21同角三角函数的关系及诱导公式

同角三角函数的基本关系与诱导公式考点与提醒归纳1.同角三角函数的基本关系：在一个单位圆上，以原点为中心，作出一个角度为θ的角。

那么，角θ的终边与单位圆交于一点P，点P的坐标可以表示为(Px,Py)。

根据三角函数的定义，可以得到以下关系：(1) 正弦函数（sin）：sinθ = Py(2) 余弦函数（cos）：cosθ = Px(3) 正切函数（tan）：tanθ = Py / Px2.诱导公式：诱导公式是利用同角三角函数的基本关系，通过一些简单的代数运算推导出来的公式。

下面是一些常用的诱导公式：（1）tanθ = sinθ / cosθ -> sinθ = tanθ * cosθ（2）tanθ = py / Px -> Py = tanθ * Px（3）cotθ = 1 / tanθ -> cotθ = cosθ / sinθ（4）secθ = 1 / cosθ -> secθ = 1 / cosθ（5）cscθ = 1 / sinθ -> cscθ = 1 / Py3.开放、诱导角的关系：开放角和诱导角是同角三角函数中的两个重要概念。

（1）开放角：开放角是指角θ的终边所在的象限。

根据角度θ所在的象限，可以确定sinθ、cosθ、tanθ的正负关系。

（2）诱导角：角θ的终边与x轴正半轴之间的夹角记为θ0，称为角θ的诱导角。

根据θ0所在的象限，可以确定sinθ0、cosθ0、tanθ0的值。

4.注意事项：（1）需要记住各个象限中正弦函数、余弦函数、正切函数的正负关系。

通过画图和思考可以帮助记忆。

（2）要掌握正弦函数、余弦函数、正切函数在不同象限中的取值范围，充分理解诱导角与开放角的关系。

（3）熟练掌握诱导公式，能够熟练地根据一个三角函数的值求得其他三个函数的值。

（4）在解决实际问题和解题时，要善于利用诱导公式将一个三角函数转化为其他三个函数，以便更好地解题。

总之，同角三角函数的基本关系与诱导公式是学习三角函数的重要内容，掌握和理解好这一知识点对后续学习和解题非常有帮助。

2021年新高考数学总复习第四章《三角函数、解三角形》同角三角函数基本关系式及诱导公式1．同角三角函数的基本关系 (1)平方关系：sin 2α＋cos 2α＝1.(2)商数关系：sin αcos α＝tan α⎝⎛⎭⎫α≠π2＋k π，k ∈Z . 2．三角函数的诱导公式 公式 一 二 三 四 五 六 角 2k π＋α(k ∈Z )π＋α －α π－α π2－α π2＋α 正弦 sin α －sin α －sin α sin α cos α cos α 余弦 cos α －cos α cos α －cos α sin α －sin α 正切 tan αtan α－tan α－tan α口诀 函数名不变，符号看象限 函数名改变，符号看象限概念方法微思考1．使用平方关系求三角函数值时，怎样确定三角函数值的符号？ 提示 根据角所在象限确定三角函数值的符号．2．诱导公式记忆口诀：“奇变偶不变，符号看象限”中的奇、偶是何意义？提示 所有诱导公式均可看作k ·π2±α(k ∈Z )和α的三角函数值之间的关系，口诀中的奇、偶指的是此处的k 是奇数还是偶数．题组一 思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)若α，β为锐角，则sin 2α＋cos 2β＝1.( × )(2)若α∈R ，则tan α＝sin αcos α恒成立．( × )(3)sin(π＋α)＝－sin α成立的条件是α为锐角．( × ) (4)若sin(k π－α)＝13(k ∈Z )，则sin α＝13.( × )题组二 教材改编 2．若sin α＝55，π2<α<π，则tan α＝ . 答案 －12解析 ∵π2<α<π，∴cos α＝－1－sin 2α＝－255，∴tan α＝sin αcos α＝－12.3．已知tan α＝2，则sin α＋cos αsin α－cos α的值为 ．答案 3解析 原式＝tan α＋1tan α－1＝2＋12－1＝3.4．化简cos ⎝⎛⎭⎫α－π2sin ⎝⎛⎭⎫5π2＋α·sin(α－π)·cos(2π－α)的结果为 ．答案 －sin 2α解析 原式＝sin αcos α·(－sin α)·cos α＝－sin 2α.题组三 易错自纠5．已知sin θ＋cos θ＝43，θ∈⎝⎛⎭⎫0，π4，则sin θ－cos θ的值为 ． 答案 －23解析 ∵sin θ＋cos θ＝43，∴sin θcos θ＝718.又∵(sin θ－cos θ)2＝1－2sin θcos θ＝29，θ∈⎝⎛⎭⎫0，π4， ∴sin θ－cos θ＝－23. 6．(2018·成都诊断)已知α为锐角，cos ⎝⎛⎭⎫32π＋α＝45，则cos(π＋α)＝ .。

