下载文档原格式
1 矢量与张量1.1 概述在数学和物理学中，我们常常会遇到一些几何量和物理量，它们都与坐标系的选取无关。
其中有一些比较简单的量，如平面图形的面积，一有限物体的体积和温度等，这些量仅用它们的量值（加上相应的单位）就能够描述，例如可以用立方米来表示体积，某时刻的温度可用摄氏温标的度数来表示。
这种用量值就能表征的量，通常称为标量。
当然，我们还会碰到比标量复杂一些的量，如位移、力、速度和加速度等，它们不能单用数值来描述，因为这些量不仅有量值，而且有方向，如一个气象预报员预报某天的风速的，他不仅应当说明风的速率（风速的量值），而且应当说明风吹的方向，这样才能完整地加以描述。
这种必须用量值和方向来表征的量，称为矢量。
在三维空间中，可以用标明方向的线段（即有向线段）来表示这些物理量。
习惯上常常用，如“a ，b ，u ，v”等表示矢量。
在处理具体问题时，我们常常需要选定坐标系，这样就会带来很多方便。
在三维欧氏空间中，通常采用正交笛卡尔坐标系oxyz 。
这样，矢量就可以写成三个分矢量之和，如k a j a i a a z y x++=(1.1.1)随着科学技术的不断发展，我们遇到了比矢量更为复杂的几何量和物理量，对它们的描述就不能只用量值和方向，而必须应用更多的概念。
如固体一点由于内力而产生的应力，我们必须确定力和力所作用的面，另外、还有弹件体中任一体积元的形变以及转动惯量等，这样的量只能用所谓张量的数学实体来描述。
以后我们还将看到，前面所述的标量和矢量实际上都是张量的特例。
1.2 矢量及其运算1.2.1 矢量两个矢量具有相同的模和方向，则称这两个矢量相等。
即一个矢量做平行于其自身的移动则这个矢量不变。
按照平行四边形法则定义矢量和，同一空间中两个矢量之和仍是该空间的矢量，如图所示。
定义两个矢量F 与v的点积为()v F v F v F ,cos =⋅(1.2.1)在三维空间的笛卡尔坐标系xyz 中也可以写成z z y y x x v F v F v F v F ++=⋅(1.2.2)两个矢量u 和v 的叉积（也称矢积）是垂直于u 、v 构成的平面的另一个矢量w。
张量概念的形成与张量分析的建立【摘要】：张量分析在数学物理学中占据重要地位。
由于广义相对论的成功,张量分析逐渐被人们所重视。
更重要的是规范场论和弦理论的建立,张量分析被应用到了更加广泛的领域。
而如此重要的数学分支的历史却极少被研究,这不能不说是一个很大的缺憾。
在发掘、搜集、整理、分析张量数学的原始文献的基础上,运用概念分析的方法,梳理、研究、探讨了张量数学的发展史,得到了若干新的发现。
首先,找到了向量的代数定义的原始文献,这是张量数学发展史研究的中间链条。
如果没有向量的代数定义,这种扩张量是无法超出三维情形的。
而张量是一种高维的数学量,因此向量的代数定义是通向张量概念的非常重要的概念。
在关于张量数学史的研究中,这是一个被忽略的内容。
其次,解读了张量概念的电磁学起源。
从电磁学角度揭示了张量概念的物理学源头。
而在过去,则一直把弹性力学作为张量概念起点,事实上,应用力学与张量概念的起源关系不大。
论文最重要的发现是考证了第一个在现代意义上使用tensor的学者。
论文系统论述了张量分析的建立过程。
从非欧空间观念、高斯的内蕴思想、黎曼的n维流形、格拉斯曼的高维空间观念、凯莱的n维向量空间开始,逐一陈述了张量数学的历史。
张量分析作为解决曲线坐标系中微分运算的数学方法,是从高斯的内蕴几何开始孕育的。
而第一个真正提出这个问题的是黎曼,他的n维流形的构想,具体地提出了弯曲空间中二次微分形式的变换问题,这是通向张量分析的起点。
随后,经过贝尔特拉米、克里斯托夫、里奇等人的发展,这种方法终于得以建立。
作为补充,简述了张量分析的应用史。
包括爱因斯坦、希尔伯特的引力场方程,以及外尔、列维-齐维塔的黎曼几何学。
这里的新发现是考证了“黎曼几何学”这个名词的最早出处。
张量分析的产生,依赖19世纪的代数和几何的解放。
正是非欧几何和抽象代数的出现,使得张量分析得以产生。
