(2014·长春高二检测)已知点P是平行四边形ABCD所在的平面外一点,如果=(2,-1,-4),=(4,2,0),=(-1,2,-1).对于结论:①AP⊥AB;②AP⊥AD;③是平面ABCD的法向量;④∥.其中正确的是.【解析】由于·=-1×2+(-1)×2+(-4)×(-1)=0,·=4×(-1)+2×2+0×(-1)=0,所以①②③正确.答案:①②③三、解答题(每小题10分,共20分)10.(2014·广州高二检测)用向量方法证明:如果两个相交平面与第三个平面垂直,则它们的交线也与第三个平面垂直.【解析】已知:如图,α∩β=l,α⊥γ,β⊥γ.求证:l⊥γ.证明:设平面α,β,γ的法向量分别为a,b,c,直线l的方向向量为e,则a·e=0,b·e=0.因为a,b与e不共面,故存在实数x,y,z,使c=x a+y b+z e.因为a⊥c,b⊥c,所以即因为α与β相交,所以a与b不共线,所以所以方程组有惟一解所以c=z e,即c∥e,从而有l⊥γ.11.(2014·上海高二检测)如图,长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=AA1=1,BC=,M是AD中点,N是B1C1中点.(1)求证:NA1∥CM.(2)求证:平面A1MCN⊥平面A1BD1.【证明】以D为原点,建立空间直角坐标系Dxyz.所以B(,1,0),A1(,0,1),D1(0,0,1),C(0,1,0),M,N.(1)=,=.所以=,所以NA1∥CM.(2)方法一:=(,1,-1),=(0,1,1),=,所以·=0+1-1=0,·=1-1+0=0,所以D1B⊥MN,D1B⊥CM,又MN∩CM=M,所以D1B⊥平面A1MCN,又D1B⊂平面A1BD1,所以平面A1MCN⊥平面A1BD1.方法二:=(,0,0),=(,1,-1),=(0,1,1),=.设平面A1MCN的法向量为n=(x,y,z),所以取n=(,1,-1).设平面A1BD1的法向量为m=(x1,y1,z1),所以取m=(0,1,1),因为n·m=(,1,-1)·(0,1,1)=0+1-1=0,所以n⊥m,所以平面A1MCN⊥平面A1BD1.【变式训练】在正三棱锥P-ABC中,三条侧棱两两互相垂直,G是△PAB的重心,E,F分别为BC,PB上的点,且BE∶EC=PF∶FB=1∶2.求证:平面GEF⊥平面PBC.【证明】如图,以三棱锥的顶点P为原点,以PA,PB,PC所在直线分别作为x轴,y轴,z轴建立空间直角坐标系.令PA=PB=PC=3,则A(3,0,0),B(0,3,0),C(0,0,3),E(0,2,1),F(0,1,0),G(1,1,0),P(0,0,0),于是=(3,0,0),=(1,0,0),故=3,所以PA∥FG.而PA⊥平面PBC,所以FG⊥平面PBC.又FG⊂平面EFG,所以平面EFG⊥平面PBC.【一题多解】如解析建立的空间直角坐标系,则E(0,2,1),F(0,1,0),G(1,1,0).所以=(0,-1,-1),=(1,-1,-1).设平面EFG的法向量是n=(x,y,z),则有n⊥,n⊥.所以令y=1,得z=-1,x=0,即n=(0,1,-1).显然=(3,0,0)是平面PBC的一个法向量.又n·=0,所以n⊥,即平面PBC的法向量与平面GEF的法向量互相垂直,所以平面GEF⊥平面PBC.(30分钟50分)一、选择题(每小题4分,共16分)1.已知A(3,0,-1),B(0,-2,-6),C(2,4,-2),则△ABC是( )A.等边三角形B.等腰三角形C.直角三角形D.等腰直角三角形【解析】选C.=(-3,-2,-5),=(-1,4,-1),则·=-3×(-1)-2×4+5=0.所以⊥,故△ABC为直角三角形.又||≠||故选C.2.平面α的一个法向量n=(0,1,-1),如果直线l⊥平面α,则直线l的单位方向向量s=( )A.(0,1,-1)B.±C.(0,,-)D.±(0,,-)【解析】选B.直线l的方向向量平行于平面α的法向量,故直线l的单位方向向量是s=±.3.如图,四边形ABCD为正方形,PD⊥平面ABCD,PD∥QA,QA=AB=PD,则平面PQC与平面DCQ的位置关系为( )A.平行B.垂直C.相交但不垂直D.位置关系不确定【解析】选B.如图,以D为坐标原点,线段DA的长为单位长度,射线DA为x轴的正半轴建立空间直角坐标系Dxyz.依题意有Q(1,1,0),C(0,0,1),P(0,2,0).则=(1,1,0),=(0,0,1),=(1,-1,0).因为·=0,·=0.所以PQ⊥DQ,PQ⊥DC.所以PQ⊥平面DCQ.又PQ⊂平面PQC,所以平面PQC⊥平面DCQ.4.如图,以等腰直角三角形斜边BC上的高AD为折痕,把△ABD和△ACD折成互相垂直的两个平面后,某学生得出如下四个结论,①·≠0;②AB⊥DC;③BD⊥AC;④平面ADC的法向量和平面ABC的法向量互相垂直.其中正确的个数是( )A.1B.2C.3D.4【解析】选 B.建立以D为坐标原点,以DB,DC,DA所在直线为x,y,z轴的空间坐标系,设斜边BC=2,则B(1,0,0),C(0,1,0),A(0,0,1)则=(1,0,-1),=(0,1,-1),=(0,1,0), =(-1,0,0)从而有·=0+0+1=1,故①错误,·=0,故②正确,·=0,故③正确,易知平面ADC的一个法向量为向量=(-1,0,0),平面ABC的法向量设为n=(x,y,z),由·n=x-z=0,·n=y-z=0,令y=1,则x=1,z=1,故n=(1,1,1),·n=-1,故④错误.二、填空题(每小题5分,共10分)5.(2014·上海高二检测)在空间直角坐标系Oxyz中,已知点P(2cosx+1, 2cos2x+2,0)和点Q(cosx,-1,3),其中x∈[0,π].若直线OP与直线OQ垂直,则x的值为.【解析】由题意得⊥.所以cosx·(2cosx+1)-(2cos2x+2)=0.所以2cos2x-cosx=0.所以cosx=0或cosx=.又x∈[0,π],所以x=或x=.答案:或6.(2014·南京高二检测)已知向量b=(-2,1,1),点A(-3,-1,4),B(-2,-2,2).若在直线AB上,存在一点E,使得⊥b(O为原点)则E点的坐标为.【解题指南】先设点E在AB上的位置,利用垂直关系建立与E点坐标有关的方程,求出点E.【解析】=+=+t=(-3,-1,4)+t(1,-1,-2)=(-3+t,-1-t,4-2t),因⊥b,则·b=0,所以-2(-3+t)+(-1-t)+(4-2t)=0,解得t=,因此存在点E,使得⊥b,此时E点的坐标为. 答案:三、解答题(每小题12分,共24分)7.(2014·银川高二检测)已知正方体ABCD-A′B′C′D′中,点M,N分别在面对角线AD′和面对角线BD上,并且=.求证:MN⊥AD.【证明】设正方体棱长为1,==λ,=a,=b,=c,则=-= +-=+λ-λ=a+λ(b-a)-λ(b+c)=(1-λ)a-λc且a·b=0,a·c=0,b·c=0,所以·=b·[(1-λ)a-λc]=(1-λ)b·a-λb·c=0,所以⊥,所以MN⊥AD.【变式训练】在正方体ABCD-A1B1C1D1中,P为DD1的中点,M为四边形ABCD的中心.求证:对A1B1上任一点N,都有MN⊥AP.【证明】建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz,设正方体的棱长为1,则A(1,0,0),P, M,N(1,y,1).所以=,=.所以·=(-1)×+0×+×1=0,所以⊥,即对A1B1上任意一点N都有MN⊥AP.8.(2014·广州高二检测)如图所示的长方体ABCD-A1B1C1D1中,底面ABCD是边长为2的正方形,O为AC与BD 的交点,BB1=,M是线段B1D1的中点.(1)求证:BM∥平面D1AC.(2)求证:D1O⊥平面AB1C.【证明】(1)建立如图所示的空间直角坐标系,则点O(1,1,0),D1(0,0,),所以=(-1,-1,),又点B(2,2,0),M(1,1,),所以=(-1,-1,),所以=,又因为OD1与BM不共线,所以OD1∥BM.又OD1⊂平面D1AC,BM⊄平面D1AC,所以BM∥平面D1AC.(2)连接OB1.因为·=(-1,-1,)·(1,1,)=0,·= (-1,-1,)·(-2,2,0)=0,所以⊥,⊥,即OD1⊥OB1,OD1⊥AC,又OB1∩AC=O,所以D1O⊥平面AB1C.【变式训练】如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别是BB1,D1B1的中点.求证:EF⊥平面B1AC.【解题指南】思路一:EF⊥AB1,EF⊥B1C得EF⊥平面B1AC;思路二:求平面B1AC的法向量n证明∥n从而EF⊥平面B1AC.【证明】设=a,=b,=c,则=+=(+)=(+)=(+-)=(-a+b+c).因为=+=a+b,所以·=(-a+b+c)·(a+b)=(b2-a2+c·a+c·b)=(|b|2-|a|2+0+0)=0.所以⊥,即EF⊥AB1.同理,EF⊥B1C.又AB1∩B1C=B1,所以EF⊥平面B1AC.【一题多解1】设正方体的棱长为2,以D为原点,以DA,DC,DD1所在直线分别为x轴,y轴,z轴建立如图所示的空间直角坐标系,则A(2,0,0),C(0,2,0),B1(2,2,2),E(2,2,1),F(1,1,2).所以=(1,1,2)-(2,2,1)=(-1,-1,1),=(2,2,2)-(2,0,0)=(0,2,2),=(0,2,0)-(2,0,0)=(-2,2,0).所以·=(-1,-1,1)·(0,2,2)=(-1)×0+(-1)×2+1×2=0,·=(-1,-1,1)·(-2,2,0)=2-2+0=0,所以⊥,⊥,所以EF⊥AB1,EF⊥AC.又AB1∩AC=A,所以EF⊥平面B1AC.【一题多解2】同一题多解1得=(0,2,2),=(-2,2,0),=(-1,-1,1). 设平面B1AC的法向量n=(x,y,z),则·n=0,·n=0,即取x=1,则y=1,z=-1,所以n=(1,1,-1),所以=-n,所以∥n,所以EF⊥平面B1AC.。

1．若两个不同平面α,β的法向量分别为u ＝(1,2，－1)，v ＝(2,3,8)，则 ( )A ．α∥βB ．α⊥βC ．α,β相交但不垂直D ．以上均不正确解析：u ·v ＝(1,2，－1)·(2,3,8) ＝1×2＋2×3－1×8＝0. ∴u ⊥v .∴α⊥β. 答案：B2．若直线l ∥α，且l 的方向向量为(2，m,1)，平面α的法向量为(1，12，2)，则m 为( )A ．－4B ．－6C ．－8D ．8解析：∵l ∥α，平面α的法向量为(1，12，2)，∴(2，m,1)·(1，12，2)＝0.∴2＋12m ＋2＝0.∴m ＝－8.答案：C3．已知AB ＝(1,5，－2)，BC ＝(3,1，z )，若AB ⊥BC ，BP ＝(x －1，y ，－3)，且BP ⊥平面ABC ，则BP 等于( )A ．(337，－157，4)B ．(337，－157，－3)C ．(407，－157，4)D ．(407，157，－3)解析：由AB ·BC ＝0得3＋5－2z ＝0，∴z ＝4. 又BP ⊥平面ABC ，∴⎩⎪⎨⎪⎧ BP ·AB ＝0， BP ·BC ＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧x －1＋5y ＋6＝0，3x －3＋y －12＝0，解得⎩⎨⎧x ＝407，y ＝－157.答案：B4．在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，若E 为A 1C 1的中点，则直线CE 垂直于( )A ．ACB ．BDC ．A 1DD ．AA 1解析：建立如图所示坐标系. 设正方体棱长为1， 则A (1,0,0)，B (1,1,0)， C (0,1,0)，D (0,0,0)， A 1(1,0,1)，E (12，12，1)．∴CE ＝(12，12，1)－(0,1,0)＝(12，－12，1)， AC ＝(－1,1,0)，BD ＝(－1，－1,0)，1A D ＝(－1,0，－1)，1A A ＝(0,0，－1)．∵CE ·BD ＝(12，－12，1)·(－1，－1,0) ＝－12＋12＋0＝0，∴CE ⊥BD ，∴CE ⊥BD . 答案：B5．在直角坐标系Oxyz 中，已知点P (2cos x ＋1,2cos 2x ＋2,0)和点Q (cos x ，－1,3)，其中x ∈[0，π].若直线OP 与直线OQ 垂直，则x 的值为________．解析：由题意得OP ⊥OQ . ∴cos x ·(2cos x ＋1)－(2cos 2x ＋2)＝0. ∴2cos 2x －cos x ＝0.∴cos x ＝0或cos x ＝12.又x ∈[0，π]，∴x ＝π2或x ＝π3.答案：π2或π36．已知点P 是平行四边形ABCD 所在的平面外一点，且有AB ＝(2，－1，－4)，AD ＝(4,2,0)，AP ＝(－1,2，－1)．给出结论：①AP ⊥AB ；②AP ⊥AD ；③AP 是平面ABCD 的法向量；④AP ∥BD .其中正确的是________．解析：由AP·AB＝－2－2＋4＝0知AP⊥AB，故①正确；由AP·AD＝－4＋4＋0＝0，知AP⊥AD，故②正确；由①②知AP是平面ABCD的法向量，故③正确，④不正确．答案：①②③7.如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，AP＝AB＝2，BC＝22，E，F分别是AD，PC的中点．求证：PC⊥平面BEF.解：如图，以A为坐标原点，AB，AD，AP所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系．∵AP＝AB＝2，BC＝AD＝22，四边形ABCD是矩形，∴A，B，C，D，P的坐标为A(0，0,0)，B(2,0,0)，C(2,22，0)，D(0,22，0)，P(0,0,2).又E，F分别是AD，PC的中点，∴E(0，2，0)，F(1，2，1)．∴PC＝(2,22，－2)，BF＝(－1，2，1)，EF＝(1,0,1)，∴PC·BF＝－2＋4－2＝0，PC·EF＝2＋0－2＝0，∴PC⊥BF，PC⊥EF，∴PC⊥BF，PC⊥EF.又BF∩EF＝F，∴PC⊥平面BEF.8.已知正方体ABCD－A1B1C1D1中，E为棱CC1上的动点．(1)求证：A1E⊥BD；(2)若平面A1BD⊥平面EBD，试确定E点的位置．解：以D为坐标原点，以DA，DC，DD1所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系.设正方体棱长为a，则A(a,0,0)，B(a，a,0)，C(0，a,0)，A1(a,0，a)，C1(0，a，a)．设E (0，a ，e ) (0≤e ≤a ). (1) 1A E ＝(－a ，a ，e －a )，BD ＝(－a ，－a,0)，1A E ·BD ＝a 2－a 2＋(e －a )·0＝0， ∴1A E ⊥BD ，即A 1E ⊥BD .(2)设平面A 1BD ，平面EBD 的法向量分别为n 1＝(x 1，y 1，z 1)，n 2＝(x 2，y 2，z 2). ∵DB ＝(a ，a,0)，1DA ＝(a,0，a )，DE ＝(0，a ，e )，∴⎩⎪⎨⎪⎧ax 1＋ay 1＝0，ax 1＋az 1＝0，⎩⎪⎨⎪⎧ax 2＋ay 2＝0，ay 2＋ez 2＝0.取x 1＝x 2＝1，得n 1＝(1，－1，－1)，n 2＝(1，－1，ae ).由平面A 1BD ⊥平面EBD 得n 1⊥n 2. ∴2－a e ＝0，即e ＝a 2.∴当E 为CC 1的中点时，平面A 1BD ⊥平面EBD .。