同角三角函数的基本关系与诱导公式1．同角三角函数的基本关系(1)平方关系：sin 2α＋cos 2α＝1；(2)商数关系：sin αcos α＝tan α.2．诱导公式公式一：sin(α＋2k π)＝sin α，cos(α＋2k π)＝cos α，其中k ∈Z.公式二：sin(π＋α)＝－sin α，cos(π＋α)＝－cos α，tan(π＋α)＝tan α. 公式三：sin(－α)＝－sin α，cos(－α)＝cos α.公式四：sin(π－α)＝sin α，cos(π－α)＝－cos α.公式五：sin ）（απ-2＝cos α，cos ）（απ-2＝sin α. 公式六：sin ）（απ+2cos α，cos ）（απ+2＝－sin α. 一个口诀：诱导公式的记忆口诀为：（απ±2k ）奇变偶不变，符号看象限． 三种方法在求值与化简时，常用方法有：(1)弦切互化法：主要利用公式tan α＝sin αcos α化成正、余弦．(2)和积转换法：利用(sin θ±cos θ)2＝1±2sin θcos θ的关系进行变形、转化．(3)巧用“1”的变换：1＝sin 2θ＋cos 2θ＝cos 2θ(1＋tan 2θ)＝tan π4＝….一、已知某角的一个三角函数值，求其它三角函数值 例1：① 已知sinA=23, A 为第二象限的角，求cosA ，tanA 的值；②已知cosA=23, A 为第四象限的角，求sinA ，tanA 的值；③已知α∈⎝⎛⎭⎫π，3π2，tan α＝2，则cos α＝________；二、由某角的正切值求该角关于正弦余弦的三角函数式的值例 2：已知tan α=2,求:(1)4sin 2cos 5sin 3cos αααα-+;(2)2222sin 2sin cos cos 4cos 3sin 1αααααα---+;(3)25sin 3sin cos 2ααα+-变式(1)已知tan α＝13，求12sin αcos α＋cos 2α的值；三、关于某角的正弦与余弦之和，正弦与余弦之差，正弦与余弦之积，知一求二例3： 已知－π2<x <0，sin x ＋cos x ＝15①求sinxcosx 的值， ②求sinx+cosx 的值③求sin 2x －cos 2x 的【试一试】 (1)若α为三角形的一个内角，且sin α＋cos α＝23，则这个三角形是( )A ．正三角形B ．直角三角形C ．锐角三角形D ．钝角三角形（2）已知sin θ＋cos θ＝713，θ∈(0，π)，则tan θ＝________.四、利用诱导公式求值，化简例4： 已知sin）（2πα+＝－55，α∈(0，π)． (1)求)3cos()sin()23cos()2sin(απαπαππα++-+--的值； (2)求cos ）（απ-65的值．(2)已知sin α是方程5x 2－7x －6＝0的根，α是第三象限角， 则sin (－α－32π)cos (32π－α)cos (π2－α)sin (π2＋α)·tan 2(π－α)＝________.专项基础训练一、选择题1．已知α和β的终边关于直线y ＝x 对称，且β＝－π3，则sin α等于( )A ．－32B.32C ．－12 D.12 2． cos(－2 013π)的值为( ) A.12B ．－1C ．－32D ．03．已知f (α)＝sin (π－α)·cos (2π－α)cos (－π－α)·tan (π－α)，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－25π3的值为( )A.12B ．－12C.32 D ．－324．当0<x <π4时，函数f (x )＝cos 2xcos x sin x －sin 2x的最小值是( )A.14B.12 C ．2 D ．4 二、填空题5．如果sin α＝15，且α为第二象限角，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2＋α＝________.6．已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π12＝13，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋7π12的值为________．7. sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋3π2·tan (α＋π)sin (π－α)＝________.三、解答题(共22分)8． (10分)已知sin θ＋cos θ＝23(0<θ<π)，求tan θ的值．9． (12分)已知sin(3π＋θ)＝13，求cos (π＋θ)cos θ[cos (π－θ)－1]＋cos (θ－2π)sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－3π2cos (θ－π)－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2＋θ的值．。