而张量分析与黎曼几何的深入发展,极大地促进了现代数学的进步。
这使得对张量数学史的研究具有深刻的意义。
张量张量是用来描述矢量、标量和其他张量之间线性关系的几何对象。
这种关系最基本的例子就是点积、叉积和线性映射。
矢量和标量本身也是张量。
张量可以用多维数值阵列来表示。
张量的阶（也称度或秩）表示阵列的维度，也表示标记阵列元素的指标值。
例如，线性映射可以用二位阵列--矩阵来表示，因此该阵列是一个二阶张量。
矢量可以通过一维阵列表示，所以其是一阶张量。
标量是单一数值，它是0阶张量。
张量可以描述几何向量集合之间的对应关系。
例如，柯西应力张量T 以v 方向为起点，在垂直于v 终点方向产生应力张量T(v)，因此，张量表示了这两个 向量之间的关系，如右图所示。
因为张量表示了矢量之间的关系，所以张量必 须避免坐标系出现特殊情况这一问题。
取一组坐标 系的基向量或者是参考系，这种情况下的张量就可 以用一系列有序的多维阵列来表示。
张量的坐标以 “协变”（变化规律）的形式独立，“协变”把一种 坐标下的阵列和另一种坐标下的阵列联系起来。
这 种变化规律演化成为几何或物理中的张量概念，其 精确形式决定了张量的类型或者是值。
张量在物理学中十分重要，因为在弹性力学、流体力学、广义相对论等领域中，张量提供了一种简洁的数学模型来建立或是解决物理问题。
张量的概念首先由列维-奇维塔和格莱格里奥-库尔巴斯特罗提出，他们延续了黎曼、布鲁诺、克里斯托费尔等人关于绝对微分学的部分工作。
张量的概念使得黎曼曲率张量形式的流形微分几何出现了替换形式。
历史现今张量分析的概念源于卡尔•弗里德里希•高斯在微分几何的工作，概念的制定更受到19世纪中叶代数形式和不变量理论的发展[2]。
“tensor ”这个单词在1846年被威廉·罗恩·哈密顿[3]提及，这并不等同于今天我们所说的张量的意思。
[注1]当代的用法是在1898年沃尔德马尔·福格特提出的[4]。
“张量计算”这一概念由格雷戈里奥·里奇·库尔巴斯特罗在1890年《绝对微分几何》中发展而来，最初由里奇在1892年提出[5]。
《不平凡的求学生涯》阅读理解以及参考答案《不平凡的求学生涯》阅读理解以及参考答案不平凡的求学生涯1931年9月，清华大学招入了一批新学生，其中有一个瘦小的戴眼镜的无锡人。
这位新生作文和历史拿了满分，理科却几乎是零分，他就是后来成为中国近代力学之父的钱伟长。
清华当年招生的作文题目是《梦游清华园》，钱伟长写了一篇四百五十字的赋，出题目的老师想改改不了，只能给了满分。
历史考题更奇怪，要求写出二十四史的作者、注者和卷数，许多考生望“题”兴叹，而钱伟长却答得分毫不差。
钱伟长的文科好，一点也不奇怪。
他的父亲和祖父都是教书先生，四叔是著名的文科学者钱穆。
他中学的文史老师，则是语文学家吕叔湘。
钱伟长自小看古书长大，十岁的时候就可以把《三国演义》倒背如流。
可是，19岁的钱伟长在数理上一塌糊涂，物理只考了5分，数学、化学共考了20分，英文因没学过是0分。
但正是这样一个在文史上极具天赋、数理上极度“瘸腿”的学生，却在一夜之间做出了一个大胆的决定——弃文从理。
这个决定缘于1931年9月18日，日本发动了震惊中外的“九·一八事变”。
听到了这个消息后，钱伟长拍案而起，他说：我不读历史系了，我要学造飞机大炮。
他决定转学物理以振兴中国的军力。
于是钱伟长几次跑去找物理系主任吴有训，吴先生被这位青年的爱国热情打动了，答应他试读一年。
为了能尽早赶上课程，钱伟长来往于宿舍、教室和图书馆之间，早起晚归，极度用功。
他克服了用英语听课和阅读的困难，一年后数理课程超过了70分，四年后，成了一名出类拔萃的优秀生。
正如他后来常说的：“我从来不相信有什么‘天才’，而只是相信人的才能是用艰苦的劳动培植出来的。
奋发才有为，勤学才有识。
”1940年1月钱伟长考取中英庚款会的公费留学生，赴加拿大多伦多大学学习。
钱伟长与自己的导师辛吉教授第一次面谈时，发现两人都在研究板壳理论，于是师生俩开始共同啃这块硬骨头。
的确，板壳内禀理论是一大难题，但是很有实用价值。
