直角坐标系中的图形

平面直角坐标系下的图形变换王建华图形变换是近几年来中考热点，除了选择题、解答题外，创新探索题往往以“图形变换”为载体，将试题设计成探索性问题、开放性问题综合考察学生的逻辑推理能力，一般难度较大。

在平面直角坐标系中，探索图形坐标的的变化和平移、对称、旋转和伸缩间的关系，是中考考查平面直角坐标系的命题热点和趋势，这类试题设计灵活平移: 上下平移横坐标不变,纵坐标改变左右平移横坐标改变,纵坐标不变对称: 关于x轴对称横坐标不变,纵坐标改变关于y轴对称横坐标不变,纵坐标不变关于中心对称横坐标、纵坐标都互为相反数旋转：改变图形的位置，不改变图形的大小和形状旋转角旋转半径弧长公式L=nπR／180一、平移例1，如图1，已知△ABC的位置，画出将ABC向右平移5个单位长度后所得的ABC，并写出三角形各顶点的坐标，平移后与平移前对应点的坐标有什么变化？解析：△ABC的三个顶点的坐标是：A(-2，5)、B(-4，3)、C(-1，2)．向右平移5个单位长度后，得到的△A′B′C′对应的顶点的坐标是：A′(3，5，、B′(1，3）、C′(4，2）．比较对应顶点的坐标可以得到：沿x轴向右平移之后，三个顶点的纵坐标都没有变化，而横坐标都增加了5个单位长度．友情提示：如果将△ABC沿y轴向下平移5个单位，三角形各顶点的横坐标都不变，而纵坐标都减少5个单位．(请你画画看)．例2. 如图，要把线段AB平移，使得点A到达点A'(4，2)，点B到达点B'，那么点B'的坐标是_______。