[变式训练]如图，△ABC 中，AC＝BC，D 为 AB 边 中点，PO⊥平面 ABC，垂足 O 在 CD 上，求证：AB⊥ PC. → → → 证明：设CA＝a，CB＝b，OP＝v. 由条件知，v 是平面 ABC 的法向量， 所以 v· a＝0，v· b＝0，
因为 D 为 AB 的中点， → 1 所以CD＝ (a＋b)， 2 因为 O 在 CD 上， → → λ 所以存在实数 λ，使CO＝λCD＝ (a＋b)， 2 因为 CA＝CB，所以|a|＝|b|，
1 1 1 → － a＋ b＋ c＝ 所以 AB1·MN＝(a＋c)· 2 2 4
1 1 1 － ＋ cos 60°＋ ＝0. 2 2 4 → ⊥MN → ，所以 AB ⊥MN. 所以AB 1 1
法二(坐标法)． 设 AB 中点为 O，作 OO1∥AA1. 以 O 为坐标原点，OB 为 x 轴，OC 为 y 轴，
1 M ， 4
3 ，0. 4
1 3 1 → → ＝(1，0，1)， 所以MN＝－ ， ， ，AB 1 4 4 4
→ ·AB → ＝－1＋0＋1＝0. 所以MN 1 4 4 → ⊥AB → ，所以 AB ⊥用空间向量判断空间两直线垂直的方法 1． 基向量法： (1)取三个不共线的已知向量(通常是它 们的模及其两两夹角为已知)为空间的一个基底； (2)把两直线的方向向量用基底表示；
2．空间中直线、平面垂直关系的证明方法 (1)线线垂直．
(2)线面垂直． 方法一：根据线面垂直的判定定理转化为线线垂直； 方法二：证明直线的方向向量与平面的法向量平行． (3)面面垂直． 方法一：根据判定定理证明线面垂直； 方法二：证明两个平面的法向量垂直．
1．若平面α，β 的法向量分别为a＝(－1，2，4)，b ＝(x，－1，－2)，并且α⊥β，则x的值为( A．10 B．－10 1 C. 2 ) 1 D．－ 2

2.如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，O为AC与BD的 交点，G为CC1的中点，求证：A1O⊥平面GBD.
证明： 证法一：设A→1B1＝a，A→1D1＝b，A→1A＝c. 则a·b＝0，b·c＝0，a·c＝0. 而A→1O＝A→1A＋A→O＝A→1A＋12(A→B＋A→D) ＝c＋12(a＋b)， B→D＝A→D－A→B＝b－a， O→G＝O→C＋C→G＝12(A→B＋A→D)＋12C→C1 ＝12(a＋b)－12c，
三棱锥被平行于底面 ABC 的平面所截得的几何体如图 所示，截面为 A1B1C1，∠BAC＝90°，A1A⊥平面 ABC，A1A＝ 3， AB＝AC＝2A1C1＝2，D 为 BC 中点．
解答本题可证明B→C垂直于平面A1AD内的两个不共线向量 A→A1和A→D或求两平面的法向量，再证明两个法向量互相垂直．
则nn11··AA→A→C1＝＝00， ⇒z－1＝2x01，＋2y1＝0.
令x1＝1，得y1＝1，∴n1＝(1,1,0)．
设平面AEC1的法向量为n2＝(x2，y2，z2)，
则nn22··AA→C→E1＝＝00，， ⇒z－2＝2x42x＋2，2y2＋z2＝0
令x2＝1，则n2＝(1，－1,4)，n1·n2＝1－1＝0， 即平面AEC1⊥平面AA1C1C.
空间中的垂直关系及其向量证明方法 (1)线线垂直 ①证明两直线的方向向量垂直． ②证明两直线所成角为90°. ③先证明线面垂直，利用线面垂直的性质． (2)线面垂直 ①证明直线的方向向量与平面的法向量平行． ②证明直线的方向向量与平面内两个不共线向量垂直． ③先证明面面垂直，利用面面垂直的性质．
求证：AB1⊥MN.
解答本题可先选基向量，证明A→B1·M→N＝0或先建系，再证 明A→B1·M→N＝0.

第三章 空间向量与立体几何 3.2 立体几何中的向量方法 第2课时 空间向量与垂直关系A 级 基础巩固一、选择题1．若直线l 的方向向量a ＝(1，0，2)，平面α的法向量为u ＝(－2，0，－4)，则( ) A ．l ∥α B ．l ⊥α C ．l ⊂αD ．l 与α斜交解析：所以u ＝－2a ，所以a ∥u ，所以l ⊥α. 答案：B2．在菱形ABCD 中，若PA →是平面ABCD 的法向量，则以下等式中可能不成立的是( ) A.PA →·AB →＝0 B.PC →·BD →＝0 C.PC →·AB →＝0D.PA →·CD →＝0解析：因为PA ⊥平面ABCD ， 所以BD ⊥PA .又AC ⊥BD ，所以BD ⊥平面PAC ， 所以PC ⊥BD .故选项B 正确，选项A 和D 显然成立， 故选C. 答案： C3．若平面α、β的法向量分别为a ＝(－1，2，4)，b ＝(x ，－1，－2)，并且α⊥β，则x 的值为( )A ．10B ．－10 C.12D ．－12解析：因为α⊥β，则它们的法向量也互相垂直， 所以a ·b ＝(－1，2，4)×(x ，－1，－2)＝0， 解得x ＝－10. 答案：B4．设直线l 的方向向量为a ，平面α的法向量为b ，若a ·b ＝0，则( ) A ．l ∥αB ．l ⊂αC ．l ⊥αD ．l ⊂α或l ∥α解析：因为a ·b ＝0， 所以a ⊥b ，故选D. 答案：D5．已知A (3，0，－1)，B (0，－2，－6)，C (2，4，－2)，则△ABC 是( ) A ．等边三角形 B ．等腰三角形 C ．直角三角形D ．等腰直角三角形解析：AB →＝(－3，－2，－5)，AC →＝(－1，4，－1)，则AB →·AC →＝－3×(－1)－2×4＋5＝0.所以AB →⊥AC →，故△ABC 为直角三角形．又|AB →|≠|AC →|，故选C.答案：C 二、填空题6．若l 的方向向量为(2，1，m )，平面α的法向量为⎝ ⎛⎭⎪⎫1，12，2，且l ⊥α，则m ＝________．解析：由l ⊥α得，21＝112＝m2，即m ＝4.答案：47．平面α，β的法向量分别为(－1，2，4)，(x ，－1，－2)，并且α⊥β，则x 的值为________．解析：因为α⊥β，所以它们的法向量也互相垂直， 则有－x －2－8＝0，所以x ＝－10. 答案：－108．在直角坐标系O -xyz 中，已知点P (2cos x ＋1，2cos 2x ＋2，0)和点Q (cos x ，－1，3)，其中x ∈[0，π]，若直线OP 与直线OQ 垂直，则x 的值为________．解析：由OP ⊥OQ ，得OP →·OQ →＝0，即(2cos x ＋1)·cos x ＋(2cos 2x ＋2)·(－1)＝0.所以cos x ＝0或cos x ＝12.因为x ∈[0，π]，所以x ＝π2或π3.答案：π2或π3三、解答题9．在正方体ABCD ­A 1B 1C 1D 1中，P 为DD 1的中点，O 为底面ABCD 的中心，求证：OB 1⊥平面PAC .证明：如图，建立空间直角坐标系，不妨设正方体棱长为2，则A (2，0，0)，P (0，0，1)，C (0，2，0)，B 1(2，2，2)，O (1，1，0)．于是OB 1→＝(1，1，2)，AC →＝(－2，2，0)，AP →＝(－2，0，1)， 由于OB 1→·AC →＝－2＋2＋0＝0 及OB 1→·AP →＝－2＋0＋2＝0. 所以OB 1→⊥AC →，OB 1→⊥AP →， 所以OB 1⊥AC ，OB 1⊥AP .又AC ∩AP ＝A ，所以OB 1⊥平面PAC .10．三棱锥被平行于底面ABC 的平面所截得的几何体如图所示，截面为A 1B 1C 1，∠BAC ＝90°，A 1A ⊥平面ABC ，A 1A ＝3， AB ＝AC ＝2A 1C 1＝2，D 为BC 中点．证明：平面A 1AD ⊥平面BCC 1B 1.证明：法一：如图，建立空间直角坐标系，则A (0，0，0)，B (2，0，0)，C (0，2，0)，A 1(0，0，3)，C 1(0，1，3)，因为D 为BC 的中点， 所以D 点坐标为(1，1，0)， 所以BC →＝(－2，2，0)， AD →＝(1，1，0)，AA 1→＝(0，0，3)，因为BC →·AD →＝－2＋2＋0＝0，BC →·AA 1→＝0＋0＋0＝0， 所以BC →⊥AD →，BC →⊥AA 1→，所以BC ⊥AD ，BC ⊥AA 1， 又AD ∩AA 1＝A ，所以BC ⊥平面ADA 1， 而BC ⊂平面BCC 1B 1， 所以平面A 1AD ⊥平面BCC 1B 1. 法二：同法一，得AA 1→＝(0，0，3)，AD →＝(1，1，0)，BC →＝(－2，2，0)，CC 1→＝(0，－1，3)，设平面A 1AD 的法向量n 1＝(x 1，y 1，z 1)， 平面BCC 1B 1的法向量为n 2＝(x 2，y 2，z 2)． 由⎩⎨⎧n 1·AA 1→＝0，n 1·AD →＝0得⎩⎨⎧3z 1＝0，x 1＋y 1＝0.令y 1＝－1得x 1＝1，z 1＝0， 所以n 1＝(1，－1，0)．由⎩⎨⎧n 2·BC →＝0，n 2·CC 1→＝0，解⎩⎨⎧－2x 2＋2y 2＝0，－y 2＋3z 2＝0.令y 2＝1，得x 2＝1， z 2＝33， 所以n 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1，1，33. 所以n 1·n 2＝1－1＋0＝0，所以n 1⊥n 2. 所以平面A 1AD ⊥平面BCC 1B 1.B 级 能力提升1．在正方体ABCD ­A 1B 1C 1D 1中，若E 为A 1C 1的中点，则直线CE 垂直于( ) A ．AC B ．BD C ．A 1D D ．A 1A答案：B2．已知点A ，B ，C 的坐标分别为(0，1，0)，(－1，0，1)，(2，1，1)，点P 的坐标为(x ，0，z )，若PA →⊥AB →，PA →⊥AC →，则点P 的坐标为________．解析：因为AB →＝(－1，－1，1)， AC →＝(2，0，1)，PA →＝(－x ，1，－z )，由PA →·AB →＝0，PA →·AC →＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x －1－z ＝0，－2x －z ＝0，则x ＝13，z ＝－23，所以P ⎝ ⎛⎭⎪⎫13，0，－23.答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫13，0，－233.在正方体ABCD ­A 1B 1C 1D 1中，E 是棱BC 的中点，试在棱CC 1上求一点P ，使得平面A 1B 1P ⊥平面C 1DE .解：如图，以D 为原点，DA 、DC 、DD 1所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系．设正方体的棱长为1，P (0，1，a )，则A 1(1，0，1)，B 1(1，1，1)，E ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1，0，C 1(0，1，1)，A 1B 1→＝(0，1，0)，A 1P →＝(－1，1，a －1)，DE →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1，0，DC 1→＝(0，1，1)．设平面A 1B 1P 的一个法向量为 n 1＝(x 1，y 1，z 1)，则⎩⎨⎧n 1·A 1B 1→＝0，n 1·A 1P →＝0，⇒⎩⎪⎨⎪⎧y 1＝0，－x 1＋y 1＋（a －1）z 1＝0， 所以x 1＝(a －1) z 1，y 1＝0. 令z 1＝1，得x 1＝a －1， 所以n 1＝(a －1，0，1)．设平面C 1DE 的一个法向量为n 2＝(x 2，y 2，z 2)， 则⎩⎨⎧n 2·DE →＝0，n 2·DC 1→＝0，⇒⎩⎪⎨⎪⎧12x 2＋y 2＝0，y 2＋z 2＝0，⇒⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝－2y 2，z 2＝－y 2.令y 2＝1，得x 2＝－2，z 2＝－1， 所以n 2＝(－2，1，－1)． 因为平面A 1B 1P ⊥平面C 1DE ，所以n 1·n 2＝0，即－2(a －1)－1＝0，得a ＝12.所以当P 为CC 1的中点时，平面A 1B 1P ⊥平面C 1DE .。