一 爱因斯坦求和约定1.1指标变量的集合：n n y y y x x x ,...,,,...,,2121表示为：n j y n i x j i ...,3,2,1,,...,3,2,1,==写在字符右下角的 指标，例如xi 中的i 称为下标。
写在字符右上角的指标，例如yj 中的j 称为上标；使用上标或下标的涵义是不同的。
用作下标或上标的拉丁字母或希腊字母，除非作了说明，一般取从1到n 的所有整数，其中n 称为指标的范围。
1.2求和约定若在一项中，同一个指标字母在上标和下标中重复出现，则表示要对这个指标遍历其范围1，2，3，…n 求和。
这是一个约定，称为求和约定。
例如：333323213123232221211313212111bx A x A x A b x A x A x A bx A x A x A =++=++=++筒写为：ijijbx A =ｊ——哑指标ｉ——自由指标，在每一项中只出现一次，一个公式中必须相同遍历指标的范围求和的重复指标称为“哑标”或“伪标”。
不求和的指标称为自由指标。
1.3 Kronecker-δ符号（克罗内克符号）和置换符号Kronecker-δ符号定义j i ji ij ji ≠=⎩⎨⎧==当当01δδ置换符号ijkijk e e =定义为:⎪⎩⎪⎨⎧-==的任意二个指标任意k j,i,当021)(213,132,3的奇置换3，2，1是k j,i,当112)(123,231,3的偶置换3，2，1是k j,i,当1ijk ijke ei,j,k 的这些排列分别叫做循环排列、逆循环排列和非循环排列。
置换符号主要可用来展开三阶行列式：231231331221233211231231133221332211333231232221131211a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a ---++==因此有：ijmjimii i i jijAA aa a a a ==++=δδδδδ332211kijjkiijkkjiikjjikijkee e e e e e ==-=-=-=同时有：ijjijij iiiijijijkj ikilkljkijjjiiijijijkjikiie e aa aa a a a aa δδδδδδδδδδδδδδδδδδδ=⋅=++=========++=332211332211331001010100131211232221333231321333222111321321321-=====δδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδe e k j i k j i k j i k k k j j j i i i ijk333222111321321321r q p r q p r q p k k k j j j i i i pqr ijke e δδδδδδδδδδδδδδδδδδ⋅=ipp i p i p i p i δδδδδδδδδ==++11332211krkqkpjrjqjpiriqippqrijke e δδδδδδδδδ=jqirjriqjrjqiriqkqrijke e kp δδδδδδδδ-===321321322311332112312213322113312312332211333231232221131211k j i ijkkjiijkaa a e a a a e aa a a a a a a a a a a a a a a a a aaaa a aaa a A ==---++==Kronecker-δ和置换符号符号的关系为：itjsjtiskstkije e δδδδ-=二 张量代数2.1张量的加法(减法)两个同阶、同变异(结构) 的张量可以相加(或相减)。
张量分析研一 熊焕君 2017.9.281.引论：我们对标量和矢量都非常熟悉。
标量是在空间中没有方向的量，其基本特征是只需要一个数就可以表示，且当坐标系发生转动时这个数保持不变，因此也称其为不变量。