析解：由图可知点A移动到A/可以认为先向右平移4个单位，再向上平移1个单位，∴)3,3(B经过相同的平移后可得)4,7(/B反思：①根据平移的坐标变化规律：★左右平移时：向左平移h个单位),(),(bhaba-→向右平移h个单位),(),(bhaba+→★上下平移时：向上平移h个单位),(),(hbaba+→向下平移h个单位),(),(hbaba-→二、旋转例3.如图2，已知△ABC，画出△ABC关于坐标原点0旋转180°后所得△A′B′C′，并写出三角形各顶点的坐标，旋转后与旋转前对应点的坐标有什么变化？解析：△ABC三个顶点的坐标分别是：A(-2，4)，B(-4，2)，C(-1，1)．△A′B′C′三个顶点的坐标分别是：图2图1B/图2图1A′(2，-4)，B′(4，-2)，C′(1，-1)．比较对应点的坐标可以发现：将△ABC沿坐标原点旋转180°后，各顶点的坐标分别是原三角形各顶点坐标的相反数．例3如图，在直角坐标系中，△ABO的顶点A、B、O的坐标分别为（1，0）、（0，1）、（0，0）.点列P1、P2、P3、…中的相邻两点都关于△ABO的一个顶点对称：点P1与点P2关于点A对称，点P2与点P3关于点B对称，点P3与P4关于点O对称，点P4与点P5关于点A对称，点P5与点P6关于点B对称，点P6与点P7关于点O 对称，….对称中心分别是A、B，O，A，B，O，…，且这些对称中心依次循环.已知点P1的坐标是（1，1），试求出点P2、P7、P100的坐标.分析：本题是一道和对称有关的探索题，是在中心对称和点的坐标知识基础上的拓宽题，由于是规律循环的对称，所以解决问题的关键是找出循环规律.如图，标出P1到P7各点，可以发现点P7和点P1重合，继续下去可以发现点P8和点P2循环,所以6个点循环一次，这样可以求出各点的坐标.解：如图P2(1,-1)，P7(1,1)，因为100除以6余4，所以点P100和点P4的坐标相同，所以P100的坐标为(1,-3).三、对称例4．如图3，已知△ABC，画出△ABC关于x轴对称的△A′B′C′，并写出各顶点的坐标．关于x轴对称的两个三角形对应顶点的坐标有什么关系？解析：△ABC三个顶点的坐标分别是：A(1，4)，B(3，1)，C(-2，2)．△A′B′C′三个顶点的坐标分别是：A′(1，-4)，B′(3，-1)，C′(-2，-2)．观察各对应顶点的坐标可以发现：关于x轴对称两个三角形的对应顶点的横坐标不变，纵坐标互为相反数．友情提示：关于y轴对成的两个图形，对称点的纵坐标不变，横坐标互为相反数．在直角坐标系中，ABC△的三个顶点的位置如图3所示．（1）请画出ABC△关于y轴对称的A B C'''△（其中A B C'''，，分别是A B C，，的对应点，不写画法）；（2）直接写出A B C'''，，三点的坐标：(_____)(_____)(_____)A B C'''，，．析解：如图4，根据关于y轴对称的点的纵坐标不变，横坐标为原横坐标的相反数，即横坐标乘以1-，故可得（2）(23)A'，，(31)B'，，(12)C'--，反思：★关于x轴对称的点的横坐标不变，纵坐标为原纵坐标的相反数，即纵坐标乘以1-★关于y轴对称的点的纵坐标不变，横坐标为原横坐标的相反数，即横坐标乘以1-★关于原点成中心对称的点的，横坐标为原横坐标的相反数，纵坐标为原纵坐标的相反数，即横坐标、纵坐标同乘以1-四、位似例4 如图4，已知△ABC，画出△ABC以坐标原点0为位似中心的位似△A′B′C′，使△A′B′C′在第三象限，与△ABC 的位似比为21，写出三角形各顶点的坐标，位似变换后对应顶点发生什么变化？解析：△ABC三个顶点的坐标分别是：A(2，2)，B(6，4)，C(4，6)．△A′B′C′三个顶点的坐标分别是：A′(-1，-1)，B′(-3，-2)，C′(-2，-3)．图31 2 xO1-1ABCy1 2 xO1-1ABCA'B'C'y图3 图4C B AA 2C 2A 1B 1C 1O观图形可知，△A ′B ′C ′各顶点的坐标分别是△ABC对应各顶点坐标21的相反数．友情提示： △ABC 以坐标原点0为位似中心的位似△A ′B ′C ′，当△A ′B ′C ′与△ABC 的位似比为21，且△A ′B ′C ′在第一象限时， △A ′B ′C ′各顶点的坐标分别是△ABC 各顶点坐标的21．课前练习：在如图的方格纸中,每个小方格都是边长为1个单位的正方形,△ABC 的三个顶点都在格点上(每个小方格的顶点叫格点). ⑴画出△ABC 向下平移4个单位后的△A 1B 1C 1;⑵画出△ABC 绕点O 顺时针旋转90°后的△A 2B 2C 2,并求出A 旋转到A 2所经过的路线长.解:⑴画出△A 1B 1C 1;⑵画出△A 2B 2C 2, ,连接OA 1、OA 2,OA=2223+=13点A 旋转到A 2,所经过的路线长为:ι=9013131802ππ⋅=点评:图形的变换可以转化为点的问题,即找到顶点变换后的对应点,再顺次连接这些点即可得到图形.旋转变换要明确旋转中心、旋转方向、旋转半径、旋转角度；平移变换要明确平移的方向和距离；作一个图形关于某点的中心对称图形要明确对应点的连线经过对称中心，且对应点到对称中心的距离相等；作一个图形关于某一条直线的的对称图形，要明确对应点的连线被对称轴平分，且对应点到对称轴的距离相等。

