初二全等三角形所有知识点总结和常考题提高难题压轴题练习含答案解析

A-or dng to Office Party of mass ie nu — inpa cie actv - s e d groupof u“ arrangement* unis main le ..................... ... .as w orkes Shag a tmes ia>y leiue, due tohmsef e velmitd,onlputt his”e cn.entaii ear nig of ex perence to., and eveyne common wthea nig echange purpose s e w e fule dee .U. — a nd ng mass l ne of ............ ... d pay of mass ie, do ma ses wo* fol o —、mai nfrom four a aspe cS told： a, a nd f ulawaeesspay of mass ieon paclce a*.- of mjr mea nig Partys 8 major diSt i Ciropo_ d to fcs on the partys adv need natue ad puiy, i n the lay, wt"ragmatc a . nd —nfor the pepe" - the main cne nt .......................... of t he ,.“ ma — " ne a nd e. — inai pra cie. Ths scmraie XI Jinping aspayGeeaSecetay a ndadereto s trCy a dmisei nghe party stegghe nthe party's major — csi n is in l ne wt h Ie public execains a nd stegghe nig t he const., on of earni ngoriee- vie i nnovain of Maxis pa" major— plyment, i s te importat meaue tld<a nce t I egea—use ....... of sca lsmwt CCinnsecalcei sis. Fist cay out tepays ma- l I e in e_iain pra ctc, wa s - ryng 8 of the paty si ■ lummon a po-wekl force fr rralzigtI e gea efveaton ofke .... Chi ................ neenainthe Chinse de-of ur—t ne Ids Pa" mote "tgc - plyme ng ......... scalsm wtCCie - caace" csprrse ns two 100yar g "namel y by 200 China s gros domest c product ad per caia ♦ ncme of u I a a nd ruale s- nts i ■■ on t he ba ss of double cmpee the buidi ........ ng of a w+ ol s”- te mi dde of ts cetuy i nta pr oseous dlmocat c cvlzld a nd hamoni oos Soc- moden county, a nd on ths ba ss the Cinse de_ of ealzi I g te gea euenatonofteChi—e naton. 8 C.ngr -sof the par y, Ccmrrde XI J r.e— dy - pounedt I e Chie - drem. T he ba Chinsede—, s t ........ hennlinalp.sei y naiona reVtlzt on, t he ha ppine — of te pe opl e CCia importat to foll I w is tlee pChia Roa d, cary forwa d the srt ad chhsi on ste ngt of ^Cina . dram drems of the pe opl eof CCi I a butdeemi nnd cnfience e nha nce lel a>e nes, a ci e-e sel rea nce to bu d a stonger CCina, cvi lizaion, ham ony beaut, Chia , CCina Chia Statgic conce pin of Chia wa s 8 the sii of the e .ricment a nd deelpmet of te pay, cnscie ni—y s udy te CCi I Ise dram, lad ng peope t o had to rral>e the Chi nee dram, mas e ducaton a ctvtls i n -pth "e fuddmeta stat ng poit ad eding poi nt. Steghe n te e _cain of the par* ma — lne , hel psttanthecoleciecnncioosne — of te unity of the lay ad the peope pay I gteCCie - drem i del Igicabae sC.mme " oZedng stesm tat pates soud hhae "cm monlaguage"soiaitcuntrismushhae "uiy ofwi".Hity ha全等三角形知识点总结知识点总结一、全等图形、全等三角形：1.全等图形：能够完全重合的两个图形就是全等图形。

(文末带解析)八年级数学全等三角形常考必考知识点总结单选题1、工人师傅常常利用角尺构造全等三角形的方法来平分一个角．如图，在∠AOB的两边OA、OB上分别在取OC=OD，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与点C、D重合，这时过角尺顶点M的射线OM就是∠AOB的平分线．这里构造全等三角形的依据是（）A．SAS B．ASA C．AAS D．SSS2、小明不慎将一块三角形的玻璃摔碎成如图所示的四块（即图中标有1、2、3、4的四块），你认为将其中的哪一些块带去，就能配一块与原来一样大小的三角形？应该带（）A．第1块B．第2块 C．第3块D．第4块3、如图，△ABC和△EDF中，∠B＝∠D＝90°，∠A＝∠E，点B，F，C，D在同一条直线上，再增加一个条件，不能判定△ABC≌△EDF的是( )A．AB＝EDB．AC＝EFC．AC∥EFD．BF＝DC4、如图，AB//DC，AB=DC，要使∠A=∠C，直接利用三角形全等的判定方法是()A．AASB．SASC．ASAD．SSS∠AOB，则OC是∠AOB的平分线③a>b，则5、下列说法：①若AC=BC，则C为AB的中点②若∠AOC=12a2>b2④若a=b，则|a|=|b|，其中正确的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个6、如图是作ΔABC的作图痕迹，则此作图的已知条件是（）A．已知两边及夹角B．已知三边C．已知两角及夹边D．已知两边及一边对角7、作∠AOB平分线的作图过程如下：作法：（1）在OA和OB上分别截取OD、OE，使OD=OE．DE的长为半径作弧，两弧交于点C．（2）分别以D，E为圆心，大于12（3）作射线OC，则OC就是∠AOB的平分线．用下面的三角形全等的判定解释作图原理，最为恰当的是（）A．SSS B．SAS C．ASA D．AAS8、如图，△ABC≌△AEF，AB＝AE，∠B＝∠E，则对于结论：①AC＝AF；②∠FAB＝∠EAB；③EF＝BC；④∠EAB＝∠FAC，其中正确结论的个数是（）A．1个B．2个C．3个D．4个填空题9、如图，已知AD=AE，请你添加一个条件，使得△ADC≌△AEB，你添加的条件是_____．（不添加任何字母和辅助线）10、如图，在Rt△ABC与Rt△DEF中，∠B=∠E=90°，AC=DF，AB=DE，若∠A=50°，则∠DFE的度数为________．11、如图，△ABC≌△DEF，BE＝5，BF＝1，则CF＝_____．12、如图，AB=12，CA⊥AB于A，DB⊥AB于B，且AC=4m，P点从B向A运动，每分钟走1m，Q点从B向D运动，每分钟走2m，P、Q两点同时出发，运动______分钟后△CAP与△PQB全等．13、如图，在△ABC中，点E在AB上，D为AC的中点，过点C作CF∥AB交ED的延长线于点F．若AB＝15cm，CF＝10cm，则BE＝_____cm．解答题14、如图（1），AB＝4cm，AC⊥AB，BD⊥AB，AC＝BD＝3cm．点P在线段AB上以1cm/s的速度由点A向点B运动，同时，点Q在线段BD上由点B向点D运动．它们运动的时间为t（s）．（1）若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，当t＝1时，△ACP与△BPQ是否全等，并判断此时线段PC和线段PQ的位置关系，请分别说明理由；（2）如图（2），将图（1）中的“AC⊥AB，BD⊥AB”为改“∠CAB＝∠DBA＝60°”，其他条件不变．设点Q的运动速度为xcm/s，是否存在实数x，使得△ACP与△BPQ全等？若存在，求出相应的x、t的值；若不存在，请说明理由．15、如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，∠1＝∠2，CE⊥BD交BD的延长线于点E.求证：BD＝2CE.(文末带解析)八年级数学全等三角形_009参考答案1、答案：D解析：根据全等三角形的判定条件判断即可．解：由题意可知OC=OD,MC=MD在△OCM和△ODM中{OC=OD OM=OM MC=MD∴△OCM≅△ODM(SSS)∴∠COM=∠DOM∴OM就是∠AOB的平分线故选：D小提示：本题考查全等三角形的判定及性质、角平分线的判定、熟练掌握全等三角形的判定是关键．2、答案：B解析：本题应先假定选择哪块，再对应三角形全等判定的条件进行验证．解：1、3、4块玻璃不同时具备包括一完整边在内的三个证明全等的要素，所以不能带它们去，只有第2块有完整的两角及夹边，符合ASA，满足题目要求的条件，是符合题意的．故选：B．小提示：本题主要考查三角形全等的判定，看这4块玻璃中哪个包含的条件符合某个判定．判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS．注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．3、答案：C解析：根据全等三角形的判定方法即可判断.A. AB＝ED，可用ASA判定△ABC≌△EDF；B. AC＝EF，可用AAS判定△ABC≌△EDF；C. AC∥EF，不能用AAA判定△ABC≌△EDF，故错误；D. BF＝DC，可用AAS判定△ABC≌△EDF；故选C.小提示：此题主要考查全等三角形的判定，解题的关键是熟知全等三角形的判定方法.4、答案：B解析：根据平行线性质得出∠ABD=∠CDB，再加上AB=DC，BD=DB，根据全等三角形的判定定理SAS即可推出△ABD≌△CDB，从而推出∠A=∠C，即可得出答案．∵AB//DC，∴∠ABD=∠CDB，在△ABD和△CDB中，{AB=CD∠ABD=∠CDBBD=BD，∴△ABD≌△CDB(SAS)，∴∠A=∠C，故选B．小提示：本题考查了平行线性质、全等三角形的判定与性质的应用，熟练掌握全等三角形的判定与性质定理是解题的关键.5、答案：A解析：根据直线中点、角平分线、有理数大小比较以及绝对值的性质，逐一判定即可.当三点不在同一直线上的时候，点C不是AB的中点，故错误；当OC位于∠AOB的内部时候，此结论成立，故错误；当a、b为负数时，a2＜b2，故错误；若a=b，则|a|=|b|，故正确；故选：A.小提示：此题主要考查直线中点、角平分线、有理数大小比较以及绝对值的性质，熟练掌握，即可解题.6、答案：C解析：观察ΔABC的作图痕迹，可得此作图的条件.解：观察ΔABC的作图痕迹，可得此作图的已知条件为：∠α，∠β，及线段AB,故已知条件为：两角及夹边，故选C.小提示：本题主要考查三角形作图及三角形全等的相关知识.7、答案：A解析：根据作图过程可得OD=OE，CE=CD，根据OC为公共边，利用SSS即可证明△OCE≌△OCD，即可得答案．∵分别以D，E为圆心，大于12DE的长为半径作弧，两弧交于点C；∴CE=CD，在△OCE和△OCD中，{OE=OD CD=CE OC=OC，∴△OCE≌△OCD（SSS），故选：A．小提示：本题考查全等三角形的判定，正确找出相等的线段并熟练掌握全等三角形的判定定理是解题关键．8、答案：C解析：根据全等三角形对应边相等，对应角相等，结合图象逐个分析即可．解：∵△ABC≌△AEF，∴AC＝AF，EF＝BC，∠EAF＝∠BAC，故①③正确；∵∠EAF＝∠EAB＋∠BAF，∠BAC＝∠FAC＋∠BAF，∴∠EAB＝∠FAC，故④正确；条件不足，无法证明∠FAB＝∠EAB，故②错误；综上所述，结论正确的是①③④共3个．故选：C．小提示：本题考查了全等三角形的性质，熟记性质并准确识图，准确确定出对应边和对应角是解题的关键．9、答案：AB=AC或∠ADC=∠AEB或∠ABE=∠ACD.解析：根据图形可知证明△ADC≌△AEB已经具备了一个公共角和一对相等边，因此可以利用ASA、SAS、AAS证明两三角形全等．∵∠A=∠A，AD=AE，∴可以添加AB=AC，此时满足SAS；添加条件∠ADC=∠AEB，此时满足ASA；添加条件∠ABE=∠ACD，此时满足AAS，故答案为AB=AC或∠ADC=∠AEB或∠ABE=∠ACD；小提示：本题考查了全等三角形的判定，是一道开放题，解题的关键是牢记全等三角形的判定方法．10、答案：40°解析：先利用HL定理证明Rt△ABC≌Rt△DEF，得出∠D的度数，再根据直角三角形两锐角互余即可得出∠DFE的度数．解：在Rt△ABC与Rt△DEF中，∵∠B=∠E=90°，AC=DF，AB=DE，∴Rt△ABC≌Rt△DEF（HL）∴∠D=∠A=50°，∴∠DFE=90°-∠D=90°-50°=40°．所以答案是：40°．小提示：此题主要考查直角三角形全等的HL定理．理解斜边和一组直角边对应相等的两个直角三角形全等是解题关键．11、答案：3解析：先利用线段和差求EF＝BE﹣BF＝4，根据全等三角形的性质BC=EF，再结合线段和差求出FC 可得答案．解：∵BE＝5，BF＝1，∴EF＝BE﹣BF＝4，∵△ABC≌△DEF，∴BC＝EF＝4，∴CF＝BC﹣BF＝4-1=3，所以答案是：3．小提示：本题考查全等三角形的性质，线段和差,解题的关键是根据全等三角形的性质得出BC=EF．12、答案：4解析：分当△CPA≌△PQB时和当△CPA≌△PQB时，两种情况进行讨论，求得BQ和BP的长，分别求得P和Q运动的时间，若时间相同即可，满足全等，若不等，则不能成立．当△CPA≌△PQB时，BP=AC=4（米），则BQ=AP=AB-BP=12-4=8（米），P的运动时间是：4÷1=4（分钟），Q的运动时间是：8÷2=4（分钟），则当t=4分钟时，两个三角形全等；当△CPA≌△QPB时，BQ=AC=4（米），AB=6（米），AP=BP=12则P运动的时间是：6÷1=6（分钟），Q运动的时间是：4÷2=2（分钟），故不能成立．综上，运动4分钟后，△CPA与△PQB全等，所以答案是：4．小提示：本题考查了全等三角形的判定，注意分△CPA≌△PQB和△CPA≌△QPB两种情况讨论是关键．13、答案：5解析：由D为AC的中点可得AD=CD，由CF∥AB可得∠AED=∠F,∠A=∠FCD，根据全等三角形的判定定理AAS证得结论即可．解：∵D为AC的中点∴AD=CD∵CF∥AB∴∠AED=∠F,∠A=∠FCD在△AED和△CFD中{AD=CD∠AED=∠F∠A=∠FCD∴△AED≌△CFD（AAS）∴AE=CF∵AB＝15cm，CF＝10cm，BE=AB-AE=AB-CF=15-10=5cm所以答案是：5小提示：本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL根据具体情况选择恰当的判定方法是解题关键14、答案：（1）全等，理由见详解；PC⊥PQ，理由见解析；（2）存在，{t=1x=1或{t=2x=32．解析：（1）利用SAS 证得△ACP ≌△BPQ ，得出∠ACP=∠BPQ ，进一步得出∠APC+∠BPQ=∠APC+∠ACP=90°得出结论即可；（2）由△ACP ≌△BPQ ，分两种情况：①AC=BP ，AP=BQ ，②AC=BQ ，AP=BP ，建立方程组求得答案即可． 解：（1）当t =1时，AP =BQ =1，BP =AC =3，又∵∠A =∠B =90°，在ΔACP 和ΔBPQ 中，{AP =BQ ∠A =∠B AC =BP∴ΔACP ≅ΔBPQ (SAS )．∴∠ACP =∠BPQ ，∴∠APC +∠BPQ =∠APC +∠ACP =90°．∴∠CPQ =90°，即线段PC 与线段PQ 垂直．（2）①若ΔACP ≅ΔBPC ，则AC =BP ，AP =BQ ，则{3=4−t t =xt， 解得：{t =1x =1； ②若ΔACP ≅ΔBQP ，则AC =BQ ，AP =BP ，则{3=xt t =4−t， 解得：{t =2x =32 ；综上所述，存在{t =1x =1 或{t =2x =32使得ΔACP 与ΔBPQ 全等． 小提示：本题主要考查了全等三角形的判定与性质，两边及其夹角分别对应相等的两个三角形全等．在解题时注意分类讨论思想的运用．15、答案：证明见解析.解析：延长CE 、BA 交于F ，根据角边角定理，证明△BEF ≌△BEC ，进而得到CF=2CE 的关系．再证明∠ACF=∠1，根据角边角定理证明△ACF ≌△ABD ，得到BD=CF ，至此问题得解．证明：分别延长BA ，CE 交于点F.∵BE ⊥CE ，∴∠BEF ＝∠BEC ＝90°.又∵∠1＝∠2，BE ＝BE ，∴△BEF ≌△BEC(ASA)，∴CE ＝FE ＝12CF. ∵∠1＋∠F ＝90°，∠ACF ＋∠F ＝90°，∴∠1＝∠ACF.又∵AB ＝AC ，∠BAD ＝∠CAF ＝90°，∴△ABD ≌△ACF(ASA)，∴BD＝CF，∴BD＝2CE小提示：本题考查了全等三角形的判定与性质．解题的关键是恰当添加辅助线，构造全等三角形，将所求问题转化为全等三角形内边间的关系来解决．。

全等三角形难题易错点剖析一、错用三角对应相等说明全等例1如图，∠CAB=∠DBA，∠C=∠D，E为AC和BD的交点.△ADB与△BCA全等吗?说说理由.错解:△ADB≌△BCA.因为∠C=∠D,∠CAB=∠DBA，∠DAB=CBA,所以△CBE≌△DAE（AAA）.分析:两个三角形全等是对的，但说明的理由不正确.三个角对应相等不能作为三角形全等的识别方法.因为三个角对应相等的两个三角形不一定全等.正解:△CBE≌△DAE.因为∠CAB=∠DBA,∠C=∠D,AB=BA（公共边）,所以△CAB≌△DBA（AAS）.二、错用两边及一角对应相等说明全等例2如图,已知△ABC中,AB=AC,D，E分别是AB，AC的中点，且CD=BE，△ADC与△AEB全等吗？说说理由.错解:△ADC≌△AEB.因为AB=AC,BE=CD,∠BAE=∠CAD,所以△ADC≌△AEB（SSA）.分析:错解在把SSA作为三角形全等的识别方法,实际上，SSA不能作为三角形全等的识别条件.因为两边及一边对角相等的两个三角形不一定全等.正解:△ADC≌△AEB.因为AB=AC,D，E为AB，AC的中点，所以AD=AE.在△ADC和△AEB中,因为AB=AC,AD=AE,CD=BE,所以△ADC≌△AEB（SSS）.三、错用部分当整体说明全等例3如图，已知AB=AC，BD=CE,试说明△ABE与△ACD全等的理由.错解:因为AB=AC,所以∠B=∠C,在△ABE和△ACD中,因为AB=AC,∠B=∠C,AD=CE,所以△ABE≌△ACD（SAS）.分析:错解在把三角形边上的一部分当作说明的条件,这不符合三角形全等的识别方法.正解:△ABE与△ACD全等.因为AB=AC,所以∠B=∠C,因为BD=CE,所以BD+DE=CE+DE,即BE=CD.在△ABE和△ACD中,因为AB=AC,B=C,BE=CD,所以△ABC≌△ACF（SAS）.四、错用减法运算说明全等例4如图，已知AC，BD相交于点O，∠A=∠B，∠1=∠2，AD=BC.试说明△AOD≌△BOC.错解：在△ADC和△BCD中，因为∠A=∠B，∠2=∠1，DC=CD，所以△ADC≌△BCD（AAS），所以△ADC-△DEC=△BCD-△DEC，即△A0D≌△B0C.分析：错解在将等式的性质盲目地用到三角形全等中，实际上，三角形全等是不能根据等式的性质说明的.正解：在△ADO和△BCD中，∠A=∠B，∠AOD=∠BOC，AD=BC，所以△AOD≌△BOC（AAS）.。

初二数学 全等三角形压轴几何题知识点总结及答案一、全等三角形旋转模型1．ABC △和ADE 都是等腰直角三角形，CE 与BD 相交于点,M BD 交AC 于点,N CE 交AD 于点H .试确定线段BD CE 、的关系.并说明理由.解析：BD CE ⊥且BD CE =【分析】由已知条件可证明BAD CAE ≅△△，再根据全等三角形的性质，得到BD CE ∴= ADB AEC ∠=∠，在AEH △中90AEC AHE ∠+∠=︒，又AHE MHD ∠=∠，可得：90HMD ∠=︒，即可证明BD CE ⊥且BD CE =.【详解】解： ABC 和ADE 是直角三角形BAC DAE ∴∠=∠AB AC =AD AE =则BAC CAD DAE CAD ∠+∠=∠+∠即BAD CAE ∠=∠在BAD 与CAE 中AB AC BAD CAE AD AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩S )AS BAD CAE ∴≅（△△BD CE ∴= ADB AEC ∠=∠在AEH △中90AEC AHE ∠+∠=︒又AHE MHD ∠=∠90ADB MHD ∴∠+∠=︒则MHD 中90HMD ∠=︒，即，BD CE ⊥，综上所述，BD CE ⊥且BD CE =.【点睛】本题主要考查三角形全等的判定方法和性质定理和等腰直角三角形的性质，从复杂的图形中找到全等三角形和“8”字形三角形是解题的关键.2．探究问题：(1)方法感悟：如图①，在正方形ABCD中，点E，F分别为DC，BC边上的点，且满足∠BAF＝45°，连接EF，求证DE＋BF＝EF．感悟解题方法，并完成下列填空：将△ADE绕点A顺时针旋转90°得到△ABG，此时AB与AD重合，由旋转可得：AB＝AD，BG＝DE，∠1＝∠2，∠ABG＝∠D＝90°，∴∠ABG＋∠ABF＝90°＋90°＝180°，因此，点G，B，F在同一条直线上．∵∠EAF＝45°∴∠2＋∠3＝∠BAD－∠EAF＝90°－45°＝45°．∵∠1＝∠2，∠1＋∠3＝45°．即∠GAF＝∠________．又AG＝AE，AF＝AE∴△GAF≌△________．∴ _________＝EF，故DE＋BF＝EF．(2)方法迁移：如图②，将Rt△ABC沿斜边翻折得到△ADC，点E，F分别为DC，BC边上的点，且∠EAF ＝∠DAB．试猜想DE，BF，EF之间有何数量关系，并证明你的猜想．答案：E解析：(1)EAF、△EAF、GF；(2)DE＋BF＝EF.【解析】【分析】（1）利用角之间的等量代换得出∠GAF=∠FAE，再利用SAS得出△GAF≌△EAF，得出答案；（2）将△ADE顺时针旋转90°得到△ABG，再证明△AGF≌△AEF，即可得出答案；【详解】解：（1）如图①所示；根据等量代换得出∠GAF=∠FAE，利用SAS得出△GAF≌△EAF，∴GF=EF，故答案为：FAE；△EAF；GF；(2)DE＋BF＝EF，理由如下：假设∠BAD的度数为m，将△ADE绕点A顺时针旋转，m°得到△ABG，如图，此时AB与AD重合，由旋转可得：AB＝AD，BG＝DE，∠1＝∠2，∠ABG＝∠D＝90°，∴∠ABG＋∠ABF＝90°＋90°＝180°，因此，点G，B，F在同一条直线上．∵，∴．∵∠1＝∠2，∴∠1＋∠3＝．即∠GAF＝∠EAF．∵在△AGF和△AEF中，，∴△GAF≌△EAF（SAS）．∴GF＝EF．又∵GF＝BG＋BF＝DE＋BF，∴DE＋BF＝EF．【点睛】此题主要考查了全等三角形的判定和性质、以及折叠的性质和旋转变换性质等知识，证得△GAF≌△EAF是解题的关键．3．如图，△ABC中，O是△ABC内一点，AO平分∠BAC，连OB，OC．（1）如图1，若∠ACB＝2∠ABC，BO平分∠ABC，AC＝5，OC＝3，则AB＝；（2）如图2，若∠CBO+∠ACO＝∠BAC＝60°，求证：BO平分∠ABC；（3）如图3，在（2）的条件下，若BC＝3B绕点O逆时针旋转60°得点D，直接写出CD的最小值为．答案：A解析：（1）8；（2）见解析；（3）33【分析】（1）先补充证明角平分线的性质定理：如图，△ABC中，AD是角平分线，则：BD DC＝AB AC ．如图1中，延长CO交AB于E，由OA平分∠EAC，推出AEAC＝OEOC，推出AEEO＝AC OC ＝53，设AE＝5k，OE＝3k，利用相似三角形的性质构建方程求出k即可解决问题．（2）如图2中，过点O作EF⊥OA交AB于E，交AC于F，作CG∥EF交AB于G，连接OG．证明△AGO≌△ACO（SAS），推出OG＝OC，推出∠OGC＝∠OCG，证明O，G，B，C 四点共圆，可得结论．（3）如图3中，以BC为边向上作等边△BCH，连接OH，作HM⊥BC于M．证明△HBO≌△CBD（SAS），推出OH＝CD，由（2）可知∠BOC＝120°，推出当点O落在HM 上时，OH的值最小．【详解】解：（1）先补充证明角平分线的性质定理：如图，△ABC中，AD是角平分线，则：BD DC＝AB AC．理由：过C作CE∥DA，交BA的延长线于E，∵CE∥DA，∴∠1＝∠E，∠2＝∠3，∠1＝∠2，∴∠E＝∠3，∴AE＝AC，∵BDDC ＝BAAE，∴BDDC ＝ABAC．