而矢量是个有方向的量，三维空间中矢量需要一组三个数（分量）来表示，其基本特征是当坐标系发生转动时，这三个数按一定规律而变化。
然而在数学物理问题中，还常出现一些更为复杂的量，如描述连续体中一点的应力状态或一个微元体的变形特征等，仅用标量和矢量不足以刻画出他们的性质。
要描述这些量则有必要将标量和矢量的概念加以引申和扩充，即引入新的量——张量。
在概念上，张量和矢量有许多类同之处。
一方面张量也表示某一客观存在的几何量或物理量，显然张量作为一个整体是与描述它所选取的坐标系无关，可像矢量代数那样，用抽象法进行描述；另一方面也可像矢量一样采用坐标法进行描述，此时张量包含有若干个分量元素，各个分量的取值与具体的坐标系相关联。
张量的主要特征是，在坐标系发生变化时，其分量取值遵守着一定的转化定律。
张量方法的核心内容是研究一个复杂的量集坐标转换规律。
我们知道，一个物理定律如果是正确的，就必须不依赖于用来描述它的任何坐标系，张量方法就是既采用坐标系，而又摆脱具体坐标系的影响的不变方法。
于是我们可以在简单的直角坐标系中建立描述某一运动法则的支配方程，如果需要可以用张量方法将其转换到任意一个曲线坐标系中去。
例如对于很大一类边值问题，若选用恰当的曲线坐标系，其边界条件可以简化的表达，那么我们就可以将支配方程用张量方法转化到所采用的坐标系中来，从而使问题的求解容易处理。
2.记号与约定张量是包含有大量分量元素的复杂量集，必须使用适当的记号和约定，才能使其表达形式简化紧凑，从而使分析和讨论有序地进行。
从某种意义上讲，可以说张量是对记号的研究。
所以我们必须熟悉各种约定记号，才能对张量这个工具运用自如。
在张量方法中对一个量的标记采用字母标号法。
从实例入手认识张量1从实例入手认识张量邓晓明2016年5月12日********************题记：并矢是矢量的自然延伸。
都说，张量是矢量的拓展，不如说，是张量这个纯粹的数学概念把矢量和并矢给收编了，对其重新进行抽象的定义，使其脱离原本很“接地气”的物理概念。
这似乎标志着数学上的进步......前言从经典物理学的角度来看，标量和矢量的概念清晰易懂，因为两者的原形就在我们周围的世界之中。
而张量却有所不同，不论从它的现代定义或古典定义来看，它都是一个纯粹的数学概念。
许多初学者急切想看到张量长的什么样，翻遍了教科书，查遍了网却依然不见庐山。
有的人甚至认为张量是为“牲口”准备的，不是人学的玩意儿。
因为绝大部分张量的入门教材，就张量而论张量，开篇就是一系列的抽象表述。
对于一般初学者而言，这种违反认识规律的，从抽象到抽象的结果，自然是云山雾罩，一塌糊涂了。
当然不排除背功一流的学霸，一股脑全然死记于心，但要真正理解，恐怕还是要在接触若干实例之后才能慢慢实现。
的确也有极少部分“非正统”教材从实例入手，但讲解的并不细致，对初学者而言，存在推理盲点，致使对某些关键的知识点不知所云。
笔者将回忆，整理以前的学习体会，同时也对矢量、并矢及张量的概念，及其之间的关系进行相应的讨论。
部分心得及公式表达（包括角标运算）是笔者自己的总结。
如果有错误，欢迎批评指正，如果还有那么一点价值，愿与感兴趣的朋友分享，如果对读者真能有所助益，岂不是一大快慰！必要的张量知识，是学习，理解或质疑现代物理学的必备工具。
笔者个人观点，如果不是玩儿纯数学的，就先不要被那些五花八门的抽象数学空间所迷惑，从实际例子出发，似乎是张量学习的敲门砖。
如果只想玩儿物理学（包括工程学等），先搞懂二阶张量足矣。
具体例子有：应力张量，应变张量，各种梯度张量，电磁场张量等。
本篇以引用最多的笛卡尔应力张量实例入手。
因为它本来就是张量起源的原形，只是张量理论的发展，成型得益于黎曼几何。
引言张量是一个数学概念。
我们知道，可以由一个实数值完全确定的物理量（如长度、温度、密度等）称为标量；可以用一个实数值（模值）和空间一定方向来表征的物理量（如力、速度、加速度等）称为矢量。
有许多物理量既不是标量，也不是矢量，它们具有更复杂的性质，需要用更复杂的数学实体—张量来描述。