平面直角坐标系中的等腰三角形问题一、解答题（本大题共5小题，共40.0分）1.如图,在平面直角坐标系中,AB∥OC,A(0,12),B(a,c),C(b,0),并且a,b满足b=√a−21+√21−a+16.动点P从点A出发,在线段AB上以每秒2个单位长度的速度向点B运动；动点Q从点O出发,在线段OC上以每秒1个单位长度的速度向点C运动,点P,Q分别从点A,O同时出发,当点P运动到点B时,点Q随之停止运动.设运动时间为t(秒)．(1)求B,C两点的坐标；（2）当t为何值时,△PQC是以PQ为腰的等腰三角形？并求出P,Q两点的坐标．2.如图(1),像∠G=∠HMN=∠Q=∠α这样,由△GHM和△MNQ组合成的封闭图形,我们称之为K型GHMNQ.在平面直角坐标系中,A(0,6),B(6,0),点C,D,E分别在线段AB,AO,BO上运动,且ADCEB为K型.(1)如图(2),若点D运动到点O时,过点O作OF⊥CO,交CE的延长线为F,连接BF,①求证：△ACO≌△BFO；②若AC=2√2,求OC的长；(2)如图(3),若C是AB中点,当△DCE为等腰三角形时,请直接写出AD的长．3.如图,平面直角坐标系中,点A的坐标为(4,0),以OA为一边,在第四象限作等边△OAB,点C是y轴上一动点,连接AC,以AC为一边,在直线AC的下方作等边△ACD．(1)随着点C的运动,∠ABD的大小是否会发生变化？请说明理由．(2)是否存在点C,使得△ABD是等腰三角形？如果有可能,若存在,求此时C点坐标；若不存在,请说明理由．4.长方形OABC在平面直角坐标系内位置如图所示,点A,C分别在y轴,x轴上,点D(4,3)在AB上,点E在OC上,沿DE折叠,使点B与点O重合,点C与点C1重合．(1)求点C1坐标；(2)若点P在坐标轴上,且ΔAPC1面积是9,请直接写出点P坐标．5.如图,在平面直角坐标系中,已知A(7,0),B(0,−7),点C为x轴负半轴上一点,AD⊥AB,∠1=∠2．(1)求∠BCD+∠BAD的度数；(2)如图①,若点C的坐标为(−3,0),求点D的坐标；(3)如图②,在(2)的条件下,过点D作DE⊥y轴于点E,DF⊥x轴于点F,点M为线段DF上一点,若第一象限内存在点N(n,2n−3),使△EMN为等腰直角三角形,请求出所有符合条件的N点坐标．6.直角坐标系中,A(6,0),B(0,8),连结AB,点C为AB的中点,点P为y轴正半轴上的一个动点,连结PC,如图,如图,作CQ⊥CP,且CQ=CP．(1)OC=________；点C的坐标为________；(2)当点Q恰好落在线段OC上时,求OP的长；(3)当△OAQ为等腰三角形时,求所有满足条件的点Q的坐标．7.如图①,我们在“格点”直角坐标系上可以清楚看到：要找AB或DE的长度,显然是转化为求Rt△ABC或Rt△DEF的斜边长．下面：以求DE为例来说明如何解决：从坐标系中发现：D(−7,5),E(4,−3).所以DF=|5−(−3)|=8,EF=|4−(−7)|= 11,所以由勾股定理可得：DE=√82+112=√185．下面请你参与：(1)在图①中：AC=______,BC=______,AB=______．(2)在图②中：设A(x1,y1),B(x2,y2),试用x1,x2,y1,y2表示AC=______,BC=______,AB=______．(3)(2)中得出的结论被称为“平面直角坐标系中两点间距离公式”,请用此公式解决如下题目：已知：A(2,1),B(4,3),C为坐标轴上的点,且使得△ABC是以AB为底边的等腰三角形.请求出C点的坐标．8.如图①,平面直角坐标系中,ABCD为长方形,其中点A、C坐标分别为(−4,2)、(1,−4),且AD∥x轴,交y轴于M点,AB交x轴于N．(1)求B、D两点坐标和长方形ABCD的面积；(2)如图②,一动点P从A出发(不与A点重合),以1个单位/秒的速度沿AB向B点运2动,在P点运动过程中,连接MP、OP,请直接写出∠AMP、∠MPO、∠PON之间的数量关系；(3)是否存在某一时刻t,使三角形AMP的面积等于长方形面积的1若存在,求t的值3并求此时点P的坐标；若不存在请说明理由．9.等腰Rt△ACB,,AC=BC,点A、C分别在x轴、y轴的正半轴上．(1)如图1,求证：∠BCO=∠CAO；(2)如图2,若OA=5,OC=2,求B点的坐标；(3)如图3,点C(0,3),Q、A两点均在x轴上,且S△CQA=24.分别以AC、CQ为腰在第一、第二象限作等腰Rt△CAN、等腰Rt△QCM,连接MN交y轴于P点,则OP=______．。