如图1中，延长CO交AB于E，∵OA平分∠EAC，∴AEAC＝OEOC，∴AEEO ＝ACOC＝53，设AE＝5k，OE＝3k，∵OB平分∠ABC，∴OC平分∠ACB，∵∠ACB＝2∠ABC，∴∠BCE＝12∠ACB＝∠EBC，∴EB＝EC＝3k+3，∵∠ACE＝∠ABC，∠CAE＝∠BAC，∴△ACE∽△ABC，∴ACAB ＝AEAC，∴5533k k ＝55k，解得k＝58或﹣1（舍弃），∴AB＝8k+3＝8．故答案为：8．（2）如图2中，过点O作EF⊥OA交AB于E，交AC于F，作CG∥EF交AB于G，连接OG．∵AO平分∠AEF，∴∠OAE＝∠OAF，∵AO＝AO，∠AOE＝∠AOF＝90°，∴△AOE≌△AOF（ASA），∴AE＝AF，∵∠EAF＝60°，∴△AEF是等边三角形，∴∠AEF＝∠AFE＝60°＝∠FOC+∠FCO，∵∠OBC+∠FCO＝60°，∴∠FOC＝∠OBC，∵EF∥CG，∴∠AGC＝∠AEF＝60°，∠ACG＝∠AFE＝60°，∴∠AGC＝∠ACG，∴AG＝AC，∵∠GAO＝∠CAO，AO＝AO，∴△AGO≌△ACO（SAS），∴OG＝OC，∴∠OGC＝∠OCG，∵∠FOC＝∠OCG，∴∠OBC＝∠OGC，∴O，G，B，C四点共圆，∴∠ABO＝∠OCG，∴∠ABO＝∠OBC，∴OB平分ABC．（3）如图3中，以BC为边向上作等边△BCH，连接OH，作HM⊥BC于M．∵△OBD，△BCH都是等边三角形，∴∠HBC＝∠OBD＝60°，BH＝BC，BO＝BD，∴∠HBO＝∠CBD，∴△HBO≌△CBD（SAS），∴OH＝CD，由（2）可知∠BOC＝120°，∴当点O落在HM上时，OH的值最小，此时OH＝HM﹣OM＝33∴CD的最小值为33．故答案为：33【点睛】本题主要考查角平分线、三角形相似的判定和性质、三角形全等的判定和性质、等边三角形等相关知识点，解题关键在于作出辅助线构造相应图形．4．定义：按螺旋式分别延长n边形的n条边至一点，若顺次连接这些点所得的图形与原多边形相似，则称它为原图形的螺旋相似图形．例如：如图1，分别延长多边形A1A2…A n 的边得A1′，A2′，…，A n′，若多边形A1′A2′…A n′与多边形A1A2…An相似，则多边形A1′A2′…A n′就是A1A2…A n的螺旋相似图形．（1）如图2，已知△ABC是等边三角形，作出△ABC的一个螺旋相似图形，简述作法，并给以证明．（2）如图3，已知矩形ABCD，请探索矩形ABCD是否存在螺旋相似图形，若存在，求出此时AB与BC的比值；若不存在，说明理由．（3）如图4，△ABC是等腰直角三角形，AC＝BC＝2，分别延长CA，AB，BC至A′，B′，C′，使△A′B′C′是△ABC的螺旋相似三角形．若AA′＝kAC，请直接写出BB′，CC′的长（用含k的代数式表示）答案：A解析：（1）见解析；（2）AB：BC＝1；（3）BB′＝2k，CC′＝k．【分析】（1）如图2中，延长AB到E，延长BC到F，延长CA到D，使得BE＝CF＝AD，连接EF，DF，DE．则△DEF是△ABC的一个螺旋相似图形，证明△DEF是等边三角形即可解决问题．（2）如图3中，假设存在．四边形EFGH是矩形ABCD的螺旋相似图形，设AB＝CD＝a，BC＝AD＝b，BE＝DG＝x，CF＝AH＝y．分两种情形，利用相似三角形的性质以及相似矩形的性质，构建关系式证明a＝b即可解决问题．（3）如图4中，作B′T⊥CB交CB的延长线于T．设TB＝TB′＝m，证明△A′CC′≌△A′TB′（ASA），推出A′C＝TC′，CC′＝TB′＝BT，构建关系式推出m＝k即可解决问题．【详解】解：（1）如图2中，延长AB到E，延长BC到F，延长CA到D，使得BE＝CF＝AD，连接EF，DF，DE．则△DEF是△ABC的一个螺旋相似图形．理由：∵△ABC是等边三角形，∴AB＝BC＝AC，∠CAB＝∠ABC＝∠ACB，∴∠DAE＝∠FCD＝∠EBF＝120°，∵BE＝CF＝AD，∴CD＝AE＝BF，∴△FCD≌△DAE≌△EBF（SAS），∴DF ＝DE ＝EF ，∴△DEF 是等边三角形，∴△DEF ∽△ABC ，∴△DEF 是△ABC 的一个螺旋相似图形．（2）如图3中，假设存在．四边形EFGH 是矩形ABCD 的螺旋相似图形，设AB ＝CD ＝a ，BC ＝AD ＝b ，BE ＝DG ＝x ，CF ＝AH ＝y ．由题意：△BEF ∽△AHE ， ∴EF EH ＝BE AH ＝BF AE， ∴x y ＝b y a x++， 当EF HE ＝BC AB ＝b a 时，b a ＝x y ＝b y a x++， ∴x ＝b a•y ，ax +x 2＝by +y 2， ∴by +22b a•y 2＝by +y 2， ∴a 2＝b 2，∴a ＝b ，即AB ：BC ＝1． 当EF EH ＝AB BC ＝a b 时．a b ＝x y ＝b y a x ++， ∴x ＝a b•y ，ax +x 2＝by +y 2， ∴2a b •y +22a b•y 2＝by +y 2， ∴22a b b -•y （1+y b）＝0， ∵y ≠0，1+y b≠0，∴a2＝b2，∴a＝b，即AB：BC＝1，综上所述，AB：BC＝1．（3）如图4中，作B′T⊥CB交CB的延长线于T．∵AC＝BC＝2，∠ACB＝90°，∴∠ABC＝∠CAB＝45°，∴∠TBB′＝∠ABC＝45°，∴∠TB′B＝∠TBB′＝45°，∴TB＝TB′，设TB＝TB′＝m，∵△A′B′C′是△ABC的螺旋相似三角形，∴A′C′＝B′C′，∠A′C′B′＝90°，∵∠A′C′C+∠B′C′＝90°，∠A′CC+∠C′A′C＝90°，∴∠C′A′C＝∠B′C′T，∵∠A′CC′＝∠T＝90°，∴△A′CC′≌△A′TB′（ASA），∴A′C＝TC′，CC′＝TB′＝BT，∴2+2k＝2+2m，∴m＝k，∴BB′2k，CC′＝k．【点睛】本题属于相似形综合题，考查了等边三角形的性质，矩形的性质，等腰直角三角形的判定和性质等知识，解题的关键是理解题意，学会利用参数解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题．5．△CDE和△AOB是两个等腰直角三角形，∠CDE＝∠AOB＝90°，DC＝DE＝1，OA＝OB＝a（a＞1）．（1）将△CDE的顶点D与点O重合，连接AE，BC，取线段BC的中点M，连接OM．①如图1，若CD，DE分别与OA，OB边重合，则线段OM与AE有怎样的数量关系？请直接写出你的结果；②如图2，若CD在△AOB内部，请你在图2中画出完整图形，判断OM与AE之间的数量关系是否有变化？写出你的猜想，并加以证明；③将△CDE绕点O任意转动，写出OM的取值范围（用含a式子表示）；（2）是否存在边长最大的△AOB，使△CDE的三个顶点分别在△AOB的三条边上（都不与顶点重合）？如果存在，请你画出此时的图形，并求出边长a的值；如果不存在，请说明理由．答案：A解析：（1）①OM ＝12AE ；②OM ＝12AE ，证明详见解析；③12a -≤OM ≤12a +；（2）5【分析】（1）①利用△CDE ≌△AOB 得出BC ＝AE ，再由直角三角形斜边的中线等于斜边的一半求解．②作辅助线，利用△COF ≌△EOA 及三角形中位线得出OM ＝12AE ． ③分两种情况，当OC 与OB 重合时OM 最大，当OC 在BO 的延长线上时OM 最小，据此求出OM 的取值范围．（2）分两种情况：当顶点D 在斜边AB 上时，设点C ，点E 分别在OB ，OA 上．由DM +OM ≥OF 求出直角边a 的最大值；当顶点D 在直角边AO 上时，点C ，点E 分别在OB ，AB 上时，利用△EHD ≌△DOC ，得出OD ＝EH ，在Rt △DHE 中，运用勾股定理ED 2＝DH 2+EH 2，得出方程，由△判定出a 的最大值．【详解】解：（1）①∵△CDE 和△AOB 是两个等腰直角三角形，∴CD ＝ED ，AO ＝B 0，∠CDE ＝∠AOB ，在△CDE 和△AOB 中，CD ED CDE AOB AO BO =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△CDE ≌△AOB （SAS ），∴BC ＝AE∵M 为BC 中点，∴OM ＝12BC ，∴OM ＝12AE ． ②猜想：OM ＝12AE ． 证明：如图2，延长BO 到F ，使OF ＝OB ，连接CF ，∵M 为BC 中点，∴OM ＝12CF ， ∵△CDE 和△AOB 是两个等腰直角三角形，∴CD ＝ED ，AO ＝BO ＝OF ，∠CDE ＝∠AOB ，∵∠AOC +∠COB ＝∠BOE +∠COB ＝90°，∴∠AOC ＝∠BOE ，∠FOC ＝∠AOE ，在△COF 和△EOA 中，CD ED FOC AOE OF AO =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△COF ≌△EOA ，∴CF ＝AE ，∴OM ＝12AE ． ③Ⅰ、如图3，当OC 与OB 重合时，OM 最大，OM＝11122 a a-++=Ⅱ、如图4，当OC在BO的延长线上时，OM最小，OM＝12a+﹣1＝12a-，所以12a-≤OM≤12a+，（2）解：根据△CDE的对称性，只需分两种情况：①如图5，当顶点D在斜边AB上时，设点C，点E分别在OB，OA上．作OF⊥AB于点F，取CE的中点M，连接OD，MD，OM．∵△AOB和△CDE是等腰直角三角形，∠AOB＝∠CDE＝90°，OA＝OB＝a（a＞1），DC＝DE＝1，∴AB ＝2a ，OF ＝12AB ＝22a ， ∴CE ＝2，DM ＝12CE ＝22， 在RT △COE 中，OM ＝12CE ＝22， 在RT △DOM 中，DM +OM ≥OD ，又∵OD ≥OF ， ∵DM +OM ≥OF ，即22+22≥22a ， ∴a ≤2，∴直角边a 的最大值为2．②如图6，当顶点D 在直角边AO 上时，点C ，点E 分别在OB ，AB 上，作EH ⊥AO 于点H ． ∵∠AOB ＝∠CDE ＝∠DHE ＝90°，∵∠HED +∠EDH ＝∠CDO +∠EDH ＝90°，∴∠HED ＝∠CDO ，∵DC ＝DE ，在△EHD 和△DOC 中，EHD COD HED CDO DE DC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△EHD ≌△DOC （AAS ）设OD ＝x ，∴OD ＝EH ＝AH ＝x ，DH ＝a ﹣2x ，在Rt △DHE 中，ED 2＝DH 2+EH 2，∴1＝x 2+（a ﹣2x ）2，整理得，5x 2﹣4ax +a 2﹣1＝0，∵x 是实数，∴△＝（4a ）2﹣4×5×（a 2﹣1）＝20﹣4a 2≥0，∴a 2≤5，∴a 2的最大值为5，∴a的最大值为5．综上所述，a的最大值为5．【点睛】本题主要考查了几何变换综合题及三角形全等的判定和性质，解题的关键是在取最大值时，对三角形的位置进行讨论分别求值．6．已知：在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点D为直线BC上一动点(点D不与B、C重合)．以AD为边作正方形ADEF，连接CF．（1）如图1，当点D在线段BC上时，请直接写出线段BD与CF的数量关系：；（2）如图2，当点D在线段BC的延长线上时，其它条件不变，若AC=2，CD=1，则CF= ；（3）如图3，当点D在线段BC的反向延长线上时，且点A、F分别在直线BC的两侧，其它条件不变：①请直接写出CF、BC、CD三条线段之间的关系：；②若连接正方形对角线AE、DF，交点为O，连接OC，探究△AOC的形状，并说明理由．答案：B解析：（1）BD=CF；（2）221；（3）①CD=CF+BC，②等腰三角形，见解析【分析】（1）△ABC是等腰直角三角形，利用SAS即可证明△BAD≌△CAF；（2）同（1）相同，利用SAS即可证得△BAD≌△CAF，从而证得BD=CF，即可得到CF=CD+BC，然后求出答案；（3）中的①与（1）相同，可证明BD=CF，又点D、B、C共线，故：CD=BC+CF；②由（1）猜想并证明BD⊥CF，从而可知△FCD为直角三角形，再由正方形的对角线的性质判定△AOC三边的特点，再进一步判定其形状．【详解】解：（1）证明：∵∠BAC=90°，AB=AC，∴∠ABC=∠ACB=45°，∵四边形ADEF是正方形，∴AD=AF，∠DAF=90°，∵∠BAC=∠BAD+∠DAC=90°，∠DAF=∠CAF+∠DAC=90°，∴∠BAD=∠CAF，在△BAD和△CAF中，AB AC BAD CAF AD AF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△BAD ≌△CAF （SAS ），∴BD=CF ，（2）与（1）同理，证△BAD ≌△CAF ；∴BD=CF ，∴CF=BC+CD ，∵AC=AB=2，CD=1，∴BC ==∴CF=1；（3）①BC 、CD 与CF 的关系：CD=BC+CF理由：与（1）同法可证△BAD ≌△CAF ，从而可得：BD=CF ，即：CD=BC+CF②△AOC 是等腰三角形理由：与（1）同法可证△BAD ≌△CAF ，可得：∠DBA=∠FCA ，又∵∠BAC=90°，AB=AC ，∴∠ABC=∠ACB=45°，则∠ABD=180°-45°=135°，∴∠ABD=∠FCA=135°∴∠DCF=135°-45°=90°∴△FCD 为直角三角形．又∵四边形ADEF 是正方形，对角线AE 与DF 相交于点O ，∴OC=12DF ， ∴OC=OA ∴△AOC 是等腰三角形．【点睛】本题考查了等腰三角形、正方形的性质及全等三角形的判定与性质等知识点，一般情况下，要证明两条线段相等，就得证明这两条线段所在的两个三角形全等，关键是掌握图形特点挖掘题目所隐含的条件．7．问题提出（1）如图①，在ABC 中，AD 是BC 边上的高，若∠BAD ＝45°，∠DAC ＝30°，则ABD ACD S S ＝ ．问题探究（2）如图②，在正方形ABCD 中，边长为8，点E 是AB 的中点，作∠EDF ＝45°，交BC 于点F ，求DEF 的面积．问题解决（3）如图③，某市为迎接城市运动会，打造融体育、文化、饮食、旅游为一体的综合商业品牌，规划了如图所示的矩形ABCD 观光区，如图，在矩形ABCD 中，AB ＝16km ，AD ＝12km ，要求在边AB 上确定一点E 为观光区的南门，在边BC 上确定一点F 为观光区的东门，且∠EDF ＝30°，同时为了方便市民游览，还要修建一条观光通道FG ，使FG ∥AB ，交DE 于点G （观光带的宽度不计），为了节约成本，要使FG 的长度最小，那么是否存在符合条件的修建方案？若存在，请求出FG 的最小值；若不存在，请说明理由．答案：B解析：3(2)803，(3) 323． 【分析】(1)根据∠BAD ＝45°，∠DAC ＝30°，求出BD 、AD 、DC 的关系即可；(2)将△DCF 绕点D 顺时针旋转90°得到△DAG ，可证△DEF ≌△DEG ，得到EF =CF +AE ，求出CF 长即可；(3) 作DM ⊥DF ，交BA 延长线于点M ，作EN ⊥DF 于N ，EH ⊥DM 于H ，作△DME 的外接圆⊙O ，连接OD 、OE 、OM ，作OQ ⊥ME 于Q ，求出△DEF 的面积最小值，再用面积求FG 最小值．【详解】解:(1)∵AD 是BC 边上的高，若∠BAD ＝45°，∠DAC ＝30°，∴AD =BD ，AD = tan 603DC DC ︒=，12312ABD ACD BD AD SS CD AD ⋅==⋅ (2) 将△DCF 绕点D 顺时针旋转90°得到△DAG ，∵∠DAG =∠C =90°，∠DAE =90°，∴G 、A 、E 三点共线，由旋转可知，∠FDG =∠CDA =90°，DF =DG ，∴∠GDE =∠FDE =45°，DE =DE ,∴△GDE ≌△FDE ，∴GE =EF ，∴EF =AE +CF ，设EF 为x ，则CF =x -4，BF =12-x ，2224(12)x x +-=，解得，x =203, DEF 的面积=DEG 的面积=120808233⨯⨯=；(3)作DM ⊥DF ，交BA 延长线于点M ，作EN ⊥DF 于N ，EH ⊥DM 于H ，作△DME 的外接圆⊙O ，连接OD 、OE 、OM ，作OQ ⊥ME 于Q ，∵∠FDM =∠CDA =90°， ∴∠ADM =∠CDF ，∵∠C =∠DAM =90°，∴△ADM ∽△CDF ，∴34MD AD DF DC ==, ∵∠FDE =30°，∴∠EDM =60°， ∵1sin 302EN DE DE =︒=,3sin 60EH DE DE =︒=, ∴3EH EN =,1432192DEFDME DF EN S S DM EH ⋅==⋅, 设⊙O 的半径为R ，∵∠MDE =60°，∴∠MOE =120°， ∠MOQ =60°，3sin 602R MQ OM =︒=，ME 3R ,OQ =12R , OD +OQ ≥AD , 1122R R +≥,解得，8R ≥，138122DME S ≥⨯⨯⨯，即483DME S ≥，DME S △的最小值为483，DEF S △的最小值为43483649⨯=， 1()62DEF DGF EGF S S S FG CF BF FG =+=+=, FG 的最小值为643263=．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，三角形的外接圆，解直角三角形等，解题关键是充分理解题意，恰当的构建全等三角形、相似三角形和外接圆． 8．如图1，在等腰Rt △ABC 中，∠ABC ＝90°，AB ＝BC ＝6，过点B 作BD ⊥AC 交AC 于点D ，点E 、F 分别是线段AB 、BC 上两点，且BE ＝BF ，连接AF 交BD 于点Q ，过点E 作EH ⊥AF 交AF 于点P ，交AC 于点H ．（1）若BF ＝4，求△ADQ 的面积；（2）求证：CH ＝2BQ ；（3）如图2，BE ＝3，连接EF ，将△EBF 绕点B 在平面内任意旋转，取EF 的中点M ，连接AM ，CM ，将线段AM 绕点A 逆时针旋转90°得线段AN ，连接MN 、CN ，过点N 作NR ⊥AC 交AC 于点R ．当线段NR 的长最小时，直接写出△CMN 的周长．答案：A解析：（1）1.8；（2）证明见解析；（3）2+． 【分析】 （1）利用等腰直角三角形的性质求出12BD AD CD AC ====积相等和勾股定理分别求出AQ 和QD ，最后利用三角形面积公式即可求解；（2）如图，先作辅助线构造()AEH CFG ASA ∆∆≌，得到AH CG =，再通过转化得到2AH DQ =，最后利用AC ，得到一个相等关系，即()2AH HC BQ QD +=+，利用等式性质即可得到所求；（3）如图，通过做辅助线构造全等三角形确定出当HN ⊥AC ，且N 点位于H 、R 之间时，此时NR 的长最小，接着利用勾股定理和等腰直角三角形的性质，分别求出CM 、MN 、CN 的长，相加即可．【详解】解：6AB BC ==，°90ABC =∠，AC ==∴又∵AC BD ⊥∴BD 平分AC ，且BD 是∠ABC 的角平分线∴12BD AD CD AC ====Q 点到BA 和BC 边的距离相等； ∵4BF =， ∴6342ABQ BFQ S S ∆∆==， ∴32AQ FQ =，∵AF ===∴355AQ AF ==，∴5QD ===，∴1 1.82ADQ S ∆==， ∴△ADQ 的面积为1.8．（2）如图，作CG ⊥AC ，垂足为C ，交AF 的延长线于点G ，∴°90ACG =∠∵°45ACB CAB ==∠∠，∴°45GCB CAB ==∠∠，∵EH ⊥AF ，∴°90EAP AEP +=∠∠,又∵°90EAP AFB +=∠∠∴AEP AFB =∠∠，∴AEP CFG =∠∠∵BE BF =，BA BC =∴AE CF =，在AEH ∆和CFG ∆中，AEH CFG AE CFEAH FCG ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴()AEH CFG ASA ∆∆≌∴AH CG =；∵BD ⊥AC ，CG ⊥AC ，∴BD ∥CG ，∵D 点是AC 的中点，且BD ∥CG ，∴DQ 是ACG ∆的中位线， ∴12DQ CG =， ∴2DQ CG AH ==； ∵AC =2BD ，∴()2AH HC BQ QD +=+，∵2AH DQ =，∴CH ＝2BQ ．（3）如图①，作AH ⊥AB ,且AH =AB ，∴∠NAH +∠HAM =∠HAM +∠BAM =90°，∴∠BAM =∠NAH ，∵AB =AH ，AM =AN ，∴()ABM AHN SAS ∆∆≌，∴HN =BM ，∵BE =BF =3，∠EBF =90°， ∴EF ==∴由M 点是EF 的中点，可得122BM EF ==，∴2NH =，∴N 点在以H 点为圆心，2为半径的圆上， 如图②，当HN ⊥AC ，且N 点位于H 、R 之间时，此时NR 的长最小，为2NR HR HN HR =-=-， ∵∠BAC =45°，∴∠HAC =45°，∴∠AHN =45°，HR =AR ，∵222HR AR AH +=，∴HR AR ===，∴22NR HR =-=， ∵AC == ∴CR AC AR =-=∴CN AN === ∵∠MAN =90°，AM =AN ，∴MN ==∴∠ABM =45°，∴∠EBM =45°，∴F 点在BA 上，E 点在CB 延长线上，如图，作MP ⊥EC ，垂足为P ，∴1322BP MP EB ===， ∴315622PC PB BC =+=+=，∴2MC ==∴3263351022MC MN CN ++=++， ∴△CMN 的周长为3263351022++．【点睛】本题综合考查了等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质、旋转的性质、勾股定理、圆等知识，要求学生熟练掌握相关概念并能灵活应用它们，本题的综合性较强，难点在于作辅助线构造全等三角形以及线段之间的关系转化等，考查了学生综合分析和推理论证以及计算的能力，本题属于压轴题，蕴含了数形结合和转化的思想方法等．9．在ABC 中，,AB AC BAC α=∠=，点P 为线段CA 延长线上一动点，连接PB ，将线段PB 绕点P 逆时针旋转，旋转角为α，得到线段PD ，连接,DB DC ．（1）如图1，当60α=︒时，请直接写出线段PA 与线段CD 的数量关系是__________，DCP ∠为______度；（2）如图2，当120α=︒时，写出线段PA 和线段DC 的数量关系，并说明理由； （3）如图2，在（2）的条件下，当23AB =13BP PC +的最小值．答案：A解析：（1）PA ＝DC ，60；（2）CD ＝3PA ．理由见详解；（2）3+22【分析】（1）先证明△ABC ，△PBD 是等边三角形，再证明△PBA ≌△DBC ，进而线段PA 与线段CD 的数量关系，利用全等三角形的性质以及三角形内角和等于180°，解决问题即可；（2）证明△CBD ∽△ABP ，可得3CD BC PA AB==，解决问题； （3）过点C 作射线CM ，使得sin ∠ACM =13，过点P 作PN ⊥CM 于点N ，则PN =13PC ， 过点B 作BG ⊥BA 于点G ，当点B 、P 、N 共线时，BP +PN 最小，即13BP PC +最小，由BGP CNP ∽，得13GP NP BP CP ==，结合勾股定理求出GP ，从而得CP ，进而即可求解． 【详解】（1）①证明： ∵将线段PB 绕点P 逆时针旋转，旋转角为α，得到线段PD ， ∴PB ＝PD ，∵AB ＝AC ，PB ＝PD ，∠BAC ＝∠BPD ＝60°，∴△ABC ，△PBD 是等边三角形，∴∠ABC ＝∠PBD ＝60°，∴∠PBA ＝∠DBC ，∵BP ＝BD ，BA ＝BC ，∴△PBA ≌△DBC （SAS ），∴PA ＝DC ．设BD 交PC 于点O ，如图1，∵△PBA ≌△DBC ，∴∠BPA ＝∠BDC ，∵∠BOP ＝∠COD ，∴∠OBP ＝∠OCD ＝60°，即∠DCP ＝60°．故答案是：PA ＝DC ，60；（2）解：结论：CD 3．理由如下：∵AB ＝AC ，PB ＝PD ，∠BAC ＝∠BPD ＝120°，∴BC ＝2•AB •cos30°，BD ═2BP •cos30°， ∴BC BDBA BP= ∵∠ABC ＝∠PBD ＝30°，∴∠ABP ＝∠CBD ，∴△CBD ∽△ABP ，∴CD BC PA AB== ∴CD； （3） 过点C 作射线CM ，使得sin ∠ACM =13，过点P 作PN ⊥CM 于点N ，则PN =13PC ，过点B 作BG CA ⊥于点G ，则BG =AB ×sin ∠BAG =3，AG = AB ×cos ∠BAG 当点B 、P 、N 共线时，BP +PN 最小，即13BP PC +最小， ∵∠BGP =∠CNP =90°，∠BPG =∠CPN ， ∴BGP CNP ∽， ∴13GP NP BP CP ==，设GP =x ，则AP -x ，BP =3x ，∴()22233x x +=，解得：x∴BPAP∴CP =AC +AP∴13BP PC +最小值13+【点睛】本题属于几何变换综合题，考查了全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，第（1）（2）题解题的关键是正确寻找全等三角形或相似三角形解决问题，第（3）题的关键是过点C 作射线CM ，使得sin ∠ACM =13，过点P 作PN ⊥CM 于点N ．10．如图1，在正方形ABCD 中，点,E F 分别在边,AB AD 上，且AE AF =，延长FD 到点G ，使得DG DF =，连接,,EF GE CE ．（特例感知）（1）图1中GE 与CE 的数量关系是______________．（结论探索）（2）图2，将图1中的AEF 绕着点A 逆时针旋转()090αα︒<<︒，连接FD 并延长到点G ，使得DC DF =，连接,,GE CE BE ，此时GE 与CE 还存在（1）中的数量关系吗？判断并说明理由．（拓展应用） （3）在（2）的条件下，若5,32AB AE ==EFG 是以EF 为直角边的直角三角形时，请直接写出GE 的长．答案：G解析：(1) GE 2CE ，(2)存在，证明见解析，（3）25810或16或4．【分析】(1)连接GC，证△CDG≌△CBE，得出△GCE为等腰直角三角形即可；(2)类似（1）的方法，先证△AFD≌△AEB，再证△CDG≌△CBE，得出△GCE为等腰直角三角形即可；(3)根据E、F是直角顶点分类讨论，结合（2）中结论，利用勾股定理求解即可．