课时作业24 空间向量与垂直关系时刻：45分钟分值：100分一、选择题(每题6分，共36分)1．假设向量m同时垂直于向量a和b，向量n＝λa＋μb(λ，μ∈R，λ，μ≠0)，那么( )A．m∥n B．m⊥nC．m与n既不平行也不垂直D．以上三种情形均有可能解析：m·n＝m·(λa＋μb)＝λm·a＋μm·b＝0.答案：B2．已知平面α内的三点A(0,0,1)、B(0,1,0)、C(1,0,0)，平面β的一个法向量为n＝(－1，－1，－1)，且β与α不重合，那么( )A．α∥βB．α⊥βC．α与β相交不垂直D．以上都不对解析：AB→＝(0,1，－1)，AC→＝(1,0，－1)，n·AB→＝－1×0＋(－1)×1＋(－1)×(－1)＝0，n·AC→＝－1×1－1×0＋(－1)×(－1)＝0，∴n⊥AB→，n⊥AC→.∴n也为α的一个法向量．又α与β不重合，∴α∥β.答案：A3．在菱形ABCD中，假设PA→是平面ABCD的法向量，那么以劣等式中可能不成立的是( )A.PA→·AB→＝0B.PC→·BD→＝0C.PC→·AB→＝0D.PA→·CD→＝0解析：∵PA⊥平面ABCD，∴BD⊥PA.又AC⊥BD，∴PC⊥BD.应选项B正确，选项A和D显然成立．应选C.答案：C4．已知向量a，b是平面α内的两个不相等的非零向量，非零向量c在直线l上，那么c·a＝0且c·b＝0是l⊥α的( )A ．充分没必要要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又没必要要条件解析：若c ·a ＝0且c ·b ＝0⇒/ l ⊥α，缘故是a 可能与b 共线，而l ⊥α那么必然有c ·a ＝0且c ·b ＝0成立．应选B.答案：B5．已知AB →＝(1,5，－2)，BC →＝(3,1，z )，假设AB →⊥BC →，BP →＝(x －1，y ，－3)，且BP →⊥平面ABC ，那么BP→等于( )A ．(337，－157，4)B ．(337，－157，－3)C ．(407，－157，4)D ．(407，157，－3)解析：由AB →·BC →＝0得3＋5－2z ＝0，∴z ＝4.又BP →⊥平面ABC ，∴⎩⎨⎧ BP →·AB →＝0BP →·BC →＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧ x －1＋5y ＋6＝03x －3＋y －12＝0.解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝407y ＝－157.答案：B6．在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，假设E 为A 1C 1的中点，那么直线CE 垂直于() A ．AC B ．BDC ．A 1D D ．A 1A图1解析：成立如图1坐标系，设正方体棱长为1，则A (1,0,0)，B (1,1,0)，C (0,1,0)，D (0,0,0)，A 1(1,0,1)，E (12，12，1)． ∴CE →＝(12，12，1)－(0,1,0)＝(12，－12，1)． AC →＝(－1,1,0)，BD →＝(－1，－1,0)，A 1D →＝(－1,0，－1)，A 1A →＝(0,0，－1)．∵CE →·BD →＝(12，－12，1)·(－1，－1,0) ＝－12＋12＋0＝0. ∴CE →⊥BD →，∴CE ⊥BD .答案：B二、填空题(每题8分，共24分)7．已知A 、B 、C 三点的坐标别离为A (4,1,3)，B (2，－5,1)，C (3,7，λ)，假设AB ⊥AC ，那么λ等于________．解析：∵AB →＝(－2，－6，－2)，AC →＝(－1,6，λ－3)，AB →·AC →＝2－36－2(λ－3)＝0，∴λ＝－14.答案：－148．已知A ，B ，C 的坐标为(0,1,0)，(－1,0,1)，(2,1,1)，点P 的坐标(x,0，z )，假设PA ⊥AB ，PA ⊥AC ，那么P 点坐标为________．解析：利用向量垂直的条件． 答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫13，0，－23 9．已知点P 是平行四边形ABCD 所在的平面外一点，若是AB →＝(2，－1，－4)，AD →＝(4,2,0)，AP →＝(－1,2，－1)．关于结论：①AP ⊥AB ；②AP ⊥AD ；③AP →是平面ABCD 的法向量；④AP →∥BD →.其中正确的选项是________．解析：由AP →·AB →＝－2－2＋4＝0知AP ⊥AB ；由AP →·AD →＝－4＋4＋0＝0，知AP ⊥AD ，由①②知AP →是平面ABCD 的法向量，易知AP →不平行BD →，因此①②③正确．答案：①②③三、解答题(共40分)10．(10分)在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 、F 别离是BB 1、CD 的中点，求证：D 1F ⊥平面ADE . 图2证明：不妨设已知正方体的棱长为1个单位长度．以D 为坐标原点，成立如图2所示的空间直角坐标系，那么D (0,0,0)，A (1,0,0)，D 1(0,0,1)，E (1,1，12)，F (0，12，0)， 因此D 1F →＝(0，12，－1)，AD →＝(－1,0,0)，AE →＝(0,1，12)． 因此D 1F →·AD →＝0，D 1F →·AE →＝0＋12－12＝0. 因此D 1F →⊥AD →且D 1F →⊥AE →，即D 1F ⊥AD ，D 1F ⊥AE .又AE ∩AD ＝A ，因此D 1F ⊥平面ADE .图311．(15分)已知正方形ABCD 和矩形ACEF 所在的平面相互垂直，AB ＝2，AF ＝1，M 是线段EF 的中点． 求证：AM ⊥平面BDF .图4证明：以C 为坐标原点，成立如图4所示的空间直角坐标系，那么A (2，2，0)，B (0，2，0)，D (2，0,0)，F (2，2，1)，M (22，22，1)． 因此AM →＝(－22，－22，1)，DF →＝(0，2，1)，BD →＝(2，－2，0)．设n ＝(x ，y ，z )是平面BDF 的法向量，则n ⊥BD →，n ⊥DF →，因此⎩⎨⎧ n ·BD →＝2x －2y ＝0n ·DF →＝2y ＋z ＝0⇒⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝y ，z ＝－2y ，取y ＝1， 得x ＝1，z ＝－2. 则n ＝(1,1，－2)． 因为AM →＝(－22，－22，1)， 因此n ＝－2AM →，得n 与AM →共线．因此AM ⊥平面BDF .图512．(15分)如图5所示，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E ，F 别离是BB 1，DC 的中点．(1)证明平面AD 1F⊥平面ADE.(2)在AE 上求一点M ，使得A 1M⊥平面DAE.解：(1)不妨设正方体的棱长为1，以D 为坐标原点，别离以DA ，DC ，DD 1所在的直线为x 轴、y 轴、z轴成立如图6所示的空间直角坐标系，那么A(1,0,0)，D 1(0,0,1)，F(0，12，0)，E(1,1，12)，AD 1→＝(－1,0,1)，AF →＝(－1，12，0)，AD →＝(－1,0,0)，AE →＝(0,1，12)．设n 1，n 2别离为平面AD 1F ，平面ADE 的法向量．令n 1＝(x 1，y 1，z 1)，n 2＝(x 2，y 2，z 2)，图6∴AD 1→·n 1＝(－1,0,1)·(x 1，y 1，z 1)＝－x 1＋z 1＝0，AF →·n 1＝(－1，12，0)·(x 1，y 1，z 1)＝－x 1＋12y 1＝0， 令x 1＝1，∴n 1＝(1,2,1)．又AD →·n 2＝(－1,0,0)·(x 2，y 2，z 2)＝－x 2＝0，AE →·n 2＝(0,1，12)·(x 2，y 2，z 2)＝y 2＋12z 2＝0，令y 2＝1， ∴n 2＝(0,1，－2)．∵n 1·n 2＝(1,2,1)·(0,1，－2) ＝1×0＋2×1＋1×(－2)＝0，∴平面AD 1F ⊥平面ADE .(2)由于点M 在AE 上，∴可设AM →＝λAE →＝λ(0,1，12)＝(0，λ，12λ) 可得M (1，λ，12λ)，又∵A 1(1,0,1)，于是A 1M →＝(0，λ，12λ－1) 要使A 1M ⊥平面DAE ，需A 1M ⊥AE ，∴A 1M →·AE →＝(0，λ，12λ－1)·(0,1，12)＝54λ－12＝0， 得λ＝25. 故当AM ＝25AE 时，即点M 的坐标为(1，25，15)时，A 1M ⊥平面DAE .。