例析平面直角坐标系中面积的求法我们常常会遇到在平面直角坐标系中求三角形面积的问题.解题时我们要注意其中的解题方法和解题技巧.现举例说明如下.一、有一边在坐标轴上例1 如图1，平面直角坐标系中，△ABC的顶点坐标分别为（－3，0），（0，3），（0，－1），你能求出三角形ABC的面积吗？分析：根据三个顶点的坐标特征可以看出，△ABC的边BC在y轴上，由图形可得BC＝4，点A到BC边的距离就是A点到y轴的距离，也就是A点横坐标的绝对值3，然后根据三角形的面积公式求解.解：因为B(0,3),C(0,-1),所以BC=3-（-1）=4.因为A(-3,0),所以A点到y轴的距离，即BC边上的高为3，二、有一边与坐标轴平行例2 如图2，三角形ABC三个顶点的坐标分别为A（4，1），B（4，5），C（-1，2），求三角形ABC的面积.分析：由A（4，1），B（4，5）两点的横坐标相同，可知边AB与y 轴平行，因而AB的长度易求.作AB边上的高CD，则D点的横坐标与A点的横坐标相同，也是4，这样就可求得线段CD的长，进而可求得三角形ABC的面积.解：因为A，B两点的横坐标相同，所以边AB∥y轴，所以AB=5-1=4. 作AB边上的高CD，则D点的横坐标为4，所以CD=4-（-1）=5，所以=.三、三边均不与坐标轴平行例3 如图2,平面直角坐标系中，已知点A（-3，-1），B（1，3），C（2，-3），你能求出三角形ABC的面积吗？分析：由于三边均不平行于坐标轴，所以我们无法直接求边长，也无法求高，因此得另想办法.根据平面直角坐标系的特点，可以将三角形围在一个梯形或长方形中，这个梯形（长方形）的上下底（长）与其中一坐标轴平行，高（宽）与另一坐标轴平行.这样，梯形（长方形）的面积容易求出，再减去围在梯形（长方形）内边缘部分的直角三角形的面积，即可求得原三角形的面积.解：如图，过点A、C分别作平行于y轴的直线，与过点B平行于x 轴的直线交于点D、E，则四边形ADEC为梯形.因为A（-3，-1），B（1，3），C（2，-3），所以AD＝4，CE=6，DB=4，BE=1，DE＝5.所以=（AD+CE）×DE-AD×DB-CE×BE=×（4+6）×5－×4×4－×6×1＝14.平面直角坐标系中的面积问题（提高篇）“割补法”的应用一、已知点的坐标，求图形的面积。

本篇学习了空间直角坐标系、大地坐标系、平面坐标系、高斯平面直角坐标系。

这个个坐标系有时很容易弄混淆！（一）空间直角坐标系空间直角坐标系的坐标原点位于参考椭球的中心，Z轴指向参考椭球的北极，X轴指向起始子午面与赤道的交点，Y轴位于赤道面上切按右手系于X轴呈90度夹角，某点中的坐标可用该点在此坐标系的各个坐标轴上的投影来表示。

空间直角坐标系可用如下图所示：（二）大地坐标系大地坐标系是采用大地纬度、经度和大地高程来描述空间位置的。

纬度是空间的点与参考椭球面的法线与赤道面的夹角；经度是空间的点与参考椭球的自转轴所在的面与参考椭球的起始子午面的夹角；大地高程是空间的点沿着参考椭球的法线方向到参考椭球面的距离。

地面点的高程和国家高程基准(1)绝对高程。

地面点沿垂线方向至大地水准面的距离称为绝对高程或称海拔。

过去我国采用青岛验潮站(tide gauge station)1950～1956年观测成果求得的黄海平均海水面作为高程的零点，称为“1956年黄海高程系”(Huanghai height system1956水准原点高程为72.289m)。