高考数学同角三角函数的基本关系与诱导公式2021高考各科复习资料2021年高三开学差不多有一段时刻了，高三的同学们是不是差不多投入了紧张的高考一轮复习中，数学网高考频道从高三开学季开始为大伙儿系列预备了2021年高考复习，2021年高考一轮复习，2021年高考二轮复习，2021年高考三轮复习都将连续系统的为大伙儿推出。

1.明白得同角三角函数的差不多关系式：sin2x+cos2x=1，=tan x.2.能利用单位圆中的三角函数线推导出±α，π±α的正弦、余弦、正切的诱导公式.1.同角三角函数的差不多关系(1)平方关系：sin2α+cos2α=1.(2)商数关系：tan α=.2.三角函数的诱导公式公式一：sin(α+2kπ)=sin α，cos(α+2kπ)=cos_α，tan(α+2kπ)=ta n α，其中k∈Z.公式二：sin(π+α)=-sin_α，cos(π+α)=-cos_α，tan(π+α)=tan α.公式三：sin(-α)=-sin_α，cos(-α)=cos_α，tan(-α)=-tan α.我国古代的读书人,从上学之日起,就日诵不辍,一样在几年内就能识记几千个汉字,熟记几百篇文章,写出的诗文也是字斟句酌,琅琅上口,成为满腹经纶的文人。

什么缘故在现代化教学的今天,我们念了十几年书的高中毕业生甚至大学生,竟提起作文就头疼,写不出像样的文章呢?吕叔湘先生早在19 78年就尖锐地提出:“中小学语文教学成效差,中学语文毕业生语文水平低,……十几年上课总时数是9160课时,语文是2749课时,恰好是30%,十年的时刻,二千七百多课时,用来学本国语文,却是大多数只是关,岂非咄咄怪事!”寻根究底,其要紧缘故确实是腹中无物。

专门是写议论文,初中水平以上的学生都明白议论文的“三要素”是论点、论据、论证,也通晓议论文的差不多结构:提出问题――分析问题――解决问题,但真正动起笔来就犯难了。

一、知识概述1、同角三角函数的基本关系式同角三角函数基本关系可概括为平方关系，商数关系和倒数关系，如考虑sinα，cos α，tanα，cotα与secα，cscα六个函数，还可借助如下图表形象记忆：（1）对角线上两个函数的积为1（倒数关系）（2）任一顶点的函数等于与其相邻两个顶点的函数的积（商数关系）（3）阴影部分，顶角两个函数的平方和等于底角函数的平方（平方关系）由此图可得出公式的变形形式或其他同角函数关系式．平方关系：sin2α＋cos2α=1，sec2α=1＋tan2α，csc2α=1＋cot2α.商数关系：倒数关系：tanα·cotα=1，sinα·cscα=1，cosα·secα=1.注：课本上只介绍了其中两个重要的关系式，事实上，掌握好其余的五个关系式能在有关解题中节省过程，带来方便.2、三角函数的诱导公式公式一：sin(α＋k·)=sinαcos(α＋k·)=cosαtan(α＋k·)=tanα其中k∈Z．公式二：sin(＋α)=－sinαcos(＋α)=－cosαtan(＋α)=tanα公式三：sin(－α)=－sinαcos(－α)=cosαtan(－α)=－tanα公式四：sin(－α)=sinαcos(－α)=－cosαtan(－α)=－tanα总结：α＋k·2（k∈Z），－α，±α的三角函数，等于α的同名函数值，前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号。