立体几何中的向量方法第一课时空间向量与平行、垂直关系预习课本P102～108，思考并完成以下问题1．平面的法向量的定义是什么？2．设直线l的方向向量u＝(a1，b1，c1)，平面α的法向量v＝(a2，b2，c2)，则l∥α，l ⊥α的充要条件分别是什么？[新知初探]1．平面的法向量(1)直线的方向向量直线的方向向量是指和这条直线平行或共线的向量．(2)平面的法向量直线l⊥α，取直线l的方向向量a，则a叫做平面α的法向量．2．空间平行关系的向量表示(1)线线平行设直线l，m的方向向量分别为a＝(a1，b1，c1)，b＝(a2，b2，c2)，则l∥m⇔a∥b⇔a ＝λb⇔a1＝λa2，b1＝λb2，c1＝λc2(λ∈R)．(2)线面平行设直线l的方向向量为a＝(a1，b1，c1)，平面α的法向量为u＝(a2，b2，c2)，则l∥α⇔a⊥u⇔a·u＝0⇔a1a2＋b1b2＋c1c2＝0.(3)面面平行设平面α，β的法向量分别为u＝(a1，b1，c1)，v＝(a2，b2，c2)，则α∥β⇔u∥v⇔u＝λv ⇔a1＝λa2，b1＝λb2，c1＝λc2(λ∈R)．3．空间垂直关系的向量表示(1)线线垂直设直线l 的方向向量为a ＝(a 1，a 2，a 3)，直线m 的方向向量为b ＝(b 1，b 2，b 3)，则l ⊥m ⇔a ·b ＝0⇔a 1b 1＋a 2b 2＋a 3b 3＝0.(2)线面垂直设直线l 的方向向量是a ＝(a 1，b 1，c 1)，平面α的法向量是u ＝(a 2，b 2，c 2)，则l ⊥α⇔a ∥u ⇔a ＝λu ⇔a 1＝λa 2，b 1＝λb 2，c 1＝λc 2(λ∈R)．(3)面面垂直若平面α的法向量u ＝(a 1，b 1，c 1)，平面β的法向量v ＝(a 2，b 2，c 2)，则α⊥β ⇔u ⊥v ⇔u ·v ＝0⇔a 1a 2＋b 1b 2＋c 1c 2＝0.[小试身手]1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)直线l 的方向向量是惟一的( )(2)若点A ，B 是平面α上的任意两点，n 是平面α的法向量，则AB ·n ＝0( ) (3)若向量n 1，n 2为平面α的法向量，则以这两个向量为方向向量的两条不重合直线一定平行( )答案：(1)× (2)√ (3)√2．若A (1,0，－1)，B (2,1,2)在直线l 上，则直线l 的一个方向向量是( ) A ．(2,2,6) B ．(－1,1,3) C ．(3,1,1) D ．(－3,0,1)答案：A3．设直线l 1，l 2的方向向量分别为a ＝(－2,2,1)，b ＝(3，－2，m )，若l 1⊥l 2，则m 等于( )A ．－2B ．2C ．6D ．10 答案：D求平面的法向量[典例] ，求平面α的一个法向量．[解] 因为A (1,2,3)，B (2,0，－1)，C (3，－2,0)，所以AB ＝(1，－2，－4)，AC ＝(2，－4，－3)．设平面α的法向量为n ＝(x ，y ，z )，则有⎩⎨⎧n ·AB ＝0，n ·AC ＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧x －2y －4z ＝0，2x －4y －3z ＝0.得z ＝0，x ＝2y ，令y ＝1，则x ＝2，所以平面α的一个法向量为n ＝(2,1,0)．利用待定系数法求法向量的解题步骤[活学活用]四边形ABCD 是直角梯形，∠ABC ＝90°，SA ⊥平面ABCD ，SA ＝AB ＝BC ＝2，AD ＝1.在如图所示的坐标系Axyz 中，分别求平面SCD 和平面SAB 的一个法向量．解：A (0,0,0)，D (1,0,0)，C (2,2,0)，S (0,0,2)．∵AD ⊥平面SAB ，∴AD ＝(1,0,0)是平面SAB 的一个法向量． 设平面SCD 的法向量为n ＝(1，y ，z )，则n ·DC ＝(1，y ，z )·(1,2,0)＝1＋2y ＝0，∴y ＝－12.又n ·DS ＝(1，y ，z )·(－1,0,2)＝－1＋2z ＝0，∴z ＝12.∴n ＝⎝⎛⎭⎫1，－12，12即为平面SCD 的一个法向量. 用空间向量证明平行问题[典例] 11111DD 1的中点，求证：(1)FC 1∥平面ADE ； (2)平面ADE ∥平面B 1C 1F .[证明] 如图所示建立空间直角坐标系D -xyz ，则有D (0,0,0)，A (2,0,0)，C 1(0,2,2)，E (2,2,1)，F (0,0,1)，B 1(2，2,2)，所以FC 1＝(0,2,1)，DA ＝(2,0,0)，AE ＝(0,2,1)．(1)设n 1＝(x 1，y 1，z 1)是平面ADE 的法向量， 则n 1⊥DA ，n 1⊥AE ，即⎩⎨⎧n 1·DA ＝2x 1＝0，n 1·AE ＝2y 1＋z 1＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝0，z 1＝－2y 1，令z 1＝2，则y 1＝－1， 所以n 1＝(0，－1,2)．因为FC 1·n 1＝－2＋2＝0，所以FC 1⊥n 1. 又因为FC 1⊄平面ADE ，所以FC 1∥平面ADE . (2)因为C B 11＝(2,0,0)，设n 2＝(x 2，y 2，z 2)是平面B 1C 1F 的一个法向量． 由n 2⊥FC 1，n 2⊥C B 11，得⎩⎪⎨⎪⎧n 2·FC 1＝2y 2＋z 2＝0，n 2·C B 11＝2x 2＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝0，z 2＝－2y 2.令z 2＝2，得y 2＝－1，所以n 2＝(0，－1,2)， 因为n 1＝n 2，所以平面ADE ∥平面B 1C 1F .利用向量法证明平行问题的两种途径(1)利用三角形法则和平面向量基本定理实现向量间的相互转化，得到向量的共线关系； (2)通过建立空间直角坐标系，借助直线的方向向量和平面的法向量进行平行关系的证明．[活学活用]在长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，AB ＝4，AD ＝3，AA 1＝2，P ，Q ，R ，S 分别是AA 1，D 1C 1，AB ，CC 1的中点．求证：PQ ∥RS .证明：法一：以D 为原点，DA ，DC ，DD 1所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系D -xyz .则P (3,0,1)，Q (0,2,2)，R (3,2,0)，S (0,4,1)，PQ＝(－3,2,1)，RS＝(－3,2,1)，∴PQ＝RS，∴PQ∥RS，即PQ∥RS.法二：RS＝RC＋CS＝12DC－DA＋12DD1，PQ＝PA1＋A Q1＝12DD1＋12DC－DA，∴RS＝PQ，∴RS∥PQ，即RS∥PQ.利用空间向量证明垂直问题[典例]如图，在四棱锥E-ABCD中，AB⊥平面BCE，CD⊥平面BCE，AB＝BC＝CE＝2CD＝2，∠BCE＝120°.求证：平面ADE⊥平面ABE.[证明]取BE的中点O，连接OC，则OC⊥EB，又AB⊥平面BCE，∴以O为原点建立空间直角坐标系O-xyz.如图所示．则由已知条件有C(1,0,0)，E(0，－3，0)，D(1,0,1)，A(0，3，2)．设平面ADE的法向量为n＝(a，b，c)，则n·EA＝(a，b，c)·(0,23，2)＝23b＋2c＝0，n·DA＝(a，b，c)·(－1，3，1)＝－a＋3b＋c＝0.令b＝1，则a＝0，c＝－3，∴n＝(0,1，－3)，又AB⊥平面BCE，∴AB⊥OC，∴OC⊥平面ABE，∴平面ABE的法向量可取为m＝(1,0,0)．∵n·m＝(0,1，－3)·(1,0,0)＝0，∴n⊥m，∴平面ADE⊥平面ABE.(1)用向量法判定线面垂直，只需直线的方向向量与平面的法向量平行或直线的方向向量与平面内两相交的直线的方向向量垂直．(2)用向量法判定两个平面垂直，只需求出这两个平面的法向量，再看它们的数量积是否为0.[活学活用]在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别为BB 1，D 1B 1的中点，求证：EF ⊥平面B 1AC . 证明：设正方体的棱长为2，建立如图所示的空间直角坐标系D -xyz ，则A (2,0,0)，C (0,2,0)，B 1(2,2,2)，E (2，2,1)，F (1,1,2)．法一：EF ＝(－1，－1,1)，AB 1＝(0,2,2)，AC ＝(－2,2,0)， ∴EF ·AB 1＝(－1，－1,1)·(0,2,2)＝0， EF ·AC ＝(－1，－1,1)·(－2,2,0)＝0， ∴EF ⊥AB 1，EF ⊥AC ，又AB 1∩AC ＝A ， ∴EF ⊥平面B 1AC .法二：设平面B 1AC 的法向量为n ＝(x ，y ，z )． 又AB 1＝(0,2,2)，AC ＝(－2,2,0)，则⎩⎪⎨⎪⎧ n ⊥AB 1，n ⊥AC ⇒⎩⎪⎨⎪⎧n ·AB 1＝2y ＋2z ＝0，n ·AC ＝－2x ＋2y ＝0，令x ＝1，可得平面B 1AC 的一个法向量为n ＝(1,1，－1)． 又EF ＝－n ，∴EF ∥n ，∴EF ⊥平面B 1AC .层级一 学业水平达标1．若n ＝(2，－3,1)是平面α的一个法向量，则下列向量中能作为平面α的法向量的是( )A ．(0，－3,1)B ．(2,0,1)C ．(－2，－3,1)D ．(－2,3，－1)解析：选D 问题即求与n 共线的一个向量．即n ＝(2，－3，1)＝－(－2,3，－1)． 2．已知直线l 与平面α垂直，直线l 的一个方向向量为u ＝(1，－3，z )，向量v ＝(3，－2,1)与平面α平行，则z 等于( )A ．3B ．6C ．－9D ．9解析：选C ∵l ⊥α，v 与平面α平行， ∴u ⊥v ，即u ·v ＝0，∴1×3＋3×2＋z ×1＝0， ∴z ＝－9.3．已知A (1,0,0)，B (0,1,0)，C (0,0,1)，则平面ABC 的一个法向量是( ) A ．(1,1，－1) B ．(1，－1,1) C ．(－1,1,1)D ．(－1，－1，－1)解析：选D AB ＝(－1,1,0)，AC ＝(－1,0,1)．设平面ABC 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，则有⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋y ＝0，－x ＋z ＝0，取x ＝－1，则y ＝－1，z ＝－1.故平面ABC 的一个法向量是(－1，－1，－1)．4．在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，若E 为A 1C 1的中点，则直线CE 垂直于( ) A ．AC B ．BD C ．A 1D D ．A 1A解析：选B 建立如图所示的空间直角坐标系．设正方体的棱长为1. 则A (1,0,0)，B (1,1,0)，C (0,1,0)，D (0,0,0)，A 1(1,0,1)，C 1(0,1,1)，E ⎝⎛⎭⎫12，12，1， ∴CE ＝⎝⎛⎭⎫12，－12，1， AC ＝(－1,1,0)，BD ＝(－1，－1,0)，A D 1＝(－1,0，－1)，A A 1＝(0,0，－1)．∵CE ·BD ＝(－1)×12＋(－1)×⎝⎛⎭⎫－12＋0×1＝0，∴CE ⊥BD . 5.如图，在平行六面体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，点M ，P ，Q 分别为棱AB ，CD ，BC 的中点，平行六面体的各棱长均相等．给出下列结论：①A 1M ∥D 1P ； ②A 1M ∥B 1Q ； ③A 1M ∥平面DCC 1D 1； ④A 1M ∥平面D 1PQB 1.这四个结论中正确的个数为( ) A ．1 B ．2 C ．3D ．4解析：选C ∵A M 1＝A A 1＋AM ＝A A 1＋12AB ，D P 1＝D D 1＋DP ＝A A 1＋12AB ，∴A M 1∥D P 1，从而A 1M ∥D 1P ，可得①③④正确．又B 1Q 与D 1P 不平行，故②不正确．6. 已知点P 是平行四边形ABCD 所在的平面外一点，如果AB ＝(2，－1，－4)，AD ＝(4,2,0)，AP ＝(－1,2，－1)．对于结论：①AP ⊥AB ；②AP ⊥AD ；③AP 是平面ABCD 的法向量；④AP ∥BD .其中正确的是_______(填序号)．解析：由于AP ·AB ＝－1×2＋(－1)×2＋(－4)×(－1)＝0，AP ·AD ＝4×(－1)＋2×2＋0×(－1)＝0，所以①②③正确． 答案：①②③7．在直角坐标系O -xyz 中，已知点P (2cos x ＋1,2cos 2x ＋2,0)和点Q (cos x ，－1,3)，其中x ∈[0，π]，若直线OP 与直线OQ 垂直，则x 的值为________．解析：由OP ⊥OQ ，得OP ·OQ ＝0. 即(2cos x ＋1)·cos x ＋(2cos 2x ＋2)·(－1)＝0. ∴cos x ＝0或cos x ＝12.∵x ∈[0，π]，∴x ＝π2或x ＝π3.答案：π2或π38.如图所示，在直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，底面是以∠ABC 为直角的等腰三角形，AC ＝2a ，BB 1＝3a ，D 是A 1C 1的中点，点E 在棱AA 1上，要使CE ⊥面B 1DE ，则AE ＝________.解析：建立如图所示的空间直角坐标系， 则B 1(0,0,3a )，C (0，2a,0)， D2a 2，2a 2，3a . 设E (2a,0，z )(0≤z ≤3a )， 则CE ＝()2a ，－2a ，z ，B E 1＝(2a,0，z －3a )，B D 1＝⎝⎛⎭⎫2a 2，2a 2，0.又CE ·B D 1＝a 2－a 2＋0＝0，故由题意得2a 2＋z 2－3az ＝0，解得z ＝a 或2a .故AE ＝a 或2a . 答案：a 或2a9.如图，在四棱锥P -ABCD 中，底面ABCD 是正方形，侧棱PD ⊥底面ABCD ，PD ＝DC ，E 为PC 的中点，EF ⊥BP 于点F .求证：(1)PA ∥平面EDB ； (2)PB ⊥平面EFD .证明：以D 为坐标原点，DA ，DC ，DP 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系D -xyz ，如图，设DC ＝PD ＝1，则P (0,0,1)，A (1,0,0)，D (0,0,0)，B (1,1,0)，E ⎝⎛⎭⎫0，12，12. ∴PB ＝(1,1，－1)，DE ＝⎝⎛⎭⎫0，12，12，EB ＝⎝⎛⎭⎫1，12，－12，设F (x ，y ，z )，则PF ＝(x ，y ，z －1)，EF ＝⎝⎛⎭⎫x ，y －12，z －12. ∵EF ⊥PB ，∴x ＋⎝⎛⎭⎫y －12－⎝⎛⎭⎫z －12＝0，即x ＋y －z ＝0.① 又∵PF ∥PB ，可设PF ＝λPB ， ∴x ＝λ，y ＝λ，z －1＝－λ.② 由①②可知，x ＝13，y ＝13，z ＝23，∴EF ＝⎝⎛⎭⎫13，－16，16. (1)设n 1＝(x 1，y 1，z 1)为平面EDB 的一个法向量，则有⎩⎨⎧n 1·DE ＝0，n 1·EB ＝0，即⎩⎨⎧12y 1＋12z 1＝0，x 1＋12y 1－12z 1＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝z 1，y 1＝－z 1. 取z 1＝－1，则n 1＝(－1,1，－1)． ∵PA ＝(1,0，－1)，∴PA ·n 1＝0. 又∵PA ⊄平面EDB ，∴PA ∥平面EDB .(2)设n 2＝(x 2，y 2，z 2)为平面EFD 的一个法向量，则有⎩⎨⎧n 2·EF ＝0，n 2·DE ＝0，即⎩⎨⎧13x 2－16y 2＋16z 2＝0，12y 2＋12z 2＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝－z 2，y 2＝－z 2.取z 2＝1，则n 2＝(－1，－1,1)． ∴PB ∥n 2，∴PB ⊥平面EFD .10．已知在长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，E ，M 分别是BC ，AE 的中点，AD ＝AA 1＝a ，AB ＝2a .试问在线段CD 1上是否存在一点N 使MN ∥平面ADD 1A 1，若存在确定N 的位置，若不存在说明理由．解：以D 为原点，建立如图所示的空间直角坐标系， 则A (a ，0,0)，B (a,2a,0)， C (0，2a,0)，D 1(0,0，a )， E ⎝⎛⎭⎫12a ，2a ，0，M ⎝⎛⎭⎫34a ，a ，0， DC ＝(0,2a,0)，CD 1＝(0，－2a ，a )，假设CD 1上存在点N 使MN ∥平面ADD 1A 1并设CN ＝λCD 1＝(0，－2aλ，aλ)(0<λ<1)．则DN ＝DC ＋CN ＝(0,2a,0)＋(0，－2aλ，aλ) ＝(0,2a (1－λ)，aλ)，MN ＝DN －DM ＝⎝⎛⎭⎫－34a ，a －2aλ，aλ. 又DC 是平面ADD 1A 1的一个法向量． ∴MN ⊥DC ，则2a (a －2aλ)＝0，λ＝12.又MN ⊄平面ADD 1A 1.故存在N 为CD 1的中点使MN ∥平面ADD 1A 1.层级二 应试能力达标1．已知a ＝⎝⎛⎭⎫1，2，52，b ＝⎝⎛⎭⎫32，x ，y 分别是直线l 1，l 2的一个方向向量．若l 1∥l 2，则( )A ．x ＝3，y ＝152B ．x ＝32，y ＝154C ．x ＝3，y ＝15D ．x ＝3，y ＝154解析：选D ∵l 1∥l 2，∴321＝x 2＝y 52，∴x ＝3，y ＝154，故选D.2.在如图所示的空间直角坐标系中，ABCD -A 1B 1C 1D 1是棱长为1的正方体，给出下列结论：①平面ABB 1A 1的一个法向量为(0,1,0)； ②平面B 1CD 的一个法向量为(1,1,1)；③平面B 1CD 1的一个法向量为(1,1,1)；④平面ABC 1D 1的一个法向量为(0,1,1)．其中正确结论的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：选B ∵AD ＝(0,1,0)，AB ⊥AD ，AA 1⊥AD ，又AB ∩AA 1＝A ，∴AD ⊥平面ABB 1A 1，∴①正确；∵CD ＝(－1,0,0)，而(1,1,1)·CD ＝－1≠0，∴(1,1,1)不是平面B 1CD 的法向量，∴②不正确；∵B C 1＝(0,1，－1)，CD 1＝(－1,0,1)，(1,1,1)·B C 1＝0，(1,1,1)·CD 1＝0，B 1C ∩CD 1＝C ，∴(1,1,1)是平面B 1CD 1的一个法向量，∴③正确；∵BC 1＝(0,1,1)，而BC 1·(0,1,1)＝2≠0，∴(0,1,1)不是平面ABC 1D 1的法向量，即④不正确．因此正确结论的个数为2，选B.3．若平面α，β的一个法向量分别为m ＝⎝⎛⎭⎫－16，13，－1，n ＝⎝⎛⎭⎫12，－1，3，则( ) A ．α∥βB ．α⊥βC ．α与β相交但不垂直D ．α∥β或α与β重合解析：选D ∵n ＝－3m ，∴m ∥n ，∴α∥β或α与β重合．4.在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，棱长为a ，M ，N 分别为A 1B ，AC的中点，则MN 与平面BB 1C 1C 的位置关系是( )A ．相交B ．平行C ．垂直D ．不能确定解析：选B 建系如图，设正方体的棱长为2，则A (2,2,2)，A 1(2,2,0)，C (0,0,2)，B (2,0,2)，∴M (2,1,1)，N (1,1,2)，∴MN ＝(－1,0,1)．又平面BB 1C 1C 的一个法向量为n ＝(0,1,0)，∵－1×0＋0×1＋1×0＝0，∴MN ⊥n ，∴MN ∥平面BB 1C 1C .故选B.5．若直线l 的一个方向向量为a ＝(1,0,2)，平面α的一个法向量为u ＝(－2,0，－4)，则直线l 与平面α的位置关系为________．解析：∵u ＝－2a ，∴a ∥u ，∴l ⊥α.答案：l ⊥α6．已知AB ＝(1,5，－2)，BC ＝(3,1，z )，若AB ⊥BC ，BP ＝(x －1，y ，－3)，且BP ⊥平面ABC ，则BP ＝________.解析：∵AB ⊥BC ，∴AB ·BC ＝0，∴3＋5－2z ＝0，∴z ＝4. ∵BP ＝(x －1，y ，－3)，且BP ⊥平面ABC ，∴⎩⎨⎧ BP ·AB ＝0， BP ·BC ＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧ x －1＋5y ＋6＝0，3x －3＋y －12＝0，解得⎩⎨⎧ x ＝407，y ＝－157，故BP ＝⎝⎛⎭⎫337，－157，－3.答案：⎝⎛⎭⎫337，－157，－37.如图，在正四棱柱ABCD -A 1B 1C 1D 1中，底面边长为22，侧棱长为4，E ，F 分别是棱AB ，BC 的中点．求证：平面B 1EF ⊥平面BDD 1B 1.证明：以D 为坐标原点，DA ，DC ，DD 1所在的直线分别为x 轴、y 轴、z轴建立空间直角坐标系如图，由题意，知D (0,0,0)，A (22，0,0)，C (0,22，0)，B 1(22，22，4)，E (22，2，0)，F (2，22，0)，则B E 1＝(0，－2，－4)，EF ＝(－2，2，0)．设平面B 1EF 的法向量为n ＝(x ，y ，z )．则n ·B E 1＝－2y －4z ＝0，n ·EF ＝－2x ＋2y ＝0，得x ＝y ，z ＝－24y ，令y ＝1，得n ＝⎝⎛⎭⎫1，1，－24.又平面BDD 1B 1的一个法向量为AC ＝(－22，22，0)，而n ·AC ＝1×(－22)＋1×22＋⎝⎛⎭⎫－24×0＝0， 即n ⊥AC ，∴平面B 1EF ⊥平面BDD 1B 1.8.如图，在三棱锥P -ABC 中，三条侧棱PA ，PB ，PC 两两垂直，且PA ＝PB ＝PC ＝3，G 是△PAB 的重心，E ，F 分别为BC ，PB 上的点，且BE ∶EC ＝PF ∶FB ＝1∶2.(1)求证：平面GEF ⊥平面PBC ；(2)求证：EG 与直线PG 和BC 都垂直．证明：(1)如图，以三棱锥的顶点P 为原点，以PA ，PB ，PC 所在的直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系P -xyz .则A (3,0,0)，B (0,3,0)，C (0,0,3)，E (0,2,1)，F (0,1,0)，G (1,1,0)，P (0，0,0)． 于是EF ＝(0，－1，－1)，EG ＝(1，－1，－1)．设平面GEF 的法向量是n ＝(x ，y ，z )，则⎩⎨⎧ n ⊥EF ，n ⊥EG ，即⎩⎪⎨⎪⎧y ＋z ＝0，x －y －z ＝0，可取n ＝(0,1，－1)．显然PA ＝(3,0,0)是平面PBC 的一个法向量．又n ·PA ＝0，∴n ⊥PA ，即平面PBC 的法向量与平面GEF 的法向量垂直，∴平面GEF ⊥平面PBC .(2)由(1)，知EG ＝(1，－1，－1)，PG ＝(1,1,0)，BC ＝(0，－3,3)，∴EG ·PG ＝0，EG ·BC ＝0， ∴EG ⊥PG ，EG ⊥BC ，∴EG 与直线PG 和BC 都垂直．。