后经复查，发现该高程系的验潮资料时间过短，准确性较差，改用青岛验潮站1950～1979年的观测资料重新推算，并命名为“1985年国家高程基准”（Chinese height datum 1985）。

国家水准原点(leveling origin高程为72.260m)设于青岛市观象山附近，作为我国高程测量的依据。

它的高程值是以“1985年国家高程基准”所确定的平均海水面为零点测算而得。

在使用原“1956年黄海高程系”的高程成果时，应注意将其换算为新的高程基准系统。

(2)相对高程。

地面点沿铅垂线方向至任意假定的水准面的距离称为该点的相对高程，亦称假定高程。

在图l—5中，地面点A和B的相对高程分别为H'A和H'B。

(3)高差。

地面上任意两点的高程(绝对高程或相对高程)之差称为高差。

例析平面直角坐标系中面积的求法我们常常会遇到在平面直角坐标系中求三角形面积的问题.解题时我们要注意其中的解题方法和解题技巧.现举例说明如下.一、有一边在坐标轴上例1 如图1，平面直角坐标系中，△ABC的顶点坐标分别为（－3，0），（0，3），（0，－1），你能求出三角形ABC的面积吗？分析：根据三个顶点的坐标特征可以看出，△ABC的边BC在y轴上，由图形可得BC＝4，点A到BC边的距离就是A点到y轴的距离，也就是A点横坐标的绝对值3，然后根据三角形的面积公式求解.解：因为B(0,3),C(0,-1),所以BC=3-（-1）=4.因为A(-3,0),所以A点到y轴的距离，即BC边上的高为3，二、有一边与坐标轴平行例2 如图2，三角形ABC三个顶点的坐标分别为A（4，1），B（4，5），C（-1，2），求三角形ABC的面积.分析：由A（4，1），B（4，5）两点的横坐标相同，可知边AB与y 轴平行，因而AB的长度易求.作AB边上的高CD，则D点的横坐标与A点的横坐标相同，也是4，这样就可求得线段CD的长，进而可求得三角形ABC的面积.解：因为A，B两点的横坐标相同，所以边AB∥y轴，所以AB=5-1=4. 作AB边上的高CD，则D点的横坐标为4，所以CD=4-（-1）=5，所以=.三、三边均不与坐标轴平行例3 如图2,平面直角坐标系中，已知点A（-3，-1），B（1，3），C（2，-3），你能求出三角形ABC的面积吗？分析：由于三边均不平行于坐标轴，所以我们无法直接求边长，也无法求高，因此得另想办法.根据平面直角坐标系的特点，可以将三角形围在一个梯形或长方形中，这个梯形（长方形）的上下底（长）与其中一坐标轴平行，高（宽）与另一坐标轴平行.这样，梯形（长方形）的面积容易求出，再减去围在梯形（长方形）内边缘部分的直角三角形的面积，即可求得原三角形的面积.解：如图，过点A、C分别作平行于y轴的直线，与过点B平行于x 轴的直线交于点D、E，则四边形ADEC为梯形.因为A（-3，-1），B（1，3），C（2，-3），所以AD＝4，CE=6，DB=4，BE=1，DE＝5.所以=（AD+CE）×DE-AD×DB-CE×BE=×（4+6）×5－×4×4－×6×1＝14.平面直角坐标系中的面积问题（提高篇）“割补法”的应用一、已知点的坐标，求图形的面积。