例如，连续体内一点的应力状态和一点的应变状态需要更分别用应力张量σ和应变张量∈来描述，xx xy xz yx yyyz zx yxzz σττστστττσ⎧⎫⎪⎪=⎨⎬⎪⎪⎩⎭ 112211221122xxxy xz yxyyyz zx yx zz εγγγεγγγε⎧⎫⎪⎪⎪⎪⎪⎪∈=⎨⎬⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎭又如，质点对于某定点的转动惯量需要用惯性张量来描述⋅⋅⋅。
事实上，标量和矢量都是张量的特例，它们分别为零阶张量和一阶张量。
这是两种最简单的张量。
在处理物理学和力学问题中，张量理论是一种有效的数学工具。
它有许多突出的优点，例如：(1)张量方程的一个重要特性是与坐标系的选择无关。
这一特性使它能够很好地反映物理定律和各物理量之间的关系。
张量方程对于任何坐标系都具有统一的形式，因此，当坐标系不确定时，照样可以将物理现象用数学方程表达出来。
(2)张量方程的上述特性使我们能够从某种特殊坐标系中建立起适用于一切坐标系的方程。
(3)属于某阶张量的某种物理量所具有的张量特性，对于所有这类张量（不管它们表达何种物理现象）来说，必定也都具有这些特性。
（例如应力张量是二阶对称张量，倘若我们掌握了应力的张量特性，便可以断定所有二阶对称张量，如应变张量、惯性张量以及平板曲率张量等，也都具有这些特性。
） (4)张量表述和张量算法具有十分清晰、简捷的特点。
张量理论是数学中的一个分支。
张量的普遍概念是十九世纪中叶对连续介质力学有了深入研究之后建立起来的。
（在法文中，张量tension 一词具有“应力”的意思；也就是说，张量是像应力那样具有某些特定性质的量。
1 知识总结1.1 指标符号例如, 三维空间任意一点p 在笛卡儿坐标系（321,,x x x ），若是再推广到比三维更高的空间时不好描述了。
因此，发展了另一种记法指标记法。
在三维空间力里， 矢量有三个分量，采用一般的指标将它们用一个简单的分量进行缩写。
因此在指标记法里边用指标符号表示为（i x ，i=1,2,3）。
一个 n 维空间的矢量（n x x x x ,,,,321⋅⋅⋅）也可用分量表示为（n i x i ,,2,1,⋅⋅⋅=）。
其中i —指标（取值范围为小于或等于n 的所有正整数）n —维数1.1.1 求和约定和哑指标求和约定是指标记法的补充。
若在一项中，只要一个下标在同一式子中重复 出现，则表示要对这个指标从1,2,3......n 求和。
要表示求和n n x a x a x a S ⋅⋅⋅++=2211，可表示为∑∑====nj j j ni i i x a x a S 11，约定：j j i i x a x a S ==，（用拉丁字母表示3维，希腊字母表2维）。
其中求和指标与所用的字母无关指标重复只能一次。
对于双重求和，∑∑==3131i j j i ij y x A ，其中，333323321331322322221221311321121111y x A y x A y x A y x A y x A y x A y x A y x A y x A y x A j i ij ++++++++=可表示为k j i ijk z y x A ，代表27项的和式。
1.1.2 自由指标333323213123232221211313212111b x A x A x A b x A x A x A b x A x A x A =++=++=++ 可以简写为i j ij b x A =，其中 j ——哑指标i ——自由指标，在每一项中只出现一次，一个公式中必须相同 1.1.3 Kronecker-δ符号和置换符号(Ricci 符号) （1）Kronecker-δ符号定义首先是标积，从物理学知道，一个力矢量 f 与一个位移矢量 s ,可以确定一个 标量，即功W ，cos W f s f s θ== 其中记作 f s ⋅ ．所以又称点积。
用指标符号，则当用基矢分别表示 f s , 时，它们的点积记为由于1e ，2e ，3e 是相互垂直的单位矢量，由点积的定义，知当i= j 时，δij 的分量是 1；当i ≠j 时，δij 的分量为 0。