【详解】解：(1)连接GC，∵AE=AF，AD=AB，∴DF=BE，，∵DG DF∴DG = BE，∵∠GDC=∠B=90°，DC=BC，∴△CDG≌△CBE，∴CE=CG，∠GCD=∠ECB，∵∠ECB+∠DCE=90°，∴∠GCE=∠GCD+∠DCE=90°，∴GE=2CE；故答案为：GE=2CE；(2) 存在，连接GC，∵AE=AF，AD=AB，∠FAE=∠DAB=90°，∴∠FAD=∠EAB，∴△FAD≌△EAB，∴FD=EB=GD，∠FDA=∠EBA，∵∠GDC+∠FDA=90°，∠EBC+∠EBA=90°，∴∠GDC=∠EBC，∵DC=BD，∴△CDG≌△CBE，与（1）同理，GE=2CE；(3)当∠FEG=90°时，如图1，因为∠FEA=∠GEC=45°，所以，A、E、C在一条直线上，∵AB=5，∴AC=52,CE=52-32=22,GE=2EC=4；如图2，E在CA延长线上，同理可得，EC2，GE2EC=16；当∠EFG =90°时，如图3，∠AFD =∠EFG +∠AFE =135°，由（2）得，∠AFD =∠AEB =135°，DF =BE ，所以，B 、E 、F 在一条直线上，作AM ⊥EF ，垂足为M ， ∵5,32AB AE ==，∴EF =6，AM =ME =MF =3，224BM AB AM =-=，BE =DF =1,FG =2，22210GE FG EF =+=；如图4，同图3，BE =DF =7，FG =14，EF =6，22258GE FG EF =+=，综上，GE 的长为258或210或16或4．【点睛】本题考查了旋转的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理和等腰直角三角形的性质，解题关键是恰当的连接辅助线，构造全等三角形；会分类讨论，结合题目前后联系，解决问题．11．回答下列问题：（1）（发现）如图1，点A 为线段BC 外一动点，且4BC =，2AB =．填空：线段AC 的最大值为 ．图1（2）（应用）点A 为线段BC 外一动点，且3BC =，2AB =，如图2所示，分别以AB ，AC 为边，作等腰直角ABD △和等腰直角ACE ，连接CD ，BE ．图2①证明：BE DC =．②求线段BE 的最大值．（3）（拓展）如图3，在平面直角坐标系中，直线l ；4y x =+与坐标轴交于点A 、B 两点，点C 为线段AB 外一动点，且2CB =，以AC 为边作等边ACD △，连接BD ，求线段BD 长的最大值并直接写出此时点C 的横坐标．图3答案：A解析：（1）6（2）①证明见解析． ②322+（3）42226-26+ 【分析】(1)根据点A 位于CB 的延长线上时，线段AC 的长取得最大值，即可得到结论；(2) ①由“SAS” 可证△DAC ≌△BAE ，可得BE=DC ；②由于线段长BE 的最大值=线段DC 的最大值，根据(1)中的结论即可得到结果，(3)以BC 为边作等边三角形BCE ，可以证明△ACE ≌△DCB(SAS) ，从而得到BD=AE ，BE=BC ，由AE≤AB+BE ，当且仅当A 、B 、E 三点共线时，AE 取得最大值，即BD 取得最大值，当BD 取得最大值时，①当C 在直线AB 的上方时，过C 作CH ⊥y 轴于H ，作BC 的垂直平分线交BH 于N ，求出CH 的长度，即可求出点C 的横坐标，②当C 在直线AB 的下方时，按同①的方法也可以求出点C 的横坐标．【详解】（1）当A 在选段BC 的延长线上时， max 6AC AB BC =+=．（2）①∵等腰直角AEC 与等腰直角三角形ABD ，∴AD AB =，AE AC =，90DAB EAC ∠=∠=︒，∴DAB BAC EAC BAC ∠+∠=∠+∠，∴DAC EAB ∠=∠，在DAC △和BAE 中，DA BA DAC BAE AB AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴()SAS DAC BAE ≌△△， ∴BE CD =．②由①可知，BE DC =，∵线段BE 的最大值即线段DC 的最大值．在等腰直角ABD △中，222BD AB ==，∵CD BC BD ≤+，∴当点D 在CB 的延长线上时， CD 取得最大值为322+．∴线段BE 的最大值为322+．（3）如图，以BC 为边作等边三角形BCE ，则BC CE =，60BCE ∠=︒．∵60ACD ∠=︒，∴ACD ECD BCE ECD ∠-∠=∠-∠，∴ACE DCB ∠=∠．在ACE 与DCB 中，AC DC ACE DCB CE CB =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴()SAS ACE DCB ≌△△， ∴BD AE =．对于一次函数4y x =+，令0x =，则4y =，∴()0,4B ，令0y =，则4x =-，∴()4,0A -．∴224442AB =+=又∵2BE BC ==，∴AE AB BE ≤+，∴当且仅当A 、B 、E 三点共线时，AE 取得最大值，即BD 取得最大值为422+；当BD 取得最大值时，①当C 在直线AB 的上方时过C 作CH y ⊥轴于H ，∵45ABO HBE ∠=∠=︒，60CBE ∠=︒，∴15CBH CBE HBE ∠=∠-∠=︒，作BC 的垂直平分线交BH 于N ，∴CN BN =，15NCB NBC ∠=∠=︒，∴30CNB ∠=︒，在Rt CHN △中，设CH x =．则3HN x =，2CN x =，∴2BN x =，∴)32BH HN BN x =+=， 在Rt BHC △中，22222HC BH BC +==，∴)222322x x ⎡⎤+=⎣⎦， 整理得(227434x x ++=， 223x =，)12312x =，)22312x =-（舍）， ∴62CH -=2②当C 在直线AB 的下方时，过C 作CL ⊥y 轴于L ，∵∠ABO=45°，∠CBE=60°，∴∠CBL=180°-∠CBE−∠ABO=75°，∴∠BCL=15°，作BC 的垂直平分线交BL 于M ，∴CM=BM ，∠MCB=∠MBC=15°，∴∠LMB=30°，在Rt △CLB 中，设BL=y ．则3，BM=2y ，∴CM=2y ，∴3+2)y ，在Rt △BLC 中，BL 2+CL 2=BC 2=22，∴)222322y y ⎡⎤+=⎣⎦， 整理得(227434y y ++=， 223y = )1231y =，)2231y =（舍去）， 622BL =∴CL=)32BL 26+2综合以上可得点C 的横坐标为：262-或 262+ 【点睛】 本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判.定和性质，等腰直角三角形的性质，最大值问题，旋转的性质正确的作出辅助线构造全等三角形是解题的关键.12．已知等腰三角形底边中点，可以考虑与顶点连接用“三线合一”．请利用上面信息解决以下问题：已知Rt ABC 中，AC BC =，90C ∠=︒，D 为AB 边的中点，90EDF ∠=︒，EDF ∠绕D 点旋转，它的两边分别交AC 、CB （或它们的延长线）于E 、F ．（1）当EDF ∠绕D 点旋转到DE AC ⊥于E 时（如图①），求证：12DEF CEF ABC S S S +=△△△； （2）当EDF ∠绕D 点旋转到DE 和AC 不垂直时，在图②和图③这两种情况下，上述结论是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，DEF S △、CEF S △、ABCS又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，不需要证明．答案：D解析：（1）见解析；（2）图2成立，图3不成立：12DEF CEF ABC S S S -=△△△ 【分析】（1）根据等腰直角三角形和正方形的性质得到AED 、DFB △、EDF 、ECF △为全等的等腰直角三角形，据此即可证明；（2）对于图2：过点D 作DM AC ⊥，DN BC ⊥，根据中位线的性质和等量代换证得MD ND =和MDE NDF ∠=∠，结合90DME DNF ∠=∠=︒，证得DME DNF ∆≅∆，根据全等三角形的性质即可求证；对于图3：根据ASA 证明DME DNF ∆≅∆，根据全等三角形的性质即可求证．【详解】（1）证明：连接CD∵D 为AB 边的中点，AC BC =∴AD=CD=BD∴45DAC DCA DCB DBC ∠=∠=∠=∠=︒又∵DE AC ⊥，90EDF ∠=︒，90C ∠=︒，∴四边形ECFD 为矩形∴∠CFD=90°又∵∠DCF=45°∴CF=DF∴四边形ECFD 是正方形∴DE=DF∴DEF CEF DEC DFC S S S S +=+△△△△又∵12DCF DBF ABC S S S +=△△△，且DCF DBF S S =△△ ∴12DEF CEF ABC S S S +=△△△ （2）图2成立，图3不成立对于图2：过点D 作DM AC ⊥，DN BC ⊥，如图2，则90DME DNF MDN ∠=∠=∠=︒又∵90C ∠=︒∴DM BC ，DN AC∵D 为AB 边的中点 ∴根据中位线定理得到：12DN AC =，12MD BC = ∵AC=BC∴MD=ND∵90EDF ∠=︒∴90MDE EDN ∠+∠=︒，90NDF EDN ∠+∠=︒∴MDE NDF ∠=∠在DME ∆与DNF ∆中DME DNF MD NDMDE NDF ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴DME DNF ∆≅∆∴DME DNF S S ∆∆=∴DEF CEF DMCN DECF S S S S ∆∆==+四边形四边形 ∴12DMCN ABC S S =△ ∴12DEF CEF ABC S S S +=△△△ 对于图3：连接DC ，在DEC ∆与DBF ∆中135DCE DBF DC DBCDE BDF ∠=∠=︒⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴DEC DBF ∆≅∆∴12DEF CFE DBC CFE ABC DBFEC S S S S S S ∆∆∆∆∆==+=+五边形 ∴12DEF CEF ABC S S S ∆∆∆-=． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，中位线的性质，等腰直角三角形的性质，题目较为综合，利用作出的辅助线将不规则的三角形转化为直角三角形进行解决．13．矩形ABCD 中，6,8AB BC ==，点,M N 分别在边,BC AD 上，且3,2BM DN ==，连接MN 并延长，交CD 的延长线于点E ，点Q 为射线MN 上一动点，过点Q 作AQ 的垂线，交CD 于点P ．（1）特例发现，如图，若点P 恰好与点D 重合，填空：①DE =________；②QA 与QP 的等量关系为_________．（2）拓展探究如图，若点Q 在MN 的延长线上，QA 与QP 能否相等？若能，求出DP 的长；若不能，请说明理由．（3）思维延伸如图，点G 是线段CD 上异于点D 一点，连接AG ，过点G 作直线GI AG ⊥，交直线MN 于点I ，是否存在点G ，使,AG GI 相等？若存在，请直接写出DG 的长；若不存在，请说明理由．答案：E解析：（1）①4； ②QA QP =；（2）QA 与QP 能够相等，理由详见解析；（3）（3）,AG GI 能够相等，43DG =【分析】（1）①根据END EMC ，利用对应边成比例列式求出ED 长；②过点Q 作//HG BC ，交AB 于点H ，交DC 于点G ，设QG x =，利用AHQ QGD ，对应边成比例列式求出x ，得到这两个三角形其实是全等的，所以QA QP =；（2）过点Q 作QF AB ⊥，交BA 的延长线于点F ，延长FQ 交CE 于点G ，构造“k”字型全等三角形，设AF x =，再利用相似三角形的性质列式求解；（3）过点G 作GK AB ⊥于点K ，过点I 作IS KG ⊥，交KG 的延长线于点S ，延长AD 交IS 于点T ，同（2）构造“k”字型全等三角形，DG y =，再利用相似三角形的性质列式求解．【详解】（1）①∵//ND MC ，∴END EMC ，∴ED ND EC MC=，835MC BC BM =-=-=，6DC =， 265ED ED =+，解得4ED =， 故答案是：4；②如图，过点Q 作//HG BC ，交AB 于点H ，交DC 于点G ，可得HG AB ⊥，HG DC ⊥，∴90AHQ QGD ∠=∠=︒，∵AQ QD ⊥，∴90AQH DQG ∠+∠=︒，∵90QAH AQH ∠+∠=︒，∴QAH DQG ∠=∠，∴AHQ QGD ，∴AH HQ QG GD=， 设QG x =，8HQ x =-， ∵//QG MC ，∴EQG EMC ， ∴QG EG MC EC =，4510x DG +=，得24DG x =-， ∴24AH x =-，根据AH HQ QG GD =，得24824x x x x --=-，解得4x =， ∴4AH HQ QG GD ====，∴AHQ QGD ≅，∴AQ QD QP ==，故答案是：QA QP =；（2）QA 与QP 能够相等，163PD =， 如图，过点Q 作QF AB ⊥，交BA 的延长线于点F ，延长FQ 交CE 于点G ， 90,90,AQF PQG GPQ PQG AQF GPQ ∠+∠=︒∠+∠=︒∴∠=∠，又90,,,,AFQ PGQ AQ PQ FAQ GDP AF QG FQ PG ∠=∠=︒=∆≅∆∴==， 设AF x =，则,,4QG x DG x EG x ===-，42,2EG ED x QG ND x -==∴=，解得43x =， 经检验，43x =是该分式方程的根，42020204168,,333333FQ PG PD ∴=-=∴==-=；（3）,AG GI 能够相等，43DG =， 如图，过点G 作GK AB ⊥于点K ，过点I 作IS KG ⊥，交KG 的延长线于点S ，延长AD 交IS 于点T ，根据“k ”字型全等得,,8AKG GSI AK GS IS KG ∆≅∆∴===， 设DG y =，则,8,2AK TS GS DT y IT y NT y ====∴=-=+，84tan ,22IT ED y INT NT ND y -∠==∴=+，解得43y =，故DG 的长为43．【点睛】本题考查“k ”字型全等三角形，相似三角形的性质和判定，解题的关键是作辅助线构造“k ”字型全等，再利用相似三角形对应边成比例列式求解．14．如图，在四边形ABCD 中，AB AC =，AD 是对角线，60BAC ∠=︒，4B C ADB BAC ∠+∠+∠=∠，（1）求ADC ∠的度数；（2）若AD BD CD =+，求证：AD 平分BDC ∠；（3）在（2）的条件下，E 、F 分别在AC 、AB 上，连接BE 、CF ，交于点P ，使得BPC BDC ∠=∠，若7BD EF ==，15AD =，求EFP ∆的面积答案：A解析：（1）=60∠︒ADC ；（2）证明见详解；（3）4003129． 【分析】（1）先由四边形内角和得到++300B C BDC ∠∠∠=︒，再由4B C ADB BAC ∠+∠+∠=∠可得答案；（2）把ABD △绕点A 逆时针旋转60︒得到ACE △，由（1）及题意易得D 、C 、E 三点共线，从而得到ADE 是等边三角形，由等边三角形的性质及旋转的性质易得60ADB E ∠=∠=︒，故得证；（3）过点B 、点F 分别作BG ⊥CD ，FH ⊥AC ，分别交CD 的延长线于点G 、AC 于点H ，连接BC ，由（2）及题意易得DC=8，由BPC BDC ∠=∠易得EBC FCA ∠=∠，进而得到AFC CEB △≌△，设AF=CE=x ，根据勾股定理得到AF 、CE 、BC 的长，最后根据BFE BPC 、的面积比等于FP 与PC 的比，进而求解即可．【详解】（1）解：=60BAC ∠︒，∴++36060300B C BDC ∠∠∠=︒-︒=︒，又BDC ADB ADC ∠=∠+∠，4B C ADB BAC ∠+∠+∠=∠，∴30024060ADC ∠=︒-︒=︒；（2）证明：把ABD △绕点A 逆时针旋转60︒得到ACE △，由（1）得：∴AD=AE ，BD=CE ，=ADC=60DAE ∠∠︒AD BD CD =+，DE=DC+CE ，∴D 、C 、E 三点共线，。

八年级数学上册第十二章全等三角形知识点总结全面整理单选题AD，BD平分∠ABC，则点D到AB的距离等于( )1、如图，在ΔABC中，∠C=90°，AC=8，DC=13A．4B．3C．2D．1答案：C分析：如图，过点D作DE⊥AB于E，根据已知求出CD的长，再根据角平分线的性质进行求解即可.如图，过点D作DE⊥AB于E，AD，∵AC=8，DC=13∴CD=8×1=2，1+3∵∠C=90°，BD平分∠ABC，∴DE=CD=2，即点D到AB的距离为2，故选C．小提示：本题考查了角平分线的性质，熟练掌握角平分线上的点到角两边的距离相等是解题的关键.2、如图，在△ADE和△ABC中，∠E＝∠C，DE＝BC，EA＝CA，过A作AF⊥DE，垂足为F，DE交CB的延长线于点G，连接AG．四边形DGBA的面积为12，AF＝4，则FG的长是（）A．2B．2.5C．3D．103答案：C分析：过点A作AH⊥BC于H，证△ABC≌△AED，得AF＝AH，再证Rt△AFG≌Rt△AHG（HL），同理Rt△ADF≌Rt△ABH，得S四边形DGBA＝S四边形AFGH＝12，然后求得Rt△AFG的面积＝6，进而得到FG的长．如图所示，过点A作AH⊥BC于H，在△ABC与△ADE中，{AC=AE∠C=∠E BC=DE，∴△ABC≌△ADE（SAS），∴AD＝AB，S△ABC＝S△AED，又∵AF⊥DE，∴12×DE×AF=12×BC×AH，∴AF＝AH，∵AF⊥DE，AH⊥BC，∴∠AFG＝∠AHG＝90°，在Rt△AFG和Rt△AHG中，，{AG=AGAF=AH∴Rt△AFG≌Rt△AHG（HL），同理：Rt△ADF≌Rt△ABH（HL），∴S四边形DGBA＝S四边形AFGH＝12，∵Rt△AFG≌Rt△AHG，∴SRt△AFG＝6，∵AF＝4，∴1×FG×4=6，2解得：FG＝3．故选：C．小提示：本题考查全等三角形的判定与性质，综合运用各知识点是解题的基础，作出合适的辅助线是解此题的关键．3、如图，在△ABC中，∠C=90°，以点B为圆心，任意长为半径画弧，分别交AB、BC于点M、N．分别以点M、MN的长度为半径画弧，两弧相交于点P，过点P作线段BD，交AC于点D，过点D作N为圆心，以大于12∠ABC；③BC=BE；④AE=BE中，一定正确的是（）DE⊥AB于点E，则下列结论①CD=ED；②∠ABD=12A．①②③B．①②③④C．②④D．②③④答案：A分析：由作法可知BD是∠ABC的角平分线，故②正确，根据角平分线上的点到角两边的距离相等可得①正确，由HL可得Rt△BDC≌Rt△BDE,故BC=BE，③正确，解：由作法可知BD是∠ABC的角平分线，故②正确，∵∠C=90°,∴DC⊥BC，又DE⊥AB，BD是∠ABC的角平分线，∴CD=ED，故①正确，在Rt△BCD和Rt△BED中，{DE=DC，BD=BD∴△BCD≌△BED，∴BC=BE，故③正确.故选A.小提示：本题考查了角平分线的画法及角平分线的性质，熟练掌握相关知识是解题关键.4、如图，小明家仿古家具的一块三角形形状的玻璃坏了，需要重新配一块．小明通过电话给玻璃店老板提供相关数据，为了方便表述，将该三角形记为ΔABC，提供了下列各组元素的数据，配出来的玻璃不一定符合要求的是（）A．AB,BC,CA B．AB,BC,∠B C．AB,AC,∠B D．∠A,∠B,BC答案：C分析：根据SSS，SAS，ASA逐一判定，其中SSA不一定符合要求．A. AB,BC,CA．根据SSS一定符合要求；B. AB,BC,∠B．根据SAS一定符合要求；C. AB,AC,∠B．不一定符合要求；D. ∠A,∠B,BC．根据ASA一定符合要求．故选：C．小提示：本题考查了三角形全等的判定，解决问题的关键是熟练掌握判定三角形全等的SSS，SAS，ASA三个判定定理．5、如图，点B，C，E在同一直线上，且AC=CE，∠B=∠D=90°，AC⊥CD，下列结论不一定成立的是（）A．∠A=∠2B．∠A+∠E=90°C．BC=DE D．∠BCD=∠ACE答案：D分析：根据直角三角形的性质得出∠A=∠2，∠1=∠E，根据全等三角形的判定定理推出△ABC≌△CDE，再逐个判断即可．解：∵AC⊥CD，∴∠ACD=90°，∵∠B=90°，∴∠1+∠A=90°，∠1+∠2=90°，∴∠A=∠2，同理∠1=∠E，∵∠D=90°，∴∠E+∠2=∠A+∠E=90°，在△ABC和△CDE中，{∠A=∠2∠B=∠D AC=CE，∴△ABC≌△CDE（AAS），∴BC=DE，∴选项A、选项B，选项C都正确；根据已知条件推出∠A=∠2，∠E=∠1，但是∠1=∠2不能推出，而∠BCD=90°+∠1，∠ACE=90°+∠2，所以∠BCD=∠ACE不一定成立故选项D错误；故选：D．小提示：本题考查了全等三角形的判定定理和直角三角形的性质，能灵活运用知识点进行推理是解此题的关键，注意：全等三角形的判定定理有：ASA，SAS，AAS，SSS，两直角三角形全等，还有HL．6、在△ABC中，AB＝4，AC＝6，AD是BC边上的中线，则AD的取值范围是（）A．0＜AD＜10B．1＜AD＜5C．2＜AD＜10D．0＜AD＜5答案：B分析：延长AD至点E，使得DE＝AD，可证△ABD≌△CDE，可得AB＝CE，AD＝DE，在△ACE中，根据三角形三边关系即可求得AE的取值范围，即可解题．解：延长AD至点E，使得DE＝AD，∵在△ABD和△CDE中，∵{AD=DE∠ADB=∠CDEBD=CD，∴△ABD≌△CDE（SAS），∴AB＝CE，AD＝DE∵△ACE中，AC﹣AB＜AE＜AC+AB，∴2＜AE＜10，∴1＜AD＜5．故选：B．小提示：本题考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形对应边相等的性质，本题中求证△ABD≌△CDE是解题的关键．7、如图，D是AB上一点，DF交AC于点E，DE=FE，FC//AB，若AB=4，CF=3，则BD的长是( )A．0.5B．1C．1.5D．2答案：B分析：根据平行线的性质，得出∠A=∠FCE，∠ADE=∠F，根据全等三角形的判定，得出ΔADE≅ΔCFE，根据全等三角形的性质，得出AD=CF，根据AB=4，CF=3，即可求线段DB的长．∵CF//AB，∴∠A=∠FCE，∠ADE=∠F，在ΔADE和ΔFCE中{∠A=∠FCE∠ADE=∠FDE=FE，∴ΔADE≅ΔCFE(AAS)，∴AD=CF=3，∵AB=4，∴DB=AB−AD=4−3=1.故选B．小提示：本题考查了全等三角形的性质和判定，平行线的性质的应用，能判定ΔADE≅ΔFCE是解此题的关键．8、下列选项可用SAS证明△ABC≅△A′B′C′的是（）A．AB=A′B′，△B=△B′，AC=A′C′B．AB=A′B′，BC=B′C′，△A=△A′C．AC=A′C′，BC=B′C′，△C=△C′D．AC=A′C′，BC=B′C′，△B=△B′答案：C分析：根据全等三角形SAS的判定逐项判定即可．解：A．不满足SAS，不能证明△ABC△△A′B′C′，故该选项不符合题意；B．不满足SAS，不能证明△ABC△△A′B′C′，故该选项不符合题意；C．满足SAS，能证明△ABC△△A′B′C′，故该选项符合题意；D．不满足SAS，不能证明△ABC△△A′B′C′，故该选项不符合题意，故选：C．小提示：本题考查全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定条件是解答的关键．9、如图，在△OAB和△OCD中，OA=OB,OC=OD,OA>OC,∠AOB=∠COD=40°，连接AC,BD交于点M，连接OM．下列结论：①AC=BD；②∠AMB=40°；③OM平分∠BOC；④MO平分∠BMC．其中正确的个数为（）．A．4B．3C．2D．1答案：B分析：根据题意逐个证明即可，①只要证明△AOC≌△BOD(SAS)，即可证明AC=BD;②利用三角形的外角性质即可证明; ④作OG⊥MC于G，OH⊥MB于H,再证明△OCG≌△ODH(AAS)即可证明MO平分∠BMC.解：∵∠AOB=∠COD=40°，∴∠AOB+∠AOD=∠COD+∠AOD，即∠AOC=∠BOD，在△AOC和△BOD中，{OA=OB∠AOC=∠BODOC=OD，∴△AOC≌△BOD(SAS)，∴∠OCA=∠ODB,AC=BD，①正确；∴∠OAC=∠OBD，由三角形的外角性质得：∠AMB+∠OAC=∠AOB+∠OBD,∴∠AMB=∠AOB=40°，②正确；作OG⊥MC于G，OH⊥MB于H，如图所示：则∠OGC=∠OHD=90°，在△OCG和△ODH中，{∠OCA=∠ODB∠OGC=∠OHDOC=OD，∴△OCG≌△ODH(AAS)，∴OG=OH，∴MO平分∠BMC，④正确；正确的个数有3个；故选B．小提示：本题是一道几何的综合型题目，难度系数偏上，关键在于利用三角形的全等证明来证明线段相等，角相等.10、如图，AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE，点B，D，E在同一直线上，若∠1=25°，∠2=35°，则∠3的度数是（）A．50°B．55°C．60°D．70°答案：C分析：由∠BAC=∠DAE可证得∠BAD=∠CAE，继而证明△BAD≅△CAE(SAS)，由全等三角形对应角相等得到∠2=∠CAE,∠ABD=∠1，最后由三角形的外角性质解答即可．解：∵∠BAC=∠DAE∴∠BAC−∠DAC=∠DAE−∠DAC∴∠BAD=∠CAE∵AB=AC，AD=AE，∴△BAD≅△CAE(SAS)∴∠2=∠CAE,∠ABD=∠1∵∠1=25°，∠2=35°∴∠3=∠2+∠ABD=∠2+∠1=60°故选：C．小提示：本题考查全等三角形的判定与性质、三角形的外角性质等知识，是重要考点，掌握相关知识是解题关键．填空题11、如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，△ABC的角平分线AD，BE相交于点P，过P作PF⊥AD，交BC延长线于F，交AC于H，则下列结论：①∠APB=135°；②BF=BA；③PH=HC；④PH=PD；其中正确的有____________________．