直角坐标系中的三角形专项练习1．在平面直角坐标系中，点A（0，6），B（8，0），AB＝10，如图作∠DBO＝∠ABO，∠CAy＝∠BAO，BD交y轴于点E，直线DO交AC于点C．（1）①求证：△ACO≌△EDO；②求出线段AC、BD的位置关系和数量关系；（2）动点P从A出发，沿A﹣O﹣B路线运动，速度为1，到B点处停止运动；动点Q从B出发，沿B﹣O﹣A运动，速度为2，到A点处停止运动．二者同时开始运动，都要到达相应的终点才能停止．在某时刻，作PG⊥CD于点G，QF⊥CD于点F．问两动点运动多长时间时△OPG 与△OQF全等？2．已知：在平面直角坐标系中，△ABC的顶点A、C分别在y轴、x上，且∠ACB＝90°，AC＝BC．（1）如图1，当A（0，﹣2），C（1，0），点B在第四象限时，则点B的坐标为；（2）如图2，若BO平分∠ABC，交AC于D，过A作AE⊥y轴，垂足为E，则AE与BD之间的数量关系是（3）如图3，当点C在x正半轴上运动，点A在y正半轴上运动，点B在第四象限时，作BD ⊥y于点D，试判断①与②中是定值（只填序号），并求出这个定值．3．如图所示，直线AB交x轴于点A（a，0）交y轴于点B（0，b），且a、b满足＝0，P为线段AB上的一点．（1）如图1，若AB＝6，当△OAP为AP＝AO的等腰三角形时，求BP的长．（2）如图2，若P为AB的中点，点M、N分别是OA、OB边上的动点，点M从顶点A、点N 从顶点O同时出发，且它们的速度都为1cm/s，则在M、N运动的过程中，S四边形PNOM的值是否会发生改变？如发生改变，求出其面积的变化范围；若不改变，求该面积的值．（3）如图3，若P为线段AB上异于A、B的任意一点，过B点作BD⊥OP，交OP、OA分别于F、D两点，E为OA上一点，且∠PEA＝∠BDO，试判断线段OD与AE的数量关系，并说明理由．4．（2020秋•黄陂区期中）已知点A（4m﹣6，0），B（0，m+3）分别为两坐标轴正半轴上一点，OA ＝OB．（1）直接写出m＝，A（，），B（，）；（2）若点D为线段OA上一点（不与O，A重合）．①如图1，若AB＝OB，将线段BO沿直线BD翻折，使点O落在AB边上的点E处，点P是直线BD上一动点，求△PEA的周长的最小值；②如图2，点F为AB的中点，点C在y轴负半轴上，若AD+OC＝CD，则∠CFD的大小是否发生改变，若不变，请求∠CFD度数；若变化，请说明理由．5．如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，A（a，0），B（0，b），且a，b满足（a﹣4）2+|b ﹣4|＝0，连接AB，∠OBA＝45°．（1）求点A、点B的坐标．（2）动点P从点O出发，以1个单位/秒的速度沿y轴正半轴运动，运动时间为t秒，连接AP，过点P作PM⊥AP，且PM＝P A，点M在第一象限，请用含有t的式子表示点M的坐标．（3）在（2）的条件下，连接MB并延长交x轴于点Q，连接AM，过点B作PM的平行线交x 轴于点R，当S△MQA＝28时，求点R的坐标．参考答案与试题解析1．【解答】解：（1）①如图，∵∠DBO＝∠ABO，OB⊥AE，∴∠BAO＝∠BEO，∴AB＝BE，∴AO＝OE，∵∠CAy＝∠BAO，∴∠CAy＝∠BEO，∴∠DEO＝∠CAO在△ACO与△EDO中，，∴△ACO≌△EDO（ASA）；②由①知，△ACO≌△EDO，∴∠C＝∠D，AC＝DE，∴AC∥BD，AC＝BD﹣10；（2）设运动的时间为t秒，（i）当点P、Q分别在y轴、x轴上时PO＝QO得：6﹣t＝8﹣2t，解得t＝2（秒），（ii）当点P、Q都在y轴上时PO＝QO得：6﹣t＝2t﹣8，解得t＝（秒），（iii）当点P在x轴上，Q在y轴时若二者都没有提前停止，则PO＝QO得：t﹣6＝2t﹣8，解得t＝2（秒）不合题意；当点Q提前停止时，有t﹣6＝6，解得t＝12（秒），综上所述：当两动点运动时间为2、、12秒时，△OPE与△OQF全等2．【解答】解：（1）过点B作BD⊥OD，∵∠BCD+∠ACO＝90°，∠ACO+∠OAC＝90°，∴∠BCD＝∠OAC，在△AOC和△CDB中，，∴△AOC≌△CDB（AAS），∴CD＝OA，BD＝OC，∴点B坐标为（3，﹣1）；（2）延长BC，AE交于点F，∵AC＝BC，AC⊥BC，∴∠BAC＝∠ABC＝45°，∵BD平分∠ABC，∴∠COD＝22.5°，∠DAE＝90°﹣∠ABD﹣∠BAD＝22.5°，在△ACF和△BCD中，，∴△ACF≌△BCD（ASA），∴AF＝BD，在△ABE和△FBE中，，∴△ABE≌△FBE（ASA），∴AE＝EF，∴BD＝2AE；（3）作BE⊥OC，则BD＝OE，∵∠CAO+∠ACO＝90°，∠ACO+∠BCE＝90°，∴∠CAO＝∠BCE，在△ACO和△BCE中，，∴△ACO≌△BCE（AAS），∴CE＝OA，∴OA+DB＝OC．