即13,2,1,01133132232112332211==========≠=⎩⎨⎧==δδδδδδδδδδδ时，有当当当j i j i j i ij ji克朗内克（Kronecker ）符号δij 可看作是一个单位矩阵的缩写形式，即100010001333231232221131211==δδδδδδδδδδij当将 1、2、3 赋值给 i 时，这一点很容易被验证，于是得到的分量分别为1v ，2v ，3v 所以ij j i v v δ=，可见，最终的结果是由于在数值变换上用i 代替 j 。
所以，显而易见，将δij 应用于v j 只是将v j 中的 j 用i 置换；因此δij 符号通常称为置换算子。
（2）置换符号(Ricci 符号)()()()()()()()()等若有两个或三个指标相若若2,3,1,3,1,2,1,2,3,,2,1,3,1,3,2,3,2,1,,011==⎪⎩⎪⎨⎧-=k j i k j i e ijk交错张量 e ijk 还为缩写提供了另一种方法。
例如，叉积可以写为ijk j k i e v we。
注意求和约定。
三个矢量U ， V ，W 的点积和叉积可以得到几种有意义的乘积形式：下面的关系式成立并且有用：以U V W , 为边的平行六面体的体积或者该体积的负值， 这要根据U V W , 是不是构成右手坐标系而定。
1.2矢量的基本运算在三维空间中, 任意矢量都可以表示为三个基矢量的线性组合 321,,e e e ，i i e a e a e a e a a =++=332211其中a i 为矢量a 在基矢量e i 下的分解系数, 也称矢量的分量 （1）矢量点积可表示为ij j i e e δ=⋅，jj i i ij j i j j i i b a b a b a e b e a b a ==⋅=⋅δ(2)矢量叉积可表示为k ijk j i e e e e =⨯其中k ik i e e δ=，k jk j e e δ=kijk t ijt t js ir rst j j j i i i j i e e e e e e e e e e e ====⨯δδδδδδδδ321321321故可得：ji ijk k k j i ijk k ijk j i ji j i j j i i b a e c c e b a e e e b a e e b a e b e a b a ===⨯=⨯=⨯ (3)矢量的混合积可表示为r r k j i ijk e c e b a e c b a ⋅=⋅⨯=kr r j i ijk c b a e δ=k j i ijk c b a e 其中有k r ijr k j i e e e e e e ⋅=⋅⨯=ijk rk ijr e e =δ（ijk e 表示Ricci 符号）1.3坐标变换1.4梯度、散度1.4.1 标量场的梯度假定在空间某区域定义一个标量ϕ，那么可以得到 ϕ分别对三个坐标的导数，即321e ze y e x grad ∂∂+∂∂+∂∂=ϕϕϕϕ 1.4.2 矢量的散度zu y u x u div z y x ∂∂+∂∂+∂∂=ϕ=u ⋅∇=⋅∂=j j i i j j e u e u , ∇u 是一个标量，在空间任一点，它只有一个值，不像矢量那样有三个分量。
1.5笛卡尔张量1.5.1 张量的概念与表示方法矢量是比标量更复杂的一种物理量或几何量。
自然界还有比矢量更复杂的量， 如弹性体中一点的应力状态，就有正应力x σ，y σ，z σ和剪应力xy τ，xz τ，yzτ，zxτ，yxτ，zy τ共九个分量值。
这样一种量，叫做张量。
先从矢量 v 的表示方法考虑，从有向线段的图示法出发，应用平行四边形合1.5.2 张量的代数运算 （1）加(减)法j i j i j i j i j i e e T e e B A B A T ''''''''''=+=+=)(（2）矢量与张量的点积(点乘)张量的乘法， 又叫张量的外积或直积。
任何阶的几个张量都可施行乘法运算。