答案：①②④分析：由角平分线的定义，可得∠PAB+∠PBA=45°，由三角形内角和定理可得结论①；由△BPA≌△BPF可得结论②；由△APH≌△FPD可得结论④；若PH=HC，则PD=HC，由AD＞AC可得AP＞AH不成立，故③错误；解：∵∠CAB+∠CBA=90°，AD、BE平分∠CAB、∠CBA，∴∠PAB+∠PBA=1（∠CAB+∠CBA）=45°，2△PAB中，∠APB=180°-（∠PAB+∠PBA）=135°，故①正确；∵∠ADF+∠F=90°，∠ADF+∠DAC=90°，∴∠F=∠DAC=∠DAB，△BPA和△BPF中：∠PBA=∠PBF，∠PAB=∠PFB，BP=BP，∴△BPA≌△BPF（AAS），∴BA=BF，PA=PF，故②正确；△APH和△FPD中：∠PAH=∠PFD，PA=PF，∠APH=∠FPD=90°，∴△APH≌△FPD（ASA），∴PH=PD，故④正确；若PH=HC，则PD=HC，AD＞AC，则AD-PD＞AC-HC，即AP＞AH，不成立，故③错误；综上所述①②④正确，所以答案是：①②④小提示：本题考查了三角形内角和定理，全等三角形的判定和性质等知识；掌握全等三角形的判定和性质是解题关键．12、如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AD是△ABC的角平分线，过点D作DE⊥AB，若CB=7，则DE+ DB=______．答案：7分析：先利用角平分线性质证明CD=DE，再求出DE+DB的值即可．解：∵AD平分∠BAC交BC于点D，∠C=90°，DE⊥AB，∴CD=ED．∵CB=7，∴BD+CD=7，∴DE+DB=7，所以答案是：7．小提示：本题主要考查了角平分线的性质，解题的关键是熟练掌握角平分线的性质．13、如图，在△ABC中，A(0,1)，B(3,1)，C(4,3)，D是坐标平面上一点，若以A，B，D为顶点的三角形与△ABC全等，则点D的坐标是________．答案：D1（-1，3），D2（4，-1），D3（-1，-1）分析：若要△ABD≌△ABC，则D点可在AB的上方或下方，分别讨论即可．如图，要和△ABC全等，且有一边为AB的三角形，D点可为：D1（-1，3），D2（4，-1），D3（-1，-1）所以答案是：D1（-1，3），D2（4，-1），D3（-1，-1）．小提示：本题考查判定全等三角形的概念，注意不要遗漏可能的情况是解题关键．14、如图，在△ABC中，∠A＝90°，DE⊥BC，垂足为E．若AD＝DE且∠C＝50°，则∠ABD＝_____°．答案：20分析：利用三角形的内角和定理先求解∠ABC，再利用角平分线的性质定理的逆定理证明：BD平分∠ABC,从而可得答案．解：∵∠A=90°，∠C=50°，∴∠ABC=180°−90°−50°=40°，∵∠A=90°，DE⊥BC,DA=DE,∴BD平分∠ABC,∠ABD=1∠ABC=20°，2所以答案是：20小提示：本题考查的是三角形的内角和定理，角平分线的定义及性质定理的逆定理，掌握角平分线的性质定理的逆定理是解题的关键．15、如图，已知AB=CB，要使△ABD≌△CBD(SSS)，还需添加一个条件，你添加的条件是__________．答案：AD=CD分析：要利用SSS判定△ABD≌△CBD，已知AB=CB，公共边BD=BD,只需要再添加一组对边相等即可．解：∵AB=CB，BD=BD，∴要利用SSS判定△ABD≌△CBD，只需要在添加一组对边相等即可．∴AD=CD，所以答案是：AD=CD．小提示：本题考查用三边对应相等判定三角形全等，根据图形找到相关的条件是解题关键．解答题16、如图，在△ABC中，AD是高，E、F分别是AB、AC的中点，AB＝8，AC＝6．（1）求四边形AEDF的周长；（2）若∠BAC＝90°，求四边形AEDF的面积．答案：（1）14；（2）12．分析：（1）延长DE到G，使GE＝DE，连接BG，根据线段中点的定义求出AE＝4，AF＝3，并利用SAS证明AB＝4，△AED≌△BEG，由全等三角形的性质并再次利用全等三角形的判定得出△GBD≌△ABD，可证得DE＝12同理DF＝1AC＝3，即可计算出四边形的周长；2（2）利用SSS可证△AEF≌△DEF，根据直角三角形的面积计算方法求出△AEF的面积，则四边形的面积即可求解．解：（1）延长DE 到G ，使GE ＝DE ，连接BG ，∵E 、F 分别是AB 、AC 的中点，AB ＝8，AC ＝6，∴AE ＝BE ＝12AB ＝4，AF ＝CF ＝12AC ＝3．在△AED 和△BEG 中，{AE =BE∠AED =∠BEG DE =GE，∴△AED ≌△BEG （SAS ）．∴AD ＝BG ，∠DAE ＝∠GBE ．∵AD ⊥BC ，∴∠DAE ＋∠ABD ＝90°．∴∠GBE ＋∠ABD ＝90°．即∠GBD ＝∠ADB ＝90°．在△GBD 和△ABD 中，{BG =DA∠GBD =∠ADB BD =DB，∴△GBD ≌△ABD （SAS ）．∴GD ＝AB ．∵DE ＝12GD ，∴DE ＝12AB ＝4．同理可证：DF ＝12AC ＝3．∴四边形AEDF 的周长＝AE ＋ED ＋DF ＋FA ＝14．（2）由（1）得AE ＝DE ＝12AB ＝4，AF ＝DF ＝12AC ＝3， 在△AEF 和△DEF 中，{AE =DEAF =DF EF =EF，∴△AEF ≌△DEF （SSS ）．∵∠BAC ＝90°，∴S △AEF ＝12AE•AF ＝12×4×3＝6． ∴S 四边形AEDF ＝2S △AEF ＝12．小提示：本题主要考查了全等三角形的判定与性质，掌握全等三角形的判定与性质并能利用倍长中线法构造全等三角形是解题的关键．17、已知：如图1，在Rt △ABC 中，∠ACB =90°，∠B =60°，AD ，CE 是角平分线，AD 与CE 相交于点F ，FM ⊥AB ，FN ⊥BC ，垂足分别为M ，N ．【思考说理】（1）求证：FE =FD ．【反思提升】（2）爱思考的小强尝试将【问题背景】中的条件“∠ACB =90°”去掉，其他条件不变，观察发现（1）中结论（即FE =FD ）仍成立．你认为小强的发现正确吗？如果不正确请举例说明，如果正确请仅就图2给出证明．答案：（1）证明见详解；（2）正确，证明见详解；分析：（1）由角平分线的性质、三角形内角和定理证RtΔFDN ≅RtΔ∠FEM (AAS )即可求解；（2）在AB上截取CP=CD，分别证ΔCDF≅ΔCPF(SAS)、ΔAFE≅ΔAFP(ASA)即可求证；证明：（1）∵AD平分∠BAC，CE平分∠ACB，∴点F是ΔABC的内心，∵FM⊥AB，FN⊥BC，∴FM=FN，∵∠ACB=90°，∠ABC=60°，∴∠CAB=30°∴∠CAD=15°∴∠ADC=75°∵∠ACE=45°∴∠CEB=75°∴∠ADC=∠CEB∴RtΔFDN≅RtΔ∠FEM(AAS)∴FE=FD（2）如图，在AB上截取CP=CD，在ΔCDF和ΔCPF中，∵{CD=CP∠DCF=∠PCFCF=CF∴ΔCDF≅ΔCPF(SAS)∴FD=FP，∠CFD=∠CFP，∵AD平分∠BAC，CE平分∠ACB，∴∠CAD=∠BAD，∠ACE=∠BCE，∵∠B=60°，∴∠ACB+∠BAC=120°，∴∠CAD+∠ACE=60°，∴∠AFC=120°，∵∠CFD=∠AFE=180°-∠AFC=60°，∵∠CFD=∠CFP，∴∠AFP=∠CFP=∠CFD=∠AFE=60°，在ΔAFE和ΔAFP中，∵{∠AFE=∠AFP AF=AF∠PAF=∠EAF∴ΔAFE≅ΔAFP(ASA)∴FP=EF∴FD=EF．小提示：本题主要考查三角形的全等证明及性质，角平分线的性质，掌握相关知识并正确作出辅助线构造全等三角形是解题的关键．18、（1）某学习小组在探究三角形全等时，发现了下面这种典型的基本图形．如图1，已知：在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，直线l经过点A，BD⊥直线l，CE⊥直线l，垂足分别为点D，E．求证：DE=BD+CE．（2）组员小明想，如果三个角不是直角，那结论是否会成立呢？如图2，将（1）中的条件改为：在△ABC中，AB=AC，D，A，E三点都在直线l上，并且有∠BDA=∠AEC=∠BAC=α，其中α为任意锐角或钝角．请问结论DE=BD+CE是否成立？若成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由．（3）数学老师赞赏了他们的探索精神，并鼓励他们运用这个知识来解决问题：如图3，过△ABC的边AB，AC 向外作正方形ABDE和正方形ACFG，AH是BC边上的高．延长HA交EG于点I．若S△AEG=7，则S△AEI=______．答案：（1）见解析；（2）结论成立，理由见解析；（3）3.5分析：（1）由条件可证明△ABD≌△CAE，可得DA=CE，AE=BD，可得DE=BD+CE；（2）由条件可知∠BAD+∠CAE=180°-α，且∠DBA+∠BAD=180°-α，可得∠DBA=∠CAE，结合条件可证明△ABD≌△CAE，同（1）可得出结论；（3）由条件可知EM=AH=GN，可得EM=GN，结合条件可证明△EMI≌△GNI，可得出结论I是EG的中点．解：（1）证明：如图1中，∵BD⊥直线l，CE⊥直线l，∴∠BDA=∠CEA=90°，∵∠BAC=90°，∴∠BAD+∠CAE=90°，∵∠BAD+∠ABD=90°，∴∠CAE=∠ABD，在△ADB和△CEA中，{∠ABD=∠CAE∠BDA=∠CEAAB=AC，∴△ADB≌△CEA（AAS），∴AE=BD，AD=CE，∴DE=AE+AD=BD+CE．（2）解：成立．理由：如图2中，∵∠BDA=∠BAC=α，∴∠DBA+∠BAD=∠BAD+∠CAE=180°-α，∴∠DBA=∠CAE，在△ADB和△CEA中，{∠BDA=∠AEC∠DBA=∠CAEAB=AC，∴△ADB≌△CEA（AAS），∴AE=BD，AD=CE，∴DE=AE+AD=BD+CE．（3）如图3，过E作EM⊥HI于M，GN⊥HI的延长线于N．∴∠EMI=∠GNI=90°由（1）和（2）的结论可知EM=AH=GN∴EM=GN在△EMI和△GNI中，{∠GIN=∠EIM EM=GN∠GNI=∠EMI，∴△EMI≌△GNI（AAS），∴EI=GI，∴I是EG的中点．∴S△AEI=12S△AEG=3.5．所以答案是：3.5．小提示：本题是四边形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，正方形的性质，直角三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．。

一、选择题1．如图，△ABC ≌△ADE ，AB ＝AD ，AC ＝AE ，∠B ＝28︒，∠E ＝95︒，∠EAB ＝20︒，则∠BAD 等于（ ）A ．75︒B ．57︒C ．55︒D ．77︒2．如图，已知16AB AC +=，点O 为ABC ∠与ACB ∠的平分线的交点，且OD BC 于D ．若4OD =，则四边形ABOC 的面积是（ ）A ．36B ．32C ．30D ．643．如图O 是ABC 内的一点，且O 到三边AB 、BC 、CA 的距离==OF OD OE ．若70A ∠=︒，则BOC ∠（ ）．A ．125°B ．135°C ．105°D ．100° 4．如图，,,AB AD CB CD AC BD ==、相交于点O ，则下列说法中正确的个数是（ ） ①OD OB =；②点O 到CB CD 、的距离相等；③BDA BDC ∠=∠；④BD AC ⊥A ．4B ．3C ．2D ．15．MAB ∠为锐角，AB a ，点C 在射线AM 上，点B 到射线AM 的距离为d ，BC x =，若△ABC 的形状、大小是唯一确定的，则x 的取值范围是（ ）A ．x d =或x a ≥B ．x a ≥C ．x d =D ．x d =或x a > 6．如图，,AD BC ⊥垂足为,D BF AC ⊥，垂足为,F AD 与BF 交于点,5,2E AD BD DC ===，则AE 的长为（ ）A ．2B ．5C ．3D ．77．下列四个命题中，真命题是（ ）A ．如果 ab ＝0，那么a ＝0B ．面积相等的三角形是全等三角形C ．直角三角形的两个锐角互余D ．不是对顶角的两个角不相等8．用三角尺画角平分线：如图，先在AOB ∠的两边分别取OM ON =，再分别过点M ，N 作OA ，OB 的垂线，交点为P ．得到OP 平分AOB ∠的依据是（ ）A ．HLB ．SSSC ．SASD ．ASA9．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝5cm，在AC上取一点E，使EC＝BC，过点E 作EF⊥AC，连接CF，使CF＝AB，若EF＝12cm，则下列结论不正确的是（）A．∠F＝∠BCF B．AE＝7cm C．EF平分AB D．AB⊥CF10．如图，AB与CD相交于点E，AD=CB，要使△ADE≌△CBE，需添加一个条件，则添加的条件以及相应的判定定理正确的是（）A．AE=CE；SAS B．DE=BE；SASC．∠D=∠B；AAS D．∠A=∠C；ASA11．如图，OB平分∠MON，A为OB的中点，AE⊥ON，EA=3，D为OM上的一个动点，C 是DA延长线与BC的交点，BC//OM，则CD的最小值是（）A．6 B．8 C．10 D．1212．下列命题，真命题是（）A．全等三角形的面积相等B．面积相等的两个三角形全等C．两个角对应相等的两个三角形全等D．两边和其中一边的对角对应相等的两个三角形全等13．如图，C是∠AOB的平分线上一点，添加下列条件不能判定△AOC≌△BOC的是（）A ．OA =OB B ．AC =BC C ．∠A =∠BD ．∠1=∠2 14．如图，已知AE 平分∠BAC ，BE ⊥AE 于E ，ED ∥AC ，∠BAE ＝34°，那么∠BED ＝（ ）A ．134°B ．124°C ．114°D ．104° 15．已知，如图，OC 是∠AOB 内部的一条射线，P 是射线OC 上任意点，PD ⊥OA ，PE ⊥OB ，下列条件中：①∠AOC ＝∠BOC ，②PD ＝PE ，③OD ＝OE ，④∠DPO ＝∠EPO ，能判定OC 是∠AOB 的角平分线的有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个二、填空题16．如图，△ABC 中，∠ACB =90°，点D 在边AC 上，DE ⊥AB 于点E ，DC =DE ，∠A =32°，则∠BDC 的度数为________．17．如图，已知在ABC ∆和ADC ∆中，,ACB ACD ∠=∠请你添加一个条件：_________，使ABC ADC ∆≅∆(只添一个即可）．18．如图，AOP BOP ∠=∠，PD OA ⊥，C 是OB 上的动点，连接PC ，若4PD =，则PC 的最小值为_________．19．如图，在Rt ABC △中，90C ∠=︒，AD 平分BAC ∠交BC 于点D ．若3BC =，且:5:4BD DC =，5AB =，则ABD △的面积是______．20．如图，点D 、E 分别在线段AB 、AC 上，BE 与CD 相交于点O ．若AB AC =，AD AE =，60A ∠=︒，80ADC ∠=︒，则B 的度数为______．21．如图所示，在ABC 中，D 是BC 的中点，点A 、F 、D 、E 在同一直线上．请添加一个条件，使BDE CDF ≌（不再添其他线段，不再标注或使用其他字母），并给出证明．你添加的条件是______22．如图，AC AE =，AD AB =，90ACB DAB ∠=∠=︒，33BAE ∠=︒，//CB AE ，AC 与DE 相交于点F ．（1）DAC ∠=______．（2）当1AF =时，BC 的长为______．23．如图，BD 平分ABC ∠交AC 于点D ，DE BC ⊥于点E ，若2DE =，7BC =，12ABC S =△，则AB 的长为______．24．如图所示，ABC ≅△AB C ''，20CAC ∠'=︒，BAB ∠'=___度．25．如图，AB ⊥BC ，DC ⊥BC ，垂足分别为B 、C ，垂足为B 、C ，AC 与BD 相交于点E ，AC=BD 且∠A=50°，则∠BEA=___________．26．如图，ABC ∆的两条高AD 、CE 交于点H ，已知6EH EB ==，8AE =，则ACH ∆的面积为______．三、解答题27．如图，在△ABC 中，AC ＝BC ，∠ACB ＝90°，点D 在边BC 上（不与点B ，C 重合），过点C 作CE ⊥AD ，垂足为点E ，交AB 于点F ，连接DF ．（1）请直接写出∠CAD 与∠BCF 的数量关系；（2）若点D 是BC 中点，在图2中画出图形，猜想线段AD ，CF ，FD 之间的数量关系，并证明你的猜想．28．如图，已知A ABC ∠=∠，D CBD ∠=∠，ABD CBD ∠=∠，点E 在BC 的延长线上．求证：CD 平分ACE ∠．29．如图，在△ABC 中，∠BAC 的平分线AD 交BC 于点D ，过点D 作DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，垂足分别是E ，F ，连接EF ．写出两个结论（∠BAD ＝∠CAD 和DE ＝DF 除外），并选择一个结论进行证明．（1）____________；（2）____________．30．在Rt ABC △中，90C ∠=︒，8cm AC =，6cm BC =，点D 在AC 上，且6cm AD =，过点A 作射线AE AC ⊥（AE 与BC 在AC 同侧），若点P 从点A 出发，沿射线AE 匀速运动，运动速度为1cm/s ，设点P 运动时间为t 秒．连结PD 、BD ．（1）如图①，当PD BD ⊥时，求证：PDA DBC △≌△； （2）如图②，当PD AB ⊥于点F 时，求此时t 的值．。

初二全等三角形所有知识点总结和常考题1.基本定义：⑴全等形：能够完全重合的两个图形叫做全等形 .⑵全等三角形：能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形.⑶对应顶点：全等三角形中互相重合的顶点叫做对应顶点.⑷对应边：全等三角形中互相重合的边叫做对应边 .⑸对应角：全等三角形中互相重合的角叫做对应角 .2.基本性质：⑴三角形的稳定性：三角形三边的长度确定了，这个三角形的形状、大小就全确定，这个性质叫做三角形的稳定性.⑵全等三角形的性质：全等三角形的对应边相等，对应角相等.3.全等三角形的判定定理：⑴边边边（SSS）:三边对应相等的两个三角形全等.⑵边角边（SAS）：两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等.⑶角边角（ASA）:两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等.⑷角角边（AAS）:两角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等⑸斜边、直角边（HL ）：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等.4.角平分线：⑴画法：⑵性质定理：角平分线上的点到角的两边的距离相等 .⑶性质定理的逆定理：角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上5.证明的基本方法：⑴明确命题中的已知和求证.（包括隐含条件，如公共边、公共角、对顶角、角平分线、中线、高、等腰三角形等所隐含的边角关系）⑵根据题意，画出图形，并用数字符号表示已知和求证.⑶经过分析，找出由已知推出求证的途径，写出证明过程 .一.选择题（共14小题）1.使两个直角三角形全等的条件是（）A. 一个锐角又t应相等B.两个锐角对应相等C. 一条边对应相等D.两条边对应相等2.如图，已知AE=CF /AFD=/ CEB那么添加下列一个条件后，仍无法判定△AD陷4CBE的是（）A. /A=/ CB. AD=CBC. BE=DFD. AD // BC3.如图所示，亮亮书上的三角形被墨迹污染了一部分，很快他就根据所学知识画出一个与书上完全一样的三角形，那么这两个三角形完全一样的依据是（）A. SSSB. SASC. AASD. ASA4.到三角形三条边的距离都相等的点是这个三角形的（A.三条中线的交点B.三条高的交点C.三条边的垂直平分线的交点D.三条角平分线的交点5.如图，△ AC阴NA CB'/BCB =30°则/ ACA的度数为（A. 20°B. 300C. 350D. 40°6.如图，直线11、12、13表示三条相互交叉的公路，现要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，则供选择的地址有（）A. 1处B. 2处C. 3处D. 4处7.如图，AD是4ABC中/ BAC的角平分线，D已AB于点E, S AABC=7, DE=ZAB=4,则AC长是（）8.如图，在△ ABC和4DEC中，已知AB=DE还需添加两个条件才能使△ ABCDEC不能添加的一组条件是（）A. BC=EC /B=/ EB. BC=EC AC=DCC. BC=DC /A=/DD. / B=/ E,/ A=/ D9.如图，已知在△ ABC中，CD是AB边上的高线，BE平分/ ABC,交CD于点E, BC=5 DE=2,贝BCE的面积等于（）A. 10B. 7C. 5D. 410.要测量河两岸相对的两点A, B的距离，先在AB的垂线BF上取两点C, D, 使CD=BC再定出BF的垂线DE,使A, C, E在一条直线上（如图所示），可以说明△ED8 AABC,彳3ED=AB因此测得ED的长就是AB的长，判定△ ED8 △ ABC最恰当的理由是（）A.边角边B.角边角C.边边边D.边边角11.如图，4ABC的三边AB, BC, CA长分别是20, 30, 40,其三条角平分线将△ ABC分为三个三角形，则S A ABO）：S A BCO：S A CAO等于（）BC AA. 1:1:1B. 1: 2: 3C. 2: 3: 4D. 3: 4: 512.尺规作图作/ AOB的平分线方法如下：以O为圆心，任意长为半径画弧交OA, OB于C, D,再分别以点C, D为圆心，以大于tCD长为半径画弧，两弧交于点P,作射线OP由作法得^ OC国4ODP的根据是（）A.有两边和其中一边的对角对应相等的两个三角形全等B.有两边对应相等，且有一角为 30°的两个等腰三角形全等C.有一角和一边对应相等的两个直角三角形全等D.有两角和一边对应相等的两个三角形全等14.如图，已知/ 1=/2, AC=AD,增加下列条件：① AB=AE ②BC=ED ③C C= /D;④/ B=/ E.其中能使△ AB ®ZXAED 的条件有（ ）A. 4个B. 3个C. 2个D. 1个二.填空题（共11小题）15 .如图，在△ ABC 中，/C=90°, AD 平分/CAB BC=8cm, BD=5cm,那么点 D 到线段AB 的距离是 cm.16 .如图，△ ABC 中，/ C=90°, AD 平分/BAC AB=5, CD=2,则△ ABD 的面积17 .如图为6个边长等的正方形的组合图形，则/ 1+/ 2+/3=19 .如图所示，某同学把一块三角形的玻璃打碎成了三块， 现在要到玻璃店去配 一块完全一样的玻璃，那么最省事的办法是带 去玻璃店.18.如图，△AB ®ADEF5请根据图中提供的信息，写出* F x= ______是 _______20.如图，已知AB// CF, E为DF的中点，若AB=9cm, CF=5cm 贝U BD=cm.B C21.在数学活动课上，小明提出这样一个问题：/ B=Z C=90°, E是BC的中点, DE 平分/ADC, /CED=35,如图，则/ EAB是多少度？大家一起热烈地讨论交流，小英第一个得出正确答案，是度.D C22.如图，/XABeAADEE, / B=100°, / BAC=30,那么/ AED=度.23.如图所示，将两根钢条AA', BB'的中点。