∴＝1．3．【解答】解：（1）∵a、b满足＝0，∴b＝6＝a∴点A（6，0），点B（0，6）∴AO＝BO＝6∵P A＝AO＝6∵BP＝AB﹣AP∴BP＝6﹣6（2）如图：连接OP∵OA＝OB，∠AOB＝90°，∴△AOB是等腰直角三角形，∠BAO＝45°∵点是AB中点∴OP＝AP＝BP，∠BOP＝∠AOP＝45°＝∠BAO∵点M、N分别是OA、OB边上的动点，点M从顶点A、点N从顶点O同时出发，且它们的速度都为1cm/s，∴AM＝ON，且ON＝AM，∠BOP＝∠BAO∴△PNO≌△PMA（SAS）∴S△OPN＝S△APM∵S四边形PNOM＝S△POM+S△OPN＝S△POM+S△APM∴S四边形PNOM＝S△AOP＝S△AOB＝××6×6＝9（3）相等如图：过点A作AM⊥OA，延长OP交AM于点M∵BD⊥OP，∠AOB＝90°∴∠DBO+∠BOF＝90°，∠BOF+∠AOM＝90°∴∠DBO＝∠AOM且AO＝BO，∠BOD＝∠MAO＝90°∴△BOD≌△OAM（ASA）∴∠BDO＝∠AMO，OD＝AM∵AM⊥OA，∠BAO＝45°∴∠BAM＝∠BAO＝45°∵∠BDO＝∠AEP，∠BDO＝∠AMO∴∠AEP＝∠AMO，且∠BAM＝∠BAO＝45°，AP＝AP∴△APM≌△APE（AAS）∴AM＝AE，且AM＝OD∴AE＝OD【点评】本题考查了三角形综合题，全等三角形的性质和判定，等腰直角三角形的性质，添加恰当的辅助线构造全等三角形是本题的关键．4．【解答】解：（1）∵OA＝OB，又∵点A（4m﹣6，0），B（0，m+3），∴4m﹣6＝m+3，∴m＝3，∴点A（6，0），点B（0，6），故答案为3，6，0，0，6；（2）如图，连接OP，∵点A（6，0），点B（0，6），∴OA＝OB＝6，∵AB＝OB，∴AB＝6，∵将线段BO沿直线BD翻折，使点O落在AB边上的点E处，∴BE＝BO＝6，OP＝PE，∵△PEA的周长＝PE+EA+P A＝OP+EA+AP，∴当点P与点D重合时，△PEA的周长最短，∴△PEA周长的最小值＝EA+OP+P A＝EA+OA＝AB＝6；（3）∠CFD的大小不发生改变，理由如下：如图2，连接OF，在BO上截取OH＝AD，连接HF，∵OA＝OB，点F是AB的中点，∠AOB＝90°，∴OF⊥AB，OF＝AF＝BF，∠BAO＝∠BOF＝45°，又∵OH＝AD，∴△ADF≌△OHF（SAS），∴HF＝DF，∠AFD＝∠OFH，∵∠AFD+∠DFC+∠OFC＝90°，∴∠DFC+∠OFC+∠HFO＝90°，∴∠HFD＝90°，∵AD+OC＝CD，OH+OC＝HC，∴HC＝CD，又∵CF＝CF，HF＝FD，∴△CFD≌△CFH（SSS），∴∠DFC＝∠HFC＝45°．【点评】本题是几何变换综合题，考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，轴对称的性质，添加恰当辅助线构造全等三角形是本题的关键．5．【解答】解：（1）∵a，b满足（a﹣4）2+|b﹣4|＝0，∴a﹣4＝0，b﹣4＝0，∴a＝4，b＝4，∴A（4，0），B（0，4）；（2）如图所示，过M作MC⊥y轴于C，则∠PCM＝∠AOP＝90°，∵PM⊥AP，∴∠CPM+∠APO＝∠OAP+∠APO＝90°，∴∠CPM＝∠OAP，在△CPM和△OAP中，，∴△CPM≌△OAP（AAS），∴CM＝OP＝t，CP＝AO＝BO＝4，∴CB＝OP＝t，∴CO＝CP+OP＝4+t，∴M（t，4+t）；（3）如图所示，连接MB并延长交x轴于点Q，连接AM，过点B作PM的平行线交x轴于点R，∵CB＝CM＝t，∴△BCM是等腰直角三角形，∴∠CBM＝∠OPQ＝45°，∴△BOQ是等腰直角三角形，∴OQ＝OB＝4，即Q（﹣4，0），又∵A（4，0），∴AQ＝8，又∵M（t，4+t），∴S△MQA ＝×8×（4+t）＝28，∴t＝3，∴OP＝3，∵BR∥PM，∴∠OBR＝∠CPM，又∵∠CPM＝∠OAP，∴∠OBR＝∠OAP，在△OBR和△OAP中，，∴△OBR≌△OAP（ASA），∴OR＝OP＝3，∴R（﹣3，0）．【点评】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，坐标与图形的性质以及非负数的性质的综合应用，解决问题的关键是判定全等三角形，依据全等三角形的对应边相等进行推导计算．11。