2020秋高中数学人教A版选修2-1学案：3.2.2空间向量与垂直关系含解析3。

2。

2空间向量与垂直关系自主预习·探新知情景引入1．两向量垂直时,它们所在的直线垂直吗?2．两平面的法向量垂直时，两平面垂直吗？3．怎样用直线的方向向量和平面的法向量来描述线面垂直关系?新知导学空间垂直关系的向量表示设直线l,m的方向向量分别为a＝（a1,a2,a3)，b＝(b1，b2，b3），平面α，β的法向量分别为u＝(u1，u2，u3),v＝（v1，v2，v3)，则位置关系向量关系向量运算关系坐标关系l⊥m__a⊥b____a·b＝0__a1b1＋a2b2＋a3b3＝0l⊥α__a∥u____a＝λu，λ∈R__a1＝λu1，a2＝λu2，a3＝λu3α⊥β__u⊥v__u·v＝0u1v1＋u2v2＋u3v3＝0预习自测1．设直线l1，l2的方向量分别为a＝（－2,2,1），b＝（3,－2，m），若l1⊥l2，则m等于（D)A．－2B．2C．6D．10［解析]l1⊥l2，则a⊥b，所以－6－4＋m＝0，∴m＝10，故选D．2．若平面α，β垂直，则下面可以作为这两个平面的法向量的是(A)A．n1＝（1，2,1），n2＝（－3,1，1)B．n1＝（1,1,2），n2＝（－2，1，1)C．n1＝(1,1，1），n2＝(－1,2,1)D．n1＝(1，2,1）,n2＝(0，－2,－2）3．(2019－2020学年北京市房山区期末检测）已知直线l的方向向量a＝（－1,2,1），平面α的法向量b＝（－2，4,2),则直线l 与平面α的位置关系是（B)A．l∥αB．l⊥αC．l⊂αD．l∈α[解析]∵直线l的方向向量a＝(－1,2，1），平面α的法向量b＝（－2，4,2）,∴b＝2a，∴则b与a共线,可得：l⊥a。

故选B．4．已知平面α和平面β的法向量分别为a＝(1，1，2)，b＝（x，－2，3），且α⊥β，则x＝__－4__.[解析］α⊥β，则a⊥b，∴x－2＋6＝0，∴x＝－4。

第三章 3.2 课时作业30一、选择题1．已知A (3,0，－1)，B (0，－2，－6)，C (2,4，－2)，则△ABC 是( ) A ．等边三角形 B ．等腰三角形 C ．直角三角形D ．等腰直角三角形解析：∵AB →＝(－3，－2，－5)，AC →＝(－1,4，－1)，BC →＝(2,6,4)，∴AB →·AC →＝0，∴AB ⊥AC ，且|AB →|≠|AC →|≠|BC →|，∴△ABC 为直角三角形．答案：C2．设A 是空间一定点，n 为空间内任一非零向量，满足条件AM →·n ＝0的点M 构成的图形是( )A ．圆B ．直线C ．平面D ．线段解析：M 构成的图形是经过点A ，且以n 为法向量的平面． 答案：C3．已知AB →＝(1,5，－2)，BC →＝(3,1，z )，若AB →⊥BC →，BP →＝(x －1，y ，－3)，且BP →⊥平面ABC ，则BP →等于( )A. (337，－157，4)B. (337，－157，－3)C. (407，－157，4)D. (407，157，－3)解析：由AB →·BC →＝0得3＋5－2z ＝0，∴z ＝4. 又BP →⊥平面ABC ， ∴⎩⎨⎧BP →·AB →＝0，BP→·BC →＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧x －1＋5y ＋6＝0，3x －3＋y －12＝0，解得 ⎩⎨⎧x ＝407，y ＝－157.∴BP →＝(337，－157，－3)．答案：B4．在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，若E 为A 1C 1的中点，则直线CE 垂直于( ) A. AC B. BD C. A 1DD. AA 1解析：建立如图所示的坐标系．设正方体棱长为1， 则A (1,0,0)，B (1,1,0)，C (0,1,0)，D (0,0,0)，A 1(1,0,1)，E (12，12，1)．∴CE →＝(12，12，1)－(0,1,0)＝(12，－12，1)，AC →＝(－1,1,0)，BD →＝(－1，－1,0)， A 1D →＝(－1,0，－1)，A 1A →＝(0,0，－1)． ∵CE →·BD →＝(12，－12，1)·(－1，－1,0)＝－12＋12＋0＝0，∴CE →⊥BD →，∴CE ⊥BD . 答案：B 二、填空题5．已知a ＝(0,1,1)，b ＝(1,1,0)，c ＝(1,0,1)分别是平面α、β、γ的法向量，则α、β、γ三个平面中互相垂直的有__________对．解析：∵a ·b ＝(0,1,1)·(1,1,0)＝1≠0，a ·c ＝(0,1,1)·(1,0,1)＝1≠0，b ·c ＝(1,1,0)·(1,0,1)＝1≠0. ∴a 、b 、c 中任意两个都不垂直，即α、β、γ中任意两个都不垂直． 答案：06．已知点P 是平行四边形ABCD 所在的平面外一点，如果AB →＝(2，－1，－4)，AD →＝(4,2,0)，AP →＝(－1,2，－1)．对于结论：①AP ⊥AB ；②AP ⊥AD ；③AP →是平面ABCD 的法向量；④AP →∥BD →.其中正确的是__________．解析：AB →·AP →＝－2－2＋4＝0，∴AP ⊥AB ，①正确；AP →·AD →＝－4＋4＝0，∴AP ⊥AD ，②正确；且AP →是平面ABCD 的法向量；∴③正确，④错误．答案：①②③7．在直角坐标系Oxyz 中，已知点P (2cos x ＋1,2cos2x ＋2,0)和点Q (cos x ，－1,3)其中x ∈[0，π]．若直线OP 与直线OQ 垂直，则x 的值为________．解析：由题意得OP →⊥OQ →. ∴cos x ·(2cos x ＋1)－(2cos2x ＋2)＝0. ∴2cos 2x －cos x ＝0.∴cos x ＝0或cos x ＝12.又x ∈[0，π]，∴x ＝π2或x ＝π3.答案：π2或π3三、解答题8．如右图，四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 为矩形，P A ⊥底面ABCD ，P A ＝AB ＝2，点E 是棱PB 的中点．证明：AE ⊥平面PBC .证明：如右图所示，以A 为坐标原点，射线AB 、AD 、AP 分别为x 轴、y 轴、z 轴的正半轴，建立空间直角坐标系A －xyz .设D (0，a,0)，则B (2，0,0)，C (2，a,0)，P (0,0，2)，E (22，0，22)． 于是AE →＝(22，0，22)，BC →＝(0，a,0)，PC →＝(2，a ，－2)，则AE →·BC →＝0，AE →·PC →＝0. 所以AE ⊥BC ，AE ⊥PC .又因为BC ∩PC ＝C ，所以AE ⊥平面PBC .9．在正棱锥P －ABC 中，三条侧棱两两互相垂直，G 是△P AB 的重心，E ，F 分别为BC ，PB 上的点，且BE ∶EC ＝PF ∶FB ＝1∶2.求证：平面GEF ⊥平面PBC .证明：法一：如图，以三棱锥的顶点P 为原点，以P A ，PB ，PC所在直线分别作为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系．令P A ＝PB ＝PC ＝3，则A (3,0,0)，B (0,3,0)，C (0,0,3)，E (0,2,1)，F (0,1,0)，G (1,1,0)，P (0,0,0)，于是P A →＝(3,0,0)， FG →＝(1,0,0)，故P A →＝3FG →，∴P A ∥FG .而P A ⊥平面PBC ，∴FG ⊥平面PBC . 又FG ⊂平面EFG ，∴平面EFG ⊥平面PBC . 法二：同证法一，建立空间直角坐标系，则 E (0,2,1)，F (0,1,0)，G (1,1,0)．∴EF →＝(0，－1，－1)，EG →＝(1，－1，－1)．设平面EFG 的法向量是n ＝(x ，y ，z )，则有n ⊥EF →，n ⊥EG →.∴⎩⎪⎨⎪⎧y ＋z ＝0，x －y －z ＝0.令y ＝1，得z ＝－1，x ＝0即n ＝(0,1，－1)． 显然P A →＝(3,0,0)是平面PBC 的一个法向量．又n ·P A →＝0，∴n ⊥P A →，即平面PBC 的法向量与平面EFG 的法向量互相垂直，∴平面EFG ⊥平面PBC .。

课时作业18空间向量与平行、垂直关系|基础巩固|(25分钟，60分)一、选择题(每小题5分，共25分)1．若直线l 的一个方向向量为a ＝(－1,0,2)，平面α的一个法向量为n ＝(－2,0,4)，则()A ．l ∥αB ．l ⊥αC ．l ⊂αD ．l 与α斜交解析：∵a ＝(－1,0,2)，n ＝(－2,0,4)，∴n ＝2a ，∴n ∥a ，∴l ⊥α.答案：B2．已知A (1,0,0)，B (0,1,0)，C (0,0,1)，则平面ABC 的一个法向量是()A ．(1,1，－1)B ．(1，－1,1)C ．(－1,1,1)D ．(－1，－1，－1)解析：AB →＝(－1,1,0)，AC →＝(－1,0,1)．设平面ABC 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，则有－x ＋y ＝0，－x ＋z ＝0，取x ＝－1，则y ＝－1，z ＝－1.故平面ABC 的一个法向量是(－1，－1，－1)．答案：D3．设平面α的一个法向量为(1,2，－2)，平面β的一个法向量为(－2，－4，k )，若α∥β，则k ＝()A ．2B ．－4C ．4D ．－2解析：∵α∥β，∴存在实数λ，使(1,2，－2)＝λ(－2，－4，k )，∴k ＝4.答案：C4．在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，棱长为a ，M ，N 分别为A 1B ，AC 的中点，则MN 与平面BB 1C 1C 的位置关系是()．不能确定建系如图，设正方体的棱长为C (0,0,2)，B (2,0,2)的一个法向量为n ＝(0,1,0)＝0，故选B.ABCD －A 1B 1C 1D ＝13AC ，则(AC 之一垂直，DC →，DD 1→所在直线分别为，设正方体棱长为D 1(0,0,3)，A 1(3,0,3)是直角梯形，∠ABC ＝在如图所示的坐标系的一个法向量．(1,0,0)，C (2,2,0)，S AD →＝(1,0,0)是平面的法向量为n ＝(1，y ，z ))·(1,2,0)＝1＋2y ＝01,0,2)＝－1＋2即为平面SCD 的一个法向量．在直三棱柱ABC －A 1D ，F ，G 分别为∥平面ABD .如图所示，建立空间直角坐标系E (0,0,1)，(0,2,2)，G a 2，1(－a,0,0)，BD →＝0，BD ，BD ＝(0,2，－＝(0,1，－1)∥BD →，，BD ＝B ，ABD .ABCD ，四边形建立如图所示的空间直角坐标系，设正方形边长为，0，P (0,0，0)，＝12，1，－a .的坐标为(0，12，0)，故选B.xyz 中，已知点∈[0，π]，若直线OP →·OQ →＝0.ABCD中，AB⊥平面＝2，∠BCE＝120°.⊥平面ABE.，连接OC，则为原点建立空间直角坐标系O(1,0,0)，E(0，－3，的法向量为n＝(a，b，c))·(0,23，2)＝23b，3，1)＝－a＋＝－3，的法向量可取为m＝(1,0,0)3)·(1,0,0)＝0，⊥平面ABE.－ABCD的底面是正方形P为侧棱SDEC的值；若不存在BD，设AC交BDABCD.轴，y轴，z轴正方向，建立空间直角坐SO＝62 a，D －22a，0，，SD.使BE∥平面P高中学习讲义。

1.坐标法证明线面垂直有两种思路 方法一：(1)建立空间直角坐标系； (2)将直线的方向向量用坐标表示； (3)找出平面内两条相交直线，并用坐标表示它们的方向向量； (4)分别计算两组向量的数量积，得到数量积为 0.
方法二：(1)建立空间直角坐标系； (2)将直线的方向向量用坐标表示； (3)求出平面的法向量； (4)判断直线的方向向量与平面的法向量平行. 2.使用坐标法证明时，如果平面的法向量很明显，可以用方法二，否则常常 选用方法一解决.
1 3 1 → → ＝(1,0,1)， ∴MN＝－ ， ， ， AB 1 4 4 4
1 1 → → ∴MN· AB1＝－4＋0＋4＝0. → ⊥AB → ，∴AB ⊥MN. ∴MN 1 1
利用空间向量证明两直线垂直的常用方法及步骤： 1基向量法 ①选取三个不共线的已知向量通常是它们的模及其两两夹角为已知为空 间的一个基底； ②把两直线的方向向量用基底表示； ③利用向量的数量积运算，计算出两直线的方向向量的数量积为 0； ④由方向向量垂直得到两直线垂直.
2坐标法 ①根据已知条件和图形特征，建立适当的空间直角坐标系，正确地写出各 点的坐标； ②根据所求出点的坐标求出两直线方向向量的坐标； ③计算两直线方向向量的数量积为 0； ④由方向向量垂直得到两直线垂直.
[再练一题] 1.如图 329，直四棱柱 ABCDA1B1C1D1 中，底面 ABCD 是矩形，AB＝2， AD＝1，AA1＝3，M 是 BC 的中点.在 DD1 上是否存在一点 N，使 MN⊥DC1？并 说明理由. 【导学号：37792133】
图 329
【解】 如图所示，建立以 D 为坐标原点，DA 为 x 轴，DC 为 y 轴，DD1
1 为 z 轴的坐标系，则 C1(0,2,3)，M2，2，0，D(0,0,0).设 N(0,0，h)，