八年级数学上册第十二章全等三角形重难点归纳单选题1、如图，若△ABC≌△ADE则下列结论中不成立．．．的是（）A．∠BAD=∠CAEB．∠BAD=∠CDEC．DA平分∠BDED．AC=DE答案：D分析：根据全等三角形的性质得出∠B＝∠ADE，∠BAC＝∠DAE，AB＝AD，∠E＝∠C，再逐个判断即可．解：A．∵△ABC≌△ADE，∴∠BAC＝∠DAE，∴∠BAC−∠DAC＝∠DAE−∠DAC，∴∠BAD＝∠CAE，故本选项不符合题意；B．如图，∵△ABC≌△ADE，∴∠C＝∠E，∵∠AOE＝∠DOC，∠E＋∠CAE＋∠AOE＝180°，∠C＋∠COD＋∠CDE＝180°，∴∠CAE＝∠CDE，∵∠BAD＝∠CAE，∴∠BAD＝∠CDE，故本选项不符合题意；C．∵△ABC≌△ADE，∴∠B＝∠ADE，AB＝AD，∴∠B＝∠BDA，∴∠BDA＝∠ADE，∴AD平分∠BDE，故本选项不符合题意；D．∵△ABC≌△ADE，∴BC＝DE，故本选项符合题意；故选：D．小提示：本题考查了全等三角形的性质，等腰三角形的性质和三角形内角和定理，能熟记全等三角形的性质是解此题的关键，注意：全等三角形的对应角相等，对应边相等．2、下列说法不正确的是（）A．有两条边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等B．有三个角对应相等的两个三角形全等C．有两个角及其中一角的对边对应相等的两个三角形全等D．有三条边对应相等的两个三角形全等答案：B分析：根据全等三角形的判定定理逐一判断即可得答案．A.符合判定SAS，故该选项说法正确，不符合题意，B.全等三角形的判定必须有边的参与，AAA不能判定两个三角形全等，故该选项说法不正确，符合题意，C.正确，符合判定AAS，故该选项说法正确，不符合题意，D.正确，符合判定SSS，故该选项说法正确，不符合题意，故选：B．小提示：本题考查全等三角形的判定，全等三角形常用的判定方法有：SSS、SAS、AAS、ASA、HL，注意：AAS、AAA不能判定两个三角形全等，当利用SAS判定两个三角形全等时，角必须是两边的夹角；熟练掌握全等三角形的判定定理是解题关键．3、小明同学只用两把完全相同的长方形直尺就可以作出一个角的平分线．如图：一把直尺压住射线OB，另一把直尺压住射线OA并且与第一把直尺交于点P，小明说：“射线OP就是∠BOA的角平分线．”他这样做的依据是（）A．在角的内部，到角的两边距离相等的点在角的平分线上B．角平分线上的点到这个角两边的距离相等C．三角形的三条高交于一点D．三角形三边的垂直平分线交于一点答案：A分析：过两把直尺的交点P作PF⊥BO与点F，由题意得PE⊥AO，因为是两把完全相同的长方形直尺，可得PE=PF，再根据角的内部到角的两边的距离相等的点在这个角的平分线上可得OP平分∠AOB如图所示：过两把直尺的交点P作PF⊥BO与点F，由题意得PE⊥AO，∵两把完全相同的长方形直尺，∴PE=PF，∴OP平分∠AOB（角的内部到角的两边的距离相等的点在这个角的平分线上），故选A．小提示：本题主要考查了基本作图，关键是掌握角的内部到角的两边的距离相等的点在这个角的平分线上这一判定定理．4、如图，在Rt△ABC中，∠C=90°,∠BAC的平分线交BC于点D，DE//AB，交AC于点E，DF⊥AB于点F，DE=5,DF=3，则下列结论错误的是（）A．BF=1B．DC=3C．AE=5D．AC=9答案：A分析：根据角平分线的性质得到CD=DF=3，故B正确；根据平行线的性质及角平分线得到AE=DE=5，故C正确；由此判断D正确；再证明△BDF≌△DEC，求出BF=CD=3，故A错误．解：在Rt△ABC中，∠C=90°,∠BAC的平分线交BC于点D，DF⊥AB，∴CD=DF=3，故B正确；∵DE=5，∴CE=4，∵DE//AB，∴∠ADE=∠DAF，∵∠CAD=∠BAD，∴∠CAD=∠ADE，∴AE=DE=5，故C正确；∴AC=AE+CE=9，故D正确；∵∠B=∠CDE，∠BFD=∠C=90°，CD=DF，∴△BDF≌△DEC，∴BF=CD=3，故A错误；故选：A．小提示：此题考查了角平分线的性质定理，平行线的性质，等边对等角证明角相等，全等三角形的判定及性质，熟记各知识点并综合应用是解题的关键．5、如图，锐角△ABC的两条高BD、CE相交于点O，且CE＝BD，若∠CBD＝20°，则∠A的度数为（）A．20°B．40°C．60°D．70°答案：B分析：由BD、CE是高，可得∠BDC=∠CEB=90°，可求∠BCD＝70°，可证Rt△BEC≌Rt△CDB（HL），得出∠BCD ＝∠CBE＝70°即可．解：∵BD、CE是高，∠CBD＝20°，∴∠BDC=∠CEB=90°，∴∠BCD＝180°﹣90°﹣20°＝70°，在Rt△BEC和Rt△CDB中，，{CE=BDBC=CB∴Rt△BEC≌Rt△CDB（HL），∴∠BCD＝∠CBE＝70°，∴∠A＝180°﹣70°﹣70°＝40°．故选：B．小提示：本题考查三角形高的定义，三角形全等判定与性质，三角形内角和公式，掌握三角形高的定义，三角形全等判定与性质，三角形内角和公式是解题关键．6、如图，为测量桃李湖两端AB的距离，南开中学某地理课外实践小组在桃李湖旁的开阔地上选了一点C，测得∠ACB的度数，在AC的另一侧测得∠ACD=∠ACB，CD=CB，再测得AD的长，就是AB的长．那么判定△ABC≌△ADC的理由是（）A．SASB．SSSC．ASAD．AAS答案：A分析：已知条件是∠ACD=∠ACB，CD=CB，AC=AC，据此作出选择．解：在△ADC与△ABC中，{CD=CB∠ACD=∠ACBAC=AC．∴△ADC≌△ABC（SAS）．故选：A．小提示：此题考查了全等三角形的应用，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS，做题时注意选择．注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．7、如图，已知△ABC和△ADE都是等腰三角形，∠BAC=∠DAE=90°，BD,CE交于点F，连接AF，下列结论：①BD=CE；②BF⊥CF；③AF平分∠CAD；④∠AFE=45°．其中正确结论的个数有（）A．1个B．2个C．3个D．4个答案：C分析：①证明△BAD≌△CAE,再利用全等三角形的性质即可判断；②由△BAD≌△CAE可得∠ABF=∠ACF，再由∠ABF+∠BGA=90°、∠BGA=∠CGF证得∠BFC=90°即可判定；③分别过A作AM⊥BD、AN⊥CE,根据全等三角形面积相等和BD=CE，证得AM=AN,即AF平分∠BFE,即可判定；④由AF平分∠BFE结合BF⊥CF即可判定．解：∵∠BAC=∠EAD∴∠BAC+∠CAD=∠EAD+∠CAD,即∠BAD=∠CAE在△BAD和△CAE中AB=AC, ∠BAD=∠CAE,AD=AE∴△BAD≌△CAE∴BD=CE故①正确；∵△BAD≌△CAE∴∠ABF=∠ACF∵∠ABF+∠BGA=90°、∠BGA=∠CGF∴∠ACF+∠BGA=90°,∴∠BFC=90°故②正确；分别过A作AM⊥BD、AN⊥CE垂足分别为M、N ∵△BAD≌△CAE∴S△BAD=S△CAE,∴12BD⋅AM=12CE⋅AN∵BD=CE∴AM=AN∴AF平分∠BFE，无法证明AF平分∠CAD．故③错误；∵AF平分∠BFE，BF⊥CF∴∠AFE=45°故④正确．故答案为C．小提示：本题考查了全等三角形的判定与性质、角平分线的判定与性质以及角的和差等知识，其中正确应用角平分线定理是解答本题的关键．8、如图，若△ABC≌△ADE，则下列结论中一定成立的是（）A．AC＝DE B．∠BAD＝∠CAE C．AB＝AE D．∠ABC＝∠AED答案：B分析：根据全等三角形的性质即可得到结论．解：∵△ABC≌△ADE，∴AC＝AE，AB＝AD，∠ABC＝∠ADE，∠BAC＝∠DAE，∴∠BAC﹣∠DAC＝∠DAE﹣∠DAC，即∠BAD＝∠CAE．故A，C，D选项错误，B选项正确，故选：B．小提示：本题考查了全等三角形的性质，熟练掌握全等三角形的性质是解题的关键．9、如图，在△ABC中，∠C=90°，以点B为圆心，任意长为半径画弧，分别交AB、BC于点M、N．分别以点M、MN的长度为半径画弧，两弧相交于点P，过点P作线段BD，交AC于点D，过点D作N为圆心，以大于12∠ABC；③BC=BE；④AE=BE中，一定正确的是（）DE⊥AB于点E，则下列结论①CD=ED；②∠ABD=12A．①②③B．①②③④C．②④D．②③④答案：A分析：由作法可知BD是∠ABC的角平分线，故②正确，根据角平分线上的点到角两边的距离相等可得①正确，由HL可得Rt△BDC≌Rt△BDE,故BC=BE，③正确，解：由作法可知BD是∠ABC的角平分线，故②正确，∵∠C=90°,∴DC⊥BC，又DE⊥AB，BD是∠ABC的角平分线，∴CD=ED，故①正确，在Rt△BCD和Rt△BED中，，{DE=DCBD=BD∴△BCD≌△BED，∴BC=BE，故③正确.故选A.小提示：本题考查了角平分线的画法及角平分线的性质，熟练掌握相关知识是解题关键.10、判断两个直角三角形全等的方法不正确．．．的有（）A．两条直角边对应相等B．斜边和一锐角对应相等C．斜边和一条直角边对应相等D．两个锐角对应相等答案：D分析：根据直角三角形全等的判定条件逐一判断即可．解：A、两条直角边对应相等，可以利用SAS证明两个直角三角形全等，说法正确，不符合题意；B、斜边和一锐角对应相等，可以利用AAS证明两个直角三角形全等，说法正确，不符合题意；C、斜边和一条直角边对应相等，可以利用HL证明两个直角三角形全等，说法正确，不符合题意；D、两个锐角对应相等，不可以利用AAA证明两个直角三角形全等，说法错误，符合题意；故选D．小提示：本题主要考查了全等三角形的判定，熟知全等三角形的判定条件是解题的关键．填空题11、如图，AC平分∠BAD，∠B+∠D=180°，CE⊥AD于点E，AD=18cm，AB=11cm，那么DE的长度为_____________________cm．答案：3.5分析：过C点作CF⊥AB于F，如图，根据角平分线的性质得到CF=CE，再证明Rt△ACE≌Rt△ACF得到AF=AE，证明△CBF≌△CDE得到BF=DE，然后利用等线段代换，利用AF=AE得到11+DE=18-DE，从而可求出DE的长．解：过C点作CF⊥AB于F，如图，∵AC平分∠BAD，CE⊥AD，CF⊥AB，∴CF=CE，在Rt△ACE和Rt△ACF中，，{AC=ACCF=CE∴Rt△ACE≌Rt△ACF（HL），∴AF=AE，∵∠ABC+∠D=180°，∠ABC+∠CBF=180°，∴∠CBF=∠D，在△CBF和△CDE中，{∠CBF=∠D∠CFB=∠CEDCF=CE，∴△CBF≌△CDE（AAS），∴BF=DE，∵AF=AE，∴AB+BF=AD-DE，即11+DE=18-DE，∴DE=3.5cm．所以答案是：3.5．小提示：本题考查了角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．也考查了全等三角形的判定与性质．12、如图，四边形ABCD中，∠BAC=∠DAC，请补充一个条件____，使△ABC≌△ADC．答案：∠D=∠B(答案不唯一)分析：本题是一道开放型的题目，答案不唯一，只要符合全等三角形的判定定理即可．解：添加的条件为∠D=∠B，理由是：在△ABC和△ADC中，{∠BAC =∠DAC∠D =∠B AC =AC，∴△ABC ≌△ADC (AAS )，所以答案是：∠D =∠B ．小提示：本题主要考查全等三角形的判定定理，能熟记全等三角形的判定定理是解决本题的关键，注意：全等三角形的判定定理有SAS ，ASA ，AAS ，SSS ，两直角三角形全等还有HL ．13、如图，OP 平分∠MON,PE ⊥OM 于点E ，PF ⊥ON 于点F ，PE =PF,OA =OB ，则图中有__________对全等三角形．答案：3分析：根据角平分线的性质得到PE =PF ，根据全等三角形的判定定理判断即可．解：如图，OP 平分∠MON,PE ⊥OM 于点E ，PF ⊥ON 于点F ，PE =PF ，∴∠1=∠2，在△AOP 和△BOP 中，{OA =OB ，∠1=∠2,OP =OP ，∴△AOP ≌△BOP (SAS )，∴AP =BP ，在Rt △EOP 和Rt △FOP 中，{PE =PF ，OP =OP,∴Rt △EOP ≌Rt △FOP (HL )，在Rt △AEP 和Rt △BFP 中，{PA =PB,PE =PF,∴Rt △AEP ≌Rt △BFP (HL )，∴图中有3对全等三角形．所以答案是：3.小提示：本题考查的是角平分线的性质、全等三角形的判定，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．14、如图，在△ABC 中，∠C =90°，AD 平分∠BAC ，AB =5，CD =2，则△ABD 的面积是________．答案：5分析：过D 作DE ⊥AB 于E ，由△DAE ≌△DAC 得到DE 的长，进而解答；解：如图，过D 作DE ⊥AB 于E ，△DAE 和△DAC 中，AD 平分∠BAC ，则∠DAE =∠DAC ，∠DEA =∠DCA =90°，DA =DA ，∴△DAE ≌△DAC （AAS ），∴DE =DC =2，∴△ABD 的面积=12×AB ×DE =12×5×2=5，所以答案是：5；小提示：本题考查了角平分线的概念，全等三角形的判定（AAS ）和性质；熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键．15、如图，在等腰Rt △ABC 中，AC =BC ，D 为△ABC 内一点，且∠BCD =∠CAD ，若CD =4，则△BCD 的面积为________．答案：8分析：由线段CD 的长求ΔBCD 的面积，故过B 作CD 的垂线，则由三角形面积公式可知：S ΔBCD =12×CD ×BE ，再由题中的∠BCD =∠CAD 和等腰直角三角形ABC ，即可求证ΔACD ≌ΔCBE ，最后由CD =BE =4即可求解． 解：过点B 作CD 的垂线，交CD 的延长线于点E∵∠ACB =90°∴∠BCD +∠ACD =90°∵∠BCD =∠CAD∴∠ACD +∠CAD =90°∴∠ADC =90°∵BE ⊥CD∴∠E =90°∴∠BCD +∠CBE =90°∴∠ACD =∠CBE∵AC =CB∴ΔACD ≌ΔCBE∴CD =BE =4∴SΔBCD=12×CD×BE=12×4×4=8故答案是：8．小提示：本题主要考察全等三角形的证明、辅助线的画法、等腰三角形的性质和三角形面积公式，属于中档难度的几何证明题．解题的关键是由三角形面积公式画出合适的辅助线．解答题16、已知：等腰Rt△ABC和等腰Rt△ADE中，AB=AC，AE=AD，∠BAC=∠EAD=90°．（1）如图1，延长DE交BC于点F，若∠BAE=68°，则∠DFC的度数为；（2）如图2，连接EC、BD，延长EA交BD于点M，若∠AEC=90°，求证：点M为BD中点；（3）如图3，连接EC、BD，点G是CE的中点，连接AG，交BD于点H，AG=9，HG=5，直接写出△AEC的面积．答案：（1）68°；（2）见解析；（3）36分析：（1）由已知条件可得∠D=∠C=45°，对顶角∠AQD=∠CQF，则∠DAC=∠DFC，根据∠DAE=∠CAB即可的∠DFC=∠BAE；（2）过点B作ME的垂线交EM的延长线于N,证明△AEC≌△BNA，得AE=BN,进而可得AD=NB，再证明△DAM≌△BNM即可得证点M为BD中点；（3）延长AG至K，使得GK=AG=9，连接CK，设AE交BC于点P，先证明△ABE≌△ACD，进而证明△AEG≌△KCG，根据角度的计算以及三角形内角和定理求得∠BAD=∠KCA，进而证明△ABD≌△CAK，再根据∠CAG=∠ABD,∠BAC=90°,证明AH⊥BD，根据已知条件求得S△ABD最后证明S△AEC=S△ABD即可．（1）设DF交AC于Q，如图1，∵△ABC是等腰Rt△ABC和△ADE是等腰Rt△ADE∴∠D=∠C=45°∵∠AQD=∠CQF∵∠DAQ=180−∠D−∠AQD,∠QFC=180−∠C−∠CQF∴∠DAQ=∠QFC∵∠BAC=∠EAD=90°即∠BAE+∠EAQ=∠EAQ+∠QAD∴∠BAE=∠QAD∴∠DFC=∠BAE∵∠BAE=68°∴∠DFC=68°故答案为68°（2）如图2，过点B作ME的垂线交EM的延长线于N,∴∠N=90°∵∠AEC=90°∴∠N=∠AEC∵∠BAC=90°∴∠EAC+∠NAB=90°∵∠NAC+∠ACE=90°∴∠NAB=∠ECA∵△ABC是等腰Rt△ABC和△ADE是等腰Rt△ADE∴AB=AC,AD=AE 又∵AC=AB∴△AEC≌△BNA∴NB=AE∵AE=AD∴AD=NB∵∠DAE=90°∴∠DAM=90°∴∠DAM=∠N又∵∠DMA=∠BMN∴△DAM≌△BNM∴DM=BM即M是BD的中点（3）延长AG至K，使得GK=AG=9，连接CK，设AE交BC于点P，如图∵∠BAC=∠EAD=90°即∠BAE+∠EAC=∠EAC+∠CAD∴∠BAE=∠CAD∵△ABC是等腰Rt△ABC和△ADE是等腰Rt△ADE∴AB=AC,AE=AD在△ABE与△ACD中，{AE=AD∠BAE=∠CAD AB=AC∴△ABE≌△ACD（SAS）∴S△ABE=S△ABD，BE=CD∵G点是EC的中点∴EG=GC∵∠AGE=∠KGC，AG=GK∴△AGE≌△KGC（SAS）∴AE=CK,∠AEG=∠KCG∴AE=KC=AD,∠ACK=∠ACB+∠BCE+∠KCG=45°+∠AEC+∠BCE=45°+∠ABC+∠BAP=90°+∠BAE=∠BAD∴△AKC≌△ABD（SAS）∴BD=AK=18，∠CAK=∠ABD∵∠BAG+∠CAG=90°∴∠ABD+∠BAG=90°即∠AHB=90°∵AG=9，HG=5∴AH=AG−HG=9−5=4∴S△ABD=12BD⋅AH=12×18×4=36∵S△AEC=S△AEG+S△AGC=S△GCK+S△AGC=S△ACK=S△ABD=36∴S△AEC=36小提示：本题考查了三角形全等的性质与判定，等腰直角三角形的性质，三角形内角和定理，三角形外角性质，构造辅助线是解题的关键．17、如图，在四边形ABCD中，点E为对角线BD上一点，∠A=∠BEC，∠ABD=∠BCE，且AD=BE．(1)证明：①△ABD≅△ECB；②AD≌BC；(2)若BC=15，AD=6，请求出DE的长度．答案：(1)①证明见解析；②证明见解析(2)9分析：（1）①由ASA证明全等即可，②由①可证明；（2）由△ABD≌△ECB可证DE=BD-BE=15-6=9．（1）解：证明：①在△ABD和△ECB中，{∠A=∠BEC∠ABD=∠BCEAD=BE，∴△ABD≌△ECB（ASA），②由①得：△ABD≌△ECB∴∠ADB＝∠EBC，∴AD∥BC；（2）∵△ABD≌△ECB，BC=15，AD=6，∴BD＝BC=15，BE=AD=6，∴DE=BD-BE=15-6=9．小提示：本题考查了全等三角形的判定与性质、平行线的判定等知识，证明△ABD≌△ECB是解题的关键．18、如图1，已知ΔABC中，∠ACB=90°，AC=BC，BE、AD分别与过点C的直线垂直，且垂足分别为E，D．(1)猜想线段AD、DE、BE三者之间的数量关系，并给予证明．(2)如图2，当过点C的直线绕点C旋转到ΔABC的内部，其他条件不变，如图2所示，①线段AD、DE、BE三者之间的数量关系是否发生改变？若改变，请直接写出三者之间的数量关系，若不改变，请说明理由；②若AD=2.8，DE=1.5时，求BE的长．答案：(1)DE=AD+BE，证明见解析(2)①发生改变，DE=AD−BE；②1.3分析：（1）证明ΔACD≅ΔCBE，可得AD=CE，CD＝BE，即可求解；（2）①证明ΔACD ≅ΔCBE ，可得AD =CE ，CD ＝BE ， 即可求解；②由①可得DE =AD −BE ，从而得到BE =AD −DE ，即可求解．（1）解：DE =AD +BE ， 理由如下：∵BE 、AD 分别与过点C 的直线垂直，∴∠BEC =∠ADC ＝90°，∴∠ACD +∠CAD ＝90°，∵∠ACB =90°，∴∠ACD +∠BCE =90°，∴∠CAD =∠BCE ，在ΔACD 和ΔCBE 中，{∠ADC =∠BEC∠CAD =∠BCE AC =BC，∴ΔACD ≅ΔCBE (AAS )，∴AD =CE ，CD ＝BE ，∵ DE ＝EC ＋CD ，∴DE =AD +BE ；（2）解：①发生改变．∵BE 、AD 分别与过点C 的直线垂直，∴∠BEC =∠ADC ＝90°，∴∠ACD +∠CAD ＝90°，∵∠ACB =90°，∴∠ACD +∠BCE =90°，∴∠CAD =∠BCE ，在ΔACD 和ΔCBE 中，{∠ADC =∠BEC∠CAD =∠BCE AC =BC，∴ΔACD≅ΔCBE(AAS)，∴AD=CE，CD＝BE，∵DE＝CE-CD，∴DE=AD−BE；②由①知：DE=AD−BE，∴BE=AD−DE=2.8−1.5=1.3，∴BE的长为1.3.小提示：本题主要考查了全等三角形的判定和性质、等角的余角相等，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键．。

（苏科版）八年级上册数学《第1章全等三角形》专题全等三角形压轴题训练（30题）1．如图，△ABC中，AB＝AC，D为AC边上一点，E为AB延长线上一点，且CD＝BE，DE与BC相交于点F．（1）求证：DF＝EF．（2）过点F作FG⊥DE，交线段CE于点G，若CE⊥AC，CD＝4，S＝5，求EG的长．△EFG【分析】（1）过点D作DH∥AB交BC于点H，根据等腰三角形的性质及平行线的性质得到∠BEF＝∠HDF，∠DHC＝∠DCH，则DH＝CD，结合∠BFE＝∠HFD，即可利用AAS判定△BEF≌△HDF，根据全等三角形的性质即可得解；（2）根据三角形的面积公式求解即可．【解答】（1）过点D作DH∥AB交BC于点H，∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB，∵DH∥AB，∴∠DHC＝∠ABC，∴∠DHC＝∠ACB＝∠DCH，∴DH＝CD，∵CD＝BE，∴DH＝BE，∵DH∥AB，∴∠BEF＝∠HDF，在△BEF和△HDF中，∠BFE=∠HFD∠BEF=∠HDFBE=DH，∴△BEF≌△HDF（AAS），∴DF＝EF；（2）连接DG，∵DF＝EF，FG⊥DE，∴S△DFG ＝S△EFG＝5，∴S△DEG＝10，∵CE⊥AC，CD＝4，∴S△DEG =12EG•CD=12EG×4，∴12EG×4＝10，∴EG＝5．【点评】此题考查了全等三角形的判定与性质，利用AAS判定△BEF≌△HDF是解题的关键．2．如图，四边形ABCD中，AB＝BC＝2CD，AB∥CD，∠C＝90°，E是BC的中点，AE与BD相交于点F，连接DE．（1）求证：△ABE≌△BCD；（2）判断线段AE与BD的数量关系及位置关系，并说明理由；【分析】（1）由平行线的性质得出∠ABE+∠C＝180°，得出∠ABE＝90°＝∠C，再证出BE＝CD，由SAS证明△ABE≌△BCD即可；（2）由全等三角形的性质得出AE＝BD，证出∠ABF+∠BAE＝90°，得出∠AFB＝90°，即可得出结论．【解答】（1）证明：∵AB∥CD，∴∠ABE+∠C＝180°，∵∠C＝90°，∴∠ABE＝90°＝∠C，∵E是BC的中点，∴BC＝2BE，∵BC＝2CD，∴BE＝CD，在△ABE和△BCD中，AB=BC∠ABE=∠C BE=CD，∴△ABE≌△BCD（SAS）；（2）解：AE＝BD，AE⊥BD，理由如下：由（1）得：△ABE≌△BCD，∴AE＝BD，∵∠BAE＝∠CBD，∠ABF+∠CBD＝90°，∴∠ABF+∠BAE＝90°，∴∠AFB＝90°，∴AE⊥BD．【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质、直角三角形的性质等知识；证明三角形全等是解题的关键．3．如图1，在等腰直角三角形ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，点P为BC边上的一个动点，连接AP，以AP为直角边，A为直角顶点，在AP右侧作等腰直角三角形PAD，连接CD．（1）当点P在线段BC上时（不与点B重合），求证：△BAP≌△CAD；（2）当点P在线段BC的延长线上时（如图2），试猜想线段BP和CD的数量关系与位置关系分别是什么？请给予证明．【分析】（1）证得∠BAP＝∠CAD，根据SAS可证明△BAP≌△CAD；（2）可得∠BAP＝∠CAD，由SAS可证明△BAP≌△CAD，可得BP＝CD，∠B＝∠ACD，则结论得证．【解答】（1）证明：∵∠BAC＝∠PAD＝90°，∴∠BAC﹣∠PAC＝∠PAD﹣∠PAC，即：∠BAP＝∠CAD，在△BAP和△CAD中AB=AC∠BAP=∠CAD，PA=DA∴△BAP≌△CAD（SAS）；（2）猜想：BP＝CD，BP⊥CD．证明：∵∠BAC＝∠PAD＝90°，∴∠BAC+∠PAC＝∠PAD+∠PAC，即：∠BAP＝∠CAD，在△BAP和△CAD中AB=AC∠BAP=∠CAD，PA=DA∴△BAP≌△CAD（SAS），∴BP＝CD（全等三角形的对应边相等），∠B＝∠ACD（全等三角形的对应角相等），∵∠B+∠ACB＝90°，∴∠ACD+∠ACB＝90°，即：BP⊥CD．【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，根据同角的余角相等求出两边的夹角相等是证明三角形全等的关键．4．（2023春•市南区期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于点D，E为AC边上一点，连接BE与AD交于点F，G为△ABC外一点，满足∠ACG＝∠ABE，∠FAG＝∠BAC，连接EG．（1）求证：△ABF≌△ACG；（2）求证：BE＝CG+EG．【分析】（1）根据已知条件可得∠BAD＝∠CAG，然后利用ASA即可证明△ABF≌△ACG；（2）结合（1）的结论，再证明△AEF≌△AEG，即可解决问题．【解答】（1）证明：∵∠BAC＝∠FAG，∴∠BAC﹣∠CAD＝∠FAG﹣∠CAD，∴∠BAD＝∠CAG，在△ABF和△ACG中，∠BAD=∠CAGAB=AC，∠ABF=∠ACG∴△ABF≌△ACG（ASA）；（2）证明：∵△ABF≌△ACG，∴AF＝AG，BF＝CG，∵AB＝AC，AD⊥BC，∴∠BAD＝∠CAD，∵∠BAD＝∠CAG，∴∠CAD＝∠CAG，在△AEF和△AEG中，AF=AG∠FAE=∠GAE，AE=AE∴△AEF≌△AEG（SAS）．∴EF＝EG，∴BE＝BF+FE＝CG+EG．【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，解决本题的关键是得到△AEF≌△AEG．5．（2022秋•新宾县期中）如图（1）所示，A，E，F，C在一条直线上，AE＝CF，过E，F分别作DE⊥AC，BF⊥AC，若AB＝CD．（1）求证：EG＝FG．（2）若将△DEC的边EC沿AC方向移动，变为图（2）时，其余条件不变，上述结论是否成立？请说明理由．【分析】（1）先利用HL判定Rt△ABF≌Rt△CDE，得出BF＝DE；再利用AAS判定△BFG≌△DEG，从而得出GE＝GF；（2）结论仍然成立，同理可以证明得到．【解答】解：（1）证明：∵DE⊥AC，BF⊥AC，∴∠DEF＝∠BFE＝90°．∵AE＝CF，AE+EF＝CF+EF．即AF＝CE．在Rt△ABF和Rt△CDE中，AB=CDAF=CE，∴Rt△ABF≌Rt△CDE（HL），∴BF＝DE．在△BFG和△DEG中，∵∠BFG=∠DEG ∠BGF=∠DGE BF=DE，∴△BFG≌△DGE（AAS），∴GE＝GF；（2）结论依然成立．理由：∵DE⊥AC，BF⊥AC，∴∠BFA＝∠DEC＝90°∵AE＝CF∴AE﹣EF＝CF﹣EF，即AF＝CE，在Rt△ABF和Rt△CDE中，AB=CDAF=CE，∴Rt△ABF≌Rt△CDE（HL），∴DE＝BF在△BFG和△DEG中，∵∠BFG=∠DEG ∠BGF=∠DGE BF=DE，∴△BFG≌△DGE（AAS），∴GE＝GF．【点评】本题考查三角形全等的判定与性质，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、HL．注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．6．（2023春•市南区期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于点D，E为AC边上一点，连接BE与AD交于点F，G为△ABC外一点，满足∠ACG＝∠ABE，∠FAG＝∠BAC，连接EG．（1）求证：△ABF≌△ACG；（2）求证：BE＝CG+EG．【分析】（1）根据已知条件可得∠BAD＝∠CAG，然后利用ASA即可证明△ABF≌△ACG；（2）结合（1）的结论，再证明△AEF≌△AEG，即可解决问题．