其意义是第一个张量的每一个分量乘以第二个张量的每一个分量， 不难证明它们 组成的集合仍是一个张量，叫做原两个张量的积张量。
积张量的阶数等于两相乘 张量的阶数之和。
矢量与张量点乘的结果仍为张量,新张量b 比原张量 T 的阶数降低一阶 左点乘b e T a e e T e a T a k ij jk i k j jk i i ==⋅=⋅δ)()(右点乘==⋅=⋅jk i k ij k k j i ij e a T e a e e T a T δ)()(c e a T i j ij =a T T a ⋅≠⋅（只有对称张量两者才相等 ） （3）矢量与张量的叉积矢量与张量叉乘的结果仍为张量, 新张量与原张量同阶 左叉乘==⨯=⨯k r ijr jk i k j jk i i e e e T a e e T e a T a )()(A e e T a e k r jk i ijr =右叉乘==⨯=⨯r jkr i k ij k k j i ij e e e a T e a e e T a T )()(B e e a T e r i k ij jkr =（4）两个张量的点积两个张量点积的结果仍为张量。
新张量的阶数是原两个张量的阶数之和减 2 Se e e e B A e e e e B A e e e B e e e A B A t s j i t ks k ij t s kr j i t rs k ij t s r t rs k j i k ij =⋅⋅⋅⋅⋅⋅=⋅⋅⋅⋅⋅⋅=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅δ)()(两个二阶张量点积的结果为一个新的二阶张量,这相当于矩阵相乘 （5）张量的缩并在张量的不变性记法中, 将某两个基矢量点乘, 其结果是一个较原张量低二阶的新张量, 这种运算称为缩并 ，张量的缩并是张量特有的又一个代数运算。
对阶张量进行缩并，就是对其中 两相同的指标按求和约定求和。
不难证明，缩并之后仍是张量，其阶数比原张量 低某个偶数，这要看它是对几对指标缩并而定。
二阶张量的缩并，是一个标量。
低于二阶的张量（如矢量）不能进行缩并运 算。
j i ij e e A A =332211A A A A A e e A A ii ij ij j i ij ++===⋅=δ （6）指标置换这是张量所特有的代数运算之一，也是最简单的张量代数运算， 如k j i ijk e e e A A =若对该张量的分量中任意两个指标交换次序, 得到一个与原张量同阶的新张量k j i ijk k j i jik e e e B e e e A =k j i ijk k j i jik k i j ijk e e e B e e e A e e e A ==如果一个张量只是对某一对特定指标对称（或者斜对称） ，则称之为对这对指 标对称的（或者斜对称）张量。
如果在一个坐标系中，一个张量对某一对指标对 称（或者斜对称） ，那么在所有的坐标系中，它对该对指标都对称（或者斜对称） 。
2知识应用————井筒岩体裂隙等效渗透系数张量数值法研究2.1 井筒岩体淋水现状受地质、水文、施工等多种复杂因素的影响，煤矿在井筒建设之初就有淋水现象。
随时间推移，淋水点越来越多，淋水量不断增大。
副井井筒主要出水层位是在进入到主要含水层后开始，明显出水点集中在井壁破裂处，局部裂隙、明显出水点和井壁破裂严重的位置基本对应，大多出现在井筒的东北和西南方向，裂隙井筒岩体渗透性及其随着应力、温度的影响受到广泛关注。
图2.1 副井井筒内罐道梁和支护体系在淋水后锈蚀沿整个副井井深，在井壁的东北和西南出现明显的压剪破坏裂缝，东北方位裂缝多数右上到左下方向，而西北方位裂缝多数是左上到右下，呈现出与地层侏罗系地层X型压剪共轭裂缝相对应的特征。
随着井筒深度增加，裂缝倾角（初始近70 ）有逐步变缓趋势。
井壁裂缝沿井深的分布广，井深50m以下直到马头门上方均布。
图2.2 井深80~200m副井井壁混凝土破坏段主要位于马头门向上100m左右范围，从地质柱状图可知，这一范围恰好处于1煤至5煤的含煤地层。