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思考辨析 判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内打“√”,错误的打 “×”. (1)若两直线方向向量的数量积为0,则这两条直线一定垂直相交. (× ) (2)若一直线与平面垂直,则该直线的方向向量与平面内的所有直 线的方向向量的数量积为0. ( √ ) (3)两个平面垂直,则其中一平面内的直线的方向向量与另一平面 内的直线的方向向量垂直. ( × ) (4)确定直线的方向向量,可以用空间一个基底表示,也可以建立 空间直角坐标系,写出方向向量的坐标. ( √ ) (5)若两平面α,β的法向量分别为u1=(1,0,1),u2=(0,2,0),则平面α,β 互相垂直. ( √ )
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做一做1 直线l1,l2的方向向量分别为a=(1,2,-2),b=(-2,3,2),则 ( ) A.l1∥l2 B.l1与l2相交,但不垂直 C.l1⊥l2 D.不能确定 解析：因为a· b=0, 所以a⊥b,故l1⊥l2. 答案：C 做一做2 设平面α的法向量为(1,2,-2),平面β的法向量(-2,-4,k),若 α⊥β,则k=( ) A.2 B.-5 C.4 D.-2 解析：因为α⊥β, 所以-2-8-2k=0, 解得k=-5. 答案：B
E
1 1 , ,0 2 2
,B1(1,1,1).
(1)∵������������1 =(-1,-1,1),������������ =(-1,1,0), ∴������������1 ·������������ =(-1)×(-1)+(-1)×1+1×0=0. ∴������������1 ⊥ ������������ , ∴BD1⊥AC.
1 1
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1 3 ∵M 为 BC 中点，∴ M(4， 4 ，0)． 1 3 1 → → ∴MN ＝(－4， 4 ，4)，AB1 ＝(1，0，1)． 1 1 → → ∴MN ·AB1 ＝－ ＋0＋ ＝0. 4 4 → → ∴MN ⊥AB1 ，∴AB1⊥MN.
题型二
利用空间向量证明线面垂直
例2
如图， 正四棱柱 ABCD－ A1B1C1D1 中，
AA1＝2AB＝4，点 E 在 CC1 上且 C1E＝3EC. 证明：A1C⊥平面 BED.
【解析】
以 D 为坐标原点，射线 DA 为 x 轴的正半轴，射
线 DC 为 y 轴的正半轴，射线 DD1 为 z 轴的正半轴，建立如图所 示的空间直角坐标系 D－xyz.
依题设 B(2，2，0)，C(0，2，0)，E(0，2，1)，A1(2，0，4)． → ＝(0，2，1)，DB → ＝(2，2，0)，A → → DE C ＝ ( － 2 ， 2 ，－ 4) ， DA 1 1 ＝(2，0，4)． → → ＝0，A → → ＝0， 因为A C · DB C · DE 1 1 故 A1C⊥BD， A1C⊥DE. 又 BD∩DE＝D， 所以 A1C⊥平面 BED.
三、面面垂直 若平面 α 的法向量 u＝(a1，b1，c1)，平面 β 的法向量 v＝(a2， b2，c2)，则 α⊥β⇔________⇔________⇔________.
【答案】 u⊥v u· v＝0 a1a2＋b1b2＋c1c2＝0
题型一
利用空间向量证明线线垂直
例 1
已知正三棱柱 ABC－ A1B1C1 的各棱
→ ＝0，即 设平面 BEF 的法向量 n＝(x， y， z)，∴n· EF 3 3 (x， y，z)· (－ 4 a， 4 a，0)＝0，∴x＝ y. 3 a 3 a → 由 n· BF＝0，即(x，y，z)· (0， 2 a，2 )＝0，有 2 ay＋2 z＝0， ∴z＝－ 3y. 取 y＝1，得 n＝(1，1，－ 3)． 3 3 → →. ∵n· CD＝(1，1，－ 3)· (－ 2 a， 2 a，0)＝0，∴n⊥ CD ∴平面 BEF⊥平面 ABC.