【解答】（1）证明：∵∠BAC＝∠FAG，∴∠BAC﹣∠CAD＝∠FAG﹣∠CAD，∴∠BAD＝∠CAG，在△ABF和△ACG中，∠BAD=∠CAGAB=AC，∠ABF=∠ACG∴△ABF≌△ACG（ASA）；（2）证明：∵△ABF≌△ACG，∴AF＝AG，BF＝CG，∵AB＝AC，AD⊥BC，∴∠BAD＝∠CAD，∵∠BAD＝∠CAG，∴∠CAD＝∠CAG，在△AEF和△AEG中，AF=AG∠FAE=∠GAE，AE=AE∴△AEF≌△AEG（SAS）．∴EF＝EG，∴BE＝BF+FE＝CG+EG．【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，解决本题的关键是得到△AEF≌△AEG．7．（2022秋•忠县期末）在△ABC中，点D、E分别在AB、AC边上，设BE与CD相交于点F．（1）如图①，设∠A＝60°，BE、CD分别平分∠ABC、∠ACB，证明：DF＝EF．（2）如图②，设BE⊥AC，CD⊥AB，点G在CD的延长线上，连接AG、AF；若∠G＝∠6，BD＝CD，证明：GD＝DF．【分析】（1）在BC上截取BM＝BD，连接FM，证明△BFD≌△BFM，△ECF≌△MCF，进而可以解决问题；（2）根据已知条件证明△BDF≌△CDA，进而可以解决问题．【解答】证明：（1）如图，在BC上截取BM＝BD，连接FM，∵∠A＝60，∴∠BFC＝90°+60°÷2＝120°，∴∠BFD＝60°，∵BE平分∠ABC，∴∠1＝∠2，在△BFD和△BFM中，BD=BM∠1=∠2，BF=BF∴△BFD≌△BFM（SAS），∴∠BFM＝∠BFD＝60°，DF＝MF，∴∠CFM＝120°﹣60°＝60°，∵∠CFE＝∠BFD＝60°，∴∠CFM＝∠CFE，∵CD平分∠ACB，∴∠3＝∠4，又CF＝CF，在△ECF和△MCF中，∠CFE=∠CFMFC=FC，∠3=∠4∴△ECF≌△MCF（ASA），∴EF＝MF，∴DF＝EF；（2）∵BE⊥AC，CD⊥AB，∴∠BDF＝∠CDA＝90°，∴∠1+∠BFD＝90°，∠3+∠CFE＝90°，∠BFD＝∠CFE，∴∠1＝∠3，∵BD＝CD，在△BDF和△CDA中，∠BDF=∠CDABD=CD，∠1=∠3∴△BDF≌△CDA（ASA），∴DF＝DA，∵∠ADF＝90°，∴∠6＝45°，∵∠G＝∠6，∴∠5＝45°∴∠G＝∠5，∴GD＝DA，∴GD＝DF．【点评】本题属于三角形的综合题，考查了全等三角形的判定与性质，角平分线的性质，解决本题的关键是掌握全等三角形的判定与性质．8．（2023春•宣汉县校级期末）已知：∠ACB＝90°，AC＝BC，AD⊥CM，BE⊥CM，垂足分别为D，E，（1）如图1，把下面的解答过程补充完整，并在括号内注明理由．①线段CD和BE的数量关系是：CD＝BE；②请写出线段AD，BE，DE之间的数量关系并证明．解：①结论：CD＝BE．理由：∵AD⊥CM，BE⊥CM，∴∠ACB＝∠BEC＝∠ADC＝90°，∴∠ACD+∠BCE＝90°，∠BCE+∠CBE＝90°，∴∠ACD＝　在△ACD和△CBE中，（ ）∴△ACD≌△CBE，（ ）∴CD＝BE．②结论：AD＝BE+DE．理由：∵△ACD≌△CBE，∴ ∵CE＝CD+DE＝BE+DE，∴AD＝BE+DE．（2）如图2，上述结论②还成立吗？如果不成立，请写出线段AD，BE，DE之间的数量关系．并说明理由．【分析】（1）根据同角的余角相等，全等三角形的判定和性质即可解决问题；（2）结论：DE﹣BE＝AD，只要证明△ACD≌△CBE即可解决问题；【解答】解：（1）∵AD⊥CM，BE⊥CM，∴∠ACB＝∠BEC＝∠ADC＝90°，∴∠ACD+∠BCE＝90°，∠BCE+∠CBE＝90°，∴∠ACD＝∠CBE在△ACD和△CBE中，（∠ADC=∠BEC ∠ACD=∠CBE AC=BC）∴△ACD≌△CBE，（AAS）∴CD＝BE．②结论：AD＝BE+DE．理由：∵△ACD≌△CBE，∴AD＝CE∵CE＝CD+DE＝BE+DE，∴AD＝BE+DE．故答案为：∠CBE，∠ADC=∠BEC∠ACD=∠CBEAC=BC，AAS，AD＝CE．（2）不成立，结论：DE﹣BE＝AD．理由：∵AD⊥CM，BE⊥CM，∴∠ACB＝∠BEC＝∠ADC＝90°，∴∠ACD+∠BCE＝90°，∠BCE+∠CBE＝90°，∴∠ACD＝∠CBE在△ACD和△CBE中，∠ADC=∠BEC∠ACD=∠CBEAC=BC，∴△ACD≌△CBE，（AAS）∴AD＝CE，CD＝BE，∴DE﹣BE＝DE﹣DC＝CE＝AD．【点评】本题考查全等三角形的判定和性质，解题的关键是正确寻找全等三角形的全等条件，灵活运用知识解决问题．9．如图，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠D＝180°，点E、F分别在BC、CD上，且∠EAF=1 2∠BAD，求证：DF＝EF﹣BE．【分析】由边角边证明△ADF≌△ABH得AF＝AH，∠DAF＝∠BAH，同理可得△HAE≌△FAE，其性质得HE＝EF，最后由线段和差和等式的性质得DF＝EF﹣BE．【解答】证明：在CB的延长线上取BH＝DF，如图所示：∵∠ABE+∠ABH＝180°，∠ABE+∠D＝180°，∴∠ABH＝∠D，在△ADF和△ABH中，AD=AB∠D=∠ABHDF=BH，∴△ADF≌△ABH（SAS），∴AF＝AH，∠DAF＝∠BAH，∴∠BAD＝∠HAF，∵∠EAF=12∠BAD，∴∠EAF＝∠HAE=12∠HAF，在△HAE和△FAE中，AH=AF∠HAE=∠FAEAE=AE，∴△HAE≌△FAE（SAS），∴HE＝EF，又∵HE＝HB+BE，HB＝DF，∴EF＝BE+DF，∴DF＝EF﹣BE．【点评】本题综合考查了全等三角形的判定与性质，角平分线的定义，同角的补角相等，线段的和差和等量代换等知识点，重点掌握全等三角形的判定与性质，难点是构建全等三角形和角平分线．10．在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，点D是CB延长线上一点，点E是线段AB上一点，连接DE．AC＝DE，BC＝BE．（1）求证：AB＝BD；（2）BF平分∠ABC交AC于点F，点G是线段FB延长线上一点，连接DG，点H是线段DG上一点，连接AH交BD于点K，连接KG．当KB平分∠AKG时，求证：AK＝DG+KG．【分析】（1）证明Rt△ACB≌Rt△DEB即可解决问题；（2）作BM平分∠ABD交AK于点M，证明△BMK≌△BGK，△ABM≌△DBG，即可解决问题．【解答】证明：（1）在Rt△ACB和Rt△DEB中，AC=DEBC=BE，∴Rt△ACB≌Rt△DEB（HL），∴AB＝BD，（2）如图：作BM平分∠ABD交AK于点M，∵BM平分∠ABD，KB平分∠AKG，∴∠ABM＝∠MBD＝45°，∠AKB＝∠BKG，∵∠ABF＝∠DBG＝45°∴∠MBD＝∠GBD，在△BMK和△BGK中，∠MBD=∠GBDBK=BK，∠AKB=∠BKG∴△BMK≌△BGK（ASA），∴BM＝BG，MK＝KG，在△ABM和△DBG中，AB=BD∠ABM=∠DBG，BM=BG∴△ABM≌△DBG（SAS），∴AM＝DG，∵AK＝AM+MK，∴AK＝DG+KG．【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，解决本题的关键是得到△BMK≌△BGK．11．（2023春•余江区期末）如图，大小不同的两块三角板△ABC和△DEC直角顶点重合在点C处，AC＝BC，DC＝EC，连接AE、BD，点A恰好在线段BD上．（1）找出图中的全等三角形，并说明理由；（2）当AD＝AB＝4cm，则AE的长度为　cm．（3）猜想AE与BD的位置关系，并说明理由．【分析】（1）根据SAS证明△CBD≌△CAE即可；（2）根据全等三角形的性质解答即可；（3）根据全等三角形的性质和垂直的定义解答即可．【解答】解：（1）△CBD≌△CAE，理由如下：∵∠ACB＝∠DCE＝90°，∴∠ACB+∠ACD＝∠DCE+∠ACD，即∠BCD＝∠ACE，在△CBD与△CAE中，BC=AC∠BCD=∠ACE，DC=EC∴△CBD≌△CAE（SAS）；（2）∵△CBD≌△CAE，∴BD＝AE＝AD+AB＝4+4＝8（cm），故答案为：8；（3）AE⊥BD，理由如下：AE与CD相交于点O，在△AOD与△COE中，∵△CBD≌△CAE，∴∠ADO＝∠CEO，∵∠AOD＝∠COE，∴∠OAD＝∠OCE＝90°，∴AE⊥BD．【点评】此题考查全等三角形的判定和性质，关键是根据SAS得出△CBD与△CAE全等解答．12．如图①点A、B、C、D在同一直线上，AB＝CD，作CE⊥AD，BF⊥AD，且AE＝DF．（1）证明：EF平分线段BC；（2）若△BFD沿AD方向平移得到图②时，其他条件不变，（1）中的结论是否仍成立？请说明理由．【分析】（1）由AB＝CD，利用等式的性质得到AC＝BD，再由AE＝DF，利用HL得到直角三角形ACE 与直角三角形DBF全等，利用全等三角形对应边相等得到EC＝BF，再利用AAS得到三角形ECG与三角形FBG全等，利用全等三角形对应边相等得到BG＝CG，即可得证；（2）（1）中的结论成立，理由为：由AC＝DB，利用等式的性质得到AC＝BD，再由AE＝DF，利用HL 得到直角三角形ACE与直角三角形DBF全等，利用全等三角形对应边相等得到EC＝BF，再利用AAS 得到三角形ECG与三角形FBG全等，利用全等三角形对应边相等得到BG＝CG，即可得证．【解答】（1）证明：∵CE⊥AD，BF⊥AD，∴∠ACE＝∠DBF＝90°，∵AB＝CD，∴AB+BC＝BC+CD，即AC＝DB，在Rt△ACE和Rt△DBF中，AE=DFAC=DB，∴Rt△ACE≌Rt△DBF（HL），∴CE＝FB，在△CEG和△BFG中，∠ECG=∠FBG=90°∠EGC=∠BGF，EC=FB∴△CEG≌△BFG（AAS），∴CG＝BG，即EF平分线段BC；（2）（1）中结论成立，理由为：证明：∵CE⊥AD，BF⊥AD，∴∠ACE＝∠DBF＝90°，∵AB＝CD，∴AB﹣BC＝CD﹣BC，即AC＝DB，在Rt△ACE和Rt△DBF中，AE=DFAC=DB，∴Rt△ACE≌Rt△DBF（HL），∴CE＝FB，在△CEG和△BFG中，∠ECG=∠FBG=90°∠EGC=∠BGF，EC=FB∴△CEG≌△BFG（AAS），∴CG＝BG，即EF平分线段BC．【点评】此题考查了全等三角形的判定与性质，以及平移的性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解本题的关键．13．在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，直线MN经过点C，且AD⊥MN于D，BE⊥MN于E．（1）当直线MN绕点C旋转到图1的位置时①请说明△ADC≌△CEB的理由；②请说明DE＝AD+BE的理由；（2）当直线MN绕点C旋转到图2的位置时，DE、AD、BE具有怎样的等量关系？请直接在横线上写出这个等量关系：　．（3）当直线MN绕点C旋转到图3的位置时，DE、AD、BE具有怎样的等量关系？请直接在横线上写出这个等量关系：　．【分析】（1）①由已知推出∠ADC＝∠BEC＝90°，因为∠ACD+∠BCE＝90°，∠DAC+∠ACD＝90°，推出∠DAC＝∠BCE，根据AAS即可得到答案；②由①得到AD＝CE，CD＝BE，即可求出答案；（2）结论：DE＝AD﹣BE．与（1）证法类似可证出∠ACD＝∠EBC，能推出△ADC≌△CEB，得到AD ＝CE，CD＝BE，代入已知即可得到答案．（3）结论：DE＝BE﹣AD．证明方法类似．【解答】解：（1）①证明：如图1中，∵AD⊥DE，BE⊥DE，∴∠ADC＝∠BEC＝90°，∵∠ACB＝90°，∴∠ACD+∠BCE＝90°，∠DAC+∠ACD＝90°，∴∠DAC＝∠BCE，在△ADC和△CEB中，∠CDA=∠BEC∠DAC=∠ECB，AC=BC∴△ADC≌△CEB（AAS）．②证明：由（1）知：△ADC≌△CEB，∴AD＝CE，CD＝BE，∵DC+CE＝DE，∴AD+BE＝DE．（2）结论：DE＝AD﹣BE．理由：如图2中，∵BE⊥EC，AD⊥CE，∴∠ADC＝∠BEC＝90°，∴∠EBC+∠ECB＝90°，∵∠ACB＝90°，∴∠ECB+∠ACE＝90°，∴∠ACD＝∠EBC，在△ADC和△CEB中，∠ACD=∠CBE∠ADC=∠BEC，AC=BC∴△ADC≌△CEB（AAS），∴AD＝CE，CD＝BE，∴DE＝EC﹣CD＝AD﹣BE．（3）结论：DE＝BE﹣AD．理由如下：如图3中，∵∠ACB＝90°，∴∠ACD+∠BCE＝90°∵AD⊥MN，BE⊥MN，∴∠ADC＝∠CED＝90°，∴∠ACD+∠DAC＝90°，∴∠DAC＝∠ECB，在△ACD和△CBE中，∠ADC=∠CEB∠DAC=∠ECB，AC=CB∴△ACD≌△CBE（AAS），∴AD＝CE，CD＝BE，∴DE＝CD﹣CE＝BE﹣AD．故答案为DE＝AD﹣BE，DE＝BE﹣AD．【点评】本题主要考查了邻补角的意义，全等三角形的性质和判定等知识点，能根据已知证出符合全等的条件是解此题的关键，题型较好，综合性比较强．14．已知：在△AOB和△COD中，OA＝OB，OC＝OD．（1）如图①，若∠AOB＝∠COD＝60°．①求证：AC＝BD．②求∠APB的度数．（2）如图②，若∠AOB＝∠COD＝α，∠APD的大小为 （直接写出结果，不证明）．【分析】（1）①根据已知先证明∠AOC＝∠BOD，再由SAS证明△AOC≌△BOD，所以AC＝BD．②由△AOC≌△BOD，可得∠OAC＝∠OBD，再结合图形，利用角的和差，可得∠APB＝60°．（2）由（1）小题的证明可知，∠APB＝α，则可得出答案．【解答】（1）①证明：∵∠AOB＝∠COD＝60°，∴∠AOB+∠BOC＝∠COD+∠BOC，∴∠AOC＝∠BOD，在△AOC和△BOD中，AO=BO∠AOC=∠BOD，OC=OD∴△AOC≌△BOD（SAS），∴AC＝BD；②解：∵△AOC≌△BOD，∴∠OAC＝∠OBD，∴∠OAC+∠AOB＝∠OBD+∠APB，∴∠OAC+60°＝∠OBD+∠APB，∴∠APB＝60°；（2）解：由（1）可知：△AOC≌△BOD（SAS），∴∠OAC＝∠OBD，∴∠OAC+∠AOB＝∠OBD+∠APB，∴∠OAC+α＝∠OBD+∠APB，∴∠APB＝α，∴∠APD＝180°﹣α．故答案为：180°﹣α．【点评】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，正确运用全等三角形的性质是解题的关键．15．（1）已知，如图①，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，直线m经过点A，BD⊥直线m，CE⊥直线m，垂足分别为点D、E，求证：DE＝BD+CE．（2）如图②，将（1）中的条件改为：在△ABC中，AB＝AC，D、A、E三点都在直线m上，并且有∠BDA＝∠AEC＝∠BAC＝α，其中α为任意钝角，请问结论DE＝BD+CE是否成立？若成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由．【分析】（1）根据BD⊥直线m，CE⊥直线m得∠BDA＝∠CEA＝90°，而∠BAC＝90°，根据等角的余角相等得∠CAE＝∠ABD，然后根据“AAS”可判断△ADB≌△CEA，则AE＝BD，AD＝CE，于是DE＝AE+AD＝BD+CE；（2）利用∠BDA＝∠BAC＝α，则∠DBA+∠BAD＝∠BAD+∠CAE＝180°﹣α，得出∠CAE＝∠ABD，进而得出△ADB≌△CEA即可得出答案．【解答】证明：（1）∵BD⊥直线m，CE⊥直线m，∴∠BDA＝∠CEA＝90°，∵∠BAC＝90°，∴∠BAD+∠CAE＝90°，∵∠BAD+∠ABD＝90°，∴∠CAE＝∠ABD，∵在△ADB和△CEA中∠ABD=∠CAE∠BDA=∠CEA，AB=AC∴△ADB≌△CEA（AAS），∴AE＝BD，AD＝CE，∴DE＝AE+AD＝BD+CE；（2）结论DE＝BD+CE仍然成立，理由是：∵∠BDA＝∠BAC＝α，∴∠DBA+∠BAD＝∠BAD+∠CAE＝180°﹣α，∴∠CAE＝∠ABD，∵在△ADB和△CEA中∠ABD=∠CAE∠BDA=∠CEAAB=AC，∴△ADB≌△CEA（AAS），∴AE＝BD，AD＝CE，∴DE＝AE+AD＝BD+CE．【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质：判定三角形全等的方法有“SSS”、“SAS”、“ASA”、“AAS”；得出∠CAE＝∠ABD是解题关键．16．已知：如图AC∥BD，AE和BE分别平分∠CAB和∠DBA，CD过点E．求证：（1）AE⊥BE；（2）AB＝AC+BD．【分析】（1）首先证明∠CAB+∠DBA＝180°，再利用角平分线的性质证明∠EAB=12∠CAB，∠EBA=12∠DBA，可得到∠EAB+∠EBA＝90°，进而可证出AE⊥BE；（2）首先在AB上截取AF＝AC，连接EF，证明△CAE≌△FAE，可证出∠CEA＝∠FEA，可得到∠FEB ＝∠DEB，再证明△DEB≌△FEB，可得到BD＝BF，即可证出AB＝AC+BD．【解答】证明：（1）∵AC∥BD，∴∠CAB+∠DBA＝180°又∵AE和BE分别平分∠CAB和∠DBA，∴∠EAB=12∠CAB，∠EBA=12∠DBA，∴∠EAB+∠EBA=12(∠CAB+∠DBA)=90°，∴AE⊥BE（2）在AB上截取AF＝AC，连接EF，在△CAE和△FAE中AC=AF∠CAE=∠FAE AE=AE，∴△CAE≌△FAE，则∠CEA＝∠FEA，又∠CEA+∠BED＝∠FEA+∠FEB＝90°，∴∠FEB＝∠DEB，∵BE平分∠DBA，∴∠DBE＝∠FBE，在△DEB和△FEB中∠DEB=∠FEB EB=EB∠DBE=∠FBE，∴△DEB≌△FEB（ASA），∴BD＝BF，又∵AF＝AC，∴AB＝AF+FB＝AC+BD．【点评】此题主要考查了垂直，角平分线，以及三角形全等的判定和性质，证明三角形全等是证明线段和角相等的重要手段．17．问题情境：如图①，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC于点D．可知：∠BAD＝∠C（不需要证明）；（1）特例探究：如图②，∠MAN＝90°，射线AE在这个角的内部，点B、C在∠MAN的边AM、AN 上，且AB＝AC，CF⊥AE于点F，BD⊥AE于点D．证明：△ABD≌△CAF；（2）归纳证明：如图③，点B，C在∠MAN的边AM、AN上，点E，F在∠MAN内部的射线AD上，∠1、∠2分别是△ABE、△CAF的外角．已知AB＝AC，∠1＝∠2＝∠BAC．求证：△ABE≌△CAF；（3）拓展应用：如图④，在△ABC中，AB＝AC，AB＞BC．点D在边BC上，CD＝2BD，点E、F在线段AD上，∠1＝∠2＝∠BAC．若△ABC的面积为24，则△ACF与△BDE的面积之和为 ．（直接写出结果）【分析】（1）证明∠ABD＝∠CAF，利用AAS定理证明；（2）根据三角形的外角的性质证明∠ABE＝∠CAF，∠BAE＝∠FCA，利用ASA定理证明；（3）根据CD＝2BD，求出△ABD的面积，根据全等三角形的性质计算即可．【解答】（1）证明：如图②，∵CF⊥AE，BD⊥AE，∠MAN＝90°，∴∠BDA＝∠AFC＝90°，∴∠ABD+∠BAD＝90°，∠ABD+∠CAF＝90°，∴∠ABD＝∠CAF，在△ABD和△CAF中，∠ADB=∠CFA∠ABD=∠CAF，AB=AC∴△ABD≌△CAF（AAS）；（2）证明：如图③，∵∠1＝∠2＝∠BAC，∠1＝∠BAE+∠ABE，∠BAC＝∠BAE+∠CAF，∠2＝∠FCA+∠CAF，∴∠ABE＝∠CAF，∠BAE＝∠FCA，在△ABE和△CAF中，∠ABE =∠CAF AB =AC ∠BAE =∠ACF，∴△ABE ≌△CAF （ASA ）；（3）解：如图④，∵△ABC 的面积为24，CD ＝2BD ，∴△ABD 的面积是：13×24＝8，由（2）可知，△ABE ≌△CAF ，∴△ACF 与△BDE 的面积之和等于△ABE 与△BDE 的面积之和，即等于△ABD 的面积是8，故答案为：8．【点评】本题考查的是三角形的知识的综合应用，掌握全等三角形的判定定理和性质定理、三角形的面积公式是解题的关键．18．在△ABC 中，AB ＝AC ，D 是直线BC 上一点，以AD 为一条边在AD 的右侧作△ADE ，使AE ＝AD ，∠DAE ＝∠BAC ，连接DE ，CE ．（1）如图，当点D 在BC 延长线上移动时，求证：BD ＝CE ．（2）设∠BAC ＝α，∠DCE ＝β．①当点D 在线段BC 的延长线上移动时，α与β之间有什么数量关系？请说明理由．②当点D 分别在线段BC 上、线段BC 的反向延长线上移动时，α与β之间有什么数量关系？请说明理由.【分析】（1）根据SAS 证△BAD ≌△CAE ，可得结论；（2）①由△BAD ≌△CAE ，推出∠B ＝∠ACE ，根据三角形外角性质求出即可；②α+β＝180°或α＝β，根据三角形外角性质求出即可．【解答】（1）证明：∵∠DAE ＝∠BAC ，∴∠DAE +∠CAD ＝∠BAC +∠CAD ，∴∠BAD＝∠CAE，在△BAD和△CAE中，AB=AC∠BAD=∠CAE，AD=AE∴△BAD≌△CAE（SAS），（2）解：①当点D在线段BC的延长线上移动时，α与β之间的数量关系是α＝β，理由是：由（1）知△BAD≌△CAE，∴∠B＝∠ACE，∵∠ACD＝∠B+∠BAC＝∠ACE+∠DCE，∴∠BAC＝∠DCE，∵∠BAC＝α，∠DCE＝β，∴α＝β；②分三种情况：i）当D在线段BC上时，如图2，α+β＝180°，理由是：同理可证明：△ABD≌△ACE（SAS），∴∠ADB＝∠AEC，∠ABC＝∠ACE，∵∠ADC+∠ADB＝180°，∴∠ADC+∠AEC＝180°，∴∠DAE+∠DCE＝180°，∵∠BAC＝∠DAE＝α，∠DCE＝β，∴α+β＝180°，ii）当点D在线段BC反向延长线上时，如图3，α＝β．如图3，同理可证明：△ABD≌△ACE（SAS），∴∠ABD＝∠ACE，∵∠ACE＝∠ACD+∠DCE，∠ABD＝∠ACD+∠BAC，∴∠ACD+∠DCE＝∠ACD+∠BAC，∴∠BAC＝∠DCE，∵∠BAC＝α，∠DCE＝β，∴α＝β；ii）当点D在线段BC的延长线上时，如图1，α＝β．综上，当点D在BC上移动时，α＝β或α+β＝180°．【点评】本题是三角形的综合题，考查了全等三角形的性质和判定，三角形的外角性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型．19．（2023春•新市区期末）在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，D是直线AB上一点（点D不与点A、B重合），连接DC并延长到E，使得CE＝CD，过点E作EF⊥直线BC，交直线BC于点F．（1）如图1，当点D为线段AB上的任意一点时，用等式表示线段EF、CF、AC的数量关系，并证明；（2）如图2，当点D为线段BA的延长线上一点时，依题意补全图2，猜想线段EF、CF、AC的数量关系是否发生改变，并证明；（3）如图3，当点D在线段AB的延长线上时，直接写出线段EF、CF、AC之间的数量关系．【分析】（1）过D作DH⊥CB于H，由“AAS”可证△FEC≌△HDC，可得CH＝FC，DH＝EF，可得结论；（2）过D作DH⊥CB于H，由“AAS”可证△FEC≌△HDC，可得CH＝FC，DH＝EF，可得结论．（3）过D作DH⊥CB交CB的延长线于H，由“AAS”可证△FEC≌△HDC，可得CH＝FC，DH＝EF，可得结论．【解答】解：（1）结论：AC＝EF+FC．理由如下：过D作DH⊥CB于H，∴∠DHC＝∠DHB＝90°，∵EF⊥CF，∴∠EFC＝∠DHC＝90°，在△FEC和△HDC中，∠EFC=∠DHC=90°∠FCE=∠DCH，EC=DC∴△FEC≌△HDC（AAS），∴CH＝FC，DH＝EF，∵∠ACB＝90°，AC＝BC，∴∠B＝45°，∵∠DHB＝90°，∴∠B＝∠HDB＝45°，∴DH＝HB＝EF，∵BC＝CB+HB，∴AC＝FC+EF；（2）依题意补全图形，结论：AC＝EF﹣CF，理由如下：过D作DH⊥CB交BC的延长线于H，∵EF⊥CF，∴∠EFC＝∠DHC＝90°，在△FEC和△HDC中，∠FCE=∠DCH∠EFC=∠DHC=90°，EC=DC∴△FEC≌△HDC（AAS），∴CH＝FC，DH＝EF，∵∠DHB＝90°，∴∠B＝∠HDB＝45°，∴DH＝HB＝EF，∵BC＝HB﹣CH，∴AC＝EF﹣CF；（3）AC＝CF﹣EF．如图3，过D作DH⊥CB交CB的延长线于H，同理可证△FEC≌△HDC（AAS），∴CH＝FC，DH＝EF，∵∠DHB＝90°，∴∠B＝∠HDB＝45°，∴DH＝HB＝EF，∵BC＝CH﹣BH，∴AC＝CF﹣EF．【点评】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，添加恰当辅助线构造全等三角形是本题的关键．20．如图1，在△ABC中，∠ACB为锐角，点D为射线BC上一点，连接AD，以AD为一边且在AD的右侧作正方形ADEF．（1）如果AB＝AC，∠BAC＝90°，①当点D在线段BC上时（与点B不重合），如图2，线段CF、BD所在直线的位置关系为 ，线段CF、BD的数量关系为　；②当点D在线段BC的延长线上时，如图3，①中的结论是否仍然成立，并说明理由；（2）如果AB≠AC，∠BAC是锐角，点D在线段BC上，当∠ACB满足什么条件时，CF⊥BC（点C、F 不重合），并说明理由．【分析】（1）当点D在BC的延长线上时①的结论仍成立．由正方形ADEF的性质可推出△DAB≌△FAC，所以CF＝BD，∠ACF＝∠ABD．结合∠BAC＝90°，AB＝AC，得到∠BCF＝∠ACB+∠ACF＝90°．即CF⊥BD．（2）当∠ACB＝45°时，过点A作AG⊥AC交CB的延长线于点G，则∠GAC＝90°，可推出∠ACB＝∠AGC，所以AC＝AG，由（1）①可知CF⊥BD．【解答】证明：（1）①正方形ADEF中，AD＝AF，∵∠BAC＝∠DAF＝90°，∴∠BAD＝∠CAF，又∵AB＝AC，∴△DAB≌△FAC，∴CF＝BD，∠B＝∠ACF，∴∠ACB+∠ACF＝90°，即CF⊥BD．②当点D在BC的延长线上时①的结论仍成立．由正方形ADEF得AD＝AF，∠DAF＝90度．∵∠BAC＝90°，∴∠DAF＝∠BAC，∴∠DAB＝∠FAC，又∵AB＝AC，∴△DAB≌△FAC，∴CF＝BD，∠ACF＝∠ABD．∵∠BAC＝90°，AB＝AC，∴∠ABC＝45°，∴∠ACF＝45°，∴∠BCF＝∠ACB+∠ACF＝90度．即CF⊥BD．（2）当∠ACB＝45°时，CF⊥BD（如图）．