利用平面直角坐标系解决几何问题在解决几何问题时，我们经常会遇到各种各样的困难和挑战。

然而，利用平面直角坐标系可以帮助我们更好地理解和解决这些问题。

平面直角坐标系是一种用于描述平面上点的坐标系统，它由水平的x轴和垂直的y轴组成，通过它们的交点确定了原点O。

在这个坐标系中，每个点都可以用一对有序实数(x, y)表示，其中x是点在x轴上的投影，y是点在y轴上的投影。

利用平面直角坐标系解决几何问题的关键是将几何问题转化为代数问题。

通过将点和图形映射到坐标系上，我们可以用代数方法来分析和计算它们的性质和关系。

下面，我将通过几个例子来说明平面直角坐标系在解决几何问题中的应用。

首先，我们来看一个简单的例子。

假设有一个三角形ABC，其中A(1, 2)，B(3, 4)，C(5, 6)。

我们需要计算三角形的周长和面积。

首先，我们可以计算AB的长度。

根据勾股定理，AB的长度等于√[(x2-x1)²+(y2-y1)²]，代入坐标值计算可得AB的长度为√[(3-1)²+(4-2)²]=√8。

同样地，我们可以计算BC和AC的长度。

然后，根据周长的定义，三角形的周长等于AB+BC+AC。

代入计算结果，我们可以得到三角形的周长。

接下来，我们可以使用海伦公式来计算三角形的面积。

海伦公式是一个用于计算三角形面积的公式，它是根据三边的长度来计算的。

根据海伦公式，三角形的面积等于√[s(s-a)(s-b)(s-c)]，其中s是三角形周长的一半，a、b、c分别是三角形的三边的长度。

代入计算结果，我们可以得到三角形的面积。

接下来，我们来看一个更复杂的例子。

假设有一个圆C，圆心为O(0, 0)，半径为r。

我们需要确定圆上一点P(x, y)的位置关系。

首先，我们可以计算点P到圆心O的距离。

根据距离公式，点P到圆心O的距离等于√(x²+y²)。

如果这个距离等于圆的半径r，那么点P在圆上；如果这个距离小于圆的半径r，那么点P在圆内；如果这个距离大于圆的半径r，那么点P在圆外。