3.2立体几何中的向量方法第二课时空间向量与垂直关系填一填空间垂直关系的向量表示设直线 l， m 的方向向量分别为 a＝ (a1， a2，a3)， b＝ (b1， b2，b3 )，平面α，β的法向量分别为 u＝ (u1， u2， u3)，v ＝ (v1， v2， v3)，则地点关系向量关系向量运算关系坐标关系l ⊥m a⊥ b a·b＝ 0a1b1＋ a2b2＋ a3b3＝ 0 l⊥ αa∥ u a＝λu，λ∈ R a ＝λu，a ＝λu，a＝λu112233α⊥ βu ⊥ v u·v＝ 0u1v1＋ u2v2＋ u3v3＝ 0判一判1.若两直线方向向量的数目积为0，则这两条直线必定垂直订交．(× )2．若向来线与平面垂直，则该直线的方向向量与平面内的全部直线的方向向量的数目积为 0.(√ )3．两个平面垂直，则此中一平面内的直线的方向向量与另一平面内的直线的方向向量垂直．(×)→4．若点 A， B 是平面α上的随意两点，n 是平面α的法向量，则AB·n＝ 0.(√ )5．若向量 n 1， n2为平面α的法向量，则以这两个向量为方向向量的两条不重合直线必定平行． (√ )6．一个平面的法向量有无穷多个，它们相互平行．(√ )7．假如一个向量与平面内两个向量垂直，则此向量是平面的一个法向量．(× )8．给定一点 A 和一个向量a，那么，过点A，以向量 a 为法向量的平面是确立的．(√ )想想1.确立直线方向向量的两种方法是什么？一是用空间一个基底表示，二是成立空间直角坐标系，写出方向向量的坐标．2．用向量法证明空间的线、面垂直关系的重点是什么？需要确立直线的方向向量和平面的法向量，而后把证明线、面的垂直关系转变为向量间的关系．3．用向量法证明线面垂直的方法及步骤是什么？(1)基向量法．①确立基向量作为空间的一个基底，用基向量表示相关直线的方向向量；②找出平面内两条订交直线的方向向量，并分别用基向量表示；③分别计算相关直线的方向向量与平面内订交直线的方向向量的数目积，依据数目积为0，证得线线垂直，而后由线面垂直的判断定理得出结论．(2)坐标法．方法一：①成立空间直角坐标系；②将直线的方向向量用坐标表示；③找出平面内两条订交直线，并用坐标表示它们的方向向量；④分别计算两组向量的数目积，获得数目积为0；方法二：①成立空间直角坐标系；②将直线的方向向量用坐标表示；③求出平面的法向量；④判断直线的方向向量与平面的法向量平行．思虑感悟：练一练1．若 n＝ (2，－ 3,1)是平面α的一个法向量，则以下向量中能作为平面α的法向量的是 ()A ． (0，－3,1)B ． (2,0,1)C． (－ 2，－ 3,1)D． ( －2,3，－ 1)答案： D2．已知两直线的方向向量分别为a， b，则以下选项中能使两直线垂直的为()A ． a＝ (1,0,0) ，b＝ (－ 3,0,0)B． a＝ (0,1,0) ，b＝ (1,0,1)C． a＝ (0,1，－ 1)， b＝ (0，－ 1,1)D． a＝ (1,0,0) ，b＝ (－ 1,0,0)答案： B3．若直线l 的方向向量为a＝ (1,0,2) ，平面α的法向量为μ＝(－2,0，－4)，则()A ． l∥ αB ．l ⊥ αC． l? α D ．l 与α斜交答案： Bl 的一个方向向量为u＝ (1，－ 3， z)，向量v ＝ (3，－4．已知直线l 与平面α垂直，直线2,1)与平面α平行，则z 等于 ()A．3 B．6C．－ 9 D．9答案： C知识点一向量法办理线线垂直问题1．已知空间三点 A(0,0,1)，B(－ 1,1,1)，C(1,2，－ 3)，若直线 AB 上一点 M，知足 CM ⊥ AB，则点 M 的坐标为 ________．→→分析：设 M(x， y， z)， AB＝ (－ 1,1,0)， AM ＝ (x， y， z－ 1)，由题意知，→ →，AM ＝ λAB ， ∴ (x ， y ， z － 1)＝ λ(－ 1,1,0) x ＝－ λ， y ＝ λ， z ＝ 1，则 M( －λ， λ， 1)．→ ∴CM ＝ (－ λ－1， λ－ 2,4)．→ →1 1 1∵CM ⊥ AB ， ∴ (－ λ－ 1) (·－ 1)＋(λ－ 2) 1·＋ 4× 0＝ 0，解得 λ＝ 2， ∴M － 2，2，1 .答案： － 1，1， 12 22．如图，△ ABC 中， AC ＝ BC ，D 为 AB 边中点， PO ⊥平面 ABC ，垂足 O 在 CD 上，求证： AB ⊥ PC.→ → →分析： 设 CA ＝ a ，CB ＝ b ， OP ＝ v .由条件知， v 是平面 ABC 的法向量，因此 v ·a ＝ 0，v ·b ＝ 0，→ 1由于 D 为 AB 中点，因此 CD ＝ 2(a ＋ b)，由于 O 在CD 上，→ → λ因此存在实数 λ，使 CO ＝ λCD ＝ 2(a ＋ b)，由于 CA ＝ CB ，因此 |a|＝ |b|，→ → λ ＋ v ＝ λ λ因此 AB ·CP ＝ (b － a) · a ＋ b2 (a ＋ b) ·(b － a)＋ (b － a) ·v ＝ 2 (|b|2－ |a|2)＋ b ·v － a ·v ＝20，→ →因此 AB ⊥ CP ，因此 AB ⊥ PC.知识点二 向量法办理线面垂直问题→ → → → →，且 BP ⊥平面3.已知 AB ＝ (1,5，－ 2) ， BC ＝ (3,1， z) ，若 AB ⊥ BC ， BP ＝ (x － 1， y ，－ 3) ABC ，则实数 x ， y ， z 分别为 ( )33 15 40 15A. 7 ，－ 7，4B.7 ，－ 7 ， 44040C. 7 ，－ 2,4 D ． 4， 7，－15→ → 分析： ∵ AB ⊥ BC ， → → ＝ 0， ∴AB ·BC即 1× 3＋ 5×1＋ (－ 2)× z ＝ 0， z ＝ 4.→∴BC ＝(3,1,4) ． ∵BP ⊥平面 ABC ，→ →BP ·AB ＝ 0，∴→ →BP ·BC ＝ 0，x－ y × 1＋ 5y＋－ 2 × － 3 ＝ 0，即3x－y ＋ y＋－ 3 × 4＝ 0，4015解得 x＝7， y＝－7 .4015综上， x＝7，y＝－7， z＝4.答案： B4．正方体 ABCD － A1B1 C1D 1的棱长为1，E，F 分别是棱 BC，DD1上的点，假如 B1E⊥平面 ABF ，则 CE 与 DF 的长度之和为 ________．分析：分别以直线 D 1 1 1 11为 x 轴， y 轴， z 轴成立空间直角坐标系，设CE ＝x，A，DC，DD→→DF ＝ y，则 E(x,1,1)，F(0,0,1 － y)，A(1,0,1) ，B1(1,1,0) ，因此 AF＝ (－ 1,0，－ y)，B1E＝ (x－1,0,1)．又→→B1E⊥平面 ABF ，因此 B1E⊥ AF，即 B1E·AF＝ 0，因此 x＋ y＝ 1.答案： 1别是知识点三向量法办理面面垂直5.在四周体ABCD 中， AB⊥平面BCD， BC＝ CD，∠ BCD ＝ 90°，∠ ADB ＝ 30°， E， F 分AC， AD 的中点，求证：平面BEF ⊥平面 ABC.证明：以 B 为原点成立如下图的空间直角坐标系，设A(0,0， a)，则易得B(0,0,0) ，C32 a，32a，0，D(0，3a,0)，E34a，3a4 a， 2，F 0，3a2 a， 2→→，故 AB＝ (0,0，－ a) ，BC＝32a，3aa， 0 .→－ az1＝ 0，n 1·AB＝ 0，设平面 ABC 的法向量为 n 1＝ (x1， y1， z1)，则即取 x1＝1，→x1＋y1＝0，n ·BC＝ 0，1∴ n 1＝ (1，－ 1,0)为平面 ABC 的一个法向量．设 n 2222＝ (x ，y， z )为平面 BEF 的一个法向量，同理可得n 2＝ (1,1，－ 3)．∵ n 1·n2＝ (1，－ 1,0) (1,1·，－6．如图，在正方体 ABCD － A1B1C1D1中， O 是3)＝ 0，∴ 平面AC 的中点， GBEF ⊥平面 ABC.是 BB 1的中点， E 是线段D 1O 上一点，且D1E＝ 2EO.求证：(1)DG ⊥ AC ；(2)DB ⊥平面 CD O ；11(3)平面 CDE ⊥平面 CD 1O.分析： 不如设正方体的棱长为1，以 DA ，DC ，DD 1 所在直线分别为 x 轴， y 轴， z 轴成立1 1如下图的空间直角坐标系，则 D (0,0,0) ，A(1,0,0) ，B 1(1,1,1) ，O 2， 2， 0 ，C(0,1,0) ，D 1(0,0,1) ，1G 1，1，2 .→ 1 →(1)∵ DG ＝ 1， 1， 2 ， AC ＝ (－ 1,1,0)，→ →→ → ∴DG ·AC ＝－ 1＋ 1＋0＝ 0， ∴DG ⊥ AC ， ∴ DG ⊥ AC.→ → → 1 1(2)DB 1＝ (1,1,1) ， CD 1＝ (0，－ 1,1)， OC ＝ －2， 2， 0 ，→ →→ → － 1＋ 1× 1＋ 1×0＝ 0 ，∵ DB 1·CD 1＝ 1×0 ＋ 1×(－ 1) ＋ 1×1＝ 0， DB 1·OC ＝ 1×2 2∴ DB 1⊥ CD 1， DB 1⊥ OC ，∵CD 1∩OC ＝ C ，∴ DB 1⊥ 平面 CD 1 O.(3)由 (2)知平面 CD 1O 的一个法向量为 →，DB 1＝ (1,1,1)→ 2 → 2 1 1 1 12∵D 1E ＝ 2EO ， ∴ D 1 E ＝ 3D 1 O ＝ 3 2，2，－ 1 ＝3，3，－3 ，→∴E11 1→11 1 ，设 n ＝ (x 1，y 1，z 1)是平面 CDE 的法向量，由n ·DE ＝ 0，→3， 3， 3 ，∴ DE ＝3， 3，3n ·DC ＝ 0 1 1 1得 3x 1＋ 3y 1＋ 3z 1＝ 0.y 1＝ 0令 x 1＝ 1，得 n ＝(1,0，－ 1)是平面 CDE 的一个法向量，→又 n ·DB 1＝ (1,0，－ 1) (1,1,1)· ＝ 1－ 1＝0，→∴n ⊥ DB 1， ∴ 平面 CDE ⊥ 平面 CD 1O.综合应用7.已知点 P 是平行四边形→→，ABCD 所在的平面外一点，假如 AB＝ (2，－ 1，－ 4)，AD＝ (4,2,0)→→→ →AP＝ (－ 1,2，－1) ．关于结论：① AP⊥ AB；② AP⊥ AD；③ AP是平面ABCD 的法向量；④ AP∥BD .此中正确的选项是 ________(填序号 )．→ →分析：AP ·AB＝ (－ 1,2,1) (2，·－ 1，－ 4)＝－ 1×2＋ 2× (－ 1)＋ (－ 1)× (－4)＝0，∴ AP⊥ AB，→ →(4,2,0)·＝ (－ 1)× 4＋ 2× 2＋ (－ 1)× 0＝ 0.∴AP ⊥ AD，即②正即①正确 .AP·AD ＝ (－ 1,2，－ 1)→→确．又∵AB ∩AD＝ A，∴ AP ⊥平面 ABCD ，即 AP是平面 ABCD 的一个法向量，③正确．∵AP→→是平面 ABCD 的法向量，∴ AP⊥ BD ，④不正确．答案：①②③8．在直角坐标系 O－ xyz 中，已知点 P(2cos x＋ 1,2cos 2x＋ 2,0)和点 Q(cos x，－ 1,3)，此中x∈ [0，π]，若直线 OP 与直线 OQ 垂直，则 x 的值为 ________．→→分析：由 OP⊥ OQ，得 OP·OQ＝0.即(2cos x＋ 1) cos· x＋(2cos 2x＋ 2) ·(－ 1)＝0.1∴cos x＝ 0 或 cos x＝2.ππ∵x∈[0，π]，∴ x＝2或 x＝3.π π答案：2或3基础达标一、选择题1．若平面α，β的法向量分别为m＝－1，1，－ 1， n ＝1，－ 1，3，则 () 632A ．α∥ β B．α⊥ βC．α与β订交但不垂直D．α∥ β或α与β重合分析：∵ n＝－ 3m，∴ m∥ n，∴ α∥ β或α与β重合．答案： D2．已知平面α内有一个点 A(2，－ 1,2)，α的一个法向量为n ＝ (3,1,2) ，则以下点 P 中，在平面α内的是 ()A ． (1，－ 1,1) B. 1， 3，3C. 1，－ 3，323D.－ 1， 3，－22分析：若点 P在平面α内，则→→→PA⊥α，即 PA·n＝ 0.关于选项 A ， PA＝ (1,0,1)，则 PA·n＝→1→1(1,0,1) (3,1,2)·＝ 5≠ 0，故清除 A ；关于选项 B，PA＝ 1，－ 4，2，则PA·n＝1，－ 4，2·(3,1,2)＝0，故 B 正确；同理可清除 C、 D.答案： B3．在正方体 ABCD － A B C D中，棱长为a，M ，N 分别为 A B， AC 的中点，则 MN 与11111平面 BB1C1C 的地点关系是 ()A ．订交B ．平行C ．垂直D ．不可以确立分析： 建系如图，设正方体的棱长为 2，→则 A(2,2,2) ， A 1 (2,2,0) ，C(0,0,2) ， B(2,0,2) ， ∴ M(2,1,1) ， N(1,1,2) ， ∴ MN ＝ (－ 1,0,1) ． 又平面 BB 1C 1C 的一个法向量为n ＝(0,1,0) ，∵－ 1× 0＋0× 1＋ 1×0＝ 0，→ ∴MN ⊥ n ，∴ MN ∥ 平面 BB 1C 1C.应选 B. 答案： B→是平面 ABCD 的法向量，则以低等式中可能不可立的是( )4．在菱形 ABCD 中，若 PA→ → → →＝ 0A. PA ·AB ＝ 0B. PC ·BD → → → →＝ 0C.PC ·AB ＝ 0D.PA ·CD 分析： ∵ PA ⊥ 平面 ABCD ， ∴ BD ⊥ PA. 又∵ AC ⊥ BD ， ∴ PC ⊥ BD .应选项 B 正确，选项 A 和 D 明显成立．应选 C. 答案： C5．已知点 A(0,1,0) ，B(－ 1,0，－ 1)，C(2,1,1)， P(x,0，z) ，若 PA ⊥平面 ABC ，则点 P 的坐标为() A ． (1,0，－ 2) B ． (1,0,2)C ． (－ 1,0,2)D ． (2,0，－ 1)分析： 由题意知 → → →AB ＝ (－ 1，－ 1，－ 1)，AC ＝(2,0,1) ， AP ＝(x ，－ 1，z)，又由于 PA ⊥ 平面 → → ＝(－ 1，－ 1，－ 1) (x ·，－ 1， z)＝ 0，得－ x ＋ 1－ z ＝ 0 ① .ABC ，因此有 AB ·AP→ →＝ (2,0,1) (x ，·－ 1， z)＝ 0，得 2x ＋ z ＝ 0 ② ，AC ·AP联立 ①② 得 x ＝－ 1， z ＝ 2，故点 P 的坐标为 (－ 1,0,2)． 答案： C6．四菱锥 P － ABCD 中，底面 ABCD 是平行四边形，→ →，AB ＝(2，－ 1，－ 4)， AD ＝ (4,2,0) → ＝ (－ 1,2，－ 1) ，则直线 PA 与底面 ABCD 的关系是 ()APA ．平行B ．垂直C ．在平面内D ．成 60°角→ →分析： ∵ AB ·AP ＝ 2× (－ 1)＋ 2×(－ 1)＋ (－1)× (－ 4)＝ 0，→ →AD ·AP ＝ 4× (－ 1)＋ 2× 2＋ 0× (－ 1)＝0.又∵ AB? 底面 ABCD ， AD? 底面 ABCD ， AB ∩ AD ＝A ，∴AP ⊥底面 ABCD .应选 B.答案： B217．在正方体 ABCD －A 1B 1C 1D 1 中， E ，F 分别在 A 1D ，AC 上，且A 1E ＝3A 1D ，AF ＝ 3AC ，则 ()A ． EF 至多与 A 1D ， AC 中的一个垂直B ． EF ⊥ A D ， EF ⊥ AC1C ．EF 和 BD 1订交 D ．EF 与 BD 1异面→ →→分析： 以点 D 为坐标原点，分别以 DA ， DC ， DD 1的方向为 x 轴、 y 轴、 z 轴的正方向建立空间直角坐标系，1 12 1设正方体的棱长为1，则 A 1(1,0,1) ，D (0,0,0) ，A(1,0,0) ，C(0,1,0) ，E 3， 0，3 ，F 3，3，0 ，B(1,1,0) ，D 1(0,0， 1)，→→则A D ＝ (－1,0，－ 1)， AC ＝( － 1,1,0)，1→ 1 1 1 →EF ＝ 3，3，－ 3 ，BD 1 ＝(－1，－ 1,1)，→1 →→ →→ →EF ＝－3BD ，A D ·EF ＝ 0，AC ·EF ＝ 0，11进而 EF ∥ BD 1， EF ⊥ A 1D ， EF ⊥ AC ，应选 B. 答案： B8．在正方体 ABCD － A 1B 1C 1D 1 中，若 E 为 A 1C 1 的中点，则直线 CE 垂直于 ()A ．ACB ． BDC ． A 1D D ． A 1A分析： 成立如下图的空间直有坐标系．设正方体的棱长为1.1 1则 A(1,0,0) ， B(1,1,0) ， C(0,1,0) ，D (0,0,0) ，A 1(1,0,1) ， C 1(0,1,1) ， E 2， 2， 1 ，→1 1 →→ → → ∴CE ＝ 2，－ 2， 1 ，AC ＝ (－ 1,1，0)，BD ＝ (－ 1，－1,0)，A 1D ＝ (－ 1,0，－ 1)，A 1A ＝ (0,0，－ 1)．→ →1 ＋(－ 1)× － 1 ＋ 0× 1＝ 0， ∴ CE ⊥ BD. ∵CE ·BD ＝ (－ 1)×2 2答案： B 二、填空题9．两平面 α、β的法向量分别为 μ＝ (3，－ 1， z)， v ＝( － 2，－ y ， 1)，若 α⊥ β，则 y ＋ z 的值是 ________．分析： α⊥ β? μ·v ＝ 0? － 6＋ y ＋ z ＝ 0，即 y ＋ z ＝ 6. 答案： 610．已知 A ，B ， C 三点的坐标分别为A(4,1,3) ， B(2，－ 5,1)，C(3,7， λ)，若 AB ⊥ AC ，则λ＝ ________.→ → → →分析： ∵ AB ＝ (－ 2，－ 6，－ 2)， AC ＝ ( － 1,6， λ－ 3)， AB ·AC ＝ 2－ 36－ 2(λ－ 3)＝ 0， ∴λ＝－ 14.答案： － 1411．已知点 A ，B ，C 的坐标分别为 (0,1,0) ， (－ 1,0,1)， (2,1,1) ，点 P 的坐标为 ( x,0， z)，若→ → → → PA ⊥ AB ，PA ⊥ AC ，则点 P 的坐标为 ________．→ → → → → → →＝ 0， 分析： PA ＝ (－ x,1，－ z)，AB ＝ (－ 1，－ 1,1) ， AC ＝ (2,0,1) ，∵ PA ＝ 0，PA·AB ·AC x －1－ z ＝ 0， ∴－ 2x － z ＝ 0，∴ x ＝13， z ＝－ 23.答案： 1， 0，－ 23 312．若正三菱锥 P － ABC 侧面相互垂直，则棱锥的高与底面边长之比为 ________．分析： 设高为 h ，底边长为 1，成立如下图的空间直角坐标系，则点P(0,0 ， h)，33 1 3 1→3 → 3 1A 3 ，0，0 ，B － 6 ，2，0，C －6，－ 2， 0 ，PA ＝ 3 ， 0，－ h ，PB ＝ － 6 ， 2，－ h ，→ 3 111PC ＝ － 6 ，－ 2，－ h ，得平面 PAB ， PAC 的法向量分别为3， 3，h ， 3，－ 3， h ，则1 63－ 9＋ h 2＝0，解得 h ＝ 6.答案： 6 6 三、解答题 13.CC 如下图，正三棱柱 (底面为正三角形的直三棱柱)ABC － A 1B 1C 1 的全部棱长都为 2，D 为的中点．求证： AB⊥平面 A BD.111证明： 如下图，取 BC 的中点 O ，连结 AO.由于 △ ABC 为正三角形，因此 AO ⊥ BC.由于在正三棱柱 ABC － A 1B 1C 1 中，平面 ABC ⊥ 平面 BCC 1B 1，因此 AO ⊥ 平面 BCC 1B 1.→ → →取 B 1C 1 的中点 O 1 ，以 O 为原点，分别为 OB ，OO 1，OA 所在直线为 x 轴， y 轴， z 轴成立空间直角坐标系，则 B(1,0,0) ， D(－ 1,1,0)， A 1 (0,2， 3)， A(0,0， 3)， B 1(1,2， 0)．设平面 A 1BD 的法向量为 n ＝ (x ， y ， z)， → →BA 1＝ (－ 1,2， 3)， BD (－ 2,1,0)．→ →由于 n ⊥ BA 1， n ⊥BD ，→－x ＋ 2y ＋ 3z ＝ 0， n ·BA 1＝ 0，故 ?→ － 2x ＋ y ＝ 0， n ·BD ＝ 0， 令 x ＝ 1，则 y ＝2， z ＝－ 3，故 n ＝ (1,2，－ 3)为平面 A 1BD 的一个法向量，→3)，而AB 1＝ (1,2，－ → →因此 AB 1＝n ，因此 AB 1∥ n ，故 AB 1⊥ 平面 A 1BD . 14.如图，在三棱锥 P －ABC 中，三条侧棱 PA ，PB ， PC 两两垂直，且 PA ＝ PB ＝PC ＝ 3， G 是△ PAB 的重心， E ， F 分别是 BC ， PB 上的点，且 BE EC ＝PF FB ＝1 2.(1)求证：平面 GEF ⊥平面 PBC ；(2)求证： EG 与直线 PG 及直线 BC 都垂直．证明： (1) 如图，以三棱锥的极点 P 为坐标原点，以PA ，PB ， PC 所在的直线分别为y 轴、 z 轴成立空间直角坐标系P － xyz.x 轴、则 A(3,0,0) ， B(0,3,0) ， C(0,0,3) ，E(0,2,1) ， F(0,1,0) ，G(1,1,0) ，P(0,0,0) ．→ →于是 EF ＝ (0，－ 1，－ 1)， EG ＝ (1，－ 1，－ 1)．→ n ⊥ EF设平面GEF的法向量是n ＝ (x ， y ，z)，则，→n ⊥ EGy ＋z ＝ 0∴，可取 n ＝(0,1，－ 1)．x －y － z ＝ 0 →明显 PA ＝ (3,0,0) 是平面 PBC 的一个法向量．→ →又 n ·PA ＝0， ∴ n ⊥ PA ，即平面 PBC 的法向量与平面 GEF 的法向量垂直，∴平面 GEF ⊥平面 PBC.→ → → → → → →(2)由 (1)，知 EG ＝ (1，－ 1，－ 1)，PG ＝(1,1,0) ， BC ＝ (0，－ 3,3) ，∴EG ·PG ＝ 0，EG ·BC ＝0， ∴ EG ⊥PG ， EG ⊥ BC ， ∴EG 与直线 PG 及直线 BC 都垂直 .能力提高15．如图，在四棱锥 P － ABCD 中， PD ⊥底面 ABCD ，底面 ABCD 为正方形， PD ＝DC ，E ，F 分别是 AB ，PB 的中点．(1)求证： EF ⊥CD ； (2)在平面 PAD 内求一点 G ，使 GF ⊥平面 PCB ，并证明你的结论．分析： (1) 证明：以DA ，DC ， DP所在的直线分别为x 轴、 y 轴、 z 轴成立空间直角坐示系 (如图 )，aa a a→设 AD ＝a ，则 D (0,0,0) ，B(a ，a,0)，C(0 ，a,0)，E a ，2， 0 ，P(0,0，a)，F 2，2，2 ，∴ EFa a → → → a a＝ － 2，0， 2 ，DC ＝ (0， a,0)， ∴EF ·DC ＝ －2， 0， 2 ·(0， a,0)＝0， ∴ EF ⊥ CD.(2)∵ G ∈ 平面 PAD ，设 G(x,0， z)，→ a a a∴FG ＝ x － 2，－ 2， z － 2.→→由(1) ，知 CB ＝( a,0,0)， CP ＝ (0，－ a ，a)．由题意，要使 GF ⊥ 平面 PCB ，→ → a a a a → → aaa只要 FG ·CB ＝ x － 2，－2， z － 2 ·(a,0,0)＝ a x － 2 ＝ 0， FG ·CP ＝ x － 2，－ 2， z － 2 ·(0，a 2 a－ a ， a)＝ 2 ＋a z － 2 ＝ 0，∴x ＝aa2， 0， 0 ，即点 G 为 AD 的中点．2， z ＝ 0.∴点 G 的坐标为16．如图，在直三棱柱 ABC － A B C中，∠ BAC ＝90°， AB ＝ AC ＝ a ， AA ＝ b ，点 E ， F1 1 11分别在棱 11 b ，当平面 AEF ⊥平面 A 1EF 时，求 λBB 1，CC 1 上，且 BE ＝ BB 1，C 1F ＝ CC 1.设 λ＝33a的值．分析： 成立如下图的空间直角坐标系Axyz.则由题意可知 A(0,0,0) ， b2b E a ， 0，3， F 0， a ，3 ，→ 故AE ＝b a ， 0， 3 ，→2b AF ＝ 0， a ， 3.设平面 AEF 的法向量为 n 1＝ (x ， y ， z)，→ →＝ 0，则 n 1·AE ＝ 0，且 n 1·AF bz 2bz 即 ax ＋ 3 ＝ 0，且 ay ＋3 ＝0.b2b令 z ＝1，得 x ＝－ 3a ， y ＝－ 3a .b 2b λ2λ故 n 1＝ － 3a ，－ 3a ， 1 ＝ － 3，－ 3 ， 1 .同理可得平面 A 1的一个法向量为EF2b b2λ λn 2＝ 3a ， 3a ， 1 ＝ 3 ， 3， 1 .∵平面 AEF ⊥ 平面 A 1EF ， ∴ n 1·n 2＝ 0.22∴－ 2λ－2λ＋ 1＝0，解得 λ＝ 3(负值舍去 )．9 9 23.∴当平面 AEF ⊥平面 A 1 EF 时， λ＝2。