理由：过点A作AG⊥AC交CB的延长线于点G，则∠GAC＝90°，∵∠ACB＝45°，∠AGC＝90°﹣∠ACB，∴∠AGC ＝90°﹣45°＝45°，∴∠ACB ＝∠AGC ＝45°，∴AC ＝AG ，∵∠DAG ＝∠FAC （同角的余角相等），AD ＝AF ，∴△GAD ≌△CAF ，∴∠ACF ＝∠AGC ＝45°，∠BCF ＝∠ACB +∠ACF ＝45°+45°＝90°，即CF ⊥BC ．【点评】本题考查三角形全等的判定和直角三角形的判定，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS 、SAS 、ASA 、AAS 、HL ．判定两个三角形全等，先根据已知条件或求证的结论确定三角形，然后再根据三角形全等的判定方法，看缺什么条件，再去证什么条件．21．（2022春•沙坪坝区校级期中）如图，在△ABC 中，∠ABC 、∠ACB 的平分线交于点D ，延长BD 交AC 于E ，G 、F 分别在BD 、BC 上，连接DF 、GF ，其中∠A ＝2∠BDF ，GD ＝DE ．（1）当∠A ＝80°时，求∠EDC 的度数；（2）求证：CF ＝FG +CE ．【分析】（1）方法一：先求∠ABC 和∠ACB 的和为100°，再根据角平分线求∠DBC +∠DCB ＝50°，再根据外角即可解决问题；方法二：在BC 上取点M ，使CM ＝CE ，证明△CDE ≌△CDM （SAS ），可得DE ＝DM ，∠DEC ＝∠DMC ，∠EDC ＝∠MDC ，证明∠BDM ＝180°―12∠ABC ﹣∠DMB ＝180°―12∠ABC ﹣∠AEB ＝∠A ＝80°，进而可以解决问题．（2）结合（1）然后证明△DGF≌△DMF（SAS），可得GF＝MF，进而可以解决问题．【解答】（1）解：方法一：∵∠A＝80°，∴∠ABC+∠ACB＝100°，∵BE平分∠ABC、CD平分∠ACB，∴∠DBC+∠DCB＝50°，∴∠EDC＝∠DBC+∠DCB＝50°；方法二：如图，在BC上取点M，使CM＝CE，∵CD平分∠ACB，∴∠ACD＝∠BCD，在△CDE和△CDM中，CE=CM∠ECD=∠MCDCD=CD，∴△CDE≌△CDM（SAS），∴DE＝DM，∠DEC＝∠DMC，∠EDC＝∠MDC，∵GD＝DE，∴GD＝MD，∵∠DEC+∠AEB＝180°，∠DMC+∠DMF＝180°，∴∠AEB＝∠DMF，∵BE平分∠ABC，∴∠ABE＝∠CBE=12∠ABC，∴∠BDM＝180°―12∠ABC﹣∠DMB＝180°―12∠ABC﹣∠AEB＝∠A＝80°，∴∠EDM＝100°，∴∠EDC＝50°；（2）证明：∵∠A＝2∠BDF，∴∠BDM＝2∠BDF，∴∠FDM＝∠BDF，在△DGF和△DMF中，DG=DM∠GDF=∠MDF，DF=DF∴△DGF≌△DMF（SAS），∴GF＝MF，∴CF＝CM+FM＝CE+GF．∴CF＝FG+CE．【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，角平分线的定义，解决本题的关键是根据题意准确作出辅助线得到△DGF≌△DMF．22．（2022秋•大同月考）已知△ABC和△CDE中，CA＝CB，CD＝CE，∠ACB＝∠DCE＝α，AE与BD交于点F．（1）如图1．当α＝90°时．求证：①△ACE≌△BCD；②AE⊥BD；（2）如图2．当α＝60°时，直接写出∠AFB的度数为 ；（3）如图3，直接写出∠AFD的度数为 （用含α的式子表示）．【分析】（1）先根据等角的余角相等得到∠ACE＝∠BCD，再根据等腰直角三角形的性质得AC＝BC，EC＝DC，于是可根据“SAS”判断△ACE≌△BCD，然后根据相似三角形的性质得到∠CAE＝∠CBD，根据三角形的内角和即可得到结论；（2）由已知条件得到∠ACE＝∠BCD，推出△ACE≌△BCD（SAS），根据全等三角形的性质得到∠CAE ＝∠CBD，推出A，B，F，C四点共圆，根据圆周角定理即可得到结论．（3）由已知条件得到∠ACE＝∠BCD，推出△ACE≌△BCD（SAS），根据全等三角形的性质得到∠CAE ＝∠CBD即可得到结论．【解答】证明：（1）∵∠ACB＝∠DCE＝90°，∴∠ACB+∠BCE＝∠DCE+∠BCE，即∠ACE＝∠BCD，又∵△ABC和△ECD都是等腰直角三角形∴AC＝BC，EC＝DC，在△ACE和△BCD中，AC=BC∠ACE=∠BCD，CE=CD∴△ACE≌△BCD（SAS），∴∠CAE＝∠CBD，∵∠CAE+∠EAB+∠ABC＝90°，∴∠CBD+∠EAB+∠ABC＝90°，∴∠AFB＝90°，∴AE⊥BD；（2）∵∠ACB＝∠DCE＝60°，∴∠ACB﹣∠ACD＝∠DCE﹣∠ACD，即∠ACE＝∠BCD，在△ACE和△BCD中，AC=BC∠ACE=∠BCD，CE=CD∴△ACE≌△BCD（SAS），∴∠CAE＝∠CBD，∵∠CAE+∠EAB+∠ABC＝120°，∴∠CBD+∠EAB+∠ABC＝120°，∴∠AFB＝∠ACB＝60°；故答案为：60°；（3））∵∠ACB＝∠DCE＝α，∴∠ACB+∠BCE＝∠DCE+∠BCE即∠ACE＝∠BCD，在△ACE和△BCD中，AC=BC∠ACE=∠BCD，CE=CD∴△ACE≌△BCD（SAS），∴∠CAE＝∠CBD，∵∠CAE+∠EAB+∠ABC＝180°﹣α，∴∠CBD+∠EAB+∠ABC＝180°﹣α∴∠AFB＝∠ACB＝α，∴∠AFD＝180°﹣α．故答案为：180°﹣α．【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质：判断三角形全等的方法有“SSS”、“SAS”、“ASA”、“AAS”；全等三角形的对应角相等，对应边相等．23．将两个全等的直角三角形ABC和DBE按图①方式摆放，其中∠ACB＝∠DEB＝90°，∠A＝∠D＝30°，点E落在AB上，DE所在直线交AC所在直线于点F．（1）求证：AF+EF＝DE；（2）若将图①中的△DBE绕点B按顺时针方向旋转角α，且0°＜α＜60°，其它条件不变，请在图②中画出变换后的图形，并直接写出你在（1）中猜想的结论是否仍然成立；（3）若将图①中的△DBE绕点B按顺时针方向旋转角β，且60°＜β＜180°，其它条件不变，如图③．你认为（1）中猜想的结论还成立吗？若成立，写出证明过程；若不成立，请写出AF、EF与DE之间的关系，并说明理由．【分析】（1）我们已知了三角形BED和CAB全等，那么DE＝AF+CF，因此只要求出EF＝CF就能得出本题所求的结论，可通过全等三角形来实现，连接BF，那么证明三角形BEF和BCF全等就是解题的关键，这两三角形中已知的条件有BE＝BC，一条公共边，根据斜边直角边定理，这两个直角三角形就全等了，也就得出EF＝CF，也就能证得本题的结论了；（2）解题思路和辅助线的作法与（1）完全一样；（3）结论不成立．结论：AF＝DE+EF．同（1）得CF＝EF，由△ABC≌△DBE，可得AC＝DE，AF＝AC+FC＝DE+EF．【解答】（1）证明：连接BF（如图①），∵△ABC≌△DBE（已知），∴BC＝BE，AC＝DE．∵∠ACB＝∠DEB＝90°，∴∠BCF＝∠BEF＝90°．在Rt△BFC和Rt△BFE中，BF=BFBC=BE∴Rt△BFC≌Rt△BFE（HL）．∴CF＝EF．又∵AF+CF＝AC，∴AF+EF＝DE．（2）解：画出正确图形如图②∴（1）中的结论AF+EF＝DE仍然成立；（3）不成立．结论：AF＝DE+EF．证明：连接BF，∵△ABC≌△DBE，∴BC＝BE，∵∠ACB＝∠DEB＝90°，∴△BCF和△BEF是直角三角形，在Rt△BCF和Rt△BEF中，BC=BEBF=BF，∴△BCF≌△BEF（HL），∴CF＝EF；∵△ABC≌△DBE，∴AC＝DE，∴AF＝AC+FC＝DE+EF．【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，通过构建全等三角形来得出简单的线段相等是解题的关键．24．（2023春•沙坪坝区校级期中）如图，在△ABC和△DCE中，∠ACB＝90°，CA＝CB，∠DCE＝90°，CD＝CE．（1）如图1，当点D在BC上时，CB＝10，AE＝4，则S四边形ABDE＝ ；（2）如图2，当B、C、E三点共线时，D在AC上，连接BD、AE，F是AD的中点，过点A作AG∥BD，交BF的延长线于点G，求证：AG＝AE且AG⊥AE；（3）如图3，B、C、E三点共线，且∠DBE＝15°，将线段AE绕点A以每秒10°的速度逆时针旋转，同时线段BE绕点E以每秒20°的速度顺时针旋转180°后立即以相同速度回转，设转动时间为t秒，当BE回到出发时的位置时同时停止旋转，则在转动过程中．当BE和AE互相平行或者垂直时，请直接写出此时t的值．【分析】（1）根据S四边形ABDE ＝S△ABC﹣S△DCE，求解即可．（2）如图2中，延长BD交AE于T．证明△BCD≌△ACE（SAS），推出BD＝AE，∠CBD＝∠CAE，推出BD⊥AE，证明△AFG≌△DFB（AAS），推出AG＝BD，可得结论．（3）从开始到结束出现平行，垂直，平行，平行四种情形，分别构建方程求解即可．【解答】（1）解：如图1中，∵CA＝CB＝10，AE＝4，∴CE＝CD＝AC﹣AE＝10﹣4＝6，∴S四边形ABDE ＝S△ABC﹣S△DCE=12×10×10―12×6×6＝32，故答案为：32．（2）证明：如图2中，延长BD 交AE 于T ．∵∠BCD ＝∠ACE ＝90°，BC ＝AC ，DC ＝EC ，∴△BCD ≌△ACE （SAS ），∴BD ＝AE ，∠CBD ＝∠CAE ，∵∠BDC ＝∠ADT ，∴∠BCD ＝∠ATD ＝90°，∴BD ⊥AE ，∵AG ∥BD ，∴∠G ＝∠FBD ，∵AF ＝FD ，∠AFG ＝∠DFB ，∴△AFG ≌△DFB （AAS ），∴AG ＝BD ，∴AG ＝AE ，∵AG ∥BD ，BD ⊥AE ，∴AG ⊥AE ．（3）由题意，第一次平行时，10t ＝75°﹣20t ，解得t =52，第一次垂直时，10t +20t ﹣75°＝90°，解得t =112，第二次平行时，20t ﹣75°+10t ＝180°．解得y =516，第三次平行时，105°﹣（20t ﹣180°）+10t ＝180°，解得t =212，综上所述，满足条件的t 的值为52或112或516或212．【点评】本题属于四边形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，平行线的判定和性质，三角形的面。

初二数学全等三角形压轴几何题(讲义及答案)含答案一、全等三角形旋转模型1．问题背景：如图1，在四边形ABCD 中，90BAD ∠=︒，90BCD ∠=︒，BA BC =，120ABC ∠=︒，60MBN ∠=︒，MBN ∠绕B 点旋转，它的两边分别交AD 、DC 于E 、F ．探究图中线段AE ，CF ，EF 之间的数量关系．小李同学探究此问题的方法是：延长FC 到G ，使CG AE =，连接BG ，先证明BCG BAE △≌△，再证明BFC BFE △≌△，可得出结论，他的结论就是_______________；探究延伸1：如图2，在四边形ABCD 中，90BAD ∠=︒，90BCD ∠=︒，BA BC =，2ABC MBN ∠=∠，MBN ∠绕B 点旋转，它的两边分别交AD 、DC 于E 、F ．上述结论是否仍然成立？请直接写出结论（直接写出“成立”或者“不成立”），不要说明理由． 探究延伸2：如图3，在四边形ABCD 中，BA BC =，180BAD BCD ∠+∠=︒，2ABC MBN ∠=∠，MBN ∠绕B 点旋转，它的两边分别交AD 、DC 于E 、F ．上述结论是否仍然成立？并说明理由．实际应用：如图4，在某次军事演习中，舰艇甲在指挥中心（O 处）北偏西30的A 处舰艇乙在指挥中心南偏东70︒的B 处，并且两舰艇到指挥中心的距离相等接到行动指令后，舰艇甲向正东方向以75海里/小时的速度前进，同时舰艇乙沿北偏东50︒的方向以100海里/小时的速度前进，1.2小时后，指挥中心观测到甲、乙两舰艇分别到达E 、F 处，且指挥中心观测两舰艇视线之间的夹角为70︒，试求此时两舰艇之间的距离．答案：E解析：EF=AE+CF ．探究延伸1：结论EF=AE+CF 成立．探究延伸2：结论EF=AE+CF 仍然成立．实际应用：210海里．【分析】延长FC 到G ，使CG AE =，连接BG ，先证明BCG BAE △≌△，可得BG=BE ，∠CBG=∠ABE ，再证明BGF BEF ≌，可得GF=EF ，即可解题；探究延伸1：延长FC 到G ，使CG AE =，连接BG ，先证明BCG BAE △≌△，可得BG=BE ，∠CBG=∠ABE ，再证明BGF BEF ≌，可得GF=EF ，即可解题；探究延伸2：延长FC 到G ，使CG AE =，连接BG ，先证明BCG BAE △≌△，可得BG=BE ，∠CBG=∠ABE ，再证明BGF BEF ≌，可得GF=EF ，即可解题；实际应用：连接EF ，延长AE ，BF 相交于点C ，然后与探究延伸2同理可得EF=AE+CF ，将AE 和CF 的长代入即可．【详解】解：EF=AE+CF理由：延长FC 到G ，使CG AE =，连接BG ，在△BCG 和△BAE 中，90BC BA BCG BAE CG AE =⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩，∴BCG BAE △≌△（SAS ），∴BG=BE ，∠CBG=∠ABE ，∵∠ABC=120°，∠MBN=60°，∴∠ABE+∠CBF=60°，∴∠CBG+∠CBF=60°，即∠GBF=60°，在△BGF 和△BEF 中，BG BE GBF EBF BF BF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△BGF ≌△BEF （SAS ），∴GF=EF ，∵GF=CG+CF=AE+CF ，∴EF=AE+CF ．探究延伸1：结论EF=AE+CF 成立．理由：延长FC 到G ，使CG AE =，连接BG ，在△BCG 和△BAE 中，90BC BA BCG BAE CG AE =⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩，∴BCG BAE △≌△（SAS ），∴BG=BE ，∠CBG=∠ABE ，∵∠ABC=2∠MBN ，∴∠ABE+∠CBF=12∠ABC ， ∴∠CBG+∠CBF=12∠ABC ， 即∠GBF=12∠ABC ， 在△BGF 和△BEF 中，BG BE GBF EBF BF BF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△BGF ≌△BEF （SAS ），∴GF=EF ，∵GF=CG+CF=AE+CF ，∴EF=AE+CF ．探究延伸2：结论EF=AE+CF 仍然成立．理由：延长FC 到G ，使CG AE =，连接BG ，∵180BAD BCD ∠+∠=︒，∠BCG+∠BCD=180°，∴∠BCG=∠BAD在△BCG 和△BAE 中，BC BA BCG BAE CG AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴BCG BAE △≌△（SAS ），∴BG=BE ，∠CBG=∠ABE ，∵∠ABC=2∠MBN ，∴∠ABE+∠CBF=12∠ABC ， ∴∠CBG+∠CBF=12∠ABC ， 即∠GBF=12∠ABC ， 在△BGF 和△BEF 中，BG BE GBF EBF BF BF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△BGF ≌△BEF （SAS ），∴GF=EF ，∵GF=CG+CF=AE+CF ，∴EF=AE+CF ．实际应用：连接EF ，延长AE ，BF 相交于点C ，∵∠AOB=30°+90°+(90°-70°)=140°，∠EOF=70°，∴∠EOF=12∠AOB ∵OA=OB ，∠OAC+∠OBC=(90°-30°)+(70°+50°)=180°，∴符合探索延伸中的条件∴结论EF= AE+CF 仍然成立即EF=75×1.2+100×1.2=210（海里）答：此时两舰艇之间的距离为210海里．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质．作辅助线构造全等三角形是解题的关键． 2．一位同学拿了两块45︒三角尺MNK ∆，ACB ∆做了一个探究活动：将MNK ∆的直角顶点M 放在ACB ∆的斜边AB 的中点处，设4AC BC ==.（1）如图1所示，两三角尺的重叠部分为ACM ∆，则重叠部分的面积为______，周长为______.（2）将如图1所示中的MNK ∆绕顶点M 逆时针旋转45︒，得到如图2所示，此时重叠部分的面积为______，周长为______.（3）如果将MNK ∆绕M 旋转到不同于如图1所示和如图2所示的图形，如图3所示，请你猜想此时重叠部分的面积为______.（4）在如图3所示情况下，若1AD =，求出重叠部分图形的周长.答案：A解析：（1）4，4+；（2）4，8；（3）4；（4）4+【分析】()1根据4AC BC ==，90ACB ∠=，得出AB 的值，再根据M 是AB 的中点，得出AM MC =，求出重叠部分的面积，再根据AM ，MC ，AC 的值即可求出周长；()2易得重叠部分是正方形，边长为12AC ，面积为214AC ，周长为2.AC ()3过点M 分别作AC 、BC 的垂线MH 、ME ，垂足为H 、.E 求得Rt MHD ≌Rt MEG ，则阴影部分的面积等于正方形CEMH 的面积. ()4先过点M 作ME BC ⊥于点E ，MH AC ⊥于点H ，根据DMH EMH ∠∠=，MH ME =，得出Rt DHM ≌Rt EMG ，从而得出HD GE =，CE AD =，最后根据AD 和DF 的值，算出DM =.【详解】解：()14AC BC ==，90ACB ∠=，AB ∴== M 是AB 的中点，AM ∴=45ACM ∠=，AM MC ∴=，∴重叠部分的面积是42=， ∴周长为：44AM MC AC ++==+故答案为4，4+；()2重叠部分是正方形，∴边长为1422⨯=，面积为14444⨯⨯=， 周长为248⨯=．故答案为4，8．()3过点M 分别作AC 、BC 的垂线MH 、ME ，垂足为H 、E ， M 是ABC 斜边AB 的中点，4AC BC ==， 12MH BC ∴=， 12ME AC =， MH ME ∴=，又90NMK HME ∠∠==，90NMH HMK ∠∠∴+=，90EMG HMK ∠∠+=， HMD EMG ∠∠∴=，在MHD 和MEG 中，HMD GME MH MEDHM MEG ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩， MHD ∴≌()MEG ASA ，∴阴影部分的面积等于正方形CEMH 的面积， 正方形CEMH 的面积是1144422ME MH ⋅=⨯⨯⨯=； ∴阴影部分的面积是4；故答案为4．()4如图所示， 过点M 作ME BC ⊥于点E ，MH AC ⊥于点H ，∴四边形MECH 是矩形，MH CE ∴=，45A ∠=，45AMH ∠∴=，AH MH ∴=，AH CE ∴=，在Rt DHM 和Rt GEM 中，DMH EMG MH MEDHM GEM ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩， Rt DHM ∴≌.Rt GEMGE DH ∴=，AH DH CE GE ∴-=-，CG AD ∴=，1AD =，1.DH ∴= 145DM ∴=+= ．∴四边形DMGC 的周长为：CE CD DM ME +++2AD CD DM =++425=+．【点睛】此题考查了等腰直角三角形，利用等腰直角三角形的性质，等腰直角三角形的面积公式，正方形的面积公式，全等三角形的判定和性质求解．3．如图1，在Rt △ABC 中，∠A ＝90°，AB ＝AC ，点D ，E 分别在边AB ，AC 上，AD ＝AE ，连接DC ，点M ，P ，N 分别为DE ，DC ，BC 的中点．（1）观察猜想：图1中，线段PM 与PN 的数量关系是 ，位置关系是 ；（2）探究证明：把△ADE 绕点A 逆时针方向旋转到图2的位置，连接MN ，BD ，CE ，判断△PMN 的形状，并说明理由；（3）拓展延伸：把△ADE 绕点A 在平面内自由旋转，若AD ＝4，AB ＝10，请直接写出△PMN 面积的最大值．解析：（1）PM ＝PN ，PM ⊥PN ；（2）△PMN 是等腰直角三角形．理由见解析；（3）S △PMN 最大＝492． 【分析】（1）由已知易得BD CE =，利用三角形的中位线得出12PM CE =，12PN BD =，即可得出数量关系，再利用三角形的中位线得出//PM CE 得出DPM DCA ∠=∠，最后用互余即可得出位置关系；（2）先判断出ABD ACE ∆≅∆，得出BD CE =，同（1）的方法得出12PM BD =，12PN BD =，即可得出PM PN =，同（1）的方法由MPN DCE DCB DBC ACB ABC ∠=∠+∠+∠=∠+∠，即可得出结论；（3）方法1：先判断出MN 最大时，PMN ∆的面积最大，进而求出AN ，AM ，即可得出MN 最大AM AN =+，最后用面积公式即可得出结论．方法2：先判断出BD 最大时，PMN ∆的面积最大，而BD 最大是14AB AD +=，即可得出结论．【详解】解：（1）点P ，N 是BC ，CD 的中点，//PN BD ∴，12PN BD =， 点P ，M 是CD ，DE 的中点， //PM CE ∴，12PM CE =， AB AC =，AD AE =，BD CE ∴=，PM PN ∴=，//PN BD ，DPN ADC ∴∠=∠，//PM CE ，DPM DCA ∴∠=∠，90BAC ∠=︒，90ADC ACD ∴∠+∠=︒，90MPN DPM DPN DCA ADC ∴∠=∠+∠=∠+∠=︒，PM PN ∴⊥，故答案为：PM PN =，PM PN ⊥；（2）PMN ∆是等腰直角三角形．由旋转知，BAD CAE ∠=∠，AB AC =，AD AE =，()ABD ACE SAS ∴∆≅∆，ABD ACE ∴∠=∠，BD CE =， 利用三角形的中位线得，12PN BD =，12PM CE =， PM PN ∴=，PMN ∴∆是等腰三角形，同（1）的方法得，//PM CE ，DPM DCE ∴∠=∠，同（1）的方法得，//PN BD ，PNC DBC ∴∠=∠，DPN DCB PNC DCB DBC ∠=∠+∠=∠+∠，MPN DPM DPN DCE DCB DBC ∴∠=∠+∠=∠+∠+∠BCE DBC ACB ACE DBC =∠+∠=∠+∠+∠ACB ABD DBC ACB ABC =∠+∠+∠=∠+∠，90BAC ∠=︒，90ACB ABC ∴∠+∠=︒，90MPN ∴∠=︒，PMN ∴∆是等腰直角三角形；（3）方法1：如图2，同（2）的方法得，PMN ∆是等腰直角三角形，MN ∴最大时，PMN ∆的面积最大，//DE BC ∴且DE 在顶点A 上面，MN ∴最大AM AN =+，连接AM ，AN ，在ADE ∆中，4AD AE ==，90DAE ∠=︒，22AM ∴=在Rt ABC ∆中，10AB AC ==，52AN =22522MN ∴=最大，222111149(72)22242PMN S PM MN ∆∴==⨯=⨯=最大． 方法2：由（2）知，PMN ∆是等腰直角三角形，12PM PN BD ==， PM ∴最大时，PMN ∆面积最大，∴点D 在BA 的延长线上，14BD AB AD ∴=+=，7PM ∴=，2211497222PMN S PM ∆∴==⨯=最大． 【点睛】此题属于几何变换综合题，主要考查了三角形的中位线定理，等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的判断和性质，直角三角形的性质的综合运用；解（1）的关键是判断出12PM CE =，12PN BD =，解（2）的关键是判断出ABD ACE ∆≅∆，解（3）的关键是判断出MN 最大时，PMN ∆的面积最大．4．如图，△ABC 中，O 是△ABC 内一点，AO 平分∠BAC ，连OB ，OC ．（1）如图1，若∠ACB ＝2∠ABC ，BO 平分∠ABC ，AC ＝5，OC ＝3，则AB ＝ ； （2）如图2，若∠CBO +∠ACO ＝∠BAC ＝60°，求证：BO 平分∠ABC ；（3）如图3，在（2）的条件下，若BC ＝3B 绕点O 逆时针旋转60°得点D ，直接写出CD 的最小值为 ．答案：A解析：（1）8；（2）见解析；（3）33【分析】（1）先补充证明角平分线的性质定理：如图，△ABC 中，AD 是角平分线，则：BD DC＝AB AC ．如图1中，延长CO 交AB 于E ，由OA 平分∠EAC ，推出AE AC ＝OE OC，推出AE EO ＝AC OC ＝53，设AE ＝5k ，OE ＝3k ，利用相似三角形的性质构建方程求出k 即可解决问题． （2）如图2中，过点O 作EF ⊥OA 交AB 于E ，交AC 于F ，作CG ∥EF 交AB 于G ，连接OG ．证明△AGO ≌△ACO （SAS ），推出OG ＝OC ，推出∠OGC ＝∠OCG ，证明O ，G ，B ，C 四点共圆，可得结论．（3）如图3中，以BC 为边向上作等边△BCH ，连接OH ，作HM ⊥BC 于M ．证明△HBO ≌△CBD （SAS ），推出OH ＝CD ，由（2）可知∠BOC ＝120°，推出当点O 落在HM 上时，OH 的值最小．【详解】解：（1）先补充证明角平分线的性质定理：如图，△ABC 中，AD 是角平分线，则：BD DC ＝AB AC． 理由：过C 作CE ∥DA ，交BA 的延长线于E ，∵CE∥DA，∴∠1＝∠E，∠2＝∠3，∠1＝∠2，∴∠E＝∠3，∴AE＝AC，∵BDDC ＝BAAE，∴BDDC ＝ABAC．如图1中，延长CO交AB于E，∵OA平分∠EAC，∴AEAC＝OEOC，∴AEEO ＝ACOC＝53，设AE＝5k，OE＝3k，∵OB平分∠ABC，∴OC平分∠ACB，∵∠ACB＝2∠ABC，∴∠BCE＝12∠ACB＝∠EBC，∴EB＝EC＝3k+3，∵∠ACE＝∠ABC，∠CAE＝∠BAC，∴△ACE∽△ABC，∴ACAB ＝AEAC，∴5533k k ＝55k，解得k＝58或﹣1（舍弃），∴AB＝8k+3＝8．故答案为：8．（2）如图2中，过点O作EF⊥OA交AB于E，交AC于F，作CG∥EF交AB于G，连接OG．