公式五：sin(－α)=cosαcos(－α)=sinα公式六：sin(＋α)=cosαcos(＋α)=－sinα总结：±α的正弦（余弦）函数值，分别等于α的余弦（正弦）函数值，前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号．二、重、难点知识归纳及讲解（一）利用诱导公式可以把任意角的三角函数转化为锐角三角函数，即：例1、求值：.分析：运用诱导公式，对于cot，可先求出sin，cos，然后由商数关系可求出cot.解：原式例2、设的值为（）A．B．C．－1 D．1分析：利用诱导公式将条件等式和欲求式都化到α的同名三角函数上去，再利用同角三角函数基本关系式求解.解答：（二）同角三角函数关系式在求值、化简、证明中的应用.1、已知角α的某一三角函数值，可求出α的其余三角函数值.例3、已知tanα=2，求2sin2α－3sinαcosα－2cos2α的值.分析：由平方关系知1=sin2α＋cos2α，可把式子的分母看成sin2α＋cos2α，然后分子分母同除以cos2α，可得.解：2、利用同角三角函数关系式进行化简：化简结果的基本要求：（1）函数个数尽可能少；（2）次数尽可能低；（3）项数尽可能少；（4）尽可能地去掉根号；（5）尽可能地不含分母；（6）能求出值的要求出值来.例4、若sinαcosα<0，sinαtanα<0，化简：.分析：要想去掉根号，就应考虑将被开方数配成完全平方的形式.解：∵sinαcosα<0，sinαtanα<0.∴α是第二象限角.故是第一或第三象限角.原式若是第一象限角，此时1±sin>0，cos>0. 原式=若是第三象限角，此时1±sin>0，cos<0. 原式=.3、利用同角关系式进行三角恒等式的证明.证明三角恒等式的方法较多，既可由一边证向另一边，也可先证得另一个等式成立，从而得出要证的等式，还可用比较法证明等，关键是要依题而定。

（一）同角三角函数的基本关系及诱导公式一、【课标要求】1.掌握同角三角函数的基本关系式，掌握公式中“1”的作用。

2.掌握诱导公式，并能进行化简求值。

二、【知识回顾】1．同角三角函数关系式（1）平方关系：22sin cos 1αα+= （2）商的关系：sin tan cos ααα=（3）sin cos ,sin cos ,sin cos αααααα+-⋅三者之间，知一可求二，关键是利用()2sin cos 12sin cos αααα±=±的变形2．诱导公式诱导公式一：sin(2)k απ+= ，cos(2)k απ+= ，tan(2)k απ+= ，k Z ∈诱导公式二：sin()α-= ，cos()α-= ，tan()α-= ， 诱导公式三：sin()πα+= ，cos()πα+= ，tan()πα+= ， 诱导公式四：sin()πα-= ，cos()πα-= ，tan()πα-= ， 诱导公式五：sin()2πα+= ，cos()2πα+= ， 诱导公式六：sin()2πα-= ，cos()2πα-= ，口决：“奇变偶不变，符号看象限”。

形式：将角的形式化为：()2k k Z πα⋅±∈,不管α是多大，统统看成锐角，诱导公式的作用是把任意角的三角函数转化为锐角三角函数，其一般步骤为：31. 化简三角函数式的的一般原则①函数种类尽量少、指数尽量低、项数尽量少 ②尽量化成同名、同角的三角函数③大角化小角、负角化正角，化到锐角就终了 ④化切为弦 ⑤注意“1”的作用【例题精讲】考点一：同角三角函数的基本关系例1.已知sin 2cos αα=，求下列各式的值： （1）sin 4cos 5sin 2cos αααα-+ （2）2sin 2sin cos ααα+例2.已知tan 1tan 6αα=--，求下列各式的值：（1）213sin cos 3cos ααα-+ （2）2cos 3sin 3cos 4sin αααα-+考点二：三角函数式的求值例3.已知sin()cos(2)tan(2)()3tan()cos()2f παπαπααπαπα+--=----（1） 若1860α=-，求()f α （2） 若33cos()25πα-=，求()f α的值。

同角三角函数诱导公式
同角三角函数诱导公式是三角函数中一组具有特定结构的恒等式，它们在三角函数的化简、求值、恒等式证明等领域有着广泛的应用。

同角三角函数的基本关系式包括：
平方和公式：sin^2(α) + cos^2(α) = 1
积化和差公式：sin(α)cos(β) = 1/2[sin(α+β) + sin(α-β)]
和差化积公式：sin(α+β) = sinαcosβ + cosαsinβ
同角三角函数的诱导公式包括：
sin(x+2kπ)=sinx
cos(x+2kπ)=cosx
tan(x+2kπ)=tanx
sin(π/2-x)=cosx
cos(π/2-x)=sinx
tan(π/2-x)=1/tanx
sin(π/2+x)=cosx
cos(π/2+x)=-sinx
tan(π/2+x)=-tanx
sin(π-x)=sinx
cos(π-x)=-cosx
tan(π-x)=-tanx
sin(π/2-α)=cosα
cos(π/2-α)=sinα
tan(π/2-α)=1/tanα
sin(π/2+α)=cosα
cos(π/2+α)=-sinα
tan(π/2+α)=-tanα
以上是同角三角函数诱导公式的一部分，这些公式在解三角函数的方程、求三角函数的值、证明三角恒等式等方面都有重要作用。