∵ 1 ·1 = (−, , −)·(a,x-a,-a)=-ax+ax-a2+a2=0,
∴ 1 ⊥ 1 , 即A1F⊥C1E.
典例透析
题型一
题型二
题型三
证明线面垂直
【例2】 如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,O为AC与BD的交
点,G为CC1的中点,求证:A1O⊥平面GBD.
1 1 = (−1, −1,0), = (−2, −2,0),
∴ = 21 1 , = 21 1 ,
∴A1C1 与 AC 共面,B1D1 与 BD 共面.
典例透析
题型一
题型二
题型三
(2)1 · = (0,0,2)·(-2,2,0)=0, · = (2,2,0)·(-2,2,0)=0.
2 2
= 0, · = 0,
因此 CE⊥AM,CE⊥AD.
又 AM∩AD=A,∴CE⊥平面 AMD.
又 CE⊂平面 CED,
∴平面 AMD⊥平面 CED.
反思证明面面垂直通常有两种方法,一是利用面面垂直的判定定理
转化为线面垂直、线线垂直去证明;二是证明两个平面的法向量互
相垂直.
典例透析
题型一
典例透析
题型一
题型二
题型三
证明面面垂直
【例 3】 如图,在五面体 ABCDEF 中,FA⊥平面 ABCD,AD∥BC∥
FE,AB⊥AD,M 为 EC 的中点,AF=AB=BC=FE=
1
.
2
求证:平面 AMD⊥平面 CDE.
分析:因为FA⊥平面ABCD,
所以可以以点A为坐标原点建立空间直角坐标系.
从而证得结论.
典例透析
题型一

一、选择题1．(2013·东营高二检测)已知平面α的法向量为a ＝(1,2，－2)．平面β的法向量为b ＝(－2，－4，k )，若α⊥β，则k ＝( )A ．4B ．－4C ．5D ．－5【解析】 ∵α⊥β，∴a ⊥b ，∴a ·b ＝－2－8－2k ＝0∴k ＝－5.【答案】 D2．(2012·青岛高二检测)在菱形ABCD 中，若PA →是平面ABCD 的法向量，则以下等式中可能不成立的是( )A.PA →⊥AB → B .PA →⊥CD →C.PC →⊥BD →D.PC →⊥AB →【解析】 由题意知PA ⊥平面ABCD ，所以PA 与平面上的线AB 、CD 都垂直，A 、B 正确；又因为菱形的对角线互相垂直，可推得对角线BD ⊥平面PAC ，故PC ⊥BD ，C 选项正确．【答案】 D3．已知平面α内的三点A (0,0,1)，B (0,1,0)，C (1,0,0)，平面β的一个法向量为n ＝(－1，－1，－1)，且β与α不重合，则( )A ．α∥βB ．α⊥βC ．α与β相交不垂直D ．以上都不对【解析】 AB →＝(0,1，－1)，AC →＝(1,0，－1)，∴n ·AB →＝0，n ·AC→＝0，∴n ⊥AB →，n ⊥AC →，故n 也是α的一个法向量，又∵α与β不重合，∴α∥β.【答案】 A4．已知AB →＝(1,5，－2)，BC →＝(3,1，z )，若AB →⊥BC →，BP →＝(x －1，y ，－3)，且BP ⊥平面ABC ，则实数x ，y ，z 分别为( )A.337，－157，4B.407，－157，4C.407，－2,4 D ．4，407，－15【解析】 ∵AB →⊥BC →，∴AB →·BC →＝0，即3＋5－2z ＝0，得z ＝4，又BP ⊥平面ABC ，∴BP →⊥AB →，BP →⊥BC →，则⎩⎨⎧ (x －1)＋5y ＋6＝0，3(x －1)＋y －12＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝407，y ＝－157.【答案】 B 5．平面上有四个互异的点A ，B ，C ，D ，已知(DB →＋DC →－2DA →)·(AB→－AC →)＝0，则△ABC 的形状是( )A ．直角三角形B ．等腰三角形C ．等腰直角三角形D ．等边三角形【解析】 (DB →＋DC →－2DA →)·(AB →－AC →)＝(DB →－DA →＋DC →－DA →)·CB →＝(AB →＋AC →)·CB →＝0，故△ABC 为等腰三角形．【答案】 B二、填空题6．直线l 1与l 2的方向向量分别为a 1，a 2，若a 1⊥a 2，则l 1与l 2的位置关系为________．【解析】 两直线的方向向量垂直，这两条直线也垂直．【答案】 垂直7．(2013·吉林高二检测)已知直线l 与平面α垂直，直线l 的一个方向向量u ＝(1，－3，z )，向量v ＝(3，－2,1)与平面α平行，则z ＝________.【解析】 由题意知u ⊥v ，∴u ·v ＝3＋6＋z ＝0，∴z ＝－9.【答案】 －98．已知点P 是平行四边形ABCD 所在的平面外一点，如果AB →＝(2，－1，－4)，AD →＝(4,2,0)，AP →＝(－1,2，－1)．对于结论：①AP⊥AB ；②AP ⊥AD ；③AP →是平面ABCD 的法向量；④AP →∥BD →.其中正确的是________．【解析】 ∵AB →·AP →＝0，AD →·AP →＝0，∴AB ⊥AP ，AD ⊥AP ，则①②正确．又AB →与AD →不平行，∴AP →是平面ABCD 的法向量，则③正确．由于BD →＝AD →－AB →＝(2,3,4)，AP →＝(－1,2，－1)，∴BD →与AP →不平行，故④错误．【答案】 ①②③三、解答题图3－2－159．如图3－2－15，已知正方形ABCD 和矩形ACEF 所在的平面互相垂直，AB ＝2，AF ＝1，M 是线段EF 的中点．求证：AM ⊥平面BDF .【证明】 以C 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则A (2，2，0)，B (0，2，0)，D (2，0,0)，F (2，2，1)，M (22，22，1)．所以AM →＝(－22，－22，1)，DF →＝(0，2，1)，BD →＝(2，－2，0)．设n ＝(x ，y ，z )是平面BDF 的法向量，则n ⊥BD →，n ⊥DF →， 所以⎩⎪⎨⎪⎧ n ·BD →＝2x －2y ＝0，n ·DF →＝2y ＋z ＝0⇒⎩⎨⎧ x ＝y ，z ＝－2y ，取y＝1，得x＝1，z＝－ 2. 则n＝(1,1，－2)．因为AM→＝(－22，－22，1)．所以n＝－ 2 AM→，得n与AM→共线．所以AM⊥平面BDF.图3－2－1610．在四面体ABCD中，AB⊥面BCD，BC＝CD，∠BCD＝90°，∠ADB＝30°，E、F分别是AC、AD的中点，求证：平面BEF⊥平面ABC.【证明】建立如图所示空间直角坐标系，取A(0,0，a)，由∠ADB ＝30°，可得D(0，3a,0)，C(32a，32a,0)，B(0,0,0)，E(34a，34a，a2)，F(0，32a，a2)，∴EF→＝(－34a，34a,0)，BA→＝(0,0，a)，BC →＝(32a ，32a,0)，∴EF →·BA →＝0，EF →·BC →＝0，∴EF ⊥AB ，EF ⊥BC ，∴EF ⊥面ABC ，又EF ⊂面BEF ，∴面BEF ⊥面ABC .11．在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 为棱CC 1上的动点，(1)求证：A 1E ⊥BD ；(2)若平面A 1BD ⊥平面EBD ，试确定E 点的位置．【解】 (1)证明 分别以DA ，DC ，DD 1所在直线为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系，设正方体棱长为a .依题意可得，A (a,0,0)，B (a ，a,0)，C (0，a,0)，A 1(a,0，a )，C 1(0，a ，a )．设E (0，a ，e )．A 1E →＝(－a ，a ，e －a )，又BD →＝(－a ，－a,0)， ∴A 1E →·BD →＝a 2－a 2＝0.∴A 1E →⊥BD →，即A 1E ⊥BD .(2)E 为CC 1的中点，证明如下：设BD 的中点为O ，连结A 1O ，OE .则O (a 2，a 2，0)，OE →＝(－a 2，a 2，e )，OA 1→＝(a 2，－a 2，a )． ∵A 1B ＝A 1D ，O 为BD 中点，∴A 1O ⊥BD .又平面A 1BD ⊥平面EBD ，∴A 1O ⊥平面EBD .∴A 1O ⊥OE .又BD →＝(－a ，－a,0)，则OA 1→·BD →＝0，OA 1→·OE →＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧ －a 22＋a 22＝0－a 24－a 24＋ae ＝0，∴e ＝a 2.∴当E 为CC 1的中点时，能使平面A 1BD ⊥平面EBD .。

技能演练基础强化1．在空间直角坐标系中，平面xOz的一个法向量是()A．(1,0,0)B．(0,1,0)C．(0,0,1) D．(0,1,1)答案 B2．平面α的一个法向量为(1,2,0)，平面β的一个法向量为(2，－1,0)，则平面α与平面β的关系是()A．平行B．相交但不垂直C．相交且垂直D．无法判定答案 C3．在空间四边形ABCD中，E，F分别是AB，BC的中点，则AC与平面DEF的位置关系是()A．平行B．相交C．在平面内 D．不能确定解析如图所示，易知EF∥AC，又AC⊄平面DEF，EF⊂平面DEF，∴AC∥平面DEF.答案 A4．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，若E为A1C1的中点，则直线CE垂直于()A．AC B．BDC．A1D D．A1A解析如图，∵B1D1⊥CC1，B1D1⊥A1C1，又CC1∩A1C1＝C1，∴B1D1⊥平面AA1C1C，而CE⊂平面AA1C1C.∴B1D1⊥CE，又B1D1∥BD.∴CE⊥BD.答案 B5．平面ABC中，A(0,1,1)，B(1,2,1)，C(－1,0，－1)，若a＝(－1，y，z)，且a为平面ABC的法向量，则y2等于()A ．2B ．0C ．1D ．无意义解析 AB →＝(1,2,1)－(0,1,1)＝(1,1,0)AC →＝(－1,0，－1)－(0,1,1)＝(－1，－1，－2)又a ＝(－1，y ，z )为平面ABC 的法向量，∴a ⊥AB →，a ⊥AC →.∴a ·AB →＝0，a ·AC →＝0.∴⎩⎨⎧ －1＋y ＝0，1－y －2z ＝0，∴y ＝1，y 2＝1.答案 C 6．若直线l 的方向向量a ＝(－2,3,1)，平面α的一个法向量n ＝(4,0,8)，则直线l 与平面α的位置关系是________．解析 ∵a ·n ＝(－2)×4＋3×0＋8×1＝0，∴a ⊥n ，∴l ⊂α，或l ∥α.答案 l ⊂α或l ∥α能 力 提 升7．在正方体AC 1中，O ，M 分别是DB 1，D 1C 1的中点． 证明：OM ∥BC 1.证明 如图，以D 为原点，分别以DA ，DC ，DD 1为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系D －xyz .设正方体的棱长为2，则O (1,1,1)，M (0,1,2)，B (2,2,0)，C 1(0,2,2)， OM →＝(－1,0,1)，BC 1→＝(－2,0,2)，∴OM →＝12BC 1→，∴OM →∥BC 1→.又O ∉平面B 1BCC 1，∴OM ∥BC 1.8．在棱长为a 的正方体OABC －O 1A 1B 1C 1中，E ，F 分别是AB ，BC 上的动点，且AE ＝BF ，求证：A 1F ⊥C 1E .证明 以O 为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系，则A 1(a,0，a )，C 1(0，a ，a )．设AE ＝BF ＝x ，∴E (a ，x,0)，F (a －x ，a,0)．∴A 1F →＝(－x ，a ，－a )，C 1E →＝(a ，x －a ，－a )．∵A 1F →·C 1E →＝(－x ，a ，－a )·(a ，x －a ，－a )＝－ax ＋ax －a 2＋a 2＝0.∴A 1F →⊥C 1E →，即A 1F ⊥C 1E .9．如图所示，在平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E ，F ，G 分别是A 1D 1，D 1D ，D 1C 1的中点．求证：平面EFG ∥平面AB 1C .证明 设AB →＝a ，AD →＝b ，AA 1→＝c ，则EG →＝ED 1→＋D 1G →＝12A 1D 1→＋12D 1C 1→＝12b ＋12a ，而AC →＝AB →＋AD →＝a ＋b∴AC →＝2EG →，故AC →∥EG →.即EG ∥AC .又EF →＝ED 1→＋D 1F →＝12A 1D 1→＋12D 1D →＝12b －12c ，而B 1C →＝B 1C 1→＋C 1C →＝b －c ＝2EF →∴EF →∥B 1C →，即EF ∥B 1C .又EG ∩EF ＝E ，AC ∩B 1C ＝C ，∴平面EFG ∥平面AB 1C .品 味 高 考10．如图在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AC ＝3，BC ＝4，AB ＝5，AA 1＝4，点D 是AB 的中点，求证：AC 1∥平面CDB 1.证明 因直三棱柱ABC －A 1B 1C 1底面三边长AC ＝3，BC ＝4，AB ＝5，所以AC 2＋BC 2＝AB 2.所以AC ⊥BC ，所以AC ，BC ，C 1C 两两垂直，以C 为坐标原点，直线CA ，CB ，CC 1分别为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系，则C (0,0,0)，A (3,0,0)，C 1(0,0,4)，B (0,4,0)，B 1(0,4,4)，D (32，2,0)．设CB 1与C 1B 的交点为E ，连接DE 则E (0,2,2)，因DE →＝(－32，0,2)，AC 1→＝(－3,0,4)．所以DE →＝12AC 1→，所以DE →∥AC 1→，又DE 与AC 1不共线，所以DE∥AC 1，因DE ⊂平面CDB 1，AC 1⊄平面CDB 1.所以AC 1∥平面CDB 1.。