∵AO平分∠AEF，∴∠OAE＝∠OAF，∵AO＝AO，∠AOE＝∠AOF＝90°，∴△AOE≌△AOF（ASA），∴AE＝AF，∵∠EAF＝60°，∴△AEF是等边三角形，∴∠AEF＝∠AFE＝60°＝∠FOC+∠FCO，∵∠OBC+∠FCO＝60°，∴∠FOC＝∠OBC，∵EF∥CG，∴∠AGC＝∠AEF＝60°，∠ACG＝∠AFE＝60°，∴∠AGC＝∠ACG，∴AG＝AC，∵∠GAO＝∠CAO，AO＝AO，∴△AGO≌△ACO（SAS），∴OG＝OC，∴∠OGC＝∠OCG，∵∠FOC＝∠OCG，∴∠OBC＝∠OGC，∴O，G，B，C四点共圆，∴∠ABO＝∠OCG，∴∠ABO＝∠OBC，∴OB平分ABC．（3）如图3中，以BC为边向上作等边△BCH，连接OH，作HM⊥BC于M．∵△OBD，△BCH都是等边三角形，∴∠HBC＝∠OBD＝60°，BH＝BC，BO＝BD，∴∠HBO＝∠CBD，∴△HBO≌△CBD（SAS），∴OH＝CD，由（2）可知∠BOC＝120°，∴当点O落在HM上时，OH的值最小，此时OH＝HM﹣OM＝3﹣3，∴CD的最小值为3﹣3．故答案为：3﹣3．【点睛】本题主要考查角平分线、三角形相似的判定和性质、三角形全等的判定和性质、等边三角形等相关知识点，解题关键在于作出辅助线构造相应图形．5．已知：在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点D为直线BC上一动点(点D不与B、C重合)．以AD为边作正方形ADEF，连接CF．（1）如图1，当点D在线段BC上时，请直接写出线段BD与CF的数量关系：；（2）如图2，当点D在线段BC的延长线上时，其它条件不变，若AC=2，CD=1，则CF= ；（3）如图3，当点D在线段BC的反向延长线上时，且点A、F分别在直线BC的两侧，其它条件不变：①请直接写出CF、BC、CD三条线段之间的关系：；②若连接正方形对角线AE、DF，交点为O，连接OC，探究△AOC的形状，并说明理由．答案：B解析：（1）BD=CF；（2）221；（3）①CD=CF+BC，②等腰三角形，见解析【分析】（1）△ABC 是等腰直角三角形，利用SAS 即可证明△BAD ≌△CAF ；（2）同（1）相同，利用SAS 即可证得△BAD ≌△CAF ，从而证得BD=CF ，即可得到CF=CD+BC ，然后求出答案；（3）中的①与（1）相同，可证明BD=CF ，又点D 、B 、C 共线，故：CD=BC+CF ； ②由（1）猜想并证明BD ⊥CF ，从而可知△FCD 为直角三角形，再由正方形的对角线的性质判定△AOC 三边的特点，再进一步判定其形状． 【详解】解：（1）证明：∵∠BAC=90°，AB=AC ， ∴∠ABC=∠ACB=45°， ∵四边形ADEF 是正方形， ∴AD=AF ，∠DAF=90°，∵∠BAC=∠BAD+∠DAC=90°，∠DAF=∠CAF+∠DAC=90°， ∴∠BAD=∠CAF ， 在△BAD 和△CAF 中，AB AC BAD CAF AD AF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴△BAD ≌△CAF （SAS ）， ∴BD=CF ，（2）与（1）同理，证△BAD ≌△CAF ； ∴BD=CF ， ∴CF=BC+CD ， ∵AC=AB=2，CD=1，∴BC ==∴CF=1；（3）①BC 、CD 与CF 的关系：CD=BC+CF理由：与（1）同法可证△BAD ≌△CAF ，从而可得： BD=CF ， 即：CD=BC+CF②△AOC 是等腰三角形理由：与（1）同法可证△BAD ≌△CAF ，可得：∠DBA=∠FCA ， 又∵∠BAC=90°，AB=AC ， ∴∠ABC=∠ACB=45°， 则∠ABD=180°-45°=135°， ∴∠ABD=∠FCA=135° ∴∠DCF=135°-45°=90° ∴△FCD 为直角三角形．又∵四边形ADEF是正方形，对角线AE与DF相交于点O，∴OC=12DF，∴OC=OA∴△AOC是等腰三角形．【点睛】本题考查了等腰三角形、正方形的性质及全等三角形的判定与性质等知识点，一般情况下，要证明两条线段相等，就得证明这两条线段所在的两个三角形全等，关键是掌握图形特点挖掘题目所隐含的条件．6．综合与探究问题情境在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D是射线BC上一动点，连接AD，将线段AD绕点A逆时针旋转90°至AE，连接DE，CE．探究发现（1）如图1，BD＝CE，BD⊥CE，请证明；探究猜想；（2）如图2，当BD＝2DC时，猜想AD与BC之间的数量关系，并说明理由；探究拓广（3）当点D在BC的延长线上时，探究并直接写出线段BD，DC，AD之间的数量关系．答案：B解析：（1）证明见解析；（2）10AD BC=，理由见解析；（3）2222BD CD AD+=．【分析】（1）根据题意计算得∠BAD=∠CAE；再根据旋转的性质，通过证明△BAD≌△CAE，从而完成求解；（2）结合（1）的结论，通过△BAD≌△CAE，得CE；通过勾股定理，得2DE=；再通过勾股定理计算，记得得到答案；（3）过点A作AM BC⊥交BC于点M；根据等腰三角形三线合一的性质，得BM CM=，再根据直角三角形斜边中线的性质，得12AM BM CM BC===；根据勾股定理的性质，通过计算，即可得到线段BD，DC，AD之间的数量关系．【详解】（1）由题意得，∠BAC =∠DAE =90° ∵∠BAD +∠CAD =∠CAE +∠CAD ∴∠BAD =∠CAE∵线段AD 绕点A 逆时针旋转90°至AE ∴AD=AE 又∵AB=AC ， ∴△BAD ≌△CAE ∴BD=CE ，∠B =∠ACE =45° ∴∠ECD =90°，BD ⊥CE ． （2）由（1）得：△BAD ≌△CAE ∴BD=CE ，∠B =∠ACE =45° ∵13CD BC =，BD ＝2DC ，即23BD BC =, ∴23BD CE BC ==， ∵AD=AE ∴222DE AD AE AD =+=∴∠B =∠ACB =45° ∴∠BCE =∠ACB+∠ACE =90°∴CD 2+CE 2=DE 2，即22212()()233BC BC AD +=， ∴106AD BC =； （3）如图，过点A 作AM BC ⊥交BC 于点M∵∠BAC ＝90°，AB ＝AC ∴12BM CM BC ==∴12AM BM CM BC ===∴()1122AM BC BD CD ==-，()1122DM CM CD BC CD BD CD =+=+=+ ∵222AM DM AD +=∴()()2221122BD CD BD CD AD ⎡⎤⎡⎤-++=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦∴2222BD CD AD +=． 【点睛】本题考查了旋转、等腰直角三角形、勾股定理、直角三角形斜边中线的知识；解题的关键是熟练掌握旋转、等腰三角形三线合一、勾股定理、直角三角形斜边中线的性质，从而完成求解．7．如图1所示，在Rt ABC △中90BAC ∠=︒，AB AC =，2BC =，以BC 所在直线为x 轴，边BC 的垂直平分线为y 轴建立平面直角坐标系，将ABC 绕P 点0,1顺时针旋转．（1）填空：当点B 旋转到y 轴正半轴时，则旋转后点A 坐标为______；（2）如图2所示，若边AB 与y 轴交点为E ，边AC 与直线1y x =-的交点为F ，求证：AEF 的周长为定值；（3）在（2）的条件下，求AEF 内切圆半径的最大值．解析：（1）2,21；（2）见解析；（3）324【分析】（1）作出图形，'''A B C 是ABC 绕 P 点0,1顺时针旋转，点B 旋转到y 轴正半轴时得到的图形，连接 BP ，CP ，根据2BC =，y 轴垂直平分BC ， AB AC =，()0,1P -可证得四边形ABPC 是正方形，则有 '''2BP B PAB A B ，'0'21B B PPO，可得点 A 坐标；（2）作BPQ CPF ∠=∠，交AB 延长线于Q 点，根据四边形ABPC 是正方形，得到90QBP FCP ∠=∠=︒，BP CP =，可证BPQ CPF ASA ≌△△，得BQ CF =，QP FP =，利用ASA 再可证得QPE FPE ≌△△，得QE FE =则AEF 的周长22AB AC =+=（3）设EF m =，AE n =，Rt AEF 的内切圆半径为r ，由（2）可得22AF m n =--则2AE AF EF r +-=222n m n m+---=2m =-，当m 最小时，r 最大．得到22222n m nm 整理得：2224220nm n m，关于n的一元二次方程有解，即22244220m m化简得24280m m +-≥，利用二次函数图像可得422m ≥-或422m ≤--（不合题意，舍去）可得m 的最小值为422-，即r 的最大值为2422324，则有AEF 内切圆半径的最大值为324-．【详解】解：（1）如图示，'''A B C 是ABC 绕 P 点0,1顺时针旋转，点B 旋转到y 轴正半轴时得到的图形，连接 BP ，CP ，∵2BC =，y 轴垂直平分BC ∴1BO CO ==又∵Rt ABC △中，AB AC = ∴1AO =，2AB AC ==∵()0,1P - ∴1PO =∴AO BO CO PO === ∴四边形ABPC 是正方形 ∴'''2BP B P AB A B∴'0'21B B PPO∴点A 坐标为2,21（2）如图2所示，作BPQ CPF ∠=∠，交AB 延长线于Q 点 ∵四边形ABPC 是正方形∴90QBP FCP ∠=∠=︒， BP CP = ∴BPQ CPF ASA ≌△△∴ BQ CF =，QP FP =∵点F 在直线1y x =-∴45FPE ∠=︒∴ 45BPE FPC ∠+∠=︒ ∴45BPE BPQ ∠+∠=︒∴45QPE FPE ∠=∠=︒ ∵EP EP =∴QPE FPE ASA ≌△△∴ QE FE =∴AEF 的周长AE EF AF AE QE AF =++=++ AE BE BQ AF AE BE FC AF =+++=+++22AB AC =+=（3）设EF m =，AE n =，Rt AEF 的内切圆半径为 r ， 由（2）可得22AF m n =-则2AE AF EFr +-=22n m n m+---=2m =∴当m 最小时，r 最大．∵在Rt AEF 中，222AE AF EF +=∴22222n m nm 整理得： 2224220nm nm ∵关于n 的一元二次方程有解∴22244220m m∴24280m m +-≥利用二次函数图像可得422m ≥-422m ≤--（不合题意，舍去） ∴m 的最小值为422-r 2422324即AEF 内切圆半径的最大值为324． 【点睛】本题主要考查了一次函数的综合应用以及根的判别式、全等三角形的判定与性质、旋转、三角形内切圆等知识，能熟练应用相关性质是解题关键． 8．问题解决一节数学课上，老师提出了这样一个问题：如图①，点P 是等边ABC 内的一点，6PA =，8PB = ，10PC =．你能求出APB ∠的度数和等边ABC 的面积吗？小明通过观察、分析、思考，形成了如下思路：如图①将BPC △绕点B 逆时针旋转60°，得到BPA △，连接PP '，可得BPP '是等边三角形，根据勾股定理逆定理可得AP P '是直角三角形，从而使问题得到解决． （1）结合小明的思路完成填空：PP '=_____________，APP '∠=_______________，APB ∠=_____________ ，ABCS= ______________．（2）类比探究Ⅰ如图②，若点P 是正方形ABCD 内一点，1PA = ，2PB =，3PC =，求APB ∠的度数和正方形的面积．Ⅱ如图③，若点P 是正方形ABCD 外一点，3PA = ，1PB =， 11PC =，求APB ∠的度数和正方形的面积．答案：B解析：（1）8，90˚，150˚，25336；（2）Ⅰ135APB ∠=︒， 722ABCD S =+正方形；Ⅱ45APB ∠=︒， 1032ABCD S =-正方形【分析】（1）根据小明的思路，然后利用等腰三角形和直角三角形性质计算即可；（2）Ⅰ将△BPC 绕点B 逆时针旋转90°，得到△BP′A ，连接PP′，求出∠APB 的度数；先利用旋转求出∠PBP'=90°，BP'=BP=2，AP'=CP=3，利用勾股定理求出PP'，进而判断出△APP'是直角三角形，得出∠APP'=90°，即可得出结论；过B 作BE ⊥AP 于点E ，然后利用勾股定理求出AB 的长度即可求出正方形面积；Ⅱ将△BPC 绕点B 逆时针旋转90°，得到△BP′A ，连接PP′，求出∠APB 的度数；先利用旋转求出∠PBP'=90°，BP'=BP=2，AP'=CP=3，利用勾股定理求出PP'，进而判断出△APP'是直角三角形，得出∠APP'=90°，即可得出结论；过B 作BF ⊥AP 于点F ，然后利用勾股定理求出AB 的长度即可求出正方形面积； 【详解】解:（1）由题易有P BP '∆是等边三角形，AP P '∆是直角三角形 ∴PP '=BP=8，90?APP '=∠，60?P PB '=∠，∴APB ∠=APP '∠+=P PB '∠150˚， 如图1，过B 作BD ⊥AP 于点D∵APB ∠=150°∴30?BPD =∠在Rt △BPD 中，30?BPD =∠，BP=8∴BD=4，PD=43 ∴AD=6+43∴AB 2=AD 2+BD 2=100+483∴ABC S =234AB =25336+ （2）Ⅰ．如图2，将△BPC 绕点B 逆时针旋转90°，得到△BP′A ，连接PP′，∴△ABP'≌△CBP ，∴∠PBP'=90°，BP'=BP=2，AP'=CP=3，在Rt △PBP'中，BP=BP'=2，∴∠BPP'=45°，根据勾股定理得，PP'=2BP=22，∵AP=1，∴AP 2+PP'2=1+8=9，∵AP'2=32=9，∴AP 2+PP'2=AP'2，∴△APP'是直角三角形，且∠APP'=90°，∴∠APB=∠APP'+∠BPP'=90°+45°=135°；过B 作BE ⊥AP 于点E ，∵∠APB=135°∴∠BPE=45°∴△BPE 是等腰直角三角形∴BE=BP=22BP =2 ∴AE=1+2∴AB 2=AE 2+BE 2=7+22 ∴2722ABCD S AB ==+正方形Ⅱ．如图3，将△BPC 绕点B 逆时针旋转90°，得到△BP′A ，连接PP′，∴△ABP'≌△CBP ，∴∠PBP'=90°，BP'=BP=1，AP'=CP=11，在Rt △PBP'中，BP=BP'=1，∴∠BPP'=45°，根据勾股定理得，PP'=2BP=2，∵AP=3，∴AP 2+PP'2=9+2=11，∵AP'2=（11）2=11，∴AP 2+PP'2=AP'2，∴△APP'是直角三角形，且∠APP'=90°，∴∠APB=∠APP'-∠BPP'=90°-45°=45°．过B 作BF ⊥AP 于点F∵∠APB=45°∴△BPF 为等腰直角三角形∴PF=BF=22BP =22 ∴2 ∴AB 2=AF 2+BF 2=1032-∴21032ABCD S AB ==-正方形【点睛】此题是四边形综合题，主要考查了正方形的性质，旋转的性质，直角三角形的性质和判定，勾股定理，正确作出辅助线是解本题的关键．9．如图１，在△ABC 和△ADE 中，∠DAE=∠BAC ，AD=AE ，AB=AC ．（1）求证：△ABD ≌△ACE ；（2）如图2，在△ABC 和△ADE 中，∠DAE=∠BAC ，AD=AE ，AB=AC ，∠ADB=90°，点E 在△ABC 内，延长DE 交BC 于点F ，求证：点F 是BC 中点；（3）△ABC 为等腰三角形，∠BAC=120°，AB=AC ，点P 为△ABC 所在平面内一点，∠APB=120°，AP=2，BP=4，请直接写出 CP 的长．答案：D解析：（1）证明见详解；（2）证明见详解；（3）2713【分析】（1）因为∠DAE=∠BAC ，可以得到∠DAB=∠EAC ，因为AD=AE ，AB=AC ，即可得到△ABD ≌△ACE ；（2）连接CE ，延长EF 至点H ，取CF=CH ，连接CH ，由（1）可得△ABD ≌△ACE ，所以∠AEC=90°和CE=BD ，可以推出∠BDF=∠CEF ，再证明△DBF ≌△ECH ，所以BF=CH ，等量代换即可得到BF=FC ，即可解决；（3）点P 在△ABC 内部，将△ABP 逆时针旋转120°，得到ACP ∆'，连接PP '和PC ，可以得到△PP C '是直角三角形，利用勾股定理即可求出PC 的值；当点P 在△ABC 外部，将△APB 绕点A 逆时针旋转120︒得到PDC ∆，连接PP '和PC ，过点P 作PD ⊥'CP 于点D ，连接PD 可以得到△PP D '，△PP D '是直角三角形和，利用勾股定理即可求出'DP 及PC 的值．【详解】解：（1）证明：∵∠DAE=∠BAC∴∠DAB=∠EAC∵AD=AE ，AB=AC∴△ABD ≌△ACE（2）证明：连接CE ，延长EF 至点H ，取CF=CH ，连接CH ，如图所示：∵△ADB≌△AEC∴BD=EC，∠ADB=∠AEC=90°∵AD=AE∴∠ADE=∠AED∵∠ADE+∠EDB=∠AED+∠CEH=90°∴∠EDB=∠CEH∵CF=CH∴∠CFH=∠CHF∴∠DFB=∠H∵CE=BD∴△DBF≌△ECH∴BF=CH∴BF=CF∴点F是BC的中点∆'，连接（3）当点P在△ABC内部，如图所示，将△ABP逆时针旋转120°，得到ACPPP'和PC∆'∵将△ABP旋转120°得到ACP∴∠PAP'=120°，AP='AP=2，BP=CP'=4∴PP'3∵∠AP C'=120°，∠AP P'=30°，∴∠PP C'=90°，∴()2223427+=．当点P在△ABC外部，如图所示，将△APB 绕点A 逆时针旋转120︒到△'AP C ，过点P 作PD ⊥'CP 于点D ，连接PD ， ∵将△ABP 旋转120°得到ACP ∆'∴∠PAP '=120°，AP='AP =2，BP=CP '=4，∴PP '=23， ∵∠AP C '=120°,∠AP P '=30°，∴∠PP C '=150°，∴∠PP D '=30°，在Rt 'PDP 中，1'32PD PP ==， 22''3DP PP PD ∴=-=，''347DC DP P C ∴=+=+=，()222237213PC PD DC ∴=+=+= ． 综上所述，27213PC =或【点睛】本题主要考查了全等三角形以及旋转，合理的作出辅助线以及熟练旋转的性质是解决本题的关键．10．如图，直线y ＝﹣x +c 与x 轴交于点B （3，0），与y 轴交于点C ，过点B ，C 的抛物线y ＝﹣x 2+bx +c 与x 轴的另一个交点为A ．（1）求抛物线的解析式和点A 的坐标；（2）P 是直线BC 上方抛物线上一动点，PA 交BC 于 D ．设t ＝PD AD，请求出t 的最大值和此时点P 的坐标；（3）M 是x 轴上一动点，连接MC ，将MC 绕点M 逆时针旋转90°得线段ME ，若点E 恰好落在抛物线上，请直接写出此时点M 的坐标． 答案：A解析：（1）y＝﹣x2+2x+3，A（﹣1，0）；（2）t的最大值为916，此时P （32，154）；（3）M（9332-，0）或（9332+，0）．【分析】（1）利用待定系数法解决问题即可；（2）连接AC，PC，PB，过点A作AE⊥BC于E，过等P作PF⊥BC于F．设P（m，﹣m2+2m+3）．利用相似三角形的性质构建二次函数解决问题即可；（3）过点E作EH⊥x轴于H．设M（m，0），利用全等三角形的性质求出点E的坐标（用m表示），再利用待定系数法解决问题即可．【详解】解：（1）∵直线y＝﹣x+c与x轴交于点B（3，0），与y轴交于点C，∴0＝﹣3+c，解得c＝3，∴C（0，3），∵抛物线经过B，C，∴9303b cc-++=⎧⎨=⎩，解得23bc=⎧⎨=⎩，∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+2x+3，令y＝0，得到﹣x2+2x+3＝0，解得x＝﹣1或3，∴A（﹣1，0）；（2）如图，连接AC，PC，PB，过点A作AE⊥BC于E，过点P作PF⊥BC于F．设P（m，﹣m2+2m+3）．∵AE∥PF，∴△PFD∽△AED，∴PDAD ＝PFAE，∵S△PBC＝12•BC•PF，S△ACB＝12•BC•AE，∴PDAD ＝PBCABCSS∆∆，∵S △ABC ＝12•AB •OC ＝12×4×3＝6， ∴t ＝PD AD ＝6PBC S ∆＝211133(23)332226m m m ⨯⨯+⨯⨯-++-⨯⨯＝﹣14m 2+34m ＝﹣14（m ﹣32）2+916， ∵﹣14＜0， ∴m ＝32时，t 有最大值，最大值为916，此时P （32，154）； （3）如图，过点E 作EH ⊥x 轴于H ，∵∠COM ＝∠EHM ＝∠CME ＝90°，∴∠EMH +∠CMH ＝90°，∠EMH +∠MEH ＝90°，∴∠MEH ＝∠CMO ，∵MC ＝ME ，∴△COM ≌△MHE （AAS ），∴OC ＝MH ＝3，OM ＝EH ，设M （m ，0），则E （m ﹣3，﹣m ），把E （m ﹣3，﹣m ）代入y ＝﹣x 2+2x +3，可得﹣（m ﹣3）2+2（m ﹣3）+3＝﹣m ， 整理得，m 2﹣9m +12＝0，解得m 933-933+， ∴M 933-，0933+0）． 【点睛】本题考查的是二次函数综合题，涉及全等三角形的性质和判定，相似三角形的性质和判定，解题的关键是利用数形结合的思想，在二次函数图象上构造全等三角形或相似三角形，利用几何的性质进行点坐标的求解．11．综合与实践实践操作：①如图1，ABC ∆是等边三角形，D 为BC 边上一个动点，将ACD ∆绕点A 逆时针旋转60︒得到AEF ∆，连接CE ．②如图2，在ABC ∆中，AD BC ⊥于点D ，将ABD ∆绕点A 逆时针旋转90︒得到AEF ∆，延长FE 与BC 交于点G ．③如图3，将图2中得到AEF ∆沿AE 再一次折叠得到AME ∆，连接MB ．问题解决：（1）小明在探索图1时发现四边形ABCE 是菱形．小明是这样想的：请根据小明的探索直接写出图1中线段CD ，CF ，AC 之间的数量关系为 ： （2）猜想图2中四边形ADGF 的形状，并说明理由；问题再探：（3）在图3中，若AD=6，BD=2，则MB 的长为 ．答案：C解析：（1）CD+CF=AC ；（2）四边形ADGF 为正方形；理由见解析；（3）13【分析】（1）先证明C 、F 、E 在同一直线上，再证明△BAD ≌△CAF （SAS ），则∠ADB=∠AFC ，BD=CF ，可得AC=CF+CD ；（2）先根据∠ADC=∠DAF=∠F=90°，证明得四边形ADGF 是矩形，由邻边相等可得四边形ADGF 是正方形；（3）证明△BAM ≌△EAD （SAS ），根据BM=DE 及勾股定理可得结论．【详解】解：（1）如图：由旋转得：∠DAF=60°=∠BAC，AD=AF，∴∠BAD=∠CAF，∵△ABC是等边三角形，∴AB=AC，∴△BAD≌△CAF（SAS），∴∠ADB=∠AFC，BD=CF，∵∠ADC+∠ADB=∠AFC+∠AFE=180°，∴C、F、E在同一直线上，∴AC=BC=BD+CD=CF+CD，+=；故答案为：CD CF AC（2）四边形ADGF是正方形，理由如下：如图：∵Rt△ABD绕点A逆时针旋转90°得到△AEF，∴AF=AD，∠DAF=90°，∵AD⊥BC，∴∠ADC=∠DAF=∠F=90°，∴四边形ADGF是矩形，∵AF=AD，∴四边形ADGF是正方形；（3）如图3，连接DE，∵四边形ADGF是正方形，DG=FG=AD=AF=6，∵△ABD绕点A逆时针旋转90°，得到△AEF，∴∠BAD=∠EAF，BD=EF=2，∴EG=FG-EF=6-2=4，∵将△AFE沿AE折叠得到△AME，∴∠MAE=∠FAE，AF=AM，∴∠BAD=∠EAM，∴∠BAD+∠DAM=∠EAM+∠DAM，即∠BAM=∠DAE，∵AF=AD，∴AM=AD，在△BAM和△EAD中，∵AM ADBAM DAEAB AE=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△BAM≌△EAD（SAS），∴BM=DE=22EG DG+=2246213+=．故答案为：213．【点睛】本题属于四边形综合题，主要考查了旋转的性质、全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、正方形的性质以及勾股定理的综合应用，解决问题的关键是熟练掌握等边三角形和全等三角形的性质，依据图形的性质进行计算求解．12．如图，BC⊥CA，BC＝CA，DC⊥CE，DC＝CE，直线BD与AE交于点F，交AC于点G，连接CF．（1）求证：△ACE≌△BCD；（2）求证：BF⊥AE；（3）请判断∠CFE与∠CAB的大小关系并说明理由．答案：C解析：（1）见解析；（2）见解析；（3）∠CFE＝∠CAB，见解析【分析】（1）根据垂直的定义得到∠ACB ＝∠DCE ＝90°，由角的和差得到∠BCD ＝∠ACE ，即可得到结论；（2）根据全等三角形的性质得到∠CBD ＝∠CAE ，根据对顶角的性质得到∠BGC ＝∠AGE ，由三角形的内角和即可得到结论；（3）过C 作CH ⊥AE 于H ，CI ⊥BF 于I ，根据全等三角形的性质得到AE ＝BD ，S △ACE ＝S △BCD ，根据三角形的面积公式得到CH ＝CI ，于是得到CF 平分∠BFH ，推出△ABC 是等腰直角三角形，即可得到结论．【详解】（1）证明：∵BC ⊥CA ，DC ⊥CE ，∴∠ACB ＝∠DCE ＝90°，∴∠BCD ＝∠ACE ，在△BCD 与△ACE 中，BC CA ACD ACE CD CE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ACE ≌△BCD ；（2）∵△BCD ≌△ACE ，∴∠CBD ＝∠CAE ，∵∠BGC ＝∠AGE ，∴∠AFB ＝∠ACB ＝90°，∴BF ⊥AE ；（3）∠CFE ＝∠CAB ，过C 作CH ⊥AE 于H ，CI ⊥BF 于I ，∵△BCD ≌△ACE ，∴ACE BCD AE BD,S S ∆∆==，∴CH ＝CI ，∴CF 平分∠BFH ，∵BF ⊥AE ，∴∠BFH ＝90°，∠CFE ＝45°，∵BC ⊥CA ，BC ＝CA ，∴△ABC 是等腰直角三角形，∴∠CAB ＝45°，∴∠CFE ＝∠CAB ．【点睛】角的和差、对顶角的性质这些知识点在证明全等和垂直过程中经常会遇到，需要掌握。